автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Асимптотический анализ в исследовании и разработке математических моделей и численных методов решения задач механики

РГ б од

о ь янв 1998

На правах рукописи

ИСПОЛОВ Юрий Григорьевич

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ИССЛЕДОВАНИИ И РАЗРАБОТКЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

Специальность 05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 1997

Работа выполнена на кафедре механики и процессов управления Саню Петербургского Государственного Технического Университета.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор П. А. ЖИЛИН, доктор физико-математических наук, профессор Р. Ф. НАГАЕВ, доктор технических наук, заслуженный деятель науки и техники России, профессор В. А. ПОСТНОВ

Ведущая организация: Институт проблем машиноведения РАН.

Защита состоится ^^ Л^Лл^о-Х. 1992>г. в /¿.¿О чаСов на заседании диссертационного совета Д. 063.38.18 в Санкт-Петербургском Государственном Техническом Университете по адресу: 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29, СПбГТУ, корп. X , ауд. У У .

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке СПбГТУ.

Автореферат разослан $ .ШСхХ^Л^— 1997 г. Ученый секретарь диссертационного совета

доктор биологических наук, профессор А. В. Зинковский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие науки п техники приводит к необходимости постановки и решения новых задач механики, что включает разработку и исследование новых математических моделей механических систем. К таким задачам относятся, например, задача исследования колебаний проводов воздушных линий электропередачи, которые необходимо рассматривать как гибкие нити с малой стрелой провисания, задачи динамики новых типов спортивных снарядов, представляющих собой механические системы с неголономными связями, и ряд других задач. Вместе с тем и традиционные задачи статики и динамики конструкций нельзя считать окончательно исследованными. Здесь, в первую очередь, необходимы совершенствование имеющихся и разработка новых численных методов решения задач.

Математические модели в задачах механики, отражающие всё многообразие свойств исследуемого объекта, являются весьма сложными. Даже в линейных задачах большое различие численных значений параметров системы, высокий порядок дифференциальных уравнений, переменные коэффициенты в этих уравнениях, большое число алгебраических уравнений — всё это затрудняет как аналитическое исследование, так и получение численного решения. С другой стороны, если отдельные элементы исследуемого объекта сильно различаются по своим характеристикам, можно ввести подходящие малые параметры и провести асимптотический анализ математической модели или численного метода решения задачи.

В результате асимптотического анализа сложных математических моделей механических систем удается получить упрощенные варианты этих моделей и в дальнейшем исследовании эффективно использовать численные методы. В некоторых случаях после применения асимптотического подхода решение построено в аналитической форме, и необходимость в численном исследовании отпадает.

В задачах изгиба тонких тел асимптотический метод применяется для сравнительного анализа поведения точной, бесконечномерной, и приближенных, конечномерных, моделей. В результате асимптотического анализа удается установить, что асимптотическое поведение одних конечномерных моделей соответствует асимптотическому поведению исходной точной модели, а асимптотическое поведение других — не соответствует. На основе асимптотического анализа сформулированы требования, которым должны удовлетворять конечномерные модели и построены новые модели, которые полностью удовлетворяют этим требованиям.

Наконец, асимптотический анализ применяется при исследовании и разработке численных методов решения нестационарных задач механики, в частности, методов решения задачи Коши для конечномерных моделей механических систем. При этом учитываются основные внутренние свойства механических систем я их конечномерных моделей.

Анализ показывает, что весьма существенным является асимптотическое поведение численного алгоритма при больших шагах интегрирования. На основе проведенного анализа можно предложить новые методы численного решения задачи Коши для различных классов задач механики.

Цель и задачи исследования. В диссертационной работе ставится задача разработки новых математических моделей некоторых механических систем, построения и исследования на основе асимптотических методов упрощенных моделей этих систем, а также исследования и разработки численных методов решения стационарных и нестационарных задач механики конструкций.

Методы исследования. Для решения поставленных задач используются методы механики, математики и численное моделирование на ЭВМ.

Научную новизну составляют следующие результаты работы, являющиеся предметом защиты

1. Постановка и решение задачи о свободных колебаниях растяжимой гибкой нити с малой стрелой провисания; получение зависимости решения от двух малых параметров, характеризующих величину стрелы провисания и степень растяжения нити. Асимптотический анализ колебаний балки Тимошенко.

2. Решение задачи о динамическом гашении колебаний вязко-упругого стержня, возбуждаемых узкополосной случайной нагрузкой. Получение асимптотических оценок характеристик переходного процесса в двухкас-кадной системе амортизации при ударном воздействии.

3. Постановка и решение задачи динамики управляемого движения скейтборда. Асимптотический анализ уравнений движения скейтборда.

4. Сравнительный асимптотический анализ точной и конечно-элементной моделей балки Тимошенко и пластины Рейсснера, в результате которого установлено, что причиной возникновения больших погрешностей в конечно-элементном решении является различное асимптотическое поведение точной и конечно-элементной моделей при уменьшении толщины тела.

5. Получение с помощью предложенных "волнового" и "моментного" локинг-тестов количественной оценки локинг-эффекта. Построение новых конечно-элементных моделей балки Тимошенко, в которых локинг-эффект полностью устранен.

6. Построение новых конечно-элементных моделей пластины Рейсснера, в которых локинг-эффект полностью устранен. Использование при аппроксимации поля поворотов экспоненциально убывающих при удалении от края пластины функций, которые адекватно описывают по-гранслойную часть решения.

7. Сравнительный анализ бесконечномерных и соответствующих конечномерных моделей механических систем а также численных методов решения задачи Коши для этих систем.

8. Формулировка и доказательство теоремы, устанавливающей необходимые и достаточные условия того, чтобы численный метод Рунге —

Кутты сохранял энергию конечномерной модели линейной консервативной системы.

9. Построение нового численного метода решения задач нестационарной теплопроводности, имеющего вторую степень точности, абсолютно устойчивого и Ъ-устойчивого. Построение алгоритма практической реализации метода.

10. Построение нового численного метода конечно-элементного анализа термо-упруго-пластичности и ползучести и численного алгоритма реализации метода.

Практическая ценность работы состоит в создании на основе асимптотических методов новых, более простых, математических моделей некоторых механических систем, позволяющих проводить аналитическое исследование динамики этих систем, а также в разработке новых методов численного решения стационарных и нестационарных задач механики конструкций. Разработанные численные методы и алгоритмы являются основой программной системы конечно-элементного анализа нестационарной теплопроводности, термо-упруго-пластичности и ползучести. Имеется положительных! опыт использования программной системы при проведении расчетов термонапряженного состояния элементов электромагнитных установок в научно-исследовательском институте электрофизической аппаратуры им. Д. Е. Ефремова, при исследовании теплового и напряженно-деформированного состояния элементов энергетического оборудования в АО Ленинградский Металлический Завод и в других организациях.

Достоверность результатов обеспечивается использованием в диссертационной работе строгих методов механики и математики, сравнением результатов, полученных асимптотическими методами, с точными решениями, сравнением решений, полученных предлагаемыми численными методами, с решениями, полученными другими численными методами.

Апробация работы. Научные результаты и основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзных, Всероссийских и Международных конференциях: 4 Научно-техническая конференция "Механические управляемые системы" (Иркутск, 1982), 12 Всесоюзное научное совещание по проблемам прочности двигателей (Москва, 1988), Всесоюзная конференция "Современные проблемы механики и технологии машиностроения" (Москва, 1989), 7 Всесоюзная конференция "Управление в механических системах" (Свердловск, 1990), 7 Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике (Москва, 1991), Всероссийский научный семинар "Проблемы динамики и прочности электро- и энергомашин" (Санкт-Петербург, 1993), Международная конференция "Асимптотические методы в механике" (Санкт-Петербург, 1994), Третий международный конгресс по промышленной и прикладной математике (Гамбург, 1995), Международная конференция "Оптимизация конечно-элементных аппроксимаций" (Санкт-Петербург, 1995), Российская научно-техническая конференция "Инновационные наукоемкие

технологии для России" (Санкт-Петербург, 1995), Первая международная научно-практическая конференция "Дифференциальные уравнения и применения" (Санкт-Петербург, 1996), Ежегодная научная конференция вАММ97 (Регенсбург, 1997); на семинарах кафедр: "Теоретическая механика" (Санкт-Петербург, Горный институт, 1988), "Теоретическая механика" (Москва, Московский Государственный Университет, 1988), "Теоретическая механика" (Санкт-Петербургский Государственный Технический Университет, 1993), "Механика и процессы управления" (Санкт-Петербургский Государственный Технический Университет, 1997).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 36 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения (глава 1), трех частей (часть I: главы 2 —6, часть II: главы 7 —11, часть III: главы 12 —15) и заключения (глава 16). Диссертационная работа изложена на 308 страницах текста в формате Т^Х и содержит 34 рисунка. Список литературы содержит 179 наименовании.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе 1 (введение) дана общая характеристика работы, приведен обзор литературы и изложено краткое содержание работы.

В диссертационной работе рассмотрены вопросы применения асимптотического анализа в исследовании и разработке математических моделей и численных методов решения задач механики.

Идеи асимптотического анализа появились очень давно, еще в работах Ньютона. В том случае, если нужно разделить решения с различной глобальной изменяемостью ("медленные" и "быстрые" движения) используется метод осреднения. Осреднение в задачах небесной механики встречалось уже у Лапласа и Лагранжа. Детальная разработка метода принадлежит Пуанкаре и Ляпунову.

