автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Асимптотическая Паде интерполяция решений краевых и вариационных задач с параметром

Введение

1 Асимптотическая Паде интерполяция (АПИ) для начальных и краевых задач с параметром

1.1 Построение асимптотики решения начальной задачи с параметром е Е [0,1]

1.2 Построение асимптотики решения начальной задачи с параметром е Е (1, 2] и е Е (2, оо)

1.3 Построение сглаживающего многочлена для Паде -конструкции

1.4 Построение Паде - аппроксимации для задач, содержащих контрастные структуры тжга ступеньки.

1.5 Численные расчеты.

2 Применение Асимптотической Паде интерполяции для построениия параметрического синтеза в задачах оптимального управления с параметром

2.1 Вспомогательные асимптотические разложения.

2.2 Построение параметрического синтеза управления

2.3 Численные расчеты.

2.4 Свойства линейно квадратичной задачи оптимального управления с большим коэффициентом усиления.

2.5 Использование АПИ для построения эффективного начального приближения в пакетах прикладных программ по оптимальному управлению.

Актуальность темы

Асимптотический анализ представляет собой не только классическую науку, но и междисциплинарный предмет, который интенсивно развивается, впитывая в себя идеи из различных областей и выполняет по-прежнему свою главную задачу - генерировать технологии качественного исследования сложных, нелинейных явлений. Сегодня, на рубеже 20-21 вв. построение приближенных решений только с помощью асимптотических разложений менее популярно, чем в веке 19. Тем не менее, асимптотические разложения и сейчас успешно используются самостоятельно и в комбинации с традиционными численными методами при приближенном решении сложных начальных и краевых задач, а так же при решении задач оптимизации и управления. Необходимо отметить большие возможности асимптотического анализа для получения начальных приближений в итерационных методах решения вариационных задач. Теория сингулярных возмущений решений начальных и краевых задач с пограничным слоем интенсивно развивается многими авторами. Ее основы заложены А.Н. Тихоновым,

A.Б. Васильевой, Л.С. Понтрягиным, Е.Ф. Мищенко, В.Ф. Бутузовым,

B.М. Волосовым, JI.A. Люстерником, М.И. Вишиком, С.А. Ломовым ([10],[29],[30],[33]) и др. Задачи оптимального управления с малым параметром интенсивно изучаются, при этом характер получаемых результатов и методы исследования зависят от типа возмущений, уравнений состояния, наличия ограничений на управление и типа искомого оптимального решения: программного или синтезирующего. Направлению исследования задач с регулярным возмущением посвящено большое количество работ Н.Н. Моисеева, Ф.Л. Черноусько ([35]) и др. Вопросами сингулярно возмущенных задач управления занимались М.Г. Дмитриев, Г.А. Курина, Kokotovic P.V., P. Sunnuti ([12],[21],[24],[35],[38] и др.) и это направление продолжает развиваться.

В приложениях существует множество задач, где один и тот же параметр может принимать как малые так и большие значения, причем понятие "малого" и "большого" параметра для каждой задачи может быть своим. Поэтому, имея асимптотики для предельных значений параметра, возникает вопрос, а что происходит в "срединной" зоне изменения параметра. Для этого необходимо построить некоторое аналитическое выражение, которое бы "помнило" о предельных случаях и в то же время описывало бы поведение решения в "срединной" зоне изменения параметра. При этом необходимо учитывать, что асимптотики можно построить не только в предельных случаях, но и в окрестности средних точек. Воспользовавшись знанием об этих "срединных" асимптотических разложениях, возможно уточнить поведение решения в окрестности этих точек. Это означает, что такие точки фактически являются узлами интерполяции. Увеличение числа узлов интерполяции ведет к уточнению решения исходной задачи. При этом приближенное решение (интерполяционная поверхность) будет представлять собой кусочно - гладкую функцию двух переменных. В качестве гладких частей такой поверхности в данной работе выбирается Паде - аппроксимация.

