автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Применение смешанной формы МКЭ к расчетам стержневых систем

На правах рукописи

Габова Виктория Викторовна

ПРИМЕНЕНИЕ СМЕШАННОЙ ФОРМЫ МКЭ К РАСЧЕТАМ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

Автореферат диссертации на соисканне ученой степени кандидата технических наук

1 9 МАЙ 2011

Волгоград-2011

4847433

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет»

Научный руководитель: кандидат технических наук,

доцент, Игнатьев Александр Владимирович Официальные оппоненты: доктор технических наук,

Защита состоится 07 июня 2011г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.026.01 при ГОУВПО «Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет» по адресу: 400074, г. Волгоград, ул. Академическая, д.1, ауд. Б-203.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Волгоградского государственного архитектурно-строительного

университета.

Автореферат разослан 4 мая 2011г.

Ученый секретарь

профессор, Клочков Юрий Васильевич ФГОУ ВПО «Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия», г. Волгоград

кандидат технических наук, доцент, Макаров Александр Владимирович ГОУ ВПО «Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет», г. Волгоград

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Саратовский государственный

технический университет», г. Саратов

диссертационного совета

Пшеничкина В.А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Проектирование и строительство надежных, высокоэффективных конструкций и сооружений в большой степени зависят от возможности прогнозирования их поведения при возможных полях воздействий на них (силовых, температурных, кинематических и т.д.). Точность прогнозирования зависит в свою очередь от наличия соответствующих по точности методов расчета, возможностей проведения численных экспериментов и проверки достоверности результатов расчета. Именно это предопределяет основное направление развития строительной механики — разработку новых и совершенствование известных методов расчета.

Общепризнано, что самым распространенным и универсальным численным методом решения краевых задач является сегодня метод конечных элементов (МКЭ) в форме метода перемещений. Особенно широко он применяется в задачах механики деформируемого твердого тела и строительной механики. Теории и реализации МКЭ посвящена обширная литература. Популярность этого метода обусловлена его непосредственной связью с классическими методами строительной механики и вытекающей из них простотой и наглядностью, а также возможностью расчета тел любой геометрической формы. МКЭ, соединяя в себе универсальность, высокую степень формализации и алгоритмизации предоставил возможность полной автоматизации вычислительного процесса. Наличие многочисленных программных комплексов, реализующих МКЭ, расширило многократно возможности детального исследования напряженно-деформированного состояния конструкций.

Анализ литературы, посвященной МКЭ, позволяет сделать вывод о том, что большинство работ посвящено классическому варианту МКЭ в форме метода перемещений. Однако эта форма наряду с достоинствами обладаем и недостатками: более низкая по сравнению с перемещениями

точность определения напряжений, учет смещения КЭ как жесткого целого и др.

Появление работ, целью которых является исследование и развитие других более эффективных по сравнению с МКЭ в форме метода перемещений, вариантов МКЭ - в форме метода сил, в смешанной форме, различные гибридные варианты, подтверявдает актуальность выбранного направления исследований.

Целью диссертационной работы является:

- дальнейшее развитие и применение смешанной формы МКЭ в задачах расчета стержневых систем;

- разработка методики решения задач статики, динамики и устойчивости стержневых систем;

- разработка алгоритмов и численное исследование предлагаемой методики для решения следующих задач.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

- реализован единый подход к получению матриц откликов стержневых КЭ для расчета стержневых систем по МКЭ в смешанной форме;

- получены матрицы откликов КЭ - стержня для задач статики, динамики и устойчивости;

- на основе единого подхода разработаны алгоритмы решения задач статики, динамики и устойчивости стержневых систем. Практическая значимость диссертационной работы:

- изложенный в работе алгоритмы решения задач статики, динамики и устойчивости стержневых систем позволяют формализовать и автоматизировать расчет по МКЭ в смешанной форме в той же степени, что и по МКЭ в форме метода перемещений;

- результаты работы могут быть применены при разработке комплекса программ реализующих алгоритм расчета по МКЭ в смешанной форме;

- результаты работы могут быть использованы в учебных пособиях и учебнике по курсу строительной механики.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

- алгоритм формирования матрицы откликов стержневого КЭ для задач статики, динамики и устойчивости стержневых систем;

- алгоритмы формирования разрешающих уравнений для задач статики, динамики и устойчивости стержневых систем по МКЭ в смешанной форме;

- общий алгоритм расчета стержневых систем по МКЭ в смешанной форме.

Достоверность научных положений и результатов диссертационной работы обеспечивается корректностью постановки задач в рамках классических методов строительной механики с использованием тех же гипотез и допущений, а также сравнением полученных результатов решения тестовых задач с результатами, полученными как на основе классических методов, так и по МКЭ в форме метода перемещений.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы обсуждались на следующих конференциях: X региональная конференция молодых исследователей Волгоградской области, Волгоград, 2005; III Всероссийская научно-техническая конференция «Социально-экономические проблемы развития строительного комплекса региона. Наука. Практика. Образование», г. Волгоград - г. Михайловка, 2009; Международная научно-практическая конференция «Проблемы, состояние комплексных мелиораций и их роль в обеспечении продовольственной безопасности России», Волгоград, 2009; Научно - техническая интернет - конференция «Энерго - и ресурсосбережение в строительной индустрии. Организационно -экономические и социальные проблемы хозяйствования в строительстве», г. Михайловка Волгоградской области, 2010;

Работа выполнялась по тематическому плану Министерства образования и науки РФ (НИР № 1.2.11 - «Применение смешанной формы МКЭ к расчетам стержневых и пластинчатых конструкций»).

Основные результаты работы отражены в девяти публикациях. Из них

две в журналах, входящих в список ВАК РФ.

Структура и объем диссертационной работы. Текст диссертации изложен на 184 страницах, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 132 наименований и содержит 84 рисунка, 14 таблиц.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследования, основные научные положения, выносимые на защиту, практическая ценность работы.

В первой главе проведен краткий обзор работ по теме диссертации и проанализированы результаты исследований, связанных с использованием смешанного метода в строительной механике.

Зарождение метода конечных элементов относится к сороковым годам прошлого века и связано с появлением ЭВМ.

На первом этапе развитие МКЭ во многом определялось именно идеей сведения задач механики континуальных систем к задачам строительной механики стержневых систем, т.е. к дискретным расчетным схемам.

Значительный вклад в развитие МКЭ на начальном этапе внесли М. Дж. Тернер, ДжХ Аргирис, O.K. Зенкевич и Ю.К. Ченг, С.У. Мак-Кормик, JI.A. Розин, A.M. Масленников, В.А. Постнов и др. Термин «конечный элемент» впервые был введен в статье Р.В. Клафа. Он сразу вошел в научную и затем в учебную литературу и теперь является общепринятым.

К настоящему времени имеется настолько большое число публикаций, посвященных как теоретическим основам МКЭ, так и его приложениям, что проанализировать их все не представляется возможным.

МКЭ в его современной форме является синтезом методов строительной механики стержневых систем и методов теории упругости, механики деформированного твердого тела. Родство этих методов, выявленное в ходе развития МКЭ, позволило их усовершенствовать, систематизировать и взаимно обогатить.

В зависимости оттого, какие неизвестные (силовые, кинематические

или смешанные) принимаются за основные, МКЭ реализуется в форме метода перемещений, метода сил или смешанного метода.

