автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Расчет пологих оболочек из плоских элементов с учетом геометрической и физической нелинейности

Ленинградский ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительный " институт ■

На правах рукописи

БУАЛЛАГ Бубакер

УДК 624.074.43.044:539.371+539.374

РАСЧЕ'1 ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ИЗ ПЛОСКИХ ЭЛЕ И КИТ ОЙ С УЧЕТОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ И ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ

Специальность 05.23.17 - строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Ленинград, 1991

"О- Г'1 • / 1 - / /.

Работа выполнена в Ленинградском ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени инкенернс-строительном институте.

Научный руководитель - доктор технических наук,

профессор Михайлов Б.К.

Официальные оппоненты: - Заслуженный деятель,

доктор технических наук, лрофессор Лебедев В.А.;

- доктор технических наук, профессор Карпов З.В.

Ведущая организация - ЛенЗНИИЭП.

Защита состоится

"50" '1991 г. в час. н

заседании специализированного Совета K.063.3I.0I в Ленингра ском ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красно го Знамени инженерно-строительном институте по адресу: 198005, Ленингр&м, ул. 2-е Красноармейская, дом lis 4, Ленин, ский зал.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной бис лиотеке института. д

• Автореферат разослан " »Ь1 VLv\Jbel\$I99I г;

Ученый секретарь специализированного Совета, к.т.н., доцент - ^/ В.И.Морозов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБ01Ы

Актуальность темы. Проблема рационального использования природных ресурсов, естестиеннкх а искусст энных строитель -них материалов стимулирует инженерную мысль к поиску новых перспективных архитектурных форм, новых видов конструкций, в первую очередь тонкостенных конструкций, па основе развития и достижений современных методов расчета, позволяющих учитывать реальные физико-механические свойства, условия опирания л нагрузки.

В этом отношении достаточно экономически оправданными, удобными для широкого использования в строительной практике являются конструкции оболочек из плоски": эле .ентов. Они отличаются повышенной несущей способностью, жесткостью, легкостью, простотой изготовления н монтажа, транспортабельностью и архитектурной выразительностью. Благодаря изломамповышается конструктивная жесткость, что позволяет в втих кснструк -циях с успехом использовать материалы и» легких сплавов, полимерные и композитные, интерчалы, обладающие низким модулем упругости и физической нелинейность!), го есть нелинейной зависимостью на диаграмме

Применение гтих материалов требует на стадии расчета и * проектирования учитывать как геометрическую, так и физичзскуь нелинейность и, следовательно, использования зависимостей нелинейной теории пластин и оболочек.

Методы нелинейной теории оболочек применительно к гладким тонкостенным конструкциям эа последние десятилетия раэвиьа -лисъ достаточно интенсивно, в результате чего получены алго -ритмы расчета я составлена программы для нирокого круга практически важных задач расчета. Однако практически не развиты методы расчета складчатых оболочек при пелииейном деформироза-нии. Вероятно, это можво объяснить значительный« математическими трудностями и крайней громоздкостью получающихся выраде -ний при выполнении условий "стыковки" отдельных "гладких" элементов на линиях изломов поверхности.

В связи с этим тема данной диссертации носвящсянан разработке методики расгзта пологих оболочек, составленных из плоо- . ких элементов, на.,, основе'.использования обобщенных ммпульслах

функций с учетом геометрической к физическойнелинейностей представляется достаю.до актуальной.

Целью работы являете^ создание методики расчета тонко -стенных пространственных покрытий в виде пологих оболочек, составленных из плоских элементов, позволяющей учитывать геометрически нел..нейный характер деформации, физическую нелинейность материала, различные граничные условия и различную нагрузку.

Научная новиана. Впервые на основе нелинейной теории тонких оболочек и с применением элементов теории обобщенных функций разработана иетодк.л расчета оболочек, составленных из плоских элементов, позволяющая учитывать различные углы между пластинаш:, образующими оболочку-покрытие, различные комбинации геометрических размеров, соотношения сторон, толщин, различную нагрузку. введение импульсных функций в искомое ана-литгческое решение позволило существенно усилить сходимость рядов и получить простые алгоритмы и программы.

