автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Обобщенные уравнения метода конечных разностей в задачах расчета изгибаемых пластин средней толщины на динамические нагрузки

На правах рукописи

ХОАНГ ТУ АН АНЬ

ОБОБЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ В ЗАДАЧАХ РАСЧЕТА ИЗГИБАЕМЫХ ПЛАСТИН СРЕДНЕЙ ТОЛЩИНЫ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 О НОЯ 2014

005555640

Москва-2014

005555640

Официальные оппоненты:

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный строительный университет».

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Габбасов Радек Фатыхович. Иванов Вячеслав Николаевич, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Российский университет дружбы народов (РУДН) », профессор кафедры «Прочность материалов и конструкций » Коробко Виктор Иванович, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Государственный университет - учебно-научно-производственный комплекс », профессор кафедры « Строительные конструкции и материалы »

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский автомо-билыго - дорожный государственный технический университет (МАДИ)». Защита состоится " 12 "декабря 2014г. в 12 час. на заседании диссертационного совета Д 212.138.12, созданного на базе ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет», по адресу: 129337 Москва, Ярославское шоссе, д. 26, ауд. №9 «Открытая сеть».

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» http://www.mgsu.ru . Автореферат разослан " С& " -\{ 2014 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Анохин Николай Николаевич

Ведущая организация:

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Покрытия и днища резервуаров, перекрытия некоторых промышленных зданий, фундаменты телевизионных башен, бытовых и вентиляционных труб, опоры ветряных электростанций часто представляют собой пластины средней толщины.

В процессе эксплуатации вышеупомянутые конструкции испытывают кроме статических нагрузок и динамические воздействия. Расчет таких конструкций должен обладать высокой точностью и бьггь удобным для использования современных электронных вычислительных машин (ЭВМ). Отсюда следует актуальность темы, ввиду того, что в литературе ряд вопросов практических способов расчета платин средней толщины на динамические нагрузки остается нерешенным. Аналитические методы расчета таких конструкций чрезвычайно сложны и трудоемки. Для решения динамической задачи большой интерес представляет развитие численных методов.

Целью диссертационной работы является разработка методики расчета изгибаемых плит средней толщины на произвольные статические и динамические нагрузки с применением обобщенных уравнений метода конечных разностей .

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- разработка алгоритмов и программ расчета на ЭВМ изгибаемых плит средней толщины на произвольные статические и динамические нагрузки ;

- сравнение полученных результатов с известными аналитическими и численными решениями ;

- решение новых задач расчета изгибаемых плит средней толщины на статические и динамические нагрузки.

Научную новнзну диссертации составляют следующие результаты:

- разработаны алгоритмы расчета изгибаемых плит средней толщины на статические нагрузки с использованием обобщенных уравнений метода конечных разностей (МКР);

- разработаны алгоритмы расчета изгибаемых плит средней толщины на динамические нагрузки с использованием обобщенных уравнений метода конечных разностей ;

- на базе разработанных алгоритмов составлены программы для ЭВМ ;

- решены новые задачи расчета изгибаемых плит средней толщины на статические и динамические нагрузки.

Достоверность результатов устанавливается сравнением их с известными решениями , в том числе по классической теории, выполнением интегрального условия равновесия, а для впервые решаемых задач- численным исследованием сходимости решений на ряде вложенных одна в другую сеток с последовательным уменьшением шага сетки.

Практическая ценность работы заключается в разработке алгоритмов и программ для расчета на ЭВМ изгибаемых плит средней толщины на статические и динамические нагрузки с различными условиями закрепления. Результаты доведены до возможности использования в практических расчетах на стадии инженерного проектирования конструкций.

Программы позволяют учитывать:

- различные краевые условия ;

- нагрузки с произвольными законами изменения.

Апробация работы была проведена на:

- заседании кафедры «Строительная механика» Московского государственного строительного университета (Москва, 2014 г).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 2 печатных работы в рецензируемых журналах, рекомендуемых ВАК для публикации результатов по кандидатским диссертациям.

