автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Модель деформирования конструкций с мягкими оболочками и методика исследования их характерных свойств

На правах рукописи

Белянкин Михаил Иванович

МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ КОНСТРУКЦИЙ С МЯГКИМИ ОБОЛОЧКАМИ И МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ ИХ ХАРАКТЕРНЫХ СВОЙСТВ

05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Омск-2005

Работа выполнена в Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии (СибАДИ).

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Друзь Борис Иванович

доктор технических наук, профессор Зылев Владимир Борисович

доктор физико-математических наук, профессор,

заслуженный деятель науки РФ Трусов Петр Валентинович

Ведущая организация:

ФГУП Научно-производственное предприятие «Прогресс», г. Омск

Защита диссертации состоится 2005 г. в часов

на заседании диссертационного совета Д 218С005.06 при Московском государственном университете путей сообщения (МИИТ) по адресу: 127994, Москва, ул. Образцова, 15, корп. 7, зал заседаний

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Отзывы просим направлять по адресу:

127994, Москва, ул. Образцова, 15, МИИТ, ученому секретарю совета

Автореферат разослан " ^ " 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета профессор

Э. С. Спиридонов

$09>Н

'¿ъъ ое^о

3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Широкое применение экономически выгодных конструкций с мягкими оболочками, дальнейшее их совершенствование является одним из направлений научно-технического прогресса. Особо бурное развитие это направление получило за последние десятилетия. В значительной степени этому способствовали создание и производство современных высокопрочных материалов, обладающих также другими положительными характеристиками и свойствами.

Создание сложных, а в большинстве случаев уникальных объектов с мягкими оболочками требует тщательного анализа их работы. Экспериментальные исследования таких объектов связаны с большими материальными затратами, удлиняют сроки разработок, а зачастую являются невыполнимыми. Поэтому новые подходы к анализу ориентированы на использование компьютерных технологий и численных методов.

Одним из современных- численных методов является метод конечных элементов (МКЭ). Однако применение МКЭ к расчету конструкций с мягкими оболочками сопряжено с рядом трудностей, обусловленных проблемами нелинейного деформирования тонких оболочек в сочетании с особенностями формообразования мягких оболочек. Вследствие этого степень отработки методов и алгоритмов решения задач статики еде недостаточна, а решение статических задач получают, как правило, на базе динамических моделей. Вместе с тем создаваемые программные комплексы не охватывают всего многообразия задач, возникающих в практике проектирования.

При проектировании сложных объектов с мягкими оболочками рассматриваются и рассчитываются многие варианты конструктивных решений при различных исходных данных. Использование более простых и эффективных алгоритмов, позволяющих выявить свойства конструкций на этапе их проектирования, является экономически целесообразным. Поэтому усилия ученых и исследователей направлены на совершенствование существующих и поиск новых подходов к расчету мягких оболочек.

Цель работы:

• разработка более полной статической модели нелинейного деформирования конструкций с мягкими оболочками, учитывающей большие геометрические изгибания оболочки в целом или отдельных ее частей, одноосность напряженного состояния в зонах сжатия материала, воздействие внутренней и внешней сред (газ, жидкость) на оболочку посредством введения и использования потенциалов давления сред;

• разработка методики численного анализа, позволяющей находить критические нагрузки, целенаправленно определять смежные формы равновесия, выявлять и исследовать характерные свойства конструкций при деформировании;

• реализация модели и методики в программах для Э1

Общая методика исследования. На базе общих положений теорий тонких и мягких оболочек, численных методов решения нелинейных задач механики деформируемого твердого тела строится математическая модель деформирования конструкций с мягкими оболочками. На основе этой модели и метода продолжения решения по параметру разрабатывается методика анализа нелинейного деформирования. Численными и экспериментальными исследованиями подтверждается достоверность результатов, полученных по алгоритмам, созданным на основе модели и методики.

Научня новизна диссертационной работы заключается в следующем:

1. Разработана математическая модель, позволяющая численно исследовать формообразование и напряженное состояние конструкций с мягкими оболочками общего вида при статическом нагружении.

Основу модели составляют:

А. Новая конечно-элементная модель, построенная на базе подхода, включающего:

• кинематические соотношения, устанавливающие связь деформаций в элементе с удлинениями его сторон. Соотношения позволяют обеспечить совместность элементов и вместе с тем точно представить в элементах жесткие смещения и постоянные деформации независимо от величины перемещений;

• физические уравнения, отражающие слабую сопротивляемость материала оболочки усилиям сжатия и сдвига;

• использование потенциалов давления сред. Введение потенциалов позволяет точнее учесть воздействие сред при больших перемещениях оболочки, а также в случаях образования зон одноосного напряженного состояния. В критическом состоянии оболочки составляющие матрицы касательной жесткости, обусловленные давлением сред, являются естественными параметрами регуляризации решения задачи;

• представление полной потенциальной энергии системы функцией координат узлов;

• получение разрешающих уравнений прямой минимизацией функции энергии по координатам, характеризующим деформированное состояние;

• получение матрицы касательной жесткости в форме матрицы Якоби вектор-функции узловых сил.

К Разработанные автором схемы итерационного решения разрешающих уравнений, основанные на использовании предложенной процедуры в сочетании с уравнением для определения ее параметра. Выбор параметра позволяет: обеспечить сходимость итерационного процесса вне зависимости от удаленности равновесного состояния; исследовать закритические состояния модели; целенаправленно находить смежные формы равновесия, соответствующие заданной нагрузке, в случае нескольких решений системы разрешающих уравнений.

2. Разработана методика численного анализа нелинейного деформирования конструкций. Методика базируется на математической модели и методе

продолжения решения по параметру. В результате анализа определяются состояния равновесия, соответствующие заданной нагрузке, находится критическая нагрузка, выявляются характерные свойства конструкции при ее деформировании.

На защиту выносятся:

1. Новая конечно-элементная модель.

2. Схемы решения разрешающих уравнений, базирующиеся на предложенной процедуре в сочетании с уравнением для определения ее параметра.

3. Методика анализа нелинейного деформирования конструкций.

4. Результаты тестирования модели, методики и программ расчета.

5. Результаты численного эксперимента и экспериментальных исследований.

6. Решения демонстрационных задач деформирования оболочек общего вида, в том числе оболочки строительного назначения.

7. Результаты численного анализа деформирования моделей конкретных конструкций.

Практическая ценность работы заключается в разработке модели нелинейного деформирования конструкций с мягкими оболочками, а также методики анализа этой модели с доведением полученных теоретических результатов до программ расчета. Использование модели и методики позволяет исследовать деформирование мягких оболочек в докритических и закритиче-ских областях, выявлять характерные свойства новых конструкций.

Реализация результатов работы. На основе модели и методики разработаны алгоритмы и программы, позволившие выполнить расчет мягкой оболочки дирижабля полужесткой конструкции. Результаты работы переданы также на ФГУП "Научно-производственное предприятие "Прогресс" (г. Омск) и могут быть использованы при разработке изделий с мягкими оболочками.

Апробация работы. Результаты выполненной работы докладывались и обсуждались на региональных, отраслевых и всесоюзных конференциях в период с 1983 по 1996 годы, а также на:

• Международной 52-й научно-технической конференции БГПА "Технические ВУЗы - Республике" (Минск, 1997 г.);

• Международной научно-технической конференции, посвященной 55-летию Омского госуд. технического университета (Омск, 1997 г.);

• Сибирской школе-семинаре "Математические проблемы механики сплошных сред" в ИГиЛ СО РАН (Новосибирск, 1997 г.);

• расширенном научном семинаре лаборатории механики композитных материалов ИМСС УрО РАН (Пермь, 1998 г.);

• Зимней школе по механике сплошных сред (двенадцатой) в ИМСС УрО РАН (Пермь, 1999 г.);

• Международной научно-технической конференции "Динамика систем, механизмов и машин" в ОмГТУ (Омск, 1999 г.);

• научном семинаре кафедры "Математическое моделирование систем и процессов" ПГТУ (Пермь, 1999 г.);

• расширенном заседании кафедры "Сопротивление материалов" ОмГТУ (Омск, 2000 г.);

• Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике в ИМСС УрО РАН (Пермь, 2001 г.);

• семинаре кафедры "Прикладная механика" МГТУ им. Н. Э. Баумана (Москва, 2003 г.);

• семинаре кафедры "Строительная механика" Московского государственного университета путей сообщения (МИИТ) (Москва, 2003 г.);

• Международной научно-практической конференции "Дорожно-транспортный комплекс, экономика, экология, строительство и архитектура" в СибАДИ (Омск, 2003 г.);

• XXXIII и XXXIV Уральских семинарах по механике и процессам управления (г. Миасс, 2003 и 2004 гг.);

• расширенном заседании кафедры "Строительная механика" СибАДИ (Омск, 2004 г.).