достоверность результатов обусловлена тем, что в основе всех преобразований находятся общепринятые гипотезы Кирхгофа-Лява, используется метод последовательных нагрунений, метод решения задачи теории малых упруго-пластических деформаций ИД.Ильюшина, метод двойных тригонометрических рядов, вариационный катод, метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений, корректность которых доказана и подтверждается удовлетворительным совпадением результатов расчета.с теоретическими и экспериментальными даннышцл о луче иными различными авторами.

Практическая ценность состоит в том,-что на основе раза-ботанной автором методики составлены достаточно"простые и удобные для практического применения алгоритмы.и программы расче.а тонкостенных окладчатых систем, весьма экономичных'и целесообразных для с рокого применения в строительной праны-ке при перекрытии большепролетных хилых и общественных зданий

Алгпритаы и программы, реалиа'ющие предложенную методику, благодаря своей простоте и точности представляет интерес ддп прогкп'ых л научно-исследовательских организаций, свяьпнних с проектированием большепрокетичх пространственных покрытий о применением ниокомодульнъ'х матгри^лг-в, облптсх кегчшей

hoIí ларактерисикой растяжения-сжатия.

Предложенный алгоритм достаточно прост, компактен, не требует больших затрат машинного времени, ч может быть реализован не только на стационарной ЭВМ, но и на персональном компьютере, что делает его доступным широкому кругу исследователей, ишкенеров-проектировпшков и техников.

Новые научные результаты, полученные автором:

- Впервые получены разрешающие уравнения для геометрически и физически нелинейных пологи., оболочек из плоских элементов. При этой сЛолочка рассмотрена как единая тонкостей - . ная система с переменными кривизнами, обращающимися в Нес -конечность на линиях изломов.

• - Разработана методика расчета с учетом геометрической и физической нелинейности при деформировании складчатой оболочки с изломами поверхности с помощью метода пооледовате^ьннх нагружений и с использованием импульсных функций.

- Разработана методика расчета о учетом различных граничных условий и различных нагрузок.

! - Составлены достаточно простые и удобные для практичео -кого применения алгоритмы и программы расчета тонкостенны: складчатых систем. Алгоритм'* расчета учитывают различные физические характеристики материала, удобны для практической реализации не только на стационарных ЭВМ, ни и на персональном компьютере.

■Апробация работы. Отдельные этапы и результаты работы докладывались на 45-й, 4о-й, 47-Й и 48-й научных конференциях профессорско-преподавательского состава Ленинградского иняе -верно-строительного института в _Э87-1991 гг.,на научных.се -минарах кафедры "Теоретическая механика" и кафедры "Конструк -ции из дерева и пластмасс".

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 научных статьи. • ~ •

Объем работы. Диссертация состоит из владения, четырех глав, заключения, списка литературы, приложения. Она содэряи! 425 страниц машинописного текста, 73 pucvhkob, 48 таблиц, 2,00 наименования использованной литературы, Z.'S иг них на иностранных языках, 61 страниц Приложения.

- б -

Работа выполнялась в соответствии с координационно планом научно-исследовател; зких работ ВУЗов. Проблема ^.'7.1 -"Разработка и развитие численных методов расчета оболочек, пластин и стержневых систем".

ссдаршш РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, цель работы, научная новизна, достоверность результатов, практическая ценность, новые научые результаты, полученные автором, апроба -цкк работы, объем работк и дана краткая характеристика работы.

В первой главе пркве '.ен аналитически!! обзор работ по методам расчета тонких оболочек с учето;.« гео». трическои нелинейности. . .

Геометрическая нелинейность и, следовательно, нелинейная зависимость между нагрузками и пво^ибами в оболочке проявляется при достаточно больикх прогибах,,как правило, согласно результатам большинства известных исследований, при значении npoi.iuob, болмих толцяе оболочки.

Физическая нелинейность аналитически учитывается путем принятия степенноЧ аависимос^и иежду напряжениями и дефорка -циник, взятой из диаграммы "растяжения-сжатия" при механических испытаниях материала.

Основы нелинейной теории пластинок и оболочек были заложены И.Г .Бубновым, впоследствии Т.'"арыан вывел уравнение деформации пластин при больших прогибах.

Затем, в 1949 г. В.З.Рчасов получил систему диффвренци -влькых нелинейных уравнений для пологих обслочек, которые ис-пояъзуш'ся до настоящего.времени.