На защиту выносятся:

- алгоритмы расчета изгибаемых плит средней толщины на различные статические и динамические нагрузки на базе обобщенных уравнений МКР.

-результаты решения новых задач по расчету изгибаемых плит средней толщины на статические и динамические нагрузки.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы из 213 наименований. Общий объём диссертации составляет 125 страниц , в текст включены 29 рисунков и 47 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, даётся её общая характеристика, формулируются основные цели и задачи исследования, обсуждается достоверность и научная новизна результатов работы, их практическая ценность.

Первая глава. Приводится обзор литературы в той или иной степени связанной с вопросами расчета пластин средней толщины.

Наибольший вклад в развитие общей теории изгиба пластин внесли известные российские и зарубежные ученые : Алексеев С.А., Блок В.И.,Бойм А.А, Вайнберг Д.В., Варвак П.М., Векуа И.Н., Власов Б.Ф., Власов В.З., Воин A.M., Ворович И.И., Галеркин Б.Г., Груздев Ю.А., Лурье А.И., Деев В.М., Рева Е.А. и ДР-

Теория и расчет пластин средней толщины представлены в работах Дарев-ского В.М., Муштари Х.М., Парфенова В.И., Мазуровой C.B., Понятовского В.В., Папуша A.B., Леонтьева H.H., Леонтьева А.Н., Вагилла Х.А., Черняева A.A., Ру-стамова Данакула, Reddy J.N. и др.

В первой главе описываются также современные численные методы: метод конечных элементов (МКЭ), метод последовательных аппроксимаций (МПА), обобщенные уравнения метода конечных разностей (МКР). Два последние метода были разработаны Р.Ф. Габбасовым на кафедре строительной механики МГСУ. Эти методы позволяют достаточно просто строить разрывные решения, обладают высокой точностью, применяются к широкому кругу задач. В диссертации мы использовали обобщенные уравнения МКР для расчета пластин средней толщины по теории Э.Рейсснера.

Во второй главе разрабатывается алгоритм расчета изгибаемых пластин средней толщины на статические воздействия произвольного характера с использованием обобщенных уравнений МКР.

Разрешающие уравнения по Рейсснеру приведены к системе трех дифференциальных уравнений второго порядка относительно безразмерных неизвестных:

V м/ = -т ; (а)

¿2 1 5-а2 1-у

+ (б)

(1)

V Ф = —2—ф, (в) а

где — ; р=^ ;т =-г;

Чо'а Яо Яоа

д0-а2 д? дг,2

■ г,-У ■ ~п -2_у •

а а 2

^-прогиб ; ^-функция напряжений ; <7 -интенсивность нагрузки ; д0-интенсивность распределенной нагрузки в фиксированной точке пластины ; а- характерный размер пластины ; ^-толщина ; 0 = £У3 /12(1 - у2)- цилиндрическая жесткость ; Е - модуль упругости ; V- коэффициент Пуассона.

Обобщенное уравнение МКР, аппроксимирующее (1.6) при V2/? = 0 в регулярной точке //' квадратной сетки с шагом к (рис.1), записывается в виде:

,7 + "V. ~ 4' ти + тм,] + +

+—('-" + "'-,УАт1 + '-'"Ат* + ""'"Д/ир = (2)

И2

1 /-// л <« / ' П * £ ЗТП I £ ]

где 41 шаг сетки ; Д/ж = пги— гггл т- —-*

принадлежат точке у

элемента I (рис.1). Остальные члены уравнения такого типа имеют аналогичный смысл. Верхние левые индексы в виде римских цифр в (2) означают номера элементов, которые образует сетка в окрестностях точки у (рис. 1).

1-10-1

¡-и

¡+д+1

п

I III 1>

4-1 и и+1

II IV №

¡+1,1-1 1+и+1

Ь ь

Рис.1.

