автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Решение задач теории упругости по методу конечных элементов при использовании равновесной и совместной моделей

#

А* Госкомвуз РФ

(/Московский государственный автомобильно-дорожный ^ институт

(технический университет) (МАДИ—ТУ) МПС РФ

Московский государственный университет путей сообщения

(МИИТ)

На правах рукописи

удк 624.04

В. И. ИВАНОВ-ДЯТЛОВ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПО МЕТОДУ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ РАВНОВЕСНОЙ И СОВМЕСТНОЙ МОДЕЛЕЙ

Специальность 05.23.17 строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

МОСКВА

— 1998

Работа выполнена в Московском государственном автомобильно-дорожном институте (МАДИ—ТУ) и в Московском государственном университете путей сообщения (МИИТ).

Научный руководитель — доктор технических наук, профессор Шапошников Н. Н.

Научный консультант — кандидат технических наук доцент Ожерельев В. А.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук профессор Власов Б. Ф., кандидат технических наук доцент Долотказшг Д. Б.

Ведущая организация — ЦНИИСК им. В. к. Кучеренко

защита диссертации состоится " Г( " Р 1998 г.

в /хв_3^>часов на заседании специализированного совета Д 114.05.02 при Московском государственном университете путей сообщения по адресу: 101475, ГСП, Москва, ул. Образцова д. 15, аудитория хЫ^З

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института

Автореферат разослан 1998 г.

Отзыв на автореферат, заверенный печатью, просим напра влять по адресу совета института.

Ученый секретарь специализированного совета

Мальцев В. П

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Метод конечных элементов является в настоящее время наиболее универсальным методом расчета конструкций. Вместе с тем, при использовании метода конечных элементов, как и любого другого приближенного метода, возникает вопрос о точности приближенного решения.

Чаще всего точность решения оценивается следующим образом: производится последовательное сгущение сетки элементов и исследуется разница между значениями изучаемых величин, получаемых в каждом предыдущем и последующем шагах сгущения. Если эта разница не превосходит некоторой наперед заданной величины, то точность считается удовлетворительной. В случае медленной сходимости процесса такой подход не гарантирует точности решения: разница может быть малой, а решение при этом будет находиться далеко от точного. Иногда точность решения можно оценить, сравнивая приближенное решение с классическим, найденным какими-либо аналитическими методами, но это возможно лишь в простейших случаях.

Другая возможность состоит в получении двусторонних оценок точного решения по энергии. Это требует применения так называемых встречных методов, которые заключаются в решении прямой и двойственной задач. Этот подход в линейной теории упругости состоит в решении двух экстремальных задач: нахождения экстремума функционала Лагранжа и экстремума функционала Кастильяно.

В методе конечных элементов первый подход является общепринятым. Это объясняется тем, что построение базисных функций, которые удовлетворяют предварительным условиям функционала Лагранжа, в плоской и пространственной задачах теории упругости осуществляется сравнительно просто. Эти функции должны быть только непрерывными и удовлетворять кинематическим граничным условиям. Конечные элементы, допускающие возможность построения таких функций, называются "совместными по перемещениям" или просто "совместными". Идеализированная конструкция, состоящая из таких элементов и называемая совместной моделью, имеют большую жесткость, чем действительная конструкция, и при заданных нагрузках и нулевых кинематических граничных условиях дает нижнюю оценку точного решения по энергии.

Решение двойственной задачи — нахождение экстремума функционала Кастильяно — является значительно более трудным. Конечные элементы в этом случае должны содержать поля напряжений, удовлетворяющие уравнениям равновесия и статическим граничным условиям. Такие конечные элементы называются "равновесными". Идеализированная конструкция, составленная из таких элементов, называется равновесной моделью. Жесткость такой конструкции меньше истин-

ной, и при указанных выше граничных условиях таким путем может быть получена верхняя оценка точного решения по энергии.

В некоторых случаях решение в напряжениях является наиболее рациональным подходом к получению результатов. Например, хорошо известно, что обычное решение в перемещениях в случае плоской деформации невозможно при коэффициенте Пуассона, равном 1/2 (несжимаемый материал типа резины). Применение решения в напряжениях позволяет получить непрерывную зависимость результата от коэффициента Пуассона при ¡г ^1/2-

Целью данной работы является практическая реализация двойственного подхода на существующих программных комплексах, предназначенных для расчета конструкций по методу перемещений, без их специальной модификации.

Актуальность работы.

Важнейшим вопросом метода конечных элементов (МКЭ) является его точность в зависимости от свойств элементов и густоты сетки. В диссертации рассматривается вопрос двусторонней оценки точности приближенного решения по энергии.

Научная новизна.

