автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Расчет квазицилиндрических оболочек на прочность и устойчивость

На правах рукописи

ЛЕ ВАН IXАНЬ

РАСЧЕТ КВАЗИЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК НА ПРОЧНОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 2006

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Московском государственном строительном университете

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Амосов Александр Александрович.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Шапошников Николай Николаевич.

кандидат технических наук, профессор Колкунов Николай Вячеславович.

Ведущая организация: Российский Университет Дружбы Народов

Защита состоится "21" ноября 2006г. в 15 час.ЗО мин. на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при ГОУ ВПО Московском государственном строительном университете по адресу: 113114 Москва, Шлюзовая набережная, д. 8, ауд. № 608.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Московского государственного строительного университета.

Автореферат разослан "^О' октября 2006г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. В данной диссертации рассматриваются вопросы, разработки методики расчета квазицилиндрических оболочек, имеющих большое, применение для практического приложения в целом ряде отраслей -строительстве, машиностроении, авиа- и кораблестроении и др.

В связи с этим, несомненный интерес представляют вопросы, связанные с построением теории и разработкой методов расчета на прочность и устойчивость квазицилиндрических оболочек, как специфического класса оболочек вращения, отличающегося свойствами обобщенной пологости по отношению к цилиндрическим оболочкам. В отличие от цилиндрических оболочек, для которых вопросы потери устойчивости, как в линейной, так и в геометрически нелинейной постановке достаточно подробно изучены и описаны в многочисленных работах, число исследований по .расчету квазицилиндрических невелико и, по сути дела, охватывает лишь направление, связанное с применением полубезмоментной теории.

В связи с изложенным, а также с учетом необходимости более подробно исследования. вопросов --прочности и устойчивости квазицилиндрических оболочек, выбор темы предлагаемой работы представляется актуальной задачей. . г-Цель диссертационной работы состоит в следующем:

- формулировка основных уравнений теории тонких упругих квазицилиндрических оболочек на базе более общей теории обобщенно пологих оболочек;

- разработка методики прочностного расчета квазицилиндрических оболочек на основе метода расчленения А.Л. Гольденвейзера;

• - построение разрешающих уравнений технической теории расчета квази-цилйндрических оболочек;

- решение ряда задач статики и устойчивости квазицилиндрических оболочек и сопоставление полученных результатов с известными результатами.

Научная новизна работы : 1. На основе общей -концепции обобщенной пологости поверхностей сформулированы основные уравнения теории тонких упругих квазицилиндрических оболочек положительной и отрицательной гауссовой кривизны.

2. Разработана методика статического расчета квазицилиндрических оболочек, построенная на основе общего метода раздельного применения безмоментной теории и теории краевого эффекта, предложенного в работах А. Л Гольденвейзера.

3. Получены разрешающие уравнения технической теории квазицилиндрических оболочек, на базе которых сформулирована постановка задач потери устойчивости данного класса оболочек при различных внешних воздействиях.

4. Впервые получены аналитические решения статической задачи и потери устойчивости для шарнирно опертых по краям квазицилиндрических оболочек положительной и отрицательной гауссовой кривизны при осевом сжатии и радиальном давлении, а также квазицилиндрической оболочки положительной гауссовой кривизны при осевом растяжении.

Практическая ценность работы. Результаты, полученные в данной работе, могут быть использованы для решения практических задач проектирования данного класса конструкций, а также при проведении научно-исследовательских работ.

Достоверность результатов определяется корректностью математических моделей используемых теорий тонких упругих оболочек, применением современных вычислительных комплексов при решении примеров расчета, сопоставимостью полученных результатов с известными, а также возможностью предельного перехода от полученных решений к известным решениям для цилиндрических оболочек.

Апробация работы была проведена на:

- четвертой международной (IX традиционной) научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и докторантов Московского Государственного Строительного Университета с 20-21 апреля 2006 г.

- заседании кафедры "Строительная Механика" Московского Государственного Строительного Университета 26 апреля 2006 г.

Публикация. Основные положения диссертационной работы опубликованы в трех печатных работах.

Структура и объем работы диссертация. Диссертация включает в себя введение, четыре.главы и заключение, изложена на 139 страницах машинописного текста, включая 41 рисунков, 3 таблицы и список литературы из 141 наименований. Приложение включает 34 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, определена цель работы, ее научная новизна и практическая ценность работы.

В первой главе дается краткий литературный обзор работ, посвященных расчету квазицилиндрических оболочек. Описывается предыстория постановки задачи, опирающейся на фундаментальные, исследования в области разработки общей теории и методов расчета оболочек. В их числе следует отметить работы Алуяэ Н.А, Алексеева С.А., Алфутова Н.А, Амбарцумяна С.А., Амосова A.A., Андреева Л.В., Бидермана B.JL, Биргера И.А., Болотина В.В., Валишвили Н.В., Власова В.З., Воровича И.И., Вольмира A.C., Галимова К.З., Гольденвейзера A.JL, Григолюка Э.И., Гузя А.Н., Доннелла JI.H., Иванова В.Н., Кана С.Н., Кармишина

A.B., Кильчевского H.A., Койтера В.Т., Колкунова Н.В., Корнишина М.С., Кри-вошапко С.Н., Крысько В.А., Лурье А.И., Лява А., Муштари Х.М., Мяченкоза

B.И., Новожилова В.В., Огибалова П.М., Папковича И.Ф., Пастернака П.Л., Петрова В.В., Рекача В.Г., Ржаницына А.Р.„ Терегулова И.Г., Тимощенко С.П., Тов-стика П.Е., Филина А.П., Флюгте В.', Черниной B.C., Черных К.Ф., и многих других.

Выделены немногочисленные работы по устойчивости квазицилиндрических оболочек С.Н. Кана, Ю.Я. Тярно, П.Е. Товстика и других, где использовалась полубезмоментная теория цилиндрических оболочек.

На основе проведенного анализа сформулированы основные цели и задачи диссертационной работы.

Вторая глава посвящена изложению основных положений по формулировке задач статики и устойчивости обобщенно пологих оболочек. Вводится понятие обобщенно пологой поверхности G*, которая определяется как поверхность, зада-

ваемая радиус-вектором г*=Г(с*20(2)п, где г- радиус-вектор некоторой модельной поверхности в, а функция Т] (а1,а2) гауссовых координат, связанных с этой поверхностью, определяет степень отклонения рассматриваемой поверхности в* от модельной поверхности в. Для частного случая модельной поверхности в виде плоскости и с учетом предположения о малости отклонения Г| (а^о^) получается традиционное определение пологой поверхности.

Показано, что при введении условий обобщенной пологости поверхности

в*

•'-•■ 1±т]кн«1 (1)

Коэффициенты первой и второй квадратичной форм рассматриваемой поверхности а^ и Ь* могут быть определены через соответствующие коэффициенты модельной поверхности с помощью простых выражений вида

* и* и - ,„ч

ау^ад; (2)

В формулах (1) приняты следующие обозначения:

к» - кривизны нормальных сечений модельной поверхности; 1 3

V: =--^ = 1, 2), где А; - параметры Ляме гауссовой системы координат (а! ,а2), введенной на модельной поверхности.