Публикации. По тематике исследований опубликовано 30 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, девяти глав, заключения и библиографического списка из 260 наименований.

Материал диссертации изложен на 234 страницах машинописного текста, содержит 76 рисунков и 31 таблицу.

СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЙ КОНСТРУКЦИЙ С МЯГКИМИ ОБОЛОЧКАМИ

Теория мягких оболочек развилась в самостоятельную ветвь теории оболочек. Это объясняется особенностями деформирования мягких оболочек: неспособностью воспринимать изгибающие моменты и усилия сжатия; геометрическими изгибаниями оболочки в целом или отдельных ее частей.

Основы общей теории мягких оболочек составляют работы С. А. Алексеева, Б. И. Друзя, В. Э. Магулы, В. И. Усюкина и др.

Строгое математическое обоснование геометрически нелинейной теории пологих оболочек дано в монографии И. И. Воровича. Рассмотрены вопросы нелинейной устойчивости, приведен обзор работ (504 назв.), отражающий развитие теории пологих оболочек и методы решения этого класса задач.

Основы теории сетчатых оболочек разработаны В. Л. Бидерманом, Б. Л. Бухиным, А. А. Лапиным и др.

Строгое математическое обоснование теории сетчатых оболочек связано с работами Г. И. Пшеничнова и др.

В теории мягких оболочек С. А. Алексеевым сформулированы три ее основные задачи.

Задача 1. Задана форма оболочки в конечном состоянии под действием известных нагрузок. Требуется определить начальную (раскройную) форму.

Задача 2. Определение конечной формы оболочки по известным нагрузкам и заданной начальной форме.

Задача 3. Известно исходное состояние оболочки (нагрузка, форма, напряжения). Требуется определить конечную форму и напряжения, возникающие под действием дополнительной системы нагрузок.

Подход к решению задач с позиций теории мягких оболочек связан с трудностями решения больших систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Поэтому в рамках этого подхода удается получить решения лишь частных задач, имеющих, однако, очень важное практическое значение. Методы теоретических исследований конструкций с мягкими оболочками и решения многочисленных прикладных задач широко представлены в отечественной и зарубежной литературе, в том числе в сборниках под ред. И. И. Воровича, Б. И. Друзя, В. В. Ермолова, В. Э. Магулы, сборниках трудов Казанского физ.-тех. ин-та, НИИШП, ЦНИИСК им. Кучеренко и др. Обзоры работ данного направления приведены в монографиях И. И. Воровича, В. Э. Магулы, работах Б. И Друзя, В. В. Ермолова, В. И. Усюкина, статьях Р. Ш. Ггшадиева с соавт., В. В. Риделя и др.

В механике твердого деформируемого тела широко распространенным методом исследования нелинейного деформирования является метод продолжения решения по параметру. Различные аспекты метода и его приложения рассмотрены в монографии Э. И Григолюка и В. И. Шалашилина. Обзор приведенных работ включает 547 назв.

Развитие новых подходов к проблеме понимания нелинейного поведения оболочек, нагруженных статическими и периодическими динамическими нагрузками, освещено в обзоре Я. М. Григоренко а В И Гуляева. К несомненному успеху теории и методов нелинейного анализа авторы относят установление того факта, что в сравнительно простых механических системах при простых видах возмущения возможны сложные непредсказуемые переходы, сопровождаемые резкими качественными скачками от одного состояния к другому.

Отмечается также, что при расчете тонкостенных конструкций численными методами наиболее широко применяются две теории:

1. Классическая теория, основанная на гипотезах Кирхгофа-Лява.

2. Теория, учитывающая поперечный сдвиг (теория типа Тимошенко).

Первая из них приближается к точному описанию напряженного состояния при уменьшении толщины оболочки, однако включает производные от перемещений высокого порядка, что приводит к повышенным требованиям по отношению к гладкости решения.

В теории оболочек, учитывающей поперечный сдвиг, требования к гладкости решения ниже, но при уменьшении толщины оболочки уравнения становятся плохо обусловленными и могут давать совершенно неверные результаты.

В настоящее время наиболее распространенным методом численного решения задач механики деформируемого твердого тела является метод конечных элементов. Применение МКЭ к тонкостенным конструкциям изложено в монографиях В. А. Постнова я И. Я. Хархурима; А. В. Александрова, Б. Я Лащеникова и Н. Н. Шапошникова (под ред. А. Ф. Смирнова)-, А. С. Сахарова и В. Н. Кислоокого с соавт.; И. Ф. Образцова с соавт ; Р Б. Рикардса\ Н. А Алфутова с соавт.; С. М. Белоцерковского с соавт.; А. И. Голованова и М. С. Корнишина\ В. А. Игнатьева с соавт. и др.

Основы построения искривленных КЭ тонких оболочек с учетом механики их деформирования изложены в монографии А. И. Голованова и М. С. Кор-нишина. Приведен также обзор наиболее известных конечных элементов тонких оболочек, дан качественный анализ их свойств.

Авторы обращают внимание на две проблемы, с которыми приходится сталкиваться при расчетах тонких оболочек.

Первая из них связана с малой толщиной оболочек. Отмечается, что приближенное решение, полученное, в частности, МКЭ, будет сходиться к точному решению лишь в том случае, когда выполнены условия согласованности конечных элементов. Удовлетворить требованиям согласованности в рамках классической теории намного сложнее, чем при использовании теории типа Тимошенко. Однако при уменьшении толщины оболочки точность решения, полученного по второй из теорий, резко снижается.

Суть второй проблемы в том, что приближенные выражения для деформаций должны достаточно точно описывать, по крайней мере, нулевое и постоянное деформированные состояния. Но в случае оболочек этим требованиям можно удовлетворить точно, лишь нарушив совместность и, наоборот, построив совместный элемент, нельзя в общем случае точно представить в нем ни жестких смещений, ни постоянных деформаций.

Обе проблемы присущи КЭ, построенным как на основе классической теории, так и на основе сдвиговой теории типа Тимошенко.

В конструкциях с мягкими оболочками возможны перемещения, соразмерные с наибольшими размерами оболочек. Вследствие этого основные модели мягких оболочек предусматривают большие перемещения, при этом физические соотношения могут быть линейными или нелинейными.

В отечественной практике к одной из первых работ по расчету мягких оболочек МКЭ относится работа В. Н. Кислоокого, в которой оболочка аппроксимируется совокупностью плоских треугольных элементов, а тросовые фрагменты - прямолинейными растянуто-напряженными стержнями. Решение задач статики сводится к определению равновесных состояний динамической модели методом дискретных торможений.

Анализ программных комплексов расчета мягких оболочек показывает, что базируются они в основном на динамических конечно-элементных моделях, а задачи статики решаются методами установления или методами

торможения. Некоторые авторы прямо указывают, что решение задач статики с привлечением статических моделей часто оказывается сложнее, чем решение этих задач с использованием моделей динамических.

На основании изучения состояния исследований по деформированию мягких оболочек выделены следующие основные проблемы, возникающие при решении задач статики МКЭ.

1. Проблема начала расчета. В общем случае не удается начать расчет вследствие геометрической изгибаемости (изменяемости) исходного состояния оболочки в целом или отдельных ее частей.

2. Проблема окончания расчета. Во многих случаях не удается закончить расчет из-за того, что итерационный процесс решения разрешающих уравнений не сходится. Одной из причин является образование морщин (складок) деформированной оболочки, т.е. критическое ее состояние.