Значительную :роль для формулировки общих соотношений нелинейной теории- оболочек 'мели исследо_ания В.В.Новожилова. Постро.ние общей келиийной теории оболочек нашло отражение . в ряде работ К.А.Алутэ, К.3.Галанова, Х.М.Муштари и их учеников. В дальнейшем развитие велинзйкой-теории пластин и оболочек болт ой вклад внесли работы • .С.Еольмара, М.С.Корниши-иа. Г.э работ зарубеяних уче_ых отметим П.Нагди, Н.Рейсманн, I. 'к.Стрикглн, К.К .'Г .Томпсон-, А.К.Hoop, Е.Т.Одеп, 1.0ллвер и др.--

исследованию изгиба гибких физически нелинеМШх пластин и оболочек привлекает оснознне предпосылки и методы решения упругих задач с дспвлвигельяым использованием теории пластичности или теории излых упруго-пластических деформаций А.А.Илыояина.

Большую роль в развитии теории и способов расчета физически нелинейных задач, пластин и оболочек сыграли работ И.Д.Биргера, А.С.Григорьева, О.Зенкевяча, А.А.Ильюшина, Б.Я. Кантора, Л.М.Качанова, З.А.Крысы-о, Ы.С.Корниши: а, В.И.Королева, П.А.Лукапа, В.В.Петрова, Ю.Н.Габотнова, А.Р.Рканицкна, з.В.Соколовского, Н.И.Столярова, А.И.Стрельбицной, А.П.Угод-чиковой, И.С.ЦуркоЕа, А.И.Цурпака, Н.А.Шульги и других.

Обзор исследований изгкбп отдельных пластин и оболочек при нелинейной связи между напряяенилйи и деформациями показал, что рассмотрены в основном случаи изгиб;, тонкостенных конструкций при однородных граьичных услоъкях, и что в большинстве случаев используется деформационная теория пластичности.

Анализ работ по расчету пологих оболечех из плоских рле-иеитоБ,с учетом геометрической и Физической нелинейности, указывает на незазериенноетт. кх'об;лей теории.

В развитие метода А.А.Ильюшина предложены применительно к различным материалам другие эффективные методы: В.В.Петров (метод последовательных кагружений), В.И .Королев, й.А.Биргер, И.С.Цурков, П.А.Лукгш, Я.А.Стркюшн, Н.Рейсианн, Л.А.Шмидт, КЛ.Оден и др.

Складчатая поверхность оболочек образуется з результате их сборни из отдельных.плоских элементов или цилиндрических панелей. *

Методика решения таких оболочек развивалась в течение последних двух десятилетий. Одной из первых следует отмети1Ь статью И.Е.Милейковского и 0.11 .Золотова, где приведен расчет методом двойных и одинарных тригонометрических рядоз сборных ребристых оболочек оо складчатой внешней повархностьо..

Упомянутой статье предшествовала работа Б.К.Михайлова, ь которой приведена запись уравнения яоканоД поверхности с помощью разрывных шункций и выведена система разрешающих

уравнений в смешанной форме;, содержащая коэффициенты в виде 6 -функций, которые „граааюг сингулярный характер'функции кривиавк на линиях изломив, где она обращается в бесконеч -еость. Дано решение этой системы в двойных тригонометричес-квх рядах. В последующих его работах в искомые решения вводились социальные разрывные функции, что обеспечило хорошую сходимость рядов ц простоту алгоритма. В дальнейшем многие исследователи стремились развить теорию расчета складчатых систем лч пути иолольаования методов решения гладких оболо-• чек или заменой рассматриваемой оболочки с изломами некоторой тонкостенной прост!.лиственной конструкцией, состоящей иэ прямоугольных пластин или цилиндрических I-дне лей. На основе таких лодхох^в П.Л.Пастарнак, В.Д.^айнберг, И.З.Райтфарб и др. разработали ряд приближенных методов расчета, отличав -щихся друг от друга системой величин, принимаемых за основные неизвестный, и допущениями о характере влияния на работу оболочки внутренних усилий, моментов, относительных де -формаций вблизи изломов. В рэаультате анализа известных ста. гей и монографий сделан вывод, что -несмотря на огромный объеи выполненных исследований и публикаций, к настоящему времени > пока не создана практическая методика расчета складчатых оболочек в условиях геометрически нелинейной деформации, с . сдной стороны достаточно простой и доступной широкому кругу инхенеров-проектировциков, а о дх.той - учитывающей различ -... яыо нарупешш регулярности в виде изломов и их влаяние на локальное распределение "силий и моментов вблизи сингулярных ' . точек. Практически не исследованы вопросы распределения иа-" -пряяений вблизи цзлоиол, сосредоточенных сил в условиях не-даиейной деформации материала конструкции. Не решены такав - ' задачи рационально*") ра, лечения изломов для пространственных , , сксти* при больших прогибах и нагрузках.

