автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Применение смешанной формы МКЭ к расчетам пластинчатых систем

На правах рукописи

Рекунов Сергей Сергеевич

00344Э293

ПРИМЕНЕНИЕ СМЕШАННОЙ ФОРМЫ МКЭ К РАСЧЕТАМ ПЛАСТИНЧАТЫХ СИСТЕМ

Специальность 05 23.17 - Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 6 ОКТ 2008

Волгоград - 2008

003449293

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет»

кандидат технических наук, доцент Игнатьев Александр Владимирович доктор технических наук, профессор Клочков Юрий Васильевич ФГОУ ВПО «Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия»,

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор технических наук,

доцент Ким Алексей Юрьевич

ФГОУ ВПО «Саратовский государственный

аграрный университет имени Н И Вавилова»

ГОУ ВПО «Саратовский государственный

технический университет»

Защита состоится 29 октября 2008г в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212 026 01 при ГОУ ВПО «Вол1 оградский государственный архитектурно-строительный университет» по адресу 400074, г. Волгоград, ул Академическая, д 1, ауд Б-203

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета

Автореферат разослан 24 сентября 2008г

Ученый секретарь диссертационного совета

Кукса Л В

Общая характеристика работы Актуальность темы В настоящее время проектирование и строительство сложных высокоэффективных конструкций и сооружений в значительной степени зависят от возможностей их точного расчета, прогнозирования их поведения при возможных изменениях полей воздействий (силовых, температурных и тд), возможностей проведения численных экспериментов и проверки достоверности результатов расчета Поэтому одним из главных направлений развития строительной механики является разработка новых и совершенствование известных методов расчета конструкций и сооружений на основе математических моделей, максимально приближенных к их реальной работе Самым распространешшм и универсальным численным методом строительной механики является сегодня метод конечных элементов (МКЭ) в форме метода перемещений Теории и реализации этой формы МКЭ посвящена обширная литература Ее анализ позволяет заключить, что наряду с достоинствами эта форма МКЭ имеет и ряд нерешенных проблем более низкая, по сравнению с перемещениями, точность вычисления напряжений, учет смещений конструкции как жесткого целого и другие Это обстоятельсгво вызвало появление ряда работ по развитию других форм МКЭ - в форме метода сил, в смешанной форме, гибридные варианты Однако они не привели к созданию более эффективного метода расчета по сравнению с традиционной формой МКЭ

В представленной работе рассмотрено применение смешанной формы МКЭ для расчета пластинчатых систем Исследования, проведенные на сегодняшний день различными учеными, позволяют говорить о ее преимуществах перед МКЭ в форме метода перемещений для расчета таких систем (Л Геррманн, А М Масленников, В А Игнатьев и др ) Одним из главных достоинств смешанной формы МКЭ является возможность получения искомых усилий и перемещений из решения системы разрешающих уравнений, не прибегая к дополнительным вычислениям

Предложенная В А Игнатьевым методика получения матриц откликов конечных элементов (КЭ) позволяет полностью формализовать и автоматизировать формирование разрешающей системы уравнений, что позволяет создать единый алгоритм расчета конструкций, альтернативный существующим алгоритмам расчета, используемым в вычислительных программных комплексах Поэтому исследование вопросов применения МКЭ в смешанной форме к различным классам задач и совершенствование этого метода является актуальным

Целью диссертационной работы является

- дальнейшее развитие смешанной формы МКЭ для решения задач строительной механики,

- разработка алгоритма построения матриц откликов для различных типов пластинчатых КЭ (для задач изгиба пластин, плоской задачи теории упругости и с учетом упру! ого основания) и дополнение библиотеки КЭ новыми пластинчатыми КЭ,

- разработка алгоритма расчета пластинчатых систем по МКЭ в смешанной форме,

- исследование проблемы стыковки КЭ различных типов

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем

- реализован единый подход к получению матриц откликов пластинчатых КЭ для расчета по МКЭ в смешанной форме,

- рассмотрены различные типы пластинчатых КЭ и сформированы соответствующие матрицы откликов,

- разработана методика стыковки КЭ Практическая значимость диссертационной работы

- изложенные в работе алгоритмы позволяют полностью формализовать и автоматизировать формирование матриц откликов КЭ и формирование разрешающей системы уравнений для расчета пластинчатых конструкций по МКЭ в смешанной форме,

- результаты работы могут применяться для расширения библиотеки КЭ и разработки комплекса программ, реализующих алгоритм расчета по МКЭ в смешанной форме,

- результаты работы могут быть использованы в учебном процессе по курсу строительной механики

Основные научные положения, выносимые на защиту

- алгоритмы формирования матриц откликов различных типов пластинчатых конечных элементов,

- алгоритмы расчета пластинчатых систем по МКЭ в смешанной форме Достоверность научных положений и результатов диссертационной

работы обеспечивается корректностью постановки задач в рамках классических методов строительной механики и метода конечных элементов в форме метода перемещений с использованием тех же гипотез и допущений На тестовых задачах был осуществлен анализ полученных результатов и их сравнение с точными результатами, известными из литературы и с результатами, полученными на основе МКЭ в форме метода перемещений

Апробация работы Материалы диссертационной работы обсуждались на следующих конференциях

- XI региональная конференция молодых исследователей Волгоградской области, Волгоград, 2006,

- Международная научно-практическая конференция «Проблемы и тенденции устойчивого развития аграрной сферы», Волгоград, 2008,

- ежегодные конференции профессорско-преподавательского состава ВолгГАСУ,

- совместное заседание кафедр прочностного цикла ВотгГАСУ Основные результаты работы отражены в пяти публикациях Структура и объем диссертационной работы Текст диссертации

изложен на 172 страницах, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 130 наименований и содержит 66 рисунков, 18 таблиц

Содержание работы Во введении обосновывается актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, основные научные положения, выносимые на защиту, практическая ценность работы

В первой главе проведен анализ работ, посвященных различным формам МКЭ, и приведены основные этапы расчета по этим формам

Развитие МКЭ было обусловлено стремлением исследователей упростить расчет континуальных систем путем перехода к дискретным расчетным схемам и использованию классических методов строительной механики В этом направлении работали такие ученые, как В 3 Власов, А Р Ржаницын, МИ Длугач, В Г Чудновский, А Хренников, Дж Бест, Р Галлагер

Впервые МКЭ был успешно применен в 40-х годах прошлого века в решении двумерных задач теории упругосш Значительный вклад в этом направлении внесли МДж Тернер, ДжХ Api ирис, О К Зенкевич, ЮК Ченг Позже этот эффективный метод дискретизации был назван методом конечных элементов

В 70-х годах в работах О.К Зенкевича и Ю К Чецга были окончательно изложены теоретические основы МКЭ в современной трактовке

