автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Определение напряженно-деформированного состояния конструкций и сооружений с учетом вязкопластических свойств

Введение.

Глава 1. РЕОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРУГО-ВЯЗКОПЛАСТИ-ЧЕСКИХ СРЕД

1.1 Введение в континуальную механику упругопластических сред.—

1.2 Основные положения теории малых упругопластических деформаций наследственного типа.

1.3 Вариационное уравнение равновесия для решения нелинейных задач.

1.4 Сдвиговая модель теории течения.

1.5 Дштатансионная модель теории течения наследственного типа. — 31 Выводы ------------------------^

Глава 2. МАТРИЧНЫЕ АЛГОРИТМЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

2.1 Полилинейные изопараметрические конечные элементы в декартовых координатах

2.2 Матричный алгоритм формирования матрицы жесткости объемных конечных элементов по „моментной" схеме.

2.3 Численное исследование сходимости.

Выводы

Глава 3. ШАГОВЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ И ВИАЗКОУПРУГИХ ЗАДАЧ

3.1 Матричные представления нелинейных физических соотношений в рамках теории пластичности.

3.2 Вычислительные особенности конечно-элементного решения упругопластических задач.

3.3 Численная реализация и анализ сходимости конечно-элементного алгоритма с учетом пластического деформирования материала.

3.4 Шаговый метод решения пространственных задач линейнои теории наследственности.

3.4.1. Алгоритм МКЭ в перемещениях для решения задач линейной теории наследственности.

3.4.2. Вычислительные особенности алгоритма. Числовые примеры.

Выводы

Глава 4. КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ АНАЛИЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ФУНДАМЕНТА С ОСНОВАНИЕМ В РАЗЛИЧНЫХ ПОСТАНОВКАХ.

4.1 Задача о плоской деформации линейно-упругой системы штампоснование.

Выводы

Основная задача строительной механики заключается в разработке автоматизированных методов расчета, позволяющих инженерам-практикам проектировать и создавать надежные и экономичные конструкции и сооружения различного назначения.

Важнейшим требованием, которому должны удовлетворять современные прочностные расчеты, является достоверность описания поведения реальных объектов на этапах возведения и эксплуатации. Поэтому актуальной является проблема разработки эффективных матричных алгоритмов, методов и программ расчета, требуюемого системного подхода, разумно сочетающего общие фундаментальные идеи с частными инженерно-техническими приложениями.

В последнее время развитие компьютерных технологий численного моделирования создает благоприятные условия для прочностного анализа в строительстве и машиностроении. Наряду с известным универсальными рас-четно вычислительными комплексами (ANSYS, MSC/Nastram, MARC, COSMOS и др.) не исчезает интерес к созданию прикладных промышленных пакетов конечно-элементных программ, направленных на решение определенного круга инженернных задач. Такой подход оправдан экономически, так как стоимость современны программных продуктов использующих МКЭ, относительно высока; например, система MSC/Nastram оценивается от $ 8000.

Кроме этого разработчик промышленного программного комплекса имеет возможность более гибко изменять вычислительное ядро, приспосабливая его для решения новых оригинальных задач. Следует отметить, что базой для разработки прикладного комплекса могут служить такие общедоступные программные продукты как Фортран 90 (для основных вычислений) и Maple V-R5 (для визуализации исходной геометрической информации результатов расчетов). Рекомендация на использование такого архаичного, на первый взгляд, языка программирования, как Фортран 90 (Fortran Power Station 4.0) обусловлена тем, что данный программный продукт предусматривает выполнение расчетов в среде MSDOS (что во много раз эффективнее, чем в среде Windows), и именно на этом языке в 70-е годы были написаны программы, реализующие основные матричные алгоритмы МКЭ (см.[ 35, 80, 86 ] ). Система Maple, созданная в середине 80-х годов в Канаде в университете Ватерлоо, имеет удобный пользовательский интерфейс для создания пре- и пост-процессорных программ с использованием трехмерной графики и функционального окрашивания моделей. Технология DLL позволяет достаточно просто организовать обмен данными между файловыми структурами Maple V и Фортран 90.

