автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Плоская задача теории упругости неоднородных тел для двухслойной кольцевой области

ГОСУДАРСТЗЕННЕа КОМИТЕТ СССР ПО НАРОДОЛУ ОБРАЗОВАНИЮ ОРДЕНА ДРУЖБЫ НАРОДОВ УНИВЕРСИТЕТ даЖЫ НАРОДОВ имени ПАШКА ЛУЫУМБЫ

На правах рукописи

1СЕРЕ.ЮВ КЁМА1 АЧ1Ш1ЕВИЧ ШхОСКАЯ ЗШЧ& ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ШОдпОРОДШХ та Мя ДЗУЮлО^Юл КСДЬЦЕВОи ОБЛАСТИ

05.2с. 17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученол степени кандидата технических наук

Москва - 1991 г.

Работа выполнена в Туркменском политехническом институте

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

- доктор технических наук, профессор Андреев Б.И.

- доктор технических наук, старший научный сотрудник

'Шейнин В.И.

кандидат технических наук, доцент Пронопьев В.И.

- ЦШИСК им.В.А.Кучеренко

»защита состоится

1991 г. в /5"

ъ<&

часов на заседании специализированного Совета К 053.22.20 по присуждению ученой степени кандидата технических наук в Ордена Дружбы народов Университете ДруяЗы народов имени Патриса Лумумбы по адресу: 117198, г.Москва, ул.Орджоникидзе, 3,ауд.34£

С диссертацией маяно ознакомиться в научной' библиотеке университета /г.Москва, ул.Ш'1Клухо-ыаклая,6/.

Азтсрэ:рерат разослан "_" ¿р^фе^лЛ_1991 года.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат технических наук,

доцент С .11. Крив оша пк с

. ; . 0БЩМ1 ХАРШЕРЛСТЖА РАБОТЫ

.......""Актуальность темы. Основные требования,

которые предъявляет современное развитие механики деформируемого твердого тела и строительной механики, является'учат реальных свойств и услозиП работы конструкции, 'йогие задачи в различных областях техники, таких как машиностроение, гвиасгрсе-ние, строительство и другие, приводят к необходимости создания методов расчета, наиболее полно учитывающих сзоистза реальных материалов. Одним из такта сзойств является неоднородность материалов, как естественная, так и технологическая, появляющаяся в'процессе изготовления, эксплуатации и обработки отдельное узлов и сооружении. В д:гссэр?зц::и рассматривается един из зидез неоднородности - непрерывная, при которой механические характеристики материалов являются дегмрмянирсвантгли непрерывными функциями координат точек тела..

Современное развитие математических методов, как аналитических, так и численных /благодаря'использований быстродействующих ЭВМ/ дало возможность учитывать белее детально гесметриа конструкций, действительные граничные условия, физтсо-механичес-ние свойства, зависящие от различных факторов. Одним из направлений механики неоднородных тел является изучение механических процессов в окрестности подземных полостей.

Большое развитие в последнее время получил:! работы, посвященные ррзработке и применению методов расчета неоднородных тел. Решена многочисленных практических задач, в которых неоднородность материалов является характерной особенностью, дает возможность более обоскозакно подойти к.вопросам проектирования и строительства сооружений и кснструкц:1и, удовлетворить современным требованиям повышения прочности конструкций при одновременном снижении их размеров и веса и позыленпя эксплуатационных свойств.

Важное народнохозяйственное значение :слеет сэаекпе др;:к-ладнкх задач определения натгрялгоннс-де^срмпрозанного с~ст:як;;я массива горной породи, содержащего щпнндряческую полость, созданную взрывом. При этом з зависимости от характерз породы или грунта мояет происходить уплотнение или разрыхление з бл;:лсзп-¡яей зоне взрыва, что приводи? к изменению физико-механических свойств среды. Другим классом практически ваянчх задач является

определение напржхепно-деформгрова-пого состояния неоднородной двухслойной кольцевой области.- Б подземном строительстве это задачи расчета конструкций обделок напорных гидротехнических тоннелей, выработок, образованных буровзрывным способом, в машиностроении, корабле- и авиастроении это пластинчатые конструкции с кольцевыми вставками-и г.-д.