В работе строится алгоритм реализации равновесной модели метода конечных элементов в функциях напряжений для любой одно-связной или многосвязной плоской области, при статических и кинематических граничных условиях, на существующих программных комплексах, реализующих МКЭ. Такая возможность обеспечивается с помощью предложенных автором фиктивных элементов контура. При разработке алгоритма систематически использовалась общая система уравнений строительной механики. Разработана библиотека равновесных конечных элементов на основе статико-геометрической аналогии. Предложен алгоритм для решения пространственных задач.

Практическая ценность.

Применение алгоритма, разработанного автором, позволяет, наряду с обычным решением по методу конечных элементов, эффективно проводить двустороннюю оценку по энергии и по перемещениям для плоских задач теории упругости на одних и тех же программных комплексах без их специальной модификации, а лишь путем расширения библиотеки элементов. Применение равновесной модели на основе уравнений метода сил и смешанного метода расширяет возможности практического конечноэлементного анализа.

Данный алгоритм позволяет решать задачу плоской деформации с коэффициентами Пуассона 1/2, что важно для расчетов конструкций из материалов типа резины при малых деформациях. При этом до-

стигается возможность получения непрерывной зависимости решения от коэффициента Пуассона при значениях ц ^1/2, что невозможно при расчете по методу перемещений.

На защиту выносится:

Универсальный алгоритм практической реализации двойственного анализа конструкций на существующих программных комплексах и примеры его применения в задачах концентрации напряжений и других задачах для односвязных и многосвязных областей в условиях плоской деформации и плоского напряженного состояния как в случае сжимаемого, так и в случае несжимаемого материала.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на научно-исследовательских конференциях МАДИ 1991-1995 гг. (и более ранних лет), на 2-й международной конференции "Актуальные проблемы железнодорожного транспорта", посвященной 100-летию МИИТа (секция строительной механики) — сентябрь 1996, научном семинаре "Актуальные проблемы прикладной механики", посвященном 90-летию со дня рождения профессора И. К. Снитко, организованном в ноябре 1996 г. Санкт-Петербургском Домом ученых РАН, и других конференциях и семинарах. По теме диссертации имеется 9 печатных работ, указанных в списке литературы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируется задача, отмечается ее научная новизна и практическая ценность. Также приводится краткое содержание всех четырех глав.

Первая глава содержит краткий исторический обзор по вариационным принципам линейной теории упругости, методам решения систем разрешающих уравнений, общим уравнениям строительной механики и различным типам равновесных конечных элементов.

Первый параграф посвящен краткому обзору вариационных принципов теории упругости. Отмечается, что все уравнения линейной теории упругости могут быть получены как условия стационарности некоторого расширенного функционала. Если часть переменных связана определенными условиями, то соответствующие функционалы приобретают экстремальные свойства. К таким функционалам относятся функционалы Лагранжа и Кастильяно. Для первого функционала условиями связи являются непрерывность перемещений и кинематические граничные условия, а условиями экстремума — уравнения равновесия и статические граничные условия, а для второго —

1*

5

условиями связи являются уравнения равновесия и статические граничные условия, и условиями экстремума — условия совместности деформаций и кинематические граничные условия. В линейной теории упругости точные значения для обоих функционалов одинаковы. Схема решения задач методом Ритца для обоих функционалов следующая: в первом случае задается непрерывное поле перемещений, удовлетворяющее геометрическим граничным условиям, с неопределенными коэффициентами, а во втором — равновесное поле напряжений, удовлетворяющее статическим граничным условиям, с неопределенными коэффициентами. Неопределенные коэффициенты определяются из условия минимума функционала. Это дает возможность получить двустороннюю оценку решения по энергии. Указанное свойство представляет собой основу двойственного анализа конструкций. Оценки, получаемые в результате таких двух расчетов, являются апостериорными (т. е. получаются после расчета).

Среди работ, посвященных апостериорным оценкам в вариационных задачах — работы Р. Куранта, К. Фридрихса, С. Г. Михлина, М. Г. Слободянского, И. В. Свирского, Дж. Аргириса, Дж. Синга, Б. Ф. де Вебеке, Б. Ф. Власова и других.

Второй параграф главы посвящен обзору построения системы разрешающих уравнений при решении задач строительной механики в форме, пригодной для расчета на ЭВМ, так и в обычной форме. Указываются работы Г. Мюллер-Бреслау, А. Остенфельда, Б. Клейна, Р. А. Резникова, Дж. Аргириса, де Вебеке, Л. А. Розина и других. Отмечается, что основные методы строительной механики представляют собой условия экстремума некоторых функционалов. Наиболее четкая формулировка основных методов построения систем разрешающих уравнений достигается с позиций построения общей системы уравнений строительной механики, рассматриваемых в работах Н. Н. Шапошникова. Отмечается, что не следует смешивать понятия аппроксимации того или иного поля с методами решения системы разрешающих уравнений. Например, при аппроксимации поля напряжений решение может производиться методом перемещений и наоборот.

