автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование контактного взаимодействия упругопластических тел

005051760

На правах рукописи

СИТУХТЕТ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

11 ДПР 2013

Москва - 2013

005051760

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана»

Научный руководитель: доктор технических наук,

старший научный сотрудник Станкевич Игорь Васильевич

Официальные оппоненты: Гаврюшин Сергей Сергеевич,

доктор технических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана», заведующий кафедрой компьютерных систем автоматизации производства

Родин Александр Сергеевич, кандидат физико-математических наук, Институт прикладной математики имени М.В.Келдыша РАН, научный сотрудник

Ведущая организация: федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный индустриальный университет»

Защита диссертации состоится "1И " _2013 г. в

часов на заседании диссертационного совета Д 212.141.15

у

при Московском государственном техническом университете имени Н.Э. Баумана по адресу: Москва, Рубцовская наб., д.2/18, ауд. 1006 л.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного технического университета имени Н.Э. Баумана

Автореферат разослан " ^ " 2013 г.

Учёный секретарь диссертационного совета,

кандидат технических наук, доцент ^г/ ^ A.B. Аттетков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Интенсивное развитие методов математического моделирования как эффективного средства исследования сложных процессов деформирования с учетом контактного взаимодействия является одной из актуальных проблем прикладной математики, так как открывает новые возможности в развитии предметных областей, таких как механика деформируемого твёрдого тела (МДТТ) и прикладные методы численного анализа, а также значительно расширяет перспективы создания и практического использования систем автоматизированного проектирования.

Важнейшими с этой точки зрения являются вопросы дальнейшего развития перспективных прикладных методов математического моделирования применительно к решению новых классов задач вычислительной термомеханики, математические постановки которых в наиболее общем виде учитывают сложные физико-механические эффекты, возникающие при неизотермическом упругопластическом деформировании с учетом контактного взаимодействия. Это даёт возможность проведения более «полного» и «тонкого» анализа напряженно-деформированного состояния ответственных элементов конструкций, подверженных сложному термосиловому нагружению, и получения на его основе данных для более точной оценки их ресурса.

Актуальными являются также проблемы создания новых эффективных алгоритмов и разработки на их основе современного прикладного программного обеспечения для решения нелинейных задач вычислительной термомеханики, учитывающих контактное взаимодействие.

Целью работы является развитие перспективных численных методов решения нелинейных краевых задач вычислительной термомеханики, учитывающих особенности контактного взаимодействия ответственных элементов конструкции в условиях сложного термосилового нагружения.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач:

1. Разработка математических моделей и алгоритмов для решения физически нелинейных квазистатических краевых контактных задач МДТТ в двухмерных областях сложной геометрической формы.

2. Создание на основе разработанных математических моделей и алгоритмов комплекса прикладных программ (КПП) для решения физически нелинейных контактных задач МДТТ.

Методы исследования. При решении задач, возникших в ходе выполнения диссертационной работы, использовались различные классы математических методов: методы теории упругости, пластичности и вариационных принципов, метод конечных элементов.

Достоверность и обоснованность научных результатов и выводов гарантируется строгостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением результатов, полученных с использованием различных методов, а также с известными результатами вычислительных экспериментов и экспериментальными данными других авторов. Сформулированные в работе допущения обоснованы как путем их

и 1

V \

содержательного характера, так и методами математического моделирования.

Научная новизна диссертационной работы состоит в разработке алгоритмов для решения квазистатических краевых контактных задач МДТТ в двухмерных областях сложной геометрической формы, подверженных термосиловому нагружению, с учетом упругопластической деформации.

Практическая значимость диссертационной работы заключается в том, что содержащиеся в ней положения и выводы могут быть использованы при разработке эффективных методик, алгоритмов и комплексов прикладных программ, позволяющих со сравнительно малыми временными затратами проводить поисковые, оптимизационные и диагностические вычислительные эксперименты при решении контактных задач МДТТ в геометрически сложных двухмерных областях.

Разработан и зарегистрирован КПП «К2-2Б» - Решение контактной задачи МДТТ в двухмерной области, предназначенный для проведения численных исследований при решении физически нелинейных контактных задач МДТТ и графического представления полученных результатов.

Основные положения, выносимые на защиту:

- алгоритмы для решения физически нелинейных квазистатических краевых контактных задач МДТТ в двухмерных областях сложной геометрической формы в условиях термосилового нагружения;

- разработанный комплекс прикладных программ, позволяющий проводить вычисления полей перемещений, деформации и напряжений, возникающих в ответственных элементах конструкций, находящихся под действием термомеханической нагрузки.

Апробация результатов работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на XII международном симпозиуме «Уникальные феномены и универсальные ценности культуры» (Москва, 2010); научно - технической конференции «Научная весна - 2011», посвященной 50 — летию полета Ю. А. Гагарина в космос (Москва, 2011); научных семинарах кафедры прикладной математики МГТУ им. Н. Э. Баумана (Москва, 2010 - 2012).

