автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Обобщенный метод деформаций в конечно-элементном анализе задач механики твердого тела

•

' . О

На правах рукописи

БИРЮКОВ Дмитрий Борисович

ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ДЕФОРМАЦИЙ В КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОМ АНАЛИЗЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Специальность № 05. 23. 17- «Строительная механика»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1999

Работа выполнена в Акционерном обществе открытого типа «Научно-производственное объединение по исследованию и проектированию энергетического оборудования им. И.И. Ползунова» (АООТ «НПО ЦКТИ»),

Научный консультант- доктор технических наук, профессор B.C. Постоев.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Ю.В. Верюжский; доктор технических наук, профессор В.И. Плетнев; доктор технических наук, профессор В.В. Улитин.

Ведущее предприятие - Санкт-Петербургский государственный технический университет, кафедра «Механика и процессы управления».

Защита состоится « 2000г. в _ч. на заседании

диссертационного совета Д 063.31.04 в СПбГАСУ по адресу: 198005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4, зал заседаний.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГАСУ.

Отзыв на автореферат, заверенный печатью, в одном экземпляре просим направлять в адрес диссертационного совета Д 063.31.04 СПбГАСУ: 198005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.

Автореферат разослан декабря 1999г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 063.31.04 кандидат технических наук, доцент

И.С. Дерябин

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Метод конечных элементов (МКЭ) нашел самое широкое применение при решении разнообразных задач математической физики: распространения тепла и электромагнитных волн, гидромеханики, расчета электрических цепей и т.д., однако наибольшее распространение метод получил при решении задач механики деформируемого твердого тела, тем более, что первые работы по методу конечных элементов были выполнены специалистами по строительной механике. Развитию этого метода способствовали с одной стороны интенсивная разработка его теоретических основ и построение новых конечно-элементных моделей, а также бурное развитие электронных цифровых вычислительных машин (ЭЦВМ), а в последние годы - персональных компьютеров (ПК).

Наибольшее развитие получил, отличающийся простотой алгоритма, МКЭ в варианте метода перемещений (МП), который положен в основу большинства наиболее известных отечественных и зарубежных универсальных программных комплексов для численного анализа прочности сложных конструкций и аппаратов на ЭВМ. Методы перемещений и сил (МС) классической строительной механики имеют примерно одинаковую трудоемкость, однако вследствие трудности алгоритмизации последнего, промышленных программных комплексов на его основе не создано.

Применение МП для решения таких важных задач, как определение напряженно-деформированного состояния (НДС) в области концентраций напряжений или расчет термических напряжений в областях высоких температурных градиентов, сопряжено с определенными трудностями вследствие ухудшения обусловленности глобальной матрицы жесткости при локальном сгущении конечно-элементной сетки в этих областях. При решении практических задач механики для оценки прочности конструкций и сооружений основной интерес представляют напряжения, поэтому при численном анализе постановка в перемещениях обладает существенным недостатком. Так как результатом приближенного решения задачи в такой постановке являются значения перемещений в узлах конечно-элементной сетки, то дальнейшее определение напряжений сводится, по существу, к численному дифференцированию поточечно заданных функций. Это приводит к значительно менее точному определению напряжений по сравнению с перемещениями. Еще одной причиной, снижающей точность определения напряжений является то обстоятельство, что при численной минимизации функционала Лагранжа статические граничные условия выполняются только приближешю, в интегральном смысле. К тому же производные от перемещений в симплекс-элементах претерпевают разрывы на межэлементных границах,

что влечет разрывность поля напряжений, не имеющую места в действительности для однородных тел.

Отмеченные факторы предопределили актуальность и цель создания такого численного метода, который при сохранении преимуществ МКЭ в традиционной постановке исключал бы упомянутые его недостатки.

Научная новизна. В качестве нового направления в теории и практике МКЭ предлагается обобщенный метод деформаций (ОМД) -прямой численный метод расчета деформаций и напряжений, обладающий большой точностью получаемого решения и рядом других преимуществ по сравнению с существующими подходами в МКЭ, т.к.: задача решается непосредственно в деформациях;

• для подсчета деформаций создан алгоритм генерирования ансамбля конечных элементов и разработана универсальная рекуррентная формула подсчета матрицы обобщенных деформаций (МОД)\

• в ОМД отсутствует, как таковая, система алгебраических уравнений;

• необходимое в ОМД требование выполнения условий совместности деформаций вдоль смежных сторон соседних КЭ обеспечивает межэлементную непрерывность функции перемещений и ее производных и, как следствие, - высокую точность решения;

• созданы и реализованы в программах для ПК алгоритмы подсчета матриц обобщенных деформаций для согласованных конечных элементов, а для решения задачи изгиба пластин разработан принципиально новый семиузловой согласованный КЭ на базе аппроксимирующей функции прогиба - полного кубического полинома;

• в трехмерных осесимметричных задачах решение «расщепляется» на т.н. «кольцевое» - перемещения и поворот недеформируемого сечения КЭ и «деформационное» - собственно деформации сечения КЭ;

• численный алгоритм ОМД существенно отличается от своих аналогов возможностью представления расчетных моделей многосвязных областей из практически неограниченного количества КЭ элементов;

• ОМД обеспечивает возможность компактного хранения матрицы обобщенных деформаций и проведения расчетов с использованием

■ только оперативной памяти (RAM) компьютера.

Практическая значимость разработанного метода заключается в том, что благодаря вышеперечисленным преимуществам численного алгоритма ОМД разработанный пакет прикладных программ для персонального компьютера позволяет не только решать задачи с расчетными моделями из практически неограниченного количества КЭ, но и вследствие использования при расчетах только оперативной памяти (RAM) компьютера без привлечения внешних носителей информации («винчестера»), резко сократить время счета конкретных задач.

В состав пакета вошли следующие программные комплексы:

1. «Расчет плоского напряженного состояния на базе КЭ с линейной аппроксимацией перемещений» («СИГМА-2»),

2. «Расчет плоского напряженного состояния базе КЭ с квадратичной аппроксимацией перемещений» («ОМЕГА-2).

.3. «Расчет изгиба пластин на базе семиузлового треугольного согласованного конечного элемента» («СИГМА-3»);

4. «Специализированная программа расчета напряженно-деформированного состояния пространственных объектов в трехмерной постановке» (« SPASE»).

5. «Программа совместного расчета температурного, напряженного, термодеформированного состояния и ресурса безопасной эксплуатации агрегатов ТЭС и АЭС в осесимметрич'ной постановке на базе шестиузлового конечного элемента» (СИГМА-4»).

Особенно важными являются разработанные автором методики и результаты расчетов ресурса безопасной эксплуатации сосудов и аппаратов ТЭС и АЭС, когда вычисление изменяющихся во времени напряжений от механических нагрузок и температурных напряжений производится в едином комплексе с расчетом меняющегося во времени распределения (поля) температур. Приведены результаты расчетов нестационарных температурных полей и НДС: корпусных элементов высоконапорных задвижек Ду-800, камерных и спирально-коллекторных подогревателей высокого давления (ПВД), различных типов ПНД, водоводов гидротурбин, мельничных вентиляторов.

Внедрение. ОМД и разработанный на его основе пакет прикладных программ использовался при разработке и проектировании теплообмешгого оборудования, изготавливаемого на АО «Красный котелыцик», г. Таганрог. АО «Барнаульский котельный завод», АО «Энергомаш» г. Саратов. В настоящее время пакет прикладных программ интенсивно используется при расчетах на малоцикловую усталость и ресурса безопасной эксплуатащш элементов энергооборудования.

Апробация работы. На различных этапах разработки метода его основные идеи и результаты исследований докладывались и обсуждались на 4-х международных и 3-х национальных конференциях.

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в монографии «Метод конечных элементов в напряжениях», СПб, изд-во НПО ЦКТИ, 1999г. 187с., 21-м печатном труде и в большом количестве научно-технических отчетов АООТ «НПО ЦКТИ».

Структура и объем диссертации. Работа объемом 257 страниц состоит из введения, восьми глав, заключения, содержит 111 иллюстраций,38 таблиц, список литературы из -2.од наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дано обоснование актуальности разработки предлагаемого численного метода и сформулированы цели представленной работы.

В первой главе дан краткий обзор традиционных подходов к решению задач механики деформируемого твердого тела, развитый в работах О. Зенкевича, Дж. Аргириса, Р. Галлагера, JI. Сегерлинда, К. Бата, Р.Д. Кука, В.А. Постнова, Л.А. Розина, А.Л.Сахарова, A.JI. Квитки, H.H. Шаброва и других авторов. Приведены основные положения метода напряжений в МКЭ и его преимущества по сравнению с существующими. Отмечается, что связь предлагаемого метода напряжений с методом перемещений в МКЭ . ограничивается представлением расчетной модели исследуемого объекта в виде ансамбля конечных элементов. Фундаментальным отличием ОМД от МП является различие заложенных в их основу физических моделей. Если в МП из условий равновесия в узлах (или минимизации функционала - потенциальной энергии) генерируется глобальная матрица жесткости ансамбля конечных элементов и затем решается глобальная система алгебраических уравнений относительно узловых перемещений, то в ОМД напрямую рассчитываются значения искомых деформаций. Отсутствует ключевое для всех известных подходов в МКЭ понятие: разрешающая (глобальная) система алгебраических уравнений, порядок которой определяется количеством степеней свободы в расчетной модели. Аналогом ее решения в ОМД является универсальная рекуррентная формула генерировании матрицы обобщенных деформаций, полученная из условий совместности деформаций на смежных сторонах соседних элементов ансамбля. В свою очередь выполнение условий совместности деформаций обеспечивает межэлементную непрерывность перемещений и необходимого числа их производных и, как следствие, - высокую точность результатов.

Фундаментальное различие методов повлекло за собой кардинальное различие численных алгоритмов методов, а именно:

• численный алгоритм ОМД принципиально отличается от своих аналогов отсутствием процедур формирования и решения глобальной системы алгебраических уравнений относительно искомых узловых перемещений

• возможностью представления расчетных моделей многосвязных областей из практически неограниченного количества конечных элементов и наряду с этим обеспечивает возможность для компактного хранения субматриц обобщенных деформаций в оперативной памяти (RAM) компьютера, что существенно снижает время счета.

Отличие ОМД от МП и его преимущества наглядно проиллюстрированы в приведенной ниже Таблице 1.1.

МКЭ в напряжениях Метод перемещений в МКЭ

Г. По разработанной универсальной матричной формуле генерируются субблоки матрицы обобщенных деформаций ансамбля КЭ. В ОМД нет процедур формирования и решения систем алгебраических уравнений высокого порядка. 1. Решение задачи основано на формировании глобальной матрицы жесткости ансамбля конечных элементов и решении системы разрешающих алгебраических уравнений высокого порядка относительно искомых узловых перемещений.

2. Не нужна процедура численного дифференцирования при расчете деформаций и напряжений, поскольку напрямую вычисляются по рекуррентным формулам. 2. Необходима процедура численного дифференцирования при расчете деформаций через значения узловых перемещений, которая приводит к погрешностям особенно при расчете термонапряжений.

3. Используются только согласованные КЭ. На смежных сторонах соседних элементов выполняются условия совместности деформаций (условия сплошности). ■ 3. При использовании несогласованных конечных элементов нарушается межэлементная непрерывность функции перемещений или ее производных.

4. Осуществляется пошаговый контроль решения и приведено доказательство его стремления к своему асимптотическому значению 4. Нет аналога

5. Для повышения точности решения задачи изгиба пластин впервые разработан « семиузловой треугольный согласованный элемент с функцией прогиба - полным кубическим полиномом. 5. При решении задачи изгиба пластин используются несогласованные конечные элементы, существенно снижающие точность решения. Создание согласованного треугольного конечного элемента с функцией прогиба - полным кубическим полиномом - невозможно.

6. Для повышения точности решения трехмерных осесимметричных задач применен алгоритм «расщепления» решения на «кольцевое» состояние, связанное с перемещениями сечения кольцевого осесимметричного конечного элемента с недеформируемым контуром сечения и «деформационное», связанное с собственными деформациями этого сечения. б. При решении трехмерных осесимметричных задач такое представление решения невозможно.

7. Размер МОД зависит только от количества «фронтальных» и «избранных» КЭ, поэтому общее количество элементов и узлов в расчетной конечно-элементной модели практически не ограничено. 7. Нет аналога

8. Осуществляется «динамическое» хранение МОД, что позволяет при решении даже сложных задач использовать только оперативную память (RAM) компьютера. 8. Для решения сложных задач требуется большой объем памяти, что налагает ограничение на количество КЭ и узлов в конечно-элементной сетке.

9.Для решения даже сложных задач при генерировании МОД не требуется привлечение внешней памяти -«винчестера», поэтому время счета конкретных задач на порлдок меньше, чем по программам, основанным на МП.. ' 9. Алгоритм метода основан на использовании внешней памяти компьютера на жестком диске -«винчестере», поэтому время решения сложных задач измеряется в часах.

Традиционный МКЭ в перемещениях

Ввод Задание физической:

:свойств '.материала^ нафуэок'Н праничкьгх

Л: УСЛОВИЙ. , J

[Библиотека КЭ

^'злсые»ггоа,формировйие.' /: матриц жесткостиКЭ. .,

Решающий блок 1............

Решение «истомы * ■. алгебраических уравнений, /. Генерирование Глобальной матрицы жесткости ансамбля КЭ

Вьшод

. Вывел расчетных значений г перемещений; " .-ч '••■•.■ .'•■•■ияи имрдиаЬйгё.Ч

Предлагаемый МКЭ в деформациях

Ввод

;Задание физической модели, .геометрии,1.. ; 'свойств материала, г-1И1рузок и граничньоС условий. • :

Библиотека КЭ

ПостроетюМгемртпах ( конструктивных элементов и ¡.'J-i прикладываемых нагрузок формирование . j матриц обобщенных деформаццйКЭ -,

Генерирование •

матрицы 1 -обобщенных; . деформации . ансамбля конечных ■элементов, расчет - деформаций н ■: -

.' „Графическое^ построение

ванного состояния.

Рис 1.1 а) блок-схема программы с использованием метода перемещении (МП) в МКЭ; б) блок-схема программы с использованием обобщенного метода деформаций (ОМД)

Во второй главе даны общие принципы численного алгоритма ОМД.

Сначала на простом примере решения плоской задачи с использованием опубликованного в работах [5],...[9] разработашюго ранее автором «Метода наращивания элементов» (МНЭ) покажем, что решение задачи в полных перемещениях без выделения перемещений КЭ, как твердого тела, неизбежно влечет за собой неустойчивость решения при сгущении конечно-элементной сетки в областях концентраций напряжений.