Третий параграф посвящен обзору равновесных конечных элементов, на которых реализуется минимум функционала Кастильяно. Отмечается, что в случае элементов с постоянным полем напряжений конструкция, составленная из таких элементов может быть шаткой. Также отмечается, что наиболее рациональный подход к построению таких элементов состоит в использовании статико-геометрической аналогии между задачами изгиба пластин и плоской задачи в функциях напряжений Эри. Это означает, что базисные функции изгибных пластин могут быть использованы при построении равновесных конечных элементов в функциях напряжений Эри. Такой подход применяется в работах Г. Сандера, Р. Галлагера, Ю. И. Авдеева и других. Тем не менее в этих работах не решен вопрос записи статических и особенно — геометрических граничных условий. Тем более неясно решение задач

для многосвязных областей. В конце первой главы формулируется цель и задача исследования.

Во второй главе с позиций общих уравнений строительной механики формулируются разрешающие уравнения теории упругости в аналитической и конечпоэлементной постановке в форме метода сил и смешанного метода, когда основными неизвестными являются функции напряжений.

Первый параграф посвящен формулировке общей системы уравнений строительной механики для стержневых систем.

AS = Р ATS = Д , А = BS

где

А — матрица уравнений равновесия узлов, преобразующая столбец внутренних сил в столбец узловой нагрузки. S = [Si,S2, S3,.. ,Sm]T — вектор усилий в стержнях, Р = [Pix, Ply, Р2х, Ргу, • • •Ршх,Рту]т — вектор нагрузок, приложенных к узлам,

Z — [ui, vi, U2, V2,.. -um, vm]T — вектор узловых перемещений, А = [Ai, Д2, A3, • • • ДтГ — вектор деформаций элементов, В — матрица податливостей разъединенной конструкции. Важнейшая информация о кинематических свойствах конструкции содержится в матрице А. Степень статической неопределимости равна числу ее столбцов минус ранг, сигнатура и степень шаткости числу строк минус число столбцов и числу строк минус ранг соответственно (здесь впервые используется терминология К. Н. Прокофьева).

Общая система уравнений строительной механики в сочетании с методом исключения Гаусса позволяет сформулировать все методы строительной механики и обозначить свойства систем уравнений. Исключив вектор деформаций, получим систему уравнений смешанного метода. Запишем систему в матричной форме и составим таблицу для исключения по Гауссу.

В -Ат 0

-А 0 -Р

В —Ат 0

-АВ-1 —АВ-1 Ат -Р

В результате получим систему уравнений метода перемещений:

AB-1ATZ = Р.

2-4703 7

Для решения системы уравнений смешанного метода может быть использован метод сил. Если система нешаткая, то матрица А — прямоугольная размером пхт, причем п>ш, и дефект этой матрицы равен нулю. Разобьем эту матрицу на 2 подматрицы: квадратную неособенную Ао и прямоугольную Ах.

т

т

А = т

Ао

Ах

В соответствии с матрицей А разобьем матрицу В также на подматрицы. Тогда матрица системы уравнений смешанного метода примет вид:

п

Воо в Ох -А5

ВхО Вхх -А?

-Ао -Ах 0

8о

У ~ъ

о ^р

Переформируем систему, чтобы в нижней части столбца неизвестных были расположены статически неопределимые величины X и выполним исключение по Гауссу:

— Ат 0 Воо Вох 0

0 -Ао -Ах -Р

-К ВхО Вхх 0

-А& Воо Вох 0

0 -Ао -Ах -р

ДТ Д-1т -(Вхо - А^1тВ00)Ао 1 Вхх — А^Ао 1тВох + (Вхо — -А^Ао1тВ00)Ао1Ах ь

Здесь

1=-{В^-АтхА-й1'гВтА-1)Р.

Итак, система уравнений смешанного метода может решаться как методом сил, так и методом перемещений.

Очевидно, что метод сил значительно труднее поддается алгоритмизации, чем метод перемещений. Это объясняется прежде всего необходимостью разделения матрицы А на две части, причем матрица Ао должна быть квадратной и неособенной. Эта сложная операция осуществляется перебором столбцов и строк. Матрица Ао при этом несимметрична.

Данная процедура аналогична выбору основной системы метода сил

при ручном счете. Однако нельзя считать, что метод перемещений всегда проще метода сил. Например, в случае нерастяжимых (несжимаемых) стержней перемещения узлов становятся линейно зависимыми, и для решения такой задачи приходится записывать условие отсутствия продольных деформаций. Это аналогично построению диаграмм перемещений (планов скоростей) шарнирной схемы при расчете по методу перемещений в обычной форме, когда не учитываются продольные деформации.