Диссертация является составной частью фундаментальных исследований, проводимых в рамках научной программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект РНП - 2.1.2.884), грантов Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ (гранты НШ - 4140.2008.8; НШ-4146.2010.8).

Публикации. Основные научные результаты диссертации отражены в 6 научных работах, в том числе - в 3 научных статьях, опубликованных в журналах из Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий.

Личный вклад соискателя. Все исследования, результаты которых изложены в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю; заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы. Диссертационная работа изложена на 137 страницах, содержит 74 иллюстрации. Библиография включает 102 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, основные положения, выносимые на защиту, а также приведены данные о структуре и объеме диссертации.

В первой главе работы рассмотрены постановки краевых контактных задач МДТТ. Контактная задача теории упругости была сформулирована в следующем виде.

Рассмотрены два двухмерных однородных и изотропных линейно-упругих контактирующих тела А и В, занимающих на плоскости (в пространстве ЭД2) области Ол и Св и ограниченных кусочно-гладкими границами дСл и двв. Математическая формулировка контактной задачи теории упругости включает:

уравнения равновесия _

<г„ч{и,Т) + (2,(х)=0, 1еС„, 1,7=1,2; ае{А,В}; (1)

граничные условия (кинематические и силовые соответственно)

и (х)|51 =«"(*), *е5,асЭ Са;ас{А,В); (2)

о-Ди,Г)пу|5 =д(*), хе5г"сЭО„, /,7=Г2;оге{А,В); (3)

соотношения Коши

£ц{х) = ^(и„1{х) + и;„{х)), хеО„, ¡,7'=Г2;ае(А,В}; (4)

и определяющие уравнения - закон Гука в виде (начальные напряжения отсутствуют)

ст(л:) = н(е(дг)-£0(х)), хеС„,ае{А,В). (5)

Здесь X - вектор координат, Н - матрица Гука, а - вектор напряжений, е -вектор деформации, е0 - вектор начальной деформации, <2, - компоненты массовой (объемной) силы £>(х), иЧх) - вектор заданных перемещений точек поверхности 5,, р,{х) - компоненты заданной распределенной нагрузки р{х)

на поверхности Я2.

Кроме того, на поверхности контакта = = 5/ были заданы условия контактного взаимодействия, т. е. условия сопряжения по перемещениям (кинематическое условие)

М-и» (*) = <*»(*). (6)

и по напряжениям (силовое условие)

0*{х) = -сг*(х)< о, (7)

где и* ,и"й - проекции перемещений граничных точек на внешнюю нормаль к

3

границе тела А; 8п - начальное расстояние (зазор) по нормали между граничными точками тел А и В; а*, сг" - компоненты напряжений по внешней нормали к границе тела А.

Для решения задачи (1) - (7) в данной работе был использован алгоритм, основанный на альтернирующем методе Шварца и состоящий в реализации итерационного процесса поочередного задания на поверхностях контакта и векторов перемещений и*(х) и и"(х) и векторов поверхностных сил Р?(х) и р*{х), а также в соответствующей коррекции этих векторов для выполнения либо силовых контактных условий, если в зоне контакта заданы перемещения, либо кинематических, если заданы поверхностные силы. Коррекция компонент вектора и*(х) = {ик}^ выполнялась в соответствии с соотношением

(О

-1 2'

и

На)*

п = 0:

2л-1

(Л)л,

(В),,

1"

(8)

п = 1,2,...,

где - итерационный параметр; т (і<т<МА} - номер текущего узла, лежащего на контактной поверхности і\л тела А, где М А - число контактных

г -І 2л-1

узлов на поверхности ; \ I - вектор перемещений сходственной точки ,

лежащей на контактной поверхности Sf тела В.

Значения компонент и" и V0 (л = о) в узле т выбирались из ожидаемого диапазона значений на основании априорной информации о характере контактного взаимодействия.

Для коррекции компонент вектора контактных узловых сил =

использовалась формула

{12л+1 Г 12" ' "

'і =1

где - итерационный параметр; т (і<т<М^ - номер текущего узла,

IР

ы

2л+1

П + '

чіт, 1«

(л),™

л = 0,1,2,..„

(9)

лежащего на контактной поверхности тела А; -{' !• - вектор контактных

1<7-!(„),,

узловых сил сходственной точки 5, лежащей на контактной поверхности тела В.

В качестве сходственной точки рассматривалась точка пересечения отрезка т0т, соединяющего начальное т0 и конечное т положения узла, принадлежащего контактной поверхности тела А, с отрезком ¡7, лежащем на контактной поверхности 5° тела В (рис. 1; Б*0 определяет начальное положение контактной поверхности тела Л).

