автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Конечные элементы для решения задач о концентрации напряжений в статической и динамической постановке

МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ РОССИИ ЮСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

(МИИТ)

На правах рукописи

?Г5 ОД

МАЗУР Геннадий Эдуардович ^ ^ ^ЮН ^303

УДК 539.3:534.1:624.04

КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В СТАТИЧЕСКОЙ И ДИНАМИЧЕСКОЙ ПОСТАНОВКЕ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва 2000

Работа выполнена в Московском государственном университете пугей сообщения.

Научный консультант -

доктор технических наук, профессор Шапошников H.H. Официальные оппоненты -

доктор технических наук, профессор Андреев В.И. доктор технических наук, профессор Мяченков В.И. доктор технических наук, профессор Потапкин A.A.

Ведуи\ая организация -

Всероссийский научно-исследовательский институт бетона и железобетона (НИИЖБ)

Защита состоится "ЗО" МАЯ 2000 г. в 16° часов на

заседании специализированного совета Д. 114.05.02 при Московском государственном университете путей сообщения по адресу: 101475, ГСП, Москва, А-55, ул. Образцова, д. 15, ауд. •

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан А Прела_2000 г.

Отзыв на автореферат, заверенный печатью, просим направлять по адресу университета.

Ученый секретарь

специализированного совета / Мальцев В.П.

ß> ль f. iiQbäijOZ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность проблемы. При исследовании напряженно-деформированного состояния упругих тел с концентраторам! напряжений по методу конечных элементов обычно"фоводят сгущение конечно-элементной сетки вблизи границ концентраторов. При этом увеличивается размерность системы уравнений и, как следствие, время решения задачи.

Применение специально разработанных конечных элементов с концентраторами напряжений позволяет избежать увеличения размерности задачи и резко сократить требования к ресурсам ЭВМ, особенно при расчете трехмерных тел с большим количеством полостей. Из работ, посвященным конечным элементам с концентраторами, можно заключить, что основной областью применения таких элементов являются задачи о плоской деформации и изгибе тонких пластан, а общей теории конечных элементов с концентраторами до сих пор не существует. Следовательно, актуальной задачей является разработка единого подхода к формированию матриц жесткости для всех типов элементов с концентраторами (в том числе и для трехмерных элементов) и распространение этого подхода на динамические задачи.

Цель диссертационной работы заключается в разработке универсальных методов и алгоритмов формирования матриц жесткости конечных элементов различных типов с одиночными отверстиями и полостями и восстановления напряженно-деформированного состояния в зоне концентрации напряжишй (вблизи границы отверстия или полости) по заданным перемещениям углов конечного элемента ггри статическом и динамическом воздействии.

Научная новизна работы состоит в следующем:

•разработана универсальная методика формирования матриц жесткости конечных элементов, основанная на представлении функций формы в виде линейной комбинации равновесных полей перемещений, соответствующих частным решениям уравнений равновесия в потенциалах;

•на основе данной методики создана библиотека конечных элементов следующих типов: элемент плоско-напряженной пластины, элемент тонкой изгибаемой пластины с учетом сдвига, элемент изгибаемой пластины произвольной толщины и трехмерный элемент в форме четырехугольной призмы;

•получены модификации двумерных мембранных и пластинчатых элементов с одиночными круглыми отверстиями для решения задач о концентрации напряжений при гармоническом воздействии;

•впервые получена модификация трехмерного конечного элемента с одиночной сферической полостью доя определения концещрации напряжений в упругих телах с порами и полостями при статическом и гармоническом воздействии;

•разработаны алгоритмы формирования матриц реакций конечных элементов и исследована сходимость соответствующих конечно-элементных аппроксимаций на равномерной сетке.

Достоверность результатов проверялась путем применения предлагаемых в диссертации методов к тестовым задачам, для которых известны аналитические или

экспериментальные решения, и подтверждена приводимыми в работе доказательствами основных выводов.

Практическая ценность работы заключается в создании пакета программ доя определения напряженно-деформировашюго состояния упругих тел с круглыми отверстиями и сферическими полостями при статическом или гармоническом воздействии на основе многоуровневого метода суперэлементов с автоматическим выбором суперузлов, а также в применении разработанной методики и программы расчета для исследования работы узлов арочного пролетного строения Андреевского моста в г. Москве при его перевозке на плавучих опорах.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на кафедрах «САПР транспортных конструкций и сооружений» и «Строительная механика» Московского государственного университета путей сообщения (1991, 1992, 1993, 1997, 1998, 1999 гг.), на научно-технической конференции молодых ученых и асгафантов МИИТа (1993 г.), на заседании секции «Механика железобетона» НИИЖБ (1998 г.), на отраслевом научно-практическом симпозиуме «Опыт применения информационных технологий в мостостроении» (2000 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 статей (в том числе 2 - в соавторстве) и 2 монографии.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 8 глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем работы составляет 227 страниц. Работа включает 42 таблицы и 61 иллюстрацию. Список литературы содержит 89 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе рассматриваются основные положения метода конечных элементов и его суперэлементного варианта применительно к задачам динамики упругих тел. В матричной форме излагается процесс многоуровневой статической конденсации подконструкций с позиции метода сечений.

Дается обзор различных типов конечных элементов с неполиномиальными функциями формы, позволяющих получать 1и крупкой сетке достаточно точную картину распределения напряжений вблизи концентраторов.

Отмечено, что задачи о концентрации напряжений вблизи круговых и эллиптических отверстий или сферических и эллипсоидальных полостей достаточно малых размеров могут быть решены с помощью специализированных конечных элементов с одиночными отверстиями или полостями. Наибольшее количество работ по данной тематике посвящено простейшей задаче этого класса - задаче о построении матрицы жесткости элемента плоско-напряженной пластины с круглым отверстием.

Основным вопросом при решении этой задачи является наилучший выбор функций формы, изменяющихся по заданному (как правило, линейному) закону на каждой из сторон внешнего кмггура элемента и удовлетворяющих заданным условиям на границе отверстия. Принимается, что перечисленные требования к функциям формы могут выполняться приближенно; при этом возможны три основных подхода:

•используются функции формы стандартного конечного элемента, а наличие отверстия учитывается введением некоторых поправок к коэффициентам матрицы жесткости;

•граничные условия на внешней границе элемента выполняются точно, а на границе отверстия - только в дискретных точках, что равносильно введению дополнительных внутренних узлов;

•граничные условия точно выполняются на границе отверстия, а на внешней границе элеме]гга условия межэлементной согласованности соблюдаются точно в утих элемента (вариант метода коллокаций) или «в среднем» на всей границе.

Для решения подобных задач могут быть успешно применены различные гибридные методы, так как поля напряжений можно задавать в криволинейных (полярных, цилиндрических, сферических) координатах так, чтобы удовлетворялись условия на границе отверстия, а поля напряжений задавать в декартовых координатах, добиваясь выполнения условий межэлементной согласованности по перемещениям. Вместо гибридных методов иногда используют классический метод перемещений, дополненный условием минимизации нормы вектор-функции, выражающей несогласованность полей перемещений смежных элементов.

Предлагаемые в диссертации алгоритмы формирования матрицы реакций основаны на двух вариантах последнего го грех перечисленных выше подходов.

Анализ пу бликащш по конечным элемеотам с внутренними концентраторами позволяет сделать вывод, что такие элементы чаще всего применялись для расчета плоско-напряженных пластин, реже - для расчета изгибаемых пластан и пологих оболочек, а дая решения трехмерных задач не применялись вообще (работы по трехмерным элементам с концентраторами автору неизвестны).

При решении задач теории упругости векторное поле перемещений часто записывают в виде и = grad Ф + rot Ч*. Функция Ф (скалярный потенциал) и декартовы компоненты функции У (векторного потенциала) удовлетворяют бигар-моническому уравнению и являются простейшими вспомогательными функциями, используемыми в аналитических методах решения задач теории упругости.

Методы, основаншяе на использовании функций перемещений, основаны на преобразовании полей потенциалов таким образом, чтобы уравнения равновесия удовлетворялись тождественно. При этом количество неизвестных функций уменьшается на единицу - с 4 до 3 для трехмерных задач и с 2 до 1 для двумерных. Перемещения и напряжения, входящие в граничные условия, должны быть выражены через введенные вспомогательные функции и их производные.

Аналогичные, но более сложные преобразования тензорного поля напряжений лежат в основе методов, использующих функции напряжений; одной из простейших функций напряжений является функция Эйри. Функции напряжений для решения трехмерных задач известны с 30-х годов XX века, но из-за своей сложности используются редко. С начала XX века для решения плоской задачи теории упругости успешно используется метод комплексных функций напряжений, который может быть распространен т любые задачи, сводящиеся к двумерному бигармоническому уравнению.

В диссертации показано, что формулы, связывающие напряжения и функцию напряжений Эйри, могут быть получены путем исключения потенциала ю выражений, связывающих напряжения и потенциалы Ф и ^ таким образом, функция Эйри в сущности идентична скалярному потенциалу Ф.

Рассматривая задачи о влиянии отверстий и полостей ira распределение напряжений в упругой конструкции при динамическом воздействии, можно выделить из них несколько наиболее важных групп:

•исследование концентрации напряжений в упругих телах конечных размеров при гармоническом внешнем воздействии;

•оценка влияния концентраторов напряжений на собственные частоты конструкции;

•задачи о распространении волн в упругих телах с концентраторами напряжений.

Наиболее сложными задачами являются задачи третьей группы; к этой группе относятся задачи о влиянии распространяющихся волн на напряженно-деформированное состояние вблизи концентраторов, о дифракции волн на системе концентраторов и т.п. При расчетах по МКЭ условие излучения на границе области моделируется с помощью системы демпфирующих связей, наложенных на узлы границы; такие задачи решаются в комплексной арифметике.

Как и в статических задачах, в задачах распространения волн повышение точности решения может быть достигнуто одним из двух альтернативных способов -уменьшением шага конечно-элементной сетки или применением конечных элементов m равновесных полях перемещений, точно удовлетворяющих условиям на границе концентратора при заданной частоте гармонического воздействия. До настоящего момента для решения задач динамики упругих тел такие элементы не использовались. Вероятно, одной из причин является невозможность дополнить произвольное ненулевое частное решение уравнений динамического равновесия конечным числом других частных решений так, чтобы напряжения на границе эллиптического (эллипсоидального) концентратора равнялись нулю. Эта задача может быть решена только при единичном эксцентриситете, т.е. для круглого отверстия или сферической полости.

Во второй главе сформулированы основные положения универсальной методики формирования матриц реакций конечных элементов ira основе представления поля перемещений в виде суммы градиента скалярного потенциала и ротора векторного потенциала и построены конечные элементы плоско-напряжешгых и изгибаемых пластин с отверстиями.

Рассмотрим более подробно основные этапы формирования матриц реакций конечных элементов ira основе описанной в диссертации методики.

1) Формирование системы уравнений равновесия в потенциалах

Поле перемещений и(г) независимо от характера задачи может быть представлено в виде суммы безвихревого и соленоидалыюго нолей: ы(г) = grad Ф + rot ¥ .Если уравнения равновесия записаны в виде, инвариантном относительно системы координат, и производные от перемещений выражены через дифференциальные one-

раторы (grail, div, rot), то такая замена приводит к упрощению уравнений равновесия.

При гармоническом воздействии уравнение равновесия упругого тела, как правило, разделяется на независимые уравнения Гельмгольца AF( + k(2F| = 0 относительно Ф и декартовых компонентов У, что соответствует независимому распространению волн объемной деформации и волн сдвига.

При статическом воздействии Ф и декартовы компоненты IF обычно представляют собой либо независимые гармонические функции, либо бигармонические функции, связанные уравнениями равновесия.

2) Получение системы частных решений

При переходе от перемещений к потенциалам частные решения однородной системы уравнений равновесия для бесконечной области представляют собой частные решения уравнения Лапласа, Гельмгольца пли бигармонического уравнения. Для системы координат, в которой строится семейство частных решений, можно сформулировать следующие требования:

•разделение переменных (частное решение должно представляться в виде произведения одномерных функций координат)

•простота описания границы концентратора напряжений (граница концентратора должна совпадать с координатной линией или поверхностью)

•для каждого частного решения уравнений равновесия дм односвязной области, порождающего ненулевые напряжения на границе концентратора, должна существовать линейная комбинация конечного числа решений с особой точкой внутри концентратора, компенсирующая эти напряжения.

Для конечных элементов без концеьпраторов должно выполняться, естественно, только первое из трех перечисленных требований.

Для элементов с концентраторами наиболее важным является последнее -требование точного равенства нулю напряжений на границе концентратора. Например, для плоско-напряженной пластины с эллиптическим отверстием при гармоническом воздействии выполняются первые два требования и не выполняется третье, поэтому построить соответствующий конечный элемент по данной методике невозможно.

