автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Оптимизация оболочек вращения из материалов по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию

На правах рукописи

Аль-Кхаттаб Салим Абдул-Раззак

Оптимизация оболочек вращения из материалов по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 2005

Работа выполнена в Московском государственном строительном университете

кандидат технических наук, профессор Петраков Александр Андреевич

доктор технических наук, профессор Шапошников Николай Николаевич

кандидат технических наук, доцент Хечумов Артем Револович

ГУП «Научно- исследовательский институт бетона и железобетона

Защита состоится ». ^^Ь* 2005г в 15" часов 3С мии. на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 в Московском государственном строительном университете по адресу: Москва, Шлюзовая набережная, д. 8, ауд.409

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного строительного университета.

Автореферат разослан: «/у » ■^(,(^11.2005г

Научный руководитель

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ученый секретарь диссертационного совета

Анохин Н. Н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы:

Ирак считается едва ли не первой страной в мире, где появился новый конструкционный элемент - купол. Он даже стал символом столицы Ирака -Багдада. За всю историю города в Багдаде было построено много сооружений, в которых крыша была в виде купола.

В иракской культуре купол символизирует величественность, власть. Так что вид купола от опоры и до вершины отвечает потребностям восточного человека: центральная, верховная власть возвышается над ним.

Сегодня иракцы хотят, чтобы старые города их страны были еще и красивы, поэтому купола находят свое применение не только в религиозных, но также и в гражданских зданиях.

К тому же в Ираке из-за войн, длящейся уже много лет, появились и экономические соображения, которые приводят к использованию всех возможностей для уменьшения расхода арматурного металла в железобетонных конструкциях. Купол является одним из этих экономических решений.

Основной целью диссертационной работы являлось разработка оптимальных объемов оболочек вращения из материалов по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию.

Написания программы для физически и геометрически нелинейного проектирования оболочек. Приведенный девяти-узловой элемент оболочки (9-node degenerated shell element) использовался в анализе метода конечного элемента.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

- оптимальное нелинейное проектирование сферических железобетонных оболочек вращения с оптимальными толщинами в вершине и в опоре с минимальной арматурой, а также стоимость оболочки в зависимости от высоты оболочки.

- доказана точность и стабильность использованного метода подбора оптимизации.

- изучено влияние изменения предельных деформации при сжатии и напряжении при растяжении на размеры оптимальной конструкции.

- изучено влияние геометрической нелинейности при оптимальном проектирование железобетонных оболочек вращения;

- получена зависимости (оптимальная высота, h / пролет, D) используя метод аппроксимации кривой.

Научная новизна работы заключается в следующим:

- Нелинейный анализ дает результаты, которые близки к экспериментальным. Поэтому необходимо рассчитывать железобетонные оболочки вращения с учетом нелинейности.

- Учет геометрической нелинейности мало влияет на конечные результаты (0.903 %). Поэтому, для дальнейших исследования можно не учитывать геометрическую нелинейность, что упростит исходные уравнения.

- Моделирование железобетонной оболочки слоистым конечным элементом, в котором арматура смоделирована, как отдельный слой, более точно, чем использование однослойного элемента, в котором материал железобетонной оболочки смоделирован как эквивалентный материал к двум материалам; бетону и стали.

- Оптимальная величина толщины в вершине (йс) зависит от условия прочности при сжатии и мало зависит от предельной сжимающей деформации. И толщина в опоре (йз) зависит от условия прочности на растяжение.

- Строительство железобетонных оболочек вращения с переменной толщиной эффективно понижают стоимость.

Практическая значимость работы состоит в следующем:

- Представлены оптимальные размеры ф, йз, йс) и стоимость для сферических оболочек вращения с пролетами (от 5т до 50т).

Используя метод аппроксимации кривой, была получена линейная зависимость оптимальной высоты к пролету. - Если читатель этой работы хочет проектировать купол с оптимальными толщинами в вершине и в опоре, независимом от оптимальных высот, диаграммы этой работы показывают эти размеры. Проверка результатов работы осуществлялось в сравнение между экспериментальными результатами, полученными Тейлором и теоретическими результатами, предложенными автором. Апробация работы и публикации;

1- первая международная научно-практическая конференция молодых ученых, Москва 21-22 мая 2003.

2- вторая международная научно-практическая конференция молодых ученых, Москва 26-27 мая 2004.

Объем работы: Диссертация состоит из введения, шести глав, общих выводов, списка использованной литературы, изложена на 153 страницах машинописного текста, содержит 65 рисунков, 8 таблиц. Список использованной литературы состоит из 158 наименований. На защиту выносятся:

- Оптимальные размеры и стоимости ф, ts, tc) для сферических оболочек вращения с пролетами (от 5т до 50т).

- Оптимальные толщины в вершине и в опоре, независимо от оптимальных высот.

Содержание работы Во введении обосновывается актуальность выбранной темы диссертационной работы по оптимизации оболочек вращения из материалов по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию в Ираке, и определяются цели задачи исследований. Отмечена научная новизна и практическая значимость диссертационной работы.

В первой главе бвш приведен анализ литературы по вопросам деформирования разносопротивляющихся материалов. Все работы,

посвященные этой проблеме можно разделить на две группы. К первой группе отнесём работы посвященные деформированию линейных разномодульных материалов. Для таких материалов при простом нагружении справедлив захон Гука, но модуль упругости зависит от вида напряженного состояния. Ко второй группе относятся нелинейно-упругие разномодульные материалы. Б. В. Пономарев, А. Беннегади рассмотрели ряд частных задач расчета пластин из материала по разному сопротивляющегося на растяжение - сжатие.

В упругой области теорию деформирования разномодульных материалов разрабатывали Л. А.Толоконников, С. В. Потудин, Е. В. Ломакин, Ю. Н. Работнов, И. Ю.Цвелодуб и другие.

Одновременный учет физической и геометрической нелинейностей в расчете тонкостенных конструкций представляет собой задачу и актуальную и, в то же время, весьма сложную с математической точки зрения, поскольку в такой постановке точные решения найти не удается. И поэтому для решения указанного класса задач используются различные приближенные методы: метод упругих решений, разработанный А. А. Ильюшиным, метод малого параметра, шаговые методы и другие. Существует несколько разновидностей метода упругих решений: метод дополнительных нагрузок, переменных параметров упругости, дополнительных деформаций, в основу которых положен процесс последовательных приближений.

Значительный вклад в теорию расчета тонкостенных конструкций с учетом физической и геометрической нелинейностей внесли труды А. В. Александрова и Г. А. Нольде, Ю.А. Барландяну, К.М. Вырлан, И.Д. Герлаку, А.А. Петраков и др.

Рассмотрев анализ литературных данных по вопросам оболочек, возникнет необходимость изучать нелинейную оптимизацию оболочек вращения из материалов по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию используя метод конечного элемента.

Во второй главе описывается формулировка девяти-узлового конечного элемента оболочки (9-node degenerated shell element), см. рис.(1).

В девяти-узловом элементе оболочки, каждый узел имеет пять степеней свободы, три смещения в направлениях глобальных осей и двух вращении относительно осей в плоскости средней поверхности.

Толщина элемента разделена на множество слоев, см. рис.(2-а). Можно, установить различные толщины и различные свойства материала для каждого слоя. Каждый слой содержит точки Гаусса (точка напряжения) на середине ее поверхности. Деформации и составляющие усилий каждого слоя вычислены в этих точках Гаусса и приняты, чтобы была постоянной по толщине каждого слоя, так, чтобы распространение действительного напряжения оболочки было оформлено постоянным приближением (аппроксимацией) как показано на Рис. (2-6).

Результирующие векторы напряжения в каждой точке Гаусса получены, интегрированием соответствующих составляющих компонентов напряжения относительно координаты толщины.

Арматура распределяется слоями с эквивалентной толщиной. Каждый стальной слой деформируется только в направлении арматурного стержня. И каждый стальной слой имеет предел прочности и характеристики жесткости

только в направлении арматурного стержня. То есть это находится в одноосном напряженном состоянии. Принято полное сцепление между бетоном и арматурой, т.е. деформация арматуры и деформации окружающего бетона - та же самая.

