автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Прямые методы интегрирования уравнений движения нелинейных многослойных пологих оболочек и пластин

^ Краснов Анатолий Анатольевич

ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ . НЕЛИНЕЙНЫХ МНОГОСЛОЙНЫХ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Ростов -на -Дону 1995

Работа выполнена на кафедре строительной механики и в проблем ной научно - исследовательской лаборатории оснований и фундаменто Ростовской - на - Дону государственной академии строительства.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

советник РААСН, доктор технических наук, профессор Г. В. Васильков;

доктор технических наук, профессор А. 3. Зарифьян; кандидат технических наук, доцент, В. И. Авилкин;

Ростовский институт прикладной механики и прикладной математики

Защита состоится 27 июня 1995 г. в 10 часов на заседании специализи рованного Совета Д.063.64.01 Ростовской - на - Дону государственно: академии строительства (344 022 г. Ростов - на - Дону, уЛ. Социалиста ческая, 162) в зале заседаний Совета. ' • ~ •

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке академии. Автореферат разослан "_" мая 1995 г.

УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ специализированного Совета, кандидат технических наук

Ю. А. Веселев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проектирование и расчет тонкостенных пространственных конструкций представляет собой сложную и одновременно весьма важную область строительной науки вообще и строительной механики в частности. Наиболее распространенными и применяемыми конструкциями подобного типа являются пластины и пологие оболочки. Широкое применение этих конструкций объясняется тем, что присущие тонкостенным конструкциям легкость^ рациональность форм сочетаются с их высокой несущей способностью, экономичностью и хорошей технологичностью, а в большинстве случаев и эстетическими достоинствами.

Современное состояние строительной промышленности позволяет более широко внедрять пространственные конструкции в практику производства. Для этого необходимо квалифицированно проектировать и уметь быстро рассчитывать эти конструкции. В настоящее время одной из наиболее сложных и важных задач строительной механики является расчет строительных конструкций, в том числе пространственных при сейсмических воздействиях. В практике проектирования 'строительных объектов основой для расчета сооружений на сейсмостойкость являются данные, полученные при исследовании прошедших землетрясений, а именно акселерограммы ускорений. Поэтому построение схем прямого интегрирования уравнений движения пластин и пологих оболочек с повышенной точностью определения скоростей и ускорений является актуальной задачей. При землетрясении реакция сооружений может быть достаточно интенсивной, что приводит к серьезным разрушениям конструкций, по этой причине для правильной оценки работы сооружений нельзя ограничиваться лишь упругой стадией работы материала. Кроме того, при таких нагрузках становится неприемлем принцип малых пере-

мещений, т. к. форма и размеры конструкций существенно меняются, т. е. необходим учет геометрической нелинейности сооружений.

Таким образом, разработка и совершенствование методов расчета нелинейных пологих оболочек и пластин при сейсмических воздействиях, повышение точности схем прямого интегрирования уравнений движения названных конструкций является актуальной задачей.

ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ состоит в разработке численного метода, конечно-элементной методики и алгоритма расчета подкрепленных многослойных пологих оболочек и пластин в физически и геометрически нелинейной постановках при статических и динамических воздействиях, разработке про1раммного комплекса, численно реализующего предложенную методику.

НАУЧНУЮ НОВИЗНУ РАБОТЫ составляют следующие результаты, защищаемые автором: "

- предложен метод повышения точности схем прямого интегрирования уравнений движения, а также с помощью предлагаемого метода получена схема прямого интегрирования;

- разработана конечно-элементная методика расчета подкрепленных многослойных, несимметрично-армированных пологих оболочек и пластин, позволяющая по единому алгоритму решать нелинейные задачи статики, динамики и устойчивости;

- разработаны и апробированы алгоритм и программный комплекс, численно реализующий предлагаемую методику; ДОСТОВЕРНОСТЬ проведенных научных исследований и полученных численных результатов подтверждается применением фундаментальных принципов и методов строительной механики, решением контрольных примеров, имеющих аналитическое решение, либо решенных другими методами.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ состоит в том, что разработанные в диссертации методика, алгоритм и программный комплекс могут быть использованы при решении широкого круга прикладных задач по расчету подкрепленных пологих оболочек и пластин, как в упругой, так и в нелинейной постановках, при статических, кинематических и динамических воздействиях.