Применение этого подхода к решению практических задач теории колебаний началось с работ Б. Ван-дер-Поля. Оценки точности метода Ван-дер-Поля были даны Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси. В тридцатых годах Н. К. Крылов и Н. Н. Боголюбов предложили некоторый общий подход для исследования класса уравнений, в которых часть переменных меняется медленно, а другая часть переменных — быстро. В последующие годы метод Крылова — Боголюбова получил дальнейшее развитие в работах Ю. А. Митропольского, В. М. Волосова, Б. Н. Моргунова и других исследователей.

Начиная с работ Ж. Лиувилля активно развивались асимптотические методы интегрирования линейных уравнений с переменными коэффициентами, содержащими большой параметр. Основные результаты этой теории были получены Дж. Д. Биркгофом и Я. Д. Тамаркиным. Одновременно с исследованиями чисто математического характера и независимо от них изучались различные способы приближенного интегрирования уравнения второго порядка. Разработанный приближенный способ

получил название метода WBKJ (Wentzel, Brillouin, Kramers, Jeffreys). Эта теория позволяет проводить эффективное изучение линейных систем с медленно изменяющимися коэффициентами.

Начало систематического исследования сингулярно возмущенных уравнений положено в работах А. Н. Тихонова Рассматривается невозмущенное уравнение Lau = /0(2:), которое можно трактовать как упрощенную модель некоторого процесса, и возмущенное уравнение Lqu + eL\U — fo(x) + efi (я), которое можно трактовать как расширенную модель того же процесса. Если рассматриваемые уравнения являются дифференциальными, то добавляются соответствующие начальные и/или граничные условия, которые также могут содержать малый параметр е. При наличии сингулярного возмущения могут возникать зоны, в которых решение и(х, е) возмущенного уравнения значительно отличается от решения й(х) невозмущенного уравнения при сколь угодно малых значениях е. Такие зоны называются пограничными слоями. Один из наиболее общих подходов к решению таких задач развит в работах А. Б. Васильевой и В. Ф. Бутузова. Решение сингулярно возмущенной задачи разыскивается в виде асимптотического разложения состоящего из регулярной и погранслойная частей. Для устранения невязки в граничных или начальных условиях вводятся пограничные функции быстро убывающие по удалении от границы. Построению решений линейных сингулярно возмущенных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, посвящена фундаментальная работа М. И. Вшпика и Л. А. Люстерника. В ней впервые был сформулирован общий подход к построению асимптотических разложений линейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными.

Систематическое изложение различных методов теории возмущений а также многочисленные примеры применения этих методов к решению практических задач механики имеются в книгах Н. Н. Моисеева, Дж. Коула, Дж. Кеворкяна и Дж. Коула, А. Найфэ и других работах.

В части I диссертационной работы асимптотические методы используются для анализа сложных моделей механических систем. В результате асимптотического анализа удается получить упрощенные модели, которые исследуют численными методами. Особое внимание уделено моделям содержащим несколько малых параметров. Обычно удается найти такое соотношение асимптотических порядков малых параметров, при котором можно построить наиболее представительную асимптотику. Подробно исследованы предельные переходы, соответствующие различным асимптотическим порядкам малых параметров. : -

В главе 2 рассматривается механика растяжимой гибкой нити с малой стрелой провисания.

Задачи механики гибких стержней и нитей были рассмотрены ранее в работах В. К. Качурина, Д. С. Саксона и А. С. Кана, В. А. Светлицкого, В. А. Ивовича и JI. Н. Покровского, Д. Р. Меркина и других авторов.

В проведенном в главе 2 исследовании рассмотрена статика и малые

колебания растяжимой гибкой нити с малой стрелой провисания. В качестве независимой переменной выбрана лагранжева координата, определяющая положение точки на нити. Получены дифференциальные уравнения движения нити. Получена новая форма точного решения уравнений равновесия для общего случая, когда стрела провисания не является малой. Выведены уравнения малых колебаний вблизи положения равновесия, представляющие собой систему линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Проведен асимптотический анализ колебаний с выходом из вертикальной плоскости. Установлено, что эти колебания близки к колебаниям струны с прямолинейной осью и постоянным натяжением.

Проведен асимптотический анализ низкочастотных и высокочастотных колебаний в вертикальной плоскости. Установлено, что собственные частоты и формы низкочастотных колебаний существенно зависят от двух малых параметров: параметра е, характеризующего величину стрелы провисания, и параметра 5, характеризующего степень растяжения нити. Асимптотический анализ проведен для наиболее представительного случая, когда величины е2 и 6 имеют одинаковый асимптотический порядок. Асимптотическое низкочастотное уравнение для симметричных колебаний имеет вид

Для нити с очень малой стрелой провисания (е2/5 -С 1) корни частотного уравнения (1) дают собственные частоты близкие к частотам струны с прямолинейной осью. Для слаборастянутой нити (е2/<5 1) собственные частоты близки к частотам нерастяжимой нити. Основное отличие частотных спектров для этих двух предельных случаев состоит в том, что для слаборастянутой нити отсутствует низшая частота из спектра частот для нити с очень малой стрелой провисания. Для нерастяжимой нити этот результат получен ранее Д. С. Саксоном и А. С. Каном. В общем случае при возрастании отношения е2 ¡8 частота с номером то постепенно изменяется и при больших значениях этого отношения имеет значение близкое к тому, которое имеет частота с номером га + 1 при малых значениях отношения. С ростом отношения е2/8 формы колебаний изменяются так, что низшая форма колебаний нити с очень малой стрелой провисания, с одной полуволной в пролете, постепенно переходит в форму с тремя полуволнами в пролете, которая и является низшей формой симметричных колебаний слаборастянутой нити; форма колебаний с тремя полуволнами переходит в форму колебаний с пятью полуволнами и т.д. Собственные частоты для антисимметричных форм колебаний близки к частотам струны с прямолинейной осью.

Рассмотрены высокочастотные колебания нити. Асимптотическое вы-

(1)

сокочастотное уравнение для симметричных колебаний имеет вид

sin шуД cos и + 0(e2Vó) = 0, ш — О (l/Vs) . (2)

В случае, когда малой величиной является сомножитель sin имеем длинноволновые высокочастотные продольные колебания. В случае, когда малой величиной является сомножитель cos и, получаем коротковолновые высокочастотные поперечные колебания. Анализ антисимметричных колебаний дает аналогичные результаты.

Получено равномерно пригодное во всем частотном диапазоне асимптотическое частотное уравнение для симметричных колебаний

е1 . /sin ш\Д е2 \ „ ..

= 0 (3)

и аналогичное уравнение для антисимметричных колебаний.

В главе 3 проведен асимптотический анализ свободных колебаний балки Тимошенко. Малым параметром является величина е пропорциональная квадрату отношения высоты поперечного сечения к длине балки.

Математическая модель балки, в которой учитываются деформации сдвига и инерция вращения, была предложена С. П. Тимошенко. Исследование колебаний балки Тимошенко проводилось в работах Р. В. Трейлл-Неша и А. Р. Коллара, В. JI. Бердичевского, С. С. Квашниной, В. В. Елисеева и других авторов.

В проведенном в главе 3 асимптотическом анализе выделены три характерных частотных диапазона: низкочастотный, высокочастотный и сверхвысокочастотный. В низкочастотном диапазоне возникают длинноволновые изгибные колебания. Главный член асимптотического разложения прогиба в модели балки Тимошенко удовлетворяет такому же дифференциальному уравнению и таким же граничным условиям, каким удовлетворяет прогиб в модели балки Бернулли — Эйлера. Для следующего члена асимптотического разложения прогиба получено неоднородное дифференциальное уравнение с неоднородными граничными условиями. Поправки к собственным частотам находятся из условия существования решения этого уравнения. Анализ высокочастотных колебаний имеет свою специфику, определяемую тем, что формы колебаний представляют собой суперпозицию медленно изменяющихся и быстро осциллирующих функций пространственной координаты. Главный член асимптотического разложения для всех частот высокочастотного спектра одинаков и пропорционален 1/е. В высокочастотном диапазоне выделены длинноволновые сдвиговые колебания и коротковолновые изгибные колебания, причем плотность частот сдвиговых колебаний значительно выше, чем плотность частот изгибных колебаний. В сверхвысокочастотном диапазоне возникают коротковолновые изгибные и коротковолновые сдвиговые колебания, причем плотности частот изгибных и сдвиговых колебаний имеют одинаковый порядок.

В главе 4 рассмотрено динамическое гашение колебаний вязко-упругого стержня, возбуждаемых узкополосной случайной нагрузкой.

Вопросы теории и практического использования динамических гасителей колебаний (ДГК) подробно обсуждались в научной литературе. Отметим соответствующие разделы в известных курсах по теории колебаний Дж. П. Ден-Гартога и С. П. Тимошенко. Различные аспекты задачи рассматривались в работах Л. М. Резникова и Г. М. Фишмана, В. А. Пальмова, Р. Ф. Нагаева и А. В. Степанова, В. X. Нойберта и других авторов. Результаты многолетних исследований в этой области отражены в монографии В. Г. Коренева и Л. М. Резникова.