Пусть для п-элементного фрагмента расчетной модели (рис. 2.1а) известна матрица податливостей [Рп], которая связывает векторы узловых перемещений {и}={ихциУ(Л «и узловых усилий {^}={Рху1:уу} фрагмента соотношешгем:

{и}=[Рп]х{Р} . (2.1)

скалярнрой ворме последнее равенство имеет вид:

V

.Ц.уРху + Fb7.lL.vFyv)

(2.2)

где: Рк,ц,у • р>-х,ц,у Рух,ц,у Руу.щу - элементы матрицы податливостеи фрагмента, а ^.-количество узлов в нем.

Искомая матрица податливостей [Рп+1] (п+1 ^элементного фрагмента (рис. 2.16) может быть сформирована путем решения задачи по раскрытию статической неопределимости на стыке п-элементного фрагмента с (п+1)-тым элементом.

Рис. 2.1 К решению плоской задачи с использованием ОМД

а) реактивные усилия на линии стыка п+1-го элемента и к-того элемента фрагмента

б) фрагмент го п+1 плоских КЭ.

В соответствии с классическим подходом метода сил в узлах па смежной стороне n+1-го (стыкуемого) элемента и к-того элемента фрагмента (рис. 2.2а) покажем реактивные усилия Ri_ R2, Из, R4, первые три из которых определяются из условий равновесия стыкуемого элемента. В простейшем случае, когда внешние нагрузки, характеризуемые вектором {F}, приложены только в узлах фрагмента, из уравнений равновесия.(п+1)-го элемента имеем:

R,=R3=0 -R2=R4=R ' а3)

Второе равенство (2.3) свидетельствует о том, что на линии стыка возникает система двух самоуравновешенных реакций. Реактивное усилие R определяется го условия равенства проекций на линию s взаимных перемещений (u*-u*i) и перемещения un+i вдоль смежной с фрагментом стороны (п+1)-го элемента, которое записывается в виде:

uSj - uSj — Цд+i (2.4)

где: ' usj = Uyj Simp - uxj Coscp usj=и^Бшф - u*; Соэф

Опуская дальнейшие выкладки, имеющиеся в диссертации, получаем формулу для подсчета реакции R:

R= [(uxjf -Uxjf)Cos(p - (Ujjf. Ujif)Sin(p]/A (2.5)

где:

A= t(Pyx,jj -Pyx,jj)Costp Бшф - (p„. jj - Pyy,j,i)Sin<p Бтф) -

"[(Pxn, jj -Pxxj,i)C0S9 СОБф - (pxy,jj - Pxyj,i)Sin(p Совф]- C2.6)

-[(Pyx, ij -Pyx,i,.)Cosç Sirup - (p)y,ij - Pjy.i.OSmtp Бтф) + [(Pioyj -Pxx^i)COS(p СоБф - (Pxy,.j - Px>Xi)Sin9 СоБф] + Un+i

Анализ (2.5) показывает, что значение реакции R определяется в первую очередь знаменателем А, который подсчитывается по (2.6) и зависит от разностей значений податливостей в i-том и j-том соседних узлах конечно-элементной сетки (рис.2.1) на линии стыка. Можно утверждать, что применяемое в зонах концентраций напряжений сгущение конечно-элементной- сетки неизбежно приводит при раскрытии статической неопределимости (подсчете реакции вдоль линии стыка без разделения перемещений на деформационные и перемещения КЭ, как твердого тела) к неустойчивому решению, т.к. в этом случае при измельчении конечно-элементной сетки значения податливостей в соседних узлах практически совпадают и в знаменателе Д возникают близкие разности. Поскольку в неявном виде разности присутствуют при решении системы уравнений в МКЭ в перемещениях, например, методом Гаусса, то проблема неустойчивости решения при сгущении кбнечно-элементной сетки существует и в методе перемещений.

Избежать возникновения неустойчивости решения можно введением в качестве искомых величин непосредственно деформаций, т.е. взаимных смещений соседних узлов и «г» конечно-элементной сетки, отнесенных к; Цг - расстоянию между ними (рис 2.2а), от действия двух самоуравновешенных единичных сил, приложенных в этих узлах:

ЕчгКи'ХУЦг, (2.7)

Аналогично (2.1) связь между вектором деформаций {с}={е1_ е2, ез„... ср} на отрезках конечно-элементной сетки с вектором самоуравновешенных усилий {в} (рис 2.26) записывается в виде:

{е}=рп]х{8} (2.8)

где [Оп]- матрица деформаций п-элемептного фрагмента.

Нетрудно видеть, что в этом случае (2.6) трансформируется к виду:

А=8у+еп+1 (2.9)

где:

Еу— деформация между ¡- тым и ^-тым соседними узлами конечно-элементной сетки п-элементного фрагмента;

еп+1-деформация (п+1)-го элемента вдоль линии стыка с фрагментом.

а) деформации на отрезках конечно-элемнтной сетки

б) система самоуравновешенных узловых сит.

Из (2.9) следует, что в знаменатель А входит сумма деформаций фрагмента и стыкуемого элемента на смежной линии, его величина всегда положительна, т.е. при измельчении конечно-элементной сетки использование в качестве неизвестных непосредственно деформций не может привести к неустойчивому решению. Второй важной отличительной особенностью метода является снижение размерности задачи и возможность прямого определения деформаций, следовательно, и напряжений после завершения процедуры генерирования матрицы деформаций, изложенной ниже.

. Рис. 2.3 а) идеализация тела плоскими треугольными КЭ.

б) компоненты узловых перемещений для двумерного КЭ.

При решении плоской задачи теории упругости ОМД исследуемое тело (рис.2.За) представляется в виде ансамбля взаимодействующих по смежным сторонам плоских треугольных конечных элементов с тремя деформационными (рис.2.4,а) и четырьмя кинематическими степенями свободы (рис. 2.4,6).

\7

а)

х

Рис. 2.4. Степени свободы для плоского элемента в ОМД.

а) деформационные степени свободы;

б) кинематические степени свободы.

Матрица обобщенных деформаций каждого конечного элемента размером (7x7) может быть получена из матрицы податливостей [Рс] этого элемента путем тройного матричного произведения: Р№]х[РеМЬ]т,

где [Ь] - матрица линейного преобразования перемещений в деформации, алгоритм построения которой подробно расписан в третьей главе диссертации.

Матрица податливостей элемента [Рс] получается путем обращения модифицированной матрицы жесткости [К,;*] размером (3x3):

)

№ [К/]

В свою очередь [К/] получается га матрицы жесткости [Кс] симплекс-элемента (рис.2.3б) путем исключения из последней трех строк и столбцов, номера которых соответствуют номерам трех степеней свободы, по которым КЭ закреплен, как твердое тело.

На первом этапе стыковки учитываются граничные условия первого элемента и формируется матрица [Р*]], где указывает на учет граничного условия первого элемента.

На втором этапе производится генерирование субблоков [Р(2)п], [0(2)п], Р<2)21], 1Р(2)2г] размером (7x7) матрицы обобщенных деформаций (МОД) ансамбля из первого и второго элементов [О®] (рис.2.5а). При этом используются матрицы обобщенных деформаций [13*!] первого элемента и [Ог] - второго элемента, а также выполняются условия совместности деформаций по смежной линии (рис. 2.5а).

а) б)

двухэлементного фрагмента, б) стыковка к двухэлементному фрагменту третьего элемента - генерирование МОД

Верхний индекс в указывает на количество элементов во

фрагменте, что соответствует номеру этапа стыковки. Субматрицы |Т)(2)п] и [0(2)22] размером (7x7) - симметричные, а для недиагональных субблоков выполняется тождество:

[ТО(2)п] - Р(2)21]т,

что обеспечивает симметрию матрицы (Р<2)] в целом. Блочная структура МОД двухэлементного фрагмента представлена на рис. 2.66.

На третьем (рис.2.56) этапе генерирования субблоков [0(3)] - МОД трехэлементного фрагмента ансамбля добавляется третья строка субматриц (рис.2.6а). В дальнейшем аналогичным образом производится генерирование п-элементного фрагмента (п=4,5,6), пока количество элементов фрагмента не станет равным общему количеству элементов в ансамбле. Каждый этап стыковки добавляет новую блок-строку субматриц

обобщенных деформаций, а в окончательном виде структура матрицы обобщенных деформаций шестиэлементного фрагмента представлена на рис. 2.6. При этом используется свойство симметрии [0(п)], т.е. в строках находятся субматрицы, расположенные ниже ее главной диагонали.

Рис. 2.6 Структура матрицы обобщенных деформаций (МОД):

а) шестиэлементного ансамбля конечных элементов.

б) двухэлементного фрагмента конечных элементов.

При решении задач ОМД можно задавать следующие граничные условия:

- силовые (усилия в узлах и изгибающие моменты на сторонах),

- кинематические (узловые перемещения и повороты сторон).

Если информация о НДС четвертого КЭ шестиэлементного

фрагмента не представляет интереса и он уже не является «фронтальным», т.е. находится внутри фрагмента, то проводится т.н. «сжатие» МОД, т.е. субматрицы, расположешше в 6-й строке (рис. 6,а) размещаются на местах четвертой, а шестая блок-строка «обнуляется», т.е. освобождается для информации о дальнейшей стыковке. Кроме сохранения информации о «фронтальных» КЭ в процессе расчета следует сохранять также субблоки для «избранных» КЭ, в которых нас шггересуют значения перемещений,- деформаций и напряжений. Большое количество проведенных расчетов сложных конструкций показало, что количество «фронтальных» конечных элементов не превышает 100-:-150, а количество «избранных» конечных элементов определяется расчетчиком, однако не превышает нескольких сотсн. Если требуется информация о НДС в нескольких областях расчетной модели, то расчеты легко провести в два и более приемов без внесения изменений в исходные данные за исключением задания нового перечня номеров «избранных» КЭ.

Важнейшим практическим преимуществом алгоритма ОМД является то обстоятельство, что размер матрицы обобщенных деформаций (МОД) ансамбля не зависит от общего количества КЭ в нем, а зависит только от количества т.н. «шбрашшх» и «фронтальных» элементов, т.е. от переменного в процессе генерирования МОД перечня тех элементов фрагмента, которые

«участвуют» п последующих этапах стыковки._,__

При этом осуществляется т.н. «динамическое» хранение субблоков матрицы [D(n)], позволяющее использовать только оперативную память (RAM) компьютера, а не обращаться к его внешней памяти. Следует подчеркнуть, что во всех известных крупных программных комплексах циклическое обращение к внешней памяти компьютера при решении систем алгебраических уравнений является необходимо» и «дорогостоящей» с точки зрения затрат машинного времени процедурой.

Вычисление компонентов деформаций произвольного i-то го элемента n-элементного ансамбля проводится по рекуррентном формуле: {с,(п+!)}={с,(°>} - B^MAsJ-'xto01'*} В последующих главах подробно расписаны основанные на выполнении условий совместности деформаций на смежных сторонах соседних элементов алгоритмы получения субблоков МОД, здесь ;::с отметим единую структуру универсальной рекуррентной формулы генерирования МОД при решении плоской и объемной задач, а талоне задачи изгиба пластин:

P(n+,)ij]= [D(n)¡j] - [D(n'*,s]x[Д55]'1 х[D(n)'sj] Матрица совместности [Д55] вычисляется rio формуле:

[Дя]= [D(n)*ss] + [D(n+1)*] и включает в себя только деформационные составляющие МОД s-того элемента n-элементного фрагмента и деформационные составляющие матрицы обобщенных деформащш n+1-того (стыкуемого) элемента.

Физический смысл субблока [D'r,,s]: на любом n-том этапе стыковки - это обобщенные деформации по степеням свободы i-того конечного элемента от единичных воздействий, приложенных только по деформационным степеням свободы s-того конечного элемента фрагмента, к которому стыкуется (п+1)-й элемент. Элементы субблока [D(n)sj] - это деформации на смежной лшши s-того конечного элемента от единичных воздействий, приложенных по степеням свободы произвольного j-того конечного элемента фрагмента. "Звездочки" в последних равенствах означают, что в субблоках [D(n)is], [D(n)Sj], [D(n)ss] и [D(n+1)] сохранены только строки и столбцы, соответствующие деформащюгашм степеням свободы на лшши сопряжешш стыкуемого элемента с п- элементным ансамблем.

В третьей главе приведены алгоритмы ОМД применительно к решению плоской задачи теории упругости с использованием КЭ с линейным (рис.3.1а) и квадратичным (рис.3.1,6,в.) законами распределения перемещений. На основе ОМД разработаны программные комплексы «Расчет плоского напряженного состояния на базе КЭ с линейной аппроксимацией перемещений» («СИГМА-2») и «Расчет плоского напряженного состояния базе КЭ с квадратичной аппроксимацией

Рис. 3.2 Направления степеней свободы для плоского элемента в ОМД.

а) степени свободы КЭ с линейной аппроксимацией перемещений;

б) степени свободы КЭ с квадратичной аппроксимацией перемещений; 16 в) кинематические степени свободы.

В качестве первого примера расчета по программе «ОМЕГА-2» рассмотрено растяжение прямоугольной в плане пластины нагрузкой, равномерно распределенной по двум противоположным краям по параболическому закону:

. ау^(1-у2/Ь2)

Аналитическое решение этой задачи приведено в книге Я.А. Петрусевича «Вариационные методы в строительной механике» на стр. 352 и интересно тем, что оно было получено непосредственно в напряжешшх. Напряжения в ссчешш х=0 представляются формулой:

стх=Я( 1 -у2/Ь2)-0,161бс](1 -3у2/ь2)+0,0235я(1-12у2/Ь2+15у4/Ь4) Расчетная схема, состоящая из 256 КЭ с квадратичной аппроксимацией перемещений, представлена на рис.3.2.

Рис. 3.2 Расчетная схема пласпшы из 256 квадратичных КЭ с нумерацией элементов и растягивающей нагрузкой по вертикальным краям

На рис. 3.3 представлено в масштабе 500:1 деформированное состояние этой пластины при ц=100 МПа.

Рис. 3.3 Деформированное состояние пластины из 256 квадратичных КЭ под действием растягивающей параболической нагрузки по вертикальным краям

Представленное в Таблице 3.1 сопоставление результатов расчетов по программе «Омега-2» с аналитическими значениями напряжений сввдетельствует о высокой точности расчета, и, как видно из диаграммы на рис. 3.4, напряжения в расчетных точках располагаются на аналитической кривой изменения напряжений вдоль центрального вертикального сечения пластины, что свидетельствует о высокой точности расчета.

Таблица 3.1

параметр Напряжения /МПа/ Погрешность % Нагрузка /МПа/

у/Ь аналитическое По «ОМЕГА-2»

1 41,72 42,3 -1,39026 0

0,875 45,81728 46,4 -1,27183 22

0,625 60,4281 61,1 -1,1119 61

0,375 75,67646 75,3 0,497457 86

0,125 84,95298 83,8 1,357199 98

-0,125 84,95298 83,8 1,357199 98

-0,375 75,67646 75,3 0,497457 86

-0,625 60,4281 61,2 -1,27739 61

-0,875 45,81728 46,5 -1,49006 22

-1 41,72 42,4 -1,62996 0

Рис. 3.4 Графики изменения напряжений вдоль центрального вертикального сечения пластины.

