автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Расчеты балок в упругом полупространстве под действием поверхностных нагрузок путем решения интегральных уравнений

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КОЛЯСКИН Сергей Юрьевич

РАСЧЕТЫ ВАЛОК В УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОВЕРХНОСТНЫХ НАГРУЗОК ПУТЕМ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 05.23.17 - строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации не соискание ученой стеши кандидата технических яаук

На правах рукописи

Санкт-Петербург гдаз

Раооте выполнена на кафедре строительной механики и теории увругости Санкт-Петербургского государственного технического университета. '

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Л.д.Розин.

Официальные оппоненты - доктор технических наук, гфофессор А.К.Бугров, - кандидат технических наук,старшая научный сотрудник Л.Б.Грдазе.

Ведущая организация - Проектно-изыскательския институт ЛШГВДРОПЕЕКТ.

Завдта диссертации состоится Iо ноября 1933 г. в 76°" часов аа заседании специализированного совета К 063.38.08 в Санкт-Петербургском государственном техническом университете по адресу: 295251, Санкт-Петербург, Политехническая, 29, СГО5ГТУ, гидротехнический корпус, ауд. Ч м

С диссертацией межно ознакомиться в фундаментальной библиотеке СПОРТУ.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печать», просим направлять на имя ученого секретаря специализированного совета по указанному вше адресу.

Автореферат разослан "2{" октября 1993 г.

Учений секретарь специализированного совета кандидат технических наук

общая характеристика работы

Актуальность проблема. [Во многих практически важных задачах необходимо знать напряженно-деформированное состояние балок взаимодействующих с окружающей упругой средой. В строительстве подобные задачи встречаются, например, при проектировании заглубленных трубопроводов под действием произвольной нагрузки на поверхности основания, гибких свай на действие горизонтальных сил и т.п. Классической является задача расчета фундямэятшх балок переменного сечения, лежащих на линейно-деформируемом основании. Во всех подобных случаях необходимо учитывать взаимодействие упругой среда и рассматриваемых конструкций.

В настоящее время, несмотря на больше многообразно методов решения контактных звдач строительной механики и теории упругости, остается проблема получения достаточно точных результатов, особенно при решении пространственных задач. В частности, для трехмерных задач решаемых с помощью метода конечных разностей (МКР) или метода конечных элементов (МКЭ), довольно часто препятствием для получения надежного решения является нехватка ресурсов ЭВМ. Даже при использования современных мощных компьютеров сеточные методы требуют специальных усилий.

Метода основанные на решении интегральных уравнений имеют некоторые преимущества связанные с понижением размерности задачи. что приводит к необходимости решения сравнительно небольших систем уравнений (правда при атом матрицы этих уравнений, в отличии от МКЭ, являются полностью заполненными) и к значительному упрощению ввода - вывода информация. Таю® существенным является то, что при использовании соответствующих фундаментальных решений точно удовлетворяются граничные условия на бесконечности. Однако, постановки задач в форме интегральных уравнений часто приводят к интегральным уравнениям 1-го рода и требуют специальных подходов для их решения. Также, сдерживающим фактором является построение фундаментальных решений для различных практически важных случаев. Тем не менее, задача разработки достаточно универсальных алгоритмов основанных на интегральных уравнениях сохраняет актуальность.

Целью работы является исследование напряженно-деформированного состояния балки, находящейся внутри упругого полупространства. при помощи численного решения интегральных уравнений.

Для достижения поставленной цели необходимо:

- получить интегральные уравнения балки находящейся в упругом полупространстве;

- разработать численные алгоритмы решения полученных интегральных уравнений;

- рассмотреть способы" уточнения численных решений;

- на основе разработанных методов осуществить программные реализации на ЭВМ.

Научная новизна работы состоит в следующем.

- получены интегральные уравнения балки, находящейся в упругом полупространстве, с ядрами построенными на основе фундаментальных решений Миндлина;

- разработан численный алгоритм решения получению интегральных уравнений;

- рассмотрены способы уточнения численных решений интегральных уравнений 1-го и 2-го рода;

- составлен пакет программ, для расчета на ЭВМ, на основе предлагаемых алгоритмов.