В связи с вышесказанным представляются актуальными вопросы исследования распределения напряжений в непрерывно-неоднородных телах и разработки методов и алгоритмов расчета двухслойных кольцевых непрерызнс-неоднородных тел при статических нагрузках.

Цель работн заключается в исследовании влияния неоднородности материала на напряженно-деформированное состояние неоднородных составных цилиндров к пластинок с круговым отверстием и со вставками в виде колец, находящихся под действием статических нагрузок и реаение прикладных задач, имеющих раяное народнохозяйственное значение. 3 соответствии с поставленной целью решены следующие задачи:'

- исследование на основе одномерных моделей влияния основных физико-механических характеристик на напряненно-дефсрмирован-ное состояние .двухслойных цилиндрических тел;

- применение метода разделения переменных для решения плоской задачи теории упругости неоднородных тел, в том числе .для сое тавных областей;

- разработка алгоритма и программы численной реализации задач расчета напряжений и деформаций в непрерывно-неоднородных телах указанной формы;

- решение прикладных задач о взаимодействии укрепительных колец с массивом горной породы с учетом неоднородности материало!

- анализ результатов и исследование влияния различных видо! неоднородности на напряженно-деформированное состояние рассматриваемых конструкций.

Научна^ новизна работы заключается в следу! щих основных результатах, выносимых на защиту:

- разработка методики реизкля.плоской задачи теории упруга тл■для радпзльно-неоднородного тела;

- релекие задач о плоском напряженном состоянии неоднородной пластинки с отверстием при различных способах нагружения;

- разработка численного »лзтода, алгоритмов и программ для решения задач о нзиряженно-дефорьирсвзнном состоянии дзухслоГпшх областей с учетом радиальной неоднородности материалов слоев;

- решение задач о равновесии радлально неоднородного массива с отверстием при наличии однородных и неоднородных укрепительных колец;

- анализ влияния дискретной я непрерывной неоднородности

на напряженно-цефорьтарованное состояние рассматриваемой конструкции.

Достоверность полученных результатов обусловлена crpomii математической постановкой задачи; выборе;,! экспериментально ^основанных зависимостей механических хэргктерст;п<; проверкой выполнения гтхничнкх условий интегральных соотнсле-няй; решением тестовых задач.

Практическая ценность работы. -Решена практически валная технологическая задача о равновесия массива, содержащего цилиндрическую полость, подкрепленную цилиндрической крепью. На основе разработанного алгоритма прозеде- • ны расчеты и анализ влияния на напряженно-деформированное состояние различных физических параметров.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывалась и обсуждались на республиканской научно-практической конференции АН ТСС? /Ашхабад, 1986 г./, на научно-технических конференциях TIM /Ашхабад, 1987,1909,1590/.

Публикации. Основные результаты исследований изложены в трех статьях и материалах конферчнций.

Стуркгура и объем работы. Диссерта-•ция состоит из введения, четырех глаз, заключения, списка литературы/ наименований/, приложения; изложена на страницах, в том числе рисунков, таблиц и приложения

ОСНОВНОЕ С0ДЕР2АИ1Е РАБОТЫ ;

Во ззцении 'обоснована актуальность проблем и забранного направления исследования, сформулированы цел;; и основные пслсясе-ния, которые выносятся на защиту. Дана краткая аннотация всех глав диссертации.

о

Б первой глазе дан краткий обзор pador, посвященных постановке и решению задач теории упругости непрерывно-неоднородных тел. Отмечается, что наибольший вклад в разработку методов и ре-аения задач внесли советские и зарубежные ученые: Василенко А.Т., Григоренко Я.,VI., Григорьев Л.С., Колчин Г.Б., Коляно Ю.М., Лех-ницкий. С.Г., Ломакин В.А., Ыихлин С.Г., Плевако В.П., Ростовцев H.A., Шерман Д.И., Андреев В.И., Конвей Х.Д., Ольшак В., Рыхлевс- | кий Я., Теодореску П., Урбаковский В. и другие.