В зависимости от вида узловых неизвестных (силовые, кинематические или смешанные) соотношения между ними и вызываемыми ими усилиями и перемещениями называются матрицей жесткости, матрицей податливости или матрицей откликов КЭ. Получение этих соотношений выполняется как на основе наиболее общего принципа возможных перемещений [Масленников A.M., Постнов В.А., Игнатьев В.А. и др.], так и на основе энергетических принципов. Основными их них являются - принцип минимума потенциальной энергии, называемый принципом Лаграпжа, и принцип минимума дополнительной энергии или принцип Кастилиано. Как принцип Лагранжа, так и принцип Кастилиано, являются различными формами принципа возможных перемещений. За последние десятилетия на их основе разработано несколько гибридных и смешанных вариационных принципов (Рейсснера, Ху-Васидзу, Херрмана и др.).

Все эти методы являются альтернативой МКЭ в перемещениях, использующим единственное аппроксимирующее поле.

В гибридных методах одно поле перемещений и (или) напряжений задается внутри КЭ, другое поле перемещений или напряжений принимается независимо на границах элемента. Соответствующее энергетическое выражение для КЭ записывается через параметры введенных аппроксимирующих полей.

В смешанных функционалах, например, в известном функционале Рейсснера, используются два поля внутри элемента для описания перемещений и сил (напряжений) соответственно. Вариация этого функционала по перемещениям и силам (напряжениям) дает смешанную матрицу связи между силами (напряжениями) и перемещениями. Такую смешанную модель МКЭ первым применил Л. Херрман.

В задачах строительной механики применению МКЭ в смешанной форме посвящено сравнительно небольшое количество работ. Среди них

лишь работы A.M. Масленникова, В.А. Игнатьева, A.B. Игнатьева можно отнести к МКЭ в классической смешанной форме. В работах A.A. Покровского и P.A. Хечумова смешанный метод используется в развернутой форме.

При применении ЭВМ наибольший интерес представляют общие подходы к решению задач, позволяющие формализовать расчет и создать эффективный алгоритм реализации метода расчета. Таким общим подходом является смешанный метод.

Поэтому актуально дальнейшее развитие МКЭ в смешанной форме для решения задач статики, динамики и устойчивости стержневых систем.

Для широкого практического применения МКЭ в смешанной форме необходимы его дальнейшее развитие и разработка алгоритмов расчета и реализующих их программ.

Во второй главе изложены основные теоретические положения МКЭ в смешанной форме. Приведен вывод уравнений смешанного метода на основе смешанного вариационного принципа. Рассмотрены два подхода к получению матрицы - откликов для КЭ-стержня: классический на основе классических метода сил и метода перемещений и на основе смешанного вариационного принципа, в форме предложенной в работах В.А. Игнатьева и A.B. Игнатьева для стержневых систем. Рассмотрено формирование вектора внешних воздействий на КЭ.

За базовый КЭ принимается прямолинейный стержень, жестко закрепленный по концам (рис. 1,а). Основная система смешанного метода для него приведена на рис. 1,6.

Е, G, I, А

а

б

Рис. 1

Для данного КЭ введем следующие обозначения неизвестных в основной системе: д„...,дг6 - перемещения по направлению соответствующих связей и реакций в них, <7,, д9 - неизвестные усилия в удаленных связях основной системы.

При использовании классического подхода к получению матрицы откликов. Расчет основной системы, как на единичные, кинематические и силовые воздействия, так и на заданные нагрузки и перемещения выполняется обычным методом статики сооружений и основывается на физическом смысле задачи, т.е., исходя из условий неразрывности деформаций, статических и кинематических условий.

Для максимальной наглядности на рис. 2 показаны единичные перемещения связей основной системы рассматриваемого КЭ и приведены значения соответствующих коэффициентов матрицы откликов.

•о/ У] 42=1

т

874-' \ \ сг1

- \ \

У

/ -г

/

Оу /

<

г572="Ь/2

V1,

58Г-1

575=-Ш

.,"96"-1

к---

1 \ Г

\

N

к с

, 46-1 1-

Рис.2

Структура матрицы откликов КЭ имеет следующий вид:

г г

6 8

(1)

Здесь Ц^б) = 0 = 1,-,6,7 = 1,...,6) - подматрица реакций во

введенных кинематических связях основной системы смешанного метода от единичных смещений этих связей (подматрица жесткости);

(' = 12,..,6,у = 7,8,9) - подматрица реакций во введенных связях

основной системы смешанного метода от единичных силовых неизвестных в той же основной системе;

[?]=-М - подматрица перемещений по направлению силовых неизвестных от единичных смещений введенных кинематических связей;

М»ч) = КД (' = 7,8,9,у = 7,8,9) - подматрица перемещений по направлению силовых неизвестных при единичных значениях этих неизвестных (подматрица податливости);

Л, }г - вектор внешних воздействий на основную систему; } - подвектор реакций во введенных связях от нагрузки в основной

системе;

{д^} - подвектор перемещений по направлению силовых неизвестных от нагрузки в основной системе.

Блоки матрицы откликов имеют следующую структуру:

м-

¿>71 ^72 ¿>73 К ^75

7 1 72 73 74

'84 <^85 ^8

^81 ^82 ^8

¿92 £>3 К* 3)5

-1 -- 0 1 - О

2 2

0 10 0-10

0 0 1 0 0 -1

(2)

В смешанной форме метода конечных элементов при вычислении элементов блоков г и 5 за возможные принимаются действительные состояния, соответствующие основной системе. Элементы этих блоков могут быть получены по формуле Максвелла-Мора.

Окончательно получаем блок [д] следующего вида:

¿77 Зп 5п

М-

8„ <599.

Ь 1?

Т]— +

вА 12 Е1 0

0

0 1_ Е1 0

0

ЕА

Для данного рассматриваемого КЭ блок [г] - квадратная нулевая матрица шестого порядка.

На рис. 3 представлен более общий случай КЭ с упруго-податливыми связями по концам. Такой КЭ позволяет моделировать стержневые конструкции с податливыми узловыми соединениями стержней в узлах.

В этом случае матрица [/"] является ненулевой, ее коэффициенты складываются из двух составляющих: реакций во введенных связях от единичного смещения этих связей самого стержня и реакций в упругоподатливой опоре от того же единичного смещения: И=кД,(), (' = 1,2,3,...,6;} = 1,2,3,..,,б), здесь все значения нулевые, кроме:

Г11= С1' Г21=С2> г44=£,4> Г55=С5'

Рис.3

Формирование вектора воздействий, аналогично формированию локальной матрицы откликов КЭ в локальной системе координат.

В этом векторе подвектор реакций формируется путем вычисления реакций от нагрузок в основной системе смешанной формы МКЭ, которая является статически определимой.

Формирование подвектора перемещений также не представляет сложности. Каждый из элементов данного подвектора может быть получен по формуле Мора.

Так, например, для варианта загружения КЭ, показанного на рис. 4,а, компоненты подвекторов перемещений и реакций определяются выражениями:

(а-Ь); АРг = — —— (19а + 29£>);Л/Г9 = 0; Ди

1152£7

а+Ь ь

1

а

б

Рис.4

Использование смешанного вариационного принципа для нахождения элементов матрицы откликов приводит к тем же выражениям.

В работе получены также матрицы откликов пространственно ориентированного КЭ-стержня, используемого при расчете пространственных стержневых систем, для КЭ-криволинейного плоского стержня и для КЭ в виде двухслойной балки (рис. 5,а).

В зависимости от принимаемой расчетной схемы КЭ выбирается и основная система. Самой простой является дискретная расчетная схема, изображенная на рис. 5,6, в которой все силы взаимодействия слоев (конечных элементов первого уровня) сосредоточены в расчетных точках А, В, С основной системы (рис. 5,в).

