автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Развитие и применение смешанной формы МКЭ в расчетах стержневых систем и пластинок

Введение

1. Метод конечных элементов в смешанной форме (история развития 10 и современное состояние проблемы)

1.1. История развития и основные направления МКЭ в строительной 10 механике

1.2. МКЭ в смешанной форме (история развития и современное 12 состояние проблемы)

1.3. Выводы по главе

2. Смешанная форма МКЭ в задачах статики

2.1. Вывод уравнений смешанного метода на основе вариационных 19 принципов

2.2. Стержневой конечный элемент

2.2.1. Классический вариант получения матрицы откликов (упругих 22 свойств) для КЭ плоской стержневой системы

2.2.2. Получение матрицы откликов на основе известной матрицы 29 жесткости КЭ

2.2.3. Формирование глобальной матрицы откликов и разрешающей 33 системы уравнений для стержневой системы

2.3.3. Примеры статического расчета стержневых систем

2.3. Различные варианты получения матрицы откликов КЭ для расчета 37 пластинок

2.3.1. Прямоугольный КЭ изгибаемой пластинки

2.3.2. КЭ в форме прямоугольного треугольника

2.3.3. КЭ плоско-напряженной пластинки в форме прямоугольника

2.3.4. КЭ плоско-напряженной пластинки в форме прямоугольного 50 треугольника

2.3.5. Формирование глобальной матрицы откликов и разрешающей системы уравнений для расчета пластинок 2.3.6 Примеры статического расчета пластинок 2.4. Выводы по главе

3. Смешанная форма МКЭ в задачах динамики

3.1. Определение частот свободных колебаний стержневых систем и 56 пластинок по смешанной форме МКЭ

3.2. Вынужденные колебания систем с конечным числом степеней 59 свободы

3.3. Примеры определения частот свободных колебаний стержневых 62 систем и пластинок по смешанной форме МКЭ

3.4. Выводы по главе 67 4. Смешанная форма МКЭ в задачах устойчивости

4.1. Устойчивость стержневых систем

4.1.1. Задача устойчивости шарнирно-стержневых систем

4.1.2. Задача устойчивости стержневых систем с жесткими узлами

4.1.3. Приближенное вычисление коэффициентов матрицы откликов 82 КЭ в виде продольно сжатого стержня

4.1.4. Формирование разрешающей системы уравнений для задачи 86 устойчивости и ее решение

4.1.5. Примеры решения задачи устойчивости стержневых систем

4.2. Задача устойчивости пластин

4.2.1. Прямоугольный конечный элемент

4.2.2. Примеры решения задачи устойчивости пластин

4.3. Выводы по главе 93 Основные выводы

Одним из важнейших направлений развития строительной механики является разработка новых и совершенствование известных методов расчета конструкций и сооружений на основе математических моделей, максимально приближенных к их реальной работе.

Данная работа посвящена развитию и применению одного из наиболее универсальных численных методов решения краевых задач - метода конечных элементов (МКЭ) - в задачах механики деформируемого твердого тела и строительной механики.

Популярность этого метода обусловлена простотой и наглядностью, возможностью расчета тел с практически любой геометрической формой, высокой степенью алгоритмизации, наличием многочисленных прикладных комплексов программ и другими факторами.

Соединяя в себе универсальность и возможность полной автоматизации вычислительного процесса с помощью компьютера, МКЭ значительно расширяет возможности детального исследования НДС конструкции. На сегодняшний день МКЭ является одним из наиболее эффективных численных методов решения краевых задач и применяется во многих областях науки и техники для расчета тепловых, деформационных, силовых, скоростных, электромагнитных, акустических, радиационных и других полей.

История развития метода конечных элементов насчитывает несколько десятилетий. Вначале он рассматривался как развитие классических методов строительной механики и применялся, в основном, в этой области. В дальнейшем совместными усилиями математиков, инженеров и программистов он разрабатывался и развивался как разновидность вариационно-разностных методов (методов Ритца, Бубнова-Галеркина и др.). Позднее оба эти подхода были объединены и в настоящее время рассматриваются как два аспекта одного и того же метода. Общая идея МКЭ, вытекающая из классических методов строительной механики, состоит в расчленении сложной системы на простые элементы с последующим соединением их в единое целое. С реализацией этой простой и очевидной идеи классических методов строительной механики исследование поведения тела на основе поведения отдельных его частей - конечных элементов, связаны наглядность и физичность метода, простота учета неоднородности материала, граничных условий и изменяемости геометрической формы, что обеспечило широкое распространение метода. Эту плодотворную идею дискретной аппроксимации удалось в дальнейшем развить и перенести из области задач строительной механики на более сложные классы механических и немеханических задач, сделав тем самым МКЭ универсальным средством решения краевых задач математической физики.

В настоящее время библиография по МКЭ включает десятки тысяч наименований. В основном выделяются два взаимосвязанных направления -теоретическое и прикладное. Теоретики занимаются разработкой новых схем метода, доказательством сходимости, оценками точности и т.д. Прикладники с помощью ЭВМ исследуют, рассчитывают и проектируют реальные конструкции.

Говоря об МКЭ в механике, как правило, подразумевают классический вариант МКЭ в форме метода перемещений. Большинство публикаций посвящено именно ему. Однако метод перемещений обладает несколькими недостатками: невысокой точностью определения напряжений, сложностью расчета трехмерных тел, трудности связанные с учетом смещения КЭ как жесткого целого и др.

Достигнутый в настоящее время прогресс в разработке неклассических вариационных постановок краевых задач механики [1, 22] стимулировал появление вариантов МКЭ, называемых в литературе методами гибридных конечных элементов [88,108].

