автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическая модель и методы исследования контактного взаимодействия при температурном и радиационном воздействии на тело

005005572

КУКУШКИН Алексей Викторович

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРИ ТЕМПЕРАТУРНОМ И РАДИАЦИОННОМ ВОЗДЕЙСТВИИ НА ТЕЛО

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 8 ДЕК 2011

ТВЕРЬ 2011

005005572

Работа выполнена на кафедре математического анализа в ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор

Левин Владимир Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Шаров Герман Сергеевич

доктор технических наук, профессор

Морозов Евгений Михайлович

Ведущая организация ФГУП НИИ НПО «Луч»

Защита состоится «23» декабря 2011 года в 14:00 на заседании диссертационного совета Д212.263.04 при Тверском государственном университете по адресу: 170002, г. Тверь, Садовый пер., 35, ауд. 200.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного университета по адресу: 170100, г. Тверь, ул. Володарского, 44а.

Объявление о защите диссертации и автореферат размещены «22» ноября 2011 года на сайте ВАК и официальном сайте Тверского государственного университета по адресу: http://universitv.tversu.ru/aspirants/abstaract/

Автореферат разослан «22» ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, доцент

С.М. Дудаков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

Актуальность работы. В процессе эксплуатации конструкции подвергаются воздействию различных немеханические факторов, которые могут существенно изменить как механические свойства, так и напряженно-деформированное состояние (НДС). К таким факторам можно отнести температуру, радиацию, изменение внутренней структуры материала (образование пор и включений). Учет этих факторов важен, например, для изделий из резины, для конструкций, используемых в атомной промышленности. При решении задач продления эксплуатации конструкций, внедрения новых материалов в конструкции, подверженные сложным техногенным воздействиям, возникает необходимость в более адекватном описании и имитационном моделировании.

При решении технических задач механики деформируемого твердого тела, исследователи часто сталкиваются с необходимостью учета контактного взаимодействия. Поэтому решению контактных задач посвящено множество работ. Часть работ посвящена численно-аналитическим методам расчета контакта. Однако такие методы подходят в основном для тел с простой и канонической геометрией, и зачастую некоторые из контактирующих тел принимаются недеформируемыми.

Существенно расширить круг решаемых контактных задач позволяют численные методы (метод конечных элементов, метод конечных разностей, метод конечных объемов и др.). В настоящее время это направление активно развивается. Однако одновременное существование большого количества методов говорит о том, что они не идеальны и работа в этом направлении должна быть продолжена'.

Другим немаловажным аспектом при решении технических задач может стать немеханическое воздействие. Так, длительное воздействие радиации или температуры может существенно изменить внутреннюю структуру подвергающегося воздействию материала, что ведет к изменению механических свойств материала. Учет этих изменений крайне важен, так как непредвиденное поведение конструкций в зоне высокой радиации может привести к катастрофе. В работе предложен вариант учета подобного немеханического воздействия.

Учет изменения свойств материала под действием напряжений позволяет моделировать образование и развитие зон предразрушения. Это позволит расширить область применения алгоритма и использовать его для моделирования разрушения2.

1 КукуджановВ.Н., Бураго Н.Г. Обзор контактных алгоритмов // Известия РАН. МТТ, N1,2005, с. 45-87 '

2 Левин В.А., Морозов Е.М., Матвиенко Ю Г. (Под редакцией В.А. Левина) Избранные нелинейные

задачи механики разрушения. М: Физматлит, 2004. -408 с.

Для анализа условий безопасной эксплуатации ядерного топлива водо-водяного энергетического реактора (ВВЭР) необходимо моделирование поведения тепловыделяющего элемента (твэла), включающее в себя механическое взаимодействие топливных таблеток и оболочки3. Определение пиковых механических напряжений в оболочке позволяет оценить опасность разрушения твэла при маневрировании линейной мощностью тепловыделения. Упрощенная осесимметричная модель не позволяет получить адекватную картину НДС оболочки твэла. Одной из целей работы является создание программного модуля моделирования в рамках интегрального топливного кода РТОП (Реакторное ТОПливо) механического взаимодействия топлива и оболочки.

Цель работы. Разработка комплексной модели НДС тепловыделяющего элемента с учетом механического и немеханического воздействий, контактного взаимодействия (включая трение и проскальзывание), образования и развития зоны предразрушения; алгоритмическая и программная реализация этой модели на основе метода конечных элементов (МКЭ).

Методы исследования. Теоретические исследования процессов выполнены с применением основных положений механики деформируемого твердого тела и базируются на использовании МКЭ и численных методов математики. Результаты численного моделирования сопоставляются с экспериментальными данными.

На защиту выносятся:

Модификация модели, описывающей изменения свойств среды при на-гружении и немеханическом воздействии.

Модификация алгоритма решения контактной задачи с использованием контактной псевдосреды.

Разработка программного модуля для имитационного моделирования НДС тепловыделяющего элемента.

Результаты решения частных задач о контактном взаимодействии с учетом немеханического воздействия и изменения свойств среды под действием напряжений.

Научная новизна работы. В работе впервые представлена комплексная модель НДС тепловыделяющего элемента, учитывающая контактное взаимодействие, неоднородность свойств материала (вследствие внешнего воздействия), температурные напряжения, образование и развитие зон предразрушения.

Построен алгоритм расчета на основе данной модели с использованием МКЭ. Реализован программный модуль для проведения имитационного моделирования тепловыделяющего элемента, который за счет использования совре-

5 "Сборки тепловыделяющие ядерныхреакторовтипа ВВЭР-1000. Типовая методика контроля герметичности оболочек тепловыделяющих элементов" РД ЭО 0521-2005. ФГУП "Росэнергоатом". Руководящий документ.

менных компьютерных технологии распараллеливания вычисления CUDA и ОрепМР позволяет сократить время расчета в 5 - 7 раз по сравнению с расчетом на одном процессоре.

Достоверность результатов. Достоверность результатов обеспечивается обоснованностью использованных теоретических зависимостей, корректностью постановки задач, применением известных математических методов и подтверждается качественным и количественным совпадением результатов для частных, предельных случаев и экспериментов.

Практическая ценность и реализация работы. Ценность работы состоит в создании программного модуля, с помощью которого решена важная задача о контактном взаимодействии сектора цилиндра с сектором цилиндрической оболочки, а также возможность включения данного модуля в CAE систему.

Интеграция расчетного модуля в пакет проекта FIDESYS (Поддержка Сколково).

Результаты использовались при выполнении договора на проведение НИР "Реализация технологии CUDA для численного решения задач термомеханического поведения ядерного топлива".

Получено решение контактной задачи с материалом, изменяющим свойства при нагружении. Программный модуль, реализующий решение данной задачи, может быть использован для имитационного моделирования в сфере ядерной энергетики.

Апробация. Основные положения диссертации доложены на следующих научно-технических конференциях: «Проблемы шин и резинокордовых композитов». Москва, 2005; «Современные проблемы механики, математики и информатики». Тула, 2005; «Ломоносовские чтения». Москва, 2006, 2007; Международной научной конференции «Современные проблемы механики, математики и информатики». Тула, 2008; European Conference on Computational Mechanics «ЕССМ 2010 IV». Paris, 2010; «XII научно-техническая конференция молодых ученых, аспирантов, студентов РХТУ им. Д.И. Менделеева (Новомосковский филиал)». Новомосковск, 2010; Международной научной конференции «Современные проблемы механики, математики и информатики» Тула, 2010; Международном молодежном научном форуме «Ломоносов - 2011».Москва, 2011.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 12 работах, в том числе 3 статьи - в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, общих выводов по работе, списка литературы, приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ Во введении обоснована актуальность рассматриваемой в работе задачи, указаны ее научная новизна и практическая значимость, а также кратко изложено содержание разделов диссертации.

В первой главе проведен обзор моделей изменения механических свойств под действием напряжений и связанные с ними нелокальные критерии прочности, моделей контактного взаимодействия и учета немеханического воздействия. Анализ этих моделей показал, что возможно создание модели, учитывающей все перечисленные факторы, и это позволит решить некоторые практически важные задачи. Было решено разработать математическую модель, описывающую данные процессы на базе МКЭ.