а) +№

+1 О п"

диаграмма напряжения

■Ш

2 1 1 -10

«I

Рис.(2): Модель слоев и представление напряжения

Матрица жесткости девяти-узлового элемента вычислена в середине сечения каждого слоя. Следовательно, интеграл по объему может быть разложен на интегралы по площади середины поверхности оболочки и по толщине ф). Таким образом, жесткость вычислена, суммированием результата вклада каждого слоя в точках Гаусса и может быть написана как:

[ВтПВО:

ы

сЬ

+1+1 к-ц

-н Тогда,

\ВТ ОВ\Щ,п^\

.-1

& г I |2Дй

(1) (2)

(3)

к. ц

Где В, - матрица деформации, которая вычислена в середине поверхности каждого слоя, D - матрица упругости, которая учитывает нелинейное

поведение материала в сжатии и для арматуры

. Это

является

детерминантом матрицы для слоя ) ЛЬ) - толщина слоя ], и L ■ общее количество слоев.

В третий главе описывается модель материала, принятая в этой работе применяется для нелинейного анализа железобетонных сооружений под монотонно увеличивающимся грузом. Одномерное представление модели упрочнения показывается на рис.(З), моделируют поведение бетона при сжатии с ограниченной пластичностью, которая ограничивалась разрушением. Эта модель будет иллюстрирована в условиях следующих составных частей:

• Условие пластичности, уровень напряжений, при котором начинается пластическая деформация, определен в соответствии с условием пластичности:

Да) = ¡0.3546(ах + <ту) + 1.35468)|(сгх2 + а* -) + 3« + < + 4)}}П = <х0

Рйс (4), показывает сравнение между критерием разрушения (4) и экспериментальными данными, полученными Купфером и другими при двухосном напряжении (е)о=Г 'с).

Начальная поверхность разрушения в модели упрочнения достигнута, когда действительное напряжение достигает 30 % предела прочности //, (точка А на рис.3). Последовательная поверхность нагрузки зависит от параметра упрочнения Н'. Упрочнение продолжится, пока эффективное напряжение (сг0) не достигает предела пластичности & после, которого принято пластическое поведение бетона до поверхности разрушения.

• Зон упрочнения, правило упрочнения фундаментально, чтобы описать движение и рост последовательных поверхностей напряжений в течение пластической деформации. Это правило определяет соотношение между поверхностью напряжении (или эквивалент-напряжению а) и накопленную пластическую деформацию (£). В данной работе принято изотропное правило упрочнения. При этом изменяются размеры площадки текучести с

Рис.(3): одномерная зависимость напряжения-деформации бетона

Рис. (4): Кривая пластичности сохранением формы и положения в пространстве напряжений. Соотношение между напряжением и пластической деформацией cj0=-E0sp+EB(2e0ep)in если 0.3/; < ст'</с'-----------------(5)

где,

Ео Начальный модуль Юнга 8Р Пластическая деформация

е0 Полная деформация в пиковом напряжении (f'c): е0 = 2/с' / Ео

Касательная к полученной кривой называется коэффициентом упрочнения #'. Этот коэффициент может быть получен дифференцированием уравнения (5) относительно пластической деформации

(бр), так что в заключении, коэффициент упрочнения Н' может быть выражен следующим образом:

• Площадка текучести, важно строить зависимость налряжения-деформация в области пластической деформации, так чтобы шаг пластической деформации можно было определить для данного шага напряжения. Это связанно с допущением, что вектор скорости пластического течения нормален к поверхности разрушения. Закон течения, характеризуется его простотой, и этим широко используется для железобетонных моделей. Шаг пластической деформации выражается следующим образом: , 2/(<т)

de„ - dA-

где,

да

дЕр Вектор шага пластической деформации

Пропорциональная константа, которая определяет величину шага пластической деформации.

Вектор текучести, который определяет перпендикуляр направления к

да

поверхности разрушения. Производные функции разрушения для существующей поверхности

разрушения, которые являются необходимыми для определения вектора текучести {а}, могут быть написаны в следующей явной форме:

-1Г

{а} =

8f 8f 5f 8f 8f

8ax' 8ay ' дт^ ' 8т ^ ' дтв Коэффициент dX может быть получен:

-----------------(8)

dX =

где,

tf'+{a}7[Z)]{a}_

d{s}.

"(9)

[D] Матрица упругости для упругого бетона. d{e} Шаговой вектор полной деформации Н7 модуль упрочнения (H-dcr /<Ц)

Упругопластический шаг полной деформации рассчитан, суммируя упругий и пластический компонент деформации как:

IIbiг vi [п\/гмй :г1чЬмпммтли срлг инг г тттягти ттяттпяжр.ттгтя'

d{a} = [D]d{sJ-----------------------------------------------------------(11)

8f(<r)

-(12)

d{e} = [D]'ld{a} + dX ±

дет

d{e} = [DYld{<r}+ {a^a\T[D] d{e)-----------------------------------(13)

г j i H' + {a}T[D]{a} 1 ' K '

Умножая обе части уравнения (13) на матрицу [D], полная

упрутопластическая шаговая зависимость напряжения-деформация может быть выражена как: d{u} = [D]ep d{s} ------------------------(14)

[D]{a}{a}T[D]

[D}№ =[D}-

-(15)

где,

Где второй член в уравнении (15) представляет снижение в жесткости из-за пластических деформаций.

• Условия разрушения бетона наступает при достижении деформации окончательной величины. Критерий разрушения:

0.35468^ +^) + 1.35468[(*12 + е2у -^) + 0.75(^ +у2а + =

(16)

где, = Окончательная величина полной деформации, экстраполируемой от одноосных результатов испытаний на сжатие.

В зоне растяжения» принято упругое линейное поведение до появления трещин, которые появляются при достижении максимального главного напряжения

Моделирование арматуры железобетона более простое по сравнению с бетоном относительно прочностных свойств. Сталь является однородным материалом и имеет обычно идентичные кривые зависимости напряжения-деформации и напряжение разрушения в растяжении и сжатии. Идеализация этого свойства, принятого в этой работе показывается на рис.(5). Арматура

железобетона приводится в эквивалентные стальные слои с одноосным

Рис.(5): Идеализированное упругопластическое отношение " о - е " для стала. В четвертый главе описывается нелинейная формулировка для приведенного девяти-узлового элемента оболочки (9-node degenerated shell element). Матрица перемещения-деформации [В] может быть разделена на две части,

где,

[Во] Линейная часть, [ B J Нелинейная часть.

Матрица перемещения-деформации [Во] была рассчитана для элемента

оболочки. Матрица больших деформаций [BJ связана с нелинейными

компонентами вектора деформации и может быть определена для

использования в нелинейном процессе.

Для приведенного девяти-узлового элемента оболочки, нелинейные

компоненты вектора деформации могут быть выражены, 1 ^ Эн>' ^ Зи>'

ы-

1fdw'Y 2 I. 5л:'J

if 6w'

dw' dw' dx' dy' 0

dw' dx'

0

dw'

w 0

by'

dw' dx' 0

dw'

dx' dw'

3;y'

(18)

Нелинейный вклад в вектор деформации может быть написан так:

Производные w' могут быть рассчитаны суммированием вклада каждой узловой песеменной. и вектос (Ш может быть написан так:

м=

£У дх' 8\у'

ду'

■ = [<?] {а}-------------------------------------------------------(21)

Где - матрица с двумя строками и множеством столбов, равных

общему количеству узловых переменных элемента. Первая строка содержит

вклад каждой узловой переменной к локальным производным й-'/йх'

(передающий производные функции формы) и вторая строка содержит

подобные вклады для йм" 1ду'.

Результат рассмотрения вариация уравнения (19),

а{£1}= | ЛЛ] {Щ + ±[А] ат = [А] ¿{Д} = [Л][(7Ма] -(22)

Тогда из определения матрицы деформации получаем,

В процессе этого изучения, оценены шаговую матрицу перемещения деформации [В], подведением итога матрицы [Во] к текущей величине матрицы [BJ. В существующей программе, матрицы [Во] и первоначально рассчитаны и сохранены для упругих линейных состояний. Текущие перемещения используются в уравнении (22), и матрица [А] сформирована в уравнении (22), так что матрица может быть получена из уравнения (23).

