автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Некоторые вопросы общей устойчивости тонких упругих оболочек

На правах рукописи

Литвинов Владимир Витальевич

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ОБЩЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКИХ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК

05.23.17 - Строительная механика

005055368

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Ростов-на-Дону 2 2 НОЯ 2012

2012

005055368

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ростовский государственный строительный университет»

Научный руководитель: Языев Батыр Меретович,

доктор технических наук, профессор, зав. каф. «Сопротивление материалов»

Официальные оппоненты: Акимов Павел Алексеевич,

член-корр. РААСН, доктор технических наук, профессор, проректор по УМО МГСУ

Защита диссертации состоится «30» ноября 2012 г. в 12:00 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.207.02 при Ростовском государственном строительном университете по адресу: 344022, Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162, корпус №10, ауд. 1021, тел/факс: 8(863) 201-91-01; 201-91-09;

E-mail: dis_sovet_rgsu@mail.i-u

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ростовского государственного строительного университета и на сайте www.rgsu.rn

Автореферат разослан «26» октября 2012 г.

Ученый секретарь диссертациошюго совета

Литвинов Степан Викторович, кандидат технических наук, доцент, начальник методического отдела РГСУ

Ведущая организация: ФГБУН Комплексный научно-

исследовательский институт им. Х.И. Ибрагимова РАН

канд. техн. наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. При исследовании общей устойчивости оболочки считается, что последняя до наступления критического состояния не должна испытывать даже бесконечно малых изгибаний, так как потеря общей устойчивости предполагает наличие смены форм равновесия. Такими формами равновесия могут быть: безмоментная начальная форма при отсутствии бесконечно малых изгибаний и моментная - после потери устойчивости. Очевидно также и то, что указанное исходное состояние оболочки возможно лишь при тангенциальных граничных условиях и наложении некоторых ограничений на поверхностную нагрузку или на ее компоненты вдоль координатных осей q1, ц2, дп , ибо деформация оболочки без изгиба возможна только при определенных соотношениях этих компонент. Отсюда возникает вопрос отыскания этих соотношений при дальнейшем определений критических значений нагрузок

Цель диссертационного исследования заключается в разработке методики решения задач устойчивости тонких оболочек вращения при различных нагрузках на основе энергетического метода в форме Тимошенко-Ритца.

Научная новизна:

1. Для однородных изотропных тонких оболочек из условия симметрии докритического напряженного состояния выведены и приведены основные соотношения между компонентами нагрузки д2 и цп.

2. Рассмотрены частные случаи для свода, имеющего две плоскости симметрии докритического исходного состояния и оболочек вращения в осе-симметричном исходном состоянии: для круговой цилиндрической оболочки, сферического купола, прямого кругового и усечённого конусов. Используя полученное решение, представлена связь между компонентами нагрузки

и цп для соответствующих оболочек.

3. На основе предлагаемой методики представлено решение задачи осесимметричной формы потери устойчивости круговой цилиндрической оболочки при осевом сжатии. А также получено и представлено значение критического наружного давления для цилиндрической оболочки при равномерном внешнем гидростатическом давлении. Решения обеих задач приведены в аналитическом замкнутом виде.

4. По разработанной методике численным методом с использованием аппроксимирующих функций в виде двойных рядов для перемещений получено решение задачи на устойчивость круговой конической оболочки со срезанной вершиной при осевом сжатии. На основе полученного решения было исследовано влияние различных факторов на величину критической силы и перемещений, позволяющих оценить процесс волнообразования и прежде всего количество волн, образующихся при выпучивании.

Практическая ценность: Полученные в диссертационной работе методики и программы на ЭВМ могут быть использованы в инженерной практике при проектировании тонкостенных оболочек вращения.

Достоверность результатов определяется строгим подходом к постановке задач, использованием общепринятых гипотез механики деформируемого твердого тела, а также применением аналитических и апробированных численных методов решения разрешающих уравнений.

Апробация работы была проведена на:

- международной научно-практической конференции «Высшее строительное образование и современное строительство в России и зарубежных странах» в 2010 г.,

- XVI и XVII научных семинарах «Теоретические основы строительства» в 2007 и 2008 гг.,

- заседании кафедры «Сопротивление материалов» Ростовского государственного строительного университета в марте 2012 г. и октябре 2012 г.

Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в 9 печатных работах.

Структура и объем. Диссертационная работа включает в себя введение и четыре главы, заключение и 2 приложения, изложена на 93 страницах машинописного текста, включая 14 рисунков и список литературы из 75 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении (первой главе) представлено обоснование актуальности темы диссертации, определена её цель, научная новизна и практическая значимость диссертационной работы, обосновывается достоверность полученных результатов, указаны апробация работы и публикации, описана структура и объем диссертации, приведено основное содержание работы , а также краткий исторический и литературный обзор, посвященный вопросам устойчивости оболочек. Показаны основные направления развития данной области механики, отмечены отечественные и зарубежные ученые, работающие в данной сфере. Среди них значительный вклад в развитие линейной и нелинейной теории устойчивости оболочек внесли A.JL Гольденвейзер, В.З. Власов, Б.Г. Галеркин, И.Г. Бубнов, С.П. Тимошенко, A.C. Вольмир, Л.А. Ал-футов, В.В. Новожилов, Э.И. Григолюк, В.В. Кабанов, Б.И. Биргер, П.М. Огибалов, М.А. Колтунов, Х.М. Муштари. и многие другие. Среди зарубеж-ныхх авторов изучением подобных вопросов занимались F. Grashof, M. Bresse, G.H. Bryan, J.W.S. Rayleigh, W. Ritz, R. Lorenz, M. Baruch, O. Harari, J. Singer, и другие.

Во второй главе дается постановка задачи об общей устойчивости оболочки. Все представленные в диссертации выкладки построены на основе допущений теории Кирхгофа-Лява для тонких оболочек. В качестве исходных соотношений приняты уравнения равновесия элемента оболочки по без-моментной теории, что соответствует деформации оболочки без изгиба, и

97! дВ 95 9Л дВ

Эй! да2 + 2 да2 -—т2+АВс{1 =

, дт2 9Л 95 дВ дА

да2 Эа2 Эс*! + 2 За!

Г1 , 0.