Вторая глава посвящена разработке варианта МКЭ для случая, когда тело подвергается механическому и немеханическому воздействию.

Рассмотрена статическая задача для случая малых деформаций. Уравнение равновесия ^а = 0 _

Связь деформаций и напряжений: а = Л(£ -/)1 + 2ве, где е = + |.

Здесь С = - Е , Л = - коэффициенты Ламе; а - тензор напряжений; е -

тензор деформаций; и - вектор перемещений; I - единичный тензор; Е - модуль упругости; V - коэффициент Пуассона.

Если необходимо учесть температурное расширение, то выражение для

тензора деформаций примет вид е = Цум + (Ум)Г|+а77, а тензор напряжений

примет вид сг = •■/)/+ 2Се. Здесь а- коэффициент температурного расширения.

Если тело длительное время находилось под действием радиации или температуры, то происходит изменение его внутренней структуры, что сказывается на его механических свойствах. Описание природы и оценки величины влияния немеханических факторов не входило в цели работы. Учесть влияние немеханических факторов можно, считая константы материала зависящими от пространственных координат. Тогда тензор деформаций

е = \{^и + {^и)Т)+а{г)Т1 ■ Напряжения и деформации связаны следующим образом сг = я(7)(е -/)/ + 20(г)е, где г - радиус вектор точки.

При решении задачи МКЭ уравнения равновесия сводятся к системе линейных алгебраических уравнений. В общем случае для линейной задачи связь напряжений и деформаций можно представить в виде {о-} = [£>]({£-}-}е0}) + {о-0}'. Здесь [О] - матрица упругости. {г0} и{ст„} представляют собой собственные де-

формации и напряжения, задавая которые можно учесть влияние температуры, радиации и других немеханических факторов. В случае неоднородного материала матрица [£>] будет зависеть от пространственных координат. Для трехмерной задачи

I си

К

_ Зу ди дv д\- 8у» ём> ди 1

дх ду & ду дг дг ду дх дг]

{<х} = {<х, сгу аг г„ г>г г„}Г Матрица жесткости элемента

1 _я

1-У 1

(1)

И=

(1 + у)(1-2у)

v

Т^У

V 1

о о о

1 — 2У 2(1-У)

Симметрично

1-2у 2(1-у)

О

О

О о

о

1-2у 2(1-у)

[5] = [й,й,Д„,Вр],

"йУ, дх 0 0 5Л'( с?у 0 ЗА', "С дх

0 5ЛГ, 0 дЫ, дх ау, & 0

0 0 ел', & 0 см,

д =

■Ч - функция формы в узле /; {г0} и{ст„} учитываются через узловые силы, вычисляемые по формулам

=№[*>]{*№, (2)

(3)

Таким образом, зависимость коэффициентов материала от пространственных координат можно учесть при интегрировании (1), (2) и (3) с помощью квадратурных формул Гаусса.

Третья глава посвящена разработке модели контактного взаимодействия с использованием «контактной псевдосреды».

Рассмотрена геометрия контактного взаимодействия двух тел (рис.1). Пусть до начала нагружения между телами имеется начальный зазор И(х,у,г) -непрерывная функция координат. За величину зазора после деформации принято расстояние с/ между двумя точками, которые после нагружения вступают в контакт с/ = й+|ы2 -м,|.

Здесь и, и щ- перемещения точек на поверхности тел; А- начальный зазор. Точки вступают в контакт при с/ = 0 и взаимопроникают при (¡<0.

Нормальные и касательные усилия взаимодействия тел равны по величине и противоположны по направлению: <т, = -<т2.

Здесь сг, ={<т„„ги>г21},<т2 ={о-„2,г12,г22} - векторы напряжений на поверхности контактирующих тел; етт,т,мг2, - компоненты этих векторов вдоль нормали, по

касательной и по бинормали.

Нормальные давления в контакте а„всегда отрицательны.

Между геометрическими и силовыми условиями имеется следующая связь: если с1 = о, то ап <0; если </>0, то сг„ = 0.

Сила трения в наиболее простом варианте модели зависит только от нормальных напряжений:

г = /*.,. (4)

где / - коэффициент трения.

При наличии предварительного смещения и связь между касательными усилиями и смещениями более сложная. В общем виде она может быть представлена нелинейной зависимостью

Г = Ф(/,И,СТ„). (5)

Здесь / - коэффициент трения.

Уравнение (4) соответствует в зависимости (5) переходу от упругого смещения к проскальзыванию.

Контактная задача отличается от общей задачи теории упругости только граничными условиями, рассмотренными выше.

Приведем основные этапы моделирования контактного взаимодействия с использованием «контактной псевдосреды».

1. Пространство между контактирующими телами заполняется виртуальной средой, реализующей контактное взаимодействие. Рассмотрим пространственный элемент контактного слоя (рис.2). В соответствии с физическими представлениями о контактном взаимодействии будем полагать следующее: на элемент действуют две компоненты касательных напряжений и одна компонента нормального напряжения <х„, а остальные компоненты полного тензора напряжений равны нулю; касательные напряжения не влияют на перемещения, вы-

званные нормальными напряжениями; напряжения <т„, г, и г2 не меняются по толщине слоя; нормальные напряжения всегда отрицательны <т„ < 0.

Рис. 1. Геометрия контактного взаимодействия двух тел

Рис. 2. Пространственный элемент контактного слоя

2. Обозначим перемещения точек верхней грани относительно точек нижней грани по осям х„, и хг через м„, щ и иг. Это относительные перемещения или перемещения в локальной системе координат. По соотношениям Коши деформации определяются через перемещения дифференцированием:

ди„ _ 5и{ _ ди2 3~ ' 1 8х_ ^1 дх

При линейном распределении перемещений по толщине / слоя н„ и. и,

При выводе физических соотношений для элемента будем для определенности полагать, что зависимость нормальных деформаций еп от давлений ап и зависимости касательных деформаций ук от напряжений заданы в виде кусочно-линейных функций (двухзвенных ломаных).

Будем полагать, что при растягивающих деформациях в контактной среде не возникает напряжений, а при сжатии напряжения линейно зависят от деформаций.

Первый линейный участок диаграмм эквивалентен упругому участку диаграмм деформирования упругих сред. Поэтому по аналогии будем называть

модулем нормальной упругости контактного слоя величину Е, = —, где <т„г,

е,г

епТ - координаты точки изменения угла наклона ломаной, эквивалентные точке начала текучести на диаграмме деформирования материала. Модуль сдвига

контактного слоя будем определять по формуле: 0/(сг„) = —, где улГ, х„т -

У\т

касательные деформации и напряжения. Заметим, что модуль сдвига зависит от величины нормальных давлений. Упругие модули контактного слоя должны быть соизмеримы (одного порядка) с модулями контактирующих тел. Если они будут меньше по величине, то условие непроникновения не будет выполняться. Если они будут значительно больше, то метод расчета будет сходиться крайне медленно, а иногда и расходиться.

3. Введем понятия интенсивности касательных напряжений по зависимости г, =(г,2 +г22)'2 и интенсивности касательных деформаций у, =(/,2 +/22) 2 • Очевидно, для одномерного случая при т2 = 0,у2=0 будет г, = г,, у, = .

Полные касательные деформации складываются из упругих деформаций и деформаций проскальзывания, т.е. тех деформаций, при которых происходит проскальзывание в контакте: у, = у,' + у,°;у2= уг+Уг> где У' > У-' ~ упругие деформации, а у,' ,у2 - деформации проскальзывания. Интенсивность деформаций

проскальзывания у' +(г2')2] Интенсивность касательных напряжений

не должна превышать силы трения, которая, в свою очередь, зависит от нормального напряжения. При превышении силы трения деформации проскальзывания увеличиваются, а упругие деформации остаются неизменными.

Критерий начала проскальзывания имеет вид г, = тт, где гг - координата точки перелома ломаной.