-ЛгКТу*

Рис. 1. Построение сходственной точки На четных итерациях, когда выполняется коррекция компонент вектора перемещения и(2;)т = |" [ , итерационный параметр определяется как

II"™""1 II

^=к"НК"1г (10)

где I«--1 - норма вектора перемещения и*"-1 узла т (1 < т < Мд), лежащего на контактной поверхности 5* тела А; - норма вектора перемещения н;"4

сходственной точки 5, лежащей на контактной поверхности тела В.

На нечетных итерациях, когда выполняется коррекция компонент вектора контактных узловых сил {яДЛ), итерационный параметр вычисляется по

формуле

1«Н

К1+К1Г

где - норма вектора контактных сил 1<1" в узле т (1 < т < Мд), лежащего на контактной поверхности тела А; |К;"|| - норма вектора контактных сил Я2" в сходственной точке 5, лежащей на контактной поверхности 5° тела В.

В работе было использовано предположение о том, что трение описывается законом Амонтона-Кулона. Отсюда учет трения между контактирующими поверхностями тел А и В (соответственно ^ и 5®) требовал в каждом контактном узле т проверки неравенства

а = А,В. (12)

Здесь ц - коэффициент трения; р„,„ и ц1т - компоненты вектора силы Д„, в направлении внешней нормали пр и вектора касательной г" в сходственной точке .V, лежащей на грани О', принадлежащей контактной поверхности 5/ тела Д, Р = А,В и ¡3 Фа (рис. 2).

Нарушение неравенства (12) вызывает взаимное проскальзывание контактирующих тел, что приводит к необходимости использования соотношения, накладывающего ограничения на касательную компоненту силы

5

в узле т, 1 <т<Ма, а-А,В, это позволяет записать

п^)- (13)

Рис. 2. К учету сил трения

При решении краевых контактных квазистатических нелинейных задач МДТТ с использованием теории малых упругопластических деформаций в работе использован метод переменных параметров упругости, что позволяет записать определяющие соотношения в виде

(14)

£п - 2С а'2'

Здесь - компоненты тензора температурной деформации; £", С и / -

переменные параметры упругости: Е'--

1-2у а„

1 +

1 1-2 усг„

2 3 Е &=ая_

(15)

ЪЕ ЪЕ ^

где <тя и еи — интенсивности напряжений и деформации.

Метод переменных параметров упругости был реализован в соответствии со следующим алгоритмом:

(1) Принимается: Е'=Е, у* = у и С = й.

(2) Решается упругая задача.

(3) По выбранному критерию проверяется сходимость решения; если требуемая точность достигнута, то решение завершается, в противном случае выполняется пункт (4).

(4) Вычисляются соответственно и е* и проверяется условие возникновения пластической деформации, например, ег* > аТ, где <гт - предел текучести при растяжении; если установлено возникновение пластической деформации, то выполняется пункт (5), если пластической деформации нет -

решение завершается.

(5) В точках тела, в которых установлено существование пластической деформации, по диаграмме деформирования <ти = /(£„) определяется «теоретическое» значение <ти, при этом принимается равенство еи = е'и.

(6) По формулам (15) вычисляются новые значения переменных параметров упругости Е', С и у' и выполняется переход к пункту (2).

При решении контактной задачи с учетом упругопластического деформирования коррекция переменных параметров упругости выполняется на всех контактных итерациях, т.е. как на «кинематических», так и на «силовых»

итерациях. ^

Во второй главе диссертации дано описание КПП для решения физически нелинейных контактных задач МДТТ в сложных двухмерных областях.

Структурно комплекс состоит из трех проблемно ориентированных программных блоков: препроцессора, процессора и постпроцессора. Программы внутри блоков программ и между блоками обмениваются информацией, записанной на винчестер в виде рабочих файлов, образующих базу данных. В зависимости от имеющихся в распоряжении вычислительных средств согласовываются требуемые объемы оперативной и внешней памяти. Работа блоков программ комплекса производится последовательно. Каждый блок с внешнего носителя вызывается в оперативную память процессора, после чего производится обработка данных, результаты которых заносятся в зону рабочих файлов в качестве исходной информации для следующих блоков, вызываемых в соответствии с общей логикой решения задачи. Такое построение вычислительного комплекса позволяет, в случае необходимости, производить коррекцию исходных данных для некоторого шага задания и его повторение. При этом полностью сохраняется вся информация, полученная в результате выполнения предыдущего блока программ. Необходимо отметить, что при разработке алгоритмов программ основное внимание было уделено максимальному сокращению объема исходных данных, что, как показывают результаты вычислительных экспериментов, является основным источником ошибок при подготовке расчетов, и гибкости алгоритмов сервисных программ в смысле более полного учета сложности и многообразия кинематических и силовых граничных условий.

Программы блока препроцессора предназначены для построения сетки конечно-элементной модели, формирования информации о физико-механических свойствах, кинематических граничных условиях, узловой и поверхностной механической нагрузке, массовых силах. При задании физико-механических свойств вводятся данные о модулях упругости, коэффициентах Пуассона, компонентах тензора линейного расширения, данные для аппроксимации диаграммы деформирования и т. п.