В качестве второго примера представлены результаты расчета прошшкового разветвления водовода гидротурбины Нурекской ГЭС, снабженное «воротниковым» укрепляющим элементом в виде наружных овальных полуколец, приварегашх в стык обечаек (рис.3.5). Тройниковое разветвление водовода, снабженное аналогичным «воротниковым» укрепляющим элементом с вертикальной анкерной стяжкой схематично показано на рис. 3.5. В работах [13,14,20] было рассмотрено напряженное состояние этого узла с использовашгем в расчетной модели теории изгиба криволинейного бруса переменного сечения. Ниже показано, как эта задача решена с использованием программного комплекса «ОМЕГА-2».

а)

Рис. 3.5 Тройниковое разветвление водовода:

а) с «воротниковым» укрепляющим элементом.

б) с «воротниковым» укрепляющим элементом и анкером

Если в варианте без анкера напряжения максимальны в сечении А (рис. 3.6) и составляют 245 МПа, то в варишгге с анкером максимум напряжений перемещается в сечение В (рис. 3,7), причем среднее значение растягивающих напряжений в анкере составляет 143 МПа. Изгибные напряжения в анкере - 68 Мпа, а в окрестности шва приварки анкера местные- напряжения достигают значения 354 МПа, что допустимо, поскольку они локализуются в малой области, классифицируемой как зона концентраций напряжений.

Рис. 3.6 Тройниковое разветвление водовода, снабженное «воротниковым» укрепляющим элементом.

водовода, снабженное «воротниковым» укрепляющим элементом и анкером (фрагмент с нумерацией элементов)

Рис. 3.7 Тройниковое разветвление водовода, снабженное «воротниковым» укрепляющим элементом и анкером (деформированное состояние )

водовода, снабженное «воротниковым» укрепляющим элементом и анкером (деформированное состояние, фрагмент)

В четвертой главе предлагается новый метод создания согласованных треугольного и четырехугольного изгибных КЭ с кубической ' аппроксимацией прогиба. Сначала подробно исследованы трудности, возникающие при использовании МКЭ в задачах изгиба пластин, поскольку при изгибе пластин непрерывность между элементами должна быть в общем случае удовлетворена не только для функции прогиба, но и для первых ее производных, чтобы были исключены "изломы" между элементами.

В работе показано, как можно избежать этих трудностей, используя ОМД и построите матрицы обобщенных деформаций согласованного конечного элемента с использованием суперпозиции двух состояний КЭ на базе аппроксимирующей функции - полного кубического полинома: \у(х,у)= оп+аг х +а3 у +а4 х2 +а5 ху +а6 у2 +а7х3 + а8х2у + а9 х^+аюу3 и его производных:

+ азх2 +2а9 ху+Защу2

Зга7 х3. 2а8 ху - а9 у2

Рис. 4.1

0Х = д\\-/ду = а3 + а5х +2а6у Оу = -¿Х\73х = - аг - 2а4 х - а5 у

Анализ последних равенств

показывает, что значения полипома и его первых производных — углов поворота Ох и Оху при х=0 (на стороне «аЬ», рис.4.1) определяются через 7 констант интегрирования а], аг, аз, 05, ав, «9, а ю, которые в свою очередь могут быть однозначно определены через 7 степеней свободы в узлах на этой линии.

Таким образом, сделан принципиально важный вывод о том, что при кубической аппроксимации прогиба согласованность конечных элементов, т.е. непрерывность функции прогиба и его производных при переходе от элемента к элементу ансамбля может быть достигнута только при наличии на стороне элемента 7-ми степеней свободы.

Показано, что константы шггегрирования аь аг, а3 - прогиб и повороты середины стороны, аб, а9, аю вычисляются через относительные взаимные повороты вершин «а» и «Ъ» сделан важный вывод о том, что при кубической аппроксимации прогиба деформации на сторонах КЭ - взаимные повороты в его угловых узлах.

Таким образом, если изгибный треугольный конечный элемент с функцией прогиба - полным кубическим полиномом - имеет на каждой стороне 7 степеней свободы, то он является согласованным конечным элементом, т.к. будет обеспечена непрерывность функции прогибов и его первых и вторых производных при переходе от элемента к элементу ансамбля.

Для обеспечения выполнения условий сплошности необходимо введение в КЭ 9-ти «кинематических» степеней свободы: прогиба и поворотов 0Х> 0У в срединном узле каждой из трех сторон, а в вершинах элемента 6-ти «деформационных» степеней свободы: по два взаимных поворота угловых узлов О*, 0У относительно срединного узла Для расчета деформаций и напряжений в элементе необходимой является 16-я степень свободы - прогиб в ц.т. элемента.

В книге Р. Галлагера «Метод конечных элементов. Основы» указывается, что в рамках МП согласовашшй КЭ удается получить только на базе полного полинома 5-й степени с 21- степенью свободы, а при кубической аппроксимации прогиба получение «удовлетворительного результата возможно только при задании граничений, обеспечивающих сохранение непрерывности угловых перемещений при переходе через границу КЭ».

Физической основой концепции формирования матрицы обобщенных деформаций согласованного треугольного конечного элемента с кубической аппроксимацией прогиба является суперпозиция двух состояний элемента. В каждом из состояний (рис.4.2,а и рис.4.2,б) элемент закреплен единственным способом, а именно: в срединном узле стороны «аЪ» отсутствуют прогиб и повороты относительно осей «х» и «у» локальной системы координат. В первом состоянии три степени свободы расположены в середине стороны «аЬ», и по две степе™ свободы — повороты в углах элемента; 10-я степень свободы - прогиб в ц.т. КЭ. Через эти степени свободы однозначно определяются консташы интегрирования функции прогиба - полного кубического полинома и его производных:

\у|(х,у)=а1+{х2х+азу+а4х2-нх5ху+абу2+а7х3+а8х2у+а9ху2+а10у3

Рис. 4.2 Степени свободы в треугольном семиузловом

согласованном изгибном КЭ с 16-ю степенями свободы.

а) степени свободы в первом состоянии

б) степени свободы во втором состоянии

в) степени свободы в треугольном согласованном изгибном КЭ.

Во втором состоянии по три степени свободы расположены в серединах сторон, а 10-я степень свободы - прогиб в ц.т. КЭ. Как и в первом состояшш через эти 10 степеней свободы однозначно определяются константы интегрирования аппроксимирующего полного кубического полинома - прогиба элемента во втором стоянии:

\у2(х)у)=р|+р2х+р3у+р4х2+р5ху+рг,у2+р7х3+р8х2у+р9ху2+р10у3 С использованием полного кубического полинома можно построить матрицу податливостей согласованного четырёхугольного КЭ с 21-й степенью свободы путем суперпозиции трех состояний (рис. 4.3)

Рис. 4.3 Степени свободы в четырехугольном согласованном изгибном КЭ. а) степени свободы в первом состоянии б) степени свободы во втором состоянии

в) степени свободы в третьем состоянии

г) согласованный четырехугольный КЭ с 21-й степенью свободы

После этого можно осуществить обратный процесс построения полной матрицы жесткости [к] треугольного (или четырехугольного) согласованного КЭ с использованием полученной выше его матрицы податливостей [А, как это предлагается в упомянутой книге Р. Галлагера на стр. 55 (сохранены ангорские обозначения):

и"1 ' га'^г

№

^ ига-1 I ига'^г

В итоге оказывается, что матрицу жесткости согласованного КЭ можно построить путем обращения матрицы податливостей этого элемента и матрицы [Я], которая получается из условий статического равновесия КЭ.

В пятой главе представлен алгоритм ОМД применительно к решению задачи изгиба пластин с использованием треугольного семиузлового согласованного КЭ! Показано, что процедура генерирования МОД ансамбля изгибных КЭ ничем не отличается от описанной в предыдущей главе, а универсальная матричная формула имеет вид:

Р(п+1)ч]= [0{%] - [0(п)*(з]х[Дк]"1 х[0(п)*5^] 1^=1,2,3.....п

Субматрицы обобщенных деформаций [Р(п+1^] и [0(п)у] имеют размер (16x16), матрицы [0(п>\] и - соответственно размер (16x4) и

(4x16), а матрица взаимных деформаций [Д3!] - размер (16x4) в С1шу того, что на смежной линии стыкуемого с п-элементным фрагментом п+1-го элемента выполняется 4 условия совместности 4-х взаимных поворотов.

В качестве первого примера рассмотрена прямоугольная в плане пластина длшюй Ь~24 мм, 48 мм, 72мм и шириной Ь=4 мм и толщтюй 5=1 мм, защемленной по торцам, находящейся под действием центральной сосредоточенной силы Р=4кГ. В Таблице 5.1 представлены результаты расчета этой пластины по программе "СИГМА-3" и проведено сопоставление результатов с аналитическим решением для защемленной по торцам балки с силой посредине. Анализ результатов указывает на уменьшение расхождения расчетного прогиба и распределенного изгибающего момента с соответствующим аналитическим решешюм для балки по мере увеличения длины пластины и количества КЭ. Подобный результат невозможно получить при расчете пластины по программам на основе МКЭ в варианте метода перемещешш, т.к. там при увеличении длины пластины погрешность (расхождение с аналитическим решением) увеличивается.

Таблица 5.1

длина Количество Ш=РЬ3/192Е1 Ошибка М=РхЬ/8/Ь момент в торцевом сечении ошибка

прогиб

Элементов узлов Пластина балка % пластины балки*' %

мм Микрон микрон Кг кг

24 24 20 41,626 43,20 3,643 3.042 3,0 1,4

48 48 38 338,48 345,6 2,06 6,035 6,0 0,583

72 72 56 1149,5 1166,4 1,45 9,031 9,0 0,344

*) изгибающий момент в балке отнесен к ее ширине

В качестве следующего примера рассмотрим изгиб защемленной по контуру прямоугольной в плане плаепшы толщиной 1мм (рис.5.1) под действием приложенной в центре сосредоточенной силы Р=80кг. Проведены расчеты при различных соотношениях длин сторон а и Ь с разбивкой на 256,64,32 конечных элементов.

В Таблицах 5.2 и 5.3 представлено сопоставление расчетных значений прогибов в центре защемленной по контуру пластины и моментов в середине длинной стороны с аналитическим решением, приведенным в таблице 37 книги Тимошенко «Пластины и оболочки»,М,1963 и с расчетом по программному комплексу "COSMOS".

а)

б)

80кг

в)

ф "к ж

я

■ж у

ж

ж "к

я

Г)

Рис. 5.1. Разбивка на конечные элементы и нумерация защемленной пластины

Таблица 5.2

Лналитнч.

Ь/а решение Решение по Решение по

w=aPa2/D «СИГМА-3» «COSMOS»

прогиб узлов прогиб погреши. Узлов прогиб погреши.

мк % мк %

2 45,41322 50 42,210 -7,0469 91 49,104 8,1347

1,5 78,3863 63 75,494 -3,6898 117 80,720 . 2,9723

1,2 113,04 76 111,08 -1,7339 143 115,42 2,1054

1,0 140,89 89 139,35 -1,0931 169 143,63 1,9448

2 45,41322 145 45,287 -0,2774 1600 45,815 0,8852

Таблица 5.3

Ь/а Аналитич. решение Mv™yP Решение по «СИГМЛ-3» Решение по «COSMOS»

момент Узлов момент погреш. Узлов момент погрешн.

Кг % мк %

2 13,440 50 12,814 -4,6574 91 14,827 10,31994

1,5 13,016 63 12,911 -0,8066 117 13,911 6,87615

1,2 11,920 76 11,851 -0,5788 143 12,281 3,02852

1,0 10,056 89 10,010 -0,4574 169 10,197 1,40214

2 13,440 145 13,394 -0,3422 00 13,529 0,6622

Анализ и сопоставление расчета прогибов и моментов при различном отношении длин сторон по программе "СИГМА-3" с аналитическим решением свидетельствует о высокой точности полученных результатов и быстрой сходимости численного решения к точному решению при увеличении количества КЭ. Из сопоставления с расчетом по программному комплексу "COSMOS" следует, что даже при более густой сетке конечных элементов расчет по программе "COSMOS" дает большую погрешность по сравнегапо с расчетом по "СИГМА-3".

Далее рассмотрен изгиб свободно опертой по краям квадратной в плане пластины (24ммх24мм) толщиной s=1mm. Сосредоточенная сила Р=80кг приложена в центре пластины. Проведены расчеты с сеткой, состоящей соответственно из 256,64, 36, 16 элементов (рис.5.1).

Сопоставление результатов расчетов этого теста по программе "СИГМА-3" (рис.5.2) с упомянутыми формулировками показывает, что:

• Решение уступает в точности формулировке на базе полного полинома 5-й степени при малом (до 8ми) количестве конечных элементов и приближается к точному решению при увеличении их количества в расчетной модели; вместе с тем описанный в этой главе алгоритм построения матрицы обобщенных деформаций согласованного семиузлового конечного элемента значительно проще, чем формирование матрицы жесткости с использованием полного полинома 5-й степени;

• При любом количестве КЭ решение по ОМД превосходит в точности формулировки на базе полного полинома 3-й степени (с ограничениями, обеспечивающими сохранение непрерывности угловых перемещений, так и с введением корректирующей матрицы жесткости).

Рис.5.2. Сравните численных результатов расчета прогибов в центре свободно опертой квадратной в плане пластине от действия сосредоточенной силы. 1- шестичленный (квадратичный) полином;

2 - несогласованные поля

3 - двадцатиодночленный (пятой степени) полином

4 - десятичленный (кубический) полином с ограничениями

5 - десятичленный (кубический) полином с корректирующей матрицей.

сетки 4 6 8 со

Примером применения программы «Сигма-3» является расчет трубной доски вертикального камерного подогревателя ПВД К-700 -с и-образным трубным пучком (рис.5.За). В расчетной схеме учитывается перфорация большим количеством отверспш под теплообмепные трубки и наличие диаметрального ^перфорированного участка (рис.5.Зв), что обеспечивает снижение расчетного значения толщшш трубной доски на 15% и оптимизацию узла ее соединения с обечайками корпуса.

Рис. 5.3 Камерный подогреватель высокого давления ПВД К-700.

а) эскиз общего вида

б) расчетная схема

в) деформированное состояние

Вторым примером применения программы «Сигма-3» является расчет корпуса мельничного вентилятора МВ 3000/600 энергоблока 300 МВт Славянской ГРЭС и предложенной автором схемы оребрения для обеспечения работоспособности вентилятора при давлении взрыва (во взрывобезопасном исполнении). Дело в том, что в начале 70-х годов на различных тепловых станциях, работающих на угле, произошли разрушения корпусов мельничных вентиляторов системы топливоприготовления (рис. 5.4,а) вследствие взрывов внутри корпусов мельчайшей угольной пыли.

с)

Рис.