Это означает, что при постепенном увеличении продольной жесткости наступает такой момент, когда матрица реакций системы становится плохо обусловленной, и необходимо исключить продольные деформации, сократив число неизвестных.

При расчете по методу сил такого явления не наступает, и если податливость какого-либо стержня на растяжение-сжатие стремится к нулю, при составлении матрицы податливостей стержневой системы матрица уравнений метода сил не будет вырождаться за исключением тех случаев, когда задача не имеет физического смысла.

Во втором параграфе приводится вывод уравнения совместности для плоской задачи теории упругости в функциях Эри с помощью общей системы уравнений строительной механики. При этом функция Эри рассматривается как некоторая обобщенная сила.

В третьем параграфе рассматриваются вариационные принципы Лагранжа и Кастильяно, двусторонние оценки по энергии и двусторонние оценки главных и побочных единичных перемещений. Отмечается, для плоской задачи теории упругости в случае решения в равновесной постановке при статических граничных условиях функционал Кастильяно не содержит упругих констант материала, что соответствует известной из теории упругости теореме Мориса Леви.

В четвертом параграфе рассматривается построение решения плоских задач теории упругости на основе смешанного метода. При этом разрабатывается вариант, при котором в качестве основных неизвестных используются узловые значения функции напряжений Эри.

Рассмотрим некоторую область, поделенную на конечные элементы, в которых задано поле функций напряжений. Это поле должно быть непрерывным и иметь непрерывную первую производную. Поле внутри элемента можно выразить через узловые значения функции напряжений и ее производных, которые являются основными неизвестными метода. Предположим, что нагрузка может быть приложена только на контуре области. Функция напряжений может рассматриваться как некоторое поле обобщенных внутренних сил, через которые могут быть выражены внешние контурные нагрузки. Этим внутренним силам соответствуют обобщенные деформации (в смысле возможной работы), а внешним контурным силам — некоторые перемещения. Составим для области, представленной в виде системы конечных элементов, общую систему уравнений строительной механики.

2* 9

в ф - Атг = о (1)

— А ф = - Р (2)

Учитывая сказанное о характере приложения нагрузки, можно сделать вывод о том, что в матрице А будут отличны от нуля только те коэффициенты, которые связаны со значениями функции напряжений в узлах, находящихся на контуре.

Будем формировать матрицу смешанного метода, используя поэлементный подход (прямой метод податливостей). Рассмотрим для определенности конечный элемент в виде треугольника. Тогда для одного элемента поле функций напряжений будет иметь вид:

V = [N1, N«1, N,1, |ЗЧ2) N«2, Г*у2| ^з, Кх3,

где Г*? = рЧь N„1, N„1, Мх2, Г4у2, ^з, Г<х3, N,3] — строка базисных функций г-го элемента,

фг — узловые значения функции напряжений и ее производных г-го элемента.

<Р! = [¥>1.(<Эу/<9х)1,(д^/ду)1, \<р2,(д<р/дх)2,(д1р/ду)2,\

<рз,(д<р/дх.)3,(д1р/ду)з].

Запишем уравнение возможной дополнительной работы для элемента с номером г.

Обозначим

а — В2Ц> <р — функция напряжений Эри

<г = [сх <Ту т] — столбец напряжений

д2/дх2 д2/ду2 д2 [дх^ду

оператор двойного дифференцирования

Для г-го элемента:

<7Г = Т>2^тФг

Wr = J = ^В гфГ1

где В* — матрица закона Гука.

Отсюда:

Вг = I ^Б^В'БгТМЕ,

где Вг — матрица податливостей конечного элемента. Далее сформируем матрицу податливостей всей конструкции. Запишем выражение работы внутренних сил всей системы. Вначале выразим узловые значения функции напряжений и ее производных для г-го элемента, выразив эти величины через глобальные значения функции напряжений и ее производных в конструкции.

<Рг = С г<р

Сг — матрица, локализующая степени свободы элемента. Тогда выражение возможной работы внутренних сил всей системы запишется в виде суммы по элементам, которая равна работе внешних сил:

п

Г=1

Выразим нагрузку на контуре через значения функции Эри:

Р = А<р

или

п

с;гвгсг^ = ртг = <^тАтг.

Г=1

отсюда получим систему (1), где

п

В = С^ВГСГ — матрица податливостей системы.

Г=1

Присоединяя к (1) уравнения равновесия на контуре (2), получим систему уравнений смешанного метода (1)-(2).