В проведенном в главе 4 исследовании рассмотрены стационарные продольные колебания в бесконечном стержне из вязко-упругого материала. Стержень нагружен сосредоточенной силой , являющейся стационарной случайной функцией времени с узкополосным спектром. В одном из сечений к стержню присоединен ДГК. Проводится анализ влияния ДГК на вероятностные характеристики колебательного процесса. Для системы с малым демпфированием, как в стержне, так и в упругом элементе ДГК, получены асимптотические оценки эффективности ДГК для случая настройки на среднюю частоту спектра нагрузки. Дисперсия перемещения х) в точке с координатой х при наличии ДГК связана с дисперсией при отсутствии ДГК соотношением В+{х) = К{х)В^ (х), где коэффициент передачи вибраций К(х), характеризующий эффективность ДГК, зависит от расположения сечения стержня. Наибольший интерес представляет анализ эффективности работы ДГК в сечениях стержня, расположенных за точкой крепления ДГК. В этом случае коэффициент передачи вибраций определяется двумя безразмерными параметрами /2 и хр\. Параметр /1 определяется отношением некоторого инерционного параметра к относительной ширине полосы узкополосного спектра нагрузки, параметр г[>1 — отношением коэффициента поглощения энергии к относительной ширине полосы спектра. Проведен подробный анализ предельных случаев, когда параметры Д и фх малы или велики. Построены кривые постоянного уровня коэффициента передачи вибраций на плоскости параметров Д, ф\. Анализ кривых показывает, в частности, что при фиксированном /1 имеется оптимальное значение коэффициента поглощения энергии, минимизирующее величину К.

В главе 5 рассматривается динамика двухкаскадной системы амортизации при ударном воздействии.

Система амортизации, состоит из виброизолируемого объекта, связанного с движущимся основанием через два каскада упругих элементов, между которыми имеется промежуточная масса. Виброизолируемый объект и промежуточная масса могут двигаться поступательно в направлении оси г. Первоначально покоящаяся система подвергается мгновенному кинематическому ударному воздействию, в результате чего основание приобретает скорость Ц) и в дальнейшем движется равномерно. Пе-

реходный процесс в системе без учета демпфирования представляет собой наложение двух гармонических колебаний с различными частотами. Сумма амплитуд гармоник дает оценку сверху для максимальных значений перемещений. Аналогичным способом находятся оценки максимальных значений ускорений. Полученные оценки, в частности, показывают, что максимумы относительного перемещения и абсолютного ускорения виброизолируемого объекта велики, если масса объекта мала по сравнению с промежуточной массой и парциальные частоты колебаний объекта и промежуточной массы близки. Как показывает асимптотическое исследование, в этом случае в системе с малым демпфированием закон движения представляет собой произведение медленно изменяющейся функции времени на быстро изменяющуюся периодическую функцию; произведение максимальных значений медленно изменяющейся функции и быстро изменяющейся периодической функции дает оценку сверху для максимальных значений перемещений. Оценки для максимальных значений ускорений получаются аналогичным образом. Из проведенного исследования следует, что если масса виброизолируемого объекта мала по сравнению с промежуточной массой, то даже малое демпфирование может существенно уменьшить максимальные значения перемещения и ускорения виброизолируемого объекта.

На физическом уровне можно дать следующую интерпретацию полученного результата. В рассматриваемом случае максимальные значения перемещения и ускорения виброизолируемого объекта достигаются не сразу после приложения ударного воздействия, а через некоторый, довольно длительный, промежуток времени. За это время происходит "перекачка" энергии от промежуточной массы к виброизолируемому объекту. В то же время происходит рассеяние энергии за счет демпфирования колебаний. В конечном итоге, оказывается, что максимальные значения перемещения и ускорения виброизолируемого объекта существенно зависят даже от малого демпфирования.

В главе 6 исследована динамика управляемого движения скейтборда, представляющего собой механическую систему с неголономными связями.

Задачи механики неголономных систем рассматривались в известных руководствах по механике П. Аппеля, А. И. Лурье, В. В. Добронравова, в монографии Ю. И. Неймарка и Н. А. Фуфаева и в других работах. Задача описания динамики скейтборда с позиций теоретической механики, насколько нам известно, в научно-технической литературе не отражена.

В исследовании, проведенном в главе б, рассматривается одна из простейших моделей движения скейтборда. Скейтборд представляет собой небольшую платформу с двумя поворотными колесными парами. Положение платформы на плоскости определяется тремя независимыми обобщенными координатами: двумя декартовыми координатами центра платформы г] и углом поворота платформы относительно вертикальной оси (р. Спортсмен стоит на платформе, причем корпус спортсмена

рассматривается как твердое тело. Управление скейтбордом осуществляется с помощью поворота осей колесных пар 7, поперечного перемещения центра масс корпуса спортсмена у, и поворота корпуса по отношению к платформе вокруг вертикальной оси 5. Переменные 7(t),y(t), 5(t) рассматриваются как управляющие движения. Условия отсутствия проскальзывания колес дают два уравнения неголономных связей. В силу уравнений неголономных связей обобщенные скорости могут быть выражены через скорость центра платформы V. В предлагаемой модели скейтборд представляет собой систему с одной степенью свободы.

Дифференциальное уравнение, определяющее скорость V, составлено в форме Аппеля и является линейным неоднородным уравнением первого порядка с переменными коэффициентами, зависящими от управляющих движений. В уравнении учтена сила сопротивления. Показано, что задача динамики скейтборда при произвольных управляющих движениях l(t),y{t),S(t) полностью решается в квадратурах. Для получения более выразительных результатов рассмотрен случай малых управляющих движений. Сила сопротивления (~bV) также считается малой величиной. Приближенное решение строится асимптотическим методом Крылова — Боголюбова. При рассмотрении движения вдоль волнообразной кривой простейшими управляющими движениями являются гармонические функции времени. Анализ уравнений первого приближения позволяет выбрать фазы управляющих движений из условия получения максимальной силы тяги при разгоне скейтборда. Уравнение, определяющее основной, медленно изменяющийся, член решения V, является линейным уравнением с постоянными коэффициентами

Правая часть уравнения представляет собой не зависящую от скорости среднюю тягу отнесенную к единице массы. Тяга создается за счет целенаправленного изменения углов 7(£) и ¿(£). Именно эти два управляющие движения (без боковой раскачки корпуса у(£)) используют начинающие спортсмены. Скорость установившегося движения в этом случае невелика. Для поддержания движения спортсмену приходится совершать повороты корпуса с большой амплитудой и высокой частотой. Спортсмены высокого класса используют все три управляющие движения 7(£),?/(£), Боковая раскачка корпуса у(<) вносит в систему "отрицательное сопротивление" (последнее слагаемое в левой части (4)). В этом случае удается достичь более высокой скорости. Частота управляющих движений обычно ниже, а длина волны синусоиды обычно больше чем в предыдущем случае.

Отметим, что имеется довольно много других подвижных объектов, представляющих собой системы с неголономными связями, в которых используются те же принципы разгона и поддержания движения. Назовем такие спортивные снаряды как сноуборд, буер, коньки для фигурного

V

— -т I

JSQ7qcu2 ml

(4)

катания. Аналогичные механизмы используются и о живой природе, например, ползущая змея и плывущая рыба во многих случаях могут быть моделированы как системы с неголономными связями. Отметим также, что отличительной особенностью неголономных устройств является возможность получения высокой скорости продольного движения объекта в целом при сравнительно медленных поперечных управляющих движениях.

В части II асимптотический метод используется для сравнительного анализа поведения точных, бесконечномерных, и приближенных, конечномерных, моделей тонких тел (стержней и пластин). Рассматриваются получившие широкое распространение модели, учитывающие деформацию сдвига. При численном решении таких задач обычно применяется метод конечных элементов. Вычислительная практика показывает, что с уменьшением толщины тела точность конечно-элементного решения во многих случаях резко уменьшается. При численном решении задач изгиба балки Тимошенко и пластины Рейсснера в случае малых толщин часто получаются величины прогибов существенно меньшие, чем точные значения. Это явление получило название сверхжесткого поведения конечно-элементной модели, или локинг-эффекта. При решении задач изгиба пластины Рейсснера возникают также погрешности другого типа: при малых толщинах получаются неверные значения перерезывающих сил и крутящих моментов вблизи края пластины.

Причины резкого уменьшения точности конечно-элементного решения при уменьшении толщины тела выявлены с помощью сравнительного асимптотического анализа точных дифференциальных уравнений и граничных условий задачи, с одной стороны, и алгебраической системы конечно-элементных уравнении, с другой. На! основе асимптотического анализа сформулированы требования, которым должны удовлетворять конечно-элементные модели и построены новые модели, которые полностью удовлетворяют этим требованиям. Дальнейший численный анализ этих моделей также проводится асимптотическими методами, что позволяет получить численное решение с существенно меньшими затратами.

В главе 7 проведено исследование причин возникновения локинг-эффекта в конечно-элементных моделях балки Тимошенко. Проблеме. локинг-эффекта посвящено большое количество публикаций. В большинстве работ основное внимание уделялось проблеме локинг-эффекта в. конечно-элементных моделях пластины Рейсснера; в некоторых работах рассматривались и более простая для анализа модель балки Тимошенко.

В проведенном в главе 7 сравнительном асимптотическом анализе точных дифференциальных уравнений и граничных условий задачи изгиба балки Тимошенко и алгебраической системы конечно-элементных уравнений установлено, что причиной возникновения локинг-эффекта является различное асимптотическое поведение конечно-элементной и точной моделей при малых значениях высоты поперечного сечения балки. Результаты асимптотического анализа согласуются с имеющимися в литера-

туре обоснованиями причин возникновения докинг-эффекта. Кроме того они дают более глубокое понимание природы локинг-эффекта. На основе проведенного анализа можно предложить новые конечно-элементные модели, в которых локинг-эффект полностью устранен.