Особенностью контактного слоя в соответствии с выбранной моделью является отсутствие связей между его элементами по осям х, и х2. Это означает, что выбираемые аппроксимирующие функции не будут зависеть от х, и х2, а будут зависеть только от хп. Поэтому количество узлов в элементе контактного слоя по осям х, и х2 не будет влиять на точность решения. Естественно выбрать элемент с минимальным числом узлов. Таким элементом является стержневой элемент. Применение стержневого элемента обосновывается также следующим: 1) в МКЭ передача усилий осуществляется через узлы и только через узлы; 2) в контактном элементе отсутствуют какие-либо требования к непрерывности сдвиговых перемещений.

Также в этой главе приводится модифицированная модель материала, изменяющего свойства под действием напряжений.

10

В рассмотрение вводится понятие «зона предразрушения». Зона предраз-рушения — это часть (или части) тела (зоны), где под воздействием внешних нагрузок, приложенных к телу, происходит изменение свойств материала тела. То есть при превышении некоторой критериальной величины в теле возникает зона предразрушения. Граница зоны предразрушения определяется из условия выполнения критерия прочности. Наиболее приемлемыми в этом случае являются нелокальные критерии прочности, учитывающие, что разрушение, а, значит, и изменение свойств зоны предразрушения происходят не на отрезке и не мгновенно.

Предлагается на первом этапе построения модели описывать изменение свойств материала тела в зоне предразрушения как изменение констант, входящих в определяющие соотношения. На втором этапе построения модели естественно ввести в рассмотрение в рамках механики деформируемого твердого тела изменение структуры материала, например микропоры, микроповреждения, микровключения, последовательно или одновременно возникающие в зоне предразрушения, и заменять материал зоны предразрушения на каждом этапе изменения ее свойств на эффективный. Кроме того, одним из таких изменений свойств материала может быть изменение его плотности.

Четвертая глава содержит алгоритм, краткое описание программного модуля и решения тестовых и практических задач.

Программный модуль реализован на языке С++ с использованием библиотек Boost, IntelMKL, OpenCASCAD, vtk, Ani3D. Программный модуль имеет входной текстовый файл определённой структуры, позволяющий решать ряд частных задач. В качестве входных данных используются параметры геометрии модели, характеристики сетки, граничные условия, свойства материалов и др. Эти параметры позволяют модулю сгенерировать сетку (OpenCASCAD, Ani3D) подготовить задачу к решению с помощью МКЭ. Далее задача решается согласно разработанному алгоритму. Результаты расчета обрабатываются и выводятся в файл в формате, используемом программой ParaVeiw (библиотека vtk). Использование при создании программного модуля, мощных и современных библиотек генерации сетки и программы визуализации результатов позволило упростить и унифицировать модуль.

Некоторые особо ресурсоемкие методы (например, построение матрицы жесткости) были распараллелены с помощью технологий ОрепМР и CUDA.

С помощью программного модуля был решен ряд тестовых задач, решение качественно и количественно совпадало для частных случаев с известными аналитическими решениями. Отличие по перемещениям при максимальном значении деформации 10 % составило менее 2 %.

Рассматривалась конструкция, состоящая из полого цилиндра и окружающей его цилиндрической оболочки, внутренний радиус которой до деформации меньше внешнего радиуса деформированного цилиндра (рис.3). Предполагалось, что полый цилиндр в результате внешних воздействий разделяется на несколько одинаковых секторов, которые далее деформируются вследствие неравномерного нагрева и вступают в контактное взаимодействие с оболочкой. При этом из-за неравномерности нагрева возникают зазоры между секторами (полости).

При решении задачи о контактном взаимодействии секторов полого цилиндра с цилиндрической оболочкой при температурной деформации этих секторов были выявлены концентраторы напряжений вблизи зон контакта. Наличие этих концентраторов напряжений на практике приводит к разрушению деталей конструкции. В настоящей работе выполнено исследование НДС этой конструкции на основе более сложной модели, учитывающей образование и развитие зоны предразрушения.

Решалась следующая задача. Оболочка свободно перемещается вдоль образующих сектора сверху и снизу (рис. 4), однако не может перемещаться по нормали к этим поверхностям. Сектор свободно перемещается вдоль верхней и нижней поверхностей, однако он не может перемещаться по нормали к ним. По образующим сектора - условие непроникновения (контакт с абсолютно жестким телом без трения). Сектор нагревается неравномерно - температура в секторе задана параболическим законом в зависимости от радиуса: Т(г) = 700-32-г1.

Сектор имеет характеристики: модуль упругости Е = 200 ООО кПа, коэффициент Пуассона // = 0,3, коэффициент теплового расширения « = 0,0002, внутренний радиус 11о = 1 мм, внешний радиус = 4 мм, угол сектора а = 45°. Оболочка: модуль упругости Е = 80 000 кПа, коэффициент Пуассона /7 = 0,35, коэффициент теплового расширения а = 0, внутренний радиус И2 = 4,15 мм, внешний радиус Я3 = 4,4 мм. Сектор и оболочка контактируют без проскальзывания.

Рис. 3. Начальное и деформированное состояние

tz Ь1

////tf////// .

Рис. 4. Граничные условия

Контактное взаимодействие реализовано с использованием контактной среды, моделируемой стержневыми элементами. При расчете используется метод последовательных нагружений. На каждом шаге нагружения происходит корректировка актуальной области контакта. В области, где поверхности сектора и оболочки касаются друг друга или проникают сквозь друг друга, создаются стержневые элементы, реализующие модель узел - узел. Если в контактных элементах возникают растягивающие напряжения, то такие элементы уничтожаются, и происходит уменьшение области контакта. Аналогичным образом реализовано и условие одностороннего контакта вдоль образующих сектора.

На рис. 5 представлены не деформированная и деформированная сетки для половины сектора.

Рис. 5. Недеформированная (слева) и деформированная (справа) сетки для половины сектора

На рис. 6 показано распределение напряжений в секторе цилиндра и оболочке в цилиндрической системе координат. Используются следующие обозначения: радиальные напряжения Srr, тангенциальные Stt, смешанные Sri, напряжения вдоль вертикальной оси Szz. Напряжения приведены для горизонтальной поверхности цилиндра и оболочки. Так как задача соответствует плоской деформации, напряжения на этой поверхности совпадают с напряжениями в горизонтальных сечениях для любого z. Значения напряжений указаны в кПа.

Э гг

-7500 -5000 -2500

9150 65

0 2500 "4556.963

Э « 10000

20000 . 25618.04

, 0 2000 4000

ншж

-756.261

462.57

$П ■МОЮ

-29227

Рис. 6 Распределение напряжений в сечении сектора цилиндра и

оболочки.

При превышении критического значения критерия в некоторой области свойства, материала в этой области будут изменяться. В материале будет образовываться только одна зона предразрушения. Нагрузка (температура) прикладывалась пошагово. При этом при достижении в точке 2 в области, где

2 > °>9Т*Рш„. образовалась зона предразрушения.

)

г......а Ш ; Л

Рис. 7 Область, в которой материал поменял свойства, слева - половиики секторов (получены отражением по условию симметрии), справа - та же область крупным планом.

Было получено решение для задачи с зоной предразрушения. Границы этой зоны определялись итерационным методом. На каждой итерации, кроме последней, изменение свойств материала привело к увеличению деформаций и снижению напряжений в точке наибольшей концентрации напряжений. Однако критерий образования зоны предразрушения стал выполняться в другой точке -

14

на границе области предразрушения. Таким образом, зона с измененными свойствами после каждой итерации увеличивалась. Достигнув определенного размера, зона предразрушения после определенного числа итераций перестала увеличиваться, и система «оболочка - сектор» пришла равновесие. На рис. 7 представлены изображения области предразрушения в конечном состоянии.

Пятая глава посвящена практическому применению программного модуля. В ней приводятся описание особенностей кода РТОП, используемая им одномерная (осесимметричная) модель твела, а также особенности использования программного модуля. Приводятся результаты тестовых расчетов, сравнение их с экспериментами.

Интегральный механистический код РТОГ1, моделирует тепловое поведение герметичного твэла с учетом неоднородности изотопного состава и энерговыделения в и02-топливе, а также выход стабильных газовых продуктов деления под оболочку.