Необходимо отметить все возрастающий интерес к Паде-аппроксимациям. Исследования в этом направлении проводились в работах Бейкера Дж., Грейвс - Морриса П., И.В. Андрианова, Л.И. Маневича, А.А. Гончара ([1], [3], [36], [37]) и др. Многие удивительные свойства таких рациональных приближений связаны с тем фактом, что эти дроби, где в числителе и знаменателе присутствуют многочлены, уже не многочлены, а функции аналогичные бесконечным рядам, следовательно их возможности по аппроксимации становятся шире. Это различие особенно проявляется для Паде-аппроксимаций небольшого порядка, когда практически при той же информации о коэффициентах может принципиально измениться качество приближения по сравнению с чисто полиномиальными приближениями.

Цель работы

Разработка интерполяционных методов решения краевых, начальных задач и задач оптимального управления с параметром, используя асимптотические разложения при различных значениях параметра и Паде - аппроксимации.

Краткое содержание работы

В первой главе аппроксимация Паде используется в качестве своеобразного "моста" между асимптотическими разложениями не только при £• 4 0 и £ -> оо, но и при средних значениях параметра. Примеры показывают, что построение Паде-аппроксимации позволяет существенно расширить "области действия" асимптотик в окрестностях малых, средних и больших положительных значений параметра то есть там, где асимптотические приближения дают достаточно высокую точность аппроксимации точных решений и таким образом, Паде - конструкции могут служить своеобразными операторами над асимптотиками, расширяющими зону их действия.

Рассмотрим задачу где х е Rn,y G Rm, при £ € [0, оо) и t£ [О, X]. Пусть z = (ж', у').

В главе рассматривается построение приближения к z(t, е) -поверхностям решения начальных и краевых задач с параметром, который входит множителем при производной (при малых положительных значениях параметра такие задачи называются сингулярно возмущенными вследствие возможности появления зон быстрого изменения решения или больших градиентов). Эти приближения строятся с помощью некоторой сплайн конструкции. В качестве элементов сплайна используются Паде-аппроксимации, построенные на асимптотических приближениях к решению в окрестности некоторых точек интервала изменения параметра.

Предлагаемые способы построения приближений к поверхности решения - двухпараметрической функции по t и е - есть аналог некоторой интерполяционной процедуры. Известно, что точность интерполяционной процедуры повышается при использовании свойств функции в точках-узлах интерполяции. Очевидно, что знание асимптотических разложений в окрестности узлов интреполяции привносит дополнительную информацию, в частности информацию о ex = F(x, у, t), е) = х0

1)

V = S{x,v,t), у(0 ,е) = у°

2) производных. Следовательно, интерполяционная процедура на основе асимптотических приближений может быть более эффективной в сравнении с интерполяцией на основе полиномов Лагранжа, т.к. члены асимптотических разложений содержат дополнительную информацию о производных. Начальный элемент сплайна - есть Паде-аппроксимация при 0 < е < Е\ и будет строиться в виде дроби, с числителем, содержащим погранслойные слагаемые. Присутствие здесь таких слагаемых объясняется сингулярностью задачи (1), (2) при малых е и наличием больших скоростей изменения точного решения по времени вблизи границы изменения параметра.

Такая модификация Паде-аппроксимаций была впервые предложена Дмитриевым М.Г. и развита Беляевой Н.П.([5],[7]).

В этой главе, с одной стороны, развивается эта идея до процесса построения асимптотических Паде-интерполяций, а с другой, рассматриваются новые классы задач, где возможно использование таких аппроксимаций.

Построение приближения проводится с помощью разбиения области изменения параметра £ на основе сетки А = {^г}? г = 0,1,., п. Предполагается, что в окрестности каждого узла £i Е А существует асимптотическое приближение Zi(t,£) решения z(t,£) исходных начальных или краевых задач. Далее, на каждом отрезке Aj Е [Ei,£i+i] строится Паде - аппроксимация, которая в окрестностях этих узлов асимптотически приравнивается к имеющимся асимптотическим приближениям решения, и эти конструкции "сшиваются" во внутренних узлах.

Такая постановка задачи отличается от задачи сплайн аппроксимации ([22],[18]), где в каждом узле задается информация о значении функции и ее производных в ряде точек.

Введем определения.

Определение 1. Асимптотической Паде интерполяцией (АПИ) решения задачи назовем приближение к поверхности решения z(t, е) между узлами по параметру на основе информации об асимптотических приближениях к z(t, е) в окрестностях узлов.