В задачах изгиба прямоугольных пластин МКЭ в форме метода перемещений был рассмотрен такими авторами, как Ф К Богнер, Р Л Фокс, Л А Шмит, О К Зенкевич, Ю К Ченг, А В Александров, Н Н Шапошников Для исследования напряженного состояния пластин применялись как треугольные, так и четырехугольные конечные элементы

Для получения разрешающих соотношений МКЭ чаще всего используются энергетические принципы Основополагающими являются принципы Лагранжа и Кастилиано, а также гибридные и смешанные вариационные принципы, наиболее известные из которых, - принципы Рейсснера, Ху-Васидзу, Геррманна и др

Использование смешанного метода для расчета оболочек еще в 30-х годах обосновал в своих работах В 3 Власов, который неоднократно применял ею для расчета складчатых призмагаческих оболочек средней длины

К М Хуберяном был предложен смешанный вариационно-стержневой метод расчета оболочек

Смешанную модель МКЭ первым применил Л Геррманн Для расчета пластин и оболочек он ввел треугольный элемент с линейными перемещениями в узлах и постоянными моментами в серединах сторон

В задачах строительной механики применению МКЭ в смешанной форме посвящено лишь небольшое число работ Среди них только работы А М Масленникова, В А Игнатьева, А В Игнатьева можно отнести к МКЭ в классической смешанной форме В работах А А Покровского и Р А Хечумова речь идет о применении смешанного метода в развернутой форме Л А Трайнин и И Е Милейковский рассматривали получение разрешающих уравнений смешанного метода на основе вариационно-разностного подхода в форме функционала Рейсснера

Проведенный анализ литературных источников показал, что смешанной форме МКЭ уделено недостаточно внимания Также мало работ посвящено сравнительной оценке различных типов пластинчатых КЭ с точки зрения улучшения точности решения поставленной задачи и проблемам их согласования

Во второй главе изложены методика и алгоритм формирования матрицы откликов для различных типов пластинчатых КЭ

При составлении матрицы откликов КЭ для расчета пластинок на изгиб в качестве основных неизвестных в каждом узле принимаются прогиб и два изгибающих момента, действующие в двух взаимно-перпендикулярных направлениях. При этом в прямоугольном КЭ (рис 1) будет 12 неизвестных, в треугольном КЭ - 9 неизвестных (рис 2)

Матрица откликов в блочной форме имеет следующий вид

г т г Г

М- * *

а)

При определении элементов блоков г и (У за возможные принимаются действительные состояния, соответствующие основной системе Для получения элементов блоков г и 5 рассматриваются другие возможные состояния, причем для каждого блока они различны Для определения элементов блока г в качестве возможного состояния принимается основная система метода перемещений Элементы блока д определяются на основании теоремы о взаимности реакций и перемещений

При узловой нагрузке функция прогибов КЭ г = \\>(х,у), используемая при расчете по МКЭ в форме метода перемещений в виде неполного бикубического полинома с 12 и 9 произвольными параметрами для прямоугольного и треугольного КЭ соответственно, может быть принята и при расчете в смешанной форме

Элементы блоков г и 8 матрицы откликов определяются следующими выражениями

г

- 1 ДА Г \dxdy - Для прямоугольного КЭ,

5

(3)

о о

Г

(4)

для треугольного КЭ с прямым углом,

а

Г

= )1кг[с][г>ф+ { \вЛс1в,]±ф

(5)

«{с-хЬГз

для КЭ в форме равностороннего треугольника,

г

(»-■О

для КЭ в форме произвольного треугольника

Рис 1

Рис 2

"к у

к N.. /V,

ж_>

Рис 3

N„

M-i

Матрицу V, получаем, подставляя координаты узлов в выражения для прогибов и изгибающих моментов

г

дхг д2х

ду2

I х у х2 у2

ху х2у ху2

0 0 0 2 0 0

0 0 0 0

0

х1 у3 х3у ху3 2 у 0 6х 0 бху 0 0 2х 0 6у 0 бху

{а} (7)

Матрица упругих свойств конечного элемента имеет следующий вид "10 0

[Ф О Д ^ , (8)

где IX = -

0 Я

ЕЙ1

направлении осей 0Х и 0Г соответственно, = цру, /гг,

коэффициенты Пуассона, й - толщина пластинки

Матрица [б] получается путем подстановки координат узловых точек выражения для моментов

Е„п

- изгибные жесткости КЭ

дх1

I

г Тг

-,2 о г

ду4 Э2г

йхЭу

0 0 О 2 0 0 0 6х 0 бху 0 '

0 0 0 0 2 0 0 2х 0 6у 0 бху О 0 0 0 0 2 2х 2у 0 0 Зх2 3у2

(9)

В результате подстановки полученных матриц в выражения (3) - (6) и учетом [5,] = [в|К,]"' формируются блоки г и <5

Для формирования блоков побочных коэффициентов г и используется выражения для прогибов и углов поворота (10)

х у х1 у1 ху хгу хуг

0 1 0 2х 0 у 2ху у2 Зхг

У 0

3 х2у

ху

0 0 1 0 2у

2 ху 0 3 у2 х3 Злу2

{«} (Ю)

Матрица V формир)ется путем подстановки в (10) координат узлов Матрица [к] получается из столбцов обратной матрицы [к]', относящихся к линейным смещениям С учетом ] = [б]^]" формируются элементы блока г матрицы откликов, которые определяются выражениями

а Ь

[/■]= - для прямоугольного КЭ, (11)

о о

Н= 1 Г М ~ Для треугольного КЭ с прямым углом, (12)

о о

а

\г]=\\в,][с]\в^у+) Дл.Пс]^]^- (13)

» о г(«-»)Л

2

для КЭ в форме равностороннего треугольника,

сл

+ ] \в,\[с][в^у - (14)

0 3 Ь с(а-х)

М)

для КЭ в форме произвольного треугольника

На основании теоремы о взаимности реакций и перемещений

И=-Н' (15)

Особенностью расчета по МКЭ в смешанной форме является ю, что блок г в матрицах откликов треугольных КЭ является нулевым

Для этих же КЭ рассмотрено составление матрицы откликов с учетом упругого основания, которая в блочной форме имеет следующий вид

м=

г г

8 6

(16)

где [>"'] = [/•]+ [г0], [г] - матрица реакций изгибаемого КЭ, рассмотренного выше, [г0] - магрица реакции упругого основания

Для получения элементов матрицы реакций упругого основания, используется выражение

ы=Ит */фгФ<А], (п)

где - матрица, составленная из столбцов соответствующих линейных перемещений матрицы [р, ]"' выражений (3 - (6) соответствующих КЭ

Соотношения между перемещениями и реактивными давлениями принимались для модели Винклера и модели с двумя упругими характеристиками