Для расчета эволюции НДС твэла вследствие возникающих пластических деформаций в топливных таблетках и в оболочке проводилось моделирование взаимодействия топлива и оболочки с использованием упрощенной, осесим-метричной модели. В рамках данной модели топливная таблетка и оболочка рассматривались, как цилиндры с осесимметричным распределением температуры и механических свойств (модуль Юнга).

В расчетах термомеханического поведения твэла в 3D геометрии для учета пластических деформаций в топливной таблетке в качестве входной температуры задавалась эффективная температура

T,{r) = T{r)-T0(r) (6)

где Т(г) - распределение температуры в топливной таблетке, рассчитанное по коду РТОП, на момент времени, соответствующий пиковой тепловой нагрузке; Т0(г) - распределение температуры, снимающее в топливе механические напряжения.

Если пластические деформации в топливе отсутствуют, то T0(r) = const. Для расчета температуры То(г) и организации интерфейса обмена данными между кодом РТОП и 3D - модулем в коде РТОП был создан расчетный блок, описывающий исходное состояние топливных таблеток для инициализации 3D - расчетов. Исходное состояние топливной таблетки для 3D - расчетов характеризуется распределением температуры по радиусу топлива Т0(г), отсутствием механических напряжений, при нулевых давлениях газа под оболочкой и в теплоносителе.

Для верификации реализации предложенной методики проводились тестовые расчеты НДС топлива и оболочки для условий отсутствия трещин в топливных таблетках. Механические напряжения, полученные по коду РТОП в одномерной геометрии, сравнивались с результатами расчетов по 3-D модулю.

15

История линейной мощности тепловыделения в твэле задавалась в виде участка предварительного облучения на постоянной линейной мощности (ЬР = 20 кВт/м), в конце которого за время / = 104 с проводился подъем (до ЪР = 30 кВт/м). Длительность этапа предварительного облучения составляла 108 с. Начальный зазор между топливом и оболочкой задавался равным 120 мкм. К моменту подъема линейной мощности зазор между топливом и оболочкой исчезал вследствие распухания топлива и радиационной ползучести оболочки. Давление теплоносителя задавалось Рсоо\ = 140 атм.

Результаты тестовых расчетов представлены на рис. 8-10. На рис. 8 показано сравнение расчетного приращения температуры в ходе подъема линейной мощности от 20 до 30 кВт/м и эффективного распределения температуры Т^г) из формулы (6). Отличие в распределениях температуры связано с наличием пластических деформаций в топливной таблетке. Сравнение результатов расчетов механических напряжений в топливе и в оболочке по 30 - модулю и по одномерной модели показаны на рис. 9, 10. Как видно, распределения напряжений по радиусу топливной таблетки и оболочки твэла, рассчитанные по Ш и по ЗБ - моделям хорошо согласуются.

Рис.8. Распределение температуры (°С) по радиусу топливной таблетки:

--приращение температуры топлива

на стдии подъема линейной мощности; —о-— - эффективный прирост температуры с учетом пластических деформаций в топливной таблетке

В рамках интегрального топливного кода РТОП проведено численное моделирование механического взаимодействия топлива и оболочки твэла в ЗО -геометрии. В работе реализован гибридный подход, включающий в себя одномерный расчет динамики пластических деформаций топлива и оболочки и ЗО -расчет НДС в условиях пиковых нагрузок на твэл. Применение данного подхода позволило самосогласованно описывать тепловое поведение твэла, выход стабильных газов деления под оболочку, изменение теплофизических свойств топлива и геометрических параметров твэла.

В рамках кода РТОП проведено ЗБ моделирование взаимодействия топлива и оболочки твэла для условий экспериментов ШТЕКИАМР и 5иРЕШ1АМР. Показана необходимость учета ЗО геометрии при моделировании механического взаимодействия топлива и оболочки твэла.

1.5 2 2.5 3

-20 -40 -60 -80 -100 -120

300 200 100 0 -100 -200

1 1.5 2 2.5 3

Радиус, мм

Qs» О

У

/

1.5 2 2.5 3 3.5 Радиус, мм

Рис.10. Сравнение радиальных (слева) и касательных (справа) механических напряжений в топливной таблетке, посчитанных по Ш и по 30 программным модулям: О - Ш;--ЗЭ

Радиус, мм

Радиус, мм

Рис.11. Сравнение радиальных (слева) и касательных (справа)

механических напряжений в оболочке, посчитанных по 1D и по

3D программным модулям: О - 1D; — - 3D

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кукушкин A.B. Об учете немехаиических воздействий при решении линейных задач механики деформируемого твердого тела// Вестник ТвГУ. 2010. № 37. Сер. Прикладная математика. Вып. 4(19), 2010. С. 13-20.

2. Левин В.А., Зингерман K.M., Кукушкин А. В. Разработка алгоритма и программного модуля CAE FIDESYS для решения одной контактной задачи термоупругости// Вестник ТвГУ.Сер. Прикладная математика. Вып. 1(20). 2011.С. 57-64.

3. Левин В.А. Кукушкин А. В. Моделирование образования н развитая зон предразрушения при контакте секторов полого цилиндра с цилиндрической оболочкой// Известия ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып. 1. С.113-118.

4. Использование пакета ABAQUS для описания развития зоны предразрушения вблизи носика повреждения в теле из упругого или вязкоупругого материала. /В.А. Левин, К.А. Ильин, H.A. Агапов, A.B. Кукушкин, Е.И. Фрейман,

Е.Д. Комолова// Проблемы шин и резинокордовых композитов: материалы шестнадцатого симпозиума. М., 2005.С. 28-29.

5. Моделирование развития зоны предразрушения в телах из упругого или вязкоупругого материала с помощью пакета ABAQUS/B.A. Левин, К.А. Ильин, H.A. Агапов, A.B. Кукушкин, М.С. Яковлев// Современные проблемы математики, механики, информатики: 6-я Международная конференция. Тула, 2005. С. 220-221

6. Об одном варианте использования бессеточных методов при решении задач о перераспределении конечных деформаций/ В.А. Левин, H.A. Агапов, A.B. Кукушкин, И.В. Никифоров// Ломоносовские чтения. Секция механика:

тезисы докладов. М., 2007. С. 96-97.

7. Кукушкин A.B. К разработке алгоритма решения задач прочности при конечных деформациях на основе безсеточных методов// Современные проблемы математики, механики информатики: материалы конференции. Тула, 2008. С. 228-231.

8. Кукушкин A.B. О численном моделировании на основе безсеточных методов в задачах прочности// III магистерская научно-техическая конференция. Тула 2008. С. 125-126.

9. Кукушкин A.B. Учет влияния немеханических факторов при расчете напряженно - деформированного состояния элемента конструкции// XII научно-техническая конференция молодых ученых, аспирантов, студентов: тезисы докладов/ РХТУ им. Д.И. Менделеева. Новомосковский филиал. Новомосковск, 2010. С. 112.

10. Кукушкин А. Реализация алгоритма расчетного ядра на основе МКЭ пространственных линейных задач механика деформируемого твердого тела при немеханических воздействиях// XIIV Всероссийская научная конференция студентов и аспирантов. Тула, 2010. С. 115-116.

11. Кукушкин A.B. Вариант алгоритма решения контактной задачи с помощью метода конечных элементов, его программная реализация// Современные проблемы математики, механики информатики: материалы конференции. Тула, 2010. С. 167-168.

12. Development and use of the CAE-system "FIDESYS" for nonlinear analysis of solids with microstructure that changed during loading/ V.A. Levin, K.M. Zin-german, A.V. Vershinin, E.I. Freiman, A.V. Kukushkin, A.V. Trachenko // ECCM 2010 IV European Conference on Computational Mechanics. Paris, 2010. https://www.eccm-2010.org/abstractJidf7abstract_1650.pdf

Технический редактор: А.В.Жильцов Подписано в печать 17.11.2011. Формат 60x84 1 /16. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № 466. Тверской государственный университет Редакционно-издательское управление Адрес: 170100, г. Тверь, ул. Желябова, 33. Тел. РИУ: (4822) 35-60-63

Принятые сокращения.

Введение.

Глава 1. Обзор основных теоретических и экспериментальных исследований в области моделирования контактного взаимодействия при температурном и радиационном воздействии на тело.

Контактное взаимодействие.

