автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Решение задач строительной механики методом конечных элементов в напряжениях на основе функционала дополнительной энергии и принципа возможных перемещений

На правах рукописи

Тюкалов Юрий Яковлевич

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В НАПРЯЖЕНИЯХ

НА ОСНОВЕ ФУНКЦИОНАЛА ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ И ПРИНЦИПА ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Специальность 05.23.17 - строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва 2006

003067952

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Вятском государственном университете

Официальные оппоненты - доктор технических наук, профессор

Коренева Елена Борисовна доктор технических наук Назаров Юрий Павлович доктор технических наук, профессор Шапошников Николай Николаевич

Ведущая организация - ОАО «ЦНИИПромзданий»

Защита состоится ор-Я&ралЗ 2007 г в час на заседании специализированного совета *Д 21^ 138 12 при ГОУ ВПО Московском государственном строительном университете по адресу 113114, г Москва, Шлюзовая набережная, д 8, ауд № НОВ .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Московского государственного строительного университета

Автореферат разослан 2006 г

Ученый секретарь диссертационного совета

НН Анохин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из основных задач, возникающих при проектировании строительных конструкций, является задача определения полей перемещений и напряжений от действия заданных на конструкцию нагрузок При этом поле напряжений имеет первостепенное значение В настоящее время наиболее распространенным и универсальным методом расчета строительных конструкций является метод конечных элементов В соответствии с этим методом, любая самая сложная конструкция разделяется на большое число подобластей (конечных элементов), имеющих простую геометрическую форму Описание напряженно-деформированного состояния каждого конечного элемента производится при помощи выбираемого набора функций, которые приближенно представляют перемещения и напряжения в области рассматриваемого элемента Для получения разрешающих соотношений, как для отдельного конечного элемента, так и для всей конструкции чаще всего используются энергетические принципы Основополагающими являются - принцип минимума потенциальной энергии, или принцип Лагранжа, и принцип минимума дополнительной энергии, или принцип Кастилиано На основе указанных выше принципов разработаны различные гибридные и смешанные вариационные принципы Наиболее известные из них - это принципы Рейсснера, Ху-Вашицу, Херр-мана

Самым распространенным и универсальным является метод конечных элементов, использующий принцип Лагранжа В этом случае аппроксимируется только поле перемещений, а напряжения вычисляются через дифференциальные зависимости, связывающие перемещения и деформации, а также уравнения состояния материала, и поэтому определяются с меньшей, чем перемещения, точностью Погрешность решения также может бьггь связана с неточным выполнением уравнений равновесия, уравнений совместности деформаций и с возможными разрывами напряжений и деформаций по границам конечных элементов При определенных условиях решение, полученное на основе функционала Лагранжа, обеспечивает нижнюю границу перемещений

Верхнюю границу решения, опять же при определенных условиях, можно найти, если использовать принцип минимума дополнительной энергии (принцип Кастилиано) При этом величины напряжений могут непосредственно использоваться в качестве неизвестных параметров и поэтому, как следует ожидать, могут быть определены с более высокой точностью В соответствии с принципом Кастилиано поле напряжений, доставляющее минимум дополнительной энергии системы, удовлетворяет уравнениям совместности перемещений и заданным граничным условиям для перемещений При этом выбираемое поле напряжений должно априори удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия внутри тела

и заданным значениям напряжений на границе области, что в значительной степени усложняет, а чаще всего исключает, прямой подбор таких функций Поэтому приходится вводить дополнительные функции, называемые функциям напряжений, а напряжения вычислять в виде производных от данных функций Такой подход нивелирует все возможные преимущества использования функционала Кастилиано Если в качестве неизвестных выбрать узловые силы, то получить соответствующие формулировки на основе выражения дополнительной энергии намного труднее, по сравнению с выражениями, получаемыми из принципа минимума потенциальной энергии Это усложнение связано с тем, что для статически неопределимой (внутренне и внешне) конечно-элементной расчетной схемы нельзя напрямую связать внутренние узловые силы и внешние нагрузки Для получения матрицы податливости всей конструкции необходимо выполнить большое число матричных операций, включая операцию обращения матрицы большого размера Большие вычислительные затраты и сложность алгоритма решения сдерживают практическое применение данного подхода

Таким образом, учитывая результаты многочисленных исследований по применению метода конечных элементов для решения различных задач строительной механики, можно сделать следующие выводы об актуальности темы диссертации

- актуальной остается проблема более точного определения напряженного состояния конструкции путем построения решения методом конечных элементов на основе использования функционала Кастилиано,

- при решении задач методом конечных элементов во многих случаях актуальной является проблема получения непрерывных полей напряжений и деформаций,

- актуальной является проблема построения решения методом конечных элементов на основе функционала дополнительной энергии при использовании единственного обобщенного поля напряжений, с целью получения верхней границы решения

Целью диссертационной работы являются

- разработка методики решения задач строительной механики в напряжениях на основе функционала дополнительной энергии деформаций и конечно-элементной дискретизации предметной области, с целью более точного моделирования напряженного состояния, а также получения верхней границы решения,

- разработка алгоритмов и численное исследование предлагаемой методики для решения различных задач строительной механики

Научная новизна работы заключается в следующем

- разработана методика решения статических и динамических задач строительной механики в напряжениях, основанная на минимизации дополнительной энергии деформаций дискретизированной предметной области, при наличии ограничений в виде системы алгебраических уравне-

ний равновесия, полученных при помощи принципа возможных перемещений и при использовании для аппроксимации напряжений по области конечного элемента линейных, постоянных или кусочно-постоянных базисных функции,

-разработан алгоритм решения задачи минимизации функционала дополнительной энергии при наличии системы линейных ограничений методом функций штрафа, разработана методика автоматического определения величины параметра функции штрафа, разработана методика определения перемещений по полученным напряжениям,

- для случаев использования постоянных или кусочно-постоянных аппроксимаций напряжений разработан алгоритм решения задачи минимизации функционала дополнительной энергии при наличии системы линейных ограничений методом множителей Лагранжа,

- на основе решения ряда тестовых задач показано, что использование для аппроксимации напряжений постоянных и кусочно-постоянных аппроксимаций позволяет получить верхнюю границу перемещений при решении задач изгиба плит, плоских и объемных задач теории упругости

Достоверность результатов обеспечивается сравнением результатов расчетов, полученных по предложенным методикам, с аналитическими, экспериментальными и численными данными, опубликованными в ведущих научных изданиях, а также экспертными оценками специалистов в области строительной механики, полученными при обсуждении диссертации на научных конференциях и семинарах

Практическое значение диссертационной работы заключается в разработке методики решения задач строительной механики методом конечных элементов в напряжениях, позволяющей более точно оценивать напряженно-деформированное состояние конструкций и, тем самым, обеспечивать при их проектировании принятие более надежных и экономичных решений

Апробация работы. Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались на всероссийских научно-технических конференциях в ВятГУ (Киров, 2002-2006 годы), на семинаре кафедры «Строительной механики» МГСУ (Москва, 2004 год), на семинаре кафедры «Прикладной математики и информатики» МГСУ (Москва, 2005 год), на совместном семинаре кафедр «Строительной механики», «Прикладной математики и информатики», «Сопротивления материалов» МГСУ (Москва, 2006 год), на расширенном заседании кафедры «Теоретической и строительной механики» ВятГУ (Киров, 2006 год)

Публикации. Основные научные результаты диссертации опубликованы в 29 научных работах

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, шести разделов, основных выводов и списка литературы Общий объем 314 стр В

том числе 299 стр основного текста, 129 рисунков, 35 таблиц, библиография 150 наименований (15 стр )

Работа выполнена на кафедре «Теоретической и строительной механики» Вятского государственного университета

На защиту выносятся:

- методика решения статических и динамических задач теории упругости и пластичности в напряжениях, основанные на минимизации дополнительной энергии деформаций, и использующие для представления напряженно-деформированного состояния дискретизированной предметной области линейные, постоянные или кусочно-постоянные аппроксимации напряжений,

- использование принципа возможных перемещений для получения алгебраических уравнений равновесия узлов конечно-элементной сетки, которые являются сопряженными с соответствующими дифференциальными уравнениями равновесия и статическими граничными условиями,

- использование метода штрафных функций для решения задачи минимизации дополнительной энергии при наличии ограничений на область выбора неизвестных параметров, представленных в виде линейных алгебраических уравнений равновесия узлов, методика автоматического выбора величины параметра штрафных функций, методика вычисления перемещений узлов,

- методика решения динамических задач с учетом пластических деформаций в напряжениях,

- методика получения верхней, с точки зрения перемещений, границы решения для задач изгиба плит, плоской и пространственной теории упругости, основанная на использовании постоянных и кусочно-постоянных аппроксимаций напряжений по области конечных элементов

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность исследуемой проблемы, формулируется цель и задачи диссертационной работы, дается характеристика выполненных исследований, а также представлен обзор литературы, посвященной численным методам решения задач строительной механики

В настоящее время наиболее распространенным и универсальным методом расчета строительных конструкций является метод конечных элементов В соответствии с этим методом, любая самая сложная конструкция разделяется на большое число подобластей (конечных элементов), имеющих простую геометрическую форму Описание напряженно-деформированного состояния каждого конечного элемента производится при помощи выбираемого набора функций, которые приближенно представляют перемещения и напряжения в области рассматриваемого элемента Для получения разрешающих соотношений, как для отдельного конеч-

ного элемента, так и для всей конструкции чаще всего используются энергетические принципы Основополагающими являются - принцип минимума потенциальной энергии, или принцип Лагранжа, и принцип минимума дополнительной энергии, или принцип Кастилиано На основе указанных выше принципов разработаны различные гибридные и смешанные вариационные принципы Наиболее известные из них - это принципы Рейсснера, Ху-Вашицу, Херрмана и др

В большинстве работ по методу конечных элементов для получения разрешающих уравнений используется принцип Лагранжа К основополагающим работам в этой области относятся работы многих зарубежных и отечественных авторов О Зенкевича, Р Галлагера, Дж Одена, Дж Орги-риса, Г Стренга, Л Сегерлинда, Л А Розина, В А Постнова, А Ф Смирнова и др При использовании функционала Лагранжа для представления напряженно-деформированного состояния используется поле перемещений, которое приближенно может быть представлено при помощи полиномов различного порядка При этом напряжения, являющиеся наиболее важными параметрами, вычисляются через производные от перемещений и, следовательно, как правило, имеют разрывы по границам конечных элементов, а также меньший по сравнению с перемещениями порядок точности Стремление устранить данные недостатки побудило многих специалистов использовать для построения решения методом конечных элементов другие вариационные принципы

В ряде работ по методу конечных элементов исследуются особенности применения принципа Кастилиано, который позволяет использовать для построения решения непосредственно аппроксимации полей напряжений К данному направлению относятся работы таких авторов как О Зенкевич, М Gurtin, Р Галлагер, Л А Розин, М Секулович, Д Б Бирюков, В С Постоев, А А Амосов, В И Сливкер, А А Чирас, J Wolf и др Основная трудность при использовании принципа минимума дополнительной энергии связана с необходимостью выбора таких аппроксимирующих напряжения функций, которые удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия и статическим граничным условиям Если в качестве неизвестных выбрать узловые силы, то получить соответствующие формулировки на основе выражения дополнительной энергии намного труднее, по сравнению с выражениями для формулировки, получаемой из принципа минимума потенциальной энергии Это усложнение связано с тем, что для статически неопределимой (внутренне и внешне) конечно-элементной расчетной схемы нельзя напрямую связать внутренние узловые силы и внешние нагрузки Для получения матрицы податливости всей конструкции необходимо выполнить большое число матричных операций, включая операцию обращения матрицы большого размера Большие вычислительные затраты и сложность алгоритма решения сдерживают практическое применение данного подхода

М Ош1т для решения задач динамики в свертках ввел функционал, определенный только на полях напряжений, которые не обязаны удовлетворять каким либо уравнениям равновесия или краевым условиям Дифференциальные уравнения равновесия удовлетворяются в слабом смысле (интегрально) путем введения их в функционал при помощи штрафа Позднее функционалы такого типа были распространены и на задачи статики при наличии упругой среды с невырожденным оператором Расширение этой возможности на задачи без упругой среды возможно при помощи формального ввода в механическую модель упругой среды Эта искусственно введенная среда играет роль штрафа в постановке задачи, слегка искажающего решение, но зато дающего возможность удобного перехода к формулировке вариационной задачи только в напряжениях

В смешанных функционалах, например в известном функционале Рейсснера, используются два поля внутри элемента для описания перемещений и напряжений (сил) соответственно В результате вариации функционала по напряжениям (силам) и перемещениям получаем смешанную матрицу связи между напряжениями (силами) и перемещениями Смешанная матрица является симметричной, но может иметь ряд нулевых элементов на главной диагонали Поэтому, если не исключать параметры, относящиеся к напряжениям или перемещениям, решение системы уравнений для всей конструкции значительно усложняется за счет увеличения общего числа неизвестных и из-за появления нулевых коэффициентов на главной диагонали Если параметры, относящиеся к одному из полей исключить, то можно получить положительно определенную матрицу Таким образом, применение в гибридных и смешанных функционалах нескольких полей для описания напряженно-деформированного состояния конечного элемента снижает уровень требований к гладкости аппроксимирующих эти поля функций, но, в общем случае не гарантирует непрерывность напряжений по границам элементов

В работах М В Белого, В Г Вельского, В Е Булгакова, А Б Золо-това, С Ю Фиалко развиваются многосеточные методы решения краевых задач большой размерности Данные методы для построения решения используют последовательность нескольких сеток, начиная с более крупных Использование легко обратимых операторов и решений, полученных на крупных сетках, позволяет построить хорошо сходящийся итерационный процесс и значительно ускорить решение задач с большим количеством неизвестных

В последнее время появились работы А Б Золотова, П А Акимова, посвященные разработке аналитико-численных методов решения краевых задач строительной механики Областью применения таких методов являются конструкции, здания и сооружения, в которых имеется постоянство физико-геометрических характеристик по одному из координатных направлений Предлагаемый в данных работах дискретно-континуальный

метод конечных элементов позволяет получать решения в аналитической форме, способствующей улучшению качества исследования рассматриваемых объектов Метод особенно эффективен в зонах краевого эффекта

В первом разделе рассматриваются принципы построения решения на основе функционала дополнительной энергии (1)

пс = ^ |МТ [£]"' {<г}Л1 - Дг}т {л}^ ->тш (1)

¿а

Для случая плоской задачи линейной теории упругости {сг} = (сгх оу - вектор поля напряжений, [£]"' - матрица упругих

констант, {г}-({ГхТуУ - вектор поверхностных усилий, [л\=(и V-

вектор заданных граничных перемещений В методе конечных элементов предметная область представляется сеткой (набором) конечных элементов Для задания полей напряжений по области конечного элемента в качестве параметров аппроксимирующих функций используем величины узловых напряжений (усилий) В общем случае обобщенное поле напряжений конечного элемента представим в следующем виде

(2)

где [Л^] - матрица функций форм, {ст} - вектор узловых значений напряжений (усилий) В качестве функций форм можно использовать простые линейные базисные функции, обеспечивающие непрерывность напряжений (усилий) по всей области решаемой задачи, а также постоянные или кусочно-постоянные функции После подстановки соотношения (2) в (1) в случае отсутствия заданных перемещений получим следующее матричное выражение функционала дополнительной энергии

шш (3)

В соответствии с принципом Кастилиано выбираемые поля напряжений должны удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия и статическим граничным условиям Поэтому, после дискретизации предметной области, при помощи принципа возможных перемещений получим алгебраические уравнения равновесия сил для узловых точек по направле-

ОС > г-

/ \ \бы, =1 х 5 X

I / / /

У

у5

\ =1 V*

а 2 а о - а а) б)

Рис 1 Возможное перемещение узла и / окружающих его элементов а - внутри области, б - на границе области

нию осей координат и используем их в качестве ограничений при минимизации функционала (3) В соответствии с принципом возможных перемещений, для системы, находящейся в состоянии равновесия, сумма потенциала всех внешних сил 5V и энергии деформации <ЯУ при возможных перемещениях 5Л равна нулю

Ш + ЗУ = 0 (4)

Для аппроксимации возможных перемещений по области конечных элементов, примыкающих к рассматриваемому узлу, используются линейные базисные функции На рис 1 показан пример перемещений точек, окружающих узел элементов при возможном перемещении вдоль оси X Функцию перемещений для одного из них можно записать в следующем виде

ди'Хх.у^Щх.у) (5)

Такие линейные базисные функции Ц(х,у) для плоских и объемных конечных элементов хорошо известны Величина возможных перемещений может быть любой, поэтому примем Зи[ — 1 Тогда

6и?(х,у)=Ц(х,у) (6)

При выборе такого поля возможных перемещений деформации будут возникать только в конечных элементах, примыкающих к рассматриваемому узлу Величины возможных деформаций вычисляются через производные выражений типа (6) Например, для плоского напряженного состояния, перемещения ёи*(х,у) вызовут следующие деформации

Зе1=дМ (7)

дх ду

Энергию деформации конечного элемента е представим в виде произведения вектора коэффициентов и вектора неизвестных узловых напряжений рассматриваемого элемента

5П:Х = $тя3ех + т^у^П = ¡С,', }Т {¿Г } (8)

п.