Разработанный автором программный комплекс внедрен в учебный процесс по кафедре строительной механики Ростовской государственной академий строительства.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ: Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на научно-технических конференциях преподавателей кафедр Ростовской государственной академии строительства (Ростов - на - Дону, 1992, 1993, 1994, 1995 гг.), на объединенном семинаре кафедр' механического цикла РГАС (1995 г.), на семинаре кафедры сопротивления материалов и строительной механики Новочеркасского государственного технического университета (Новочеркасск, 1995 г.).

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 2 печатных работы.

^СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация состоит из введе£^я, 4 глав, заключения и списка литературы, включающего 124 наименования. Полный объем диссертации - 161 страница, включая 49 рисунков и 16 таблиц. Основной текст (без оглавления, списка литературы, рисунков и та/

блиц) излагается на 120 страницах машинописного текста.

Нумерация формул, таблиц и рисунков ведется отдельно по каждо'-.

му разделу. Нумерация источников выполнена сквозная по всей работе.

• '

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность рассматриваемой проб лемы, изложены цель ? научная новизна и практическое значение рабо ты, обоснована достоверность получаемых результатов.

В первой главе диссертации приведен аналитический обзор имею щихся публикаций, посвященных рассматриваемой проблеме, основны соотношения динамической теории .упругости в свертках, а также основ ные зависимости и методы решения нелинейных Задач строительной ме ханики.

Появление и широкое использование пространственных констру кций типа пластин и оболочек потребовало эффективных методов рас чета конструкций этого типа. Большой вклад в развитие методов расчет пластин и оболочек внесли такие ученые, как Г. Арон,В. 3. Власов, И И. Ворович, А. С. Вольмир, Б. Г. Галеркин, А. Л. Гольденвейзер, В. П Ильин, Т. Карман, В. В. Карпов, Г. Кирхгофф, М. С. Корнишин, А. Ла гранж, А. Ляв,В. В. Новожилов, С. П. Тимошенко и др. Требования предъявляемые в настоящее время к теории пластин и оболочек, пред полагают предсказание и описание поведения этих конструкций в лю бой период существования при всевозможных условиях и видах нагруже ния. Очевидно, что в большинстве случаев эта задача не может быть ре шена методами линейной теории. При построении уточненной техни ческой теории пологих оболочек и пластин в работе используются нели нейные соотношения между деформациями и перемещениями, в кото рых квадратами производных от функций перемещений в плане прене брегают по сравнению с квадратами производных от функции прогиба Кроме того поведение многих конструкционных материалов показывает что даже при малых перемещениях имеет место значительное отклоне ние от линейной зависимости между деформациями и напряжениями

что -ведет к необходимости учета физической нелинейности материалов. Широкое применение при решении физически нелинейных задач строительной механики получили методы А. Д. Ильюшина, И. А. Биргера, А. А. Гвоздева, А. Р. Ржаницына. Большой вклад в развитие нелинейной теории упругости и теории пластичности внесли такие отечественные и зарубежные ученые, как Р. А. Арутюнян, В. В. Болотин, Н. И. Безухов, К. Васидзу, Г. В. Васильков, А. С. Вольмир, А. А. Гвоздев, Т. Генки, Д. Ч. Друкер, А. А. Ильюшин, Т. Карман, Г. Каудерер, М. Леви, Н. Н. Ма-линин, Р. Мизес и другие.Среди работ, посвященных приложению нелинейной теории упругости к решению инженерных задач следует отметить работы А. В. Александрова, А, И. Безухова, Г. В. Василькова, А. С. Вольмира, А. А. Гвоздева, Г. А. Гениева, О. В. Лужина, П. А. Лукаша, Н. Н. Малинина и многие другие.