Поведение реальных материалов в той или иной степени характеризуется тремя механическими свойствами: упругостью, пластичностью и вязкостью. Пластические свойства обусловливают наличие остаточных деформаций, а вязкие - существенную зависимость реакции сооружения от времени. Некоторые материалы проявляют вязкие свойства при малых напряжениях и деформациях в упругой стадии, у других они проявляются одновременно с пластическими. В зависимости от этого различают вязкоупругие и вязко-пластические постановки. В первом случае после разгрузки "мгновенно" снижается уровень деформаций до некоторой величины, а затем происходит нестационарное восстановление первоначальной формы. Во втором случае система не возвращается в начальное состояние.

Значительный вклад в развитие нелинейной теории упругости и пластичности внесли российские и зарубежные ученые, среди них А.П. Александров и В.Д. Потанов [ 1 ], Н.Х. Арутюнян [ 3 ], В.В. Болотин [ 5 ], И.И. Ворович [ 21, 22 ], К.З. Галимов [ 24 ], Г. Генки [ 25, 26 ], И.И. Гольденблат[28], А. Грин и Дж. Адкинс [ 30 ], Д. Дракер [ 33, 77-79 ], Д.Д. Ивлев [ 37, 38 ], А.А. Ильюшин [ 39, 40 ], А. Ю. Ишлинекий [ 41 ], Л.М. Качанов [ 44 ], В.Т. Койтер

46, 82 ], Д. Коларов, А. Балтов и Н. Бончева [ 47 ], Б.Я. Кантор [ 42 ], В. Лоде [50 ], Н.Н. Малинин [ 52 ], Р. Мизес [ 54,89 ], А. Надаи [ 56 ], В.В. Новожилов [57, 58 ], Дж. Оден [ 59, 85 ], В. Прагер и Ф. Ходж [ 61 ], П. Пэжина [ 62 ] , Э. Рейсе [ 67 ], Р. Хилл [ 74, 81 ], В.Ф. Чен [80].

Постановке и решению вязкоупругих и вязкопластических задач посвящены работы Н.Х. Арутюняна [ 2, 3, 4, ], Д.Д. Ивлева [ 36 ], Л. М. Качанова [ 43 ], Н.Н. Малинина [ 52 ], Г. С. Писаренко и Н. С. Можаровского [ 60 ], Ю.Н. Работнова [ 64, 65 ], И.Е. Проковича и В. А. Зедгенидзе [ 63 ], А.Р. Ржаницына [68].

В настоящее время для решения пространственных задач пластичности применяется исключительно МКЭ в сочетании с методами упругих решений ( А.А. Ильюшина [ 39, 40 ] ), переменных параметров упругости ( И.А. Биргера [ 6, 7 ]) и обобщённый метод упругих решений ( Г.В. Василькова [11,14]). Существенный вклад в развитие теории МКЭ внесли научные школы З.И.Бурмана [ 8 ], Ю.К. Зарецкого [ 34 ], Г.В.Василькова [ 10,18 ], О.Зенкевича [ 35, 86, 87 ], Дж.Одена [ 59, 85 ], Э. Оньятэ [ 86 ]. Дополнительный обзор истории вопроса включён по мере необходимости в соответствующие главы диссертации.

Первая глава посвящена формализации механико-математических моделей упруго-пластических, вязкоупругих и вязкоупругопластических сред. Для построения сдвиговой модели теории течения наследственного типа дано обобщение постулата пластичности Друккера, предложена его новая формулировка для наследственных сред. Получены определяющие уравнения в изоморфном виде, разрешённом относительно приращений напряжений. Такое представление позволяет записать вариационное уравнение Лагранжа, на основе которого можно построить интерационные методы решения задач сдвиговой теории течения наследственного типа.

Вторая глава посвящена разработке матричных алгоритмов МКЭ для объёмных полилинейных изопараметрических конечных элементов. Получены матрицы жёсткости для двух схем МКЭ: стандартной, когда перемещения и деформации вычисляются относительно глобального базиса, и «моментной», при которой перемещения задаются относительных осей, а деформации определяются относительно местной, в общем случае, сопутствующей криволинейной системе координат. Выполнено численное исследование точности и сходимости при использовании различных схем МКЭ.

В третьей главе разработаны шаговые алгоритмы МКЭ для решения упругопластических и вязкоупругих задач. За основу приняты физические соотношения наследственной теории пластичности, предложенные профессором РГСУ Г.В.Васильковым. Решены модельные задачи в двумерной и трехмерной постановках. Полученные результаты сравнивались с данными других авторов.