3) Исключение решений, линейно завиегшых по перемещениям

Для всех частных решений уравнений равновесия односвязной области в потенциалах необходимо построить поля перемещений и проверить их линейную независимость. Решения, которые в комбинации с другими решениями дают нулевые поля перемещений, должны быть исключены из рассмотрения. Как правило, такие решения можно сразу выделить после вычисления перемещений, но иногда дня их обнаружения нужно найти все нетривиальные решения уравнения н=0.

4) Выбор базиса частных решений

В задачах статики при отсутствии концентратора частные решения уравнений равновесия при переходе к декартовой системе координат приобретают вид полиномов. В этом случае базисный набор частных решений строится согласно следующим условиям:

•в набор включаются все решения, для которых компоненты поля перемещений в декартовой системе координат описываются полиномами степени от 0 до Ршах. Величина Ршах задается так, чтобы количество выбранных решений было не меньше количества узловых неизвестных конечного элемента;

•среди выбранных решений должны присутствовать все решения, соответствующие состояниям жесткого смещения и постоянной деформации.

Дяя элемента с внутренним концентратором каждое базисное решение дополняется решениями с особой точкой внутри концентратора так, чтобы на границе концентратора точно удовлетворялись граничные условия.

В задачах динамики (гармонические колебания) предварительно проводится перегруппировка частных решений так, чтобы при о>—»0 полученные комбинации «динамических» решений переходили в «статические». После перегруппировки базисный набор частных решений строится таким образом, чтобы при са—»0 он переходил в соответствующий базисный набор статической задачи.

5) Построение матрицы реакций в базисе частных решений

Для вычисления коэффициентов матрицы реакций конечного элемента в базисе частных решений а рассмотрим 2 состояния (1) и (]), отвечающие двум частным решениям. Так как поля перемещений базиса а являются равновесными, то элемент матрицы реакций Л01 равен работе граничных напряжений состояния (¡) на перемещениях состояния 0. Если граничные напряжения ст представить в виде вектора поверхностных нагрузок/, то можно записать

|г(Г,,и,)с1Г О)

Здесь Г - внешняя граница элемента. Это выражение справедливо и при гармоническом воздействии.

6) Построение матрицы реакций в базисе перемещений узлов и матрицы обратного перехода от перемещений узлов к амплитудам частных решений

Для построения окончательной матрицы реакций конечного элемента в диссертации предлагаются два алгоритма, основанные на включении в базис перемещений узлов дополнительных неизвестных и последующем применешш к ним процедуры статической конденсации. Конечные элементы, сформированные с помощью этих алгоритмов, далее будем соответственно называть элементами типа I и элементами типа П.

Согласно первому алгоритму (тип I) совместность полей перемещений смежных конечных элементов соблюдается только в дискретных точках (узлах) границы.

Процедуру вычисления матрицы реакций в базисе перемещений узлов X начнем с того, что сформируем матрицу перехода [А], дифференцируя выражения для потенциалов базисных решений и вычисляя значения перемещений и,ии,г узлах элемента:

х = [А] а (2)

Если размерность вектора а больше размерности вектора X, то для построения искомой матрицы обратного перехода [В] дополним базис X так, чтобы размерности обоих базисов совпадали:

X А

X С

а

Подматрица будет иметь вид

С] формируется так, что вектор нагрузки в расширенном базисе

Строим штрицу обратного перехода от расширенного базиса ЛТ к базису а :

(4)

[Ву

А С

= [А*|С+]

Переводим [И^] в расширенный базис:

[НУ]=[В,Г [В,]

и проводим одновременную конденсацию дополнительных степеней свободы У в матрицах [Ку] и [В,]:

если

к

" Г с" X р

ст н 0

, то

[Кх] = -[С] [Н] »[С]т.

Е

[8,1 = 18 1

-Н 'С1

(5)

(6)

(7)

а= [в,] X

Искомые матрицы [Кх] и [В1] построены.

Второй алгоритм (тип II) основан на следующих основных принципах:

• расширенный базис ЛТ формируется из стандартных кус очно-линейных функций формы, образующих базис ЛГ, и некоторых (дополнительных) базисных решений, не являющихся линейной комбинацией стандартных функций формы;

• к каждому дополнительному базисному решению прибавляется комбинаты стандартных функций формы таким образом, чтобы работа каждой из элементарных местных нагрузок на перемещениях полученной суммы решений была равна нулю. Эти решения образуют базис ¥,

• матрица перехода [Во] от базиса ЛТ к базису а строится из условия ортогональности по перемещениям функции ошибки к каждому го базисных решений базиса а;

• матрица реакций [И] так же, как и в алгоритме типа I, строится первоначально в базисе а; затем матрица [И] переводится в базис ЛТ и проводится конденсация матриц [И] и [В0] (исключение степеней свободы V).

Пусть некоторое поле перемещений и приближенно выражается через перемещения, отвечающие К частным решениям уравнений равновесия:

и » а,(г) а, + а2(г) а2+...+ ак(г) ак (8)

Здесь ak(r) - вектор-функция перемещений, связанная с k-м частным решением (к=1,2,3,...,К); ак - коэффициент.

Пусть расширенный базис AT содержит М «основных» функций х(г) и N «дополнительных» функций у (г), подлежащих исключению. Поле и выражается через перемещения, отвечающие функциям расширенного базиса, с помощью коэффициентов хт уа (индексы тип изменяются от 1 до М и N):

u ~ 7л(г)*1 + Хг(г)х2+...+ Хм(г)х.м+ Yitoyi + Гг(г)уг+...+ ук(г)ук (9) Назовем разность (8) и (9) функцией ошибки и потребуем ее ортогональности к функциям otk(r) на поверхности элемента:

/ (е(г) • ak(r» dS = 0 ; k=l,2,...,n (10)

Представим (10) в матричном виде:

[АхА] а = [ХхА] X + [YxA] Y Отсюда а = [АхА]"1 ([ХхА] X + [YxA] Y) и матрица обратного перехода [В,] равна

[В,] = [АхА]"1 ([ХхА] | [YxA]) (11)

Если размерности векторов Xu d равны, то в расширении базиса нет необходимости и можно принять N=0. В других случаях величину N можно выбрать из условия M+N=K; тогда матрица обратного перехода [В,] будет квадратной.

Как указывалось выше, функции уп(г) определяются таким образом, чтобы работа вектор-функций поверхностных нагрузок fm(r) на перемещениях функции у„(г) равнялась нулю. Это условие выражается в следующем виде:

Í ((«р(г)- kinXi(r) - W^r)..... км„хм(г)) -fm(r))dS = 0 (12)

Отсюда

[K] = [FxX]T[FxA]T[P] (13)

[УхА] = [АхА) [Р] - [ХхА] [К]; (14)

[В,] = [АхА] [ХхА] | ([Р] - [АхА]-1 [ХхА] [К]) (15)

где [Р] - прямоугольная матрица перестановок, определяющая, какие базисные решения ык(г) необходимо включать в расширенный базис АТ. Выбор базисных решений и заполнение матрицы [Р] производится таким образом, чтобы матрица [Н]=[С]т[11а] [С] имела полный ранг (здесь матрица [С] = [Р] - [АхА]л[ХхА] [К] образована из N правых столбцов [В?]).

Уравнение равновесия элемента в расширенном базисе XV записывается в матричном виде так:

Если нагрузка /, приложенная к границе занимаемой элементом области, представляется в виде линейной комбинации некоторых элемеотарпых вектор-функций нагрузки: то коэффициенты матрицы [РхХ] пред-

ставляют собой работу элементарных функций нагрузки на перемещениях базиса X, а амплитуды элементарных нагрузок вь..^ образуют вектор К Произведение матрицы

[FxX] на вектор F дает вектор обобщенных сил (J = [FxX] F , который непосредственно используется в расчетах по МКЭ. Как видно, обобщенные силы, соответствующие исключаемым степеням свободы, равны нулю.

После конденсации (16) приобретает стандартный для КЭ вид:

т х = о (17)

где [R,] = [ВJT [RJ [В,] и а = [Вх] X; матрицы [R,] и [В,] - искомые.

После вычисления матрицы реакций [R,] согласно алгоритму типа I или типа II формирование матрицы жесткости ансамбля конечных элементов, вектора узловых нагрузок и вычисление перемещений узлов производится стандартными способами. Матрица [В,] позволяет по известным перемещениям узлов X получить значения амплитуд базисных решений (обобщенных координат) а согласно (7); далее, дифференцируя выражения для потенциалов, входящих в базисные решения, можно вычислить перемещения и напряжения в любой точке элемента.

Проиллюстрируем основные положения описанной методики на примере элемента плоско-напряженной пластаны (мембраны) в форме произвольного многоугольника. Сначала ограничимся рассмотрением элементов без отверстий. Поместим начато координат внутри элемента и запишем уравнения равновесия среды через функции ф и - потенциалы объемной и сдвиговой деформации.

В статическом случае независимая по перемещениям система частных решений уравнений равновесия в полярных координатах включает в себя:

1) решения уравнений Лапласа Дф=0 и Д\|/=0:

<Pm=AInrnlcos ш0; (17)

4'n,=Bmrn,cos mO (га=1,2,3,...)

2) связанные решения бигармонических уравнений ДДср=0, ДД\|/=0:

Фт= лЕга г™ sin(m-2)9, у» = En rm cos(m-2)9 (18)

Фт= r\Fm rm cos(m-2)9, \|/и = -Fm rm sin(m-2)G (т=2,3,4...;т1=ц/(>.+2ц)) При гармонических колебаниях система частных решений включает в себя все решения уравнений Гельмгольца Дср+к^срО и Ду+к^О:

фт= Ат Jm(kir) cos те, í|/m= Вт Jm(k2r) cos т9 (т=0,1,2,...) (19)

Фт = Ст Jm(k!r) sin т9, v|/m= Dm Jm(k2r) sin m9 (m=l,2,3,...)

Чтобы обеспечить переход «динамических» решений к «статическим» при со->0 и избежать потери точности вычислений, вместо решений, содержащих sin m8, необходимо использовать комбинации решений

1) ф = A Jm(kir) cos mO, vy= -В Jm(kjr) sin m0

2) ф = A Jm(kir) sin m9, \|/= В Jm(k2r) cos mO,

где A=-ri(m+l)!/(k,/2)m+2; B=-(m+l)!/(k2/2),,r+2,

которые при kr->0 стремятся к соответствующим бигармоническим решениям статической задачи.

Для элементов с круглыми отверстиями каждое базисное решение должно быть дополнено одним или двумя решениями с особенностями в начале координат. Пусть некоторое базисное решение дает при г=г0 (на границе отверстия

диаметром г0) напряжения стг(0,со$ ш9, Тго'^ш т0. Дополним ее двумя функциями Ф = А р!(г)со$ т0, у = В Р2(фт тЭ, где при ю>0 Г,(г)=Кга(к1г) (1=1,2), при ю=0 Е,(г) обозначает г ш , г'1"1'2 или 1п г; А и В - коэффициенты, удовлетворяющие системе уравнений

(20)

а<г°>~ 81 »2 А

+

х(0» 1, *2. В

[Ф] =

= 0'

тогда полученное решение имеет особенность при г=0 и удовлетворяет условию равенства нулю напряжений на границе отверстия.

Поле перемещений внутри элемента можно представить в виде

а = [ЩФ]а (21)

где [О] - оператор дифференцирования,

Ф, Ф, ... Ф„-, Ф„ 1 , (22)

а = [а1 аг а5 а4 а5 ... а„]т (23)

Уравнение (1) применительно к плоско-напряженной пластине имеет вид

К^(ап1ип)+1„и,)«18 (24)

Здесь на каждом участке границы элемента (1$ ось 5 направлена по касательной к границе, ось п - по внешней нормали.

Далее в диссертации рассматривается процесс построения матриц статической и эффективной жесткости для конечного элемента тонкой изгибаемой пластаны в форме произвольного многоугольника. Деформации сдвига учитываются согласно модели Миндлина-Рейсснера.

Расположим плоскость (г, ф) цилиндрической системы координат в срединной плоскости пластины; если в пластине есть круглое отверстие, то начало координат помещается в его центр. Перемещения точек пластаны описываются тремя функциями \у,

и, = \У(Г, Ф, I), и, = г Тг(г, Ф, I), и, = г 1Рф(г, Ф, Ц (25) Представление функций и через потенциалы Ф и Н

^ =5Ф+5Н. ^ =5Ф_5Н , (2б)

г б г гоф' * гЗф 8т позволяет свести уравнения гармонических колебаний к трем уравнениям Гельмгольца:

ДФ1+к12Ф1=0; ДФ2+к22Ф2 = 0; ДН + к,2Н=0 (27) где кь к2, к) - во:шовые числа, зависящие от характеристик пластины и частоты колебаний. Так как для пластаны Миндлина-Рейсснера прогиб >у пропорционален потенциалу Ф, то оказывается удобным ввести функцию У=лу+Ф=рФ, где коэффициенты р1-2 связаны с волновыми числами к112.