Тангенциальная матпитта жесткости может быть написана как. [*] = [*] + [*], --------------------------------------------------------(24)

где, [К] = Тангенциальная матрица жесткости

[К] = матрица жесткости при малых деформациях [К]а = Геометрическая матрица жесткости

В которой [К] подается обычным выражением как:

[*] = \[В]тШВ]с1¥----------------------------------------------------(25)

v

Геометрическая матрица жесткости [ К] о должна быть определена, для выявления тангенциальной матрицы жесткости [К1. тогда

[ К}0с1{а}=\1Сг\т<![А?1а-\<1У

-(26)

Где ё[Л]т[сг] может быть написано так,

Этот вектор может быть написан так,

Термин й[Л]т[а] может быть написан, при определении [в] из уравнения (21),

Заменим уравнение (29) в уравнение (26) получим геометрическую матрицу жесткости. Чтобы матрица была симметричной написано так, [К], - ¡[С]Т[<7][С]<1Г-----------------------------------------------(30)

В этой работе написана компьютерная программа для анализа предельной нагрузки пластин и оболочек. Программа написана на языке ФОРТРАН. Нелинейный метод решения включает модифицированный метод

Ньютона-Рафсона, в этом методе матрица жесткости модифицируется на второй итерации каждого шага нагрузки.

В пяти главе рассматривается формулирование задачи оптимизации проектирования сферических оболочек вращения. При увеличении высоты купола ф), см. рис.(6), горизонтальные силы действующие от купола к опоре и возникающие рядом с опорой, уменьшаются, что уменьшает необходимость в очень прочной опоре, в соответствии с кольцевыми растягивающими напряжениями (Оф), которые возникают вблизи границы оболочки вращения.

Материал, из которого сделана оболочка, плохо работает на растяжение, и поэтому увеличение толщины (йз) необходимо для сопротивления этим кольцевым растягивающим напряжениям (щ).

При уменьшении высоты оболочки ф), растягивающие кольцевые напряжения (сгф) уменьшаются вплоть до нулевой отметки или трансформируются в сжимающие. Мередиалъные моменты (Ме) которые возникают вблизи границы оболочки и горизонтальные силы действующие от оболочки к опоре , увеличиваются, что увеличивает толщину оболочки (йз).

Решение вопроса какой должна быть оптимальная высота сферической оболочки ф) лежит между этими двумя задачами и дает ответ на вопрос какой должна быть оптимальная стоимость строительства сооружения.

В Ираке и из-за высокого отношения цен между арматурой к бетону (Сз/СЪ«25) тогда (Лб1) и (А2) не будут рассматриваться, см. рис.(7), и увеличение в толщине (йз) будет противостоять моменту (Ме) и силой (Иф).

Так что только конструкционная арматура будет рассматриваться против усадки и ползучести. (АзЗ)-конструктивная сетка, укладываемая во всей области оболочки.

Опорное кольцо не будет рассматриваться также, так что вместо этого, защемленная опора рассматривается на соединении между опорным кольцом и куполом.

¿Ш = толщина у вершины

(Щ

х Я

' 0 25 02+Ь2

Я --

21\

К

О = Пролет

Рис.(6): Разрез оболочки вращения

Функция стоимости: это - функция, которая должна быть минимизирована, посредством использования метод подбора. Минимизируя независимые переменные и (1в) мы хотим получить минимальную стоимость купола:

Рис.(7): Армирование монолитных куполов АэТ-дополнителтая арматура по расчету на Ме, А«2-кольцевая арматура по расчету на Кф, АвЗ-конструктивная сетка, укладываемая во всей области оболочки, из стержней <1=5...6 мм с шагом 15-20 см.

71= объем купола х Сь Ъ2= внешняя площадь х Сйп 73= внутренняя площадь х Сйх 7А= вес арматуры (АбЗ) х Се Где,

Сь = Цена единицы объема материала купола, равная стоимости материала и стоимости изготовления, (единица/т3).

г=21 +г2+гз+24

"(31)

Ок " Цена единицы внешней поверхности отделочного слоя равная

стоимости материала и стоимости изготовления, (единица /т2), СГш = Цена единицы внутренней поверхности отделочного слоя равная

стоимости материала и стоимости изготовления, (единица /т2). Сз = Цена единицы веса арматуры, равная стоимости материала и стоимости изготовления, (единица/тонн).

Эта минимизация должна быть ограничена в соответствии с техническими требованиями безопасности. Функция стоимости подвергнута тремя групповыми ограничения, которые ограничивают минимизацию переменных проектирования:

(33)

Где, £ - предельное напряжение при растяжении. £си - предельное деформация при сжатии.

-Ограничения практической минимальной толщины:

Ограничение, относящееся к выбору минимальной толщиной купола, связано с условиями строительства в Ираке:

-Ограничение практической минимальной высоты:

Поиск минимальных толщин в вершине ^с) и в опоре (1з) идет, изменяя высоту купола (И) от максимальной высоты (И=Б/2) до минимальной высоты (И=0.05 Б). Так что ограничение:

к >0.05 Б---(35)

Программа оптимального расчета написана на языке Фортран. Программа состоит из двух частей:

1-Первая часть называется "НЕЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ", которая представлена в главе 4. Это часть предлагает входные данные: пролет (Б), начальную высоту (И), начальную толщину вершины (&) и начальную

толщину опоры (йз). Это часть нелинейно анализирует оболочку при следующих нагрузках; собственный вес, временная нагрузка снега и ветровая нагрузка.

2-Вторая часть - ОПТИМАЛЬНЫЙ РАСЧЕТ", которая использует метод подбора. Метод подбора - уменьшение допустимых начальных толщен (йз и йс), пока деформация и напряжения в оболочке не достигают допустимых деформаций при сжатии и напряжении при растяжении. Это часть предлагает оптимальный расчет оболочки, т.е. находит оптимальную толщину в вершине (йс) и оптимальную толщину в опоре (йз), которые являются переменными в функцией стоимости.

Тогда программа вычисляет стоимость купола. Результаты второй части используются снова как входные данные для первой части НЕЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ но с новой величиной высоты купола (И) и потом вторая часть ОПТИМАЛЬНЫЙ РАСЧЕТ.

Этот процесс изменения высоты купола (И) происходит от максимальной высоты (И=В/2) до минимальной высоты (И=0.05 Б).

В шестой главе рассматривается стабильность оптимальных полученных результатов, таблица(1). Результаты оптимизации сферической оболочки, Б=20т и И=3.2т, получаются, хотя начальные параметры (йс и йз) были различные, что подтверждает стабильность процесса оптимизации.

Таблица(1)

Начальная к (и) Начальная й (м) Объем (м5) Стоимость (единица)

2 2 76.98 4404.7

1.75 1.75 76.83 4398.02

1.5 1.5 76.8 4393.2

1.0 1.0 76.76 4391.7

0.5 0.5 76.73 4389.03

0.25 0.25 76.71 4388.2

Влияние изменения предельных деформации при сжатии и напряжении при растяжении на конструкции было изучено для самого примера, см. таблица(2)и таблица(3).

Таблица(2)

беи * (МПа) (т) & (т) Объем (мЗ) Стоимость (единица)

0.00342 3.5 0.443 0.140 147.2 5152

0.00321 3.5 0.443 0.144 148.6 5205

0.003 3.5 0.443 0.146 150.2 5258

0.00278 3.5 0.443 0.152 150.88 5310

0.00256 3.5 0.443 0.158 154.21 5363

Таблица(3)

беи « (Мпа) (т) Ь: (т) Объем (мЗ) Стоимость (единица)

0.003 3 0.510 0.146 175.37 6169.8

0.003 3.25 0.475 0.146 161.26 5696.2

0.003 3.5 0.443 0.146 150.2 5258

0.003 3.75 0.412 0.146 138.2 4853.1

0.003 4 0.385 0.146 127.4 4479.9

Влияние геометрической нелинейности на оптимальным проектированием железобетонных сферических оболочек вращения было изучено для самого примера, см. таблица(4).

Начальные Размеры Ф.Н. и Г.Н рассмотрены Только Ф.Н. рассмотрена процент погрешность стоимости

1с (м) (м) Объем (м3) Стоимость (единица) Объем (м3) Стоимость (единица)

2 2 76.98 4404.7 77.67 4445.3 0.92%

1.75 1.75 76.83 4398.02 77.6 4437.6 0.9%

1.5 1.5 76.8 4393.2 77.49 4434.4 0.94%

1.0 1.0 76.76 4391.7 76.76 4431.2 0.835 %

0.5 0.5 76.73 4389.03 77.44 4428.4 0.897%

0.25 0.25 76.71 4388.2 78.38 4429.69 0.94%

Где, Г.Н. геометрическая нелинейность

Ф.Н. физическая нелинейность диаграммы проектирования представлены дам сферических куполов (от

5т до 50т), см. диаграммы(1).