«Г =

уравнения неразрывности срединной поверхности оболочки так же для случая безмоментной работы последней. Уравнения равновесия:

(1)

Уравнения неразрывности срединной поверхности:

1 дТ2 дТг , дВ дВ

— [В-г-— — цВ - + (1 + /|)-г—Т2 — (1 4- ц)^—7\ — йх 9аг За! даг да1 1

ч / йл 9Л 1 г а?! аг2 ал ал

— [Л- дЛ+(1 —7*! - (1 + ц)^—т2 -й2 да2 да2 да2 да2

( Д2\ дВ 95

-2(1 + М)(1+^)-5-2(1 + м)В—] = 0;

9 1 дТ2 дТ, дВ дВ

т— Ь [В - дВ ^ + (1 + /х) — Т2 - (1 + ц) — 7\ дах А да1 9«! аах

ал а5

а г1 г а7\ эт2 „ ал ал

Эа2I аа2 аЯ2 Эа2 а«2

95

Здесь аг, а2 — криволинейные координаты, относящиеся к точкам срединной поверхности оболочки, которая может быть задана радиус-вектором г = гС^, а2);

Л = , В = - параметры Ламе срединной поверхности оболочки;

/?2 — главные радиусы кривизны срединной поверхности; Тг,Т2 — погонные усилия растяжения-сжатия элемента срединной поверхности оболочки в направлении соответствующих криволинейных координат;

5 — погонное сдвигающее усилие, возникающее в срединной поверхности в направлении криволинейных координат; ц — коэффициент Пуассона.

(2)

Для отыскания необходимых соотношений между компонентами нагрузки имеем, таким образом, в общем случае систему из 6 уравнений (1) и

Исключив из этих уравнений усилия Т±, Т2 и 5, можно получить для конкретной оболочки искомые соотношения между компонентами нагрузки

41. 42 и £?„.

Опустив подробные выкладки, приведенные в диссертации, представим интересующие нас соотношения между компонентами нагрузки q1 и цп для оболочек вращения в безмоментном напряженном состоянии, симметричном относительно оси вращения (в силу симметрии д2 = 0):

+а+^ [Й2<?п ~{1+¥) е~{таа1 а ° е!тла1(1а1+с)]и=°<

Причем при /?! Ф оо из двух уравнений (3) остается только первое, а второе — является его следствием; при = оо первое уравнение обращается в тождество, и вновь остается одно, на этот раз, второе уравнение.

Постоянную интегрирования С легко можно найти, используя всякий раз граничные условия.

Уместно заметить, что опирания оболочки предполагается исключающим всякую возможность её изгиба на опорах, то есть имеют место тангенциальные граничные условия.

В третьей главе детально освещен вопрос об осесимметричном докри-тическом состоянии оболочек вращения при отсутствии бесконечно малых изгибаний. Наиболее полно описаны и представлены соотношения между компонентами поверхностной нагрузки <7а и цп для круговой цилиндрической оболочки, сферического купола, прямого и усечённого кругового конуса. Кроме того рассмотрено докритическое состояние параболического свода, имеющего две плоскости симметрии, и также представлены соотношения между компонентами нагрузки (¡,1,<72 и дп, соответствующими безмоментно-му состоянию свода.

(2).

(3)

где

3.1. Круговая цилиндрическая оболочка.

Рассмотрена прямая круговая цилиндрическая оболочка радиусом К и высотой #(рис.1), свободно опирающаяся на плоскость (без трения).

Считалось, что цилиндр нагружен распределенной нагрузкой по боковой поверхности и для более общего случая равномерно сжат в осевом направлении погонной нагрузкой t.

и"

■XOTjul

.1 I I t,.t

лШС^

Рис. 1. Расчетная схема прямой круговой цилиндрической оболочки

Были вычислены все величины, необходимые для составления уравнений (3). Так как Rx = оэ, первое уравнение обращается в тождество и остается лишь второе уравнение системы. Опуская все подробные процедуры решения второго уравнения (они приведены в диссертации), представим окончательный вид в удобной форме интересующей нас зависимости между компонентами нагрузки:

R2 dqn ^ г (4)

у. aat

где С — произвольная постоянная.

Как частные случаи нагружения цилиндра, вытекающие из (4), можно привести:

а) постоянное боковое давление qn = const (в том числе и qn = 0). При этом q1 = G = const (например, собственный вес) или qx = 0;

б) гидростатическое давление жидкости либо сыпучего материала, меняющееся по линейному закону qn = ya¡ при объемном весе у.

При этом, как и в предыдущем случае, q1 = const (в том числе и q1 = 0).

2.2. Сферический купол

Рассмотрен сферический купол радиусом г, непрерывно опирающийся по контуру (рис.2). Через t на рис.2 обозначено погонное реактивное усилие. За исходные приняты параметрические уравнения сферы

хг = г sin аг cos а2 , х2 = г sin at sin а2 , х3 = г cos at . Получены все величины для составления необходимого уравнения системы (3) ( в данном случае первого, так как совершенно очевидно, что для

сферы Ф со): А = г, В = г sin ах , R1 = R2 = г, Т = при этом

sin сс1 Ф О , то есть ахФ 0 , и аг ф л .

Последнее означает, что из рассмотрения исключаются особые точки сферы с с*! = 0 и аг = тт.

Окончательно необходимое первое уравнение системы (3) принимает

вид

.............jf X

\ ч>

' '' ' f П I по V М И ^

Рис.2. Расчетная схема сферического купола ^ + (1 + ^ = 0,

из которого вытекает, что

1 ¿¿<?п (5)

4l l+judaTi'

При этом, из рассмотрения должны быть исключены особые точки сферы, в которых = 0 и at = л.

Из уравнения (5) можно получить множество видов загружения сферического купола, вызывающее в нем осесимметричное исходное состояние, и в частности хорошо известный случай, когда оболочка подвергается действию равномерного наружного давления qn = const. При этом qt = 0 .

Все сказанное в отношении сферического купола распространяется и на замкнутую сферическую оболочку, так как приведенные выше выводы совершенно не зависят от параметра купола <р и справедливы при ip = л, что превращает купол в замкнутую сферу.

2.3. Прямой круговой конус

Рассмотрена оболочка в виде прямого кругового конуса радиусом основания R , высотой Н, длиной образующей I, нагруженного и опирающегося как показано на рис.3. Уравнения конуса в параметрической форме

X1 = al sln V sln a2

x2 = sin <p cos a2

x3 = at cos (p .

При этом A = 1, В = ax sin <p , = oo , R2 = аг ■ tan ip , T = —,

ai

причем а, Ф 0 , то есть вершина конуса как особая точка поверхности должна быть исключена из рассмотрения.

Q = tan ср qn - qt .

,v?

i ...........

Рис.3. Расчетная схема круговой конической оболочки

Выполнив вычисления для конуса по аналогии с цилиндром или со сферой и с учетом того, что для конуса = оо, составляем необходимое в этом случае второе уравнение системы (3): Л ( с1 ц ( Га1 Га1

а^атрцп--1Ьап<р\ а1чпйа1 — I a1q1da1 — a0t

\ -»о -¡о

da,

+ (1 + ix)sinqi

a1tan(pqn - — {^апср J — ^ a1q1da1 —

Проделав все другие преобразования, опущенные здесь и приведенные в диссертации, окончательно для конуса запишем: d2q1 1 + 3 ^ldq1 1 + 2ц

"91

dß■

/л dß

1. (d3qn , cd2qn dqn

= -Htan(p{7^ + 5-W + 7W + 3qn

(6)

meß = ln^i.

