автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка алгоритмов и программ метода малого параметра решения задач нелинейной гетерогенной упругости

На правах рукописи

Сташкевич Марина Владимировна

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ И ПРОГРАММ МЕТОДА МАЛОГО ПАРАМЕТА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ ГЕТЕРОГЕННОЙ УПРУГОСТИ

Специальность 05 13 18-Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Комсомольск-на-Амуре - 2004

Работа выполнена в ГОУВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет» на кафедре высшей математики

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Олейников Александр Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Хромов Александр Игоревич

кандидат физико-математических наук, доцент Зарубин Михаил Михайлович

Ведущая организация: Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Защита состоится 5 марта 2004 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.092.03 в ГОУВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет» по адресу: 681013, г. Комсомольск-на-Амуре, пр. Ленина, 27.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке ГОУВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет»

Автореферат разослан 4 февраля 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Могильников Е.В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Модели физически нелинейных гетерогенных (разномо-дульных) сред могут находить эффективное применение,- например, при изучении» влияния микроповреждений на напряженно-деформированное состояние, устойчивость и разрушение разнообразных реальных тел: массивов горных пород, сооружений, конструкций и деталей машин. Определяющие уравнения, описывающие поведение гете-рогенно-упругих материалов, являются существенно нелинейными и негладкими Поэтому обычно удовлетворяются приближенным численным решением соответствующих задач. Однако по-прежнему аналитический вид общего решения представляет большую научную и практическую ценность. Получение такого решения может быть достигнуто асимптотическими методами теории возмущений, г К настоящему времени доказаны теоремы единственности решения краевых задач гетерогенной упругости и приведено достаточное количество экспериментальных данных, которые указывают нато, что в этих задачах содержатся естественные внутренние малые параметры. Наличие этих параметров обусловлено малостью дополнительных к классическим постоянных материала

Модели гетерогенно-упругой среды отвечает новый класс физической нелинейности, когда материальные функции в законе поведения являются однородными нулевой степени однородности. Изучение особенностей такого рода нелинейности в конкретных задачах на основе разложения общего решения в асимптотический ряд по степеням малых параметров представляются весьма перспективными, особенно с учетом нескольких малых параметров и тензорной нелинейности Кроме того, эти особенности могут найти эффективное применение при проектировании, изготовлении и диагностике разнообразных изделий, в том числе из новых синтетических композиционных материалов и сплавов, которые, как правило, являются сильно микронеоднородными и поэтому, обычно, содержат или скоро приобретают множество межкомпонентных дефектов, являясь, таким образом, гетерогенно-сопротивляющимися материалами.

Вычисление коэффициентов асимптотического степенного ряда хотя и сводится к решению линейных однотипных краевых задач, но обычно сопряжено с трудоемкими символьными преобразованиями Эти символьные вычисления целесообразно выполнять на ЭВМ. Соответствующие алгоритмы и программы могут составить основу математического обеспечения вывода общего решения класса задач нелинейной гетерогенной упругости в аналитическом виде.

Цель работы. Разработка алгоритмов и программ метода малого параметра решения граничных задач нелинейной гетерогенной упругости для сфер и цилиндров, в том числе с учетом двух малых параметров и тензорной нелинейности

Научная новизна полученных в работе результатов заключается в следующем обоснован выбор новых малых параметров граничных задач гетерогенной упругости,

обобщен метод малого параметра на случай двух параметров и тензорной нелинейности,

разработаны алгоритмы и программы вычисления разложения общего решения задач Ламе в асимптотический ряд по степеням малых параметров нелинейности;

рассмотрены особенности нового класса физической нелинейности, когда материальные функции являются однородными нулевой степени однородности

Практическая ценность работы обусловлена получением решения нелинейных задач в виде формул, которые могут быть использованы в различных практических задачах, связанных с оценкой напряженного состояния, прочности и устойчивости. Результаты работы вошли в отчеты НИР по грантам РФФИ (код проекта 98-01-00478,0101-00921) и Минобразования РФ (шифр гранта 97-0-4.3-120).

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием классического метода малого параметра,- корректным использованием методов теории рядов, тензорного анализа; тестированием программ аналитического вывода; сравнением полученных решений с классическим и решением в квадратурах.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались.на'следующих научных конференциях: Международная конференция «Синергетика, Самоорганизующиеся процессы в системах и технологиях» (г. Комсомольск-на-Амуре,. 2000 г.), I Всесибирский конгресс женщин-математиков, посвященный 150-летию со дня рождения СВ. Ковалевской (г Красноярск, 2000 г.), Международная конференция-«Нелинейная динамика и прикладная синергетика» (г. Комсомольск-на-Амуре, 2002 г.), семинарах по математическому моделированию Центра вычислительного моделирования и информатики КнАГТУ (1998-2003 гг.), Международная конференция "Фундаментальные и прикладные вопросы механики (Хабаровск, 2003)

Структура и объем работы.-Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Объем диссертации составляет 148 страниц, включая 29 рисунков и 13 таблиц. Список литературы содержит 166 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

Публикации,'Материалы диссертационного исследования опубликованы в 6 научных работах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении и первой главе работы обоснованы актуальность выполненных в диссертации исследований, сформулированы цели и задачи работы, ее научная значимость и практическая ценность, возможное применение, а также приведен краткий обзор литературы, содержащий экспериментальные данные, указывающие на разномо-дульное поведение довольно широкого круга материалов и малость параметров нелинейности; анализируются различные варианты данных определяющих соотношений для разномодульных материалов, с точки зрения применения метода малого параметра, дается постановка задач физически нелинейной теории упругости и краткий обзор литературы по текущему состоянию метода малого параметра

В работах Барабанова В Н, Березина А В., Горева Б.В, Жигалкина В.М, Жукова А.М, Ковальчука Б И., Кузнецова Г.Н., Лебедева А А, Никитенко А.Ф., Писаренко Г.С., Рубанова В.В., Соснина О В , Ставрогина А Н, Строкова В.И., Уманского С Э, Grover S.F., Hodgkinson E., Munra W., Richards J.T. и других авторов приводятся данные экспериментов по исследованию механических свойств изотропных материалов, обнаруживающих зависимость сопротивления деформированию от типа деформации - гетерогенную сопротивляемость.

Разработкой математических моделей изотропных разносопротивляющихся упругих материалов занимались такие ученые как: Амбарцумян С А, Березин А В , Бригадиров П.В., Гаврилов ДА., Золочевский А.А, Ломакин Е.В , Маслов В.П., Матченко Н.М., Мосолов П.П., Мясников В.П, Олейников А.И, Панферов В.М, Петров В В , Ра-ботнов Ю.Н., Саркисян М С, Толоконников Л А, Трещев А. А, Туровцев Г.В, Хачат-

рян А А, Цвелодуб И.Ю, Шапиро ГС, Jones R M, Oshoka J G, Rigbi Z., Wesolowski Z. и другие авторы.

В рамках различных моделей физически нелинейных сред Ворович И.И., Гаспа-рян Г.О., Гузь А Н., Друянов Б.А, Ершов Л.В., Ильюшин А.А., Ивлев Д Д, Каудерер Г., Кильчевский Н.А., Мкртчан Дж.З., Немиш Ю.Н., Устинов Ю.А., Цурпал И А., Шле-нев М.А. и многие другие занимались решением различных классов плоских, осесим-метричных, центрально-симметричных и пространственных задач разномодульной теории упругости.

С позиций асимптотических методов теории возмущений анализируются данные различные формы известных определяющих соотношений для изотропных гетероген-но-упругих (разномодульных) сред, имеющих билинейную диаграмму растяжения-сжатия. Показано, что при решении задач удобны законы поведения, в которых дополнительные к классическим нелинейные члены входят аддитивным образом. В этом отношении очевидное преимущество имеет модель изотропной гетерогенно-упругой среды, в которых уже первые неклассические слагаемые с малыми коэффициентами хорошо аппроксимируют нелинейные эффекты поведения разносопротивляюшихся материалов в главном приближении (В.П. Мясников, А И. Олейников). Однако широкое использование этих моделей сдерживается, в том числе нерешенностью вопросов алгоритмизации и автоматизации применения метода малого параметра решения задач Кроме того, получение в аналитическом виде общего решения таких задач послужит для эффективного изучения особенностей нового вида физической нелинейности, когда материальные функции являются однородными нулевой степени однородности.