Если читатель этой работы хочет проектировать купол с оптимальными

толщинами в вершине и в опоре, независимом от оптимальных высот, то

диаграммы приведенные в диссертации показывают эти размеры.

о 5 10 15 го 23 30 35 40 46 60 65 Пролет(м)

] Оптимальная стоимость /

22500 /

i 20000 -i / ,

i д 17500 -( / '

1 | 15000 - / !

1» / ! 5 12500 - / i

1 10000 - / |

§ 7500 - i

| 5000 - i

¿5 2500 ^^^^ |

О --\ -,-■-~-—---,----'-|

о 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Пролет(м) ;

Диг.(1):Оптимальные размеры сферических оболочек вращения

Общие Выводы:

1- Нелинейный анализ дает результаты, которые являются очень близко к экспериментальным результатом. Именно поэтому это рекомендовало нелинейно анализировать железобетонные сферические оболочки вращения.

2- Учет геометрической нелинейности мало влияет на конечные результаты (0.903 %). Поэтому, для дальнейших исследований можно не учитывать геометрическую нелинейность, что упростит исходные уравнения.

3-Моделирование железобетонной оболочки слоистым элементом, в котором арматура смоделирована как отдельный слой, более точно, чем использование однослойного элемента, в котором материал железобетонной

оболочки смоделирован как эквивалентный материал к двум материалам; бетона и стали.

4- Чтобы проверять стабильность решения методом подбора, пример был решен с различными начальными величинами переменными проектирования (йс, Результаты показали стабильность решения как показано в таблице

(!)•

5- Оптимальная величина толщины в вершине (йс) зависит от условия прочности при сжатии и мало зависит от предельной сжимающей деформации. И толщина в опоре (йз) зависит от условия прочности на растяжение.

6- Строительство железобетонных сферических оболочек вращения с переменной толщиной эффективно понижают стоимость.

7- Оптимальные размеры (Ь, йз, йс) для сферических оболочек вращения с пролетами (от 5т до 50т) представлены на диг.(1).

Используя метод аппроксимации кривой, была получена линейная зависимость (оптимальная высота / пролет):

Ь = - 0.5+0.119286 Б (50м £ Б £ 5м)-(36)

С коэффициентом корреляции (0.956463).

8- Если читатель этой работы хочет проектировать купол с оптимальными толщинами в вершине и в опоре, независимом от оптимальных высот, то диаграммы приведенные в диссертации показывают эти размеры.

Основные положения диссертации опубликованы в статьях:

1-Аль-Кхаттаб Салим Абдул-Раззак, Петраков АЛ., "Проектирование сферического железобетонного купола пролетом 20м", вторая международная научно-практическая конференции молодых ученых, Москва 26-27 мая, книга 1,с. 31-35,2004г.

2-Аль-Кхаттаб Салим Абдул-Раззак, "Линейное оптимальное проектирование кирпичных куполов", первая международная научно-практическая конференция молодых ученых, Москва 21-22 мая, книга 2,с. 45-48,2003г.

КОПИ - ЦЕНТР св 7 07 10429 тчраж 100 экз

Тел 18^-79-^4

г Москва м Ь'к'птчннск.'Я Енисейская 36 комната №1

/5.2 3

Таблица обозначений

Введение

1 .ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ ПО РАСЧЕТУ И ОЛТИМИЗАЦИИ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

1.1 Формы зависимости между напряжением и деформацией для 15 разномодульных материалов

1.2 Теории расчёта оболочек вращения

1.3 Методы решения нелинейных задач

1.4 Вопросы оптимального проектирования оболочек

1.5 Использование метода конечных элементов в расчетах оболочек

2.ФОРМУЛИРОВКА КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА

ОБОЛОЧКИ

2.1 Системы координат

2.2 Геометрия элемента

2.3 Поле перемещений

2.4 Определение деформаций и напряжений

2.5 Модель слоев

2.6 Результирующие векторы напряжения

2.7 Представление арматуры

2.8 Матрица жесткости

2.9 Вектор внутренней силы

2.10 Численное интегрирование

Глава

Численное моделирование свойств материала

3.1 Введение

3.2 Экспериментальное поведение бетона

3.3 Принятая модель бетона

3.3.1 Моделирование бетона при сжатии

3.3.2 Поведение бетона при растяжении

3.4 Моделирование арматуры железобетона

Глава

Нелинейное решение методом конечного элемента

4.1 Введение

4.2 Общая процедура для решения нелинейных уравнений

4.3 Нелинейная формулировка для приведенного девяти-узлового элемента оболочки (9-node degenerated shell element)

4.4 Схема компьютерной программы

4.5 Сравнение между экспериментальными и теоретическими результатами

Глава

Формулирование задачи оптимизации

5.1 Введение

5.2 Армирование сферической оболочки вращения

5.3 Функция стоимости

5.4 Ограничения оптимального проектирования

5.5 Программа оптимального проектирования

Глава

Результаты исследования

6.1 Введение

6.2 Нагружение

6.3 Пример проектирования

6.4 Стабильность решения оптимизации

6.5 Влияние изменения предельных напряжении при растяжении и 130 при сжатии на оптимизацию конструкции

6.6 Влияние геометрической нелинейности на оптимальное 132 проектирование железобетонных сферических оболочек вращения

6.7 Оптимальные размеры сферических оболочек вращения

6.8 Оптимальные толщины сферических оболочек вращения (tc и ts)

6.9 Выводы

Ирак считается едва ли не первой страной в мире, где появился новый конструкционный элемент - купол. Он даже стал символом столицы Ирака -Багдада. За всю историю города в Багдаде было построено много сооружений, в которых крыша была выполнена виде купола, (см. рис.1).

В иракской культуре купол символизирует величественность, власть. Так что вид купола от опоры и до вершины отвечает потребностям восточного человека: центральная, верховная власть возвышается над ним.

Древние иракцы строили купола из дерева и камня. В Мессопотамии первый тип сводов имел цилиндрический вид и был сделан без тросов (веревок). Другой часто используемой системой был полусферический купол, который покрывал круговую площадь.

Строительство куполов для таких мечетей, как Большая мечеть в Дамаске или мечеть Аль-Гайлани в Багдаде, основывалось только на опыте, элементарных законах строительной механики и интуитивных представлениях строителей прошлого.

Опыт приобретался благодаря успехам в работе, но в большинстве случаев и в результате неудач. Очень часто только что построенные своды сразу же покрывались трещинами и быстро разрушались. Каждый случай возведения куполов был шагом в развитии строительства и вел от эмпирических правил к пониманию поведения такого рода конструкций.

Сегодня иракцы хотят, чтобы старые города их страны были еще и красивы, поэтому купола находят свое применение не только в религиозных, но также и в гражданских зданиях.

К тому же в Ираке из-за войн, длящихся уже много лет, появились и экономические соображения, которые приводят к использованию всех возможностей для уменьшения расхода арматурного металла в железобетонных конструкциях. Купол является одним из этих экономических решений.

Рис.1 Некоторые из куполов Ирака

Целью работы является разработка оптимального объема оболочки. При увеличении высоты оболочки вращения (h), горизонтальные силы (F), действующие от оболочки к опоре и возникающие рядом с опорой, уменьшаются, что уменьшает необходимость в очень прочной опоре в соответствии с кольцевыми растягивающими напряжениями (Стф), которые возникают вблизи границы оболочки.

Материал, из которого сделана оболочка, плохо работает на растяжение, и поэтому увеличение толщины оболочки (ts) необходимо для сопротивления этим кольцевым растягивающим напряжениям (Стф).

При уменьшении высоты оболочки (h), растягивающие кольцевые напряжения (аф) уменьшаются вплоть до нулевой отметки или трансформируются в сжимающие. Мередиальные моменты (Me), которые возникают вблизи границы оболочки, и горизонтальные силы, действующие от оболочки к опоре (F), увеличиваются, что увеличивает толщину оболочки (ts).

Решение вопроса какой должна быть оптимальная высота оболочки (h) лежит между этими двумя задачами и дает отвег на вопрос какой должна быть оптимальная стоимость строительства сооружения.

Для достижения поставленной цели была написала компьютерная программа для нелинейного оптимального проектирования оболочек.