Кроме МКЭ в форме метода перемещений иногда встречаются (при рассмотрении задач механики деформируемого твердого тела) его варианты в форме метода сил, смешанных и гибридных методов. Некоторые теоретические вопросы обоснования смешанных методов в задачах теории упругости ставились в [125]. Попытки автоматизации МКЭ в форме метода сил предприняты в работах [19, 111]. Все они оказались малоэффективными и не привели к достижению поставленной цели.

В задачах строительной механики применению МКЭ в смешанной форме посвящено всего лишь несколько работ [84, 89, 97, 124, 131]. Однако среди этих работ, только работу A.M. Масленникова в полной мере можно отнести к МКЭ в смешанной форме, так как в работах А.А. Покровского и Р.А. Хечумова речь идет о применении смешанного метода в развернутой форме, а в работах JI.A. Трайнина и И.Е. Милейковского рассматривается получение разрешающих уравнений смешанного метода на основе вариационно-разностного подхода в форме функционала Рейснера.

В целом следует отметить, что имеющиеся на сегодняшний день теоретические исследования по смешанному методу и смешанной форме МКЭ не позволяют алгоритмизировать его с той же простотой, что и МКЭ в форме метода перемещений. Нет универсального алгоритма, позволяющего получать матрицы откликов (упругих свойств) конечных элементов в общем виде.

В связи с изложенным выше, дальнейшее теоретическое развитие и практическая реализация МКЭ в смешанной форме, придание ему той же степени алгоритмизации, как и МКЭ в форме метода перемещений, являются актуальными задачами.

Настоящая работа выполнена в соответствии с тематическим планом научно-исследовательских работ Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии, в частности по теме «Совершенствование метода расчета строительных конструкций сплошной и стержневой структуры» (номер государственной регистрации 01. 200. 111161) программы "Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники".

Целью диссертационной работы является:

- развитие смешанной формы МКЭ для решения задач строительной механики;

- разработка алгоритма расчета стержневых систем и пластинок по МКЭ в смешанной форме;

- реализация разработанного алгоритма при решении задач статики, динамики и устойчивости стержневых систем и пластинок.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

- предложен и реализован единый подход к получению матрицы откликов (упругих свойств) конечного элемента для расчетов по МКЭ в смешанной форме;

- предложены несколько типов конечных элементов для стержневых систем и пластинок и получены соответствующие матрицы откликов;

- на основе единого подхода разработаны общие алгоритмы решения задач статики, динамики и устойчивости стержневых систем и пластинок.

Практическая значимость диссертационной работы:

- предложенные в данной работе алгоритмы позволяют полностью формализовать и автоматизировать, как и в МКЭ в форме метода перемещений, получение матриц откликов (упругих свойств) конечных элементов и формирование разрешающей системы уравнений для расчета конструкций по МКЭ в смешанной форме;

- результаты работы могут быть использованы для разработки библиотеки конечных элементов и разработки комплекса программ, реализующих предложенный алгоритм расчета по МКЭ в смешанной форме;

- результаты работы использованы в учебном процессе по курсу строительной механики.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

- алгоритм формирования матрицы откликов (упругих свойств) конечных элементов;

- алгоритм формирования разрешающих уравнений для задач статики, динамики и устойчивости стержневых систем и пластинок по МКЭ в смешанной форме;

- общий алгоритм решения задач по МКЭ в смешанной форме.

Достоверность научных положений и результатов, полученных в работе, обеспечивается корректностью постановки задач в рамках классических методов строительной механики и МКЭ в форме метода перемещений с использованием тех же гипотез и допущений. В ходе выполнения исследований на вспомогательных тестовых задачах был осуществлен анализ полученных результатов и их сравнение с результатами, известными из литературы и полученными, как на основе классических методов строительной механики, так и на основе МКЭ в форме метода перемещений.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на международной научно-технической конференции-семинаре «Проблемы и перспективы экологического строительства» (Волгоград, май 2001) и ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии в 1999-2002 г.г. Полностью работа докладывалась на научном семинаре кафедры строительной механики и САПР ВолгГАСА (Волгоград, ноябрь 2002).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в девяти публикациях.

Структура и объем диссертации. Текст диссертации изложен на 109 страницах, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 157 наименований и содержит 35 рисунков, 6 таблиц.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Сопоставляя МКЭ в форме метода сил, метода перемещений и смешанного метода, видим, что последний обладает рядом преимуществ. Это прежде всего то, что предлагаемая нами смешанная форма МКЭ является более общей по отношению к методу сил и перемещений. Как и метод перемещений она дает однозначное решение вопроса о выборе основной системы, стандартность матриц откликов отдельных элементов, а также относительную простоту разрешающих уравнений.

2. Метод конечных элементов в смешанной форме может быть формализован в той же степени, что и МКЭ в форме метода перемещений, что позволяет ему в дальнейшем конкурировать с традиционным МКЭ в форме метода перемещений в степени автоматизации расчетов и достоверности результатов.

3. МКЭ в смешанной форме имеет такое преимущество, как нахождение усилий в результате непосредственного решения уравнений.

4. Дано дальнейшее теоретическое развитие МКЭ в смешанной форме с позиций строительной механики.

5. Разработан единый алгоритм расчета стержневых систем и пластинок на основе МКЭ в смешанной форме.

6. Предложенный алгоритм позволяет полностью формализовать и автоматизировать, как и в традиционном варианте МКЭ в форме метода перемещений, получение матриц упругих свойств КЭ и формирование разрешающей системы уравнений.

7. Полученные результаты позволяют приступить к разработке на их основе программных комплексов, превосходящих по эффективности комплексы, основанные на МКЭ в форме метода перемещений.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. 287 с.

2. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П., Савченков В.И. Численные методы в теории упругости и теории оболочек. Красноярск: Изд-во Красноярск. ун-та, 1986. - 383 с.

3. Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н., Смирнов В.А. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ, ч. I / Под ред. А.Ф. Смирнова, М.: Стройиздат, 1976, - 248 с.

4. Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. / Под ред. А.Ф. Смирнова, М.: Стройиздат, 1983. - 488 с.

5. Аргирос Дж. Энергетические теоремы и расчет конструкций, часть I // Современные методы расчета статически неопределимых систем: Сб. ст./ Пер. с англ.-Л., 1961.-С. 37-255.

6. Аргирос Дж., Келси С. Энергетические теоремы и расчет конструкций, часть II // Современные методы расчета статически неопределимых систем: Сб. ст./ Пер. с англ. Л., 1961. - С. 256-293.

7. Аргирис Дж. Современные методы расчёта сложных статически неопределимых систем. Л.: Судпромгиз, 1961. - 190 с.

8. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчёта конструкций с применением матриц. / Под ред. А.Ф. Смирнова. М.: Изд-во иностр. лит., 1968. 240 с.

9. Бабицкий Э.Т. Расчет гибких пластинок с ребрами гибридным метода конечного элемента. // Численные методы решения задач строительной механики.-Киев: КИСИ, 1978.-С. 117-121.

10. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П. Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. - 632 с.

11. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов: Пер. с англ. М.: Стройиздат, 1982. - 466 с.

12. Безухов Н.И., Лужин О.В., Колкунов Н.В. Устойчивость и динамика сооружений в примерах и задачах. М.: Стройиздат, 1969. 424 с.

13. Вениаминов Д.М. Одна форма смешанных вариационных принципов в теории упругости // Строительная механика и расчет конструкций 1977. - № 4.-С. 39-42.

14. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Наука, 1966. Т.1. -632 с.

15. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Наука, 1966. Т.2. -640 с.

16. Болдычев В.П. Двойная аппроксимация угла поворота при расчете пластин средней толщины методом конечных элементов. // Изв. ВНИИГ. Д., 1979, т. 133.

17. Болдычев В.П. Способ двойной аппроксимации в методе конечных элементов. // Л, 1980. Деп. ВИНИТИ 09. 06. 80 № 2282.

18. Бурман З.И., Артюхин Г.А., Зархин Б.Я. Программное обеспечение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженерных расчётах. М.: Машиностроение, 1988. - 254 с.

19. Бусыгин В.Г., Розин Л.А. Алгебраические способы выбора основной системы в методе сил. // Прикладные проблемы прочности и пластичности. -1976,-№4.

20. Варвак П.М., Бузин И.М., Городецкий А.С. Метод конечных элементов. -Киев: Вища школа, 1981. 176 с.

21. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. М.: Стройиздат, 1977. - 154 с.

22. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. 542 с.

23. Власов В.З. Новый практический метод расчета складчатых покрытий и оболочек. // Строительная промышленность, № 11, 12, 1932.

24. Власов В.З. Новый метод расчета тонкостенных призматических складчатых покрытий и оболочек. М., Госстройиздат, 1933.

25. Власов В.З. Об одном упрощении метода расчета цилиндрических сводов-оболочек. // Проект и стандарт, № 4, 1934.

26. Власов В.З. Перекрытия типа оболочек. // Справочник по железобетонным конструкциям. Т. IV. М.: Промстройпроект, 1935.

27. Власов В.З. Загальний метод розрахунку цилиндрических оболонок. АН УССР, 1935.

28. Власов В.З. Строительная механика оболочек. ОНТИ НКТП, 1936.

29. Власов В.З., Гвоздев А.А., Горнов В.И., Мурашев В.И. Инструкция по проектированию и расчету тонкостенных покрытий и перекрытий. М.: Госстройиздат, 1937.

30. Власов В.З., Теренин Б.М. Колебания тонкостенных складчатых конструкций и оболочек. // Исследования по динамике сооружений. / Под ред. проф. И.М. Рабиновича. -М.: Госстройиздат, 1947.

31. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М.: Гос-техиздат, 1949.

32. Власов В.З. Строительная механика тонкостенных пространственных систем. -М.: Госстройиздат, 1949.

33. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы. -М.: Госстройиздат, 1958.

34. Власов В.З. Принцип построения общей теории оболочек и новые конструктивные формы пространственных систем. // Труды второго международного конгресса по теории оболочек. / Под ред. А.А. Гвоздева. М.: Госстройиздат, 1960.

35. Власов В.З. Избранные труды. Т. I. Общая теория оболочек. М.: Наука, 1962.

36. Власов В.З. Избранные труды. Т. II. Тонкостенные упругие стержни. Принципы построения общей технической теории оболочек и новые конструктивные формы пространственных систем. М.: Наука, 1963.

37. Власов В.З. Избранные труды. Т. III. Тонкостенные пространственные системы. М.: Наука, 1964.

38. Вольмир А.С. Статика и динамика сложных структур. М.: Машиностроение, 1989.-248 с.

39. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963. - 880 с.

40. Волынский М.И. Алгоритм итерационного поиска собственных значений в задачах устойчивости упругих систем // Строительная механика и расчет сооружений, №3, 1988. С. 44-48.

41. Галишникова В.В., Игнатьев А.В. Расчет по МКЭ в смешанной форме шар-нирно-стержневых систем. // Вестник ВогГАСА. Серия: Технические науки. Выпуск 1(4). Волгоград: ВолгГАСА, 2001. - С. 99-104.

42. Галлагер Р., Падлог Д. Исследование устойчивости конструкций на основе анализа дискретных элементов // Ракетная техника и космонавтика. №6, 1963. С. 194-196.

43. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 428 с.

44. Гвоздев А.А. Общий метод расчета сложных статически неопределимых систем. М.: МИИТ, 1927. 239 с.

45. Геммерлинг А.В. Различные формы потери устойчивости рам // Строительная механика и расчет сооружений, №6, 1978. С. 31-36.