Вторая глава посвящена разработке общего алгоритма решения граничных задач гетерогенной упругости методом малого параметра и его реализации в комплексе программ. Описание состояния тела V, ограниченного поверхностью S, осуществляется вектором перемещения н(и,,и2>и,), тензорами деформаций £ = и напряжений

Краевая задача гетерогенной упругости

решается в перемещениях на основе закона поведения (В П Мясников, А И Олейников, 1992)

С,=*А. = (MsО)-

Условия единственности решения задачи (1)-(2) и устойчивости материала при. являются ограничениями на материальные константы (А И Олей-

ников, Е.В Могильников, 2001)-

Из последних неравенств видно, что максимальное значение параметра V не может

2

значительно превышать величину коэффициента ¡л и всегда меньше ЛН—ц,т е от-

ношение ---<1 В тоже время величины материальных констант а И Р * най-

Л + 2/3//:

денные по экспериментальным данным (АИ Олейников, 1996), значительно меньше

_ V „ а - В'

параметра V Таким образом, коэффициенты V =—, а— —, /»=—, где

К к к

К —А + 2/3(1 > 0, представляют собой естественные внутренние малые параметры данной модели среды, которые могут быть использованы при решении задачи (1)-(2) методом малого параметра

Подстановка определяющих соотношений (2) в уравнения равновесия приводит к операторному уравнению

(3)

где.

В = -<а&{ + )-(эук, + <Э,му),

С = -г,Д( )-(</,+9^),

/>=-[л,(з,», +з,нД +а,и,ХаА

л 1 Л -

Л - оператор Лапласа

Оператор А линейный дифференциальный оператор классической теории упругости, а операторы В, С ий не являются линейными, так как О , у,, Л, и Ла являются функциями компонент вектора перемещений и. Кроме того, они содержат в качестве множителей параметры поэтому решение уравнения (3) является функцией параметров V , а и ¡3

В частном случае на основе теории степенных рядов и линей-

ных операторов доказывается следующее утверждение

Утверждение I. Пусть А - линейный дифференциальный оператор, а В(у) и u(v) аналнтичны в точке 0 Тогда уравнение Au ~ Ви имеет единственное решение, которое записывается в виде асимптотического ряда по степеням V '.

и=0 *«|

Представление оператора

получено при помощи разложении

{и„ г,, 4, П, (Оcj**, 4м. nw,û)w},

Ряды (4) и (S) и*меют одинаковый р:

EMS

S!m °lm

= 0 <U<" =

2 * '

(4)

(5)

ходимости Р = 1.М)

Формулы (2) и разложения (5) позволяют получить компоненты тензора напряжений в виде

= VûrVrM

.=z

где

о-м = ^ - |о) /¡% + 2 С + + га^'1.

Рассматривается также общий тензорно-линейный случай определяющих соотношений (2), когда решение зависит от двух малых параметров кий:

Утверждение 2. Если Л линейный дифференциальный оператор, ы(р\а) , В(р,а) и С (у, а) аналитичны в точке (0,0) {у = а = 0), то уравнение (3) имеет един-

ственное решение вида

аналогично (5), позволяют получить

_(0 0).(01) с|| в*

с(01)_ * I с(0 0)

5 г^т-5

В1"'» = -й/"1 Д( + )-

^гаг^"1 (Э,и*"1 + а,г/"'-'Х

■де, в частности,

7(0 0) г(|.0) .(0.0) (10) ,(0|)

£<оо)__Л_ г(Ю)_ Л е(0 0)с» ЕЧ с(о I) _ Л

Данные разложения позволяют записать напряжения в виде

сг<0-01 +2 С*'00',

о?> = ~~б) /{"% + 20 11 +

где л + £ ^1. Все двойные ряды сходятся в области 0 V|<I, 0£|Й|<1.

Наконец рассмотрен и тензорно-нелинейный случай определяющих соотношений модели (2) при У = а = 0, /? * 0. Аналогично утверждению 1 доказывается

Утверждение 3 Если А - линейный дифференциальный оператор, а £>(/?) и "(/?) аналитичны в точке 0, то уравнение /4» = /3« имеет единственное решение вида

Разложение компонент и,, о^, а также г]. Л,, Л2 в ряды по степеням параметра Р позволяет'записать

о1" = -[л'КэХ'1 + а/;')], - -Ц'.фу,'1+ди'^ди^ +3.1/'1)],

где

Таким образом, во всех рассмотренных случаях в «нулевом» приближении (при /1 = 0, п = к=0) имеем задачу классической теории Нахождение последующих приближений сведено к интегрированию неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка при нулевых граничных условиях

Доказанные утверждения положены в основу разработанного алгоритма решения задач гетерогенной теории упругости методом малого параметра (ММП) Для реа-

лизации этого алгоритма на ЭВМ разработан комплекс программ символьных (аналитических) вычислений, позволяющий автоматизировать процесс построения решения1

Компоненты комплекса ММП, предназначенные для аналитических вычислений, реализованы в виде отдельных т-файлов Обмен информацией между компонентами производится в символьном виде (конечный результат в виде формулы) Все компоненты системы реализованы в программном виде в математическом пакете МаЙаЪ Функциональная схема комплекса показана на рис 1 Данный комплекс реализует выполнение следующих задач

• автоматизация вывода коэффициентов разложения необходимых функций в степенные ряды по малым параметрам,

• автоматизацию вывода системы дифференциальных уравнений ММП для рассматриваемой модели гетерогенно-упругой среды, а также нахождения решения этой системы

мод\ль формирования представлений ф) нкций н,,е9, о„, % , ю , а , у,, 41, в виде радов по милым параметрам

мод\ль вычисления коэффициентов раложенил флнкцни вида деформированного состояния

I

модуль вычисления коэффициентов разложения функций ? ,

и, О. Ч>,, VI

мплпь формирования системы дифференциальныч \равнений метода ма!ы\ параметров и ее решения

Рис / Функциональная схема комплекса программ ММП

Комплекс отвечает всем принципам создания комплексов программ, а именно системности, открытости, совместимости, стандартизации и эффективности Системность обеспечивается установлением таких связей между модулями, что при разделении на части сохраняется цельность комплекса, открытость обеспечивается возможностью пополнения комплекса другими модулями без ущерба его функционированию, совместность - использованием унифицированных интерфейсов математических пакетов, стандартизация - применением стандартов языка пакета МайаЪ, эффективность -существенным повышением эффективности проводимых научных исследований

Специфика вычислений, проводимых с помощью комплекса, требует знания пользователем математического пакета МаЙаЪ

1 Комплекс программ принят к регистрации ФАЛ РФ

МОД)ЛЬ формировнния приближений теиюра напряжений

В качестве интерфейса используется стандартный интерфейс математического пакета Mat lab. Для функционирования комплекса необходимы:'

• компьютер класса Pentium, с оперативной памятью не менее 256 Мб, жестким диском объемом не менее 2 Гб/

• монитор с диагональю не менее 14 дюймов;

• печатающее устройство.

В третьей главе рассматривается полый цилиндр, изготовленный из гетероген-но-упругого материала, и находящийся под действием внутренних и внешних нагрузок Согласно данных в предыдущей главе алгоритмов и программ ММП, реализующих его в цилиндрической системе координат (разложение по параметру ?), из (3) следует система обыкновенных дифференциальных уравнений'

На основе метода Лагранжа дано общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (б)

»

„<"1(г)=с<">л+5_ +

_ я, гк,

(7)

.M

где внутренний, внешний радиус цилиндра,

• произвольные постоянные, определяемые нулевыми граничными условиями.

С использованием (7) получено общее решение задачи о полом разномодульном цилиндре со свободными и в частном случае с закрепленными концами в двух приближениях. Из решения следует, что для нелинейного гетерогенно-упругого материала распределение напряжений может существенно отличаться от классического.

Например, для тонкостенной (Д,/Лг =9/10) цилиндрической трубы при // = 7500 МПа, Х = 2р и соотношении внутреннего и внешнего давлений Рг /Я, = 1/10 значения а, при г = Л, снижаются на 11%, а пР2^ а 34%; перераспре-

деление напряжений, вызванное разномодульностью, оказывается благоприятным, снижаются напряжения у внутренней поверхности и повышаются у внешней поверхности трубы.

Если давления таковы, что сг„'>0, то главное касательное напряжение т = ^(<?в—<гг) имеет максимальное значение при г = Л,. Величина т^/Р, убывает при -

увеличении параметра разномодульности материала, интенсивности внешней нагрузки и отношения радиусов (табл 1).

Таблица 1

Влияние разномодульности материала на максимальные значения главных касательных напряжений /Р, тонкостенной цилиндрической трубы (К, /Я, = 9/10 )

Чи Р2//> = 0 />,//> = 1/10 />//> = 6/10 />,//> =-1/10.

