автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Оптимизация ребристых пластин при заданной первой частоте собственных колебаний

На правах рукописи

МОИСЕЕНКО Ростислав Павлович

ОПТИМИЗАЦИЯ РЕБРИСТЫХ ПЛАСТИН ПРИ ЗАДАННОЙ ПЕРВОЙ ЧАСТОТЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

05. 23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора технических наук

Томск-2008

003447152

Работа выполнена в ГОУ ВПО

Томский архитектурно-строительный университет

Научный консультант доктор технических наук, профессор, академик РААСН Ляхович Леонид Семёнович

Официальные оппоненты.

Защита диссертации состоится 21 ноября 2008 г. на заседании диссертационного совета Д 212 265 01 в Томском Государственном архитектурно-строительном университете по адресу 634003, г. Томск, пл Соляная, 2, корпус 5, ауд 307

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского государственного архитектурно-строительного университета

Автореферат разослан 2008 г

доктор технических наук, профессор Гребенюк Григорий Иванович;

доктор технических наук, профессор Максименко Андрей Алексеевич;

доктор физико-математических наук, профессор Светашков Александр Андреевич

Ведущая организация

ФГУП 26 ЦНИИ МО РФ,

Ученый секретарь диссертационного совета

Н О Копаница

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Задача минимизации веса прямоугольных пластин при заданной величине первой частоты собственных колебаний решалась многими авторами В результате исследований было установлено, что оптимальный проект представляет собой пластину постоянной толщины, подкрепленной ребрами. Теоретически глобальный минимум достигается на пластине с бесконечно большим количеством тонких ребер Однако технически возможный проект должен содержать конечное число ребер Размеры поперечного сечения ребер также должны соответствовать определенным ограничениям конструктивного характера. Анализ литературы показывает, что имеющиеся оптимальные проекты пластин при заданной первой частоте собственных колебаний не могут быть реализованы на практике, уровень исследований остается только теоретическим В связи с этим, не смотря на большую историю решения, проблема минимизации веса пластины при ограничении первой частоты собственных колебаний остается актуальной. Необходимо довести исследование проблемы до технически приемлемого проекта.

Общая проблема исследования формулируется следующим образом разработать технически пригодный оптимальный проект ребристой пластины с заданной первой частотой собственных колебаний. Под технически пригодным понимается проект конструкции, изготовление которой не требует разработки особой технологии. Например, изготовление пластины с частыми тонкими ребрами - это не простая технологическая задача

Цель работы. При оптимизации ребристой пластины как реального элемента технического объекта необходимо решить три основных вопроса о количестве ребер, их расположении и

Ч

о размерах поперечного сечения, соответствующих принятой математической модели ребра

Целью диссертации является решение поставленных вопросов, которые в комплексе составляют теорию оптимизации ребристых прямоугольных пластин при заданной первой частоте собственных колебаний

Научная новизна работы. Разработанная теория состоит из следующих разделов.

1. Задача минимизации веса ребер при заданной первой частоте собственных колебаний сформулирована в двух формах - с ограничением в виде закона сохранения энергии и в виде уравнения частот.

2 Сформулированы два свойства оптимальных ребристых пластин, реализованные в алгоритмах

3. Для реализации одного из алгоритмов использована теорема о дифференцировании определителя по параметру, при этом определитель не раскрывается в полином по степеням параметра.

4. Получено уравнение, из которого определяется координата прямолинейного ребра. Известный вывод о том, что рёбра должны располагаться в узловых линиях соответствующей формы собственных колебаний, является частным случаем, следующим из полученного общего уравнения

5. Исследовано влияние ребра на изменение первой частоты собственных колебаний пластины. В рамках этого исследования доказана теорема о выпуклости функции первого собственного значения, введено понятие удельного функционала-действия ребра, показано, что собственное значение изменяется в зависимости от знака удельного функционала-действия; выведена формула для вычисления нейтральной высоты сечения ребра, при которой постановка ребра не изменяет первой частоты пластины

6 Матричная форма энергетического метода доведена до своего логического завершения с помощью матричного представления функции прогибов Энергетический метод получил

новые аналитические возможности, которые реализованы в диссертации

Методы исследовании. Задача оптимизации решается энергетическим методом Свойства оптимальной ребристой пластины получены методом неопределенных множителей Ла-гранжа. Параметры оптимизации (ширина поперечного сечения ребер) определяются методом итераций Расчеты проведены в компьютерной системе МАТЪАВ 4 О

Достоверность полученных результатов обусловлена использованием энергетического метода, метода неопределенных множителей Лагранжа и подтверждается сходимостью составленных алгоритмов и совпадением полученных по ним результатов.

Практическая значимость и реализация результатов.

1 Практическая значимость обусловлена разработанными алгоритмами оптимизации ребристых пластин.

2 Практический интерес представляют полученные численные результаты.

3 Теоретические результаты служат базой для дальнейших научных исследований по оптимизации ребристых пластин при ограничении нескольких частот собственных колебаний, а также при ограничении по устойчивости и прочности.

4. Программы разработанных алгоритмов приняты для практического применения в отдел мостов ОАО ТОМГИПРОТРАНС

На защиту выносятся;

1 Два сформулированных свойства оптимальных ребристых пластин при заданной первой частоте собственных колебаний.

2. Два разработанных алгоритма и численные результаты оптимизации ребристых пластин при заданной первой частоте собственных колебаний

Апробация работы. Материалы работы докладывались на научно-технической конференции «Архитектура и строительство» (Томск, 1999 г); на 56-й научно-технической конференции

профессорско-преподавательского состава НГАСУ (Новосибирск, 1999 г), на V Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2006 г.); на семинаре кафедры строительной механики НГАСУ (Новосибирск, 2008 г); на I Всероссийской конференции «Проблемы оптимального проектирования сооружений» (Новосибирск, 2008 г). Опубликована статья в материалах VII Международной конференции «Научно-технические проблемы прогнозирования надёжности и долговечности конструкций и методы их решения» (С -Петербург, 2008 г).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 статей входящих в перечень ВАК для докторских диссертаций и монография.

Личный вклад автора. Все теоретические положения диссертации, разработка алгоритмов, их реализация на ЭВМ принадлежат лично автору Статьи и монография опубликованы без соавторов

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы из 72 наименований Объем диссертации - 141 с , включая 72 рис , 50 таблиц

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение

Во введении излагается часть вопросов, рассмотренных в Общей характеристике работы автореферата- актуальность темы, цель работы, научная новизна, методы исследования Кратко описано содержание по главам.

1. Обзор литературы и новая матричная форма энергетического метода в расчётах пластин

В первой главе представлен обзор литературы по применению энергетического метода в расчетах пластин. Отмечено, что в работах Алфутова Н. А , Бабакова И М, Болотина В.В., Вольмира А С , Работнова Ю Н, Ржаницына А Р , Филиппова А.П процедура энергетического метода не записана в матричной форме В работах Александрова А В , Потапова В.Д, более поздних работах Болотина В.В., Ляховича Л С и др энергетический метод расчета тонких пластин записывается в матричной форме на последнем этапе, когда составляются выражение полной энергии, система линейных уравнений, вековое уравнение или уравнение устойчивости Однако подготовительный этап по вычислению элементов соответствующих матриц проводится с помощью громоздких интегральных выражений При этом алгоритм теряет наглядность матричной формы, способной в сжатом виде представить зависимость между исходными данными и конечным результатом. Целостным алгоритм энергетического метода в матричной форме будет в том случае, если исходную функцию прогибов представить также в матричной форме, а не в виде двойного ряда, как это делается по общепринятой процедуре.

Ряд, аппроксимирующий прогибы

1 п т т

(2)

(3)

п

т

т

х,, У) - балочные функции

Структура вектора х0 и матрицы У0(или у0,Х0) такова, что суммирование по индексам в выражении (1) заменяется произведением векторов и матриц в выражениях (2, 3) Дальнейшие выкладки основаны на выражении (3), и приводят к составлению в матричной форме закона сохранения энергии или уравнения частот собственных колебаний Эти уравнения в автореферате не приводятся, т.к представление матриц, входящих в уравнения, через билинейную форму (3) занимает несколько страниц Матрицы получены с использованием известных выражений потенциальной и кинетической энергий пластины и ребер Для рёбер учтена деформация изгиба.

Разработанная матричная форма энергетического метода является универсальной Расчет на прочность и устойчивость проводится в аналогичной форме после замены кинетической энергии потенциалом внешней нагрузки В этом случае используются соответствующие аппроксимирующие функции хпу} в

выражении (2) или (3) и составляется матричная форма потенциала внешней нагрузки

Новая матричная форма увеличила аналитические возможности энергетического метода и позволила провести исследование поставленной задачи в полном объеме

2. Влияние ребра жёсткости на изменение спектра частот пластины

Во второй главе проведен анализ влияния ребра на изменение частот собственных колебаний. Для анализа использована известная последовательность исследования функции на экстремум. Функция Рэлея, составленная для пластины с одним ребром, продифференцирована по параметру поперечного сечения ребра (относительная ширина прямоугольного сечения ребра - В = Ы1Х, где Ъ - ширина сечения, 1Х - длина кромки пластины в направлении оси х) Производная от функции Рэлея имеет конкретный физический смысл - это удельный функционал-действие ребра.

1Г = а (н3йг-ХНТГ)а, (4)

где Н - Мх - относительная толщина пластины; иг - матрица, соответствующая потенциальной энергии деформации ребра; Тг ~ матрица, соответствующая кинетической энергии ребра, Я - собственное значение системы в задачах на собственные колебания, а - вектор коэффициентов собственной формы колебаний.