Ниже приведены блоки реакций матриц откликов прямоугольного КЭ (18) и треугольного КЭ с произвольными углами (19) для модели Винклера, а также блок реакций матрицы откликов равностороннего треугольного КЭ для модели основания с двумя упругими характеристиками (20)

9 аЪ аЬк_ 2Д

18 аЪ 36 аЪ

^к-Ж

аЪ, 2Д

18 аЪ

аЪ 36

аЪ. 2Д —к + —-

аЪ

к+ 9 аЬ

аЪ, 2Д

—к----

18 аЪ аЪ, 2Д к +

2Д аЬ, 2 Д

-к-18

аЪ, 2 Д —к + —-9 аЪ аЪ, 2 Д

-к

аЬ 36 аЬ

118 аЪ 36 аЪ 18 аЪ г,,

аЪк_ 2Д

18 аЪ

аЪ, 2Д

—к + —-аЬ

18 аЬ

аЪ, 2Д —к+—-9 аЪ

аск

192 (Ь-а)Ь

'21 '22 Гц Г„

12 '13

У 11 Г

где

ги = 49Ь3 — 9ЬаЬг + 64а7 Ь — 16а3,

2{Ь-а)

(38Ь3 -85аЬ2 +64а2Ь-16а3), -(47Ь3 -128аЬ2 +112а26 -32а3),

31 2{Ь-аУ

7-^(33 Ъ3-15аЬ2 +59а2Ь-16а3), {Ь-а)

• (9Ь3 - 4ЪаЬ2 + 48а2Ь -16а3),

2(6

(1763 -48а62 +48а26-16я3)

(18)

(19)

' = л/3

2 5*, Пкга 3 к,

За2 280 а2

Ъкх 11 к2а2 3*,

а1 560 а2

16£, 11кга2

За2 560

16^ 11^а2

560 г „г

За2

560

к2а

~8(Г

70

2

_кга_

"80 Ш, 3 кга2

70 "

(20)

За2

Для получения матрицы откликов плосконапряженного прямоугольного КЭ формируется матрица жесткости этого же элемента Для этого задаются функции перемещений с восемью неизвестными параметрами

" =/1 + /г х + /3ху + /4 у-0,5/, у2,

(21)

(22)

На рис 3 показана основная система смешанного метода для КЭ в виде прямоугольной пластины, полученная путем замены некоторых связей в основной системе метода перемещений для КЭ реакциями

Матрица жесткости прямоугольного КЭ в блочном виде имеет вид

\к]=\КК" к/

Здесь индексы I я II означают принадтежность связей в основной системе метода перемещений к левой половине КЭ (7) и правой (II)

Блоки матрицы откликов для левой части рассматриваемого элемента

(23)

(24)

ЫЧ^К ,,]"'=-[4. (25)

(26)

Для формирования матрицы жесткости используется выражение

[К}=РГ)Т[ВПФЫ1*У (27)

V

Матрица А получается путем подстановки в выражение (21) координат узловых точек рассматриваемого элемента

Матрица В составляется путем дифференцирования выражения (21)

Матрица упругих свойств имеет следующий вид

Е, ИЛ О

о

О

О

где Ег,Е - модули деформаций в направлениях X и У соответственно, й - модуль сдвиговых деформаций, цх, цу - коэффициенты поперечной деформации, у = цхЕх=^уЕу

Подставляя полученные матрицы в (27), получаем матрицы жесткости левой и правой частей рассматриваемого конечного элемента Из условия симметричного деления пластины относительно вертикальной оси, следует

Матрицы откликов элемента левой и правой частей в блочном виде выглядят следующим образом

к] к]=

Г т II 1 и <1

5 5 " ' " " - ик! _

Гт л Гш ,

(29)

(30)

Глобальная матрица откликов получается путем объединения правой и левой частей рассматриваемого элемента в один КЭ с общей системой неизвестных

О г//

' (31)

№

о С

5;; 25'*

(32)

При составлении матрицы откликов треугольно! о плосконапряженного КЭ (рис 4) используем выражение

«=/| +Л* + /э У> У = /4 +/5Х + ЛУ

В рассматриваемом элементе возникают два типа неизвестных в связях 1,2,3 - неизвестные перемещения Ъ, по направлениям 4,5,6 - неизвестные усилия X

Блок г-0, так как реакции в связях основной системы КЭ от их перемещений равны нулю

Блок г матрицы откликов треугольного конечного элемента получается путем решения уравнений сгатики

а,-а,

Ъ О

-ьк

ь, К

а.,

(33)

Блок 8 получается путем обращения известной матрицы жесткости плосконапряженною треугольного КЭ

ЕЛ

рГ)т[в][ф1л}^у

+ Оа]

-Ерк-<3а[+<3ака1 }1акЬк

-Е.Ы-в^+ва.а.

уСЖ, ¿У

усь;

Ь>

^ к-«* К

Еу

Еуу

Л

Еу

(34)

Полученные на основе предложенного ашоритма матрицы откликов для различных типов изгибаемых и плосконапряженных КЭ прямоугольной и треугольной формы могут быть использованы для решения широкого круга задач по МКЭ в смешанной форме

В третьей главе изложен алгоритм формирования глобальной матрицы откликов КЭ, особенности стыковки КЭ различных типов, а также возможные вариангы улучшения точности решения

Для решения задач по МКЭ в смешанной форме предложен единый подход к формированию коэффициентов при неизвестных при разбиении пластинки на прямоугольные и треугольные КЭ

При разбиении на прямоугольные КЭ произвольных размеров, уравнение для узла ; (рис 5,а) имеет следующий вид

+ а° + <1° + < + + <1{ К + (с/2* + + (< + )гт +

где й/, = ¿,¡>4 =с1п, (1,=(1п, с!, =с!ы

Если прямоугольные КЭ имеют одинаковые размеры, выражение (35) упрощается

4с/, г, + + 2с/, г, + 2с/, г + 2с/. +

(36)

+ ¿/, г + с/, г + с/, г + с/. г +1" - О

3 о > р 3 д Зг I

При разбиении на одинаковые тре> гольные КЭ, уравнение для узла г (рис 5,6) имеет следующий вид

2(4, + ¿п + 43)г, + 2й?„ г, + 2с/23 2, + 2с/12 г. +

+ 2^,3 гв + 2с/2з 2„+2с/12

При расчете пространственных пластинчатых конструкций возникает задача сопряжения элементов плоского напряженного состояния с плоскими изшбаемыми элементами, стыкуемыми вдоль общей границы под некоторым углом (рис 6) Рассмотрим два взаимно ортогональных элемента (угол а равен л /2) Участок линии пересечения (АВ) двух плоскостей, расположечныи между двумя соседними узлами на этой линии относится одновременно к двум конечным элементам, в которых перемещения и усилия распределены по разным законам Для того чтобы избежать возникновения разрывов в перемещениях и усилиях на границе стыковки КЭ, сформулируем следующие условия сопряжений двух плоскостей