0 5 263 4 737 2 105 5 7894

1/3 5 259 4 733 2 100 5 786-

2/3 5 256 4 729 2 095 5 783

-1/3 5 267 4 741 2 110 5 793

Если внешняя поверхность трубы находится под действием растягивающих усилий, то <тв значительно возрастают

Для толстостенных труб (/^/Л, =1/10) значения окружных напряжений снижаются до 14% при увеличении параметра у

На рис 2 представлено отклонение от классического решения распределений радиальных и окружных напряжений по толщине цилиндрической трубы со свободными и закрепленными концами Значения ав для трубы с закрепленными концами более чем в два раза превышают значения окружных напряжений для трубы со свободными концами

Рис. 2. Сравнение распределений радиального и окружного по толщине цилиндрической трубы из нелинейного гетерогенно-упругого материала при у///= 1/3, Я./Л, =9/10, />,//> =6/10,

I — труба со свободными концами, 2 - труба с закретеииыми концами

Эффективность выведенных аналитических решений состоит в том, что их можно использовать при различных значениях заданных граничных нагрузок и различных соотношениях радиусов трубы простой подстановкой этих значений без затрат на поиск соответствующего частного решения, а так же возможности получить решение задачи о составной трубе из нелинейного гетерогенно-упругого материала На рис 3 показано распределение напряжений в составной трубе (сплошная линия) Видно, что значение окружного напряжения на внутренней поверхности трубы становится сжимающими и несколько снижается по абсолютной величине, распределение напряжений становится более равномерным

Рис. 3. Изменение распределения напряжений в составной цилиндрической трубе из разномодульного материала с закрепленными концами при = 1/3,

Я,/^ = 1/10 и Л,/Лг' = 8/9. Л,/Л. = 8/10.

распределение напряжений в сплошной трубе, распределение напряжений в составной трубе

Формулы для расчета давления, возникающего от воздействия цилиндров друг на друга, и контактного радиуса получены в виде.

-«•}[ ЗК+в 30

зк+о

зо

В четвертой главе рассмотрен полый шар из гетерогенно-упругого материала, находящийся под действием равномерного внутреннего и внешнего давления Решение задачи находится в сферической системе координат при помощи данных алгоритмов метода малого параметра, обобщенного на случай наличия в задаче двух малых параметров

В этом случае из (3) следует система дифференциальных уравнений относительно радиального смещения

а общее решение имеет вид, аналогичный (7)

В двух приближениях получено решение для полого шара в аналитическом виде Эффективность полученных выражений установлена на примере задачи о свободной сферической полости радиуса К в напряженном гидростатически нагруженном-массиве Распределение напряжения <тв рассчитывалось при // = 7500 МПа, Л=2//,

В случае влияние разномодульности в основном проявляется

при в существенном увеличении степени концентрации окружных напряжений

(до 6% и более) с увеличением v (табл 2), при О"«, < 0 - в их незначительном снижении (до 2 5%) Это согласуется с ранее полученным полным решением в квадратурах а'в (АИ Олейников, 1988) Параметр а еще более усиливает эффект разномодульности При величины поправок к классическому решению по абсолютной

величине достигают 7,2%, а при у//* = 2/3 они достигают 14,3%, т е увеличиваются почти в два раза.

На основе данного решения исследована напряженно-деформированное состояние составной сферы из разномодульного материала Получены формулы для нахождения давления, возникающего от воздействия сфер друг на друга, и контактного радиуса сфер после деформации

где п + к 2 I и

Таблица 2

Сравнение результатов классического, численного и асимптотического

решений задачи о сферической полости

Отношение Равномерное всестороннее сжатие Равномерное всестороннее рас-

параметров тяжение (<т„ >0)

у!Ц а = = 0 а = у/2 а = 0 а = у/ 2

К о» _• о.

0 \ 5 1 5 1 5 1 5 1 5 I 5

1/3 1 47 1 464 1 392 1 54 1 536 1 608

2/3 1 44 1 429 1 285 1 61 1 571 1 715

В последнем разделе главы исследовано влияние тензорной нелинейности на распределение напряжений в толстостенной сфере Согласно алгоритма решения уравнения (3) методом малого параметра (разложение по параметру /? ) получена система дифференциальных уравнений

где

/"'М-¿(л<г>1

ЗК + 4С

1 Ог{ сЬ- г )

¿Л1'1 ей/""

Л- <1г

а-

[.-«-») л

I

<1г

общее решение которой имеет замкнутый вид типа (7) Получены аналитические выражения для расчета радиального перемещения, напряжений и деформаций в двух приближениях

Для тонкостенного (й,/^ = 9/10) полого шара при /4 = 7500 МПа, Л = 2//, с увеличением параметра величина окружного напряжения у внутренней поверхности шара снижается на 18% (табл 3). При увеличении внешнего давления снижение достигает 80% (в классическом случае - 73%) Если на внешней поверхности шара заданы растягивающие усилия, то напряжения возрастают на 13% Распределение радиального напряжения незначительно отклоняется от классического При увеличении толщины стенки значения окружных (тангенциальных) напряжений у внутренней поверхности шара уменьшаются в 9-15 раз А величины поправок к классическому решению меньше в 5 раз (табл 4)

Таблица 3

Влияние разномодульности материала на окружные напряжения тонкостенной полой сферы

Р!и Я2//> = 0 Р2/Р,=\/\0 Л/?, =6/10 Р2/Р,=- 1/Ю

0 4 535 3 982 1 214 5 089

1/6 3 727 3 244 0 845 4210

1/3 2918 2 507 0 477 3 331

Таблица 4

Влияние разномодульности материала на окружные напряжения с, /Р, _ толстостенной полой сферы (Я./Я, =1/10) при Г = Я,

Р1» Я2//>,= 0 Рг/Ъ= 1/10 Рг/Р, =6/10 /УР,=-1/10

0 0.502 0.351 -0.339 0.652

1/6 0 256 0 286 - -0.460 0,519'

1/3 ООП 0 221 -0 520 0 386

В таблице 5 приводятся поправки к классическому распределению окружного напряжения ве1Р^ на внутренней поверхности шара при различных значениях материальных констант модели гетерогенно-упругой среды Если давление Р\ значительно больше Р2 (по абсолютной величине), то при к * 0 £ а = 0, /} = 0 поправки составляют 0.2%, при у = Р- 0 - 2.5%, а при и = 0, а- 0, р*0 - 36%.

Если отношение давлений Р2/Р\ возрастает, то поправки к классическому решению составляют 1.2%, при у = 0, а*0, 0 = 0 -13.8%,а при У = 0, а = 0, 0 -61% Таким образом, наибольшие поправки к классическому решению возникают в случае Р * 0, они на два порядка выше по отношению к поправкам в случае V Ф 0.

Таблица 5

Влияние констант модели гетерогенно-упругой среды на значения окружных

напряжений 0'в/Р1 на внутренней поверхности полого шара при Я,//^ =9/10

Значение Р,/Р,

параметров 0 1/10 6/10 -1/10

у = 0, а = 0, р = 0 4.535 3.982 1.214 5 089

у1М = 1/3, а = 0,Д = 0 4.526 3.971- • 1.199 5 080

у = 0, «//« = 1/3, р = 0- 4.423 3.865 1.047 4.981

у = 0, а = 0, р!р = 1/3 2.918 2 507 0 477 3 331

Таким образом, неучет тензорной нелинейности может приводить к значительным погрешностям при решении задач для гетерогенно-сопротивляющихся материа-

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ПОЛУЧЕННЫЕ В ДИССЕРТАЦИИ

1. Обоснован выбор трех универсальных малых параметров граничных задач теории упругости для гетерогенно-сопротивляющихся материалов, являющихся соответствующими комбинациями пяти постоянных данной модели поведения. 2 Доказаны утверждения о представлении общего решения граничных задач данной теории в асимптотические ряды по степеням двух малых параметров и по параметру тензорной нелинейности.

¡¡■- 3487

3.- Построен алгоритм и разработан комплекс программ символьных вычислений общего решения задач Ламе для гетерогенно-упругих сред в виде разложений метода малого параметра.

4. Даны общие асимптотические решения задач о цилиндрической трубе и сфере из гетерогенно-упругого материала, в том числе, в случае составной трубы или сферы.

5. Исследованы особенности проявления в рассмотренных задачах физической нелинейности нового класса, когда материальные функции являются однородными нулевой степени однородности. Установлено, что при сжимающих внешних нагрузках концентрация окружных напряжений на внутренней поверхности труб по сравнению с классическим решением снижается, а при растягивающих возрастает. Данный эффект сильнее проявляется при увеличении толщины стенки и при закреплении концов (может достигать 35% и более). Аналогичное перераспределение концентрации окружных напряжений наблюдается на внутренней поверхности сферы, однако учет второго и третьего тензорно-нелинейного члена в законе поведения приводит к увеличению абсолютных величин поправок к классическому решению (от 14 до 60%). Скачок окружных напряжений на контактном радиусе составной трубы по сравнению»с классическим решением меньше на 6%, осевых напряжений - на 16%; скачок окружных напряжений на контактном радиусе составной сферы по сравнению с классическим решением меньше на 12%.

Список основных работ, опубликованных по теме диссертации

Основные результаты диссертации изложены в б работах, которые опубликованы в научных изданиях:

1. Сташкевич М В. Решение задачи Ламе для сферы из гетерогенно-упругого материала методом малого параметра // Тезисы докладов 1 Всесибирского конгресса женщин математиков. ИВМ СО РАН: Красноярск.-2000.-С214.