Теперь, пользуясь этим уравнением, можно получить множество видов нагружений конуса, которые при наличии тангенциальных граничных условий способствуют его безмоментному напряженному состоянию. Для этого достаточно задать любое значение одной из компонент нагрузки, вторая же получится в результате интегрирования уравнения. В диссертации рассмотрены варианты:

а) qn = 0. В этом случае в дифференциальном уравнении (6) будет отсутствовать правая часть, и уравнение получит вид

d2qi 1 + 3nd4l l + 2ji _ n

W W 4l~

Для нахождения ql имеем однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Матрица коэффициентов данного уравнения трехдиагональная. Можно решить численно методом прогонки и аналитически. В диссертации использован аналитический метод.

б) Чп = const = —q (постоянное внешнее давление). Дифференциальное уравнение (б) получит вид

d2qi l + 3ndqi 1 + 2// 3tan (р

+-ТБ~ +-Й1=-Я- (8)

dp¿ P dp ц ц

Частное решение будет иметь вид

3tan<p

q¡ = TTHlq-

Весьма интересный случай нахождения конуса под действием собственного веса д. В этом случае обе компоненты нагрузки являются известными и представляют q1=gcosq>-, qn = —д sin q> («минус» учитывает направление компоненты qn , обратное принятому за положительное).

В соответствии с уравнением (6) будем иметь 1 + 2ц 3

-q cos ф = — tan <р д sin <р ,

ц И

ll+2fi

откуда получаем, что tan <¡o = I , то есть конус должен иметь вполне

определенное значение угла tp при его вершине, иначе невозможным становится напряженно-деформированное состояние конуса при отсутствии изгибаний, пусть и бесконечно малых. Так для стального конуса при ц = 0.3, tan <р = 0.7303, что соответствует углу <р = 36°08'.

3.4. Усеченный конус

Такая оболочка показана на рис.4. Отличие её от предыдущей - отсутствие вершины конуса, наличие верхнего основания с координатой а0 и равномерно распределенной по верхнему основанию погонной нагрузки /, направленной вдоль образующей конуса.

Параметрические уравнения конуса с вершиной без изменений переносятся и на усеченный конус, поэтому все величины, необходимые для составления второго уравнения системы (3) тоже остаются прежними.

Исключение составляет постоянная интегрирования С, которая в данном случае имеет несколько иное значение. Для нахождения постоянной С используется граничное условие для верхнего основания конуса.

Составляем теперь второе уравнение системы (3), которое напоминает аналогичное уравнение для конуса с вершиной и теми же преобразованиями приводится к полученному выше уравнению (6):

й Г (I ц ( га1 г«1

-—\axSirup-— а^ЬапсрЦп--¿а?г<р - а1q1dа1-а0t

сга1 I а1 \ Лг0

+

+(1 + ц)зтср а^апсрЦп--\tanq) \ а1дпс1а1-1 а^й^-а^) =о|.

а1 V )а о 4„ )

Таким образом, становится очевидным, что все выводы в отношении нагрузок,

Рис.4. Расчетная схема усеченной круговой конической оболочки

сделанные для конуса с вершиной, в равной мере справедливы и для усеченного конуса.

2.5. Параболический свод

Рассмотрен параболический свод длиной / (рис.5), имеющий две плоскости симметрии х10х3 и х2Ох3 исходного докритического состояния. Условно на рис.5 показана половина свода, лежащая вправо от плоскости симметрии х10х3.

írfnj)

Рис.5. Расчетная схема параболического свода

Параметрические уравнения свода имеют вид:

х-у = р sin ctj; х2 = а2; х3 = р cos аг.

При этом р = 2 С05г^1> ГДе а - параметр параболы в плоскости хг0х3.

Исходные уравнения равновесия (1) и неразрывности срединной поверхности (2) для свода приводятся (подробности в диссертации) к системе пяти дифференциальных уравнений, при этом исчезает второе уравнение неразрывности, обращающееся в тождество: дТ, 35

гг± + А — + Ая1 = 0; дах да2

дТ2 дБ А — + -— + Aq2 = Q■,

аа2 да± Тг

дТ2 дТх , дБ (9)

тг1 - ц -г- ~ 2(1 + ¡¿)А я-- = 0; даг да2

дгТх д2Т2

Исключением из системы (9) усилий Т1, Т2 и 5 (подробности также в диссертации) получены искомые соотношения между компонентами нагрузки

на свод для его исходного безмоментного напряженного состояния: 1 1 д(Я1Чп) | 1 + 1хд{Я1дп)_

^ 2^(1 + ц) А да! «2=±^ 2ц дах

«2 (10) 1 Г д Г1 д(Я1Чп) | 1 /Яг 3*?* \

6,2 = л]

о

Система уравнений (10) содержит три неизвестных (<?!, <77г), из которых как угодно можно распоряжаться одним из неизвестных и по уравнениям (10) находить ему в соответствие два других неизвестных. Так как «7! и ц2 явно выражаются через цп, то удобным предоставляется задание компоненты дп, хотя это и не обязательно. Любопытно сравнение безмо-ментной работы параболического свода с аркой того же очертания. Параболическая арка при определенном способе ее опирания работает безмоментно при действии на нее нагрузки, равномерно распределенной к горизонтальной проекции арки. Такая же нагрузка, действующая на свод, его безмоментной работе, в общем-то, не способствует. Здесь сказывается влияние поперечной деформации вдоль свода, которой у арки пренебрегают. Если же считать ц = тать ц = 0, то нагрузка будет удовлетворять и безмоментной работе свода.

В четвертой главе рассмотрены статические задачи расчета на устойчивость для упругой круговой цилиндрической оболочки. В частности рассмотрена осесимметричная форма потери устойчивости круговой цилиндри-

ческой оболочки при осевом сжатии и устойчивость круговой цилиндрической оболочки при равномерном внешнем давлении.

4.1. Устойчивость круговой цилиндрической оболочки при осевом сжатии

Приводится цилиндрическая оболочка радиуса Д и высотой Н, свободно опёртая на плоскость и нагруженная по верхнему краю равномерно распределенной погонной нагрузкой С (рис.6).

Предполагается возможность свободного расширения оболочки в радиальном направлении. Тогда исходное докритическое состояние рассматриваемой оболочки будет осесимметричным при отсутствии бесконечно малых изгибаний и при удовлетворении тангенциальным граничным условиям. Исследована осесимметричная форма потери устойчивости оболочки, где использован для этого энергетический критерий устойчивости в форме Ти-мошенко-Ритца.

В силу малости различий высоты оболочки перед выпучиванием Н и после выпучивания Нг будем их отождествлять. Об изменении же этой высоты в процессе обжатия оболочки вообще можно было бы не говорить, так как это изменение является величиной еще более высокого порядка малости.