Основные уравнения простейшего варианта теории тонких упругих обобщенно пологих оболочек представлены в следующем виде. Уравнения равновесия

-ААД + А,Ай =0,

йх^ 1> да] да^ ' дщ J ^ % ^ 41

+Яз=0,, (3)

..^12 ^22/

(10 = 1,2)

Геометрические уравнения 1 ЗА:

1 а1;____

А1 сЦ A¡Aj дс^ } Яц '

-\2

_

А, 5

А 2 да

2

1 'ОД

Ь-А.

А! дах

^-12

1 5А:

А) За; А,^ да^ } 1Г А] 6 ( уЛ+А2_д_(

АгЗо^ДА^ А15аДА2^

1 сНУ

где

А да, Яу

Физические уравнения

Т^В^+у^), Б

т-у) ~г\2>

(5)

В уравнениях (3), (4) для геометрических параметров А* и в целях упрощения написания опущены обозначения (*•), которые в соответствии с теорией обобщенно пологих поверхностей следует принимать в виде:

А: = А:

1+Л; к; „к, 1 д2ц

1 ал

а ?а«Г

(6)

А|А2 даха2

где А( и - геометрические параметры модельной поверхности.

.. Для решения; статических задач разработан метод, основанный на раздельном применении безмоментной теории и теории простого краевого эффекта (метод расчленения А.Л. Гольденвейзера).

Сформулированы постановки задач для определения решений основного напряженного состояния и решений типа простого краевого эффекта.

При дополнительном предположении о нулевой гауссовой кривизне модельной поверхности

|К| = |кпк22-к22| = 0 / (7)

или в случае быстрой изменяемости напряженно-деформированного состояния, что характерно для задач потери устойчивости, может быть построена техническая теория обобщенно пологих оболочек, разрешающая система которой представляется в виде совместной системы двух уравнений относительно функции прогиба и функции напряжений ф:

ОУ2У2\у-У£ф = яп,

ЕЬ

где V - оператор Лапласа

1

да,

А2 д V А1 ^

д Г А) д ба2 да2

(8)

(9)

оператор В.З. Власова

V

1

АгА2

да1

оа.

—ки — ч А1 - да

1 /

д [,* д

+- к12 —

да2да

и

да1

да.

да-1

(10)

где ку - кривизны серединной поверхности обобщенно пологой оболочки.

В третьей главе приводятся результаты исследования напряженно-деформированного состояния квазицилиндрических оболочек, рассматриваемых как обобщенно пологие относительно цилиндрической поверхности. Расчетная схема квазицилиндрической оболочки показана на рис. 1.

Для таких оболочек коэффициенты первой и второй квадратичных форм определяются следующими выражениями:

А,=1; А2=г; к, = -г"; к2 Л. где г = Я = (11) 1

Рис. 1. Расчетная схема квазицилиндрической оболочки

При этих параметрах, уравнения основного напряженного состояния для квазицилиндрических оболочек'представлены в следующей форме:

уравнения равновесия:

-^^-г'Т, +— + гр1 = О, гг"Т, -Т2 +гр3 = 0.

(12)

геометрические уравнения

е,=-гт— Г"лу, и*

1Тди, , ^ Дае ; г

(13)

1 ди,

+ —

дг^ г:) г.аО

Уравнения моментного напряженного состояния для квазицилиндрических оболочек принимают вид:

уравнения равновесия

|(гМ,)-г'Мг+§ -ГО,=0, ' ■

Ш тех геометрические уравнения:/

(14)

д(дw „

rselr 50 г J т[ dz +Г U

(15)

Xl2" 2

Гг-^ifi—+г'ч TI

Построение аналитического решения безмоментной теории сводится к построению решения уравнения

,д2Ф

гФ'Ч-гг'Ф'-г"-

DQ

• = -r"¿ír(p,-r'p3)dz + r^2+^-] (16)

где Ф - введенная функция напряжений, определяемая выражениями?

т,Л

дФ 59

- Jr(Pi -r'p3)dz

(17)

Решение уравнения (17) принимается в рядах Фурье. Ф = £ Фп sin пер. (18)

П=1

Коэффициенты Фп(г) определяются решением уравнения:

гФ; +2г'Фц +г"п2Ф„ =r"n/r(pln -rp3n)dz + r(p2n -пр3п) (19)

где p¡n - коэффициенты разложения компонентов внешней поверхностной нагрузки в тригонометрические ряды. ■

Решение уравнения (19) строится с помощью программы Maple 9.5. Для иллюстрации приведены некоторые примеры расчета квазицилиндрической оболочки.

Пример 1, Расчет квазицилиндрической оболочки на неосесимметричную нагрузку р3 =р°(L- z)cos0, к = 0.05; 0.0 и -0.05 (рис.2). Результаты расчета представлены на графиках рис.3.

Рис.3 .Графикраспределения усилий при неосесимметричной нагрузке Рг =pl(L-z)cosd

12 ''•'"'■•'".. Пример 2. Расчет квазицилиндрических оболочек с радиусом 11=1.Ом и длиной

Ь=4м на осесимметричные поверхностные нагрузки р[ и р3 (рис. 4). Коэффициенты к = 0.05; 0.033; 0.0 ; -0.033; -0.05.

Результаты определения тангенциальных усилий Т1 и Т2 представлены на рис.5 и рис.6.

Т1/р1 Т2/р1

Рис, 5. График распределения тангенциальных усилий при действии нагрузки /?;

-2.5 —2

г! 1.5 )Е-

+

-к = 0.05 ■ к = 0.033 - к = 0.0

— к »-0.033! -—к = -0.05 I

-0.2 ,-0.1 0 0.1 02 0.3

Т1/рз

! 1 У | / Г--------./>"'• Г п V | 1 чч! ! ; Г.........

л V • ' \ \

Гм ! 1 ' '

! ! -Т 1 ГГ -......../ ......... / /

Т \ «

/ / /у

У ■ 1 1

Рис. б. График распределения тангенциальных усилий..... при действии нагрузки р3

-1 -0.9 -0.8 -0.7 Т2/рЗ

Пример 3. Расчет по методу расчленения. В качестве примеров принят расчет квазицилиндрической оболочки с геометрическими размерами как в примере 1.

Функция перемещения выбрана в виде: \у = [С! этрг + С2 соэ^г]. Результаты расчета представлены на графиках рис.7 и рис.8. Для сравнения приведены результаты, полненные по программе ЛИРА (МКЭ).

Показано, что погрешность составляет величину порядка 0.5-2%, причем наибольшая погрешность получается для решений по теории краевого эффекта.

-0.004 -0.002 0 0.002 0.004 0.006 0.008 Ml/pl

-0.2 -0.16 -0.12 -0.08 -0.04 0 0.04 0.08 Ql/pl

-1.5 -1 -0.5 О T2/pl

0.5 1

Рис. 7.1 'рафик распределения усилий при действии нагрузки p¡ по методу расчленения и по программе ЛИРА (МКЭ)

М1/рз 01/рз

-0.3 -0.2 -0.1 „0 0.1 0.2 0.3 Т1/рЗ

•к=0.05 -к=0.00 лира-

- - - к=-0.05 о ЛИРА

-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 Т2/рЗ

.........к=0.05 ...... - - к=-0.05

—и—к=0.00 о лира

• лира-

Рис. & График распределения усилий при действии нагрузки р3 по методу расчленения и по программе ЛИРА (МКЭ)

В четвертой главе рассматриваются задачи потери устойчивости квазицилиндрических оболочек положительной и отрицательной гауссовой кривизны при действии осевой нагрузки и радиального давления. Уравнения потери устойчивости квазицилиндрических оболочек формулируются на базе использования основных уравнений технической теории, полученных раннее.