2. Сташкевич М.В. Решение задачи Ламе для сферы из гетерогенно-упругого материала асимптотическим методом // Вестник КнАГТУ.-2000.-№3.-С.86-90.

3. Олейников А.И., Сташкевич М.В. Использование асимптотических методов в механике гетерогенно-сопротивляющихся материалов // Материалы международной конференции "Синергетика. Самоорганизующиеся процессы в системах и технологиях".- Комсомольск-на-Амуре.-2000.-С."114-118.

4. Олейников А И., Сгашкевм М.В. Распределение напряжений в составной трубе из гетерогенно-упругого материала // Материалы международной конференции "Нелинейная динамика и прикладная синергетика". - Ч.1.- Комсомольск-на-Амуре.-2002.-С.87-90.

5. Сташкевич М.В. Распределение напряжений в. составной сфере из г гетерогенно-упругого материала // Материалы международной конференции "Нелинейная дина-микаи прикладная синергетика". 4.1. - Комсомольск-на-Амуре.-2002.-С.91-94.

6. Олейников А.И.( Сташкевич М.В. Решение некоторых задач разномодульной упругости методами малого параметра // Материалы международной конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы механики". - Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та, 2003. - С. 749-760.

КнАГТУ, тир. 100, зак. 17774.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ, МОДЕЛЕЙ И МЕТОДОВ МЕХАНИКИ ГЕТЕРОГЕННО-УПРУГИХ ТЕЛ.

1.1. Обзор результатов экспериментальных исследований упругого поведения разномодульных материалов.

1.2. Обзор математических моделей изотропных разномодульных сред.

1.3. О решении краевых задач разномодульной теории упругости.

1.4. Основные характеристики и соотношения модели гетерогенно-упругой среды.

1.4.1. О представлении упругого потенциала.

1.4.2. Определяющие соотношения модели.

1.4.3. Полная система уравнений механики гетерогенно- упругих сред.

1.5. Выводы по главе.

2. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА ДЛЯ ИЗОТРОПНОЙ ГЕТЕРОГЕННО-УПРУГОЙ СРЕДЫ.

2.1. Решение граничной задачи гетерогенной упругости в перемещениях.

2.2. Алгоритм метода малого параметра исследования задач гетерогенной упругости (простейший тензорно-линейный случай).

2.3. Алгоритм метода малых параметров исследования задач нелинейной гетерогенной упругости.

2.4. Алгоритм метода малого параметра исследования задач гетерогенной упругости (тензорно-нелинейный случай).

2.5. Алгоритм и комплекс программ вывода основных соотношений метода малого параметра исследования задач гетерогенной упругости.

2.6. Выводы по главе.

3. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ПОЛОГО

ЦИЛИНДРА ИЗ ГЕТЕРОГЕННО-УПРУГОГО МАТЕРИАЛА.

3.1. Напряженно-деформированное состояние полого цилиндра со свободными концами при его нагружении внутренним и внешним давлением.

3.1.1. Постановка задачи.

3.1.2. Решение задачи о полом цилиндре в перемещениях методом малого параметра.

3.1.3. Решение задачи о полом цилиндре в первом приближении.

3.1.4. О решении задачи в произвольном приближении.

3.1.5. Решение задачи о полом цилиндре в двух приближениях.

3.2. Напряженно-деформированное состояние цилиндрической трубы с закрепленными концами при ее нагружении внутренним и внешним давлением. k 3.3. Распределение напряжений в составной цилиндрической трубе из гетерогенно-упругого материала.

3.4. Выводы по главе.

4. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ПОЛОГО

ШАРА ИЗ ГЕТЕРОГЕННО-УПРУГОГО МАТЕРИАЛА.

4.1. Напряженно-деформированное состояние полого шара из гетерогенно-упругого материала при его нагружении внутренним и ^ внешним давлением.

4.1.1. Постановка задачи.

4.1.2. Решение задачи о полом шаре в перемещениях методом малого параметра.

4.1.3. Решение задачи о полом шаре в первом приближении.

4.1.4. О решение задачи в произвольном приближении.

4.1.5. Решение задачи о полом шаре в двух приближениях.

4.2. Напряженное состояние массива, имеющего сферическую полость.

4.3. Распределение напряжений и деформаций составной сферы из гетерогенно-упругого материала.

4.4. Решение задачи в случае тензорной нелинейности определяющих соотношений модели гетерогенно-упругой среды.

4.4.1. Постановка задачи.

4.4.2. Решение задачи о сфере методом малого параметра.

4.4.3. О решение задачи в произвольном приближении.

4.4.4. Решение задачи в двух приближениях.

4.5. Выводы по главе.

Развитие современной науки и техники приводит к тому, что в различные отрасли производства интенсивно внедряются новые конструкционные материалы, в том числе композиционные и синтетические, обладающие характерными физико-механическими свойствами (микронеоднородность, анизотропия, нелинейность и др.). Кроме того, именно материалы с природной микронеоднородность являются окружающей геологической средой и лежат в основе земной коры. К разряду микронеоднородных материалов относятся и однородные материалы с разного рода микроповреждениями: микротрещинами, микропорами, локальными нарушениями связности и устойчивости, возникающими при деформировании. Такого рода повреждения и нарушения, а также несовершенство контакта зерен материала, несут главную ответственность за изменения в структуре при малых деформациях. Наличие микронарушений в материале может быть обусловлено технологическими процессами его изготовления, природными процессами его образования, приложением нагрузок, пластическими деформациями. Эксперименты показывают, что микронарушения влияют на весь спектр механических характеристик материала: разномодульность, дилатансия (изменение объема при сдвиге), высокая нелинейность при малых деформациях, нарушение подобия девиаторов при чистом сдвиге и кручении и т.д. По разным оценкам, стадия рассеянного микроразрушения может составлять 50-90% общего ресурса службы материала.

Разномодульность материалов заключается в зависимости деформационных характеристик материала от вида напряженного или деформированного состояния.

Опыты на растяжение и сжатие не только наглядно демонстрируют различие в модулях упругости, но и показывают общую зависимость упругих характеристик от вида напряженного состояния (вместо одной диаграммы деформирования имеется серия кривых для разных видов напряженного состояния). При одноосном нагружении такие материалы, как древесина, чугун, графит, углепластик, горные породы, тканые композиты и другие, имеют несимметричные диаграммы деформирования при растяжении и сжатии. При малых напряжениях они слабо нелинейны, обратимы и плавно, почти без излома, переходят одна в другую. Если эти диаграммы аппроксимировать прямыми, то секущие модули при растяжении и сжатии могут существенно отличаться между собой. Негладкость в нуле диаграмм деформирования материалов, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию, приводит к неаналитичности в нуле материальных функций среды и, соответственно, к такой же особенности в системе модульных уравнений. Кроме того, данный опыт указывает на особенность нелинейности диаграмм - существенной зависимости степени данной нелинейности от знака деформации. Так, кривые продольной деформации сжатия являются выпуклыми к горизонтальной оси деформации, а кривые поперечной деформации растяжения, наоборот, выпуклы к вертикальной оси напряжений. Поэтому решающим аргументом при оценке модели является учет или неучет ею главных особенностей нелинейного поведения. Различная степень нелинейности начальных участков диаграмм отражается в расхождении зависимости интенсивности напряжений г от интенсивности деформаций у (отсутствие единой кривой), а также - зависимости среднего напряжения а от объемной деформации с .

Исследование напряженного состояния данного класса материалов является одной из самых сложных задач математической теории упругости и, вместе с этим, одной из актуальных проблем в практическом отношении (для создания инженерных методов расчета на прочность, для установления пределов применимости прикладных теорий и др.). Эксперименты также показывают, что классическая теория упругости не учитывает нелинейное поведение материалов, вызванное изменениями в системе имеющихся микронарушений при деформировании. Поэтому ее использование при решении задач механики упругих изотропных материалов с микронарушениями может привести к неверным или существенно неточным результатам. Все это привело к тому, что за последние три десятилетия среди актуальных задач механики деформируемого твердого тела на первый план вышла проблема определяющих соотношений для разномодульных материалов. К настоящему времени разработано несколько вариантов модели разномодульной среды, основанных на различных упрощающих предположениях в зависимости от характера деформирования упругих тел и различных подходах к построению потенциала напряжений. Анализ существующих моделей проводится в первой главе.

Аналитический вид упругого потенциала, полученный А.И. Олейниковым, является в своем классе приближений наилучшим, так как включает в себя как классический случай, так и случай, когда потенциал не является дважды дифференцируемым или аналитическим. Это делает естественным выбор модели гетерогенно-упругой среды, разработанной в работах А.И. Олейникова, В.П. Мясникова. Эта модель находит эффективное применение, например, для учета влияния повреждений и микронарушений на деформационные характеристики твердых тел, при исследовании устойчивости пространственных тел, в механике разрушения, сейсмологии, геологии, геофизике, машиностроении, строительстве.