Выражение потенциальной энергии балки Тимошенко имеет вид

где х — координата, отсчитываемая вдоль балки, Ь — длина балки, ги — прогиб балки, д — угол поворота плоскости поперечного сечения балки, а — жесткость изгиба, Ъ — жесткость сдвига, е — символический указатель малости, который рассматривается как малый параметр порядка 0(И/Ь), к — высота поперечного сечения балки, q — поперечная нагрузка, распределенная по длине балки. Штрихом обозначена производная по х. Первое слагаемое в подынтегральном выражении (5) представляет энергию изгиба, второе — энергию сдвига. Характерной особенностью является то, что основной вклад в энергию вносит первое слагаемое, а второе слагаемое, перед которым стоит большой коэффициент порядка О (е-2), по сравнению с коэффициентом при первом слагаемом, вносит малую поправку.

Асимптотические разложения прогиба и угла поворота имеют вид

ю = е~3ш_з е-1«?-! +-•••, в = £"3г?_3 + гГ1^-! 4- • ■ •. (6)

Асимптотический анализ показывает, что главный член асимптотического разложения угла сдвига 7 = м/ ~ г) тождественно равен нулю

так что главный член в выражении энергии сдвига, определяемой вторым слагаемым в подынтегральном выражении (5), оказывается равным нулю. Однородное дифференциальное уравнение (7), очевидно, имеет нетривиальное решение, причем главный член асимптотического разложения прогиба может быть задан произвольно (но, конечно, так, чтобы производная и/_3 была непрерывной), а главный член асимптотического разложения угла поворота 1?_з равен производной от прогиба, как в классической модели балки Бернулли — Эйлера. Отметим также, что главный член асимптотического разложения прогиба и>_з удовлетворяет уравнению теории изгиба балки Бернулли — Эйлера и соответствующим граничным условиям

Рассмотрим обычно используемые конечно-элементные модели балки Тимошенко с независимой аппроксимацией полей прогибов и углов поворота поперечных сечений балки. Выражение потенциальной энергии балки в таких моделях имеет вид

£

- 1?_з = О,

(7)

п = | (е3итКьи + еитК'и) - 11ТГ, (8)

где 17т — [\УТ 0Т] — вектор обобщенных координат, включающий в себя вектор прогибов IV и вектор поворотов ©; Кь, К8 — матрицы жесткости изгиба и сдвига; Г7' — ^д] — вектор обобщенных сил. Первое слагаемое в (8) представляет собой энергию деформации изгиба и является дискретным аналогом первого слагаемого в подынтегральном выражении (5) ; второе слагаемое в (8) — энергия деформации сдвига, оно соответствует второму слагаемому в подынтегральном выражении (5). Разрешающая алгебраическая система конечно-элементных уравнений имеет вид

(е*К1 + еК')и = Р. (9)

Для главного члена асимптотического разложения решения получаем однородную систему уравнений

к*и.ъ = 0, (10)

которая является дискретным аналогом однородного дифференциального уравнения (7) п дает соотношения, связывающие главные члены асимптотических разложений прогибов и поворотов. Характер этой связи определяется структурой конечно-элементной модели.

Для того, чтобы асимптотическое поведение конечно-элементного решения при малых значениях высоты поперечного сечения балки соответствовало асимптотическому поведению точного решения необходимо, чтобы уравнения (10), как и точные уравнения (7), имели нетривиальное решение, т.е. чтобы матрица жесткости сдвига К5 была вырождена.

В случае, когда матрица жесткости сдвига К3 не вырождена, из уравнений (10) находим, что главный член асимптотического разложения конечно-элементного решения С/_з равен нулю, и асимптотическое разложение фактически начинается с членов порядка 0(е-1). В то же время, точное решение дифференциальных уравнений изгиба балки Тимошенко имеет главный член асимптотического разложения порядка О (е~3). Таким образом, отношение прогиба, полученного в конечно-элементном решении, к точному значению имеет порядок малости 0(е1) и при уменьшении высоты поперечного сечения балки стремится к нулю, что и означает наличие локинг-эффекта.

Более подробный анализ показывает, что если уравнения К8С/_з = 0 имеют нетривиальное решение, то в конечно-элементной модели существуют такие нетривиальные поля прогибов и углов поворота, при которых главный член асимптотического разложения угла сдвига тождественно равен нулю, 7_з = — г?_3 = 0. Более того, в конечно-элементных моделях, в которых локинг-эффект не возникает, такие поля должны определяться с достаточным произволом. Таким образом, можно

прийти к заключению, что для наилучшего соответствия непрерывной и дискретной моделей желательно, чтобы матрица К3 была не просто вырожденной, но чтобы дефект матрицы К5 был величиной сопоставимой с числом элементов вектора узловых значений поворотов 6 или с числом элементов вектора узловых значений прогибов IV. Отметим также, что для того чтобы условие 7_з = к/_з — = 0 могло быть выполнено, необходимо чтобы главный член асимптотического разложения прогиба имел гладкость класса С1.

В главе 8 проведено исследование традиционных конечно-элементных моделей стержней, с независимой аппроксимацией полей прогибов и углов поворота поперечного сечения, на предмет наличия или отсутствия локинг-эффекта. Матрицы жесткости балочного элемента с учетом как изгиб-ных деформаций, так и деформаций сдвига, а также влияния осевых усилий и крутящих моментов, приведены в монографии В. А. Постнова и И. Я. Хархурима. В работе Ж. Пратхапа и Ж. М. Брашема подробно исследована конечно-элементная модель балки Тимошенко с линейной аппроксимацией прогиба и угла поворота в пределах конечного элемента. Обзор конечно-элементных моделей балки Тимошенко имеется в монографии Р. В. Рикардса.

В главе 8 исследование проводится по двум направлениям. Первое связано с определением ранга матрицы жесткости сдвига. Непосредственное определение ранга матрицы К* с помощью спектрального анализа является очень громоздкой процедурой, так как реальные конечно-элементные матрицы обычно имеют большие размеры. Однако, в некоторых случаях можно построить решение однородной системы уравнений з = 0, по структуре решения найти ранг матрицы К* и сделать заключение о наличии или отсутствии локинг-эффекта. Второе направление исследования связано с использованием предлагаемых в данной работе "волнового", а также "моментного", локинг-тестов. В "волновом" локинг-тесте рассматривается процесс распространения гармонической бегущей волны по балке Тимошенко и по ее конечно-элементной модели. Количественная оценка локинг-эффекта получается в результате сравнения точного значения фазовой скорости в низкочастотном длинноволновом диапазоне и значения фазовой скорости в конечно-элементной модели. В "моментном" тесте рассматривается задача о статическом нагружении конечного элемента балки моментами, приложенными на краях. Количественная оценка локинг-эффекта получается в результате сравнения точного и конечно-элементного решения задачи для одного элемента. При рассмотрении конечно-элементной модели с линейной аппроксимацией полей прогибов и поворотов установлено, что эффективная изгибная жесткость в конечно-элементной модели а^ отличается от истинной изгибной жесткости а множителем

= 1 + 1/(12/*), (И)

который можно назвать локинг-фактором. Локинг-фактор определяется

единственным параметром ^ = а/(Ы2) = 0(Н2/12) , где Ъ — жесткость сдвига, /г — высота поперечного сечения балки, I — длина конечного элемента. При фиксированной высоте поперечного сечения с уменьшением длины конечного элемента имеем оо и Ь; —» 1, что свидетельствует о сходимости конечно-элементного решения к точному при дроблении сетки. При фиксированной длине конечного элемента с уменьшением высоты поперечного сечения балки имеем ц 0 и Ь/ оо, что свидетельствует о сверхжестком поведении конечно-элементной модели, которое и проявляется в локинг-эффекте. Полученные результаты полностью подтверждаются численными экспериментами по статическому расчету балок при различных условиях опирания п нагружения. Применение локинг-тестов к конечно-элементным моделям с "квадратично-линейной" и "кубически-квадратичной" аппроксимациями полей прогибов и поворотов показывает, что эффективная изгибная жесткость в этих моделях совпадает с истинной, так что локинг-эффект полностью исключен.

В главе 9 на основе проведенного ранее асимптотического анализа предложено несколько новых конечно-элементных моделей балки Тимошенко, в которых локинг-эффект полностью исключен. Отметим, что построение конечно-элементных моделей балки Тимошенко здесь не является самоцелью, а служит для отработки подходов к построению в дальнейшем конечно-элементных моделей пластины Рейсснера.

В первой из предлагаемых конечно-элементных моделей используется модифицированный стандартный конечный элемент с кубической аппроксимацией поля прогибов и квадратичной аппроксимацией поля поворотов. Ансамблирование конечных элементов производится нестандартным путем; в каждом узле i вводятся две производные от прогпба:

~ (слева от узла) и п>\+ (справа от узла). Таким образом, производная от прогиба может иметь разрывы, но сохраняется и возможность существования непрерывной производной в главном члене асимптотического разложения прогиба (при ги\ 13 — ш- Численное решение строится в виде асимптотического разложения по степеням малого параметра, причем необходимый для этого базис в Дп, состоящий из базисных векторов корневого подпространства нулевого собственного числа матрицы К3 и базисных векторов ортогонального подпространства, удается построить без трудоемкого спектрального анализа матрицы К".