Математический анализ устанавливает три варианта изменения функции в зависимости от характера изменения первой производной Применительно к функции Рэлея к (В) и к её

первой производной 1Г эти три варианта записываются в следующем виде

1 Если 1Г > 0, то к (В) возрастает (5)

2 Если 1г = 0, то к (В) не изменяется. (6) 3. Если /г < 0, то к (В) уменьшается (7)

Из выражения (5) следует теорема, первое собственное значение уравнения частот прямоугольной пластины с ребром >1,(5) увеличивается по выпуклой функции от ширины сечения ребра, если удельный функционал-действие ребра 1Г положителен.

Эта теорема использована для организации итерационного процесса в алгоритме оптимизации

Величина функционала 1Г зависит от двух факторов параметра Я и координаты ребра, влияющей на элементы матриц IIг,Тг. Нижняя граница изменения Яопределяется из уравнения (6) /г = О

Я0 = ф^а^тТа^/а*{ игах , (8)

где Я0 - нейтральная высота сечения ребра; Х° - первое собственное значение уравнения частот пластины без ребра.

Если Я > Я0, то функция X, будет возрастать с увеличением В до некоторого предела Верхняя граница Я назначается, исходя из приблизительных норм соответствия стержневой модели или из условия устойчивости плоской формы изгиба ребра, загруженного силами инерции, а также по другим соображениям Таким образом, если Н > Н0, то А., < Х°2, те ребро воздействует на пластину как линейная связь в диапазоне - А°2 При необходимости по формулам, аналогичным (8), можно определить спектр нейтральных высот Н'0 Тогда ребро обеспечивает соблюдение соотношений Х1 > Х° в диапазоне -А.% если соблюдается условие Я > шахЯ^. Указанные варианты влияния величины Я иллюстрируются тремя примерами В автореферате приводятся два примера

Пример 1 Рассматривается пластина с шарнирными опорами при соотношении сторон £ /£х =1/3. Ребро параллельно

оси у и имеет координату хг =0,5£х Высота сечения ребра

Н= 3. При этом значении Н ни одно из собственных значений пластины с ребром Я, не уменьшается в диапазоне первых десяти значений. На рис. I показана зависимость первого собственного значения пластины с ребром от ширины сечения ребра. График сопоставления спектров и представлен на рис. 2.

Первое собственное значение пластины с ребром

170 ГГ^ ;-1-Г I-1 11:1

[ ■ Второе собственное ¿значение плаотины без ребра

160'.-]----1-----:-----;.....;.....т------;-----:----------:------.. --

- :£ ' I ! \ ; ! ; 1 ; ;

«о I--------------4-----:-----1-----:--------------:------

. 140 |-----;-----:------!-----!-----\----4---------\-----:------ ,

1зо----------:-----1-----:--------------]----------:------ .

120----------;-----;-----;-----;-----;-----[----------!------

110----------;----------1------------1-----1----------;------

100О 0.05 0.1 . 0 13 0.2 0.25 0,3 0.35 0.4 0.45 0.5

Рис. 1. График функции

Первое собственное значение пластины с ребром

1 N чВторое собственное значение плаотины без ребр

1 ! ; | ! I !

I |

! ! ;

5 : | { : ; ;

1 * <

и >

< <

► 3

> < к

°1 2 - 3 4 5 6 7 8 9 ТО

Рис. 2. График сопоставления спектров X и А,0 в диапазоне 1-10

Собственные значения, показанные на рис. 2, вычислены при В = 0,05. График на рис. 2. показывает, что теорема о наложении связей выполняется не на всём спектре собственных

значений. Например, Я,5 = 1588,1815 > Х°6 = 1369 . Следовательно, ребро не имеет свойств линейной обобщённой связи на всём спектре собственных значений.

Пример 2. Рассчитана пластина, представленная в примере 1, которая несёт сосредоточенную массу с координатами хт = 0,251Х, ут ~ 0,25/. Величина сосредоточенной массы равна половине массы пластины. Ребро расположено под сосредоточенной массой, т.е. хг = 0,25/т. Н= 3.

: зооо

: 2500: 2000

: 1500 1000 500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Рис. 3. График сопоставления спектров А. и Ао в диапазоне 1-10

График на рис.3 построен при В = 0,05. График показывает, что в рассмотренном примере в диапазоне десяти собственных значений ребро точно соответствует свойствам линейной

связи. Однако X, = 119,5367 < Я.°2 = 122,6732 Это значит, что принятая координата ребра не обеспечивает выполнения условия Х{ =

Для анализа условий, обеспечивающих максимальное увеличение первой частоты, исследовано влияние координаты ребра. Максимум функции А., (хг) достигается при координате ребра хг , удовлетворяющей уравнению 8Х] /дхг = 0 После преобразований получается уравнение

д1г/дхг = 0 (9)

Уравнение (9) решается совместно с уравнением частот в рамках полной задачи на собственные значения. Для пластины, рассмотренной в примере 2, определение оптимальной координаты ребра показано в примере 3

Пример 3. Узловая линия второй формы собственных колебаний не линейна, поэтому решается уравнение (9) совместно с полной задачей на собственные значения

Графики на рис.4 построены при Я = 3, В = 0,05 Оба графика показывают, что X, достигает максимального значения при хг = 0,303 В этом случае первое собственное значения пластины с ребром равно Х1 = 123,9232 Незначительное превышение значения Х°2 (122,6732) объясняется погрешностью вычислений в процессе решения задачи на собственные значения

Расчёты показывают, что существует наименьшее значение ширины сечения ребра В, при котором достигается шах А., Задача вычисления Втп является родственной задаче Бубнова Параметр В определяется из уравнения частот

I и,-ХТ5\ = 0, (10)

где и, =1/0+иг, Т5=Т + ТГ, ио - потенциальная энергия деформации пластины, Т - кинетическая энергия пластины с возможными сосредоточенными или распределенными массами Уравнение (10) решается обычным пересчетом левой части с малым шагом Необходимо следить за тем, чтобы корень В был

наибольшим. Окончательный пересчёт системы показывает, что корень В вычислен правильно, если заданное значение X является первым собственным значением пластины с ребром.

1Ш0:

500 -

- г •0 г

■ -500

-1000-1500-1- , _ , .......„ ... ..........................................,_..........

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 ' 0.8 0.9 1

- . 'г- ' ' | '■ ' .

Рис. 4. Графики функций кЛхг) и дкх I дхг

Второй способ вычисления В основан на известном методе линейных приближений. Так как первая производная функции Х(В) по параметру В известна (1Г), функцию А, можно представить линейной частью ряда Тэйлора. Тогда следует формула

В = (Х1-Х\)И% (11)

которая используется в последовательном пересчёте системы (индекс 0 в формуле (11) обозначает исходную систему).

В обоих способах величина В определяется в промежутке Втт <В< Втш. Значения Втт, Вптх соответствуют известным приблизительным соотношениям между геометрическими размерами в математической модели стержня, для которого учитываются только деформации изгиба.

Расчёт по методу линейных приближений представлен в примере 4

Пример 4. Рассчитана пластина, представленная в примере 1. Восемь итераций по методу линейных приближений дали следующие результаты

5 = 0, 0,004366, 0,007958, 0,009768; 0,010073, 0,01008, 0,01008; 0,01008.

X, = 169, Х2 = 169, Хъ =472,8947, Х4 - 625.

Учитывая то, что л,°2=169, восьми итераций достаточно для достижения точного результата

Вторая глава заканчивается следующими выводами. 1 Расчету ребристых пластин посвящены работы многих авторов и научных школ. В этих работах ребро рассматривается как элемент единой конструкции Влияние ребра на изменение расчетных характеристик пластины изучено недостаточно. Естественным шагом в этом направлении является исследование свойств ребра-связи В рамках задачи на собственные колебания рассматривается влияние геометрических параметров поперечного сечения ребра и координаты его расположения на частоты собственных колебаний

2. Показано, что ребро-связь может увеличить частоты, уменьшить или оставить без изменения. Для изучения этих вариантов получено выражение первой производной от собственного значения по ширине сечения ребра (4) Из условия равенства нулю первой производной получена формула (8) для вычисления спектра нейтральных высот поперечного сечения ребра Каждая высота в этом спектре не изменяет соответствующую частоту собственных колебаний Для увеличения частоты расчетную высоту сечения ребра необходимо принять большей, чем нейтральная высота

3 Доказана теорема о том, что первое собственное значение пластины с ребром является выпуклой функцией от ширины сечения ребра, если удельный функционал-действие ребра

положителен. Прикладное значение этой теоремы показано в следующей главе.

4 Максимальное увеличение первой частоты возможно только при оптимальном расположении ребра Для определения оптимальной координаты получено выражение первой производной от собственного значения по координате ребра Совместное решение векового уравнения и полученного уравнения (9) позволяет определить оптимальную координату ребра в любой задаче. Из решения этих уравнений следуют известные рекомендации по расположению ребра вдоль прямолинейной узловой линии второй формы собственных колебаний Если узловая линия криволинейна, то никаких рекомендаций не существует, и надежный результат может быть получен только с помощью решения уравнений частот и уравнения (9).

