автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Расчет плит на изгиб и сжатие по уточненным теориям

На правах рукописи

Хмеди Хиссаои Мусе

РАСЧЕТ ПЛИТ'НА ИЗГИБ

НО УТОЧНЕННЫМ ТЕОРИЯМ

0523.17 — Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва — 1995

Работа выполнена на кафедре сопротивления материалов в Московском Государственном Строительном университете

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Б. И. Тараторин

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор А.А. Амосов доктор технических наук, профессор Н.Н. Шапошников

Ведущая организация:

ЦНИИСК им. а А. Кучеренко

а , э! /

Защита состоится /¡Л''^/ 19§о г. в// часов на заседании диссер-.ионного совета K053.ll.06 в Московском Государственном Строительном уни-ситете по адресу:

113114, г. Москва, Шлюзовая набережная, д 8, ауд 409.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государ-■енного строительного университета.

Автореферат разослан

1995"

Ученый секретарь диссертационного совета.

1I.1L Аяохиа

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Диссертация посвящена развитию теории расчета не тонких пластин* которые обычно называют плитами. Плиты, как элементы конструкций пах. дят широкое применение в самых, разнообразных областях строительства 1 машиностроения.

Классическая теория поперечного изгиба пластинок не позволяет удовлетворить трем граничным условиям на контуре. Если рассматриваются од повременно состояния поперечного изгиба и поперечного сжатия, то числ< необходимое для удовлетворения граничных условий равно шести.

Цель работы. На основе четырех вариантов уточненных теорий, построенных профессором Б.Н. Тараторимы«, вывести формулы для определения переме щений, напряжений и обобщенных усилий для возможности сопоставления этих теорий между собой и с другими известными теориями.

На защиту выносятся формулы для определения перемещений, напряженш й обобщенных усилий по уточненным теориям Б.И, Тараторина и результаты расчетов по ним.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Сравнительный анализ уточненных теорий расчета плит путем сопос тавления результатов расчета перемещений напряжений и обобщенных уси лий с точным решением по теорий упругости для толстой плиты, опертой п контуру и нагруженной куполообразной нагрузкой.

2. Получены расчетные формулы для определения перемещений, напрл жений и обобщенных усилий в плите опертой по двум краям и защемленное по двум другим по различным уточненным теориям.

3. Построена теория расчета плиты на сжатие, позволяющая определять в ней перемещения и напряжения при различных граничных условиях.

Практическую ценность диссертации представляют формулы для определи ния основных механических величин по различным теориям расчета плт при точных граничных условиях.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научном семинаре кафедры «Строительная механика» МГСУ.

стоверность результатов определяется точкой постаиошсой краевой задачи иба и сжатия плиты и сопоставлением полученнык результатов по различ-ч теориям и с точным решением.

ем работы. Диссертационная работа состоит из введения, включающего ор литературы, четырех глав, выводов и списка литературы. Объем дис-ртации 94 стр., о том числе 1 табл. м 15 рисунков.

«»держание работы Во введении излагается важность выбора темы исследования, се актуаль-гь, цель и сфсрмулированы основные задачи исследования.

(»мая глава содержит историю р&ззштшг теории нзшба токкиг: пластикой Жермен — Лагранм:а, Пуассона, Иавье, Кирхгоффа. Вывод основного .вменил и формул для определения шпрлжегшП » обобщенных сил из щей теории упругости в предположении о равенстве пул» сдвиговых дэ-дрмаций по толщине пластинки. Приводятся оггсягриьгмггаиышг данные по рааерке классической теории пластинок. Показано» что вгаквдшлышй рас-¡ ный прогиб меньше измеренного, что связано в осшагкш с нэтошшм удоа-ворекием граничных условий.

В области расчета толстых плит следует отметить работы Еерсвича ЯК., исова В.Ф., Власова В.З., Галеркина Б.Г., Галилеева М.Д., Гатадеега С.?и., онтьева И.Н., Травуша ЕШ;., Пискунова Б.Г., Чибирякова В.11, Шясазг&а 4 и друих исследователей. Расчет по теории толстых плит весьма слогаеа ебует значительных математических усилий.

°асчет плит на основе некоторых гипотез значительно проще. Он свобо-и от недостатков классической теории-. В' этой области тааеетгея свачзз-1ьное количество работ и прежде всего 3; РеЙссиера н В.Ф. Вкаюка.

Следует также сослаться на работы СЛ. ЛкОарраяка, А. Кро1сга, В Ночного, Х.М. Муштари, И.Г. Терегулова, АА. Амосова.