г

а

Рис. 5

А,

А,

Л кэ(,)

1 11=172 кэ(2) 11=172

I II

----^ЭР^-;-----Н—(.)

Ч5

(о

№

х.1

Чз<2)чА

Х2-

х2—|В, Вц ¡4/" к(,)

ж I I

"и

т

х2

Х4

г.<2>

ч£2<ьй)

(2)

в,

,49-11

V2'

к"

В

Рис. 5

Для построения матрицы откликов используются условия совместности деформаций конечного элемента - 1 и конечного элемента - 2 (слоев объединенного конечного элемента).

1. д1т=д1т, 2. С=?Лз. = Д,Л,4. Д1Л =АхА,

(4)

Всего в основной системе смешанного метода для рассматриваемого

5- ДжЛ=Д,А,б. Д1>С1=Д1Са.

двухслойного конечного элемента имеем 20 неизвестных: д/0 = д{т,

(Ц (2) О) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) ~ (1) ~ (2) ~ (1) ~ (2)

Я, = Яа, Яг, Яг, Яз> Яг> Ъ , Яъ > Яь , Я7 > Яп » Я% > Я% ,

Я9 » Я9 ' > > » •

Рассмотрен также уточненный вариант расчетной схемы, в которой сдвигающие усилия Г между слоями КЭ распределены по линейному закону.

Основная система для такой расчетной схемы приведена на рис. 6, на которой показаны только отличающиеся от предыдущего варианта

распределенные сдвиговые обобщенные неизвестные х2, хъ, х4, создающие распределенный изгибающий момент и распределенную продольную нагрузку на конечный элемент первого уровня.

Рис.6

Алгоритм формирования глобальной матрицы откликов основан на поблочном формировании глобальной матрицы откликов. При нем достаточно сформировать только матрицы [<?] и [г], т.к. матрица [г] -квадратная нулевая матрица, с числом столбцов и строк, равному количеству связей основной системы, а [<?]= -[г]7-.

Эффективной при этом оказывается возможность формирования глобальной матрицы откликов без матричных перемножений, путем прямого построения блоков глобальной матрицы откликов. В этом случае элементы матрицы откликов КЭ размещаются непосредственно в соответствующем блоке глобальной матрицы откликов. Для выполнения этой процедуры используются индексные матрицы, аналогичные индексной матрице, в алгоритме формирования матрицы жесткости в МКЭ в перемещениях.

Матрицы индексов позволяют установить связь элементов друг с другом.

Предложенный алгоритм реализован в среде ЭсПаЬ и позволяет эффективно формировать глобальные матрицы откликов плоских стержневых систем.

Выполненное для некоторых типов стержневых КЭ формирование матриц откликов показало простоту и эффективность этих алгоритмов.

На основе этих алгоритмов могут быть получены матрицы откликов для любых типов стержневых КЭ.

Алгоритмы формирования глобальной матрицы откликов конструкции и составление разрешающей системы алгебраических уравнений аналогичны соответствующим алгоритмам МКЭ в перемещениях.

В третьей главе рассмотрено применение разработанных во второй главе алгоритмов в задачах статики стержневых систем.

Для иллюстрации практических возможностей и применения смешанной формы МКЭ приведены примеры статических расчетов стержневых конструкций. Эти тестовые примеры позволяют выявить особенности алгоритмов расчета в каждом конкретном случае, сравнить результаты расчетов с расчетами по другим методам, дать соответствующие рекомендации.

Как уже отмечено во введении, одним из основных недостатков в МКЭ в перемещениях является учет смещения КЭ как жесткого целого. При таких смещениях не происходит деформирование КЭ и энергия его деформации равна нулю. Однако эти смещения входят в общую величину узловых перемещений разрешающей системы уравнений, и их доля может быть очень большой в сравнении с перемещениями, вызывающими деформации КЭ. Особенно заметно это проявляется при наличии в конструкции элементов повышенной жесткости.

Для преодоления этой проблемы используются различные приемы: подбор специальных аппроксимирующих функций для смещений конечного элемента, предобуславливание разрешающей системы уравнений, многосеточные методы и т.д.

При расчете стержневых систем по методу конечных элементов в смешанной форме эта проблема не возникает.

Для иллюстрации рассмотрим расчет простейшей системы, состоящей из двух балок с различной изгибной жесткостью (рис. 7,а), т.е. £2//£,7 = или £,/ / Ег1 = к2, где к12 > 1.

Примем для неё следующие исходные данные: = \т, Рг = 0,5т, Е,= 3 -\Ог'т/м2, размеры прямоугольного сечения балки -6 = 0.15л«, к = 0.15м, ¿ = 4м, а = 2м.

Основная система смешанного метода представлена на рис. 7,6.

2—^- "2» * Л

1,=| У 12=а |3=а

с *

44

* '<1 4 ' Ч * 49 1

ТЧэ ТЯн

б

Рис.7

Матрица коэффициентов разрешающей системы уравнений для рассматриваемого случая хорошо обусловлена. Поэтому решение этой системы уравнений при любых значениях А, > 1, к2 > 1 является устойчивым,

кг = 103 к2 =102 *2=10' = 10! =10' к1 =оо

-0,08428 -0,08428 -0,08428 -0,08428 -0,08428 -0,08428

и £ -5,2253 -0,48461 -0,01053 0,04209 0,04213 0,04214

м>с=дп -20,9857 -2,02272 -0,12642 0,08407 0,08426 0,08427

Фс ~ Я\г -13,1266 -1,27473 -0,08955 0,04201 0,04213 0,04213

* результаты приведены в (мм).

При расчете с использованием ПК Лира при значении ¿,>10б из-за плохой обусловленности разрешающей системы уравнений возникает сбой и счет прекращается.

Выполненные расчеты простейших конструкций показали возможности и преимущества МКЭ в смешанной форме в задачах, связанных с учетом смещения конструкции или ее элементов как жесткого целого.

Сравнение результатов расчета с применением ПК Лира, основанном на МКЭ в перемещениях, с результатами расчета по смешанной форме метода конечных элементов показывает:

1. По смешанной форме МКЭ, принимая за конечный элемент стержень между узлами, получаем точное решение как по прогибам, так и по изгибающим моментам.

2. Измельчение сетки не требуется, так как оно не улучшает результат.

3. При расчете по МКЭ в перемещениях точный результат достигается лишь при измельчении сетки.

С использованием разработанной программы, реализующей алгоритм расчета по МКЭ в смешанной форме, выполнены примеры расчета различных конструкций: плоской фермы с шарнирным и жестким соединением стержней в узлах, рамы, системы балок, структурной плиты, двухслойной балки.

В частности, выполнен пример расчета двухслойной шарнирно опертой по концам балки, изображенной на рис. 5 на действие сосредоточенной нагрузки Г в середине пролета.

Рассмотрены два варианта расчетных схем, приведенных в главе 2.

На основании сравнения полученных результатов можно сделать вывод о том, что второй вариант расчетной схемы обеспечивает лучшую сходимость к точному решению, так как точнее отражает реальные свойства двухслойных балок.

Исследована возможность применения смешанной формы МКЭ к расчету геометрически нелинейных стержневых систем. Для этого рассмотрена известная по работам других исследователей задача об изгибе идеально упругой консольной балки, загруженной на конце сосредоточенным моментом (рис. 8,а).

ЕДА

У

¡М

б

Рис.8

Выполнен анализ геометрически нелинейного поведения консольной балки (рис. 8) при значениях момента на конце соответствующих

.1М л центральным углам (а а = а~л> а=2я.