В практике решения динамических задач используются методы прямого интегрирования уравнений движения или шаговые методы, которые позволяют получить компоненты напряженно - деформированного состояния среды в любой момент времени с учетом нелинейности как конструкции, так и материала.

В динамической теории упругости предполагается, что компоненты напряженно - деформированного состояния линейно - упругой среды являются функциями не только пространственных координат, но и времени. Полная система уравнений динамической теории упругости в матричной форме записывается следующим образом: Т

А а + р = рй, е У,и е = А и, е У,£;

О = Ш, € ■ V,*; . '(1)

т

А3(7-д3 = 0, е ' -

и-щ-О, е 52,*;

г = и = 110, й = й°, е У,£. (2)

При решении динамических задач методом конечных элементов данной работе используется вариационная постановка динамически: задач теории упругости в свертках, разработанная М. Е Гэртином. Вве дем в рассмотрение'некоторую функцию £!"(£), отличную от нуля и f € [0,1] и обладающую такой степенью гладкости, которая обеспечивав' смысл всех выполняемых операций. Выполним операцию свертки I первым и четвертым уравнениями (1), получим:

д * (Ага + р - рй) = 0,; е У;

д * (А[сг - д3) = 0, е Я (3)

В литературе рассмотрен целый спектр вариационных постаново! задач динамики в свертках с функцией д = №, к — 0,1,2---, а такж

показано, что в этом ряду имеется начальный принцип для функционала Со, представляющий собой вариационный принцип Гамильтона I свертках. Таким образом, геометрически возможный вектор и и вектор О = ТУАи, удовлетворяющие уравнениям (3), доставляют функционалу С = д*(ГГ + Г) (4)

стационарное значение.

Для системы конечных элементов уравнения движения имеют следующую структуру:

Мд + К<у-Р = 0; " (5)

д + Кд г Р) = о. . • (6)

. Таким образом, уравнение (6) представляет собой уравнение движения системы конечных элементов в свертках.

При решении нелинейных задач теории упругости и теории пластичности полагается, что тело занимает некоторый объем V, ограниченный поверхностью »У. Поверхнбсть Б разделена на две части: Б = + Б2- На одной из частей задан вектор поверхностных сил д5, на другой перемещений Щ. На тело действуют объемные силы р.

В связи с тем, что решение задач аналитическими методами не всегда возможно, в расчетах нелинейных систем большое распространение получили численные методы, например, используемый в данной работе метод конечных элементов.

Во второй главе излагается основная йдея предлагаемой методики решения физически и геометрически нелинейных задач строительной механики в применении к многослойным, несимметричноармирован-ным, гладким и подкрепленным пологам оболочкам и пластинам. Получены определяющие уравнения на основе МКЭ и разработан итерационный алгоритм решения задач этого типа. Приведен один из возможных способов его численной реализации.

Исходные гипотезы при записи основных соотношений физически и геометрически нелинейных тонких Пологих оболочек принимаются по технической теории пологих оболочек:

- справедливы гипотезы Кирхгоффа-Лява;

- обобщенные напряжения отождествляются с напряжениями, действующими вдоль координатных линий, т.е. предполагается, что прогибы соизмеримы с толщиной оболочки и значительно меньше её размеров в плане;

- оболочка принимается настолько пологой, что геометрию её поверхности отождествляют с плоскостью её проекции;

- оболочка выполнена из нелинейно - упругого материала.

При исследовании композиционного материала, как неоднородной слоистой армированной среды, воспользуемся основными положениями теории многослойных пластин и оболочек, изложенными в

\

литературе. Рассматриваемый слоистый композиционный материал считается образованным из произвольного числа (п) однородных по толщине отдельных слоев, каждый из которых, может иметь свои упругие характеристики. В качестве координатной принимаем срединную плоскость,

под которой подразумевается плоскость, равноудаленная от плоскостей которые ограничивают тело оболочки. Границы слоев параллельны сре динной плоскости. Принимаем, что все слои оболочки (пластинки) ра ботают совместно, без скольжения. Согласно этому предположению, пе ремещения и деформации между соседними слоями на поверхности сло> должны удовлетворять следующим условиям контакта:

и' = V' = V'-1; V/1 - (8)

В силу того, что гипотеза прямых нормалей принята для всего пакета в целом, условие (8) выполняется автоматически.Для рассматриваемого материала дополнительно полагаем, что слой выполнен из изотропного материала, находящегося в двуосном напряженном состояний, Материал, из которого изготовлен арматурный слой, также считается изотропным, находящимся в одноосном напряженном состоянии. Арматурный слой считаем состоящим из часто расположенных и отстоящих на равном расстоянии (Б) друг от друга параллельных стержней с одинаковой площадью поперечного сечения (Га). Размеры оболочки велики по сравнению с расстоянием между арматурными стержнями, что позволяет пренебречь локальными напряжениями у контакта арматуры и наполнителя и представить арматуру в виде слоя с приведенной толщиной:

ta=^: . (9)

После применения гипотезы Кирхгоффа-Лява, принимая во внимание пологость оболочки, запишем компоненты основных деформаций ¡-го слоя оболочки (пластинки) в матричной форме (индекс 1 опущен):

е = Ве = ВВ0В111 , (Ю)

где Е = {£х,£у ,Чху}~ компоненты вектора деформаций;

11т = {и. V w} - вектор - функция перемещений точек срединной поверхности вдоль осей "X", "У" и '^"соответственно;

в =

В0 =

1\ 1 дуг 2 дх 1

1\ ; 1 диг \2 ду

дV/ 2 ду \ 1 дю \2дх

д дх д ду

д ду д дх

-кх -ку д2 дх2 д2 ду2 : д2 ; дхду д дх д ду

1 - »

л -г

л -2 г

1

1

(П)

(12) -

(13)

£ — {%ох>£оу, Уоху^Зс?1^^} - деформации геометрически линейной теории пластин и углы поворота относительно осей "У и ,"Х" соответственно.

В соответствии со статической гипотезой Кирхгоффа, физические зависимости в случае плоского напряженного состояния, в котором находится материал тела оболочки (пластинки), запишется следующим об-

<

разом:

а = Б£, (14)

где Сг = {дх Су Тяу};

ег = {ех £у Уху};

Й Р2

Й

Рз

Как указывалось ранее, арматурный слой считаем ортотропным, находящимся в одноосном напряженном состоянии. Для такого слоя связь между напряжениями и деформациями запишется в следующем виде:

0 = 0^, ' (16)

где

оа = р4

1?' ь%2

I?4 V?3

1,312 1,123 1,2122

(17)

Естественные граничные условия и уравнения равновесия в перемещениях физически и геометрически нелинейных, армированных пологих оболочек (пластин) можно получить из условия стационарности функционала Лдгранжа:

П, =\ту -\итдс13. , (18)

(V)

(5)

Вариационное уравнение Лагранжа рассматриваемого класса задач имеет следующий вид:

5П, -\ЗитдйБ =0, (19)

(V) (8)

>ху

а* дх+ТхУ ду

„ дчг\ „ дшх " .-г п

Следуя обобщенному методу упругих решений, представим функционал (18) в виде квадратичного функционала:

Д « Пг =\(ип + А^Бо е'п +1А£тн пк£)(1У -

' 00 Г Т

J итайБ. (20)

(8)

В (20) матрица НП - матрица Гессе, элементами которой являются вторые производные удельной энергии IIпо компонентам деформаций. Матрица Гессе I -го слоя тела оболочки имеет следующий вид:

я =

..... ! Р\ + (4)2 : с<с< б} ............. ............

......РК±С.№....... ..... ■р'£4 +

Т^ + + +

! СиММ. оу + /3\(С5¥ +

гд^^Щк^ф. £ 2С'(ЗК<-2С>) ЗК+ 4в ЗК+4в

К1 - ' Е° ■ г' - А- _ ЗК'-2С' .