1 Оба элемента взаимно смещаются вдоль стыковочной кромки оси ОУ по направлению этой оси А'](0,л:)= Х2(х,0),

2 Оба элемента взаимно смещаются вдоль стыковочной кромки оси ОУ по направлению оси Ъ 2Х (0, х) = Т.г (х,0),

3 Продольное усилие плосконапряженного элемента уравновешивается поперечной силой изгибаемого элемента

]У2(0,х) = -йД0,х)=-КМ} - (38)

где - перемещения точек плоскости 1 в направлении

осей X, 7; соответственно, а Хг (х,у), '/2(х,у) - перемещения точек плоскости 2 в тех же направлениях, Ыг - продольное усилие элемента 2, М]у и £)Ху -

момент и поперечная сила элемента 1

Учитывая условия сопряжения двух плоскостей, для конструкции, показанной на рис 7, была составлена матрица откликов

При решении задач по МКЭ структура глобальной матрицы откликов существенным образом зависит от порядка нумерации и обхода узлов конструкции, а также от порядка нумерации неизвестных внутри одного элемента Рассмотрены три примера нумерации пластинки с вырезом В первом примере (рис 8,а) узлы пластинки пронумерованы по ходу часовой стрелки Ширина ленты глобальной матрицы откликов при такой нумерации составила 67 элементов (рис 8,6) Во втором примере при нумерации этой же пластинки (рис 9,а) придерживались следующих рекомендаций обход узлов производился вдоль меньшего размера конструкции, разность между соседними номерами узлов сетки должна быть наименьшей Максимальная ширина ленты при этой нумерации составила 17 элементов (рис 9,6) В третьем примере был применен алгоритма Катхилла-Макки, использующий в своей основе теорию графов На рис 10,а приведена нумерация узлов после преобразования по алгоритму Катхилла-Макки При этом максимальная ширина ленты глобальной матрицы составила 14 элементов (рис 10,6)

В четвертой главе на тестовых примерах выполнена оценка достоверности результатов, полученных по МКЭ в смешанной форме

Проведен расчет прямоугольных пластинок на изгиб без учета и с учетом упругого основания при разбиении прямоугольными и треугольными КЭ с различной густотой сетки с использованием разработанных шаблонов формирования матриц откликов (глава 3)

В результате расчетов получены значения изгибающих моментов и прогибов узловых точек На рис 11, 12 показано процентное расхождение этих значений с точным математическим решением при прямоугольной и треугольной конечноэлементных сетках соответственно Полученные результаты расчета показали монотонную сходимость к точному решению с увеличением густоты сетки

Пластинка с вырезом, шарнирно опертая по краям, была рассчитана по двум вариантам МКЭ в форме метода перемещений и в смешанной форме На рис 13 приведены эпюры внутренних усилий для сечений 1-1, 2-2 М" -эпюры изгибающих моментов по МКЭ в форме метода перемещений, -эторы изгибающих моментов по МКЭ в смешанной форме, а также представлены значения перемещений Анализ результатов расчета показал 1) полученные в результате расчетов по двум формам МКЭ значения перемещений узловых точек практически совпадают и соответствуют действительным условиям на границе, 2) значения внутренних усилий (моментов на краю выреза и по краю шарнирного опирания) полученных по МКЭ в форме метода перемещений не равны нулю, что не соответствует действительным граничным условиям пластинки (рис 10)

Также по МКЭ в смешанной форме выполнены расчет консольной пластинки с различными вариантами загружения и расчет плотины с использованием двух вариантов конечноэлементных сеток

Варианты разбиения

к:

1 узел 5 уэлой

13 уж) 25 ч,та варианты разбиения

Рис 11

Рис 12

1,037/

I 37°£Е

1034/;

1 ги/^

1 037N

г"

ми м"

Сечение 1-1

ЭДШЬУ

Рис 13

Основные результаты и выводы

1 С позиций строительной механики МКЭ в смешанной форме получил дальнейшее теоретическое развитие и применение

2 На основе МКЭ в смешанной форме разработан алгоритм расчета пластинок и пластинчатых систем, позволяющий полностью формализовать получение матриц откликов КЭ различных типов и формирование разрешающей системы уравнений

3 Достигнута такая же степень формализации и автоматизации расчета по МКЭ в смешанной форме, как и в традиционном варианте МКЭ в форме метода перемещений

4 Разработаны основные принципы стыковки КЭ различных типов

5 Полученные результаты могут быть обобщены в дальнейших исследованиях на задачи о свободных колебаниях и устойчивости пластинчатых систем

6 Сравнение результатов по МКЭ в форме метода перемещений и по МКЭ в смешанной форме показывает их практически полное совпадение, так как в основе расчетов лежат одни и те же гипотезы и допущения

По теме диссертационной работы имеются следующие публикации

1 Рекунов, С С Особенности расчета пластинок по методу конечных элементов в смешанной форме / С С Рекунов, Г В Воронкова / Веет Волгогр гос архит-строит ун-та Сер Стр -во и архитектура - Волгоград ВолгГАСУ, 2007 - Вып 7 (26) - С 74-77 - Библиогр с 77 (2 назв )

2 Рекунов, С С Учет упругого основания при составлении матрицы откликов треугольного конечного элемента в смешанной форме метода конечных элементов / С С Рекунов, Г В Воронкова / Вест Волгогр гос архит -строит ун-та Сер Стр -во и архитектура - Волгоград ВолгГАСУ, 2007 -Вып 8(27) - С 45-47 -Библиогр с 47 (2 назв )

3 Рекунов, С С Расчет конструкций методом конечных элементов в смешанной форме информ л № 51-001-07 /С С Рекунов, Г В Воронкова, О В Рыбакова - Волгоград ЦНТИ, 2007 - 3 с

4 Рекунов, С С Применение метода конечных элементов в смешанной форме для расчета пластинок / С С Рекунов, В А Игнатьев , Волгогр гос архит -строит ун-т [и др ] // XI регионал конф молодых исслед Волгогр обл тез докл, Волгоград, 8-10 нояб 2006 г Напр № 16 «Архитектура, градостроительство, строительство и экологические проблемы» - Волгоград ВолгГАСУ, 2007 - С 52-54

5 Рекунов, С С Использование смешанной формы МКЭ при решении некоторых задач строительной механики // Тез докл Междунар Науч -практич «Проблемы и тенденции устойчивого развития аграрной сферы» Напр «Конструирование и строительная механика инженерных сооружений» - Волгоград ВГСХА, 2008 - С