5 Расчеты показали, что воздействие ребра на пластину при положительном удельном функционале-действии не сводится к уравнению линейной связи Имеются отклонения от теорем о наложении линейных связей Если расчётная высота сечения ребра недостаточно превышает нейтральную высоту, то первая частота пластины с ребром не может достигнуть второй частоты пластины без ребра в пределах допустимого изменения ширины сечения ребра

6. Разработан алгоритм вычисления минимально необходимой ширины сечения, при которой достигается максимальное увеличение первой частоты. Алгоритм основан на линеаризации функции первого собственного значения в рамках метода последовательных приближений Линеаризация осуществляется с помощью удельного функционала-действия, который используется в качестве коэффициента линейной функции Примеры показали быструю сходимость алгоритма.

3. Ребристые пластины минимального веса при заданной первой частоте собственных колебаний

Основной результат оптимизации пластин переменной толщины при заданной частоте собственных колебаний сводится к тому, что более глобальный минимум веса пластины следует искать на множестве пластин постоянной толщины, подкрепленных ребрами В диссертации рассматриваются пластины постоянной заданной толщины с прямолинейными ребрами, параллельными кромкам пластины. Поперечное сечение ребер -прямоугольное с одинаковой заданной высотой Параметрами оптимизации являются относительные величины Вг, характеризующие ширину сечения каждого ребра.

В терминах математического программирования задача формулируется следующим образом.

я

минимизировать .р = Вг (12)

при ограничении а

г=1 /

^0+1]и,-\ тч£гг

а = 0. (13)

Для выявления свойств оптимальных ребристых пластин используется метод неопределенных множителей Лагранжа Вспомогательная функция Лагранжа, соответствующая задаче (12), (13), имеет вид

I = +%тг))а, (14)

г=1 г=1 г=1

где Ясс/ - множитель Лагранжа; Я ~ число ребер Производные от функции I равны нулю

=1 + (Яау)/г =0, (15)

дЬ / 5(Яау) = а (1/0 + £ £/г - Я(Г0 +£ Гг ))а = 0. (16)

Л=| Г=1

Из выражения (15) следует

/г = -1/Хау = сог^

(17)

Результат (17) выражает общее свойство оптимальных ребристых пластин- вес рёбер минимален при ограничении первой частоты собственных колебаний, если удельные функционалы-действия всех рёбер одинаковы.

Параметры оптимальной системы определяются из уравнения частот

с учетом условия (17).

Из одного уравнения можно определить только одно неизвестное, поэтому в уравнении (18) все неизвестные выражаются через один параметр В • Вг = Втг Тогда уравнение (18) принимает вид

Для организации вычислительного процесса условия (17) удобнее записать в виде

Числа тг и параметр В определяются в результате следующего итерационного процесса

1. Задаются числа тг. Естественным начальным приближением является вариант с равными Вг, те тг = 1.

2. Из уравнения (19) определяется наибольший корень В. В этом случае заданное значение X будет первым в спектре частот ребристой пластины Используются алгоритмы, представленные в гл 2

3 При найденном параметре В система пересчитывается в полной задаче на собственные значения

4. Используя первый собственный вектор ах, вычисляются удельные функционалы-действия каждого ребра

(18)

(19)

(20)

5 На основе сравнения удельных функционалов-действий изменяются числа тг с принятым шагом t Изменение чисел тг производится по формуле

т?=т'г+к(Г,(21)

R

где Imean = (£lr)/R - средний функционал-действие; к —

г=1

масштабный коэффициент, i - номер итерации. Принятая формула изменения чисел тг (21) соответствует теореме о выпуклости функции Х(В), доказанной в гл. 2

После изменения чисел тг следует возврат к пункту 2. Итерации прекращаются при выполнении равенств (20) с заданной точностью.

По разработанному алгоритму рассчитано восемь примеров, в автореферате приводится следующий пример

Пример 5. Рассчитана пластина с исходными данными примера 2 Заданное первое собственное значение равно Х,=Х°3 = 272,195 Координаты рёбер ($,=0,27, = 0,64)

приняты в соответствии с расположением криволинейных узловых линий третьей формы собственных колебаний исходной пластины Получены следующие результаты.

/, =2616,9739, 12 - 2616,9739, В, =0,035795, В2 =0,013084, да, = 1,46463, т2 =0,53536 и>,= 0,57289, w2 =0,59377, где iv,, w2 - прогибы сечений ребер с координатой у = 0,5/;, Функция цели F - 0,04888

Если не проводить оптимизацию и принять В\ = В2, то получаются следующие результаты. В\ = Bi = 0,03553863, функция цели F = 0,07107 Экономия материала при оптимизации составляет 31,23 %

Глава заканчивается следующими выводами

1. Задача оптимизации принимает обобщенную формулировку при замене ограничения на частоту колебаний ограничением в виде закона сохранения энергии

2. Решение задачи оптимизации методом Лагранжа приводит к формулировке общего свойства оптимальных ребристых пластин удельные функционалы-действия всех рёбер оптимальной системы одинаковы.

3. Составлен итерационный алгоритм, основанный на использовании общего свойства оптимальных ребристых пластин, теоремы о выпуклости функции первого собственного значения, метода линейных приближений для определения ширины сечения из уравнения частот. Алгоритм реализуется при фиксированном расположении рёбер.

4. Максимальное увеличение первой частоты с помощью минимально возможного количества ребер достигается только при вполне определённом расположении рёбер. Ребра располагаются либо по узловым линиям соответствующей формы колебаний, либо (при криволинейных узловых линиях) координаты ребер определяются методом покоординатной оптимизации

5. Оптимальные координаты ребер и оптимальная ширина сечения - взаимозависимы. Поэтому минимизация веса с максимальным увеличением частоты начинается с определения оптимальных координат ребер при одинаковой ширине ребер После определения координат минимизируется вес ребер При новых значениях ширины сечения пересчитываются координаты рёбер и т.д. пока процесс итераций не сойдется

6. Расчёты показывают, что с увеличением числа рёбер их общий вес уменьшается. Этот результат совпадает с выводами других авторов, но он имеет только теоретическое значение, т к. размеры ширины сечения уменьшаются и могут выйти за пределы стержневой модели ребра. Практическое значение имеют оптимальные проекты с минимально необходимым количеством ребер. Минимально необходимое количество ребер устанавливается в соответствии с теоремой о наложении линейных связей

7 Существует подкласс ребристых пластин (шарнирное закрепление кромок в направлении одной из осей координат), для которых уравнение частот представляет собой произведение определителей диагональных блоков Эти особенности преобразуют равенство удельных функционалов-действий в равенство модулей прогибов ребер, что подтверждается численным примером и аналитическими преобразованиями с использованием матричной формы энергетического метода

4. Оптимизация ребристых пластин при замене

ограничения в виде закона сохранения энергии ограничением в виде уравнения частот

В постановке задачи оптимизации ограничение в виде закона сохранения энергии заменяется уравнением частот.

минимизировать F = ^ 5Г

= 0. (22)

г=\

К

при ограничении D = t/0 + £ Ur - ЦТ + £ Тг)

I г=1 г=1

Решение задачи оптимизации методом неопределённых множителей Лагранжа при ограничении (22) основано на минимизации функции

¿ = £i?,+(Xay)Z> (23)

1=1

Производные функции L равны нулю

дЫдВ,= 1 + (Хау ){dD/дВ,) = 0, (24)

dL/d(Xay) = D = 0. (25)

Из уравнений (24) следует

3D / дБ, = -1 /(Хау) = const (26)

или

5£>/Э5,-3£>/55(,+|) = 0 (27)

Совместное решение уравнений (25, 27) даёт оптимальные значения параметров В1

Свойство (26) аналогично свойству (17) и так же выражает фундаментальное свойство оптимальных ребристых пластин-вес рёбер минимален при ограничении первой частоты собственных колебаний, если производные от определителя по ширине сечения рёбер одинаковы.

Дифференцирование определителя должно быть аналитически точным, т.к ошибка вычисления определителей высокого порядка негативно повлияет на вычисление производной по конечно-разностной схеме. В связи с этим используется следующая теорема производная определителя п-й степени равна сумме п определителей, в которых последовательно продифференцированы элементы столбцов или строк.

Решение уравнений (24), (26) производится по схеме, представленной в разделе 3 При выполнении пункта 5 изменение чисел т1 производится по формуле

т';1 ~т'г+ к((Вг)' -(/)_)')/(£_„)', (28)

где (£>;)' =(дВ/8ВгУ, (£_)' = (£(Я)')/Я; Я - количество

г

рёбер.

Пример 6. Рассчитана пластина, представленная в примере 5 Результаты расчёта по разработанному алгоритму. тх - 1,4268108, т2 = 0,573189, В = 0,0329997, В2 = 0,01325691; дШдВ^ 9,66908, дЭ/дВ2 = 9,670306, ^, = 272,855, Х2 = 276,12 Эти результаты отличаются в пределах нескольких процентов от результатов примера 5, потому что в примере 5 использован определитель В порядка 300, а в примере 6 использован определитель порядка 140

Глава 4 заканчивается следующими выводами. 1. Уравнение частот использовано в качестве ограничения в задаче оптимизации ребристой пластины при заданной первой частоте собственных колебаний Алгоритм, составленный

на основе этого ограничения, не связан с определением форм собственных колебаний В качестве неизвестных выступают только параметры оптимизации

2. Разработан способ разложения определителя уравнения частот в полином по степеням параметра ширины сечения одного ребра При шарнирном закреплении кромок пластины этот способ наиболее эффективен, так как полином сводится к линейной функции, и ширина сечения ребра определяется по элементарной формуле

3 Сформулировано свойство оптимальных пластин с несколькими ребрами, вес рёбер минимален при заданной первой частоте, если производные от определителя уравнения частот по параметрам ширины сечения ребер равны между собой.