3. Проблема обеспечения точности получаемого решения, связанная с удовлетворением противоречивых для оболочек требований совместности конечных элементов и вместе с тем точного представления в элементах хотя бы жестких смещений и постоянных деформаций.

Для достижения сформулированной цели работы была поставлена задача решения указанных выше проблем. Конкретизация этой задачи отражена в научной новизне и положениях, выносимых на защиту.

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ КОНСТРУКЦИЙ С МЯГКИМИ ОБОЛОЧКАМИ

При постановке задачи считаются известными: исходная форма поверхности оболочки в декартовой системе координатных осей Охуг (Ог - вертикальная ось); форма подкрепляющих и других элементов конструкции (канаты, каркасные ленты, каркасные сети, мягкие перегородки, силовые пояса и т.д.); физические свойства материала оболочки и других элементов; геометрические граничные условия; статически действующая нагрузка.

Согласно постановке второй основной задачи теории мягких оболочек требуется определить: форму оболочки под нагрузкой; напряженное состояние элементов конструкции.

Конечно-элементная модель конструкции построена при следующих допущениях: оболочка и другие конструктивные элементы являются абсолютно гибкими; жесткость при закручивании линейных конструктивных элементов мала и принимается равной нулю; материалы - линейно-упругие; деформации элементов конструкции малы; перемещения не ограничены.

При построении модели оболочка аппроксимируется простейшими плоскими треугольными конечными элементами, а линейные элементы конструкции (канаты, ленты и др.) - линейными конечными элементами с двумя узлами.

Деформации в элементе выражаются через изменение его геометрических

параметров с помощью преобразования

е = £Д, (1)

где е - вектор деформаций в элементе; Ь - матрица, зависящая только от геометрических параметров элемента до деформации; А - вектор удлинений сторон треугольного элемента или удлинение линейного элемента.

В качестве переменных (искомых) величин рассматриваются координаты, характеризующие деформированное состояние всего множества конечных элементов.

В модели использованы известные физические соотношения, связывающие напряжения в элементе с деформациями. Это закон Гука в форме ст = /)е, где £> - матрица упругих констант, а также зависимости для ортотропных материалов, материалов типа сети, материалов с различными характеристиками при растяжении и сжатии и др.

Состояние элемента оболочки, в котором одно из главных усилий является сжимающим, моделируется одноосно-напряженным состоянием. При этом матрица физических свойств материала содержит единственный ненулевой элемент, характеризующий свойства материала в направлении главного растягивающего усилия.

Выражение энергии деформации элемента представлено в обобщенном виде

£/г = дЧд,

где к - матрица жесткости элемента в локальных координатах. Матрица имеет размерность 3x3, и ее компоненты зависят от размеров конечного элемента до деформации, физических свойств материала, ориентации элемента по отношению к направлениям, характеризующим свойства материала, и к направлению главного усилия при одноосном напряженном состоянии. В частности, для треугольного конечного элемента в случае линейного изотропного материала имеют место равенства

ие= 1Й5Д'1'£)1А=ДЧД)

где И, 51 - соответственно толщина и площадь элемента до деформации; I -матрица преобразования в формуле (1); /5 - матрица упругих констант.

Дифференцированием функции iiе по переменным координатам получен вектор узловых сил, вызванных деформациями. В случае треугольного элемента с узлами г,к вектор определяется согласно одному из выражений:

Ч>е(г)=Т'(к+к')А=кмг,

где г - вектор координат узлов деформированного элемента; Г = — - матри-

¿г

ца направляющих косинусов сторон элемента в деформированном состоянии; ки - матрица мембранной жесткости в глобальной системе координат.

Здесь и далее г =(х, у, г, х1 у1 г, хк ук гк).

Деформационной матрицей касательной жесткости элемента кЕ является матрица Якоби вектор-функции , которая может быть представлена в виде суммы матриц

кг = кг + Ам ~ к,,

где кг - матрица геометрической жесткости, зависящая от направляющих косинусов сторон деформированного элемента; км - введенная ранее матрица мембранной жесткости, зависящая от степеней удлинения сторон; к, - матрица, зависящая и от направляющих косинусов, и от степеней удлинения сторон. Для матриц кг, км, к, я Т получены выражения:

кГ = Г (к + к')Т; км= (£0 - £„);

к.= ^п(Ео-Е„)гап'Т-, Т = £йи г'(Е0-Еп).

л-1 п=1

Здесь g„ = а„'(к + к')А (и = 1... 3);

4 =(/,;' 0 о); а'2 =(о о); а'3={0 0 ф,

(е ; о ! (Л Го ! £ ! о4] (е \ 0 | 0^ Го ! о !

0 гё Го ; е{ = е Го" Го и о ! о 1й ; еъ = 0 о"

;о [о те) [о \е} ,0 г\е ] [о!

В блочных матрицах Ео...Еъ блоком Е обозначена единичная матрица размерностью 3.

Аналогичные равенства получены для линейного конечного элемента.

Таким образом, преобразование (1) позволяет представить функционал полной потенциальной энергии расчетной модели дискретным аналогом в виде функции всех координат узловых точек. Минимизация этой функции по искомым координатам приводит к системе нелинейных уравнений

= (2) где У{х) - вектор всех внутренних и внешних узловых сил; х - вектор искомых координат узлов.

В диссертации определен конкретный вид преобразования (1) для тетраэдрального элемента. Частный случай - преобразование для треугольного, а также линейного конечных элементов.

Разрешающие уравнения (2) получены без использования соотношений Коши-Грина. Не требовалось также разложения функции полной потенциальной энергии в окрестности текущего состояния, поэтому (2) являются "точными" в произвольной точке ограниченного векторного пространства Е", что явилось предпосылкой разработки методики расчета, допускающей перемещения, соразмерные с максимальными размерами конструкций.

Особенность предлагаемой модели деформирования - отсутствие в системе (2) матрицы касательной жесткости, содержащейся в уравнениях классического нелинейного варианта МКЭ. В общем случае также нет необходимости представления в виде Ч^х) = Ks(x) х -F, где Ks(x) - аналог матрицы секущей жесткости; F— вектор внешних узловых сил.

В конструкциях с мягкими оболочками избыточное давление является либо самостоятельной внешней нагрузкой, либо частью общей нагрузки. В предлагаемую модель деформирования введены потенциалы давления внутренней и внешней сред, которые вносят свой вклад в функционал полной потенциальной энергии системы. Поскольку функционал представляется функцией координат узлов, то дифференцирование этой функции по искомым координатам дает составляющие давления сред как в уравнения равновесия всех узловых сил, так и в матрицу Якоби вектор-функции узловых сил.

Введение потенциалов давления сред позволяет: точнее учесть воздействие сред при больших перемещениях оболочки; исследовать деформирование в случаях нерастяжимой оболочки; обеспечить устойчивость решения при образовании морщин (складок) оболочки, т.е. в критическом ее состоянии; улучшить сходимость итерационного решения задач деформирования; разрабатывать более эффективные расчетные схемы анализа нелинейного деформирования конструкций.

Предполагается, что координатная ось Oz является вертикальной осью. На оболочку действует давление внешней среды ра и давление внутренней среды рс. С любой из сторон среда считается идеальной и однородной. Это либо газ, либо сжимаемая или несжимаемая жидкость. Принципиально подход применим и для неоднородных сред. Рассматриваются среды, описываемые линейным уравнением вида р = f(p), где р - плотность среды; р - давление. Тогда для несжимаемой среды р = const, а для сжимаемой р = \х.р, где ц-константа.

Функция распределения давления для сжимаемой и несжимаемой сред принимается в виде

p(z)=p(0) + kz,

где к = -pg для несжимаемой среды; к = ~ngp(0) = -p(0)g в случае сжимаемой среды.

Для принятого распределения давления потенциал давления, например, внешней среды определяется по формуле

где VK = V+ F0; V - объем, ограниченный срединной поверхностью оболочки и плоскостью Оху, или Oyz, или Ozx\ Vq - дополнительный объем, являющийся конструктивным или заданным параметром. Критерием выбора одной из плоскостей в конкретных задачах является стремление к получению максимального объема V.