В четвёртой главе выполнены прикладные исследования взаимодействия штампа с основанием при различных граничных условиях. В качестве расчётных моделей основания использовались линейные неоднородные, упругопластические и вязкоупругие уравнения состояния. Разработана методика численного моделирования, позволяющая следить за поведением напряжённо-деформированным состоянием грунтового основания при вдавливании в него штампа.

АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ состоит в том, что, во-первых, проведено дальнейшее развитие алгоритмов и методов вычислительной механики, позволяющих моделировать поведение проектируемых объектов с учетом нелинейного деформирования и ползучести материала; во-вторых, создан конечно-элементный вычислительный комплекс с открытой (эволюционной) структурой, позволяющей пользователю вносить по мере необходимости изменения в вычислительное ядро и дополнять банк новыми конечными элементами; в-третьих, внедрены современные графические технологии компьютерной математики для анализа напряженно-деформированного состояния рассчитываемых объектов при различных схемах закрепления и нагружения.

ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИИ состоит в том, чтобы на основании метода конечных элементов в сочетании с шаговыми процедурами методов упругих решений и квадратурных формул разработать и довести до практических приложений методики:

- расчет полей напряжений тонкостенных и толстостенных тел произвольной формы с помощью универсального, объемного изопараметрического конечного элемента, построенного по „моментной" схеме;

- анализ напряженно-деформированного состояния с учетом пластического деформирования в условиях простого и сложного типов нагружения;

- исследования поведения пространственных конструкций и сооружений в рамках линейной теории наследственности.

ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ состоят в том, чтобы, во-первых, разработать матричные алгоритмы МКЭ для расчета нелинейно деформируемых и вязкоупругих, объемных тел сложной геометрии при силовом и температурном нагружениях; во-вторых, разработать пре- и постпроцессорные программы для визуализации исходной информации и результатов численного моделирования; в-третьих, исследовать точности и сходимости разработанных методик прочностного расчета пространственных конструкций и сооружений на модельных (учебных) задачах.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА состоит в том, что, во-первых, разработана технология объемных универсальных изопараметрических конечных элементов для моделирования напряженно деформированного состояния тонкостенных и толстостенных тел произвольной формы в рамках единой вычислительной программы; во-вторых, разработан и реализован на алгоритмическом языке Фортран 90 алгоритм МКЭ для прочностного расчета пространственных конструкций с учетом пластического и вязкоупругого поведения материала; в-третьих, в среде Maple V R5 создан сервисный модуль программы для визуализации результатов конечно-элементного моделирования, позволяющий представлять данные в виде: каркасных объектов в естественном и деформированном состояниях; векторных полей главных напряжений; контрастного цветного окрашивания полей напряжений, возникающих в конечно-элементной модели; графиков плотности с диапазоном окрашивания модели от светло серого до черного тонов (вариант для публикаций и отчетов).

ДОСТОВЕРНОСТЬ научных положений и полученных числовых результатов подтверждается применением последних достижений в области теории МКЭ, использовании символьного процессора системы Maple V R5 для вывода матрично-тензорных выражений, тестировании разработанных программ.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ состоит, в том, что, во-первых создан эффективный расчетно-вычислительный комплекс промышленного типа Polygon V [23], ориентированный на решение прикладных задач; во-вторых, получены новые знания в области теории и практики МКЭ, в частности при моделировании изгибных деформаций в тонкостенных плитах и телах вращения, в-третьих, разработана методика исследования взаимодействия ленточного фундамента с основанием для различных расчетных схем и моделей материала (линейно упругого неоднородного, пластичного, вязкоупругого).

В ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЕ АВТОР ЗАЩИЩАЕТ:

1. Принятые пространственные механико-математические модели упругопластических и вязкоупругих свойств материалов при малых деформациях.

2. Разработанные матричные алгоритмы решения трехмерных задач нелинейной теории упругости и линейной теории наследственности.

3. Созданный расчетно-вычислительный комплекс Polygon V.

4. Полученные численные результаты исследования сходимости и точности предлагаемых алгоритмов и методик расчета.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на Международной научно-практической конференции „Строительство - 2000" (г. Ростов -на - Дону); на ежегодных научно-технических конференциях преподавателей кафедр Ростовского государственного строительного университета (г. Ростов -на - Дону в 1999 - 2000гг.). Общее количество опубликованых работ по теме диссератации -5.