Определение 2. Асимптотическая Паде интерполяция (АПИ) порядка [п/п] - это непрерывная конструкция, составленная из Паде -аппроксимаций порядка [п/п] между узлами интерполяции. Где каждая Паде - аппроксимация построена на основе асимптотических разложений в окрестности узлов.

Итак, внешне АПИ близка к сплайн - интерполяции. Однако, между ними есть принципиальное различие.

При построении сплайнов требуется информация о значениях функции в узлах и ее производных в некоторых узлах. Здесь же мы располагаем асимптотическими приближениями функции в окрестности узлов и эти приближения содержат, с одной стороны, информацию не только в узлах, айв малой окрестности узлов, а с другой стороны, эта информация лишь приближенная.

В параграфе 1.1 содержится способ "сращивания" асимптотики при параметре е —0 и е -> 1. Причем особенность такой задачи заключается в сингулярности исходного уравнения и, как следствие, наличие пограничных слагаемых в асимптотике сингулярно возмущенной задачи.

Для начальной задачи ex = F(x,y,t), х(0,е) = х°, (3) y = f(x,y,t), y(0,e)=y°

4) где x E Rn,y E при e E [0,1] и t E [0, T] приводится схема поэтапного воспроизведения поверхности решения при любом допустимом значении параметра из данной области значений.

Имеют место асимптотики решения задачи (3),(4) при значении параметра е —0 и е —> 1

Р*о(т) + ePZl( т) + . + enPzn(T) + z£^(t, е) = zo{t) + (1 - e)z1(t) + . + (1 - е)""1^-! W + 0((1 - e)n) (6) здесь Zi(t),Zi(t),i = l,.,n - регулярные слагаемые, Pzi(r),r = = l.n - погранслойные слагаемые, компенсирующие невязку регулярного ряда вблизи границы . В силу наличия таких слагаемых Паде - "мост" представляет собой дробь, где числитель соответствует сингулярно возмущенной задаче, а знаменатель - регулярно возмущенной задаче.

Паде - аппроксимацию порядка [п/п] для каждой компоненты вектора решения z имеет вид: где параметр е Е [0,1], причем коэффициенты Паде - аппроксимации определяются из соотношений ze^0(t, г, е) = zo(t) + £Zi(t) + . + £nZn(t)+

5) a0(t) -f Qq(t) + e{ai(t) + ai{r)) + . + en(an{t) + an{r))

1 + ebi{t) + . + £n-lbn^(t) + £nbn(t) ao(t) = z0(t), ai(t) = zo{t)bi(t) + ztf) a0(r) = Pz0(T), fli(r) =Pzo(r)6i(0)+Pzi(r)

Тогда Паде - аппроксимация выражается явным образом через разложения (8),(9),(10) ade = £z0(t)(z0{t) - z0(t) + z^t) Pz0{t) +b1(Q)Pz0{t) ^ Pz^t))

PCL 61 {-z0(t) + z0(t) + e(zo(t) + PzM) + zx{t) + 2Pz0(t) - z0(t))) (zQ(t) - zo(t))(*o(t) + Pzq{t) + + Pz0{r) + Pzi(r)))

-2b(f) + Z0{t) + e(*b(*) + K> + zi(t) + 2PzoW - Zb(t)))

11)

Доказывается теорема о существовании такой Паде - аппроксимации при s Е [0,1] с предположением об отсутствии полюсов по е в дроби (7).

Для п — 1 имеет место

Теорема 1. Предположим, что для задачи (3),(4) выполнены условия 1-5 теоремы А.Б. Васильевой ([10]) , уравнение (10) разрешимо относительно b\{t) и полином 1 + eb\{t) не имеет нулей при t Е [0, Т] и е Е [0,1]. Тогда Паде - аппроксимация г-ой компоненты вектора решения задачи (3),(4) существует на [0,Т] х [0,1] и определяется по формуле (11).