1

ЕЬ

(20)

где вычисляется по формуле —

дг'

дУ

2Б'

дгду

Т,°, Т2 и Б0 - усилия, определяемые из решения безмоментной задачи.

Из (20) следует разрешающее уравнение 'потери устойчивости квазицилиндрических оболочек.

(21)

ЪгГ д?

Квазицилиндрические оболочки положительной и отрицательной гауссовой кривизны можно рассматривать как частный, наиболее простой случай обобщенно пологой оболочки, когда в качестве модельной принимается цилиндрическая поверхность - рис.9.

> X

Рис.9. Квазицилиндрические оболочки положительной и отрицательной гауссовой кривизны.

Рассматривались квазицилиндрические оболочки положительной и отрицательной гауссовой кривизны при осевом сжатии, квазицилиндрическая оболочка положительной гауссовой кривизны при осевом растяжении и квазицилиндрические оболочки при радиальном нагружении.

Во всех случаях при проведении численных расчетов принималась квазицилиндрическая оболочка с параметрами :

h/R = 0.01, R/L = 0.25, v = 0.3, k = f/L = 0.05 (22)

( для оболочек отрицательной гауссовой кривизны к - - 0.05). Для шарнирно опертой по краям оболочки решение системы уравнений разыскивается в "виде

2

w = Wmn sin X—sin n9

mn • Т?

.... (23)

...... 2*'

Ф = Fmn sin X—sin n9

. mTlR ■■• ' г. ■

где X --

L

Подставляя (23) в уравнения (21), после несложных преобразований получается следующее алгебраическое выражение

4|V п2!2 + EhR2 [У'+^Т + Гт,»Х2 + Tí»»'1 - 0 (24)

r2L J [V+n2]2 L J.

где для оболочки с образующей, заданной выражением

r = R + ^z(l-^) (25)

кривизны ki и кг определяются следующим образом

к, - -г" = 8k/L; kr=l/r (26)

Формула (24) для каждого отдельно взятого случая нагружения определяет выражение для параметра нагрузки, минимизация которого дает критическое значение этого параметра. В данной работе для нахождения критического параметра

применялся способ построения, кривых равновесных состояний для целочисленных значений параметров шип (способ гирляндных кривых). Для проведения численно-аналитических расчетов использовалась программа Maple 9.5.

р.

Рис.10. Кривые равновесных состояний для. оболочки отрицательной гауссовой кривизны при осевом сжатии.

На рис.10 приведены кривые равновесных состояний р*- ш для различных значений параметра п при осевом сжатии квазицилиндрической оболочки отрицательной гауссовой кривизны. Для рассматриваемой оболочки критическое значение р£р = p/Eh соответствует р£р =0.001155 прит=1, п=3:

Следует отметить, что решение по С.Н.Кану дает р£р =0.001142 при т=1,

п=3. При этом кривые равновесных состояний схожи с кривыми, представлеными на рис.10. Таким образом, в данном случае применение технической теории и по-лубезмоментной теории приводит к практически о д и наковым'результатам.

Вместе с тем, следует отметить, что применение технической теории допускает уточнение полученного решения за счет уточнения решения по безмоментной теории. Так, например, если в рассматриваемой задаче усилия Т°и Т£ определять по уравнениям общей теории тонких оболочек, то критическое значение параметра р^р получается равным р£р = 0.001048, что почти на 10% меньше критического значения, получаемого по приближенным теориям (технической и лолуиезмо-ментной).

В рамках излагаемой теории были получены новые решения задач потери устойчивости квазицилиндрических оболочек положительной гауссовой кривизны при осевом сжатии и осевом растяжении.

Р*

Рис. 11. Кривые равновесных состояний для оболочки положительной гауссовой кривизны при осевом сжатии

На рис.И. приведены кривые равновесных состояний для оболочки с параметрами (22) при осевом сжатии. Нетрудно видеть, что в частном случае не имеет смысла бифуркационная трактовка постановки задачи потери устойчивости, поскольку здесь приходится говорить о возможности неограниченного возрастания перемещений или усилий, что характерно для задач потери устойчивости второго рода. '

Возможность потери устойчивости квазицилиндрической оболочки положительной гауссовой кривизны при осевом растяжении объясняется возникновением сжимающих окружных усилий. На рис.12 приведена кривая равновесных состояний для осевого растяжения квазицилиндрической оболочки положительной гауссовой кривизны с геометрическими параметрами по (22). Потеря устойчивости происходит при р£р = 0.0011524с тремя полуволнами по окружности п=3.

На рис.13 и 14 представлены кривые равновесных состояний для квазицилиндрических оболочек положительной и отрицательной гауссовой кривизны при радиальном давлении.

Рис. 12. Кривые равновесных состояний для осевого растяжения оболочки положительной гауссовой кривизны .

Рис. 13. Криёые равновесных состояний для квазицилиндрической оболочки поло-• -. у, : жителънрй гауссовой кривизны при радиальном давлении.

Рис. 14. Кривые равновесных состояний для квазгщилиндрической оболочки отрицательной гауссовой кривизны при радиальном давлении.

В соответствии с этими графиками кривых, приведенных на рис. 13 было обнаружено, что q£p для оболочки положительной гауссовой кривизны достигается

при т=1, п=6 и = 0.709. Ю-5. Следует отметить, что решение по С.Н.Кану дает

= 0.707.10~5 при т=1, п=6.

Для оболочки отрицательной гауссовой кривизны (рис.14) q£p соответствует m=l, п = 3, при этом qjp = 0.1908.Ю-5, а по решению С.Н. Кана q£p = 0.192.10"5.

В таблицей представлены результаты определения критической нагрузки при осевом сжатии оболочки отрицательной кривизны и результаты определения критических нагрузок при радиальном давлении для оболочек положительной и отрицательной кривизны.

Таблица 1

Метод 1 Метод 2 Метод С.Н. Кана

Ркр 0.001048Eh 0.001155Eh 0.001142Eh

к = -0.05 m ,п m=l,n = 3 m =1, n = 3 m =1, n = 3

Дркр(%) 0 10% 8.9%

qkp 0.00000600Е 0.00000709E 0.00000707E n

к = +0.05 ш, п ' m =1, n = 6 m=l, n = 6 n =7

Aqkp(%) 0 18% . 17.8%

qkp 0.000001905E 0.000001908E 0.000001920E

к = -0.05 ш, п m = 1, n = 3. m= l,n = 3. n = 3.

AqkP(%) 0 0.1% 0.8%

(*) при п — 6, q — 0.000007НЕ

По первому методу безмоментное решение строится из основных уравнений теории квазйцилиндрических оболочек без дополнительных допущений.

По второму методу безмоментное решение строится с учетом введения допущений технической теории обобщенно пологих оболочек.

22

Основные выводы

1. В данной работе на примере квазицилиндрических оболочек положительной и отрицательной гауссовой кривизны предпринята попытка систематизации геометрических представлений, определяющих целесообразность введения понятия обобщенной пологости поверхности.

