автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Разработка алгоритмов построения семейств траекторий динамических систем на основе Паде-аппроксимации и асимптотических разложений

Введение

1 Построение приближенных решений начальных задач на основе асимптотических разложений в окрестности граничных значений параметра

1.1 Построение Паде-аппроксимации начальных задач на основе асимптотических разложений в окрестности граничных значений параметра

1.2 Численные расчеты.

2 Построение приближенных решений краевых задач на основе асимптотических разложений в окрестности граничных значений параметра

2.1 Построение аппроксимации Паде решений краевых задач с двумя пограничными слоями.

2.2 Численные расчеты.

Известна роль асимптотического анализа для построения приближенно- аналитических или численно - аналитических решений прикладных задач, описываемых дифференциальными уравнениями с параметром. Асимптотические разложения решений начальных и краевых задач ведутся на основе гипотезы о наличии малого параметра и использовании при этом того или иного формализма построения асимптотики. Точность аппроксимации решения с помощью асимптотики и само существование асимптотического решения для данного конкретного значения малого или большого параметра связаны с предположением, что данное значение параметра является достаточно малым или большим. Однако априори нет уверенности, что это так, и поэтому такие построения, несмотря на их теоретическую строгость, имеют эвристический характер для приложений.

Методы решения регулярно возмущенных задач с параметром, разработаны достаточно хорошо [1, 2, 5-9]. Гораздо сложнее обстоит дело с сингулярно-возмущенными задачами, описывающими разлчные физические явления. Основы асиптотических методов решения сингулярно-возмущенных задач заложены А.Н. Тихоновым [9], А.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузовым [3,4], Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розовым [8], М.И. Л.С. Понтрягиным [10], С.А. Ломовым [11], Вишиком, Л.А. Люстерником [12] и др. Трудности решения подобного рода задач позволяют судить об актуальности разработки методов приближенного их решения.

Итак, с одной стороны, в приложениях, как правило, асимптотикой пользуются вне порога строгого математического анализа (для значений малого параметра, не лежащих в зоне, для которой имеется утверждение об асимптотическом характере приближения), а с другой, - многочисленные примеры подсказывают возможность существования тесной связи между решением исходной задачи и асимптотикой (или оператором от нее) вне зоны строгого математического анализа. С другой стороны, в прикладной задаче при наличии условий для применения асимптотики всегда возникает вопрос: можно ли считать конкретное числовое значение параметра, по которому можно строить асимптотику, малым или большим. С другой стороны, даже выбрав этот параметр в качестве малого или большого, мы получаем только некоторый частный случай параметрического семейства решений исходной задачи, где в качестве параметра и выбирается эта малая или большая величина.

В литературе имеются успешные попытки использования двух предельных асимптотик при е —> 0 и е —)■ оо для построения выражения, пригодного в качестве решения во всей области изменения параметра, на основе аппроксимации Паде [1], [29]. В работе на примерах начальных и краевых задач показана возможность использования аппроксимаций Паде для построения аналитической конструкции, которая хорошо аппроксимирует решение во всей области изменения параметра. В качестве предельных асимптотик использовалась асимптотика метода погранфункций [3] при е —> 0 и асимптотика метода Ляпунова-Пуанкаре [1] при £ —^ оо. В последние 30 лет годы резко возрос интерес к классическим методам рациональной аппроксимации аналитических функций, в частности, к Паде-аппроксимациям [29-38]. Такой интерес вызван тем, что Паде-аппроксимации и их обобщения нашли применение во многих прикладных задачах теоретической физики и механики. Основная идея метода аппроксимаций Паде была изложена в его диссертации 1892 года, в которой основное внимание было уделено экспоненциальным функциям. Аппроксимация Паде представляет собой функцию в виде отношения двух полиномов. Коэффициенты этих полиномов определяются коэффициентами разложения функции в ряд Тейлора. Если задано разложение функции /(ж) в степенной ряд х) = с0 + Сх х + с2 х2 +., то можно определенным образом выбрать коэффициенты щ, Ь{ и получить аппроксимацию Паде функции /(ж) а0 + ах х -I- а2 х2 + . Ь0 + Ьх х + Ь2 х2 + .

В качестве одного из определений аппроксимации Паде можно дать следующее Определение 0.1 Пусть задан степенной ряд оо х) = Со + Сх X + с2 X2 + . . . = С1 х\ (0.1) г=0 представляющий разложение функции /(х) в ряд по степеням х. Разложение (0.1) является исходным пунктом для определения аппроксимации Паде. Аппроксимация Паде - это рациональная функция вида г т/лл — а0 + ах ж + а2х2 + . + [Ь/М\ —

Ь0 + Ьх х + Ь2 х2 + . + Ьм хм' для которой выполняется

Е°° г а0 + ах х + а2 х2 + • ■ • + х1 п( ь+м+1\ .=0°1Х Ъ0 + Ъ1х + Ъ2х2 + .+Ъихм+и[Х

Такое определение аппроксимаций Паде имеет некоторые недостатки. Рациоа0 + ах х + а2 х2 + . + аь хь нальная функция --:-:-5---¡¡7 может не аппроксимировать

Ь0 + Ьх х + Ь2 хг + . + Ьм хм функцию /(ж) до порядка Ь + М, поэтому в таких случаях говорят, что аппроксимация Паде не существует. Современное определение принадлежит Бейкеру [29]

Определение 0.2 (Вейкер) Если существуют многочлены А^ь/М\х) и степени Ь и М соответственно такие, что

А[Ь,М]{х) ^ 1 ^ ь /(ж) + 0(хь+м+1)

0) = 1, то говорят, что аппроксимация Паде функции /(х) есть

- в»щху

Форма записи подчеркивает, что и числитель, и знаменатель зависят от каждого из чисел Ь и М.