Для аппроксимации (1.а) достаточно в (2) тир заменить соответственно

на "а' и т. С заменой тир соответственно на ф и (—

10-д2

■ ^записывается раз-

ностный аналог уравнения (1.в). При этом учитывается, что у> н т непрерывны:

-й2-т„, (3)

+ - 4 • + + ■■

- 4-4-у =1{~ ■

(Р

ф. ..

(4)

Наличие в (2) скачков т^ дает возможность рассчитывать изгибаемые плиты на разрывные нагрузки ( например, распределенную вдоль линии или сосредоточенную ) без сгущения расчетной сетки вблизи разрывов.

Система уравнений (2) ,(3),(4) решается с учетом условий опирания краев плиты: шарнирное закрепление, жесткое защемление, свободное опирание и свободный край.

Однородные краевые условия , заданные на стороне плиты ,параллельной оси

представим в виде:

- шарнирное закрепление

и» = 0; — 0 ;/п'" = 0 ; (5)

- жесткое защемление

= (6)

- свободное опирание

= 0 ; тУп> — 0 = 0 ; (7)

- свободный край

= 0 ; т0'1 = 0 ; т'Л) = 0 ; (8)

где ^"'-безразмерная поперечная сила ; от(<,)- безразмерный крутящий момент.

Численное решение задачи учитывает все возможные комбинации заданных условий на краях и угловых точках пластин. Для выражения этих условий через искомые т, н- и ф привлекаются известные обобщенные уравнения МКР для краевых точек.

Совместное решение алгебраических уравнений производилось итерационным методом Гаусса- Зейделя. При этом отпадает необходимость формирования матрицы коэффициентов при неизвестных.

В третьей главе разрабатывается алгоритм расчета изгибаемых пластин средней толщины на динамические нагрузки с использованием обобщенных уравнений МКР.

Рассматривались колебания упругой прямоугольной плиты с размерами а,Ъ и массой единицы площади ¡л = const. Дифференциальное уравнение изгиба плиты относительно IV в рамках известных допущений запишется так:

ах дхду ду

д2Ж дЖ с?2 2-у дЧУ дЖ, где^ =д-Ц-——-С----------—с--).

812 д1 ю 1-у &12 а

Функция напряжений х определяется по уравнению:

х у

Вводя безразмерные параметры: £ = —, 77 = из (9) и (11) получим :

а а

(9)

(10)

(П)

d2w d2w 32m 82m

+ -

дгф дгф д? + дп2

10 а2 1-v 10-а2

d2w - 8w.

—=-) +

ct dt

2-v , d2w - 8w •V (p--__C. );

dt

dt'

(я)

(6) («)

(12)

W -D

где w = . ; p -■

4o'a

q{x,y) м ' - 2

<7„ %

9 q0 -a2 8? drj2

t = -

— c-a c = -

M

¿-время ; с-параметр затухания; пояснения остальных величин даны во второй главе.

Уравнение (12.6) можно записать в виде:

V2/7г = -(^7-^-c•^) + 5•(V2^7-V2;'w-c•V2¡w), (13)

<3/ д1

с1~ 2-У ;; д2Ы ; (?И>

где В =----; и> = —г,- ; = ^ .

10-а 1-у д1 . 81

Отметим, что:

_2а д2"м/ д2'"ч> д2 ,д2м> д2п\ д2т

V = —— +-— = —7 + —-) =--гг; (14)

д? дп2 дГд? дг) дг = ^ + ^ = + = (15)

д.? дг)2 д( д? дт]2 8(

С учетом (14) и (15) из (13) получаем:

, д2ч• - дю. _ ,_2 д2т - дт

Ч2т = -(р--=г-с~г) + В-(Уар + — + с--=-). (16)

5/ 3/ 5/

Углы поворота и усилия приведем к безразмерному виду:

; (17)

а од

; о»)

а от]

,дгу> д2 дОи)

д£2 дт}2 5 -а2

, д2ч/ - ды.

<р——с--—); дг 81

... ,дгм> зх й2

/и1" =-(——+ у--г) +-5——--

дп2 д? 5-а дп

, д2м> - сЫ*.