Первый шаг проектирования - это анализ. И геометрическая и физическая нелинейность рассматривается в нашем нелинейном оптимальном проектированием. Расчетная модель, которую используем здесь, способна к слежению полной нелинейной характеристики до условий предельной нагрузки. Приведенный девяти-узловой элемент оболочки (9-node degenerated shell element) использовался в анализе метода конечного элемента.

Слоистая модель рассматривается в моделировании поведения железобетона и полное сцепление между бетоном и арматурой было принято.

Арматура представлена в элементе слоем, который несет характеристики использованной арматуры.

Сжимающее поведение бетона было смоделировано, используя упруго-упрочняющуются модель. Условие податливости зависит от первого и второго девиатора в напряжения.

Последовательное движение поверхности нагрузки управляется в соответствии с правилом упрочнения, которое экстраполируется параболической функцией в зависимости от одноосного напряженного состояния.

Разрушение бетона происходит при достижении деформации поверхности разрушения, которая подобна поверхности податливости. Критерий предела прочности при растяжении используется для предсказания зарождений трещин. Для арматуры идеализировано упругопластические соотношение с линейной моделью упрочнения деформации для растягивающих и сжимающих напряжений.

Нелинейные уравнения статического равновесия были решены, используя метод последовательных нагружений. Использовали модифицированную постановку метода Ньютона-Рафсона. В этом методе матрица жесткости модифицируется на второй итерации каждого шага нагрузки.

На основе этих условий, которые упомянуты выше, написана компьютерная программа для анализа предельной нагрузки пластин и оболочек. Принят конечный элемент с несколькими слоями с учетом геометрической и физической нелинейностью. Программа написана на языке ФОРТРАН. Эта программа названа "Нелинейный анализ" во всей программе "Нелинейного оптимального проектирования", потому что вся программа этой работы состоит из программы "Нелинейного анализа" и программы "Оптимального расчета", которая тоже была написана здесь. Эти программы объединены вместе в цикле для получения оптимального проектирования сферических оболочек вращения.

В этой работе мы собираемся минимизировать функцию стоимости, чтобы получить минимальные значения переменных показателей оболочки: высота (h), толщина на вершине (tc) и толщина на опоре (ts). Используемый алгоритм оптимизации представляет собой "метод подбора", который дает минимальную стоимость строительства сооружения по расчетным ограничениям.

Метод подбора - уменьшение допустимых начальных толщин (ts и tc), пока напряжения и деформации в оболочке не достигают допустимых напряжений при растяжении и допустимых деформаций при сжатии. Этот процесс осуществляется с изменением высоты оболочки (h) от максимальной высоты до минимума. Измерения, которые дают минимальную стоимость, будут рассмотрены как оптимальное решение.

Функция стоимости - суммарная стоимость объема оболочки, которая сделана из железобетона, стоимости внешнего и внутреннего отделочных слоев. Эта минимизация должна быть ограничена в соответствии с техническими требованиями безопасности. Функция стоимости представлены тремя групповыми ограничениями, которые ограничивают минимизацию переменных проектирования: 1.ограничения сопротивления материала, 2.ограничения практической минимальной толщины, 3.ограничение практической минимальной высоты.

Входные данные для программы - постоянная величина пролета оболочки (D) и переменных процесса оптимизации; начальная высота (h), начальная толщина оболочки в вершине (tc) и начальная толщина в опоре (ts).

Программа оптимального расчета состоит из двух частей.

Первая часть называется "НЕЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ. Это часть предлагает входные данные: пролет (D), начальную высоту (h), начальную толщину вершины (tc) и начальную толщину опоры (ts). Это часть нелинейно анализирует оболочку при следующих нагрузках: собственный вес, временная нагрузка снега и ветровая нагрузка.

Вторая часть - "ОПТИМАЛЬНЫЙ РАСЧЕТ", которая использует метод подбора. Метод подбора - уменьшение допустимых начальных толщин (ts и tc), пока деформация и напряжения в оболочке не достигают допустимых деформаций при сжатии и напряжении при растяжении. Это часть предлагает оптимальный расчет оболочки, т.е. находит оптимальную толщину в вершине (tc) и оптимальную толщину в опоре (ts), которые являются переменными в функции стоимости.

Тогда программа вычисляет стоимость оболочки вращения. Результаты второй часги используются снова как входные данные для первой части "1ШЛИ1ШЙНЫЙ АНАЛИЗ", но с новой величиной высоты оболочки (h) и потом вторая часть "ОПТИМАЛЬНЫЙ РАСЧЕТ'.

Этот процесс продолжается по циклонной системе, изменяя стоимость высоты оболочки (h) от максимальной высоты (h=D/2) до минимальной высоты (h=0.05 D). jj-koh - коэффициент конструктивного армирования сетки, укладываемой во всей области оболочки.

Монолитные купола делают преимущественно гладкими. Оболочки пологих куполов, за исключением приопорных зон, сжаты; их армируют конструктивно-одиночной сеткой (As3) из стержней d=5.6 мм с шагом 1520 см. У контура ставят дополнительную меридиальную арматуру (Asl), рассчитанную по опорному моменту Мо , обычно из стержней d=6.8 мм, и дополнительную кольцевую арматуру (As2), для восприятия местных растягивающих кольцевых усилий N4,.

В нашем исследовании было принято, что арматуры (As2) по расчету на Ыф не будет рассматриваться.

В Ираке и из-за высокого отношения цен между арматурой к бетону (Cs/Cb«25) тогда (Asl) также не будет рассматриваться, и увеличение в толщине (ts) будет противостоять моменту (Me).

Так что, только конструкционная арматура будет рассматриваться против усадки и ползучести. (АвЗЭ-конструктивная сетка, укладываемая во всей области оболочки и зависит от результатов размеров процесса оптимизации.

Опорное кольцо не будет рассматриваться также, так что вместо этого, защемленная опора рассматривается на соединении между опорным кольцом и оболочкой вращения.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- оптимальное нелинейное проектирование железобетонных сферических оболочек вращения с оптимальными толщинами в вершине и в опоре с минимальной арматурой, а также стоимость оболочки в зависимости от высо1ы оболочки;

- точность и стабильность использованного метода подбора оптимизации;

- влияние изменения предельных деформации при сжатии и напряжении при растяжении на размеры оптимальной конструкции.

- изучено влияние геометрической нелинейности на оптимальное проектирование железобетонных сферических оболочек вращения.

Практическая значимость этой работе состоит в следующем:

- получены диаграммы проектирования для сферических оболочек вращения с оптимальными толщинами в вершине и в опоре, а также стоимость оболочки в зависимости от высоты.

- используя метод аппроксимации кривой, была получена линейная зависимость (оптимальная высота / пролет).

По теме диссертации было опубликована одна работа и сделаны два доклада на научных конференциях МГСУ.

Диссертационная работа выполнялось на кафедре строительной механики Московского Государственного Строительного Университета.

6.9 Выводы

1. Расчет железобетонных оболочек вращения с учетом физической нелинейности дает результаты более близкие к экспериментальным (процент погрешности 4 %), чем линейный расчет.

2. Учет геометрической нелинейности для рассматриваемого класса оболочек оказывает малое влияние на конечные результаты.

3.Использование слоистого конечного элемента при моделировании железобетонных оболочек позволяет существенно уточнить характер работы конструкции по сравнению с использованием нсслоистого конечного элемента.

4. Чтобы проверить стабильность решения метода подбора, был решен пример с различными начальными величинами (tc, ts). Полученные результаты данных исследований показали стабильность решения.

5. Оптимальная величина толщины в вершине (tc) зависит от условия прочности при сжатии и мало зависит от предельной сжимающей деформации. Толщина у опоры (ts) зависит от условия прочности на растяжение.

6. Строительство железобетонных сферических оболочек вращения с переменной толщиной эффективно снижает стоимость.

7. Получены оптимальные размеры (h, ts, tc) для сферических оболочек вращения с пролетами (от 5м до 50м).

Используя метод аппроксимации кривой, была получена линейная зависимость (оптимальная высота / пролет): h = - 0.222+0.184 D (50m>D>5m) с коэффициентом корреляции (0.996463).

8. Приведены диаграммы оптимальных толщин в вершине и в опоре в зависимости от высоты оболочки.