Учет нелинейных эффектов в моделях механики «контактной псевдосреды»

Изменение механических свойств при нагружении. Зона предразрушения.

Глава 2. Метод конечных элементов для задач о немеханическом воздействии

Функции формы пространственного симплекс-элемента.

Деформации.

Напряжения. Матрица упругости.

Эквивалентные узловые силы.

Равновесие конечно элементной конструкции.

Глава 3. Модель контактного взаимодействия с использованием «контактной псевдосреды».

Описание используемого контактного конечного элемента:.

Модель материала, изменяющего свойства под действием напряжений. • Образование и развитие зоны предразрушения.

Глава 4. Программный модуль.

Алгоритм работы программного модуля.

Сравнение результатов, полученных с помощью модуля с аналитическими

Задача о нагревании сектора цилиндра внутри сектора цилиндрической оболочки.

Задача о нагревании сектора цилиндра внутри сектора цилиндрической оболочки с учетом образования и развития зоны предразрушения.

Глава 5. Внедрение программного модуля для трехмерного моделирования механического взаимодействия топлива с оболочкой в код РТОП.

Моделирование механического поведения твэла в одномерной постановке.

Учет пластических деформаций в З-О расчетах термомеханического поведения твэла.

Моделирование экспериментов по механическому поведению твэла.

Итоги внедрения ЗБ - модуля.

В процессе эксплуатации конструкций на них оказывают воздействие различные немеханические факторы, которые существенно изменяют как механические свойства, так и НДС. К таким факторам относятся температура, радиация, изменение внутренней структуры материала (образование пор и включений). Учет этих факторов важен, например, для изделий из резины, для конструкций, используемых в атомной промышленности. При решении задач продления эксплуатации конструкций, внедрения новых материалов в конструкции, подверженные сложным техногенным воздействиям, возникает необходимость в более адекватном описании и имитационном моделировании.

При решении технических задач механики деформируемого твердого тела исследователи часто сталкиваются с необходимостью учета контактного взаимодействия. Поэтому множество работ посвящено решению контактных задач, в частности, численно-аналитическим методам расчета контакта. Однако такие методы подходят в основном для тел с простой и канонической геометрией и, зачастую, некоторые из контактирующих тел принимаются недеформируемы-ми.

Существенно расширить круг решаемых контактных задач позволяют численные методы (метод конечных элементов, метод конечных разностей, метод конечных объемов и др.). В настоящее время это направление активно развивается. Однако одновременное существование большого количества методов говорит о том, что они не идеальны и работа в этом направлении должна быть продолжена.

Другим немаловажным аспектом при решении технических задач является немеханическое воздействие. Длительное воздействие радиации или температуры может существенно изменить внутреннюю структуру подвергающегося воздействию материала, что, в свою очередь, ведет к изменению его механических свойств. Учет этих изменений крайне важен, так как непредвиденное поведение конструкций в зоне высокой радиации может привести к катастрофе. В данной работе предложен вариант учета подобного немеханического воздействия.

Учет изменения свойств материала под действием напряжений позволяет моделировать образование и развитие зон предразрушения и, следовательно, позволит расширить область применения алгоритма и использовать его для моделирования разрушения.

Программная реализация решения такой задачи возможна либо в рамках прочностных универсальных САЕ, либо в рамках нишевых САЕ. Недостатком универсальных систем является то, что в них довольно трудно учесть немеханическое воздействие и практически невозможно моделировать материал со свойствами, меняющимися при нагружении. Поэтому была выбрана форма реализации в виде независимого программного модуля, который может быть использован отдельно или в составе нишевой САЕ.

Для анализа условий безопасной эксплуатации ядерного топлива ВВЭР необходимо моделирование поведения твэла, включающее в себя механическое взаимодействие топливных таблеток и оболочки. Определение пиковых механических напряжений в оболочке дает возможность оценить опасность разрушения твэла при маневрировании линейной мощности тепловыделения. Упрощенная осесимметричная модель не позволяет получить адекватную картину НДС оболочки твэла. Одной из целей данной работы является создание программного модуля моделирования в рамках интегрального топливного кода РТОП механического взаимодействия топлива и оболочки.

Цель работы

Разработка комплексной модели НДС тепловыделяющего элемента с учетом механического и немеханического воздействий, контактного взаимодействия (включая трение и проскальзывание), образования и развития зоны предразрушения; алгоритмическая и программная реализация этой модели на основе МКЭ.

Научная новизна работы

Представлена комплексная модель напряженно-деформированного состояния тепловыделяющего элемента, учитывающая контактное взаимодействие, неоднородность свойств материала (вследствие внешнего воздействия), температурные напряжения, образование и развитие зон предразрушения. Построен алгоритм расчета на основе данной модели с использованием МКЭ. Реализован программный модуль для проведения имитационного моделирования тепловыделяющего элемента. Использованные современные компьютерные технологии распараллеливания вычисления СШЭА и ОрепМР позволили сократить время расчета в 5 - 7 раз по сравнению с расчетом на одном процессоре.

Достоверность результатов

Достоверность результатов обеспечивается обоснованностью использованных теоретических зависимостей, корректностью постановки задач, применением известных математических методов и подтверждается качественным и количественным совпадением результатов для частных и предельных случаев.

Практическая ценность и реализация работы

Практическая ценность работы состоит в создании программного модуля, с помощью которого решена практически важная задача, а так же возможность включения данного модуля в САЕ систему.

Интеграция в пакет проекта БГОЕЗУБ (Поддержка Сколково).

Результаты использовались при выполнении договора на выполнение НИР "Реализация технологии С1ЮА для численного решения задач термомеханического поведения ядерного топлива".

На защиту выносятся:

Модификация модели, описывающей изменения свойств среды при на-гружении и немеханическом воздействии.

Модификация алгоритма решения контактной задачи с использованием контактной псевдосреды.

Программный модуль имитационного моделирования напряженного состояния тепловыделяющего элемента.

Результаты решения частных задач о контактном взаимодействии с учетом немеханического воздействия и изменения свойств среды под действием напряжений.

Апробация

Основные положения диссертации доложены на следующих научно-технических конференциях: «Проблемы шин и резинокордовых композитов». Москва, 2005 г.; «Современные проблемы механики, математики и информатики». Тула, 2005 г.; «Ломоносовские чтения». Москва, 2006, 2007 гг.; Международной научной конференции «Современные проблемы механики, математики и информатики». Тула, 2008 г.; European Conference on Computational Mechanics «ЕССМ 2010 IV». Paris, 2010 г.; «XII научно-техническая конференция молодых ученых, аспирантов, студентов РХТУ им. Д.И. Менделеева (Новомосковский филиал)». Новомосковск, 2010 г.; Международной научной конференции «Современные проблемы механики, математики и информатики» Тула, 2010 г.; Международном молодежном научном форуме «Ломоносов - 2011 ».Москва, 2011г.

Публикации

По материалам проведенных исследований опубликовано 12 печатных работ. В том числе 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, основных результатов и выводов по работе, списка литературы, приложений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Построена комплексная модель НДС тепловыделяющего элемента, учитывающая контактное взаимодействие, неоднородность свойств материала (вследствие внешнего воздействия), температурные напряжения, образование и развитие зон предразрушения.

Разработан алгоритм, позволяющий решать задачи с учетом контактного взаимодействия, немеханического воздействия и изменения механических свойств под действием напряжений.

Получена программная реализация в виде программного модуля с возможностью интеграции в CAE (Использованы современные компьютерные технологии распараллеливания вычисления CUDA и ОрепМР).

Получено решение контактной задачи с материалом, изменяющим свойства при нагружении. Это решение может служить основой для моделирования разрушения посредством последовательного образования зон предразрушения и дальнейшего уничтожения материала. Программный модуль, реализующий решение данной задачи, может быть использован для имитационного моделирования в сфере ядерной энергетики.

Публикации по теме диссертации

1. Кукушкин A.B. Об учете немеханических воздействий при решении линейных задач механики деформируемого твердого тела// Вестник ТвГУ. 2010. № 37. Сер. Прикладная математика. Вып. 4(19), 2010. С. 13-20.