Для некоторых специальных задач используются различные модификации аппроксимации Паде

Определение 0.3 Для заданного набора (по крайней мере двух) функций /¿(ж) с разложениями в степенные ряды оо

Мх) = 1]с]®== 1>2'•••>п>

3=0 где /¿(0) Ф 0,г = 1,2говорят, что заданы полиномы Эрмита-Паде (¿г(х) степени соответственно не выше 0{, если выполняется п п

2Мх)Яг(х) = 0{ха), гдео = п - 1 + ^сгхг. г=0 г=0

Часть теории аппроксимаций Паде возникла на основе теории непрерывных дробей. Таблица Паде для нахождения коэффициентов в разложении Паде может рассматриваться как основной набор рациональных аппроксимаций степенного ряда, а подходящие дроби различных непрерывных дробей, соответствующих этому ряду, - как некоторые последовательности в таблице Паде. Выбор наилучшего представления ряда непрерывной дробью тесно связан с выбором последовательности в таблице Паде, имеющей нужное асимптотическое поведение.

Для различных приложений используются различные модификации определения Паде-аппроксимаций функций. Так как в литературе ранее не встречались определения Паде-аппроксимаций приближенных решений сингулярно возмущенных задач, то мы определяем и новые модификации Паде-аппроксимаций.

Цель работы.

Разработка приближенных методов решения начальных и краевых задач с параметром на основе двух асимптотик - при малых значениях параметра и при больших значениях параметра. Построение Паде-преобразования, позволяющего существенно расширить область действия асимптотических разложений.

Разработка алгоритма решения краевых задач высокой точности на основе систем аналитических вычислений и Паде-аппроксимаций.

Краткое содержание диссертации.

В первой главе рассматриваются алгоритмы построения приближенных решений начальных задач с параметром на основе двух асимптотик - при малых значениях параметра и при больших значениях параметра. Рассматриваются начальные задачи с параметром вида у,*), ^ = /(*,»,*)> *е[0,1], (0.2) где г, -Р - М-мерные, у, / - тг-мерные вектор-функции, у(0,е) = у°, г(0,е)=г° (0.3) где параметр г € [0, оо).

В § 1.1 приводится ряд предварительных сведений и теорем, необходимых для построения асимптотик решения задачи ( 0.2) - ( 0.3), при е —\ 0 и е —> оо. При е —» 0 задача ( 0.2) - ( 0.3) - сингулярно возмущенная, поэтому ее асимптотика порядка п строится на основе метода пограничных функций [3] и имеет вид х£-+0(г, е) - х(Ь, е) + Пх(т, е), т = (0.4) х(г, е) = +£х1(г) + --- + епхп(г) + 0(еп+1) есть регулярный ряд по е с коэффициентами, зависящими от

Пх(т, е) = П0ж(г) + еПгх{т) + • • • + £п11 пх(т) + 0(еп+1) есть пограничный ряд, компенсирующий невязку регулярного ряда вблизи границы I = 0. Сами функции П^т), г € 0, п называются пограничными функциями. При некоторых условиях имеются соответствующие экспоненциальные оценки для погранфункций.

Для построения асимптотики решения начальной задачи ( 0.2) - ( 0.3) при £ —> оо задача ( 0.2) - ( 0.3) путем замены £ — — приводится к регулярно возмущенной задаче с малым параметром /л 0 = % = П*,уЛ «€[0,1], (0.5) при начальных условиях ( 0.3), поэтому асимптотика при е —>■ оо порядка п задачи ( 0.2) - ( 0.3) строится в виде е) = х0(г) + Ъгх (*) + ••• + + о(^г). (0.6)

Далее вводится новая конструкция - модификация Паде-аппроксимации начальной задачи с параметром, которая ранее в литературе не встречалась, но в разработке алгоритмов построения приближенных методов решения начальных задач с параметром в дальнейшем оказывается полезной для построения приближенного решения задачи ( 0.2) - ( 0.3) на основе асимптотик xe-+o(t,e) и x^^t, е).