4. При нескольких ребрах разложение определителя в полином является трудноразрешимой задачей, поэтому для вычисления производных от определителя используется известная теорема о непосредственном дифференцировании определителя Теорема позволяет точно дифференцировать определитель, не прибегая к конечно-разностным схемам.

5 На основе сформулированного свойства оптимальной ребристой пластины и теоремы о дифференцировании определителя составлен итерационный алгоритм синтеза оптимальной системы.

6. Оптимальные проекты, полученные по алгоритмам гл 3 и 4, совпадают

5. Исследование сходимости составленных алгоритмов оптимизации.

Расчеты проведены по объединённому алгоритму, включающему в себя алгоритмы гл 3 (первый алгоритм) и гл. 4 (второй алгоритм) Исследование сходимости проведено на примерах расчета пластин с шарнирными опорами, защемлением и свободным краем

Пластина с шарнирными опорами на всех кромках рассчитана с переменным числом ребер от трёх до девяти В автореферате приводятся примеры с тремя и девятью ребрами Расчёт пластины с шарнирными опорами Рассматривается пластина с отношением сторон 1уЧх =0,1 Коэффициент Пуассона ¡а, = 0,25. Числа, обозначающие количество функций в ряде прогибов- т = 50, п = 1. Первые десять собственных значений пластины без ребер А.® =10201, А°2= 10816, А°з= 11881, Х°4 = 13456, Х°5= 15625, =18496, А.® = 22201, Х°8 = 26896, А," = 32761, Х\0= 40000. Максимальное значение параметра J5max = 0,02 Минимальное значение параметра Втт = 0,005 Рёбра располагаются в узловых линиях соответствующей формы собственных колебаний

Три ребра. Относительные координаты ребер 0,25, %2= 0,5, ^3= 0,75 Относительная высота сечения рёбер одинакова и равна Н= 1,5 при нейтральной высоте всех ребер #0 =0,599 Принятое значение Я обеспечивает получение значений В (ширина сечения ребер), соответствующих стержневой модели рёбер Заданное первое собственное значение А, = 0,95А°4 = 12783,2

Масштабный коэффициент для обоих алгоритмов ¿=0,1 (см формулы (21), (28)) Проведено сто итераций Результаты расчета сведены в табл. 1-4

Таблица 1

Собственные значения

Алгоритм К

1 12783,2 12928,38 13328,16 13456

2 12783,2 12928,38 13328,16 13456

Таблица 2

Функционалы-действия рёбер

Алгоритм /1 к /з

1 36667,33971 36667,33971 36667,33971

2 36667,33971 36667,33972 36667,33971

Производные определителя Таблица 3

Алгоритм А' В2 А

1 1,6764714304 1,6764714176 1,6764714304

2 1,6764714286 1,6764714258 1,6764714286

Коэффициенты т, Таблица 4

Алгоритм ГП\ т2 тг

1 0,91512421148 1,16975157703 0,91512421148

2 0,91512421148 1,16975157703 0,91512421148

Параметр ширины сечения ребер по обоим алгоритмам равен 5 = 0,011082 Сравнение величин в таблицах показывает, что оба алгоритма в этой задаче дают одинаковые результаты

Произведён расчет при условии А,, = 13456. Такой вариант называется предельным В этом случае оба алгоритма не сходятся Причина блуждающих итераций показана на рис. 5

На рис. 5 видно, что в точке, соответствующей корню уравнения частот, функционалы-действия рёбер имеют разрыв. Условия оптимальности выполняются в точках, лежащих правее корня уравнения частот

В этих точках условие оптимальности выполняется, но особым образом - все функционалы равны нулю. Физически

это означает, что реализуется четвёртая форма собственных колебаний исходной пластины. Рёбра, расположенные в узловых линиях этой формы, не изгибаются, поэтому функционалы-действия рёбер равны нулю. Производные определителя также равны нулю (рис. 6).

х 10® Функционалы - действия рёбер (три ребра, предельный вар.) В--1---'-1-:-1-1-1-—I-Г-1---

'»!+——»-----:-----4-----:-----1 — -----— \-----:------5

\ ; ; [ ; ; | ; I ;

\ ! ! ,,,.111

. , —^—:-----Е------г-----;------Г-----¡--—г- — -!-—;------

- \ ; ; ;;;;;; ;

■ \ I ! I I 1 ! ! ! ■ ' ---------;-----:-----;-----;--------------:------

: .....!--].....1.-1.1.-

,.0l-1--J--1-1--

а 0.002 0.004 0:006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 D.02 Параметр ширины сечения рёбер "В"

Рис. 5. Изменение функционалов-действий рёбер при X, = Х°4

Производные определителя (три ребра, предельный вариант) 2.5 i--—i --п-— i.......—i—-i-г-"Г--

Jt,----------j------(•-----j------i-----\-----\-----j------

\ ' • ! ; ; î ; ; ii:, 1,5 -- Лг-- r-----г-----r-----1------г-----j------т-----j-------;

. . 1 ; v------------------------;-----;-----;-----;------

\ i\ | j | î j | i kS'1-- ; \ i -•. ! ¡Корень "уравнения мастот ■

. Q.S-----Ч-Ч-Г-----Г-----Г"/":-----Г-----f-----f------

i N^L i/ \ \ \ i......ï

2.206 2.21 2.215 2.22 2.225 2.23 2.235 2.24 2.246 Параметр ширины сечения рёбер х то"3

Рис. 6. Производные определителя в предельном варианте

. , ----

\ \

\ \ 'ч

s \

\ \ Корень уравне ния час: тот

Производные определителя (три ребра, предельный вариант)

................. Г --------------

- \ Корень уравнения частот

tr--. ч /

Тогда в качестве оптимального проекта можно принять предельный вариант - параметр ширины сечения равен корню уравнения частот при коэффициентах т, =1.

Для предельного варианта получены следующие результаты Параметр ширины сечения ребер В = 0,00791 при Н = 2 Собственные значения А,, = 13456, А,3 = 13456, А,3 = 13456,01,

А4 = 13456,23

Величина Н принята равной двум, потому что при Я = 1,5 (как в предыдущем варианте) получается В > Втах

Девять ребер. Относительные координаты ребер* §, = 0,1, 0,2, =0,3, 0,4, 0,5, ^6=0,6, $7 = 0,7, 0,8, 0,9 Н0- 1,03279556, Н= 2. Заданное первое собственное значение равно А,, = 0,95А°Ш = 38000 Масштабный коэффициент к = 0,005 Проведено двести пятьдесят итераций Результаты расчета по первому и второму алгоритмам совпадают, поэтому в табл 5-8 сведены расчетные величины без указания номера алгоритма

Таблица 5

Собственные значения

А3 ^4 А.,

38000 38021,3 38080,88 38189,15 38398,28

Продолжение табл. 5

А,9

38947,06 39312,03 39644,47 39900,24 40000

Функционалы-действия рёбер Таблица 6

к к к h к

101278,6 101473,48 101171 101550,16 101128,84

Таблица 7

Производные определителя

d\ d2

1,3741394 1,37678371 1,37267974 1,37782423 1,37210785

Таблица 8

Коэффициенты оптимальной ширины сечения рёбер

m i mi ГП?, П1ц m5

0,9662318 1,0312067 0,9885750 1,0164491 0,995074450

Параметр ширины сечения рёбер равен В - 0,017365. Изменение функционалов рёбер в процессе итераций показано на рис. 7. Предельный вариант (X,, = = 40000) изображён на рис. 8. Параметр ширины сечения рёбер в предельном варианте равен 5 = 0,019952. Собственные значения: А., = 39999,54, А2 = 40000, А3 = 40000,42, ХА = 40008,92, А5 = 40030,61, Х6 = 40066,41, Х7 = 40112,12, Х& = 40160,24, Х9 = 40202,32, А|0 =40230,92.

1 8 1 6 14

1.2

O.S 0.6 0.4 0.2

О 50 100 150 200 250

Номер итерации

Рис. 7. Изменение функционалов-действий при А,

х 10 ФункционajTtei - дои сте и р-аб ер (деояткоэф 0.95)

к 10" Функционалы - действия рёбер (девять рёбер, предельны* бар )

------------

"" -..... " ••"""•'•••..... —__........... ■г Корень уравнения частот

.— ......-...................—

Параметр ширины сечения рёбер

Рис. 8. Изменение функционалов-действий при Я., = X®,

Расчёт пластины с тремя защемлёнными кромками и одной свободной кромкой

Пластина показана на рис. 9.

Рис. 9. Расчётная схема пластины

В расчёте учтены двенадцать балочных функций, зависящих от х, и пять симметричных балочных функций, зависящих от>>. Как показали расчёты, для балочных функций с большими номерами невозможно вычислить коэффициенты, точно удов-

летворяющие граничным условиям. Это объясняется тем, что при больших номерах балочных функций показатели степени числа е становятся очень большими, и ошибки от округления чисел существенно влияют на точность выполнения граничных условий

Геометрические параметры I /1х = 0,1, Н- 3. Коэффициент Пуассона ц = 0,25 Собственные значения пластины без рёбер сведены в табл. 9

Таблица 9

Собственные значения исходной пластины

А А

4951238,2 5001864,43 5105477,22 5266471,3 5492315,3

Продолжение табл. 9

К К

5791172,26 6176345,3 6658684,3 7259502,77 7990379,107

Девять рёбер. Рёбра расположены вдоль прямолинейных узловых линий десятой формы собственных колебаний пластины без рёбер Координаты ребер не приводятся. Для варианта А., = 0,9А.°10 по первому алгоритму при к = 0,01 проведено двести итераций. Н0 = 0,65639, Н= 1,2. Результаты расчёта сведены в табл 10-12.