Частные решения двумерных уравнений Гельмгольца (27) в полярных координатах имеют вид:

• при к^О: Jm(|k||r) cos mcp, Nmflkdr) cos тф (m=0,l,2,3,...);

• при k(2<0:1т(|к^г) cos тф, К„,(|к||г) cos Шф (m=0,l,2,3,...);

• при 1^=0: rm cos тф (m=0,l,2,...), r™ cos тф (m=l,2,3,...), In г.

При m>0 замена cos тф на sin тф образует семейство «парных» решений. При статическом воздействии (ю=0) коэффициенты kj и к2 обращаются в нуль, и два первых уравнения (27) сливаются в уравнение Лапласа ЛФ(= 0. Дополнительные бигармонические решения представляют собой систему

AY=0; A®=Y/S; Н=0. (28)

Третье уравнение (27) остается справедливым.

Частные решения уравнения Лапласа рассмотрены выше как решения уравнения Гельмгольца при k/М); остается рассмотреть частные решения системы (28). Они имеют следующий вид:

а) Решения без особенности при г=0:

Y = rm cos Шф, Ф = (1 + r2/-l(m+l)S)rm cos тф (т=0,1,2,3,...). (29)

б) Решения с особенностью при г=0:

Y = 1 + In г, ®=l + (l+r2/4S)Inr (m=0);

Y = (l/г) eos ф, Ф = (r In r / 2S) eos ф (m=l); (30)

Y = rm eos тф, Ф = (1 + r2/ 4(-m+l)S) r m eos тф (m=2,3,...).

При m>0 замена eos тф на sin тф также образует семейство «парных» решений.

На границе отверстия должны равняться нулю три силовых фактора - изгибающий и крутящий моменты и поперечная сила. Для удовлетворения этих условий каждое базисное решение, не имеющее особенности при г=0, дополняется в общем случае тремя решениями с особенностью при г=0 и такой же зависимостью от координаты ф. Дтя вычисления соответствующих коэффициентов при решениях с особенностью достаточно вычислить силовые факторы дня исходного и дополняющих решений при г=Го и решить систему уравнений 3x3.

Поле перемещений внутри элемента пластины Миндтина-Рейсснера также можно представить в виде (21), где

Гф(0> ф»> ф(»> ф(» ф(Ч фО> фМ) фМ> ф(1)

[Ф]= Y¡" Y2,d> Y3(í> Y,0' Y'" Ysll) Y'"" Y'"4 Y,'"1'

и5"®' ü<-" h'" н;" и«" иГ" н<" н™

Верхние индексы в элементах матрицы [Ф] обозначают номер гармоники т, знак «минус» - замену sin тф та cos тф и cos тф на -sin тф; нижний индекс N=1,2,3 обозначает номер решения. Элемент Ray матрицы реакций элемента в базисе Ct равен работе граничных моментов и поперечных сил на утлах поворота и вертикальных перемещениях:

0(1)^11(1) + Mns(l)^'«(J) + Qiu(l)Wi(J))^S'

В третьей главе рассмотрен алгоритм построения матриц реакций конечного элемента изгибаемой пластины, основанный на соотношениях трехмерной теории упругости.

При гармоническом воздействии (со > 0) решениями уравнения равновесия

трехмерного упругого тела в потенциалах Ф и Ч? являются решения 4 независимых уравнений Гельмгольца:

АФ+к!2Ф=0; А^+кг2^»; Д4',+к22Т,=0; ДЧ^+кг^О (31) ГДО к, =ш/7(А. + 2ц)/р • к, = ©Д/ц/р - волновые числа волн объемной и

сдвиговой деформашш.

При статическом воздействии (со = 0) решениями уравнения равновесия трехмерного тела являются все решения уравнений Лапласа (АФ=0 , Д¥,=0 , АЧ^О, ДТ^О) и те решения бигармонических уравнений (ДДФ = 0 , ДД1Р= 0), которые удовлетворяют уравнению равновесия.

В цилиндрической системе координат частные решения уравнений Лапласа (со = 0) и Ге.чьмгольца (со * 0) обычно записываются в виде Р2(г) Ж3(ф):

Таблица 1

Параметры Ы*) Р2(г) Рз(Ф)

ю > 0, К*0, т=1,2,3... е^ гш(гл/к2+к2) Р соб гткр+О бш тф

со > 0, К*0, т=0 е3* " го(гл/к2+к2) Р +0 Ф

со > 0, К=0, т=1,2,3... а+Ьг гт(кг) Р соб тф+О бш тф

со > 0, К=0, т=0 а+Ьг г0(кг) Р +0 Ф

ш = 0, К*0, т=1,2,3... гт(Кг) Р соб гткр+СЗ тф

со = 0, К*0, т=0 ¿о(Кг) н Р +0 Ф

со = 0, К=0, т=1,2,3... а+Ьг Агт+Вгэд Р соб гткр+СЗ б1п тф

ш = 0, К=0, т=0 а+Ъг А+ В 1п г Р+Оф

Здесь К - параметр (в общем случае комплексный), - цилиндрическая функция, к - волновое число (при со>0), А, В, Р и (2 - константы.

В цилиндрической системе координат частные решения образуют непрерывную по параметру К систему, но, учитывая граничные условия о» = т.и = т^ = 0 на поверхностях пластины (при т=±Ы2\ можно перейти от непрерывной системы решений к дискретной.

При со>0 для трехмерного упругого тела существует 3 типа решений, независимых по перемещениям:

Таблица 2

Перемещения иг иф и2

Множитель 1/2 бИ Кг соб тф 1/2 бИ Кг бт тф сИ Кг соб тф

Тип 1 Х1 (^(Х^^Хц-)) -Х1 ^(Х^+^Хц-)) к гт(х,г)

Тип 2 -Хг^ХгО+^Хгг)) х2(гт.1(х2гьгт+1(х2г)) 0

Тип 3 К (^(Хггу^^Хгг)) -К(2т-1(Х2г)+гт.1(Х2г)) Х2гт(х2г)

Параметры Хь Х2 определяются по формуле

Х^л/к'+к* (i=U). (32)

Решение 2 соответствует сдвиговым деформациям в плоскости пластины (иг=0) и удовлетворяет 1раничным условиям на ее поверхности при Kj=(2j+1)tüi/h, j=0,l,2,..., т.е. между поверхностями пластины укладывается 1, 3, 5, 7, ... полуволн сдвиговых деформаций. При малых h параметр Х2 - мнимый для всех j и функция Zm - модифицированная цилиндрическая функция. В дальнейшем будем учитывать только «младшее» сдвиговое решение j=0, Ko=7ti/2.

Граничным условиям на поверхности пластины удовлетворяют также комбинации решешш 1 и 3, если параметр X=^J\Í* + к* = + К2 (волновое число

изгибной волны) удовлетворяет уравнению

th(,/X2 -к\h/2) _ 4ц2Х\/Х2 -kf^/x2 -k2 , (33)

th( JX2 - k[h/2) ~ (2цХ2-цк2)2 которое является другой формой записи уравнения распространения во;п[ в упругом слое. Если толщина пластины меньше полутора длин сдвиговой волны в трехмерном теле (h < 1.5 Ъ{), то уравнение (33) имеет (без учета знаков) 2 корня, что дает 2 независимых решения. При h < 0.5 L2 один из корней уравнения (33) действительный, второй - мнимый; при h->0 оба корня возрастают по модулю пропорционально Ь'ш. При 0.5 Li < h < 1.5 L2 оба корня уравнения (33) - действительные. Приближенные значения корней уравнения (33) можно определять по теории Миндшша-Рейсснера.

Можно показать, что теория Миндлина-Рейсснера может быть использована для вычисления напряжений в пластине при h < 0.5 Li, а при 0.5 Ьг < h < 1.5 Lz ее применимость сомнительна вследствие резко выраженной нелинейности изменения перемещений вдоль нормачи к срединной поверхности. При h > 1.5 Ьг в уравнении (33) появляются дополнительные корни; в этом случае лучше использовать объемные конечные элемешы.

При статическом воздействии (ю=0, ki=k2=0, К1=К2=Х) решения типов 1 и 3 совпадают с точностью до константы. Можно показать, что оба корня уравнения (33) стремятся к нулю при го—>0; следовательно, К-»0 и гармонические частные решения уравнений равновесия должны зависеть от z линейно. В диссертации приводятся достаточно громоздкие выражения для гармонических и бигармонических решений, удовлетворяющих граничным условиям на поверхности пластины. В качестве примера рассмотрим бигармоническое решение дня пластины без отверстия. Соответствующие этому решешш поля перемещений и напряжений определяются формулами: ur = {2(2ri-3) m (m+1) z3 г"-1 + 3 (m+2) г г"*1} cos mcp иф= {-2(271-3) m (m+1) zJ r™"1 - 3 m z r1"41} sin mcp u,= {6(2r|-l) (m+1) z2 rm- 3 r™4- 6(n-l) (m+1) rra h2} eos икр 0

т1Г= 6|x (r[-l) m (m+1) (4z2- h2) r™"1 eos тф (34)

тгф = -6ц (л-l) m (m+1) (4z2 - h2) r™"1 sin тф

стГ = 4(1 (m+1) X {(271-3) m (m-1) zJ r1""2 + 3 (3-4Ti+m/2) z rm} eos тф

[ф]=

тгф= 4ц (m+1) X { -(2r|-3) т (т-1) z3 г™"2- (Зт/2) г г™} sin тф стф= 4ц (т+1) х { Ч2п-3) т (т-1) ii гт"2+ 3 (3-4ri-m/2) г rm} cos тф

Здесь i] = fi/(?*+2ц); h - толщина пластины; гк принимается равным 0, если

к<0.

Для пластин с ненагруженным круглым отверстием каждое частное решение уравнений равновесия без особых точек дополняется решениями с особой точкой в центре отверстия так, чтобы изгибающий момент Mr, крутящий момент МГф и поперечная сила Qa- на границе отверстия были равны нулю. При динамическом воздействии (ю>0) решения с особой точкой в центре отверстия («дополняющие функции») описываются теми же уравнениями, что и «основные» решения, но входящие в них цилиндрические функции Ъ^ имеют особенность при г=0.

Матрица [Ф] в (21) может быть записана в виде

"ф<»> ф1П ф(» ф<1> ф(1) ф.Ч ф(-1> фС-1) ф(-1) i|/(») v|#(»> vJ/(-») Ipil) \р(Ч ipü) >J/(-1) \p(-D

Из равенства нулю силовых факторов на границе отверстия в общем случае не следует равенство нулю напряжений, т.е. имеет место некоторое искажение поля напряжений вблизи границы отверстая. В диссертации показано, что выражение для элемента (i, j) матрицы реакций Ray будет содержать дополнительные слагаемые:

Щ =|(МПС1)ТПШ +ми(1)¥.ш + Qni(l)wI(J))ds+

•<j>'7 ~ ' 5)hds С )

Функции, входящие в дополнительные слагаемые, выражают влияние нелинейного распределения перемещений и напряжений по толщине пластины и представляют собой переменные коэффициешы при полиномах Лежандра степеней 2 и 3.

В четвертой глазе рассмотрена процедура вычисления матрицы реакций трехмерного конечного элемента со сферической полостью.

Для элемента необходимо предварительно получить систему базисных решений, которые затем будут использоваться для построения функций формы. Частные решения уравнений Лапласа и Гельмгольца для скалярного потенциала Ф и декартовых проекций векторного потенциала ¥ в сферических координатах (г, 3, ф)имеют вид:

F(r) Pjm(cos9) {sin тф | cos тф}, (36)

где Pjm(x) - присоединенная функция Лежандра (j=0,l,2,..., m=0,l,2,...j), функция F(r) равна г' или г для уравнения Лапласа и Z Д™ уравнения

Гельмгольца (здесь Z - цилиндрическая функция, к - волновое число). Частное решение бигармонического уравнения может быть получено из решения уравнения Лапласа умножением на г2.

Частные решения уравнений Лапласа и Гельмгольца можно перегруппировать таким образом, чтобы для каждого типа решений зависимость перемещений и т-пряжений в сферической системе координат от утла ф была одинаковой, и перейти к сферической системе координат. Получим 4 типа решений:

Тип 1: Ф = F(r) Pj"1 sin mq>

Тип 2: Y,. = F(r) Р/"*1 sin9 eos mtp ; T3 = F(r) Pj"^1 cos9 eos шф ;

= F(r) Р/"4 sin тф (m=0,l,2,...j-l) Тип 3: Ч'г = F(r) Р/""1 sin9 eos m<p; lFa = F(r) Р/1"1 eos» eos шф ; (37)

= - F(r) Pj"1-1 sin тф (m=l,2,3...j) Тип 4: 'Fr = F(r) P™tos9 eos nup ; Ts = - F(r) Р™sin9 eos тф

Y„=0

(Все 1фиведеш!ые здесь выкладки остаются справедливыми, если «повернуть» группы решений, т.е. заменить sin тф на cos тф и cos тф на -sin тф.)