В первой главе приводятся основные з^разквння Э. Рейсспгра и бэяее дробно теория Б.Ф. Власова, которая в кггггоягцее врекя готаьзустся ша-льшей популярностью, вследствие ее срздвядшях преимуществ. Тем пе нее существует ряд вопросов: треб^кж^кз егоего дальнейшего разрешения: 1. Весьма желательно чтобы ссисккгог зцаваешге четвертого порядка ил-•халось как в теории Э. Рейсснера кгеввервдстзеиио через прогиб, ко бъшэ I выведено так, чтобы были учтеагы все чшгиъз едкого порядка малости.

2. Чтобы основные гипотезы не навязывали линейный закон изменен)* перемещений по толщине плиты.

Дальнейшее развитие теории связано с решением этих задач

Вторая глава как раз и посвящена этой проблеме.

Вначале рассматривается второе приближение классической теории (ВПКТ) Здесь перемещения принимаются в виде

(дп тм} „ (дчг х \

где ха и Ту, берутся из первого приближения как квадратичная функция г или осредненные по г.

Тогда основное уравнение получается шестого порядка

С^<Ш№Г+М\У = я/0 <г>

где при тя = Тя(х,у,г), Ту, = т„(х,у,2), с1 = /5(1 - V).

а при Ти = т„(х,у), т„ = т„(х,у). С2 = Ь*/б(1 - V)

Для дальнейшего решения уравнение (2) представляется в виде двух

= С'ДЧК + Ч^/О (3)

Получены также формулы для определения напряжений и обобщенных усилий.

Построена теория типа РеЙсснера (ТТР) с учетом сдвиговых деформаций В этой теории принимается

(дк \ fdvr \

"-Ч^-ЧГ^ЧеГЧ (4>

где Ш = 7„(х,у), Уу,(Х,у) — основные неизвестные.

При подстановке (4) в формулы Коши получаются деформации, а затек по формулам закона Гука напряжения <УХ)<?Г и из первых двух уран

нений равновесия находятся Тв, Ту,. При подстановке вместо них их выражений по закону Гука получаются два уравнения для и, V, При

установке тя, Ту, в третье уравнение равновесия и интегрирования, ладится о1. Из граничных условий

г=*-Ь/2,сг 2 = Ь/2, ог = 0

получается третье неоднородное уравнение для определения и, V, 1'тем преобразования этих уравнений получаются два

ЛДЭД^^^-с'Дя); Дсо - кЛо = О (5)

гдес »-Ь'/ба-у), к2 = 12 / И8, со — - ~~

дх ду

В теории Рейсснера эти же величины имеют значения

а Ъ3 2-У г .. „ •

С=--, К2=10/Ь2

10 1-У

Эта разница связана с тем, что при своей выводе Рейссиер пропустил мы того же порядка малости, что и учтенное. Неизвестные у^ и у^ сажаются через W и со.

2 .ЗДw 1 За 1 - V

у» = -с (-+-—---)

дх оь дк 2, ду

' г,дШ 1 За1-уЗсо%

/ =-с(-+---4---)

* Зу СИ ду 2 Зх (6)

По найденным перемещениям определяются напряжения. В теории связанной с кинематическими гипотезами, допускающей ис-ивление вертикального элемента (ТСКГ), принимается лишь одна гипотеза, оящая в том, что горизонтальные перемещения одинаково зависят от »динаты Ъ

и = и0(х,у)+<|>(2)и1(х,у), V = У0(х,у)+<р(2)У1(х,у), w = 0(х,у) + ,(х,у)

где ф(г) и ^/(г) определяются в процессе решения задачи теории уир гости о воздействии на плиту вертикальной нагрузки

2 = =ТЯ = 0, о2 = -я(х,у)

ь 2'

2 = Тя = Ту, = 0, СГ, = О

Эта задача разбивается на две эквивалентных исходной

1. Изгиб:

и = <ри1( V = фУИ V; = 2 = 0, г - ±|, т„ = ту1 в О, а, «* ±|

2. Сжатие:

(7)

(8)

и = и0, V = у„, «=» ъ = 0. у = 0

Основные уравнения строятся по тому же принципу, что и в двух прел идущих. Тогда в задаче об изгибе получаются следующие уравнения равно весия в перемещениях

= -фи, -ср(Е—^ +Ди,), дх ^х

-2-= - ф(ае —^ + Ду,), (9)

ду . 1 ду Фо 2

где +

ф = |<рс12+с(х,у), причем С определяется из условий (7),

ф0 = ф(Ь / 2). Функция ф определяется из условия гармоничности объемной деформации 6 = ф9,, тогда