По результатам расчета деформированная схема консольной балки, при разных значениях момента, представлена на рис. 8,6.

Предложенный алгоритм позволяет отследить геометрически нелинейное поведение балки при линейном поведении каждого из конечных элементов. По результатам расчета, полученным по ПК Лира, такое геометрически нелинейное поведение балки отследить не удается.

Выполненные тестовые примеры расчета показали полное совпадение результатов расчета с расчетами, выполненными с использованием классических методов. Это подтверждает правильность алгоритмов построения матриц откликов и формирования разрешающих систем уравнений.

В четвертой главе излагается алгоритм построения динамической матрицы откликов КЭ-стержня и алгоритм расчета на свободные и вынужденные колебания.

При решении задач динамики на определение частот свободных колебаний по МКЭ в смешанной форме все массы должны быть приведены к узлам сетки КЭ, рассматриваемой конструкции и в некоторых случаях к дополнительным узлам в поле КЭ, т.е. к местам введения дополнительных связей в основной системе и к местам удаленных связей. В диссертации рассмотрено несколько вариантов динамической матрицы откликов стержневого КЭ, соответствующих различным вариантам приведения масс.

Ниже для наглядности приведена структура матрицы откликов (5) для КЭ с сосредоточенными массами по концам и между узлами (рис. 9). Принятый в ней порядок расположения неизвестных наиболее удобен при стыковке КЭ.

Г

147 2

«Дня

1/2

У

Г)Сй

Ч9|

1/2ГГЦ

.Фрапк

'I

X

1/2

Рис.9

Д,

А1

Л,

—т. ,о> 2 "'

Ц 22

Я,

-1

—т.со

г '

Я4

Ц "2 2

<?5

12£/

£7

/2

т

-1

?7

2 2

О

"ш

I'

1

48£У т,й>г

(5)

Сопоставительный анализ расчетов с использованием различных вариантов динамических матриц откликов показал, что использование «согласованной» матрицы откликов (с полностью заполненной матрицей масс) не дает преимуществ по точности определения собственных частот по сравнению с динамической матрицей откликов, имеющей в своем составе диагональную матрицу масс.

При одинаковой сетке конечных элементов применение смешанной формы МКЭ обеспечивает лучшую сходимость к точному решению по сравнению с МКЭ в перемещениях.

Матрицы динамических откликов КЭ типа (5) и соответственно глобальные матрицы откликов содержат три разных типа строк элементов: строки с элементами, содержащими величины Л-Мю1 элементами Я=сог и без них.

В диссертации разработан алгоритм преобразования частотного уравнения на основе динамической матрицы откликов (5) к стандартному виду алгебраической проблемы собственных векторов и собственных значений |С - ЯЕ\ = 0.

Выполненные на основе разработанного алгоритма примеры расчета частот свободных колебаний одномерных и двумерных систем (балок, ферм, рам, систем перекрестных балок) показали полное совпадение с точными аналитическими и численными полученными другими авторами с использованием классических методов и МКЭ в перемещениях.

Полученная в диссертации динамическая матрица откликов продольно сжатого КЭ-стержня позволяет выполнить расчет стержневой системы на совместное воздействие динамической возмущающей нагрузки и продольного сжатия. Приведены примеры таких расчетов, в частности рассмотрена классическая задача о динамической устойчивости фермы Мизеса.

Основные результаты и выводы:

1. Смешанная форма МКЭ является более общей по отношению к МКЭ в форме метода сил и перемещений.

2. Смешанная форма МКЭ может быть формализована и автоматизирована в той же степени, что и МКЭ в перемещениях.

3. Алгоритмы формирования глобальной матрицы откликов конструкции и составление разрешающей системы алгебраических уравнений также аналогичны соответствующим алгоритмам МКЭ в перемещениях.

4. Разработанный алгоритм построения матрицы динамических откликов КЭ-стержня позволяет учесть различные особенности расчетных схем и эффективно решать задачи расчета конструкций на свободные и вынужденные колебания, общую устойчивость стержневых конструкций.

5. Выполненные тестовые примеры расчета показали полное совпадение результатов расчета с различными, выполненными с использованием классических методов.

6. Преимущества смешанной формы МКЭ заключается в нахождении усилий и перемещений в результате непосредственного решения системы разрешающих уравнений и частичного, а для стержневых систем - полного, снятия проблемы учета смещения как жесткого целого и устранения связанной с ней накопления ошибок машинного счета.

7. Достоверность расчетов по МКЭ в смешанной форме и их обязательное совпадение с расчетами по классическим методам предопределяется использованием тех же допущений и положений, принятых в строительной механике стержневых систем.

8. МКЭ в смешанной форме может быть распространен на расчет стержневых систем в геометрически нелинейной постановке. При этом учет изменения геометрии системы на каждом шаге последовательных нагружений выполняется не сложнее, чем в традиционном МКЭ.

По теме диссертационной работы имеются следующие публикации:

Статьи по теме диссертации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Габова В. В., Игнатьев А. В. Алгоритм формирования глобальной матрицы откликов плоской стержневой системы // Вестн. ВолгГАСУ. Сер.: Стр-во и архитектура. 2009. Вып. 14 (33). С. 71-74.

2. Габова В. В., Игнатьев А. В. Получение матрицы откликов стержневого конечного элемента плоской стержневой системы на основе смешанного вариационного принципа // Вестн. ВолгГАСУ. Сер.: Стр-во и архитектура. 2009. Вып. 14 (33). С. 75-79.

Публикации по теме диссертации в других изданиях:

3. Габова В. В., Игнатьев А. В. Алгоритм статического расчета плоских стержневых систем по методу конечных элементов в смешанной форме // Вестн. ВолгГАСУ. Сер.: Естеств. науки. 2007. Вып. 6 (23). С. 72-77.

4. Габова В. В. Влияния нумерации узлов и элементов основной системы на структуру глобальной матрицы откликов и результаты расчета при численной реализации алгоритма статического расчета плоских стержневых систем по МКЭ в смешанной форме [Электронный ресурс] // Интернет-вестник ВолгГАСУ. Сер.: Строительная информатика. 2008. Вып. 3 (б). URL: http://vestnik.vgasu.m/attachments/si-3(6) 2(1) gabova-6-08.pdf

(дата обращения: 19.05.2008).

5. Габова В. В., Игнатьев В. А. Расчет стержневой системы на динамические воздействия с применением метода конечных элементов // X Региональная конференция молодых исследователей Волгоградской области, Волгоград, 8-11 нояб. 2005 г. Направление № 16 "Архитектура, градостроительство, стр-во и эколог, проблемы" : тез. докл. - Волгоград : Изд-во ВолгГАСУ, 2006. - С. 11.

6. Габова В. В. Применение алгоритма расчета плоских стержневых систем по методу конечных элементов в смешанной форме к расчету плоских рам // Материалы ежегодной научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава и студентов ВолгГАСУ, 24-27

апреля 2007 г.: в 3 ч. Ч. 1 : Архитектура, градостроительство. Строительство . - Волгоград : Изд-во ВолгГАСУ, 2008. - С. 237-240.

7. Габова В. В., Игнатьев А. В. Формирование матрицы эквивалентных узловых масс стержневого конечного элемента с распределенной по длине собственной массой при решении задач динамики по смешанной форме метода конечных элементов // Социально-экономические и технологические проблемы развития строительного комплекса региона. Наука. Пракгика. Образование : материалы III Всерос. науч.-техн. конф., г. Волгоград - г. Михайловка, 22-23 окт. 2009 г. - Волгоград : Изд-во ВолгГАСУ, 2009. - С. 121-123.