Рекунов Сергей Сергеевич

ПРИМЕНЕНИЕ СМЕШАННОЙ ФОРМЫ МКЭ К РАСЧЕТАМ ПЛАСТИНЧАТЫХ СИСТЕМ

Автореферат

на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано в печать 16 09 2008 г Формат 60х 84/16 Гарнитура «Times New Roman» Бумага офсетная Печать трафаретная Уел Печ JI 1,0 Тираж 100 экз Заказ №296

Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет Центр оперативной полиграфии ЦИТ, 400074, г Волгоград, ул Академическая, д 1

ВВЕДЕНИЕ

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.1 Краткая история становления МКЭ

1.2 Смешанная форма метода конечных элементов

1.3 Последовательность расчета по МКЭ в различных формах (метода перемещений, метода сил, смешанного метода)

РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В

СМЕШАННОЙ ФОРМЕ

2Л Составление матриц откликов конечных элементов для расчета пластинок на изгиб

2.1Л Составление матрицы откликов для прямоугольного конечного элемента

2Л .2 Составление матрицы откликов для треугольного конечного элемента

2.1.2.1 Изгибаемый конечный элемент в форме прямоугольного треугольника

2.1.2.2 Изгибаемый конечный элемент в форме равностороннего треугольника

2.1.2.3 Изгибаемый конечный элемент в форме произвольного треугольника5JL

2.2 Составление матриц откликов конечных элементов с учетом упругого основания

2.2.1 Составление матрицы откликов прямоугольного конечного элемента с учетом упругого основания;

2.2.2 Составление матрицы откликов треугольного конечного элемента с учетом упругого основания

2.3 Составление матриц откликов плосконапряженных КЭ

Составление матрицы отклик женного конечного элемента прямоугольного плосконапря

2.3.2 Составление матрицы откликов треугольного плосконапряженного конечного элемента

СОСТАВЛЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩИХ УРАВНЕНИЙ ПО МЕТОДУ

КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В СМЕШАННОЙ ФОРМЕ

3.1 Формирование глобальной матрицы откликов

3.2 Особенности стыковки конечных элементов различных типов

3.2.1 Стыковка плосконапряженных конечных элементов

3.2.2 Стыковка вертикального и горизонтального конечных элементов коробчатой системы

3.3 Минимизация ширины ленты глобальной матрицы откликов

4 ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ С АНАЛИЗОМ И СРАВНЕНИЕМ

4.1.1 Расчет прямоугольной пластинки на изгиб с использованием прямоугольных конечных элементов

4.1.2 Расчет прямоугольной пластинки на изгиб с использованием треугольных конечных элементов

4.2 Расчет прямоугольной пластинки на упругом основании при различных конечноэлементных сетках

4.2.1 Расчет прямоугольной пластинки с использованием прямоугольных конечных элементов

4.2.2 Расчет прямоугольной пластинки с использованием треугольных конечных элементов

4.3 Расчет изгибаемой пластинки с вырезом

4.4 Расчет консольной пластинки

В настоящее время проектирование и строительство сложных высокоэффективных конструкций и сооружений в значительной степени зависят от возможностей их точного расчета, прогнозирования их поведения при возможных изменениях полей воздействий (силовых, температурных и т.д.), возможностей проведения численных экспериментов и проверки достоверности результатов расчета. Поэтому одним из главных направлений развития строительной механики является разработка новых и совершенствование известных методов расчета конструкций и сооружений на основе математических моделей, максимально приближенных к их реальной работе. Самым распространенным и универсальным численным методом строительной механики является сегодня метод конечных элементов в форме метода перемещений. Теории и реализации этой формы метода конечных элементов посвящена обширная литература. Ее анализ позволяет заключить, что наряду с достоинствами эта форма метода конечных элементов имеет и ряд нерешенных проблем: более низкая, по сравнению с перемещениями, точность вычисления напряжений, учет смещений конструкции как жесткого целого и другие. Это обстоятельство вызвало появление ряда работ по развитию других форм метода конечных элементов — гибридные варианты, в форме метода сил, в смешанной форме. Однако они не привели к созданию более эффективного метода расчета по сравнению с традиционной формой метода конечных элементов.

В представленной работе рассмотрено применение смешанной формы метода конечных элементов в расчетах пластинчатых систем. Исследования, проведенные на сегодняшний день различными учеными (JI. Геррманн, A.M. Масленников, В.А. Игнатьев и др.), позволяют говорить о ее преимуществах перед методом конечных элементов в форме метода перемещений для расчета таких систем. Одним из главных достоинств смешанной формы метода конечных элементов является возможность получения искомых усилий и перемещений из решения системы разрешающих уравнений, не прибегая к дополнительным вычислениям. Предложенная В.А.Игнатьевым методика получения матриц откликов конечных элементов позволяет полностью формализовать и автоматизировать формирование разрешающей системы уравнений, что позволяет создать единый алгоритм расчета конструкций, альтернативный существующим, используемым в вычислительных программных комплексах. Поэтому исследование вопросов применения метода конечных элементов в смешанной форме к различным классам задач и совершенствование этого метода является актуальным.

Данная работа выполнена в соответствии с тематическим планом научно-исследовательских работ ГОУВПО «Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет», в частности по теме «Совершенствование метода расчета строительных конструкций сплошной и стержневой структуры» (номер государственной регистрации 01.200.111161) программы «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники».

Целью диссертационной работы является:

- дальнейшее развитие смешанной формы метода конечных элементов для решения задач строительной механики;

- разработка алгоритма построения матриц откликов для различных типов пластинчатых конечных элементов (для задач изгиба пластин, плоской задачи теории упругости и с учетом упругого основания) и дополнение библиотеки конечных элементов для смешанной формы метода конечных элементов;

- разработка алгоритма расчета пластинчатых систем по методу конечных элементов в смешанной форме;

- исследование проблемы стыковки конечных элементов различных типов.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

- реализован единый подход к получению матриц откликов пластинчатых конечных элементов для расчета по методу конечных элементов в смешанной форме;

- рассмотрены различные типы пластинчатых конечных элементов и получены соответствующие матрицы откликов;

- разработана методика стыковки конечных элементов различных типов. Практическая значимость диссертационной работы:

- изложенные в работе алгоритмы позволяют полностью формализовать и автоматизировать формирование матриц откликов конечных элементов и формирование разрешающей системы уравнений для расчета пластинчатых конструкций по методу конечных элементов в смешанной форме;

- результаты работы могут быть использованы для расширения библиотеки конечных элементов и разработки комплекса программ, реализующих алгоритм расчета по методу конечных элементов в смешанной форме;

- результаты работы использованы в учебном процессе в курсе строительной механики.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

- алгоритмы формирования матриц откликов различных типов пластинчатых конечных элементов;

- алгоритмы формирования разрешающих уравнений и расчета пластинчатых систем по методу конечных элементов в смешанной форме.