В выражении (8) индекс е обозначает номер конечного элемента, нижний символ х - направление перемещения узла ; (ось координат) £2е - площадь конечного элемента е Энергия деформации всех конечных элементов, примыкающих к узлу 1,

(9)

ееЭ,

Э, - множество конечных элементов, примыкающих к узлу / {<т;} - вектор узловых напряжений всех элементов из множества Э, {с, х} - вектор суммарных коэффициентов, стоящих при соответствующих узловых напряже-

ниях Аналитические выражения для коэффициентов приведены в

следующих главах для различных видов конечных элементов

Потенциал внешних нагрузок при возможном перемещении

(ю)

ееЭ, П,

Р, х - сосредоточенная сила, приложенная в узле / по направлению оси X,

цс1Х - распределенная по площади конечного элемента нагрузка Положительные направления нагрузок приняты противоположными положительным направлениям перемещений

Очевидно, что если перемещение какого-либо узла исключено, то уравнение равновесия для данного направления не формируется, так как возможные перемещения должны удовлетворять наложенным на систему связям В общем случае, для каждого узла можно составить три уравнения равновесия, например, для осей координат X, X и Ъ Такую систему алгебраических уравнений для всех узлов запишем в следующем матричном виде

(с.ЛК^О, |6Я,

^,у}т{а,}+Риу= 0, ¡еЕу (11)

{с,г}г{<г,}+^г=0,

Ех, Еу и Е2 - обозначают множества узлов, в которых не исключены перемещения вдоль осей X, У, и г соответственно В уравнениях (11) под символом <х, понимается, как неизвестное узловое напряжение, так и неизвестный узловой момент, в зависимости от вида напряженно-деформируемого состояния рассматриваемых конечных элементов На примере плоской задачи теории упругости показывается, что при измельчении сетки алгебраические уравнения равновесия, составленные для внутренних узлов области, стремятся к соответствующим дифференциальным уравнениям равновесия, а уравнения равновесия узлов на границе стремятся к статическим граничным условиям

Задача минимизации квадратичного функционала (3) при наличии ограничений в виде системы линейных алгебраических уравнений (11) может быть решена двумя способами Первый способ решения основывается на использовании метода штрафных функций Для этого ограничения (11) включаются в функционал (3) при помощи дополнительных слагаемых в следующем виде

п;Л{о-у[д]{<7}+ £ ПШ1 (12)

у г /eHj

Минимизация функционала (12) приводит к системе линейных алгебраических уравнений, матрица коэффициентов которой является симметричной, положительно определенной и имеет ленточную структуру

({B} + cc[A]){â} = a{R} (13)

Если для аппроксимации напряжений по области конечного элемента используются линейные базисные функции, то результирующие поля напряжений (усилий) получаются непрерывными по границам конечных элементов В диссертации на основе формы представления чисел в ЭВМ дана методика автоматического выбора величины параметра штрафа а и произведена оценка его влияния на точность решения При построении решения с помощью ЭВМ коэффициенты системы разрешающих алгебраических уравнений вычисляются с ограниченной точностью, определяемой типом представления вещественных чисел Например, при разработке программы в среде Турбо-Паскаль вещественные числа могут иметь тип Real cil 12, тип Double с 15 16 и Extended с 19 20 значащими цифрами (мантиссой) Коэффициенты системы уравнений состоят из суммы элементов матрицы [5] и элементов матрицы а [А] Чтобы избежать потери точности решения, элементы матрицы а [А] не должны «подавлять» элементы матрицы [5] Обозначим i - ые диагональные элементы матриц [В\ и [А], соответственно Ь„ и аи Элементы матрицы [5] еще не будут потеряны (подавлены элементами матрицы [Л]), если для всех ; выполнено неравенство

<1(Г, (14)

К

где m - количество значащих цифр (мантисса) выбранного типа представления вещественных чисел в ЭВМ Из формулы (14) можно получить предельное значение параметра а

anp=\QT mm|

i=l,N (15)

Для оценки влияния параметра функции штрафа а на точность результатов были выполнено решение тестовых задач при различных значениях параметра а Анализ полученных данных показал, что выбор параметра а в широком диапазоне позволяет получать результаты практически одинаковой точности Наиболее оптимальным является выбор параметра штрафа а в промежутке от 10~3 апр идо 10~2 апр При значениях а = КГ1 апр наблюдается некоторое нарушение симметрии результатов, что является признаком начала потери точности вычислений При значении а = апр потеря точности становится весьма существенной Если принять а = 10 апр,

то разрешающая система линейных уравнений становится особенной, и решение получить не удается

В диссертации также предложен простой способ определения перемещений любого узла по найденным напряжениям, который не требует решения системы уравнений Чтобы определить перемещение, например, некоторого узла к по направлению оси Ъ, функционал (12) преобразуем к виду (16)

п:Л{<7}г[я]{<г}+ X I>({С,,№,}+^)2

1 )=хуг (16)

-а({Скг}т{сгк} + Гк1)2+ик,«Скт}г{стк} + Рк2)-> шш В выражении (16) штрафная функция, связанная с уравнением равновесия узла к по направлению оси Ъ, исключена, и добавлено слагаемое, учитывающее данное уравнение равновесия при помощи метода множителей Ла-гранжа Множитель ик г является перемещением, которое нужно определить Вычисляя производную (16) по напряжению, входящему в последнее слагаемое с ненулевым коэффициентом, получим уравнение, из которого легко выразить неизвестное перемещение ик 2 по уже вычисленным напряжениям

Во втором варианте решения используется метод множителей Лагранжа, который позволяет включить в число неизвестных параметров, наряду с узловыми напряжениями или внутренними усилиями, также и перемещения узловых точек В этом случае получаем следующий функционал

X 2>,у({С„}г{сг,} + ^)^тт (17)

у г 1^3J

Здесь и,} - действительное перемещение узла / по направлению ],

являющееся множителем Лагранжа для соответствующего уравнения равновесия Для минимизации функционала (17) необходимо приравнять к нулю его производные по неизвестным напряжениям (усилиям) и перемещениям В результате получим систему линейных алгебраических уравнений, которая будет симметричной и ленточной, но на главной диагонали такой системы в строках, соответствующих неизвестным перемещениям, появятся нулевые коэффициенты Такую систему уравнений можно представить в следующем общем виде

[Я]{а} + [С]>} = 0,

[С]{а} + {Р} = 0

Матрица податливости [5] получается в результате вариации дополнительной энергии деформаций, матрица [С] - в результате вариации слагаемых, связанных множителями Лагранжа В процессе решения такой системы уравнений матрица коэффициентов теряет свою ленточную структуру

и превращается в полностью заполненную матрицу При большом количестве неизвестных для хранения элементов такой матрицы может потребоваться значительный объем памяти ЭВМ, а также большое количество алгебраических операций для решения такой системы Но если матрица [В] имеет блочно-диагонапьную структуру и ее легко обратить, то решение системы (18) можно получить, используя следующую последовательность матричных операций

[С][яГ[С]>}+{П = о, т = -[ву1[с]т{и}

Матрица податливости [5] будет иметь блочно-диагонапьную структуру, если в качестве аппроксимирующих напряжения функций использовать постоянные по конечному элементу функции или применить вариационно-сеточный подход и вычислять дополнительную энергию всей конструкции не в виде суммы дополнительных энергий конечных элементов, а при помощи численного интегрирования Тогда напряжения будут кусочно-постоянными, но разрывными в пределах конечных элементов

Проведено сравнение результатов расчетов, полученных по методу штрафных функций и методу множителей Лагранжа Сравнение показало, что предлагаемая методика автоматического выбора параметра функции штрафа позволяет получить решения, практически совпадающие с решениями, полученными на основе метода множителей Лагранжа

На основе, изложенного выше подхода, разработана методика расчета арок произвольного очертания с учетом влияния сдвигающих сил на изгиб, а также методика получения поверхностей и линий влияния кинематическим способом

Во втором разделе получены необходимые формулы и разрешающие уравнения для решения плоских задач теории упругости и пластичности в напряжениях на основе методики, представленной в первом разделе Для аппроксимации напряжений по области прямоугольных и треугольных конечных элементов используются линейные, постоянные и кусочно-постоянные функции Применение линейных аппроксимирующих функций позволяет получить непрерывные по границам конечных элементов напряжения Использование постоянных по области конечных элементов напряжений требует минимального количества неизвестных и, следовательно, наименьших вычислительных затрат для получения решения. Кроме того, в этом случае матрица податливости [В] имеет блочно-диагональную структуру и, поэтому, для получения решения по методу множителей Лагранжа можно использовать соотношения (19) В последнем варианте, названном вариационно-сеточным, дополнительная энергия деформаций области вычисляется при помощи численного интегрирования

П ^[ИЛеГ^^А^ПЕУ^,} (20)

В (20) использована квадратурная формула в двумерном случае, Д - весовой коэффициент (площадь), определяемый по следующей формуле

Л = + (21)

к=14 к=\5

где т, I — соответственно, количество прямоугольных и треугольных конечных элементов (ячеек), примыкающих к узлу 1, ак,Ьк - размеры к - го

прямоугольного элемента, площадь треугольного элемента, /, -толщина элемента Следует отметить, что при вычислении дополнительной энергии деформации в явной форме не использовались аппроксимирующие напряжения функции Но в неявной форме напряжения представляются кусочно-постоянными функциями, которые, что важно, удовлетворяют уравнениям совместности деформаций и дифференциальным уравнениям равновесия в случае отсутствия распределенной нагрузки, но являются разрывными внутри конечных элементов На рис 2 сплошной линией показаны границы конечных элементов, а штриховкой показана зона, для любой точки которой напряжения равны напряжениям в рассматриваемом узле Узловые напряжения являются неизвестными параметрами Используя соотношение (20), дополнительную энергию деформации всей области можно выразить в следующей матричной форме

1

) у J / X / / г V V \>~ ч X \ —1— 1 —1— —1— 1 - -1- -1 -- --

1 -Н-- 1 < 1 У -"X г 1 -- --

1 1 —1-1 -р! 1 /V / / у 1 \ N -- --

1 1 --1-1 1 1 --1— 1 1 1 I 1 ■ -- --

Рис 2 Сетка и зоны постоянных напряжений вокруг узлов

(22)

Матрица податливости [2?] имеет простую блочно-диагональную структуру (23)

АФТ

АгФУ

[В]

А,ФГ

(23)

Благодаря такой структуре очень просто получить выражение обратной матрицы [¿?]-1 и использовать ее для получения решения при помощи метода множителей Лагранжа (см (19)) Такой подход назван вариационно-сеточным, поскольку для метода конечных элементов не характерно использование разрывных внутри конечного элемента аппроксимирующих функций При получении коэффициентов системы уравнений равновесия узлов (11) на основе принципа возможных перемещений напряжения принимались также кусочно-постоянными Возможные перемещения по области конечных элементов, примыкающих к рассматриваемому узлу, также представлялись линейными базисными функциями

Для сравнения и анализа результатов, получаемым по предлагаемым в диссертации методикам, были получены решения следующих тестовых задач плоской теории упругости изгиб консольной балки, изгиб шарнир-но-опертой балки, растяжение пластины с отверстием Расчеты выполнялись при различных сетках конечных элементов и для различных вариантов аппроксимации напряжений Сравнение выполнялось с решениями по методу конечных элементов в перемещениях и с аналитическими решениями, приведенными в известных литературных источниках Анализ численных результатов показал, что метод решения в напряжениях, основанный на использовании функционала дополнительной энергии и линейных полей напряжений, обладает быстрой сходимостью и позволяет получить точные решения даже при крупных сетках Данный метод дает наилучшие решения для задач, в которых напряжения на границе области в пределах одного конечного элемента, могут быть представлены линейными функциями, и менее точные решения для задач с сосредоточенными в одной точке внешними напряжениями, которые могут быть вызваны или сосредоточенной силой, или наложенной в одной точке связью По сравнению с методом конечных элементов в перемещениях, решение в напряжениях при одной и той же сетке позволяет получить более точные значения напряжений и перемещений, но требует больших вычислительных затрат Вариационно-сеточный подход, основанный на использовании для аппроксимации напряжений кусочно-постоянных, разрывных внутри конечного элемента функций, по сравнению с методом линейных напряжений, дает менее точные решения при грубых сетках и практически такие же точные при мелких сетках Но данный метод обладает важным свойством - сходимостью по перемещениям сверху Это позволяет определить верхнюю границу перемещений и использовать ее, наряду с нижней границей, получаемой МКЭ в перемещениях или другим методом, для оценки точности численного решения Кроме того, вариационно-сеточный метод при решении задач с сосредоточенными в одной точке внешними напряжениями дает в зонах концентрации более точные, по сравнению с методом, использующим линейные поля, значения напряжений Это связано с тем, что

постоянные в окрестности узла, но разрывные внутри элементов, функции лучше, чем линейные, аппроксимируют сосредоточенный в узле скачок напряжений Аппроксимация напряжений по области конечного элемента постоянными функциями позволяет, так же как и вариационно-сеточный метод, получить сходимость перемещений к точным значениям сверху Полученные при такой аппроксимации напряжения являются, при одной и той же сетке, более точными по сравнению с методом конечных элементов в перемещениях и менее точными, по сравнению с другими решениями в напряжениях Но при таком подходе используется меньшее количество неизвестных и, следовательно, требуется меньше вычислительных затрат для получения решения Поэтому, для получения решения данным методом можно использовать более мелкие сетки и тем самым повысить точность расчета

Представлена методика решения плоских задач с учетом пластических деформаций на основе минимизации приращения дополнительной энергии упругопластических деформаций Получены необходимые разрешающие уравнения для решения задач пластичности с учетом изотропного упрочнения материала В качестве неизвестных используются приращения узловых напряжений Решение строится методом шагового нагружения Выполнены расчеты пластины с отверстием на действие растягивающей нагрузки с учетом пластических деформаций Сравнение численных результатов с экспериментальными данными позволяет сделать вывод о достаточно хорошей точности решения, полученного при помощи предлагаемого метода линейных напряжений, обеспечивающего непрерывность поля напряжений по границам конечных элементов

В третьем разделе рассмотрены два варианта решения задач изгиба пластин методом конечных элементов в напряжениях, основанные на минимизации функционала дополнительной энергии при наличии ограничений в виде системы линейных уравнений равновесия узлов После дискретизации предметной области при помощи прямоугольных или треугольных элементов, для каждого свободного узла на основании принципа возможных перемещений записываются алгебраические уравнения равновесия Неизвестными параметрами являются узловые изгибающие и крутящие моменты

В первом варианте решения для аппроксимации моментов по области конечного элемента используются линейные базисные функции, что обеспечивает непрерывность их по всей предметной области Для решения задачи минимизации функционала дополнительной энергии при наличии ограничений используется метод штрафных функций Данный метод позволяет свести первоначальную задачу минимизации функционала при наличии ограничений на область варьируемых параметров к задаче безусловной минимизации При этом количество неизвестных параметров остается прежним, а функционал - квадратичным Величина параметра

функций штрафа выбирается автоматически в соответствии с методикой, изложенной в разделе 1 Перемещения узлов определяются после определения узловых моментов по методике представленной также в разделе 1

При формировании уравнений равновесия возможным перемещением является перемещение узла вдоль оси Ъ При перемещении узла г деформации возникают только в конечных элементах, примыкающих к Рис 3 Возможное перемещение узла рассматриваемому узлу (рис 3)

Перемещения точек конечного элемента с номером е при возможном перемещении узла / выразим с помощью линейных базисных функций

^ЯЧЯП+чЮ. (24)

4

В формуле (24) и т]е,- локальные координаты узла I (принимают значения 1 или -1) в элементе с номером е При такой аппроксимации возможных перемещений кривизны 8кх и 5ку вдоль осей X и У соответственно

равны нулю, а крутильная кривизна Зк^ постоянна

Таким образом, при возможном перемещении узла будут совершать работу только внутренние крутящие моменты М^ и нормальные изгибающие моменты М„ по границам конечных элементов Гс на соответствующих углах поворота 6/3„ В соответствии с принципом возможных перемещений, для системы, находящейся в состоянии равновесия, сумма потенциала всех внешних сил ЗУ и энергии деформации Ш при возможных перемещениях ЗА равна нулю

Зи + ЗУ=0 (26)

Энергия деформаций прямоугольного конечного элемента

Зи;г = "'(¡М^5кч (¡Хйу + \мп3рп<ь (27)

0 0 г.

Полная энергия деформаций вычисляется как сумма деформаций всех конечных элементов, примыкающих к рассматриваемому узлу Потенциал внешних сил

е

где Р1 2 - сосредоточенная сила, приложенная в узле по направлению оси

Ъ, д® - равномерно распределенная по площади конечного элемента е нагрузка Уравнение равновесия сил для узла записывается в следующей векторной форме

{с,2}г{м}+^=0 (29)

В зависимости от вида краевых условий часть узловых моментов необходимо приравнять к нулю Чтобы учесть данные статические граничные условия для моментов, к функционалу для каждого такого узла необходимо прибавить соответствующие дополнительные штрафные функции

Во втором методе решения, названном вариационно-сеточным, в качестве неизвестных параметров используются также узловые изгибающие и крутящие моменты Для вычисления интеграла, выражающего дополнительную энергию деформаций всей предметной области, применяется численное интегрирование В качестве квадратурной формулы используется формула трапеций для двойного интеграла Данная формула, применительно к квадратичному функционалу, эквивалентна кусочно-постоянной аппроксимации полей моментов по области конечного элемента При такой аппроксимации моменты равны соответствующим узловым моментам в каждой четверти (каждой трети), примыкающего к узлу прямоугольного (треугольного) элемента (рис 4) При получении уравнений равновесия для аппроксимации изгибающих моментов так же используются кусочно-постоянные аппроксимации Такой подход позволяет получить матрицу податливости, которая имеет блочно-диагональную структуру и, как показали численные исследования, обеспечивает сходимость перемещений к точным значениям сверху Для решения задачи минимизации такого функционала дополнительной энергии при наличии ограничений можно использовать метод штрафных функций или метод множителей Лагранжа Применение метода множителей Лагранжа приводит к появлению дополнительных неизвестных, которыми являются перемещения узлов, и появлению нулевых коэффициентов на главной диагонали разрешающей системы уравнений Но, благодаря блочно-диагональной структуре матрицы податливости, можно использовать достаточно эффективный поэтапный алгоритм решения такой системы уравнений (19)

Рис 4 Кусочно-постоянное представление моментов в области конечного элемента.

Предлагаемыми методами решен ряд тестовых задач изгиба упругих пластин при различных сетках конечных элементов, и выполнено сравнение с известными решениями, полученными в рядах и методом конечных элементов в перемещениях Были выполнены расчеты на действие распределенных и сосредоточенных нагрузок шарнирно-опертых и защемленных по контуру пластин, плиты, опертой в угловых точках, неразрезной плиты, опертой на колонны Анализ результатов показал, что метод, основанный на использовании линейных полей моментов и обеспечивающий их непрерывность, позволяет получать точные значения моментов и перемещений даже при грубых сетках Вариационно-сеточный метод обладает меньшей точностью при грубых сетках, но обеспечивает сходимость перемещений к точным значениям сверху, а при измельчении сетки достаточно быстро сходится к точным решениям, как по моментам, так и по перемещениям

Представлен алгоритм, и получены разрешающие уравнения для решения задач изгиба изотропных плит с учётом пластических деформаций на основе минимизации приращения дополнительной энергии упругопла-стических деформаций Решение строится в приращениях, и на каждом шаге задача считается упругой Условие начала пластических деформаций задается в следующем виде

Решение, как и для плоских задач теории пластичности, осуществляется методом шагового нагружения и находится из условия минимума приращения энергии упругопластических деформаций при наличии ограничений в виде системы линейных уравнений равновесия узлов Уравнения равновесия составляются для окончания текущего шага нагружения Так как коэффициенты уравнений равновесия зависят только от геометрических параметров, то они будут такими же, как и при решении линейных задач На каждом шаге нагружения необходимо вычислять только матрицу податливости для всей системы и не нужно заново формировать систему уравнений равновесия

Предложен алгоритм решения задач изгиба пластин на действие динамических нагрузок в напряжениях В качестве узловых неизвестных, наряду с изгибающими моментами, используются перемещения тех узлов, где сосредоточены массы При получении уравнений равновесия узлов к внешним нагрузкам, в соответствии с принципом Дапамбера, прибавляются силы инерции сосредоточенных масс Уравнений равновесия тех узлов, где есть сосредоточенные массы, включаются в функционал при помощи метода множителей Лагранжа, остальные - по методу штрафных функций

если Мх + Му > 0,

(30)

если Мх + Му < 0

Щ = -№т[В]{М} + а £({с, г У {м}+Р, г )2 +

+ X^ ({С- Р< г ~ Щ V, ) -> шш

Минимизация функционала приводит к системе дифференциальных уравнений, которые интегрируются по времени шаговым методом При использовании шагового метода Ньюмарка система линейных уравнений относительно приращений неизвестных имеет следующий вид

[о] ! [е.] [С.Г [-¿И

|{АМ'} ЦАм''}

{Рм)

{Д}

(32)

Полученная система уравнений является симметричной Часть коэффициентов на главной диагонали отрицательные, что нужно учитывать при выборе метода решения данной системы

В качестве примера был выполнен расчет квадратной шарнирно-опертой по контуру упругопластической плиты на действие внезапно приложенной равномерно распределенной нагрузки Проведен анализ и сравнение полученных результатов с решением по известному упругопласти-ческому методу Показано, что и при решении данной задачи вариационно-сеточный метод также обеспечивает сходимость перемещений к точным значениям сверху

В четвертом разделе рассмотрена задача расчета круговых цилиндрических оболочек (рис 5) Поверхность оболочки представляется набором прямоугольных криволинейных конечных элементов В первом варианте для аппроксимации внутренних усилий по площади конечного

элемента используются линейные функции, обеспечивающие их непрерывность по всей предметной области Неизвестными параметрами являются величины нормальных и сдвигающих сил, изгибающих и крутящих моментов в узлах Для упругой изотропной оболочки дополнительная энергия деформации конечного элемента представлялась в виде суммы энергий деформаций изгиба и деформаций срединной поверхности При получении уравнений равновесия в качестве возможных перемещений принимались перемещения узла вдоль трех осей координат Одна ось является криволинейной и направлена по окружности оболочки, вторая ось направлена вдоль оболочки, третья - вдоль нормали к поверхности оболочки Для вычисления деформаций использовались соотноше-

Рис 5 Цилиндрическая оболочка

ния теории круговых цилиндрических оболочек Узловые значения внутренних сил определяются путем минимизации дополнительной энергии деформации оболочки при наличии ограничений в виде системы линейных уравнений равновесия узлов Для решения задачи условной минимизации применяется метод штрафных функций с автоматическим выбором величины параметра штрафа