8. Габова В. В. Построение матрицы откликов для стержневого КЭ с учетом инерционных составляющих от точечных масс // Энерго- и ресурсосбержение в строительной индустрии. Организационно-экономические и социальные проблемы хозяйствования в строительстве : материалы науч.-техн. интернет-конф. СФ ВолгГАСУ, 1 июня 2010 г., г. Михайловка Волгогр. обл. - Волгоград: Изд-во ВолгГАСУ, 2010. - С. 56-62.

9. Габова В. В. Алгоритм формирования глобальной матрицы откликов плоской стерневой системы с применением индексных матриц // Проблемы, состояние комплексных мелиораций и их роль в обеспечении продовольственной безопасности России : материалы Междунар. науч,-практ. конф., посвящ. 45-летию образования эколого-мелиоратив. фак. ВГСХА, 9-11 нояб. 2009 г., г. Волгоград. - Волгоград : ИПК "Нива" ВГСХА, 2010.-С. 290-293.

Габова Виктория Викторовна

ПРИМЕНЕНИЕ СМЕШАННОЙ ФОРМЫ МКЭ К РАСЧЕТАМ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Автореферат

на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано в печать 28.04.2001г. Формат 60 х 84/16. Гарнитура «Times New Roman». Бумага офсетная. Печать трафаретная. Усл. Печ. Л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 106.

Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет Центр оперативной полиграфии ЦИТ, 400074, г. Волгоград, ул. Академическая, д. 1

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ (Краткая история становления и развития метода конечных элементов)

1.1 История развития метода конечных элементов

1.2 Основные направления развития метода конечных элементовГЗ

1.3 Выводы

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДА

КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В СМЕШАННОЙ ФОРМЕ

2.1 Вывод уравнений смешанного метода на основе смешанного вариационного принципа

2.2 Получение матрицы откликов для конечного элемента плоской стержневой системы

2.2.1 Классический подход получения матрицы откликов для конечного элемента - стержня плоской стержневой системы

2.2.2 Формирование вектора внешних воздействий на конечный элемент

2.2.3 Получение матрицы откликов конечного элемента - стержня на основе смешанного вариационного принципа

2.2.4 Матрица откликов пространственно ориентированного конечного элемента-стержня

2.2.5 Конечный элемент в виде двухслойной балки

2.2.6 Конечный элемент — криволинейный плоский стержень

2.3 Преобразование матрицы откликов конечного элемента от местной к общей (глобальной) системе координат

2.4 Алгоритм формирования глобальной матрицы откликов

2.5 Алгоритм статического расчета стержневых систем

2.6 Выводы

3 ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В

СМЕШАННОЙ ФОРМЕ В ЗАДАЧАХ СТАТИКИ СТЕРЖНЕВЫХ

СИСТЕМ

3.1 Расчет балки на упругих опорах

3.2 Особенности расчета стержневых систем, содержащих элементы с резко различными жесткостями

3.3 Расчет плоских стержневых конструкций

3.4 Расчет балки составного сечения

3.5 Расчет двумерных стержневых систем

3.5.1 Система перекрестных балок

3.5.2 Шарнирно-стержневая плита

3.6 Возможности применения смешанной формы метода конечных элементов в расчетах геометрически нелинейных стержневых систем

3.7 Выводы ИЗ

ГЛАВА 4. ПОСТРОЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ

ОТКЛИКОВ СТЕРЖНЕВОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА

4.1 Приведение сосредоточенных и распределенных по длине конечного элемента масс к узловым

4.2 Динамическая матрица откликов

4.2.1 Конечный элемент с распределенной по длине массой, приведенной к узлам

4.2.2 Конечный элемент с сосредоточенными массами по концам и между узлами

4.3 Сопоставительный анализ использования различных типов динамических матриц откликов стержневого конечного элемента

4.3.1 Расчет с использованием динамической матрицы откликов для конечного элемента с распределенной массой

4.3.2 Расчет с использованием матрицы откликов (4.22)

4.3.3 Расчет с использованием матрицы откликов (4.23)

4.4 Приведение частотного уравнения смешанной формы метода конечных элементов к стандартному виду алгебраической проблемы собственных векторов и собственных значений

4.5 Свободные колебания системы перекрестных балок с узловыми точечными массами

4.6 Динамическая матрица откликов продольно-сжатого конечного элемента-стержня

4.6.1 Конечный элемент-стержень с шарнирным опиранием по концам

4.6.2 Конечный элемент-стержень с жестким закреплением по концам

4.7 Вынужденные колебания

4.8 Выводы

Проектирование и строительство надежных, высокоэффективных конструкций и сооружений в большой степени зависят от возможности прогнозирования их поведения при возможных полях воздействий на них (силовых, температурных, кинематических и т.д.).

Точность прогнозирования зависит в свою очередь от наличия соответствующих по точности методов расчета, возможностей проведения численных экспериментов и проверки достоверности результатов расчета.

Именно это предопределяет основное направление развития строительной механики — разработку новых и совершенствование известных методов расчета.

Общепризнано, что самым распространенным и универсальным численным методом решения краевых задач является сегодня метод конечных элементов в форме метода перемещений. Особенно широко он применяется в задачах механики деформируемого твердого тела и строительной механики.

Теории и реализации метода конечных элементов посвящена обширная литература. Популярность этого метода обусловлена его непосредственной связью с классическими методами строительной механики и вытекающих из них простотой и наглядностью, а также возможностью расчета тел любой геометрической формы.

Метод конечных элементов, соединяя в себе универсальность, высокую степень формализации и алгоритмизации, предоставил возможность полной автоматизации вычислительного процесса. Наличие многочисленных программных комплексов, реализующих метод конечных элементов, расширило многократно возможности детального исследования напряженно-деформированного состояния конструкций.

Анализ литературы, посвященной методу конечных элементов, позволяет сделать вывод о том, что большинство работ посвящено классическому варианту метода конечных элементов в форме метода перемещений. Однако эта форма наряду с достоинствами обладает и недостатками: более низкая по сравнению с перемещениями точность определения напряжений, учет смещения конечного элемента как жесткого целого и др.

Это обстоятельство вызвало появление работ, целью которых является исследование и развитие других форм метода конечных элементов — в форме метода сил, в смешанной форме, различные гибридные варианты. Их целью являлось создание более эффективного варианта метода конечных элементов по сравнению с методом конечных элементов в форме метода перемещений.

Данная работа посвящена развитию и применению смешанной формы метода конечных элементов в расчетах стержневых систем.

Исследования, выполненные A.M. Масленниковым, В.А. Игнатьевым и их учениками, позволяют сделать вывод о преимуществах смешанной формы метода конечных элементов по сравнению с традиционным методом конечных элементов в форме метода перемещений в расчетах стержневых и пластинчатых систем.

Поэтому дальнейшее развитие и совершенствование метода конечных элементов в смешанной форме является актуальной задачей.

Данное исследование выполнено в соответствии с тематическим планом научно-исследовательских работ ГО ВПО «Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет» по теме «Совершенствование расчета строительных конструкций сплошной и стержневой структуры» (номер государственной регистрации 01.200.111161) программы «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники».