Практическая ценность заключается- в разработке программ, реализующих численное решение интегральных уравнений, и позволяющих значительно сократить время решения, объемы внешней и оперативной памяти ЭВМ, а также существенно упростить ввод-вывод иарормация. Разработанные программы могут быть использованы проектными организациями при выполнении расчетов балочных фундаментных конструкций зданий и сооружений, при расчетах заглубленных трубопроводов на действие поверхностных нагрузок.

Исследование выполнялось в рамках научно-исследоватэль-ской работы по программе -Строительство" приказ ГК ГОЛ РФ от 27.03.91 * 252.

Внедрение результатов работа. С использованием разработанных программ выполнены расчеты по определению напряженно-деформированного состояния трубопровода для нефтегвзокондэн-сатного месторождения Чайво - море (вблизи о.Сахалин). Полу-

ченные решения и программы использованы в СахалинНИПИморяефть при проектировании заглубленных трубопроводов комплекса шель-фовых энергетических сооружений.

Достоверность результатов работа подтверждается путем решении модельных задач, имевдих аналитическое решение, а также сравнением с решением полученным другими методами.

Апробация работы:. Основное содержание работы докладывалось на 10-а школе-семинаре "Методы конечных и граничных элементов 8 строительной механике", г.Одесса, 1992 г.; на 1-Я международной конференции "Освоение шельфа арктических морей России", С.-Петербург, 1993 г.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 4 работах.

Структура в объем работа. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 31 наименований. Работа изложена на 124 страницах машинописного текста и включает 23 рисунков и Г таблиц.

На защиту выносятся:

интегральные уравнения балки находящейся в упругом полупространстве;

численный алгоритм решения интегральных уравнений;

способы уточнения численных решений интегральных уравнений 1-го и 2-го рода;

результаты численных исследований работы балок взаимодействующих с упругим полупространством.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования. Отмечаются работы А.Я. Александрова, М.И. Горбуиова-Поса-дова, Б.Н. Жемочкина, Б.М. Зиновьева, Б.Г. Коренева, В.И. Кузнецова. Г. Я. Попова-, Л .А. Розина.В.И. Филиппова,р.к. в«п«г^»» к, ви««гп»|а и др. посвященные расчету балок пзяимодействующа с упругой средой при помощи интегральных уравнений. Изложено краткое содержание диссертации.

В первой главе рассматриваются различные числошмо алгоритм! расчета балок с помощью функции Грипа. атрябатаи»игся способы роотшия интпгралмтх урпптоний 5родгольмп Г - го

ари пожшм метода регуляризация, для интегральных уравнении Фредгольма ¡1-го рода, применительно к балкам на упругом вин-клеровском основании, указывается спосоо акстраполяционного уточнения численного решения.

При численном решении интегральных уравнении возникает необходимость вычисления функции Грина в оольшом количестве точек. В общем случае оалки переменной жесткости, методы основанные на численном интегрировании формулы Максвелла-Мора могут оказаться не зфрективяыми. Предлагается алгоритм вычисления функции Грана основанный на использовании кусочно-линейных членов МКЭ.

Рассматривается задача восстановления нагрузки по заданным прогибам. Она сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода «

Обратные задачи типа (X) являются в классическом смысле поставленными некорректно. Даже небольшие погрешности в правой части приводят к значительным ошибкам численного решения. Для решения этой проблемы использовался регуляризирувдий метод А.Н. Тихонова.

ям Фредгольма 2-го рода, особенно в случае когда система линейных уравнений вырождена ели близка к ней. Однако это сально усложняет алгоритм решения задачи. Более аффективным представляется использование экстраполяционных методов.

Тек для интегрального уравнения фредгольма 2-го рода описывающего' изгиб балки на винклеровском основании, известно асимптотическое разложение при аппроксимации интегралов по формуле прямоугольников. Это дает возможность воспользоваться

(I)

Метода регуляризации применимы и к интегральным уравнени-

(2)

Используя решения Ff,. , можно приближенно оценить, по правилу Рунге, погрешность. Однако, более целесообразным представляется использование двустороннего экстраполлционного метода предложенного Б.С. Шварцманом для гарантированной оценки погрешности решений:

(3,

где F(o) - точное решение; R; - решение полученное с помощью экстраполяционлой формулы Ричардсона; л; - решение полученное с помощью преобразования Эйткена.