, . -(р—);

дфп 10-а2 дг] + 54

т«> - дт ^ д Ф

(19)

(20)

10-а 1-у ду дг'

+ ; (21)

+—; (22) д^ дг.

0М = дт_дф

дп '

где ф

,Ч) -

Е<1

й

от«' =

<7о'° М

[12 +

Чо-а

М..

<р{"> =

ы

[12 (1 + г)-9о.я

■<Ру

Н

д0-а

Формулы для изгибающих моментов т,''\т,"'[ полученные нами в диссертации , справедливы при действии динамических нагрузок.

Для прямого интегрирования дифференциального уравнения (16) по 1 используем параболический сплайн, аппроксимирующий изменения прогибов в зависимости от /. Из уравнения квадратной параболы на отрезке времени длиной т получим:

Г Т

г'

(24)

где к — 2,3,4...., если за начало отсчета принять точку 1. >"'/Зг,

'V" /5/ . Предполагается, что (£-1)-ый слой времени скорость 'н> и пе-

ремещения и» известны или вычислены. Аналогично (24) записываются выражения для 8гтт /5? и с/и"' /с/.

Обобщенное уравнение МКР, аппроксимирующее (16) в регулярной точке У пластины в к-ом временном слое получим из (2) с учетом правой части (16):

Л

+—

2

А2

' -I- " п'" X п<»> л- ""

53Л

г/'

-4 с

ди'"1 5/ „

(25)

где

дГ ,1 5/

к = 2,3,4.........-отсчитываются вдоль оси I;

' =2,3,4........(т-1)- отсчитываются вдоль оси

7 = 2,3,4........(я —1)-отсчитываются вдоль оси ?/.

Аппроксимация (12 а) и (12 в) обобщенными уравнениями МКР дает формулы для определения в регулярной точке для каждого временного слоя к :

+ <> + + + ь2 - <>);

(26)

(27)

В этой главе приведены также разностные уравнения, определяющие безразмерные контурные поперечные силы и поперечные силы в регулярных точках сетки. Получены также разностные уравнения , определяющие безразмерные крутящие моменты и изгибающие моменты.

Алгоритм расчета строим с использованием итерационного метода типа Зейделя.

Для каждой расчетной точки у записываем рекуррентные уравнения (25), (26), (27) и уравнения для краевых точек. Полученные значения , , фц во всех точках используем при следующей итерации. Процесс вычислений повторяется до достижения заданной точности. После этого из (24) находим значения

в расчетных точках пластины. Найденные величины используются

при вычислении изгибающих моментов и прогибов на следующем временном слое. На начальном слое (/ = 0) и,ф ,'■»> ,'т определяются по начальным условиям.

Таким образом, уравнения (25), (26), (27) решаются совместно с учетом (24), граничных и начальных условий.

В четвертой главе приводятся результаты решения тестовых и новых задач по расчету плит средней толщины на статические нагрузки , а так же результаты решения новых задач по расчету плит на динамические нагрузки.

При расчете плит средней толщины на статические нагрузки рассматривались воздействия : равномерно распределенные, локальные и полосовые с различным сочетанием краевых условий ( шарнирное опирание, заделка, смешанные и свободные от закреплений).

Для иллюстрации алгоритма рассчитаем квадратную плиту шарнирно опертую по всему контуру, при ¿1а = 0.1,у = 0.3,/; = 1/2, загруженную по всей поверхности равно распределенной поперечной нагрузкой, (рис.2).

По условию задачи: Аш4' = Дт' = 0,' р = "р = "'р = "р = р = 1.

С учетом симметрии по (2),(3),(4) получим уравнения для т,мг,ф в регулярной точке 11 (рис.2):

4-тю-4-ти = -1/4 ; 4-м>,0-4-= -1/4-ти ; 4-фю-4-ф, =250-ф„ .

'10

'II

1-1 р

Рис. 2.