Определяющие уравнения связи напряжений и деформаций модели гетерогенно-упругой среды в общем случае, в отличие от классической упругости негладкие и существенно нелинейные. Поэтому получение точного аналитического решения задач в рамках данной модели не представляется возможным. В то же время именно аналитический вид решения представляет большой практический интерес при оценке напряженного состояния и прочности деталей машин и конструкций сооружений, изготовляемых из данных материалов.

Для решения физически нелинейных статических граничных задач может быть использован метод возмущения линейно-упругих свойств. Метод возмущений - метод приближенного решения задач, основанный на введении величин, малых по сравнению с некоторыми данными. К методам возмущений относится метод малого параметра. Решение методом малого параметра находится в виде степенных рядов по некоторому выбранному параметру, причем решение это определяется вблизи исходного известного «невозмущенного» состояния.

Преимущество применения метода малого параметра по сравнению с другими приближенными методами заключается в возможности относительно легко найти главную часть поправки к линейному решению, а также удовлетворить заданным граничным условиям при решении линейной задачи. При этом на первом шаге решается соответствующая задача классической теории упругости, а далее - решаются неоднородные дифференциальные уравнения, правые части которых определяются по найденному предыдущему приближению при нулевых граничных условиях.

Условия единственности в «большом» решения задач нелинейной упругости в рамках модели гетерогенно-упругой среды Олейникова-Мясникова представляют собой известные ограничения на константы Ламе, а также ограничения на дополнительную, по сравнению с классическим случаем, константу у. Согласно ограничениям третья константа по своей величине не может превосходить объемный модуль, определенный на основе закона Гука. Для реальных материалов она составляет не более 10% объемного модуля. Это обуславливает выбор материальной константы, дополнительной к закону Гука, в качестве малого параметра.

В ряде случаев методы малых параметров позволяют получить прог стые расчетные формулы, которые могут быть применены при расчетах на прочность и устойчивость. Такие расчеты являются особенно актуальными для элементов конструкций, выполненных из новых композиционных и синтетических материалов.

Модели гетерогенно-упругой среды отвечает новый класс физической нелинейности, когда материальные функции в законе поведения являются однородными нулевой степени однородности. Изучение особенностей такого рода нелинейности в конкретных задачах на основе разложения общего решения в асимптотический ряд по степеням малых параметров представляются весьма перспективными, особенно с учетом нескольких малых параметров и тензорной нелинейности. Кроме того, эти особенности могут найти эффективное применение при проектировании, изготовлении и диагностике разнообразных изделий, в том числе из новых синтетических композиционных материалов и сплавов, которые, как правило, являются сильно микронеоднородными и поэтому, обычно, содержат или скоро приобретают множество межкомпонентных дефектов, являясь, таким образом, гетерогенно-сопротивляющимися материалами.

Вычисление коэффициентов асимптотического степенного ряда хотя и сводится к решению линейных однотипных краевых задач, но обычно сопряжено с трудоемкими символьными преобразованиями. Эти символьные вычисления целесообразно выполнять на ЭВМ. Соответствующие алгоритмы и программы могут составить основу математического обеспечения вывода общего решения класса задач нелинейной гетерогенной упругости в аналитическом виде.

Таким образом, нахождение аналитического решения граничных задач нелинейной теории упругости в рамках модели гетерогенно-упругой среды является актуальной задачей.

Цели работы. В работе ставятся следующие цели: разработка алгоритмов и программ метода малого параметра решения граничных задач нелинейной гетерогенной упругости для сфер и цилиндров, в том числе с учетом двух малых параметров и тензорной нелинейности.

Задачи исследования:

1. Разработать алгоритм решения краевых задач гетерогенной упругости методом малого параметра.

2. Разработать комплекс программ для автоматизации вывода основных соотношений метода малого параметра.

3. Нахождение общего решения задач Ламе для гетерогенно-упругой среды в виде разложений метода малого параметра.

4. Выявление особенностей проявления физической нелинейности нового класса, когда материальные функции являются однородными нулевой степени однородности.

Методы исследования: методологически работа построена на базе теории возмущений. Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием классического метода малого параметра, корректным использованием методов теории рядов, тензорного анализа, тестированием программ аналитического вывода; сравнением полученных решений с классическим и решением в квадратурах.

Научная значимость результатов диссертации заключается в следующем:

- использование новой модели гетерогеино-упругой среды при решении граничных задач механики;

- использование материальных констант модели гетерогенно-упругой среды в качестве малых параметров при решении задач нелинейной упругости методом малых параметров;

- получение асимптотического решения задач гетерогенной упругости в виде разложения по двум малым параметрам;

- исследование влияния тензорно-нелинейного члена определяющих соотношений модели на распределение напряжений.

Практическая ценность работы обусловлена получением решения нелинейных задач в виде формул, которые могут быть использованы в различных практических задачах, связанных с оценкой напряженного состояния, прочности и устойчивости.

На защиту выносятся следующие основные положения

1. Алгоритм решения краевых задач гетерогенной упругости методом малого параметра.

2. Комплекс программ для автоматизации вывода основных соотношений метода малого параметра.

3. Общее решение задач Ламе для сферы и цилиндра из гетерогенно-упругого материала в виде разложений метода малого параметра.

4. Закономерности физической нелинейности нового класса, когда материальные функции являются однородными нулевой степени однородности.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: Международная конференция «Синергетика, Самоорганизующиеся процессы в системах и технологиях» (г. Комсомольск-на-Амуре, 2000 г.), I Всесибирский конгресс женщин-математиков, посвященный 150-летию со дня рождения С.В. Ковалевской (г. Красноярск, 2000 г.), Международная конференция «Нелинейная динамика и прикладная синергетика» (г. Комсомольск-на-Амуре, 2002 г.), семинарах по математическому моделированию Центра вычислительного моделирования и информатики КнАГТУ (1998-2003 гг.), Международная конференция "Фундаментальные и прикладные вопросы механики" (Хабаровск, 2003).

Публикации. Материалы диссертационного исследования опубликованы в 6 научных работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Объем диссертации составляет 148 страниц, включая 29 рисунков и 13 таблиц. Список литера

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Сташкевич М.В. Решение задачи Ламе для сферы из гетерогенно-упругого материала методом малого параметра // Тезисы докладов I Всесибирского конгресса женщин математиков. ИВМ СО РАН: Красноярск.-2000.-С.214.

2. Сташкевич М.В. Решение задачи Ламе для сферы из гетерогенно-упругого материала асимптотическим методом // Вестник КнАГ

0 ТУ.-2000.-№3.-С.86-90.

3. Олейников А.И., Сташкевич М.В. Использование асимптотических методов в механике гетерогенно-сопротивляющихся материалов // Материалы международной конференции "Синергетика. Самоорганизующиеся процессы в системах и технологиях".- Комсомольск-на-Амуре.-2000.-С.114-118.

4. Олейников А.И., Сташкевич М.В. Распределение напряжений в со-^ ставной трубе из гетерогенно-упругого материала // Материалы международной конференции "Нелинейная динамика и прикладная синергетика". - 4.1.- Комсомольск-на-Амуре.-2002.-С.87-90.

5. Сташкевич М.В. Распределение напряжений в составной сфере из гетерогенно-упругого материала // Материалы международной конференции "Нелинейная динамика и прикладная синергетика". 4.1. - Комсомольск-на-Амуре.-2002.-С.91 -94.

6. Олейников А.И., Сташкевич М.В. Решение некоторых задач разно-модульной упругости методами малого параметра // Материалы международной конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы механики". - Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та, 2003. -С. 749-760.

7. Программа для ЭВМ «CilTube» / А.И. Олейников, Е.В. Могильников, М.В. Сташкевич (Россия) (принята к регистрации).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие новые результаты

1. Обоснован выбор трех универсальных малых параметров граничных задач теории упругости для гетерогенно-сопротивляющихся материалов, являющихся соответствующими комбинациями пяти постоянных данной модели поведения.

2. Доказаны утверждеия о представлении общего решения граничных задач данной теории в асимптотические ряды по степеням двух малых параметров и по параметру тензорной нелинейности.

3. Построен алгоритм и разработан комплекс программ символьных вычислений общего решения задач Ламе для гетерогенно-упругих сред в виде разложений метода малого параметра.

4. Даны общие асимптотические решения задач о цилиндрической трубе и сфере из гетерогенно-упругого материала, в том числе, в случае составной трубы или сферы.

5. Исследованы особенности проявления в рассмотренных задачах физической нелинейности нового класса, когда материальные функции являются однородными нулевой степени однородности. Установлено, что при сжимающих внешних нагрузках концентрация окружных напряжений на внутренней поверхности труб по сравнению с классическим решением снижается, а при растягивающих возрастает. Данный эффект сильнее проявляется при увеличении толщины стенки и при закреплении концов (может достигать 35% и более). Аналогичное перераспределение концентрации окружных напряжений наблюдается на внутренней поверхности сферы, однако учет второго и третьего тензорно-нелинейного члена в законе поведения приводит к увеличению абсолютных величин поправок к классическому решению (от 14 до 60%). Скачок окружных напряжений на контактном радиусе составной трубы по сравнению с классическим решением меньше на 6%, осевых напряжений - на 16%; скачок окружных напряжений на контактном радиусе составной сферы по сравнению с классическим решением меньше на 12%.