46. Геммерлинг А.В. Устойчивость сложных стержневых систем // Строительная механика и расчет сооружений, №4, 1979. С. 58-64.

47. Гриненко Н.И., Мокеев В.В. О задачах исследования колебаний конструкций методом конечных элементов // Прикладная механика. 1985. Т.21, №3. - С.12-15.

48. Гриненко Н.И., Мокеев В.В. О повышении эффективности метода конечных элементов в задачах проектирования динамических систем // Расчёт и управление надёжностью больших механических систем. Свердловск -Ташкент, 1988. С.20-25.

49. Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика. М.: Высш. шк., 1986, 607 с.

50. Дашевский Е.М., Денисов Л.Д. Расчёт собственных колебаний и устойчивости при конечноэлементной дискретизации конструкции // Исследование динамики строительных промышленных зданий. Л.: Иад-во Ленпромст-ройизданий, 1983. - С.31-41.

51. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1960. - 659 с.

52. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. -М.: Наука, 1967.-368 с.

53. Еременко С.Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел. Харьков: Изд-во Харьковск. ун-та, 1991.- 272 с.

54. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. - 541 с.

55. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимации. М.: Мир, 1986.-318 с.

56. Игнатьев В.А. Расчет стержневых пластинок и оболочек. Метод дискретных конечных элементов. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1988. - 160 с.

57. Игнатьев В.А. Расчет регулярных стержневых систем. Саратов: Ротапринт СВВУ, 1973.-433 с.

58. Игнатьев В.А. Методы сунердискретизации в расчетах сложных стержневых систем. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1981. - 107 с.

59. Игнатьев В.А., Соколов O.JI., АльтенбахИ., КиссингВ. Расчет тонкостенных пространственных конструкций пластинчатой и пластинчато-стержневой структуры. М.: Стройиздат, 1996. - 560 с.

60. Игнатьев А.В. Некоторые особенности применения МКЭ в смешанной форме к расчету стержневых систем. // Вестник ВогГАСА. Серия: Естественные науки. Выпуск 1(2). Волгоград: ВолгГАСА, 1999. - С. 142-146.

61. Игнатьев А.В., Жиделев А.В. Смешанная форма МКЭ в расчетх линейных стержневых систем. // Вестник ВогГАСА. Серия: Технические науки. Выпуск 1(4). Волгоград: ВолгГАСА, 2001. - С. 20-28.

62. Игнатьев В.А., Игнатьев А.В. МКЭ в смешанной форме к расчету стержневых систем. // Известия ВУЗов. Строительство. №8, 2002. -С. 115-118.

63. Игнатьев А.В., Поляков А.В. Применение МКЭ в смешанной форме для расчета стержневых систем. // Вестник ВогГАСА. Серия: Строительство и архитектура. Выпуск 2 (5). Волгоград: ВолгГАСА, 2002. -С. 130-135.

64. Игнатьев В.А., Игнатьев А.В. Матрица упругих свойств изгибаемого прямоугольного элемента. // Вестник ВогГАСА. Серия: Строительство и архитектура. Выпуск 2 (5). Волгоград: ВолгГАСА, 2002. - С. 139-141.

65. Карамаиский Т.Д. Численные методы строительной механики. М.: Стройиздат, 1981.-430 с.

66. Киселев В.А. Строительная механика. Общий курс. М.: Стройиздат, 1986. - 520 с.

67. Киселев В.А. Строительная механика. Специальный курс. М.: Стройиздат, 1980.-616 с.

68. Киселев В.А., Афанасьев A.M., Ермоленко В.А. и др. Строительная механика в примерах и задачах. М.: Издательство литературы по строительству, 1968.-387 с.

69. КолкуновН.В. Основы расчета упругих оболочек. М.: Высшая школа, 1972.-296 с.

70. Костенецкий В.И. Приближенное определение перемещений шарнирно-стержневых систем со сжато-изогнутыми элементами // Строительная механика и расчет сооружений, №2, 1981. С. 51-53.

71. Корнеев В.Г. Сопоставление метода конечных элементов с вариационно-разностным методом решения задач теории упругости. // Изв. ВНИИГ -1967. т.83.

72. Крюков В.Н. Устойчивость стержней переменного сечения при действии системы сосредоточенных продольных сил // Строительная механика и расчет сооружений, №1, 1986. С. 71-74.

73. Лейтес С.Д. Спектральная функция в задачах устойчивости упругих стержневых систем // Строительная механика и расчет сооружений, №5, 1971. -С.28-32.

74. Ли С.В., Пиан Т.Х.Х. Усовершенствование метода расчета конечных элементов для пластин и оболочек с помощью смешанного подхода. // Ракетная техника и космонавтика. 1978. 16, № 1. С. 38-46.

75. Ливе ли Р. Матричные методы строительной механики. М.: Стройиздат, 1980.-284 с.

76. Львин Б.Я. Рациональные методы расчета многоэтажных рам на горизонтальную нагрузку. // Исследования по теории сооружений, вып. 8. М.: Госстройиздат, 1959.

77. Ляхович Л.С. Метод отделения критических сил и собственных частот упругих систем. Изд-во Томского ун-та: Томск, 1970. - 108 с.

78. Манч X. Фишер У., Цен М. Применение метода конечных элементов к исследованию динамических проблем механики твёрдого тела // Успехи механики. Т.З, №2, 1980. С.113-139.

79. Мануйлов Г.А., Маслов Д.П., Смирнов М.Н., Осокин В.М. О вычислении частот и форм собственных колебаний строительных конструкций // труды Моск. ин-та инж. ж.-д. транс., № 625, 1979. С. 136-144.

80. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. -454 с.

81. Масленников A.M. Расчет статически неопределимых систем в матричной форме.-Л., 1970, 128 с.