3(1-2Я) " Зе|

4 = + . - ¿^ . <4 = #4+ $4; ~Ж~С4'> С5'

^ху = РзУ'ху* ■'■■

~ О - А')2 - ' 2 ~ а - //')2 ' 3 3(1 - /£)'

51 - 1 + —J—А2 (М .'£[)■ $1 =—

3 = 2 + 44; 4 = + 44; = 1;

= (с}с4 + с(,с5); /5 = (с^ + 4с5);

Матрица Гессе _/-го арматурного слоя оболочки запишется в следующем виде:

S2lt .^ÉlhÉ.h.. S2(lfc4 + lzl?c5) S2(lll¡c5 + 121¡c4)

~1M¿. S2(lfl22c4-+ltl32c5) S2{l¡l¡c5+l/lc4) S2{1¡c5 + l/2c4) SAlflfa + l^Cs)

ax + S2(lfc¡ + +lfl22c¡ + 21?12c4c5) r*y + S2(l?l2c24 + +l¡l¡cj^2lfl¡c4c5)

Oy + S2{142C¡ + +!?!& +2 l,l32c4cs).

me.S2 = pÍ + Sla(l-Í¡l¡)-,

fíj - dK¡GS

P4 ~ o ir i

3KJ + G}

s _ 27(KJ)2 1 da¡

Jla — ,___,■ ос \ i

S = J +_i_

a . 3(3KJ+GJ)\¿e¡ £¡¡

Вариационное уравнение линеаризованной задачи по обобщенному методу упругих решений имеет вид:

<5П, =iS£T(D¡¡£n+ftnA£)dV-¡uTqdS=0. (23)

(V) (S)

Обобщенный метод упругих решений, обладающий простотой и-алгоритмичностью вывода разрешающих уравнений линеаризованной краевой задачи, позволяет учесть б<элее сложную модель физической нелинейности среды. При численной реализации описанной методики будем использовать метод конечных элементов. Для этого в (23) подставим значения деформаций, выраженных через перемещения:

J(Bi&)T(BjDjBoBiun + B¿HnB0BiAu)dV-

(v) f

J uTqdS=0 . ■ . (24)

Основная зависимость МКЭ - матричное соотношение между приращениями узловых перемещений и сил, строится с помощью вариационного уравнения (18):

ккАип+1 = р - кс11п, • (25)

где "касательная" матрица жесткости конечного

(V)

элемента;

БоВоФ^У-' "секущая" матрица жесткости конечного

(V) . .. ,

элемента;

Р~\ \JlJqdS- внешняя нагрузка; (в) '

Аип+1 = 11п+1 —11п- приращение вектора узловых перемещений;

Ф = В^.где (р- матрица координатных функций.

Система разрешающих уравнений МКЭ для всей конструкции сохраняет свою структуру:

КкАип+1 = Р - Ксип. (26)

При решении задач МКЭ в работе использован прямоугольный конечный элемент с 20-ю степенями свободы. "Геометрический" элемент, . состоит из нескольких слоев -"физических" элементов Напряжения по толщине слоя считаем постоянными. Для перемещений и и V приняты билинейные полиномы, зависящие от двух переменных X и у Для перемещений принят бигармонический полином 3-й степени:

При интегрировании "касательной" матрицы в выражении (26) по координате X для физического элемента (т. е. для одного слоя) интегрирование проводится точно по толщине слоя,, а для всего геометрического элемента интегрирование по 2 принимается в смысле суммирования интегралов по каждому по каждому слою принятой модели материала. При этом "касательная" матрица жесткости многослойного элемента примет следующий вид:

- КИА-У/СВ^ССВ^УА-1, (27)

(V)

п ш

гдеС=2]с1 + ХС> '

I - число слоев тела оболочки (пластинки);

]'- число арматурных слоев оболочки (пластинки).

I

Матрица С/ для одного слоя получена в результате выполнена следующих операций: ' • *

'(28]

2Г

Точное интегрирование выражений (27) невозможно в связи с зависимостью этих выражений от неявной функции О/ = С7} (£,•). Поэтому при вычислении матриц жесткости и применялось численное интегрирование с использованием квадратурных формул Гаусса-Лежандра. Необходимое число точек интегрирования, в которых определялись значения подынтегральных функций выбрано с учетом того, что полиномы, входящие в выражение, интегрируются "точно". С учетом этого было выбрано по 4 точки на каждую из переменных X и У.