Достоверность научных положений и результатов диссертационной работы обеспечивается корректностью постановки задач в рамках классических методов строительной механики и метода конечных элементов в форме метода перемещений с использованием тех же гипотез и допущений. На тестовых задачах был осуществлен анализ полученных результатов и их сравнение с точными результатами, известными из литературы и с результатами, полученными на основе метода конечных элементов в форме метода перемещений.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы обсуждались на следующих конференциях:

- XI региональная конференция молодых исследователей Волгоградской области, Волгоград, 2006;

- Международная научно-практическая конференция «Проблемы и тенденции устойчивого развития аграрной сферы», Волгоград, 2008;

- ежегодные конференции профессорско-преподавательского состава ВолгГАСУ;

- совместное заседание кафедр прочностного цикла ВолгГАСУ. Основные результаты работы отражены в пяти публикациях. Структура и объем диссертационной работы. Текст диссертации изложен на 172 страницах, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 130 наименований и содержит 66 рисунков, 18 таблиц. Содержание работы:

Во введении обосновывается актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследования, основные научные положения, выносимые на защиту, практическая ценность работы.

В первой главе выполнен краткий обзор работ по теме диссертации, описаны и проанализированы основные подходы в использовании смешанного метода в строительной механике.

Во второй главе изложены способы получения матриц откликов для различных типов пластинчатых конечных элементов (изгибаемые без учета и с учетом упругого основания, плосконапряженные).

В третьей главе изложен алгоритм формирования глобальной матрицы откликов конечных элементов, особенности стыковки конечных элементов различных типов, а также возможные варианты улучшения точности решения.

В четвертой главе на тестовых примерах выполнена оценка достоверности результатов, полученных по методу конечных элементов в смешанной форме. Приведены примеры решения задач.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы по диссертационной работе.

Выводы по работе

1. С позиций строительной механики метод конечных элементов в смешанной форме получил дальнейшее теоретическое развитие и применение.

2. На основе метода конечных элементов в смешанной форме разработан алгоритм расчета пластинок и пластинчатых систем, позволяющий полностью формализовать получение матриц откликов конечных элементов различных типов и формирование разрешающей системы уравнений.

3. Достигнута такая же степень формализации и автоматизации расчета по методу конечных элементов в смешанной форме, как и в традиционном варианте метода конечных элементов в форме метода перемещений.

4. Разработаны основные принципы стыковки конечных элементов различных типов.

5. Полученные результаты могут быть обобщены в дальнейших исследованиях на задачи о свободных колебаниях и устойчивости пластинчатых систем.

6. Сравнение результатов по методу конечных элементов в форме метода перемещений и по методу конечных элементов в смешанной форме показывает их практически полное совпадение, так как в основе расчетов лежат одни и те же гипотезы и допущения.

1. Александров А.В. Дискретная модель для расчета ортотропных пластин и оболочек. Труды Моск. ин-та инж. тр-та, вып.364, 1971.

2. Александров А.В. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы / А.В. Александров, Б.Я. Лащеников, Н.Н. Шапошников; под ред. А.Ф. Смирнова. М.: Стройиздат, 1983. 488 с.

3. Александров А.В., Потапов В.Д. Сопротивление материалов. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 2002. 400 с.

4. Александров А.В., Шапошников Н.Н. Об использовании дискретной модели при расчете пластинок с применением цифровых автоматических машин. Труды Моск. ин-та инж. тр-та, вып. 194, 1966.

5. Аргирис Дж. Матричный анализ малых и больших перемещений в трехмерных упругих средах. Ракетная техника и космонавтика, №1, 1965.

6. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. М., ИЛ, 1968.

7. Байков В. Н., Хампке Э., Рауэ Э. Проектирование железобетонных тонкостенных пространственных конструкций. М.: Стройиздат, 1990.

8. Батэ К., Вилсон Э. Численные методы и метод конечных элементов /пер. с англ./ М.: Стройиздат, 1982. 448 с.

9. Вениаминов Д.М. О смешанном методе строительной механики. Строительная механика и расчет сооружений, №5, 1973.

10. Вениаминов Д.М. Уравнения смешанного метода в теории упругости. Строительная механика и расчет сооружений, №5, 1975

11. П.Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. 448 с.

12. Бурман З.И., Артюхин Г.А., Зархин Б.Я. Программное обеспечение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженерных расчетах. М.: Машиностроение, 1988.

13. И.Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Пластины, диски, балки-стенки. Киев.: Госстройиздат УССР, 1959.

14. И.Вайнберг Д.В., Городецкий А.С., Киричевский В.В., Сахаров А.С. Метод конечного элемента в механике деформируемых тел. К.: Прикладная механика. Т.VIII, в.8, 1972.

15. Вайнберг Д.В., Сахаров А.С., Киричевский В.В. Вывод матрицы жесткостных характеристик дискретного элемента произвольной формы. Сб. «Сопротивление материалов и теория сооружений» вып.Х1У, К., «Буд1вельник», 1971.

16. Варвак П.М. и др. Таблицы для расчета прямоугольных плит. Изд. АН УССР, 1959.

17. Варвак П.М., Губерман И.О. Изгиб квадратной пластинки с различными условиями на краях. Информ. материал. Киев, 1957.

18. Варвак П.М., Моянский В.М. Изгиб защемленной квадратно-щелевой пластинки. Сб. трудов Куйбышевск. инж.-стр. ин-та, 1971.

19. Варвак П.М., Моянский В.М. Изгиб квадратной щелевой пластинки. Труды Тюменск. индустр. ин-та, 1971.

20. Власов В.З. Строительная механика тонкостенных пространственных систем. М.: Госстройиздат, 1949.

21. Власов В. 3., Леонтьев Н. Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М.: Физматгиз, 1960. 491 с. /

22. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1975.

23. Габбасов Р. Ф. Применение разностных уравнений МПА к плоской задаче теории упругости. Строительная механика и расчёт сооружений. №. М., 1982.

24. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. 428 с.

25. Голованов А. И. Новый конечный элемент для расчёта произвольных тонких оболочек. Строительная механика и расчёт сооружений. №4. М., 1986.

26. Голованов А.И., Бережной Д.В. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел. Казань: «ДАС», 2001. 300 с.

27. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М., Изд-во «Наука», 1969.

28. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. М., Изд-во «Наука», 1976.

29. Горбунов-Посадов М.И. Балки и плиты на упругом основании. М.: Машстройиздат, 1949.

30. Горбунов-Посадов М.И. Расчет конструкций на упругом основании. М.: Стройиздат, 1984. 680 с.

31. Горлов A.M., Серебряный Р.В. Автоматизированный расчет прямоугольных плит на упругом основании. М.: Госстройиздат, 1968.