Вторая глава посвящена выбору, отработке и тестировании численного алгоритма расчета балки на упругом основании. Данная задача представляет самостоятелышй интерес, а также служит тестовой для отработки подходов, которые затем будут использоваться при расчете балки находящейся внутри упругого полупространства.

Рассмотрим балку со свободными концами, лежащую на сплошном упругом основании и несущую произвольную нагрузку ft<). При действии на балку нормальной нагрузки возникает

реактивное давление Их). Касательными контактными напряжениями при этом пренебрегаем. Постановка задачи в форме интегрального уравнения, для данного случая, хорошо известна.

Для численного решения интегрального уравнения используем метод замены интегралов конечными суммами. Введем на отрезке О сетку

<Хх< . .. ex*/*?, ft;-Xi -X¡., , (4)

разбив тем самым L-(,cJ на л/ подобластей.

Представим реакцию основания в виде суммы

А/

u¿-Vi.Cf:lx) (5)

.■i

Í1 п/чл. \ »• /\ a ...

О X « x>*¿ (6'

где 4:ii)~ кусочно-постоянные сплайны

при. К;., f К s X¿ hje iv Х<Л,-.1

Подставляя выражение (5) в интегральное уравнение, описывающее изгиб балки на упругом основании, и полагая последовательно Х*Х;.1/г l i*1,¿ -..f) получим для определения U*1,z...*s) я неизвестных констант w", иэ* л/rz ypmrntnmn

/У

£ A¿¡ "i-Vi. -At^V* li'1,1- *s>

i*1

где

л/

a. - . л Ct-Kc-Vi

« '

A¿í - j*G (<;.,„,S)4¡ ( SM s - (л¿.Vi,i)4¡ (S) ¿S, {í. t t £ <

t - ~e « <

; oís.

-e -e

В саду того, что базисные функции отличны от нуля только на отрезке £X;-i,X;"J . коэффициенты влияния A;¡ вычисляются только на атом отрезке.

Также отметим, что при данном выборе базисных функций окончательные формулы рассматриваемого метода и метода Крылова-Боголюбова совпадают.

Было рассмотрено обобщение на случай линейного распределения неизвестной функции внутри интервала. Для отого в качества базисных функций использовались кусочно-линейные сплайны первой степени.

Для иллюстрации разработанных алгоритмов приведены следующие примеры численных решений: а.) изгиб жесткой балки на упругой полуплоскости, нагруженной в середине иролета сосредоточенной силой; о.) изгиб длинной балки на упругой полуплоскости. нагруженной сосредоточенной силой в центре; в.) из-

гиб конечной белки на упругом полупространстве, нагруженной в середине пролета сосредоточенной силой. Достаточно близкое совпадение с известными результатами дало основание для дальнейшего использования полученных алгоритмов в более сложных задачах.

Остановимся на следующей проблеме решения интегрального уравнения описывающего изгиб балки на упругом основании. Поскольку интегральные уравнения 1-го ■рода представляют собой некорректные задачи, возникает вопрос о применении метода регуляризации дам их решения. Укажем следувдий прием регуляризации по 4.Н. Тихонову.

Запишем уравнение изгиба балки на упругом основании следующим образом

Аг ■»/(*), *е С-<?,п (в)

где /

с

ИхШФЫФШ^ЬЫчиШ + -у1

-I

Рассмотрим сглаживающий функционал

(9)

где «

- (

с

-е

и интегро-диффереяциальйЬе уравнение Эйлера, определяющие экстремали функционала М"1 С ~i.fl

<

« -е - С< & с С

гда К 1» Н(

<. -« . <

с краевыми условиями "X* 1« I €I- о.

Для простоты положим £-=0 в уравнении (10). тогда

<и)

Таким образом, задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода, решение которого устойчиво. Неизвестные константы находятся из условий равновесия.

На основе изложенных алгоритмов был составлен программный комплекс вйр на 1вм рс хт/ат. в отличии от существующих программ, в нем предусмотрена возможность использования метода регуляризации для интегральных уравнений 1-го рода, описывающих равновесие балок взаимодействующих с упругим телом, а также для плохо обусловленных задач о балках на винклеровском основании (гибкие балки на жестком основании). Кроме того, для последней из указанных задач, возможно экстраполяционное уточнение результатов.