Целью диссертационной работы является:

- дальнейшее развитие и применение смешанной формы метода конечных элементов в задачах расчета стержневых систем;

- разработка методики решения задач статики, динамики и устойчивости стержневых систем;

- разработка алгоритмов и численная реализация предлагаемой методики для решения задач статики, динамики и устойчивости.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

- реализован единый подход к получению матриц откликов стержневых конечных элементов для расчета стержневых систем по методу конечных элементов в смешанной форме;

- усовершенствована методика получения матрицы откликов конечного элемента - стержня для задач статики, динамики и устойчивости;

- на основе единого подхода разработаны алгоритмы решения задач статики, динамики и устойчивости стержневых систем.

Практическая значимость диссертационной работы:

- предложенные в данной работе алгоритмы решения задач статики, динамики и устойчивости стержневых систем позволяют формализовать и автоматизировать расчет по методу конечных элементов в смешанной форме в той же степени, что и по методу конечных элементов в форме метода перемещений;

- результаты работы могут быть использованы при разработке комплекса программ, реализующих алгоритм расчета по методу конечных элементов в смешанной форме;

- результаты работы использованы в учебном процессе и учебных пособиях по курсу строительной механики.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

- алгоритм формирования матрицы откликов стержневого конечного элемента для задач статики, динамики и устойчивости стержневых систем;

- алгоритмы формирования разрешающих уравнений для задач статики, динамики и устойчивости стержневых систем по методу конечных элементов в смешанной форме;

- общий алгоритм расчета стержневых систем по методу конечных элементов в смешанной форме.

Достоверность научных положений и результатов, полученных в работе, обеспечивается корректностью постановки задач в рамках классических методов строительной механики с использованием тех же гипотез и допущений, а также сравнением полученных результатов решения тестовых задач с результатами, полученными как на основе классических методов, так и по методу конечных элементов в форме метода перемещений.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы обсуждались на следующих конференциях:

- IX региональная конференция молодых исследователей Волгоградской области, Волгоград, 2004;

- X региональная конференция молодых исследователей Волгоградской области, Волгоград, 2005;

- III Всероссийская научно-техническая конференция «Социально-экономические проблемы развития строительного комплекса региона. Наука. Практика. Образование», г. Волгоград - г. Михайловка, 2009;

- Международная научно-практическая конференция «Проблемы, состояние комплексных мелиораций и их роль в обеспечении продовольственной безопасности России», Волгоград, 2009;

- Научно - техническая интернет - конференция «Энерго - и ресурсосбережение в строительной индустрии. Организационно -экономические и социальные проблемы хозяйствования в строительстве», г. Михайловка Волгоградской области, 2010;

- ежегодные конференции профессорско-преподавательского состава ВолгГАСУ;

- совместное заседание кафедр прочностного цикла ВолгГАСУ. Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в девяти публикациях. Из них две в журналах, входящих в список ВАК.

Структура и объем диссертации. Текст диссертации изложен на 184 страницах, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 132 наименований и содержит 84 рисунка, 14 таблиц.

Выводы по работе

1. Смешанная форма метода конечных элементов является более общей по отношению к методу конечных элементов в форме метода сил и перемещений.

2. Смешанная форма метода конечных элементов может быть формализована и автоматизирована в той же степени, что и метод конечных элементов в перемещениях.

3. Алгоритмы формирования глобальной матрицы откликов конструкции и составление разрешающей системы алгебраических уравнений также аналогичны соответствующим алгоритмам метода > конечных элементов в перемещениях.

4. Разработанный алгоритм построения матрицы динамических откликов конечного элемента-стержня позволяет учесть различные особенности расчетных схем и эффективно решать задачи расчета конструкций на свободные и вынужденные колебания, общую устойчивость стержневых конструкций.

5. Выполненные тестовые примеры расчета показали полное совпадение результатов расчета с различными примерами, выполненными с использованием классических методов.

6. Преимущества смешанной формы метода конечных элементов заключается в нахождении усилий и перемещений в результате непосредственного решения системы разрешающих уравнений, а для стержневых систем - полного, снятия проблемы учета смещения как жесткого целого и устранения связанной с ней накопления ошибок машинного счета.

7. Достоверность расчетов по методу конечных элементов в смешанной форме и их обязательное совпадение с расчетами по классическим методам предопределяется использованием тех же допущений и положений, принятых в строительной механике стержневых систем.

8. Метод конечных элементов в смешанной форме может быть распространен на расчет стержневых систем в геометрически нелинейной постановке. При этом учет изменения геометрии системы на каждом шаге последовательных нагружений выполняется не сложнее, чем в традиционном методе конечных элементов.

173

1. Аргирис Дж. Энергетические теоремы и расчет конструкций // Современные методы расчета статически неопределимых систем : сб. ст. : пер. с англ. Л., 1961. Ч. 1. С. 37 255.

2. Аргирис Дж., Келси С. Энергетические теоремы и расчет конструкций // Современные методы расчета статически неопределимых систем : сб. ст. : пер. с англ. Л., 1961. Ч. II С. 256293.

3. Аргирис Дж. Современные методы расчёта сложных статически неопределимых систем. Л. : Судпромгиз, 1961. 190 с.

4. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. М. : ИЛ, 1968. 240 с.

5. Батэ К., Вилсон Э. Численные методы и метод конечных элементов : пер. с англ. М. : Стройиздат, 1982. 448 с.

6. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П. Кобельков Г. М. Численные методы. М. : Лаб. базовых знаний, 2001. 632 с.

7. Безухов Н. И., Лужин О. В., Колкунов Н. В. Устойчивость и динамика сооружений в примерах и задачах. М. : Стройиздат, 1969. 424 с.

8. Вениаминов Д. М. О смешанном методе строительной механики // Строит, механика и расчет сооружений. 1973. № 5. С. 34-37.

9. Вениаминов Д. М. Уравнения смешанного метода в теории упругости // Строит, механика и расчет сооружений. 1975. № 5. С. 43-46.

10. Ю.Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448 с.

11. П.Богнер Ф. К., Фокс Р. Л., Шмит Л. А. Расчет цилиндрических оболочек методом дискретных элементов // Ракет, техника и космонавтика. 1965. Т. 3, № 12.

12. Булгаков В. Е., Золотов А. Б., Белый М. В. Полуитерационный метод решения пространственных краевых задач расчета сооружений // Строит, механика и расчет сооружений. 1985. № 6. С. 38-40.

13. Бурман 3. И., Артюхин Г. А., Зархин Б. Я. Программное обеспечение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженерных расчетах. М. : Машиностроение, 1988. 254 с.

14. Н.Варвак П. М., Бузин И. М., Городецкий А. С. Метод конечных элементов. Киев : Вища шк., 1981. 176 с.

15. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М. : Мир, 1987. 542 с.

16. Власов В. 3., Леонтьев Н. Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М. : Физматгиз, 1960. 491 с.

17. Вольмир А. С. Статика и динамика сложных структур. М. : / Машиностроение, 1989. 248 с.

18. Галишникова В. В., Игнатьев А. В. Расчет по МКЭ в смешанной форме шарнирно-стержневых систем // Вестн. ВогГАСА. Сер.: Техн. науки. 2001. Вып. 1 (4). С. 99-104

19. Галишникова В. В., Игнатьев В. А. Регулярные стержневые системы (теория и методы расчета). Волгоград : ВолгГАСУ, 2006. 552 с.

20. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М. : Мир, 1984. 428 с.

21. Галлагер Р., Падлог Дж., Бейлард П. Анализ напряжений в конструкциях сложной формы, подверженных нагреву // Ракет, техника и космонавтика. 1962. Т. 32, № 5. С. 52-61.

22. Гвоздев А. А. Общий метод расчета сложных статически неопределимых систем. М. : МИИТ, 1927. 239 с.