Итак, формирование блока матрицы смешанного метода, состоящего из матрицы податливостей всей конструкции, осуществляется точно так же, как и в методе перемещений, по обычной конечноэлементной процедуре, для чего могут быть использованы программные комплексы расчета конструкций по методу перемещений. Следует однако указать, что в смешанном методе для рам матрица В есть матрица податливостей разъединенной конструкции. В нашем случае можно считать эту матрицу матрицей податливости некоторого одного сложного элемента.

3-4703

И

Неизвестные смешанного метода — двух видов: основные (узловые значения функции напряжений) и дополнительные (перемещения контура). Задача состоит в том, чтобы формировать блоки А и Ат по той же процедуре, по которой формируется основной блок матрицы смешанного метода. Для этого примем, что нагрузки на контуре приложены к некоторым дополнительным фиктивным узлам, нумерация которых продолжает нумерацию основных узлов. Силовые параметры нагрузок, приложенных к границе некоторого элемента, примыкающего к границе области, однозначно определяются значениями функции напряжений и ее производных в двух смежных узлах этого элемента, расположенных на границе. Примем участок границы области, расположенный между двумя смежными узлами, за некоторый новый элемент, который назовем фиктивным элементом контура (рис. 1).

<2> | I

Ф.

XI %

Рис. 1. Фиктивный элемент контура

Для того чтобы поле напряжений было равновесным, нагрузки на контуре должны быть распределенными. Составляющие вектора нагрузок можно выразить через производные функции напряжений на контуре.

Чп = д2<р/д&2, ^ = д2у/дп дв,

где п — координата, взятая по нормали к контуру, 1 — координата, взятая по касательной к контуру, Яп — нормальная составляющая нагрузки, qt — касательная составляющая нагрузки.

Таким образом, для формирования дополнительных блоков матрицы уравнений смешанного метода можно сформировать стандартным образом для одной границы г-го элемента, блок вида, указанного в таблице 1:

ЦЧп

контур

с

Таблица 1

0 А?

Аг 0

а затем рассылать этот блок со своими данными в соответствующее место общей матрицы смешанного метода.

Для случая функции напряжений, изменяющейся по кубическому закону, нормальная составляющая распределенной нагрузки может быть задана своими значениями в начале и в конце контурного элемента; касательная составляющая постоянна и задается непосредственно.

Другой способ задания нагрузки на контуре: нормальная нагрузка может быть задана с помощью проекций главного вектора в середине стороны и главного момента в этой точке. В этом случае обобщенными перемещениями Ъ будут средние значения поступательных и угловых перемещений на контуре элемента.

Затем, что, в отличие от метода перемещений, перемещения не будут совместными между элементами. Они понимаются в смысле возможной работы.

Итак, для формирования матрицы смешанного метода требуется включить в библиотеку элементов, кроме основных элементов, еще и элемент контура, который для каждого типа основного элемента будет, вообще говоря, свой.

При использовании рассмотренного подход а для формирования общей матрицы смешанного метода можно применять программные комплексы, предназначенные для расчета конструкций по методу перемещений.

Третья глава посвящена рассмотрению различных типов совместных элементов в перемещениях и равновесных элементов плоской задачи, выраженной через функцию напряжений Эри. В основе теории лежит статико-геометрическая аналогия, согласно которой базисные функции для элементов изгибных пластин, совместные по прогибам и углам поворота, являются базисными функциями равновесных конечных элементов в функциях Эри.

В первом параграфе приводятся базисные функции и матрицы реакций простейших совместных элементов плоской задачи в перемещениях (треугольник и прямоугольник). Расчетная схема, составленная из таких элементов, будет иметь большую жесткость по сравнению с точным значением.

Во втором параграфе приводится вывод матрицы реакций треугольного элемента плоской задачи в функциях напряжений Эри. Базисные функции этого элемента являются функциями элемента Клафа-Точера для изгибных пластин. Функции Клафа-Точера представляют собой кусочно кубические полиномы, заданные на трех подобластях, на

которые разбивается треугольный элемент. Элемент имеет 9 степеней свободы.

Третий параграф посвящен построению прямоугольного элемента плоской задачи в функциях Эри. Базисные функции — функции Биркгофа-Гарабедяна, предназначенные их авторами для задач гладкой двумерной аппроксимации. Эти функции были применены для построения конечного элемента изгибных пластин с 12 степенями свободы. Базисные функции элемента (также, как и элемента Клафа-Точера) используются в данной работе для построения равновесного элемента по смешанному методу.

Матрицы элементов Клафа-Точера, и Биркгофа-Гарабедяна составлены таким образом, чтобы при соответствующей замене упругих характеристик они могли быть использованы как для расчета изгибных пластин в перемещениях, так и для плоской задачи в функциях Эри (включая плоское напряженное состояние и плоскую деформацию).