Таким образом, по абсолютной величине потенциал давления среды равен полной работе, которую может совершить среда с заданным законом распределения давления.

Общий потенциал давления сред представляется в виде суммы

ир = Пс - П. = ЦЩро+р^) , (3)

где Пр - суммарный потенциал; ро = рс(0) - ра(0) - суммарное давление сред на уровне г = 0; р\=кс-ка- коэффициент изменения давления по направлению оси г.

При больших избыточных давлениях изменением давления по высоте можно пренебречь, т.е. принять р\ = 0. Однако при малых избыточных давлениях перепад давлений существенно влияет на форму деформированной мягкой оболочки.

При решении второй основной задачи расчета мягких оболочек параметры ро и р\ являются заданными. Если же для замкнутой конструкции ставится задача догружения, то они уже будут определяемыми. В этом случае необходимы дополнительные зависимости, связывающие параметры внутренней среды, включая закон сохранения массы среды в форме т = т0, где т0 - масса внутренней среды при начальной нагрузке.

Переменная часть Пр складывается из потенциалов давления, соответствующих каждому конечному элементу, аппроксимирующему часть срединной поверхности. Согласно формуле (3) для отдельного элемента

п; = Я¡(ро+р1*) ,

V

где Vе - объем, ограниченный поверхностью элемента и одной из координатных плоскостей, например, плоскостью Оху. Для треугольного элемента с номерами узлов г, у, к в результате интегрирования получена следующая зависимость П^, от координат узловых точек:

где Бху - площадь проекции элемента на плоскость Оху, ФУ1 — функция координат г узловых точек. Площадь определяется по известной формуле

25ху = х,у)+х}ук + хку,-у,х;-у}хк-укх,, а функция Фп имеет следующий вид:

где = + г; и т.д.

Однократное дифференцирование П* по г дает вектор уУер внешних узловых сил, обусловленных давлением сред:

= -Х1кФа IV- 2ЗД Г^ 2ЗД,

где У,к = у1-ук\ Х1к = х}-хк и т.д.,

Яп = + + гкг) + Ь,п(1ц + 2)к) + Ьы{1!к + 2к)\ п = 1, ], к.

Здесь 5„, 5;„ и - символы Кронекера.

Матрицей тангенциальной жесткости элемента, обусловленной воздействием внутренней и внешней сред, является матрица Якоби вектор-функции Ч"р. Не равные нулю компоненты этой матрицы представлены в табл. 1.

Таблица 1

ФИ № -Фа

| : -ад Фш -ХуДк

УкЛ У,А

ПЛ Фш ПА

-ХкЛ} -ХиКк

2Ф^ У,А Фху

Симметрично УцКк

2Ф *

Дополнительно в табл. 1 введено обозначение Ф^ = —рА

С учетом составляющих давления сред система разрешающих уравнений (2) представляется в виде

где ¥<>(*) - вектор узловых сил без учета составляющих давления сред; - вектор узловых сил, вызванных давлением сред.

Матрица касательной жесткости К(х) также содержит составляющие давления сред и имеет следующую структуру:

К(х) = Кг + Км - К. -р№,

где Кг, Км и К, - матрицы, сформированные из соответствующих матриц кГ, км и к. конечных элементов; Wз(x) - матрицы, обусловленные

давлением сред.

СХЕМЫ РЕШЕНИЯ РАЗРЕШАЮЩИХ УРАВНЕНИЙ

Предложенные в работе схемы итерационного процесса приближения к локальному решению уравнений (2) строятся на основе процедуры

х,+\ = X/ + а,8,, (4)

где х, - вектор текущего состояния модели; а, - изменяемый на шаге параметр; 5, - задаваемый или определяемый каким-либо способом вектор.

В качестве параметра а, на текущем шаге принимается значение одного из корней нелинейного уравнения

(ЧЧ*.ч),8.) = 0, (5)

являющегося выражением условия стационарности полной потенциальной энергии рассматриваемой системы на векторе лг,+ 1. Использование в расчетной схеме уравнения (5) позволяет: обеспечить сходимость итерационного процесса (4) вне зависимости от удаленности равновесного состояния; исследовать закритические состояния модели; целенаправленно находить смежные формы равновесия, соответствующие заданной нагрузке, в случае нескольких решений системы (2).

Во всех схемах итерационный процесс прекращается при достижении заданной точности

||5„||<е, и || || < £2, (6)

где т - номер итерации; Ei, - задаваемые константы точности расчета; || ... || - обозначение евклидовой нормы.

Предлагаемые в диссертационной работе схемы отличаются лишь заданием или способом определения вектора 5.

В одной из схем вектор 8, определяется в результате решения системы уравнений

К(*,)5,+ ¥(*,) = 0, (7)

где К(дг) - матрица Якоби вектор-функции Ч^х). Основную идею этой схемы можно выразить следующим образом.

Задается начальное положение модели, которое может совпадать с исходным недеформированным состоянием. Прикладывается вся действующая на конструкцию нагрузка, и начальное положение принимается в качестве текущего состояния. Далее следует итерационный процесс:

• на г'-й итерации формируются вектор и матрица К(х,);

• решением системы уравнений (7) определяется вектор б,;

• осуществляется переход в новое состояние согласно процедуре (4) и уравнению (5);

• проверяются условия (6) окончания итерационного процесса.

Важно отметить, что в схеме не исключается возможность пошагового на-гружения или последовательного приложения отдельных видов нагрузки.

Другая из схем является аналогом метода скорейшего спуска. Ее достоинство состоит в том, что в итерационном процессе решения уравнений (2) не требуется решения систем алгебраических уравнений. Примером аналогичного подхода может служить разработанный ранее В.Б Зылевым и A.B. Штейном (МИИТ) итерационный метод расчета сильно нелинейных систем.

Таким образом, конечно-элементная модель и схемы решения разрешаю-

щих уравнений составляют модель деформирования конструкций с мягкими оболочками.

ТЕСТИРОВАНИЕ МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ КОНСТРУКЦИЙ

Для проверки достоверности результатов, получаемых с использованием модели деформирования, решены тестовые задачи, которые можно разделить на две группы: 1 - плоские задачи теории упругости; 2 - задачи деформирования мягких оболочек. Обе группы объединяет общий подход к решению, а следовательно, модель подвергалась расширенной проверке. Включение задач теории упругости вполне обосновано, так как плоскую модель можно рассматривать как частный случай модели деформирования оболочек. Плоские задачи теории упругости:

1. Растяжение-сжатие полосы.

2. Пластинка под действием сдвигающих усилий на боковых гранях.

3. Чистый изгиб прямого бруса.

4. Кинематическое воздействие на прямой стержень: рассматривался переход стержня из заданного изогнутого состояния в исходное недеформиро-ванное состояние под действием внутренних сил упругости. При изгибе задавались перемещения, соразмерные с длиной стержня.

5. Изгиб прямого закрепленного на одном конце стержня прямоугольного поперечного сечения. Стержню задавались перемещения, и центральная точка свободного конца (т. А) фиксировалась связью. Далее определялись состояние равновесия и реакция связи. Это состояние сравнивалось с состояниями равновесия, полученными при изгибе стержня из двух заданных положений, в которых в точке А прикладывалась найденная реакция связи. Рассматривались варианты перемещений точки А: 0,0051; 0,05L и 0,51 (L - длина стержня).

Задачи деформирования мягких оболочек:

1. Цилиндрическая оболочка под действием давления р = р0 и продольной нагрузки на торцах qx = const.

2. Цилиндрическая оболочка под действием давления р = р0 и продольной силы Рх = const.

3. Цилиндрическая нерастяжимая оболочка, нагруженная внутренним давлением р = ро и распределенной вдоль образующей цилиндра вертикальной нагрузкой qz.