Определение 0.4 Назовем модификацией Паде-аппроксимации порядка [п/п] решения начальной задачи ( 0.2) - ( 0.3) конструкцию вида а n(i) + än (т)) еп + (ani(i) + äni(r)) е""1 + • • • + a0(i) + ä0(r) ra/n] — bn(i) £n + bni(i) + • • • + bi(i) £ + 1

-, (0.7)

Здесь г = а коэффициенты в ( 0.7) есть неизвестные гладкие функции своих аргументов, которые определяются из требования равенства предела выражения ( 0.7) при £ —> 0 ряду ( 0.4), а при £ —> оо — ряду ( 0.6). Вводятся следующие системы a(t)=X0(t)h(t), п-1 г а(т) = £-По(т)1/Ь«(0), г=0

0.8) п—1 Я

Xoo(t) b(i) = M0a(i) + £ 7 VM0 ä^(0). г=0 ггде а (*) =

71—1 -MoXo(i)) =(£ i-0 £ L1 Mo (£ ^ По^(0) V b® (0))), 1■ j=oJ- a0(t) ^ ' ä0(i) ^ f 1 1 ax(t) , ä(t) = h(t) , b(i) = h(t) — v an(t) ) V än{t) J

0.9)

0.10) есть векторы размерности n + 1, составленные из неизвестных коэффициентов

Паде в ( 0.7).

Хо(*)

Х0Ц) 0 0 0 0 хг{г) х0(г) 0 0 . 0 х2® Ы*) 0 0

0.11) г) . Х0{г) ) матрица размерности (п + 1) х (п + 1), составленная из коэффициентов регулярного ряда в разложении ( 0.4),

По (г)

П0ж(т) ООО П1ж(г) П0а;(г) 0 0

П 2х(т) Пха;(т) П 0х(т) 0

0 0 0

- (0.12)

У Ппх(т) Пп1гс(г) Пп-2х(т) Ппзж(г) . П0ж(т) матрица размерности (п + 1) х (п + 1), составленная из коэффициентов пограничного ряда в разложении ( 0.4),

Ь =

0 0 0

1 о о

0 1 о

0 0 1 о о о о о о о о

У о о 0 . 1 о матрица размерности (п + 1) х (n + 1), /

Xoo(t)

О О О

О О О

О 0 X0{t)

О X0(t) X^t) X0(t) Xi(t) X2(t)

X0(t) X^t) . Xn2(i) Xn-x(t) Xn{t)

0.13)

M0 =

0 0 . 0 0 1 0 0 . 0 1 0 0 0 . 1 о 0 V

1 0

ООО матрица размерности (n + 1) x (n + 1), составленная из коэффициентов регулярного ряда в разложении ( 0.6). Доказывается, что при условиях, гарантирующих построение асимптотик при е —>■ 0 и е —> оо, можно построить Паде-аппроксимацию решения задачи ( 0.2) - ( 0.3).

Теорема 0.1 Пусть в задаче ( 0.2) - ( 0.3) выполнены условия1 теоремы Васильевой А.Б., и для %-ой компоненты вектора решения система ( 0.9) разрешима относительно b(t) таким образом, что полином bn(i) sn + bni(i) еп~1 +----1- bx(i) е + 1 не имеет нулей при t е [0, Т].

Тогда аппроксимация Паде ( 0.7) для i-ой компоненты вектора решения задачи ( 0.2) - ( 0.3) существует на [0, Т], и коэффициенты определяются из ( 0.8).

На основании этой теоремы строится новый алгоритм построения приближенного решения начальных задач с параметром вида ( 0.2) - ( 0.3).

Васильева А.Б, Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973, 272 с.

Алгоритм 0.1

1. При достаточно малых значениях е задача - сингулярно возмущенная. Асимптотика порядка п задачи ( 0.2) - ( 0.3) при е —V 0 строится на основе метода пограничных функций и имеет вид ( 0.4)

2. При достаточно больших значениях е задача - регулярно возмущенная. Асимптотика порядка п задачи ( 0.2) - ( 0.3) при е —> оо строится на основе метода регулярных возмущений и имеет вид ( 0.6).

3. На основе двух построенных асимптотик порядка п для начальной задачи с параметром ( 0.2) - ( 0.3) строится аппроксимация Паде порядка [п/п], определяемая ( 0.7).

4- На основе минимизации квадрата невязки вдоль параметрического решения находятся "срединные" области изменения параметра, где достигается заданная точность приближения начальной задачи с параметром ( 0.2) - ( 0.3).

5. Если точность, заданная нами на шаге 1, оказывается недостигнутой (в рамках выбранной нами степени аппроксимации), то увеличиваем порядок Паде - аппроксимации в ( 0.7) и повторяем алгоритм с шага 1.

В § 1.2 демонстрируется работа алгоритма построения Паде - аппроксимации решения начальной задачи с параметром на примере следующей задачи

Ц = ~tt{t)X + ü{t) >0'tE в (°"14) ж(0,е)=®о, (0-15) где параметр е € [0, оо]. Для этой задачи строятся строятся Паде - аппроксимации порядков [1/1] и [2/2] как наиболее важных с точки зрения понимания поведения приближенных решений линейных начальных задач. Выбор этой задачи объясняется тем, что она имеет точное решение для любого е

ХгмЛЬе) = х0е^о'*■>*• + Г (0.16)

0 £ поэтому легко можно провести сравнительный анализ, во-первых, между точным решением Жщочн^, е)> асимптотикой и Паде-аппроксимацией £[„/„] при малых е, во-вторых, между точным решением Жточн(£>£)> асимптотикой Хе^оо^, е) и Паде-аппроксимацией Х[п/п] при больших е. Результаты представлены как аналитически, так и графически. Приведенные эксперименты показывают, что Паде-аппроксимация есть своеобразный "мост" между асимптотическими разложениями и существенно расширяет "область действия" асимптотик, то есть ту область изменения параметра е, где асимптотические приближения сохраняют высокую точность аппроксимации точных решений.