Более радикальным средством является отказ от независимой аппроксимации прогибов и углов поворота. Предложены две новые конечно-элементные модели, в которых главные члены асимптотических разложений прогибов и поворотов выражаются через одни и те же обобщенные координаты д и, кроме того, введены добавочные обобщенные координаты че- При этом обеспечивается автоматическое выполнение требования равенства нулю главного члена асимптотического разложения угла сдвига. В одной из моделей в качестве добавочных координат (/£ используются углы сдвига, определяющие поправки в углах поворота. В другой модели добавочные обобщенные координаты введены как в выражение

для угла поворота, так и в выражение для прогиба. Разрешающая алгебраическая система конечно-элементных уравнений для новых моделей принимает вид

е^д + (1<1и + д£ = е^Чс.

Разрешающая система имеет структуру, принципиально отличающуюся от той, которая получается при независимой аппроксимации полей прогибов и углов поворота (см. (9)). Теперь члены, учитывающие деформацию сдвига, входят в матрицу жесткости как малые добавки. Построение решения такой системы уравнений в виде асимптотического разложения по степеням е не вызывает затруднений.

Отметим, что все три предлагаемые конечно-элементные модели допускают естественное обобщение на задачи изгиба пластины Рейсснера. Отметим также, что наилучшей конечно-элементной моделью балки Тимошенко представляется модель, предложенная в монографии В. А. Постнова и И. Я, Хархурима, К сожалению, эта модель, по-видимому, не допускает обобщения на задачи изгиба пластины Рейсснера.

В главе 10 проведено исследование точной и конечно-элементной моделей пластины Рейсснера. Теория пластин, учитывающая деформации поперечного сдвига и инерцию вращения, была предложена Рейсснером. Эта теория стала альтернативой классической теории Кирхгофа, появившейся еще в середине прошлого века.

Отметим, что вопросам построения теории пластин и оболочек посвящены работы Э. Рейсснера, Р. Д. Миндлина, В. Н. Москаленко, В. Л. Гольденвейзера, Н. М. Маслова, П. А. Жилина и других ученых.

Вопросы построения конечно-элементных моделей тонких тел рассматриваются в работах Ф. К. Богнера, Р. В. Клафа и Дж. Л. Точера, О. С. Зенкевича, Р. Л. Тейлора и Дж. М. Ту, И. Фрида, О. С. Зенкевича и Е. Хинтона, Л. А. Розина, В. А. Постнова и Н. Г. Слезинои, М. А. Крисфельда, Р. Б. Рикардса, Р. С. Аверилла и Дж. Н. Редди и других авторов.

В главе 10 проведен сравнительный асимптотический анализ точной и конечно-элементной моделей пластины Рейсснера. Асимптотическое разложение решения системы уравнении точной модели разыскивается в виде

ш = ф — ф + ф, (13)

где

й) = Л Згу_а 4- /г~"2и;_2 + Н----,

(14)

Ф = Ыгф_3 4- Ь~Ч-2 + + " •'

— регулярные части асимптотических разложений нормального прогиба

и> и вектора поворота ф,

г} - ф(э, п) = фт{в, тг)т + ф„(з, п)п,

п) = ЪгЦт_2 + + фг,0 + - • •, (15)

п) = + ЬРфп,о + Л^пД Н----

— погранслойная, экспоненциально убывающая по удалении от края, часть асимптотического разложения вектора поворота; в —координата, отсчитываемая вдоль контура, п — п/1г, п — координата, отсчитываемая по нормали к контуру.

Анализ показал, что существенные погрешности в конечно-элементном решении при малой толщине пластины Л (локинг-эффект и большие ошибке при вычислении силовых характеристик у края пластины) вызваны различиями в асимптотическом поведении конечно-элементного и точного решений при малых значениях /г.

Локинг-эффект объясняется недостаточно точным описанием энергии сдвига; для того, чтобы локинг-эффект не возникал, необходимо чтобы матрица жесткости сдвига конечно-элементной модели пластины Рей-сснера (как и матрица жесткости сдвига конечно-элементной модели балки Тимошенко), была вырожденной, а для этого, в свою очередь, нужна соответствующая аппроксимация полей прогибов и поворотов. Причиной возникновения больших погрешностей в значениях перерезывающих сил и крутящих моментов у края пластины является наличие в точном решении пограничного слоя, характеризуемого очень быстро изменяющимися у края пластины экспоненциальными функциями; адекватное описание таких функций в конечно-элементной модели с помощью обычно используемых полиномиальных аппроксимаций полей прогибов и поворотов чрезвычайно затруднено. На основе результатов сравнительного асимптотического анализа можно предложить новые конечно-элементные модели пластины Рейсснера, асимптотика которых полностью соответствует асимптотике точной модели, а отмеченные выше погрешности в конечно-элементном решении полностью устранены.

В главе И на основе проведенного ранее асимптотического анализа построена конечно-элементная модель пластины Рейсснера с пограничным слоем в переменных прогиб — сдвиг. Асимптотическое поведение новой модели при малой толщине пластины полностью соответствует асимптотическому поведению точной модели. При построении модели пластины Рейсснера используются подходы, проверенные ранее на новых конечно-элементных моделях балки Тимошенко и гарантирующие полное устранение локинг-эффекта. Кроме того, для устранения больших погрешностей в значениях перерезывающих сил и крутящих моментов у края пластины при аппроксимации поля сдвигов используются экспоненциально убывающие при удалении от края пластины функции, которые адекватно описывают погранслойную часть решения.

Модель ориентирована на расчет пластин, составленных из прямоугольных подобластей. В предлагаемой модели используются два типа прямоугольных конечных элементов с четырьмя узловыми точками.

Элементы, не примыкающие к границе области, имеют двадцать четыре степени свободы. В каждом ¿-ом узле вводится шесть обобщенных координат: прогиб его первые производные W^ и вторая

смешанная производная W'^j и две проекции регулярной части асимптотического разложения вектора сдвига fjfj и Для аппроксимации прогиба используется полное Эрмитово полиномиальное разложение, что обеспечивает непрерывность прогиба и его первых производных на границах конечных элементов. Для аппроксимации проекций регулярной части асимптотического разложения вектора сдвига используется линейная интерполяция.

Элементы, примыкающие к границе области, являются нестандартными. В узлах, лежащих на границе области, для описания проекций

вектора сдвига вводятся дополнительные обобщенные координаты

и tyj. Эти 'члены описывают погранслойную часть асимптотического разложения вектора сдвига. На основе предшествующего асимптотического анализа построены нестандартные функции формы, отражающие специфику пограничного слоя и представляющие собой произведения экспоненциально убывающих по направлению нормали к границе функций е-%/12Гn/h л линейно изменяющихся вдоль границы функций координаты s. Таким образом, число степеней свободы конечных элементов, примыкающих к границе области увеличивается на четыре и равно двадцати восьми. Конечные элементы, содержащие угловые точки области, имеют тридцать две степени свободы.

Потенциальная энергия новой конечно-элементной модели пластины с пограничным слоем имеет более сложную структуру, чем в традиционных моделях с полиномиальной аппроксимацией; эта структура соответствует структуре выражения энергии исходной точной модели.

Решение уравнений равновесия конечно-элементной модели строится в виде асимптотических разложений по степеням малого параметра h. Решен ряд тестовых примеров, подтверждающих эффективность и высокую точность новой конечно-элементной модели.

Обсуждаются возможности построения других конечно-элементных моделей, являющихся естественным обобщением новых моделей балки Тимошенко (глава 9). Рассмотрены модели с нестандартным способом ансамблирования конечных элементов и модели с добавочными обобщенными координатами. В качестве основы предлагаемых моделей наиболее перспективно использовать прямоугольные элементы с аппроксимацией поля прогибов с помощью полного эрмитова полиномиального разложения или треугольные элементы Клафа — Точера.

В части III основное внимание уделяется численным методам. Рассма-

тривается численное решение задачи Копт для конечномерных моделей механических систем. При построении методов учитываются основные внутренние свойства механических систем и их конечномерных моделей. Обосновывается возможность проведения численного интегрирования с большим шагом по времени. При этом весьма существенным становится асимптотическое поведение численного алгоритма при больших шагах интегрирования. Предложены новые методы численного решения различных классов задач механики, показана эффективность применения этих методов при решении больших промышленных задач.

В главе 12 рассматриваются конечномерные модели механических систем и методы численного решения задачи Коши для этих моделей.

Методам численного интегрирования дифференциальных уравнений, и, в частности, дифференциальных уравнений, возникающих при построении моделей механических систем, посвящена обширная литература. В последние десятилетия особое внимание уделяется проблемам интегрирования жестких систем.

Одним из наиболее эффективных инструментов анализа работы численных методов класса Рунге — Кутты является подход, предложенный в работе Г. Далквиста. В рамках этого подхода рассматривается решение так называемого "тестового уравнения" — линейного однородного уравнения первого порядка

х — Ах. (16)

Точные значения неизвестной величины х в моменты времени и 1.п+\ связаны в силу уравнения (16) соотношением

«(*п+1) = да)х(*„), (17)

где /г — шаг интегрирования, р{Ь,\) = е^ — переходный множитель в точном решении.

Приближенные значения х„ и полученные при численном инте-

грировании уравнения (16) методами Рунге — Кутты, связаны соотношением

= р(Щх„, (18)

где р{НА) — переходный множитель в методе Рунге — Кутты (отметим, что в литературе эту величину часто называют "функцией устойчивости"). Для явных методов переходный множитель р{ИА) является полиномом, для неявных — рациональной функцией р{Ы) = Р(НА)/ф(ЛА).