Третья глава посвящена получению неявной абсолютно устойчивой схемы прямого интегрирования уравнений. движения с помощью предлагаемого способа повышения точности схем.

Известные схемы прямого интегрирования уравнений движения при малом временном шаге дают вполне удовлетворительную точность по перемещениям, которая ухудшается при вычислении -скоростей и ускорений. Такая тенденция характерна для прямых методов - сходимость производных от искомых функций тем хуже, чем выше порядок производной. Су-, ществует класс практически важных задач, для которых входное воздействие на сооружение задается в виде акселерограммы ускорений. В практике проектирования строительных объектов такой задачей является анализ сей-

смической реакции сооружений. Поэтому построение схем прямого интегрирования уравнений движения с повышенной точностью определения скоростей и ускорений, является актуальной задачей.

Используя главные координаты, представим (5) в ввде несвязной системы уравнений:

М& + Кк¥к = ¥к; (29)

Ук = .= при £ = 0 , .

где Мк = - обобщенная масса по к-й форме колебаний;

Кк = р1Крк- обобщенная жесткость; Рк - - обобщенная сила; рк- к-я главная форма.

Выполним операцию свертки от обеих частей уравнения (29) с функцией д = ¿Г,(г = 1,2,...).

5Г*(Мк?к + КкГк-Рк) = 0. (30)

Уравнение (30) трактуется как уравнение движения в свертках для к-й формы колебаний системы с конечным числом степеней свободы.

В литературе показана последовательность получения неявных устойчивых схем прямого интегрирования. При получении новой схемы алгоритм сохраняется, но поднимем порядок уравнения (29) дифференцированием по времени:

• МкГк + КЛ = Ёк; (31)

^к = ^к^к = при £ = 0 . Введем обозначение = Ук и перепишем начальную задачу для скоростей (31) в виде:

Мк& + Кк5к = Ёк; (32)

5к = = $$ при £ = 0 .

Выполним операцию свертки от обеих частей уравнения (32) с функцией д = (г = 1,2,...), в результате получим:

дг*(М& + Кк5к~Ъ) = 0. (33)

При построении простейшей неявной схемы' представим скорость перемещений к-й формы в виде квадратичного интерполянта на произвольном отрезке: = Ьо + Ь^Т 4- ЬгТ2. . (34) Определив коэффициенты Ь, в (34), получим: .

= + (35) -

С-Л , А

п+1

и£+1 = -Щ + 2АБк , .

ип =

Скорость изменения обобщенной силы Б^в (33) представим в виде линейного интерполянта:

Ш =Х - Дл • (Зб)

Зависимости (35) подставляем в уравнение (33) и свертки вычисляем на расширенном отрезке [О,0Д ^.После вычисления сверток получим (индекс к опущен):

Бп+1/ 2К&2 С2М\ , д„/к 2К0* 2М\ , ••

(г+2)(г + 3) + Д^./ (г + 2)(г + 3) М2/

„п/к@(г + 3)-202 2М\ ,рп © д-рп^ч _ л.

" \К (г + 2)(г + 3) - (7"+~2) ^ (37)

и£+1 = ~ик + ~ -Принимая во внимание, что = , имеем: г

У* (38)

Проинтегрируем первое уравнение в (35) й, окончательно:

Г, (г) = V? + Бпкт + - + - (39)

тгП+1 " .

Значение Ук в конце временного этапа получим, подставив значение X = ЛЬ в (39):

УГ' = Ук (АО = ГАП + S¿лAí + fAt + f(SZ+í - (40)

О./ V-, Л

Решая систему (37) относительно , и? ПРИ = Кк = 0, по-

(41)

лучим: .