2. Левин В.А., Зингерман K.M., Кукушкин А. В. Разработка алгоритма и программного модуля CAE FIDESYS для решения одной контактной задачи термоупругости// Вестник ТвГУ.Сер. Прикладная математика. Вып. 1(20). 2011. С. 57-64.

3. Левин В.А. Кукушкин А. В. Моделирование образования и развития зон предразрушения при контакте секторов полого цилиндра с цилиндрической оболочкой// Известия ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып. 1. С.113-118.

4. Использование пакета ABAQUS для описания развития зоны предразрушения вблизи носика повреждения в теле из упругого или вязкоупругого материала. /В.А. Левин, К.А. Ильин, H.A. Агапов, A.B. Кукушкин, Е.И. Фрейман, Е.Д. Комолова// Проблемы шин и резинокордовых композитов: материалы шестнадцатого симпозиума. М., 2005.С. 28-29.

5. Моделирование развития зоны предразрушения в телах из упругого или вязкоупругого материала с помощью пакета ABAQUS/B.A. Левин, К.А. Ильин, H.A. Агапов, A.B. Кукушкин, М.С. Яковлев// Современные проблемы математики, механики, информатики: 6-я Международная конференция. Тула, 2005. С. 220-221

6. Об одном варианте использования бессеточных методов при решении задач о перераспределении конечных деформаций/ В.А. Левин, H.A. Агапов, A.B. Кукушкин, И.В. Никифоров// Ломоносовские чтения. Секция механика: тезисы докладов. М., 2007. С. 96-97.

7. Кукушкин A.B. К разработке алгоритма решения задач прочности при конечных деформациях на основе безсеточных методов// Современные проблемы математики, механики информатики: материалы конференции. Тула, 2008. С. 228-231.

8. Кукушкин А.В. О численном моделировании на основе безсеточных методов в задачах прочности// III магистерская научно-техическая конференция. Тула 2008. С. 125-126.

9. Кукушкин А.В. Учет влияния немеханических факторов при расчете напряженно - деформированного состояния элемента конструкции// XII научно-техническая конференция молодых ученых, аспирантов, студентов: тезисы докладов/ РХТУ им. Д.И. Менделеева. Новомосковский филиал. Новомосковск, 2010. С. 112.

10. Кукушкин А. Реализация алгоритма расчетного ядра на основе МКЭ пространственных линейных задач механика деформируемого твердого тела при немеханических воздействиях// ХПУ Всероссийская научная конференция студентов и аспирантов. Тула, 2010. С. 115-116.

11. Кукушкин А.В. Вариант алгоритма решения контактной задачи с помощью метода конечных элементов, его программная реализация// Современные проблемы математики, механики информатики: материалы конференции. Тула, 2010. С. 167-168.

12. Development and use of the CAE-system "FIDESYS" for nonlinear analysis of solids with microstructure that changed during loading/ V.A. Levin, K.M. Zingerman, A.V. Vershinin, E.I. Freiman, A.V. Kukushkin, A.V. Trachenko // ECCM 2010 IV European Conference on Computational Mechanics. Paris, 2010. https://www.eccm-2010.org/abstractpdf/abstract1650.pdf

1. "The Studsvik Inter-Ramp Project. Final Report of the Inter-Ramp Project", Sweden, December 19842. "The Studsvik Super-Ramp Project. Final Report of the Super-Ramp Project" , Sweden, August, 1979.

2. Ball J.M. Discontinuous equilibrium solutions and cavitation in non-linear elasticity // Phil. Trans. Roy. Soc. London. V. A306. P. 557-611.

3. Baranski, A. Numerical modelling of damage growth in polycristalline bodies/ A. Baranski, M. Chrzanowski,

4. K. Nowak // Selec. Probl. Struct. Mech. Mach. Des. Prod. Eng. Motor and Raiway Vehicles Org. Chem. Cracow, 1995.- P. 25-33.

5. Biwa S. Nonlinear analysis of particle cavitation and matrix yielding under equitriaxial stress // Trans. Asme. J. Appl. Mech. 1999. V. 66, № 3. P. 780-785.

6. Fridriksson, B. Finite elements solutions of surface nonlinearities in structural mechanics with special emphasis to contact and fracture mechanics problems / B. Fridriksson// Comp. and Struct- 1976.- V. 6.- P. 281-290.

7. Griffith A.A. The phenomenon of rupture and flow in solids // Phil. Trans. Roy. Soc. Ser. A. 1920. V. 221. P. 163-198.

8. Levin V.A., Lokhin V.V., Zingerman K.M. Effective Elastic Properties of Porous Materials With Randomly Disposed Pores. Finite Deformation // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2000. - Vol. 67. - №4. - P. 667-670.

9. Matthews, J.R. 1970 "Thermal stress in a finite heat generating cylinder" Nuclear engineering and design, № 12 (1970), p.291-296.

10. Michalowski, R. Associated and nonassociated studing rules in contact friction problems / R. Michalowski, Z. Mros // Arch. mech. stosow.- 1976.- № 3. P.- 259276.

11. Murti, K.G. Note on a Bard-Type Scheme for Solving the Complementarity Problem / K.G. Murti // Opsearch.- 1974.- V. 11.- P. 123-130.

12. Weighardt K. Uber Spalter und Zerressen elastischer Korper // Zeitsehr. Fur Math. Und Phys. 1907. Bd. 55. N 1/ 2. S. 60-103.

13. Zienkiewicz О.С., Taylor R.L. Vol. 1. The finite element method. The basis, 2000, 707p

14. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. Vol. 2. The finite element method. Solid mechanics, 2000, 479p

15. Zienkiewicz О. C., The Finite Element Method in Engineering Science, McGraw-Hill, London, 1971;

16. Zubov L.M. Nonlinear Theory of Dislocations and Disclinations in Elastic Bodies. — Berlin: Springer, 1997.

17. Адкинс Дж. Большие упругие деформации // Механика. Сб. переводов. -М.: Мир, 1957. -Т.1. С. 67-74.

18. Александров В.М., Ворович И.И., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. Наука 1974.

19. Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копченова H.B. Вычислительные методы для инженеров: Учебное пособие. М.: Высш. Школа-1994.

20. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Наумов В.Э. Механика растущих вязко-упругопластических тел. -М.: Наука, 1987.— 471 с.

21. Астафьев В.И., Радаев Ю.Н. Степанова JI.B. Нелинейная механика разрушения. Самара: Изд-во Самарского университета, 2001. 632 с.

22. Бабин, А.П. Конечноэлементный алгоритм решения контактных задач с учетом нелинейных эффектов/ А.П. Бабин//Динамика, прочность и надежность транспортных машин: сб. науч. тр.- Брянск: БГТУ, 2002.- С. 138-148.

23. Бартенев Г.М., Хазанович Т.Н. О законе высокоэластичных деформаций сеточных полимеров // Высокомолек. соед. 1960. Т. 2, № 1. С. 20-28.

24. Бартенев Г.М., Шерматов Д., Бартенева А.Г. Влияние масштабного фактора на механизм разрушения и долговечность полимеров в твердом состоянии. //Высокомолекулярные соединения. 1998. Т. А40, №9. С. 1465-1473.

25. Бидерман B.JI. Вопросы расчета резиновых деталей. В кн.: Расчеты на прочность. М.: ГНТИ, 1958, вып. 3.

26. Болотин В.В. Распространение усталостных трещин как случайный процесс // Известия АН. Механика твердого тела. 1993. № 4. С. 174-183.

27. Бондарь В.Д. Об одном классе точных решений уравнений нелинейной упругости // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1987. - Вып. 28. - С. 30-42.

28. Бровко Г.Л., Ткаченко JI.B. Некоторые определяющие эксперименты для моделей нелинейно-упругих тел при конечных деформациях // Вестник МГУ. Серия «Математика, механика». 1993. - № 4. - С.45-49.

29. Букер, Д.Ф. Применение метода конечных элементов в теории смазки: инженерный подход / Д.Ф. Букер, К.Н. Хюбнер// Тр. Америк.о-ва инж.-мех.л Проблемы трения и смазки.- 1972.- № 4.- С. 22-33.

30. Бураго Н.Г. Вычислительная механика. Москва 2005.