Анализ работы методов Рунге — Кутты, использующий понятие переходного множителя, имеется в публикациях К. Бате и Е. Вилсона, М. Ю. Бородулина, Д. П. Днжура и Д. Е. Кадомского, Р. Галлагера, К. Деккера и Я. Вервера, Ю. В. Ракитского, С. М. Устинова, И. Г. Чер-норуцкого, А. А. Самарского и А. В. Гулина, Дж. Холла и Дж. Уатта, Э. Хайрера, С. Нерсетта и Г. Ваннера, Б. Л. Эле, П. Рентропа, К. Штре-меля и Р. Винера и других.

В проведенном в главе 12 исследовании рассматриваются системы обыкновенных дифференциальных уравнений, являющиеся конечномерными математическими моделями механических систем. Численные методы решения задачи Коши для таких систем дифференциальных уравнений целесообразно строить с учетом свойств как исходных механических систем, так и их математических моделей.

Методы численного интегрирования должны быть согласованы с внутренними свойствами механической системы. Так, для консервативных систем желательно использовать такие методы численного интегрирования, которые сохраняют полную механическую энергию системы. При численном исследовании систем с большой диссипацией энергии следует использовать другой класс методов, который адекватно описывает поглощение энергии в системе.

Конечномерные математические модели обычно хорошо описывают медленные процессы в механических системах и значительно хуже описывают быстрые процессы. Следовательно, при численном интегрировании необязательно стремиться к тому, чтобы численное решение было близко к точному решению системы дифференциальных уравнений во всех его компонентах . Допустимо чтобы метод численного интегрирования хорошо воспроизводил только медленные процессы, допуская заведомо плохое воспроизведение быстрых (но, конечно, не настолько плохое, чтобы общая картина процесса была существенно искажена).

Проведен анализ работы методов Рунге — Кутты при интегрировании модельной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянной матрицей. Отметим, что нелинейную систему дифференциальных уравнений можно линеаризовать в окрестности некоторой точки решения, так что анализ, проведенный на модельной системе, достаточно информативен и дает представление о работе метода применительно к исходной нелинейной системе. Анализ ориентирован на большие системы, обычно возникающие при исследовании задач механики методом конечных элементов. Поскольку, как уже отмечено, при построении конечномерных моделей механических систем медленные процессы описываются достаточно точно, а быстрые процессы с большой погрешностью, то шаг интегрирования можно задавать так, чтобы с высокой точностью воспроизводить только медленные процессы. Это дает возможность существенно увеличить шаг интегрирования ¡г, который выбирают так, что значения (А, — собственные числа задачи, ВеХ{ < 0) охватывают очень широкий диапазон и выполняются неравенства

щт |ЛА,-| < 1 , тах |/гЛ,| > 1. (19)

При этом естественным требованием к методу численного интегрирования становится требование А-устойчивости. Проведено сравнение отображений плоскости комплексного переменного ИХ, определяемых переходным множителем в точном решении /5(/гА) и переходным множителями в различных методах Рунге — Кутты р(НХ). Эти отображения

дают наглядное представление о работе численных методов. Подробно рассмотрено применение методов Рунгс — Кутты к исследованию механических систем с большой диссипацией энергии (ЛеЛ,- < 0; /тЛ,- = 0). В этом случае, кроме А-усгойчивости, вводится дополнительное требование ¿-устойчивости. Даны предварительные рекомендации по выбору численных методов интегрирования для систем с большой диссипацией энергии. Рассмотрено также применение методов Рунге — Кутты к исследованию консервативных колебательных систем (йеА; = 0, 1т\ ф 0). Здесь также даны предварительные рекомендации по выбору методов численного интегрирования.

В главе 13 рассматриваются численные методы для механических систем с малой диссипацией энергии. В задачах о колебаниях механических систем обычно используют метод центральных разностей, методы" Ха~~ болта, Вилсона и Ньюмарка а также алгоритмы, построенные на основе метода Галеркина.

В проведенном в главе 13 исследовании выделен класс методов Рунге — Кутты, сохраняющих полную механическую энергию линейной консервативной системы, описываемой дифференциальным уравнением

Мд 4- Кц = 0; ?(0) = ?о> 9(0) = «о, (20)

где д = [</' ,..., (¡К]Т — вектор-столбец обобщенных координат, N — число степеней свободы, М — симметричная положительно определенная матрица инерционных коэффициентов, Мт = М > 0, К — симметричная матрица квазиупругих коэффициентов, Кт — К.

Сформулирована и доказана теорема:

Необходимым и достаточным условием сохранения полной механической энергии консервативной системы в численном решении, полученном методом Рунге — Кутты, является выполнение равенства

р{к\)р(-1г\) = 1, (21)

где Л — любое собственное число исходной задачи (20). Поскольку переходный множитель является рациональной функцией аргумента то для выполнения равенства (21) необходимо и достаточно, чтобы этот множитель был представим в виде

Условие (22) выполняется для методов Гаусса — Лежандра. Для устойчивых консервативных систем все собственные числа являются чисто мнимыми, и равенство (21) принимает более простой вид

р{гЬ.и)р{—1Ь.ы) = \р^Ьш)\2 = 1. (23)

Отметим, что приведенное доказательство справедливо и для неустойчивых консервативных систем.

Полученный результат обобщен также на случай линейной консервативной механической системы с гироскопическими силами.

Рассмотрены способы практической реализации двухстадийного метода Гаусса — Лежандра четвертой степени точности в задаче о вынужденных колебаниях линейной механической системы с малой диссипацией энергии. Предложены два варианта построения алгоритма решения. В первом варианте на каждом шаге интегр ирования необходимо решать две системы линейных алгебраических уравнений с одинаковыми симметричными редкозаполненными матрицами размера (7\Г х ТУ) с комплексными коэффициентами в левых частях уравнений и с различными правыми частями. Во втором варианте требуется на каждом шаге интегрирования проводить итерационный процесс, причем, в рамках этого процесса, на каждом шаге итераций последовательно решать две системы линейных алгебраических уравнений с одинаковыми симметричными редкозаполненными матрицами размера (IV х N) с действительными коэффициентами в левых частях уравнений и с различными правыми частями. Доказано, что итерационный процесс сходится при любом шаге интегрирования.

С целью практической проверки работы метода Гаусса — Лежандра выполнена программная реализация его алгоритма и проведен ряд вычислительных экспериментов. Последние предусматривали сравнительный анализ решения тестовых задач различными методами численного интегрирования. Эффективность предлагаемого метода исследовали по отношению к двум описанным в литературе методам: методу Галеркина и методу Вилсона. Проведенные теоретические исследования и вычислительные эксперименты позволяют рекомендовать предлагаемый метод при численном решении задач о колебаниях больших систем.

В главе 14 рассматриваются методы численного решения задачи нестационарной теплопроводности. Обычно здесь применяются одностадийные методы семейства Рунге — Кутты: неявный метод Эйлера, метод Галеркина, метод Кранка — Николсона. Установлено, что при практически используемых больших шагах интегрирования традиционные методы не дают достоверных результатов, особенно в случае быстро изменяющегося во времени конвективного теплообмена на поверхности тела. В таких задачах традиционные методы либо не работают (метод Кранка — Николсона), либо приводят к появлению неоправданных осцилляции температуры (неявный метод Эйлера и метод Галеркина).

В проведенном в главе 14 исследовании предлагается использовать для решения задачи нестационарной теплопроводности двухстадийный метод Рунге-Кутты второй степени точности с переходным множителем, представляющим собой рациональную функцию, числителем которой является полином первой степени аргумента /гА, а знаменателем квадрат полинома первой степени, что обеспечивает Ь - устойчивость ме-

тода

,ч 1 + (1 - 2аЛЬХ <п.

где щ = (2- ч/2)/2, а2 = (2 + у/2)/2.

Отметим, что при построении переходного множителя (24) мы намеренно ограничились рассмотрением рациональных функций, знаменатель которых является квадратом полинома первой степени аргумента ЛА. Это позволяет в дальнейшем реализовать метод Рунге — Кутты с помощью двухстадийной диагонально неявной схемы и существенно уменьшить объем вычислений на каждом шаге интегрирования. Метод имеет вторую степень точности, абсолютно устойчив и ¿-устойчив. Последнее свойство означает, чго асимптотика численного решения при больших шагах интегрирования соответствует асимптотике точного решения, это необходимо для адекватного воспроизведения быстрых процессов. Подчеркнем, что ни один из традиционно используемых методов не обладает всеми тремя положительными свойствами одновременно.

Численная процедура требует последовательного решения двух систем алгебраических уравнений с одной и той же симметричной матрицей в левой части и различными правыми частями, что практически не приводит к увеличению времени счета по сравнению с традиционно используемыми в этой задаче одностадийными методами.

Численный алгоритм реализован в виде программной системы конечно-элементного анализа нестационарной теплопроводности.

Высокая точность и надежность предлагаемого метода по сравнению с традиционными, а также качество работы программной системы были тестированы в серии численных экспериментов на нескольких задачах, для которых известны точные решения. В тестовых примерах было проведено сравнение результатов, полученных новым методом, с результатами расчетов полученными традиционными методами Эйлера (неявная схема), Галеркина и Кранка — Николсона.

Сравнение нового метода с традиционными было продолжено па примере исследования задачи нестационарной теплопроводности для охлаждаемой лопатки газовой турбины в режиме остановки турбины. В этом режиме имеется интервал времени, на котором условия конвективного теплообмена на поверхности лопатки резко изменяются. Метод Кранка — Николсона в данной задаче оказался практически неработоспособным. Метод Галеркина дает неоправданные осцилляции температуры, что особенно заметно в начале процесса. Более того, и метод Эйлера, и метод Галеркина дают крайне неудовлетворительные результаты в интервале резкого изменения параметров теплообмена. Имеется "обратный пик" температуры, очевидно противоречащий физическому смыслу. Новый метод в этом интервале дает монотонное изменение температуры.