Также получены выражения для элементов матрицы податливости и коэффициентов уравнений равновесия узлов, необходимые для построения решения вариационно-сеточным методом Так как матрица податливости имеет блочно-диагональную структуру, решение задачи условной минимизации при помощи метода множителей Лагранжа существенно упрощается Вариационно-сеточный метод позволяет получать узловые значения внутренних усилий, поэтому они являются непрерывными по границам конечных элементов

Для оценки точности результатов, получаемых по предлагаемым выше методикам, были выполнены расчеты цилиндрической крыши, свободно опертой по криволинейным граням, на действие нагрузки от собственного веса (рис 6) Оболочка рассчитывалась по методу, основанному на линейных полях внутренних уси-Рис б Цилиндрическая крыша лий, и вариационно-сеточным мето-

дом при различных сетках разбиения Сравнение численных результатов с результатами, полученными другими методами, показывает, что даже при достаточно грубой сетке конечных элементов, метод, использующий линейные аппроксимации внутренних усилий, позволяет получить довольно точные значения, как перемещений, так и усилий Вариационно-сеточный метод при грубой сетке дает менее точные значения только для продольной силы Но при измельчении сетки точность вариационно-сеточного решения возрастает и для сетки 16x16 становится практически такой же, как и для метода, основанного на линейной аппроксимации внутренних усилий

Для сравнения с аналитическими решениями были выполнены расчеты цилиндрического резервуара, заполненного водой, цилиндрической оболочки при краевом воздействии опоясывающей поперечной силы, длинного цилиндра при действии двух радиальных сосредоточенных сил Сравнение решений показывает, что предлагаемые методы расчета в напряжениях позволяют достаточно точно моделировать напряженно-деформированное состояние круговых цилиндрических оболочек

В пятом разделе на основе функционала дополнительной энергии деформаций получены необходимые соотношения и разрешающие уравне-

ния для расчёта оболочек произвольного очертания методом конечных элементов в напряжениях Поверхность оболочки приближенно заменяется набором плоских треугольных элементов (рис 7) В качестве неизвестных приняты узловые значения нормальных и сдвиговых напряжений срединной поверхности {а}т = \сгх,ау,аху], а также узловые значения изгибающих и крутящих моментов {м} ' = {мх, Му, Мху] Координаты узлов

сетки конечных элементов будем задавать непосредственно в глобальной декартовой прямоугольной системе координат ОХУг Для разбиения поверхности оболочки на множество плоских треугольных элементов на ней

необходимо выделить ряд непрерывных, непересекающихся линий, на одной из которых будут лежать два узла каждого треугольного конечного элемента (линии А1В1, А2В2, А3В3 ит д на рис 7) Для конечных элементов, расположенных в одном ряду, первые два из перечисляемых узлов (узлы 1, 2 на рис 7) конечного элемента должны лежать на одной непрерывной линии поверхности оболочки (на линии А,В,, А2В2, А3В3 и т д на рис 7) По направлению касательной к данной линии в рассматриваемом узле и будут вычисляться внутренние усилия сгх и Мх Вторая пара узловых неизвестных ау и Му будет иметь направление перпендикулярное к рассматриваемой касательной линии Касательные напряжения тху и крутящие моменты Мху будут,

очевидно, определяться также для этих двух направлений Чтобы получить уравнения равновесия на основе принципа возможных перемещений, единичные перемещения узлов вдоль осей глобальной системы координат ОХУг выражаются через сумму перемещений узлов вдоль осей локальной системы координат С^Х'УЁ' (рис 8) Две оси локальной системы координат лежат в плоскости конечного элемента, третья ось направлена перпендикулярно его плоскости, таким образом, что оси образуют правую тройку Перемещения вдоль осей, лежащих в плоскости элемента, вызывают деформации срединной поверхности, а перемещения вдоль нормальной оси -деформации изгиба Таким образом, энергия деформации конечного элемента при возможном перемещении узла выражается через энергию деформации изгиба и энергию деформации срединной поверхности плоского

Рис 7 Конечно-элементная сетка

конечного элемента при помощи соотношений, полученных во втором и третьем разделах

В некоторых случаях удобнее формировать уравнения равновесия в

системе координат, отличной от декартовой прямоугольной системы, рассмотренной выше Выбор системы координат может определяться, например, симметрией оболочки или направлениями наложенных кинематических связей Чтобы получить соотношения для произвольной ортогональной системы координат даются формулы преобразования, связывающие координаты двух систем

Дополнительная энер-

Рис 8 Локальная система координат шя деф0рмации плоского

конечного элемента состоит из суммы энергии деформации срединной поверхности и энергии деформации изгиба, поэтому для ее вычисления могут быть также использованы соотношения, полученные для изгибаемых и плоско напряженных конечных элементов

Для оценки точности решений, получаемых по предлагаемой методике, были выполнены расчеты сферической оболочки с защемленным краем на действие равномерно распределенного внешнего давления

(рис 9) Рассматривались три варианта разбиения одной четверти оболочки на конечные элементы На рис 10-11 приведены некоторые результаты расчетов Точные значения для напряжений, показанные сплошной линией, повторяют графики, полученные С П Тимошенко

Было также выполнено сравнение решений, полученных с использованием линейных аппроксимаций напряжений, и вариационно-сеточным методом Часть результатов расчетов приведена на рис 12 Сравнение показывает, что при мелких сетках решения практически не отличаются

Рис 9 Сферическая оболочка

2,00 1,00 0,00 -1,00 -2,00 -3,00 -4,00 -5,00 -6,00

¡го-г II ¡-н 1 > СП Ье-1

Д Сетка 9 на 8 ■ Сетка 5 на 4

-Точное решение

о Сетка 17 на 16

0 4,88 9,75 14,6 19,5 24,4 29,3 34,1 39

угол, град

Рис 10 Кольцевые напряжения верхнего волокна

2,00 1,00 0,00 -1,00 -2,00 -3,00 -4,00 -5,00 -6,00

0 4,88 9,75 14,6 19,5 24,4 29,3 34,1 39

угол, град

Рис 11 Кольцевые напряжения нижнего волокна

О 1

Г°"1 1 1и 1 \

Д Сетка 9 на 8 ■ Сетка 5 на 4

-Точное решение

о Сетка 17 на 16

0,0 4,9 9,8 14,6 19,5 24,4 29,3

угол,град 34,1 39,0

-400

-600

-800

-1 ООО

-1200

-1 400

-1 600

Рис 12 Окружное усилие в срединной поверхности

В качестве второго примера был выполнен расчет сферической оболочки на действие растягивающих сосредоточенных сил, приложенных в полюсах при различных сетках конечных элементов Численные результаты сравнивались с известными аналитическими решениями, полученными СП Тимошенко Сравнение результатов показывает, что наиболее точные значения внутренних усилий в точке приложения сосредоточенной силы дает метод с линейными напряжениями Величины окружного и меридионального усилий в полюсе, полученные для мелкой сетки, отличаются от соответствующих аналитических значений примерно на 4,5% Для вариационно-сеточного решения отклонение равно примерно 13%

В шестом разделе получены необходимые формулы и разрешающие

уравнения для решения объемных задач теории упругости на основе методики, представленной в первом разделе диссертации Предметная область может быть представлена шестигранными, пятигранными или четырёхгранными конечными элементами или любой их комбинацией (рис 13-15) При помощи принципа возможных перемещений формируется система линейных алгебраических уравнений равновесия узлов вдоль осей координат, которые являются ограничениями на область выбора неизвестных параметров при минимизации дополнительной энергии конструкции Таким

Рис 13 Шестигранный конечный элемент

образом, задача сводится к минимизации функционала дополнительной энергии при наличии ограничений Для решения такой задачи условной минимизации можно использовать метод штрафных функций или метод множителей Лагранжа Получены разрешающие уравнения для трех вариантов построения решения в напряжениях

В первом варианте поля напряжений представляются по области конечных элементов линейными функциями, что обеспечивает их непрерывность по всей предметной области В качестве узловых неизвестных принимаются непосредственно величины трех нормальных и трех касательных напряжений Решение строится методом штрафных функций

Во втором варианте напряжения являются постоянными в области каждого конечного элемента В качестве неизвестных принимаются величины трех нормальных и трех касательных напряжений в конечном элементе Глобальная матрица податливости имеет блочно-диагональную структуру и, поэтому для нее легко может быть найдена обратная матрица Решение может быть получено методом штрафных функций или методом множителей Лагранжа Данный вариант решения требует наименьших вычислительных затрат, так как в этом случае количество неизвестных и ширина ленты системы уравнений являются минимальными

В третьем варианте (вариационно-сеточный метод) дополнительная энергия деформации для всей области определяется при помощи квадратурной формулы численного интегрирования Неизвестными параметрами являются узловые напряжения постоянным аппроксимациям напряжений по предметной области Напряжения являются непрерывными в узловых точках, но имеют разрывы внутри подобластей (конечных элементов), на которые разбивается пред-

Рис 14 Пятигранный конечный элемент

Рис 15 Конечный элемент в форме тетраэдра Такой подход соответствует кусочно-

метная область В данном случае глобальная матрица податливости также имеет блочно-диагональную структуру и, поэтому решение задачи условной минимизации может быть получено методом штрафных функций или методом множителей Лагранжа

Все соотношения для конечных элементов получены в относительных координатах Такой подход позволяет использовать для вычисления коэффициентов, входящих в выражения дополнительной энергии и уравнений равновесия, простые циклические формулы, удобные при составлении программ для ЭВМ

Для оценки точности предлагаемых конечных элементов был выполнен расчет трехмерного напряженного состояния для пространственной структуры типа выработки с крепью на действие равномерно распределен-

Рис 16 а - сетка шестигранных элементов, б- сетка пятигранных элементов

Было выполнено сравнение полученных результатов с решениями рассматриваемой задачи методом граничных элементов и методом конечных элементов с использованием модифицированных гексаэдров Айронса-Зенкевича, приведенными в литературных источниках Сравнение показывает, что метод, основанный на линейных напряжениях, в наилучшей степени моделирует напряженно-деформированное состояние в зоне концентрации напряжений Вне области концентрации результаты расчетов, полученные тремя методами, близки друг к другу Но также необходимо отметить, что использование постоянных напряжений требует, по сравнению с двумя другими методами решения, существенно меньших вычислительных затрат и при мелких сетках дает также достаточно точные поля напряжений, за исключением особых точек

Также были выполнены расчеты консольной балки на действие постоянного касательного напряжения на свободном конце Результаты расчетов показывают, что метод с линейными напряжениями дает решение

х:

/ / / /

/

б)

//////////

I/

В)

м

Ш

о

}

■ук

Рис 17 Схемы разбиения консольной балки на шестигранные элементы

близкое к балочному даже при самой грубой сетке Вариационно-сеточное решение и решение с постоянными напряжениями при измельчении сетки стремятся к точному решению по перемещениям сверху, при этом вариационно-сеточный метод дает более точные значения краевых напряжений в заделке и обладает более высокой скоростью сходимости

В качестве третьего примера были рассчитаны квадратные шарнирно опертые изгибаемые плиты на действие равномерно распределенной нагрузки (рис 18) Толщина плиты относится к длине стороны как один к двадцати Сравнивались решения, полученные на основе линейных напряжений и вариационно-сеточное решение с известным решением в рядах Метод с линейными напряжениями дает очень точные значения перемещений и достаточно близкое к аналитическому значение напряжения в крайнем волокне для центральной точки плиты (ошибка составляет примерно 15%) Вариационно-сеточный метод также дает вполне удовлетворительные результаты для таких грубых расчетных схем и, что важно, обеспечивает сходимость перемещений к точному значению сверху Очевидно, что использование объемных элементов для расчета таких тонких плит не является эффективным, но может оказаться полезным для расчета толстых плит, как альтернатива изгибаемым элементам В целом анализ и сравнение результатов расчета тестовых задач показывают, что метод на основе линейных напряжений

Рис 18 Схемы разбиения одной четверти изгибаемой плиты

позволяет получать решения, учитывающие локальные возмущения (концентрации), связанные с особенностями опирания, нагружения и геометрической формы рассчитываемой конструкции Наиболее точные решения данный метод дает для тех задач, в которых напряжения на границах области в пределах каждого конечного элемента хорошо аппроксимируются линейными функциями В окрестности особых точек, таких как точки приложения сосредоточенных сил, угловые точки вырезов, изолированные точки, в которых исключены связи, для представления сингулярных решений необходимо использовать более мелкие сетки конечных элементов Вне данных особых областей метод линейных напряжений позволяет получать достаточно точные решения даже при использовании грубых сеток

Вариационно-сеточный метод, по сравнению с методом линейных напряжений, дает в зонах особых точек более сглаженные решения и обладает более медленной сходимостью При измельчении сетки решения, полученные вариационно-сеточным методом, стремятся к решениям метода линейных напряжений, а перемещения, что является важным, стремятся к точным значениям сверху

Перемещения, полученные методом постоянных напряжений, также стремятся к точным значениям сверху Кроме того, метод постоянных напряжений дает наиболее сглаженные решения в окрестностях особых точек и обладает наиболее медленной сходимостью Но данный метод требует для получения решения наименьших вычислительных затрат и при мелких сетках дает достаточно точные полей напряжений и перемещений, за исключением особых точек

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1 Предложена методика решения статических и динамических задач строительной механики в напряжениях, основывающаяся на конечно-элементной дискретизации предметной области и минимизации дополнительной энергии деформаций с учетом ограничений на область выбора неизвестных параметров Для описания напряженно-деформированного состояния конструкции используются только поля напряжений или внутренних усилий Неизвестными параметрами являются непосредственно напряжения (внутренние усилия) в узлах или в конечных элементах Предложены три варианта аппроксимации напряжений по области конечного элемента линейными, постоянными или кусочно-постоянными функциями

В соответствии с принципом минимума дополнительной энергии, для обеспечения равновесности выбираемых полей напряжений, после дискретизации предметной области при помощи принципа возможных перемещений формируются алгебраическими уравнениями равновесия узлов сетки вдоль осей координат Для аппроксимации возможных перемещений

по области конечных элементов, примыкающих к рассматриваемому узлу, используются линейные базисные функции Полученные алгебраические уравнения равновесия внутренних узлов сопряжены с соответствующими дифференциальными уравнениями равновесия, а уравнения равновесия узлов, лежащих на границе области, сопряжены с соответствующими статическими граничными условиями Для решения задачи минимизации дополнительной энергии при наличии ограничений в виде системы линейных алгебраических уравнений могут быть использованы метод штрафных функций или метод множителей Лагранжа

2 При построении решения задачи минимизации функционала при наличии ограничений методом множителей Лагранжа общее число неизвестных параметров увеличивается Множители Лагранжа, которыми являются перемещения узлов по направлению осей координат, необходимо включить в общее число неизвестных наряду с напряжениями При этом вариация такого расширенного функционала по вектору неизвестных параметров приводит системе линейных уравнений, имеющей ряд нулевых коэффициентов на главной диагонали Решение такой системы линейных уравнений, по сравнению с решением положительно определенной системы уравнений, требует значительно большего объема памяти ЭВМ и вычислительных затрат Если для аппроксимации напряжений использовать постоянные или кусочно-постоянные функции, то глобальная матрица податливости будет иметь блочно-диагональную структуру и для нее легко найти обратную матрицу В этом случае решение результирующей системы линейных уравнений может быть упрощено

3 Решение задачи минимизации при помощи метода штрафных функций требует наименьших вычислительных затрат В этом случае уравнения равновесия включаются в функционал при помощи функций штрафа, и неизвестными являются только напряжения (усилия) Вариация такого расширенного функционала дополнительной энергии по вектору неизвестных приводит к системе линейных алгебраических уравнений, которая является симметричной, положительно определённой и имеет ленточную структуру Для данного варианта решения предложена методика определения перемещений узлов вдоль осей координат

На основе использования параметров, которые определяются формой представления вещественных чисел в ЭВМ, дана оценка предельной величины параметра функции штрафа Полученные оценки подтверждены решениями тестовых задач Предложена методика автоматического выбора величины параметров функции Выполнена численная проверка возможного влияния функций штрафа на точность получаемого решения

4 Предложена методика расчета круговых арок произвольного очертания на основе расширенного функционала дополнительной энергии, полученного по методу штрафных функций Рассмотрена возможность учета влияния сдвигающих сил на изгиб Выполнено сравнение решения тесто-

вой задачи с решением, полученным методом конечных элементов в перемещениях

5 Предложена методика использования метода штрафных функций и метода множителей Лагранжа для получения поверхностей влияния пространственных конструкций кинематическим способом

6 Получены необходимые соотношения и разрешающие уравнения для трех вариантов решения плоских задач теории упругости в напряжениях Для решения используются сетки прямоугольных и треугольных конечных элементов

В первом варианте напряжения аппроксимируются по области конечного элемента линейными базисными функциями Такое представление напряжений обеспечивает их непрерывность по всей предметной области Для решения задачи минимизации дополнительной энергии деформаций при наличии ограничений используется метод штрафных функций, позволяющий получить систему линейных уравнений, которая является симметричной, положительно-определенной и имеет ленточную структуру

Во втором варианте напряжения в конечном элементе являются постоянными В этом случае неизвестными параметрами являются три напряжения в каждом конечном элементе, и поля напряжений имеют разрывы по границам элементов Такие поля напряжений удовлетворяют уравнениям совместности деформаций и дифференциальным уравнениям равновесия при отсутствии распределенных по области элемента нагрузок При этом общее количество неизвестных и вычислительные затраты на получение решения, по сравнению с методом, основанном на линейных полях напряжений, уменьшаются, а глобальная матрица податливости имеет блочно-диагональную структуру и легко обратима Для решения задачи минимизации функционала при наличии ограничений, в данном случае, можно использовать как метод штрафных функций, так и метод множителей Лагранжа

В третьем варианте, названном вариационно-сеточным методом, напряжения в области конечного элемента представляются кусочно-постоянными функциями, а в качестве неизвестных параметров принимаются узловые напряжения Для вычисления дополнительной энергии деформаций для всей области применяется численное интегрирование, использующее только узловые значения напряжений Численное интегрирование тождественно использованию кусочно-постоянных, разрывных внутри конечного элемента полей напряжений Напряжения в каждой четверти прямоугольного элемента (и в каждой трети треугольного элемента), примыкающей к узлу, равны напряжениям в этом узле Такие поля напряжений, в случае отсутствия распределенных по площади нагрузок, удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия, а также уравнениям совместности деформаций, В этом случае матрица податливости, как и в случае постоянных полей напряжений, имеет блочно-

диагональную структуру, и для нее легко найти обратную матрицу Для получения разрешающих уравнений, как и в случае использования постоянных по конечным элементам полей напряжений, можно применить метод штрафных функций и метод множителей Лагранжа Так как в результате расчета вычисляются узловые значения напряжений, то можно считать, что полученное поле напряжений является непрерывным по границам конечных элементов

Выполнены расчеты ряда тестовых задач теории упругости при различных конечно-элементных сетках и различных вариантах аппроксимации напряжений Проведено сравнение полученных решений с аналитическими решениями и решениями по методу конечных элементов в перемещениях, выполнен анализ полученных результатов, который позволяет сделать следующие выводы

Метод решения в напряжениях, основанный на использовании линейных полей напряжений, обладает быстрой сходимостью и позволяет получить точные решения даже при крупных сетках Данный метод дает наилучшие решения для задач, в которых напряжения на границе области, в пределах одного конечного элемента, могут быть представлены линейными функциями, и менее точные решения для задач с сосредоточенными в одной точке внешними напряжениями, которые могут быть вызваны или сосредоточенной силой, или наложенной в одной точке связью Поэтому, при решении реальных задач в напряжениях, внешние нагрузки правильнее задавать в виде распределенных нагрузок, даже если область их распределения мала, а опоры моделировать несколькими связями, наложенными в ряде узловых точек на площади, соответствующей фактической конфигурации опоры Использование такой расчетной схемы позволяет получить более точное распределение напряжений в зонах их концентрации, вызванной локальными силовыми воздействиями По сравнению с методом конечных элементов в перемещениях, решение в напряжениях при одной и той же сетке позволяет получить более точные значения напряжений и перемещений, но может потребовать больших вычислительных затрат