31. Бухина М.Ф. Кристаллизация каучуков и резин. М.: Химия, 1973. -239 с.

32. Бухина М.Ф. Техническая физика эластомеров. М.: Химия, 1984. -224 с.

33. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Мир, 1987. 542 с.

34. Ворович И.И. Некоторые проблемы концентраций напряжений // Концентрация напряжений. Киев, 1968. Вып.-2. С. 45-53.

35. Галахов, М.А. Математические модели контактной гидродинамики / М.А.Галахов, П.Б. Гусятников, А.Б. Новиков.- М.: Наука, 1985.- 296 с.

36. Гамлицкий Ю.А., Мудрук В.И., Швачич М.В. Упругий потенциал наполненных резин. Теория и эксперимент // Труды XI симпозиума «Проблемы шин и резинокордных композитов». М.: ГУП НИИ шинной промышленности, 2000. Т. 1.

37. Гетин, Д.Т. Применение метода конечных элементов для термогидродинамического анализа тонкопленочного высокоскоростного цилиндрического подшипника скольжения / Д.Т. Гетин// Тр. Америк.о-ва инж.-мех. Проблемы трения и смазки.- 1988.- № 1.- С. 73-80.

38. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории.упругости. М.: Наука, 1969.336 с.

39. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. — М: Мир, 1965, 445 с.

40. Громов В.Г., Толоконников Л.А. К вычислению приближений в задаче о конечных плоских деформациях несжимаемого материала // Известия АН СССР. Отделение техн. наук, сер. Механика и машиностроение. 1963. № 2. С. 81-87.

41. Гузь А.Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями. Киев: Наукова думка, 1983. 296 с.

42. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. Киев: Наукова думка, 1973. 272 с.

43. Гузь А.Н., Дышель Л.Ш., Кулиев Г.Г., Милованова О.Б. Разрушение и устойчивость тонких тел с трещинами. Киев: Наукова думка, 1981. 184 с.

44. Гузь А.Н., Махорт Ф.Г., Гуща О.И., Лебедев В.К. К теории распространения волн в упругом изотропном теле с начальными деформациями // Прикладная механика. — Т. 6, №12. С. 42-49.

45. Гузь А.Н., Роджер A.A., Гузь И.А. О построении теории разрушения нанокомпозитов при сжатии // Прикладная механика, 2005. Т. 41, №3. С. 3-29.

46. Гузь А.П. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями. —Киев: Наукова думка, 1983. 296 с.

47. Дак Э. Пластмассы и резины / Пер. с англ. под ред. СБ. Ратнера. М.: Мир, 1976. 148 с.

48. Демкин, Н.Б. Фактическая площадь касания твердых поверхностей /Н.Б. Демкин.- М.: Изд-во АН СССР, 1962.- 111 с.

49. Доможиров Л.И., Махутов П.А. Иерархия трещин в механике циклического разрушения // Механика твердого тела. 1999. №5. С. 17-26.

50. Дьяконов В.П. Системы символьной математики Mathematica 2 и Mathematica 3. М.: CK Пресс, 1998.-256 с.

51. Журков СП. Кинетические концепции прочности твердых тел // Изв. АН СССР Сер. неорганические материалы. 1967. Т.З. №10. С. 1767-1771.

52. Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций / А.Н. Подгорный, П.П. Гонтаровский, Б.Н. Киркач и др. ; отв. ред. В.Л. Рвачев; АН УССР, Ин-т проблем машиностроения.- Киев: Наукова думка, 1989.- 232 с.

53. Зволинский Н.В., Риз М.О. О некоторых задачах нелинейной теории упругости // ПММ, 1939. Т. 2, №4.

54. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. — М.: Мир, 1975.

55. Зернин, М.В. К исследованию контактной жесткости с использованием модели механики «контактной псевдосреды» / М.В. Зернин, А.П. Бабин// Заводская лаборатория.- 2001.- №6.- С.51-54.

56. Зингерман K.M. Решение класса плоских задач теории многократного наложения больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах. — Дис. доктора физ.-мат. наук. Тверь, 2001. — 234 с.

57. Зубов JI.M. Нелинейная теория изолированных дислокаций и дисклинаций в упругих оболочках // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. - №4. -С. 139-145.

58. Зубов JI.M. О дополнительной энергии упругого тела с начальными напряжениями // Изв. Сев-Кавказ, научн. центра высш. школы. Сер. естеств. н., 1988.-№4.-С. 71-75.

59. Ильюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории. -М.: Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.

60. Канаун С.К., Левин В.М. Метод эффективного поля в механике композитных материалов. — Петрозаводск: Изд-во Петрозаводскегоун-та, 1993. 600 с.

61. Качанов Л. М. О времени разрушения в условиях ползучести// Изв. АН СССР. ОТН. 1958. С. 26-31

62. Качанов Л. М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 312 с.

63. Керштейн И.М., Клюшников В.Д., Ломакин Е.В., Шестериков С.А. Основы экспериментальной механики разрушения, 1989

64. Койфман Ю.И., Ланглейбен А.Ш. Напряженно-деформированное состояние пластины с двумя равными отверстиями при высокоэластичных деформациях // Механика полимеров. 1967. — № 2. - С. 318-320.

65. Колосов Г.В. Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости. Юрьев: Типогр. Маттисена, 1909. 187 с.

66. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной к теории упругости. М.; Л.: ОНТИ, 1935. - 224с.

67. Кузьменко, А.Г. Методика оценки сопротивления усталости антифрикционных материалов для подшипников скольжения / А.Г. Кузьменко, A.B. Яковлев, М.В. Зернин// Заводская лаборатория.- 1984.- № 8.1. С. 77-79.

68. Кузьменко, А.Г. Основные уравнения теории упругости и пластичности и метод конечного элемента./А.Г. Кузьменко.- Тула: Тул. политехи, ин-т, 1980.100 с.

69. Кутилин Д.И. Теория конечных деформаций. М: Гостехиздат, 1947. 275с.

70. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, Т. 7 - Теория упругости, 1987, 247с

71. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости, М. Наука, 1965.

72. Левин В.А. Моделирование роста повреждения при конечных деформациях. Вестник МГУ Сер. 1, Математика и механика, 2006, №3

73. Левин В.А. К использованию метода последовательных приближений в задачах наложения конечных деформаций // Прикладная механика. 1987. - Т. 23.-№5.

74. Левин В:А. Концентрация напряжений около кругового в момент образования отверстия в теле из вязкоупругого материала // Доклады АН СССР. 1988. -299, №5. -С. 1079-1082.

75. Левин В.А. Краевые задачи наложения больших деформаций в телах из упругого или вязкоупругого материала. — Диссертация доктора физ.-мат. наук. -Тверь, 1990.-365 с.

76. Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах. М.: Наука. 1999. 224 с.

77. Левин В.А. О концентрации напряжений вблизи отверстия, образованного в предварительно напряженном теле из вязко упругого материала // Доклады АН СССР. 1988. Т.299. №5. С.1079-1082."

78. Левин В.А., Зингерман K.M. Плоские задачи многократного наложения больших деформаций. Методы решения. М.: Физматлит. 2002. - 272с.

79. Левин В.А., Калинин В.В., Зингерман K.M., Вершинин A.B. Развитие дефектов при конечных-деформациях. Компьютерное и физическое моделирование. М. ФИЗМАТЛИТ. 2007. 392с. (в печати)

80. Левин В.А., Лохин В.В., Зингерман K.M. Рост узкой щели, образованной в предварительно нагруженном нелинейно-упругом теле. Анализ с помощью теории многократного наложения больших деформаций // Доклады РАН.1995. Т. 343. - №6. - С. 764-766.

81. Левин В:А., Морозов Е.М. Нелокальные критерии для определения зоны предразрушения при описании роста дефекта при конечных деформациях // Доклады РАН. 2007. Т. 415, №4. С. 482-487.

82. Левин В.А., Морозов Е.М. Нелокальный критерий прочности. Конечные деформации // Доклады РАН. 2002. Т. 346, №1. С. 62-67.

83. Левин В .А., Морозов Е.М., Матвиенко Ю.Г. (Под редакцией В.А. Левина) Избранные нелинейные задачи механики разрушения. М.: Физматлит, 2004. -408 с.