Узловая нагрузка формируется в виде дискретных сил, приложенных строго в узлах сетки конечно-элементной модели. Поверхностная нагрузка задается на внешних ребрах конечных элементов, причем допустима неравномерность нагрузки по длине ребра. В качестве массовых сил

рассматриваются силы тяжести, при этом возможным является и задание неравномерных температурных полей.

В зависимости от объема и характера вводимой информации данные аппроксимируются, группируются и записываются на внешний носитель в зону рабочих файлов. Также предусмотрен табличный вывод для контроля, а в отдельных случаях - их графическая визуализация.

При подготовке данных использована полиномиальная аппроксимация на базе метода наименьших квадратов. В отдельных случаях применяется сплайн-аппроксимация.

Программы центрального вычислительного блока составляют процессор и являются основными в структуре КПП. Они реализуют все методические подходы, изложенные выше в первой главе. Этот блок построен по модульному принципу.

Основная программа центрального вычислительного блока осуществляет ввод необходимых исходных данных и позволяет с помощью заданной системы управляющих меток устанавливать алгоритмический режим прохождения решения конкретной задачи. Подпрограммы, входящие в состав процессора, осуществляют формирование рабочих матриц самого метода конечных элементов, решение систем линейных уравнений, коррекцию параметров моделей в соответствии с найденными узловыми полями искомых функций, а также выполняют все необходимые промежуточные процедуры.

Программы постпроцессора используются каждый раз, когда возникает необходимость представления результатов обработки данных как на стадии подготовки, так и на этапах решения контактных задач. В результате применения для решения задач конечно-элементной технологии получается большой объём численных данных, подлежащих анализу. Для полноты и удобства анализа полученные данные визуализируют. В качестве визуализатора в постпроцессоре КПП используется CAD-система AutoCad 2010, обладающая хорошо разработанным и отлаженным интерфейсом с широким набором периферийных устройств и удобная для работы и с плоскими, и трехмерными изображениями. Это позволяет отобразить на экране монитора, работающего в графическом режиме, как поля компонент тензоров напряжений и деформации в виде изолиний, так и исходное и деформированное состояния конечно-элементных моделей и их фрагментов. Кроме того, средствами AutoCad 2010 можно раскрашивать конечные элементы цветовой гаммой, соответствующей уровню анализируемого напряжённо-деформированного состояния.

Одним из стандартов обмена графической информацией для AutoCAD 2010 является формат DXF. Поэтому перед непосредственным выполнением графических построений (визуализаций) в среде AutoCAD 2010 создаются файлы графических данных в стандарте DXF. В стандарте DXF эти файлы являются структурированными текстовыми файлами, содержащими всю необходимую информацию для построения изображений. В постпроцессоре КПП процедуры построения DXF-файлов осуществляются специально разработанными сервисными программами, которые по своей сути являются программами-интерфейсами. Исходными данными для постпроцессора в этом случае служат описание конечно-элементной модели и результаты 8

выполненных расчётов, отнесённые к узлам сетки, а определение компонент тензоров напряжений и деформации в узлах сетки проводится с использованием теории сопряженной аппроксимации. При этом построение DXF-файлов можно проводить как для всей конечно-элементной модели, так и для её выделенных фрагментов. Это позволяет провести детальный анализ локальных зон исследуемых элементов конструкций, что делает процесс численных исследований напряжённо-деформированного состояния геометрически сложных элементов конструкций, работающих в условиях разнообразного силового нагружения, достаточно эффективным.

Все программы комплекса написаны на алгоритмическом языке ФОРТРАН 90. Общий объём программного кода - около 15000 строк.

Несмотря на то, что разработанный КПП является исследовательским, по своим структурным и функциональным возможностям он может служить основой для создания «лёгкой» САЕ-системы, ориентированной на 2D-моделирование. Данный КПП имеет государственную регистрацию в Реестре программ для ЭВМ.

В третьей главе диссертации в качестве примеров реализации разработанных методов, алгоритмов и программ представлены результаты прикладных исследований напряженно-деформированного состояния тел различной формы, находящихся в условиях термомеханического нагружения и контактного взаимодействия. Рассмотрено контактное взаимодействие цилиндра и полуцилиндра с полупространством, пластин различной формы и размеров, а также замковые соединения компрессорных лопаток и дисков ГТД.