Таблица 10

Собственные значения

X, ^4 К

7191341,19 7212655,05 7289498,71 7411802,32 7543625,8

Продолжение табл. 10

я9 ^10

7710312,8 7890437,08 7976149,87 8004904,4 8337128,04

Функционалы-действия рёбер Таблица 11

к к к к к

72900786,3 73026874 72867958,7 72991706,5 72926088,6

Продолжение табл. I1

к к к к

72935074,4488 72958199,844 72934118,458 72941771,0006

Таблица 12

Параметры ширины сечения рёбер

т1 ТП2 /из /724 /И5

0,8374587 1,07474409 0,99400049 1 0348712 1,0322038

Продолжение табл. 12

т6 «7 т 8 ОТ9 В

1,01447481 1,08126591 0,96949427 0,9614865 0,009638

Производные определителя не равны между собой, поэтому в этом примере второй алгоритм не даёт достоверных результатов, т к исходные данные по своим значениям приближаются к предельному варианту.

В отдельном параграфе 5 4 показано, что разработанные алгоритмы теории оптимизации ребристых пластин при ограничении первой частоты собственных колебаний могут без изменений использоваться для решения задач оптимизации ребристых пластин при вынужденных колебаниях Приведены

примеры оптимизации ребристых пластин при выполнении условий оптимальности по первой частоте в виде равенств, а условий прочности - в виде неравенств Один из примеров показывает, что ребристая пластина, оптимальная по первой частоте, имеет большую несущую способность, чем неоптимальная пластина с одинаковыми рёбрами

Пример 7. Рассматривается пластина, показанная на рис. 9. Расчёт этой пластины приведён в предыдущем разделе Пластина с девятью рёбрами в предельном варианте

(A.j^A/jo) находится под действием сосредоточенной силы, расположенной посредине седьмого ребра Частота вынужденных колебаний равна 0 = coi/2 Вес оптимальной пластины на 10% меньше веса пластины с одинаковыми ребрами

Изгибающие моменты в сечении с координатой у = 0,5 1У для пластины с рёбрами одинаковой ширины показаны на рис 10.

ODS

0 05

0 04

0 03 ? 002

0 01 о

•°°У 0 1 02 03 "04 05 OB 07 00 09 1 Ребра одинаковой ширины

Рис 10 Изгибающие моменты по центральному сечению неоптимальной пластины

Цоменты Мх, Му по саменига у = 0,5 (сила на шестом ребре)

Г -------- ............. г ------ .......... —.........

(\

/ \

г /

/ Л i \ i

................ ............... // \\ /

м V

Моменты равны Мх = 0,02 l.Fo, Му = 0,052.Fo, где Fo - амплитудное значение динамической силы

Изгибающие моменты оптимальной пластины показаны на рис 11 мх = 0,018Fo, му = 0,046Fo

Сравнение величин изгибающих моментов показывает, что оптимальный проект имеет большую несущую способность при минимальном весе ребер Это объясняется тем, что сила расположена на ребре, имеющем коэффициент mi > 1 Если сила располагается на ребре с коэффициентом т, < 1, то несущая способность оптимальной пластины меньше, чем пластины с одинаковыми ребрами

0 05 004 003 0 02 0 01 о -0 01

О 01 02 03 04 05 06 07 OB 09 1 Оптимальный вариант

Рис. 11 Изгибающие моменты по центральному сечению оптимальной пластины

Таким образом, пример показывает, что разработанные алгоритмы оптимизации эффективны и при расчете на вынуж-

Моменты Мх, Му в сечении у = 0 5 (Сила на седьмом ребре)

--------- - - - " *— А Му Г

/ г

L

'Г к и \ \ \

\< // > / jj % riv- г ^

денные колебания Если ограничение по частоте собственных колебаний выполняется в виде равенства, а ограничения по прочности выполняются в виде неравенств, то оптимизация при вынужденных колебаниях проводится так же, как при собственных колебаниях. Если ограничения по прочности выполняются в виде равенств, то оптимизация по частоте собственных колебаний проводится частично, пока не нарушится одно из условий прочности.

Глава заканчивается следующими выводами

1. Пластина с шарнирными опорами рассчитывается по обоим алгоритмам с одинаковыми результатами при условии А, < , где Я - количество рёбер. В предельном случае (А,, оптимальными являются рёбра с одинаковой шириной сечения (т, = 1), поэтому параметр ширины сечения В определяется сразу, без использования итерационного алгоритма При любом из вариантов ограничения величины X, условия оптимальности по обоим алгоритмам выполняются Одинаковая реализация обоих алгоритмов объясняется тем, что балочная функция при шарнирных опорах имеет абсолютно точные коэффициенты.

2. Пластина с защемленными или свободными кромками рассчитывается по обоим алгоритмам с приблизительно одинаковыми результатами при некотором удалении от предельного варианта. Окрестность предельного варианта составляет (0,93-1) А°д+1. В окрестности предельного варианта второй алгоритм не сходится.

3. Первый алгоритм является более универсальным, так как функционалы-действия ребер менее чувствительны к ошибкам, вызванным округлением чисел, чем производные определителя

4. Если параметры оптимизируемой пластины позволяют реализовать оба алгоритма, то расчет целесообразно вести по

объединенному алгоритму для повышения надёжности результатов

5 Разработанные алгоритмы могут использоваться при оптимизации пластин, работающих на вынужденные колебания Если ограничение по частоте собственных колебаний выполняется в виде равенства, а ограничения по прочности выполняются в виде неравенств, то разработанные алгоритмы применяются без изменений для оптимизации при вынужденных колебаниях. Если ограничения по прочности не выполняются, то возможны два варианта оптимизации Первый - повысить несущую способность оптимального проекта (по собственным колебаниям) с помощью введения дополнительных рёбер и новой оптимизации Второй вариант - не изменяя количества ребер, проверять условия прочности на каждом шаге оптимизации Итерации прекращаются при выполнении ограничений по прочности в виде равенств В этом случае минимум веса, соответствующий заданной первой частоте собственных колебаний, не достигается

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработана теория оптимизации ребристых тонких прямоугольных пластин при заданной величине первой частоты собственных колебаний. Теория основана на энергетическом методе, с помощью которого получены новые теоретические и практические результаты

1. Алгоритм энергетического метода представлен с помощью матричной формы ряда прогибов. Эта новая матричная форма энергетического метода позволяет проводить аналитические исследования. Доказано, что в оптимальном варианте пластины с шарнирными опорами прогибы рёбер одинаковы по модулю.

2. Проведено дифференцирование формулы Релея по ширине поперечного сечения ребра. Полученная производная названа удельным функционалом-действием ребра Влияние реб-

ра на изменение частоты колебаний определяется знаком функционала-действия. Получена формула для вычисления нейтральной высоты сечения ребра, при которой частота собственных колебаний не изменяется Если требуется увеличить частоту колебаний, заданная высота сечения должна быть больше нейтральной. Получено уравнение, по которому определяется координата ребра для максимального увеличения первой частоты Известные рекомендации других авторов о рациональном расположении рёбер следуют из этого уравнения

3 Сформулирован критерий оптимальности ребристой пластины при заданной первой частоте собственных колебаний Ограничение по частоте записано в виде закона сохранения энергии. Дифференцирование функции Лагранжа приводит к математической формулировке первого свойства оптимальной ребристой пластины: вес ребер минимален, если удельные функционалы-действия всех ребер равны между собой

4. Предыдущий критерий сформулирован в другой форме Ограничение первой частоты собственных колебаний записано в виде уравнения частот. В этом случае дифференцирование функции Лагранжа приводит ко второму свойству: вес рёбер минимален, если производные определителя по ширине сечения ребер равны между собой

5. Первое свойство реализовано в алгоритме направленного выравнивания величин функционалов-действий ребер Сходимость алгоритма обеспечена итерационными формулами, основанными на доказанной теореме о выпуклости функции первого собственного значения Согласно этой теореме удельный функционал-действие уменьшается при увеличении ширины поперечного сечения ребра

6. Алгоритм, реализующий второе свойство оптимальной ребристой пластины, повторяет все действия первого алгоритма с заменой удельных функционалов-действий производными определителя. Для вычисления производных используется теорема о дифференцировании определителя

7 Расчеты подтверждают, что два сформулированных свойства оптимальной ребристой пластины эквивалентны Основанные на них алгоритмы дают один и тот же оптимальный проект.

8 Оптимизация ребристых пластин при вынужденных колебаниях осуществляется с учетом ограничения первой частоты собственных колебаний (для контроля за зоной резонанса) Разработанные алгоритмы естественным образом без изменений входят в эту более общую задачу оптимизации

Представленные теоретические результаты позволяют развивать исследования по следующим направлениям

1 Оптимизация пластин, подкрепленных тонкими ребрами. В этом случае необходимо учесть деформации изгиба, кручения и сжатия.

2. Наложение ограничений не только на первую частоту, но и несколько последующих частот.

3 Регулирование спектром частот оптимальной пластины при одновременном варьировании параметрами ребер и масс (распределенных и сосредоточенных)

4 Оптимизация ребристых пластин при ограничении по устойчивости. Применение разработанной методики для решения этой задачи может дать качественно новые теоретические результаты.