82. Масленников A.M. Расчет строительных конструкций численными методами. Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. - 224 с.

83. Матевосян P.P. Устойчивость сложных стержневых систем (качественная теория). -М.: Госстройиздат, 1961. 184 с.

84. Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. -СПб.: БХВ-Петербург, 2001. 528 с.

85. Метод суперэлементов в расчётах инженерных сооружений / Под ред. В.А. Постнова. Л.: Судостроение, 1979. - 288 с.

86. Метод конечных элементов в механике твёрдых тел./ Под общ. ред. А.С. Сахарова и И. Альтенбаха. Киев: Вища шк., 1982. - 480 с.

87. Милейковский И.Е., Трайнин JI.A. К расчету оболочек по методу конечных элементов с использованием смешанного потенциала Рейснера. // Строительная механика и расчет конструкций 1977. - № 4. - С. 21 - 27.

88. Немчинов Ю.И. Метод конечных элементов в механике тонкостенных пространственных и стержневых конструкций: Автореферат докт. дис. Л.: Ле-нингр. инж.-строит, ин-т., 1983.- 36 с.

89. Норри Д., Ж. де Фриз. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.-300 с.

90. Нудельман Я.Л. Методы определения собственных частот и критических сил для стержневых систем. М.: Гостехиздат, 1949.

91. Пиан Т. Вывод соотношений для матриц жесткости элемента, основанный на выборе закона распределения напряжений. // Ракетная техника и космонавтика № 7, 1964. с. 219-222.

92. Пиле А.И., Сливина Н.А. Mathcad 2000. Математический практикум. М.: Финансы и статистика, 2000. - 656 с.

93. Плетнёв В.И. Расчёт многосекционных зданий методом подструктур // Расчёт строительных конструкций на статические и динамические нагрузки : Межвуз. сб.тр. Л.: Изд-во Ленингр. инж.-строит, ин-та, 1985. - С. 18-22.

94. Покровский А.А. Смешанная форма МКЭ в расчетах стержневых систем и сплошной среды: Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук / ПГАСА, Пенза, 2000. 308 с.

95. Поляков А.В., Игнатьев А.В. Применение МКЭ в смешанной форме для расчета частот собственных колебаний стержневых конструкций. // Вестник ВогГАСА. Серия: Строительство и архитектура. Выпуск 2 (5). Волгоград: ВолгГАСА, 2002. - С. 136-138.

96. Постнов В.Д., Москалёв Л.И. О применении метода подструктур в задачах колебаний и устойчивости / Прочность судовых конструкций. Л.: Тр. Ленингр. кораблестроит. ин-та, 1979.-С.69-72.

97. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчётах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974. - 344 с.

98. Постнов В.А. Численные методы расчёта судовых конструкций Л.: Судостроение. 1977. - 280 с.

99. Постнов В.А., Дмитриев С.А., Елтышев Б.К., Родионов А.А. Метод суперэлементов в расчётах инженерных сооружений. Л.: Судостроение, 1979.-288 с.

100. Раевский А.Н. Примеры расчета стержневых систем на устойчивость -Изд-во Саратовского ун-та: Саратов, 1991. 92 с.

101. Райе Дж. Матричные исследования и математическое обеспечение. М.: Мир, 1984.-264 с.

102. Рейснер Е. Непротиворечивое определение деформации сдвига в слоистых анизотропных пластинах. // Ракетная техника и космонавтика. 1972. № 5. С. 193-195.

103. Рейснер Е. О некоторых вариационных теоремах теории упругости. // Проблемы механики сплошной среды. М., 1961. С 326-377.

104. Ржаницын А.Р. Строительная механика. М.: Высш. шк., 1991. - 440 с.

105. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. -Рига: Зинате, 1988. 284 с.

106. Розин Л.А. О связи метода конечных элементов с методами Бубнова-Галеркина и Ритца. // Строительная механика сооружений. Л., ЛПИ, 1971.

107. Розин Л.А.Стержневые системы, как системы конечных элементов. Л., 1976.

108. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977. 128 с.

109. Розин JI.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. — Л. Изд. ЛГУ, 1978. 224 с.

110. Розин Л.А. Систематизация схем метода конечных элементов в теории упругости на основе вариационных принципов. // Метод конечных элементов в строительной механике: Сб. статей. Горький: Изд. ГГУ, 1975. - с. 514.

111. Розин Л.А., Куроедов В.В., Болдычев В.П. и др. Решение статических и динамических задач расчета МКЭ. // Численные методы решения задач строительной механики. Киев; КИСИ, 1978.

112. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. -432 с.

113. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высш. шк., 1982.-264 с.

114. Саргсян А.Е., Дворянчиков Н.В., Джинчвелашвили Г.А. Строительная механика. Основы теории с примерами расчетов. М.: изд-во АСВ, 1998. -320 с.

115. Сегердинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. -392 с.

116. Секулович М. Метод конечных элементов. / Пер. с серб. Ю.Н. Зуева; под ред. В.Ш. Барбакадзе. М.: Стройиздат, 1993. - 664 с.

117. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Стержневые системы. / Под ред. А.Ф. Смирнова, -М.: Стройиздат, 1984.-512 с.

118. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений. / Под ред. А.Ф. Смирнова, М.: Стройиздат, 1984. - 416 с.

119. Снитко Н.К. Устойчивость конструкций. Руководство к проектированию. Л, 1973.-92 с.

120. Справочник по теории упругости (для инженеров-строителей). Под ред. П.М. Варвака. Киев, Буд1вельник, 1971.

121. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М., 1977. 349 с.

122. Трайнин J1.A. Сопоставление численной реализации на ЭВМ метода конечных элементов на основе применения вариационных принципов Jla-гранжа и Рейснера. // Численные методы решения задач строительной механики. Киев: КИСИ, 1978. - С. 12 - 16.