Обсухдая постановку задач расчета подземных полостей на основе механики деформируемого твердого тела, отмечается вклад в развитие методов таких ученых как Савин Г.Н., Дшшик А.К., Руган 3.3., Руппенепт К.В., Баклашов И.В., Картрзия S.A. и др.

Приведены оснсвзнкие на экспериментальных данных зависгалос-ти модуля упругости массива породы при взрывном воздействии, замораживании и других способах укрепления отверстий. Приведены основные уравнения теории упругости неоднородных тел. При этом в закон Рука вместо постоянных механических характеристик входят детерминированные функции, определяющие. изменение модуля упругости, коэффициента Пуассона и т.д. по объему тела. Указывается, что в работе рассматриваются плоские задачи теории упругости неоднородных тел с одномерной радиальной неоднородностью. ;

В п.1.2 такке рассглатр:за:отся метода решения одномерных за- . дач теории упругости неоднородных тел, к которым относятся задачи об осесишетрячном плоском напряженном /П.Н.С./ и плоском деформированном состоянии /П.Д.С./. Для этих задач получено обобщенное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами:

где функции П.Н.С.

<5"л" у />сг)б£ ' Q.<»)<3r - FO*) pCr*) , и Ffr)имеют вид:

/I/

/ с

/2/

Я.Д.С.

4 F(tO*(4-/ с

/о/

- £ 1-1)1 - -

f * _ S-* -1А> А'.

Здесь & - объемная сила; <§в - вынузденше деформации /температурные, радиационные и т.д./.

Во второй главе рассматриваются постановка и методы решения плоской осесимметричной зада та для двухслойной области. С использованием одномерной модели проведен анализ нащотшшо-деформированного состояния неоднородного породного массива при наличии крепни /обделки/. При этом внешний слой /породный тассга/ рассматривается как непрерывно-неоднородный, а обделка.отверстия как однородный слой.

Обсуадается постановка задачи определения начряленпй и перемещений во внешнем и внутреннем слое. На рис.1 озобра~.еии расчетам схемы. Если аделить часть весомого массива с вне-'лнпл ' границами, значительно удаленными ст центра выработки /У & /, то мояно считать, что к этим границам приложены уравновешгазпоне реактивные силы, соответствующие массиву бе? отзерстпя /р;:о.1 г/. На рис.1.6 показана расчетная схема, представляющая часть невесомого массива, нагруженная постоянным по высоте давлением.

Такая постановка зада та рузгложна при #>> 4 . Наиболее простая расчетная схема, изображенная на рис.1 в и соответствую щая осесккмегричной задаче, может быть использована при ^ = О а также в качестве приближенной схе?/ы, позволяющей установить основные качественные :г количественные эффекты. В последнем слу внешнее давление можно считать как среднее между давлениями в вертикальном и горизонтальном направлениях. ' -

Приведены аналитические и численные реяения для несжимаемого / = 0,5/ и сжимаемого / ^ = / 0,5/ материала внешнего слоя при зависимости модуля упругости материала массив от радиуса, описываемой функцией

£г (г) = £ло ек,~ о (с/*)*] /4/

Здесь Ещ - модуль'упругости ненарушенного массива, а я эмпирические константы.

Полученные решения используются в дальнейшем для тестирования более сложных' задач, а также представляют самостоятельный интерес. Так, устаноатено," что существенное влияние на напряжен ное состояние массива и кольца оказывают параметры неоднородное К| и п . Отмечается, например, что при К^ < I в распределении напряжений могут происходить качественные изменения: максимум напряжений смещается от контура полости в глубь массива. Возрастание модуля упругости на контуре приводит к увеличению максимальных напряжений. В этом случае напряжения (5+ в бетонной обделке снижаются по сравнен»™ с соответствующими напряжени ми в случае однородного породного массива. Также, показано, что при увеличении параметра п максимум в породном массиве н находится на границе слоев, как .в однородном породном массиве, и соответственно <3"#- в обделке уменьшается.