Для соблюдения принципа независимости решений по перемещениям при статическом воздействии решения 2 и 3 необходимо заменить двумя комбинациями бигармонических решений, удовлетворяющих уравнению равновесия.

Определим, какими должны быть коэффициенты A,B,C,D частных решений бигармонического уравнения

1) Ф= г2 A HP/" sin тф

2) Тх= г2 В г1 Р/"*' cos (т+1)ф г2 В г1 Pj™*1 sin (т+1)ф

3) 4V= г2С г1 Pj™"1 cos (т-1)ф "íf-^Cr1 Р,"*1 sin (т-1)ф

4) 4',= г2 D г1?/" cos тф,

чтобы уравнение равновесия (?»+2|j.)grad АФ+ц rot Af^O соблюдалось. Для этого нужно найти нетривиальные решения однородной системы

j ajm+1 1 -m 0

aJm/2 0 j-m+1 -a.jm/2 A/ti 0

-1/2 -(j+m+1) 0 -1/2 • В = 0

ajm/2 0 j-m+1 -«Jm/2 с 0

m -«jm 1 -j D 0

1/2 j+m+1 0 1/2 0

Здесь a¡m = (j-m+1 )(j+m); am+l= (j-m)(j+m+l).

Эта система имеет 2 линейно независимых нетривиальных решения, которые можно выбрать так:

Первое решение - Sj^:

А= л (j+m+1) B=-l С=0 D=j+m+l Второе решенне- Tj^:

А=0 В= -1/2 C=(j+m)(j+m+l)/2 D=j+m+l Знак при индексе ш в обозначениях типов бигармонических решений (Sj,.m, TJrI11) условно обозначает вид зависимости тригонометрических функций от утла ф: при знаке «минус» функции соответствуют указанным формулам, а 1фи знаке «плюс» должна быть доведена замена функций по схеме «sin тф —» cos шф —> -sin тф —> -cos тф -> sin тф», что при т*0 соответствует повороту решения на утол ж/2 т.

При т=0 существует единственное бигар.ионическое решение Sjr0.

При наличии в элементе сферической полости аналогично могут быть получены выражения для бигармонических дополняющих функций, т.е. решений с особенностью в центре полости. Соответствующие формулы приведены в тексте диссертации.

Можно показать, что комбинации нормированных определенным образом «динамических» решений типов 1,2,3,4, взятых с коэффициентами A,B,C,D, которые применялись выше для составления бигармонических решений, при о—>0 переходят в бигармонические решения типов S и Т.

Как показано в диссертации, принцип независимости полей перемещений не выполняется для следующих групп решений без особенности при г=0:

• решения типа 4 при га=0

• решения типа 4 при m=±j (T^FírJP/cos jcp или T^-FíOP^sin jep);

• все решения типа Т.

Эти решения должны быть исключены из шбора базисных решений. Таким образом, схема формирования набора решений с заданными значениями степени j и порядка ш становится единой для статических и динамических задач и включает в себя следующие типы решений:

• решение типа 1, определяемое потенциалом Ф;

• решение типа 4, определяемое потенциалом 4'¿

• комбинированное решение типа S.

Из базисного набора исключается также младшее решение типа 1 (Ф = F(r)P0°cosO, или Ф = 1 при ш=0, Ф = sin kir /(kir) при œ>0) - при ш=0 оно дает нулевое поле перемещений, а при ш>0 заменяется на решение типа S.

Для выполнения условия равенства нулю напряжений на границе сферической полости любое частное решение, не имеющее особенности в начале координат, дополняется в общем случае четырьмя решениями с особенностью. Напряжения о>, тг8, тгф для типов i=l,2,3,4 можно представить в виде: стг = su Pjm sin шф ;

Trs = (S|2Pj^1 + Su Pj1^1) sin Шф ; (39)

V = (sHPJm"1cos9+ $isPjmsin9 + s^P/^cosS) sin тф.

Коэффициенты sy образуют матрицу [S] размерностью 4x6:

2цКЩ1-2т1)рсо2Г 2naJmn(G-H) 2ц (G-H) -2ц m (G-H)

й aJm (G-H) HaJnrt,aJmH/2 ц (KB-mG+pjmH) -HaJm(G+(m-2)H)/2

-ц(С-Н) -|i (KttmG + qjnrfiH) -цН/2 -Ц (G-(m+2)H)/2

Ц «im (G-H) ц aJm+1aJm H / 2 Ц (KDmG+ pJmH) -paJm (G+(m-2)H)/2

2pm(G-H) •Ц ajnn-i (G-(m+2)H) H(G+(m-2)H) -ji(KDG+m2H)

Ц (G - H) (i (KIH- mG + qjm+iH) цН/2 |i(G-(m+2)H) / 2

Вид матрицы [S] определяется видом функции F(r). Здесь

«jm= (j-m+l)(j+m); r| = ц / (Я.+2ц);

G=F7r; H=F/r2; pJn,=aJm/2+2(in-l); q,ra=ajln/2-2m.

Предполагается, что га>0.

В диссертации показано, что для каждого частного решения, не имеющего особенности при г=0, можно подобрать 4 частных решения с особенностью так, что сумма всех 5 решений даст нулевые напряжения при заданном r=R.

Матрица [Ф] для трехмерного элемента записывается следующим образом:

[Ф] =

Ф?

Ф-

фи

ф:

ф:

111 1 )1 'Я 1 'я 11>

Каждый столбец матрицы [Ф] представляет собой одну из форм частного решения уравнения равновесия, где]'пш - степень и порядок присоединенной функции Лежандра, входящей в решение, а знак минуса при ш показывает, что в частном решении проведена замена тригонометрических функций, как показано выше.

Элемент Иу" матрицы реакций в базисе СХ равен работе напряжений состояния (¿), приложенных к поверхности элемента, на перемещениях состояния 0):

Rq =J(<?(°)»a(Vt,S

Рассмотрим более подробно конечный элемент в форме четырехугольной призмы с 8 узлами и 24 степенями свободы, близкой по форме к прямоугольному параллелепипеду, в декартовой системе координат. Каждое из частных решений уравнений статического равновесия степени ] при переводе из сферической системы координат в декартову преобразуется в однородный полином степени у, соответствующие перемещения и„ ц, являются однородными полиномами степени ,¡-1. Очевидно, что функции формы для такого элемента должны содержать члены степени 3 вида «хуг», поэтому в состав расширенной системы базисных решений нужно включать все решения в потенциалах от степени 1 до степени 4 включительно. За вычетом решений, дающих нулевые или совпадающие перемещения, размерность системы базисных решений оказывается равной 48, или в 2 раза больше, чем количество степеней свободы элемента. Набор базисных решений можно схематично представить следующим образом:

Обычные решения

Порядок m 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4

Степень j

0 0 0

1 1 0 1 1

2 1 2 0 1 2 1

3 I 1 2 2 0 1 2 2 1 J_

4 1 2 2 2 0 1 2 2 2 1

Бигармопичсские решения Порядокт |-2 1 0 0 1 2

Степень j

2

3

4

_[i 1 1 i| 111111

Числа в таблице обозначают количество решений данной степени, порядка и ориентации. Из таблицы видно, в частности, что количество решений степени ,¡<2 равно 3+7+2=12, степени ^3 - 12+11+4=27. Следовательно, для элемента в форме тетраэдра (4 узла, 12 степеней свободы, степень поля перемещений равна 1) матрицы жесткости, полученные по предлагаемому и по традиционным методам, будут совпадать.

Как показали численные эксперименты, алгоритм формирования матрицы реакций типа I доя объемных элементов в форме четырехугольной призмы непригоден. Поэтому расширенный базис, матрица перехода и матрица реакций четырехугольной призмы формируется согласно алгоритму тала П, который лучше обеспечивает непрерывность перемещений в пределах смежных граней. При построении расширенного базиса ЛТ для элемента четырехугольной призмы используются 24 функции формы стандартного изопарамстрического шестигранника (основной базис - X) и 24 из 48 базисных решений для бесконечной области.

Таблица 3. Структура полей перемещений при различных частных решениях уравнений равновесия (общий случай)

Функция Форма 1 Форма 2 Форма 3 Форма 4

ОТ» (Ф) (Тх, Ту, (т+1)ф) (т-1)ф)

1) тпроизвольное

иг рт СХртгИ Яг Яг -т Яг

и» Р,т" а,т Р / 2г 0 Р'- (т-1) Р1г -щт ¥ 12г

рГ' - Р / 2г -(Р+ (т+1)Р/г) 0 -Р!2г

и. РЛ'СОБЭ Р / 2г 0 Р - (т-1) Яг -СС]т р / 2г

Р,т 5ШЭ т Яг -СХрт+1 я/г Яг -Р'

р,т+1соБа ? !2г Р'+ (т+1)Р/г 0 Я /2г

2)т=]

иг р,1 Р 0 Яг -\Яг

и9 РГ \ЯГ 0 Р- 0-1) Яг -\Яг

иф Р/^СОБЭ ]Р/г 0 Р- 0-1) Р/г

Р/ этЭ ]Яг 0 ?!г -Р

3) т = 0

иг Р,и Р ац Яг — 0

и» Р.' -Яг -(р+т — 0

иф Р,° Бт& 0 -ац Яг — -Р"

Р^совЭ 0 Р'+ Р/г — Яг

Таблица 4. 48 частных решений для четырехугольной призмы (статика). Равновесные ноля перемещешш в декартовой системе координат

Поля перемещений степени 0,1,2

N2 Тип \ т Множитель и„=с1Ф/с1х иу= dФ/dy и,= dФ/dz

1 1 -1 1 0 1 0

2 1 0 1 0 0 1

3 1 1 1 1 0 0

6 1 2 -2 6 У X 0

7 (Ф) 2 -1 3 0 г У

9 2 0 1 -X -у

10 2 1 3 г 0 X

12 2 2 6 X -у 0

N2 Тип ] т Множитель ик= с№,/с1у иу= - с!^ Мх и,= 0

8 2 2 -1 3 0 -г 0

11 (ЧУ 2 1 3 -г 0 0

№ Тип 1 т Множитель Цх и, и,

4 Я 0 -0 2 У -X 0

5 0 0 2л X У ъ

№ Тип 1 т Множитель их=с!Ф/с)х и,= dФ/dy иг= dФ/dz

17 3 -3 45 2ху 0

18 3 -2 15 2уг 2хг 2ху

20 1 3 -1 3 -ху 2 г2- (х2+Зу2)/2 Аут

22 (Ф) 3 0 3 -Х7, -уг гг-(х:+у2)/2

23 3 1 3 2г2-(Зх2+у2)/2 -ху 4x2

25 3 2 15 2хг -2уг XV

27 3 3 45 XV -2ху 0

№ Тип '} т Множитель и„= е№,Л1у и,= - «X иг=0

19 3 -2 30 -У2 -хг 0

21 2 3 -1 3 -ху -2г2+ (Зх2+у2)/2 0

24 (ЧУ 3 1 3 -2г2+(х2+Зу2)/2 -ху 0

26 3 2 30 -хг уг 0

№ Тип 1 ш Множитель и» и, и,

13 1 -1 3 2(т)+1)ху Л(х2+3>'2+7.2<) -- (Зх2+у2+г ) 2т1уг

14 1 -0 6 уг -хг 0

15 в 1 0 1 2(2т1+1)хг 2(2т|+1)уг 2(т1(х2+у2+3г2>

- ах^г^+г2))

16 1 1 3 т^Зх^+г2) - 2(П+1)ху 2г\ хг

Чх2+Зу3+г2)

Продолжение таблицы 4 Поля перемещений степени 3_

№ Тип \ ш Множитель их=с1Ф/с1х иу= ЙФ/с1у иг= сю/аг

34 35 37 39 41 42 44 46 48 1 (Ф) 4 -4 4 -3 4 -2 4 -1 4 0 4 1 4 2 4 3 4 4 420 105 15 5 1 5 15 105 420 Зх*у бхуг -Зхух Зх(х2+уМг2)/2 -2(9х2+ЗуМг2)/2 -2х(х -Зг2) Зг(х2-у2) х(х2-3у2) -Зху2 Зг(х2-у2) -х(х2+3у-бг) -г(Зх2+9у2-422)/2 (3/2)у(х2+у2-4г2) -Зху7 2у(у2-3г2) -бхуг у(у2-3х2) 0 у(3х2-у2) 12хуг -Зу(х2+у-4г2)/2 -2(6х2+6у2-4г2) -Зх(х2+у2-4г2)/2 6г(х2-у2) х(х2-3у2) 0

№ Тип \ т Множитель их=с№г/с1у и,= - с!^! /ах и2= 0

36 38 40 43 45 47 2 (чу 4 -3 4 -2 4 -1 4 1 4 2 4 3 315 15 5 5 15 315 -2хуг 2у(у2-322) -Зхуг 2(Зх2+9уМг2)/2 х(х2+3у2-б22) -^-у2) 2х(х-3г) г(9х2+Зу2-4г2)/2 -Зхуг -у(3х2+у2-б22) 2Х\'7. 0 0 0 0 0 0

№ Тип 1 ш Множитель их щ и*

28 29 30 31 32 33 Б 2 -2 2 -1 2 -0 2 0 2 1 2 2 30 6 3 3 6 30 у (п(3х2+у2+г2)--(2у2+г7)) х (т^+З/Ч-г2)--(2х2+г2)) т^хуг

2(2т1+3)хуг г (т1(2х2+6у2+2г2)--(7х2+у2+2г2)) у (т1(2х2+2у2+6г2)--(3х2+3у2+2г2))

у(4г2-х2-у2) х(х2+у2-4г2) 0

-х(т1(2х2+2у2-22)-- (х2+у2+3г2)) -у^сгхЧгу2^2)- -(х +у +3г2)) г (Т1(х2+у2+4г2> -(4хт+4у2+2г2))

г (т1(6х2+2у2+2гг)-- (х2+7у2+2г2)) 2(2т1+3)хуг х(т)(2х2+2у2+б22)--(3х2+3у2+2г2))

х (л(2х2+г2)-- (х2+3у2+г2)) -уДОу^2)--(Зх )) Пг(х2-у2)

В пятой главе исследуются свойства полноты и линейной независимости систем частных решений уравнений статического и динамического равновесия в потенциалах, построенных в предыдущих главах. Отмечается, что для элементов тонких пластин и трехмерных элементов полнота и независимость системы частных решений уравнений равновесия вытекает из аналогичных свойств систем частных решений уравнений Лапласа, Гельмгольца и бш армонического уравнения и из процедуры исключения частных решений, зависимых по перемещениям.