Во второй главе рассматриваются алгоритмы построения приближенных решений краевых задач с параметром, которые при малых значениях параметра имеют два пограничных слоя, на основе двух асимптотик - при малых и при больших значениях параметра. Рассматриваются краевые задачи с параметром вида г1{0,е) = г°1, ъ(1,е) = 4, у(0,е) = у°, (0.18) где 1<1 - ^-мерные, -Р2 - (М — &)-мерные, у, $ - п-мерные вектор-функции, г - вектор-функция размерности М, составленная из векторов г\, ^ - вектор-функция размерности М, составленная из векторов Р\, .Р2, параметр е € [0, оо).

В § 2.1 приводится ряд предварительных сведений и теорем, необходимых для построения асимптотик решения задачи ( 0.17) - ( 0.18), при е —> 0 и е —> оо. При е —> 0 задача ( 0.17) - ( 0.18) - сингулярно возмущенная, поэтому ее асимптотика порядка п строится на основе метода пограничных функций и имеет вид х£^0(г,е) =х(г,е) + иж(т0,£) + <Зж(тЬ£), = = (0.19) а х{г, е) = х0{г) + ехг(г) + • • • + £пхп(г) + 0(еп+1) есть регулярный ряд по е с коэффициентами, зависящими от

Т1х(т0, е) = Пож(го) + еП1х(т0) + • • • + епПпх{т0) + 0{еп+1) есть пограничный ряд, компенсирующий невязку регулярного ряда вблизи границы £ = 0,

Ях(тие) = Пож(п) + + • • • + £пЯпх(т1) + 0(еп+1) есть пограничный ряд, компенсирующий невязку регулярного ряда вблизи границы £ = 1.

Так же, как и для начальной задачи с параметром, для построения асимптотики решения начальной задачи ( 0.2) - ( 0.3) при е —> оо задача ( 0.2) - ( 0.3) 1 путем замены е = — приводится к регулярно возмущенной задаче с малым па-V раметром ¡л —» 0, поэтому при больших в (е —> оо) асимптотика решения задачи ( 0.17) - ( 0.18) выбирается в виде же-оо(*,е) = Х0У) + -Х^) + ■ ■ ■ + \хп(1) + 0(еп+1). (0.20) £п

Далее вводится новая конструкция - модификация Паде-аппроксимации краевой задачи с параметром, которая также ранее в литературе не встречалась, но в разработке алгоритмов построения приближенных методов решения краевых задач с параметром в дальнейшем оказывается полезной для построения приближенного решения задачи ( 0.17) - ( 0.18) на основе асимптотик же>0 (t,s) и xe^oo(t,e).

Определение 0.5 Назовем модификацией Паде-аппроксимации с двумя пограничными слоями порядка [п/п] решения краевой задачи ( 0.17) - ( 0.18) конструкцию вида п/п] — а n(t) + än(r0) + сп(г;))еп + (ani (t) + äni(rQ) + cn1(rJ))gn~1 bn(t) en + bni(i) £n~l + • • • + bi(i) e + 1 a0(i) + ä0(r0) + Со(т^)

0.21)

К(г) £п + Ь„1^) £п-1 + • • • + Ьх(*) е + 1' Коэффициенты в ( 0.21) есть неизвестные гладкие функции своих аргументов, которые определяются из требования равенства соотвествующих коэффициентов при различных степенях е в разложении ( 0.21) при е —»■ 0 и ряда ( 0.19), аналогично - в разложении ( 0.21) при е —> оо и ряда ( 0.20). Вводятся следующие системы a(t)=Xo(i)b(i),

Ы = Е!?По(го)Ь1Ь«(0), г=0 г[ п-1 Тг (0.22) c(T1) = Z^Qo(T1)LibU(l), i=о п-1 п-1 (j. 1 \г

XooCt) b(i) = M0a(i) + £ 1V Mo ä® (0) + £ V Mo с® (1),

0 L■ 1=0

Xoo(t) -MoXo(t))b(i) = S^^Mo (¿C2nS-j(0)LibW(0)) + n~1(i-1)iTi ik i=о • \j=o / (Q 23)

7 I i=0 \j=0 где (п + 1)-мерный вектор 6(71) определяется как с(т) =

1 60(71) ^

1) у Сп(п) матрица <Зо(т1) размерности (п + 1) х (п + 1), составленная из коэффициентов пограничного ряда, компенсирующего невязку регулярного ряда в окрестности точки ¿ = 1 в разложении ( 0.19), есть

Яох^) 0 0 0 . 0

ЗМъ) <Эож(т-1) 0 0 . 0

22х(п) Я\х{Т\) Гх) 0 . 0

Зо(п) (0.24) у (¿пх{т1) (2п-1Х(т1) Яп-2Х{Т1) (¿п-3х(т1) . . . (¡0х(т1) } В теореме (2.2) устанавливается, что при условиях, обеспечивающих существование асимптотик при е —>■ 0 и е —> оо, можно построить Паде-аппроксимацию решения задачи ( 0.17) - ( 0.18).