/ул+Л ¡ИКц

= 0:К2г \ип+11 \о\К32

т№К12 = -^[602а2 + {6-а2){т + 2){т + 3)\,

К]3 = ~[3в2а2-&(г+3)а2 + 3(г + 2)(г + 3)]; ~

Й22 = ^[2Э2а2 + (2-а2)(г + 2)(г + 3)]; ' ^23 = ^[202«2-0(г + 3)а2 + 2(г + 2)(г + 5)];

Кзз = - 0(г + 3)а2 + (г + 2)(г + 3)];

К32=-^(г + 2)(г + 3)а2;

■ ё = 02а2 + (г + 2Хг + 3); а2 = = со2Л12 =

Определив 0 из условия счетной устойчивости по начальным данным, получим разрешающую систему уравнений:

'¡К + ¿М У1 = (-К + + г + Г';-

.д^'= + + + ..... .....

•а) б)

Анализ полученной схемы (см. рисунок) показывает, что при шаге интегрирования эта схема дает результата, близкие к "точным".

Причем, имея практически одинаковую со схемой Г. В. Василькова погрешность изменения периода и амплитуды перемещений и скоростей, предлагаемая схема дает значительно лучшие результаты при определении ускорений. Так погрешность изменения периода ускорений м 2.5 раза ниже, чем в схеме №1.

Решение динамических задач в физически нелинейной постановке можно получить следующим образом. Внутри произвольного отрезка времени физические зависимости линеаризуются и полученная таким образом линейная задача может быть решена методом главных координат. Применяя прямые (или шаговые) методы интегрирования уравне-' ний движения при решении физически и геометрически нелинейных задач, можно использовать тот же подход. Неупругий и нелинейный характер работы конструкций учитывается определением новых динамических характеристик, соответствующих измененному деформирован-

ному состоянию в начале каждого интервала времени. Перепишем уравнения движения (26) в приращениях для случая нелинейной реакции сооружения:

МДдп+, + КкДдл+| = ¥-К"дп, (43)

с

где К|( -"касательная" матрица жесткости; Кс -"секущая" матрица жесткости.

С учетом того, что: = qn + А$п+1 и ¥п+1 = Я" + А¥П+1, перепишем (43) в следующем виде:

М(дп + Д дп+') + КкДдл+' = Еп + А¥п+' - К V1- (44)

с

Полагая, что шаг интегрирования достаточно мал, можно записать:

Мдп + К^дп « Б". (45)

и выражение (43) с учетом (45) после сокращения будет иметь следующий вид:

МДдп+' + КкДдп+' = ДРп+;. (46)

Используя главные координаты, представим (46) в виде несвязной системы уравнений в приращениях:

М1Д У, + КыД у{ - АЧ = 0; (47)

= ^,¥1 = 70 при f = 0, где М) = pJWlp¡ - обобщенная масса по 7-й форме колебаний; К к; = обобщенная "касательная" матрица жесткости;

' Б) = р1¥ - обобщенная сила; р^- 1-я главная форма.

Сохраняя алгоритм, исскуственно поднимем порядок уравнения (47) дифференцированием по времени:

М1Д % + к^ду; - дБ1 = о. (48)

Учитывая введенные обозначения, перепишем новую начальную задачу для приращений скоростей в виде:

М]Д5/ + КиДЯ - ДБ! = 0. (49)

Выполним операцию свертки от обеих частей уравнения (49) с функцией д = Р,(г = 1,2,...):

. д* (М1Д $ + КиД5;. - ДЁ1) = 0. (50)

• Воспользовавшись зависимостями (35) и подставив их в уравнение (50), вычислим свертки на расширенном отрезке [О,0Д £]. После вычисления сверток получим:

д5п+|/ 2Кк02 , 2МЛ (51)

..„„/у 0(г + 3)-202 2МД 0

ир*1 =-и^ + 2АБ"+1.