Деформация оболочки до выпучивания (в процессе обжатия) характеризуется ее мембранными компонентами: осевой деформацией е^1 и окружной деформацией причем

При осесимметричной форме потери устойчивости цилиндрической оболочки её поведение вполне определяется радиальным перемещением точек срединной поверхности и', для которого можно принять тригонометрический ряд

I

Рис.6. Осевое сжатие цилиндрической оболочки

со

(П)

п=1

Сближение краев оболочки после выпучивание можно определить по известной формуле

н

1 Г (д\ц\2

о

Деформация оболочки после выпучивания характеризуется кроме мембранных компонент £г и е2 изменением кривизны её срединной поверхности в осевом направлении агх, которая подсчитывается по формуле

д2и/

Таким образом, можно говорить о компонентах добавочной деформации, появляющейся в результате потери устойчивости оболочки.

2 00

Г Г1 ПТТХ3

71-1

Мембранные компоненты добавочной деформации е[ и е2 определены из геометрических соображений по рис.7, где показано поперечное сечение цилиндрической оболочки до и после выпучивания.

\ \

•ф' <А«/ \ \

>

Рис.7. Осесимметричная деформация поперечного сечения цилиндрической оболочки после выпучивания при осевом сжатии

Из подобия криволинейных треугольников имеем

IV

Тогда

е1 = -1ле2 = -ц—.

Потенциальная энергия деформации, соответствующей выпучиванию оболочки при потере устойчивости, имеет вид:

П = 2(1^2) ЛКе[ + - 2(1 - + | Ц М,

00 00 где £ — модуль упругости материала оболочки; к — толщина оболочки;

Е1г3

О ~ 22(1-2) — цилиндрическая жесткость оболочки.

Переходя от интегралов по площади к интегралам по высоте оболочки и подставляя в первый интеграл вместо е[ и е'2 их выражения через радиальное перемещение после упрощений получим:

nEh Гн , , [" . ,

П = —— I w2dx3 + rrRD вefdx3.

R J о J о

Работа внешних сил представляет собой работу равномерно распределенной нагрузки Ь, совершаемую в процессе сближения краев оболочки на величину Д, то есть

А = 27г£ЯД.

С учетом (12) работа имеет вид

" 2

О

А = tnR I (—J dx3.

Полная потенциальная энергия системы определяется выражением

Э = П - А,

или в развернутом виде

пЕИ Г , Г , Г /ды\2

Э = VI + яRD I зе^х3- £тгЛ I J

о о о 3

Используя принцип минимума полной потенциальной энергии системы, можно записать:

ннн дЭ 2пЕК Г диг Г даг-, Г ды д /дю\

мГ —] "э^* + 27Т™1

ООО

= О

(5 = 1,2,3,...).

Производя все необходимые в подынтегральных выражениях подстановки и объединив первые два интеграла, получим

ППХ3 S7IX3

sin——sin ,, dxз —

н н

дЭ 27TV1 (Eh n2s2n4 \ Г

ö^ = 7rXa»(T +—RD Jsi

п=1 х о

оо И

Znsn1 Г птгх3 snx3 an~Jp~R I COS—^-CQS—^-dx3 = О

п-1 о

(s = 1,2,3,...). дЭ

Учитывая это, в выражении для -— от каждой суммы следует оставить

das

по одному члену, в котором п = s, то есть ЗЭ (Eh s4tt4 \ s2tt2

— = тгHas f — + RD J - nHtas R = 0 (s = 1,2,3,...).

В этом случае

Н2Е11 -?2тг20

' х2 л2Я2+ Н2 1'2'3"")

/ ЕН 52тгЛ

Для получения критической нагрузки, как наименьшей из возможных,

минимизируем полученное выражение по — исходя из условия

н

Ъь

■ = о,

которое дает

Отсюда

, от Е Н3

Г3 \

Ек

Я4 й20

и далее

1

Я2

Ек

Т'

С учетом последнего из выражения для £ после несложных преобразований получим критическую нагрузку

ЕЬ2 (13)

Ь = ■

Полученное решение задачи в точности согласуется с решением Лоренца-Тимошенко, известным как классическое.

Следует отметить, что данное решение справедливо при любой длине оболочки. Это объясняется принятым характером исходного состояния, то есть при отсутствии даже бесконечно малых изгибаний и тангенциальных граничных условиях.

Нельзя, однако, утверждать, что полученное здесь решение определяет вообще наименьшую критическую нагрузку. Оно определяет таковую лишь в пределах реализации осесимметричной формы потери устойчивости цилиндрической оболочки. Для длинных же оболочек следует ожидать реализации не осесимметричной потери устойчивости. Поэтому для полного решения задачи следовало бы снять ограничения о симметрии, что вообще говоря, выходит за рамки, намеченные в диссертационной работе.

4.2. Устойчивость круговой цилиндрической оболочки при внешнем давлении

В разделе 3.2 рассматривается круговая цилиндрическая оболочка, нагруженная равномерным внешним давлением д, при тангенциальных гра-

ничных условиях. Такая оболочка может деформироваться без удлинений и сдвига срединной поверхности (деформацией оболочки в процессе обжатия здесь пренебрегаем).

При потере устойчивости поперечное сечение оболочки принимает эллиптическую форму (рис.8). Деформация половины поперечного сечения оболочки представлена на рис.9.

На рис.9 через Т обозначено погонное сжимающее усилие, через М0 — изгибающий момент при а2 = 0, появляющийся в результате выпучивания оболочки.

Перемещение произвольной точки оболочки при её выпучивании вполне определяется двумя компонентами: радиальным перемещением и окружным перемещением V.

М„,

Рис.8. Цилиндрическая оболочка при внешнем давлении

Рис.9. Деформация поперечного сечения цилиндрической оболочки

Одной компонентой, например, радиальным перемещением, можно задаться в виде ряда:

^ апс

(14)

Связь между перемещениями V и ц/ определяется условием нерастяжимости срединной поверхности в окружном направлении при выпучивании, то есть условием е2 = 0. Потенциальная энергия деформации при выпучивании оболочки будет иметь вид:

|||

П=4[[ эг^р,

■V)

где зе2 — изменение кривизны срединной поверхности круговой цилиндрической оболочки в окружном направлении

1 /32уу К1 \да2

д2ы

-—2 = — апП СОБПа2 ,

то ее2 = ап(п2 - 1)созпа2 .

п=1

Приступая к составлению выражения работы внешних сил, внешнюю нагрузку как гидростатическую, которая при выпучивании оболочки остается направленной по нормали к деформированной поверхности, а её интенсивность ц не меняется.

На основании этого допущения к работе, совершаемой нагрузкой q на радиальных перемещениях IV и не учитывающей влияние поворота нагрузки при изменении кривизны, была добавлена работа так называемой фиктивной радиальной нагрузки, учитывающая это влияние.

Этот известный прием введения фиктивной нагрузки позволил записать выражение работы внешних сил в виде

А = Л Чпыс1Р >йР . (15)

(р) (Ю

Здесь фиктивная радиальная нагрузка определена по формуле

ч* = -т2*2 = т*2. (16)

где Т2 — докритическое окружное погонное усилие в оболочке.