Вариационно-сеточный подход, основанный на использовании для аппроксимации напряжений кусочно-постоянных, разрывных внутри конечного элемента функций, по сравнению с методом, использующим линейные поля напряжений, дает менее точные решения при грубых сетках и практически такие же точные при мелких сетках Но данный метод обладает важным свойством - сходимостью по перемещениям сверху Кроме того, вариационно-сеточный метод при решении задач с сосредоточенными в одной точке внешними напряжениями дает в зонах концентрации более точные значения напряжений Это связано с тем, что постоянные в окрестности узла, но разрывные внутри элементов, функции лучше, чем линейные, аппроксимируют сосредоточенный в узле скачок напряжений

Аппроксимация напряжений по области конечного элемента постоянными функциями позволяет, так же как и вариационно-сеточный метод, получить сходимость узловых перемещений к точным значениям сверху Полученные при такой аппроксимации напряжения являются, при одной и той же сетке, более точными по сравнению с методом конечных элементов в перемещениях и менее точными, по сравнению с другими решениями в напряжениях Но при таком подходе используется меньшее количество неизвестных и, следовательно, требуется меньше вычислительных затрат для получения решения Поэтому, для получения решения данным методом можно использовать более мелкие сетки и тем самым повысить точность расчета

7 Представлена методика решения плоских задач с учетом пластических деформаций на основе минимизации приращения дополнительной энергии упругопластических деформаций Получены необходимые разрешающие уравнения для решения задач пластичности с учетом изотропного упрочнения материала В качестве неизвестных используются приращения узловых напряжений Решение строится методом шагового нагружения Выполнены расчеты пластины с отверстием на действие растягивающей нагрузки с учетом пластических деформаций Сравнение численных результатов с экспериментальными данными позволяет сделать вывод о достаточно хорошей точности решения, полученного при помощи предлагаемого метода

8 Рассмотрены два варианта решения задач изгиба пластин методом конечных элементов в напряжениях Неизвестными параметрами являются изгибающие и крутящие моменты в узлах

В первом варианте решения для аппроксимации моментов по области конечного элемента используются линейные базисные функции, что обеспечивает их непрерывность по всей предметной области Для решения задачи минимизации функционала дополнительной энергии при наличии ограничений используется метод штрафных функций

Во втором, вариационно-сеточном методе для вычисления интеграла, выражающего дополнительную энергию деформаций всей предметной области, применяется квадратурная формула численного интегрирования, которой является формула трапеций для двойного интеграла Данная формула, применительно к квадратичному функционалу, эквивалентна кусочно-постоянной аппроксимации полей моментов по области конечного элемента При такой аппроксимации моменты равны соответствующим узловым моментам в каждой четверти и каждой трети, примыкающего к узлу прямоугольного или треугольного элемента Такой подход позволяет получить матрицу податливости, имеющую блочно-диагональную структуру Для решения задачи минимизации такого функционала дополнительной энергии при наличии ограничений можно использовать метод штрафных функций или метод множителей Лагранжа Применение метода

множителей Лагранжа приводит к появлению дополнительных неизвестных, которыми являются перемещения узлов, и появлению нулевых коэффициентов на главной диагонали разрешающей системы уравнений Но благодаря блочно-диагональной структуре матрицы податливости, можно использовать достаточно эффективный, поэтапный алгоритм решения такой системы уравнений

Предлагаемыми методами решен ряд тестовых задач изгиба упругих пластин при различных сетках конечных элементов, и выполнено сравнение с известными решениями, полученными в рядах и методом конечных элементов в перемещениях Анализ результатов показал, что метод, основанный на использовании линейных полей моментов и обеспечивающий их непрерывность, позволяет получать точные значения моментов и перемещений даже при грубых сетках Вариационно-сеточный метод обладает меньшей точностью при грубых сетках, но обеспечивает сходимость перемещений к точным значениям сверху, и при измельчении сетки достаточно быстро сходится к точным решениям, как по моментам, так и по перемещениям

9 Представлен алгоритм и получены разрешающие уравнения для решения задач изгиба изотропных плит с учетом пластических деформаций на основе минимизации приращения дополнительной энергии упруго-пластических деформаций Решение строится в приращениях, и на каждом шаге задача считается упругой

10 Предложен алгоритм решения задач изгиба пластин на действие динамических нагрузок в напряжениях В качестве узловых неизвестных, наряду с изгибающими моментами, используются перемещения тех узлов, где сосредоточены массы При получении уравнений равновесия узлов к внешним нагрузкам, в соответствии с принципом Даламбера, прибавляются силы инерции сосредоточенных масс Уравнения равновесия тех узлов, где есть сосредоточенные массы, включаются в функционал при помощи метода множителей Лагранжа, остальные - по методу штрафных функций Минимизация функционала приводит к системе дифференциальных уравнений, которые интегрируются по времени шаговым методом

Выполнен расчет квадратной шарнирно-опертой по контуру упруго-пластической плиты на действие внезапно приложенной равномерно распределенной нагрузки Проведен анализ и сравнение полученных результатов с решением по известному упругопластическому методу Показано, что и при решении данной задачи вариационно-сеточный метод обеспечивает сходимость перемещений к точным значениям сверху

11 Рассмотрены два варианта решения задач изгиба круговых цилиндрических оболочек в напряжениях Поверхность оболочки представляется набором прямоугольных криволинейных конечных элементов Неизвестными параметрами являются величины нормальных и сдвигающих сил, изгибающих и крутящих моментов в узлах

В первом варианте для аппроксимации внутренних усилий по площади конечного элемента используются линейные базисные функции, обеспечивающие их непрерывность по всей предметной области На основе принципа возможных перемещений получены алгебраические уравнения равновесия узлов сетки конечных элементов В качестве возможных перемещений рассматриваются перемещения вдоль трех осей координат Одна ось является криволинейной и направлена по окружности оболочки, вторая ось направлена вдоль оболочки, третья - вдоль нормали к поверхности оболочки Для решения задачи минимизации дополнительной энергии при наличии ограничений применяется метод штрафных функций с автоматическим выбором параметра штрафа

Во втором, вариационно-сеточном методе внутренние усилия аппроксимируются по области конечного элемента кусочно-постоянными функциями Поэтому матрица податливости имеет блочно-диагональную структуру и решение задачи условной минимизации при помощи метода множителей Лагранжа существенно упрощается

Выполнены расчеты ряда цилиндрических оболочек на действие распределенных и сосредоточенных сил при различных сетках конечных элементов Проведено сравнение полученных результатов с известными аналитическими и численными решениями Сравнение показывает, что предлагаемые методы расчета в напряжениях позволяют достаточно точно моделировать напряженно-деформированное состояние круговых цилиндрических оболочек Вариационно-сеточный метод, по сравнению с методом на основе линейных напряжений, при грубых сетках дает менее точные решения При мелких сетках оба решения практически совпадают

12 На основе функционала дополнительной энергии деформаций получены необходимые соотношения и разрешающие уравнения для расчета оболочек произвольного очертания в напряжениях Поверхность оболочки приближённо заменяется набором плоских треугольных элементов В качестве неизвестных приняты узловые значения нормальных и сдвиговых напряжений срединной поверхности, а также узловых значений изгибающих и крутящих моментов

Получены разрешающие уравнения при использования для аппроксимации внутренних усилий (напряжений) линейных и кусочно-постоянных базисных функций

Уравнения равновесия узлов по направлению осей координат формируются при помощи принципа возможных перемещений Возможное перемещение вдоль рассматриваемой оси представляется в виде геометрической суммы перемещений вдоль трех осей локальной системы координат, связанной с рассматриваемым треугольным элементом Две оси локальной системы координат лежат в плоскости конечного элемента, третья ось направлена перпендикулярно его плоскости, таким образом, что оси образуют правую тройку Перемещения вдоль осей, лежащих в плоскости

элемента вызывают деформации срединной поверхности, а перемещения вдоль нормальной оси - деформации изгиба Для получения выражения энергии деформации конечных элементов при возможном перемещении используются соотношения, полученные для треугольных элементов при решении плоской задачи теории упругости и задачи изгиба пластин

Получены соотношения, связывающие возможные перемещения в произвольной ортогональной системе координат и перемещения в прямоугольной системе координат, введенной для задания координат узлов

По предлагаемым методикам выполнены расчеты сферических оболочек на действие равномерно распределенной и сосредоточенной нагрузок при различных сетках конечных элементов Произведено сравнение полученных результатов с известными аналитическими и численными решениями Показано, что при уменьшении размеров конечных элементов решения, полученные по предлагаемым методикам, стремятся к точным решениям При одинаковых сетках метод с линейными аппроксимациями напряжениями более точен

13 На основе функционала дополнительной энергии деформаций получены необходимые соотношения для решения объёмной задачи теории упругости методом конечных элементов в напряжениях Предметная область может быть представлена шестигранными, пятигранными или четырехгранными конечными элементами или любой их комбинацией Получены разрешающие уравнения для трех вариантов построения решения в напряжениях

В первом варианте поля напряжений представляются по области конечных элементов линейными функциями, что обеспечивает их непрерывность по всей предметной области В качестве узловых неизвестных принимаются непосредственно величины трех нормальных и трех касательных напряжений Решение строится методом штрафных функций

Во втором варианте напряжения являются постоянными в области каждого конечного элемента В качестве неизвестных принимаются величины трех нормальных и трех касательных напряжений в конечном элементе Глобальная матрица податливости имеет блочно-диагональную структуру и, поэтому для нее легко может быть найдена обратная матрица Решение может быть получено методом штрафных функций или методом множителей Лагранжа Данный вариант решения требует наименьших вычислительных затрат, так как в этом случае количество неизвестных и ширина ленты системы уравнений являются минимальными

В третьем варианте (вариационно-сеточный метод) дополнительная энергия деформации для всей области определяется при помощи квадратурной формулы численного интегрирования Неизвестными параметрами являются узловые напряжения Такой подход соответствует кусочно-постоянным аппроксимациям напряжений по предметной области В данном случае глобальная матрица податливости имеет блочно-диагональную

структуру и, поэтому решение задачи условной минимизации методом множителей Лагранжа может быть упрощено

Анализ и сравнение результатов расчета тестовых задач показывают, что метод с линейными напряжениями позволяет получать решения, учитывающие локальные возмущения (концентрации), связанные с особенностями опирания, нагружения и геометрической формы рассчитываемой конструкции Наиболее точные решения данный метод дает для тех задач, в которых напряжения на границах области в пределах каждого конечного элемента хорошо аппроксимируются линейными функциями В окрестности особых точек, таких как точки приложения сосредоточенных сил, угловые точки вырезов, изолированные точки, в которых исключены связи, для представления сингулярных решений необходимо использовать более мелкие сетки конечных элементов

Вариационно-сеточный метод, по сравнению с методом линейных напряжений, дает в зонах особых точек более сглаженные решения и обладает более медленной сходимостью При измельчении сетки решения, полученные вариационно-сеточным методом, стремятся к решениям метода с линейными напряжениями, а перемещения, что является важным, стремятся к точным значениям сверху

Перемещения, полученные методом на основе постоянных напряжений, также стремятся к точным значениям сверху Кроме того, метод постоянных напряжений дает наиболее сглаженные решения в окрестностях особых точек и обладает наиболее медленной сходимостью Но данный метод требует для получения решения наименьших вычислительных затрат и при мелких сетках дает достаточно точные полей напряжений и перемещений, за исключением особых точек

14 Предлагаемые методы решения задач строительной механики в напряжениях, основанные на использовании функционала дополнительной энергии деформаций и принципа возможных перемещений, позволяют более точно представить напряженное состояние предметной области, особенно в зонах концентрации напряжений При той же, или более крупной сетке конечных элементов предлагаемые методы решения в напряжениях дают более точные значения узловых напряжений, по сравнению с традиционным подходом, основывающимся на аппроксимации полей перемещений, но могут потребовать больших вычислительных затрат для получения решения

Метод с линейными напряжениями и вариационно-сеточный метод обеспечивают, если это необходимо, непрерывность полей напряжений (усилий) по всей предметной области Вариационно-сеточный метод и метод с постоянными напряжениями позволяют получить при измельчении сетки сходимость перемещений к точным значениям сверху

Основные положения диссертации опубликованы в работах

1 Тюкалов Ю Я Применение комбинации принципов минимума дополнительной энергии и возможных перемещений для решения задач строительной механики в напряжениях//Сб матер всерос науч -техн конф «Наука-производство-технология-экология» - Т 3 - Киров, 2002 - С 44-45

2 Тюкалов Ю Я Расчет изгибаемых плит на основе метода минимизации дополнительной энергии и принципа возможных перемещений//Сб матер всерос науч -техн конф «Наука-производство-технология-экология» - Т 3 - Киров, 2002 - С 46-47

3 Тюкалов Ю Я Модифицированный принцип минимума дополнительной энергии для решения задач строительной механики в напряжениях - М 2002 -Деп в ВИНИТИ №628-В2002 - 15 с

4 Тюкалов Ю Я Расчет изгибаемых плит на основе минимизации дополнительной энергии и принципа возможных перемещений - М 2002 - Деп в ВИНИТИ № 1025-В2002 - 13 с

5 Тюкалов Ю Я Треугольный конечный элемент для расчета изгибаемых плит в напряжениях -М 2002 - Деп в ВИНИТИ № 1026-В2002 - 11с

6 Тюкалов Ю Я Треугольный конечный элемент для решения плоской задачи теории упругости на основе расширенного функционала дополнительной энергии - М 2002 - Деп в ВИНИТИ № 1027-В2002 - 11 с

7 Тюкалов Ю Я Расчет цилиндрических оболочек на основе модифицированного функционала дополнительной энергии//Сб матер всерос науч -техн конф «Наука-производство-технология-экология» - Т 5 - Киров, 2003 - С 159160

8 Тюкалов Ю Я Примеры расчета оболочек на основе модифицированного функционала дополнительной энергии//Сб матер всерос науч -техн конф «Наука-производство-технология-экология» - Т 5 -Киров, 2003 - С 161-162

9 Тюкалов Ю Я К расчету изгибаемых плит в напряжениях при треугольной сетке конечных элементов//Сб матер всерос науч -техн конф «Наука-производство-технология-экология» - Т 5 - Киров, 2003 - С 163-164

10 Тюкалов Ю Я Построение поверхностей влияния внутренних усилий пространственных тонкостенных конструкций//Сб матер всерос науч -техн конф «Наука-производство-технология-экология» - Т 5 - Киров, 2003 - С 165166

11 Тюкалов Ю Я Расчет цилиндрических оболочек методом конечных элементов на основе модифицированного функционала дополнительной энергии - М 2003 - Деп в ВИНИТИ № 1847-В2002 - 17 с

12 Тюкалов Ю Я К расчету оболочек произвольной формы в напряжени-ях//Сб матер всерос науч -техн конф «Наука-производство-технология-экология» - Т 5 - Киров, 2004 -С 176-178

13 Тюкалов Ю Я Динамический расчет плит в напряжениях//Сб матер всерос науч -техн конф «Наука-производство-технология-экология» - Т 5 -Киров, 2004 - С 179-181

14 Тюкалов Ю Я Решение упругопластическои задачи методом конечных элементов в напряжениях//Сб матер всерос науч-техн конф «Наука-производсгво-технология-экология» -Т 5 -Киров, 2004 - С 182-184

15 Тюкалов Ю Я Расчет цилиндрических оболочек методом конечных элементов в напряжениях//Изв вузов Строительство -2004 -№7, С 33-38

16 Тюкалов Ю Я Расчет арок произвольного очертания методом конечных элементов в напряжениях//Сб матер всерос науч -техн конф «Наука-производство-технология-экология» - Т 3 - Киров, 2005 - С 248-250

17 Тюкалов Ю Я Расчет плит на динамические воздействия с учетом пластических деформаций//Сейсмостойкое строительство Безопасность сооружений -2005 - № 2, С 24-26

18 Тюкалов Ю Я Решение объемных задач теории упругости методом конечных элементов в напряжениях//Сб матер всерос науч -техн конф «Наука-производство-технология-экология» - Т 3 - Киров, 2005 - С 251-253

19 Тюкалов Ю Я Анализ трехмерного напряженного состояния пространственной струкгуры//Сб матер всерос науч -техн конф «Наука-производство-технология-экология» - Т 3 - Киров, 2005 - С 254-256

20 Тюкалов Ю Я Пятигранный конечный элемент для решения объемных задач теории упругости в напряжениях//Сб матер всерос науч -техн конф «Наука-производство-технология-экология» - Т 3 - Киров, 2005 - С 257-259

21 Тюкалов Ю Я Вариационно-сеточный метод решения плоских задач теории упругости в напряжениях//Сб матер всерос науч -техн конф «Наука-производство-технология-экология» - Т 5 - Киров, 2006 - С 294-297

22 Тюкалов Ю Я Метод постоянных напряжений для решения плоских задач теории упругости//Сб матер всерос науч -техн конф «Наука-производсгво-технология-экология» - Т 5 - Киров, 2006 - С 298-301

23 Тюкалов Ю Я Расчет оболочек произвольной формы методом конечных элементов в напряжениях//Строительная механика и расчет сооружений -2006 - № 1, С 65-74

24 Тюкалов Ю Я Вариационно-сеточный метод расчета изгибаемых плит в напряжениях//Сб матер всерос науч -техн конф «Наука-производство-технология-экология» - Т 5 -Киров, 2006 - С 311-314

25 Тюкалов Ю Я Решение объемных задач теории упругости методом конечных элементов в напряжениях//Изв вузов Строительство - 2006 - № 2, С 19-26

26 Тюкалов Ю Я Решение плоской задачи теории упругости методом конечных элементов в напряжениях//Строительная механика и расчет сооружений -2006 - № 2, С 34-38

27 Тюкалов Ю Я Вариационно-сеточный метод решения плоской задачи теории упругости в напряжениях//Строительная механика и расчет сооружений -2006 - № 3, С 44-49

28 Тюкалов ЮЯ Вариационно-сеточный метод решения задач изгиба плит в напряжениях//Изв вузов Строительство -2006 -№8, С 13-20

Подписано в печать 8 11 06 Уел печ л 2,6

Бума га офсеп шя Печа гь офсет! !ая

Заказ 1144 Тираж 100

Ошечжамо с электронной псрсни, предоставленной зака)чнком

610 000,1 Киров, ул Дрелевского, 55 Огпечагано - ООО "Фирма "Полекс"

ВВЕДЕНИЕ

1. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ ФУНКЦИОНАЛА ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ.

1.1. Особенности применения функционала дополнительной энергии.

1.2. Использование принципа возможных перемещений для получения уравнений статики.

1.3. Минимизация функционала при наличии ограничений в виде системы линейных алгебраических уравнений.

1.4. Определение перемещений узлов и реакций связей.

1.5. Методика автоматического выбора величины параметра штрафных функций.

1.6. Сравнение решений, полученных на основе двух вариантов расширенного функционала дополнительной энергии.

1.7. Использование расширенного функционала дополнительной энергии для расчёта арок произвольного очертания.

1.8. Учет влияния сдвигающих сил на изгиб при расчете арок в напряжениях.

1.9. Методика получения линий и поверхностей влияния кинематическим способом.

1.10. Выводы по главе.

2. РЕШЕНИЕ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И

ПЛАСТИЧНОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ.

2.1. Использование линейных функций для аппроксимации напряжений по области конечного элемента.

2.2. Использование постоянных функций для аппроксимации напряжений по области конечного элемента.

2.3. Вариационно-сеточный метод.

2.4. Примеры решения упругих задач. Анализ и сравнение результатов.

2.5. Алгоритм решения задач теории пластичности в напряжениях.

2.6. Пример расчета пластины с отверстием с учётом пластических деформаций.

2.7. Выводы по главе.

3. РЕШЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

ИЗГИБА ПЛАСТИН В НАПРЯЖЕНИЯХ.

3.1. Использование линейных функций для аппроксимации моментов по области конечного элемента.

3.2. Вариационно-сеточный метод.

3.3. Примеры решения упругих задач. Анализ и сравнение результатов.

3.4. Решение задач изгиба изотропных плит с учётом пластических деформаций.

3.5. Решение динамических задач изгиба плит в напряжениях.

3.6. Пример динамического расчёта изгибаемой плиты с учётом пластических деформаций. Анализ и сравнение результатов

3.7. Пример расчета плиты перекрытия жилого здания.

3.8. Выводы по главе.

4. РАСЧЁТ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК В НАПРЯЖЕНИЯХ

4.1. Использование линейных функций для аппроксимации внутренних усилий по области конечного элемента.

4.2. Вариационно-сеточный метод.

4.3. Примеры расчёта цилиндрических оболочек. Анализ и сравнение результатов.

4.4. Выводы по главе.

5. РАСЧЁТ ОБОЛОЧЕК ПРОИЗВОЛЬНОГО ОЧЕРТАНИЯ В

НАПРЯЖЕНИЯХ

5.1. Глобальная и локальная системы координат.

5.2. Связь между возможными перемещениями в глобальной и локальной системах координат.

5.3. Уравнения равновесия для сетки треугольных конечных элементов.

5.4. Дополнительная энергия деформаций треугольного конечного элемента.

5.5. Примеры расчёта сферических оболочек. Анализ и сравнение результатов.

5.6. Выводы по главе.

6. РЕШЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В

НАПРЯЖЕНИЯХ.

6.1. Использование линейных функций для аппроксимации 242 напряжений по области конечного элемента.

6.2. Использование постоянных функций для аппроксимации 264 напряжений по области конечного элемента.

6.3. Вариационно-сеточный метод.

6.4. Примеры расчёта. Анализ и сравнение результатов.

6.5. Выводы по главе.

0.1. Состояние решаемой проблемы. Обзор литературы.

Одной из основных задач, возникающих при проектировании строительных конструкций, является задача определения полей перемещений и напряжений от действия заданных на конструкцию нагрузок. При этом поле напряжений имеет первостепенное значение. В общем случае, в соответствии с теорией упругости [83, 84], решение такой задачи сводится к системе дифференциальных уравнений равновесия и совместности перемещений, при выполнении граничных условий для напряжений и перемещений. При этом напряжения и деформации связаны уравнениями состояния материала или законом Гука. Очевидно, что получение точного решения данной системы дифференциальных уравнений для реальных конструкций практически невозможно. Поэтому, с появлением электронных вычислительных машин, получили широкое распространение различные приближенные методы расчета строительных конструкций. К таким методам относятся: метод конечных разностей, метод Бубнова - Галеркина, метод коллокаций, метод Ритца, метод взвешенных невязок, метод В. 3. Власова, метод конечных элементов, метод граничных элементов и др. [2, 3, 7, 9-13, 15, 17, 20, 22-24, 27, 29, 33-36, 40-41, 58, 67, 72, 75-77, 79-80,117,120, 127-128].

Погрешность решений, получаемых с помощью приближенных методов, связана с нарушением (неточным выполнением) уравнений равновесия, уравнений совместности деформаций или краевых условий. Дальнейшее развитие существующих численных методов и разработка новых в первую очередь направлены на повышение точности определения перемещений и напряжений при одновременном усложнении рассчитываемых конструкций.

В настоящее время наиболее распространенным и универсальным методом расчета строительных конструкций является метод конечных элементов [24, 25, 31, 32, 41, 47, 52-55, 59, 62, 64, 66, 73, 74, 80-81, 122]. В соответствии с этим методом, любая самая сложная конструкция разделяется на большое число подобластей (конечных элементов), имеющих простую геометрическую форму. Описание напряженно-деформированного состояния каждого конечного элемента производится при помощи выбираемого набора функций, которые приближенно представляют перемещения и напряжения в области рассматриваемого элемента. Для получения разрешающих соотношений, как для отдельного конечного элемента, так и для всей конструкции чаще всего используются энергетические принципы. Основополагающими являются - принцип минимума потенциальной энергии, или принцип Лагранжа [14, 17, 31], и принцип минимума дополнительной энергии, или принцип Кастилиано [24, 73, 78, 80]. На основе указанных выше принципов разработаны различные гибридные и смешанные вариационные принципы. Наиболее известные из них -это принципы Рейсснера, Ху-Вашицу, Херрмана и др. [5, 18, 24, 49, 133, 137, 139, 146, 147,150].

В основе вариационных функционалов Лагранжа и Кастилиано лежат более фундаментальные принципы виртуальных перемещений и виртуальных сил [24, 31, 69, 71, 75-76, 80, 119, 135]. Оба принципа являются различными формами общего принципа виртуальной работы и могут служить независимым подходом к построению соотношений метода конечных элементов.

Самым распространенным и универсальным является метод конечных элементов, использующий принцип Лагранжа [31, 80]. В этом случае аппроксимируется только поле перемещений, а напряжения вычисляются через дифференциальные зависимости, связывающие перемещения и деформации, а также уравнения состояния материала. Погрешность решения в этом случае может быть связана с неточным выполнением уравнений равновесия, уравнений совместности деформаций и с возможными разрывами напряжений и деформаций по границам конечных элементов. Для обеспечения сходимости получаемого приближенного решения к точному (при измельчении сетки конечных элементов) выбираемые функции должны удовлетворять определенным условиям [31, 81]. В зависимости от наибольшего порядка произволных, входящих в выражение потенциальной энергии деформаций, функции должны обладать определенной степенью гладкости, то есть иметь непрерывные по границам конечных элементов производные определенного порядка. Также выбираемые функции должны включать представления постоянных величин для соответствующих напряжений или деформаций и обеспечивать нулевую энергию деформации при движении конструкции как твердого целого.

Плоское напряжённое состояние является простейшей формой напряженного состояния, часто встречающееся в практических расчётах. Такие конечные элементы также используются для учёта мембранных напряжений в оболочках. В данном случае довольно легко подобрать аппроксимирующие функции, обеспечивающие непрерывность перемещений и необходимую гладкость для всей конструкции. Для решения задач плоской теории упругости достаточно использовать линейные базисные функции для треугольных или прямоугольных конечных элементов [24, 31, 65, 78]. В работе [24] выполнено сравнение различных типов плосконапряжённых конечных элементов, построенных на базе предполагаемых перемещений. При использовании элементов с линейными полями перемещений и, соответственно, с постоянными полями напряжений, вызывает трудности интерпретация вычисленных напряжений. Предлагается для сглаживания разрывных напряжений вычислять сопряженные напряжения на основе принципа виртуальной работы. Отмечается, что для решения основных задач теории упругости о плоском напряжённом состоянии предпочтительнее использовать треугольные элементы с линейной деформацией в них, а преимущества использования треугольных элементов более высокого порядка не столь очевидны. Для обеспечения линейного поля деформаций необходимо введение дополнительных узлов на сторонах элемента или дополнительных узловых неизвестных в виде производных от перемещений. В работе [138] отмечается, что в первом случае для вытянутых конечных элементов значительно увеличивается погрешность определения перемещений. В последнем случае деформация будет квадратичной, и требуется введение дополнительного узла в центре элемента. Введение дополнительных узлов приводит к увеличению общего числа неизвестных и ширины ленты системы уравнений.

Формулировки, основанные на принципе минимума дополнительной энергии в задачах о плоском напряжённом состоянии, включают задание функционала, содержащего вторые производные, если в качестве основной неизвестной выступает функция напряжений Эри, Поэтому требуется, чтобы сама функция напряжений и её первые производные были непрерывны при переходе от элемента к элементу. В связи с этим возникают дополнительные трудности с выбором подходящих полиномов для представления функции напряжений. Подход, основанный на дополнительной энергии, может оказаться удобным для решения задач неупругого анализа, так как в таких расчётах поведение материала определяется в форме зависимости деформаций от напряжений. Поэтому для формулировок на базе потенциальной энергии требуется обращать связывающую деформации и напряжения матрицу, что может привести к дополнительным сложностям при решении задач с учётом временных зависимостей.

В работе [132] при решении плоской задачи теории упругости методом конечных элементов для вычисления производных от перемещений в узлах используются разностные выражения. В этом случае единственными степенями свободы будут величины неизвестных узловых перемещений, при этом сохраняется их непрерывность. Таким образом, число степеней свободы для каждого элемента не изменяется по сравнению с методом конечных элементов в перемещениях, однако общее число неизвестных параметров значительно уменьшается. Замена производных разностными выражениями вызывает сложности с учетом граничных условий, связанных с производными от перемещений на криволинейных границах.

В работе [134] предлагается метод вычисления узловых значений частных производных какой-либо функции, заданной в конечном элементе. Напряжения вычисляются как средние значения напряжений в конечных элементах, примыкающих к рассматриваемому узлу, но с учётом весовых коэффициентов. Приводятся формулы для определения данных коэффициентов, и отмечается, что предлагаемый метод позволяет получить весьма точные значения не только во внутренних узлах, но и в точках, лежащих на границе тела, что особенно важно в задачах о концентрации напряжений. Метод не обоснован строго математически, но даёт хорошие результаты при решении тестовых задач.

В случае расчета изгибаемых пластин методом конечных элементов [24, 26, 28, 31, 57], трудно подобрать поле перемещений с непрерывными первыми производными по границам конечных элементов, и тем самым обеспечить необходимые условия для сходимости получаемого решения к теоретически правильному решению. Кроме того, в этом случае разрывы первых производных от функции перемещений будут вносить дополнительную погрешность в уравнения равновесия для узлов конечно-элементной сетки. В работе [24] отмечается, что для задач изгиба пластин можно получить достоверные и точные результаты для моделей, построенных на основе принципа минимума потенциальной энергии. Однако выдвигаемым при этом требованиям к решениям трудно удовлетворить, что приводит к большому объему алгебраических операций при построении базисных коэффициентов матрицы жёсткости. Поэтому проявляется значительный интерес к формулировкам, основанным на использовании других вариационных принципов с менее жёсткими требованиями к предполагаемым функциям. Если использовать для решения принцип дополнительной энергии, а для представления напряжений функции напряжений Саусвелла, то можно построить матрицу податливости конечного элемента. Но очевидные преимущества применения такого подхода к анализу изгиба пластин в значительной степени снижаются из-за трудности задания внешних нагрузок. Граничные условия на нагруженной поверхности должны учитываться особым образом, обычно посредством наложения уравнений связи. Численные результаты подтверждают, что решения, полученные с помощью альтернативной формулировки, основанной на принципе минимума дополнительной энергии, сходятся к точному решению снизу и обеспечивают достаточную точность.

Также в [24] рассматривается смешанная формулировка изгибаемого конечного элемента, основанная на модифицированной форме вариационного принципа Рейсснера. Предполагается, что прогибы описываются линейным полем, а компоненты внутренних изгибающих моментов являются константами. В работе отмечается, что численные результаты, полученные с использованием данной смешанной формулировки, совпадают с результатами, полученными с использованием матрицы жёсткости, построенной на основе полного квадратичного полинома. Смешанная формулировка, основанная на представлении более высокого порядка (линейно изменяющиеся моменты, квадратичные перемещения), существенно повышает точность решения, но в этом случае для каждого элемента требуется вдвое больше узлов. В еще большей степени, отмеченные выше трудности, относятся к решению задач с учетом пластических свойств материала и к задачам, имеющим зоны концентрации напряжений. При решении таких задач возможно появление резких изменений напряжений в пределах одного конечного элемента, что предъявляет дополнительные требования к непрерывности функций, аппроксимирующих напряжения.

В работе [146] рассматриваются гибридные конечно-элементные модели для расчёта изгибаемых плит и тонких оболочек. В вариационный принцип Кастилиано в качестве дополнительных условий вводятся уравнения равновесия внутренних сил, действующих по границам конечных элементов, и заданных граничных напряжений. Соответствующими множителями Лагранжа являются перемещения вдоль рассматриваемых границ. Напряжения в каждом элементе в этом случае являются независимыми и должны удовлетворять уравнениям равновесия внутри элемента. Уравнения равновесия вдоль границ удовлетворяются интегрально. С другой стороны, уравнения равновесия для внутренней области конечного элемента также могут быть добавлены к функционалу в качестве дополнительного условия. Множителями Лагранжа являются независимые по отношению к напряжениям перемещения внутренних точек конечного элемента. Напряжения в этом случае не удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия. Для треугольного конечного элемента с шестью узлами и пятью неизвестными усилиями в каждом узле, общее количество неизвестных для элемента равно тридцати. Использование таких конечных элементов требует значительных вычислительных затрат на формирование и решение системы уравнений. Если на стадии получения соотношений для конечного элемента исключить неизвестные узловые перемещения, то можно получить непрерывное поле напряжений, но при этом поле перемещений будет иметь разрывы по границам конечных элементов.

С целью улучшения характеристик конечных элементов для задач изгиба пластин в работе [130] предлагается искусственно уменьшить их жёсткость. Метод уменьшения жёсткости применяется к элементам, имеющим внутренние степени свободы. На ряде числовых примеров показана эффективность использования конечных элементов с пониженной жёсткостью.

В работе [131] для расчёта сжатой прямоугольной пластины, подкреплённой системой равноотстоящих одинаковых рёбер жёсткости, для представления поперечных перемещений используются как глобальные, так и локальные аппроксимирующие функции. Для продольных перемещений используются только локальные функции. В работе отмечается, что добавление глобальных функций для перемещений в плоскости может привести к численной неустойчивости. Авторы отмечают, что решения, полученные стандартным методом конечных элементов и с добавлением глобальных функций поперечных перемещений, отличаются мало, следовательно, точность решения зависит главным образом от задаваемого поля для перемещений в плоскости пластины.

В статье [126] рассматриваются вопросы, связанные с исследованием поведения упругих плит с учётом больших перемещений. Исследуются условия для получения конечного элемента, который позволяет обеспечить удовлетворительную точность и гарантирует сходимость к точному решению при измельчении сетки конечных элементов. А это значит, что функции, описывающие поведение элемента, должны воспроизводить точно элементарные состояния, а именно постоянные деформации в срединной плоскости, постоянные кривизны, а также обеспечивать перемещение элемента как жёсткого целого. Как показывает опыт решения линейных задач, наиболее оптимальным является применение таких функций форм, которые дают линейное распределение напряжений. При этом имеются определённые трудности, так как в этом случае в качестве аппроксимирующих функций необходимо принимать полные полиномы третьего порядка. Это связано с тем, что только в этом случае удаётся описать состояния элемента с постоянной кривизной и кручением, а также добиться требуемой непрерывности перемещений при переходе через границы соседних элементов. Автор отмечает, что для описания деформирования зон плиты, где возникают усилия краевого эффекта, требуется особый тип элементов, с особым характером распределения усилий.

В работе [135] даются уравнения метода конечных элементов при выборе в качестве основных неизвестных усилий в срединной поверхности, изгибающих и крутящих моментов, деформаций удлинения и сдвига и кривизн. Считается, что между точками все величины изменяются линейно. Уравнения равновесия, которым должны удовлетворять основные неизвестные, получаются с помощью принципа возможных перемещений, причем в качестве допустимых перемещений рассматриваются перемещения конечного элемента как твёрдого тела. Работа сил при этом выражается через интегралы вдоль границ элемента. Для записи уравнений совместности перемещений используется статико-геометрическая аналогия. Отмечается, что описанный метод позволяет с одинаковой точностью определять усилия и моменты, а также избежать численного дифференцирования, которое необходимо, если в качестве неизвестных параметров используются узловые перемещения. Получены соотношения для решения плоских задач теории упругости, задач изгиба плит и пологих оболочек. В работе отмечается, что предлагаемый метод может давать хорошие результаты в задачах, имеющих зоны концентрации напряжений.

Для расчёта оболочек произвольного очертания методом конечных элементов используются два основных подхода. Первый подход связан с представлением поверхности оболочки набором плоских треугольных конечных элементов [31, 66, 74, 141]. Предполагается, что напряжённое состояние оболочки может быть определено в рамках линейной теории оболочек с использованием гипотезы Кирхгоффа. Это приводит к тому, что напряженное состояние в срединной поверхности элемента может быть описано с помощью соотношений для плоской задачи теории упругости, а напряженное состояние, возникающее при изгибе элемента, - на базе теории изгиба пластин. Использование построенной таким образом матрицы жесткости при анализе напряженного состояния произвольных оболочек не приводит к каким-либо затруднениям. Исключением является частный случай, когда в отдельных узлах оболочки все сходящиеся конечные элементы лежат в одной плоскости. Жесткость такой оболочки при вращении относительно оси, нормальной к данной плоскости, будет равна нулю, и общая матрица жесткости становится особенной. В этом случае в упомянутых узловых точках следует ввести дополнительные кинематические закрепления, препятствующие вращению вокруг нормали к оболочке в этих узловых точках. Предлагаются и другие способы, позволяющие решить указанную проблему [31].

Второе направление применения метода конечных элементов для расчёта оболочек характеризуется тем, что каждый элемент в расчётной схеме оболочки повторяет форму представляемой этим элементом области конструкции [26, 45, 63, 123, 144, 148]. При этом стремятся разрабатывать конечные элементы, позволяющие получить хорошую точность при сравнительно редкой сетке. Это достигается использованием в качестве функций перемещений полиномов высокой степени. Для получения необходимых характеристик криволинейных конечных элементов применяется та или иная теория расчёта оболочек. Если разрабатывается универсальный элемент, предназначенный для расчёта оболочек произвольной формы, то используется общая теория оболочек. Ясно, что для криволинейных конечных элементов еще сложнее подобрать такие аппроксимирующие перемещения функции, которые обеспечивали бы непрерывность деформаций и напряжений по границам элементов.

В работах [37, 85] для расчёта нелинейно деформируемых оболочек применяется альтернативный рассмотренным выше двум подходам вариационно-разностный метод дискретизации. При вычислении функционала Jla-гранжа производные вектора перемещений заменяются конечными разностями, а для вычисления интеграла по ячейке используется его дискретный аналог.

Работа [142] посвящена изучению различных методов получения соотношений для конечных элементов осесимметричных оболочек. Обсуждаются различные методы: коллокаций, Бубнова, моментов, наименьших квадратов. Все данные методы называются методами взвешивания остатков. Перемещения внутри элементов аппроксимируются кубическими полиномами Эрмита. Численные результаты, приведенные в данной статье, показывают, что использование рассмотренных методов приводит в случае осесимметричной оболочки к весьма высокой точности получаемых решений.

Для расчёта осесимметричных оболочек с успехом применяется и смешанный подход [133, 144]. Авторы статьи [144] используют в качестве конечного элемента часть поверхности между параллельными плоскостями, перпендикулярными оси вращения. В качестве неизвестных приняты радиальное и осевое перемещения, а также меридиональный и окружной изгибающий моменты. Меридиональную кривую задают полиномом пятой степени. Авторы отмечают, что в сравнении с другими конечно-элементными формулировками, рассматриваемый в статье подход требует минимального числа узловых неизвестных, которые обеспечивали бы непрерывность перемещений и изгибающих моментов. Это достигается путём принятия линейного закона изменения указанных параметров по длине конечного элемента. Отмечается также простота учета деформаций сдвига. В работе [133] для расчёта оболочек методом конечных элементов применяется смешанный функционал, в котором исключаются вторые производные искомых функций. Иногда это достигается за счёт увеличения числа неизвестных функций. Предлагаемые варианты функционалов базируются на известном функционале Рейсснера и методе множителей Лагранжа.