1. Абрамян Б.Л., Александров А.Я. Осесимметричные задачи теории упругости. - В кн.: Тр. 1. Всесоюз. съезда по теор. и приют, механике. Механика твердого тела. - М.: Наука, 1966. - С. 7-37.

2. Абсулов В.Ф. Поперечный изгиб разномодульных пластинок // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1970. - Т. 23. - № 5. - С. 48-52.

3. Авхимков А.П. Об уравнениях обобщенного закона упругости материалов, разносопротивляющихся растяжению и сжатию, и некоторых их приложениях. Автореферат диссертации, М. - 1975. - 15 с.

4. Азарова Г.Н. Расчет оболочек из разномодульного материала методом переменных параметров упругости // Труды XII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Ереван, Изд-во ЕГУ, 1980. — Т. 1. — С. 26-32.

5. Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Наука, 1979. - 464 с.

6. Алексеев А.Д., Ревва В.Н., Рязанцев Н.А. Разрушение горных пород в объемном поле сжимающих напряжений. Киев: Наукова думка, 1989. -168 с.

7. Амбарцумян С.А. Осесимметричная задача круговой цилиндрической оболочки, изготовленной из материала, разносопротивляющегося растяжению и сжатию // Изв. АН СССР. Механика. 1965. - № 4. - С. 77-85.

8. Амбарцумян С.А. Разномодульная теория упругости. М.: Наука, 1982. - 320 с.

9. Амбарцумян С.А. Теория симметрично нагруженных слабомоментных оболочек вращения, изготовленных из разномодульных материалов // МТТ.- 1967.-№6.-С. 33-41.

10. Амбарцумян С.А. Уравнения плоской задачи разносопротивляющейся или разномодульной теории упругости // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1966.-Т. 19.-№2.-С. 3-19.

11. Амбарцумян С.А., Хачатрян А.А. Некоторые задачи безмоментной теории оболочек, изготовленных из разномодульнного материала // ДАН Арм. ССР. 1966. -Т. 43. - № 4. - С. 198-204.

12. Амбарцумян С.А., Хачатрян А.А. Основные уравнения теории упругости для материалов, разносопротивляющихся растяжению и сжатию // Инж. журн. Мех. тв. тела. 1966. - № 2. - С. 44-53.

13. Амбарцумян С.А., Хачатрян А.А. Теория слабомоментных оболочек, изготовленных из разномодульнного материала // Прикл. мех. 1969. -Т.5. - Вып 5. - С. 1-10.

14. Бабич Д.В. Влияние трещиноватости материала на устойчивость сжатых в осевом направлении цилиндрических оболочек // Прикл. мех.(Киев). 1995. - № 4. - С. 28-33.

15. Бабич Д.В. Учет поврежденности материала в задачах устойчивости оболочек // Прикл. мех.(Киев). 1995. - № 1. - С. 63-67.

16. Белякова Т.А. Асимптотическое решение для трещины в упругой среде с изменяющимися свойствами в условиях плоского напряженного состояния // Вестн. МГУ. Сер. 1. 2001. - № 1. - С. 31-36.

17. Белякова Т.А., Ломакин Е.В. Трещина нормального разрыва в упругой среде с изменяющимися свойствами в условиях плоской деформации // Изв. РАН. МТТ. 1999. - № 3. - С. 97-105.

18. Березин А.В. Влияние повреждений на деформационные и прочностные характеристики твердых тел. М.: Наука, 1990. - 135 с.

19. Бригадиров Г.В., Матченко Н.М. Вариант построения основных соотношений разномодульной теории упругости // Изв. Ан СССР. МТТ. -1971.-№5.-С. 100-109.

20. Бурштейн JI.C. Диаграммы растяжения и сжатия песчанника // ФТПРПИ. 1964. - № 1. - С. 24-29.

21. Бурштейн JI.C. Статические и динамические испытания горных пород. -М.: Недра, 1970.- 176 с.

22. Быков Д.Л. О некоторых соотношениях между инвариантами напряжений и деформаций в физически нелинейных средах. В сб.: Упругость и неупругость, вып. 2. - М.: Изд-во МГУ, 1971. - С. 114-128.

23. Быков Д.Л. Основные уравнения и теоремы для одной модели физически нелинейной среды // Инж. жур. МТТ. 1966. - № 4. - С. 58-64.

24. Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967.-310 с.

25. Ворович И.И., Красовский Ю.Я. О методе упругих решений // ДАН СССР. 1959. - Т. 126. - № 4. - С. 740-743.

26. Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек. В кн.: Тр. II Всесоюз. съезда по теор. и прикл. механике. Механика твердого тела. - М.: Наука, 1966. - С. 116-136.

27. Гаврилов Д.А. Зависимости между напряжениями и деформациями для квазилинейного разномодульного тела // Проблемы прочности. 1979. -№9.-С. 10-12.

28. Галоян А.Г. О поперечных колебаниях пластинок, изготовленных из разномодульного материала // ДАН Арм. ССР. 1978. - Т. 67. - № 1. - С. 29-33.

29. Галоян А.Г. Осесимметричный изгиб круглой кольцевой пластины, изготовленной из разномодульного материала // Ученые записки ЕГУ. Ес-теств. науки. 1976. - № 2. - С. 24-30.

30. Галоян А.Г., Хачатрян А.А. Поперечный изгиб балок, изготовленных из разномодульного материала // ДАН. Арм. ССР. 1976. - Т. 62. - № 3. -С. 151-157.

31. Галоян А.Г., Хачатрян А.А. Поперечный изгиб балок, изготовленных из разномодульиого материала // ДАН. Арм. ССР. 1976. - Т. 62. - № 3. -С. 151-157.

32. Гасилов В.А., Головин М.В., Мясников В.П., Пергамент А.Х. Анализ напряженно-деформированного состояния горных пород на основе раз-номодульной модели сплошной среды // Математическое моделирование. 1999. - Т. 11. - № 1с. 39-44.

33. Гасилов В.А., Головин М.В., Мясников В.П., Пергамент А.Х. Применение разномодульной модели сплошной среды к анализу поведения горных пород под действием больших напряжений // Изв. РАН. МТТ. -2000.-№2. -С. 86-92.

34. Гаспарян Г.О. Изгиб круглой пластины из разномодульиого материала // Вест. Моск. ун-та! Матем., Мех. 1984. - № 5. - С. 84-87.

35. Гаспарян Г.О. Некоторые осесимметричные задачи разномодульнойФтеории упругости // Машиноведение. 1982. - № 5. - С. 91-93.

36. Гаспарян Г.О. Решение плоских задач теории упругости разномодульиого тела методом малого параметра // Вест. Моск. ун-та. Матем., ме-хан.- 1982.-№2.-С. 110-114.

37. Головенко B.C., Мидуков В.З., Седоков JI.M. Прочность и деформируемость серого чугуна при всестороннем неравномерном сжатии // Проблемы прочности. 1973. - № 1. - С. 56-58.

38. Гольдман А.Я., Фрейдин А.Б. Влияние гидростатического давления на деформирование АБС пластика при сдвиге // Механика композитных материалов. - 1989. - № 1. - С. 23-28.

39. Гольдштейн М.Н. Механические свойства грунтов. М.: Стройиздат, 1979.-304 с.

40. Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Методы возмущений в пространственных задачах теории упругости. Киев: Вища школа, 1982. - 352 с.

41. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. -М.: Наука, 1978.-224 с.

42. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы / Пер. с англ. A.M. Гутерман. М.: Гос. изд. иностр. лит., 1948. - 260 с.

43. Друянов Б.А. Вдавливание шероховатого штампа в толстую пластически неоднородную полосу // Изв. АН СССР. ОТН. 1960. - № 6.

44. Дудко О.В. О движении постоянной нагрузки на границе разномодуль-ного упругого полупространства // Матер. XXXVII научно-техн. конф./Тезисы докл.— Владивосток: Из-во ДВГТУ.- 1997. — С. 23-24.

45. Жуков A.M. Модули упругости материалов при растяжении и сжатии // ЖПМТФ.- 1985.-№4.-С. 128-131.

46. Жуков A.M. Сопротивление некоторых материалов чистому растяжению и сжатию //Изв. АН СССР. МТТ. 1986. - № 4. - С. 197-202.

47. Золочевский А.А. Определяющие уравнения и некоторые задачи раз-номодульной теории упругости анизотропных материалов // Прикл. механика и тех. физика. -1984. № 4. - С. 131-138.