1.Александров, А.В.,Нольде Г.А. Расчет составных пологих оболочек вращения на осесимметриуные воздествия с учетом геометрической и физической нелинейностей.- в кн.: Исследования по теории сооружений.- М.:Стройиздат, 1976, вып. 22, с. 147-158.

2. Амбарцумян, С. А. Хачатрян, А.А. Безмоментная теория оболочек, изготовленных из материала, разносопротивляющегося растяжению и сжатию.- В кн.:Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1966, С 48-55.

3. Ахмедьянов, И. С. Об одном методе интегрирования уравнений изгиба сферической оболочки при осесимиетричном нагружении,- Изв. вузов. Авиационная техника, 1962, № 3, с. 62-70.

4. Ахмедьянов, И.С., Хазанов Х.С. Расчет сферических оболочек при осесимметричном нагружении. Куйбышев:Издательство Куйбышевского авиационного института, 1967, 83с,

5. Банков, В. Н., Сигалов, Э. Е. "Железобетонные конструкции-Общий курс", Москва, Стройиздат, 1985.

6. Барландяну, Ю.А., Вырлан, К.М., Герлаку, И.Д. и др. Некоторые результаты решения на ЭВМ нелинейных задач теории оболочек и пластин. В кн.: Теория оболочек и пластин, М.: Наука, 1973, с.236-241.

7. Бобров, С.Н., Голованов, А.И., Луканкин, С.А., Паймушин В.Н. Произвольные формы потери устойчивости трехслойных оболочек и их конечно-элементный анализ // В сб.: Труды XVII междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Саратов, СГТУ, -1997. С.54-59.

8. Вайнберг, В.В., Гацуляк, Е.А., Гуляев, В.И. Устойчивость физически нелинейных тонкостенных оболочек при больших перемещениях. В кн.: Теория оболочек и пластин, М.: Наука, 1979, с. 104-109.

9. Валишвили, Н. В. Нелинейные задачи статики и динамики оболочек, автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук. М.: 1970. 36с.

10. Ю.Валишвили, Н. В. Методы расчета оболочек вращения и на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976. 278с.

11. П.Ванштейн, А.В., Листрова, Ю.М. К оптимальному проектированию составных конструкций на основе принципа Максимума Л.С. Понтрягина. Труды НИИ математики Воронежского университета, вып. 18, 1975.

12. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988. 272с.

13. Векуа И. Н. Интегрирование уравнений сферической оболочки Прикладная математика и механика, 1945, т. 9, вып. 5, с. 368-388.

14. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. M.-JI.: Гостехиздат, 1948. с 296.

15. Власов В. 3. Общая теория оболочек и её применение в технике. M.-JL: Гостехиздат, 1949. 784с.

16. Ворович, JI. И., Зипалова, В. Ф. К решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Кош и,- Прикладная математика и механика, 1965, т.29. вып.5, с. 894-901.

17. Гольденблат, И.И., Копнов В.А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1968. 192с.

18. Гольденвейзер, A. J1. О применимости общих теорем теории упругости к тонким оболочкам. Прикладная математика и механика, 1944, т. 8, вып. I, с. 314.1

19. Гольденвейзер, A.JI. Теория упругих тонких оболочек. М.: Физ-матгиз. 1976, 512 с.

20. Гребенюк Г. И. Выявление оптимальных геометрических параметров оболочек на упругом основании. Известия Высших учебных заведений "Строительство и архитектура", №.4. Новосибирск, 1976.

21. Григоренко, Я.М., Кокошин, С.С. К расчету оболочечных конструкций методом конечного элемента //Прикл. Мех.- 1979.-т.15.-№7.-с.З-10.

22. Давиденко Д. Ф. О приближенном решении систем нелинейных уравнений -Украинский математический журнал, 1953, т.5. № 2, с. 196-206.

23. Дехтярь, А.С., Варвак, М.Ш. Синтез оптимальной поверхности жесткопластической оболочки вращения как задача случайного поиска. Сб. "Прикладная механика", том IX, вып. П, Киев, 1973.

24. Длугач, М.И. Метод конечных элементов в применении к расчету цилиндрических оболочек с прямоугольными отверстиями // Прикл. механика. -1973.-T.il.-№11.-с.35-41.

25. Евзеров, И.Д., Здоренко B.C. Сходимость плоских конечных элементов тонкой оболочки // Строит, механика и расчет сооружений. 1984. - №1. - с.35-40.

26. Канторович, Л. В. Функциональный анализ и прикладная математика. В сб.: Успехи математических наук. 1948. т. 2, вып.6, с. 89-185.

27. Кармишин, А.В. Потенциальная энергия деформации непологой ортропной оболочки неоднородного строения // Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1976, №4. С. 183-185.

28. Каудерер, Г. Нелинейная механика. М.: Изд-во иностранной литературы, 1961, с.777.

29. Кнетс, В. В. Устойчивость цилиндрических оболочек с учетом сложного нагружения материала в момент выпучивания. Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1964, № 1.

30. Кирия, В. С. Движение тел в сопротивляющихся средах.-Тр./ Тбилисского государственного университета. 1951, т.44, с. 1-20.

31. Кпочков, Ю.В., Николаев, А.П., Киселев, А.П. Применение четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 72x72 для расчета оболочечных конструкций // Строительство. -1998. -№4-5. с.36-41.

32. Корнишин, М. С., Муштари, X. М. Об одном алгоритме решения нелинейных задач теории пологих оболочек. -Прикладная математика и механика, 1959, т. 23. вып. I, с. 159-163.

33. Корнишин, М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964. с. 192.

34. Корнишин, М.С., Якупов, Н.М. К расчету оболочек сложной геометрии в цилиндрических координатах на основе онлайнового варианта МКЭ // Прикл. механика. -1989. -№8. -т.25. с.53-60.

35. Королев, В.И. Малые упруго-пластические деформации пластин и оболочек. -Изд-во АН СССР, Прикладная механика, 1968, том 4, вып.4.

36. Кравчук, А. С. Некоторые вопросы теории пластичности при сложном нагружении. Канд. дис. М.; 1970.

37. Кузнецов, Э.И., Островский, А.Ю. Об оптимальной проектировании безмоментных оболочек. Всесоюзная конференция по теории оболочек и пластинок. 7-я, Днепропетровск, 1969.

38. Кузнецов, Э.И., Некрутман, А.Б., Островский, А.Ю. Оптимальное проектирование безмоментных оболочек вращения. Сб. трудов ЦНИИСКА, вып.20. М., 1971.

39. Лихарев, К. К. Сопоставление характеристик материалов при одноосных растяжении и сжатии.- Тр./МВТУ, 1958, вып.88, с. 168-196.

40. Ломакин, Е. В., Работнов, И. Н. Соотношения теории упругости для изотропного разномодульного тела, Механика твердого тела, 1978, № 6, с.29-34,

41. Лукаш, П.А, Основы нелинейной строительной механики. М: Стройиздат, 1978,204 с.

42. Лурье, А. И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.-Л.: Гостехиздат, 1947. с252.

43. Малков, В.П., Повелкин, В.П. Весовая оптимизация сферической оболочки с патрубком. "Прикладная механика", 10, №.Н, Киев, 1974.

44. Малмейстер, А.К. Об основах теории локальных деформаций.-Изв. АН Латв. СССР. 1961, №8.

45. Малинин, Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1968. с.399.

46. Малый, В.И. О четности компонентов векторов фунционала напряжений в теории пластичности. Вестник МГУ, серия матем.-мех., 1966, № 6.

47. Малый, В. И. Разложение фунционала напряжений по малому параметру. -Вестник МГУ, серия матем.-мех., 1967, № 2.

48. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. Т.2./Под ред. А.Ф. Смирнова. М.: Стройиздат, 1976, с.236.

49. Муляр, В.П., Сторожук, Е.А., Чернышенко, И.С. Упругопластическое состояние тонкостенных цилиндрических оболочек с эллиптическим отверстием на боковой поверхности // Прикл. мех. (Киев). 1997. - 33. - №6. -с.62-64.

50. Начевичус, Ю.А. Задачи оптимизации при расчете жестко-пластических цилиндрических оболочек с учетом различных пределов текучести при растяжении и сжатии. Сб. "Пространственные конструкции зданий и сооружений", вып.2, М., "Стройиздат", 1975,

51. Некрутман, А.Б. Оптимизация безмоментных оболочек вращения. Автореферат, М. 1971.