Исследовано контактное взаимодействие двух неравномерно нагретых прямоугольных пластин, представленных на рис. 3. Материал пластин - сталь 40Х. Размер верхней пластины вдоль оси абсцисс составляет 0.025 м, нижней -0.05 м. На верхнюю пластину действует распределенная вертикальная нагрузка Рг = -350 МПа. Обе пластины подвержены температурному воздействию. В пределах верхней пластины температура меняется от оси закрепления Ох2 вдоль оси Ох, до свободной поверхности справа по линейному закону. Максимальное значение температуры равно 880 К и относится к точкам тела, лежащим на оси Ох2, а точки, расположенные на свободной поверхности, имеют минимальное значение температуры - 480 К. У точек нижней пластины, для которых 0 < jc, < 0.025, аналогичное распределение температуры, а точки, у которых 0.025 < < 0.050, имеют постоянную температуру - 480 К. Обобщенный график распределения температуры по обеим пластинам показан на рис. 4; ромбами отмечены значения температуры верхней пластины, сплошная линия относится к нижней пластине.

о

Рис. 4. Распределение температур в контактирующих телах

На рис. 5 показана геометрия конечно-элементных моделей контактирующих тел после деформирования. Из характера деформирования видно, что температурное воздействие является определяющим. На рис. 6 приведено поле компоненты ст22 тензора напряжений. Данное поле характеризуется неоднородностью. Максимальные значения получены вблизи оси Ох2 и составляют величины порядка 950 - 1022 МПа (зона сжатия), а значения, соответствующие зоне растяжения (нижняя пластина), не превышают значений 130 МПа.

Рис. 6. Поле компоненты аг1 тензора напряжений, МПа

Было исследовано распределение напряжений в наиболее напряженной области замковых соединений типа «ласточкин хвост» лопаток и дисков компрессора ГТД - пазах дисков. Выбраны типичные значения углов раствора замков (а = 45°,60°,70°). В силу симметрии конструкции узла рассматривалась правая половина. Расчетная схема представлена на рис. 7. Предполагается, что нагрузка на лопатку моделируется приложением растягивающей распределенной нагрузки р2 =250МПа.

Рис. 7. Расчетная схема замкового соединения

Рис. 8. Геометрия замковых соединений после деформирования

Рис. 8. Распределение интенсивности напряжений ст., МПа

На рис. 8 представлены распределения интенсивности напряжений сти в замковых соединениях для различных углов раствора. Распределения имеют выраженный неоднородный характер. Результаты вычислительных экспериментов показывают, что для всех конструктивных вариантов наиболее напряженным местом является зона галтели паза диска. Наименее напряженной - зона контактного соединения, имеющая наибольший угол раствора - 70°, что согласуется с результатами численных и экспериментальных исследований других авторов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Разработаны математические модели и итерационные алгоритмы для решения квазистатических контактных краевых задач МДТТ в двухмерных областях сложной геометрической формы с учетом упругопластического деформирования в условиях термосилового нагружения.

2. На основе разработанных алгоритмов создан комплекс прикладных программ для решения двухмерных контактных задач МДТТ.

3. Решены двухмерные контактные задачи МДТТ, демонстрирующие возможности разработанных математических моделей, алгоритмов и программ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОТРАЖЕНЫ В НАУЧНЫХ РАБОТАХ

1. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011615170. Решение нелинейной контактной задачи МДТТ в двухмерной области / И.В. Станкевич, М.Е. Яковлев, Си Ту Хтет. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 01.06.2011.

2. Си Ту Хтет. Математическое моделирование контактного взаимодействия упругих сред при силовом нагружении // Уникальные феномены и универсальные ценности культуры: сб. науч. тр. XII международного симпозиума, М., 2010. С. 182-184.

3. Яковлев М.Е., Си Ту Хтет. Алгоритм численного решения контактной задачи механики деформируемого твердого тела // Научная весна - 2011: тез. докл. общеуниверситетской научно-технической конференции, посвященной 50-летию полета Ю.А. Гагарина в космос. М., 2011. С. 148-149.

4. Станкевич И.В., Яковлев М.Е., Си Ту Хтет. Разработка алгоритма контактного взаимодействия на основе альтернирующего метода Шварца // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. Спец.выпуск Прикладная математика. 2011. С. 134-141.

5. Станкевич И.В., Яковлев М.Е., Си Ту Хтет. Алгоритм автоматического построения сеток из четырёхузловых конечных элементов // Наука и образование [электронный ресурс]. 2012. № 2. URL: http://technomag.edu.ru/doc/332595.html (дата обращения: 04.04.2012).

6. Станкевич И.В., Яковлев М.Е., Си Ту Хтет. Математическое моделирование контактного взаимодействия упругопластических сред // Наука и образование [электронный ресурс]. 2012. № 4. URL: http://technomag.edu.ru/doc/353180.html (дата обращения: 04.04.2012).