По краевым условиям (5) и условию

симметрии имеем:

2-0.3

= 0.002429; фт =АП-фм + \П-{Л-фи-фю\

10 1-0.3

Из решения системы этих уравнений получим: тп =0.064929 = 0.004058 , =0.

По составленной нами программе с помощью ЭВМ были получены результаты, приведенные в таблице 1 при отношении с1 / а = 0.1 на различных сетках с И<1/2. Результаты свидетельствуют о сходимости решения по перемещениям и усилиям при уменьшении шага сетки .

Таблица 1.

d/a Шаг сетки h МКР Аналитическое решение [ Salerno V.L, Goldberg M.Al

IV # = 0.5 /7 = 0.5 m(í> # = 0.5 >7 = 0.5 # = 0.5 >7 = 0 w # = 0.5 >7 = 0.5 # = 0.5 >7 = 0.5 QC) # = 0.5 >7=0

0,1 1/4 0,004199 0,04585 0,2969 0.004242 0.04810 0.3380

1/8 0,004232 0,04746 0,3258

1/12 0,004237 0,04778 0,3323

1/16 0,004239 0,04789 0,3346

1/20 0.004240 0.04794 0.3357

В таблице 2 даны результаты, полученные для различных отношений d / а при п=24; они сравниваются с соответствующими значениями , подсчитанными по МПА Мазуровой С.В; п -число разбиений стороны плиты.

а/а МКР МПА (Мазурова)

И> £ = 0.5 7 = 0.5 { = 0.5 7 = 0.5 # = 0.5 7 = 0 № # = 0.5 7 = 0.5 # = 0.5 7 = 0.5 # = 0.5 7 = 0

0.01 0,004063 0,04782 0,3363 0.00406 0.0479 0.337

0.05 0,004106 0,04786 0,3363 0.00410 0.0479 0.337

0.1 0,004240 0,04797 0,3363 0.00424 0.0480 0.337

0.2 0,004776 0,04842 0,3363 0.00477 0.0484 0.337

Классическая теория Тимошенко 0.004063 0.0479 0.338

¡И

Рис.3

В таблице 3 приведены результаты расчета шарнирно опертой по контуру прямоугольной (Ыа = 2, где а,Ь- размеры стороны рис.3) пластины, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузкой. В этой таблице дается сравнение результатов по обобщенным уравнениям МКР с результатами по МПА.

Таблица 3.

МКР (п=20) МПА [Мазурова] (п=8)

а/а И' дЧ> И' 0«)

£ = 0.5 # = 0.5 4=о # = 0.5 4 = 0.5 4 = 0

7 = 0.5 7 = 0.5 7 = 0.5 7 = 0.5 7 = 0.5 7 = 0.5

0.01 0.01014 0.1016 0.4645 0.01012 0.1017 0.4651

0.05 0.01021 0.1016 0.4645 0.01020 0.1017 0.4651

0.1 0.01041 0.1016 0.4645 0.01040 0.1017 0.4651

0.2 0.01124 0.1017 0.4645 0.01142 0.1033 0.4651

0,25 0.01186 0.1018 0.4645 0.01214 0.1043 0.4651

В таблице 4 даны результаты расчета квадратной пластины средней толщины ( три стороны шарнирно (заделаны) закреплены (рис.4 и рис.5), одна свободна от закреплений ) , загруженной поперечной равномерно распределенной нагрузкой по всей поверхности при V = 0.3 для различных отношений (На.

<1/а 3 стороны шарнирно оперты +1 сторона свободна от закреплений 3 стороны заделаны +1 сторона свободна от закреплений

и> # = 0.5 ;? = 0 # = 0.5 7 = 0 # = 0.5 7 = 0.5 IV # = 0.5 7 = 0 /и«> # = 0.5 7 = 0 # = 0.5 7 = 0.5

0.05 0,01303 0,1109 0,07988 0,002901 0,041968 0,030194

0.1 0,01344 0,1090 0,07999 0,003221 0,041724 0,030618

0.2 0,01464 0,1048 0,08055 0,004536 0,041082 0,032431

В таблице 5 даны результаты расчета квадратной плиты на статическое действие локальной нагрузки типа "крест" при V = 0.3 (рис.6 и рис.7).