С помощью введения вспомогательной двумерной векторной функции и представления полей напряжений и перемещений в виде, не зависящем от системы

координат в плоскости изгибаемой пластины, установлена связь уравнений трехмерной модели с уравнением распространения изгибных волн в упругом слое и с уравнениями модели Миндлина-Рейсснера. В диссертации отмечено, что при определении допущениях о характере зависимости полей потенциалов от координаты г можно доказать, что полученная в третьей главе система частных решений уравнений равновесия изгибаемой пластины в цилиндрических координатах при статическом воздействии обладает свойствами полноты и линейной независимости по перемещениям.

В шестой главе проводится исследование сходимости МКЭ для рассматриваемых в работе конечных элементов с помощью методики «кусочного тестирования». Предположим, что некоторая группа элементов находится в состоянии постоянной деформации: ик(дсх>')=Рт(х1>'), где Рт-полином степени ш, и условия на границе рассматриваемой группы согласованы с постоянной деформацией. Тогда сущность кусочного тестирования заключается в проверке совладения решения, полученного по МКЭ, с полиномом Рт, несмотря на игнорирование несогласованности полей перемещений на границах элементов при вычислении функционала энергии. Отметим, что для рассмотренных в диссертации элементов плоской и объемной задач т=1.

Кусочное тестирование выдержано тогда и только тогда, если для каждого полинома Рт и каждой (несогласованной) базисной функции <(>| работа напряжений, отвечающих перемещениям Рт, на скачках деформаций между элементами равна нулю.

Проверка элементов, рассмотренных в диссертации, на способность воспроизводить состояние смещения как жесткого тела может не производиться, так как это условие в обязательном порядке проверялось при формировании матриц жесткости.

Если группа элементов находится в состоянии постоянной деформации и ко-нечноэлементная сетка равномерна, то перемещения узлов определяются точно независимо от выполнения условий сходимости. Следовательно, для сходимости конеч-ноэлементной аппроксимации при равномерной сетке достаточно, чтобы внутри отдельно взятого элемента поле постоянных деформаций точно воспроизводилось по заданным перемещениям узлов.

Алгоритм формирования матрицы жесткости рассматриваемых в работе конечных элементов построен таким образом, чтобы базисные решения уравнений равновесия для гармонического воздействия при Цг->0 переходили в соответствующие решения для статического воздействия; следовательно, для исследования сходимости МКЭ при гармоническом воздействии достаточно провести тестирование «статического» элемента.

Для элементов с отверстиями и полостями условие сходимости, строго говоря, не выполняется, но при уменьшении размеров отверстия (при неизменных размерах элемента) перемещения и деформации точек элемента стремятся к точным значениям, если аналогичный элемент без отверстия является сходящимся.

Рассмотрим элемент плоско-напряженной пластины типа I в форме произвольного п-угольника без отверстия. Если п - нечетное число, то размерности векторов х и а равны. Матрица В=РУ в (7) является обратной к матрице [А] в (2):

Х = Аа; АВ=ВА=Е (40)

Любое состояние постоянной деформации элемента без отверстия можно представить в виде суперпозиции трех базисных решений. Ему соответствует некоторый вектор ац с тремя ненулевыми компонентами. Вектор узловых перемещений при постоянной деформации определяется через вектор ао и уравнение (33). Ясно, что если л: известен и равен лг0 и матрица А не вырождена, то вектор а=В*о=ВАао совпадает с а«. Следовательно, элемент мембраны типа I без отверстия при нечетном количестве узлов выдерживает кусочное тестирование.

Если п - четное число, то размерность вектора а на 2 больше, чем размерность вектора х Матрицы А и В - прямоугольные, и вектор а=ВАао может не совпадать С Оо-

Восстановленное поле перемещений можно представить как сумму истинного решения и двух равновесных полей перемещений, для которых все перемещения узлов л: равны нулю. Так как истинные решения не имеют разрывов на границах между элементами, то скачок перемещений определяется только двумя упомянутыми полями ,х=0. Следовательно, кусочное тестирование будет выдержано, если напряжения, соответствующие состояниям постоянной деформации, не совершают работы на перемещениях точек границы элемента, отвечающих полям дг=0. Как показано в диссертации, в общем случае гарантировать сходимость КЭ-аштроксимаций для мем-брагшых элементов типа I при четном п нельзя, но цешрально-симметричные элементы без отверстия при количестве узлов, кратном 4, на равномерной сетке выдерживают кусочное тестирование.

Рассмотрим трехмерный конечный элемент типа П в форме прямоугольного параллелепипеда. Для проведения кусочного тестирования нам необходимо проверить, насколько точно элемент отражает состояние постоянной деформации при заданных соответствующим образом перемещениях узлов.

В элементах тана II в качестве функций формы используются кусочно-линейные функции стандартных конечных элементов. В трехмерном случае эти функции представляют собой полиномы степени 3. Соответствующие поля перемещений не являются равновесными, но шобое равновесное состояние постоянной деформации может быть точно представлено в виде линейной комбинации этих неравновесных функций. Так как состояние постоянной деформации можно выразить через базисные решения (функции а(г)), то приближенное соотношение между функциями формы и базисными решениями при постоянных деформациях становится точным.

Для элементов типа П связь векторов х и а отражается уравнением , где в = [а С] ^ матрица перехода А в данном случае не формируется .

[У]

При постоянных деформациях х=дсо, д=0 (т.е. состояние постоянной деформации точно отражается функциями формы дг(г)); следовательно, соответствующий вектор частных решений равен а 0 = АХ0 •

а = Ву

Согласно алгоритму П к дополнительным степеням свободы у применяется процедура статической конденсации. Если матрицу жесткости [И,] в соответствии с размерностями векторов л: и у разбить на блоки

Г С"

К1=

GT Н

то при заданном х вектор у вычисляется так:

j' = -IT1GT* (41)

Пусть узлы равномерной конечно-элементной сетки точно отражают какое-либо состошше постоянной деформации, т.е. дая каждого элемента сетки д: задан и равен лг0. Если мы покажем, что при вычислении вектора ^ согласно (41) действительно получается нулевой вектор, то кусочное тестирование будет выдержано, так как в этом случае а=аь и поле перемещений внутри элемента будет точно соответствовать заданной постоянной деформации.

Связь матриц жесткости [Ra] и [Ry] выразим соотношением

н]=[*еГ[кЛ*с]' (42)

откуда

GT=eT[Ra]Ä;H=eT[Ra]e- т

Из (41) и (43) получим

y = -H-1CI[Ra]Xx, = -H_,CT[Ra]a0 (44)

Пусть некоторое состошше постоянной деформации определяется полем перемещений Но(г). В этом случае приближенные равенства (8) и (9) станут точными:

M„(r)=a0ia,(r)+...+a0KffK(r)=x0,2i(r)+...+X0MrM('") (45)

Из (45) сразу следует, что

[АхА] Оо=[ХхА] хо (46)

По условиям формирования функций уп(г) они должны быть ортогональны к элементарным нагрузкам /т(г). Следовательно, граничные напряжения состояния постояшой деформации не совершают работы на граничных перемещениях, заданных функциями /„(г), если эти напряжения могут быть представлены как некоторая совокупность элементарных нагрузок.

Следствием этого утверждения и формул (12) и (45) является формула

Pt[Ra]a0=KT[F]x0. (47)

Согласно алгоритму П матрицу С можно представить в виде С = Р - [АхА]'1 [ХхА]К = Р - ÄK,

поэтому

y = -H-l^r-KIÄIjRe]ae=-H-1(pT[Re]ae-KIXT[RelÄ*,)=

= - H-'(pT[Ra]a0-KT[F]x0)=ö; (48)

следовательно, элемент прямоугольной призмы типа П без отверстия выдерживает кусочное тестирование. Доказательство сходимости может быть распростра-

нено без измеиений на плоско-напряженные и изгибаемые пластины тшта П произвольной конфигурации.

Элементарные функции нагрузки для элементов типа И должны удовлетворять трем основным требованиям:

•функции нагрузки должны быть линейно независимыми; •напряжения на границе элемента, отвечающие любому состоянию постоянной деформации, должны представляться в виде линейной комбинации функций нагрузки;

•матрица работ функций нагрузки на перемещениях основного базиса [РхХ] не должна быть вырожденной.

Функции нагрузки для трехмерных элементов в форме прямоугольного параллелепипеда, с достаточной степенью точности удовлетворяющие этим требованиям, изображены на рис. 1. С помощью таких функций можно смоделировать все состояния постоянной деформации - состояния чистого сдвига и осевого растяжения, а также состояния чистого изгиба.

Приложенная к узлу нагрузка равномерно распределяется в равных долях на три прилегающие к узлу грани в виде нормальных и касательных напряжений. Для обеспечения невырожденности матрицы [РхХ] нормальные напряжения в точке приложения нагрузки могут быть несколько увеличены.

Если форма четырехугольной призмы отличается от прямоугольного параллелепипеда, то напряжения, приложенные к трем прилегающим к данной вершине граням, можно заменить на соответствующие поверхностные нагрузки, направленные вдоль осей х, у и г.

Элементарные функции нагрузки для элемента плоско-напряженной мембраны типа П, точно моделирующие состояния постоянной деформации, могут быть построены по следующему принципу: единичная сила в узле 1 мембраны заменяется равномерно распределенными нагрузками, приложенными к 2 ближайшим к узлу сторонам таким образом, что равнодействующая равна исходной единичной силе.

Проекции распределенной нагрузки, приложенной к стороне 1, на оси связанной со стороной 1 системой координат п,) представляют собой нормальные и касательные напряжения:

Рис. 1. Элементарные нагрузки для параллелепипеда и мембраны

(|) = (q?> + Qr')cosa, +(q;" + Qr'^ina, ;

2L,

,„ (Qí" + Qí' ")(~ s'nai) + (d^0 + Q^'^cosa,.

2L,

Если контур мембраны - многоугольник с четным числом сторон, то для удовлетворения требованию невырожденности матрицы [FxX] распределение нагрузки вдоль сторон принимается линейным, но близким к равномерному.

Частные решения уравнений статического равновесия тонкой изгибаемой пластаны с учетом сдвига можно разделить на 3 независимых семейства:

A) ДФ=0; Y=0; Н=0;

B) AY=0; AF=Y/S; Н=0,

C) AH+k,JH=0; Ф=0; Y=0.

Методика кусочного тестирования не может быть применеш для иссяедова-ния сходимости МКЭ при сдвиговых деформациях пластины (решения типа С), так они не содержат состояний постоянной деформации. Состояния постоянной деформации изгибаемой шастины описываются частными решениями Фш степени т=2:

Рис. 2. Состояния постоянной деформации изгибаемой пластины

Если пластина находится в одном из 3 указанных состояний постоянной деформации, то каждый слой пластины работает как плоско-напряженная мембрана и также находится в состоянии постоянной деформации. Поэтому для элемента изгибаемой пластины анализ сходимости в предположении отсутствия сдвиговых деформаций проводится так же, как и для элемента мембраны, и приводит к следующим выводам:

• Если базисный набор образовать из 9 младших решений - 5 решений типа Л, 3 решений типа В и 1 решения типа С, то условие сходимости КЭ-апнроксимации будет выполнено для треугольных элементов как типа П, так и типа I.