Для того чтобы детально проанализировать этот эффект, в интервале резкого изменения параметров теплообмена было проведено допол-

нительное численное исследование с последовательным уменьшением величины шага интегрирования по времени. Исследование показало, что даже при уменьшении шага интегрирования в 12 раз обратный пик температуры при расчетах методами Эйлера и Галеркина полностью не исчезает, хотя значения температуры постепенно приближаются к значениям найденным новым методом. Отметим также, что уменьшение шага интегрирования не приводит с заметным изменениям значений температуры, вычисленных новым методом. Это означает, что достаточная точность достигается уже при относительно больших шагах интегрирования.

Таким образом, численные эксперименты подтверждают высокую точность и надежность предлагаемого метода решения задач нестационарной теплопроводности. Метод оказывается более эффективным по сравнению с традиционными методами Эйлера, Галеркина и Кранка — Ни-колсона, особенно в задачах с быстро изменяющимися во времени граничными условиями. Имеется опыт успешного применения метода к расчету нестационарных температурных полей в дисках и роторах турбомашин. Отметим также, что опыт решения задач нестационарной теплопроводности показывает, что затраты машинного времени при расчетах новым методом не превосходят затрат при использовании алгоритмов, основанных на традиционных методах.

В главе 15 рассматривается численное решение задачи термо-упруго-пластичности и ползучести. Обычно для решения этой задачи применяется «-метод. В исследовании, проведенном в главе 15, предложен новый метод численного решения дифференциально-алгебраических уравнений термо-упруго-пластичности и ползучести. Это одношаго-вый метод прогноза и коррекции, причем оба этапа, и прогноз и коррекция, осуществляются с помощью неявных схем. Метод имеет вторую степень точности, абсолютно устойчив и Ь-устойчив. Последнее свойство необходимо для адекватного воспроизведения быстрых процессов. Обычно применяемый а-метод не обладает всеми этими свойствами одновременно ни при каком значении параметра а. Отметим, что в систему уравнений метода конечных элементов в задаче термо-упруго-пластичности и ползучести входят как дифференциальные уравнения, так и конечные соотношения. Такие системы уравнений получили название дифференциально-алгебраических. При численном решении дифференциально-алгебраических систем возникают специфические проблемы, которые учтены при построении расчетной схемы. Особое внимание уделено корректной формализации описания переходов из упругой области в пластическую и обратных переходов — из пластической области в упругую. Создано оригинальное программное обеспечение, ориентированное на использование современных компьютеров. Имеется положительный опыт использования нового метода при исследовании задач термо-упруго-пластичности и ползучести элементов энергетического оборудования. Проведены расчеты ползучести ротора высокого давления паровой турбины и ползучести в ободе диска высокотемпературной

ступени паровой турбины.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Поставлена и решена задача о свободных колебаниях растяжимой гибкой нити с малой стрелой провисания. Установлено, что собственные частоты и формы низкочастотных колебаний в вертикальной плоскости существенно зависят от двух малых параметров: параметра е, характеризующего величину стрелы провисания и параметра <5, характеризующего степень растяжения нити. Доказано, что при е2/8 1 колебания близки к колебаниям струны, а при с2/8 3> 1 близки к колебаниям нерастяжимой нити. Исследована эволюция частот и форм колебаний при изменении малых параметров. Рассмотрены высокочастотные колебания.. Получены равномерно пригодные во всем частотном диапазоне асимптотические разложения.

2. Проведен асимптотический анализ свободных колебаний балки Тимошенко. Выделены три частотных диапазона: низкочастотный, высокочастотный и сверхвысокочастотный. Показано, что в низкочастотном диапазоне возникают длинноволновые изгибные колебания, в высокочастотном — длинноволновые сдвиговые и коротковолновые изгибные, в сверхвысокочастотном — коротковолновые сдвиговые и коротковолновые изгибные.

3. Поставлена и решена задача о динамическом гашении колебаний вязко-упругого стержня, возбуждаемых узкополосной случайной нагрузкой. Проведен анализ влияния динамического гасителя колебаний на вероятностные характеристики колебательного процесса. Для системы с малым демпфирован нем получены асимптотические оценки эффективности динамического гасителя колебаний. В частности, найдено оптимальное значение коэффициента демпфирования, при котором коэффициент передачи вибраций имеет минимум.

4. Подучены асимптотические оценки характеристик переходного процесса в двухкаскадной системе амортизации при ударном воздействии. В частности показано, что при определенных условиях малое демпфирование существенно влияет на максимальные значения перемещения и ускорения виброизолируемого объекта.

5. Поставлена и решена задача динамики управляемого движения скейтборда. Получены дифференциальные уравнения движения. Проведен асимптотический анализ уравнений. Получены зависимости скорости скейтборда и его траектории от движений корпуса спортсмена.

6. Проведен сравнительный асимптотический анализ точной и конечно-элементной моделей балки Тимошенко. Установлены причины возникновения больших погрешностей в конечно-элементном решении при уменьшении высоты поперечного сечения балки (так называемое "сверх жесткое" поведение конечно-элементной модели, или локинг-эффект). Основной причиной является различное асимптотическое поведение точной и

конечно-элементной моделей при уменьшении высоты поперечного сечения балки. Доказано, что для того чтобы локинг-эффект не возникал необходимо, чтобы матрица жесткости сдвига конечно-элементной модели была вырождена.

7. На основе асимптотического анализа проведено подробное исследование традиционных конечно-элементных моделей стержней с независимой аппроксимацией прогибов и углов поворота поперечного сечения на предмет наличия пли отсутствия локинг-эффекта. В частности, предложены "волновой" и "моментный" локинг-тесты, в результате применения которых получены конкретные количественные оценки локинг-эффекта, полностью подтверждаемые численными экспериментами.

8. Предложены три новые конечно-элементные модели балки Тимошенко, в которых локинг-эффект полностью устранен: модель с нестандартным способом ансамблирования конечных элементов, модель в переменных прогиб — сдвиг, модель с добавочными обобщенными координатами. Все предложенные модели допускают естественное обобщение на задачи изгиба пластины Рейсснера.

9. Проведен сравнительный асимптотический анализ точной и конечно-элементной моделей пластины Рейсснера. Анализ показал, что существенные погрешности в конечно-элементном решении при малой толщине пластины Ь (локинг-эффект и большие погрешности при вычислении силовых характеристик у края пластины) вызваны различием асимптотического поведения точной и конечно-элементной моделей при малых значениях /г. Причиной возникновения локинг-эффекта является недостаточно точное описание энергии сдвига. Для того, чтобы локинг-эффект не возникал, необходимо, чтобы матрица жесткости сдвига была вырожденной. Причиной возникновения больших погрешностей в значениях перерезывающей силы и крутящего момента у края пластины является наличие в точном решении пограничного слоя, характеризующегося очень быстро изменяющимися у края пластины экспоненциальными функциями; адекватное описание таких функций с помощью обычно используемых полиномиальных аппроксимаций полей прогибов и поворотов чрезвычайно затруднено.

10. На основе асимптотического анализа предложены новые конечно-элементные модели пластины Рейсснера. Асимптотическое поведение новых моделей при малой толщине пластины полностью соответствует асимптотическому поведению точной модели. При построении новых моделей пластины Рейсснера использованы подходы, проверенные ранее на новых конечно-элементных моделях балки Тимошенко. Кроме того, для устранения больших погрешностей в значениях перерезывающей силы и крутящего момента у края пластины, при аппроксимации поля поворотов (или поля сдвигов) использованы экспоненциально убывающие при удалении от края пластины функции, которые адекватно описывают по-гранслойную часть решения.

11. Проведен анализ бесконечномерных и соответствующих конеч-

номерных моделей механических систем и численных методов решения задачи Коши для этих систем. В результате анализа сформулированы основные требования к численным методам. При построении численных методов должны учитываться внутренние свойства механических систем (в первую очередь, уровень рассеяния энергии в системе), а также свойства их конечномерных моделей (в первую очередь, то, что конечномерные модели хорошо описывают медленные процессы и плохо описывают быстрые процессы). Обоснована возможность проведения численного интегрирования с большим шагом по времени. При этом весьма существенным становится асимптотическое поведение численного алгоритма при больших шагах интегрирования.

12. Проведен анализ численных методов Рунге — Кутты ориентированных на исследование систем с малой диссипацией энергии (консервативных и близких к консервативным). Сформулирована и доказана теорема, дающая необходимые и достаточные условия того, чтобы численный метод Рунге — Кутты сохраняя энергию конечномерной модели линейной консервативной системы. Предложены два варианта практической реализации сохраняющего энергию метода четвертой степени точности.

13. Предложен новый численный метод решения задач нестационарной теплопроводности. При построении метода учтены как свойства самой механической системы, относящейся к классу систем с большой диссипацией энергии, так и свойства ее конечномерной модели. Метод обладает совокупностью свойств, важных для численной процедуры: высокой точностью, абсолютной устойчивостью и ¿-устойчивостью. Численная процедура требует на каждом шаге интегрирования последовательного решения двух систем линейных алгебраических уравнений с одной и той же симметричной матрицей в левой части. С помощью предложенного метода решен ряд практически важных задач. При решении задач с очень быстро изменяющимися во времени граничными условиями удается при сравнительно больших шагах интегрирования полностью избавиться от неоправданных осцилляций решения, возникающих при использовании традиционных методов численного интегрирования для этого класса задач.