Подписано к печати 22.03.13. Заказ №191 Объем 1,0 печ.л. Тираж 100 экз. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д.5 (499) 263-62-01

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана 04201356344

СИ ТУ ХТЕТ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата технических наук

Научный руководитель Станкевич Игорь Васильевич д.т.н., с.н.с

Москва 2013

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ..................................................................................4

ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

ДЕФОРМИРОВАННОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА.........................13

1.1. Математическая постановка контактной задачи теории упругости.......13

1.2. Основные процедуры альтернирующего метода Шварца....................15

1.3. Вариационная постановка линеаризованных задач теории упругости ... 18

1.4. Матричные соотношения метода конечных элементов....................... 19

1.5. Алгоритм численного решения контактной задачи теории упругости на основе альтернирующего метода Шварца......................................41

1.6. Вычисление итерационных параметров.........................................50

1.7. Учет трения при решении контактной задачи.................................56

1.8. Учет упругопластического деформирования при решении контактной задачи...................................................................................59

1.9. Решение системы линейных алгебраических уравнений....................64

1.10. Учет кинематических граничных условий...................................67

ГЛАВА 2. КОМПЛЕКС ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ...................................72

2.1. Общая функциональная структура комплекса прикладных программ ... 72

2.2. Программы подготовки данных..................................................74

2.2.1. Генерация сетки конечно-элементной модели.........................75

2.2.2. Задание физико-механических свойств материалов расчётной схемы...........................................................................80

2.2.3. Алгоритмы формирования Граниных условий.......................83

2.3. Программы центрального вычислительного блока..........................85

2.3.1. Основные процедуры при решении контактных задач теории

упругости......................................................................86

Стр.

2.3.2. Основные процедуры при решении упругопластических

контактных задач.............................................................91

2.4. Программы представления данных..............................................98

ГЛАВА 3. РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИКЛАДНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ......................................104

3.1. Контактное взаимодействие цилиндра и полупространства.............. 104

3.2. Контактное взаимодействие полуцилиндра и полупространства....... 107

3.3. Контактное взаимодействие двух пластин...................................112

3.4. Контактное взаимодействие с учетом температурного нагружения.....118

3.5. Расчет напряженно-деформированного состояния замковых соединений..........................................................................123

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ..............................................128

ЛИТЕРАТУРА...........................................................................129

ВВЕДЕНИЕ

Многие ответственные узлы и элементы конструкций объектов энергетического оборудования, авиационной, аэрокосмической, наземной и морской транспортной техники работают в условиях контактного взаимодействия. Для правильной оценки их ресурса и надежности необходимо знать напряженно-деформированное состояние, которое можно определить, решив соответствующую контактную задачу. Таким образом, контактные задачи являются одними из центральных в механике деформируемого твердого тела, так как контакт - это основной метод приложения нагрузок к деформируемому телу, кроме того, концентрация напряжений в зоне контакта часто инициирует разрушение материала.

Исторически первыми, основополагающими работами в теории контактных задач явились исследования Герца, где было получено распределение местных напряжений в районе контакта упругих тел. Основные результаты этих исследований до сих пор не потеряли своей теоретической и практической ценности. Значительный вклад в развитие методов решения контактных задач внесли фундаментальные труды советских ученых - Н. И. Мусхелишвили, И. Н. Векуа, Н. П. Векуа, С. Г. Михлина, JL А. Галина, И. Я. Штаермана, Д. И. Шермана, В. JI. Рвачева и многих других, а также работы зарубежных математиков и механиков К. Каттанео, Н. Губера, Р. Д. Миндлина, Д. Синьорини и других.

Ввиду своей важности и сложности контактные задачи и в настоящее время привлекают большое число исследователей как в нашей стране (И.И. Ворович, В.М. Александров, A.B. Манжиров, С.М. Айзикович, В.И. Моссаковский, A.C. Кравчук, B.C. Давыдов, М.И. Чебаков, И.И. Аргатов, H.H. Дмитриев, А.Г. Горшков, E.H. Чумаченко, Э.Р. Гольник, A.A. Успехов и др.), так и за рубежом (G. Pietrzak, A. Curnier, F. Armero, Е. Petoch, P. Alart, M. Barboteu, F. Lebon, D. Barlam, E. Zahavi и др.).

Аналитические решения контактных задач получены для весьма ограниченного числа видов контактного взаимодействия и форм контактирующих поверхностей, а в подавляющем большинстве практически важных ситуаций, связанных с принятием конструктивных решений, например, для контактирующих тел, имеющих сложную геометрическую форму, и при сравнительно невысоких требованиях к гладкости функций, входящих в формулировку краевых задач, наиболее перспективны численные методы, среди которых продолжительное время лидирующее положение занимает метод конечных элементов (МКЭ) [1-12].

Повсеместному и успешному применению МКЭ способствовали его основные конструктивные свойства, например, такие, как естественность, простота, доступность, универсальность и высокая технологичность. МКЭ позволяет проводить численный анализ в областях сложной геометрической формы, учитывать особенности граничных условий, физико-механических свойств материалов расчётных схем. Характерной особенностью МКЭ является прозрачность основных вычислительных процедур, что позволяет эффективно контролировать обработку данных. Кроме того, МКЭ алгоритмически и программно весьма удобен для объединения с современными методами и средствами компьютерной графики.