По разработашюй автором схеме радиального оребрения с соединением ребер на обеих поверхностях осевыми стяжками (рис.5.4,б) было проведено укрепление существующих мельничных вентиляторов. В результате расчетов оказалось, что изгибные напряжения максимальны в середине (рис. 5.4,в) и на внешнем краю межреберной области плоской стенки (ст0=227 Мпа) и в торцевом сечении наиболее длинного ребра (ар=212 Мпа). Поскольку при расчетах на условное давление взрыва допускаются местные напряжения, равные пределу текучести, условие прочности для данной конструкции с орсбрением было обеспечено. 5.4 Корпус мельничного вентилятора МВ 3000/600

энергоблока 300 МВт Славянской ГРЭС.

а) обычная конструкция;

б) конструкция во взрывобезопасном исполнении.

в) расчетная модель

В тестой главе представлен алгоритм ОМД применительно к решению объемной задачи. Показано, что и в этом случае общий подход при численном решении объемной задачи мехашпси твердого тела аналогичен описанному в предыдущих главах при решении плоской задачи и при расчете изгиба пластин. На основе разработанного численного алгоритма ОМД создан программный комплекс «Специализ1грованная программа расчета напряженно-деформировашюго состояния пространственных объектов в трехмерной постановке» («5РА8Е»), Ансамбль объемных конечных элементов (рис. 6.1) состоит из разработанных специально для комплекса «БРАБЕ» т.н. «топологических гексаэдров» - объемных 65-узловых шестигранников (рис.6.2), ребра которого образуют стороны ячейки трехмерной сетки конечно-элементного ансамбля. Геометрия гексаэдра, состоящего из ансамбля 24-х тетраэдров, задается координатами 8-ми угловых узлов. Известно, что для получения удовлетворительных результатов решения по МКЭ объемной задачи теории упругости с использованием линейных 4-узловых тетраэдров требуется достаточно большое их количество, так как напряжения и деформации в таком элементе постоянны, а следовательно, при переходе от элемента к элементу они будут меняться скачкообразно и претерпевать разрывы. Для исключения этих разрывов в качестве базового конечного элемента использован десятиузловой тетраэдр (рис.6.3) с квадратичной аппроксимацией перемещений, которая обеспечивает линейный характер изменения деформаций и напряжений и непрерывность поля напряжений и деформаций как в гексаэдре, так и в расчетной модели в целом.

Рис. 6.1 Объемный фрагмент

расчетной модели из «топологических гексаэдров»

Рис.6.2 «Топологический гексаэдр» (шестигранник)

Как и в предыдущих главах матрица обобщенных деформации (ОМД) тетраэдра формируется из его матрицы податливостей [Рс]. В свою очередь [Рс] получается путем обращения матрицы [К*е], образованной из матрицы жесткости [Ко] вычеркиванием шести строк и столбцов, соответствующих степеням свободы, по которым тетраэдр закреплен, как твердое тело (рис.6.3.1) по трем степеням свободы в узле «¡», по двум степеням свободы в узле <ф> и по одной - узле «к».

Матричная запись формирования матрицы податливостей:

Рс]= [К*е]"' (6.1)

Вектора обобщенных деформаций {е} тетраэдра связан с вектором обобщенных усилий {<2} соотношением:

{е}=РеШ (6-2)

где:

{£} = {£[, е2>... С6, 0)1,...0)6, 0)3.их7иу711,7.....УхЮ,Цу1оДг1о}Т (6.3)

- 24-компонентный вектор обобщенных деформаций одной из четырех граней тетраэдра (рис. 6.3)

= {8,, Бг. .. Бе Т..Т2, ...Тс,Рх7,РУ7Л.7.....Рх|0, Ру10, Р.юГ (6-4)

- 24-компонент1гый вектор обобщенных усилий (рис.6.3).

Перемещения тетраэдра, как твердого тела, определяются 6-компонентным вектором перемещений и поворотов локальной системы координат, связшшой с этой гранью:

{с}о={ихоитоито0охеоу002 }т (6.5)

С помощью линейных деформшщй е^Сг.. А и деформационных искривлений сторон элемента «я. о)2>... и6 осуществляется стыковка элементов по смежным сторонам. Через перемещения и повороты начала координат локальной системы координат определяются смещения тетраэдра, как твердого тела. Сведение в качестве степеней свободы локальных перемещений узлов «7»,«£»,«9»,«10» (рис. 6.4) обуславливало; нссбходц\юсшо раскрыли сгатичссюы 1юопределимосли, когда стыкуемый Ю имеет с фрагментом две смежные стерты. В атом случае на сторонах <арсщины» побываем 9 реамдм Х|, Х2, .... Х9(рис. 6.4), которые определяются ю условий отсутствия взаимных локальных гкремещеаий. Кроме того в узлах «7», «8», «9», «10» задастся граничные услоы и в перемещениях и шюшшю нагрузки

Процедура генериросашы МОД гексаэдр® включает себя последовагелы^ю стыковку тетраэдров, офазующпх этот гексаэдр, принципиально ничем ке отличается от описанных дрегагоч! ю подробно при решении плоской задм I

Рис. 6.3 Степени свободы нижней грани 10-узлового тетраэдра

Рис. 6.4 Реакции на сторонах «объемной трещины»,

когда тетраэдр имеет с фрагментом две общие грани

В качестве примера расчета по программе «SPASE» представлены результаты расчетов защемленной по контуру плиты (рис.6.5) размером (ЮОммхЮОммхЮмм) от действия равномерной поверхностной нагрузи qy=4MTIa. Расчетная • схема плиты состоит из ста 65-узловых "топологических гексаэдров" размером (ЮммхЮммхЮмм). Сопоставление полученных результатов расчетов с аналитическим решением и расчетами по другим программам (см. табл. 6.1) свидетельствует о следующем:

1. Прогиб в центре пластины, рассчитанный по программе «SPASE», больше аналитического прогиба по классической теории тонких пластин /Тимошенко/, поскольку последняя не учитывает сдвиг; учет сдвига по теории плит /До1гаелл/даст для прогиба большее значение, чем расчетное значение по «SPASE», т.е.: прогиб по теории пластии< по «SPASE» <прогиб по теории толстых илиг

Рис. 6.5 Расчетная схема шшты размером (ЮОммхЮОммхЮма действия равномерной поверхностной нагрузи <Эу=4 МПа.

2. Прогиб в центре пластины, рассчитанный по программе «ANSYS», существенно больше аналитического прогиба по классической теории тонких пластин /Тимошенко/ и по теорш! плит /Дошшлл/; расхождение с решением по теории плит составляет 10,498888%.

3. Абсолютное значение изгибного напряжения в центре пластины, рассчитанное по программе «SPASE», меньше его аналитического значения, полученного по классической теории тонких пластин и расхождение составляет 5,6%.

4. Изгибное напряжете в середине защемленной стороны плиты, рассчитанное по программе «ANSYS», меньше его аналитического значения, полученного по классической теории тонких пластин, а расхождение составляет -5,413%.

5. Изгибное напряжение в середине защемленной стороны плиты, рассчитанное по программе «SPASE», меньше его аналитического значения, полученного по классической теории тонких пластин и расхождение составляет -3,55%, т.е. расхождение с аналитическим решением меньше, чем по «ANSYS».

ТАБЛИЦА 6.1

• Защемленный край Центр плиты

величина Узел 1 Узел 2 Узел 3 Узел 4

Ansys solid elements о, -117,037 55587

Прогиб Uy/MK/ 0 0 3i,8oe 31,880

Ansys Shell elements а, ■118,403 ЖМшу: 55780

Прогиб Uy/мк/ 0 0 '.. 32 851 32.861

Аналитическое решение (тонкие пластины) а. -123,120 ¡¡SS11 55440

Прогиб Uy/MK/ . 0 0 27.518 27,518

Аналитическое решение (толстые пластины) о* - - - -

Прогиб Uy/мк/ 0 0 20,784 , 28,784

SPASE <У* , . í.-ve»*vs

Прогиб Uy/MK/ 0 0 28,375 .

В седьмой главе показано, что общий подход при численном решении осесимметричной задачи механики твердого деформированного тела с использованием ОМД аналогичен описанному в предыдущих главах при решении плоской задачи и при расчете изгиба пластин. Этот метод незаменим при решении задач с высокими температурными градиентами и при анализе напряженного состояния в областях концентраций напряжений и в трещинах. Если решать эту задачу по МКЭ в перемещениях, то «всплывают» те же проблемы неустойчивости решения, которые подробно обсуждались в третьей главе применительно к решению плоской задачи. ОМД позволяет по-новому представить деформированное состояние КЭ в виде суперпозиции т.н. «кольцевого», определяемого радиальным перемещением центра

тяжести сечешм и его поворотом и Рис. 7.1 Идеализация тела т.н. «плоского» деформированного шестиузловыми

состоягшя, определяемого плоскими осесимметричными КЭ

деформациями сечения КЭ. треугольного сечения.

Схематично такое представление изображено на рис. 7.1.2.

Сечение осесимметричн ого кольцевого шестиузлового треугольного КЭ

Рис. 7.2 Схематичное представление деформированного состояния шзстиузлового осесимметричного конечного элемента в виде суперпозиции «кольцевого» и «плоского».

При решении осесимметричной задачи теории упругости МОД исследуемое тело представляется в виде ансамбля взаимодействующих по смежным сторонам шестиузловых осесимметричных конечных элементов с девятью деформационными (рис. 3.2) и тремя кольцевыми степенями

свободы - перемещениями и поворотом ц.т. недеформируемого сечения элемента

В диссертации подробно описаны процедуры получения матрицы жесткости осесимметричного ютсчного элемента [К*с] с квадрапгаюй аппроксимацией перемещений и матрицы обобщенных деформаций [Бс] размером (18x18), которая связывает 18-компоненпгый вектор обобщенных деформаций {с} = { е,, е2, о3<Ч е5, ю6,с7, е8> ш9>игГ,"гг,^ и^ц^, и!ЬЭИ}т и 18-компоне1тшй вектор обобщенных усилий осесимметричного конечного атемала'

{Б}^,ЗД 84^,ТбБ;^Т,.^,,М^з.Рм.Ми.Ъб, Р17, М18,}т сотношением:

{г} =[Ое]{8}

Процедура генерирования МОД ансамбля осесимммефичпых КЭ вкшочаст себя их последовательную сшшжу и принципиально ничем ш опвпзлся сгг описанных досгагочш подробно при рапа от плоской задачи На основе разработанного алгоротма создан программный комплекс «Программа совместного расчета температурного, напряженного и термодеформированного состояния в осесимметричных телах на базе шестиузлового конечного элемента» («СИГМА-4»), в котором вычисление изменяющихся во времени напряжений от механических нагрузок и температурных напряжений производится в едином комплексе с расчетом меняющегося во времени распределения (поля) температур.

В восьмой главе представлены результаты расчетов оборудования ТЭС и АЭС с использованием программного комплекса «СИГМА-4». Она аккумулировала разработанные автором методики расчетов ресурса безопасной эксплуатации сосудов и аппаратов энергооборудования, когда вычислите изменяющихся во времени напряжений от механических нагрузок и температурных напряжений производится в едином комплексе с расчетом меняющегося во времени распределения (поля) температур.

Одной из проблем, возникающих при эксплуатации подогревателей высокого давлешм (ПВД), является нарушение герметичности фланцевых разъемов с приварными уплотгаггелышми мембранами (рис.8.1а). Известно, что в начале 70-х годов в целях снижения металлоемкости были снижены габаритные размеры фланцев. Предполагалось, что при безусловном выполнении условий прочности фланцев герметичность разъема в целом обеспечит гибкая металлическая сварная прокладка (мембрана), а сшгжение габаритных размеров собственно фланцев не скажется на работоспособности узла в целом. Вместе с тем результаты нормативных расчетов габаритных размеров фланцев ПВД, проведенные по современным методикам, например, по «Нормам АЭС» (ПНАЭ Г-7-

002-86), показывают, что существенно занижена высота фланцевых тарелок, что отразилось на жесткости фланцевого разъема на поворот.

Рис. 8.1

На рис. 8.1,6 схематично показано деформированное состояние фланцевого разъема ПВД от действия внутреннего давления в аппарате с предварительным натягом вручную моментом на ключе в 60 кгм и с предварительным натягом (рис.8.1,в) путем механической вытяжки шпилек с помощью разработанной для этих целей гидросистемой. Раскрытие разъема происходит в основном за счет разворота фланцевых тарелок и в меньшей степени из-за удлиннения шпилек.

Расчеты показали, что изгибные напряжения в области стыкового шва мембран при осуществлении необходимого предварительного натяга шпилек величиной аш=350 МПа, составляют а„= 128 Мпа, в то время как при затяге вручную моментом 60 кгм (соответствует натягу в шпильке стш=50 Мпа) напряжения в мембране составляют <ты=332 Мпа. На графиках (рис. 8.2) приведены напряжения в области стыкового шва мембран при предварительном натяге шпилек в шггервале стш=0-350 Мпа.

□ Натяг шпнлек, МПа В Напряжения, МПа

Рис. 8.2 Значения напряжений в области стыкового шва мембран при предварительном натяге шпилек в интервале аш=0-:-350 Мпа.

Существенно снизить деформации и напряжения в' околошовных зонах «лепестков» мембранного уплотнения удается . путем предварительного натяга шпилек фланцевого разъема растягивающим

усилием, составляющим около 90% усилия, прикладываемого к шпильке в при максимальном давлении пара в аппарате.

С натягом шпилек моментом на ключе в М=60 кгм расчетное значение допускаемого количество циклов с учетом конструктивного непровара в области корня шва мембраны составляет [N3=125 циклов, а при осушествлении с использованием гидросистемы предварительного натяга шпилек величиной стш=350 Мпа - [Ы] = 2000 циклов, т.е. расчетный ресурс эксплуатации мембраштого уплотнения увеличивается в 16 раз. Для обеспечения герметичности фланцевых разъемов ПВД разработана и внедрена на ТЭЦ-26 «МОСЭНЕРГО» конструкция графито-металлического уплотнительного устройства (ГМУ) представляющго собой металлическую кольцевую пластину с верхним и нижним кольцевыми пазами, в которые запрессованы уплотнительные прокладки из вспученного графита, изготовляемого фирмой «ГРАВИОНИКС».

Рис. 8.3 Двойной контакт фланцев с металлической матрицей ГМУ.

Рис. 8.4 Деформированное состояние фланцевого разъема ПВД с ГМУ.

а) при осуществлении предварительного натяга шпилек,

б) в рабочем состоянии с учетом предварительной вытяжки шпилек

На рис. 8.5 в масштабе представлено температурное и термодеформированное состояние фланцевого разъема с мембранным уплотнением. В диссертации подробно представлены расчеты температурного и термодеформированного состояния корпуса камерного подогревателя высокого давления ПВ К-700 и верхней части задвижки Ду-800.

т

т- гг..