Сплошные, или трёхмерные, конечные элементы используются при решении таких задач, как расчёт массивных бетонных и каменных конструкций, определение напряжений в породах грунта, соединениях толстостенных труб и др. Из-за большой размерности конечно-элементное представление для сплошного тела требует очень большого числа степеней свободы [1, 24, 31, 78]. Поэтому решающими для использования какого-либо метода в трёхмерном случае являются вопросы снижения необходимого числа узловых параметров и общего количества неизвестных. Существующие формулировки трехмерных элементов почти все основываются на предполагаемых полях перемещений и принципе минимума потенциальной энергии. Простейшими конечными элементами являются прямоугольные шестигранные элементы с постоянными напряжениями. В этом случае в каждом узле имеется только три степени свободы. Для того чтобы обеспечить непрерывность деформаций по границам конечных элементов, необходимо в каждом узле ввести дополнительно в качестве неизвестных производные от перемещений. Тогда общее число узловых неизвестных возрастает, а для аппроксимации перемещений потребуется использовать неполный полином пятой степени. Если на ребрах конечного элемента ввести дополнительные узлы, то можно уменьшить число неизвестных до шестидесяти на элемент, при этом поля перемещений аппроксимируются квадратичными полиномами, но существенно увеличивается ширина ленты ненулевых коэффициентов системы уравнений. Аналогичные варианты аппроксимации перемещений по объему используются и для тетраэдральных конечных элементов [24]. Успех применения трёхмерных элементов существенно зависит от имеющихся возможностей проведения высокоэффективного общего анализа системы, причём использование наиболее эффективных алгоритмов решения является обязательным. Использование формулировок на базе функционала дополнительной энергии и смешанных функционалов является перспективным направлением использования метода конечных элементов для решения задач трехмерной теории упругости [24, 78].

Одно из направлений развития метода конечных элементов связано с разработкой методики оценки точности решения [32, 81]. При решении в перемещениях основную погрешность в уравнения равновесия и, следовательно, в получаемое по методу конечных элементов решение, вносят разрывы полей деформаций и напряжений по границам конечных элементов [24, 81, 126]. Кроме того, разрывы полей напряжений обуславливают сложность интерпретации вычисленных напряжений и деформаций, так как в одном и том же узле величина напряжений будет различной при рассмотрении разных конечных элементов, примыкающих к рассматриваемому узлу [134, 143]. Стремление обеспечить непрерывность напряжений по всей предметной области привело к разработке конечных элементов, в которых для аппроксимации поля перемещений используются полиномы высокого порядка. Так для изгибаемых пластин использовались полиномы пятого и шестого порядков [24, 26, 31, 126]. В этих случаях потребовалось введение в качестве узловых неизвестных производных первого и второго порядка, а также дополнительных узловых точек на сторонах конечных элементов. Это значительно усложнило процесс формирования матриц жесткости конечных элементов и разрешающей системы линейных уравнений. В работе [86] для расчета плоских стержневых систем использовались конечные элементы, в которых в качестве узловых неизвестных дополнительно вводились кривизна и продольная деформация оси стержня. Такой подход обеспечивал непрерывность напряжений и деформаций в узловых точках.

Безусловно, существует и другой возможный путь уменьшения погрешности решения, который заключается в последовательном измельчении конечно-элементной сетки. Но при измельчении сетки будет неуклонно возрастать объем арифметических операций и, соответственно, величина ошибки, которая связана с округлениями чисел. Понятно, что бесконечным такой процесс быть не может, и его необходимо остановить на том шаге, когда погрешность вычислений, связанная с округлениями при арифметических операциях, будет сопоставима с погрешностью конечно-элементного решения. Но, так как оценить возможную погрешность решения с такой точностью невозможно, то невозможно определить и этот шаг.

Известно, что при соблюдении определенных условий, решение по методу конечных элементов в форме перемещений всегда дает нижнюю, с точки зрения перемещений, границу решения. Поэтому становится весьма важной возможность определения второй, верхней границы перемещений. Определив обе границы решения, мы сможем оценить и его точность.

Верхнюю границу решения, опять же при определенных условиях, можно найти, если использовать принцип минимума дополнительной энергии [24, 78, 80, 124]. В соответствии с этим принципом поле напряжений, доставляющее минимум дополнительной энергии системы, удовлетворяет уравнениям совместности перемещений и заданным граничным условиям для перемещений. При этом выбираемое поле напряжений должно априори удовлетворять условиям равновесия внутри тела и заданным значениям напряжений на границе.

Если в качестве неизвестных выбрать узловые силы, то получить соответствующие формулировки на основе выражения дополнительной энергии намного труднее, по сравнению с выражениями для жесткостной формулировки, получаемыми из принципа минимума потенциальной энергии [4, 39, 78]. Это усложнение связано с тем, что для статически неопределимой (внутренне и внешне) конечно-элементной расчетной схемы нельзя напрямую связать внутренние узловые силы и внешние нагрузки. Для получения матрицы податливости всей конструкции необходимо выполнить большое число матричных операций, включая операцию обращения матрицы большого размера. Большие вычислительные затраты и сложность алгоритма решения сдерживают практическое применение данного подхода.

Существует подход, позволяющий обойти перечисленные трудности [24, 31, 78]. Для этого, в качестве параметров поля напряжений можно ввести специальные функции напряжений. Для плоской задачи теории упругости напряженное состояние можно охарактеризовать одной функцией, называемой функцией Эри. Для задач расчета изгибаемых плит используются функции Са-усвелла. Если напряжения вычислять путем дифференцирования функций напряжений, то поле напряжений будет автоматически удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия внутри тела, и его можно использовать для минимизации дополнительной энергии системы. В качестве узловых неизвестных принимаются значения функции напряжений и её производных. Для того, чтобы обеспечить непрерывность напряжений по границам конечных элементов, необходимо аппроксимировать функцию напряжений полиномом высокой степени. При этом возникнут те же сложности, что и при построении решения на основе принципа Лагранжа. Для учёта статических граничных условий вводятся дополнительные ограничения на узловые значения функции напряжений. При этом граничные условия будут выполняться интегрально. Кроме того, если внешние нагрузки не являются самоуравновешенными, необходима специальная процедура модификации матрицы податливости для учета кинематических граничных условий. Таким образом, данный подход, с точки зрения получения непрерывных полей напряжений и деформаций, практически не имеет преимуществ перед подходом, основанным на принципе минимума потенциальной энергии.

В [48] рассматривается применение принципа Кастилиано для расчета плоских стержневых систем. В качестве неизвестных принимаются изгибающие моменты в узлах рамы. С помощью принципа возможных перемещений составляются уравнения равновесия, соответствующие возможным перемещениям узлов вдоль осей координат. С помощью полученных уравнений и уравнений равновесия в узлах из функционала Кастилиано исключаются линейно зависимые неизвестные. Разрешающая система уравнений определяется из условия минимума потенциальной энергии.

В работе [16] предлагается метод расчета в напряжениях, основывающийся на использовании согласованных конечных элементов. Для подсчета напряжений разработан алгоритм генерирования ансамбля конечных элементов и выведена универсальная рекуррентная формула подсчета субблоков матрицы обобщенных деформаций, исключающая процедуры формирования и решения глобальной системы алгебраических уравнений. Следует отметить, что при предлагаемом подходе напряжения и деформации являются согласованными только в направлении, перпендикулярном границам конечных элементов, и несогласованными вдоль сторон элементов.

Альтернативами методам, использующим единственное аппроксимирующее поле, являются вариационные методы, базирующиеся на применении нескольких полей для представления характеристик элемента и обобщении принципов минимума потенциальной и дополнительной энергии [14, 24, 73, 80, 129, 140, 144]. В гибридных методах одно поле перемещений и (или) напряжений задаётся внутри конечного элемента, другое поле перемещений или напряжений принимается независимо на границе элемента. Все поля, кроме одного, выражаются при помощи обобщенных параметров. Одно поле выражается через узловые перемещения. Соответствующее обобщенное энергетическое выражение для конечного элемента записывается при помощи всех введенных полей.

В соответствии с условием стационарности функционала, выполняется его вариация по вектору обобщенных параметров. Если из полученной в результате вариации функционала системы уравнений выразить обобщенные параметры через узловые перемещения и подставить в выражение функционала, то можно получить матрицу жесткости элемента. Если, наоборот, выразить узловые перемещения через обобщенные параметры, соответствующие напряжениям, то можно получить матрицу податливости.

В смешанных функционалах, например в известном функционале Рейс-снера [18, 24, 80, 140], используются два поля внутри элемента для описания перемещений и напряжений (сил) соответственно. В результате вариации функционала по напряжениям (силам) и перемещениям получаем смешанную матрицу связи между напряжениями (силами) и перемещениями.

Смешанная матрица является симметричной, но может иметь ряд нулевых элементов на главной диагонали. Поэтому, если не исключать параметры, относящиеся к напряжениям или перемещениям, решение системы уравнений для всей конструкции значительно усложняется за счет увеличения общего числа неизвестных и из-за появления нулевых коэффициентов на главной диагонали. Если параметры, относящиеся к одному из полей исключить, то можно получить положительно определенную матрицу. Таким образом, применение в гибридных и смешанных функционалах нескольких полей для описания напряженно-деформированного состояния конечного элемента снижает уровень требований к гладкости аппроксимирующих эти поля функций, но, в общем случае не гарантирует непрерывность напряжений по границам элементов.

В последнее время появились работы, посвященные разработке аналити-ко-численных методов решения краевых задач строительной механики [33-36, 125, 150]. Областью применения таких методов являются конструкции, здания и сооружения, в которых имеется постоянство физико-геометрических характеристик по одному из координатных направлений. Это, например, задачи расчета балок, балок-стенок, тонкостенных стержней, полос, длинных фундаментов, плит, пластин, оболочек, высотных и протяженных зданий и т. д. Предлагаемый в данных работах дискретно-континуальный метод конечных элементов позволяет получать решения в аналитической форме, способствующей улучшению качества исследования рассматриваемых объектов. Метод особенно эффективен в зонах краевого эффекта.

В работе [80] подробно рассматриваются особенности применения различных вариационных принципов для решения задач строительной механики. Рассматриваются принципы Лагранжа, Кастилиано, Рейсснера, Ху-Васидзу, обобщенный смешанный принцип и вариационный принцип Гуртина. Функционал Гуртина [136] был введен для решения задач динамики в свертках. Данный функционал определен на полях напряжений, которые не обязаны удовлетворять каким либо уравнениям равновесия или краевым условиям. Дифференциальные уравнения равновесия удовлетворяются в слабом смысле (интегрально) путем введения их в функционал при помощи штрафа. Позднее было осознано, что функционалы такого типа можно распространить и на задачи статики при наличии упругой среды с невырожденным оператором. Расширение этой возможности на задачи без упругой среды возможно при помощи формального ввода в механическую модель упругой среды. Эта искусственно введенная среда играет роль штрафа в постановке задачи, слегка искажающего решение, но зато дающего возможность удобного перехода к формулировке вариационной задачи только в напряжениях.

Учитывая результаты многочисленных исследований по применению метода конечных элементов для решения различных задач строительной механики, можно сделать следующие основные выводы:

- актуальной остаётся проблема более точного моделирования напряженного состояния конструкции при получении решения, как на основе функционала Лагранжа, так и на основе функционала Кастилиано;

- при решении задач методом конечных элементов во многих случаях актуальной является проблема получения непрерывных полей напряжений и деформаций;

- актуальной является проблема построения решения методом конечных элементов на основе функционала дополнительной энергии при использовании единственного обобщенного поля напряжений, с целью получения верхней с точки зрения перемещений границы решения.

0.2. Решаемая научная проблема. Постановка задачи

Научной проблемой, решаемой в диссертации, является проблема построения решения статических и динамических задач строительной механики в напряжениях, на основе функционала дополнительной энергии деформаций и конечно-элементной дискретизации предметной области, с целью более точного моделирования напряженного состояния конструкций, а также с целью получения верхней, с точки зрения перемещений, границы решения.

Целью диссертационной работы являются:

1. Разработка методики решения задач строительной механики в напряжениях на основе минимизации дополнительной энергии деформаций и конечно-элементной дискретизации предметной области, с целью более точного моделирования напряженного состояния, а также получения верхней, с точки зрения перемещений, границы решения.

2. Разработка алгоритмов и численное исследование предлагаемой методики для решения следующих задач:

- расчет арок произвольного очертания на действие статических нагрузок;

- решение плоских статических задач теории упругости и пластичности;

- решение статических и динамических задач изгиба плит с учётом упругих и пластических свойств материалов;

- расчет круговых цилиндрических оболочек на действие статических нагрузок;

- расчет оболочек произвольного очертания на действие статических нагрузок;

- решение объемной статической задачи теории упругости.

0.3. Содержание диссертации

Диссертация состоит из введения и шести разделов, в которых рассмотрены методы решения статических и динамических задач плоской и пространственной теории упругости и пластичности методом конечных элементов на основе функционала дополнительной энергии в напряжениях.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

1. Предложена методика решения статических и динамических задач строительной механики в напряжениях, основывающаяся на конечно-элементной дискретизации предметной области и минимизации дополнительной энергии деформаций с учетом ограничений на область выбора неизвестных параметров. Для описания напряженно-деформированного состояния конструкции используются только поля напряжений или внутренних усилий. Неизвестными параметрами являются непосредственно напряжения (внутренние усилия) в узлах или в конечных элементах. Предложены три варианта аппроксимации напряжений по области конечного элемента: линейными, постоянными или кусочно-постоянными функциями.

В соответствии с принципом минимума дополнительной энергии деформаций поля напряжений должны удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия. Так как, для построения решения используется конечно-элементная модель предметной области, дифференциальные уравнения заменяются алгебраическими уравнениями равновесия узлов сетки вдоль осей координат.

Уравнения равновесия узлов формируются при помощи принципа возможных перемещений. Для аппроксимации возможных перемещений по области конечных элементов, примыкающих к рассматриваемому узлу, используются линейные базисные функции. Полученные алгебраические уравнения равновесия внутренних узлов сопряжены с соответствующими дифференциальными уравнениями равновесия, а уравнения равновесия узлов, лежащих на границе области, сопряжены с соответствующими статическими граничными условиями. Для решения задачи минимизации дополнительной энергии при наличии ограничений в виде системы линейных алгебраических уравнений могут быть использованы метод штрафных функций или метод множителей Лагранжа.

2. Если для решения использовать метод множителей Лагранжа, то общее число неизвестных параметров увеличивается. Множители Лагранжа, которыми являются перемещения узлов по направлению осей координат, необходимо включить в общее число неизвестных наряду с напряжениями. При этом вариация такого расширенного функционала по вектору неизвестных параметров приводит системе линейных уравнений, имеющей ряд нулевых коэффициентов на главной диагонали. Решение такой системы линейных уравнений, по сравнению с решением положительно определенной системы уравнений, требует значительно большего объема памяти ЭВМ и вычислительных затрат. Если для аппроксимации напряжений использовать постоянные или кусочно-постоянные функции, то глобальная матрица податливости будет иметь блочно-диагональную структуру и для неё легко найти обратную матрицу. В этом случае решение результирующей системы линейных уравнений может быть существенно упрощено.

3. Решение при помощи метода штрафных функций требует наименьших вычислительных затрат. В этом случае уравнения равновесия включаются в функционал при помощи функций штрафа, и неизвестными являются только напряжения (усилия). Вариация такого расширенного функционала дополнительной энергии по вектору неизвестных приводит к системе линейных алгебраических уравнений, которая является симметричной, положительно определённой и имеет ленточную структуру.

Для данного варианта решения предложена методика определения перемещений узлов вдоль осей координат. Перемещения вычисляются после определения узловых напряжений путём вариации расширенного функционала, в который уравнение равновесия для рассматриваемого узла вдоль направления искомого перемещения включено при помощи метода множителей Лагранжа. Данная методика не требует формирования и решения системы уравнений и позволяет определять перемещение узла непосредственно из одного алгебраического уравнения независимо от перемещений других узлов и в любой последовательности. Также, при помощи принципа возможных перемещений получена общая формула для определения реакций опор.

На основе использования параметров, которые определяются формой представления вещественных чисел в ЭВМ, дана оценка предельной величины параметра функции штрафа. Полученные оценки подтверждены решениями тестовых задач. Предложена методика автоматического выбора величины параметров функции.

Выполнена численная проверка возможного влияния функций штрафа на точность получаемого решения. Для этого были выполнены решения тестовых задач при помощи двух вариантов формирования расширенного функционала. В одном варианте для решения использовались штрафные функции, в другом - метод множителей Лагранжа. Проверка показала, что функции штрафа практически не вносят дополнительной погрешности в решение по сравнению с методом множителей Лагранжа. При этом решение, полученное по методу штрафных функций, дает всегда незначительно меньшие величины напряжений и перемещений, по сравнению с решением на основе метода множителей Лагранжа. На примере использования прямоугольных конечных элементов показано, что величина параметра функции штрафа, вычисленная по предлагаемой методике, зависит не от фактических размеров сторон элементов, а от их отношения.

4. При решении динамических задач используются оба метода. При этом одна часть уравнений равновесия, составленных для узлов с сосредоточенными массами, и, соответственно с силами инерции, добавляется к функционалу при помощи метода множителей Лагранжа, вторая - при помощи штрафных функций. Вариация такого функционала по вектору, включающему в себя неизвестные напряжения и перемещения, приводит к системе дифференциальных уравнений, для решения которой можно использовать, например, шаговый метод интегрирования. В этом случае неизвестными, кроме напряжений, являются и перемещения вдоль осей координат. Но матрица коэффициентов разрешающей системы линейных алгебраических уравнений в этом случае является симметричной, имеет ленточную структуру и не имеет нулевых элементов на главной диагонали.

5. Предложена методика расчета круговых арок произвольного очертания на основе расширенного функционала дополнительной энергии, полученного по методу штрафных функций. Рассмотрена возможность учета влияния сдвигающих сил на изгиб. Выполнено сравнение решения тестовой задачи с решением, полученным методом конечных элементов в перемещениях. Показано, что при одинаковом количестве конечных элементов предлагаемый функционал позволяет получить более точные значения продольных сил, а величины изгибающих моментов и перемещений совпадают.

6. Предложена методика использования метода штрафных функций и метода множителей Лагранжа для получения поверхностей влияния пространственных конструкций кинематическим способом. Поверхности влияния всех внутренних усилий могут быть получены из одного расчета. Показано, что если для аппроксимации напряжений использовать постоянные или кусочно-постоянные функции, то для получения решения более эффективно использование метода множителей Лагранжа.

7. Получены необходимые соотношения и разрешающие уравнения для трех вариантов решения плоских задач теории упругости в напряжениях. Для решения используются сетки прямоугольных и треугольных конечных элементов.

В первом варианте напряжения аппроксимируются по области конечного элемента линейными функциями. Такое представление напряжений обеспечивает их непрерывность по всей предметной области. Для решения задачи минимизации дополнительной энергии деформаций при наличии ограничений используется метод штрафных функций, позволяющий получить систему линейных уравнений, которая является симметричной, положительно-определенной и имеет ленточную структуру. Величина параметра функции штрафа выбирается автоматически, а перемещения узлов определяются после определения узловых моментов.

Во втором варианте напряжения в конечном элементе являются постоянными. В этом случае неизвестными параметрами являются три напряжения в каждом конечном элементе, и поля напряжений имеют разрывы по границам элементов. Такие поля напряжений удовлетворяют уравнениям совместности деформаций и дифференциальным уравнениям равновесия при отсутствии распределенных по области элемента нагрузок. При этом общее количество неизвестных и вычислительные затраты на получение решения, по сравнению с методом, основанном на линейных полях напряжений, уменьшаются, а глобальная матрица податливости имеет блочно-диагональную структуру и легко обратима. Для решения задачи минимизации функционала при наличии ограничений, в данном случае, можно использовать как метод штрафных функций, так и метод множителей Лагранжа. При использовании метода множителей Лагранжа появляются дополнительные неизвестные, которыми являются перемещения узлов вдоль осей координат, и разрешающая система уравнений уже не будет положительно определенной. Приведен алгоритм поэтапного решения такой системы уравнений. Если использовать матрицу, обратную к матрице податливости, то решение задачи можно свести к решению системы уравнений, которая является положительно определенной, симметричной и имеет ленточную структуру и, тем самым, существенно сократить вычислительные затраты. Также как и для случая линейных полей напряжений получены необходимые соотношения для решения задачи минимизации при наличии ограничений с помощью метода штрафных функций.