Список опубликованных работ по теме диссертации

1. Моисеенко, Р.П Оптимизация ребристых пластин при заданной величине первой частоты собственных колебаний / РП Моисеенко // Изв. вузов. Строительство. - 1999. - № 4. -С.26-30

2. Моисеенко, Р П. Свойства ребристых пластин минимального веса при заданной первой частоте собственных колебаний / Р П Моисеенко // Изв вузов Строительство. - 2003 -№2.-С 16-19.

3 Моисеенко, Р.П. Анализ влияния ребра жесткости на увеличение первой частоты собственных колебаний прямоугольных тонких пластин / Р П Моисеенко // Изв. вузов Строительство - 2004. - № 3. - С 110-113

4. Моисеенко, Р П. Матричная форма энергетического метода в расчётах ребристых прямоугольных пластин на собственные колебания / Р.П. Моисеенко // Изв вузов Строительство.-2005.-№ 6.-С. 94-99

5. Моисеенко, Р П. Уравнение частот собственных колебаний как ограничение в задачах оптимизации ребристых пластин / Р.П. Моисеенко // Изв вузов Строительство. - 2006 -№ 7 - С. 7-11

6 Моисеенко, Р.П. Исследование сходимости алгоритмов оптимизации ребристых пластин при заданной первой частоте собственных колебаний / Р.П Моисеенко // Изв. вузов. Строительство -2007,-№2.-С 93-97.

7. Моисеенко, Р.П Оптимизация ребристой пластины при вынужденных колебаниях / Р.П. Моисеенко // Изв вузов. Строительство. - 2008. - С 123-125

8. Моисеенко, Р.П. Оптимизация ребристых тонких пластин при заданной первой частоте собственных колебаний / Р П Моисеенко. - Томск. Изд-во ТГАСУ, 2007. - 142 с

Моисеенко Ростислав Павлович

ОПТИМИЗАЦИЯ РЕБРИСТЫХ ПЛАСТИН ПРИ ЗАДАННОЙ ПЕРВОЙ ЧАСТОТЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

АВТОРЕФЕРАТ

Изд лиц №021253 от 31 10 97

Подписано в печать /109.0$ Формат 60Х 84 1/16 Бумага офсет. Гарнитура Тайме Усл-печ л 1,8 Уч -изд л 1,65. Тираж 100 экз Заказ

Изд-во ГОУ ВПО «ТГАСУ», 634003, г Томск, пл Соляная, 2 Отпечатано с оригинала-макета автора в ООП ГОУ ВПО «ТГАСУ» 634003, г Томск, ул Партизанская, 15

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТРИЧНАЯ ФОРМА ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА В РАСЧЁТАХ РЕБРИСТЫХ ПЛАСТИН

НА СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ.

1.1. Матричная форма энергетического метода в современной литературе.

1.2. Описание алгоритма.

1.3. Выводы по главе.

ГЛАВА 2. ВЛИЯНИЕ РЕБРА ЖЁСТКОСТИ НА ИЗМЕНЕНИЕ СПЕКТРА ЧАСТОТ ПЛАСТИНЫ.

2.1. Состояние вопроса.

2.2. Изменение первой частоты собственных колебаний при постановке ребра.

2.3. Определение оптимальной координаты ребра.

2.4. Определение минимальной ширины сечения, необходимой для максимального увеличения первого собственного значения.

2.5. Выводы по главе.

ГЛАВА 3. РЕБРИСТЫЕ ПЛАСТИНЫ МИНИМАЛЬНОГО ВЕСА ПРИ ЗАДАННОЙ ПЕРВОЙ ЧАСТОТЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ.

3.1. Состояние вопроса.

3.2. Постановка задачи минимизации.

3.3. Алгоритм решения задачи.

3.4. Оптимизация ребристых пластин с шарнирными опорами на двух противоположных кромках.

3.5. Выводы по главе.

ГЛАВА 4. ОПТИМИЗАЦИЯ РЕБРИСТЫХ ПЛАСТИН ПРИ ЗАМЕНЕ ОГРАНИЧЕНИЯ В ВИДЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

ОГРАНИЧЕНИЕМ В ВИДЕ УРАВНЕНИЯ ЧАСТОТ.

4.1. Изменение формулировки задачи оптимизации.

4.2. Разложение определителя в полином при одном ребре.

4.3. Оптимизация пластины с несколькими рёбрами.

4.4. Выводы по главе.

ГЛАВА 5. ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ СОСТАВЛЕННЫХ АЛГОРИТМОВ ОПТИМИЗАЦИИ.

5.1. Вводные замечания.

5.2. Расчёт пластины с шарнирными опорами.

5.3. Расчёт пластины с тремя защемлёнными кромками и одной свободной кромкой.

5.4. Оптимизация ребристых пластин при вынужденных колебаниях.

5.5. Выводы по главе.

Актуальность темы диссертации

Задача минимизации веса прямоугольных пластин при заданной величине первой частоты собственных колебаний решалась многими авторами. В результате исследований, проведённых Ж.-Л.П. Арманом, Н.В. Баничуком, В.Б. Гринёвым, К.А. Лурье, A.A. Мироновым, Н. Ольхоффом, В.А. Троицким, А.П. Филипповым, A.A. Хватцевым, A.B. Черкаевым и др., было установлено, что оптимальный проект представляет собой пластину постоянной толщины, подкреплённую рёбрами. Теоретически глобальный минимум достигается на пластине с бесконечно большим количеством тонких рёбер. Однако технически возможный проект должен содержать конечное число рёбер. Размеры поперечного сечения рёбер также должны соответствовать определённым ограничениям конструктивного характера. Анализ литературы показывает, что имеющиеся ( оптимальные проекты пластин при заданной первой частоте собственных ! I колебаний не могут быть реализованы на практике, уровень исследований \ остаётся только теоретическим. В связи с этим, не—смотря на большую историю решения, проблема минимизации веса пластины при ограничении \ первой частоты собственных колебаний остаётся актуальной. Необходимо довести исследование проблемы до технически приемлемого проекта.

Общая проблема исследования формулируется следующим образом -разработать технически пригодный оптимальный проект ребристой пластины с заданной первой частотой собственных колебаний. Под технически пригодным понимается проект конструкции, изготовление которой не требует разработки особой технологии. Например, изготовление пластины с частыми тонкими рёбрами - это не простая технологическая задача.

Минимизация веса ребристой пластины при одном ограничении по частоте собственных колебаний имеет практическое значение в некоторых отраслях строительства, космической техники и самолётостроения, приборостроения.

Поставленная задача оптимизации входит составной частью в более сложную задачу оптимизации с ограничениями не только по частоте, но и по прочности. Например, в режиме вынужденных колебаний существует подмножество динамических нагрузок, удовлетворяющих условиям оптимальности при заданной первой частоте в виде равенств, а ограничения по прочности выполняются в виде неравенств.

Цель работы

При оптимизации ребристой пластины как реального элемента технического объекта необходимо решить три основных вопроса - о количестве рёбер, их расположении и о размерах поперечного сечения, соответствующих принятой математической модели ребра. Поставленные вопросы подробно не исследованы, поэтому целью данной диссертации является разработка теории оптимизации ребристых тонких пластин при ограничении первой частоты собственных колебаний.

Научная новизна работы

Разработана теория оптимизации ребристых тонких прямоугольных пластин постоянной толщины. Теория оптимизации состоит из следующих основных положений.

1. Матричная форма энергетического метода доведена до своего логического завершения с помощью матричного представления функции прогибов. Энергетический метод получил новые аналитические возможности.

2. Исследовано влияние ребра на изменение первой частоты собственных колебаний пластины. В рамках этого исследования доказана теорема о выпуклости функции первого собственного значения; введено понятие удельного функционала-действия ребра; показано, что собственное значение изменяется в зависимости от знака удельного функционала-действия; выведена формула для вычисления нейтральной высоты сечения ребра, при которой постановка ребра не изменяет первой частоты пластины.

3. Получено уравнение, из которого определяется координата прямолинейного ребра. Известный вывод о том, что рёбра должны располагаться в узловых линиях соответствующей формы собственных колебаний, является частным случаем, следующим из общего уравнения.

4. Задача минимизации веса рёбер при заданной первой частоте собственных колебаний сформулирована в двух формах - с ограничением в виде закона сохранения энергии и в виде уравнения частот.

5. Сформулированы два свойства оптимальных ребристых пластин, реализованные в алгоритмах. Алгоритмы дают одинаковые результаты.

Методы исследований

Общая задача оптимизации решается энергетическим методом. Свойства оптимальной ребристой пластины получены методом Лагранжа. Параметры оптимизации (ширина поперечного сечения рёбер) определяются методом итераций, на каждой итерации уравнение частот решается численным методом деления отрезка пополам или численным методом линейных приближений. Расчёты проведены в компьютерной системе МаНаЬ 4.0.

Достоверность научных выводов и численных результатов основывается на следующих положениях.

1. Качественные выводы (теоремы, свойства оптимальных ребристых пластин) получены с использованием энергетического метода и теорем математического анализа;

2. Показана сходимость итерационных алгоритмов;

3. Численщле результаты не с чем сравнивать, т.к. поставленные задачи другими авторами не рассматривались, но результаты решения по двум разработанным алгоритмам совпадают. 4 '

Практическая значимость и реализация результатов

1. Разработаны два алгоритма оптимизации ребристых пластин. Программа расчёта по оптимизации ребристых пластин передана в отдел мостов ОАО Томгипротранс для применения в проектировании реальных конструкций (см. Приложение).