48. Золочевский А.А. Определяющие уравнения нелинейного деформирования с тремя инвариантами напряженного состояния // Прикл. механика и тех. физика. -1990. Т. 26. -№ 3. - С. 74-80.

49. Ивлев Д.Д., Ершов JI.B. Метод возмущений в теории упругопластического тела. М.: Наука, 1978. - 208 с.

50. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1984. - 294 с.

51. Ильичев В.Я., Владимирова В.Л., Телегон А.И. Температурная зависимость модуля Юнга и прочности некоторых углепластиков до 4,2 К. // Механика композитных материалов. 1981. - № 4. - С. 723-725.

52. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948. - 376 с.

53. Каландия А.И., Лурье А.И., Манджавидзе Г.Ф., Прокопов В.Н., Уфлянд .Я.С. Линейная теория упругости. В кн.: Механика в СССР за 50 лет. Т. 3. - М.: Наука, 1972. - С. 4-70.

54. Ионов В.Н., Огибалов П.М. Прочность пространственных элементов конструкций. М.: Высшая школа, 1972. — 752 с.

55. Каталог механических свойств горных пород при широкой вариации видов напряженного состояния и скорости деформирования. Л.: ВНИ-МИ, 1976.- 171 с.

56. Карапетян К.С., Котикян Р.А. Исследование разномодульности бетона // Изв АН Арм. ССР. Механика. 1977. - Т. 30. - № 3. - С. 68-77.

57. Каталог механических свойств горных пород при широкой вариации видов напряженного состояния и скорости деформирования. Л.: ВНИМИ, 1976.- 171 с.

58. Каудерер Г. Нелинейная механика. М.: ИЛ, 1961. - 777 с.

59. Кац A.M. Теория упругости. М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1956. - 208 с.

60. Ковальчук Б.И., Лебедев А.А. Деформационные свойства серого чугуна при плоском напряженном состоянии в условиях низких температур // Проблемы прочности. 1970. - № 7. - С. 9-13.

61. Ковальчук Б.И., Лебедев А.А., Уманский С.Э. Механика неупругого деформирования материалов и конструкций. Киев: Наукова думка, 1987.-280 с.

62. Колтунов М.А., Васильев Ю.Н., Черных В.А. Упругость и прочность цилиндрических тел. М.: Высшая школа, 1975. - 526 с.

63. Космодамианский А.С., Шалдырван В.А. Толстые миогосвязные пластины. Киев: Наукова думка, 1978. - 240 с.

64. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972.-276 с.

65. Кривопашенко С.Н. Возможности полуаналитического метода малого параметра для расчета длинного упругого торса-геликоида // Вестн. Моск. строит, ун-та (Теор. и эксперим. исслед. прочн. и жесткость элементов строит, конструкций). 1997. - С 87-92.

66. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1989.-736 с.

67. Кузнецов Г.Н. Механические свойства горных пород. М.: Углетехиз-дат, 1947.- 180 с.

68. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Бешелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976. - 663 с.

69. Кусков Н.И. Некоторые результаты исследования физико механических свойств углей // Труды ВНИМИ. - 1964. - 53. - С. 40-48.

70. Лангздыньш А.Ж., Тамуж В.П. Тензоры упругости высших порядков // Механика полимеров. 1965. - Т. 6. - № 4. - С. 40-48.

71. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости. М.: Наука, 1973.-248 с.

72. Лебедев А.А., Ковальчук Б.И., Ламашевский В.П. О коэффициенте поперечной деформации углеродистой стали и серого чугуна при нормальной и низкой температурах // Проблемы прочности. 1991. - № 3. -С. 51-56.

73. Леонов М.Я., Паняев В.А., Русинко К.Н. Зависимость между деформациями и напряжениями для полухрупких тел // Инж. ж. МТТ. 1967. -№ 6. - С. 26-32.

74. Леонов М.Я., Русинко К.Н. О механизме деформаций полухрупкого тела // В сб.: «Пластичность и хрупкость». Фрунзе: Ил им, 1967. - С. 86102.

75. Ломакин Е.В. О единственности решения задач теории упругости для изотропного разномодульиого тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. - № 2. - С. 42-45.

76. Ломакин Е.В. Определяющие соотношения механики разномодульных тел. М., 1980. - 64 с.(Препринт АН СССР, ИПМ: 159)

77. Ломакин Е.В., Работнов Ю.Н. Соотношения теории упругости для изотропного разномодульиого тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. - № 6 -С. 29-34.

78. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости М.: Гостех-издат, 1955.-491 с.

79. Ляховский В.А., Мясников В.П. О поведении упругой среды с микронарушениями // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1984. - № 10. - С. 71-75.

80. Ляховский В.А., Мясников В.П. Разномодульность, анизотропия и отражающие границы // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1986. - № 11. - С. 697-73.

81. Ляховский В.А. Применение разномодульной модели к анализу напряженно-деформированного состояния горных пород // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1990. - № 2. - С. 89-94.

82. Мальков В.М. О формах связи тензоров напряжений и деформаций в нелинейно-упругом материале // ПММ. 1998. — Т. 62. - Вып. 4. - С. 643-649.

83. Мартынова Т.Н. О зависимости между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций для некоторых метастабильных сплавов // Вестник Моск. Ун-та. 1955. - № 12. - С. 29-36.

84. Маслов В.П., Мосолов П.П. Общая теория решений уравнений движения разномодульной упругой среды // ПММ. 1985. - Т. 49. - № 3. - С. 419-437.

85. Матвеев В.В., Бовсуновский А.П. Некоторые аспекты колебаний упругого тела с «дышащей» несплошностью материала // Проблемы прочности. 2000. - № 5. - С. 44-60.

86. Матченко Н.М., Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в разномодульных изотропных средах // Инж. журн. МТТ.- 1967.-№6.-С. 108-110.

87. Матченко Н.М., Толоконников Л.А., Трещев А.А. Определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся сред. Квазилинейные соотношения // Изв. РАН. МТТ. 1995. - № 1. - С. 73-78.

88. Матченко Н.М., Толоконников Л.А., Трещев А.А. Определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся сред. Ч. 2. Нелинейные соотношения // Изв. РАН. МТТ. 1999. - № 4. - С. 87-95.

89. Мешков Е.В., Кулик В.И., Упитис З.Г., Нилов А.С. Деформирование ортогонально армированных органопластиков при одноосном растяжении и сжатии // Механика композитных материалов. 1987. - № 4. - С. 609-615.

90. Мкртчян Дж.З. Расчет вращающегося диска, изготовленного из разно-модульного материала // Изв. ВУЗов. Машиностроение. 1969. - №9. -С. 58-62.

91. Мкртчян Дж.З. Расчет полой сферы, изготовленной из разномодульно-го материала // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1973. - Т. 26. - №1. - С. 25-31.

92. Мкртчян Дж.З. Расчет полого цилиндра, изготовленного из разномодульного материала // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1969. - Т. 22. - №1. - С. 17-29.

93. Мкртчян Дж.З. Расчет составных полых цилиндров, изготовленных из разномодульных материалов // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1970. -Т. 23.-№4.-С. 12-32.

94. Мкртчян Дж.З. Решение некоторых задач разномодульной теории упругости. Автореферат диссертации. — Ереван, 1972.- 13 с.

95. Мкртчян Дж.З. Чистый изгиб кругового стержня, изготовленного из разномодульного материала // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1969. - Т. 22.-№4.-С. 17-29.

96. Мясников В.П. Геофизические модели сплошных сред // Материалы пятого Всесоюзного съезда по теор. и прикл. механ. 1981. - С. 263-264.

97. Мясников В.П., Олейников А.И. Основные общие соотношения модели изотропно-упругой разносопротивляющейся среды // Докл. АН СССР. 1992. - Т. 322. - С. 57-60.

98. Мясников В.П., Олейников А.И. Уравнения теории упругости и усоловие текучести для линейно дилатирующих сред // ФТПРПИ. -1984.-№ 6.-С 14-19.

99. Найфе А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. - 456 с.

100. Олейников А.И., Могильников Е.В. Единственность решения краевых задач и устойчивость для разномодульного нелинейного материала

101. Дальневосточный математический журнал. — 2002. — Т. 3. № 2. — С. 242-253.

102. Олейников А.И. Модели гетерогенно-сопротивляющихся изотропных сред: Диссертация д-ра физ.-мат. наук. Владивосток, 1994. - 259 с.

103. Олейников А.И. Напряженно-деформированное состояние разномо-дульной среды у сферической полости // ФТПРПИ. 1988. - №4. - С. 2428.

104. Олейников А.И. Об описании деформирования гетерогенно-сопротивляющихся материалов // Докл. РАН. 1998. - Т. 361. - № 6. - С. 773-774.

105. Олейников А.И. Определяющие соотношения для упругих изотропных сред // Пробл. мех. сплош. среды: Матер, междунар. науч.-техн. конф, Комсомольск на - Амуре, 15-19 сент. 1997. - 1998. -С. 63-67.