Рис. К 5 Гемиерапрмое и (срмодсформиронанмоо сосюяшю

флапцсного ратьема МИ ОДО-ЗХО-М с мембранным \ плои ¡синем.

а.)'

'."Л - • -

га

1'у'. .аг

I)

Рис. 8 6 Темпера 1>риос и к'рмолеформировашюм) сосюяиис

а) корпус камерного подо! река геля высокого давления ПН К-700:

б) верхняя чааь чадвижкн Ду-800.

и) расчетная схема в юне кон центратора напряжении IШ 1С-700. г) расчетная счема в мембранном уи. «имении фланцевого ран.ема Ду-800

Л 8

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ.

1. В качестве нового направления в теории и практике МКЭ разработан обобщенный метод деформаций (ОМД) - прямой численный метод расчета деформаций и напряжений,, в основу физической модели которого заложены последовательное генерирование ансамбля КЭ и принцип взаимодействия соседних КЭ вдоль смежных сторон.

2. Искомыми величинами в ОМД являются непосредственно деформации, разработан единый алгоритм для расчета изгиба пластин, решения плоской, объемной, осссимметричной задач, и выведена универсальная рекуррентная матричная формула для расчета деформаций и напряжений.

3. В ОМД отсутствует, как таковая, глобальная система алгебраических уравнений высокого порядка, процедура решения которой является наиболее трудоемким этапом во всех известных подходах МКЭ.

4. Безусловное выполнение условий совместности деформаций на смежных сторонах соседних КЭ обеспечивает межэлементную непрерывность функции перемещений и необходимого числа ее производных, а в результате - высокую точность получаемых значений деформаций, напряжений и перемещений.

5. Для обеспечения высокой точности решения задачи изгиба пластин разработан новый семиузловой треугольный согласованный элемент с функцией прогиба - полным кубическим полиномом.

6. Для повышения точности решения осесимметричных задач применен алгоритм «расщепления» решения на т.н. «кольцевое», отвечающее перемещениям сечения КЭ с недеформируемым контуром и «деформационное» - собственно деформированное состояние сечения.

7. Показано, что при измельчении конечно-элементной сетки, применяемое в ОМД для углубленного анализа НДС в зонах концентрации напряжений, обеспечивается устойчивость решения при расчете напряжений от механических нагрузок и температурных воздействий в этих областях.

8. Разработан пакет компьютерных программ для расчета плоской задачи - «СИГМА-2» и «ОМЕГА-2», изгиба пластин - «СИГМА-3», осесимметричной задачи - «СИГМА-4» и объемной - «БРАБЕ». Все эти программы объединяет возможность расчета конструкций с практически неограниченным количеством элементов и узлов в конечно-элементной сетке без привлечения внешнего носителя информации компьютера - «винчестера». Это же обстоятельство позволяет резко сократить время счета конкретных задач.

9. Результаты тестовых расчетов по программе «БРАБЕ» квадратной в плане плиты, нагруженной равномерной распределенной нагрузкой,

показали меньшее расхождение с аналитическим решением, чем расчеты на аналогичной конечно-элементной сетке, выполненные по «ANSYS» и «COSMOS» - общепризнанным в мире программным комплексам.

Ю.Представлены методики и результаты расчетов объектов в осесимметричной постановке, когда вычисление изменяющихся во времени напряжений от механических нагрузок и температурных напряжений производится в едином комплексе с расчетом меняющегося во времени распределения (поля) температур, а в соответствии с трсбова1шем «Норм АЭС» - расчеты ресурса безопасной эксплуатации энергооборудования. Приведены результаты расчетов нестационарных температурных полей и напряженно-деформированного состояния высоконапорной задвижки Ду-800, камерных подогревателей высокого давления и фланцевых разъемов спирально-коллекторных подогревателей высокого давлешм (ПВД), различных подогревателей низкого давления с U-образным теплообменным трубным пучком т.н. «жссткотрубной» конструкции. Представлены результаты расчетов на прочность «воротникового» укрепления водовода Нурекской ГЭС и корпуса мельничного вентилятора MB 3000/600 во взрывобезопасном исполнении.

11. ОМД и разработанный на его основе пакет прикладных программ использовался при разработке и проектировании теплообменного оборудования, изготавливаемого на АО «Красный котельщик», г. Таганрог. АО «Барнаульский котельный завод», АО «Энергомаш» г. Саратов. В настоящее время этот пакет интенсивно используется при расчетах на малоцикловую усталость и при определении ресурса безопасной эксплуатации элементов энергооборудования мощных энергоблоков.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. Метод конечных элементов в напряжениях. Монография, 187с, Изд. АО "НПО ЦКТИ", 1999.

2. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. Метод конечных элементов в напряжеш1ях и его применение в расчетах ресурса безопасной эксплуатации оборудования. Доклад на V научно-техническом семинаре «Топливно-энергетический комплекс. Надежность и безопасность оборудования. Материалы и ресурсосберегающие технологии XXI века» Изд. АО "НПО ЦКТИ", 1999. с. 177-196

3. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. Метод конечных элементов в напряжениях. Тезисы доклада на XXII Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов», СПб, 1999. с. 36-37

4. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. Метод генерирования ансамбля конечных элементов в решении задач механики твердого деформируемого тела. Тезисы доклада на XVI международной конференции "Математическое моделирование в механике" СПб, 1998. С- 28-29

5. Постоев B.C. Бирюков Д.Б. Разработка универсальных и устойчивых решений в МКЭ. Материалы VI тематической конференции «Практическая реализация численных методов расчета инженерных конструкций». Л-д, ЛДНТП,1983. с.26-32.

6. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. Метод наращивания элементов в задачах механики упругого тела. Межвузовский тематический сборник трудов "Строительная механика сооружений". JI-д, ЛИСИ 1983г. с. 16-26.

7. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. Метод наращивания элементов в расчетах на прочность оборудования. Межвузовский сборшпс научных трудов. Станки и инструменты деревообрабатывающего оборудования. ЛТА, Л.,1983. с. 47-52.

8. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. Метод. наращивания элементов в механике твердого тела. Актуальные проблемы прочности. Тезисы доклада на X семинаре в г. Тарту, 1985. с. 57.

9. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. Обобщенный алгоритм метода наращивания элементов для решения задач механики деформируемого тела. Межвузовский сборник трудов "Проблемы расчета строительных конструкций с учетом физической и геометрической нелинейности". Л-д, ЛИСИ, 1986г. с. 45-49.

10. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. Основы метода наращивания элементов в механике твердого деформируемого тела. Аннотации докладов. VI Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Ташкент,1986. с. 36.

11. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. н др. Расчет на прочность деаэрациошшх аппаратов. РТМ 24.03025-73, М., 1973, 39с.

12. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. п др. Расчет на прочность основных несущих элементов подогревателей штзкого и высокого давления для мощных энергоблоков. РТМ 24.03033-75, М., 1975. 45с.

13. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. Расчет на прочность укрепляющих элементов фасошшх сосдинехшй трубопроводов. "Труды ЦКТИ" вып. 137, Л., 1976. с.25-31.

14. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. Несущая способность укрепляющих колец водоводов гидротурбин. "Труды ЦКТИ" вып. 138, Л., 1976.С. 28-31.

15. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. Комплексная программа расчета на ЭВМ температурных полей и напряжений в стенках * корпусов энергетического оборудования при нестационарных режимах. Тезисы

докладов на Всесоюзном научном совещании по проблемам прочности двигателей. АН СССР. М., 1979. с. 47-48.

16. Бирюков Д.Б. н др. Теплообменник. Авторское свидетельство N 901796, Комитет по делам изобретений и открытий СССР, М., 1981.

17. Бирюков Д.Б. и др. Термический деаэратор. Авторское свидетельство N 1035000, Комитет по делам изобретений и открытий СССР, М.,

18. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. Гладкова Н.Й. Усовершенствованные методы расчета на прочность теплообменных аппаратов. "Труды ЦКТИ" вые. 182, Л., 1980. с.9-16.

19. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. Метод наращивания элементов в расчетах на прочность сложных узлов энергооборудования. "Труды ЦКТИ" вып. 201, Л., 1983. с. 46-51.

20. Бирюков Д.Б. Исследование напряженно-деформированного состояния и разработка усовершенствованных методов расчета на прочность теплообменного оборудования мощных энергоблоков. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. Л, 1980. 24с.

21. Бирюков Д.Б. Постоев В.С. Метод конечных элементов в напряжениях. Доклад на XXII Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов», СПб, 1999. с. 45-48^

1983.

Введение.2

Глава 1. Связь и различия ОМД с существующими постановками в МКЭ и МГЭ.7

1.1 Выводы по главе.17

Глава 2. Общие принципы численного алгоритма ОМД. 19

2.1 Процедура генерирования ансамбля конечных элементов. 19

2.2 Универсальная рекуррентная формула генерирования матрицы обобщенных деформаций ансамбля и «библиотека» конечных элементов.30

2.3 Выводы по главе.34

Глава 3. Плоская задача теории упругости.35

3.1 Матрица обобщенных деформаций (МОД) симплекс-элемента.37

3.2. Генерирование субблоков матрицы обобщенных деформаций ансамбля плоских конечных элементов.45

3.3. Генерирование субблоков матрицы обобщенных деформаций ансамбля, когда конечный элемент имеет с фрагментом две смежные стороны.56

3.4 Расчет температурных деформаций и напряжений.59

3.5 Анализ устойчивости генерирования матрицы обобщенных деформаций (МОД) на примере решения плоской задачи.61

3.6 Программа расчета плоского напряженного состояния в многосвязных областях О на базе линейного конечного элемента («СИГМА-2»).67

3.7. Примеры расчета плоского напряженного состояния по программе («СИГМА-2»).70

3.8 Решение плоской задачи с использованием матриц обобщенных деформаций плоского шестиузловогоКЭ.72

3.9. Программа расчета плоского напряженного состояния в многосвязных областях на базе квадратичного конечного элемента («ОМЕГА-2»).78

ЗЛО. Примеры расчета по «Программе расчета плоского напряженного состояния в многосвязных областях " на базе квадратичного конечного элемента»

ОМЕГА-2»).80

ЗЛ1 Применение ОМД при решении физически нелинейной плоской задачи теории упругости.85

3.12 Выводы по главе.87

Глава 4. Согласованный нзгибный конечный элемент в ОМД.89

4.1 Треугольные пластинчатые конечные элементы, применяемые при решении задач изгиба пластин по МКЭ.90

4.2 Создание согласованного треугольного изгибного конечного элемента с кубической аппроксимацией прогиба.93

4.3 Генерирование матрицы обобщенных деформаций согласованного треугольного конечного элемента.97

4.4 Матрицы жесткости и податливости в первом состоянии.98

4.5 Матрицы жесткости и податливости во втором состоянии.103

4.6 Формирование матрицы обобщенных деформаций согласованного треугольного семиузлового изгибного конечного элемента.107

4.7 Формирование матрицы обобщенных деформаций согласованного четырехугольного изгибного конечного элемента.109

4.8 Выводы по главе.110

Глава 5. Изгиб пластин.111

5 Л Генерирование субблоков матрицы обобщенных деформаций ансамбля конечных элементов.111

5.2 Стыкуемый элемент имеет с фрагментом две смежные стороны.123

5.3 Программа расчета изгиба пластин на базе семиузлового треугольного согласованного конечного элемента («СИГМА-3»).125

5.4 Примеры расчета по программе («СИГМА-3») перемещений и напряжений при изгибе пластин. 128

5.5 Выводы по главе.137

Объемная задача

139

6 1

Геометрия и базовый конечный элемент.140

Матрица жесткости 10-узлового тетраэдра с квадратичным законом для перемещений.143

Матрица обобщенных деформаций 10-узлового тетраэдра с квадратичным законом для перемещений.145

Генерирование субблоков матрицы обобщенных деформаций ансамбля тетраэдров.149

Специализированная программа расчета напряженно-деформированного состояния пространственных объектов в трехмерной постановке («SPASE»).151

Тестовые расчеты по программе «SPASE».155

Изгиб защемленной по контуру квадратной в плане плиты постоянной толщины, нагруженной равномерной поверхностной нагрузкой.155

Изгиб шарнирно опертой по контуру квадратной в плане плиты постоянной толщины, нагруженной равномерной поверхностной нагрузкой.173

Выводы по главе.188

Трехмерная осесимметричкая задача.

189

Суперпозиция «кольцевого» и «контурного» деформированных состояний шестиузлового осесимметричного конечного элемента в ОМД.191

Генерирование матрицы обобщенных деформаций осесимметричного шестиузлового конечного элемента.194

Генерирование субблоков матрицы обобщенных деформаций ансамбля осесимметричных конечных элементов.197

Генерирование субблоков матрицы обобщенных деформаций ансамбля, когда конечный элемент имеет с фрагментом две смежные стороны.208

Расчет деформаций и напряжений.209

Программный комплекс совместного расчета температурного, напряженного и термодеформированного состояния в осесимметричных телах на базе шестиузлового конечного элемента (СИГМА-4»).211

Выводы по главе.214

Расчеты напряженно-деформированного состояния оборудования агрегатов с использованием программного комплекса «СИГМА-4».216

Расчет фланцевого разъема подогревателя высокого давления ПВ-900-380-66 с мембранным и графито-металлическим уплотнительными элементами.216

Расчет крышки и фланцевого разъема задвижки Ду-800 .224

Расчет камерного подогревателя высокого давления ПВД-К-700-3 турбоустановки К-215-12,8.226

Расчет сетевых подогревателей типа 1200-ТНВ-11-25-М 10.229

Метод конечных элементов (МКЭ) нашел самое широкое применение при решении разнообразных задач математической физики: распространения тепла и электромагнитных волн, гидромеханики, расчета электрических цепей и т.д., однако наибольшее распространение метод получил при решении задач механики деформируемого твердого тела, тем более, что первые работы по методу конечных элементов были выполнены специалистами поительной механике. Развитию этого метода способствовали с одной стороны интенсивная разработка его теоретических основ и построение новых конечно-элементных моделей, а также бурное развитие электронных цифровых вычислительных машин (ЭЦВМ), а в последние годы - персональных компьютеров (ПК).

МКЭ в варианте метода перемещений (МП) и в варианте метода сил (МС) в классической строительной механике имеют примерно одинаковую трудоемкость, однако вследствие трудности алгоритмизации последнего, промышленных программных комплексов на его основе не создано. Наибольшее развитие получил, отличающийся простотой алгоритма, МКЭ в перемещениях, который положен в основу большинства наиболее известных универсальных программных комплексов.

Вместе с тем при решении практических задач механики для оценки прочности конструкций и сооружений основной интерес представляют напряжения, поэтому при численном анализе постановка в перемещениях обладает существенным недостатком. Результатом приближенного решения задачи в такой постановке являются значения перемещений в узлах конечно-элементной сетки, а дальнейшее определение деформаций и напряжений сводится к численному дифференцированию функций, заданных в конечном количестве точек, что приводит к значительно менее точному определению напряжений по сравнению с перемещениями. Расчет полей деформаций и напряжений путем определения констант интегрирования аппроксимирующих полиномов непосредственно через значения перемещений в узлах конечно-элементной сетки также приводит к менее точному определению напряжений по сравнению с перемещениями.