В третьей главе рассматриваются задачи о напряженно-дефор мированном состоянии неоднородных тел с круговым отверстием. Ре шение ищется в перемещениях. Приводятся уравнения в полярных координатах при ^произвольных зависимостях упругих характеристик В случае плоского дефоршровацного состояния уравнения имеют ви

< -2л* я /»¿У "ТГг

* - дгГ9 + Па

* л* |г ^ ~ * ' + а

Я рл^ ^ ^ ^Гг Я - ^ >

Здесь <§& - вынужденные деформации /температурные, радиационные и т.п./, £ и Т - проекции объемной силы, К - модуль сбьем-ного сжатия.В случае П.Н.С. в уравнении /5/ и /6/ Л и К деляны быть заменены на

9#- 2 Л. Г- £>> . ^ *^ % .

= ~ С' * = К з (Г

Если я , и X зависят только от радиуса, то решение уравнений /5/ и /6/ ищется в виде:

Подстановка /7/ и /8/ в /5/ и /6/ приводит к частично распадающейся системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций х^ , . При относительно простых видах зависимостей механических характеристик от радиуса для получения аналитического решения кавдая пара уравнений второго порядка мояет быть сведена к одному уравнению четвертого порядка. В § приведен пример аналитического решения задачи о равновесии кольца при степенном законе изменения модуля упругости вдоль радиуса £(/0 = ( /О, )? Расчетная схема приведена на рис.2. Нагрузки ]>$ и задаются формулами:

Решение опраделяется вхоцящиш в /7/ л /С/ функциям ,

^г ' 11 систегла дифференциальных уравнений относи-

тельно этих функций имеет вид: •

о /<

* ъ^С***-!

Г* с/А «•

тт

Напряжения вычисляются по формулам:

- Ш

. Иг/

/13/

■ ^ * ¿77r¿ / AS,'- ]t¿,ltj /Zi/

Функция Ча определяется из уравнения /9/, а функции и . из системы двух уравнении второго порядка /10/ и /II/ с учетом граничных условий на внутреннем (<3^ = = 0) й зь'еднем ( 0л = f>¿ ( 4- ); - Og{ 4-) контурах кольца". Уравнения /9/-/II/ позволяют получить аналитическое реаенне. Решением уравнения /13/ является функция

л Л r- S -tí *f, * Cf г* а + Qz —2-

А) = JF'-J)- 4 ж

/-5/

Система двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка /10/: и /II/ приводится к одному дифференциальному уравнению четвертого повяцка относительно неизвестной функции Усз :

+ + (в?*2Д5/

Ввозя новую переменную с помощью зависимости е ^ это уравнение можно привести к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами. Окончательно решение представляется в виде: £ Ъ; е-

Константы Ci и 2у определяются из граничных условий на контуре. Результаты реления данной задачи показывают, что учет неоднородности приводит к значительному изменению напряжений (до 20 % при °С = -1|. Приводится численный метод интегрирования уравнений /9/-/11/, позволяющий получить решение при произвольных функциях неоднородности. Зтот'метод может быть применен для решения произвольной систеж обыкновенных дифференциальных уравнений в матричном виде:

= А-у + /17/

с/ Г* 7

с граничными условия:.г,: - ^о <гЬ^и- а*

Здесь У = / вектор неизвестных длиной М; =4 -

квадратная матрица размером М М; Ли - прямоугольные матри- • цы размерам М и М2* М; 0/!( + М2 = Ш. Вектор РС^я.ъвч размерность М; к - и и^ - соответственно. На интервале Га , €7 вводится равномерная сетка: = //*• = а + ; г =1,2...Л и в соответствие задаче (17) ставится разностная схема:

- б ^ у,- = Г,-;,; Н-г;

где Г { /»); =

2 - единичная матрица.

:з

В результате получена система двухстсчных зектсрнпх уравнений, для решения которой бщ исьэльзсввн метод ;/.атр;:~:сй ортогональной прогонки. Соответствующая программа написана на языке Фортран, которая приведена в приложении.