Результаты тестирования, полученные в плоских задачах теории упругости В задачах, характеризуемых постоянными ненулевыми полями деформаций (одноосное растяжение-сжатие полосы, пластинка под действием сдвигающих сил), точность решения оценивается в первом случае как

где £хмкэ, еумкэ - расчетные деформации при нагрузке, вызывающей согласно закону Гука деформации ех, еу. Аналогично при сдвиге имеет место оценка

Такие оценки получены для диапазона деформаций вх и у от 10"4 до 10"'. Они согласуются с прогнозируемыми, так как в данных задачах отсутствует погрешность, обусловленная несоответствием между распределениями деформаций в модели и конечных элементах. Вместе с тем деформации в элементах выражены через удлинения сторон с помощью преобразования, в котором не учитывались слагаемые, содержащие произведения компонентов деформаций во второй степени и выше. Поэтому погрешность такого порядка проявляется в расчетах.

В случаях переменных полей деформаций основная погрешность обусловлена несоответствием между переменными деформациями в модели и однородными деформациями в элементах. Следовательно, точность решения зависит главным образом от размеров конечных элементов. Например, в задаче чистого изгиба бруса при размерах ячеек сетки 0,0125#х 0,0125Я(#- высота бруса) отличие прогиба и угла поворота торца от точного решения составило менее 0,055 %. Диапазон отклонений напряжений равнялся от +0,027 % в наиболее удаленной от нейтральной линии точке до -0,129 % в ближайшем к нулевой линии узле.

В задачах, аналогичных 4, повышением точности расчета удается достигнуть абсолютного с практической точки зрения совпадения конечного состояния с исходным. Объясняется это тем, что однородные деформации в конечных элементах однотипны с постоянными полями деформаций модели в состоянии ее равновесия. Кроме того, при стремлении деформаций к нулю исчезает погрешность, обусловленная неточностью преобразования (1). Следовательно, решающее значение имеет степень точности расчета.

Почти аналогичные по точности результаты получены в задаче 5. Однако здесь оценивалась лишь относительная погрешность определения сравниваемых состояний, которая зависит только от задаваемой точности расчета.

Результаты тестирования, полученные в задачах деформирования мягких оболочек Сравнение результатов, полученных МКЭ, и определенных по формулам теории мягких оболочек, позволило сделать следующие выводы.

1. Отклонения сравниваемых величин малы и при размерах ячеек сетки 0,1/? (R - радиус оболочки) во всех случаях сравнения они не превышали 1 %.

2. С пошаговым уменьшением размеров элементов отклонения уменьшались, и при размерах ячеек 0,024Д в задачах 1,2 и 0,0 ЮЛ в задаче 3 их максимальные значения составляли сотые и менее доли процента. Таким образом, в целом можно сделать вывод о хороших результатах

тестирования математической модели и разработанных программ.

ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИЙ В РАСЧЕТНЫХ СХЕМАХ

Для исследования влияния на итерационный процесс ряда факторов проведен численный эксперимент на модели цилиндрической изотропной оболочки, нагруженной внешними нагрузками, не зависящими от продольной координаты у. При этом в направлении оси у оболочка не нагружалась. Таким образом, рассматривалась плоская задача деформирования цилиндрической оболочки радиуса Я.

Конечно-элементная модель состояла из 6 элементов, на которые была разделена оболочка в окружном направлении. В эксперименте задавалось 4 варианта исходной формы модели (рис. 1) и 4 варианта внешних нагрузок (рис. 2). Предполагалось, что в исходных состояниях усилия в оболочке равны нулю, а расстояние между продольными кромками равно 2Я.

Рис. 2. Варианты внешних нагрузок: 1 - постоянное давление р=ръ\ 2 - переменное давление р = ро+ р\г, 3 - давление р =ро и распределенная вертикальная нагрузка интенсивностью д; 4 - распределенные нагрузки д, приложенные вдоль обрачующей по линиям деления оболочки на элементы

В численном эксперименте исследовалось влияние на итерационный процесс:

- составляющих матрицы касательной жесткости;

- соотношения характерных параметров нагрузки и жесткости оболочки;

- сочетаний расчетных схем в итерационном цикле.

Например, выявлено, что при определенном соотношении характерных параметров нагрузки и жесткости оболочки обеспечивается наиболее быстрый переход от исходного состояния модели конструкции к безизгибному.

На рис. 3 представлены графики зависимости количества итераций т от величины отношения ро/ЕР.

вариант нагрузки 1 варианты исходной формы 1 - 4 /

• /а г /

//з

3 10' ЗЮ! ЗЮ"' з-ю"1 Р,/ЕР

Рис. 3. Зависимость количества итераций т от соотношения нагрузки и жесткости оболочки (параметр рц/ЕГ)

Здесь исходные формы 2-4 являются геометрически изгибаемыми (геометрически изменяемыми), поэтому число итераций возрастает с уменьшением отношения рц/ЕР. Каждой из этих исходных форм соответствует параметр Ра!ЕР, при котором количество итераций минимально.

Аналогичные зависимости получены для варианта нагружения 4 при исходных состояниях 1-4.

Обобщение результатов численного эксперимента:

• составляющие давления сред в матрице К(х) оказывают существенное влияние на итерационный процесс решения разрешающих уравнений;

• возможна и целесообразна оптимизация итерационного решения разрешающих уравнений путем задания на начальных итерациях рекомендуемых в диссертационной работе соотношений характерных параметров нагрузки и жесткости оболочки;

• из рассмотренных сочетаний расчетных схем определена наиболее оптимальная их комбинация в итерационном цикле.

ЗАДАЧИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОБОЛОЧЕК ОБЩЕГО ВИДА

Для иллюстрации работоспособности разработанной модели решены следующие демонстрационные задачи.

1. Нагружение оболочки избыточным давлением и локальной нагрузкой (рис. 4).

2. Обжатие поддутой оболочки плоскостью (рис. 5).

3. Оболочка под действием избыточного давления (рис. 6).

Сложность решения данных задач заключается в их существенной нелинейности (как геометрической, так и физической). Геометрическая нелинейность обусловлена перемещениями, соразмерными с максимальными размерами самих оболочек. Кроме того, деформирование оболочек сопровождается появлением зон сжатия материала, при этом необходимо учитывать неспособность мягкой оболочки воспринимать сжимающие усилия, т. е. учитывать нелинейность физическую.

С целью сравнения результатов, получаемых по линейной физической модели и нелинейной модели, учитывающей переход к одноосному напряженному состоянию в зонах сжатия, расчеты выполнены как по одной, так и

1> = 1,8 м тах = 1,0 м

~ „ ^ Яр = 1,2 м

Рис. 4. Схема оболочки и ее нагружения

Рис. 5. Схема оболочки, обжимаемой плоскостью

Рис. 6. Схема несимметричной оболочки в исходном состоянии

другой моделям.

Например, в задаче 1 рассчитывалась изотропная оболочка, имеющая две плоскости симметрии: х = Ы2 и у = 0 (см. рис. 4). Размеры оболочки указаны на рисунке.

Оболочка нагружалась избыточным давлением р0 = 600 Па и силой К,, приложенной в точке с координатами х = Ы2; у = 0 в направлении, противоположном оси г . Граничные условия задачи:

на кромках х = 0 и х = Ь\ и = у = = 0;

на кромках рО и^<0; г = 0: и> = 0.

Здесь к, у и и* - перемещения оболочки в направлении осей х, у иг.

Прогибы оболочки в точке приложения силы представлены на рис. 7. Пунктирная линия соответствует линейной физической модели, в которой упругие константы материала при растяжении и сжатии принимались равными £>« = £>. Сплошная линия соответствует нелинейной модели, учитывающей

отличие свойств материала при растяжении и сжатии (Всж Ф В). «>

м

0.5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

0 100 200 300 400 500 н

Рис. 7. Прогибы оболочки в точке приложения силы

Отклонение результатов, полученных на основе этих моделей при нагрузке ^ = 600 Н, не превышает 7 % .

Вместе с тем форма оболочки в первом и во втором случаях физических уравнений имеет принципиальные отличия, связанные с появлением при Рг = 200Н зон, характеризуемых сжимающим главным усилием Т2 . Формы профилей оболочки в плоскостях у = 0 и х = Ь/.2 изображены на рис. 8 и 9.

Пунктирные линии соответствуют линейным физическим соотношениям. Сплошные линии соответствуют случаям моделирования складчатого состояния, т. е. случаям £>сж * П.