Пусть выполнены следующие условия:

I. Функции у, ¿), f(z,y,t) — достаточное число раз дифференцируемые функции в некоторой открытой области С? пространства переменных (г, у, ¿),

II. Уравнение Р(г, у, £) = 0 относительно 'г имеет в некоторой ограниченной замкнутой области £> пространства переменных (у, £) решение (корень) г = (р(у, €) такое, что

1. г = <р(у^) — непрерывная функция в Д

2. Точки {(р(у,€),у,г) € £ при (у, г) Е Д

3. Корень г = <р(у,Ь) является изолированным в Д т.е. существует такое г) > 0, что ^(г, у, £) ф 0 при 0 < \\г - ср(у, *)|| < V, (у, *) е Д

III. Уравнение

6у сИ /ЫуЛУЛ у(0) = У°. имеет единственное решение на сегменте 0 < £ < 1, причем точки (у, ¿) е И при £ (Е [0, 1], где Б — множество внутренних точек области И . Кроме того, предположим, что непрерывно дифференцруема по у в В. Введем так называемую (по терминологии Тихонова) присоединенную систему йт

Р{г,у,1), т> О,

0.25) в которой у и £ рассматриваются как параметры. В силу (2) г = 1р(у, является изолированной точкой покоя системы ( 2.1) при (у, I) е Б.

IV. Пусть собственные значения Л(^) матрицы функция = удовлетворяют условиям Ле < ОприО <t<l,i = 0Л

ДеЛг(^) > ОприО <£<1,г = /с + 1,М(в этом случае корень г = <р(у,Ь) будем называть условно устойчивым). Введем системы бШо^! в, т0 бШ0г2 т0 ^(г(0) + П0г,у(0),0), = ВД0) + ПО2,у(0),0),

0.26)

П0гх(0) = 4~ ^1(0), По^1 (го) -»• 0, П0г2(т0) 0, т0 оо,

С} 0^1 йт\ д,т\

Зо<г2(0) = 4~ Ы1), Фо^Ы -> 0, фоЗгЫ ->■ 0, п -»• оо,

V.

0.27)

1. Система ( 2.4) имеет интегральное многообразие (оно состоит из траекторий системы в ( 2.4), стремящихся к началу координат при т -»■ +оо), представимое в некоторой области G+ изменения n0Zi в виде Tl0z2 = Ф^ПоЗ].), а система в ( 2.5) имеет интегральное многообразие S~ (оно состоит из траекторий системы в ( 2.5), стремящихся к началу координат при Ti —> —оо), представимое в некоторой области G~ изменения Qqz2 в виде Q0Zi = <$>2{Q0z2),

2. 2?-I1(0)GG+ z%-Z2(1) e G~,

Теорема 0.2 Пусть в задаче ( 0.17) - ( 0.18) выполнены условия I — V, и для i-ой компоненты система ( 0.23) разрешима относительно вектора b(t) таким образом, что полином bn(t) еп + bni(t) еп~1 -I-----1- bi(i) е + 1 не имеет нулей при t G [О, Т].

Тогда аппроксимация Паде ( 0.21) для %-ой компоненты вектора решения задачи ( 0.17) - ( 0.18) существует на [О, Т], и ее коэффициенты определяются из ( 0.22).

На основании теоремы (2.2) предлагается алгоритм построения приближенного решения краевых задач с параметром вида ( 0.17) - ( 0.18).

Алгоритм 0.2

1. При достаточно малых е > 0 строится асимптотика порядка п решения задачи ( 0.17) - ( 0.18) в виде ряде ( 0.19).

2. При достаточно больших е > 0 строится асимптотика порядка п решения задачи ( 0.17) - ( 0.18) в виде ( 0.20).

3. На основе двух асимптотических разложений при е —> 0 и е —>■ сю порядка п строится аппроксимация Паде порядка [п/п], определяемая ( 0.7), краевой задачи с параметром ( 0.17) - ( 0.18),

4- На основе минимизации квадрата невязки вдоль параметрического решения находятся "срединные" области изменения параметра, где достигается заданная точность приближения краевой задачи с параметром ( 0.17) - ( 0.

5. Если точность, заданная нами на шаге 1, оказывается недостигнутой (в рамках выбранной нами степени Паде - аппроксимации), то увеличиваем порядок аппроксимации в ( 0.7) и повторяем алгоритм с шага 1.

В § 2.2 демонстрируется работа алгоритма построения Паде-аппроксимации решения краевой задачи с параметром на основе на примере следующей задачи = «.№ = 0, = Ш + zf - F2(t,е), mil) = 0, (0.28) dz e-~ = z2 + yl -Ftfae), ^(O) = e + ее-«, dz2 t e— = zi, z2{ 1) = e-ee «, где параметр e G [0, oo], Fi(t,e) = (esin |í)2,

7-, /, \ 01 -í tz±\o 7Г2 . 7Г , 7Г 71" m

F2{t,£} = £ {e e + e * y + —esm—t H—ecos —t. Точное решение задачи для

4 2 2 2 любого £ имеет вид

• ** Уг=£ sm -t,

7Г 7Г у2 = -е cos -t, y3 = £{e • + е « )» У4 = е(е-« (0.29) поэтому легко можно провести сравнительный анализ, во-первых, между точным решением асимптотикой при е —У 0 и Паде-аппроксимацией порядка [n/n] при малых во-вторых, между точным решением, асимптотикой при ечоои Паде-аппроксимацией порядка [n/n] при больших е. Результаты представлены как аналитически, так и графически. Приведенные эксперименты показывают, что Паде-аппроксимация также, как и в случае начальных задач, расширяет "область действия" асимптотик.