32. Городецкий А.С. К расчету тонкостенных железобетонных конструкций в неупругой стадии. Сб. трудов НИИСК, в.6, К., «Буд1вельник», 1965.

33. Городецкий А.С., Гильман Г.Б. О стержневых расчетных схемах тонкостенных железобетонных конструкций. Строительство и архитектура. №10, 1964.

34. Дарков А.В. Строительная механика / А.В. Дарков, Н.Н. Шапошников. М.: Высш.шк., 1986. 607 с.

35. Длугач М.И. Метод сеток в смешанной плоской задаче теории упругости. К., изд-во «Наукова думка», 1964.

36. Дмитриев Л.Г., Сосис П.М. Программирование расчета пространственных конструкций. К., Госстройиздат, 1963.

37. Доннелл Л. Г. Балки, пластины и оболочки. М.: Наука, 1982. 568 с.

38. Елсукова К.П., Сливкер В.И. К расчету изгибаемых пластин по методу конечных элементов. В кн.: Метод конечных элементов истроительная механика / под ред. JI.A. Розина. JL: Стройиздат, 1973.

39. Еременко С.Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел. Харьков: Основа, 1991.

40. Жемочкин Б.Н., Синицын А.П. Практические методы расчета фундаментных балок и плит на упругом основании. М.: Госстройиздат, 1962.

41. Зенкевич O.K. Метод конечных элементов в технике /пер. с англ./ М.: Изд-во «Мир», 1975.

42. Зенкевич O.K. Метод конечного элемента: от интуиции к общности. Сб. переводов «Механика», №6, 1970.

43. Зенкевич O.K., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.

44. Зенкевич O.K., Ченг Ю.К. Метод конечных элементов в задачах строительной и непрерывной механики. М., ГОНТИ, 1971.

45. Игнатьев В.А. Метод конечных элементов в задачах строительной механики. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1980. 87 с.

46. Игнатьев В.А., Игнатьев А.В. Вариационные методы расчета в строительной механике. Волгогр. гос. архит.-строит. ун-т. Волгоград: ВолгГАСУ, 2003.

47. Игнатьев В.А., Галишникова В.В. Основы строительной механики. Волгогр. гос. архит.-строит. ун-т. Волгоград: ВолгГАСУ, 2007. 640 с.

48. Игнатьев В.А., Игнатьев А.В., Жиделев А.В. Смешанная форма метода конечных элементов в задачах строительной механики. Волгогр. гос. архит.-строит. ун-т. Волгоград: ВолгГАСУ, 2006. 172 с.

49. Игнатьев В.А., Соколов О.Л., Альтенбах И., Киссинг В. Расчет тонкостенных пространственных конструкций пластинчатой и пластинчато-стержневой структуры. М: Стройиздат, 1996. 560 с.

50. Калманок А.С. Расчет балок-стенок, М.: Госстройиздат, 1957.

51. Киселев В.А. Строительная механика. М., 1976. 510 с.

52. Клепиков С.Н. Расчет конструкций на упругом основании. Киев: Буд1вельник, 1967.

53. Коренев Б.Г., Черниговская, Е.И. Расчет плит на упругом основании. М.: Госстройиздат, 1962. 356 с.

54. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1978.

55. Коробков В.М., Сливкер В.Н. К решению плоской задачи теории упругости для прямоугольных областей на ЭВМ. Сб. «Вычислительная и организационная техника (Строительство и архитектура)», №4, М., Изд-во литературы по строительству, 1968.

56. Ли С. В., Пиан Т. X. Усовершенствование метода расчёта конечных элементов для пластин и оболочек с помощью смешанного подхода. Ракетная техника и космонавтика. № 1. М., 1978.

57. Мак-Кормик С.У. Решение плоской задачи теории упругости. Сб. «Расчет строительных конструкций с применением электронных машин», М., Госстройиздат, 1967.

58. Масленников A.M. Приближенное решение плоской задачи теории упругости методом перемещений. Сб. докладов на Всесоюзной конференции по применению ЭЦВМ в строительной механике, Л., Судпромгиз, 1966.

59. Масленников A.M. Расчет строительных конструкций численными методами. Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. 224 с.

60. Мае ленников A.M. Расчет статически неопределимых систем в матричной форме. Л., 1970. 128 с.

61. Мелош Р.Д. Основы получения матриц жесткости для прямого метода жесткостей. Ракетная техника и космонавтика, №7, 1963.

62. Мелош Р.Д. Расчет массивных тел методами строительной механики стержневых систем. Сб. «Расчет строительных конструкций с применением электронных машин», М., ИЛ, 1967.

63. Милейковский И.Е., Трайнин JI.A. К расчету оболочек по методу конечных элементов с использованием смешанного потенциала Рейсснера. Строительная механика и расчет конструкций, №4, 1977.

64. Нарец JI.K. Расчет пластинок по Э-методу. Труды Таллинск. политехи, ин-та инж. тр-та, серия А, №257, 1967.

65. Погорелов В.И. Строительная механика тонкостенных конструкций. СПб.: БВХ-Петербург, 2007. 528 с.

66. Покровский А.А. Смешанная форма МКЭ в расчетах стержневых систем и сплошной среды. Дис. . д-ра техн. наук, ПГАСА, Пенза, 2000.

67. Постнов В. А. Численные методы расчёта судовых конструкций. JL: Судостроение, 1977. 280 с.

68. Постнов В. А., Розин J1. А. Метод конечных элементов в теории пластин и оболочек. Тр. IX Всесоюзн. конф. по теории пластин и оболочек. Д., 1975.

69. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. JL: Судостроение, 1974.

70. Проценко А. М., Яхно М. А. Моделирование упругопластических свойств материала при анализе изгибаемой пластины с помощью МКЭ. Строительная механика и расчёт сооружений. № 2. М., 1991.

71. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1987.

72. Ржаницын А.Р. Представление сплошного изотропного упругого тела в виде шарнирно-стержневой системы. Сб. «Исследование по вопросам строительной механики и теории пластичности». М., Госстройиздат, 1956.

73. Ржаницын А. Р. Предельное равновесие пластинок и оболочек. М.: Наука, 1983.

74. Ржаницын А. Р. Строительная механика. М.: Высшая школа, 1991.

75. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. Рига: ЗИНАТНЕ, 1988.

76. Розин JI. А. Вариационные постановки задач для упругих систем. JL: Изд-во ЛГУ, 1978.

77. Розин Л. А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭВМ. Метод конечных элементов. Л.: Энергия, 1971.

78. Розин Л. А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977.

79. Розин Л. А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. СПб.: Издательство СПбГТУ, 1998.

80. Санков Е.И., Горячев А.П. Решение двумерных нелинейных задач методом конечного элемента. Ученые записки Горьковск. ун-та, Механика, вып. 108, 1970.