Третья глава посвящена формированию и численному решению интегральных уравнений описывающих взаимодействие балки с упругим полупространством при действии внешних нагрузок на поверхности полупространства.

Математически задача сводится к системе интегральных уравнений 1-го рода

5

иге/гг

шах у

шах у

(12)

Ъ Ю'1 <■ к^'ю^й') Рг {о')(Со' +

%

* ] К*' 1?1..а'}%г{а') ¿О'*

= |к<г (вь,<г'/^а(й72€ «¿в'.

и

где Р» , Рг - внешние распределенные нагрузки, приложенные к часта поверхности полупространства 5 , в направлении осей * а 2 (рис.1);

¿<"о 1О, а') - перемещение вдоль оси * точки о полупространства от единичной силы, приложенной в точке о' и действующей вдоль оси х :

Анологично К* (0.0'/ - перемещение вдоль х от единичной силы вдоль г , К"» ( 0.°' / - перемещение вдоль г от единичной силы вдоль * , К* {0,0') - перемещение вдоль г от единичной силы вдоль г ;

К(и 1 о, о') - прогиб балки в точке О вдоль оси X от единичной сосредоточенной силы вдоль оси х , приложенной в точке о' ;

Аналогично К^г 1° , °'' - прогиб балки в точке О вдоль оси 2 от единичной сосредоточенной силы вдоль оси г .

Определение функций К"№,<*') ,кг"(а.а7 ,«Г0 <

Ко* (о-а'/ , входящих в (13), выполняется на основе решения зэдачи Мявдлина. Задача Миндлина является обобщением задач Буссинеска и Черрути. Она заключается в определении поля перемещений и напряжений, вызванного произвольно направленной силой Р , приложенной в точке а упругого полупространства. Величины К<х02,.,0'/ , представляют собой значе-

ния функций влияния для балки.

Для численного решения системы интегральных уравнений (12) используется метод Крылова-Боголюбова. Основная идея этого метода состоит в том, что в интегральных уравнениях входящие в них интегралы разбиваются на промежутки, причем в каждом из этих промеяутвов искомая функция считается постоянной и выносится за интеграл. Твким образом, задача сводится к следувдим алгебраическим'уравнениям

^ ы <:< £ Ы

«•1

ы

<Ш

кч

или в матричной форме

лУ

хсп^^гчм', и«

где £ Г]1** [& [6- локальная матрица коэффициентов влияния балки и полупространства;

[в]1* I - локальная матрица коэффициентов

влияния белки;

I о

(г-!, 6-

С&З ™ " I - локальная матрица коэффициентов Г2, ) влияния полупространства;

г;

локальный вектор неизвестных усилий;

- локальный вектор внешней нагрузки. Подставляя в уравнепие (14) последовательно

придем к полной системе разрешающих уравнений относительно неизвестных значений нагрузок взаимодействия в точках

*s) . Их интерполирование на бсю длину балки позво лит получить нагрузки взаимодействия, действующих на белку.

В силу того, что интегральные уравнения (12) представляют собой некорректную задачу, возникает вопрос о применение метода регуляризации для их решения. Укажем простейший прием регуляризации.

Будем учитывать тот факт, что ядра содержат особенность. Из-за особенности диагональные элементы матрицы системы разрешающих алгебраических уравнений будут превосходить по величине остальные элементы. Поэтому целесообразнее вычислять диагональные элементы матрицы численным интегрированием с достаточно малым шагом, т.к. ядра там быстро меняются, а остальные интегралы заменять квадратурными формулами по небольшому числу узлов. Данный прием называется естественной регуляризацией шш методом саморегуляризации и впервые использовался в работах Д.Н. Тихонова, В.й. Дмитриева и Е.В. Захарова.

КоЭфСВДИЭНТЫ влияния &17 , friT , С ¿7 , (r'zt можно вычислить двумя способами: численно и аналитически. Первый способ является универсальным, но в виду того, что интегралы содержат сингулярные члены задача усложняется, т.к. необходимо приме нять специальные квадратурные формулы. Использование системы аналитических вычислений на ЭВМ reduce показало, что в интегралах содержатся члены которые нельзя определить в замкнутом виде, но дон членов содержащих особенность интегрирование возможно. В связи с этим, изберем следующий алгоритм вычисления коэффициентов влияния: сингулярные члены вычислим аналитически, а для оставшихся гладких членов будем использовать квадратурную формулу Гаусса.