ПРИМЕЧАНИЕ. Автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю признательность и благодарность своему научному руководителю профессору РГСУ, доктору технических наук, советнику Российской академии архитектуры и строительных наук Генриху Васильевичу Василькову, и своему научному консультанту доценту ЮРГТУ, кандидату технических наук Петру Павловичу Гайджурову. А так же автор выражает признательность управлениям РГСУ и UAQ за их совместную работу, начатую с немалым энтузиазмом и большую настойчивость в поддержке интереса, и в преследовании цели окончания работы над диссертацией каждого мексиканского аспиранта в РГСУ.

И, наконец, автор выражает благодарность мексиканскому учреждению CONACyT (Consejo National de Ciencia у Tecnologia) за экономическую поддержку, которую они предоставили для обучения в аспирантуре и успешного завершения работы над диссертацией в России.

Выводы по главе 4

1.Выполнено конечно элементное моделирование взаимодействия фундамента (штампа) с основанием в двумерной и трехмерной постановках при различных схемах нагружения. Получены важные с вычислительной точки зрения данные о расчетных параметрах конечно элементной модели системы штамп-основание (шаг сетки, размеры расчетной области основания, способах закрепления на контуре).

2. На модельных задачах апробированы пре- и постпроцессорный программные модули комплекса Polygon V, предназначенные для графического контроля в среде Maple V R5 за исследуемым объектом в естественном ненапряженном и деформированном состояниях.

3. Приведены результаты визуализации полей напряжений в виде двумерных графиков, трехмерных поверхностей, векторных графиков и картин с контрастным окрашиванием.

4. Исследовано влияние неоднородности, нелинейной деформации и вязко упругих свойств материала на величину усадки и характер распределения напряжений в основании при вдавливании штампа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В терминах теории пространственно временных приращений поставлена краевая задача континуальной механики нелинейно деформируемой среды. Получено вариационное уравнение равновесия, служащее базой для построения итерационных конечно элементных алгоритмов решения задач теории пластического течения.

2. Формализованы механико-математические модели упругопластических, вязкоупругих и вязкоупругопластических материалов. Физические соотношения для инкрементов деформаций и напряжений представлены в матричной форме удобной для программирования.

3. Разработан эффективный матрично тензорный алгоритм „моментной" схемы МКЭ, суть которого состоит в представлении компонент тензора деформаций в виде отрезков ряда Тейлора по местным криволинейным „сопутствующим" координатам. Получены выражения для матриц жесткости объемных изопараметрических восьми- и шести узловых конечных элементов в местной системе осей.

4. Выполнено тестирование разработанных конечных элементов путем сравнения результатов, полученных с помощью различных схем МКЭ, а также с имеющимися аналитическими решениями. Установлено, что элементы построенные по „моментной" схеме являются в известной степени универсальными, т. к. позволяют моделировать напряженно деформированное состояние толстостенных и тонкостенных тел сложной формы с учетом „смещения как жесткого целого" и деформации „ложного" сдвига.

5. На конкретных числовых примерах рассмотрены вопросы точности и сходимости разработанного программного обеспечения для прочностного расчета нелинейно деформируемых тел. Установлено, что число итераций существенно увеличивается при уменьшении степени упрочнения материала. Разработана шаговая процедура исследования кинетики пластических деформаций в объеме исследуемого тела при активном нагружении.

6. На базе разработанного матричного алгоритма МКЭ реализован на языке Фортран 90 расчетно вычислительный комплекс Polygon V, имеющий открытую структуру и предназначенный для прочностного расчета трехмерных конструкций и сооружений в учебных и промышленных целях. Для ввода исходных данных использована процедура фрагментации геометрии и топологии исследуемого объекта. Это обеспечивает автоматическое построение конечно элементной сетки для многосвязных трехмерных тел, моделируемых повторяющимися конгломератами конечных элементов.

7. Разработаны пре и постпроцессорные программные модули, позволяющие осуществлять визуальный контроль за вычислительным процессом на начальной и конечной стадиях расчета. Вывод графических данных реализован в математической среде системы Maple V R5, использующей рабочие файлы вычислительного ядра комплекса Polygon V.