Параграф 1.2 заключает в себе метод построения "мостов" между узлами параметрической сетки в случае регулярности начальной задачи. Здесь рассматриваются два интервала изменения параметра е Е (1,2] и £ Е (2, со). В этом случае Паде - аппроксимация для каждой i-ой компоненты вектора решения представляет собой регулярную дробь вида oo(t)+gai(f) + . + g"an(<)

Pade,["'"1 - l + ^O + .-.+^-^iW + e-MO' ' (12) где коэффициенты (12) определяются из соотношений aoW = - + ^oW, ai{t) = zo(t)b!(t) + (tMt) + zx{t)

13)

-*i(t) - 2zo{t) + 2z0(t))bi(t) = 2:i(t) + ^oW - *b(t), (14) где ze-+i(t,e) = *o(*) + {e ~ l)zi(t) + . + (e - l)nzn(t) + 0((e - l)n+1) (15) ze^2(t,s) = ~zQ(t) + (2 - e)h{t) + . + (2 - s)nzn(t) + 0((2 - e)n+1) (16) Тогда Паде - аппроксимация на этом интервале изменения параметра

-zi(t)h{t) - Zl(t) + z0(t) + £(2o(t)biW + zMhjt) + x

2 (zi{t) + 2z0(t) - 2z0(t) - 6Z!(t) - ezo(t) + cz0(t)) x(-zi(t)-2zo(t) + 2zo(t))

17)

Доказана следующая теорема при п = 1

Теорема 2. Предположим, что для задачи (1),(2) известны асимптотические разложения (15), (16), уравнение (Ц) разрешимо относительно b\(t) и полином 1 + eb\{t) не имеет нулей при t € [О, Т] иеЕ (1,2]. Тогда Паде - аппроксимация i-ou компоненты вектора решения задачи (1),(2) существует на [0,Т] х (1,2] и определяется по формуле (17).

Для параметра, принимающего значения на интервале е Е (2, оо) , сформулирована и доказана подобная теорема, где коэффициенты Паде-аппроксимации (12) определяются из асимптотического равенства (12) соответствующим асимптотикам при е —> 2 и е -> оо .

Здесь же приводятся числовые расчеты построения такого асимптотического приближения при парметре е Е (1,оо). Все вычисления здесь проведены с помощью пакета символьных вычислений MAPLE.

В параграфе 1.3 предложен алгоритм преодоления возникающих полюсов в Паде - дробях. В качестве сглаживания такого полюса выбирается кубический сплайн. Доказывается лемма о существовании такого сплайна. В этом случае Паде - аппроксимация имеет вид zp, при £ < £\ padei(e,t) = zsp, при £i < £ < £2 = Zp, при £> £2

Приведенные численные расчеты показывают эффективность построения таких сплайнов.

В параграфе 1.4 рассматривается краевая задача с параметром вида d?z

2-^ = F(z,X), 0<®<1; (18) z(0,e) = 0,z(l,e) = О Е [0, оо) Используя асимптотики при малых и больших значениях эпсилон, строится решения задачи (18) с контрастной структурой типа ступеньки, где в качестве аппроксимации предлагается АПИ. В этом случае при ao(t) + ^оЫ + Qq(t) + g(ai(t) + ai(r0) + ai(r)) Zlp ~ 1 + ebx(t) + . + e^bn-iit) + enbn(t) en(an(t) + ап(т0) + ап(т)) +

1 + eh (t) + . + sn~1bn-i(t) + snbn(t) c0(t) + cq(t) + c0(n) + g(cift) + ci(r) + ci(ti))

1 + + . + en-4n^{t) + £ndn{t) n(cn(t) + cn(r) + 5n(n))

1 + edi(f) + . + £n~1dn-i(t) + x — X* X x — 1 здесь r =-, ro = ri =-и Паде - аппроксимация имеет вид £ £ ф,£)=(г1р при (19)

I Z2p При X* < X < 1

Параграф 1.5. содержит результаты численного эксперимента по построению параметрической АПИ - поверхности для задач с внутренним переходным слоем. Проводится построение приближенного численного решения этой же задачи. Таблицы сравнения результатов, полученных двумя различными методами, показывают, что невязки решения для Паде-функции при промежуточных значениях параметра сильно не отличаются от невязок, полученных другими методами.