В четвертом параграфе содержится подход к распространению теории на пространственные задачи теории упругости. В соответствии с принятой методикой изложения рассматривается элемент, совместный по перемещениям (в виде треугольной призмы), в свое время предложенный автором. Кроме того, выводятся базисные функции равновесного конечного элемента также в виде треугольной призмы. Переменными в этом случае являются функции напряжений Максвелла. Отмечается, что число степеней свободы такого элемента, равное 108, сильно затрудняет его применение, однако его построение вполне возможно.

Четвертая глава содержит рассмотрение различных примеров применения равновесных конечных элементов и двусторонние оценки по энергии различных систем с помощью предлагаемой теории.

В первом параграфе вначале рассматриваются тестовые примеры по расчету изгибных пластин (для проверки матриц элементов Клафа-Точера и Биркгофа-Гарабедяна).

Второй параграф содержит рассмотрение различных плоских задач с помощью равновесной модели. Вначале рассматривались простейшие задачи (простое растяжение, простой сдвиг, изгиб консоли). В первых двух случаях напряжения получились точно, в третьем — получено устойчивое приближенное решения, практически не меняющееся при варьировании соотношения сторон элементов.

Далее рассмотрен пример на растяжение прямоугольного бруса для различных сеток и различных типов элементов с помощью совместной и равновесной моделей. На графике (рис. 2), приведены значения потенциальной энергии для всех случаев. Как видно, при уменьшении шага сетки значения потенциальной энергии сходятся к точному с двух сторон.

Клаф-Точер Биркгоф-Гар абедиан

Совместный прямоугольник Совместный треугольник

о г=

Номер сетки

Рис. 2. Прямоугольная область. Значения потенциальной энергии.

Другой пример —область с прямоугольным вырезом под действием растягивающей нагрузки. При различных сетках здесь также получена двусторонняя оценка по энергии.

Рассмотрим еще один пример двухсвязной области (рис. 3). Как известно, если нагрузка на каждом контуре не является уравновешенной, функция напряжений неоднозначна. Это означает, что в области должны быть сделаны разрезы, которые затем замыкаются по условию равенства перемещений.

ш « • *

• * 54 • N

ф ф ф »

*

0.9

О

5

4

1

г

т

Рис. 3 Двухсвязная область. Общий случай.

В данном случае разрезанную область нужно обойти контурными элементами, причем контурные элементы должны быть поставлены по обоим краям разреза. Для обеспечения непрерывности поля перемещений матрицы контурных элементов по обеим сторонам разреза должны иметь противоположные знаки.

Интересно заметить, что в качестве дополнительных неизвестных смешанного метода появляются перемещения как на контуре, так и по краям разреза. Это позволяет учесть кинематические граничные условия не только на контуре, но и внутри области. Для этого нужно сделать разрез от контура до нужной точки и обойти этот разрез фиктивными элементами контура аналогично тому, как это делается в многосвязной области.

Может возникнуть необходимость в рассмотренных задачах найти перемещения в точках, расположенных внутри области. Для этого нужно провести сечение от контура до контура и установить в этом сечении фиктивные элементы контура. Имея в виду, что все напряжения в области и на контуре известны и известны также перемещения контура, можно решить общую систему уравнений относительно перемещений сечения — т. е. дополнительных неизвестных перемещений в контурных элементах, установленных в сечении.

В третьем параграфе четвертой главы рассматривается задача концентрации напряжений около отверстий при растяжении (задача Кирша). Исходная сетка сгущалась двумя способами: 1) — удвоением и 2) — адаптацией в зависимости от градиентов напряжений по алгоритму, предложенному к. т. н. доцентом И. В. Нестеровым (МИИТ).

Конечная сетка на 5 шаге адаптации приведена на рис. 4. На рис. 5а,б приведены графики потенциальной энергии при обоих способах сгущения сетки. Как видно, при удвоении сходимость монотонная, в то время как при адаптации монотонность нарушается.

Также были проведены численные эксперименты на пластине с эллиптическим отверстием. Полученные результаты показали, что ни равновесная, ни совместная модели не обеспечивают требуемой точности определения напряжений в зоне концентратора.

В четвертом параграфе содержится применение равновесной модели к исследованию конструкций из несжимаемых материалов типа резины (ц=0.5).

В случае плоской деформации несжимаемого материала матрица закона Гука становится вырожденной.

Для несжимаемых материалов существуют приемы, позволяющие преодолеть эту трудность, однако они предназначены для решения задач, в которых коэффициент Пуассона строго равен 1/2. Имеются материалы (типа резины), в которых коэффициент Пуассона близок к этой величине.