81. Сахаров А.В., Кислоокий В.Н., Киричевский В.В., Альтенбах И., Габберт У., Данкерт Ю., Кепплер X., Кочык 3. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Киев: «Вища школа». Головное издательство, 1982. 480 с.

82. Сахаров А.С., Соловей Н.А. Исследование сходимости метода конечных элементов в задачах пластин и оболочек. Пространственные конструкции зданий и сооружений. Вып.З. М.: Стройиздат, 1977.

83. Сегерлинд J1. Применение метода конечных элементов /пер. с англ./ М.: Изд-во «Мир», 1979. 394 с.

84. Секулович М. Метод конечных элементов /пер. с серб./. М.: Стройиздат, 1993.

85. Симпсон Г., Антеби Д. Исследование сложных оболочек методом конечных элементов. Сб. «Большепролетные оболочки», т.1, М., Стройиздат, 1969.

86. Сливкер В. И. Строительная механика. Вариационные основы. Учебное пособие. М.: АСВ, 2005. 736 с.

87. Справочник по теории упругости (для инженеров-строителей) / под ред. П.М. Варвака. Киев: Буд1вельник, 1971.

88. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.

89. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. 635 с.

90. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. 2-е изд. М.: Наука, 1979. 569 с.

91. Трайнин JI.A. Сопоставление численной реализации на ЭВМ метода конечных элементов на основе применения. вариационныхпринципов Лагранжа и Рейсснера. Численные методы решения задач строительной механики. Киев: КИСИ, 1978.

92. Тюкалов Ю. Я. Треугольный конечный элемент для расчета изгибаемых плит в напряжениях. М: Деп. в ВИНИТИ: № 1026-В2002. 2002. 11с.

93. Тюкалов Ю. Я. Треугольный конечный элемент для решения плоской задачи теории упругости на основе расширенного функционала дополнительной энергии. М.: Деп. в ВИНИТИ: № 1027-В2002. 2002.- 11 с.

94. Тюкалов Ю. Я. К расчету изгибаемых плит в напряжениях при треугольной сетке конечных элементов. Сб. матер, всерос. науч.-техн. конф. «Наука-производство-технология-экология». Т.5. Киров, 2003.

95. Тюкалов Ю. Я. Решение плоской задачи теории упругости методом конечных элементов в напряжениях. Строительная механика и расчет сооружений. № 2. 2006.

96. Филиппович А.П. Применение смешанного метода конечных элементов в задачах об изгибе пологих оболочек. Численные методы механики сплошной среды. Т. 13, №4, 1982.

97. Хечумов Р.А., Кеплер X., Прокопьев В. И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. М.: АСВ, 1994.

98. Хуберян К.М. Общий смешанный вариационно-стержневой (вариационно-дискретный) метод расчета оболочек и пластин. Некоторые результаты и перспективы развития. Труды Тбилисск. НИИ сооружений и гидроэнергетики, вып.1, Тбилиси, 1968.

99. Чирас А. А. Строительная механика. Теория и алгоритмы. М.: Стройиздат, 1989.

100. Чудновский В.Г. Исследование колебаний и устойчивости пластин и пластинчатых систем методом расчленения уравнений в частных производных. Сб. «Расчет пространственных конструкций» вып.2, М., Госстройиздат, 1967.

101. Шапошников Н.Н. Решение плоской задачи теории упругости при помощи дискретной модели. Труды Моск. ин-та инж. тр-та, вып.274, 1968.

102. Шапошников Н.Н. Расчет пластинок на изгиб по методу конечного элемента. Труды Моск. ин-та инж. тр-та, вып.260, 1968.

103. Шапошников Н.Н. К расчету пластин на устойчивость и колебания по методу конечного элемента. Труды Моск. ин-та инж. тр-та, «Исследование в области транспортной и строительной механики», вып.311, 1970.

104. Akyuz F.A., Merwin J.E. Решение нелинейных задач упругопластичности методом дискретных элементов. Ракетная техника и космонавтика, №10, 1968.

105. Altenbach J.; Saharov A.S. Die Methode der finiten Elemente in der Festkorpermachanik. VEB Fachbuchverlag Leipzig 1982.

106. Argyris F.R.S.; Mlejneck H.-P. Die Methode der finiten Elemente. Verlag Vieweg & Sohn, Braunschweig Bd. 1 1986, Bd. 2 1987, Bd. 3 1988.

107. Best G. Формулы для некоторых видов матриц жесткости элементов конструкций. Ракетная техника и космонавтика, №1,1963.

108. Best G. Общая формула для матрицы жесткости элементов конструкций. Ракетная техника и космонавтика, №8, 1963.

109. Bogner F.K., Fox R.L., Schmit L.A. Расчет цилиндрической оболочки методом дискретных элементов. Ракетная техника и космонавтика, №4, 1967.

110. Brezzi F., Fortin M. Mbced"and Hybrid Finite Element Methods. New York, Springer-Verlag, 1991. 352 pp.

111. Courant R. Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibrations. Bull. Amer. Math. Soc. Vol. 49. 1943.

112. Clough R.W. The Finite Element Methods in Plane Stress Analysis. Proceedings of 2nd ASCE Conf. on Electronic Computation Pittsburg, 1960.

113. Fischer U. (Herausgeber). Finite Elemente Programme in der Festkorpermachanik. VEB Fachbuchverlag Leipzig 1986.

114. Gabbert U. Die Finite-Elemente-Methode in den Ingenieurwissenschaften unter dem Aspect der rechentechnischen Realisierung im Rahmen universeller Programmsysteme. Dissertation B, TU Magdeburg 1988.

115. Gallagher R.H. Методы получения матриц жесткости элементов. Ракетная техника и космонавтика, №6, 1963.

116. Herrmann L.R. Finite Element Bending Analysis of Plate. J., Eng., Mech. Div., ASCE, 95, NoEM 5. 1968.

117. Herrmann L.R., Campbell D.M. Метод дискретных элементов для тонких оболочек. Ракетная техника и космонавтика, №10, 1968.

118. Hrennikoff A. Solution of problems in elasticity by the framework method, J. Appl. Mech., N8, ser.A, 1941.

119. Pian T.H.H. Получение матриц жесткости элементов, Ракетная техника и космонавтика, №3, 1964.

120. Striklin J.A., Navaratna D.R., Pian T.H.H. Усовершенствование расчета оболочек вращения матричным методом перемещений, Ракетная техника и космонавтика, №11, 1966.

121. Turner M.J., Clough R.W., Martin Н.С., Торр L.J. Stiffoess and deflection analysis of complex structures. J. Aeronaut, Sci, vol.23, N9, 1956.

122. Zienkiewicz O.C., Cheung Y.K. The finite element method in structural and continuum mechanics. London, 1967.