Особенно сильно недостатки постановки в перемещениях проявляются при решении таких важных задач, как определение напряженно-деформированного состояния (НДС) в области концентраций напряжений или расчет термических напряжений в областях высоких температурных градиентов, когда стремление к получению более точного решения путем локального сгущения конечно-элементной сетки в этих областях может привести к обратному результату вследствие ухудшения обусловленности глобальной матрицы жесткости.

Второй не менее важной проблемой реализации МКЭ является обеспечение возможности решения все более сложных задач и снижение количества вычислительных операций (трудоемкости процесса) получения этого решения на ПК. Как отмечается в работах по теории МКЭ [7, 51, 63, 64, 127, 139, 140, 141, 142, 143, 150, 159, 163, 182], существует три основных способа глобального конечно-элементного анализа конструкций: метод перемещений (МП), метод сил (МС) и смешанный метод (СМ). Данные постановки МКЭ соответствуют различным формам энергетических принципов, однако все эти методы объединяет процедура формирования и решения глобальной системы алгебраических уравнений, порядок которой равен количеству степеней свободы в расчетной модели, и превышает возможности оперативной, а зачастую, и внешней памяти ЭВМ. В последние 10-15 лет помимо упомянутых классических подходов к численному решению задач в рамках МКЭ были разработаны и интенсивно развиваются метод супер- и модуль-элементов [140-143], конечных полос, редуцированных элементов [49], целью которых является уменьшение количества вычислительных операций либо за счет уменьшения числа неизвестных, либо благодаря специальной организации расчета, приводящей к "расщеплению" систем уравнений чрезмерно высокого порядка на ряд независимых систем меньшего порядка. При несомненных достоинствах таких подходов следует подчеркнуть узкую специализацию разработанных программных комплексов для решения конкретного класса задач.

Отмеченные факторы предопределили актуальность разработки численного метода решения задач непосредственно в деформациях (напряжениях), который бы при сохранении преимуществ МКЭ в перемещениях исключал упомянутые его недостатки и обладал бы большей точностью решения, универсальностью и возможностью решения задач со сложными расчетными моделями - многосвязными областями с нерегулярной многоузловой конечно-элементной сеткой.

Научная новизна. В качестве нового направления в теории и практике МКЭ предлагается обобщенный метод деформации (ОМД) - прямой численный метод расчета деформаций и напряжений, обладающий большой точностью получаемого решения и возможностью решения задач любой сложности на ПК и рядом других преимуществ по сравнению с существующими подходами в МКЭ, т.к.:

• задача решается непосредственно в деформациях; « для подсчета этих деформаций создан алгоритм генерирования ансамбля конечных элементов и разработана универсальная рекуррентная формула подсчета матрицы обобщенных деформаций (МОД);

• в ОМД отсутствует система алгебраических уравнений, которая в больших программных комплексах , реализующих МКЭ в перемещениях, располагается во внешних носителях ЭВМ, а процедуры решения этих систем требуют больших вычислительных затрат. Тем самым устранено одно из основных препятствий для решения задач со сложными расчетными моделями - многосвязными областями с нерегулярной многоузловой конечно-элементной сеткой;

• необходимое в ОМД требование выполнения условий совместности деформаций вдоль смежных сторон соседних КЭ обеспечивает межэлементную непрерывность функции перемещений и ее производных и, как следствие- высокую точность решения;

• созданы и реализованы в программах для ПК алгоритмы подсчета матриц обобщенных деформаций для согласованных конечных элементов, а для решения задачи изгиба пластин разработан принципиально новый семиузловой согласованный КЭ на базе аппроксимирующей функции прогиба - полного кубического полинома; в трехмерных осесимметричных задачах решение расщепляется» на т.н. «кольцевое» - перемещения к поворот недеформируемого сечения КЭ и «деформационное» -собственно деформации сечения КЭ; © численный алгоритм ОМД существенно отличается от своих аналогов возможностью представления расчетных моделей многосвязных областей из практически неограниченного количества КЭ и в то же время обеспечивает возможность компактного хранения матрицы обобщенных деформаций и проведения расчетов с использованием только оперативной памяти (RAM) компьютера.

Практическая значимость разработанного метода заключается в том, что благодаря вышеперечисленным преимуществам численного алгоритма ОМД впервые разработан пакет прикладных программ на ПК, который позволяет не только создавать расчетные модели с практически неограниченным количеством конечных элементов, а вследствие использования при расчетах только оперативной памяти (RAM) компьютера, и отказа от обращения к «винчестеру» на порядок сократить время счета конкретных задач. В состав пакета вошли следующие программные комплексы:

1. «Расчет плоского напряженного состояния на базе КЭ с линейной аппроксимацией перемещений» («СИГМА-2»),

2. «Расчет плоского напряженного состояния базе КЭ с квадратичной аппроксимацией перемещений» («ОМЕГА-2).

3. «Расчет изгиба пластин на базе семиузлового треугольного согласованного конечного элемента» («СИГМА-3»);

4. «Программа совместного расчета температурного, напряженного, термодеформированного состояния и ресурса безопасной эксплуатации агрегатов ТЭС и АЭС в осесимметричной постановке на базе шестиузлового конечного элемента» (СИГМА-4»).

5. «Специализированная программа расчета напряженно-деформированного состояния пространственных объектов в трехмерной постановке» (« SPASE»).

Решены проблемы конечно-элементного представления и численный анализ физических процессов при взаимодействии исследуемых объектов с внешними полями. Представлены методики и результаты расчетов объектов в трехмерной осесимметричной постановке, когда вычисление изменяющихся во времени напряжений от механических нагрузок и температурных напряжений производится в едином комплексе с расчетом меняющегося во времени распределения (поля) температур, а в соответствии с требованием «Норм АЭС» [125] -расчеты ресурса безопасной эксплуатации энергооборудования.

Приведены результаты расчетов нестационарных температурных полей и напряженно-деформированного состояния высоконапорной задвижки Ду-800, камерных подогревателей высокого давления и фланцевых разъемов спирально-коллекторных подогревателей высокого давления (ПВД), различных подогревателей низкого давления с U-образным теплообменным трубным пучком т.н. «жесткотрубной» конструкции и с термокомпенсаторами. Представлены результаты расчетов на прочность «воротникового» укрепления водовода Нурекской ГЭС.

Внедрение. ОМД и разработанный на его основе пакет прикладных программ использовался при разработке и проектировании теплообменного оборудования, изготавливаемого на АО «Красный котельщик», г. Таганрог. АО «Барнаульский котельный завод», АО «Энергомаш» г. Саратов. В настоящее время пакет прикладных программ интенсивно используется при расчетах на малоцикловую усталость и определении ресурса безопасной эксплуатации элементов оборудования мощных энергоблоков.

7.7. Выводы по главе.

В главе впервые в практике применения в МКЭ для решения трехмерных осесимметричных задач использован прием «расщепления» решения на «кольцевое», когда окружные деформации и напряжения определяются перемещениями и поворотами сечения кольцевого конечного элемента с недеформируемым контуром и т.н. «плоское», когда все остальные деформации и напряжения определяются через деформации сечения, как это происходит при решении плоской задачи.

При генерировании матрицы обобщенных деформаций кольцевого конечного элемента в качестве аппроксимирующей функции поля перемещений взят полный квадратичный полином, а это значит, что при решении задачи используются согласованные конечные элементы.

Представленный численный алгоритм ОМД применительно к решению осесимметричной задачи показал, что при квадратичной аппроксимации перемещений в шестиузловом кольцевом конечном элементе треугольного сечения процедура генерирования субблоков матрицы обобщенных деформаций сводится к обращению матрицы взаимных деформаций размером (3x3) и тройному матричному произведению матриц размером соответственно (15x3), (3x3), (3x15).

Выведена рекуррентная матричная формула генерирования субблоков матрицы обобщенных деформаций осесимметричного тела вращения произвольных очертаний.

Разработан алгоритм совместного (на единой конечно-элементной сетке) расчета меняющегося во времени распределения температур (температурного поля), термонапряжений и напряжений от механических нагрузок, реализованный в программном комплексе «Программа совместного расчета температурного, напряженного и термодеформированного состояния в осесимметричных телах на базе шестиузлового конечного элемента» («СИГМА-4»). Этот комплекс широко используется при анализе прочности и в расчетах ресурса безопасной эксплуатации широкого класса агрегатов энергооборудования ТЭС и АЭС.

Программный комплекс «СИГМА-4» обладает следующими преимуществами перед аналогичными комплексами: практически не ограничено количество элементов, входящих в ансамбль конечных элементов - расчетную модель исследуемого объекта, т.к. размер характеризующей его деформированное состояние матрицы обобщенных деформаций [D] не зависит от общего количества конечных элементов в ансамбле, а определяется набором тех элементов, в которых требуется вычислить значения деформаций и напряжений', отсутствуют проблемы, характерные для расчетов по МКЭ осесимметричных тел сложной конфигурации, поскольку в ОМД нет необходимости формировать глобальную матрицу жесткости ансамбля конечных элементов и решать систему (в несколько тысяч) алгебраических уравнений высокого порядка; обеспечивается высокая точность расчета, т.к. задача решается непосредственно в деформациях, и произведено описанное выше «расщепление» решения на «кольцевое», и «плоское»; алгоритм ОМД позволяет использовать только оперативную память (RAM) компьютера, что существенно сокращает время счета сложных задач с большим количеством конечных элементов; комплекс имеет мощный пре-процессор, позволяющий генерировать и корректировать конечно-элементную сетку непосредственно с монитора компьютера, изменять количество элементов, узлов и т.д.; с помощью имеющегося пост-процессора можно выводить на экран монитора двумерную «картинку» деформированного состояния в фиксированные моменты времени, различные графики; для расчетов по программного комплексу «СИГМА-3» используется ПК «PENTIUM-!50» с оперативной памятью RAM в 32 мегабайта. Принятое допустимое количество конечных элементов в расчетной модели - 10000, количество "избранных" конечных элементов в которых определяются значения деформаций и напряжений - до 150. За счет использования только оперативной памяти время счета конкретных вариантов составляет минуты.

Глава 8

Расчеты напряженно-деформированного состояния агрегатов с использованием программного комплекса «СИГМА-4».

8.1 Расчет фланцевого разъема подогревателя высокого давления ПВ-900-380-66 с мембранным и графито-металлическим уплотнительными элементами.

Одной из проблем, возникающих при эксплуатации подогревателей высокого давления (ПВД) производства АО «Красный котельщик», является нарушение герметичности и надежной работы фланцевых разъемов с приварными уплотнительными мембранами, схематично изображенными на рис.7.1.1.а

Разгерметизация фланцевых разъемов с мембранными уплотнениями связана как с несовершенством конструкции, так и с причинами технологического порядка, в первую очередь в связи с короблением мембран, представляющих собой тонкие а)

Рис. 8.1.1 Мембранное уплотнение фланцевого разъема ПВД. кольцевые пластины толщиной 6-:- 10мм большого диаметра (до 3000мм), при изготовлении их из секторов, а также качеством выполнения сварных швов (см. рис.'8Д.1,б), существенным образом влияющим на их долговечность.

Ниже обсуждаются причины разгерметизации фланцевого разъема ПВД и способы повышения надежности, связанные с конструкцией фланцевого разъема. Известно, что в начале 70-х годов под флагом экономии металла были снижены габаритные размеры фланцев. Предполагалось, что при безусловном выполнении условий прочности фланцев герметичность разъема в целом обеспечит гибкая металлическая сварная прокладка (мембрана), изображенная на рис/Ъ. 1.1, а снижение габаритных размеров собственно фланцев не скажется на работоспособности узла в целом. Вместе с тем результаты нормативных расчетов габаритных размеров фланцев ПВД, проведенные по современным методикам, например, по «Нормам АЭС» (ПНАЭ Г-7-002-86), показывают, что существенно занижена высота фланцевых тарелок, что отразилось на жесткости фланцевого разъема на поворот.

Кроме того, ошибочно предполагалось, что наличие мембранного уплотнения позволит избежать трудоемкого процесса затяга шпилек, поэтому в «Инструкции по монтажу и ремонту уплотнения фланцевого разъема ПВД» 08.0302.282 РА, выпущенной АО й Красный котельщик»' в 1984г., предусматривается затяг шпилек вручную моментом на ключе в 60 кгм. Как показывает практика, такой момент на ключе можно классифицировать, как монтажный, а не момент, обеспечивающий предварительный затяг шпилек. На рис. 1.2 схематично показано деформированное состояние фланцевого разъема ПВД от действия внутреннего давления в аппарате с предварительным натягом вручную моментом ка ключе в 60 кгм (вариант "а") и с предварительным натягом (вариант "б") путем механической вытяжки шпилек с помощью специально разработанной для этих целей гидросистемой. Обращает на себя внимание тот факт, что раскрытие разъема происходит в основном за счет разворота фланцевых тарелок и в меньшей степени из-за удлиннения шпилек.

Рис. 8,1.2 Деформированное состояние фланцевого разъема ПВД с мембранным уплотнением. а) с предварительным натягом шпилек моментом на ключе М=60кгм. б) с предварительныой вытяжкой шпилек гидросистемой.

Расчеты с использованием программного комплекса «СИГМА-4» показали, что изгибные напряжения в области стыкового шва мембран при осуществлении необходимого предварительного натяга шпилек величиной аш=350 МПа, составляют см= 128 Мпа, в то время как при затяге вручную моментом 60 хгм {соответствует натягу в шпильке сш=50 Мпа) напряжения в мембране составляют ам=332 Мпа. В Таблице 7.1.1 приведены значения напряжений в области стыкового шва мембран при предварительном натяге шпилек в интервале аш=0-:-350 Мпа.

Заключение

1. В качестве нового направления в теории и практике МКЭ разработан обобщенный метод деформаций (ОМД) -прямой численный метод расчета деформаций и напряжений, в основу физической модели которого заложены последовательное генерирование ансамбля КЭ и принцип взаимодействия соседних КЭ вдоль смежных сторон.

2. Искомыми величинами в ОМД являются непосредственно деформации, разработан единый алгоритм для расчета изгиба пластин, решения плоской, объемной, осесимметричной задач, и выведена универсальная рекуррентная матричная формула для расчета деформаций, напряжений и перемещений. Отличительной особенностью ОМД является не требующая дополнительных операций возможность задания граничных условий как в усилиях, так и в перемещениях.

3. В ОМД отсутствует, как таковая, глобальная система алгебраических уравнений высокого порядка, процедура решения которой является наиболее трудоемким этапом во всех известных подходах МКЭ.