Как видно из рисунков, формы профилей при Г>сж = I) являются нереальными для мягкой оболочки и обусловлены явлением "мембранного запирания" элементов.

2

1 - О^Э 2 - 0=0

Рис. 8. Формы профилей оболочки в плоскости у = О

АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ

Методика анализа нелинейного деформирования базируется на математической модели, предложенной в диссертационной работе, и методе продолжения решения по параметру. В результате анализа определяются положения равновесия, соответствующие заданной нагрузке, находится критическая нагрузка, выявляются характерные свойства конструкции при ее деформировании.

Определенные свойства конструкции проявляются лишь при соответствующей комбинации возмущений, поэтому в методике предполагается заданным не только вектор внешней нагрузки F, но и вектор возмущающей нагрузки Fr. Более полное представление о свойствах конструкции складывается в результате исследования воздействия на нее многих вариантов возмущений.

Основу методики составляют:

• отслеживание итерационного изменения пространственной конфигурации модели конструкции после снятия возмущения, проводимое для ряда значений параметров возмущающей нагрузки s и внешней нагрузки А,;

• построение и анализ зависимостей a(k\s, X), к = 1...«, где а® - к-й корень уравнения (5); п - количество корней.

Этапы анализа:

1. Выявление характерных свойств модели конструкции и отражение их на

плоскости параметров s и X.

2. Определение корней уравнения (5) и построение зависимостей a(k\s) при

X = const.

3. Определение состояний равновесия, соответствующих каждому корню

(X = const).

4. Определение критической нагрузки Хкр.

Тестирование методики анализа. Для проверки методики решены тестовые задачи, в которых исследовалось плоское деформирование прямого сжатого силой F стержня при различных условиях закрепления. Варианты условий закрепления стержня и возмущающих воздействий изображены на рис. 10.

Алгоритм решения задач построен на основе плоской модели с треугольными конечными элементами. В конечно-элементной модели жесткому защемлению конца стержня соответствовало закрепление всех узлов границы в направлении оси z и дополнительное закрепление среднего узла в направлении оси у. Шарнирное опирание моделировалось закреплением лишь одного узла осевой линии.

Размеры стержня: L = 0,1м; h!L = 0,04; t!L = 0,01, где h,t- высота (координата у) и ширина прямоугольного поперечного сечения. Упругие свойства материала: Е = 2105 МПа; v = 0,27. Размеры ячеек сетки, аппроксимирующей поверхность стержня в плоскости yz: 1,667-10~3Lx 0,05 h. Текущее значение возмущающей нагрузки задавалось согласно формуле Fs = s-FB. Расчеты вы-

полнены при £| = 10 м и е2 = 10 Н.

2

У

Р.

////А?/ 1)

1а)

777777

2)

м'м

3)

Рис. 10. Варианты закрепления и нагружения стержня

Для указанных исходных данных отклонения А критических сил, определенных численным методом и по обобщенной формуле Эйлера, представлены в табл. 2.

Таблица 2

№ варианта 1 1а 2 3

А, % <0,60 <0,07 <0,73 <0,56

В табл. 3 приведены данные по отклонению А критической силы ^р от эйлеровой силы в зависимости от размеров конечных элементов для варианта закрепления 1.

Таблица 3

Размеры Итервал, А,

ячеек сетки содержащий /кр, Н %

0,011x0,25 А 1275,512; 1275,522 21,16

3,333-10~3£ х 0,1 А 1083,066; 1083,076 2,88

1,667-10"3 X х 0,05 А 1058,92; 1059,02 0,595

0,833-Ю"3 Ь х 0,025 А 1052,94; 1053,04 0,027

Таким образом, получены хорошие результаты тестирования. Можно также констатировать, что точность результатов повышается при задании более высокой степени точности расчетов и уменьшении размеров конечных элементов, аппроксимирующих исследуемую конструкцию.

Характерные особенности деформирования стержня для варианта закрепления 2 отражены на рис. 11. Здесь вторая (информационная) шкала уА! я на вертикальной оси указывает величину относительного прогиба в точке оси свободного конца стержня (точка А), соответствующего параметру 5. Например, параметру 5 = 1 соответствует перемещение^ = 2,845 см, а при .? = 0,1 у л = 0,3102 см и т.д. Прогиб в точке А определялся при возмущающей нагрузке ^ = sFв = 100 Н).

yJs^ я

см ' 2,845 10°

3,102 10"'

3,105 Ю'!

3,105 10''

3,105 10"'

3,Ю5 10"'

О 100 200 300 400 Г, Н

Рис. 11. Характерные особенности деформирования стержня

Линия 1 на рис. 11 характерна тем, что любая ее точка соответствует состоянию равновесия сжатого стержня. Эта линия делит всю исследованную в численном эксперименте область параметров « < 3 и Г < 640Н (А. = на две подобласти: М! и М?. Стрелками слева и справа от линии указаны направления перемещений точки А после снятия возмущения. Следовательно, точкам этой линии соответствуют состояния устойчивого равновесия, так как перемещения из окрестности, примыкающей к линии, направлены к линии.

Линией $щ,(Г) и координатной осью F ограничена открытая область Мс2. При 5Д € М°2 уравнение (5) имеет 3 корня. Графики зависимости корней от параметров л и X типичны для исследуемой модели, и, например, для F = 260 Н график представлен на рис. 12 с указанием значения ¿•„р.

/ /

1-линия, параметрам которой соответствуют состояния равновесия стержня А

М2

Направления перемещений точки А вдоль оси у после снятия возмущения м, I I Г м\ Область параметров, при которых существуют смежные решения разрешающих уравнений

60; 6 ■

А; В

ТПкяля А I Шкала В у Положения равновесия

Л

х

40; 4 ■

20; 2 ■

0; 0 -

-20; -2 ■

-40; -4 -

-60; -6 ■

Рис. 12. График зависимости корней уравнения (5) от параметра у

На этом же рисунке изображены расчетные формы оси стержня в положениях равновесия, соответствующих корням с идентичными индексами. В диссертационной работе получены графики для сжимающей силы 259,965, 260, 300, 340, 380 и 640 Н, на основании которых построена кривая

Линии I и 5пР(/г) пересекают ось ^ в критической точке Р^, что также является особенностью деформирования стержня.

Необходимо отметить свойство симметрии а(.?, Р) относительно параметра 5.

Таким образом, при F < ^ прямолинейная форма стержня устойчива и неустойчива при F > При > ^ необходим выбор корня уравнения (5) для получения соответствующего этому корню положения равновесия.

Характерные особенности деформирования мягкой оболочки В качестве примера анализа деформирования рассматривалась тестовая задача 3. Симметричная форма равновесия не отражает всех особенностей поведения оболочки под нагрузкой. Более полное исследование выполнено с учетом возмущающей нагрузки д„ равномерно распределенной вдоль образующей цилиндра, проходящей через точку А профиля (рис. 13, а).

Характерные особенности деформирования оболочки при ф = 165° представлены на рис. 13. Вспомогательная (информационная) шкалауА1$ на вертикальной оси указывает величину относительного горизонтального перемещения точки А, соответствующего параметру я. Перемещение ул определялось в состоянии равновесия оболочки, нагруженной давлением р и возмущающей нгрузкой ц, = Величина дв в численном эксперименте задавалась равной

ЗОН/м.

0.151 10" Ь

Рис. 13. Характерные особенности деформирования оболочки, схема закрепления оболочки и ее нагружения (а)

Значение угла <р = 165° выбрано с целью расширенной проверки методики, так как при больших углах ф оболочка более чувствительна к возмущению, а следовательно, полнее проявляются особенности ее деформирования.

В результате исследования выявлены области, параметрам которых соответствуют состояния оболочки, близкие к равновесным. Это означает близость в этих состояниях полной потенциальной энергии к стационарному значению по параметрам.? и X, что обуславливает лишь малые перемещения оболочки от возмущенного состояния после снятия возмущения. На рис. 13 эти области ограничены кривыми 1 и 3 и обозначены МбР1, М6^.