• При числе узлов п>3 и соответствующем расширешш набора базисных решений сходимость обеспечена для любых элементов типа П. Сходимость обеспечена также для элементов типа I, если размерности векторов х и а равны и статическая конденсация не требуется. В общем случае (при произвольном количестве узлов) для элементов изгибаемой пластины типа I сходимость не обеспечена даже при симметричном кмггуре элемента.

В седьмой главе дается краткое списание библиотеки классов, построенной на основе рассмотренных в диссертации методов и алгоритмов и предназначенной для включения в состав специализированных прикладных программ расчета конструкций по многоуровневой суперэлеменшой схеме МКЭ. Сформулирован критерий автоматического выбора суперузлов: узел подконструкции является внутренним узлом, если дая всех подконструкций данного типа (оригинала и всех копий) все конечные элементы, содержащие данный узел, принадлежат этой подконструкции. Доказывается возможность применения метода деления спектра для определения собственных частот конструкции при проведении многоуровневой статической конденсации.

В восьмой главе приведены результаты решения некоторых задач с помощью разработанной на основе материалов диссертации программы суперэлементного прочностного расчета конструкций на персональных ЭВМ. Полученные результаты сравниваются с результатами других авторов, опубликованными в справочниках и научных журналах.

В приложении приводятся результаты конечно-элементного моделирования состояния узлов Андреевского моста в г. Москве при его перевозке на плавучих опорах.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В диссертации предлагается методика формирования матрицы реакций конечного элемента при статическом или гармоническом воздействии, основанная на представлении поля перемещений в виде системы линейно независимых равновесных полей, отвечающих частным решениям уравнений равновесия в потенциалах.

На этапе построения матрицы реакций базис узловых перемещений может быть дополнен локальными неизвестными, к которым затем применяется исключение по Гауссу. В диссертации описываются два алгоритма формирования матрицы реакций.

2. Предлагаемая методика применена для построения матриц реакций конечных элементов плоско-напряженпых пластин (мембран), изгибаемых пластин с учетом сдвига (по модели Миндлина-Рейсснера и трехмерной модели) и трехмерной четырехугольной призмы. Уравнения равновесия при статическом и гармоническом воздействии после замены перемещений потенциалами могут быть преобразованы так, что входящие в них функции являются решениями уравнений Гельмгольца, Лапласа или бигармонического уравнения. Для плоско-напряженных пластин, изгибаемых пластин Миндлина-Рейсснера и трехмерных элементов из частных решений этих уравнений отбираются линейно независимые но перемещениям решения, удовлетворяющие уравнениям равновесия. Для элемента изгибаемой пластины в трехмерной постановке частные решения должны дополнительно удовлетворять граничным условиям на поверхности пластины. При гармонических колебаниях проводится группировка частных решений, обеспечивающая предельный переход к статическим решениям при уменьшении частоты колебаний до нуля.

3. Для элементов с круглыми отверстиями и сферическими полостями при представлении общего решения однородного уравнения равновесия в потенциалах в

виде суммы частных решений необходимо обеспечить равенство нулю напряжений на границе концентратора. Для этого каждое частное решение, не имеющее особых точек, необходимо допошшть конечным числом частными решениями с особой точкой в це!пре концентратора, названными в диссертации «дополняющими функциями». Для каждого частного решения без особых точек получены явные выражения для дополняющих функций; их амплитуды определяются из системы алгебраических уравнений размерностью не более 2 для плоско-напряженной пластины, не более 3 -для изгибаемой пластины и не более 4 - для трехмерного элемента.

4. Для изгибаемой пластины получены границы применимости модели Минд-лшш-Рейсснера и трехмерной модели. При толщине пластины, превышающей предельное значение ддя теории Миндлина-Рейсснера, пластиш должна рассчитываться по трехмерной модели с учетом поправок к коэффициентам матрицы реакций, характеризующих нелинейность распределения напряжений и перемещений по толщине пластины.

С помощью введения вспомогательной двумерной векторной функции и представления полей напряжений и перемещений в виде, не зависящем от системы координат в плоскости изгибаемой пластины, выявлена связь трехмерных уравнений частных решений с уравнением распространения изгибных волн в упругом слое и с уравнениями модели Миндлина-Рейсснера.

5. Для рассмотренных в диссертации типов конечных элементов проведено исследование сходимости на равномерной сетке по методу кусочного тестирования на полях постоянных деформаций (для элементов плоской и объемной задач) или постоянных моментов (для изгибаемых пластин). При исследовании сходимости гармоническое воздействие может быть заменено статическим.

Для элементов с отверстиями и полостями условие сходимости не выполняется, но при уменьшении размеров отверстия по отношению к размерам элемента перемещения и напряжения в элементе стремятся к точным значениям, если аналогичный элемент без отверстия обладает свойством сходимости.

Элементы без отверстия с матрицей реакций, сформированной по алгоритму I, обладают свойством сходимости, если размерности векторов хна равны и статическая конденсация не требуется, это относится, в частности, к элементам мембран и изгибаемых пластин с нечетным количеством узлов. Кроме того, свойством сходимости обладают центрально-симметричные элементы плоско-напряженной пластаны при количестве узлов, кратном 4.

Элементы без отверстия с матрицей реакций, сформированной по алгоритму П, обладают свойством сходимости при любом количестве и расположении узлов, если для любого состояния постоянных деформаций или постоянных моментов можно выразить граничные напряжения через элементарные функции нагрузки.

ПРИМЕРЫ

Плоская задача

А. Одноосное растяжение бесконечной пластины с отверстием

Таблица 5. Зависимость коэффициента концентрации напряжений от отиошения диаметра отверстия к размеру элемента. 4-узловой элемент

d/a Теория Тип 1 Тип II Метод Пилтнера 1

0.3 3.0 2.91 2.91 2.91

0.4 3.0 2.88 2.87 2.87

0.5 3.0 2.87 2.83 2.83

0.6 3.0 2.90 2.77 2.77

0.7 3.0 2.94 2.71 2.71

0.8 3.0 3.00 2.64 2.64

0.9 3.0 3.07 2.55 2.55

Таблица 6. Зависимость коэффициента концентрации напряжений от отношения диаметра отверстия к размеру элемеита. 8-узловой элемент

d/a Теория Тип! Тип II Метод Пилтнера

0.3 3.0 2.76 2.99 2.99

0.4 3.0 2.88 3.02 3.01

0.5 3.0 3.00 3.06 3.05

0.6 3.0 3.13 3.11 3.09

0.7 3.0 3.24 3.16 3.14

0.8 3.0 3.33 3.20 3.18

0.9 3.0 3.44 3.23 3.21

I

1 А, / \j

-- /\ \ -ч ш * V 'У --

\/

1

Рис. 3. 4-узловои элемент

Рис. 4. 8-узловой элемент

1 Piltner R. Special finite elements with holes and internal cracks // Int. J. Numer. Meth. Eng., 1985. - V.21, N.8. - pp. 1471-1485 (частный случай метода П при отсутствии дополнительных неизвестных).

Б. Чистый изгиб полосы шириной н- с отверстием на оси полосы

Таблица 7. Нормальные напряжения на границе отверстия

й/м Справочник* ТипI Тип II Метод Пилтнера

0.1 0.2 0.20 0.20 0.20

0.3 0.6 0.60 0.61 0.60

0.4 0.87 0.80 0.82 0.81

0.5 1.15 1.02 1.04 1.03

0.6 1.54 1.20 1.30 1.30

0.7 2.16 1.56 1.66 1.67

0.8 3.3 2.04 2.23 2.25

Рис. 5. Эпюра нормальных напряжений (элементы типа П)

В. Чистый изгиб паюсы со смещенным отверстием

Рис. 6. Схема задачи

Рис. 7. Эпюра нормальных напряжений (элементы типа П)

2 Петерсон Р. Коэффициенты концентрации напряжений. Графики и формулы для расчета конструктивных элементов на прочность. - М.: Мир, 1977. - 302 с.

Таблица 8. Напряжения на граиице смещенного отверстия при е/с=3

г/с Справочник Тип I Тип II Метод Пилтнера

0.01 1.50 1.51 1.52 1.47

0.1 1.62 1.60 1.61 1.57

0.2 1.75 1.69 1.73 1.69

0.3 1.93 1.79 1.87 1.84

0.4 2.22 1.92 2.06 2.04

0.5 2.60 2.10 2.31 2.29

Как следует го приведенных выше данных, для задач плоского изгиба максимальная точность численного решения достигается при использовании элементов типа II с дополнительными неизвестными.

Изгиб пластин (модель Миндлина-Рейсснера)

А. Простой поперечный изгиб бесконечной пластины с одиночным круглым отверстием

Таблица 9. Коэффициенты концентрации цапряжешш ири простом изгибе пластины (модель Миидлина-Рейсснера)

т Теория Тип1 Типа Метод Пилтнера

4 узла 8 узлов 4 узла 8 узлов 4 узла 8 узлов

0.01 3.00 3.00 2.93 3.00 2.95 3.00 2.96

1 2.24 2.26 2.17 2.25 2.23 2.25 2.23

2 2.03 2.06 1.97 2.02 2.03 2.02 2.03

3 1.93 1.99 1.89 1.90 1.95 1.90 1.95

4 1.88 1.95 1.85 1.82 1.91 1.81 1.90

5 1.85 1.95 1.84 1.74 1.88 1.73 1.88

6 1.83 1.98 1.83 1.68 1.86 1.66 1.86

7 1.82 2.04 1.83 1.65 1.85 1.63 1.84

8 1.82 2.13 1.84 1.67 1.84 1.70 1.83

10 1.82 1.86 1.82 1.81

1

■ ..-5 - -г :;......■ ;„■.¡.г.:

Рис. 8. Пластина с 8-узловым элементом тша II (иростой шгиб)

Б. Изгибаемый треугольник с шарнирно опертыми сторонами под действием равномерной нагрузки (статическая и динамическая постановка) Физические и геометрические характеристики: •модуль упругости Е=3.6-Ю10 Н/м2; •коэффициент Пуассона у=0.25; •плотность материала р=2400 кг/м3; •длина стороны элемента Ь=1.0 м; •толщина пластины Ь=0.1 м;

•интенсивность распределенной нагрузки д=1.0 Н/м2(без учета перфорахщи).

Рис. 9. Расчетная схема пластаны

Рис. 10. Первая форма колебаний(Я=0.2; f,=23 Гц)

Таблица 10. Зависимость прогиба, максимального напряжения и первой частоты собственных колебаний от диаметра отверстий

Радиус отверстия г, м Макс, перемещение \№та„, м Наибольшее напряжение От«х, Н/м2 Коэффициент концентрации к Первая собственная частота Гц

0.0 2.45-10"' 409 (в центре эл-та) — 25

0.025 2.47-10"' 901 2.20 25

0.05 2.53-10"' 877 2.14 25

0.1 2.78-10"' 907 2.22 25

0.15 3.27-10"' 989 2.42 24

0.2 4.25-10"' 1150 2.81 23

Изгиб пластин (трехмерная модель)

*

I

Рис. И.Простой изгиб пластины. Эпюра стх вблизи отверстия

Трехмерные элементы

м IГ1 м

Рис. 12. Двуосное растяжение пластины с одиночной сферической полостью. Схема задачи

Рис. 13. Двуосиое растяжение пластины со сферической полостью (3x3 КЭ). Напряжения ог

Таблица 11. Концентрация напряжений в пластине с одиночной сферической полостью при двуосном растяжении

а/\лг Справочник Тип II Метод Пилтнера

0.05 2.09 2.09 2.09

0.1 2.09 2.09 2.09

0.2 2.10 2.10 2.08

0.3 2.12 2.12 2.07

0.4 2.16 2.16 2.06

0.5 2.23 2.20 2.06

Рис. 14. Изгиб квадратной консольной пластины со сферическими полостями (3x3 КЭ). Напряжения стж.

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах:

1. Мазур Г.Э. Построение матрицы жесткости конечного элемента на основе частных решений уравнений равновесия для бесконечной области // Моск. гос. ун-т путей сообщ. (МИИТ)-М, 1997.- 8 с. - Деп. в ВИНИТИ 21.02.97 N 575-В97.

2. Мазур Г.Э. Построение матрицы жесткости объемного конечного элемента с внутренней сферической полостью // Моск. гос. ун-т путей сообщ. (МИИТ) -М„ 1997.- 11 с. - Деп. в ВИНИТИ 21.02.97 N574-B97.

3. Огурцов Ю.Н, Мазур Г.Э. Деление спектра в суперэлементных задачах динамики сооружений // Моск.гос. ун-т путей сообщ.(МИИТ)- М., 1993. - 7 с. -Деп. в ВИНИТИ 30.11.93 N 2978-В93.

4. Мазур Г.Э. Алгоритм формирования матрицы реакций конечного элемента со сферической полостью // Информационное обеспечение технологии, надежности и управления строительством. Проблемы и решения. Сб.науч.тр. - Вып. 920. -М",МИИТ, 1998.-С.83-85.