Обобщенно пологой поверхностью предложено называть поверхность С*,

заданную радиус-вектором Г*=Г(где радиус-вектор г определяет модельную поверхность нулевой гауссовой кривизны), для которой выполняются условия малости отклонения формы в виде 1 + «1.

Показано, что при дополнительном предположении 1 + т|/К{ »1 коэффициенты первой квадратичной формы обобщенно пологой поверхности могут быть приняты равными коэффициентам первой квадратичной формы модельной поверхности а^ = ау , а коэффициенты второй квадратичной формы определяться

выражениями Ц = Ьц + д2Г|/<Эа; да^.

.... 2. Для статического расчета обобщенно пологих оболочек разработана методика расчета, основанная на использовании метода раздельного применения безмоментной теории (метод расчленения А.Л. Гольденвейзера).

Построены системы уравнений безмоментной теории и теории простого краевого эффекта для обобщенно пологих оболочек. Показано, что погрешность предположений,1 принимаемых в методе расчленения, имеет одинаковый порядок с погрешностью предположений теории обобщенно пологих оболочек.

3. На базе общей технической теории тонких упругих оболочек построена разрешающая система уравнений теории обобщенно пологих оболочек, предназначенная для решения задач статики и устойчивости, рассматриваемых в диссертационной работе.

4. На примере:квазицилиндрических оболочек, являющихся предметом исследований данной работы, построены аналитические решения задач расчета по безмоментной теории, реализованные с помощью программы Мар1е 9.5.

Проведено сопоставление результатов расчета квазицилиндрических оболочек средней длины, полученных с помощью предлагаемого метода расчленения, с результатами расчета по МКЭ (программа ЛИРА). Показано, что расхождение результатов не повышает 0.5-2%.

5. С помощью технической теории получены решения ряда известных и новых задач устойчивости квазицилиндрических оболочек положительной и отрицательной гауссовой кривизны.

Показано, что при осевом сжатии квазицилиндрических оболочек отрицательной гауссовой кривизны критические значения параметров нагрузки, полученные с помощью технической теории практически полностью совпадают с результатами расчета по полубезмоментной теории (С.Н.Кана, П.Е.Товстик и др.).

6. Показано, что критическое состояние квазицилиндрических оболочек положительной гауссовой кривизны при осевом сжатии определяется не бифуркацией равновесного состояния, а исчерпанием несущей способности, что свойственно задачам потери устойчивости второго рода.

7. Решена новая задача о потери устойчивости квазицилиндрической оболочки положительной гауссовой кривизны при осевом растяжении. Для оболочки, шарнирно опертой по краям, получено аналитическое выражение для определения критического значения параметра нагрузки.

8. Выявлено влияние параметра кривизны образующей квазицилиндрических оболочек на величину критического параметра нагрузки - для оболочек положительной гауссовой кривизны происходит возрастание этого параметра, а для оболочек отрицательной гауссовой кривизны - существенное его уменьшение.

9. Показано, что в рамках применения технической теории возможно существенное уточнение получаемых результатов за счет использования решений, получаемых с помощью основных уравнений безмоментной теории квазицилиндрических оболочек.

10. Из выражений для определения критических нагрузок для квазицилиндрических можно получить классические формулы для определения критических нагрузок для цилиндрических оболочек путем замены г = II и к - 0 .

Основные положения диссертации и результаты исследований изложены в следующих работах:

1. Jle Ван Тхань - О методах решения задач статики и устойчивоста квазицилиндрических оболочек// Сборник докладов четвертой международной (IX традиционной) научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и докторантов. МГСУ 20-21 апреля 2006.Изд. АСВ.-М.,2006 г. Стр.23г26.

2. Касымов Т.К., Джураев А.Х., Ле Ван Тхань - Вопросы оценки эксплуатацион-. ного состояния железобетонных оболочек сложной конфигурации с учетом нелинейной ползучести// Аспирант и соискатель №4 3(34) 2006 г. ISSN 1608-9014. Изд. СпутникVM.2006 г. Стр. 282-288.

3. Ле Ван Тхань. Устойчивость квазицилиндрических оболочек// Естественные и технические науки №4 2006. ISSN 1684-2626. Изд.Сп>тник+.-М,2р06 г.Стр. 278284. .

КОПИ-ЦЕНТР св. 7: 07: 10429 Тираж 100 экз. Тел. 185-79-54 г. Москва, ул. Енисейская д. 36

Введение

Глава 1. Краткий литературный обзор, цели и задачи исследования

1.1. Краткий литературный обзор

1.2. Основные цели и задачи исследования

Глава 2. Техническая теория обобщенно пологих оболочек

2.1. Геометрия обобщенно пологих оболочек 28 2.2.0сновные уравнения теории обобщенно пологих тонких упругих оболочек

2.3. Применение метода расчленения к расчету обобщенно пологих оболочек

2.4. Применение технической теории для расчета обобщенно пологих оболочек

2.4.1. Основные допущения теории обобщенно пологих оболочек.

2.4.2. Основные уравнения технической теории обобщенно пологих оболочек.

2.4.3. Разрешающая система уравнений технической теории обобщенно пологих оболочек

Глава 3.Статические задачи расчета квазицилиндрических оболочек

3.1. Определение квазицилиндрической оболочки

3.2. Основные уравнения теории упругих квазицилиндрических оболочек.

3.3. Безмоментная теория квазицилиндрических оболочек

3.4. Примеры расчета квазицилиндрических оболочек по безмоментной теории. 62 3.4.1. Неосесимметричное напряженное состояние 62 3.4.2.0сесимметричное напряженное состояние квазицилиндрических оболочек

3.5. Краевой эффект в квазицилиндрических оболочках.

3.5.1. Основные уравнения теории краевого эффекта

3.5.2. Методика построения решения

3.5.3. Результаты расчета

Глава 4. Устойчивость квазицилиндрических оболочек

4.1. Постановка задач устойчивости квазицилиндрических оболочек

4.2. Определение критической нагрузки для квазицилиндрической оболочки

4.3. Устойчивость квазицилиндрических оболочек при осевом сжатии

4.3.1. Осевое сжатие квазицилиндрических оболочек отрицательной гауссовой кривизны

4.3.2. Обсуждение результатов 98 4.3.3.Осевое сжатие квазицилиндрических оболочек положительной гауссовой кривизны

4.4. Устойчивость квазицилиндрической оболочки положительной гауссовой кривизны при растяжении

4.5. Устойчивость квазицилиндрических оболочек при радиальном давлении

4.5.1. Определение критического параметра нагрузки

1-й способ)

4.5.2. Определение критического параметра нагрузки (2-й способ)

4.5.3. Определение параметра критической нагрузки по полубезмоментной теории.

4.5.4. Обсуждение результатов 124 Заключение 126 Список литературы 129 Приложение

Проблема разработки новых теорий и совершенствования методов расчета тонкостенных пространственных конструкций типа пластин, оболочек (своды, резервуары, складки и др.) оставалась и остается в центре внимания ученых, занимающихся вопросами строительной механики и механики твердого тела.

Общепризнано, что проблематика, связанная с решением задач прочности, устойчивости и динамики оболочечных конструкций в рамках теорий типа Кирхгофа - Лява, в основном, является исчерпанной. Поэтому основное внимание уделяется вопросам, требующим уточнения существующих подходов за счет усложнения математических моделей для описания напряженно-деформированного состояния в условиях применения современных композитных материалов при интенсификации внешних воздействий и усложнении их характера.