, Во второй главе лолучены основные соотношения, описывсы-дке "равновесие гонких пологих оболочек ив плоских элементов • с учетом геометрической и физиче' хой нелинейности. На осно -ваиии уравнений равновесиь, геометрических ос^тновеиий и за: - ви^мостей■-ёвду усилиями и деформациями, отвечающими деформационной теопи плаотичности, построена основная система из

/

\,

л

двух дифференциальных уравнений относительно искомой функции прогибов и искои а,функции напряжений.

Построен общий алгоритм решения основной системы, соответствующей решению задачи в "п "-ои приближении.

Рассмотрим вначале уравнения пологих оболочек с учетом геометр"ческо1. нелинейности. Используя общепринятые допущения теории пологих оболочек и вводя в кривизны обобщенные функции, получим разрешающие уравнения в виде:

и/\у - ДКГ (М/.П 4 ^ (I)

где иелине^'лые операторы запишут^л в виде:

дхг дуг, ^Зхду'ЭгЭу (2)

/нм-фр-ф)

У Г д2 82 \2 , '

~ I А^г + ) - Ангармонический оператор;

л ^и* . к* д2 - оператор Власова.

. Зу*

Кризиэкы представляются с помощью дельта-функции в ' мде:

к;; к*=18,8(у-ул (3)

Особ«нн9сгью 'акой поверхности является наличие семейс ооооых точек, располозенкых по линиям излома, где кривизны обращается в бескопвчность.

Для учета физической нелинейности, в отличие от линейн упругих оболочек, система разрешающих уравнений, относящих к 7пруго-плао1ич9скоцу равновесию панели, оказывается вели найной к достаточно слохной. Ее интегрирование иояно осуще сгвить тольк псиЗлюгевао.

Рассматривая оболочки, выполненные из несжимаемого нелинейно-упругого материала, полагаом совпадающими следующие законы:

{N6(6*) ; 64(64). ; (4)

где 6*{, и ¿г - соответственно интенсивности напряжений и деформаций.

Внутренниеусиля и моменты, возникающие в оЙслочке, йке-ют потенциал, который представляет собой работу внутренних сил, приходящихся на единицу плоиадй срединной поверхности:

Ф-ТЦфс!* " , , где Ф = ; (5) "

J-h/2

Внутренние усилия и моменты могут быть определены из вы-раиений:

-■8 В г ЗФ

-г

и< а зеч

ь 9w

(6)

н =

а зе

Для получения полной системы разресагщкх уравнений дня оболочки из нелинейно-упругого материала нядо использовать еще соотношения меяду усилиями и дефор^аципмл.

' 7!ля оболочек из нелинейно-упругого материала внутренние усилия и моменты являются слонн&ми нелинейвымк функциями деформаций срединной поверхности. Вид этих нелинейных зависимостей аайисит от того, в какой форме учитывается нелинай -ность. материала. . " '

Исходя из этих соображений, представим физические соотношения в виде:

т,-тМт4

т,

т2°-8Т,

г - >2 » '2 s«s°-Ss

8V

н = н

где величины Т,° , Т/ , 5 , И", юг упругому деформированию в линзШшЯ области.

Hi , н

I?)

соотвэтству—

*

- 12 -

Тогда основная; система уравнений относительно функции перемещений С/ннции напряжений К(х,у), описывающая

равновесие прямоугольны* в плане складчатых подогих оболочек с изломами поверхности, материал которых при их деформировании не подчиняется закону Гука, монет быт:> записана в виде:

где функции и Фд (ЗС,у1 отражают физическую нелиней -

ность задачи и опредеь.ется посредством соотношений:

Величины

представляют

собой нелинеиш.3 добавки и определяются соотношениями:

. Первая основная нелг.пейпая Фуякцля Ф^ (X, ^ ) отзосатся к первому уравненяв (8), имеет размерность нагрузка и может рассматриваться кзк дополнительная нагрузка.