Широкое внедрение МКЭ-технологии как составной части комплексной автоматизации сквозного цикла: проектирование -конструирование - изготовление, определило появление большого количества комплексов и пакетов прикладных программ (КПП и ППП). Условно всё их многообразие можно разделить на две большие группы: исследовательские и профессиональные. Первые имеют весьма узкую специализированную ориентацию. Определяющим здесь является быстрота разработки, отладки и оперативное проведение численных исследований. Как правило, исследовательские КПП сопровождаются самим авторским коллективом. После доработки пользовательского интерфейса, а иногда, и

функционального ядра с учётом опыта эксплуатации, исследовательские комплексы программ могут быть доведены до уровня профессиональных ППП, имеющих высокий сервисно-диагностический уровень. Например, к известным профессиональным ППП можно отнести «средние» и «тяжёлые» CAD/CAE/CAM системы, созданные в нашей стране такие, как МАРС, ЛИРА, МЕГРЭ-ЗД, FEMHCA, МАК, АСТРА, КАСКАД-2, ASTA, АРМ WinMachine, и за рубежом - I-DEAS, CATIA, Pro/ENGINEER, MSC/NASTRAN, ANSYS, MARC+Mentat II, MATRA, Unigraphics, COSMOS/M, STAADIII, BEASY, CADdy и некоторые другие. Эти пакеты обладают очень высокой универсальностью и обеспечивают решение практически любой задачи, не содержащей особых сложностей. Для пользователей основная трудность состоит в овладении навыками сопровождения, причём процесс полного освоения такого пакета может оказаться достаточно длительным и трудоёмким. Сравнительный анализ современных CAD/CAE/CAM систем можно найти в работах [13 - 16].

Для численного решения контактных задач в современных САЕ-системах, например таких, как ANSYS, MSC/NASTRAN, LS-DYNA, COSMOS/M, применяется, как правило, конечно-элементная технология, в рамках которой реализуется следующие алгоритмы: метод штрафных функций (Penalty Method); расширенный метод Лагранжа (Augmented Lagrange Method); метод множителей Лагранжа (Pure Lagrange multiplier method); комбинированный метод штрафов и Лагранжа (Lagrange&Penalty Method); метод внутренних многоточечных связей (MPC Algorithm).

Основными алгоритмами решения контактных задач являются метод множителей Лагранжа, метод штрафов и их комбинации [87 - 102], а также релаксационные схемы [17 - 21]. При решении некоторых типов задач в рассмотрение вводят «псевдосреду» [22] и контактные конечные элементы [97].

Весьма перспективным для решения контактных задач является применение альтернирующего метода Шварца, основанном на принципе поочередности [23 - 34]. Преимущества этого метода состоят в том, что не требуется согласовывать построение узлов конечно-элементных моделей на поверхностях контакта и переформировывать матрицы систем линейных алгебраических уравнений в процессе итерационного уточнения границ зон контакта.

В настоящее время сохраняется необходимость в дальнейшем развитии существующих и создании новых прикладных методов решения контактных задач, реализующих их алгоритмов и исследовательских КПП, что вызвано, во-первых, ростом требований к уровню проводимых численных исследований и, во-вторых, динамически расширяющимися возможностями современных вычислительных средств. Практика численных исследований убедительно показывает, что наряду с созданием и развитием программных комплексов общего назначения необходимо вести разработку целевых программ для решения задач в рамках одной или нескольких идейно близких математических моделей, поскольку такие программы значительно повышают эффективность вычислительного эксперимента в соответствующей предметной области [35].

Адаптация МКЭ к новым задачам требует пересмотра концептуальных взглядов на отдельные этапы его реализации и, в частности, на подходы к построению самих математических моделей и численных алгоритмов, описывающих сложные физико-механические процессы, где и закладывается начальная посылка получения достоверных результатов. При этом остаётся актуальной проблема организации вычислительных процедур с максимальной степенью экономичности при соблюдении достаточно высокой точности.

Актуальность проблемы. Дальнейшее интенсивное развитие методов математического моделирования как эффективного средства исследования

сложных процессов деформирования с учетом контактного взаимодействия является одной из актуальных проблем прикладной математики, так как открывает новые возможности в развитии таких предметных областей как механика деформируемого твёрдого тела и прикладные методы численного анализа, значительно расширяет перспективы создания и практического использования систем автоматизированного проектирования.

Важнейшим с этой точки зрения является дальнейшее развитие перспективных прикладных методов математического моделирования применительно к решению новых классов задач вычислительной термомеханики, математические постановки которых в наиболее общем виде учитывают сложные физико-механические эффекты, возникающие при неизотермическом упругопластическом деформировании с учетом контактного взаимодействия. Это даёт возможность проведения более полного и тонкого анализа напряженно-деформированного состояний ответственных элементов конструкций, подверженных сложному термосиловому нагружению, и, таким образом, получения данных для более точной оценки их ресурса.