Вместе с тем, это ни в коей мере не исключает необходимости переоценки и переосмысливания существующих теорий и методик расчета оболочечных конструкций, связанных с прогрессирующим совершенствованием вычислительных средств, стимулирующих развитие численно-аналитических (или аналитично-численных) методов, способствующих, с одной стороны, более углубленному анализу существующих известных решений, а с другой -расширяющих область применимости классической теории.

Актуальность темы диссертации.

В данной диссертации рассматриваются вопросы разработки методики расчета квазицилиндрических оболочек, имеющих большое применение для практического приложения в целом ряде отраслей - строительстве, машиностроении, авиа- и кораблестроении и др.

В связи с этим несомненный интерес представляют вопросы, связанные с построением теории и разработкой методов расчета на прочность и устойчивость квазицилиндрических оболочек, как специфического класса оболочек вращения, отличающегося свойствами обобщенной пологости по отношению к цилиндрическим оболочкам. В отличие от цилиндрических оболочек, для которых вопросы потери устойчивости, как в линейной, так и в геометрически нелинейной постановке достаточно подробно изучены и описаны в многочисленных работах, число исследований по расчету квазицилиндрических невелико и, по сути дела, охватывает лишь направление, связанное с применением полубезмомецтной теории.

В связи с изложенным, а также с учетом необходимости более подробно исследования вопросов прочности и устойчивости квазицилиндрических оболочек, выбор темы предлагаемой работы представляется актуальной задачей.

Цель диссертационной работы состоит в следующем:

- формулировка основных уравнений теории тонких упругих квазицилиндрических оболочек на базе более общей теории обобщенно пологих оболочек;

- разработка методики прочностного расчета квазицилиндрических оболочек на основе метода расчленения A.JI. Гольденвейзера;

- построение разрешающих уравнений технической теории расчета квазицилиндрических оболочек;

- решение ряда задач статики и устойчивости квазицилиндрических оболочек и сопоставление полученных результатов с известными результатами.

Научная новизна работы

1. На основе общей концепции обобщенной пологости поверхностей сформулированы основные уравнения теории тонких упругих квазицилиндрических оболочек положительной и отрицательной гауссовой кривизны.

2. Разработана методика статического расчета квазицилиндрических оболочек, построенная на основе общего метода раздельного применения безмоментной теории и теории краевого эффекта, предложенного в работах A.J1. Гольденвейзера.

3. Получены разрешающие уравнения технической теории квазицилиндрических оболочек, на базе которых сформулирована постановка задач потери устойчивости данного' класса оболочек при различных внешних воздействиях.

4. Впервые получены аналитические решения статической задачи и потери устойчивости для шарнирно опертых по краям квазицилиндрических оболочек положительной и отрицательной гауссовой кривизны при осевом сжатии и радиальном давлении, а также квазицилиндрической оболочки положительной гауссовой кривизны при осевом растяжении.

Практическая ценность работы. Результаты, полученные в данной работе, могут быть использованы для решения практических задач проектирования данного класса конструкций, а также при проведении научно-исследовательских работ.

Достоверность результатов определяется корректностью математических моделей используемых теорий тонких упругих оболочек, применением современных вычислительных комплексов при решении примеров расчета, сопоставимостью полученных результатов с известными, а также возможностью предельного перехода от полученных решений к известным решениям для цилиндрических оболочек.

Основное содержание диссертации представлено в четырех главах.

В первой главе дается краткий обзор литературных источников, посвященных расчету квазицилиндрических оболочек. Описывается предыстория постановки задачи, опирающейся на фундаментальные исследования в области разработки общей теории и методов расчета оболочек. Особое внимание уделено работам С.Н. Кана и его последователей, в которых рассмотрены вопросы применения полубезмоментной теории для решения задач устойчивости оболочек. В заключение, на основе проведенного анализа сформулированы основные цели и задачи диссертационной работы.

Вторая глава диссертации посвящена изложению основных положений технической теории обобщенно пологих оболочек. Вводится понятие обобщенно пологой поверхности, когда заданная поверхность удовлетворяет определенным требованиям - условиям пологости относительно некоторой модельной поверхности, принимаемой в виде поверхности нулевой гауссовой кривизны. Показано, что при этом коэффициенты первой и второй квадратичных форм заданной поверхности с помощью простых формул могут быть определены через соответствующие геометрические параметры модельной поверхности.

На основе общей теории тонких упругих оболочек получены основные уравнения теории обобщенно пологих оболочек.

Для решения статических задач предлагается использовать метод расчленения A.JI. Гольденвейзера, основанный на раздельном применении без-моментной теории и теории краевого эффекта. Показано, что погрешность вводимых при этом допущений определяется величинами того же порядка, как и допущений технической теории оболочек.

Приводится система, основных уравнений технической теории обобщенно пологих оболочек, которая сводится к разрешающей системе из двух уравнений относительно функции прогиба и функции напряжений.

В третьей главе приводятся результаты исследования напряженно-деформированного состояния квазицилиндрических оболочек, рассматриваемых как обобщенно пологие относительно цилиндрической поверхности.

Описывается методика построения аналитического решения безмо-ментной теории, основанная на применении программы Maple 9.5.

Приводятся результаты расчета квазицилиндрической оболочки, выполненного по методу расчленения при действии поверхностной нагрузки общего вида. Полученные результаты сопоставляются с результатами расчета по программе ЛИРА (МКЭ). Показано, что погрешность составляет величину порядка 0.5-2%, причем наибольшая погрешность получается для решений по теории краевого эффекта.

В четвертой главе рассматриваются задачи потери устойчивости квазицилиндрических оболочек положительной и отрицательной гауссовой кривизны при действии осевой нагрузки и радиального давления. Уравнения потери устойчивости квазицилиндрических оболочек формулируются на базе использования основных уравнений технической теории, полученных раннее.

Приводятся аналитические выражения для определения критического параметра осевой сжимающей нагрузки для квазицилиндрических оболочек отрицательной гауссовой кривизны с шарнирно опертыми краями. Полученные результаты сопоставлены с результатами расчета по полубезмоментной теории.

Показано, что потеря устойчивости при осевом сжатии квазицилиндрических оболочек положительной гауссовой кривизны не сопровождается бифуркацией и определяется потерей несущей способности (потеря устойчивости второго рода).

Приводится решение новой задачи о потере устойчивости квазицилиндрической оболочки положительной гауссовой кривизны при осевом растяжении.

Дается аналитическое выражение для критического параметра радиального давления шарнирно опертых квазицилиндрических оболочек. Приводится обсуждение полученных в данной главе результатов и их сопоставление с результатами расчетов по полубезмоментной теории, а также с результатами расчета соответствующих цилиндрических оболочек.

В заключении сформулированы основные выводы по результатам проведенных в диссертации исследований.

Диссертация изложена на 173 страницах машиниписного теста, включая список литературы из 141 наименований, 41 рисунков, 3 таблицы и приложения.

Апробация работы была проведена на:

- четвертой международной (IX традиционной) научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и докторантов Московского Государственного Строительного Университета с 20-21 апреля 2006 г.

- заседании кафедры "Строительная Механика" Московского Государственного Строительного Университета 26 апреля 2006 г.

Публикация. Основные положения диссертационной работы опубликованы в трех печатных работах.