52. Никиреев В. М., К решению систем нелинейных уравнений строительной механики методом последовательных нагружений. -Строительная механика и расчет сооружений, 1970, №3, с.61-62.

53. Немировский, Ю.В., Резников Б.С. О равно напряженных пластинках и оболочках. Теория пластин и оболочек". Изд-во "Наука". М., 1971.

54. Павлов, С.П., Перегудов, А.Б. МКЭ при расчете слоистых конструкций с учетом пластических деформаций // В сб.: Труды XVIII междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Саратов, СГТУ. -1997. т.2. - с.76-81.

55. Петраков, А.А, Расчет сферических оболочек с учетом физической нелинейности. В кн.: Нелинейные задачи сопротивления материалов и прикладной теории упругости. Вып 118. М., МИСИ, 1974.

56. Петраков, А.А, Расчет сферических оболочек методом последовательных нагружений . Исследования по строительной механике. Вып. 135.М., МИСИ, 1974.

57. Петраков, А.А. Расчет оболочек вращения из розномодульного нелинейно-упругого материала. М.,МИСИ, 1982.

58. Петраков, А.А, О связи между напряжениями и деформациями для твердых тел с разными свойствами на сжатие, растяжение и кручение. Инженерные проблемы прокладной механики. М., МИСИ. 1987.

59. Петраков, А.А, К вопросу о развитии шаговых методов в строительной механике. Исследования по строительной механике. Вып 135.М., МИСИ, 1975.

60. Петров, В. В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории144пластинок и оболочек. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1975. с120.

61. Пискорский, Л.Ф. Оптимизация тонкостенных конструкций методами случайного поиска. Автореферат. Ташкент, 1974.

62. Пономарев, Б. В. Средний изгиб прямоугольных пластин из материалов, не следующих закону Гука, Тр./МИСИ, М., 1967, № 54, с.75-82.

63. Потудин, О. В., Толоконников Д. А. К пространственной задаче теории упругости разномодульных материалов. В кн.: Расчет пространственных систем в строительной механике. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1972, с55-58.

64. Рейтман, М.И. Оптимальное проектирование оболочек с помощью принципа максимума. МТТ,№.3. М., "Наука", 1971.

65. Рейтман, М.И., Ярин, Л.И. Упруго-пластические безмоментные оболочки минимального веса при заданной форме срединной поверхности. МТТ, №.4, М., "Наука". 1970.

66. Рейтман, М.И., Шапиро, Г.С. Метода оптимального проектирования деформируемых тел., М., "Наука", 1976.

67. Рекач, В. Г. Расчет сферических оболочек. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук, М., 1955. с.8.

68. Репман, Ю. В. Расчет сферических оболочек по моментной теории на несимметричную нагрузку В кн.: Пластинки и оболочки / Под .ред. А.А. Гвоздева. М.-Л: Госстагиздат, 1939, с. 106-148.

69. Сахаров, А.С., Соловей, И.А. Исследование сходимости метода конечных элементов в задачах пластин и оболочек // В сб.: Пространственные конструкции зданий и сооружений М., 1977. - Вып.З. - с. 10-15.

70. Серазутдинов, М.Н., Губаев, P.P. Построение конечно- элементных функций произвольной степени аппроксимации и их использование для расчета оболочек // В сб.: Труды XVIII междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Саратов, СГТУ, 1997. -т.2. с. 112-116

71. Сергеев, Н.Д., Богатырев A.M. Проблемы оптимального проектирования конструкций. Л., "Стройиздат". 1971.

72. Скопинский, В.Н. Об особенностях напряженного состояния в областипересечения цилиндрических оболочек // Строит, механика и расчет сооружений. -1986.-№2.-с. 19-22.

73. Скопинский, В.Н., Мелперович, Г.М. Расчетное и экспериментальное исследование напряженного состояния коленных соединений трубопроводов // Пробл. прочности. 1988. - №12. - с. 73-76.

74. Солодилов, Ю.И. Расчет оптимальных параметров пневматической сферической оболочки по критерию несущей способности. Всесоюзная конференция по теория оболочек и пластинок. 7-я, Днепропетровск. 1969.

75. Сорокин, В.В. Пример оптимизации пневмооболочек вращения. "Труды ЦНИИ строительных конструкции", вып.35, М., 1974.

76. Сулейманова, М.Н. К расчету гибких непологих оболочек различного типа методом конечных элементов // Прикл. механика. 1984. - т.20. - №1. - с. 72-78,

77. Сухомлинов, Л.Г., Генин Е.В. Численное решение задач о больших пластических деформациях тонких неосесимметричных оболочек под действием заданных нагрузок//Изв. вузов. Сер. машиностроение. 1990. -№1. -с. 16-21.

78. Съярле, Д. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.-512 с.

79. Тетер, Г.А. Сложное нагружение и устойчивость оболочек из полимерных материалов,- Рига:3инатис, 1969.

80. Толоконников, Л. А. Вариант разномодульной теории упругости.- Механика полимеров, 1969, № 2, с.363-365.

81. Толоконников, Л. А. Обобщение закона упругости. В сб.: Технология машиностроения. Тула: Изд-во Тульского политехнического ин-та, 1970, вып.20, с. 148-156.

82. Феодосьев, В.И. Об одном способе решения нелинейных задач устойчивости деформируемых систем. ПММ, 1969, т.27, вып.2, с.265-274.

83. Флейшман, Н.П., Иванкиев, Е.С., Одипко, Л.И. К оптимальному проектированию составных оболочек вращения на ЭВМ. В сб. "Качество, прочность и технологичность электровакуумных приборов", Киев, "Наукова думка", 1976.

84. Цведодуб, И. Ю. К разномодульной теории упругости. -В со: Динамика сплошной среды. Новосибирск: 1977, № 32, с. 123-131.

85. Цурков, И.С. Упруго-пластическое равновесие оболочек вращения при малых осе симметричных деформациях. Изв. АН СССР, ОТН, 1956, № II, с. 106-110.

86. Цурков, И. С. Упруго-пластические деформации у закрепленного конца тонкостенного цилиндра. Инженерный сборник, 1961, т.31. с.93-100.

87. Цурков, И.С. О расчете гибких пластинок и пологих оболочек, материал которых не следует закону Гука. В кн.: Исследования по теории сооружений, М.: Стройиздат, 1974,т.10,с.17-25.

88. Цурков, И.С. О равновесии гибких пологих оболочек из физически нелинейных материалов. В кн.: Исследования по теории сооружений. М.: Стройиздат. 1975, т.21, с.26-28.

89. Штаерман, И. Я. Об интегрировании дифференциальных уравнений равновесия упругих оболочек. Изв. Киевского политехнического институту, 1927, кн.2, с.96-100.

90. ЮО.Штаерман, Й. Я. Расчет купола как арки на упругом основании. Проект и стандарт. 1933,№9,с.21-26.

91. Abbasi, M.S.A., Baluch, М.Н., Azad, А.К. and Abdel-Rahman, H.H. "Nonlinear Finite Element Modeling of Failure Modes in R/C Slabs", J. of Computers and Structures, Vol.42, No.3,1992, pp. 815-823.

92. Abdel-Rahman, H.H. and Hinton, E., "Nonlinear Finite Element Analysis of Reinforced Concrete Stiffened and Cellular Slabs", J. of Computers and Structures, Vol.23, No.3, 1986, pp. 333-350.

93. Aditya A.K., Bandyopadhyany J.N. Study of the shell characteristics of a paraboloid of revolution shell structure using the finite element method // Comput. and Struct. 1989. - 32. - N2. - p.423-432.

94. Ahmad, S., Irons, B.M. and Zienkiewicz, O.C., "Analysis of Thick and Thin Shell Structures by Curved Finite Elements", Inter. J. Num. Meth. Engng., Vol.2, No.3, 1970, pp. 419-451.

95. Al-Khattab Kh. S. /'Optimum Design of Brick Masonry Domes", M. Sc. Thesis, Civil Engineering Department, College of Engineering, University of Baghdad, 1999.

96. ASCE-ACI Committee 445 on Shear and Torsion, "Recent Approaches to Shear Design of Structural Concrete", J.of Struct. Eng., ASCE, Vol.124, No. 12, Dec. 1998, pp. 1375-1417.

97. ASCE Committee on Concrete and Masonary Structures, Task Committee on Finite element Analysis of Reinforced Concrete Structures "A State of The Art Report on Finite Element Analysis of Reinforced Concrete Structures", ASCE Spec. Pub., 1981.