В § 3.4 рассмотрена тестовая задача с использованием уравнений /9/—/II/. Рассмотрена задача о растялэкг.;: неоднородней пластинки с малым круговым отверстзлем разксмеркэ-распрелелекнсн нагрузкой в одном направлении. При этом рассматривается часть пластинки'внутри концентрической окружности радиуса- £ , большего по сравнению с д /рис.3/. Нагрузки на знепкей поверхности

и с?, - - ^ '14- , з внутренктгй кок-

4 9 £ ' 41 А

тур свободен ст нггрузк;:. .'.'атэриэл пластинки считается радиально неоднородным, при этом функция Я ( ^) ■;: (?*) могут быть произвольными. Зада-*Аус3.чэ решалась численно.

Однсй из задач численного анализа било сравнение результатов с расчетом, полученным аналитически при £ = -<»( ) /п.3.2/. В таблице I приведены результаты численного к аналитического решений задачи о нащшеннс-деформ'.грсБанном состоянии кольца с соотношением радиусов г-/а. =2, при =-1.

Таблица I.

Аналитическое сешекие

'Уй : б"* :

1,0 0,0 7,212 0,0

1,2 1,009 5,127 —5,С63

1,4 1,509 3,595 -5,352

1,6 1,774 3,313 -4,433

1,8 1,919 2,881 -3,227

2,0 1,999 2,582 -2.СС0

Численное решение 0,0

1,0 0,0 7,147

1,2 1,013 5.С61 -5,182

1,4 1,513 3,961

1,6 1,775 3,292 -4,483

1,8 1,521 2,860 -3,251

2,0 2, ООО 2,505 -2,000

Приведенные сравнения свидетельствуют о достоверности резель-татов, полученных с помощью численно-аналитического метода решения /отличия не превышают I %/.

На основе численно-аналитического метода решены задачи для кольцевой области с радиальной неоднородностью материала, задаваемой степенной функцией

В § 3.5 рассмотрена задача о растяжении неоднородной пластины с отверстием при различных степенях неоднородности -- .. Показано, что неоднородность весьма существенно

влияет как в количественном, так и в качественном отношении на напряженно-деформированное состояние пластинки. Так,например, даже при относительно слабой неоднородности / **= 0,25/ напряжения 6> на контуре отверстия при = уменьшаются более чем на 15 Характерной особенностью является уменьшение напряжении в зонах, где модуль упругости меньше среднего значения, и наоборот. Большой интерес ггредстаядкет деформирозашоэ состояние отверстия. Показано, что щ.-дс^о перемещения точек конту-рзотверстия меньше, чем. в однородной пластинке, а при °£<0 -соответственно больше, что связано с изменением жесткости пластинки.

В § 3.6 решается задача о напряженно-деформированном состоянии неоднородной пластики с отверстием при растяжении-сжатии в двух направлениях. Решением определяется функция?.® </0 , , ^ , . Тестирование проводилось по

аналитическому решению для однородного материала. Исследовано влияние неоднородности на нормальные и касательные напряжения в характерных сечениях кольца.

В § 3.7 рассматривается задача о равновесии пластики с круговым отверстием при действии сдвиговых усилий. Решение в этом случае определяется функциями Увг и ...

Показано, что при использовании других разрешающих функций и соответственно других дифференциальных уравнений получается реиение, совпадающее с приведенным в § 3.6. Это является дополнительном свидетельством достоверности метода.

3 четвертой главе рассматривается плоская задача о кап-ряяенно-дефорлирсзанном состсян;::; двухслойной кольцевой области. Дяя редэкия подобных задач применяется изложенный в 3 глазе численно-аналитический метод рещен;гя задачи в перемещениях.

При этом для каждого слоя спразедлпза система обыкновенных дифференциальных функций вида /9/-/П/. Граничные условия на внутренней и внешней границе двухслойной области могут быть любого типа. На границе сопряжения слоев клеем равенство нормальных и касательных напряжений и перемещений. В об^ем случае, предполагается, что оба слоя имеют рззные мзхаюпескпе характеристики, зависящие от рэд:гуса.