В заключение приведем некоторые соображения по поводу выбранного направления и темы проведенного исследования, а также сформулируем основные выводы, вытекающие из полученных результатов.

1. В данной работе на примере квазицилиндрических оболочек положительной и отрицательной гауссовой кривизны предпринята попытка систематизации геометрических представлений, определяющих целесообразность введения понятия обобщенной пологости поверхности.

Обобщенно пологой поверхностью предложено называть поверхность

G*, заданную радиус-вектором Г*=Г+Т|(а1,0(2)11 (где радиус-вектор г определяет модельную поверхность нулевой гауссовой кривизны), для которой выполняются условия малости отклонения формы в виде 1 + VjTiVjTi»1.

Показано, что при дополнительном предположении 1 + r|/Rj«1 коэффициенты первой квадратичной формы обобщенно пологой поверхности могут быть приняты равными коэффициентам первой квадратичной формы модельной поверхности ау = ау, а коэффициенты второй квадратичной формы определяться выражениями Ц = bjj + Э2г|/да; 5otj.

2. Для статического расчета обобщенно пологих оболочек разработана методика расчета, основанная на использовании метода раздельного применения безмоментной теории (метод расчленения А.Л. Гольденвейзера).

Построены системы уравнений безмоментной теории и теории простого краевого эффекта для обобщенно пологих оболочек. Показано, что погрешность предположений, принимаемых в методе расчленения, имеет одинаковый порядок с погрешностью предположений теории обобщенно пологих оболочек.

3. На базе общей технической теории тонких упругих оболочек построена разрешающая система уравнений теории обобщенно пологих оболочек, предназначенная для решения задач статики и устойчивости, рассматриваемых в диссертационной работе.

4. На примере квазицилиндрических оболочек, являющихся предметом исследований данной работы, построены аналитические решения задач расчета по безмоментной теории, реализованные с помощью программы Maple 9.5.

Проведено сопоставление результатов расчета квазицилиндрических оболочек средней длины, полученных с помощью предлагаемого метода расчленения, с результатами расчета по МКЭ (программа ЛИРА). Показано, что расхождение результатов не повышает 0.5-2%.

5. С помощью технической теории получены решения ряда известных и новых задач устойчивости квазицилиндрических оболочек положительной и отрицательной гауссовой кривизны.

Показано, что при осевом сжатии квазицилиндрических оболочек отрицательной гауссовой кривизны критические значения параметров нагрузки, полученные с помощью технической теории практически полностью совпадают с результатами расчета по полубезмоментной теории (С.Н.Кана, П. Е.Товстик и др.).

6. Показано, что критическое состояние квазицилиндрических оболочек положительной гауссовой кривизны при осевом сжатии определяется не бифуркацией равновесного состояния, а исчерпанием несущей способности, что свойственно задачам потери устойчивости второго рода.

7. Решена новая задача о потери- устойчивости квазицилиндрической оболочки положительной гауссовой кривизны при осевом растяжении. Для оболочки, шарнирно опертой по краям, получено аналитическое выражение для определения критического значения параметра нагрузки.

8. Выявлено влияние параметра кривизны образующей квазицилиндрических оболочек на величину критического параметра нагрузки - для оболочек положительной гауссовой кривизны происходит возрастание этого параметра, а для оболочек отрицательной гауссовой кривизны - существенное его уменьшение.

9. Показано, что в рамках применения технической теории возможно существенное уточнение получаемых результатов за счет использования решений, получаемых с помощью основных уравнений безмоментной теории квазицилиндрических оболочек.

1. Abell М, Braselton J. Maple V by Example, Second Edition. — Academic Press, 1998.

2. Алумяэ H.A. Одна вариационная формулировка для исследования тонкостенных упругих оболочек в послекритической стадии // ПММ. Т. 14. 1950. Вып. 2.

3. Алумяэ Н.А. Дифференциальные уравнения состояния равновесия тонкостенных упругих оболочек в послекритической стадии // ПММ. Т. 13. 1949. Вып.1.

4. Амбариумян С.А. Теория анитропных оболочек, М. Наука, 1961г. 384с.

5. Амбариумян С.А., Бидерман В.Л.,Биргер И.А., Болотин В.В., Вольмир А.С., Качаное JI.M., Пановко Я.Г., Федосьев В.И. Прочность Устойчивость- Колебание, Справочник - М., Издат. Машиностроение. 1968 г. 3 тома.

6. Амбариумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек, М.: Наука, 1974.

7. Амосов А.А. Расчёт тонких упругих оболочек по деформированному состоянию. "Строи.мех. и расчёт сооружений" №6, 1982 г. стр. 20-23.

8. Амосов А.А. Об использовании уточненных теорий пластин и оболочек при исследовании свободных колебаний. "Строительная механика и расчёт сооружений" №1,1990 г., стр. 14-17.

9. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. Изд. Высшая школа, Москва, 1994 г.

10. Андреев JI.B. Нелинейное деформирование и устойчивость цилиндрических оболочек при неосесимметричном продольном сжатии. "Строительная механика и расчёт сооружений" №2, 1986 г., стр. 37-39.

11. Andersson G. Applied Mathematics with Maple. — Chartwell-Bratt, 1997.

12. Articolo G. A. Partial Differential Equations and Boundary Value Problems with Maple V. Academic Press, 1998 r.

13. Банков В. Н. и др. Железобетонные конструкции. Специальный курс.-М: Стройиздат, 1981.

14. Байков В. Н., Сиголов Э. Е. Железобетонные конструкции.-М.: Стройиздат, 1985.

15. Бандурин Н.Г. Расчёт непологих оболочек методом конечных элементов с учётом физической нелинейности. "Строительная механика и расчёт сооружений" №4,1984 г., стр. 10-13.

16. Бахвалов Н. С. Численные методы.—М.: Наука, 1975.

17. Беспальный В.И. Приближённый метод расчёта цилиндрических оболочек. "Строительная механика и расчёт сооружений" №4, 1963 г.

18. Безухое Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести.— М.: Высшая школа, 1968.

19. Бидерман В. JI. Механика тонкостенных конструкций. -М.: Машиностроение, 1977

20. Бобровник А. Е. К расчёту оболочек методом сил. "Строительная механика и расчёт сооружений" № 5,1962 г.

21. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Гостеориздат. 1961.- 339 с.

22. Броуде Б.М. Об устойчивости несовершенных цилиндрических оболочек при осевом сжатии. Стр. мех. и расчет сооруж. 1967, № 5.

23. Бурмин З.И. Агрисников И.М. Артюхин Г.А. Программный комлекс СУМРАК. Красноярк, КПИ, 1982 г.

24. Валишвили Н.В. Методы расчёта оболочек вращения на ЭЦВМ, Изд. Машиностроение, Москва, 1976.

25. Ванюшенков М.Г. Синицын С.Б. Малыха Г.Г. Расчёт строительных конструкций на ЭБМ методом конечных элементов. М. МИСИ, 1998, -116с.

26. Васильков Б.С Расчёт оболочек с несимметричным контуром. АСиА СССР, ЦНИИСК, научное сообщение, М. 1962 г.

27. Веку а И.Н. Некоторые общие методы построения теории оболочек. М.: Наука, 1982.286 с.

28. Власов В.З. Новый практический метод расчёта складчатых покрытий и оболочек. Строй.пром. 1932 № 11 и 12.