23. Геммерлинг А. В. Устойчивость сложных стержневых систем // Строит, механика и расчет сооружений. 1979. № 4. С. 58-64.

24. Голованов А. И., Бережной Д. В. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел. Казань : «ДАС», 2001. 300 с.

25. Городецкий А. С., Гильман Г. Б. О стержневых расчетных схемах тонкостенных железобетонных конструкций // Стр-во и архитектура. 1964. № 10.

26. Дарков А. В., Шапошников Н. Н. Строительная механика. М. : Высш. шк, 1986. 607 с.

27. Длугач М. И. Метод сеток в смешанной плоской задаче теории упругости. К. : Изд-во «Наукова думка», 1964. 260 с.

28. Дмитриев Л. Г., Сосис П. М. Программирование расчета пространственных конструкций. К. : Госстройиздат, 1963. 228 с.

29. Зенкевич О. К. Метод конечных элементов в технике : пер. с англ. М. : Изд-во «Мир», 1975. 541 с.

30. Зенкевич О. К., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М. : Мир, 1986.318 с.

31. Зенкевич О. К., Ченг Ю. К. Метод конечных элементов в задачах строительной и непрерывной механики. М. : ГОНТИ, 1971.

32. Игнатьев А. В. Развитие и применение смешанной формы МКЭ в расчетах стержневых систем и пластинок : дис. . канд. техн. наук / ВолгГАСУ. Волгоград, 2002. 120 с.

33. Игнатьев В. А. Расчет регулярных стержневых систем. Саратов : Ротапринт СВВУ, 1973. 433 с.

34. Игнатьев В. А. Метод конечных элементов в задачах строительной механики. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1980. 87 с.

35. Игнатьев В. А. Расчет регулярных статически неопределимых стержневых систем. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1979. 296 с.

36. Игнатьев В. А., Галишникова В. В. Основы строительной механики / Волгогр. гос. архит.-строит. ун-т. Волгоград : Изд-во ВолгГАСУ, 2007. 640 с.

37. Игнатьев В. А., Игнатьев А. В. Новый подход к построению матриц упругих свойств конечных элементов и алгоритма расчета плоских стержневых систем по МКЭ в смешанной форме // Вестн. ВолгГАСА. Сер. : Техн. науки. 2001. Вып. 1(4). С 3-14.

38. Игнатьев В. А., Игнатьев А. В. Смешанная форма метода конечных элементов в задачах строительной механики / Волгогр. гос. архит.-строит. ун-т. Волгоград : Изд-во ВолгГАСУ, 2005. 100 с.

39. Игнатьев В. А., Игнатьев А. В., Жиделев А. В. Смешанная форма метода конечных элементов в задачах строительной механики / Волгогр. гос. архит.-строит. ун-т. Волгоград : Изд-во ВолгГАСУ, 2006. 172 с.

40. Игнатьев В. А., Шашков С. М. Динамика сооружений / ВолгИСИ. Волгоград : Изд-во ВолгПИ, 1988. 84 с.

41. Караманский Т. Д. Численные методы строительной механики. М. : Стройиздат, 1981. 430 с.

42. Киселев В. А. Строительная механика : общ. курс. М. : Стройиздат, 1986. 520 с.

43. Киселев В. А. Строительная механика. Специальный курс : Динамика и устойчивость сооружений. М. : Стройиздат, 1980. 616 с.

44. Клочков Ю. В., Николаев А. П., Гуреева Н. А. Сравнительный анализ эффективности использования конечных элементов треугольной и четырехугольной форм в расчетах оболочек вращения // Изв. вузов. Стр-во. 2004. № 3. С. 103-109.

45. Корнеев В. Г. Сопоставление метода конечных элементов с вариационно-разностным методом решения задач теории упругости // Изв. ВНИИГ. 1967. Т. 83. С. 287-307.

46. Коробков В. М., Сливкер В. Н. К решению плоской задачи теории упругости для прямоугольных областей на ЭВМ // Вычислит, и орг. техника (Стр-во и архит.). 1968. № 4.

47. Кривошапко С. Н. Строительная механика: лекции, семинары, расчетно-графические работы. М. : Высш. шк., 2008. 391 с.

48. Лантух-Лященко А. И. ЛИРА. Программный комплекс расчета и проектирования конструкций. Киев ; М. : Факт, 2001. 359 с.

49. Ли С. В., Пиан Т. X. Усовершенствование метода расчёта конечных элементов для пластин и оболочек с помощью смешанного подхода // Ракет, техника и космонавтика. 1978. № 1. С. 38-45.

50. Лубо Л. Н., Миронков Б. А. Плиты регулярной пространственной структуры. Л. : Стройиздат, 1976. 104 с.

51. Львин Б. Я. Рациональные методы расчета многоэтажных рам на горизонтальную нагрузку // Исследования по теории сооружений. М. : Госстройиздат, 1959. Вып. 8.

52. Мак-Кормик С. У. Решение плоской задачи теории упругости // Расчет строительных конструкций с применением электронных машин. М. : Госстройиздат, 1967.

53. Матевосян Р. Р. Устойчивость сложных стержневых систем (качественная теория). М. : Госстройиздат, 1961. 184 с.

54. Мелош Р. Д. Основы получения матриц жесткости для прямого метода жесткостей // Ракет, техника и космонавтика. 1963. №7. С. 169-176.

55. Мелош Р. Д. Расчет массивных тел методами строительной механики стержневых систем // Расчет строительных конструкций с применением электронных машин. М. : Иностр. лит., 1967.

56. Метод конечного элемента в механике деформируемых тел / Д. В. Вайнберг и др. // Прикл. механика. 1972. Т. VIII, вып. 8. С. 3-28.

57. Метод конечных элементов в механике твердых тел / А. В. Сахаров и др.. Киев : «Вища шк.». Головное изд-во, 1982. 480 с.

58. Методы расчёта стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ : в 2-х ч. / под ред А. Ф. Смирнова. М. : Стройиздат, 1976. Ч. 2. 237 с.

59. Немчинов Ю. И. Метод конечных элементов в механике тонкостенных пространственных и стержневых конструкций : автореф. дис. . д-ра техн. наук. Л. : Изд-во Ленингр. инж.-строит, ин-та, 1983. 36 с.

60. Перельмутер А. В., Сливкер В. И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. Киев : Изд-во «Сталь», 2002. 197 с.

61. Покровский А. А. Геометрические соотношения конечного элемента и их применение к расчету гибких стержней и стержневых систем // Прикл. механика. 1987. Т. XIV. № 7. С. 104-107.

62. Постнов В. А., Хархурим И. Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. JI. : Судостроение, 1974. 344 с.

63. Постнов В. А. Численные методы расчёта судовых конструкций. JI. : Судостроение, 1977. 280 с.

64. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М. : Наука, 1987. 712 с.

65. Раевский А. Н. Примеры расчета стержневых систем на устойчивость. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1991. 92 с.

66. Рекунов С. С. Применение смешанной формы МКЭ к расчетам пластинчатых систем : дис. . канд. техн. наук. Волгоград, 2008. 172 с.

67. Решение статических и динамических задач расчета МКЭ / JL А. Розин и др. // Численные методы решения задач строительной механики. Киев : КИСИ, 1978.

68. Ржаницын А. Р. Представление сплошного изотропного упругого тела в виде шарнирно-стержневой системы // Исследование по вопросам строительной механики и теории пластичности. М. : Госстройиздат, 1956. С. 81-83.

69. Ржаницын А. Р. Строительная механика. М. : Высш. шк., 1991. 440 с.