Четвертая глава посвящена расчету заглубленного трубопровода комплекса шельфовых энергетических сооружений, как Салкн заходящейся в упругом полупространства.

При строительстве искусственных островов, платформ для добычи нефти и газа в шельфовой зона морей приходится прокладывать трубопроводы на материк, заглублэшше в догошй грунт. В качестве факторов; обуславливающих наряду с вертикальными и горизонтальные нагрузки, являются движущиеся и взаимодейст-

вующие с грунтом основания ледовые массивы больших размеров (стамухи). Возникает задача определения напряженно-деформированного состояния в подобных трубопроводах от движущихся над ним и пропахивающего грунт ледового образования.

Расчетная схема принималась в виде пространственной задачи теории упругости для полупространства произвольно загруженного по часта поверхности (воздействие стамухи) и содержащего заглубленный бесконечный стержень - трубопровод. Стамуха условно рассматривалась как абсолютно жесткий штамп парал-лелепипедальной формы, движущейся горизонтально при заглублении в грунт на некоторув глубину.

В качестве расчетных нагрузок воздействия стамухи на грунт приняты Я, = 14400 кН и = 13330 кН . Кроме того был рассмотрен случай отлива на 6м (завышенный), при котором давление стамухи на грунт достигает величины Рг = 59400 кН.

Для расчета трубопровода, заглубленного в грунт, на поверхности которого действует вертикальная и горизонтальная нагрузки, приложенные к конечной полосе, равной ширине килевой чести стамухи, был. использован метод интегральных уравнений.

Перейдем к анализу результатов исследований. Положение киля стамухи будем характеризовать параметром А, который представляет собой расстояние от вертикальной плоскости, проходящей через ось трубопровода до передней кромки стамухи в метрах, рассмотрим четыре значения параметра А: Ом; 1м; Зм; 10м. Трубопровод расположен на глубине Зм от поверхности основания - два метра заглубления киля стамухи плюс один метр защитного слоя грунта до оси трубопровода. Момент инерции трубопровода I = 2,193*10 * м\ модуль упругости ^ = 2,1*10"" 118, сечение круглое кольцевое наружным диаметром 0,72м с толщиной стенок 0,016м. аизические характеристики грунта 3,5*10* Па, V = 0,35. Нагрузка задана на отрезке длиной 30м симметрично относительно оси 2 и на расстоянии А от оси У .

На рис.2, 3 приведены результаты расчетов трубопровода только от горизонтального воздействия стамухи. На первых двух графиках рисунка 2 приведены смещения трубопровода в гори-

z г го y.fu

izo.2. Эпюры прогибов трубопровода в горизонтальной и .вертикальной плоскостях,.

'^щг/ шгяЯаада мэиенгоя в труоопровпде в

т^чсмп-ижжа ш лорлвалыюЯ плоскостях.

зонтальной и вертикальной плоскостях. На рис.3 даны момети Mt и мх .действующие на трубопровод соответственна в горизонтальной и вертикальной плоскостях. На горизонтальной оси откладывается расстояние от плоскости симметрии по оси трубопровода до сечения. Боковой грани стамухи соответствует V -15м. Как видно из графиков, на расстоянии Y - зам, т.е. в полуширине от стамухи ее влияние на трубопровод уже практически не сказывается. Эпюры моментов имеют по два экстремума, соответствующих точкам перегиба оси трубопровода. В пределах ширины стамухи перемещения оси трубопровода почта одинаковы, т.е. участок трубопровода перед стамухой перемещается почти параллельно своей оси. Для положения киля стамухи над осью трубопровода (А=0) значения моментов и прогибов в горизонтальной плоскости получились близкими к случаю A--I.

Были проделаны расчеты и для случая одновременного действия на грунт от киля стамухи вертикальной и горизонтальной сил. Каздый расчет занимал несколько секунд процессорного времени на ЭВМ EC-I066.