шы

I

:

+ Т7777Т777777777777777

А\

ыы 1

Рис.6 Таблица 5.

Рис.7

а/а 4 стороны шарнирно оперты (рис.6) 4 стороны заделаны (рис.7)

IV # = 0.5 7 = 0.5 т({) # = 0.5 7 = 0.5 #л('> # = 0.5 7 = 0.5 у> # = 0.5 7 = 0.5 /п1{> # = 0.5 7 = 0.5 т"> # = 0.5 7 = 0.5

0.01 0,011723 0,432101 0,432101 0,005655 0,377514 0,441

0.1 0011723 0,432101 0,432101 0,005962 0,380406 0,441

0.2 0,011723 0,432101 0,432101 0,006744 0,387582 0,440

] \л> т'

Рис.8 Рис.9

На рисунке 8 показана сходимость численного решения по эпюре \\> вдоль оси симметрии г/ при £ = 0.5 ( с1/а=0.1), а на рисунке 9 показано изменение изгибающего момента т0:> тоже на этой оси (для задачи на рисунке 6).

^нпн гТТТТТТ^

ЦЛ

Рис.10

Рис.11

В таблице 6 даны результаты расчета квадратной плиты на действие полосовой нагрузки при у = 0.3 (рис.10 и рис.11). Таблица 6.

(1/а 4 стороны шарнирно оперты (рис.10) 2 шарнирно оперты+2 заделаны (рис. И)

У) # = 0.5 г? = 0.5 # = 0.5 7 = 0.5 т<'> # = 0.5 7 = 0.5 № # = 0.5 >7 = 0.5 /п«> # = 0.5 7 = 0.5 1Я<'> # = 0.5 7 = 0.5

0.01 0,006761 0,127080 0,091991 0,003219 0,088029 0,068720

0.1 0,006762 0,128738 0,090330 0,003679 0,095309 0,068569

0.2 0,006762 0,133772 0,085296 0,004629 0,112900 0,68395

При расчете плит средней толщины на динамические нагрузки рассматривались воздействия : импульсивной и гармонической нагрузки с различным сочетанием краевых условий ( шарнирное опирание, заделаны, смешанные и свободные от закреплений).

Для иллюстрации алгоритма рассчитаем квадратную плиту шарнирно опертую по всему контуру при с!/а-0Л,у = 0Л1, /? = 1/2,г = 1/(4-я-), загруженную по всей поверхности равно распределенным мгновенным импульсом 8(без учета затухания, с = 0 ) .

Начальные условия в безразмерных величинах: Из IV = 0 следует 1У = 0;

/¡- масса единицы площади.

При к = 1 начальные условия (к.отсчитывается вдоль оси времени ) :

Ц" =0,»^" =0,'щ> =0и задаем Ц" =1.

При к = 2 по формулам (25), (26), (27) с учетом (24) и симметричных условий получим выражения для точки 11 в 2-ом временном слое при Ди/(-' = Агп"т = 0, р = 0, В = 0.002205:

отсюда получим:

0.949743 +

+ 0.01204 • (4 • <> + 0.52 -(-?- • Ч|' + -2— • «> - <)) + 4-к (4 - я у

+ 0.52 • 0.002205 • (— •;т\[¡> + —• ));

"п

'11

(4-х)

' 4 10 ' " " (4 + 0.52-Ю-Ю3)

Имеем краевые условия: и^;1 = п-^' = = 0; т020' = ггц= т^' = 0;

^•(4-<,+0.52-<'); ф\ 4

'и

•(4-Г).

Из решения системы приведенных выше уравнений получим:

ш,',2' = 0.689786;= 0.043112 ;ф£> = 0;'<г) = 0.083514; 'т™ = 17.33622.

Найденные значения позволяют перейти к следующему временному слою

к = 3.