70. Рикардс Р. Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. Рига : ЗИНАТНЕ, 1988. 284 с.

71. Розин JI. А. Вариационные постановки задач для упругих систем. JI. : Изд-во ЛГУ, 1978. 223 с.

72. Розин Л. А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭВМ. Метод конечных элементов. Л. : Энергия, 1971. 213 с.

73. Розин JI. А. О связи метода конечных элементов с методами Бубнова-Галеркина и Ритца // Строительная механика сооружений. Л. : ЛПИ, 1971. С. 6-27.

74. Розин Л. А.Стержневые системы, как системы конечных элементов. Л. : Изд-во Ленинградского университета, 1976. 232 с.

75. Розин Л. А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М. : Стройиздат, 1977. 128 с.

76. Розин Л. А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. СПб : Изд-во СПбГТУ, 1998. 532 с.

77. Сахаров А. С., Соловей H. А. Исследование сходимости метода конечных элементов в задачах пластин и оболочек. Пространственные конструкции зданий и сооружений. М. : Стройиздат, 1977. Вып. 3.

78. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов : пер. с англ. М. : Изд-во «Мир», 1979. 394 с.

79. Секулович М. Метод конечных элементов : пер. с серб. М. : Стройиздат, 1993. 664 с.

80. Симпсон Г., Антеби Д. Исследование сложных оболочек методом конечных элементов // Большепролетные оболочки. М. : Стройиздат, 1969. Т. 1.

81. Сливкер В. И. Строительная механика. Вариационные основы : учеб. пособие. М. : АСВ, 2005. 736 с.

82. Строительная механика. Стержневые системы / А. Ф. Смирнов и др.. М. : Стройиздат, 1984. 512 с.

83. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений / А. Ф. Смирнов и др.. М. : Стройиздат, 1984. 416 с.

84. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М. : Мир, 1977. 349 с.

85. Трайнин Л. А. Сопоставление численной реализации на ЭВМ метода конечных элементов на основе применения вариационных принципов

86. Лагранжа и Рейсснера. Численные методы решения задач строительной механики. Киев : КИСИ, 1978. С. 12-16.

87. Трофимов В. И., Бегун Г. Б. Структурные конструкции / ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко. М. : Стройиздат, 1972. 272 с.

88. Трушин С. И. Метод конечных элементов. Теория и задачи. М. : Изд-во ABC, 2008. 256 с.

89. Тюкалов Ю. Я. Решение задач строительной механики методом конечных элементов в напряжениях на основе функционала дополнительной энергии и принципа возможных перемещений : дис. . д-ра техн. наук / Вятский гос. ун-т. Киров, 2006. 314 с.

90. Фиалко С. Ю. Агрегатный многоуровневый метод решения конечно-элементных задач строительной механики : дис. . д-ра техн. наук / Киевский национ. ун-т стр-ва и архитектуры. Киев, 2003. 283 с.

91. Филин А. П. Прикладная механика твердого тела. М. : Наука, 1981. Т. 3.480 с.

92. Хечумов Р. А., Кеплер X., Прокопьев В. И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. М. : АСВ, 1994. 351 с.

93. Чигарев А. В., Кравчук А. С., Смалюк А. Ф. ANSYS для инженеров. М. : Машиностроение, 2004. 512 с.

94. Чирас А. А. Строительная механика. Теория и алгоритмы. М. : Стройиздат, 1989. 255 с.

95. Шапошников Н. Н. Расчет пластинок на изгиб по методу конечного элемента // Труды Моск. ин-та инж. трансп. М., 1968. Вып. 260.

96. Best G. Формулы для некоторых видов матриц жесткости элементов конструкций // Ракетн. техника и космонавтика. 1963. № 1.

97. Best G. Общая формула для матрицы жесткости элементов конструкций // Ракетн. техника и космонавтика. 1963. № 8.

98. Bleich F. Die Berechnung st-unbest. Tragwerce nach der Methode des Viermomentensatres. Berl., 1918.

99. Chan A. S. L., Trbojevic V. M. Thin shell finite element by the mixed method formulation. Part 1 // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. 1976. V. 9, № 3. P. 679-689.

100. Courant R. Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibrations // Bull. Amer. Math. Soc. 1943. Vol. 49. P. 1-23.

101. Clough R. W. The Finite Element Methods in Plane Stress Analysis // Proceedings of 2nd ASCE Conf. on Electronic Computation. Pittsburg, 1960.

102. Elias Z. H. Mixed variational principles for shells // Var. Meth. Eng. Southampton, 1973. Vol. 1.

103. Gallagher R. H. Методы получения матриц жесткости элементов // Ракет, техника и космонавтика. 1963. № 6.

104. Gienke Е. A simple «mixed» method for plate and shell problems // Nucl. Eng. and Des. 1974. V. 29, № l.P. 141-155.

105. Herrmann L. R. Elasticity equations for incompressible and nearly incompressible materials by a variational theorem // AIAA J. 1965. Vol. 3, N 10.

106. Herrmann L. R. Finite Element Bending Analysis of Plate // J., Eng., Mech. Div. ASCE, 95. 1968. NoEM 5.

107. Hrennikoff A. Solution of problems in elasticity by the framework method // J. Appl. Mech. 1941. N 8. Ser. A.

108. Lee S. W., Rhiu I. I. A new efficient approach to the formulation on mixed finite element models for structural analysis // Intern. J. Numerical Methods Eng. 1986. Vol. 21, № 9. P. 1629-1641.

109. Malkus D. S., Hughes T. J. R. Mixed finite element method reduced and selective integration techniques: a unification of concepts // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng., Vol. 15, № 1, 1978. P. 63-81.

110. Oden J. T. A General Theory of Finite Elements // Int. J. Num. Eng. 1969. № 1. P. 205-226, 247-260.

111. Oden J. Т., Reddy J. N. Some observation on properties of certain mixed finite element approximations // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1975. V. 9, № 4. P. 933-938.

112. Pian Т. H. H. Получение матриц жесткости элементов // Ракет, техника и космонавтика. 1964. № 3.

113. Reisner Е. On a variational theorem in elasticity // J. Math. And Phys., 1950, Vol. 29, №2.

114. SCAD OFFICE. Интегрированная система анализа конструкций / В. С. Карпиловский и др.. М. : АСВ, 2003. 255 с.

115. Striklin J. A., Navaratna D. R., Pian Т. Н. Н. Усовершенствование расчета оболочек вращения матричным методом перемещений // Ракет, техника и космонавтика. 1966. № 11.

116. Tottenham Н., Barony S. Y. Mixed finite element formulation for geometrically non-linear analysis of shells of revolution // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1978. V. 12, № 2. P. 195-201.

117. Stiffness and deflection analysis of complex structures / M. J. Turner et al. // J. Aeronaut, Sci. 1956. Vol. 23, N 9. P. 803-823.

118. Wolf John P. Alternate hybrid stress finite element models // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1975. V. 9, № 3. P. 601-615.

119. Wolf John P. Stress finite-element models with independent strain // Int. J. Numer. Meth. ng. 1975. V. 5. P. 555-568.

120. Zienkiewicz О. C., Cheung Y. K. The finite element method in structural and continuum mechanics. London, 1967.

121. Zolotov А. В., Akimov P. A. Semianalytical Finite Element Method for Two-dimensional and Three-dimensional Problems of Structural

122. Analysis // Proceedings of the International Symposium LSCE 2002 organized by Polish Chapter of IASS. Warsaw, Poland, 2002. P. 431-440.t