2. Получен большой объём достоверных численных результатов.

3. Теоретические результаты составляют базу для дальнейших научных/ исследований по таким направлениям как оптимизация ребристых пластин при ограничении нескольких частот собственных колебаний, оптимизация ) ребристых пластин при ограничениях по устойчивости и прочности.

У V

Апробация работы

Результаты работы докладывались на научно-технической конференции «Архитектура и строительство» (Томск, 1999 г.); на 56-й научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава НГАСУ (Новосибирск, 1999 г.); на V Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2006 г.); на семинаре кафедры строительной механики НГАСУ (Новосибирск, 2008 г.); на I Всероссийской конференции «Проблемы оптимального проектирования сооружений» (Новосибирск, 2008 г.). Опубликована статья в материалах VII Международной конференции «Научно-технические проблемы прогнозирования надёжности и долговечности конструкций и методы их решения» (С.-Петербург, 2008 г.).

Публикации

По теме диссертации опубликованы следующие работы.

1. Моисеенко, Р.П. Оптимизация ребристых пластин при заданной величине первой частоты собственных колебаний / Р.П. Моисеенко //

Изв. вузов. Строительство. - 1999. - № 4. - С. 26-30.

2. Моисеенко, Р.П. Свойства ребристых пластин минимального веса при заданной первой частоте собственных колебаний / Р.П. Моисеенко // Изв. вузов. Строительство. - 2003. - № 2. - С. 16-19.

3. Моисеенко, Р.П. Анализ влияния ребра жёсткости на увеличение первой частоты собственных колебаний прямоугольных тонких пластин / Р.П. Моисеенко // Изв. вузов. Строительство. - 2004. - № 3. -С. 110-113.

4. Моисеенко, Р.П. Матричная форма энергетического метода в расчётах ребристых прямоугольных пластин на собственные колебания / Р.П. Моисеенко // Изв. вузов. Строительство. - 2005. - № 6 - С. 94-99.

5. Моисеенко, Р.П. Уравнение частот собственных колебаний как ограничение в задачах оптимизации ребристых пластин / Р.П. Моисеенко // Изв. вузов. Строительство. - 2006. - № 7. - С. 7-11.

6. Моисеенко, Р.П. Исследование сходимости алгоритмов оптимизации ребристых пластин при заданной первой частоте собственных колебаний / Р.П. Моисеенко // Изв. вузов. Строительство. - 2007. -№2.-С. 93-97.

7. Моисеенко, Р.П. Оптимизация ребристой пластины при вынужденных колебаниях / Р.П. Моисеенко // Изв. вузов. Строительство. - 2008. - С. 123-125.

8. Моисеенко, Р.П. Оптимизация ребристых тонких пластин при заданной первой частоте собственных колебаний / Р.П. Моисеенко. -Томск: Изд-во ТГАСУ, 2007. - 142 с.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из,, „введения, пяти глав, заключения, библиографического списка из 72 наименований. Объём диссертации - V 141 е., включая 72 рис., 50 таблиц.

Таковы основные выводы, касающиеся оптимизации ребристых пластин. Сюда не вошли некоторые второстепенные вопросы практической реализации алгоритмов.

Представленные теоретические результаты позволяют расширить исследования по следующим направлениям.

1. Оптимизация пластин, подкреплённых тонкими рёбрами. В этом случае необходимо учесть деформации изгиба, кручения и сжатия.

2. Наложение ограничений не только на первую частоту, но и несколько последующих частот.

3. Регулирование спектром частот оптимальной пластины при одновременном варьировании параметрами рёбер и масс (распределённых и сосредоточенных).

4. Оптимизация ребристых пластин при ограничении по устойчивости. Применение разработанной методики для решения этой задачи может дать качественно новые теоретические результаты.

5. Оптимизация ребристых пластин при вынужденных колебаниях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработана теория оптимизации ребристых тонких прямоугольных пластин при заданной величине первой частоты собственных колебаний. Теория основана на энергетическом методе, с помощью которого получены новые теоретические и практические результаты.

1. Предложена новая матричная форма записи ряда, аппроксимирующего прогибы. Элементами исходных векторов и матриц являются балочные функции. В работах других исследователей используется функция прогибов в виде двойного ряда. Алгоритм энергетического метода представлен с помощью матричной формы ряда прогибов. Эта новая матричная форма энергетического метода значительно упрощает процедуру программирования вычислений и позволяет проводить аналитические исследования. Без вычислений доказано, что в оптимальном варианте пластины с шарнирными опорами прогибы рёбер одинаковы по модулю. Новая матричная форма энергетического метода без принципиальных изменений пригодна для решения широкого круга задач по расчёту тонких пластин.

2. Сформулирован критерий, определяющий влияние ребра на изменение первой частоты собственных колебаний. В работах других ^ авторов это влияние исследовано в частных случаях численными методами. \ . /

Проведено дифференцирование формулы Релея по ширине поперечного сечения ребра. Полученная производная названа удельным функционалом-действием ребра. Влияние ребра на изменение частоты колебаний определяется знаком функционала-действия. Частота увеличивается, если функционал положителен; уменьшается, если функционал отрицателен; не изменяется, если функционал равен нулю. Из последнего условия получена формула для вычисления нейтральной высоты сечения ребра. Если требуется увеличить частоту колебаний, заданная высота сечения должна быть больше нейтральной. Получено уравнение, по которому определяется координата ребра для максимального увеличения первой частоты. Известные результаты других авторов о рациональном расположении рёбер следуют из этого уравнения.

3. Сформулирован критерий оптимальности ребристой пластины при заданной первой частоте собственных колебаний. Ограничение по частоте записано в виде закона сохранения энергии. Дифференцирование функции Лагранжа приводит к математической формулировке первого свойства оптимальной ребристой пластины: вес рёбер минимален, если удельные функционалы-действия всех рёбер равны между собой.

4. Предыдущий критерий сформулирован в другой форме. Ограничение первой частоты собственных колебаний записано в виде уравнения частот, имеющего вид определителя, равного нулю. В этом случае дифференцирование функции Лагранжа приводит ко второму свойству: вес рёбер минимален, если производные определителя по ширине сечения рёбер равны между собой.

5. Первое свойство реализовано в алгоритме направленного выравнивания величин функционалов-действий рёбер. Сходимость алгоритма обеспечена итерационными формулами, основанными на доказанной теореме о выпуклости функции первого собственного значения. Согласно этой теореме удельный функционал-действие уменьшается при увеличении ширины поперечного сечения ребра.

6. Алгоритм, реализующий второе свойство оптимальной ребристой пластины, повторяет все действия первого алгоритма с заменой удельных функционалов-действий производными определителя. Для вычисления производных используется теорема о дифференцировании определителя.

7. Расчёты показывают, что два сформулированных свойства оптимальной ребристой пластины эквивалентны, так как составленные алгоритмы дают один и тот же оптимальный проект. Второй алгоритм не сходится только в предельном варианте, когда первая частота максимально увеличивается при минимально необходимом количестве рёбер. Первый алгоритм в предельном варианте сходится без затруднений.

8. Оптимизация ребристых пластин при вынужденных колебаниях осуществляется с учётом ограничения первой частоты собственных колебаний (для контроля за зоной резонанса). Разработанные алгоритмы естественным образом без изменений входят в эту более общую задачу оптимизации.

1. Абовский, Н.П. Регулирование Синтез Оптимизация / Н.П. Абовский, Л.В. Енджиевский, В.И. Савченков, А.П. Деруга, М.И. Рейтман, И.И. Гетц, Ю.М. Почтман. Красноярск : Изд-во Краснояр. ун-та, 1985.

2. Абовский, Н.П. Расчёт неразрезных плит методом сеток / Н.П. Абовский // Изв. вузов Сер. «Строительство и архитектура». 1962 - № 2.

3. Александров, A.B. Метод перемещений для расчёта плитно-балочных конструкций / A.B. Александров. М. : Науч. тр./ МИИТ. - Вып. 174. -1963.

4. Александров, A.B. Основы теории упругости и пластичности / A.B. Александров, В.Д. Потапов. М. : Высшая школа, 2002. - 399 с.

5. Ал футов, H.A. Основы расчёта на устойчивость упругих систем / H.A. Алфутов. М. : Машиностроение, 1978. - 311 с.

6. Андерсон М.С.,Арман Ж.-Л., Apopa Дж.С. и др. Новые направления оптимизации в строительном проектировании / М.С. Андерсон, Ж.-Л. Арман, Дж.С. Apopa и др. М.: Стройиздат, 1989, - 592 с.

7. Арман, Ж.-Л. П. Приложения теории оптимального управления системами / Ж.-Л. П. Арман. М. : Мир, 1977. - 142 с.

8. Бабаков, И.М. Теория колебаний / И.М. Бабаков. М. : Наука, 1968. -560 с.

9. Баничук, Н.В. Об оптимальных формах упругих пластин в задачах изгиба / Н.В. Баничук // Изв. АН СССР. МТТ. 1975. - № 5.

10. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел / Н.В. Баничук. М. : Наука, 1981.-256 с.

11. Баничук, Н.В. Задачи оптимизации с локальными критериями качества в теории изгиба пластин / Н.В. Баничук, В.М. Картвелишвили, A.A. Миронов // Механика твёрдого тела, 1978. № 1.

12. Батищев, Д.И. Методы оптимального проектирования / Д.И. Батищев. -М. : Радио и связь, 1984. 248 с.