Эта функция зависит только от нелинейных компонентов, относящихся к изгибающим и крутящим моментам и представляется суммой трех частных производных второго порядка от нелинейных компонентов моментов.

Вторая основная нелинейная функция ф2(Х,у) относится ко второму уравнению основной системы (8), зависит только от нелинейных компонентов продольных и касательных усилий и состоит из суммы трех частных производных второго порядка от нелинейных компонентов усилий.

Каядая из этих нелинейных функций отнесена в правую часть (3) соответствующего уравнения основной системы и считается, что на кандой-этапе в процессе псследовательных ьа-груаений эти основные нелинейные функции извзстны; тогда на ка"лл.шг этапе рассматривается обычная система из двух диф-ерепциальных уравнений, описывающая изгиб лиг йно-упругой прямоугольной панели, однако уравнения этой системы ослон-няюгся функциями, располоненными и их правой части.

Основной трудность» при решении такой системы уравнений является вопрос, связанный о построением ее частного реше -ния, так как в левой части системы находятся частные проля-водные от искомых функций, то, независимо от граничных условий рассматриваемой пологой прямоугольной панели, частное решение можно принять в виде двойных трьгоиокитрических ря -дов по синусам _ пределах заданного прямоугольника, на который опирается панель или в виде разрывных функций.

Лля этой цели иск ¿ые Функции, нагрузка и основные нелинейные функции, считающиеся известными, представляются в виде рядов, подстановка которых в -ч1фферен'*чальнне уравнения системы приводит к двум алгебраическим уравнениям, лозволя;о~ щим определить коэффициенты Фурье для кскоиых функций черза когффициенты, относящиеся к функциям нагрузки и к двум основным Функциям, отражающим нелинейность задачи.

На этом пути возникает трудность, заключающаяся в тон,что для функций, отражающих нелинейность, аналитические вирзг-.о -!пш отсутствуют, поэтому она могут быть пррлстазле^ы мль;.-'! в г-илв некоторых -ппроксг.^ирукя.их эарааенкй, подэо^экних ¡'а основе вычисленных значений этих функций и н£обходимых, точ -

ках поверхности оболочки.

Произвольные постоянные, которые содеркатся в общей решении системы дифференциальных уравнений равновесия пологой оболочки, определяются граничными условиями. Эти условия бу-•дут аналитическими выражениями физического факта соединения края оболочки или, точнее говору опорного контура средин -ной поверхности .оболочки о еэ опорой. Кроме того, дополни -тельно могут быть ваданы условия по некоторым линиям, начерченным на,, оболочке. В связи с этим здесь приведены.лишь не-? ; которые воэцождое.варианты, граничных условий. ;

. р третьей главо изложена разработанная автором методика решения дифференциальных уравнений, описывающих упруго-пластическое деформирование з условиях геометрической нелинейности.

. . Построено приближенное решение осиовной системы применительно к пологим оболочкам из плоских элементов, края кото -рых шарйкрно оперты на ¡жесткие диафрагмы. Материал оболочки считается линейно-упрочняющимся "

' . : Приведены формулы для трех жесткостей оболочки, отвечающих кубической зависимости мегдуб^, и ¿1 при скато-изгиб ^ ном запряхенно-дзформированноа состоянии.

Приводится такке, метод учета пластических деформаций и анализ сходимости метода последоватрльных нагружений. Составлены программы и'проанализированы особенное;:: програамироза -ния при расчете систем с черегулярностямл. Приводятся примеры расчетов. ; ^ ' . '

Геометрическая-нелинейность связано с отказом от предпосылка о' малости.прогиба. При этом учитывается изменение фор-ми я.размеров-конструкции (зависимость меаду деформациями и прогибами нелибей'нья). / . '

Физическая иелинейнасть связана о учетом нелинейной зависимости мекду напряжениями л деформациями, характерной для че ; линеИно-упругих и упруго-пластических материалов,

Гда "учета геометрической нялисейности сначала к оболочке

• пряхяадавэется малая часть внешней нагрузка, такая, которан вызывает линеЯГн^ь деформацию» При этом схема нагрукеккя, то