Фде, + ф"9, = о (Ю)

При разделении переменных получаются два варианта уравнений

де, + Я29, =0, 9"-Яаф = 0

• (I®

Дв,-Я29, = 0, ф" + А.,ф = 0

Для получения разрешающих уравнений вводится потенциал горизонтальных перемещений ф, + р9,,

д д и, = — (ф, + рв,), V, = — (Ф, + р8,),

где параметр р определяется таким образом, чтобы исключить из первых двух уравнений (9) функцию 9,, тогда

Для функции получается разрешающее уравнение четвертного порядка

Мф,+Я /С» = 0 (13)

В случае варианта у" / ф — Я*, ф = зИЯг

к = Я0сШ Я0-1, С0 =29^(1 -к)(ж + №/[1 -к(ж + 1)]Я?

Уравнение (10) и (13) в совокупности шестого порядка решают поставленную задачу об изгибе плиты.

Распределение по толщине перемещений и напряжений практически юлностью совпадает с точным решением. . '

Бели ввести деформацию кручения

1 йхг ' Л| &г = фО>„ а. - и положить

дЬх да. 5ф. Эсо,

где параметр р определяется из условия гармоничности то фДй), + <р"о, = 0 (15)

Из очевидного уравнения О, —-уД®, = О, с учетом (15) следует

р = —2<р / ф". При подстановке (14) в (9) получается разрешающее уравнение

ДДф, = 0, в,, = 2СКфв(а +1)/ \ (1в)

Из уравнений (9) с учетом (14) и (15)

Уравнения (15) к (16) в совокупности шестого порядка с учетом (14) и (17) дают решение поставленной задачи об изгибе плиты.

В задаче о сжатия уравнения равновесия я перемещениях удовлетворяющие условиям (8) будут

дУГ1= Ъ Г + + ди 1 дх 2т уД дх Л

ду 2тгив[1. ду

2\л

где т = 2у / (1 - 2у) •

Из условия гармоничности объемной деформации получается еще одно уравнение

уДм-, + (Ш + = 0' (19)

При этом касательные напряжения удовлетворяют условию Ти = Т^ = 0 при 2 = 0 и при г = ±Ь / 2.

В диссертации приведено несколько вариантов построения разрешающих уравнений.

Построен еще один вариант второго приближения классической теории.

. 5Д\у дДуу

Поскольку в первой приближении сдвиги пропорциональны " 0у >

то во втором приближении принимается

д д и = -ф(г)—-(уг + рД\у), V = -Ср(г)—■-(иг + рД\у) (20) дк ду

Тогда основные разрешающие уравнения бурут 1 Ч

AЛw = у, Ду +-р" ц/ =—, (211

где Р0 = 2СЬкр / (1 - у)Х.2

Из условия гармоничности объемной деформации (10) при ф" / ф = Я,2

к (х +1) гвИкр

Р~ Ъ2[\ + к(ъ+1)]' 0 ~ (1 -У)Х2

» / +1) ф" /<р = -К, р =

При* +

Во всех случаях по найденным перемещениям с помощью формул Коши и закона Гуна выведены формулы для определения напряжений.

Граничные условия в задачах изгиба и сжатия поставлены для произвольно ориентированного края.

Третья глава посвящена анализу и оценке точности развитых теорий. Сравнение производится с точным решением Б.Ф. Власова для толстой квадратной в плане шарнирно закрепленной плиты, нагруженной куполообразной натруз-

. тех . пу

кой Я = Я^Ш-

(X О

Во всех случаях общее решение однородных уравнений тождественно равно нулю, а частные решения неоднородных для отношения Ь"/ Ь — 3 и V = 0,3, дают результат практически не отличающийся от точного. Ко в 1,3 раза больше, чем по классической теории.

Для ТС КГ были также найдены напряжения

В задаче об изгибе теория, учитывающая в потенциале перемещений объемную деформацию и теория учитывающая деформацию вращения дают верхнюю и нижнюю оценку соответственно, причем среднее значение на 6% больше точного. Напряжения в задаче о сжатии плиты составляют 7% от напряжений при изгибе. Тогда полные сжимающие дадут Ох/9о = —2,24(—2,15), а растягивающие стх /Яо = где в

скобках приводятся точные значения.

Четвертая глава содержит расчет плит по рассмотренным теориям при жестком защемлении (\\г = 11 = V = 0).