Полная потенциальная энергия системы будет иметь вид:

(р) (Л (П

Переходя от интегралов по площади к интегралам по координате а2, используя условие минимума полной потенциальной энергии системы и производя в интегралах все необходимые подстановки, получим

оо ТГ

дЭ 2НО V , , ^ , Л -д^- = р3 у _ ап(п£ — 1)Сь — 1) I со5па2С05$а2с1а2 +

1 п = 1 о

т оо П

+2 цЯН J ап[("2 _ 1) + - 1)] J со5па2соБ5а2 йа2 = О

о П=1 о

(5 = 1,2,3,...).

г> аэ

В выражении для — от каждой суммы остается лишь по одному члену с п = s и исчезает второй интеграл. Тогда окончательно для q:

D(s2-1) (1?)

Ч=^-3--(s = 1,2,3,...).

Из формулы (17) при s = 2 получим значение критического наружного давления для цилиндрической оболочки

_3 D_ Eh3 (18)

q ~ W ~ 4(1 - n2)R3 "

Это решение совпадает с формулой для критического давления, полученной Брайаном и которую еще называют формулой Грасгофа-Бресса, однако в данном случае оно свободно от каких-либо ограничений в отношении длины оболочки.

В пятой главе энергетическим методом в форме Тимошенко-Ритца решена задача устойчивости свободно опертой усеченной круговой конической оболочки, сжимаемой по верхнему основанию равномерно распределенной погонной нагрузкой t, отнесенной к срединной поверхности оболочки и направленной вдоль образующей конуса. Задача свелась к проблеме определения собственных чисел в алгебраической теории матриц. Численно на ЭВМ получено значение критической нагрузки /кр.

Не ограничиваясь лишь осесимметричной формой потери устойчивости, перемещения точек срединной поверхности оболочки при выпучивании будем искать в виде

и = и(а1,а2), v = v(alla2), w = w(a1,a2).

Так как для конической оболочки в принятой системе координат А = 1, В = sin <р, = оо, R2— а-у tan ср, компоненты деформации выпучивания согласно линейной теории оболочек могут быть записаны в виде

ди _ 1 dv 1 дВ w д /г>\ 1 ди

£l = да[; £2=Вд^2+Вд^1и+Т2'- £12 = Вд^Ув)+Вд^2''

d2w 1 / 1 dv 1 d2w\ 1 дВ dw

321 да2 '1 Ж2 В уй2 да2 В да2] Вда1да1' д /V 1 5и/\

3612 = а«Г

Принята гипотеза о нерастяжимости образующей конуса (е1 = 0), поэтому перемещения точек оболочки могут быть описаны двумя компонентами

V = v(a1, а2), IV = мг^сс!, а2). Для облегчения задачи установления функций V и и/ была принята еще одна гипотеза, которая, впрочем, обладает физичностью. Считалось, что потеря устойчивости рассматриваемой оболочки происходит в форме, симметричной относительно какой-либо вертикальной осевой плоскости, например, х20х3.

Одна из возможных форм деформации горизонтального сечения конуса показана на рис.10.

В силу принятой гипотезы функцию для v(a1,a2) следует выбрать нечетной по а2, а для w(a1; а2) — четной.

В качестве искомых могут быть приняты следующие функции

СО СО 00 со

V = ^Г ^ bmnaf sin па2; w

m=ln = l m=ln=l

= S Z Cmnaim C°S( П ~ 1)й2- (19)

х2 0 1 ПЛОСКОСТЬ

\ ¡ \ 1 симметрии

Рис.10. Возможная форма деформации горизонтального сечения конуса при выпучивании

Сближение концов образующей при выпучивании может быть подсчитано по формуле

I

Ч/

(dv\ fdw\'

Uv + Vao^y

Потенциальная энергия деформации при выпучивании оболочки в данном случае имеет вид

Ек

П = ■

+

I ÍÍ(F)[(Xl + 322)2 " 2(1 ~ Д)(гЕ1Эе2 "

где dF = sin ср da1da2.

Работу внешних сил подсчитываем по формуле

2 , а.... 2

I 2л

А = ta0 sin ip — j |

a0 0

/ dv \ /dw\' \da1J XdaJ

da1da2.

Используя принцип минимума полной потенциальной энергии системы, на основании которого

дЭ дП _ дА _ дЭ _ дП дА /г = 1,2,-,т\

дЬгз дЪГ5 ' дсГ5 дсГ5 Зс„ ' = 1,2 ,—,п/'

система будет иметь вид: I л

Бикр

Я

а0 О

Г °£2 I 1 (л л °£121 ■ Л* г „ дге2 , „ / дае2 Эзв12\п

Ь + ^а^"»""Н^а^-2*»

а1йа1йа2 —

1 - г Г Зу Э /др\ -*™<Р-йГ«о ] I = о;

1 7Г

а0 О

Б1П (р

I л

II

а о О

дг2 /г2 £г дсгг + 12

I п

1 — ц2 Г Г д\л> д /д\м\

-^п<р — ао j j = о;

а0 О

/г = 1,2 ,—,т\

(г = 1,2,—,т\ и = 1,2,-, п)'

После всех громоздких подстановок и последующего интегрирования, которое в данном случае выполняется в замкнутом виде, приходим к системе линейных алгебраических уравнений, которую удобно записать следующим образом:

оо оо

00 оо

/ | / 1 ^тп^гзтп "1" / < / 1 ^тп-^г^тп — О*

т=1п=1 т=1п=1

оо СО ОО 00

^ ' ^ ' ЬтпАг$тп 4- ^' ^ ' стп (Лг5тг1 — ЬВ2'2тп) = 0;

/г = 1,2,-, т\

и = 1,2,-, п )

т=т=1 т=т=1

или в матричной форме

(Л - СВ)Х = 0. (20)

Здесь А н В -квадратные матрицы размером 2тп х 2тп, которые можно представить как блочные

В =

В}

о в,

Г^гзтл ^ г.<:тп | \л21 л22 '

Х-вектор, составленный из неизвестных коэффициентов Ьтп и стп входящих в (19). Его можно записать в виде

гдеХ1иХ2- в свою очередь векторы, составленные из коэффициентов Ьтпи стп соответственно, то есть

х = {Ьтп}' X2 = {стп}'

Условием для нахождения критической нагрузки является равенство нулю определителя системы (20)

И-Ш| = 0, (21)

которое представляет обобщенное вековое уравнение. В результате задача определения критических нагрузок ¿кр свелась к проблеме определения собственных чисел в алгебраической теории матриц. Вычисления производились численно на ЭВМ. Было проведено 6 приближений. Наибольший размер матриц А и В системы (20) в шестом приближении был 72 X 72.

Вычисления выполнены при следующих параметрах оболочки:

КГ о

Е = 2 • 106—г ; ц = 0,3; к = 1см; <р = 30 ; а0 = 100см; / = 200см.