123. Ульпи В.В. Смешанный метод расчета осесимметрично нагруженных цилиндрических оболочек переменной толщины. // Строительная механика, расчет и конструирование сооружений: Сборник трудов МАИ, вып. 4, 1972. -с. 56-65.

124. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры.- М.: Физматгиз, 1963.-734 с.

125. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина: пер. с англ. -М.: Мир, 1988.-352 с.

126. Хартии Р. Динамический анализ конструкций, основанный на исследовании форм колебаний отдельных элементов // Ракетная техника и космонавтика. Т.З, №4, 1965. С.132-138.

127. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. М.: Мир, 1986.- 448 с.

128. Хечумов Р.А., Кепплер X., Прокопьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. М.: Изд-во АСВ, 1994. - 353 с.

129. Хечумов Р.А., Покровский А.А. Смешанная форма МКЭ в расчетах стержневых систем с учетом физической и геометрической нелинейностей. // Строительная механика и расчет сооружений 1991. - № 2. - С. 5 - 11.

130. Шапошников Н.Н. Строительная механика транспортных сооружений. -М.: МИИТ, 1983.80 с.

131. Bleich F. Die Berechnung st-unbest. Tragwerce nach der Methode des Viermomentensatres, Berl., 1918.

132. Brezzi F. and Fortin M., Mixed and Hybrid Finite Element Methods, Springer-Verlag, New York, 1991.

133. Bron J. And Dhatt G. Mixed Quadrilateral Elements for Bending. // AIAAJ., 10, № 10, 1972.

134. Chowdhury P.S. An alternative to the normal mode method // J. Comput and Struct. /, 1975, v.5, No.5-6, P.315.

135. Clough R.W. The Finite Element Methods in Plane Stress Analysis. // Proceedings of 2nd ASCE Conf. on Electronic Computation Pittsburg, 1960.

136. Courant R. Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibrations. // Bull. Amer. Math. Soc., Vol. 49 (1943) 1. P. 1 - 23.

137. Gallagher R.H., Zenkewicz O.C. Hybrid and mixed finite element methods // Eds. SN. Atluri. New York: Wiley, 1983.- 582 p.

138. Han W. and Reddy B.D. On the finite element method for mixed variational inequalities arising in elastoplasticity. // SIAM J. Numer. Anal., Vol. 32, No. 6, pp. 1778-1807, 1995

139. Hau-Chang Hu. On some variational principles in the theory of elasticity and the theory of plasticity. // Acta. Sci. Sinica, 1955, Vol. 4, № 1.

140. Herrmann L.R. Elasticity equations for incompressible and nearly incompressible materials by a variational theorem. // AIAA J., vol. 3, N 10, 1965.

141. Herrmann L.R. Finite Element Bending Analysis of Plate. // J., Eng., Mech. Div, ASCE, 95, NoEM 5, 1968.

142. Hrenikoff A. Solution of Problems in Elasticity by the Framework Method. //J. Appl.Mech., 8, № 1, 1941.

143. Jones R.E. A Generalization of the Direct Stiffness Method of Structural Analysis. // J. Am. Inst. Aeron. Astron., 2, 1964.

144. Lee S.W., Pian T.H.H. Improvement of plate and shell finite element by mixed formulations. // AIAA J., vol.16 № 1, 1978.

145. Lee S.W., Rhiu I.I. A new efficient approach to the formulation on mixed finite element models for structural analysis. // Intern. J. Numerical Methods Eng. 1986. 21, №9. P. 1629-1641.

146. Lee S.W., Wong S.C. Mixed formulation finite element for Mindlin theory plate bending. // Intern. J. Numerical Methods Eng. 1982. 18, № 5. P. 1297-1311.

147. Lee S.W., Wong S.C., Rhiu I.I. Study of nine node mixed formulation finite element for thin plates and shells. // Computers a. Stractures. 1985. 21, № 10. P. 1325-1334.

148. Malkus D.S., Hughes T.J.R. Mixed finite element method reduced and selective integration techniques: a unification of concepts. // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng., vol. 15, №1, 1978. pp. 63-81.

149. Oden J.T. Formulation and application of certain primal and mixed finite element models of finite deformations of elastic bodies. // Lect. Notes Comput. Sci. 10, 1974. pp. 334-365.

150. Reisner E. The Effect of Transverse Shear Deformation on the Bending of Elastic Plates. // J. Appl. Mech., 12, 1945.

151. Reisner E. On a variational theorem in elasticity. // J. Math. And Phys., 1950, vol. 29, № 2.

152. Turner H.J., Clough R.W., Martin H.C., Topp L. Stiffness and deflection analysis of complex structures. // J. Aeronaut. Sci., vol. 23, № 9, 1956.

153. Visser, W. A. Refined Mixed Type Plate Bending Ekment. // AIAA J., 7, № 9, 1969.

154. Построение матрицы откликов для прямоугольного КЭ изгибаемойпластинки с 12 неизвестными1. Игнатьев А. В.restart:with(linalg) :

155. Для 12 неизвестных возьмем неполный бикубический полином

156. Q := (1, х, у, хА2, уА2, х*у, хА2*у, х*уА2, хА3, ул3, хА3*у, х*уА3.):Q1:=([-1, ~х, -у, -хл2, -уА2 , -х*у, -хА2*у, -х*уА2, -хА3, -уА3, -хА3*у, -х*уА3]):

157. Вычислим матрицу В, которая будет одинаковой для, как для смешанного метода, так и для метода перемещений:1. В: =matrix(map(diff,Q1,x,x),map(diff,Q1,y,y),map(diff,Q1,x,y).):

158. Зададим матрицу упругих свойств материала

159. С:=matrix([Ds, ms*Ds, 0., [ mg*Dg, Dg,0], [0, 0, 2*Dk]]):