• ООП» харак??г распределения йагрузкк но поверхности, не меня-

,-ется. После .определения всех компонентов напряженного состояния к деформированной оболочке прикладывается новая часть нагрузки, такая, чюбы новая.деформация была определена так яе с помощью линейной теории, хотя и с новыми геометрическими параметрами, поскольку отсчет ведется от деформированной' поверхнпсти. Этот процесс продолжается до тех пер, пока сумма всех прираще»ий нагрузки не достигнет сначвиия ее задан -ной величины. . ' ••

Внешняя нагрузка заменяется рядом ступеней и кривая нелинейной зависимости заменяется системой отрезков прямых, т.е. "ломаной.

Погресность такой решения зависит гт величины ступеней приращений нагрузки и, следовательно, от величины приращений прогибов и может ирменяться, регулироваться ч.процессе решения . •

Согласно изложенному, представим прогиб \А/ и нагрузку. £{, • в виде: ■

¡к^^ + Щ ; . (и) .

где '1=1,2, 3, ...л,

Тогда, решая систему уравнений (I), описывающих геометри-. чдекие нелинейности, предположим, что края оболочки свободно оперты на вертикальные диафрагм. Будем считать, что вест -кость каждой из таких диафрагм очень велика в зе плоскости, но весьма мала в направлении перпендикулярном к этой плоскости. Эта граничные условия удовлетворяются, если вь'ракения для УУСМр в Г(Х,у) распределяются в вида двойных тркг.о- . нометрических рядов по синусам.

Полокиц, чт'с - составляющая поверхностной нагрузки -на оболочку - разлагается тохе в_двойкой тригонометрический ряд по синусам.

Первому'пргблкхению соответствует первая ступень загрузки и, ллодовательно, решаем линейЕую задачу, т.е. при К И/,Г) --Ы\Л/,№') -0 ,

После линеаризации а интегрирования "подучим систему алгебраических уравнений, о^куга: . ' . .-/у-. '>

- 16 -

Г^^-^'^^^^мпадяп^) (13)

ГДе , т* . а „пФ" . (т „¿ши1 + л*\* • ^т > Рп * (Л1'П) 1<4т+Рп) '

Бо втором нагружении функции и р£ имеют вид:

где 6 и/г и БРг разлагаются такав в двойные тригономет -рические ряды по синусам.

С учетом (12) нелинейные операторы выражаются с помощью производной Фреше в гиде:.

.тп ^тп*

- № п 5 '

иц+Ь»%. =222 (- 28

л 9 й. 4.

где А (СВ.^яЗЬП^тФЗьОпу-СОб^тЖСО^^у.

В результат« находим:

Яг агкг.тп(1-С)^1.{1-С)-(А-й-Ь)3>ЕЬ 0 Чтп- С(С-1)гЕЬ^А(А-Т)-Ы] зная 6шг тп и 5 Рг гпп , находим и в виде двой-

ных тригонометрических радов по синусам. '

Зд, сь

ыт,„)2-й£ ; ■ а-^тЬ^тп ;

Аналогично строится решение задачи в последующих наг -рухеииях. В каждом нагрунении приходится производить вычисления на основе одних и тех же алгоритмов, поэтому решение задачи успешно выполняется на ЭВМ, так как в каждом нагруже-нии вычисление производятся по общей программе.

Для учета физической нелинейности основная система уравнений, относительно функций перемещений \Л/ и функции нап -ряжений Г , описывающая равновесие прямоугольных в плане пологих складчатых оболочек, материал которых при их деформировании не подчиняется закону Гука, запишется в виде (8). Эта система уравнений является нелинейной, так как функции 8т, , , 6Б ,5И<, бИа , 5н в соответствии с формулой (10) и зависимостью ^ = связаны о деформациями и усилиями сложными неливейныьл соотношениями.

Для дальнейших преобразований необходимо выразить жесткости I* , 1г , 1л через физические параметры и компонен -га £< . • ¿г. <о , Ха , Э2г , Яе .

Принимаем, что зависимость между ингенсивностяии напряжений и деформаций имяег вид кубической зависимости:

¿-Е£<г)-т£<г'3 (16)

где Е ,т - постоянные, определяемые при испытаниях мате -рг.ала.