см2

Уточнение критической нагрузки происходило сверху (рис.11), и уже после третьего приближения обнаружилась сходимость. Результаты пятого и шестого приближения отличаются примерно на 5 %.

Полученная в шестом приближении критическая нагрузка = 8,82 X х 103 кг/см согласуется с известным решением, приведенным для нижнего основания конуса в работе проф. Григолюка.

_ Ек2__1_ (22)

'кр ~ ТзсТ^Г I ■

Рис. 11. График зависимости критической Рис. 12. Общий вид потери устойчивости нагрузки на конус при осевом сжатии от но- усеченного конуса при осевом сжатии мера приближения

Эта формула аналогична формуле Лоренца-Тимошенко для круговой цилиндрической оболочки и получена Штаерманом для случая осесиммет-ричной формы потери устойчивости в предположении, что при выпучивании в направлении меридиана образуется большое число волн. В случае же несимметричной деформации или малом числе волн вдоль образующей возможны, по-видимому, отклонения критической нагрузки в сравнении с ре-

шепнем по формуле (22), что имеет место в нашем случае (рис. 12), т.к. по формуле (22) получается t6 = 10,5 • 103 кг/см.

Основные выводы и результаты

1. Для однородных изотропных упругих оболочек вращения и для свода из условия симметричного напряженного состояния выведены и приведены основные соотношения между компонентам! нагрузки с/,, q2 и qn.

Полученные соотношения могут быть использованы при решении задач устойчивости упругих оболочек с определением критических значений внешних нагрузок.

2. Рассмотрены частные случаи для оболочек вращения в осесиммет-ричном исходном состоянии: для круговой цилиндрической оболочки, сферического купола, прямого кругового конуса, усечённого конуса и свода. Используя полученное решение, представили связь между компонентами нагрузки qu q2 и qn для соответствующих оболочек.

3. На основе предлагаемой методики дано решение задачи осесиммет-ричной формы потери устойчивости круговой цилиндрической оболочки при осевом сжатии. Рассмотрено и приведено значение критического наружного давления для цилиндрической оболочки при равномерном внешнем давлении. Решения этих задач проведены аналитически в замкнутом виде. Полученные результаты позволяют утверждать, что предлагаемые функции для перемещении в виде тригонометрических рядов хорошо согласуются с известными классическими решениями.

4. По разработанной методике получены конкретные решения для указанных конструкций. D частности, рассмотрена устойчивость круговой конической оболочки со срезанной вершиной при осевом сжатии. На основе полученного решения было исследовано влияние различных факторов на величину критической силы и перемещений, позволяющих оценить процесс волнообразования и прежде всего количество волн, образующихся при выпучивании.

Основные положении диссертации отражены в 10 публикациях:

- в 7-ми и зданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Литвинов В.В., Андреев В.И., Чепурненко A.C. Устойчивость усеченной круговой конической оболочки при осевом сжатии // Вестник МГСУ. 2012. № 10. с. 95-101.

2. Литвинов В.В., Кулшшч И.И. Соотношения между компонентами поверхностной нагрузки в оболочках вращения при безмоментном их состоянии // Инженерный вестник Дона: электронный журнал. 2012. №3. URL:http.7/vvww.ivdon.ru/magazine/)atest/n3v2012/pagc/6/.

3. Литвинов В.В., Языев Б.М. Энергетический метод в форме Тимошенко-Ритца для определения критических сил осевого сжатия круговой цилиндрической оболочки // Инженерный вестник Дона: электронный журнал.

2012. № 1. http://www.ivdon.rU/magazine/archive/nly2012/page/6/

4. Литвинов B.B., Язысв Б.М., Бескопыльный А.Н. Устойчивость кротовой цилиндрической оболочки при равномерном внешнем давлении // Инженерный вестник Дона: электронный журнал. 2011. № 4.

URL: http://www.ivdon.ru/magazine/arcliive/n4y201 l/page/7/

5. Литвинов В.В., Чепурненко A.C., Бескопыльный А.Н. Соотношения между компонентами поверхностной нагрузки параболического свода при его безмоментном исходном напряженном состояшш// Науковедение. 2012.

6. Литвинов В.В., Кулинич И.И., Языев С.Б. Исследование устойчивости неоднородных полимерных стержней в условиях термовязкоупругости // Инженерный вестник Дона: электронный журнал. . 2012. №3. URL:http://www.ivdon.nv'magazine/latest/n3y2012/page/6/.

7. Литвинов В.В. Кулинич И.И., Чепурненко A.C., Выпучивание стеклопла-стаковых стержней переменной жесткости // Новые технологии: журнал Майкопского государственного технологического университета. 2012. №4.

- в 2-х монографиях:

1. Литвинов В.В., Языев Б.М. Некоторые вопросы общей устойчивости оболочек вращения. - Ростов н/Д.: Рост. гос. строит, ун-т, 2012. 88 с.

2. Литвинов В.В., Кулинич И.И., Литвинов C.B., Языев С.Б. Устойчивость продольно-сжатых стержней переменном жесткости при ползучести. - Ростов н/Д.: Рост. гос. строит, ун-т, 2012. 131 с.

- в других изданиях:

1. Литвинов В.В.., Языев Б.М. Устойчивость полимерных стержней при нелинейной ползучести// «Строительство-2010»: материалы Международной научно-практической конференции. Ростов-н/Д: РГСУ, 2010. С. 128-131.

Печать цифровая. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме» Формат 60x84/16. Объем 1,0 уч.-изд.-л. Заказ .V» 2816. Тираж 150 экз. Отпечатано в КМЦ «КОИИЦЕНТР» 344022, г. Ростов-на-Дону, ул. Суворова, 19, тел. 247-34-88

1. Введение.

1.1. Актуальность темы диссертации.

1.2.Цель диссертационной работы

1.3.Научная новизна работы.

1.4.Практическая ценность работы

1.5.Достоверность полученных в работе результатов

1.6.Апробация работы

1.7.Публикации

1.8.Структура и объем диссертации.

1.9.Основное содержание работы.

1.10. Краткий исторический и литературный обзор по теме исследования.

2. Соотношения между компонентами поверхностной нагрузки в оболочках вращения при безмоментном их состоянии.

2.1.Основные уравнения

2.2.Безмоментное состояние оболочек вращения

2.3.Оболочки вращения в безмоментном напряженном состоянии, симметричном относительно оси вращения

3. Связь между компонентами поверхностной нагрузки в частных случаях осесимметричного безмоментного состояния оболочек вращения и в случае параболического свода.

3.1.Круговая цилиндрическая оболочка.

3.2.Сферический купол.

3.3.Прямой круговой конус.

3.4.Усеченный конус

3.5.Параболический свод.

4. Энергетический метод расчета на устойчивость круговой цилиндрической оболочки в форме Тимошенко- Ритца

4.1 .Устойчивость круговой цилиндрической оболочки при осевом сжатии

4.2.4.2.Устойчивость круговой цилиндрической оболочки при внешнем давлении.