160. Задаем матрицу А и находим обратную А1, в основной системе метода перемещений

161. Для единичных продольных перемещений находим кkappal:=multiply(В,blockmatrix(1,4, submatrix(Al, 1. .12, 1.1),submatrix(Al, 1.12, 4.4),submatrix(Al, 1.12,7.7) ,submatrix(Al, 1. . 12, 10. .10).)) :

162. Сформируем матрицу V смешанного метода и найдем обратную VI:

163. VI := map(normal,inverse(V)) :

164. Вычисляем усилия и деформации от единичных перемещений в основной системе смешанного метода:

165. Vll:=blockmatrix(1,4,submatrix(VI, 1.12, 1.1),submatrix(VI, 1.12, 4. .4) ,submatrix(VI, 1. . 12, 7.7),submatrix(VI, 1. .12, 10.10).) :kappa2:=evalm(4 &* " (B,V11)) : >M2:=evalm(4 &* 4 (C,kappa2)) :

166. Вычисляем усилия и деформации от единичных сил в основной системе смешанного метода:

167. Вычисляем блоки матрицы откликов КЭ:

168. R1 :=evalm(" &* " (transpose (kappa2) ,M2) ) :г:=map(normal,map (int,map(int,R1,y=0.b) ,x=0. .a)) : >Deltal:=evalm(4&*4(transpose(карраЗ),M3)):delta:=map(normal,map(int,map(int,Deltal,y=0.b),x=0.a)) :

169. RD:=evalm(4 &* 4(transpose (kappal),M3)) :rd:=map (normal, map (int, map (int ,RD ,y=0 . .b) ,x=0. .a)) :dr:=transpose(evalm(-l*rd)):

170. OTC:=blockmatrix(2,2,r,rd,dr,delta.) :

171. Построение МО для прямоугольного КЭ изгибаемой пластинки с 16неизвестными1. Игнатьев А. В.restart:with(linalg) :

172. Для 16 неизвестных возьмем полный бикубический полином

173. Q := (1, х, у, хЛ2, уА2, х*у, хА2*у, х*уА2, хА3, уА3, хА2*уА2, хА3*у, х*уА3, хА2*улЗ, хА3*ул2, хА3*уА3.):Q1:=([-1, -х, -у, -хл2, -уА2, -х*у, -хА2*у, -х*уА2, -хА3, -уА3, -хА2*уА2, -хА3*у, -х*уА3, -хА2*уА3, -хА3*уА2, -хА3*уА3]):

174. Вычислим матрицу В, которая будет одинаковой для, как для смешанного метода, так и для метода перемещений:1. В : =matrix(map(diff,Q1,x,x),map(diff,Q1,y,y),map(diff,Q1,x,y).):

175. Зададим матрицу упругих свойств материала

176. С:=matrix([Ds, ms*Ds, 0., [ mg*Dg, Dg,0], [0, 0, 2*Dk]]) :

177. Задаем матрицу А и находим обратную А1, в основной системе метода перемещений

178. Для единичных продольных перемещений находим Кkappal:=multiply(B,blockmatrix(1,4,submatrix(А1, 1.16, 1.1),submatrix(Al, 1.16, 5.5),submatrix(A1, 1.16, 9.9),submatrix(A1, 1.16, 13.13).)):

179. Сформируем матрицу V смешанного метода и найдем обратную VI:

180. VI := map(normal,inverse(V)) :

181. Вычисляем усилия и деформации от единичных перемещений в основной системе смешанного метода:

182. Vll :=blockmatrix (1,4, submatrix (VI, 1.16, 1. .1) , submatrix (VI, 1. .16, 5. .5) ,submatrix(VI, 1. .16, 9.9) ,submatrix(VI, 1. .16, 13.13).):kappa2:=evalm(4 &* 4 (B,V11)) : >M2 :=evalm(C,kappa2)) :

183. Вычисляем усилия и деформации от единичных сил в основной системе смешанного метода:

184. Вычисляем блоки матрицы откликов КЭ:

185. Rl:=evalm(4&*" (transpose(kappa2) ,М2)) :г:=map(normal,map(int,map(int,Rl,y=0. .b) ,x=0.a)) :

186. Deltal:=evalm(4&* 4 (transpose(карраЗ) ,M3)) :delta:=map(normal,map(int,map(int,Deltal,y=0.b), x=0.a)) : >RD:=evalm("&*" (transpose(kappal) ,M3)) :rd:=map(normal,map(int,map(int,RD,y=0.b) ,x=0.a)) :dr:=transpose(evalm(-l*rd)) :

187. OTC:=blockmatrix(2,2,r,rd,dr,delta.) :

188. Построение МО для КЭ в форме прямоугольного треугольника изгибаемой пластинки с 9 неизвестными1. Игнатьев А. В.restart:with(linalg) :

189. Для 9 неизвестных возьмем неполный бикубический полином

190. Q := (1, к, у, хА2, уА2, хА2*у, х*уА2, хл3, ул3.):

191. Q1:=(-1, -х, -у, -хл2, -ул2, -хА2*у, -х*уА2, -хА3, -уА3.):

192. Вычислим матрицу В, которая будет одинаковой для, как для смешанного метода, так и для метода перемещений:1. В: =matrix(map(diff,Q1,х,х),map(diff,Q1,y,y),map(diff,Q1,x,у).):

193. Зададим матрицу упругих свойств материала

194. С: =matrix ( [D [х. , mu[x]*D[x] , 0], [mu[y]*D[y], D [у] ,0] , [0, 0, 2*Dk]J):

195. Задаем матрицу А и находим обратную А1, в основной системе метода перемещений