В третьей главе рассматривается применение CAB для приближенного решения задач оптимального управления. В частности, продемонстрирован подход к приближенному решению задач параметрического синтеза оптимального управления.

Подход заключается в комбинированном использовании возможностей CAB, прямых методов решения вариационных задач, методов асимптотического анализа и методов Паде - аппроксимаций . При решении ряда вариационных задач могут быть получены формулы субоптимального синтеза, зависящие от любых параметров задач. Этот же подход может применяться и для решения краевых задач математической физики с целью получения приближенного описания семейств решений, причем величина невязок при этом может регулироваться одним из параметров формулы семейства решений, отвечающим за точность выполнения ограничений. Формулы такого рода представляют интерес для инженеров- проектировщиков систем управления в реальном времени, т.к. позволяют избежать многократного интегрирования уравнений состояния для формирования оптимальной обратной связи.

В § 3.1 для иллюстрации предлагаемого подхода рассматривается пример линейной задачи стабилизации температурного поля в тонкой круглой пластине. Постановка задачи выглядит следующим образом

0.30)

I т(о,х) |< оо, ^ = 0, хе(0,1), (-1№[т(е, и) - и(е)] = 0, ее (0,1) где ¿i = 0, ¿2 = 1, г = 1,2, к = R/h, 0 < h 1, R - радиус пластины, h - толщина, д, х - безразмерные цилиндрические координаты; ti(g) = u(^) -управление, переменная температура внешней среды. Отметим, что мы ищем осесимметрические решения. Итак, температуру внешней среды и(д) выбираем из условия минимизации (в среднеквадратичном) распределения температуры пластины.

Для решения данной задачи применяются прямые методы вариационного исчисления в среде CAB. Чтобы облегчить работу CAB и повысить точность расчетов, проводится асимптотический анализ задачи, так как в ней присутствует параметр е = к~2, и наше уравнение при малых е - сингулярно возмущенное.

На основе этого анализа мы получаем качественное начальное приближение. Здесь мы ограничимся неравномерным нулевым приближением. Управление и(д) ищем в виде многочлена по степеням д и(д) = о сг 8г■ Используя квадратичный штраф, избавимся от ограничений. В результате приходим к задаче на безусловный экстремум

F(c1,.,cn) = f01f01T2dgdx+ ах/о1/о1 (AT)4gdx + atSi где oti - коэффициенты штрафа % = 1,2. При стремлении сц к бесконечности точность выполнения ограничений может повышаться. В силу линейности ограничений мы имеем квадратичную задачу минимизации. Применение CAB связано с нахождением аналитических представлений коэффициентов q как функций параметров от», t2. Hi,к и др. из решения линейной градиентной системы. Полученные выражения для с, позволяют описать семейство субоптимальных управлений в виде параметрического синтеза.

Исследовании невязки ai jj /01(AT)2d^da; + аг jg [^g^] da; показывает, что не зависимое от е стремление параметра штрафа к сю невозможно. Анализ выражения для невязок по

ЭТ (1,х) . 9в 6 dz I—^ min, называет, что при а —>■ оо они, вообще говоря, не стремятся к нулю (в частном случае, когда h\ = 0, /г2 = 0, невязки были равными нулю, так как было найдено точное решение, поэтому достигалась неограниченная точность.)

В общем же случае, когда среди предложенного семейства решений для зависимости температуры Т от параметров задачи, найденного на основе асимптотического анализа, нет точного решения, метод штрафных функций, вообще говоря, не дает произвольной точности, и здесь мы можем только говорить лишь о сохранении асимптотических свойств предложенного семейства решений.

После согласования параметра штрафа и малого параметра можно утверждать, что нами получено аналитическое асимптотическое решение задачи оптимального управления ( 3.1) в виде параметрического синтеза по параметрам hi, h2, Hi, Н2, k, t2. При этом достигается асимптотическая точность выполнения ограничений порядка 0(е*) в среднеквадратичной норме.

В § 3.2 на примере задачи оптимального управления

I£(u) = ^i(l)2 + Ж2(1) + \ (у( 1) - I)2 min, (0.32) xi = -xl + у, a?i(0) = 0, < х2 = ^и2, х2(0) = 0, (0.33) еу=-у + и, у(0) = 2,ее [0, оо), t е [0, 1]. демонстрируется возможность применения Паде - аппроксимаций для построения субоптимального параметрического синтеза управления. Требуется выбрать управляющую функцию u(t) из класса непрерывных функций без ограничения на ее значения так, чтобы минимизировать функционал ( 0.32). При е 0 задача ( 0.32) - ( 0.33) - сингулярно-возмущенная. Численные методы, разработанные для решения задач оптимального управления, слишком чувствительны как к погрешностям, возникающим на каждом шаге алгоритма, так и к выбору начального приближения для управления.