Тогда параметры жесткости оболочки при пластической де -С^рцации определяются выражениями: -

Т ЕЙ*. ¿4 / Ьъ п п \ Гг7)

Из выражения (17), замечаем, что для оболочек из пеляпеЯ-но-упрутого материала внутренние усилия и моменты являвГся сложными, нелинейными функциями деформаций срединной ловерх-чости. Явный вид этих нелинейних функций зависит от того, з какой форме учитывается нелинейность материала.

Способ аппроксимации кривой отразится липъ на-

форме записи условных аесткостей оболочки. Следовательно, изложенный выше подход к выводу походных уравнений метода пос ледовательных нагружений для расчета нелинейно-упругсй оболоч-

ки обладает достаточно большой универсальностьв и гиб -

костью.

Для линеаризации исходных зависимостей используем метод последовательных нагрунений. Как отмечалось бывш^пос- , троение уравнений, связывающих между собой приращения функций, входящих в исходные нелинейные операторы, сводится к построению дифференциала Фреке.

Вычисляя дифференциал Фреше, получим: ..

После подстановки величин иа первого нагруаения полу -чим: -

Вт4 = -ь8+кАЬае2 ;

.----5-------------------------------(19)

8н = А^ба) .

(20)

Схема решения представляет собой интерпретацию следующего физического процесса. К'рассматриваемой конструкции приклады-вгется сначала такая иалая часть внеккей нагрузки, чтобы расчет можно было провести по линейной теории. Затем определяется напрляенно-деформированное состояние конструкции, и к деформированной оболочке прикладывается следующая часть нагрузки, величина которой•задается из условия, чтобы-и в этом слу -чае приращение искомых функций могло быть определено с помощью линейной теории. Этот процесс повторяется до тех пор, пока сумма приращений нагрузка не достигнет заданного значения. Таким образом нелинейная зависимость заменяется ломаной линией.

Полученные линейные алгебраические уравнения решаются до-

статочно простг с помощью обычных стандартных программ для ЭВМ с любой заданной степенью точности.

Таким образом, для определения функции прогиба W4 и функции напряжений в первом ьагружеклн ииееы-линейное дифференциалы зе уравнение в виде (В) с учетом (аз,у) = = Фг(х,у)=0 . В рззультате его решении находим W4 и F^ по формулам (12), таким образом, монно получить компоненты деформаций и искривления.

Для решения задачи при втором кагруяекии система'разрешающих уравнений записывается в виде:

где индекс "2" обозначает порядок яагруязния.

Компоненты деформации и изменения кривизна после первого нагругения известны. Тогда модно переходить к решению

chctcju уравнений (21), откуда'находил: 1,7,9 «

Решение задачи з третьей и последующих нагругзниях осуществляется по схеме второго нагрунения.

Рассматриваемый вариант метода последовательных нагру-яенйй сходится быстрее, поскольку утв на первом шаге получается решение с погрешностью второго порядка,относительно искомых поправок вместо погрешности первого порядка, получаю - ' цвйся во втором случае. -

• В настоящей работе гриводлтся несколько примеров для проверки эффективности предложенного алгоритма.

Четвертая глава посвящена исследованию наирякенно-дэфор-«ярованиого состояния оболочек из плоских элементов при различных силовых воздействиях, в виде распределенных по площади и сосредоточенных нагрузок, при различных граничных уело- ■ еиях.

Приведен-сравнительный анализ полученных результатов, кревставленных в таблицах и графиках. Анализируется характер взаенемя усилий и моментов пз полю о/Золочки как в зонах плавного из^енени: параметров, так и вблизи сингулярных точек, 2 зависимости от размеров в плане, толщины, подъема в центре, координат прилозения сосредоточенной силы или распределенной нагрузки, '_• " -

При этом отмечается, что :ьрекл реализации программы существенно меньше, чем при реализации других программ, основанных на различных численных етод^х. Приводится также сравнение с результатами решения аналогичных задач друих авторов и анализ характера различных возмущений поля напряжений вблизи изломов.