5. Мазур Г.Э. Построите матриц реакций конечных элементов тонких изгибаемых пластин с отверстием ia основе модели Миндпша-Рейсснера // Информационное обеспечение технологии, надежности и управления строительством. Проблема и решения. Сб.науч.тр. - Вып. 920. - М., МИИТ, 1998. - С.86-89.

6. Мазур Г.Э. Конечные элемент с внутренними концентраторами напряжений. Двумерные задачи. - М:МИИТ, 2000. - 80 с.

7. Мазур Г.Э. Конечные элементы с внутренними концентраторами напряжений. Трехмерные задачи. -М:МИИТ, 2000. - 56 с.

8. Бобриков A.B., Улупов A.C., Мазур Г.Э. Компьютерное сопровождение процесса снятия, перевозки на плаву по статически-неопределимой схеме (на трех пла-вопорах) и установки на новой оси распорного арочного пролетного строения Андреевского моста. - Материалы научно-практического симпозиума «Опыт применения информационных технологий в мостостроении». М:2000. -С.16-18.

Введение

1. Метод конечных элементов и задачи о концентрации напряжений

1.1. Метод конечных элементов (МКЭ) и его суперэлементный вариант

1.2. Конечные элементы с неполиномиальными функциями формы

1.2.1. Конечные элементы с криволинейными границами

1.2.2. Сингулярные конечные элементы

1.2.3. Конечные элементы с отверстиями и полостями

1.3. Использование функций перемещений и напряжений для построения функций формы конечного элемента

1.3.1. Функции перемещений и напряжений в теории упругости

1.3.2. Использование частных решений уравнений теории упругости для построения равновесных конечных элементов

1.3.3. Вывод уравнений равновесия в потенциалах

1.3.4. Связь между полями потенциалов и функцией напряжений

1.4. Динамические задачи

1.4.1. Стандартные способы решения задач динамики линейно-упругих систем по МКЭ

1.4.2. Метод динамических жесткостей

1.4.3. Задачи о концентрации напряжений при динамическом воздействии

1.5. Постановка задачи исследования

2. Конечные элементы плоско-напряженных и изгибаемых тонких пластин

2.1. Введение

2.2. Основные принципы методики формирования матриц реакций конечных элементов.

2.3. Построение системы базисных решений (плоская задача)

2.4. Учет условий на границе отверстия (плоская задача)

2.5. Вычисление матрицы жесткости плоско-напряженной пластины

2.6. Тонкая изгибаемая пластина с учетом сдвига. Уравнения теории Миндлина-Рейсснера

2.7. Построение системы базисных решений (изгиб тонкой пластины). Учет условий на границе отверстия

2.8. Вычисление матрицы реакций тонкой изгибаемой пластины

2.9. Выводы по главе

3. Изгибаемая пластина произвольной толщины

3 .1. Уравнения равновесия и их решения

3.2. Построение системы частных решений (динамика)

3.3. Построение системы частных решений (статика)

3.4. Вычисление матрицы реакций

3.5. Выводы по главе

4. Трехмерный конечный элемент со сферической полостью

4.1. Введение

4.2. Построение системы базисных решений

4.3. Вывод формул для бигармонических потенциалов

4.3.1. Решения без особенности в начале координат

4.3.2. Решения с особенностью в начале координат («дополняющие функции»)

4.4. Переход от «динамического» решения к «статическому»

4.5. Исключение решений, зависимых по перемещениям

4.6. Учет условий на границе полости

4.7. Построение системы функций формы

4.8. Выводы по главе

4.9. Таблицы и формулы

5. Исследование полноты и линейной независимости систем частных решений уравнений равновесия

5.1. Общие положения

5.2. Плоская задача и изгиб тонких пластин

5.3. Трехмерная задача

5.4. Изгиб пластин (цилиндрические координаты)

5.4.1. Гармонические колебания

5.4.2. Определение коэффициентов

5.4.3. Вывод уравнений движения тонкой пластины

5.4.4. Статика

5.5. Выводы по главе

6. Исследование сходимости МКЭ применительно к элементам, построенным на полях потенциалов

6.1. Введение

6.2. Кусочное тестирование конечных элементов, построенных на основе полей потенциалов

6.3. Кусочное тестирование плоско-напряженной пластины

6.4. Кусочное тестирование четырехугольной призмы

6.5. Элементарные функции нагрузки для четырехугольной призмы

6.6. Кусочное тестирование тонкой изгибаемой пластины

6.7. Выводы по главе

7. Алгоритмическое и программное обеспечение

7.1. Введение

7.2. Некоторые классы и методы

7.2.1. Классы и методы общего назначения

7.2.2. Классы для описания конечных элементов

7.2.3. Фрагмент программы (пример)

7.3. Деление спектра в методе суперэлементов

8. Примеры расчетов

8.1. Плоская задача

8.2. Изгиб пластин (модель Миндлина-Рейсснера)

8.3. Изгиб пластин (трехмерная модель)

8.4. Трехмерные элементы

Наиболее распространенным методом решения задач об определении напряженно-деформированного состояния упругих тел с концентраторами напряжений в общем случае является метод конечных элементов. При использовании стандартных элементов из библиотек распространенных программных пакетов для получения достаточно точной картины распределения напряжений необходимо уменьшать шаг сетки вблизи границ концентраторов. При этом увеличивается размерность системы разрешающих уравнений и, как следствие, увеличивается время расчета и объем памяти ЭВМ, необходимой для решения задачи. Этот эффект наиболее резко проявляется при расчете трехмерных тел с большим количеством полостей.

Альтернативным подходом к этой проблеме является применение специально разработанных конечных элементов с концентраторами напряжений. Несомненным достоинством таких элементов является то, что их применение позволяет резко сократить требования к ресурсам ЭВМ. Вместе с тем многим элементам такого типа присущи две существенные отрицательные стороны: некоторое снижение точности решения задачи, вызванное несовместностью граничных перемещений вдоль общей стороны двух соседних элементов, и невозможность произвольного задания формы концентратора.

До сегодняшнего дня конечные элементы с концентраторами напряжений не получили широкого распространения. Вероятно, основными причинами этого послужили как указанные выше недостатки, так и бурный рост мощности и производительности современных ЭВМ, позволяющих решать системы уравнений большой размерности за приемлемое для пользователя время. Из немногочисленных работ, посвященным конечным элементам с концентраторами, можно заключить, что основной областью применения таких элементов являются задачи о плоской деформации и изгибе тонких пластин, а общей теории конечных элементов с концентраторами до сих пор не 7 существует. Следовательно, актуальной задачей является разработка единого подхода к формированию матриц жесткости для всех типов элементов с концентраторами (в том числе и для трехмерных элементов) и распространение этого подхода на динамические задачи.

Цель диссертационной работы заключается в разработке универсальных методов и алгоритмов формирования матриц жесткости конечных элементов различных типов с одиночными отверстиями и полостями и восстановления напряженно-деформированного состояния в зоне концентрации напряжений (вблизи границы отверстия или полости) по заданным перемещениям узлов конечного элемента при статическом и динамическом воздействии.

Научная новизна работы состоит в следующем:

•разработана универсальная методика формирования матриц жесткости конечных элементов, основанная на представлении функций формы в виде линейной комбинации равновесных полей перемещений, соответствующих частным решениям уравнений равновесия в потенциалах;

•на основе данной методики создана библиотека конечных элементов следующих типов: элемент плоско-напряженной пластины, элемент тонкой изгибаемой пластины с учетом сдвига, элемент изгибаемой пластины произвольной толщины и трехмерный элемент в форме четырехугольной призмы;

•получены модификации двумерных мембранных и пластинчатых элементов с одиночными круглыми отверстиями для решения задач о концентрации напряжений при гармоническом воздействии;

•впервые получена модификация трехмерного конечного элемента с одиночной сферической полостью для определения концентрации напряжений в упругих телах с порами и полостями при статическом и гармоническом воздействии;

•разработаны алгоритмы формирования матриц реакций конечных эле8 ментов и исследована сходимость соответствующих конечно-элементных аппроксимаций на равномерной сетке.

Достоверность результатов проверялась путем применения предлагаемых в диссертации методов к тестовым задачам, для которых известны аналитические или экспериментальные решения, и подтверждена приводимыми в работе доказательствами основных выводов.

Практическая ценность работы заключается в создании программы для ЭВМ и библиотеки классов для определения напряженно-деформированного состояния упругих тел с круглыми отверстиями и сферическими полостями при статическом или гармоническом воздействии на основе многоуровневого метода суперэлементов с автоматическим выбором суперузлов, а также в применении разработанной методики и программы расчета для исследования работы узлов арочного пролетного строения Андреевского моста в г. Москве при его перевозке на плавучих опорах.

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на кафедрах «САПР транспортных конструкций и сооружений» и «Строительная механика» Московского государственного университета путей сообщения (1991, 1992, 1993, 1997, 1998, 1999 гг.), на научно-технической конференции молодых ученых и аспирантов МГУПС (1993 г.), на заседании секции «Механика железобетона» НИИЖБ (1998 г.), на отраслевом научно-практическом симпозиуме «Опыт применения информационных технологий в мостостроении». По теме диссертации опубликовано 6 статей (в т.ч. 2 - в соавторстве) и 2 монографии.

Диссертация состоит из введения, 8 глав, заключения, списка литературы и приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В диссертации предлагается методика формирования матрицы реакций конечного элемента при статическом или гармоническом воздействии, основанная на представлении поля перемещений в виде системы линейно независимых равновесных полей, отвечающих частным решениям уравнений равновесия в потенциалах.

На этапе построения матрицы реакций базис узловых перемещений может быть дополнен локальными неизвестными, к которым затем применяется исключение по Гауссу. В диссертации сравниваются два алгоритма формирования матрицы реакций, дополненных процедурой статической конденсации локальных неизвестных.

2. Предлагаемая методика применена для построения матриц реакций конечных элементов плоско-напряженных пластин (мембран), изгибаемых пластин с учетом сдвига (по модели Миндлина-Рейсснера и трехмерной модели) пластин и трехмерной четырехугольной призмы. Уравнения равновесия при статическом и гармоническом воздействии после замены перемещений потенциалами могут быть преобразованы так, что входящие в них функции являются решениями уравнений Гельмгольца, Лапласа или бигармонического уравнения. Для плоско-напряженных пластин, изгибаемых пластин Миндлина-Рейсснера и трехмерных элементов из частных решений этих уравнений отбираются линейно независимые по перемещениям решения, удовлетворяющие уравнениям равновесия. Для элемента изгибаемой пластины в трехмерной постановке частные решения должны дополнительно удовлетворять граничным условиям на поверхности пластины. При гармонических колебаниях проводится группировка частных решений, обеспечивающая предельный переход к статическим решениям при уменьшении частоты колебаний до нуля.

3. Для элементов с круглыми отверстиями и сферическими полостями

204 при представлении общего решения однородного уравнения равновесия в потенциалах в виде суммы частных решений необходимо обеспечить равенство нулю напряжений на границе концентратора. Для этого каждое частное решение, не имеющее особых точек, необходимо дополнить конечным числом частными решениями с особой точкой в центре концентратора, названными в диссертации «дополняющими функциями». Для каждого частного решения без особых точек получены явные выражения для дополняющих функций; их амплитуды определяются из системы алгебраических уравнений размерностью не более 2 для плоско-напряженной пластины, не более 3 - для изгибаемой пластины и не более 4 - для трехмерного элемента.

4. Для изгибаемой пластины получены границы применимости модели Миндлина-Рейсснера и трехмерной модели. При толщине пластины, превышающей предельное значение для теории Миндлина-Рейсснера, пластина должна рассчитываться по трехмерной модели с учетом поправок к коэффициентам матрицы реакций, характеризующих нелинейность распределения напряжений и перемещений по толщине пластины.

С помощью введения вспомогательной двумерной векторной функции и представления полей напряжений и перемещений в виде, не зависящем от системы координат в плоскости изгибаемой пластины, выявлена связь трехмерных уравнений частных решений с уравнением распространения изгибных волн в упругом слое и с уравнениями модели Миндлина-Рейсснера.

5. Для рассмотренных в диссертации типов конечных элементов проведено исследование сходимости на равномерной сетке по методу кусочного тестирования на полях постоянных деформаций (для элементов плоской и объемной задач) или постоянных моментов (для изгибаемых пластин). При исследовании сходимости гармоническое воздействие может быть заменено статическим.

205

Для конечных элементов с отверстиями и полостями свойство сходимости не обеспечивается, но точность результатов увеличивается при уменьшении отношения диаметра концентратора к расстоянию от его центра до внешней границы элемента.

Для элементов без отверстия с матрицей реакций, сформированной по алгоритму I, свойство сходимости обеспечивается, если размерности векторов узловых перемещений и базисных решений равны и статическая конденсация не требуется; это относится, в частности, к элементам мембран и изгибаемых пластин с нечетным количеством узлов. Кроме того, свойством сходимости обладают центрально-симметричные элементы плосконапряженной пластины при количестве узлов, кратном 4. (Простейшим элементом этого класса является элемент в форме прямоугольника.)