29. Власов В.З. Безмоментная теория тонких оболочек, очерченных по поверхности второго порядка ПММ , Т. XI, вып. 4. 1947.

30. Власов В.З. Общая теория оболочек и её приложения в технике. М. Гос-техиздат. 1949 г.

31. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы. М.Гостехиздат. 1958 г.

32. Власов В. 3., Леонтьев Н. Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании.— М.: Физматгиз, 1960.

33. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М. Гостехиздат. 1956 г.

34. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. М. Физматгиз. 1963 г.

35. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем.- М.: Наука, 1967. -984 с.

36. Вольмир А.С. Устойчивость пластинок и оболочек . Строительная механика в СССР 1917-1967 . Стройиздат Москва 1969- стр. 259-279.

37. Ворович И.И. О существовании решений в нелинейной теории оболочек // Изв. АН СССР. Сер. Матем. Т. 19.1955. № 4. с. 203- 206.

38. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. ML Наука. 1989. 376 с.

39. Гвоздев А. А. К расчету тонкостенных цилиндрических оболочек.— Строительная промышленность. 1933, № I.

40. Годзервич Э.В. Расчёт замкнутой цилиндрической оболочки, подкрепленной ребрами, с учётом физической и геометрической нелинейности-<(Строительная механика и расчёт сооружений" №5, 1983 г. Стр. 8-11.

41. Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.— Успехи математических наук, 16. 1961, №3.

42. Голованов А.И., Корнишин М.С. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек, Казань, КФТИ, 1990 г. 269с.

43. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек-М. Гостехиздат. 1953 г.

44. Гольденвейзер A.JI. Методы обоснования и уточнения теории оболочек // ПММ . 1968. 32. № 4. С. 684-695.

45. Григолюк Э.И., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек . М. Наука, 1978 -359 с.

46. Григолюк Э.И. Нелинейные колебания и устойчивость пологих оболочек и стержней. Изв. АН СССР, Отд. техн. наук -1955-№ 3-е 33-68.

47. Григолюк Э.И. Мамай В.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. Москва. Изд. "Физико-математическая литература". 1997 г. -272с.

48. Гузь А.Н., Бабич И. Ю. Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек. Киев, Виша школа, 1980. 167 с.

49. Давиденко Д. Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений // ДАН СССР. Т. 88. 1953. Вып. 4.

50. Дженкинс Р.С. Вариационный метод расчёта цилиндрических оболочек. Сб. Второй международный конгресс по тонкостенным оболочкам, Гос-стройиздат. 1960 г.

51. Donnell L.N. A new theory- for buckling of thin cylinders under axial compression and bending / Trans. ASME. 1934. 56.

52. Дьяконов В.П. Maple в математике, физике и образовании, Изд. Солон-Пресс, Москва, 2003.

53. Золотое А.Б., Акимов П.А. Некоторые аналитико-численные методы решения краевых задач строительной механики, Изд. АСВ, М. 2004.

54. Иванов А.С., Трушин С.И. Разработка и оценка вычислительных алгоритмов исследования устойчивости нелинейно деформируемых оболочек. "Строительная механика и расчёт сооружений" №1, 1991 г., стр. 53-58.

55. Игнатьев О.В. Вариационно-параметрический метод в нелинейной теории оболочек ступенчато-переменной толщины. Волгоград, ВолГАСА. 2001 г. -210с.

56. Илюшин А.А. Пластичность. М.Гостехиздат. 1948 г. 376с.

57. Ильин В. П., Карпов В. В., Масленников А. М. Численные методы решения задач строительной механики: Справ, пособие. Минск: Высшая школа, 1990. -349 с.

58. Кан С.Н. Прочность замкнутых и открытых цилиндрических оболочек, расчёт пространственных конструкций, вып. 5, Госстройиздат. 1961 г.

59. Кан С.Н. Строительная механика оболочек, М. Издат. Машиностроение, 1966 г.

60. Кан С.Н. Устойчивость цилиндрических оболочек с криволинейными образующими при радиальном давлении. "Строительная механика и расчёт сооружений" №5, 1988 г. Стр. 32-34.

61. Кан С. Н., Бырсан К. Е., Алифанов О. А., Буденко Ю. И., Ингульцев В. JI. Устойчивость оболочек. Харьков. Издат. ХУ. 1970. -153 с.

62. Кантор Б. Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек. Киев: Наукова думка, 1971.

63. Кантин Г., Клаф Р. В. Искривленный дискретный элемент цилиндрической оболочки.—Ракетная техника и космонавтика. 1968, № 6, Т.6

64. Канчели Н.В. Строительные пространственные конструкции. М. Изд-во АСВ, 2003. 111 с.

65. Кармишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М.: Машиностроение, 1975.356 с.

66. Карпов В.В. Игнатьев, О.В.Сальников А.Ю. Нелинейные математические модели деформирования оболочек переменной толщины и алгоритмы их исследования. М. АСВ. 2002г. 420 с.

67. Карпов В. В. Геометрически нелинейные задачи для пластин и оболочек и методы их решения. М.: Изд-во АСВ, 1999. - 105 с.

68. Карпов В.В., Петров В.В. Уточнение решения при использовании шаговых методов в теории гибких пластинок и оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. 1975. №5. С. 189-191.

69. Карпов В.В., Игнатьев О.В. Метод последовательного изменения кривизны // Мат. моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. / СПбГАСУ. СПб., 1996. Вып. 2. С. 131-135.

70. Килъчевский Н.А. Основы аналитической механики оболочек. Киев: 1963.354 с.

71. Klima R., Sigmon N., Stitzinger E. Applications of Abstract Algebra with Maple. —CRC Press, 2000.

72. Коган B.A. Об одном практическом способе расчёта цилиндрических оболочек. "Строительная механика и расчёт сооружении' № 5, 1962 г.

73. Koiter W. Т. A Consistent First Approximation in the General Theory of Thin Elastic Shells. Theory of Thin Elastic Shells, ed., North-Holland Publ. Co., 1960, pp. 12-33.

74. Koiter W.T. On the nonlinear theory of thin elactic shell. Parts I, II, III Proc. Konikl nederl. akad. wet., 1966, vol B69, №l,pp 1-17; pp. 18-32; pp. 33-54.

75. Колкунов H.B. Основы расчёта упругих оболочек, М, Высшая школа, 1987 г.-256с.

76. Колкунов Н. В. К расчету тонкостенной гиперболической градирни,— НДВШ, Строительство. 1959, № 2.

77. Колкунов Н. В. Расчет оболочек вращения отрицательной кривизны на периодическую нагрузку.— Сб.: Пластинки и оболочки.— Киев: Нау-кова думка, 1962.

78. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М: Наука. 1974. 831с.

79. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и оболочек и методы их решения М. Наука. 1964 г.

80. Косицын С. Б. Метод конечных элементов в перемещениях для расчета оболочек произвольной формы -Торсовые поверхности и оболочки. Справочник под ред. С.Н. Кривошапко. М.: Изд. во РУДН, 1991. - С. 188 -196.

81. Кузнецов В.В., Левяков С.В. Исследование нелинейного напряжённо-деформированного состояния разветвленных оболочек. "Строительная механика и расчёт сооружений" №1, 1992 г. стр. 10-12.