5. Расчет на устойчивость усеченной круговой конической оболочки при осевом сжатии.

Наиболее эффективной конструктивной формой сооружения является такая, которая в сочетании с требуемой прочностью и жесткостью обладает достаточной легкостью, связанной с возможно меньшим расходом материала на изготовление подобного сооружения. Лучше всего этим условиям отвечают тонкостенные конструкции и именно оболочки, которые нашли широкое применение в различных областях современной строительной техники, а также в судостроении, авиации и ракетостроении.

Проблема разработки новых теорий и совершенствования методов расчета пространственных конструкций типа пластин и оболочек была и остается в центре внимания ученых, занимающихся исследованием вопросов строительной механики тонких упругих оболочек и особенно тех, которые касаются процесса потерн устойчивости оболочек. Тем более, что это никак не исключает, а даже, наоборот, предполагает необходимость переоценки уже существующих теорий и методик расчета оболочек, что, прежде всего связано с неуклонным совершенствованием вычислительных средств и способствует развитию численно-аналитических методов. Это, во-первых. Во-вторых, позволяет расширить область применения классической теории.

1.1. Актуальность темы диссертации При исследовании общей устойчивости оболочки считается, что последняя до наступления критического состояния не должна испытывать даже бесконечно малых изгибаний, так как потеря общей устойчивости предполагает наличие смены форм равновесия. Такими формами равновесия могут быть: безмоментная начальная форма при отсутствии бесконечно малых изгибании и моментная — после потери устойчивости. Очевидно так же и то, что указанное исходное состояние оболочки возможно лишь при тангенциальных граничных условиях и наложении некоторых ограничений на поверхностную нагрузку или на ее компоненты вдоль координатных осей 41» 42» Чп 5 ибо деформация оболочки без изгиба возможна только при определенных соотношениях этих компонент. Отсюда возникает вопрос отыскания этих соотношений при дальнейшем определений критических значений нагрузок.

Основные выводы и результаты

1. Для однородных изотропных упругих оболочек вращения и для свода из условия симметричного напряженного состояния выведены и приведены основные соотношения между компонентами нагрузки и Яп

Полученные соотношения могут быть использованы при решении задач устойчивости упругих оболочек с определением критических значений внешних нагрузок.

2. Рассмотрены частные случаи для оболочек вращения в осесиммет-ричном исходном состоянии: для круговой цилиндрической оболочки, сферического купола, прямого кругового конуса, усечённого конуса и свода. Используя полученное решение, представили связь между компонентами нагрузки д2 и цп для соответствующих оболочек.

3. На основе предлагаемой методики дано решение задачи осесиммет-ричной формы потери устойчивости круговой цилиндрической оболочки при осевом сжатии. Рассмотрено и приведено значение критического наружного давления для цилиндрической оболочки при равномерном внешнем давлении. Решения этих задач проведены аналитически в замкнутом виде. Полученные результаты позволяют утверждать, что предлагаемые функции для перемещений в виде тригонометрических рядов хорошо согласуются с известными классическими решениями.

4. По разработанной методике получены конкретные решения для указанных конструкций. В частности, рассмотрена устойчивость круговой конической оболочки со срезанной вершиной при осевом сжатии. На основе полученного решения было исследовано влияние различных факторов па величину критической силы и перемещений, позволяющих оценить процесс волнообразования и прежде всего количество волн, образующихся при выпучивании.

1. Аксеитян К.Б. Основы теории расчета пластинок и оболочек: учебное пособие-Ростов н/Д: РВКИУ, 1961.

2. Алумяэ Н.А. Дифференциальные уравнения состояний равновесия тонкостенных упругих оболочек в послекригической стадии. Прикл. матсм. и механ., 1949, т. 13, № 1, с. 95-106.

3. Алумяэ Н.А. Критическая нагрузка длинной цилиндрической круговой оболочки при кручении. Прикл. магем. и механ., 1954, т. 18, вып. 1, с. 27-34.

4. Алфутов Н.А. Основы расчета па устойчивость упругих систем.-2-е изд. Перераб. И доп.М.: Машиностроение, 1991 .—336с.

5. Амосов А.А. Техническая теория тонких упругих оболочек.-М.: Изд-во АСВ, 2009.

6. Амосов А.А. Расчет тонких упругих оболочек по деформированному состоянию. "Строит, механ. и расчет сооружений" № 6, 1982, с. 20-23.

7. Baruch М., Harari О., Singer J. Low buckling loads of axially compressed conical shells. Trans. ASME, Ser. E., 1970, vol. 37, № 2, pp. 384-392.

8. Biezeno C.B. Uber die Bcstimmung der «Durchschlagkraft» einer schwachgekrummten, kreisformigen Platte. Z. angew, Math, und Mech., 1935, Bd. 15, № 1-2, SS. 10-12.

9. Биргер И.А. Прочность. Устойчивость. Колебания: справ, в Зт.-т. 3/под ред. И.А. Биргера, Я.Г. Пановко-М.: Машиностроение. 1968.-568с.

10. Божинский A.M., Вольмир А.С. Экспериментальное исследование устойчивости цилиндрических оболочек за пределами упругости. Докл. АН СССР, 1962, т. 142, № 2, с.299-301.

11. Bryan G.H. On the stability of elastic system. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1889, vol. 6, pp. 199-210.

12. Biyan G.H. Application of the energy test to the collapse of a thin long pipe under external pressure. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1888, vol. 6, pp. 287-292.

13. Bresse M. Cours de mechanique applique, P. 1. Paris, Mallet-Bachelier, Imprimeur-Libraire du Bureau des Longitudes, 1859.

14. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.-13-e изд., исправл.-М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.-544с.

15. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ.-М.: Машиностроение, 1976.-278с.

16. Валишвили Н.В., Стегний B.II. О формах равновесия пологих сферических оболочек. // Известия АН ССР. МТТ. 1968, № 6, с. 131-137.

17. Weinitschke II. J. On the nonlinear theory of shallow spherical shells.// J.Soc. Ind. And Appl. Math. 1958. vol. 6, № 3. pp. 209-232.

18. Weinitschke II. On the stability problem for shallow spherical shells. J. Math. And Phys., 1960, vol. 38, № 4, pp. 209-231.

19. Власов В.З. Общая теория оболочек. М.: Гостехиздат, 1949; Избранные труды. Том 1, ч. III. М., АН СССР, 1962.

20. Власов В.З. Основные дифференциальные уравнения общей теории оболочек . Прикл. магем и механ., 1944, т. 8, № 2, с. 109-140.

21. Власов В.З. Новый практический метод расчета складчатых покрытий и оболочек. Строит, пром., 1932, № 11, с. 33-37; № 12, с. 21-26.

22. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы. М.: Гостехиздат, 1958.

23. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек.-М.: Наука, 1972, 432с.

24. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956.

25. Вольмир A.C. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963.

26. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967, 984с.

27. Вольмир A.C. Устойчивость пластинок и оболочек. Строительная механика в СССР 1917-1967.-М.: Стройиздат. 1969, с. 259-279.

28. Ворович И.И., Зипалова В.Ф. К решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Кошн. // Прикл. мат. и мех. 1965, т. 29, с. 694-901.

29. Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек. // Тр. II Всесоюзн. съезда по теор. и прикл. мех. М.: Наука, 1966, вып. 3, с. 116-136.

30. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц., М.: Наука, 1967, 576с.

31. Grashof F.W. Fairbairns Versuche über den Widerstand von Röhren gegen Zusammendrückung. VDI-Zeitschrift, 1959, Bd. 3, Nr. 8-9, SS. 234-243.

32. Гольденвейзер A.JT. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976, 510с.

33. Гольденвейзер AJI. Методы обоснования и уточнения теории оболочек. // ПММ, 1968, т. 32, № 4, с. 694-595.

34. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978, 360с.

35. Григолюк Э.И., Мамай В.И., Фролов А.Н. Исследование устойчивости непологих сферических оболочек при конечных перемещениях па основе различных уравнений теории оболочек. // Известия АН СССР. Механ. тверд, тела, 1972, № 5. с. 154-165.

36. Григолюк Э.И., Мамай В.И. О методах сведения нелинейной краевой задачи к задаче Коши. // Прикл. пробл. Прочн. и пласстичи., 1979, № 11, с. 3-19.

37. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. М.: Наука, Физматлит. 1997.

38. Donnell L.H. A new theory for the buckling of thin cylinders under axial compression and bending. Trans. ASME, Ser. E, 1934, vol. 56, pp. 795-806.

39. Кабриц C.A., Михайловский Е.И., Товстик П.Е., Черных К.Ф., Шамина В.А. Общая нелинейная теория упругих оболочек.- СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002, 988с.

40. Кан С.II. Строительная механика оболочек.-М.: Машиностроение. 1966, 508с.

41. Karman T.L., Tsien M.S. The buckling of thin cylindrical shells under axial compression. J. Aeronaut. Sei., 1941, vol. 8, No. 8, pp. 303-312; Karman Th. L. The collected works.Vol. 4. London, Butterworths, 1956, pp. 107-126.

42. Колкунов H.B. Основы расчета упругих оболочек., М.: Высшая школа, 1987,-256с.

43. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, Физматлит. 1974,-832с.

44. Lilly W.E. The design of struts. Engineering, 1908, vol. 85, pp. 37-40.

45. Lorenz R. Die nicht achsensimmetrische Knickung dünnwandiger Ilohlzilinder. Physikal, Zeitschrift, 1911, Bd. 12, Nr. 7, SS. 241-260.

46. Лурье А.И. Общая теория упругих топких оболочек. // ПММ. т. 4, 1940, вып. 2.

47. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.; Л.: Гостехиздаг. 1947.-252с.

48. Mallock A. Note on the instability of tubes subjected to end pressure and on the folds in a flexible material. Proc. Roy. Soc., 1908, vol. 81 No. A-549, pp. 388-393.

49. Муштари Х.М. Приближенное решение некоторых задач устойчивости тонкостенной конической оболочки кругового сечения. Прикл. матем. и механ., 1943 т. 7,вып. 3,-с. 155-166.

50. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань, Таткнигоиздат, 1957.

51. Муштари Х.М. Некоторые обобщения теории тонких оболочек с приложением к задаче устойчивости упругого равновесия. Изв. физ.-мат. о-ва при Каз. гос. ун-те, 1938, с. 71-97. Прикл. матем. и механ., 2, №4, 1939.

52. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: изд-во Политехника. 1991.,- 656с.

53. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: Изд-во МГУ, 1969,-696с.

54. Папкович П.Ф. Расчетные формулы для проверки устойчивости цилиндрической оболочки прочного корпуса подлодок. Бюлл. н.-техн. ком. УМВС РККА, 1929, вып. 2,-с. 113-123; Труды по прочности корабля. Л.: Судпромгиз, 1956,-с. 596-607.

55. Папкович П.Ф. Строительная механика корабля. Том II, Л.: Судпромгиз, 1941.

56. Папкович П.Ф. Труды по строительной механике корабля. Том 4. Устойчивость стержней, перекрытий и пластин. Л.: Судпромгиз, 1963.

57. Погорелов А.В. Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек.-М.: Наука, 1967.

58. Погорелов А.В. Геометрическая теория устойчивости оболочек.-М.: Наука, 1966.

59. Пшеничнов Г.И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластип.-М.: Наука, 1982,-352с.

60. Reissner Е. On axisimmetric deformations of thin shells of revolution. Proc. Symp. Appl. Math. New York, 1950, vol. Ill, pp. 27-52.

61. Reissner E. On finite pure bending of zilindrical tubes. Oster. Ingr-Arch., 1961, № 15., pp.165-172.

62. Reyleigh J.W. S. Some general theorems relating to vibrations. Proc. London Math. Soc. 1873, vol. 4, pp. 357-368; The theory of Sound, vol. I, London, Macmillan, 1929; русск. перевод: Релей Д.В. Теория звука, т. 1. М.: Госгехиздат, 1940.

63. Ржапицьш А.Р. Строительная механика. Уч. пособие для вузов.-М.: Высш. школа,-400с.

64. Ritz W. Uber eine Methode zur Losung gewisser Variations Probleme der mathematischen Physik. J. reine und angevv. Math., 1909, Bd. 135, Nr. 1, SS. 1-61; Gesammelte Werke. Paris, Gauther-Villars, 1911, SS. 192-250.

65. Southwell R. On the collapse of tubes by external pressure pressure. Parts. I, II, III. Philos. Mag., Ser. 6, 1913, vol. 25, No. 149, pp. 687-697; vol. 26, No. 153, pp. 502-510; 1915, vol. 29, No 169, pp. 67-76.

66. Тимошенко С.П. К вопросу о деформации и устойчивости цилиндрической оболочки. Вести, о-ва технол. 1914, т. 21, с. 785-792.

67. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек, М.: Наука, 1971, с. 457-472.

68. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1955,-532с.

69. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки.-М.: Наука, 1966,-636с.

70. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. Асимптотические методы.-М.: Наука, 1995,-320с.

71. Феодосьев В.И. Об одном способе решения нелинейных задач устойчивости деформируемых систем. // Прикл. мат. и мех. 1963, т. 27, вып. 2,-с. 280-286.

72. Fairbairn. W. On the resistance of tubes to collaps. Philos. Trans. Roy. Soc. London, 1858, vol. 148, pp. 389-414.

73. Филин А.П. Элементы теории оболочек. Изд. второе, дополн. и перераб.-JI.: Стройиздат, 1975,-с. 256.

74. Штаерман И.Я. Устойчивость оболочек. Труды Киевского авиац. ин-та, 1936, № 1.93и