Во второй главе работы предлагается алгоритм построения АПИ поверхности допустимого управления задачи оптимального управления с параметром. т

JE(u) = G(x(T)) + [ F(x, у, и, t)dt min (20) j о ^

X = f(x,y,u,t), ж(0) = x°, ^ y = g{x,y,u,t), 2/(0) =2/° где х £ Rn,y £ Rm,u £ Rr, s £ [0, оо).

Этот класс задач включает различные приложения, например, приложения, где при большом значении параметра находят управления с большим коэффициентом усиления, а при малых значениях параметра - рассматривается случай слабоуправляемых систем.

Здесь приводится параметрический синтез управления, который представляет собой интерполяционную поверхность, заключающую в себе как управление с большим коэффициентом усиления, так и управления в слабоуправляемой системе, а также управления при других значениях параметра, если они есть. При этом весь процесс построения АПИ верен для каждой компоненты допустимого управления.

Параграф 2.1 содержит ряд предварительных сведений и теорем для построения решения сингулярно возмущенной задачи (20),(21) методом прямой схемы при е —)■ 0. В случае "срединного" значения параметра е —>■ 1 задача (21) преобразуется при г/ = £ — 1, ту —> 0, х = f(x,y,u,t), х(0)=х°, rjy + У = g(x,y,u,t), 2/(0) = у0

Задача (20),(22) регулярно возмущенная. Используя метод прямой схемы, строится ряд задач декомпозиции для нулевого и первого приближения. Сформулирована теорема об асимптотических оценках решения задачи (20),(22).

В параграфе 2.2 приводится АПИ управление как параметрический синтез - "мост" между управлением с большим коэффициентом усиления и управлением слабоуправляемой системы.

В параграфе 2.3 приведен численный эксперимент для нелинейной квадратичной задачи оптимального управления, показывающей эффективность АПИ управления.

В параграфе 2.4 доказываются свойства функционала для класса линейно - квадратичных задач с параметром. Для линейно -квадратичной задачи

Ре'

1 1 Т

Je(u) = -x'(T)Fx(T) + - / (x'Q(t)x + u'R(t)u)dt min (23)

2 2, Jo u на траекториях системы xi = Ai(t)xi + A2(t)x 2 + Bi(t)u, = (^)^i + A4(t)x2 + s~1B2(t)u, x2(t0) = где X e Rn,y e Rm,u e Rr, e G [0, oo) доказана

Лемма 1. Для задачи оптимального управления с параметром (23), (24), принимающим значения на всей положительной полуоси найдутся такие достаточно малое ец > 0 и достаточно большое £q > 0 такие, что для всех 0 < £\ < £2 < £о выполняется J£l < J£2 и для £о < £i < £2 < оо выполняется /е~ > Je~2

Из леммы следует, что в данной задаче значения функционала вдоль двух асимптотических приближений к оптимальному управлению порождают две кривые, которые, вообще говоря, пересекаются.

Часто пакеты по оптимальному управлению содержат итерационные методы локального улучшения начальных приближений к оптимальному управлению. В работах Горнова А.Ю., Дмитриева М.Г., Тятюшкина А.И. на различных примерах, в т.ч. и для "жестких"систем,

24) была продемонстрирована высокая эффективность использования асимптотического анализа систем управления для формирования качественных начальных приближений на основе нулевых членов асимптотики в итерационных пакетах по оптимальному управлению. В параграфе 2.5 предлагается улучшить качество начального приближения и использовать вместо него АПИ управления.

В заключении формулируются основные результаты диссертации.

В Приложении содержатся тексты рабочих листов, написанных в системе MAPLE . Приведен пример оптимального движения цепочки связанных тележек с переменной жесткостью и массами.

Аппробация работы

Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на:

- Международном IFAC симпозиуме по нелинейным системам управления (2001 г., СПб);

- весенних математических школах "Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтенияХП, XIII"(3-10 мая 2001 г. и 2002 г., Воронеж);

- Международном семинаре "Компьютерная алгебра и ее приложения в физике" (28-30 июля 2001 г., Дубна);

- математических школах в г. Руза (27-31 января 2001 г., 2002 г.);

- Международной конференции "Математические идеи Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания"в г. Обнинск (14 -18 мая 2002);

- семинарах в РУДН;

- семинарах в МГСУ.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 8 работ, из них 3 в соавторстве.