Может оказаться необходимым получение непрерывной зависимости решения от коэффициента Пуассона вплоть до значения, равного 1/2. На такие вопросы решение по методу перемещений дать ответа не может.

Рис. 4. Пластинка с круглым отверстием.

Шаг удвоен!

в. 7 6.65 £.6 6.ьб 6.5 6.45

6.4 -6.35 -6Л

Равновесный треугольник

Потенц. энергия *10е6

Шаг адаптацж

6.Б4 6.52 --

Б.Б 6 58 + 6 56 Б 54 6.52 +

Б.5 6.4В

Равновесный треугольник

чСовместный треугольник

Потенц. энергия * Юеб

Рис. 5. Значения потенциальной энергии а) — кратные сетки; б) — адаптивные сетки.

Смещение на ОЛЬ (протяженность)

ь=о>

а

Ъ

о

1.25 2.50 т в

О

1.25

2.50 а

С

О

1.25 2.50

С е ч е ж я н о ^

а ш =1.79

Ч ✓

С тг =1.89 )

VI V

та: =1.92

к А

у. тах =0.735

(Ники в) Ч.

Ь =0.75 4

т =1.26

Ишс( в)

1 1 Т .=0.1 .X 63

Т ¿144

шике в) \

<11~", е «г * в и <г

(У па* =1.78^

У«, =1.58 ГИш

ч>, //

^тк -1.96Й

=1.82 Иико О

а : гт =2.033

С : та* :1.92( ) А

Я у

Равновесная модель

- Совместная модель (Ицков)

Потенциальная энергия деформации в долях 1/ЬЬл2С

и ■

номер сетки

Рис. 6. Несжимаемый материал. Продольное смещение

Рассматривался пример, взятый из работы М. Е. Ицкова и А. Я. Жислина, представляющий собой расчетную схему резиноме-таллического амортизатора. Прямоугольная пластинка, жестко прикрепленная к двум плоскостям, рассчитывается на смещения верхней плоскости.

Рассматривалось два случая: продольное смещение (сжатие) и поперечное смещение (сдвиг). На рис. 6 приведены эпюры нормальных и касательных напряжений в сечениях А и Б для первого случая. Для каждого случая задача решалась на трех сетках, как и в указанной работе. На рисунках пунктирными линиями показаны эпюры из работы М. Е. Ицкова и А. Я. Жислина. Как видно, результаты достаточно близки. Подход, предлагаемый в настоящей работе, позволяет получить непрерывную зависимость результата от коэффициента Пуассона, что при расчете по методу перемещений сделать невозможно.

В пятом параграфе рассматривается возможное применение теории к пространственной задаче расчета коленчатого вала. Показывается, что данная задача является "существенно пространственной". Для суждения о прогибах вала под нагрузкой был проведен статический эксперимент, показавший отклонение угловых девиаций на опорах от результатов расчета по формулам сопротивления материалов примерно на 250 процентов.

Даже при самой грубой конечноэлементной сетке (в перемещениях) отклонение от эксперимента получилось порядка 33 процентов.

В работе построен пространственный конечный элемент на базе функций напряжений Максвелла, позволяющий в принципе получить двустороннюю оценку по энергии и по перемещениям и для пространственных задач, однако он содержит 108 степеней свободы, и использование его наталкивается на большие вычислительные трудности, хотя в принципе возможно.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. В данной работе для оценки точности приближенного решения задач теории упругости по методу конечных элементов предлагается использовать двусторонние энергетические оценки на базе принципов Лагранжа и Кастильяно. Кроме двусторонних оценок по энергии, данный подход позволяет также выполнить двустороннюю оценку главных и побочных перемещений.

2. Разработана библиотека элементов прямоугольной и треугольной формы для решения плоской задачи теории упругости по совместной модели в перемещениях (простейшие треугольник и прямоугольник) и по равновесной модели в функциях напряжений Эри (треугольный элемент Клафа—Точера и прямоугольный элемент Биркгофа— Гарабедяна). Совместные элементы использованы для решения задачи по Лагранжу, равновесные элементы — по Кастильяно (по-

видимому элемент Биркгофа—Гарабедяна в этом случае использован впервые). На основании статико-геометрической аналогии одни и те же элементы могут быть использованы как для решения плоской задачи в функциях Эри, так и для задачи изгиба в перемещениях.

3. Составление всех разрешающих уравнений рассматривается в качестве методов решения общей системы уравнений строительной механики, что позволяет полнее выявить свойства разрешающих уравнений и их применимость для решения тех или иных задач. Функция напряжений при этом рассматривается с позиций общих уравнений как некоторая обобщенная сила.