Также, для решения поставленной задачи, использовался метод конечных элементов. Расчетная область трехмерной задачи теории упругости содержала 3182 узла. Число неизвестных (с учетом закреплений) около 7200, число элементов 2484, в том числе 36 стержневых. Решение задачи осуществлялось по программе на ЭВМ EC-I066 в системе СБУ. Било

использовано 16 Мбайт оперативной памяти _ и около 27 Мбайт временных наборов на диске. Ширина ленты системы уравнений МКЗ более 300. Время счета задачи с одним нагрутанием . около 50 минут процессорного времени.

В таблице I показаны максимальные величины полученные с помощью метода конечных элементов и метода интегральных уравнений. Сравнение проводится для случая, когда балка заглублена на Зм и нагрузка расположена на расстоянии А = 1м.

Количественное и качественное совпадение результатов достаточно хорошее.

Используя полученные данные, были проведэны поверочные расчеты прочности трубопровода для различных случаев нагруже-ния.

В заключении перечислены основные результаты диссертации.

Таблица I

сравниваемые характеристики

МКЭ

метод интегральных

уравнений

1,12.см 1,25 см

48.5 кН-м

91.6 кН-м

1,76 СМ 2,29 СМ

61,72 кН-м 110,57 кН-м

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построен эффективный численный алгоритм вычисления функции Грина для балки переменной жесткости, основанный на решении неоднородной краевой задвчи методом Ритца с базисными функциями в виде сплайнов. Показвны преимущества данного алгоритма для случая, когда необходимо вычислять функцию Грина в больном количестве точек.

2. Использованы эксграполяционные методы для уточнения результатов и оценки погрешности решений интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода. На модельной задачи Салки расположенной на винклеровском основании показана эффективность построения двусторонних приближений.

3. Рассмотрены численные алгоритмы расчета балок яа упругом основании. Приведен метод повышенной точности для решения сингулярного интегрального уравнения 1-го рода, где в качестве базисных функций использовались кусочно-лянейаые сплайны.

4. Создан программный комплекс вар на 1вп ге хт/ат ориентированный на расчет фундаментных балок кусочно-постоянной жесткости. Показаны преимущества данного комплекса по сравнению с другими программами. Сравнение численных решений, полученных с помощью комплекса вар, с известными аналитическими решениями показало хорошее совпадение.

5. Применены методы регуляризации к сингулярному интегральному уравнению 1-го рода, описывающему взаимодействие балок с упругим основанием. Сделаны рекомендации для практичес-

кого применения регуляризирувддх алгоритмов.

6. Получены интегральные уравнения балки находящейся п упругом полупространстве с использованием фундаментальных решений Мипдлина. Рассмотрены две постановки задачи, отличающиеся выбором контактного напряжения по ширине балка.

7. Применен метод Крылова-Боголюбова для численного решения системы сингулярных интегральных уравнений, описывавших взаимодействие балки с упругим полупространством. Приведены два приема, позволяющие повысить точность решения интеграль-шх уравнений численными методами.

8. На конкретном примере расчета трубопровода для нефте-газоконденсатного месторождения Чайво-море (вблизи о.Сахалин) показаны преимущества применения интегральных уравнений для данного класса задач. Полученные решения и программы использованы в СахвлинШЯШморнефть при проектировании заглубленных трубопроводов комплекса шльфовых энергетических сооружений.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Коляскиц C.D. Аналитическое вычисление на ЭЕЧ матриц жесткости конечных элементов. - Рукопись деп. в ВИНИТИ: 1089, Й2074 - В89. - 15 с.

2. Черняк A.M., Коляския C.D. Применение сплайнов для расчета стершей переменной жесткости, с упругими опорами, из физически нелинейного материала//Исследованяя по строительным конструкциям и строительной механики/Томск: Изд-во ТГУ, 1987. - с. 144 - 150.

3. Коляскин С.Ю., Розин Л.А, Рвсчет балок, находящихся в упругом полупространстве, под действием нагрузок, приложенных к полупространству//Строительная механика и расчет сооружений, СПб, СГИГТУ, 1992. - с, 7S-84.

4. Розин Л.А.. Рукавишников В.А., Смелов В.А., Коляс-' кш С.В. Решение пространственной задачи по расчету заглубленных в донный грунт трубопроводов под действием поверхностных ледовых ' нагрузок// 1-я международная конференция "Освоение иэльфэ арктических морей России": Аннотации докладов. - С.-Петербург, 1993. - C.I3S,