106. Олейников А.И. Основные общие соотношения модели изотропно-упругой разномодульной среды // ПММ. 1993. - Т. 57. - № 5. - С. 153159.

107. Олейников А.И. Уравнения теории упругости и условия разрушения для разномодульных материалов // ФТПРПИ. 1986. - № 1. - С 12-19.

108. Паняев В.А. Экспериментальное исследование деформации серого чугуна // В сб.: «Сложная деформация твердого тела». Фрунзе: Илим, 1969. С. 126-135.

109. Писаренко Г.С., Лебедев А.А., Ламашевекий Б.И. Экспериментальное исследование закономерностей деформирования углеродистой стали в условиях сложного напряженного состояния при низких температурах // Проблемы прочности. 1969. - № 5. - С. 42-47.

110. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности.- М.: Изд-во МГУ, 1981.-343 с.

111. Подболотова Н.Б., Спорыхин А.Н. К построению решения плоской задачи для сложной среды с неизвестной границей // Прикл. мех.(Киев).- 1998. № 11. - С. 66-77.

112. Подильчук Ю.Н. Трехмерные задачи теории упругости. — Киев: Наукова думка, 1979. — 240 с.

113. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970.-332 с.

114. Потемкин В.Г. Система MATLAB 5 для студентов. — М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1998.-314 с.

115. Потемкин В.Г. Система MATLAB. Справочное пособие. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1997. - 350 с.

116. Развитие механики в СССР / под ред. акад. А.Ю. Ишлинского. М.: Наука, 1967.-365 с.

117. Савин Г.Н., Немиш Ю.Н. Метод возмущений упругих свойств в механике твердых деформируемых тел // Докл. АН СССР. 1974. - Т. 216. -№ 1.-С. 53-55.

118. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968. - 888 с.

119. Саркисян B.C., Айрапетян В.Ж. О решении двух классов задач кручения анизотропных призматических стержней // Изв. Нац. АН Армении. Мех. 1998. - № 2. - С. 19-26.

120. Саркисян М.С. О соотношениях теории упругости изотропных тел, материал которых по-разному сопротивляется растяжению и сжатию // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. - № 5. - С. 87-94.

121. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. II. М.: Наука, 1970. - 568 с.

122. Смирнов Ю.И., Толоконников Л.А. Плоская деформация эксцентричной трубы из разномодульиого материала // Изв АН СССР. МТТ. -1970. -№ 1.-С. 131-135.

123. Ставрогин А.Н., Зарецкий-Феоктистов Г.Г., Танов Г.Н. О статистических и динамических упругих модулях горных пород при сложном осесимметричном напряженном состоянии // ФТПРПИ. 1984. - № 5. -С. 9-17.

124. Ставрогин А.Н., Протосеня А.Г. Механика деформирования и разрушения горных пород. М.: Недра, 1992. - 224 с.

125. Ставрогин А.Н., Протосеня А.Г. Пластичность горных пород. М.: Недра, 1979.-301 с.

126. Ставрогин А.Н., Тарасов Б.Г., Ширкес О.А., Певзнер Е.Д. Прочность и деформация горных пород в допредельной и запредельной областях // ФТПРПИ. 1981. - № 6. - С. 3-11.

127. Тарасов Б.Г. Прочностные, упругие и деформационные свойства горных пород как функция структурных особенностей материала // ФТПРПИ. 1992. - № 2. - С. 30-39.

128. Тканные конструкционные композиты. М.: Мир, 1991. - 432 с.

129. Толоконников Л.А. Вариант разномодульной теории упругости // Механика полимеров. 1969. - № 2. - С 363-365.

130. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. - 496 с.

131. Трещев А.А. Об устойчивости оболочек с учетом дилатации материала // Актуал. Пробл. Мех. Оболочек: тезисы докл. междунар. конф, Казань, 26-30 июня, 2000. Казань. 2000. - С. 233.

132. Трещев А.А. Устойчивость оболочек из дилатирующих материалов // Устойчивость и пластичность в МДТТ: Матер. 4-го Междунар. Научн. Симп., Тверь, 16-19 июня, 1998. Тверь. 1999. - С. 94-101.

133. Туровцев Г.В. О построении определяющих уравнений для изотропных упругих тел с усложненными свойствами // ДСС. СО АН СССР. -1981.-№53.-С. 132-143.

134. Устинов Ю.А., Шленев М.А. О некоторых направлениях развития асимптотического метода в теории плит и оболочек. В кн.: Расчет оболочек и пластин. - Ростов - на - Дону, 1976. - С. 3-27.

135. Хачатрян А.А. К теории осесимметрично нагруженных оболочек вращения, изготовленных из разномодульного материала // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1969. - Т. 22. - № 4. - С. 3-16.

136. Хачатрян А.А. О продольных колебаниях призматических стержней, изготовленных из разномодульного материала // МТТ. 1967. - № 5. - С. 140-145.

137. Хачатрян А.А. Чистый изгиб прямоугольной пластинки, изготовленных из разномодульного материала // Изв. АН Арм. ССР. 1972. - Т. 25. -№ 1.-С. 15-27.

138. Цвелодуб И.Ю. К разномодульной теории упругости изотропных материалов // ДСС. СО АН СССР. 1977. - № 32. - С. 123-131.

139. Цурпал И.А. Расчет элементов конструкций из нелинейно упругих материалов. — Киев: Техшка, 1976.

140. Bauschinger J. Ueber die Quercontraction und Dilatation bei der Jan-genausdehming und Zugemmenduckung prismatischer Korper // Civil-ingenieur. 1879. - T. 25. - S. 81-124.

141. Brady B.T. A Mechanical Equation of State for Brittle Rock // Intern. J. of Rock and Miming Sci. 1970. - V. 7. - № 4. - P. 385-421.

142. Eimer Cz. Bulk constitutive relations for cracked materials // Arch. Mech. 1979. - V. 31. - № 4. - P. 519-533.

143. Eimer Cz. Elasticity of cracked medium // Arch. Mech. 1978. - V. 30. -№6.-P. 827-836.

144. Farshad M. Stresses in Rotating disk of materials with different compressive and tensile moduli // Int. J. Mech. 1974. - V. 16. - № 8. - P. 559-564.4

145. Farshad M., Shahinpoor M. Beams on bilinear elastic foundation // Int. J. Mech. Sci. 1972. - V. 14. - № 7. - P. 441-445.

146. Grover S. F., Munro W., Chalmers B. The moduli of aluminum alloys in tension and compression // J. Inst. Metals. 1948. - V. 74. - P. 310-314.

147. Jones R.M. Stress-strain relations for materials with different moduli in tension and compression//AIAA J. 1977.-V. 15.-№ 1.-P. 51-53.

148. Hayashi T. On the bending strength of composite plates and beams with different propeties for tension and compression // Composite Matls. Struct. -1973.-V. 2. № l.-P. 1-3.f

149. Hodgkinson E. On the transverse strain, and strength of materials // Memoirs of the Literary and Philosophical Society of Manchester. 1824. - Second ser. 4. - P. 225-289.

150. Hodgkinson E. Theoretical and experimental researches to ascertain the strength and best forms of iron beams // Memoirs of the Literary and Philosophical Society of Manchester. -1831. Second ser. 5. - P. 407-544.

151. Kamiya N. Lardg diflietion of a different modulus circular plate I I J. of Eng/ Matls and Tech. Trans. ASME. - 1975. - Ser. H. - V. 97. - P. 52-56.

152. Karman T. Festigkeitsversuche unter allseitigem // Zeit. des Vereins deutscher Ingenieure. 1911. - T. 55. - S. 1749-1757.

153. Medry G.A. A nonlinear elastic model for isotropic material with different behavior in tension and compression // ASME J. of Eng. Mater, and Techn. -1982.-V. 104.-P. 22-27.

154. Mogi K. Fracture and Flow of Rocks under High Triaxual Compression // J. Geophys. Res. 1971. - V. 76. - № 5. - P. 1255-1269.

155. Mogi K. On the pressure dependence at strength of rocks and the Coulomb fracture criterion // Tectonophysics. 1974. - V. 21. - P. 273-285.

156. Rigbi Z. Some thoughts concerning the existence or otherwise of isotropic bimodulus material // J. of Eng. Mater. And Tech. 1980. - V. 102. - P.383-384.

157. Swanson S.R., Brown W.S. The influence of state at stress on the stress -strain behavior at rocks // J. of Basic Engineering Trans, of the ASME -1972.-March.-P. 238-242.

158. Vijayakumar K., Ashoka J. G. A bilinear constitutive model for isotropic bimodulus material // J. of Eng. Mater, and Techn. 1990. - V. 112. - P. 372379.

159. Wesolovski Z. Elastic material with different constants in two region of variability of deformation // Arch. Mech. Stosow. 1969. - V. 21. - № 4. - P. 449-468.