Для решения задачи ( 0.32)- ( 0.33) итерационными методами в качестве начального приближения управления использовалась асимптотика управления нулевого порядка при малых е. При этом с уменьшением е эффективность вычислений резко возрастала.

Наша цель - построить приближенное аналитическое выражение для управления и(е,£), где е € [0, оо], то есть построить приближенный параметрический синтез оптимального управления в исходной задаче. Параметрический синтез строится на основе Паде - аппроксимации, введенной в главе 2. Паде - аппроксимацию ира(1е(£,1) будем строить на основе двух предельных асимптотик для управления и <х> (£,£), которые являются структурными качественными приближениями оптимального управления, т.е. фактически Паде - аппроксимация управления может рассматриваться как приближенный параметрический синтез допустимого управления, который для крайних областей изменения параметра обладает свойством субоптимальности.

Как показывают расчеты, Паде - аппроксимация асимптотических конструкций для оптимального управления дает значения функционала лучше, чем любое структурное приближение управления при любом е € (0, оо).

Таким образом, Паде - аппроксимация является хорошим претендентом для начального приближения управления в итерационных пакетах по оптимальному управлению. Построение Паде - аппроксимации можно положить в основу блока формирования начального приближения оптимального управления в прикладных пакетах.

В Заключении формулируются основные результаты диссертации.

В приложении содержатся тексты программ, написанных в системе МАРЬЕ, для нахождения Паде-аппроксимаций начальных и краевых задач, а также для нахождения приближенного решения краевой задачи специального вида.

Приложения

Результаты работы могут быть использованы для приближенного решения начальных и краевых задач с параметром. На основе предложенных методов разработаны программы для работы в CAB MAPLE, которые могут быть использованы для приближенного аналитического решения указанных задач.

Аппробация работы

Основные результаты работы докладывались автором на Международном рабочем совещании "Сингулярные решения и возмущения в системах управления" (26-30 июня 1995 г., Переславль-Залесский), на Международном рабочем совещании "Новые компьютерные технологии в системах управления" (28 июля-2 августа 1996 г., Переславль-Залесский), на математической школе "Руза-99" (январь 1999, Руза Московской обл.), на семинарах в ИПС РАН и УГП.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 6 работ, из них 4 в соавторстве. Личный вклад в совместные публикации следующий: в [60-62] - часть алгоритмов и все численные расчеты, в [65] - идея формализма и схема работы принадлежат соавтору, а матричный формализм и численные расчеты - соискателю.

Структура

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, литературы и приложения . Текст диссертации содержит 108 страниц, библиография - 45 наименований, приложения - 32 страницы. Основные результаты диссертации содержатся в работах [40-45].

Заключение

Основные результатаы диссертации:

1 Новые Паде-конструкции, учитывающие специфику граничных условий начальных и краевых задач и алгоритмизация нахождения предложенной Паде - аппроксимации.

2 Достаточные условия существования введенных Паде-аппроксимаций для некоторых классов начальных и краевых задач.

3 Алгоритм нахождения приближенных параметрических пучков решений для некоторых классов начальных и краевых задач с малым параметром.

4 Реализация алгоритмов нахождения Паде-аппроксимаций решений некоторых классов начальных и краевых задач с параметром в системе MAPLE демонстрация их эффективности, в т.ч. и при построении субоптимальных управлений в задачах оптимального управления. Суть модификации - в качестве базиса выбирается асимптотика. Для регулирования точности используется метод штрафа. А затем на основании точных расчетов с помощью CAB проводится согласование параметра штрафа с малым параметром задачи с целью повышения порядка асимптотического приближения.

1. Федорюк M.B. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений - М.: Наука, 1983.

2. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981, 400 с.

3. Васильева А.Б, Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973, 272 с.

4. Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления. Итоги науки и техники. Мат. анализ, т. 20. М.: ВИНИТИ, 1982, с. 3-77.

5. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимтотические методы в теории нелинейных колебаний.-М.: Наука, 1974.

6. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968.

7. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972.

8. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.

9. Тихонов А.Н., Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных Математ. сборник, 1952, т.31 (73), N3, с.575-586.

10. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения М.: Наука, 1974.

11. Ломов С.А., Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981.

12. Вишик М.И., Люстерник Л.А., Регулярное вырождение и пограничный слой длля линейных дифференциальных уравнений с малым параметром -УМН, 1957, т.12, N5, с.3-122.

13. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем М.: Мир, 1983.

14. Захаров А.Ю., Сравнение численных методов решения "жестких" систем обыкновенных дифференциальных уравнений М., 1979., - 20 стр. (Препринт / Ин-т прикл. математики им. М.В. Келдыша АН СССР N 124).

15. Stoutemyer D.R., Analitical optimization using computer algebraic manipulation, ACM Trans. Math. Software, 1975. V.l. June.

16. Климов Д.М., Ефимов Г.В., Руденко B.M., Самсонов М.А., Методы исследования сложных механических систем и вычислительная техника. Оптимизация и моделирование в САПР. Горький, 1985.

17. Леонов В.В., Использование КА в задаче алгоритмизации на ЭВМ метода осреднения, Пакеты прикл. прогр. Опыт использования. М.: Наука, 1989.