Основным критерием правильности решения по той или иной теории является совпадение с классическим решением при Ъ / Ь —> 0.

ai

Для синусоидальной нагрузки при 7~ ~ 1 таким решением является

Ь

ЧоЬ4

V/ - -3-2—

71*0

1 -

(вЬ р0 + Р0сЬ р0)сЬ рх + 2вЬ РоРхвЬ рх

Ро + эЬ р0сЬ р0

этру

^ >« г« Dw (22)

При х «■ 0, у = Ь / 2, V? = —--- = 0,154

я ч0Ь

В качестве иллюстрации приведем результаты по ВПКТ, когда перемещения представлены формулами (20). Рассмотрен вариант когда ф" / ф = X2.

71 ^ _ 7Т

см. (11). В этом случае Л. = а +В » где а--> Р = 7"- Находится ре. а Ь

шение 'иг уравнений (21), затем определяются перемещения (20) и приравниваются нулю при X = ±3 / 2 (в этом случае ив дальнейшем ось у является осью симметрии). Определяются 3 произвольные постоянные. Тогда максимальный безразмерный прогиб будет

1 ^ (1-б3)[росЬр,, + (1 + 252)5Ьро]

я4т2(1 - 6 ) р0 + эЬ Р0сЬ ро

[ 6 (1 — 5 - РрсЬ р0 ^

1 (Р0- + вЬ Э0сК Р0) С081 в ]

где р0 = я / 2, б2 = + 1)к /[1 + к(ае + 1)]Х2, I2 = ц2(1 - 82), ц2 = р2 / б2, ш2 « Зк у

Х0 = ХЬ /2, квЯ,0сЙ1 Х0 -1.

При а / Ь = 1, Ь / Ь = 5, V = 0,3, значения параметров будет 6а = 0,0874, г0 = 5.312, Ш2 = 1,1274. ТогдаУ/' = 0,2, что на'30% больше, чем по классической теории. . При Ь / Ь —* 0, -> 0 и формула (23)

переходит в (22) при X =0, у = Ь / 2-

Результаты вычислений по всем теориям сведены в таблицу

Теория кт ВПКТ ТТР ТСКГ(6) ТСКГ(ю)

V/ 0,154 0,2 0,22 0,21 0,23

Ближе всего к среднему (0,215) находятся ТТр и ТСКГ(0).

Теория Рейсснера в настоящее время не пользуется популярностью по-видимому потому, что при выводе основных уравнений были пропущены члены того же порядка малости, что к учтенные. Наш вывод свободен от этого недостатка. Кроме того анализ показал, что наличие в граничных условиях членов, зависящих от нагрузки ие вносит никаких осложнений. Между тем неизменным преимуществом ТТР является то обстоятельство, что основное уравнение записано относительно прогибов.

В качестве иллюстрации возможностей уточненных теорий приведем два графика: зависимость максимальных прогибов от отношения Ь / Ь (рис.1) и изменение поперечной силы вдоль границы плиты для различных отношений Ь / Ь (рис.2).

Рис.?,

ВЫВОДЫ

1. Проведен анализ четырех вариантов теории изгиба плит средней толщины и теории сжатия предложенных проф. БИ.Тараториным.

2. Второе приближение классической теории (ВПКТ) выводится в двух вариантах и приводит к уравнению шестого порядка, которое можно представить в виде двух уравнений четвертого и второго порядка.

3. Теория, учитывающая сдвиговые деформации приводит к уравнениям четвертого и второго порядка типа Рейсснера (ТТР), но с другими коэффициентами.

4. Теория связанная с кинематическими гипотезами, допускающая искривление вертикального элемента (ТСКГ), использует лишь одно предположение об одинаковой зависимости горизонтальных перемещений от вертикальной координаты вдоль остальных двух координат.

5. ТСКГ построена в двух вариантах, когда потенциал перемещений включает объемную деформацию и с поправкой на деформацию вращения.

6. Предложена теория сжатия упругого слоя, которая позволяет учитывать в теории изгиба плит, поперечное сжатие.

7. На примере задачи, имеющей точное решение проведено численное сопоставление предложенных теорий; отмечено очень близкое соответствие с точным решением.

8. Проведено сопоставление предложенных теорий на примере решения задачи изгиба квадратной плиты с жестко защемленными краями при отношении толщины к размеру в плане 0,2.

9. Максимальные прогибы отличаются незначительно. Минимальное значение по ВПКТ и максимальное по ТСКГ с поправкой на деформацию кручения отличаются на 15%. ТТР и ТСКГ ближе всего к среднему значению максимального прогиба. .

10. Проведен численный анализ прогибов, моментов и поперечных сил по ТТР при различных соотношениях толщины к размеру в плане.