14. Предложен новый численный метод конечно-элементного анализа термо-упруго-пластичности и ползучести. Это одношаговый метод прогноза и коррекции, причем оба этапа осуществляются с помощью неявных схем. При построении численного алгоритма учтена специфика системы уравнений МКЭ, в которую входят как дифференциальные уравнения, так и конечные соотношения. Особое внимание уделено корректной формализации переходов от упругого деформирования к пластическому и от пластического к упругому. С помощью нового метода решен ряд практически важных промышленных задач.

Публикации по теме диссертации

Г. Исполов Ю. Г., Саблин А. Д., Сорин В. М. Упругие колебания элек-

тромеханического робота//Сб."Робототехника''. ЛПИ. 1977. С. 77 — 81.

2. йсполов Ю. Г., Саранчук В. Г., Троицкая 3. В. О синтезе системы защиты от ударного воздействия//4 Научно-техническая конференция "Механические управляемые системы". Тезисы докладов. Иркутск. 1982.

3. Исполов Ю.Г., Сливкер В. й. Об одном эффекте, возникающем при применении метода конечных элементов в смешанной форме к задачам о свободных колебаниях и устойчивости упругих систем//Строит, механика и расчет сооружений. 1984. N 1. С. 43 — 48.

4. Исполов Ю. Г., Троицкая 3. В. Асимптотические оценки характеристик переходного процесса» двухкаскадной системе амортизации при ударном воздействии//Машиноведение. 1986. N 4. С. 7 — 10.

5. Исполов Ю. Г. Динамическое гашение колебаний вязко-упругого стержня, возбуждаемых узкополосной случайной нагрузкой//Вибротехнш Межвуз. темат. сб. научн. тр.: Каунас, политехи, ин-т. 1987. Вып. 3 (56). С. 73 — 78.

6. Исаков Н. Ю., Исполов Ю. Г., Шабров Н. Н. Метод численного интегрирования уравнений динамики больших конечноэдементных моде-лей//Проблемы прочности. 1987. N 12. С. 91 — 95.

7. Исполов Ю. Г., Савинов Ю. Г. Модель балки с учетом амплитудно-зависимого внутреннего трения//ЛПИ. Л. 1987. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 15.12.87, N 8758-В87.

8. Исполов Ю. Г., Савинов Ю. Г. Численный метод исследования нестационарных процессов в механических системах с упруго-пластическим] элементами//ЛПИ. Л. 1987. 13с. Деп. в ВИНИТИ 15.12.87, N 8757-В87.

9. Исполов Ю. Г., Савинов Ю. Г., Борисенков С. В., Осипов В. В. Сравнительная оценка некоторых приближенных методов расчета собственных частот и форм колебаний балок//ПТО. 1987. Вып 3. Деп. в ЦНТИ "Поиск", N 035-3957.

10. Исполов Ю. Г., Савинов Ю. Г., Саранчук В. Г. Определение оптимальных параметров системы виброизоляцип балочной структуры при ударном воздействии//ЛПИ. Л. 1987. 12с. Деп. в ВИНИТИ 15.12.87, N 8756-В87.

11. Заблоцкая И. Н., Исполов Ю. Г., Федорова Л. В., Шабров Н. Н. Многослойная программная система трехмерного конечно-элементного совместного анализа теплового и напряженно-деформированного состояния деталей газовых турбин//12 Всесоюзное научное совещание по проблемам прочности двигателей. Тезисы докладов. М. 1988.

12. Исполов Ю. Г. Метод малого параметра в задаче об определении собственных частот и форм колебаний балки Тимошенко//Труды СПбГТУ. N 425. Сб. научн. трудов " Механика и процессы управления". 1988. С. 104 — 107.

13. Исполов Ю. Г., Савинов Ю. Г. Численное решение задачи Коши для систем с упругими элементами из материала Ишлинского//Тр. ЛПИ. 1988, N 425. С. 120 — 125.

14. Исполов Ю. Г., Смольников Б, А. Динамика управляемого движения скейтборда//Современные проблемы механики и технологии машиностроения. Всесоюзная конференция. Тезисы докладов. М. 1989.

15. Исполов Ю. Г., Шабров Н. Н. Конечноэлементный анализ нестационарных полей температур в деталях ГТУ//Проблемы прочности. 1989. N 12. С. 82 — 87.

16. Исполов Ю. Г., Смольников Б. А. Управление разгоном неголоном-ных объектов//7 Всесоюзная конференция "Управление в механических системах". 12 — 14.06.1990. Тезисы докладов. Свердловск. 1990.

17. Исполов Ю. Г. Алгоритм численного интегрирования дифференциальных уравнений движения колебательной системы//Труды ЛГТУ. N 438. Сб. научн. трудов "Механика и процессы управления". 1991. С. 79 — 84.

18. Исполов Ю. Г., Смольников Б. А. Принципы неголономного разгона подвижных объектов//7 Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Москва 15 — 21.08.1991. Тезисы докладов. М. 1991.

19. Исполов Ю. Г. К определению собственных частот и форм колебаний систем, описываемых в избыточных координатах//Механика и процессы управления. Сб. научн. трудов N 443. 1992. С. 133 — 138.

20. Исполов Ю. Г. Численное решение задачи Коши для конечномерных моделей механических систем//Механика и процессы управления. Сб. научн. трудов. Тр. СПбГТУ N 446. 1993. С. 82 — 103.

21. Шабров Н. Н., Исполов Ю. Г., Махнов В. Ю. Вычислительные схемы высокой точности для численного интегрирования нелинейных уравнений в конечно-элементном анализе нестационарной теплопроводности, ползучести и термопластичности//Проблемы динамики и прочности электро- и энергомашин. Всероссийский научный семинар. Тезисы докладов. Санкт-Петербург, 1993.

22. Власова Т. Е., Исполов 10. Г. Локинг-эффект в конечно-элементных моделях балок, пластин и оболочек, учитывающих деформации сдвига// Механика и процессы управления. Сб. научн. трудов. Тр. СПбГТУ N 448. 1994. С. 108 — 121.

23. Власова Т. Е., Исполов Ю. Г. Конечно-элементная модель с пограничным слоем для пластины Рейсснера//Деп. в ВИНИТИ. 12.07.94. N 1783-В94. 22 с.

24. Ispolov Yu. G., Vlasova Т. E. Asymptotic analysis of Reissner's plate finite element model//Int. Conf. Asymptotics in Mechanics (AIM). Book of Abstracts. St.-Petersburg, 14-17.08.1994.

25. Argyris J. H., Shabrov N. N., Ispolov Yu. G., Machnov V. Yu. Refined numerical methods for finite element analysis of nonstationary heat conduction, creep and thermoplasticity in complex modern industrial problems//The third international congress on industrial and applied mathematics. Book of abstracts. Hamburg. 3 — 7 July 1995.

26. Ispolov Yu. G., Shabrov N. N. Numerical solution of initial value problems associated with finite dimensional models of mechanical systems//The

Third International Congress on Industrial and Applied Mathematics. Book of Abstracts. Hamburg. 3 — 7 July, 1995.

27. Исподов Ю. Г. Асимптотика высокочастотных колебаний балки Тимошенко//Механика и процессы управления. Сб. научных трудов. Тр. СПбГТУ N 458. 1995. С. 109 — 114.

28. Исполов Ю. Г., Кошиц И. Н., Пупырев В. А., Смольников Б. А., Суханов А. А. Оптимальная виброзащита проводов воздушных линий с помощью гасителей Стокбриджа//Российская научно-техническая конференция "Инновационные наукоемкие технологии для России". 25 — 27 апреля 1995. Тезисы докладов, часть 5. Санкт-Петербург, 1995.

29. Численное моделирование динамических систем: Введение в лабораторный практикум. Ч. I / М. Г. Захаров, IO. Г. Исполов, В. А. Полянский, Д. Ю. Скубов, Б. А. Смольников, К. Ш. Ходжаев. СПб, СПбГТУ, 1995. — 40 с.

30. Shabrov N. N., Ispolov Yu. G., Machnov V. Yu. Refined numerical methods for complex nonlinear initial value problems of mathematical physics//Int. Conf. Optimization of Finite Element Approximations. Abstracts. June 25-29, 1995. St .-Petersburg, Russia.

31. Ispolov Yu. G., Smolnilvov B. A. Skateboard dynamics//Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 131 (1996) P. 327 — 333.

32. Исполов Ю. Г., Шабров H. Н. Улучшенные численные методы конечно-элементного анализа нестационарной теплопроводности//Первая международная научно-практическая конференция "Дифференциальные уравнения и применения" .3 — 5 декабря 1996. Санкт-Петербург, 1996.

33. Исполов Ю. Г. Колебания растяжимой гибкой нити с малой стрелой провисания//ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 5. С. 766 — 773.

34. Ispolov Yu. G. Vibrations of extensible flexible wire rope with small sag//Annual scientific conference GAMM 97. Regensburg. 1997. — в печати.

35. Ispolov Yu. G., Shabrov N.N. New numerical method for finite element analysis of thermo- elasto-plasticity and creep//Annual scientific conference GAMM 97. Regensburg. 1997. — в печати.

36. Власова Т. Е., Иванов А. А., Исполов Ю. Г. Два способа устранения локинг-эффекта в конечно-элементных моделях тонких тел//Труды СПбГТУ. Сб. научн. трудов "Механика и процессы управления" — в печати.