8. Решены важные с инженерно строительной точки зрения задачи о взаимодействии штампа с основанием, выполненным из неоднородного, нелинейно деформируемого и линейно вязкоупругого материалов при различных способах нагружения. Выявлены новые закономерности пластического деформирования в условиях плоской деформации. Исследован процесс ползучести материала основания при различных уровнях нагружения штампа.

9. Разработана методика инженерного анализа механической системы штамп-основание в рамках нелинейной теории упругости.

1. Александров А. П., Потапов В. Д. Основы теории упругости и пластичности: Учеб. для строит, спец. вузов. -М.: Высш. шк., 1990. -1. С. 400.

2. Арутюнян Н. X., Колмановский В. Б. Теория ползучести неоднородных тел. М.: Наука, 1983. - С. 336.

3. Арутюнян Н. X., Дроздов А. Д., Наумов В. Э. Механика растущих вязкоупругопластических тел. М.: Наука, 1987. - С. 472.

4. Арутюнян Н. X., Зевин А. А. Расчет строительных конструкций с учетом ползучести. М.: Стройиздат, 1988. - С. 256.

5. Болотин В. В., К теории вязкоурпугости для структурнно неустойчивых материалов // Тр. Моск. Энерг. ин-та. Динамика и прочность машин. -1972.-вып. 101.-С. 7-14.

6. Биргер И. А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности // Прикладная математика и механика-1951,- вып. 6.-С. 765-770.

7. Биргер И. А. Некоторые математические методы решения инженерных задач. -М.: Оборонгиз, 1956. С. 151.

8. Бурман 3. И. и др. Программное обеспечение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженерных расчетах. М.: Машиностроение, 1988. С. 256.

9. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Мир, 1987.-= С. 542.

10. Ю.Васильков Г. В.Рапопорт Г. А. Приложение МКЭ к решению задач теории сооружений на упругом основании: Метод конечных элементов в строительной механике // Сб. тр. Горький: ГГУ, 1975.- С. 86—95.

11. Васильков Г.В. Об одном методе решения физически нелинейных задач строительной механики. // Строительная механика и расчёт сооружений.-1985. -№6.-С. 13-16.

12. Васильков Г.В. Об одном варианте пластического деформирования дилатирующих сред // Строительная механика и расчёт сооружений. -1987.-№1,-С. 44-48.

13. Васильков Г. В. Вычислительная механика: Ч.З. Прямые методы решения нестационарных задач строительной механики: Учебное пособие.- Ростов-н/Д.: Рост. гос. академия строит., 1994. С. 156.

14. Васильков Г. В., Рапопорт Г. А., Шпитюк Е. Н. Определение расчетных параметров упругого основания методом численного моделирования // Рост. гос. строит, ун-т. Ростов - н/Д, 1996.— С. 10. - Деп. в ВИНИТИ 13.11.96, № 3318—Б96.

15. Васильков Г.В., Дёжина И.Ю., Орта-Ранхель А. О реологических моделях упруговязкопластических сред // Изв. вузов. Сев. Кавк. регион. Естественные науки. - 1998. - №3- С. 21-36.

16. Васильков Г.В., Гайджуров П.П., Орта-Ранхель А. Шаговый метод решения пространственных задач линейной теории наследствености // Рост. гос. строит, ун-т. Ростов - н/Д, 2000. - С. 20. - Деп. в ВИНИТИ 28.06.2000., № 1799 - BOO.

17. Власов В. 3., Леонтьев Н. Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании,- М.: ФМЛ, 1960. С. 491.

18. Вольтера В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений: Пер. с англ. / Под ред. П.И.Кузнецова. -М.: Наука. 1982. С. 304.

19. Ворович И. И. Неклассические смешанные задачи теории упругости. -М.: Наука, 1974. С. 455.

20. Ворович И. И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек . М.: Наука, 1989. - С. 373.

21. Галимов К. 3. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань, Изд-во Казан, ун-та, 1975. - С. 326.

22. Генки Г. Пространственная задача упругого и пластического равновесия. // Изв. АН СССР, Механика. 1937. - №2. - С. 187 - 196.

23. Генки Г. К теории пластических деформаций и вызываемых ими в материале остаточных напряжениях. // Теория пластичности: Сб. ст. М.: Изд-во иностр. лит., 1948. С. 114 - 135.

24. Гольденблат И. И. Теория ползучести строительных материалов и ее приложения. М.: Госстройиздат, 1960. -С 256.

25. Гольденблат И. И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука, 1969. - С. 336.