Актуальной является также проблема создания новых эффективных алгоритмов и на их основе современного прикладного программного обеспечения для решения нелинейных задач вычислительной термомеханики, учитывающих контактное взаимодействие.

Диссертация выполнена в МГТУ им. Н.Э. Баумана на кафедре «Прикладная математика» (ФН-2).

Цель работы. В соответствии с изложенным выше целью настоящей диссертационной работы является развитие перспективных численных методов решения нелинейных краевых задач вычислительной термомеханики, учитывающих особенности контактного взаимодействия ответственных элементов конструкции в условиях сложного термосилового нагружения.

В соответствии с целью работы были поставлены следующие основные задачи исследования:

- Разработка математических моделей и алгоритмов для решения физически нелинейных квазистатических краевых контактных задач МДТТ в двухмерных областях сложной геометрической формы.

- Создание на основе разработанных моделей и алгоритмов комплекса прикладных программ для решения физически нелинейных контактных задач МДТТ.

Содержание работы. В соответствии с поставленными задачами исследования в первом разделе работы рассмотрены формулировки краевых контактных задач МДТТ. Для их решения в рамках конечно-элементной технологии применен итерационный алгоритм, основанный на альтернирующем методе Шварца, особенностью которого является принцип поочередности задания кинематических и силовых граничных условий в зоне контактного взаимодействия. В этом же разделе приведены основные используемые соотношения МКЭ. Также рассмотрены шаговые итерационные методы решения физически нелинейных задач МДТТ с учетом упру го пластических деформаций.

Во втором разделе диссертации дано описание комплекса прикладных программ для решения физически нелинейных контактных задач МДТТ в сложных двухмерных областях. Структурно комплекс состоит из трех проблемно ориентированных программных блоков. Первый программный блок является препроцессором и предназначен для подготовки данных, второй программный блок выполняет функции процессора, то есть непосредственно реализует алгоритмы решения контактных задач в упругой или упругопластической постановках, третий программный блок -постпроцессор, позволяющий наглядно представлять результаты численных исследований. Блоки имеют общую базу данных. При решении задач

программы комплекса полностью размещаются в оперативной памяти, что позволяет существенно сократить общее время решения.

В третьем разделе диссертации в качестве примеров реализации разработанных методов, алгоритмов и программ представлены результаты прикладных исследований напряженно-деформированного состояния тел различной формы, находящихся в условиях термомеханического нагружения и контактного взаимодействия. Здесь рассмотрено контактное взаимодействие цилиндра и полуцилиндра с полупространством, пластин различной формы и размеров, а также замковые соединения компрессорных лопаток и дисков ГТД.

Научную новизну диссертационной работы составляют разработанные:

- алгоритмы для решения квазистатических краевых контактных задач МДТТ в двухмерных областях сложной геометрической формы в условиях термосилового нагружения с учетом упругопластической деформации.

На защиту вынесены следующие положения:

- алгоритмы для решения физически нелинейных квазистатических краевых контактных задач МДТТ в двухмерных областях сложной геометрической формы в условиях термосилового нагружения.

- разработанный комплекс прикладных программ, позволяющий проводить вычисления полей перемещений, деформации и напряжений, возникающих в ответственных элементах конструкций, находящихся под действием термомеханической нагрузки.

Практическая ценность. Разработанные методики, алгоритмы и комплекс прикладных программ позволяют эффективно, с малыми затратами времени проводить численные исследования контактных задач МДТТ в геометрически сложных двухмерных областях; решать широкий класс задач научного и прикладного характера; исследовать особенности влияния различных конструктивных, технологических и эксплуатационных факторов.

Комплекс прикладных программ может использоваться как эффективное инструментальное средство численного анализа процессов деформирования на этапах поисковых, оптимизационных и диагностических исследований при создании объектов новой техники.

Представленный в диссертации комплекс прикладных программ применялся при проведении численных исследований в НИИ Энергетического машиностроения МГТУ им. Н.Э. Баумана по заказам ряда предприятий энергомашиностроительного профиля.

Результаты работы использовались при выполнении исследование в рамках АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы»: проект № РНП 2.1.2.884 «Разработка неклассических математических моделей поведения перспективных конструкционных и функциональных материалов при высокоинтенсивных воздействиях физических полей различной природы», 2009 - 2011г.г., а также грантов Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ РФ, проекты - № НШ-4140.2008.8 «Термопрочность теплонапряженных элементов конструкций», 2008 - 2009 г.г., и № НШ-4146.2010.8 «Математическое моделирование термомеханических процессов в теплонапряженных конструкциях при высокоинтенсивных воздействиях физических полей различной природы», 2010-2011 г.г.

Обоснованность и достоверность результатов, представленных в диссертации, основана:

1) на строгости математиче