Применяемый в 3 главе численный метод несколько модифицирован с тем, чтобы на границе слсез учесть условия идеального контакта ( -и^- , ~0 ~ и-^С^ , =

• ^б- е • 7сЛ0Всопряжения :-:а гра-

нице слоев •/ / представляются в визе:

Г"1- Юг,™

гет . С а] , г в ">/'¡¿"'1 а

■ £ В матрица граничных условий в точке С в £ -см

слое / /=1,2/. Для решения данной задачи был применен метод матричкс:': ортогональной прогонки. Програ:,:.:а составлена на языке 2СРГРАН. Тестирование программы осуществлялось по известным резежшм для однородного'материала, а также по решением, полученным зо 2 и 3 глазах. Сравнение результатов показало достоверность пс-■ лученных результатов и применимость разработанного численного метода решения задачи для двухслойной кольцевой области с дискретной и непрерывной неоднородностью обоих слоев.

В V 4.3 решается задача определения насряженно-деформирс-вэнного состояния неоднородного массива с укрепительным кольцом Рассматриваемые конструкции могут быть сведены к сднсй расчетной схеме /ряс.16/, которая справедлива при . Измс-нек/.е модуля упругости во внутреннем слое описывалось функциями вида:

= Сг+/а)«< /:с/

а для ¡модуля упругости материала внешнего слоя использовалась зависимость (4). Приведена результаты расчетов при рсзл::-с-:г:: значениях констант, вхоцяд:п в /12/ и /4/, что соответствует различным технологическим задачам:

I. Материал укрепительного кольца однороден, а модуль упругости породного массива является переменней величиной /меняется параметр неоднородности Г-С^/. Изменение модуля упругости

1.4 Ejf»)

¿2o 1.Z

1.0

Û.8

0.6

/ & i-23-A -5- J.,-0 = -ох? - -C.5" л, .-O.W

w 6

)

•

7*/cl

1 1,1 2 3 4

Ры с А

1.2.

£¿o 1.0

OA

0,6

й4

0.1

0.0

Л /6 • $

4 ■ - ^ /s

// л/ \ ^ л 55* Kl= -i

-

f •

t*/a

1 Кг 2 з 4 Pite. S"

Gf-44h

ч.о

2.0

«3

i l'K^C.Z 4-Л2« 1.0

t

V'

3 г ■4

А

Г

S f £Г € 7

Рис.. 6

ол

2 - Vi = 0.2 0 3

4 - Vi .0.4

¿Ve. F

показано на рис.5 при различных значениях параметра При уменьшении параметра К2 максклум .напряжений 6$ в псродном массиве смещается в глубь массива, одновременно увеличивается концентрация напряжений на внутреннем контуре полости /рис.6/. С увеличением параметра .происходит "сглаживание" напряжения (5$ в породном массиве и уменьшение концентрации напряжений на контуре полости. Исследован характер изменения перемещений точек внутренней поверхности /

2. Материал укрепительного кольца однороден и варьируется его модуль упругости, материал массива неоднороден, здесь рассмотрена влияние и изменения коэффициента Пуассона породного массива ^ . Отмечается, что влияние параметра £/0 на напряженное состояние массива с кольцом невелико.

Увеличение значений зюэрфдцпенто Пуассона ^ прдаодят к увеличению бокового отпора, что естественно влияет на изменение перемещении точек контура полости /рис. 7 /.

3. Материал укрепительного кольца неоднороден, варьируется зависимость Е<СгУ {рис.4/.

Рассмотренные задачи, касающиеся различных технологических приемов укрепления массива показали, что, например, при.цементации, когда модуль упругости укрепительного слоя уменьшается,напряженное состояние в этом слое и в массиве почти такие же, как и при установке сплошного кольца /

Этот факт позволяет выбрать наиболее экономичный способ укрепления массива.

В заключении подводятся общие итоги диссертационной работа, которые заключаются в следующем:

1. На основе метода разделен^ переменных разработана численно-аналитическая методика решения плоской задачи теории упругости для радиально-неодноровдого тела.

2. На основе применения метода матричной ортогональной прогонки разработаны методика, алгоритм и программа расчета на ЭВМ решения зарзч о напряженно-деформированном состоянии двухслойных кольцевых областей р учетом радиальной неоднородности материалов слоев. .

.3. На основе разработанной методики решена практически важная задача о равновесии радиальнс-неоднороцного массива с отверстием при наличии однородных и неоднородных укрепитель-