Структура

Работа состоит из введения, двух глав, заключения, литературы и приложения. Текст диссертации содержит 113 страниц, библиография - 47 наименований, приложения - 17 страниц. Основные результаты диссертации содержатся в работах ([40] - [47].

Основные результаты диссертационной работы следующие:

1. Предложен новый метод интерполяции поверхности решения начальных и краевых задач с параметром на основе аппроксимации -Паде.

2. Построена асимптотическая Паде интерполяция (АПИ) решения с помощью Паде -аппроксимации в задачах с внутренним пограничным слоем.

3. Предложен новый метод построения АПИ в задачах оптимального управления с параметром и без ограничений на управление.

4. Проведены численные и символьные расчеты, подтверждающие предложенные алгоритмы.

Заключение

1. Андрианов И.В., Маневич Л.И. Асимптология: идеи, методы, результаты // М.,Аслан,1994

2. Афанасьев В.Н., Колмановский В.В., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. Москва, ВШ, 1998

3. Бейкер Дж., Грейвс Моррис П. Аппроксимация Паде. М.,Мир, 1986.,502

4. Белокопытов С.В., Дмитриев М.Г. Решение классических задач оптимального управления с погранслоем// Автомат, и телемех. 1989.No.7.С.71-82

5. Беляева Н.П., Дмитриев М.Г. Сращивание асимптотик решения начальной задачи с параметром на основе Паде-аппроксимации// Программные системы. М.1999

6. Беляева Н.П., Дмитриев М.Г. Компьютерная алгебра в системах управления: некоторые проблемы и постановки. // Теоретические и прикладные основы программных систем: Сб. трудов. Переславль-Залесский, ИПС РАН, 1994, с.265-280.

7. Беляева Н.П. Разработка алгоритмов построения семейств траекторий динамических систем на основе Паде-аппроксимации иасимптотических разложений // Автореферат кандид. диссертации, 1999,ЯрГУ,Ярославль, 19с.

8. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. Москва, наука,1980

9. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. Москва, наука, 1981

10. Васильева А.В., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

11. И. Васильева А.В., Бутузов В.Ф., Н.Н.Нефедов Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах //Фундаментальная и прикладная математика 1998, т.4, №3, С.799 — 851.

12. Васильева А. Б.,Дмитриев М. Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления//Итоги науки и техники, Математический анализ, Т.20, ВИНИТИ АН СССР, М, 1982, С.З 77.

13. Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва, ВШ, 2001

14. Глизер В.И.Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в линейной задаче оптимального управления с квадратичным функционалом // Докл.АН СССР,1975, т.225, No 5

15. Говорухин В., Цибулин В. Компьютер в математическом исследовании. Учебный курс. С.-Петербург, Изд. дом "Питер", 2001

16. Горнов А.Ю., Дмитриев М.Г., Тятюшкин А.И. Опыт решения задач оптимального управления с пограничным слоем.//ВЦ СО АН СССР. Красноярск, 1985.-18с. - Деп. в ВИНИТИ 27.11.85, с.8441-1385

17. Горнов А.Ю., Дмитриев М.Г., Тятюшкин А.И. Опыт решения задач оптимального управления с пограничным слоем.//Тезисы докладов 6 Всесоюзного съезда по теорет. и прикл. механике. Ташкент. ФАН Уз ССР, 1986., с.212-213

18. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. Изд. Московского университета, 1983

19. Дмитриев М.Г. Об одном классе сингулярно возмущенных задач оптимального управления // ПМ,1978,т.42, с.228-232

20. Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления // Автореферат доктор, диссертации,1984,ф-т ВМиК МГУ,25с.

21. Дмитриев М. Г.,Курина Г. А. Прямая схема построения асимптотики решения классических задач оптимального управления.

22. В тр. Ин-та прогр.систем РАН. "Программные системы", М., Наука, 1999, С. 44 55.

23. Завьялов Ю.С.,Квасов Б.И., Мирошниченко B.JI. Методы сплайн -функций. Москва,"Наука", 1980,

24. Зеленский К.Х., Игнатенко В.Н., Коц А.П. Компьтерные методы прикладной математики. 4.1 Киев, 1999

25. Калинин А.,И. Асимптотические методы оптимизации возмущенных динамических систем. Минск, ЭКО Перспектива, 2000, 187 с.

26. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. Москва, Изд. МАИ, 2000

27. Кириллова Ф.,М. О корректности постановки одной задачи оптимального регулирования//Известия ВУЗов, сер.Математика, 1958, №4, С.113 126.

28. Кириллова Ф.,М. О непрерывной зависимости решения одной задачи оптимального регулирования от начальных данных и параметров.// Успехи мат.наук, 1962, 17, №4, С. 141 146.

29. Курина Г.А. Прямая схема построения асимптотики решения задач со слабым управлением // Изв.РАН. Теория и сист. ynp.l995,No.6,с. 162-167.

30. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. Москва, Наука, 1981

31. Ломов С.А. Математическая трактовка пограничного слоя.

32. В тр. мат. чтений МГСУ "математические методы и приложения", М., Союз, 1993, С. 90 96.

33. А. Найфе Введение в методы возмущений. Москва, Мир, 1984

34. Сборник задач по методам вычислений. Под ред. Монастырского П.И. Москва, Наука, 1994

35. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных. Мат. сборник,1952, т.31(73), No 3, с.575 586

36. Фигурина Т.Ю. Асимптотическое поведение областей достижимости линейных управляемых систем. Дис.к.ф.-м.н.,Москва, Ин т проблем механики РАН, 1998

37. Черноусько Ф. JL, Колмановский В. Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления//Итоги науки и техники, Математический анализ, Т. 14, ВИНИТИ АН СССР, М., 1977, С.101 166.

38. Шатров А.В. Соединение асимптотик с помощью Паде -аппроксимант в переходных слоях гидрогазодинамики / / Автореферат доктор, диссертации,2002,Киров,26с.

39. Avrejcevicz Т., Andrianov I.V., Manevich L.I. Asymptotic approach in nonlinear dynamics. Berlin u.a., 1998, 310 p.

40. Saksena V. R.,O'Reilly J., Kokotovic P.V. Singular perturbations and-scale methods in control theory : Survey, 1976-1983// Automatica, 1983, v.20, No 3, pp.273 293.

41. P. Sannuti Direct singular perturbation analysis of high gain and cheap control problems // Automatica, 1983, v.19, No 1, pp.41 — 51.

42. Дмитриев M. Г.,Комарова E. В. Новые алгоритмы решения краевых и начальных задач на основе асимптотических методов и неформальных процедур.

43. В тр. 8-х мат. чтений МГСУ "математические методы и приложения", М., Союз, 2001, С. 112 117.

44. Дмитриев М. Г.,Комарова Е. В. Асимптотические интерполяции для задач с параметром.

45. Воронежская весенняя мат. школа "Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения-XII", тезисы докл. Воронеж,2001, С. 185.

46. Комарова Е. В. Паде аппроксимация решения в контрастных структурах типа ступеньки для обыкновенных дифференциальных уравнений.

47. Воронежская весенняя мат. школа "Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чгения-XIII", тезисы докл. Воронеж,2002, С. 78.

48. Komarova Е. Computer algebra systems for initial boundary value problem with parameter.1.ternational workshop, "Computer algebra and its application to physics",СААР 2001, Dubna, p. 15 - 16.

49. Belyaeva N. Dmitriev M. Komarova E., Pade approximation as a "bridge"between two parametric boundary asymptotics. "5th IFAC symposium nonlinear control systems",NOLCOS'Ol, St.-Peterburg, p. 635 — 639.

50. Комарова E. В. Паде — аппроксимация для различных классов задач с параметром.

51. В тр. 9-х мат. чтений МГСУ "математические методы и приложения", М., Союз, 2002, С. 74.

52. Комарова Е. В. Паде аппроксимация решения для задач с внутренним переходным слоем.

53. Международная конференция "математические идеи Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания", тезисы докл. Обнинск 14 -18 мая 2002, С. 51.

54. Комарова Е. В. Асимптотическая интерполяция на основе Паде-аппроксимации в задачах с параметром //Моделирование и анализ информационных систем, Т.8, N 2,2001, С.28 — 31.