4. Безусловное выполнение условий совместности деформаций на смежных сторонах соседних КЭ обеспечивает межэлементную непрерывность функции перемещений и необходимого числа ее производных, а в результате - высокую точность получаемых значений деформаций, напряжений и перемещений.

5. Для обеспечения устойчивости и высокой точности решения задачи изгиба пластин разработан новый согласованный КЭ с функцией прогиба - полным кубическим полиномом: семиузловой треугольный элемент, который являются базовыми в программном комплексе расчета изгиба пластин - «СИГМА-3». Высокая точность получаемых результатов на сравнительно «грубой» конечно-элементной сетке подтверждена решением тестовых задач и сопоставлением полученных результатов с аналитическим решением. Отмечена большая точность решения по «СИГМА-3» по сравнению с решением по программе «COSMOS» на аналогичной конечно-элементной сетке.

6. Показано, что созданные с использованием ОМД согласованные КЭ (семиузловой треугольный и девятиузловой четырехугольный) можно с успехом применять в программных комплексах, использующих постановку МКЭ в перемещениях, т.к. в рамках этой постановки невозможно в принципе создание согласованного треугольного или четырехугольного КЭ с аппроксимацией прогиба полным кубическим полиномом, а проблема повышения точности численного решения по МКЭ задачи изгиба пластин до сих пор остается актуальной.

7. Для повышения точности решения осесимметричных задач разработан не имеющий аналогов в традиционных подходах МКЭ алгоритм «расщепления» решения на т.н. «кольцевое», отвечающее перемещениям сечения КЭ с недеформируемым контуром и «деформационное» собственно деформированное состояние сечения.

8. Показано, что в отличие от МКЭ в перемещениях [применяемое в ОМД для углубленного анализа НДС в ^зонах концентрации напряжений измельчение конечно-элементной сетки, обеспечивает устойчивость решения при расчете напряжений в этих областях J

9. Разработан пакет компьютерных программ для расчета плоской задачи - «СИГМА-2» и «ОМЕГА-2», изгиба пластин - «СИГМА-3», осесимметричной задачи - «СИГМА-4» и объемной - «SPASE». Все эти программы объединяет возможность расчета конструкций с практически неограниченным количеством элементов и узлов в конечно-элементной сетке без привлечения внешнего носителя информации компьютера - «винчестера». Это же обстоятельство позволяет резко сократить время счета конкретных задач.

10. Результаты тестовых расчетов по программе «ЗРАЗЕ» квадратной в плане плиты, нагруженной равномерной распределенной нагрузкой, показали существенно меньшее расхождение с аналитическим решением, чем расчеты на аналогичной конечно-элементной сетке, выполненные по «ANSYS» и «COSMOS» - общепризнанным в мире программным комплексам.

Представлены методики и результаты расчетов объектов в осесимметричной постановке, когда вычисление изменяющихся во времени напряжений от механических нагрузок и термонапряжений производится в едином комплексе с расчетом меняющегося во времени распределения (поля) температур, а в соответствии с требованиями «Норм АЭС» [125] - методики расчета ресурса безопасной эксплуатации энергооборудования.

Приведены результаты расчетов нестационарных температурных полей и напряженно-деформированного состояния высоконапорной задвижки Ду-800, камерных подогревателей высокого давления и фланцевых разъемов спирально-коллекторных подогревателей высокого давления (ПВД), различных подогревателей низкого давления с и-образным теплообменным трубным пучком т.н. «жесткотрубной» конструкции. Представлены результаты расчетов на прочность «воротникового» укрепления водовода Нурекской ГЭС и корпуса мельничного вентилятора МВ 3000/600 во взрывобезопасном исполнении.

ОМД и разработанный на его основе пакет прикладных программ использовался при разработке и проектировании теплообменного оборудования, изготавливаемого на АО «Красный котельщик», г. Таганрог. АО «Барнаульский котельный завод», АО «Энергомаш» г. Саратов. 14. В настоящее время этот пакет интенсивно используется при расчетах на малоцикловую усталость и при определении ресурса безопасной эксплуатации элементов энергооборудования мощных энергоблоков.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. - М.: Наука, 1978, 287 с.

2. Авдеев В.П. Использование функций напряжений для оценки точности численных решений //Изв. вузов. Машиностроение, 1988, № 1, С. 3-7.

3. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. -М.: Наука, 1978, 351 с.

4. Адлуцкий В.Я. О вычислении напряжений на поверхности упругого тела//Пробл. прочн., 1983, № 2, С. 102-104.

5. Александров A.B., Лащенников Б.Я., Шапошников H.H.

6. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. М.: Стройиздат, 1983, 488 с.

7. Александров A.B., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. — М.: Высш. шк., 1990, 400 с.

8. Аргирос Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. М., Стройиздат, 1968. 476с.

9. Астраханцев Г.П. Сведение задачи об изгибе пластины к системе уравнений второго порядка // Вариационно-разностные методы решения задач математической физики. Новосибирск, 1976, С. 62-72.

10. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Наука, 1987, 598 с.

11. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука, 1983, 336 с.

12. Белоцерковский С.М., Ли фанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985, 256 с.

13. Белый М.В. Об одном способе численного определения стационарных температурных полей в конструкциях // СМиРС, 1983, № б, С. 73-74.

14. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных задачах. М.: Мир, 1984, 494 с.

15. Вениаминов Д.М. Уравнения смешанного метода в теории упругости //СМиРС, 1975, №5, С. 43-46.

16. Бердешев Б.А., Лалин В.В. Решение второй краевой задачи, теории упругости в производных от перемещений //Методы и средства диагностики состояний гидротехнических сооружений, СПб, ВНИИГ, 1992, С. 87-94.

17. Бердичевский В Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983, 446 с.

18. Бессели hi Й.Ф. Методы конечных элементов //Механика деформируемых твердых тел. Направления развития. М., 1983, С. 22-51.

19. Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1977, 488 с.

20. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. и др. Расчет на прочность деаэрационных аппаратов. РТМ 24.03025-73, М., 1973. 39с.

21. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. и др. Расчет на прочность основных несущих элементов подогревателей низкого и высокого давления для мощных энергоблоков. РТМ 24.03033-75, М., 1975. 45с.

22. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. Расчет на прочность укрепляющих элементов фасонных соединений трубопроводов. // "Труды ЦКТИ" вып. 137, Л., 1976. с. 25-31.

23. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. Расчет на прочность укрепляющих элементов водоводов гидротурбин. //"Труды ЦКТИ" вып. 138, Л., 1976. с. 28-31.

24. Бирюков Д.Б. и др. Теплообменник. Авторское свидетельство N 901796, Комитет по делам изобретений и открытий СССР, М., 1981.

25. Бирюков Д.Б. и др. Термический деаэратор. Авторское свидетельство N 793947, Комитет по делам изобретений и открытий СССР, М., 1982.

26. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. Гладкова Н.И. Усовершенствованные методы расчета на прочность теплообменных аппаратов. // "Труды ЦКТИ" вып. 182, Л., 1980. с.9-16.

27. Бирюков Д.Б. и др. Термический деаэратор. Авторское свидетельство N 1035000, Комитет по делам изобретений и открытий СССР, М., 1983.

28. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. Метод наращивания элементов в расчетах на прочность сложных узлов энергооборудования //"Труды ЦКТИ" вып. 201, Л., 1983. с. 46-51.

29. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. Метод наращивания элементов в расчетах на прочность оборудования. Межвузовский сборник научных трудов. // Станки и инструменты деревообрабатывающего оборудования. ЛТА, Л.,1983. с. 47-52.

30. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. Разработка универсальных и устойчивых решений в МКЭ. Сборник материалов VI тематической конференции «Практическая реализация численных методов расчета инженерных конструкций», ЛДНТП, Л., 1983, с. 26-32.

31. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. Метод наращивания элементов в механике твердого тела. Актуальные проблемы прочности. Тезисы доклада на X семинаре в г. Тарту, 1985, с. 57.

32. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. Основы метода наращивания элементов в механике твердого деформируемого тела. Аннотации докладов. VI Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Ташкент, 1986. с.36.

33. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. Метод генерирования ансамбля конечных элементов в решении задач механики твердого деформируемого тела. Тезисы доклада на XVI международной конференции "Математическое моделирование в механике" СПб, 1998, с. 28-29.

34. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. Метод конечных элементов в напряжениях. Тезисы доклада на XVII Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов», СПб, 1999, с. 36-37.

35. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. Метод конечных элементов в напряжениях. Доклад на XVII Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов», НИИХ СПбГУ, 1999, 45-48.

36. Бирюков Д.Б. Постоев B.C. Метод конечных элементов в напряжениях. Изд. АО "НПО ЦКТИ", 1999. 187с.

37. Блох В.И. Теория упругости. Харьков, ХГУ, 1964, 483 с.

38. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982, 248 с.

39. Бронштейн И.Л. Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров. М, "Наука", 1981. 720с.л

40. Васадзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Мир, 1987, 544 с.

41. Вебеке Б.Ф. Новый вариационный принцип в теории упругости с конечными перемещениями //Успехи механики деформируемых сред, М., 1975, С, 194-210.

42. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. Киев: Вищашк., 1978, 183 с.

43. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. M.; Наука, 1976, 527 с.

44. Власов Б.Ф. О числе независимых уравнений неразрывности/ Тр. ун-та дружбы народов, 1968, Т. 34, Вып. 5, С. 171-174.

45. Вовкушевский A.B. О вычислении напряжений при решении задач теории упругости метопом конечных элементов // Изв. ВНИИГ, 1979, Т, 133, С. 18-22.

46. Вороненок Е.Я., Паллий О.М., Сочинский C.B. Метод редуцированных элементов для расчета конструкций. Л.: Судостроение, 1990,220 с.

47. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.;Наука, 1984, 320 с.

48. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: "Мир". 1984. 428с.

49. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979, 392 с.

50. Гузь А. Н. Чернышенко И.С. и др. Методы расчета оболочек, т.1 Теория тонких оболочек, ослабленных отверстиями. Киев: Наукова думка, 1980, 611с.

51. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применения к основным задачам математической физики. М.: ГИТТЛ, 1953, 415 с.

52. Даниленко А.Ю. Решение задачи Неймана для уравнения Пуассона многосеточным методом в трехмерном случае// ЖВМиМФ, 1991, Т. 31, № 10, С. 1526-1535.

53. Дарков A.B., Шапошников H.H. Строительная механика. M,: ВШ, 1986,607 с.

54. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. М.: Мир, 1984, 334 с.5 8. Донн ел л Л.Г. Балки пластины и оболочки. М.: "Наука" 1982, 567с.

55. Дубнов Я.С. Основы векторного исчисления. 4.2. М.: ГИТТЛ, 1952, 415 с.

56. Евдокимов Б.М. О влиянии линейных отображений на матрицы жесткости конечных элементов. Л., 1981, 12 с. Деп. в ВИНИТИ 27.01.81, №653-В81.

57. Елсукова К.П., Сливкер В.И. К расчету изгибаемых пластин по методу конечных элементов// Метод конечных элементов и строительная механика, Л., ЛПИ, 1974, с. 45-59.62.3абрейко П,П. и др. Интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1968, 448 с.

58. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975, 543 с.

59. Зенкевич О. Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М., «Мир», 1986, 318с.

60. Зиновьев Б.М., Холмянский М.Л. К вычислению напряжений при решении задач теории упругости прямым методом граничных интегральных уравнений//Изв.вузов. СиА, 1987, № 10, С. 28-32.бб.Зорич В.А. Математический анализ. 4.2. — М.: Наука, 1984, 640 с.

61. Калинин B.C. К решению прямой задачи линейной теории упругости в напряжениях//Пробл. строит, мех. корабля. М., 1973, С. 97-101.

62. Кармишин A.B. Постановка задачи теории упругости в деформациях и углах поворота// Прикл. мех., 1991, Т. 27, № 9, С. 29-33.

63. Кацман И.М., Рукавишников В.А. О расчете МКЭ напряженного состояния выносного трубопровода, работающего совместно с плотиной// Л., Труды ЛПИ, 1976, №349, с, 53-59.

64. Кеч В., Теодореску П. Ввенение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир, 1978, 518 с.

65. Колтунов М.А., Кравчук A.C., Майборода В.П. Прикладная механика деформируемого твердого тела. М.: ВШ, 1983, 349 с.

66. Коновалов А.Н. Решение задач теории упругости в напряжениях. -Новосибирск, НГУ, 1979, 92 с.

67. Коновалов А.Н. О численном решении задач теории упругости в напряжениях с краевыми условиями в перемещениях// Числ. мет. мех. сплошной среды. Новосибирск, 1980, T.II, № 5, С.90-103.

68. Коновалов А.Н., Сорокин С.Б. Структура уравнений теории упругости. Статическая задача. Новосибирск, 1986, 26 с. /Препринт ВЦ СО АН СССР/

69. Кончаковский 3. Плиты. Статические расчеты. М.: Стройиздат, 1984, 480 с.

70. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. -М.: Наука, 1965, 426 с.

71. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.; Мир, 1987, 328 с.

72. Кржижек М. Равновесные элементы в задачах линейной упругости// Вариационно-разностные методы в математической физике.4.1, М., 1984, с. 81-92.

73. Купрадзе В.Д. и пр. Трехмерные задачи теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976, 664 с.

74. Кустов Ю.А. Метод механических кубатур для систем граничных сингулярных уравнений теории упругости// ДАН СССР, 1990, Т.315, № б, с. 1353-1357.

75. Кутрунов В.Н. Обобщенный интеграл Гаусса в интегральных уравнениях теории упругости// Исслед. по механике строит, констр. и матер. Л., ЛИСИ, 1982, с. 23-26.

76. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М,: Наука, 1973, 407 с.

77. Лазарев М,И., Сковорода А.Р. Определение упругих напряжений методом потенциала в трехмерном случае// Иэв. АН СССР, МТТ, 1983, №5, с. 58-62.

78. Лазрарев М.И. Метод граничных интегральных уравнений. Алгоритмы и их реализация. Пущино, 1984, 54 с. /Препринт ВЦ; НЦБИ АН СССР/

79. Лалин В.В. Формула Грина для оператора "несовместности" и ее применение для вариационных постановок задач теории упругости// Прочн. и устойчивость инженерных констр. Барнаул, 1981, с. 19-24.

80. Л алии В.В. Основные вариационные постановки задач моментной теории упругости// Прочность и устойчивость инженерных конструкций. -Барнаул, 1983, с. 3-10.

81. Лалин В.В., Никитин Ф.Н. Метод решения плоской задачи теории упругости в напряжениях// Прочн. и устойчивость инженерных констр. ~ Барнаул, 1985, с.3-9.

82. Лалин В.В. 0 постановках зацач теории упругости и теплопроводности относительно производных от перемещений и температуры// Л., Труды ЛПИ, 1990 434, с. 15-25.

83. Лалин В.В. Постановка задач изгиба тонких пяастин в усилиях и моментах//Л., Труцы ЛПИ, 1990,---434, с.26-31.

84. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М.-Л., 1947, 1, 464 с.