В третьем варианте, названном вариационно-сеточным методом, напряжения в области конечного элемента представляются кусочно-постоянными функциями, а в качестве неизвестных параметров принимаются узловые напряжения. Для вычисления дополнительной энергии деформаций для всей области применяется численное интегрирование, использующее только узловые значения напряжений. Численное интегрирование тождественно использованию кусочно-постоянных, разрывных внутри конечного элемента полей напряжений. Напряжения в каждой четверти прямоугольного элемента (и в каждой трети треугольного элемента), примыкающей к узлу, равны напряжениям в этом узле. Такие поля напряжений, в случае отсутствия распределенных по площади нагрузок, удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия, а также уравнениям совместности деформаций, В этом случае матрица податливости, как и в случае постоянных полей напряжений, имеет блочно-диагональную структуру, и для неё легко найти обратную матрицу. Для получения разрешающих уравнений, как и в случае использования постоянных по конечным элементам полей напряжений, можно применить метод штрафных функций и метод множителей Лагранжа. Так как в результате расчета вычисляются узловые значения напряжений, то можно считать, что полученное поле напряжений является непрерывным по границам конечных элементов.

Выполнены расчёты ряда тестовых задач теории упругости при различных конечно-элементных сетках и различных вариантах аппроксимации напряжений. Проведено сравнение полученных решений с аналитическими решениями и решениями по методу конечных элементов в перемещениях, выполнен анализ полученных результатов, который позволяет сделать следующие выводы.

Метод решения в напряжениях, основанный на использовании линейных полей напряжений, обладает быстрой сходимостью и позволяет получить точные решения даже при крупных сетках. Данный метод дает наилучшие решения для задач, в которых напряжения на границе области, в пределах одного конечного элемента, могут быть представлены линейными функциями, и менее точные решения для задач с сосредоточенными в одной точке внешними напряжениями, которые могут быть вызваны или сосредоточенной силой, или наложенной в одной точке связью. Поэтому, при решении реальных задач в напряжениях, внешние нагрузки правильнее задавать в виде распределенных нагрузок, даже если область их распределения мала, а опоры моделировать несколькими связями, наложенными в ряде узловых точек на площади, соответствующей фактической конфигурации опоры. Использование такой расчетной схемы позволяет получить более точное распределение напряжений в зонах их концентрации, вызванной локальными силовыми воздействиями. По сравнению с методом конечных элементов в перемещениях, решение в напряжениях при одной и той же сетке позволяет получить более точные значения напряжений и перемещений, но требует больших вычислительных затрат.

Вариационно-сеточный подход, основанный на использовании для аппроксимации напряжений кусочно-постоянных, разрывных внутри конечного элемента функций, по сравнению с методом, использующим линейные поля напряжений, дает менее точные решения при грубых сетках и практически такие же точные при мелких сетках. Но данный метод обладает важным свойством - сходимостью по перемещениям сверху. Кроме того, вариационно-сеточный метод при решении задач с сосредоточенными в одной точке внешними напряжениями дает в зонах концентрации более точные, по сравнению с методом, использующим линейные поля, значения напряжений. Это связано с тем, что постоянные в окрестности узла, но разрывные внутри элементов, функции лучше, чем линейные, аппроксимируют сосредоточенный в узле скачок напряжений.

Аппроксимация напряжений по области конечного элемента постоянными функциями позволяет, так же как и вариационно-сеточный метод, получить сходимость узловых перемещений к точным значениям сверху. Полученные при такой аппроксимации напряжения являются, при одной и той же сетке, более точными по сравнению с методом конечных элементов в перемещениях и менее точными, по сравнению с другими решениями в напряжениях. Но при таком подходе используется меньшее количество неизвестных и, следовательно, требуется меньше вычислительных затрат для получения решения. Поэтому, для получения решения данным методом можно использовать более мелкие сетки и тем самым повысить точность расчета.

8. Представлена методика решения плоских задач с учётом пластических деформаций на основе минимизации приращения дополнительной энергии упругопластических деформаций. Получены необходимые разрешающие уравнения для решения задач пластичности с учётом изотропного упрочнения материала. В качестве неизвестных используются приращения узловых напряжений. Решение строится методом шагового нагружения. Выполнены расчёты пластины с отверстием на действие растягивающей нагрузки с учётом пластических деформаций. Сравнение численных результатов с экспериментальными данными позволяет сделать вывод о достаточно хорошей точности решения, полученного при помощи предлагаемого метода.

9. Рассмотрены два варианта решения задач изгиба пластин методом конечных элементов в напряжениях. Неизвестными параметрами являются изгибающие и крутящие моменты в узлах.

В первом варианте решения для аппроксимации моментов по области конечного элемента используются линейные базисные функции, что обеспечивает их непрерывность по всей предметной области. Для решения задачи минимизации функционала дополнительной энергии при наличии ограничений используется метод штрафных функций. Величина параметра функций штрафа выбирается автоматически, а перемещения узлов определяются после определения узловых моментов.

Во втором, вариационно-сеточном методе для вычисления интеграла, выражающего дополнительную энергию деформаций всей предметной области, применяется квадратурная формула численного интегрирования, которой является формула трапеций для двойного интеграла. Данная формула, применительно к квадратичному функционалу, эквивалентна кусочно-постоянной аппроксимации полей моментов по области конечного элемента. При такой аппроксимации моменты равны соответствующим узловым моментам в каждой четверти и каждой трети, примыкающего к узлу прямоугольного или треугольного элемента. Такой подход позволяет получить матрицу податливости, имеющую блочно-диагональную структуру. Для решения задачи минимизации такого функционала дополнительной энергии при наличии ограничений можно использовать метод штрафных функций или метод множителей Лагранжа. Применение метода множителей Лагранжа приводит к появлению дополнительных неизвестных, которыми являются перемещения узлов, и появлению нулевых коэффициентов на главной диагонали разрешающей системы уравнений. Но благодаря блочно-диагональной структуре матрицы податливости, можно использовать достаточно эффективный, поэтапный алгоритм решения такой системы уравнений.

Предлагаемыми методами решен ряд тестовых задач изгиба упругих пластин при различных сетках конечных элементов, и выполнено сравнение с известными решениями, полученными в рядах и методом конечных элементов в перемещениях. Анализ результатов показал, что метод, основанный на использовании линейных полей моментов и обеспечивающий их непрерывность, позволяет получать точные значения моментов и перемещений даже при грубых сетках. Вариационно-сеточный метод обладает меньшей точностью при грубых сетках, но обеспечивает сходимость перемещений к точным значениям сверху, и при измельчении сетки достаточно быстро сходится к точным решениям, как по моментам, так и по перемещениям.

10. Представлен алгоритм и получены разрешающие уравнения для решения задач изгиба изотропных плит с учётом пластических деформаций на основе минимизации приращения дополнительной энергии упругопласти-ческих деформаций. Решение строится в приращениях, и на каждом шаге задача считается упругой.

11. Предложен алгоритм решения задач изгиба пластин на действие динамических нагрузок в напряжениях. В качестве узловых неизвестных, наряду с изгибающими моментами, используются перемещения тех узлов, где сосредоточены массы. При получении уравнений равновесия узлов к внешним нагрузкам, в соответствии с принципом Даламбера, прибавляются силы инерции сосредоточенных масс. Уравнения равновесия тех узлов, где есть сосредоточенные массы, включаются в минимизируемый функционал при помощи метода множителей Лагранжа, остальные - по методу штрафных функций. Минимизация функционала приводит к системе дифференциальных уравнений, которые интегрируются по времени шаговым методом.

Выполнен расчёт квадратной шарнирно-опертой по контуру упруго-пластической плиты на действие внезапно приложенной равномерно распределенной нагрузки. Проведен анализ и сравнение полученных результатов с решением по известному упругопластическому методу. Показано, что и при решении данной задачи вариационно-сеточный метод обеспечивает сходимость перемещений к точным значениям сверху.

12. Рассмотрены два варианта решения задач изгиба круговых цилиндрических оболочек в напряжениях. Поверхность оболочки представляется набором прямоугольных криволинейных конечных элементов. Неизвестными параметрами являются величины нормальных и сдвигающих сил, изгибающих и крутящих моментов в узлах.

В первом варианте для аппроксимации внутренних усилий по площади конечного элемента используются линейные функции, обеспечивающие их непрерывность по всей предметной области. На основе принципа возможных перемещений получены алгебраические уравнения равновесия узлов сетки конечных элементов. В качестве возможных перемещений рассматриваются перемещения вдоль трёх осей координат. Одна ось является криволинейной и направлена по окружности оболочки, вторая ось направлена вдоль оболочки, третья - вдоль нормали к поверхности оболочки. Для решения задачи минимизации дополнительной энергии при наличии ограничений применяется метод штрафных функций с автоматическим выбором параметра штрафа. Перемещения узлов вдоль осей координат вычисляются после определения усилий.

Во втором, вариационно-сеточном методе внутренние усилия аппроксимируются по области конечного элемента кусочно-постоянными функциями. Поэтому матрица податливости имеет блочно-диагональную структуру и решение задачи условной минимизации при помощи метода множителей Лагранжа существенно упрощается. Вариационно-сеточный метод позволяет получать узловые значения внутренних усилий, поэтому они являются также непрерывными по границам конечных элементов.

Методом линейных напряжений и вариационно-сеточным методом выполнены расчёты ряда цилиндрических оболочек на действие распределённых и сосредоточенных сил при различных сетках конечных элементов. Проведено сравнение полученных результатов с известными аналитическими и численными решениями. Сравнение показывает, что предлагаемые методы расчета в напряжениях позволяют достаточно точно моделировать напряженно-деформированное состояние круговых цилиндрических оболочек. Вариационно-сеточный метод, по сравнению с методом линейных напряжений, при грубых сетках дает менее точные решения. При мелких сетках оба решения практически совпадают.

13. На основе функционала дополнительной энергии деформаций получены необходимые соотношения и разрешающие уравнения для расчёта оболочек произвольного очертания в напряжениях. Поверхность оболочки приближённо заменяется набором плоских треугольных элементов. В качестве неизвестных приняты узловые значения нормальных и сдвиговых напряжений срединной поверхности, а также узловых значений изгибающих и крутящих моментов.

При решении методом линейных напряжений внутренние усилия (напряжения) представляются по области треугольных конечных элементов линейными функциями, обеспечивающими их непрерывность по всей области оболочки. При решении вариационно-сеточным методом внутренние усилия аппроксимируются кусочно-постоянными функциями, которые являются непрерывными в узловых точках.

Уравнения равновесия узлов по направлению осей координат формируются при помощи принципа возможных перемещений. Возможное перемещение вдоль рассматриваемой оси представляется в виде геометрической суммы перемещений вдоль трёх осей локальной системы координат, связанной с рассматриваемым треугольным элементом. Две оси локальной системы координат лежат в плоскости конечного элемента, третья ось направлена перпендикулярно его плоскости, таким образом, что оси образуют правую тройку. Перемещения вдоль осей, лежащих в плоскости элемента вызывают деформации срединной поверхности, а перемещения вдоль нормальной оси -деформации изгиба. Для получения выражения энергии деформации конечных элементов при возможном перемещении используются соотношения, полученные для треугольных элементов при решении плоской задачи теории упругости и задачи изгиба пластин методом линейных напряжений и вариационно-сеточным методом.

Получены соотношения, связывающие возможные перемещения в произвольной ортогональной системе координат и перемещения в прямоугольной системе координат, введенной для задания координат узлов.

По предлагаемым методикам выполнены расчёты сферических оболочек на действие равномерно распределённой и сосредоточенной нагрузок при различных сетках конечных элементов. Произведено сравнение полученных результатов с известными аналитическими и численными решениями. Показано, что при уменьшении размеров конечных элементов решения, полученные как методом линейных напряжений, так и вариационно-сеточным методом, стремятся к точным решениям, как по внутренним усилиям, так и по перемещениям. При одинаковых сетках метод линейных напряжений более точен.

14. На основе функционала дополнительной энергии деформаций получены необходимые соотношения для решения объёмной задачи теории упругости методом конечных элементов в напряжениях. Предметная область может быть представлена шестигранными, пятигранными или четырёхгранными конечными элементами или любой их комбинацией. Получены разрешающие уравнения для трех вариантов построения решения в напряжениях.

В первом варианте (метод линейных напряжений) поля напряжений представляются по области конечных элементов линейными функциями, что обеспечивает их непрерывность по всей предметной области. В качестве узловых неизвестных принимаются непосредственно величины трёх нормальных и трёх касательных напряжений. Решение строится методом штрафных функций.

Во втором варианте (метод постоянных напряжений) напряжения являются постоянными в области каждого конечного элемента. В качестве неизвестных принимаются величины трех нормальных и трех касательных напряжений в конечном элементе. Глобальная матрица податливости имеет блочно-диагональную структуру и, поэтому для нее легко может быть найдена обратная матрица. Решение может быть получено методом штрафных функций или методом множителей Лагранжа. Данный вариант решения требует наименьших вычислительных затрат, так как в этом случае количество неизвестных и ширина ленты системы уравнений являются минимальными.

В третьем варианте (вариационно-сеточный метод) дополнительная энергия деформации для всей области определяется при помощи квадратурной формулы численного интегрирования. Неизвестными параметрами являются узловые напряжения. Такой подход соответствует кусочно-постоянным аппроксимациям напряжений по предметной области. Напряжения являются непрерывными в узловых точках, но имеют разрывы внутри подобластей (конечных элементов), на которые разбивается предметная область. В данном случае глобальная матрица податливости также имеет блочно-диагональную структуру и, поэтому решение задачи условной минимизации может быть получено методом штрафных функций или методом множителей Лагранжа.

Все соотношения для конечных элементов получены в относительных координатах. Такой подход позволяет использовать для вычисления коэффициентов, входящих в выражения дополнительной энергии и уравнений равновесия, простые циклические формулы, удобные при составлении программ для ЭВМ.

Анализ и сравнение результатов расчёта тестовых задач объемной Теории упругости показывают, что метод линейных напряжений позволяет получать решения, учитывающие локальные возмущения (концентрации), связанные с особенностями опирания, нагружения и геометрической формы рассчитываемой конструкции. Наиболее точные решения данный метод дает для тех задач, в которых напряжения на границах области в пределах каждого конечного элемента хорошо аппроксимируются линейными функциями. В окрестности особых точек, таких как точки приложения сосредоточенных сил, угловые точки вырезов, изолированные точки, в которых исключены связи, для представления сингулярных решений необходимо использовать более мелкие сетки конечных элементов. Вне данных особых областей метод линейных напряжений позволяет получать достаточно точные решения даже при использовании грубых сеток.

Вариационно-сеточный метод, по сравнению с методом линейных напряжений, дает в зонах особых точек более сглаженные решения и обладает более медленной сходимостью. При измельчении сетки решения, полученные вариационно-сеточным методом, стремятся к решениям метода линейных напряжений, а перемещения, что является важным, стремятся к точным значениям сверху.

Перемещения, полученные методом постоянных напряжений, также стремятся к точным значениям сверху. Кроме того, метод постоянных напряжений дает наиболее сглаженные решения в окрестностях особых точек и обладает наиболее медленной сходимостью. Но данный метод требует для получения решения наименьших вычислительных затрат и при мелких сетках дает достаточно точные полей напряжений и перемещений, за исключением особых точек.

15. Предлагаемые методы решения задач строительной механики в напряжениях, основанные на использовании функционала дополнительной энергии деформаций и принципа возможных перемещений, позволяют более точно представить напряженное состояние предметной области, особенно в зонах концентрации напряжений. При той же, или более крупной сетке конечных элементов предлагаемые методы решения в напряжениях дают более точные значения узловых напряжений, по сравнению с традиционным подходом, основывающимся на аппроксимации полей перемещений, но могут потребовать больших вычислительных затрат для получения решения.

Метод линейных напряжений и вариационно-сеточный метод обеспечивают, если это необходимо, непрерывность полей напряжений (усилий) по всей предметной области.

Вариационно-сеточный метод и метод постоянных напряжений позволяют получить при измельчении сетки сходимость перемещений к точным значениям сверху.

300

1. Аргирис Дж. Матричный анализ малых и больших перемещений в трёхмерных упругих средах//Ракетная техника и космонавтика. - М., 1965. - 3. -Лр 12.-С. 124-132.

2. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. М.: Стройиздат, 1968. - 241 с.

3. Айронс Б. Инженерные приложения численного интегрирования в методе жесткостей//Ракетная техника и космонавтика. М., 1966. - 4. - № 12. - С. 124-132.

4. Айронс Б., Дрейпер К. Несоответствие узловых связей при расчёте изгиба пластин методом жесткостей//Ракетная техника и космонавтика. М., 1965.-3.-№12.-С. 206-207.

5. Богнер Ф. К., Фокс Р. Л., Шмит Л. А. Расчёт цилиндрических оболочек методом дискретных элементов//Ракетная техника и космонавтика. М., 1967.-5.-№4.-С. 170-175.

6. Байков В. Н., Хампке Э., Рауэ Э. Проектирование железобетонных тонкостенных пространственных конструкций. М.: Стройиздат, 1990.-232 с.

7. Баничук Н. В., Картвелишвили В. М., Черноусько Ф. Л. О разностно-квадратичных аппроксимациях выпуклых интегральных функционалов//ДАН СССР.-1976.-Т.231.-№2.-С.269-272.

8. Бате К., Вильсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982 - 447 с.

9. Белый М.В. Численные методы статического и динамического расчета конструкций на основе многоуровневых подходов. Автореф. дис. на соиск. учен. степ, д-ра техн. наук: 05.23.17. МГСУ. М., 1994.-34 с.

10. Белый М. В., Булгаков В. Е., Золотов А. Б. Полуитерационный многосеточный метод и его программная реализация для решения пространственных краевых задач.// ЖВМ и МФ, 1987, т.27, № 6, с.875-888.

11. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. - 494 с.

12. БердичевСкий В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука. Главна^редакция физико-математической литературы, 1983.-448 с.

13. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982. - 248 с.

14. Бирюков Д. Б. Метод конечных элементов в напряжениях/Д. Б. Бирюков, В. С. Постоев.- АООТ «НПО ЦКТИ». 1999.-187 с.

15. Булгаков В. Е., Золотов А. Б., Белый М. В. Полуитерационный метод решения пространственных краевых задач расчёта сооружений// Строительная механика и расчёт сооружений. М., 1985. - № 6. - С. 38-40.

16. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Мир, 1987.-540 с.

17. Власов В. 3., Леонтьев Н. Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М.: Физматгиз, 1960. - 491 с.

18. Вильсон Е. Расчёт на прочность осесимметричных тел//Ракетная техника и космонавтика. М., 1965. -№ 12.-С. 124-131.

19. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1975.-872 с.

20. Габбасов Р. Ф. Применение разностных уравнений МПА к плоской задаче теории упругости// Строительная механика и расчёт сооружений. -М., 1982,-№4.- С. 23-26.

21. Габбасов Р. Ф. Применение метода последовательных аппроксимаций к нелинейным задачам// Строительная механика и расчёт сооружений. -М., 1991.-№2.- С. 11-13.- 24. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. -428 с.

22. Галлагер Р., Падлог Дж., Бейлард П. Анализ напряжений в конструкциях сложной формы, подверженных нагреву//Ракетная техника и космонавтика.-М, 1962.-32.-№5.-С. 52-61.

23. Голованов А. И. Новый конечный элемент для расчёта произвольных тонких оболочек// Строительная механика и расчёт сооружений. М., 1986. -№4. С. 21-23.

24. Голованов А. И., Бережной Д. В. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел. Казан, гос. ун-т. Казань: ДАС, 2001.-300 с.

25. Графтон П. Е., Строум Д. Р. Расчёт осесимметричных оболочек методом прямого определения жесткостей//Ракетная техника и космонавтика. М., 1963. - 1. - № 10. - С. 129-136.