Для элементов без отверстия с матрицей реакций, сформированной по алгоритму II, свойство сходимости обеспечивается при любом количестве и расположении узлов, если для любого состояния постоянных деформаций или постоянных моментов можно выразить граничные напряжения через элементарные функции нагрузки.

206

1. Александров A.B., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высшая школа, 1990. - 400 с.

2. Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. М.:Стройиздат,1983. -488 с.

3. Андриянов И.В., Старушенко Г.А. Применение метода осреднения к расчету пластин и оболочек с периодическими ослаблениями // Строительная механика и расчет сооружений. 1984, № 2,- С.21.

4. Бурман З.И., Артюхин Г.А., Зархин Б.Я. Программное обеспечение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженерных расчетах. М.: Машиностроение, 1988. - 256 с.

5. Вайнберг Д.В. Концентрация напряжений в пластинах около отверстий и выкружек. -К.:Техника, 1969.

6. Вайнберг Д.В. Напряженное состояние составных дисков и пластин. -К:Изд.АН УССР, 1952. 420 с.

7. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти томах. T.I. Колебания линейных систем. / Под ред. В.В.Болотина.- М.: Машиностроение, 1978. 352 с.

8. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти томах. Т.6. Защита от вибрации и ударов. / Под ред. К.В.Фролова.- М.: Машиностроение, 1981. 456 с.

9. Ю.Воеводин В.В., Кузнецов Ю.Ф. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. - 320 с.207

10. П.Гайан Р.Дж. Приведение матрицы жесткости и масс. // Ракетная техника и космонавтика, 1965. T.3,N.2.- С.287.

11. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. - 428 с.

12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., Наука, 1966. 576 с.

13. Головчан В.Т., Никитюк Н.И. Об одном методе решения плоской задачи теории упругости для перфорированных пластин // Изв. АН СССР. МТТ. -1983, № 2. С.94-101.

14. Григолюк Э.И., Филыпинский JI.A. Перфорированные пластинки и оболочки. М.: Наука, 1970. - 556 с.

15. Дарков A.B., Шапошников H.H. Строительная механика. М. Наука, 1986. - 607 с.

16. Ден-Гартог Дж.П. Механические колебания. Пер. с англ. М.: Физмат-гиз, I960,- 580 с.

17. Динамический расчет сооружений на специальные воздействия. Справочник проектировщика,- М.: Стройиздат, 1981,- 216 с.

18. Динамический расчет специальных инженерных сооружений и конструкций / Ю.К.Амбриашвили, А.И.Ананьин, А.Г.Барченков и др.; Под ред. Б.Г.Коренева, А.Ф.Смирнова. М.: Стройиздат, 1986. - 461 с.

19. Жислина JI.C. Методика расчета равномерно перфорированных пластин, нагруженных в своей плоскости // Труды МТИЛП. 1963, № 27. - С.261-273.

20. Иосилевич Г.Б. Концентрация напряжений и деформаций в деталях машин. М.: Машиностроение, 1981. - 223 с.

21. Каминский A.A. Определение концентрации напряжений при двухосном растяжении пластины, ослабленной отверстиями случайной формы // Прикл. механика. 1973, т. 9, № 6. - С. 109-112.

22. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений / Пер. с англ.- М.: Стройиздат, 1979,- 320 с.208

23. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.:Наука, 1984. - 832 с.

24. Косицын С.Б. Неклассические криволинейные конечноэлементные модели в линейных и нелинейных задачах строительной механики. Дисс. . докт.техн.наук. М.: МИИТ, 1993. - 424 с.

25. Космодамианский A.C. Плоская задача теории упругости для пластин с отверстиями, вырезами и выступами. К.: Вища школа, 1975. - 228 с.

26. Космодамианский A.C. Распределение напряжений в изотропных многосвязных средах. Донецк: Изд. ДГУ, 1972. - 266 с.

27. Кравченко Г.М. Применение двухсвязных конечных элементов к расчету перфорированных пластин методом конечных элементов. Дисс. . канд. техн. наук. М.:МИСИ, 1990. - 112 с.

28. Крейг Р.Р.,Бэмптон М.К. Сочленение подконструкций при динамическом расчете конструкций. // Ракетная техника и космонавтика, 1968. T.6,N.7.-С.113-121.

29. Крэчун И.П. К построению конечных элементов на основе аналитических решений задач теории упругости // Теоретическая и прикладная механика. Харьков, 1988. - № 19. - С.85-90.

30. Кузнецов Д.С. Специальные функции. М.: Высшая школа, 1962. - 248 с.

31. Линейные уравнения математической физики. В.М.Бабич, М.Б.Капилевич, С.Г.Михлин и др. - М. Наука, 1964. - 368 с.

32. Мавлютов P.P. Концентрация напряжений в элементах авиационных конструкций. М.:Наука, 1981. -141 с.

33. Мазур Г.Э. Построение матрицы жесткости конечного элемента на основе частных решений уравнений равновесия для бесконечной области // Моск. гос. ун-т путей сообщ. (МИИТ) М., 1997. - 8 с. - Деп. в ВИНИТИ 21.02.97 N575-B97.

34. Мазур Г.Э. Построение матрицы жесткости объемного конечного элемен209та с внутренней сферической полостью // Моск. гос. ун-т путей сообщ. (МИИТ)-М., 1997.- 11 с. Деп. в ВИНИТИ 21.02.97 N 574-В97.

35. Мазур Г.Э. Решение задач динамики сооружений по многоуровневой суперэлементной схеме при различных вариантах демпфирования. Дисс. . канд. техн. наук. М.:МИИТ, 1993. - 164 с.

36. Мазур Г.Э. Алгоритм формирования матрицы реакций конечного элемента со сферической полостью // Информационное обеспечение технологии, надежности и управления строительством. Проблемы и решения. Сб.науч.тр. Вып. 920. - М., МИИТ, 1998. - С.83-85.

37. Мазур Г.Э. Конечные элементы с внутренними концентраторами напряжений. Двумерные задачи. М.:МИИТ, 2000. - 80 с.

38. Мазур Г.Э. Конечные элементы с внутренними концентраторами напряжений. Трехмерные задачи. М.:МИИТ, 2000. - 56 с.

39. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений / В.А. По-стнов, С.А. Дмитриев, Б.К. Елтышев, A.A. Родионов. Под общей ред. В.А. Постнова. Л.: Судостроение, 1979. - 288 с.

40. Нейбер Г. Концентрация напряжений. Л.: Гостехиздат, 1947,- 204 с.

41. Нестеров И В. Решение задач теории упругости по МКЭ на адаптивных сетках. Дисс. . канд. техн. наук. М.:МИИТ, 1993. - 104 с.210

42. Новацкий В. Динамика сооружений. М.: Госстройиздат, 1963. - 376 с.

43. Огурцов Ю.Н. Применение и развитие метода суперэлементов для статического и динамического анализа конструкций: Дис. . канд. техн. наук: 01.02.03.-М.,1988.- 193 с.

44. Петерсон Р. Коэффициенты концентрации напряжений. Графики и формулы для расчета конструктивных элементов на прочность. М.: Мир, 1977. - 302 с.

45. Постнов В.А.,Москалев А.Н. О применении метода подструктур для определения и разделения корней частотного уравнения консервативных сис-тем//Прикл. механика, 1979,т. 15, N.3, с.94-96.

46. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций.-JI. Судостроение, 1977. 280 с.

47. Пржеминицкий Е.С. Матричный метод исследования конструкций на основе анализа подструктур // Ракетная техника и космонавтика, 1963, т.1, N.1. с.165-174.

48. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. К.: Наукова думка, 1968. - 817 с.

49. Савин Г.Н., Тульчий В.И. Справочник по концентрации напряжений. К.: Вища школа, 1976. - 410 с.

50. Секулович М. Метод конечных элементов.-М.:Стройиздат,1993. 664 с.

51. Скучик Е. Простые и сложные колебательные системы. М.: Мир, 1971.211558 с.

52. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.4, ч.2. М.:Наука, 1981. - 552 с.

53. Соколов Г.П., Хечумов P.A. Применение метода конечных элементов для вычисления коэффициентов интенсивности напряжений // Исследование механического сопротивления материалов и конструкций. М.:МИСИ. -БГИСМ, 1978. - Вып. 8. - С. 37-45.

54. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. - 350 с.

55. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений / А.Ф.Смирнов, А.В.Александров, Б.Я.Лащеников, Н.Н.Шапошников; Под ред. А.Ф.Смирнова. М.:Стройиздат, 1984. -416 с.

56. Суперэлементный расчет подкрепленных оболочек / З.И.Бурман, О.М.Аксенов, В.И.Лукашенко, М.Т.Тимофеев. М.: Машиностроение, 1982.-256 с.

57. Тархнишвили В.А. Расчет тонких упругих пластин и оболочек с отверстиями,- Тб.: Груз. техн. ун-т, 1990. 222 с.

58. Уилкинсон Дж.Х., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке Алгол. Линейная алгебра,- М.: Машиностроение, 1976.-390 с.

59. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры.-М.-Л. :Физматгиз, 1963.- 736 с.

60. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970. -736 с.

61. Хан X. Теория упругости: Основы линейной теории и ее применения. -М.: Мир, 1988. 344 с.

62. Хечумов P.A., Кепплер X., Прокопьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. М.:Изд-во АСВ, 1994. - 353 с.

63. Шереметьев М.П. Пластинки с подкрепленным краем. Львов: Изд. Львовск. гос. ун-та,1960. - 258 с.212

64. Цейтлин А.И. Прикладные методы решения краевых задач строительной механики. М.:Стройиздат, 1984. - 334 с.

65. Bailey R., Hicks R. Behaviour of perforated plates under plane stress // J. Mech. Eng. Sei. 1960. - V.2. - N.2. - P.143-161.

66. Chiang C.R. A numerical method for solving elasticity problems: application to the problems of an infinite plate containing two circular holes // Comp.& Str., 1988,- V.30,No.6. -pp. 1199-1205.

67. Christiansen S. Numerical determination of stress in a finite or infinite plate with several holes of arbitrary form // Z. angew. Math, und Mech., 1968. V.48. -P.131.

68. Collar A.R., Simpson A. Matrices and engineering dynamics /Chichester: Horwood, 1987,- 541 p.

69. Dieker S. Ein verallgemeinertes Verfahren der Substrukturtechnik fur den Aufbau dynamischer Superelemente // Z. Flugwis. und Weltraumforsch, 1991. V.15,No.6.-pp. 379-385.

70. Drumn R. Berechnung von Spannungskonzentrations problemen mit der Methode der Finiten Elemente // Forsch. Ingenieurw., 1986. V.52, N.3. - P.69-75.

71. Greenwood I.A. Exact formulae for stresses around circular holes and inclusions. // Int. J. Mech. Sei., 1989. V.31,N.3. - P.219-227.

72. Haddon R.A.W. Stress in an infinite plate with two uncoupled circular holes // J.Mech.Math., 1967. V.20. - P.277.

73. Hurty W.C., Rubinstein M.F. Dynamics of structures. N.Y., 1964. - 455 p.

74. V.149, No.l. pp. 83-90. 83 .Leung Y. An accurate method of dynamic substructuring with simplified computation. // Int. J. Num. Meth. Eng., 1979,- V.14,N.9.- pp. 1241-1256.

75. Piltner R. Special finite elements with holes and internal cracks // Int. J. Numer. Meth. Eng., 1985. V.21, N.8. - pp. 1471-1485.

76. Pipes L.A., Hovanessian S.A. Matrix-computer methods for engineering. -N.Y.,1969.-333 p.

77. Pipes L.A., Harvill L.R. Applied mathematics for engineers and physicists. -N.Y.,Tokyo,1970. 723 p.

78. Slot T. Stress analysis of thick perforated plates // Technomic Publ. Co., Westport, Conn. 1972.

79. Triangular elements in plate bending conforming and nonconforming solutions / G.P.Bazeley, Y.K.Cheung, B.M.Irons, O.C.Zienkiewich. - Wright-Patterson I., 1965.

80. Yuan M., Xiong S., Chen X. Multiple level dynamic substructure analysis // Eng. Comput., 1991. V.8,No.3. - pp. 231-244.215

81. ПЛ. Моделирование работы узлов пролетного строения Андреевского моста при его перевозке на плавучих опорах

82. Конечно, данная конечно-элементная модель не претендует на полноту и точность описания сложной работы заклепочных соединений, но может быть полезна инженерам-проектировщикам как инструмент, позволяющий понять работу сложных узлов металлических мостов.

83. П.3.Пространственный расчет узлов пролетного строения Из описанных выше элементов были собраны модели двух узлов арки, отличающихся типом прикрепления раскоса и стойки к поясу через накладки или через фасонки.