196. Для единичных продольных перемещений находим Кkappal:=multiply(В,blockmatrix(1,3,submatrix(Al, 1.9, 1.1),submatrix(Al, 1.9, 4.4),submatrix(Al, 1.9, 7.7).)):

197. Сформируем матрицу V смешанного метода и найдем обратную VI:

198. VI := map(normal,inverse(V)) :

199. Вычисляем усилия и деформации от единичных перемещений в116основной системе смешанного метода:

200. VI1:=blockmatrix(1,3, submatrix(VI, 1. .9, 1. .1) ,submatrix(VI, 1.9, 4.4),submatrix(VI, 1.9, 7.7).):kappa2:=evalm(4 &* 4 (B,V11)) : >M2:=evalmГ &*s (C,kappa2)):

201. Вычисляем усилия и деформации от единичных сил в основной системе смешанного метода:

202. V12:=blockmatrix <1,б, submatrix(VI, 1. .9, 2 . .2) ,submatrix(VI, 1.9, 3.3),submatrix(VI, 1.9, 5.5),submatrix(VI, 1.9, 6.6),submatrix(VI, 1.9, 8.8),submatrix(VI, 1.9, 9.9).): >карраЗ:=evalmС &*" (B,V12)) :

203. M3:—evalm(v&*4 (С,карраЗ)) :

204. Вычисляем блоки матрицы откликов КЭ: >R1:=evalm(4&*4 (transpose(kappa2) ,М2)) :г:=map(normal,map(int,map(int,R1,y=0. (b-b/a*x)) ,x=0.a)) :

205. Deltal:=evalm(4 &* 4 (transpose(карраЗ) ,M3)) :delta:=map(normal,map(int,map(int,Deltal,y=0. . (b-b/a*x)),x=0.a)):

206. RD:=evalm{ (transpose(kappal) ,M3)) :rd:=map(normal,map(int,map(int,RD,y=0. (b-b/a*x)),x=0.a)) :dr:=transpose(evalm(-l*rd)) :

207. OTC:=blockmatrix(2,2,r,rd,dr,delta.) :

208. Построение МО для КЭ в форме прямоугольного треугольника изгибаемой пластинки с 11 неизвестными1. Игнатьев А. В.restart:with(linalg) :

209. Для 11 неизвестных возьмем неполный бикубический полином0 := (1, х, у, хЛ2, уА2, хА2*у, х*уА2, хл3, ул3, хА3*у, х*уА3.):Q1:=([-1, -х, -у, -хл2, -уА2, -хА2*у, -х*ул2, -хл3, -ул3, -хА3*у, -х*ул3]):

210. Вычислим матрицу В, которая будет одинаковой для, как для смешанного метода, так и для метода перемещений:1. В: =matrix(map(diff,Q1,x,x),map(diff,Q1,у, у),map(diff,Q1,x,y).):

211. Зададим матрицу упругих свойств материала

212. C:=matrix([D[x. , mu[x]*D[x] , 0], [ mu[y]*D[y] , D[y] ,0] , [0, 0, 2*Dk]]):

213. Задаем матрицу А и находим обратную А1, в основной системе метода перемещений

214. G1:=(evalm(evalm(cos(alpha)*eval(map(diff, Q,x),x=a/2,y=a/23))+evalm(sin(alpha)*eval(map(diff,Q,у),x=a/2, y=a/2.)))):

215. Для единичных продольных перемещений находим Кkappal:=multiply(В,blockmatrix(1,4, submatrix(А1, 1.11, 1.1),submatrix(А1, 1.11, 4.4),submatrix(А1, 1.11,7.7),submatrix(Al, 1.11, 9.9).)):

216. Сформируем матрицу V смешанного метода и найдем обратную VI:

217. G2:=map(diff,Ql, х, х) :G3:=тар(diff, Q1, у, у) :

218. VI := map(normal,inverse(V) ) :

219. Вычисляем усилия и деформации от единичных перемещений в основной системе смешанного метода:

220. VII:=blockmatrix(1,4,submatrix(VI, 1.11, 1. .1) ,submatrix(VI, 1.11, 4.4),submatrix(VI, 1.11, 7.7),submatrix(VI, 1.11,9. -9).) :kappa2:=evalm( &* 4 (B,V11)) :

221. M2:=evalm(4&*4 (C,kappa2)) :

222. Вычисляем усилия и деформации от единичных сил в основной системе смешанного метода:

223. VI2:=blockmatrix(1,7, submatrix(VI, 1.11, 2. .2),submatrix(VI, 1.11, 3.3),submatrix(VI, 1.11, 5.5),submatrix(VI, 1.11, 6.6),submatrix(VI, 1. .11, 8.8),submatrix(VI, 1. .11, 10.10),submatrix(VI, 1.11, 11.11).):карраЗ:=evalmГ &*"(B,V12)):

224. M3 :=evalmС &* * (С,карраЗ)) :

225. Вычисляем блоки матрицы откликов КЭ: >R1:=evalm(4&*4 (transpose(kappa2) ,М2)) :г:=map(normal,map (int,map(int,R1,y=0.(b-b/a*x)) ,x=0. .a)) :

226. Deltal:=evalm(4 &*" (transpose(карраЗ) ,M3)) :delta:=map(normal,map(int,map(int,Deltal,y=0. . (b-b/a*x)),x=0.a)):

227. RD:=evalm("S*4 (transpose(kappal),M3)):rd:=map(normal,map(int,map(int,RD,y=0. . (b-b/a*x)) ,x=0. .a)) : >dr:=transpose(evalm(-l*rd)):

228. OTC:=blockmatrix(2,2, r,rd,dr,delta.) :

229. Министерство образования Российской Федерации

230. Развитие и применение смешанной формы МКЭ в расчетах стержневых систем и пластинок" в учебный процесс.

231. Проректор по учебной работе, профессор, доктор технических наук1. В.Г. Диденко