26. Гоффман О., Закс Г. Введение в теорию пластичности для инженеров. -М.: Мажгиз, 1957. С. 279.

27. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды / Пер. с англ. Ю. В. Немировского; Под ред. Ю. Н. Работнова. М.: Мир, 1965. - С. 455.

28. Гудьер К., Ходж Ф. Упругость и пластичность. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.-С. 190.

29. Дёжина И.Ю., Орта-Ранхель А., Об одной механико математической модели влагопереноса лессовых грунтов // Строительство 99: Тез. докл. Юбилейная межд. научно-практ. Конф. Ростов - н/Д: Рост. гос. стороит. ун-т, 1999. - С. 59.

30. Дракер Д. Пластические методы расчета. Преимущества и ограничения. // Механика. Сб. ст. - 1960. - №1. - С. 97-130.

31. Зарецкий Ю. К. Вязкопластичность грунтов и расчеты сооружений. М.: Стройиздат, 1988. - С. 352.

32. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. - С. 543.

33. Ивлев Д.Д. К теории неустановившейся ползучести. // Проблемы механики сплошной среды: Сб. ст. М.: Изд-во АН СССР, 1961. - С. 157160.

34. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. - С. 231.

35. Ивлев Д. Д., Быковцев Г. И. Теория упрочняющегося пластического тела. М.: Наука, 1971.-С. 232.

36. Ильюшин А.А. К теории малых упругопластических деформаций// Прикл. математика и механика. 1946. - 10, вып. 3. - С. 347-356.

37. Ильюшин А. А. Пластичность. М.: Изд-во АН СССР, 1963. - С. 272.

38. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики. Кн. 1. Механика вязкопластических и не вполне упругих тел. М.: Наука, 1986. - С. 356.

39. Кантор Б. Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек. Киев.: Наукова думка, 1971. - С. 136.

40. Качанов Л.М. Теория ползучести. М.: Физматгиз, 1960. - С. 455.

41. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. - С. 420.

42. Кац Ш.Н. О пластической деформации при сложном напряжённом состоянии // Теория пластичности. М.: Наука, 1969. - С. 400.

43. Койтер В.Т. Общие теоремы упругопластических сред // Успехи механики твёрдого тела. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. - С. 79 - 85.

44. Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред. М.:1. Мир, 1979.-С. 302.

45. Курков С. В. Метод конечных элементов в задачах динамики механизмов и приводов. СПб.: Политехника, 1991 . - С. 224 .

46. Лисицин Б. М. Расчет защемленных плит в постановке пространственной теории упругости // Прикладная механика .- 1970. Т. 6, вып. 5. - С. 18 -23.

47. Лоде В. Влияние среднего главного напряжения на текучесть металлов // Теория пластичности. М.: Изд. иностр. лит., 1948 .- С. 168 - 205.

48. Лукаш П. А. Основы нелинейной строительной механики. М.: Стройиздат, 1978. - С. 204.

49. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. - С. 400.

50. Метод конечных элементов в механике твердых тел / Под ред. А.С. Сахарова и И. Альтенбаха. К.: Вища шк., Лейпциг: ФЕБ Фахбухферфлаг, 1982.-С. 480.

51. Мизес Р. Механика твёрдых тел в пластически-деформированном состоянии // Теория пластичности. М.: Изд. иностр. лит., 1949. - С. 5769.

52. Надаи А. Пластичность и разрушение твёрдых тел. М.: Изд-во иностр. лит., 1954. - Т1. С. 647, 1969. - Т2. С. 863.

53. Новожилов В.В. О физическом смысле инвариантов напряжения, используемых в теории пластичности // Прикл. математика и механика.-1952.- 16, вып.5, С. 617-619.

54. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. Л. - М.: ГИТТЛ, 1948.-С. 211.59,Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976. С. 464.

55. Писаренко Г. С., Можаровский Н. С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести. Справочное пособие. Киев: Наук, думка, 1981.-С. 496.

56. Прагер В., Ходж Ф. Теория идеально-пластических тел. М.: Изд-во иностр. лит., 1956 - С. 398.

57. Пежина П. Основные вопросы вязкопластичности. М.: Мир, 1968. - С. 176.

58. Прокопович И. Е., Зедгенидзе В.А. Прикладная теория ползучести. М.: Стройисздат, 1980. - С. 240.

59. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. -С. 752.

60. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука.- 1977.-С. 383.

61. Расчет крановых конструкций методом конечных элементов / В.Г. Пискунов, И. М. Бузун, А. С. Городецкий и др. М.: Машиностроение, 1991.-С. 240.

62. Рейсе Э. Учёт упругой деформации в теории пластичности // Теория пластичности. М.: Изд-во. иностр. лит., 1948. - С. 206 -222.

63. Ржаницын А.Р. Теория плзучести. М.: Стройиздат, 1968. - С. 416.

64. Рикардс Р. Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. -Рига: Зинатне, 1988. С. 284.

65. Розин JI. А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам.— М.: Стройиздат, 1977. — С. 128.

66. Секулович М. Метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1993. - С. 664.

67. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. - С. 636 .

68. Усюкин В. И. Строительная механика конструкций космической техники. М.: Машиностроение, 1988. - С. 392.

69. Хилл Р., Математическая теория пластичности. М.: ГИТТЛ, 1956. - С. 407.

70. Ходж Ф. Расчёт конструкций с учётом пластических деформаций. М.: Мажгиз, 1963. - С. 308.

71. Bathe K.J., Cimiento А.Р., Some practical procedures for the solution of nonlinear finite element equations // Сотр. Meth. Appl. Mech. Eng., 1980. № 22.-P. 59-85.

72. Drucker D.C., A more fundamental approach to plastic stress-strain solutions // Proc. 1st U.S. Nat. Cong. Appl. Mech., 1951. P. 487 - 491**.

73. Drucker D.C., Prager W., Soil mechanics and plastic analysis or limit design // Q. J. Appl. Math., 1952. № 10. - P. 157 - 165.

74. Drucker D.C., Conventional and unconventional plastic response and representation II Appl. Mech. Rev., 1988. № 41. - P. 151 -167.

75. Chen W.F. Plasticity in Reinforced Concret. McGraw-Hill: New York, 1982.-P. 185.

76. Hill R. The Mathematical Theory of Plasticity. Clarendon Press: Oxford, 1980,- 336 p.

77. Koiter W.T. Stress-strain relations, uniqueness and variational theorems for elastic plastic materials with a singular yield surface // Q.J. Appl. Math., 1953. -№11.-P. 350-354.

78. Matthies H., Strang G. The solution of nonlinear finite element equations // Int. J. Num. Meth. Eng., 1979. № 14. - P. 1613 - 1626.

79. Nayak G.C., Zienkiewicz O.C. Note on the alpha-constant stiffness method for the analysis of nonlinear problems // Int. J. Num. Meth. Eng., 1972. № 4. - P. 579 - 582.

80. Oden J.T. Numerical formulation of non-linear elasticity problems H Proc. Am. Soc. Civ. Eng.ST3, 1967. № 93. . p. 235 - 255.

81. Onate E. Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos. (Analisisestatico lineal). Barcelona Espana : CIMNE, 1995. - 650 p.

82. Pastor M., Zienkiewikz O.C., Leung K.H. Simple model for transient soil loading in earthquake analysis. Part II-Non associative models for sands // Int. J. Num. Anal Meth.: Geomechanics, 1985. № 9. - P. 477 - 498.

83. Prager W., An Introduction to Plasticity. Addison-Wesley, Reading, Mass., 1959.-180 p.

84. Von Mises R. Mechanik der Plastischen Formanderung der Kristallen // Z. angew. Math. Mech. 1928. № 8. - P. 161 -185.

85. Yamada Y., Yishimura N., Sakurai T. Plastic stress-strain matrix and its application for the solution of elastic-plastic problems by the finite element method // Int. J. Mech. Sci., 1968. № 10. - P. 343 - 354.

86. Zienkiewikz O.C., Incremental displacement in non-linear analysis // Int. J. Num. Meth. Eng., 1971. №3. - P. 587 - 592.

87. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. El metodo de los elementos finitos. Vol.1 (Formulacion basica у problemas lineales). Barcelona, Espana: CIMNE, 1995. 650 p.

88. Zienkiewicz O.C. , Taylor R.L. El metodo de los elementos finitos. Vol.2 (Mecanica de solidos у fluidos, dinamica у no linealidad). Barcelona, Espana: CIMNE, 1995. - 850 p.1. РОССИЙСКАЯitm0.