По составленной нами программе с помощью ЭВМ были получены результаты на различных сетках и в любом временном слое. На рис.12 даны результаты для центра плиты при различных сетках (с!/а = 0.1). Кривые 1, 2, 3, 4 для изгибающего момента по направлению £ соответственно при :/г = 1/12,г = 1/(100-я-) ;

й = 1/14,г = 1/(100-;г);А = 1/16,г = 1/(150-*) ; Л = 1/18,г = 1/(150-*). Кривая (5) прогиба получена при Л = 1 /18, г = 1 / (150 • л").

т/10уу

1.2 1.0 08 0.8 0.4 0.2

0 -0.2

-

ч\

0. >5 0. 0. 5\ч 0 2 (

225 |

Рис.12

Максимальный изгибающий момент Мж =Му =1,1062-5-^0/^ в центре плиты возникает примерно в момент времени / = 0.053 .

Максимальный прогиб IV возникает при / = 0.066 и равняется 0.07939 • 5 ■ а2 /(7/Го).

В таблице 7 приведены полученные результаты при с1 /а = 0.01 и результаты расчета тонкой плиты по МПА Мусса Сали . Из таблицы можно заметить, что наши результаты имеют хорошее совпадение с результатами Мусса Сали при малых (На.

В таблице 8 приведены максимальные результаты при различных отношениях с11а.

Таблица 7.

<1/а 0.01 Решение тонкой плиты по МПА Мусса Сали

г 1/100-я 1/150-я- 1/150-я-

А 1/12 1/14 1/16 1/18 1/12

1Я(Я 1.1689 1.1746 1.2371 1.2512 1,244

10"№ 0.7858 0.7839 0.7927 0.7916 0,775

d/a 0.1 0.2

г 1/100-я- 1/150-я 1/100-я 1/150-я-

h 1/12 1/14 1/16 1/18 1/12 1/14 1/16 1/18

/и('> 1,0873 1,0838 1,1078 1,1062 0,8286 0,8345 0,8897 0,8945

lO-tv 0,7873 0,7862 0,7942 0,7939 0,7793 0,7776 0,7852 0,7843

Рассчитывалась также квадратная шарнирно опертая пластина, находящаяся под действием равномерно распределенной гармонической нагрузки без учета затухания (с=0).Запишем эту нагрузку для точки ij в кот временном слое относительно безразмерных величин р^ =sin(2-0,8-^-/t), где tt= — (comm-

наименьшая частота собственных колебаний шарнирно опертой тонкой плиты).

В таблице 9 даны максимальные значения изгибающего момента и прогиба в центре плиты при v = 0.3, /г = 1/12, г = 1 /100-я-,

h = 1/14,т = 1/100-л-,й = 1/16,г = 1/150-л-,й = 1/18,г = 1/150-я для различных отношений d /а.

Таблица 9.

МКР

d/a 0.1 0.2

г 1/100-я- 1/150-я 1/100-я 1/150-я

h 1/12 1/14 1/16 1/18 1/12 1/14 1/16 1/18

rri;í) 0,63502 0,063533 0,06387 0,06357 0,06625 0,0663 0,06667 0,06669

10-и- 0,0549 0,05491 0,05516 0,05514 0,06458 0,06456 0,06487 0,06486

Следующий пример -расчет квадратной плиты средней толщины: 4 стороны шарнирно оперты (рис.13), на части плиты действует гармоническая нагрузка. В таблице 10 приведены результаты максимальных значений прогиба и изгибающего момента для точки в центре плиты при V = 0.3, Ы а — 0.5

а/а 0.1 0.2

т 1/100-я 1/100-я

И 1/12 1/14 1/16 1/18 1/12 1/14 1/16 1/18

Ы 0.03457 0.03466 0.03432 0.034501 0.03065 0.03075 0.03052 0.0306

10-№ 0.02698 0.02688 0.02675 0.02671 0.02805 0.02796 0.02782 0.02779

В таблице 11 приведены максимальные значения прогиба и изгибающего момента в центре предыдущего примера, но 4 стороны заделаны.