Как и при решении линейных динамических задач, в случае нелинейной реакции сооружений, схема прямого интегрирования уравнений движения должна обеспечивать счетную устойчивость по начальным данным. Исходя из критерия устойчивости Неймана были определены параметры при которых схема является устойчивой без затухания. Полагая в (51) 0 = г * ^ и Г —> со, в пределе* получим:

Д5Г'(кк1 + д^м/, , ^М.и," + ДЪГ'иГ1 = -иг + АБГ1;

У,я+1 = У" +,5"Д£ + ^ Д * + АБ^1, (52)

где $ = %.щ = Б?+1 = Б? + АБ^1. Перепишем (52) в виде связной системы:

и"+1 = -ип + Ддл+;; (53)

п+1 _л . . пЛ , ип » . . А t X .п+1. <у = дг + ц Дг + Дг + -д-ЬЯ >

, -П+1 . п . д • п+1

=<7 + Д<7 .

В четвертой главе приводятся решения ряда тестовых примеров и задач, полученные с использованием предложенной методики. Решения получены для широкого спектра оболочек и пластин: гладких и подкре-

пленных, многослойных и армированных, в различных постановках -как в линейной, так- и нелинейных, при статических' и динамических воздействиях. Исследовано влияние скорости загружения пологой оболочки на значение критической силы. Результаты расчетов приводятся в удобной для анализа форме - в виде изолиний компонент НДС и деформированных схем.

В заключении приведены выводы, сформулированные по результатам .проведенных исследований.

ВЫВОДЫ

1. Разработана методика решения нелинейных задач строительной механики в применении к расчету многослойных, несимметрично армированных, гладких и подкрепленных пологих оболочек и пластин, позволяющая по единому алгоритму определять компоненты напряженно -деформированного состояния конструкций и критическую нагрузку при статических-и динамических воздействиях. При дискретизации задачи по пространственным переменным и временной координате использован метод конечных элементов в форме метода Ритца.

2. Предложен способ повышения точности схем прямого интегрирования уравнений движения. На основе предложенного способа получена схема прямого интегрирования уравнений движения, обладающая хорошими характеристиками и описывающая поведение системы по воем параметрам - перемещениям, скоростям, ускорениям, лучше, чем известные схемы.

3. Предложена методика решения нелинейных динамических задач теории ребристых пологих оболочек и пластин с использованием полученной схемы прямого интегрирования уравнений движения.

4. В результате выполнения диссертационного исследования разработан программный комплекс для персональных ЭВМ, основанный на предложенной методике и позволяющий рассчитывать многослойные, несимметричноармированные гладкие и подкрепленные ребрами жесткости пологие оболочки и пластины ¡в физически и геометрически нелинейной постановке, при статических и динамических воздействиях. Ввод и анализ графической информации формируется в удобном для пользо-

вателя виде и сокращает трудоемкость обработки полученн результатов.

5. Решен ряд контрольных примеров расчета пологих оболочек пластин в различной постановке при статических и динамических вс действиях, показывающий хорошую сходимость и точность решет Полученная методика и разработанный на её основе программна комплекс, могут быть использованы в научных исследованиях, практи проектирования и учебном процессе.

Основное содержание работы изложено в следующих публикациях: 1Г Расчет предварительнонапряженных изгибаемых элементов по д

формациям// Вычислительная механика и моделирование работ

(

конструкций и сооружений. - Ростов - на - Дону, 1992. - С. 80 - 8 (Шеина С. Г.)

2. Об одном методе повышения точности схем прямого интегрирован] уравнений движения. - Деп. 3.03.95 в ВИНИТИ №610 - В! (Васильков Г. В.)

3. Исследование НДС предварительно напряженной балки из вязкоупр

того материала //Известия высших учебных заведений Северо - Ка казского региона. Естественные науки. - 1995. - №3. (Васильков В., Чепиль М. В.) /у

У'

Л Р 020818. Подписано в печать 17.05.95. формат 60x84 1/16

Бумага писчая. Ксерокс. Уч. - изд. л. 1,0 * Тираж 70 эк:

С ____

Редакционно - издательский центр Ростовской '- на - Дону государстве!:

ной академии строительства ,

344 022, Ростов н/Д, ул. Социалистическая,! 62.