4. Разработан единый алгоритм для решения плоских задач теории упругости по совместной и равновесной модели. Рассмотрены од-носвязные и многосвязные области. Алгоритм позволяет решать задачи расчета по совместной модели (метод перемещений) и равновесной модели (метод сил) на одних и тех же обычных программных комплексах, предназначенных разработчиками для расчета по методу перемещений, без какой-либо их модификации, а лишь за счет расширения библиотеки элементов.

5. Алгоритм позволяет находить не только напряжения внутри контура, но и перемещения точек контура и учесть произвольные кинематические граничные условия, что затруднительно при решении подобных задач методом конечных разностей. При определенной модификации метод позволяет найти перемещения и внутри области.

6. Алгоритм проверен на большом количестве тестовых примеров. Получены двусторонние оценки по энергии для плоских задач: пластинка без выреза, пластинка с прямоугольным вырезом, пластинка с круговым отверстием. С помощью равновесной модели получены приближенные значения коэффициентов концентрации напряжений около кругового и эллиптического отверстий, которые сравнивались с известными точными решениями и с решениями, полученными с помощью совместной модели в перемещениях. По-видимому, такой анализ проводится впервые.

7. Решена задача о распределении напряжений в материале при непрерывном изменении коэффициента Пуассона вплоть до 1/2 (несжимаемый материал) в условиях плоской деформации. Выполнена двусторонняя оценка по энергии. Рассматривается вопрос о соблюдении условий Мориса Леви в постановках задачи по Лагранжу и Кастилья-но.

8. Проведен натурный эксперимент по определению перемещений в элементах коленчатого вала и приводится подход к нахождению двусторонней оценки этих перемещений. Разработан алгоритм построения пространственного равновесного конечного элемента в функциях напряжений Максвелла и способы распространения теории на пространственные задачи теории упругости.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО РАБОТЕ

1. Иванов-Дятлов В. И. К вопросу исследования жесткостей коленчатых валов. — В кн. Теоретическая механика. Строительная механика. Высшая математика. Сборник научных трудов аспирантов и соискателей. — М.: МАДИ, 1969. С. 99-107.

2. Иванов-Дятлов В. И., Тяжелов Н. Н. Исследование жесткостей коленчатых валов с помощью метода конечного элемента. — В кн. Жесткость в машиностроении. Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции. —Брянск: ГПИ-СТРОЙМАШ, 1971, с. 2022.

3. Тяжелов Н. Н., Иванов-Дятлов В. И., Найвельт В. В. Некоторые вопросы уточнения расчетной схемы многоопорного коленчатого вала.

— В кн. Строительные и дорожные машины. Сборник научных трудов аспирантов и соискателей. — М.г МАДИ, 1971 .— С. 134-140.

4. Иванов-Дятлов В. И. Построение матриц для двусторонней оценки жесткости массивных упругих тел. — В кн. Мосты и строительная механика. Труды МАДИ. Выпуск 36. — М.: 1972. С. 25-27.

5. Иванов-Дятлов В. И. Применение метода конечных элементов для расчета коленчатого вала. — В кн. Расчеты на прочность и жесткость. Межвузовский сборник научных трудов. Выпуск 5. М.: Мосстан-кин, 1979,— С. 125-135.

6. Иванов-Дятлов В. И. Использование функций напряжений для построения плоских и пространственных равновесных конечных элементов. — В кн. Исследование совместной работы элементов зданий и сооружений. Межвузовский сборник научных трудов. Выпуск 43 — Хабаровск: 1982.С. 56-67.

7. Иванов-Дятлов В. И. Равновесная модель в методе конечных элементов. Деп. в ВИНИТИ 24.07.92 # 2435 — В 92 — М.: МАДИ, 1992.

— 20 с.

8. Иванов-Дятлов В. И. Метод функций напряжений в равновесной модели метода конечных элементов. — В кн. Современные методы статического и динамического расчета конструкций и сооружений. Межвузовский сборник научных трудов. Выпуск 2. Воронежская государственная архитектурно-строительная академия. — Воронеж: 1993.

— С. 68-77.

9. Иванов-Дятлов В. И. Метод конечных элементов и двойственный анализ в линейных статических задачах теории упругости. — В кн. Актуальные проблемы развития железнодорожного транспорта. Тезисы докладов 2 международной конференции, посвященной 100-летию МИИТа. Том 2 — М.: 1996. С. 77.

Подписано в печать 28.04.98 Формат 60х901/16 А

Печать офсетная Бумага офс. № 1

Усл. печ. л. 1,25 Уч.-изд. л. 1,04 Тирах 100 экз.

Отпечатано в Производственно-издательском комбинате ВЙН 140010, г. Люберцы Московской обл., Октябрьский пр-т,140с Тел. 554-21-86 А, 111 /