Кривые 1 и 3 асимптотически приближаются к линии 2, которая характерна тем, что любая ее точка соответствует состоянию равновесия оболочки.

Линия 2 делит всю исследованную в численном эксперименте область параметров .у < 2 и X 2 0,8 на две подобласти: М1 и Мг- Стрелками слева и

справа от линии указаны направления перемещений точки А вдоль оси у после снятия возмущения. Следовательно, точкам линии 2 соответствуют состояния неустойчивого равновесия. Вместе с тем при е М( от возмущенного состояния итерационный процесс приводит к состояниям "безразличного равновесия" с параметрами вД е М6р1.

Линиями 3, 4 и координатной осью X ограничена замкнутая область М°2-При 5Д 6 М°2 уравнение (5) имеет три корня. Графики зависимости корней от параметра 5 типичны для исследуемой модели, и для X = 0,45 график представлен на рис. 14 с указанием значения 5пр. В данном случае два корня равны

Согласно методике, для определения положения равновесия, соответствующего каждому из корней, в итерационном процессе (4) необходим выбор корня для продолжения процесса итераций. Выбором а3 обусловлен переход к состоянию равновесия оболочки слева от оси симметрии. При этом на каждой после выбора корня итерации перемещениям оболочки соответствуют 5 » 5пр, а следовательно, уравнение (5) имеет только одно решение.

Аналогично выбором корня а! обусловлен переход к состоянию устойчивого равновесия справа от оси симметрии.

При выборе корня а2 в ходе дальнейшего итерационного процесса появляются повторные спектры корней. Выбор в них а3 или а, связан с переходом к указанным состояниям устойчивого равновесия. Постоянный выбор в повторных спектрах корня а2 приводит в итоге не к симметричному состоянию равновесия оболочки, а к тем же состояниям слева или справа от оси симметрии. Симметричного состояния неустойчивого равновесия получить не удавалось. Объясняется это тем, что при X > Я,,ф после снятия возмущения изменению конфигурации оболочки на очередном итерационном шаге соответствует

возрастание Кроме того, выбор в повторных спектрах влечет каждый раз смену знака з. Следовательно, неизбежно получим состояние, которому соответствует б > л„р или 5 < 5пр в случае 5 и 5„р < 0. Тогда дальнейший итерационный процесс идет "автоматически", т.е. без выбора корня, так как на каждом шаге уравнение (5) имеет лишь один корень (а! или аз). В итоге получим одно из состояний устойчивого равновесия.

В положениях устойчивого равновесия кинематическая схема деформирования оболочки изменяется в связи с контактом оболочки с одной из продольных кромок. Поэтому эти положения не определялись, однако прослеживался итерационный процесс перехода по направлению к ним. Например, промежуточные состояния 1 и 3, соответствующие корням а! и а3, изображе-

Пересечение линии 2 с осью X (см. рис.13) дает критическое значение параметра нагрузки. При X < А-кр оболочка устойчива в "большом". При X > Хкр симметричное состояние оболочки неустойчиво. Вместе с тем при X е М®Р2 малым возмущениям соответствуют состояния "безразличного равновесия".

Как отмечено ранее, график, изображенный на рис. 14, является типичным для данной модели. В численном эксперименте получены зависимости сс(*'(5), к = 1 ...3, для значений параметра нагрузки 0,42 и от 0,45 до 0,75 с шагом 0,05. Эти данные использовались при построении графика функции $„Р(А,).

Исследованием выявлены и другие особенности деформирования оболочки.

Таким образом, показана принципиальная возможность применения методики для исследования деформирования конструкций. Использование предлагаемой методики позволяет расширить представления о свойствах новых конструкций и учитывать эти свойства на этапе их разработки.

ИССЛЕДОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ МЯГКОЙ ОБОЛОЧКИ, ИСПОЛЬЗУЕМОЙ В СТРОИТЕЛЬНЫХ СООРУЖЕНИЯХ

Исследовалась полуцилиндрическая оболочка со сферическими окончаниями, нагруженная внутренним давлением р и внешней распределенной нагрузкой интенсивностью q = const, имитирующей давление ветра. На рис. 16 представлена схема оболочки и указаны обозначения размеров. Размеры обо-

лочки: L = 4 м; VL = 0,5; М = 0,5; t = 10" свойства материала: Е = 5-Ю7 Па; v = 0,35.

м - толщина оболочки. Упругие

Рис. 16. Схема оболочки в исходном состоянии

В одном из вариантов нагружения задавалась внешняя боковая нагрузка (рис. 17), в другом варианте - продольная нагрузка дх. Внутреннее давление изменялось от 400 до 2400 Па с шагом 400 Па. Граничные условия на кромках оболочки: и = V = м> ~ 0, где и, V и м» - перемещения по осям х,у,г.

Исследованием установлено, что при указанных условиях закрепления нагруже-ние оболочки внутренним давлением сопровождается образованием областей с отрицательной гауссовой кривизной срединной поверхности. Эта особенность наблюдалась при всех заданных значениях внутреннего давления р.

Например, при р = 400 Па проекции пространственных кривых, соответствующих профилям недеформированной оболочки в меридиональных сечениях с угловыми координатами ф, на плоскости сечений ф + Лф показаны на рис. 18.

Рис. 17. Боковая нагрузка

Здесь значения ф ны Аф.

первые слагаемые в скобках, вторые слагаемые - величи-

Углы Аф получены следующим образом. Профиль недеформированной оболочки, соответствующий меридиональной плоскости сечения ф = const, в результате деформации образует пространственную кривую. Преобразование поворота относительно оси х позволяет получить координаты произвольной точки А(г(<р*), х) этой кривой, где г(ф*) = ^соэф* + zsuKp*; ф* = ф + Дф. Положение плоскости, на которую проектируется кривая, определено из условия максимума функции J п0 параметру Дф. Суммирование выполнено для

I

узловых точек цилиндрической части оболочки.

С целью наглядности рисунка перемещения V и w увеличены в 100 раз по отношению к размеру оболочки И.

Эпюры перемещений профилей поперечных сечений х = 0 (кривая 2) и х = (Ь- 1)12 (кривая 3) изображены на рис. 19. Перемещения уш» также увеличены в 100 раз. Кривая 1 соответствует исходному профилю цилиндриче-

Кф")

z

Рис. 18. Эпюры перемещений профилей меридиональных сечений

Рис. 19. Эпюры перемещений профилей поперечных сечений

ской части оболочки.

Рис. 20. Эпюры перемещений в меридиональных сечениях оболочки

х

Для сравнения на рис. 20 построена эпюра перемещений оболочки в меридиональных сечениях (кривая 3) при граничных условиях на кромках: и Ф 0; V Ф 0; п = 0. В этом случае эпюры для всех сечений идентичны, что является следствием независимости перемещений от угловой координаты ф. Эпюра, изображенная на рис. 20 линией 1, получена при увеличении не только перемещений V и м>, но и перемещений и. Линией 2 изобра-

жена эпюра, соответствующая случаю закрепления полюсов сфер (точки х = -//2; у = г- 0 и х = 1-//2; ^ = г = 0). Все перемещения также увеличены в 100 раз.

При других значениях р получены аналогичные результаты. Нагружение оболочки дополнительной нагрузкой ^ или приводит к появлению зон с отрицательным главным усилием т2, а при дальнейшем увеличении боковой или продольной нагрузок происходит их расширение и зарождение зон с отрицательным главным усилием т\. Такими зонами являются окрестности точек сферических частей оболочки с координатами у-г = 0.

Зависимость относительной нагрузки qiJp, при которой появляются зоны с усилиями т2 < 0, от внутреннего давления показана на рис. 21 (нижняя кривая). Верхняя кривая на этом же рисунке соответст-цателышх главных усилий вует предельной нагрузке ф, при кото.

рой еще нет отрицательных главных усилий Т\. При усилии в элементе Тг < 0 осуществлялся переход к физической модели одноосного напряженного состояния.