85. Лгтсли Р. Матричные методы строительной механики. — М. Стройнздат, 1980, 224 с.

86. Линьков A.M., Могилевская С.Г. Комплексные гиперсингулярные интегралы и уравнения плоской зацачи теории упругости//Исслед. по механике строит, констр. и матер., Л., ЛИСИ, 1991, с. 17-34.

87. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970, 939 с.

88. Лурье А.И. Статико-геометрическая аналогия в теории плит// Успехи механики деформируемых сред., М., 1975, с.355-359.

89. Малый В.И. Об одном представлении условий совместности деформаций// ПММ, 1986, Т.50, Вып.5, с.872-875.

90. Малый В.И. Независимые условия совместности напряжений для упругого изотропного тела// Докл. АН УССР, Сер.А, 1987, №7, с.43-46.

91. Маковенко С.Я. Некоторые варианты постановки задач нелинейной теории упругости в напряжениях// ПММ, 1983, Т.47, Вып.6, с.972-980.

92. Максимов A.B. Решение плоской задачи теории упругости в функциях напряжений на ЭВМ// Пространств, констр. в Красноярском крае, Красноярск, 1990, с.171-172. 22.

93. Масленников A.M. Расчет тонких плит методом конечных элементов. "Труды ЛИСИ", N 57, 1968. с. 57-69.

94. Матехин H.A. Интегральные уравнения в напряжениях для плоской цеформации// Исследования по теории упругости и пластичности, Л„ 1986, Вып. 15, с, 79-82.

95. Матехин H.A. О прямом методе потенциала в теории упругости//Докл. АН АрмССР, 1987, Т.84,14 2, с.77-81.

96. Марчук Г.И, Агошков В.И. Введение а проекционно-сеточные методы. -- М.: Наука, 1981, 416 с.

97. Мейснер К. Алгоритм многократного объединения при расчете конструкций методом жесткостей. Пер.с англ. // Ракетная техника и космонавтика. 1968. № 11. С.176-177.

98. Метод граничных интегральных уравнений. М.: Мир, 1978,210 с.

99. Михайлов С.Е., Котов Ю.И. Интегральные уравнения плоских задач теории упругости для областей с отверстиями и углами. М 1986 , 73 с. Деп. в ВИНИТИ 17.09.86, № 6695-В86.

100. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: ГИФМП, 1959, 232 с.

101. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. — М.: Физматгиз, 1962, 254 с.

102. Михлин С.Г. Вариационные метопы в математической физике. М.: Наука, 1970, 512 с.

103. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных М.: ВШ, 1977, 432 с.

104. Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. — М.: Наука, 1965,383 с.

105. Михлин С.Г., Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Граничные интегральные уравнения и задачи теории упругости. Л.: ЛГУ, 1986, 88 с.

106. Молчанов И.Н. 0 некоторых итерационных метопах решения второй краевой задачи для уравнений теории упругости в перемещениях (сообщения 1 и 2)//Пробл.прочн., 1970, №1, с.69-79.

107. Молчанов И.Н., Николенко Л.Д. Об одном прямом методе решения задачи Неймана для уравнения Пуассона// ЖВМиМ-2, 1973, /Т. 13, №6, с. 1607-1612.

108. Молчанов И.Н., Галба Е.Ф. Вариационная постановка второй краевой задачи теории упругости// Докл, АН УССР, Сер. А, 1986, № 8, с. 17-20.

109. Молчанов И.Н., Николенко Л.Д. Основы метода конечных элементов. Киев: Наукова думка, 1989, 270 с.

110. Морозов Б.М. Никит ков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М., Наука, 1980.

111. Мусхелитвила. Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М: Наука, 1968, 512с.

112. Назаров С.А., Шойхет Б.А. Об эллиптичности плоской задачи теории упругости а напряжениях// йзв.вузов. Математика, 1988, № 1, с.57-66.

113. Никольский М.Д. Расчет систем конечных элементов в усилиях// Расчет пространств, констр. на прочность и жесткость, Л. 1973, с. 194207.

114. Никольский М.Д. Формы МКЭ, основанные на принципе Кастильяно// СМиРС, 1983, №1, с.23-28.

115. Никольский М.Д. Использование статико-геометрических аналогий при расчетах упругих систем по МКЭ// СМиРС, 1984, № 5,с. 18-22.

116. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975, 872 с. 88.

117. Нормы расчета на прочность оборудования и трубопроводов атомных энергетических установок. М., Энергоатомиздат, 1989. 524с.

118. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Ереван: АН АрмССР, 1979, 335 с.

119. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных среп. М.: Мир, 1976, 464 с.

120. Пановко Я.Г. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1985, 288 с.

121. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977, 312 с.

122. Партон В.Э., Перлин П.И. Метопы математической теории упругости. М.: Наука, 1981, 688 с.

123. Пратусевич А.Я. Вариационные методы в строительной механике. М., Л-д, ОГИЗ, 1948, с. 400.

124. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев: Наукова пумка, 1973, 248 с.

125. Перельмутер A.B., Слнвкер В.И. Особенности алгоритмизации метода перемещений при учете пополнительных связей// Л ,Труды ЛПИ, 1976, №: 343, с.28-36.

126. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М, МГУ, №1, 1979, 236 с.

127. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.,МГУ, 1981,344 с.

128. Победря Б.Е. Новая постановка задачи механики деформируемого твердого тела в напряжениях// ДАН СССР, Т.253, №2,с. 295-297.

129. Победря Б.Е., Шешенин C.B., Холматов Т. Задача в напряжениях. Ташкент: Фан, 1988, 200 с.

130. Победря Б.Е., Раджабов H.A. Метод источников для решения задачи теории упругости в напряжениях// ДАН СССР, 1989, Т.ЗСЬ, Р 3, с.536-531.

131. Постнов В.А., Хархурим Н.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. М.: Судостроение, 1974, 341 с.

132. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1977, 280 с.

133. Постнов В.А., Дмитриев С.А. и др. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений. JL: Судостроение, 1979, 287 с.

134. Постнов В.А., Суслов Б. Строительная механика. Корабля и теория упругости. Т.1. Л.: Судостроение, 1987, 296 с.

135. Постнов В.А., Тарануха H.JI. Метод модуль-элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1990, 320 с.

136. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник под редакцией Биргера.

137. Работнов Ю.К. Механика деформируемого твердого тела. М. : Наука, 1979, 744 с.Резников P.A. Решение задач строительной механики на ЭЦВМ. -- М.: Стойиздат, 1971, 308 с.

138. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985, 590 с.

139. Робинсон Дж., Хаггенмахер Г.В., Коитиня Р. Статический расчет конструкций метопом сип и перемещений как проблема собственных значений// Расчет упругих констр. с использованием ЭВМ, Т.2, Л., 1974, с.91-102.

140. Розин Л.А. Деформационные граничные условия в теории упругости// Изв.АН СССР. Механика и машиностроение, 1964, 4, с.96-101.

141. Розин Л.А., Гордон Л.А. Метод конечных элементов в теории пластин и оболочек// Изв. ВНИИГ, 1971, Т.95, с, 85-97.

142. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. — М.: Стройиздат, 1977,129 с.

143. Розин Л .А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: ЛГУ, 1978, 223 с.

144. Розин Л.А. 0 новых постановках задач теории упругости в напряжениях//Изв. ВНИИГ, 1985, Т. 180, с.75-84.

145. Розин Л.А. Теоремы и методы статики деформируемых систем. Л.: ЛГУ, 1986, 276 с.

146. Розин Л.А., Лукашевич A.A. Решение задач теории упругости методом конечных элементов в напряжениях// Изв. ВНИИГ, 1986, Т. 197, с.29-38.

147. Рябов Н,С. К теории плоского напряженного состояния// М., Труды ЦНИИСК, 1972, Вып.23, с. 136-140.

148. Самарский A.A., Лазарев Р.Д., Макаров В.Л, Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. М,: ВШ, 1987, 296 с.

149. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные метопы. — М.:Наука, 1989, 432 с.

150. Сахаров A.C. Альтенбах И. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Киев; Вища школа, 1982, 480 с.

151. Сегерлинд Л. Применение метоца конечных элементов. М.: Мир, 1979, 392 с.

152. Сливкер В.М, Об одной смешанной вариационной постановке задач для упругих систем// Изв. АН СССР, МТТ, 1982, 94, с.88-97.

153. Смелов В.А. Метод перемещений в строительной механике. Л.; ЛПИ, 1976, 86 с.

154. Смоляков Е.П. Прямой вариационный метоп решения в напряжениях плоской задачи упругого и пластического деформирования//Изв.вузов. Авиац.техн. 1984, № 2, с.95-99.

155. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977, 352 с.

156. Суслова H.H. К постановке краевых запач теории упругости в дисторсиях// Изв. АН СССР, МТТ, 1980, № 2, с.59-67.

157. Сьярле Л. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980,512 с.

158. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. ~ М.: ГИФМЛ, 1963, 635 с.

159. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. Т.1 М, 1930. с. 360.

160. Толкачев В.М. Метод компенсирующих нагрузок в теории изгиба пластин // Изв.АН СССР, МТТ, 1988, №3, с. 155-160.

161. Трифонов H.H. Бирюков Д.Б. Вопросы проектирования бездэаэраторных схем энергоблоков мощностью 300 и 800 МВт. «Труды ЦКТИ», 180, Л., 1980, с. 37-43.

162. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: КГУ,1986, 296 с.

163. Уманский С.Э. К построению более эффективных схем метода конечных элементов на основе смягченных и смешанных аппроксимаций//Пробл.прочн., 1983, 1~7, с. 112-118.

164. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина М.: Мир, 1988, 352 с.

165. Хазмн Л.М. Реализация вариационного принципа Кастильяно для плоской зацачи теории упругости по методу конечных элементов //Расчеты на прочность, 1976, Вып. 16, с.54-85.

166. Холматов Т. 0 методах решения задачи в напряжениях//ДАН СССР, 1980, Т.252, 7 2, с.440-442.

167. Холматов Т. Методы решения пространственной задачи механики деформируемого твердого тела в напряжениях// ПММ, 1983, №, с.988-992.

168. Цейтлин А.И., Петросян Л.Г. Методы граничных элементов в строительной механике. Ереван: Луйс, 1987, 200 с.

169. Шабров Н.Н. Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей. -Л.: Машиностроение. 1983. 348 с.

170. Шехтер Р. Вариационный метоп в инженерных расчетах. М.: Мир, 1971, 292 с.

171. Шешенин С.В., Холматов Т. Метод штрафа для задачи в напряжениях//Докл. АН УаССР, 1985, 3, с.17-20.

172. Шрисаффи С. Смешанные вариационные принципы. Свяаь этих принципов с принципом перемещений. — М., 1981, 24 с. (Всесоюзн. центр перевопов. Перевоц — Г-2~0~).

173. Argirys J. «ASKA", Nuclear Engineering and Design,// 1969, vol. 10. N 4.

174. Argiris J., Willam K.J. Some considerations for the evaluation of finite element models.// Nuclear eng. and design, 1974, V. 28, p. 76-96.

175. Bathe K.-J. Finite Element Procedures in Engineering Analysis. Prentice-Hall, New Jersey, 1982.13.

176. Brebbia. Finite Element Systems. 1982. Handbook. 19.

177. Cook R.D. Concepts and Applications of Finite Element Method, 1974.

178. Chang H. Pit L.P. A. Finite Element for J2 Calculation in Anisotropic Materials// Computers & Structures vol. 62. № 4, pp. 635-641, 1997.

179. De Salvo, G. Et. Al. «ANSYS Engineering Analysis System, User's Manual», Swanson, 1989, Analysis System, Inc.

180. Gallager R. H. Zienkiewicz O.C. Optimum Structural Design. New York N. Y.: John Wiley and Sons, Inc., 1973.

181. Hartz B.J., Watwood V.B. An equilibrium stress filed model for finite element solution of two dimensional elasto-static problems. It Int. J. Solids and struct., 1974 N4, p. 587-873.

182. Hlavacek I. Convergence of an equilibrium finite element model for plane elasto-static// Appl. mech. ,1979, N24, p.427-457.

183. Jeong-Qon Kin and Young-Kwor On the Modification of Gauss Sampling Points of 6-Node and 16-Node Isoparametric Finite Elements// Computers & Structures vol. 66. № 4, pp. 607-623, 1997.

184. Johnson C. Mercier B. Some equilibrium finite element methods for two-dimensional elasticity problems//Num. math., 1978 V.30, p 103-116.

185. Kaven A. and Behfar S.M.R Finite Element Nodal Ordering Algoritms// Communications in Numerical Methods in Engineering, vol 11, pp 995-1003, 1995.

186. Krichnamurthy T. and Raju I.S. An Independent Refinement and Integration Procedure in Multi Region Finite Element Analysis// Communications in Numerical Methods in Engineering, vol 11, pp 383-395, 1995.

187. Krizek M. An equilibrium finite element method in three-dimensional elasticity.// Appl. math., 1982 N27, p. 46-75.

188. Lone Zhifel Two Generalized Conforming Plate Elements Based on Semiloof Constrants// Computers & Structures vol. 47. № 2, pp. 299-304, 1993.

189. Loubignac G. Canton C, Touzot G. Continues stress fields in finite element analysis.//AIAA. J. 1977, V.15 N11,p 1645-1647.

190. Masoh J. Mehods of functional analyses for application in solid mechanics, 1985, 392p.

191. Noor A. K. New Computing System and Future Higt-Performance Computing Environment and Their Impact on Structural Analysis and Design// Computers & Structures vol. 64. №1-4, pp. 1-30, 1997.

192. Oden J.T. Reddy J.N. On dual-complementary variational principles in mathematical physics // Int. J. Eng. sci, 1974, № 12 , p. 1-29.

193. Poceski A. Kokaianov G. A Direct Approach for the Development of Plane Elements// Computers & Structures vol. 48. № 5, pp. 873-883, 1993.

194. Scharpf D.W. A new method of calculation in the matrix displacement analysis. //Int.j.comp. phys. and struct. 1978, V.8, p.465-477.

195. Simon D. John L. An Investigation of the p-version Finite Elements Method // Finite Elements in Analysis and Design, № 23, pp 1-21,1996

196. Stein E., Ahmad R. On the stress computation in finite element models based upon displasement approcsimations // Comp. meth. in appl. mech. and eng., 1974, V.4, p. 67-86.

197. Tong P., Pian T.H. H. A variational principle and the convergence of the finite element method based upon assumed stress distribution // Int. J. Solids and struct., 1969, V.5, p 436-472.

198. Topics in boundary element research / Ed. by Brebbia C.A., V. 1,1984, 256p

199. Zienkiewicz O.C. Constrained variational princeples and penalty functions methods in finite element analysis // Lectures notes in math. , 1974, N363, 207p.

200. Zienkiewicz O.C. The Finite Element Method. New York, McGraw-Hill, 1977. 541p.