Даны примеры расчета пологих оболочек из плоских элемен -тов с учетом только физической'нелинейное1!/;: при действии сосредоточенной йаг^узкл с двумя защемленными М двумя шарнирно опертыми краями, где эти граничные условия удовлетворяются, если Г'ражеияя для V/ и Р принять в виде: •

Согласье изложенному методу, внешнюю нагрузку следует продстзг'/ть сосредоточенном силой, приложенной в точке о координатами | и г^ , т.е.:

- 21 -

Гсометриче лгая нолинейность

Рпс.З. Зависимость W от cj, Piic.4. Зависимость от cj, Физическая нелиьейностъ

0,95 0,76 0,57

о за

(М9

!

0,6

1,4.

Рис.5. Зависимость W от Рио.б. вавк амость от-^

Исходные разрешающие уравнения, учитывающие физическую нелинейность, иые^т вид:

+ ¿= ф^х,^ ' " (25)

Разработа .ная методика расчета реализована в виде алгоритма V, программы для ЭВМ, а такие разраби*ана методика расчета пологих складчатых цилиндрических оболочек с изломами поверх -ности при действии распределенной нагрузки за рределом упругости и в условиях геометрической нелинейности.

Варианты использования и реализации программы следующие: прочностной расчет реальной .инструкции оболочки, оценка иамз-нений напряиенно-деформированного состояния при изменении уг -лов излома поверхности; оценка влияния размеров оболочки и физические характеристики материала на ее деформируешсть и несущую cr.jco6Hocib. " ,

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

. I. На основе составленных автором дифференциальных урав -некий, соответствующих напряненно-деформированному состоянию систеиы в условиях геометрически и физически нелинейного деформирования, разработана практическая методика расчета оболочек... с изломами поверхности, которая позволяет учитывать любую внешнюю нагрузку, в том, числе и сосредоточенную слу. Методика построена на аналитическом решении нелинейных уравнений с сингулярными коэффициентами.

2. Впервые разработана практическая методика решения не -.линейных дифференциальных .уравнений с псрскокныма я разрывными коэффициентами. Эта методика основана на.линеаризации исходных уравнений методом последовательных кагрунений с введо -ниеи в искомое peí энио разрывных функций с некоторыми искомы -ки коэффициентами, что приводит к быстрой сходимости рядов и

к весьма компактному алгоритму расчета.

3. Составлены удобные для практического применения программы рг счета, которые достаточно быстро (в течение нескольких аин.ут) реализуются на персоналг.нпм компьютере и могут быть рг^окенаовэнч "дал широкого использования при ррочетч и íipo-екг.'.рояами; тжсстенных конструкций из материала с низ-

киы модулей упр'тости, обладают,™ нелинейной зависимостью.

4. На конкретных примерах расчета исследована сходимость процесса последовательных нагружений применительно к оболочкам с изломами, и даны практические рекомендации по выбору оптимальных сг -пеней кагрукения, дающих при ограниченном времени счь^а минимальную погрешность.

5. Исследовано влияние граничных условий на напряпенно-де^ормирозакное состояние тонких оболочек с изломами и определена зона наиболее выраженного краевого аффекта от харак -тера нелинейно'! зависимости на диаграмме.

6. Разработанная методика решения может быть применена к более широкому.классу нелинейных уравнений, чем рассмог -ренные в диссертации уравнения для оболочек с изломами.

7. Показано, что физическая нелинейность "смягчает" влияние сосредоточенной сллы на местное возмущение поля впут -ренних усилий, моментов и напрякений, т.е. оболочка с иэло -аами из нелинейно-деформируемого материала :.;екее "чувсгви -тельн*" к сосредоточенным местным воздействиям.

8. Составленные программы расчета позволяют аналияиро -вать разме.ы тонкостенной конструкции, исходя из минимального ее веса, затрат материалов и максимальной жесткости.

Основное содержание диссертации опубликовано в рледуюци" рс Зотах:

1. Михайлов Б.К., Буаллаг Бубайар. Расчет гибких пологих с.лздчатых оболочек из физически нелинейного материала// ВН11ЖТШ, ЁД07-97. - 7.09.90 г.

2. Буаллаг. Бубакар. Применение метода последовательных нагруианий « расчету пологих- оболочек из плоских злеменюв в условиях геометрически нелинейной деформации/ЛШИИНТШ!,.

106-69. - 23.04.90 г.

3. Михаилов Б.К., Буаллаг Бубакар. Расчет призматических, складчатых о олочек за пределом упругости. В публикации.

\