98. Barony S.Y., Totlenham H. The analysis of rotational shells using a curved ring element and the mixed variational formulation // Int. J. Numer Meth. Eng. 1976. - 10. -N4. -p.861-872.

99. Bathe, K.J. and Bolourchi, S., "A Geometric and Material Nonlinear Plate and Shell Element", J. of Computers and Structures, Vol.11,1980, pp. 23-48.

100. Bell, J.C.,"A Complete Analysis of Reinforced Concrete Slabs and Shells", Ph.D. Disseitation, Department of Civil Engineering, University of Canterbury, Christchurch, New Zealand, 1970.

101. Boisse P., Daniel J.L., Getin J.C. A C, three-node shell element for nonlinear structural analysis // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1994. - 37. - N14. - p.2339-2364.

102. Brebbia C.A., Hadid H.A. Analysis of plates and shells using finite elements // Pev. roum. sci techn. ser. mec. appl.- 1973. -18.-N15.- p.939-962.

103. Brown E.H. The minimum weight design of closed shells of revolution. "Quart I. Mech. and Appi. Math.", 1962, v. 15. 1.

104. Buyukozturk, O., Nilson, A.H. and Slate, F.O., "Stress-Strain Response and Fracture of a Concrete Model in Biaxial Loading", J. of the Amer. Cone. Inst., Vol. 68, No.8, August 1971, p.p.591-599.

105. Buyukozturk, O.,"Nonlinear Analysis of Reinforced Concrete", J. of Сотр. and Struct, Vol.7,1977, pp. 149-156.

106. Chen, W.F.," Plasticity in Reinforced Concrete", McGraw-Hill, 1982.

107. Chen, W.F. and Ting, E.C., "Constitutive Models for Engineering Materials". Vol.1, "Elasticity and Modelling", 1981, Vol.2, "Plasticity and Modelling", 1982, John Wiley and Sons, New York.

108. Dokmeci M.C. On the study of membranes of equal strength with arbitrary thickness. IIU In Saat Fakultesi Matbaase, 1965.

109. Dzygadio Z.> Nowotarski I. Finite element strength analysis of relating shell-plate structures //J. Techn. Phys. 1981. - 22. - N3. - p.243-257.

110. Fariborz, В., "Layering of RC Membrane and Plate Elements in Nonlinear Analysis", J. of the Structural Division, ASCE, Vol.114, No.ll, 1988, pp. 2474-2492.

111. Figueiras, J.A., "Practical Approach for Modelling The Nonlinear Response of RC Shells", In Computational Modelling of Reinforced Concrete Structures, Edited by E, Hinton and R. Owen, Pinerdige Press, Swansea, 1986.

112. Gallagher R.H. Finite element representations for thin shell instability analysis // Buckling Struct. Berlin e.a. 1976. - p.40-51.

113. Ghoneim, A.M. ,and Ghali, A.,"Nonlinear Analysis of Concrete Structures", CAN. J. Civ. Eng., Vol. 9, 1982, pp. 489-501.

114. Gran C.S., Yang T.J. Doubly curved membrane shell finite element // J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. -1979. 105. - N4. - p.567-584.

115. Han-Chung, Worleg W.I. ,An Approach to Optimum Shape Determination for class of thin shells of revolution. Transactions of the ASME, 1968, E 35,3.

116. Hankye J., Gould Phillip L. Shells of revolution with local deviations // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1984. - 20. - N2. - p.305-313.

117. Herpai В., Paczelfl. Analysis of axisymmetrically deformed shells by the finite element displacement method //Acta techn. Acad. Sci. hung. 1977. - 85. -Nl-2.-p.93-122.

118. Hindenlang U. The TRUMP family of shell elements /ASD. Rept. -1978.-N239.-p.l 1-17

119. Hinton, E. and Owen, D.R.J., "Finite Element Software for Plates and Shells", Pineridge Press, Swansea, 1984.

120. Hoist J.M.F.G., Calladine C.R. Inversion problems in elastic thin shells // Eng. J. Mech. A. 1994. - 13.-N4.-p.3-18.

121. Hsu, T.T.C., Slate, F.O, Sturman, G.M. and Winter G.",Microcracking of Plain Concrete and The Shape of Stress-Strain Curve", J. of the Amer. Cone. Inst, Vol.60, No.2, Feb. 1963, pp.209-224.

122. Huang, H.C., "Implementation of Assumed Strain Degenerated Shell Elements", J. of Computers and Structures, Vol.25, No.l, 1987, pp. 147-155.149

123. James, A.S. and Walter, E.H., "Formulations and Solution Procedures for NonLinear Structural Analysis", J. of Сотр. and Struct, Vol. 7,1977.pp.l25-136.

124. Klein, JA., "A Finite Element Model for Reinforced Concrete Shells of General Form", J. of The Structural Division, ASCE, Vol.101 No ST3 March 1975, pp. 523-538

125. Kupfer, H., Hilsdorf, H.K. and Rusch, H., "Behaviour of Concrete Under Biaxial Stresses", J. of the Amer. Cone. Inst., Vol.66, No.8, August 1969, pp.656-666.

126. Lukasiewisz S. On the optimum design of shells loaded, by concentrated forces. Theory of Thin Shells. Berlin-Heidelberg-New York, 1969.

127. Madenci E., Barut A. Thermal postbuckling analysis of cylindrically curved composite laminates with a hole // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1994. - 77. -N12.-p.2073-2091.

128. Mohr G.A. Numerically integrated triangular element for doubly curved thin shells // Comput. and. Struct. -1980. 11. - N6. - p.565-571.

129. Moore C.J., Yang T.Y., Anderson D.C. A new 48 D.O.F. quadirateral shell element with variable-order polynomial and rational B-spline geometries with rigid body modes//Int. J. Numer. Meth. Eng. 1984,20,11, p.p 2121-2141.

130. Moriey L.S.D. Ixtensional bending of a shell triangular element in quadratic parametric representation // Int. J. Solids and Struct. 1982. - 18. - N11. -p.919-935.

131. Ngo, D. and Scordelis, A.C., "Finite Element Analysis of Reinforced Concrete Beams", J. of the Amer. Cone. Inst., Vol. 64, No.3, March 1967, pp. 152-163.

132. Nilson, A.H., "Nonlinear Analysis of Reinforced Concrete by the Finite Element Method", J. of the Amer. Cone. Inst., Vol. 65, No.9, September 1968, pp. 757-766.

133. Rhiu J.J., Lee S.W. A nine node finite element for analysis of geometrically non150linear sells // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1988. - 26. - N9. -p. 1945-1962.

134. Shamiev, F.G. Minimum weight design of cylindrical shells under loads acting in opposite defections. "XVIIth Pol. Solid Mech, Conf. Szczirk, 1975. Abstracts", S. 1, sa 189.

135. Suidan, M. T. and Schnobrich, W. C., "Finite Element Analysis of Reinforced Concrete", J. of Struct. Div., ASCE, Vol. 99,No. ST-10, October 1973, pp.2109-2122.

136. Taylor, R., Maher, D.R.H. and Hayes, В., "Effect of the arrangement of reinforcement on the behaviour of reinforced concrete slabs", Magazine of Concrete Research, Vol.98, No.55, June 1966. •

137. Thannon, A.Y., "Ultimate Load Analysis of Reinforced Concrete Stiffened Shells and Folded Slabs Used in Architectural Structures", Ph.D. Thesis, C/Ph/109/88, University College of Swansea, 1988, 281-PPS.

138. Volliappan, S. and Doolan, T.F.,"Nonlinear Stress Analysis of Reinforced Concrete", J. of Struct. Div., ASCE, Vol. 98, No. ST-4, April 1972, pp.885-898.

139. Wegner, R., "Finite Element Models for Reinforced Concrete" Proc. of U.S.German Symposium on Formulations and Computational Methods in Finite Element Analysis, Boston, August 1976.

140. Yang, T.Y., Asce A.M. High order reotaangular shallow shell finite element // J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 1973. - 99. -Nl. -p. 157-181.

141. Zienkiewicz, O.C., Taylor, R.L. and Too, J.M., "Reduced Integration Technique in General Analysis of Plates and Shells", Int. J. Num. Meth. Engng., Vol.3, No.2, 1971, pp. 275-290.