13. Безухов, Н.И. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач / Н.И. Безухов, О.В. Лужин. М. : Высшая школа, 1974.-200 с.

14. Болотин, В.В. Статические методы в строительной механике / В.В. Болотин. -М. : Стройиздат, 1961.

15. Болотин, В.В. Вибрации в технике. Т.1. Колебания линейных систем: Справочник в 6 томах /В.В. Болотин. М. : Машиностроение, 1978. -352 с.

16. Большой энциклопедический словарь. Математика. М.: Научное издательство «Большая Российская Энциклопедия», 1998. - С. 615.

17. Бубнов, И.Г. Строительная механика корабля / И.Г. Бубнов. Петербург, 1912.-Т.1.

18. Воеводин, В.В. Матрицы и вычисления / В.В. Воеводин, Ю.А. Кузнецов. -М. : Наука, 1984.-318 с.

19. Вольмир, A.C. Устойчивость деформируемых систем / A.C. Вольмир. -М. : Наука, 1967.

20. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. М. : Наука, 1966. -576 с.

21. Гантмахер, Ф.Р. Осциляционные матрицы и малые колебания механических систем / Ф.Р. Гантмахер, М.Г. Крейн. М. - Л. : Гостехтеоретиздат, 1950.-359с.

22. Гастев, В.А. К определению упругих характеристик ребристых пластин / В.А. Гастев, К.А. Китовер // Строительная механика и расчёт сооружений. 1961,-№6.

23. Говорухин, В. Компьютер в математическом исследовании. Учебный курс / В. Говорухин, В. Цибулин. СПб. : Питер, 2001. - 624 с.

24. Гребенюк, Г.И. Декомпозиция многопараметрических задач оптимизации динамически нагруженных систем / Г.И. Гребенюк // Изв. вузов. Строительство. 2005. - № 2.

25. Гринёв, В.Б. Оптимальное проектирование конструкций, имеющих заданные собственные частоты / В.Б. Гринёв, А.П. Филиппов // Прикладная механика. 1971. - № 10.

26. Дьяконов, В. MATLAB 6: учебный курс / В. Дьяконов. СПб. : Питер, 2001.-592 с.

27. Калманок, A.C. Строительная механика пластин / A.C. Калманок. М. : Машстройиздат, 1950.

28. Карманов, В.Г. Математическое программирование / В.Г. Карманов. -М. : Наука, 1975.-272 с.

29. Качанов, JI.M. Основы теории пластичности / JIM. Качанов. М. : Наука, 1969.-420 с.

30. Крылов, В.И. Вычислительные методы / В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный. М. : Наука. 1976. - Т. 1. - 304 с.

31. Лазарев, И.Б. Основы оптимального проектирования конструкций. Задачи и методы / И.Б. Лазарев. Новосибирск : Сибирская государственная академия путей сообщения, 1995. -295 с.

32. Ланкастер, П. Теория матриц / П. Ланкастер. М. : Наука, 1978. - 280 с.

33. Лурье, К.А. О применении теоремы Прагера к задаче оптимального проектирования тонких пластин / К.А. Лурье, A.B. Черкаев // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. - № 6.

34. Ляхович, Л.С. Оптимизация жёсткостей упругих связей при ограничениях на величину первой частоты собственных колебаний / Л.С. Ляхович, А.Н. Плахотин // Изв. вузов. Строительство. 1986. - № 7.

35. Ляхович, Л.С. Разделение критических сил и собственных частот упругих систем / Л.С. Ляхович. Томск : Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2004. - 139 с.

36. Малиев, A.C. Исследование изгиба ребристых плит / A.C. Малиев // ВВМИСУ. Вып. 1,- 1939.

37. Моисеев, H.H. Численные методы в теории оптимальных систем / H.H. Моисеев. -М. : Наука, 1971.

38. Мышкис, А.Д. Лекции по высшей математике / А.Д. Мышкис. М. : Наука, 1973.-640 с.

39. Нудельман, Я.Л. Методы определения собственных частот и критических сил для стержневых систем / Я.Л. Нудельман. М. - Л. : Гостехтеоретиздат, 1949. - 176 с.

40. Ольхофф, Н. Оптимальное проектирование конструкций / Н. Ольхофф. -М. :Мир, 1981.-276 с.

41. Папкович, П.Ф. Строительная механика корабля / П.Ф. Папкович. М. : Судпромгаз, 1941.

42. Петухов, Л.В. Минимум веса тонких пластин / Л.В. Петухов // Прикладная математика. Тула : Тульский политехнический институт, 1977.

43. Полак, Э. Численные методы оптимизации / Э. Полак. М. : Мир, 1974.

44. Прагер, В. Основы теории оптимального проектирования / В. Прагер. -М. : Мир, 1977.

45. Пшеничный, Б.Н. Численные методы в оптимальных задачах / Б.Н. Пшеничный, Ю.М. Данилин. М. : Наука, 1976.

46. Работнов, Ю.Н. Механика деформируемого твёрдого тела / Ю.Н. Работнов. М. : Наука, 1988. - 712 с.

47. Ржаницын, А.Р. Строительная механика / А.Р. Ржаницин. М. : Высшая школа, 1982.-400 с.

48. Рожваны, Д. Оптимальное проектирование изгибаемых систем / Д. Рожваны. М. : Стройиздат, 1980. - 316 с.

49. Розин, J1.A. Вариационные постановки задач для упругих систем / Л.А. Розин. Л. : Изд-во ЛГУ, 1978. - 223 с.

50. Савин, Г.Н. Пластинки и оболочки с рёбрами жёсткости / Г.Н. Савин, Н.П. Флейшман. Киев : Наук, думка, 1964.

51. Самсонов, A.M. Оптимальное положение упругого тонкого ребра на упругой пластине / A.M. Самсонов // Механика твёрдого тела. 1978. -№ 1.

52. Самсонов A.M. Условие Вейерштрасса в динамической задаче оптимизации упругой пластины с ребром / A.M. Самсонов // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. - № 3. - С. 185-187.

53. Сливкер, В.И. Строительная механика. Вариационные основы /

54. B.И. Сливкер. М. : Изд-во АСВ, 2005. - 710 с.

55. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Расчётно-теоретический. Кн. 2. - М. : Стройиздат, 1973. -415 с.

56. Тернер, М.Д. Проектирование конструкций наименьшего веса, имеющих заданные собственные частоты / М.Д. Тернер // Ракетная техника и космонавтика, 1967. Т. 5. - № 3.

57. Тимошенко, С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек /

58. C.П. Тимошенко. М. : Наука, 1971.-807 с.

59. Тимошенко, С.П. Пластинки и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. -М. : Наука, 1966.

60. Троицкий, В.А. Оптимизация формы упругих тел / В.А. Троицкий, Л.В. Петухов. М. : Наука, 1982. - 432 с.

61. Филиппов, А.П. Колебания деформируемых систем / А.П.Филиппов. -М. : Машиностроение, 1970. 734 с.

62. Фокс, Р. Скорость изменения собственных значений и собственных векторов / Р. Фокс, М. Капур // Ракетная техника и космонавтика. 1968. - Т.6. - № 12.

63. Шилов, Г.Е. Введение в теорию линейных пространств / Г.Е. Шилов. -М. : Гос. изд-во технико теор. лит-ры. 1956. - 304 с.

64. Aksu, G. Determination of dynamic characteristics of rectangular plates with cutouts using a finite difference formulation / G. Aksu, R. Ali // Journal of Sound and Vibration 44. 1976.

65. Aksu, G. Dynamic analysis of orthotropic plates using a finite difference formulation / G. Aksu // Ph. D. Thesis, Loughborough University. 1974.

66. Aksu, G. Free vibration analysis of stiffened plates using finite difference method / G. Aksu, R. Ali // Journal of Sound and Vibration 48. 1976.

67. Kirk, C.L. Natural frequencies of stiffened rectangular plates / C.L. Kirk // Journal of Sound and Vibration 13. 1970.

68. Long, B.R. Vibration of eccentrically stiffened plates / B.R. Long // Shock and Vibration Bulletin 38. 1960.

69. Long, B.R. A stiffness-type analysis of the vibration of a class of stiffened plates / B.R. Long // Journal of Sound and Vibration 16. 1971.

70. Shimizu, S. Free vibration analysis of stiffened plates / S. Shimizu // 2nd U.S. Japan Seminar, Advances in Computing Methods in Structural Mechanics and Design Conference. 1972.

71. Smith, C.S. Bending, buckling and vibration of orthotropic plate-beam structures / C.S. Smith // Journal of Ship Research 12. 1968.

72. Wah, T. Vibration of stiffened plates / T. Wah // Aeronautical Quarterly XV. -1964.

73. Открытое акционерное общество Томский проектно-изыскательский институт Транспортного строительства «Томгипротранс» (ОАО «Томгипротранс»)пр. Кирова, д. 23, г. Томск, 634041 Тел. (382-2) 56-44-05, факс (382-2) 55-81-88. E-mail: maiI@tomgiprotrans.ru

74. ОКПО 01388414, ОГРН 1027000869246, ИНН/КПП 7018010919/7018010011. TUVrtiflUl: ШМ.7Ш1J1. TUV Rhthlonii Ы«<ж1

75. В Диссертационный Совет Д 212.265.01при

76. Томском Государственном Архитектурно-Строительном Университете1. СПРАВКА

77. Справка дана в связи с представлением Моисеенко Р.П. докторской диссертации.

78. Главный инженер^^Щ!^, ТОМГИПРОТРАНС1. Филиппов А.А.