84. Левин В.А., Тарасьев Г.С. Наложение больших упругих деформаций в пространстве конечных состояний // Доклады АН ССР, 1980. 251, № 1. С. 63-66.

85. Левин В.А., Тарасьев Г.С. О напряженном состоянии вблизи вертикальной круговой скважины в полубесконечном массиве из вязкоупругого материала // Доклады АН ССР, 1982. 264, № 6. С. 1316-1318.

86. Леонов М.Я. Механика деформаций и разрушения. — Фрунзе: Ильм, 1981. 236 с.

87. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980, 512 с.

88. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

89. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935. 674 с.

90. Маркин A.A. Нелинейная теория упругости: учебн. пособие / Гул. гос. унт. - Тула, 2000. - 72 с.

91. Маркин A.A. Об изменении упругих и пластических свойств при конечном деформировании // Известия АН СССР. Механика твердого тела. — 1990. №2. С. 120-126.

92. Маркин A.A., Толоконников Л.А. Меры и определяющие соотношения конечного упругопластического деформирования // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения: Всесоюз. межвуз. сб. / Горьк. гос. ун-т. Горький, 1987. - С. 32-37.

93. Мелещенко, Н.Г. К вопросу расчетной оценки условий работы стыковых соединений двигателей. / Н.Г. Мелещенко// Тр. / ЦНИДИ.- 1978.- Вып. 73.- С. 31-36.

94. Механика катастроф. Определение характеристик трещиностойко-сти конструкционных материалов. Методические рекомендации. — М.: ФЦНТП ПП «Безопасность», МИБ СТС, Ассоциация КОДАС. Т.1. 1995. 360 с; Т.2. 2001. 254 с.

95. Мишин, A.B. Расчет динамически нагруженных опор скольжения методом конечных элементов / A.B. Мишин// Динамика, прочность и надежность транспортных машин: сб. науч. тр.- Брянск: БГТУ, 2002.-С. 174-182.

96. Морозов Е.М. Вариационный принцип в механике разрушения // ДАН СССР. 1969. Т. 184. №6.'

97. Морозов Е.М., Зернин М.В. Контактные задачи механики разрушения. М.: Машиностроение, 1999. 544 с.I

98. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 255 с.

99. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. -М.: Наука, 1966, 708 с.

100. Нейбер Г. Концентрация напряжений / Пер. с нем. под ред. А.И. Лурье. — М.: Гостехиздат, 1947.204 с

101. Нечаев Л.М. О распределении напряжений около отверстий в упругих телах с начальными напряжениями // Работы по механике сплошных сред. -Тула, 1985, с. 103-113.

102. Нечаев Л.М., Тарасьев Г.С. Концентрация напряжений вокруг кругового в промежуточном состоянии тоннеля в нелинейно-упругом теле // Доклады АН СССР, 1974, 215, № 2, с. 301-304.

103. Никишков, Г. П. Программный комплекс для решения задач механики деформируемого твердого тела.

104. Г. П. Никишков. М.: МИФИ, 1988.- 84 с.

105. Новожилов В.В. К основам теории равновесных трещин в хрупких телах //Прикл. матем. И'Мех. 1969. Т.ЗЗ. №5. С. 797-812.

106. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948.

107. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.

108. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов, 1981, 152с.

109. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. М.: Наука, 1985. 502 с.

110. Пашнин, В.Г. Контактное взаимодействие топливного сердечника с оболочкой ТВЭЛА / В.Г. Пашнин, В.Т. Сапунов // Деформация и разрушение материалов и элементов конструкций ЯЭУ: сб. науч. тр. каф. физики прочности МИФИ.- М.: МИФИ; 1993. С.38-47.

111. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Лекции по теории упругости М. Эдиториал УРСС,1999^ 204с.

112. Применение резиновых технических изделий в народном хозяйстве. Справочное пособие (Под ред. Федюкина Д.Л.). М.: Химия, 1986. 240 с.

113. Работнов Ю. Н. Введение в механику разрушения. М.: Наука, 1987. 80 с.

114. Работнов Ю. Н. О механизме длительного разрушения/ Вопросы прочности материалов и конструкций. М.: Изд-во АН СССР, 1959. С. 5-7.

115. Разрушение. В 7 т. / Под ред. Г. Либовица. — М.: Мир, 1973-1975.

116. Регель В.Р., Слуцкер А.И., Томашевский Э.Е. Кинетическая природа прочности твердых тел. М.: Наука, 1974. 560 с.

117. Рытик, А.И. Расчет методом конечных элементов давлений в зоне жидкостного смазывания поверхностей трения / А.И. Рытик, М.В. Зернин// Динамика и прочность транспортных машин: сб. науч. тр. Брянск: БГТУ, 2000. С. 137-143.

118. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова Думка, 1968, 887с.

119. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. — М.: Мир, 1979.

120. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Гос. изд-во физмат. лит-ры, 1962. 284 с.

121. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. - М.: Наука, 1994. - 560 с.

122. Скворцов A.B. Триангуляция Делоне и ее применение.—Томск: Изд-во Томского уни-та, 2002.—128 с.

123. Тарасьев Г.С., Левин В.А., Нечаев Л.М. Концентрация напряжений около эллиптической в конечном состоянии полости // Прикладная механика. — 1980. 16, №6.-С. 92-97.

124. Тарасьев Г.С., Толоконников Л.А. Конечные плоские деформации сжимаемого материала//Прикладная механика. 1966. 2, № 2. С. 22-27.

125. Тарасьев Г.С., Толоконников Л.А. Концентрация напряжений около полостей в несжимаемом материале // Концентрация напряжений. — Киев, 1965. -Вып. 1.-С. 251-255.

126. Тимошенко С.П. Теория упругости. М.: ОНТИ, 1934.

127. Толоконников Л.А. Конечные плоские деформации несжимаемого материала // Прикладная математика и механика. 1959. Т. 21, № 1.

128. Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости. ПММ. 1956, т. 20, вып. 3, с. 439-444.

129. Толоконников Л.А. Плоская деформация несжимаемого материала // Доклады АН СССР. 1958. - Т. 119, №6.-С. 1124-1126.

130. Толоконников JI.А., Тарасьев Г.С., Левин В.А. Многократное наложениебольших деформаций в телах из упругого и вязкоупругого материала //ъ

131. Вопросы судостроения. Серия 1. Проектирование судов. Л.: 1985, вып. 42, с. 146-152.

132. Трелоар Л. Введение в науку о полимерах. М.: Мир, 1973. 238 с.

133. Трелоар Л. Физика упругости каучука. М.: Иностранная лит-ра, 1953. 240 с.

134. Треффтц Е. Математическая теория упругости. М.: ГТТИ, 19354. 170 с.

135. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975, 592 с.

136. Ф.Препарата, М.Шеймос. Вычислительная геометрия: Введение. М.: Мир, 1989

137. Фридман Я.Б. Механические свойства материалов. В 2-х томах. М.: Машиностроение, 1974. Т.1. 472 с; Т. 2. 368 с.

138. Христианович С.А., Желтов Ю.П. Образование вертикальных трещин при помощи очень вязкой жидкости. Докл. На IV Междунар. нефт. конгрессе в Риме. М.: Изд-во АН СССР, 1955, 34с.

139. Цурпал И.А. Физически нелинейные упругие пластины, ослабленные произвольными отверстиями // Концентрация напряжений. Киев, 1965, вып. 1, с. 305-311.

140. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. — М.: Наука, 1974. 640 с.

141. Черепанов Г.П. Современные проблемы механики разрушения // Проблемы прочности. 1987. № 8. С.3-13

142. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986, 336 с.

143. Черных К.Ф. Обобщенная плоская деформация в нелинейной теории упругости // Прикладная механика. 1977. - 13, № 1. - С. 3-30.

144. Шилько, C.B. Моделирование контактного взаимодействия в сопряжениях микроэлектромеханических систем/ C.B. Шилько, В.Е. Старжинский, А.П. Бабин, М.В. Зернин// Вестн. Гом. гос. техн. ун-та.,- 2002.- № 3,4. С. 31-38.