26. Динамический расчёт зданий и сооружений/ М. Ф. Барнштейн, В. А. Ильичёв, Б. Г. Коренев и др.; Под ред. Б. Г. Коренева, И. М. Рабиновича. 2-е изд., перераб. И доп. - М.: Стройиздат, 1984. - 303 с.

27. Доннелл JI. Г. Балки, пластины и оболочки. М.: Наука, 1982.568 с.

28. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.541 с.

29. Зенкевич О., Морган К.Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.-318 с.

30. Золотов А. Б. Постановка и алгоритмы численного решения краевых задач строительной механики методом стандартной области. Афтореф. дис. на соиск. уч. степ. докт. техн. наук: 05.23.17. МГСУ. М.: 1989.-39 с.

31. Золотов А. В., Акимов П. А. Дискретно-континуальный метод конечных элементов для определения напряженно-деформированного состояния трехмерных конструкций.//Наука и техника транспорта, № 3, 2003, с. 72-85.

32. Золотов А. В., Акимов П. А. Некоторые аналитико-численные методы решения краевых задач строительной механики. М.: АСВ, 2004.-200 с.

33. Золотов А. В., Ширинский В. И., Акимов П. А. Решение многоточечных задач строительной механики в аналитической форме.// Численные и аналитические методы решения прикладных задач. Сб. науч. тр.-М.: МГСУ, 1998.-е. 64-84.

34. Иванов А. С. , Трушин С. И. Разработка и оценка вычислительных алгоритмов исследования устойчивости нелинейно деформируемых оболочек// Строительная механика и расчёт сооружений. М., 1991. - № 5. - С. 53-58.

35. Ильюшин А. А. Пластичность. М.-Л.: ОГИЗ, ГИТТЛ, 1948. - 376 с.

36. Ишаков В. И. Применение метода сил для расчёта пологих оболочек типа гиперболического параболоида// Строительная механика и расчёт сооружений. М., 1982. - № 3. - С. 22-27.

37. Караваев В. Н., Тюкалов Ю. Я. Динамический расчет железобетонных балок с учетом процесса трещинообразования//Строительная механика и расчёт сооружений. М., 1985. - № 6. - С. 58-61.

38. Карпиловский В. С., Криксунов Э. 3., Микитаренко М. А. и др. SCAD OFFICE. Интегрированная система анализа конструкций. М.: АСВ, 2003.-255 с.

39. Картвелишвили В. М., Фролов В. Д. Численное исследование уп-ругопластического деформирования структурно-неоднородных материалов// Строительная механика и расчёт сооружений. М., 1985. - № 6. - С. 28-31.

40. Картвелишвили В. М., Фролов В. Д. Численное исследование уп-ругопластического деформирования плосконапряжённых элементов в окрестности концентраторов напряжений// Строительная механика и расчёт сооружений. М., 1986. - № 3. - С. 38-42.

41. Клаф Р., Пензен Дж. Динамика сооружений. М.: Стройиздат, 1979.320 с.

42. Колкунов Н. В. Основы расчёта упругих оболочек. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк. - 1987. - 256 с.

43. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1978.832 с.

44. Лантух-Лященко А. И. ЛИРА. Программный комплекс расчета и проектирования конструкций. -К.:-М.: «Факт», 2001.-359 с.

45. Леонтьев Н. Н. Основы строительной механики стержневых систем: Учебник/Н. Н. Леонтьев, Д. Н. Соболев, А. А. Амосов М.: АСВ, 1996 - 541 с.

46. Ли С. В., Пиан Т. X. Усовершенствование метода расчёта конечных элементов для пластин и оболочек с помощью смешанного подхода//Ракетная техника и космонавтика. М., 1978. - № 1.

47. Лукаш П. А. Основы нелинейной строительной механики. М.: Стройиздат, 1978. - 204 с.

48. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. - 400 с.

49. Мелош Р. Основы получения матриц для прямого метода жестко-стей//Ракетная техника и космонавтика. М., 1963. - 1. - № 7. - С. 169-176.

50. Метод суперэлементов в расчётах инженерных конструкций/В. А. Постнов, С. А. Дмитриев, Б. К. Елтышев, А. А. Родионов. Под общей ред. В. А. Постнова.-Л.: Судостоение, 1979. 288 с.

51. Методы расчёта стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. В 2-х ч. Под ред А. Ф. Смирнова. Ч. 1. М.: Стройиздат, 1976. -248 с.

52. Методы расчёта стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. В 2-х ч. Под ред А. Ф. Смирнова. Ч. 2. М.: Стройиздат, 1976. -237 с.

53. Методы оптимизации/Моисеев Н. Н., Иванилов Ю. П., Столяров Е. М.- М.: Наука, 1978.-352 с.

54. Милейковский И. Е., Трайнин JI. А. Эффективные изопараметриче-ские элементы пластин средней толщины// Строительная механика и расчёт сооружений. М., 1982. - № 5. с. 10-14.

55. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. М.: Мир, 1982. - 296 с.

56. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.-304 с.

57. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. JL: Судпромгиз, 1962.432 с.

58. Огибалов П. М., Колтунов М. А. Оболочки и пластины. М.: Изд-во МГУ, 1969.-695 с.

59. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. - 464 с.

60. Перси Дж. X., Пиан Т. X., Клейн С., Наваратна Д. Р. Приложение матричного метода к линейному упругому анализу оболочек враще-ния//Ракетная техника и космонавтика. М., 1965. - 3. - № 11. - С. 199-208.

61. Пиан Т. X. Вывод соотношений для матриц жёсткости, основанный на выборе закона распределения напряжений//Ракетная техника и космонавтика. М., 1964. - 2. - № 7. - С. 219-222.

62. Постнов В. А., Розин JI. А. Метод конечных элементов в теории пластин и оболочек // Тр. IX Всесоюзн. конф. по теории пластин и оболочек. JL, 1975. С. 292-296.

63. Постнов В. А., Хархурим И. Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. JL: Судостроение, 1974. - 344 с.

64. Постнов В. А. Численные методы расчёта судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1977. - 280 с.

65. Проценко А. М., Яхно М. А. Моделирование упругопластических свойств материала при анализе изгибаемой пластины с помощью МКЭ// Строительная механика и расчёт сооружений. М., 1991. - № 2, С. 85-87.

66. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1987.-712 с.

67. Ржаницын А. Р. Предельное равновесие пластинок и оболочек. М.: Наука, 1983./-288 с.

68. Ржаницын А. Р. Строительная механика. М.: Высш. шк., 1991. -439 е.: ил.

69. Рогалевич В. В. Метод переопределенной внутренней коллокации в задачах прочности, устойчивости и колебаний пластин и оболочек// Строительная механика и расчёт сооружений. М., 1982. - № 5, С. 33-38.

70. Розин Л. А. Вариационные постановки задач для упругих систем. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1978. 223 с.

71. Розин Л. А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭВМ. Метод конечных элементов. Л.: Энергия, 1971. - 213 с.

72. Розин Л. А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977. - 129 с.

73. Розин Л. А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. СПб.: Издательство СПбГТУ, 1998. - 532 с.

74. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.-392 с.

75. Секулович М. Метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1993. -664 е.: ил.

76. Сидоров В. Н. Лекции по сопротивлению материалов и теории упругости. М.: Редакционно-издательский центр Генерального штаба Вооруженных Сил Российской Федерации, 2002.-352 с.

77. Сливкер В. И. Строительная механика. Вариационные основы. Учебное пособие.-М.: АСВ, 2005.-736 с.

78. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.-349 с.

79. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. -М.: Наука, 1966. 635 с.

80. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. 2-е изд.- М.: Наука, 1979. - 569 с.

81. Тимошенко С. П. Сопротивление материалов: В 2 т. М.: Наука, 1965.-Т. 2.-480 с.

82. Трушин С. И. Решение задач устойчивости гибких упруго-пластических оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига. Дис. д-ра техн. наук: 05.23.17. М., 1999.-277 с.

83. Тюкалов Ю. Я. Расчет железобетонных плоских стержневых систем на кратковременные динамические воздействия с учетом физической нелинейности. Автореф. дис. . канд. техн. наук. - Киров, 1990. - 21 с.

84. Тюкалов Ю. Я. Расчет изгибаемых плит на основе метода минимизации дополнительной энергии и принципа возможных перемещений//Сб. матер, всерос. науч.-техн. конф. «Наука-производство-технология-экология» Т. 3. - Киров, 2002. - С. 46-47.

85. Тюкалов Ю. Я. Модифицированный принцип минимума дополнительной энергии для решения задач строительной механики в напряжениях. М.: 2002. - Деп. в ВИНИТИ: № 628-В2002. - 15 с.

86. Тюкалов Ю. Я. Расчет изгибаемых плит на основе минимизации дополнительной энергии и принципа возможных перемещений. М.: 2002. -Деп. в ВИНИТИ: № 1025-В2002. - 13 с.

87. Тюкалов Ю. Я. Треугольный конечный элемент для расчета изгибаемых плит в напряжениях. М.: 2002. - Деп. в ВИНИТИ: № 1026-В2002. -11 с.

88. Тюкалов Ю. Я. Треугольный конечный элемент для решения плоской задачи теории упругости на основе расширенного функционала дополнительной энергии. М.: 2002. - Деп. в ВИНИТИ: № 1027-В2002. - 11 с.

89. Тюкалов Ю. Я. Расчет цилиндрических оболочек на основе модифицированного функционала дополнительной энергии//Сб. матер, всерос. науч.-техн. конф. «Наука-производство-технология-экология» Т. 5. - Киров, 2003.-С. 159-160.

90. Тюкалов Ю. Я. Примеры расчета оболочек на основе модифицированного функционала дополнительной энергии//Сб. матер, всерос. науч.-техн. конф. «Наука-производство-технология-экология» Т. 5. - Киров, 2003.-С. 161-162.

91. Тюкалов Ю. Я. К расчету изгибаемых плит в напряжениях при треугольной сетке конечных элементов//Сб. матер, всерос. науч.-техн. конф. «Наука-производство-технология-экология» Т. 5. - Киров, 2003. -С. 163-164.

92. Тюкалов Ю. Я. Построение поверхностей влияния внутренних усилий пространственных тонкостенных конструкций//Сб. матер, всерос. науч.-техн. конф. «Наука-производство-технология-экология» Т. 5. - Киров, 2003. - С. 165-166.

93. Тюкалов Ю. Я. Расчет цилиндрических оболочек методом конечных элементов на основе модифицированного функционала дополнительной энергии. М.: 2003. - Деп. в ВИНИТИ: № 1847-В2002. - 17 с.

94. Тюкалов Ю. Я. К расчету оболочек произвольной формы в напря-жениях//Сб. матер, всерос. науч.-техн. конф. «Наука-производство-технология-экология» Т. 5. - Киров, 2004. - С. 176-178.

95. Тюкалов Ю. Я. Динамический расчет плит в напряжениях//Сб. матер. всерос. науч.-техн. конф. «Наука-производство-технология-экология» -Т. 5.-Киров, 2004.-С. 179-181.

96. Тюкалов Ю. Я. Решение упругопластической задачи методом конечных элементов в напряжениях//Сб. матер, всерос. науч.-техн. конф. «Наука-производство-технология-экология» Т. 5. - Киров, 2004. -С. 182-184.

97. Тюкалов Ю. Я. К расчету конструкций переменного сечения методом конечных элементов в напряжениях//Сб. матер, всерос. науч.-техн. конф. «Наука-производство-технология-экология» Т. 5. - Киров, 2004. -С. 185-186.

98. Тюкалов Ю. Я. Расчет цилиндрических оболочек методом конечных элементов в напряжениях//Изв. вузов. Строительство. 2004. - № 7, " С. 33-38.

99. Тюкалов Ю. Я. Расчет арок произвольного очертания методом конечных элементов в напряжениях//Сб. матер, всерос. науч.-техн. конф. «Наука-производство-технология-экология» Т. 3. - Киров, 2005. - С. 248250.

100. Тюкалов Ю. Я. Расчет плит на динамические воздействия с учетом пластических деформаций//Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. 2005. - № 2, С. 24-26.

101. Тюкалов Ю. Я. Решение объемных задач теории упругости методом конечных элементов в напряжениях//Сб. матер, всерос. науч.-техн. конф. «Наука-производство-технология-экология» Т. 3. - Киров, 2005. -С. 251-253.

102. Тюкалов Ю. Я. Анализ трехмерного напряженного состояния пространственной структуры//Сб. матер, всерос. науч.-техн. конф. «Наука-производство-технология-экология» Т. 3. - Киров, 2005. - С. 254-256.

103. Тюкалов Ю. Я. Пятигранный конечный элемент для решения объемных задач теории упругости в напряжениях//Сб. матер, всерос. науч.-техн. конф. «Наука-производство-технология-экология» Т. 3. - Киров,2005.- С. 257-259.

104. Тюкалов Ю. Я. Вариационно-сеточный метод решения плоских задач теории упругости в напряжениях//Сб. матер, всерос. науч.-техн. конф. «Наука-производство-технология-экология» Т. 5. - Киров, 2006. -С. 294-297.

105. Тюкалов Ю. Я. Метод постоянных напряжений для решения плоских задач теории упругости//Сб. матер, всерос. науч.-техн. конф. «Наука-производство-технология-экология» Т. 5. - Киров, 2006. - С. 298-301.

106. Тюкалов Ю. Я. Расчет оболочек произвольной формы методом конечных элементов в напряжениях//Строительная механика и расчет сооружений. 2006. - № 1, С. 65-74.

107. Тюкалов Ю. Я. Вариационно-сеточный метод расчета изгибаемых плит в напряжениях//Сб. матер, всерос. науч.-техн. конф. «Наука-производство-технология-экология» Т. 5. - Киров, 2006. - С. 311 -3^14.

108. Тюкалов Ю. Я. Решение объемных задач теории упругости методом конечных элементов в напряжениях//Изв. вузов. Строительство.2006.-№2, С. 19-26.

109. Тюкалов Ю. Я. Решение плоской задачи теории упругости методом конечных элементов в напряжениях//Строительная механика и расчет сооружений. 2006. - № 2, С. 34-38.

110. Тюкалов Ю. Я. Вариационно-сеточный метод решения плоской задачи теории упругости в напряжениях//Строительная механика и расчет сооружений. 2006. - № 3, С. 44-49.

111. Тюкалов Ю.Я. Вариационно-сеточный метод решения задач изгиба плит в напряжениях//Изв. вузов. Строительство. 2006. - № 8, 0

112. Фаронов В. В. Программирование на персональных ЭВМ в среде Турбо-Паскаль-М.': Изд-во МГТУ, 1991.-580 с.

113. Фиалко С. Ю. Агрегатный многоуровневый метод решения конечно-элементных задач строительной механики. Автореф. дис. на соиск. уч. степ, докт. техн. наук: 05.23.17. Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Киев, 2004. 36 с.

114. Филин А. П. Элементы теории оболочек. Изд. 2-е, доп. и пере-раб. Л.: Стрьйиздат, 1975. - 256 с.

115. Филин А. П. Прикладная механика твердого тела. Т. 3. М.: Наука, 1981.-480 с.

116. Хечумов Р.А., Кеплер X., Прокопьев В. И. Применение методаконечных элементов к расчету конструкций. М.: АСВ, 1994. 351 с.

117. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат, 1956.-407 с.

118. Чигарев А.В., Кравчук А.С., Смалюк А. Ф. ANSYS для инженеров,-М.: Машиностроение, 2004. 512 с.

119. Утку С. Матрица жесткостей для тонких треугольных элементов нулевой гауссовой кривизны//Ракетная техника и космонавтика. М., 1967.

120. Чирас А. А. Строительная механика: Теория и алгоритмы.- М.: Стройиздат, 1989. 255 е.: ил.

121. Allman D. J. Some fundamental aspects of the finite element analysis of nonlinear plate bending/ZFinite Elem. Nonlinear Mech., 1978, V. 1, P. 345-371.1. C.13-205. № 9. - C. 150-159,

122. Bulgakov V.E., Belyi M.E., Mathisen K.M. Multilevel aggregation method for solving largescale generalized eigenvalue problems in structural dy-namics.//Int. J. Numer. Methods Eng., 1997, 40, p. 453-471.

123. Bulgakov ,V.E., Belyi M.E. Fast Algoritms for Multi-Grid Solver of 3-D Boundary Value Problems in Structural Analysis. Computers and Structures, 1992, vol. 44, № 4, p. 869-875.

124. Chan A. S. L., Trbojevic V. M. Thin shell finite element by the mixed method formulation. Part l//Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng., 1976, V. 9, № 3, P. 337-367.

125. Cook Robert D. Further improvement of an effective plate bending element//Comput. And Struct., 1976, V. 6, P. 93-97.

126. Crisfield M. A. A combined Rayleigh-Ritz/finite element method for the non-linear analysis of stiffened plated structures//Comput. and struct., 1978, V. 8, № 6, P. 679-689.

127. Dems Krzysztof, Lipinski Janusz. Application of finite differences for solving the two-dimensional elasticity problem by means of the finite element method//Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng., 1975, V. 6, № 1, P. 49-58.

128. Elias Z. H. Mixed variational principles for shells//Var. Meth. Eng. Vol. 1, Southampton, 1973, 3/33-3/45. Discuss., 3/96-3/98.

129. Fischer Karsten. On the calculation of higher derivatives in finite ele-ments//Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng., 1976, V. 7, № 3, P. 323-330.

130. Gienke E. A simple "mixed" method for plate and shell problems//Nucl. Eng. and Des., 1974, V*29,№ 1,P. 141-155.

131. Gurtin M. E. Variational Principles for linear elastodynamics.- Arch. Rat. Mech. Anal, 1964, № 16, p. 34-50.

132. Malkus David S., Hughes Thomas J. R. Mixed finite element methods -reduced and selective integration techniques: a unification of concepts//Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng., 1978, V. 15, № 1, P. 63-81.

133. Moser K., Swoboda G. Explicit stiffness matrix of the linearly varying strain triangular element//Comput. And Struct., 1978, V. 8, № 2, p. 311-314.

134. Oden J. Т. A General Theory of Finite Elements//Int. J.Num. Eng.,№ 1, 1969,1. Topological Considerations, pp. 205-221; II, Applications, pp. 247-260.

135. Oden J. Т., Reddy J. N. Some observation on properties of certain mixed finite element approximations/Ant. J. Numer. Meth. Eng., 1975, V. 9, № 4, P. 933-938.

136. Olson Mervyn D., Bearden Terrence W. A simple flat triangular shell element revisited//Int. J. Numer. Meth. Eng., 1979, V. 14(1), № 1, P. 51-68.

137. Sharma S. K., Borest A. P. Finite element weighted residual methods: axisymmetric shells//J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ., 1978, V. 104, №4, P. 895-909.

138. Stein Erwin, Ahmad Rashid. An equilibrium method for stress calculation using finite element displacement models//Comput. Meth. Appl. Mech. And Eng., 1977, V. 10, P. 175-198.

139. Tottenham H., Barony S. Y. Mixed finite element formulation for geometrically non-linear analysis of shells of revolution//Int. J. Numer. Meth. Eng., 1978, V. 12, № 2, P. 195-201.

140. Turner M. J., Clough R. W., Martin H. C., Topp L. J. Stiffness And Deflections Analysis of Complex Structures//J. Aero. Sci., 1956, 23, pp. 805823.

141. Wolf John P. Alternate hybrid stress finite element models//Int. J. Numer. Meth. Eng., 1975, V. 9, № 3, P. 601-615.

142. Wolf John P. Stress finite-element models with independent strain//Int. J. Numer. Meth. Eng., 1975, V. 5, p. 555-568.

143. Zienkiewics О. C., Bauer J., Morgan K., Onate E. A simple and efficient element for axisymmetric shells//Int. J. Numer. Meth. Eng., 1977, V. 11, № 1,P. 1545-1558.

144. Zienkiewich О. C., Gestner R. The Method of Interface Stress Adjustment and Its Uses in Some Plane Elasticity Problems.//Int. J. Mech. Sci., 2, 1961, p. 2Д7-276.