82. Леонтьев Н.Н., Соболев Д.Н. Вариационные принципы строительной механики и основные теоремы об упругих системы. М. МИСИб 1980 -52с

83. Леонтьев Н.Н. Соболев Д.Н. Амосов А.А. Основы строительной механики стержневых систем. М., Издат-во АСВ 1996, 541с.

84. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела.—М.: Наука, 1977.

85. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики М. Стройиздат, 1978-208 с.

86. Лурье А.И. Общая теория упругих тонких оболочек // ПММ. Т. 4. 1940. Вып. 2.

87. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.; Л.: Гостехиз-дат. 1947. 252 с.

88. Львин Я. Б. Основы теории оболочек.—Изд-во Воронежского ун-та, 1966.

89. ЛявА. Математическая теория упругости. ОНТИ, 1935 г.

90. Милейковский Е.И. Райзер В Д. Достановка С.Х. Нелинейные задачи расчёта оболочек покрытия. М. Строииздат. 1976 г.

91. Милейковский И.Е. Расчёт оболочек и складок методом перемещений, Академия строительства и архитектуры, 1960 г.

92. Myuimapu Х.М. Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек, Изд. Таткниго, Казань, 1957.

93. Myuimapu X. М. Некоторые обобщения теории тонких оболочек с приложением к задаче устойчивости упругого равновесия, Изв. физ.-мат. о-ва при Каз. гос. ун-те (1938), 71—97, Прикл. мат. и мех. 2, № 4 (1939);

94. Myuimapu Х.М. Некоторые нелинейные задачи теории упругих оболочек и эффективные методы их решения-Теория пластин и оболочек- Труды II всесоюзной конференции. Изд. АНУзССР. Киев 1962.

95. Мячеиков В.И. Алгоритм вычисления матриц жесткости оболочечных конечных элементов в геометрически нелинейной постановке. "Строительная механика и расчёт сооружений" №5, 1989 г., стр. 61-65

96. Никиреев В.М. К расчёту цилиндрических резервуаров, имеющих угловые несовершенства. "Строительная механика и расчёт сооружений" №2, 1986 г., стр. 12-16.

97. Новожилов В.В. Общая теория оболочек -JI. Судпромгиз. 1951 г.

98. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек.—JL: Судпромгиз, 1962.

99. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948.212 с.

100. Огибалов П. М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек. М. Изд-во Московского университета. 1963.419 с.

101. Огибалов П. М., Грибалов В. Ф. Термоустойчивотсь пластин и оболочек. М. Издат. МГУ, 1968. - 520 с.

102. Огибалов П. М., Колтунов М. А. Пластинки и оболочки.— М.: Изд-во МГУ, 1969.

103. Папкоеич П.Ф. Расчетные формулы для проверки устойчивости цилиндрической оболочки прочного корпуса подводной лодки // Бюллетень научно-технического комитета УМВС РККА. 1929. Вып 2. С.113-123.

104. Пастернак ПЛ. Практический расчёт складок и цилиндрических оболочек с учётом изгибающих моментов,(< Проект и стандарт" 1933 г., №2.

105. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек.-Саратов, издат. Сарат, Ун-та, 1975 г.-119с.

106. Петров В. В., Овчинников И. Г., Ярославский В. И. Расчет пластинок и оболочек из нелинейно-упругого материала. Саратов: Изд-во Сарат. унта, 1976.-136 с.

107. Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах Научные доклады высшей школы: Строительство. 1959. № 1.

108. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. 119с.

109. Погорелое А. В. Геометрическая теория устойчивости оболочек.—М.: Наука, 1966.

110. Попов Н.Г. Приближённый расчёт длинных цилиндрических оболочек. "Расчёт пространственных конструкций". М., вып. 6, 1961.УШ, 1962 г.

111. Постное В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. Д.: Судостроение, 1977. 277 с.

112. Преображенский И. Н. Устойчивость пластин и оболочек с отверстиями. М. Издат. Машиностроение. 1981. -191 с.

113. Пшеничное Г.И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластин. М.: Наука, 1982.352 с.

114. Рекач В. Г. Основы расчета тонкостенных пространственных систем.— М.: Изд-во УНД им. П. Лумумбы, 1963.

115. Ржаницып А.Р. Уточнение моментной теории пологих оболочек В сб. Исследование по расчёту оболочек, стержневых и массивных конструкций. М., Гостройидат. 1963 г.

116. Ржаницын А.Р. Уравнение упругих оболочек в прямоугольных координат. "Строительная механика и расчёт сооружений" №1, 1977 г.

117. Ржаницын А.Р. Расчёт упругих оболочек. М., 1977 г.

118. Ржаницын А. Р. Строительная механика.—М.: Высшая школа, 1982.

119. Ржаницын А.Р. Устойчивость равновесия упругих систем,- М. Гостройиз-дат, 1955, 175с.

120. Серое Н. А. Устойчивость оболочек вращения при некоторых видах нагрузок. Л. Издат. ЛГУ. 1974. - 207 с.

121. Смирное В. И. Курс высшей математики.—М.: Наука, 1967. Т. 2.

122. Стругацкий Ю.М. К расчёту цилиндрических оболочек произвольного сечения. "Расчёт пространственных конструкций". М., вып. 8,1962 г.

123. Сумбак А.А. Экспериментальное исследование предварительно напряженных цилиндрических ж.б. оболочек. Труды ТПИ, № 163,Талин,1959 г.

124. Терегулов И.Г. Изгиб и устойчивость тонких пластин и оболочек при ползучести. М. издат. Наука. 1969 г.

125. Тимошенко С. П. Устойчивость стержней, пластин, оболочек, М., Наука, 1971 г. 808 стр.

126. Тимошенко С. П., Войновский-Кршер С. Пластинки и оболочки.— М.: Физ-матгиз, 1963.

127. Тимошенко С.П. К вопросу о деформации и устойчивости цилиндрической оболочки // Изв. Петроградского электротехнического института. 1914. №11. С. 267-281.

128. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. М. Наука. Физматгиз, 1995

129. Theodor Krauthammer, Eduard Ventsel . Thin plates and shell- Theory, Analysis and Applications . Publisher: New York : Marcel Dekker, 2001.

130. Тярно Ю.Я. Вопросы работы и расчёта квазицилиндрических и цилиндрических железобетонных оболочек. МИСИ, докторская диссертация, 1981 г.

131. Тярно Ю.Я. Расчёт квазицилиндрическик оболочек средней длины- Труды ТПИ -№357, Талин 1973 г.

132. Файнберг С. М. К вопросу о построении моментных теорий цил. оболочек (тонкостенных).—Проект и стандарт. 1936, № 12.

133. Филин А.П. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат, 1987. 384 с.

134. Флюгге В. Статика и динамика оболочек, М., Стройиздат. 1961 г.

135. Хемчуков P. A. Kennep X., Прокопьев В. И. Применение метода конечных элементов к расчёту конструкций. М., Издат. АСВ, 1994 г.

136. Холанд И. Design of circular cylindrical shells. Serie 2, nor. 3 ,Oslo University. Press, Oslo 1957.

137. Чернина В. С. Статика тонкостенных оболочек вращения,- М. Издат. Наука, 1968 г.

138. Черных К. Ф. Линейная теория оболочек. Изд-во ЛГУ. 1962, Т. 1, 1964, Т. 2.