Таблица 11.

(1/а 0.1 0.2

г 1/100-я 1/100-я

И 1/12 1/14 1/16 1/18 1/12 1/14 1/16 1/18

0,01771 0,01817 0,01807 0,0183 0.014603 0.01493 0.01484 0.01502

10- и> 0,00938 0,00964 0,00963 0,00976 0.01118 0.01133 0.01134 0.01142

Выполнен расчет квадратной плиты средней толщины , 4 стороны шарнир-но оперты, на поверхности плиты действует полосовая гармоническая нагрузка (рис.14). В таблицах 12 даны максимальные значения прогиба и изгибающего момента в центре плиты при у = 0.3, =зш(2-0,8-я--/*).

Рис.14

Таблица 12.

а/а 0.1 0.2

т 1/100-я 1/100-я

Ь 1/12 1/14 1/16 1/18 1/12 1/14 1/16 1/18

1ЯМ> 0.14659 0.14685 0.14702 0.14714 0.15306 0.15331 0.15347 0.15358

10-№ 0.08453 0.08420 0.08419 0.08383 0.08804 0.08771 0.08750 0.08735

В таблице 13 приведены результаты расчета той же плиты но два противоположных края которой шарнирно закреплены , остальные заделаны.

d/a 0.1 0.2

г 1/100-я 1/100-ж

h 1/12 1/14 1/16 1/18 1/12 1/14 1/16 1/18

m(i> 0,09217 0,09360 0,09431 0,09479 0,11061 0,11193 0,11279 0,11336

mw 0,06930 0,06952 0,06979 0,07039 0,06979 0,07086 0,07216 0,07201

10 ■ № 0,03686 0,03710 0,03738 0,03788 0,04820 0,04899 0,05033 0,04982

Решения других задач даны в диссертации.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

Обобщая результаты проведённых исследований, можно сделать следующие выводы. Обобщенные уравнения метода конечных разностей получили существенное развитие в решении задач расчёта пластин средней толщины на различные нагрузки.

1)Разработан алгоритм расчета пластин средней толщины на статические нагрузки по теории Э.Рейсснера. Алгоритм основывается на обобщенных уравнениях метода конечных разностей.

2)Впервые разработан алгоритм расчета пластин средней толщины на динамические нагрузки по теории Э.Рейсснера. Алгоритм основывается на обобщенных уравнениях метода конечных разностей.

3)Составлена программа на языке программирования Visual Basic 6.0 для решения задач.

4)Решены задачи на различные статические воздействии: равномерно распределенные, локальные и полосовые нагрузки(с различным сочетанием краевых условий).Выполнено сравнение полученных результатов с известными решениями.

5)Впервые выполнено решение задач на динамические нагрузки: равномерно распределенный мгновенный импульс, гармонические нагрузки по всей площади , локальной и полосовые нагрузки.

6)Разработанные методики расчета позволяют вычислять усилия и перемещения во всех расчетных точках.

7)Материалы диссертации в виде графиков, алгоритмов и программ для ЭВМ могут быть использованы в научно-исследовательских разработках и инженерных расчётах.

Основные положения диссертации и результаты исследований опубликованы в следующих работах :

1) Габбасов Р.Ф., Хоанг Т.А., Нгуен Х.А. Сравнение результатов расчета

тонких изгибаемых плит с использованием обобщенных уравнений методов конечных разностей и последовательных аппроксимаций. М., журнал "Промышленное и гражданское строительство", 2014, №1, с.61-64.

2) Габбасов Р.Ф., Филатов В.В., Хоанг Т.А. Приближенный способ расчета изгибаемых пластин средней толщины со свободным от закреплений краем. Л., Вестник гражданских инженеров, 3(44)-июнь 2014, с.96-99.

3) Габбасов Р.Ф., Хоанг Т.А., Шикунов М.А. Обобщенные уравнения метода конечных разностей в задачах расчета тонких изгибаемых плит на динамические нагрузки // Вестник МГСУ. 2014. № 9. с. 32-38.