18. Пендюхова H.В., Соболев В.А., Пакет символьных вычислений SLOWMAN для анализа сингулярно возмущенных систем, Интеллектуализация программных средств. Новосибирск: Наука. Сиб.отд-ние. 1990.

19. Mills R.D., Using a Small Manipulation System Differential Integral Equations by Variational and Approximation Techniques, J. Symbolic Computation, 1987. V. 3. N 3.

20. Andersen C.M., Geer J.F., Investigating a Hybrid. Perturbation -Galerkin Technique using Computer Algebra, J. Symbolic Computation, 1991. V. 12. N 6.

21. Дмитриев M.Г., Применение метода штрафа для решения краевых задач на основе CAB, Информатика и системный анализ. Ашхабад: ЦПМАИ, 1990.

22. Дмитриев М.Г., Аннаниязов К.О., Балин Е.А., Численно-аналитические методы решения задач матфизики и управления, Изв. АН ТССР. Сер. физ.-техн., хим. и геол. наук. 1990. N 4.

23. Ортега Дж., Рейнболдт В., Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.

24. Фильчаков П.Ф., Численные и графические методы прикладной математики. Киев: Наукова Думка, 1970.

25. Глизер В.Я., Дмитриев М.Г., Доррер Г.А., Решение задачи аналитического конструирования регулятора методом продолжения по параметру: Тез. докл. IY Всесоюзной конф. по теоретической кибернетике. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1977.

26. Гончар A.A., Рахманов Е.А., Сорокин В.Н. Об аппроксимациях Эрмита-Паде для систем уравнений марковского типа, Математический сборник, 1997, N5, стр.23.

27. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимация Паде. М.: Мир, 1986, 502 с.

28. Delia Dora, J. and Di Crescento, С. (1979), "Approximation de Padé-Hermite", in L. Wuytack (ed.), Padé Approximation and Its Applications, Springer Lecture Notes in Mathematics, No. 765, Berlin, pp. 88-115.

29. Нестеренко Ю.В., Приближения Эрмита-Паде обобщенных гипергеометрических функций, Математический сборник, 1994, N10, стр.30.

30. Калягин В.А., Аппроксимации Эрмита-Паде и спектральный анализ нес-симетричных операторов, Математический сборник, 1994, N6, стр.43.

31. Иванков П.Л., О линейной независимости значений некоторых функций, Фундаментальная и прикладная математика, 1995, т.1, вып.1, стр.191-206.

32. Гольдман А.Ю.,Моделирование динамических систем с распределенными параметрами на основе матричного представления аппроксимаций Паде, 7-ая Всероссийская школа-семинар "Современные проблемы математического моделирования", Ростов-на-Дону, 1997.

33. Olav Njástad, Convergence propeties related to p-point Padé approximants of Stieltjes transform., J. Approx. Theory, Volume 73, Number 2, May 1993, pp.

34. Bernhard Beckermann, Jacek Glewichz and Valeri Kaliaquine, On the definition and Normality of the General Table of Simultaneous Pade approximants, J. Approx. Theory, Volume 77, N1, April 1994, pp. 65-73.

35. Андрианов И.В., Маневич Jl.И. Асимптология: Идеи. Методы. Результаты. М.: Аслан, 1994, 159 с.

36. Baker G.A.,Jr. (1965), "The theory and application of te Pade approximant method", Advanced in Theoretical Physics, 1, 1-58.

37. Lambert, F. (1980), "Padee approximants and closed form solutions of the KDV and MKDV equations", Zeit für Physik (Particles and Fields), 5, 147150.

38. Turchetti, G. (1980), "Padee approximants and soliton solutions of the KDV equation", Lett Nuovo Cim., 27, 107-110.

39. Беляева Н.П., Дмитриев М.Г., Компьютерная алгебра в системах управления: некоторые проблемы и постановки. // Теоретические и прикладные основы программных систем: Сб. трудов. Переславль-Залесский, ИПС РАН, 1994, с.265-280.

40. N.P.Belyaeva, M.G.Dmitriev, Penalty function Methods in Control Problems and Computer Algebra systems, Proceedings of1.ternational Workshop "New Computer Technologies in Control systems", July 11-15, 1994, Pereslavl-Zalessky, Russia, pp.16-19.

41. N.P.Belyaeva, M.G.Dmitriev, Real Time Penalty Function Method and Computer Algebra Systems, The Rhine Proceedings of the Rhine Workshop of Computer Algebra, Karlsruhe, March 22-24, 1994, pp.39-43.

42. N.P. Belyeva, Computing the simmetries of nonlinera evolution equations in 2+1 dimension, Proceedings if International Workshop "Singular solutions and pertubations in control systems", June 26-30,1995, Pereslavl-Zalessky, Russia, p.13.

43. N.P. Belyaeva, On formal construction of the symmetries for nonlinear evolution equations, Proceedings of International Workshop "New computer technologies in control systems", July 29 August 2, 1996, Pereslavl-Zalessky, Russia, p.9.

44. Н.П. Беляева, М.Г. Дмитриев. Сращивание асимптотик решения начальной задачи с параметром на основе Паде аппроксимации, В кн.: "Программные системы", М.: Наука, 1999, с.66-71.