Для случая совместного действия р = 400 Па и ^ = 0,3р проекции перемещений профилей меридио-

0,4

02

0,1

Г, <0

Г, > о, т2< о

1200

2000

р, Па

400

Рис. 21. Предельные нагрузки, соответствующие появлению отри-

(90-ю,563)° ф* = (63+0,784)° ■1ф*= 0° - <р* = ( 9+0,082)° * (27+0,419)°

180°

(171-0,041)' (153-0,030)' (117+0,243)° * = ( 90+0,563)°

Рис. 22. Эгаоры перемещений профилей меридиональных сечений

нальных сечении, аналогичные проекциям, изображенным на рис. 18, показаны на рис. 22. Перемещения V и ю увеличены в 10 раз по отношению к размеру оболочки И.

Эпюры перемещений профилей поперечных сечений х = 0 (кривая 2) и х = (I - 1)12 (кривая 3) изображены на рис. 23. Перемещения Ун» также увеличены в 10 раз. Кривая 1 соответствует исходному профилю цилиндрической части оболочки.

Сопоставление эпюр, изображенных на рис. 18 и 19, с соответствующими

Рис. 23. Эпюры перемещений профилей поперечных сечений

эпюрами на рис. 22 и 23 показывает, что перемещения от нагрузки почти на порядок превосходят перемещения от действия давления р. Следовательно,

характерное свойство мягких оболочек - подверженность большим геометрическим изгибаниям - заметно проявляется в данной задаче.

Таким образом, форма оболочки существенно зависит от нагрузки, что, в свою очередь, оказывает влияние на распределение в ней усилий. Например, на рис. 24 штриховыми линиями 1 и 2 изображены эпюры главных усилий тх и т2 в сечении стыка цилиндрической и сферической частей (сечение х = 0) при внутреннем давлении р = 400 Па. Сплошными линиями 3 и 4 изображены эпюры главных усилий при совместном действии р = 400 Па и ду = 0,3р.

Аналогичные эпюры построены для сечения х = {1-1)12 (рис.25).

При указанной нагрузке максимальное усилие в оболочке равно 421,2 Па-м и имеет место вблизи точки с координатами х = 0; у = //2; 2 = 0.

у 400, па м

Рис. 24. Главные усилия в сечении стыка цилиндрической и сферической частей: 1 и 2 - соответственно Т1 и Тг при р = 400 Па; 3 и 4 - Т1 и Тг при р = 400 Па и ду = 0,3р

у 400, па*м 0

Рис. 25. Главные усилия в сечении х = ^ -1)17

РОС.

Исследованием устойчивости оболочки при нагрузках дх и ду, не превышающих предельных значений, соответствующих появлению зон с усилиями т\ < 0, установлена устойчивость симметричной формы равновесия для задаваемых в численном эксперименте вариантов возмущающих воз-

Ш

С Петербург

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ

Экспериментально исследовалось симметричное деформирование полусферической оболочки радиуса Л с отсеченными частями. Схема оболочки в исходном состоянии изображена на рис. 26. Отсечением частей плоскостями х = 0 и х = Ь уменьшалось общее число плоскостей симметрии оболочки до двух: у = 0 и х = Ы2. На всех кромках задавались условия закрепления и = у = и> = 0.

Оболочка, находящаяся под действием избыточного внутреннего давления р, обжималась жесткими поверхностями (штампами), имеющими форму плоскости и сферы, радиус которой равнялся 4,48 см. В каждом из этих вариантов смещение поджимающей оболочку поверхности было направлено вдоль оси z, а первоначальный контакт штампа с оболочкой происходил в точке С(1/2,0, zc), где zc— координата z точки С при давлении р.

Экспериментально определялось смещение штампа, характеризуемого координатой zq = R + wc (wc - перемещение оболочки в точке С), в зависимости от усилия поджатая Fz, прикладываемого к штампу.

Для проведения испытаний была спроектирована и изготовлена установка, позволяющая реализовать условия закрепления оболочки и ее нагружение согласно постановке задачи эксперимента.

Нагрузочные характеристики оболочки снимались при избыточных давлениях 5 066 и 7 599 Па. В ходе эксперимента принимались меры по снижению сил трения в зоне контакта штампа с оболочкой.

Численно определялось усилие, соответствующее определенному в эксперименте смещению штампа. Расчеты выполнены при ej = Ю-6 м и 82 = Ю-3 Н. Силы трения в зоне контакта штампа с оболочкой не учитывались. Базовым принято деление оболочки в меридиональном направлении на 60 частей, а в окружном - на 80. Предпочтительность такого разбиения проверена пробными расчетами.

Таким образом, усилия, задаваемые в эксперименте, сравнивались с усилиями, определенными численно.

Результаты экспериментальных исследований и расчетные данные пред-

R= 9,05 см 1=16,43 см

Рис. 26. Схема оболочки и ее размеры

ставлены на рис. 27. На этом рисунке символ § - ускорение свободного падения. При р = 5066 Па максимальное отличие результатов в случае обжатия плоскостью составило менее 1,8 %, а при обжатии сферой - менее 3,0 %. При увеличенном давлении отличие результатов составило для плоскости менее 9,8 % и 7,4 % - для сферы. Более близкое соответствие полученных данных при меньшем давлении объясняется малыми деформациями срединной поверхности оболочки (до 3 %). При р = 1599 Па деформации увеличиваются до 7 %, а следовательно, линейная физическая модель материала, использование преобразования (1), а также возросшие силы трения в зоне контакта приводят в итоге к увеличению отклонений сравниваемых величин.

Рис. 27. Экспериментальные и расчетные данные обжатия оболочки жесткими штампами: 1 — обжатие плоскостью; 2 — обжатие сферой

Таким образом, экспериментально подтверждена вполне удовлетворительная степень адекватности предложенной математической модели деформированию реальных оболочек в случаях малых деформаций срединной поверхности.

Основные выводы

1. Разработана конечно-элементная модель конструкций с мягкими оболочками, базирующаяся на преобразовании (1) и потенциалах давления сред.

Преобразование позволяет получить разрешающие уравнения без привлечения соотношений Коши-Грина и разложения функции полной потенциальной энергии деформируемой системы в окрестности текущего состояния. Уравнения являются "точными", а в качестве искомых величин рассматриваются не перемещения, а переменные координаты узлов.

Выражение действия избыточного давления через потенциалы давления сред приводит к принципиальному изменению системы разрешающих уравнений. В этом случае действие избыточного давления относится уже к следящей нагрузке, поэтому разделяются понятия критического состояния оболочки и критического состояния системы в целом. В критическом состоянии оболочки равен нулю якобиан вектор-функции узловых сил ^(х), обусловленных деформациями оболочки, тогда как критическое состояние всей системы характеризуется равенством нулю якобиана вектор-функции всех узловых сил. В критическом состоянии оболочки частные производные Ч^*) по некоторой части искомых переменных равны нулю либо они не существуют, что связано с образованием морщин (складок) на отдельных участках срединной поверхности.

2. На основе конечно-элементной модели и схем решения разрешающих уравнений получена математическая модель деформирования конструкций с мягкими оболочками при статическом нагружении. Предложенные схемы обеспечивают сходимость итерационного процесса решения уравнений вне зависимости от удаленности равновесного состояния. Модель позволяет исследовать докритическйе и закритические состояния, целенаправленно находить смежные формы равновесия при анализе деформирования.

3. Разработана методика анализа нелинейного деформирования конструкций, базирующаяся на математической модели и методе продолжения решения по параметру. Применение методики дает возможность выявить и исследовать характерные свойства новых конструкций, а следовательно, учесть эти свойства на этапе их проектирования.

4. Тестированием и экспериментальными исследованиями подтверждена достоверность результатов, получаемых по алгоритмам, созданным на основе модели и методики.

5. Решены демонстрационные задачи деформирования оболочек общего вида. Например, при исследовании составной оболочки, используемой в строительных сооружениях, выявлен краевой эффект в зонах сопряжения цилиндрической части со сферическими окончаниями и установлены области с отрицательной гауссовой кривизной срединной поверхности.

6. Решены демонстрационные задачи анализа нелинейного деформирования стержня и мягкой цилиндрической оболочки.

7. Численным экспериментом подтверждена эффективность алгоритмов, разрабатываемых по предложенным в диссертационной работе схемам.

8. Решены указанные ранее проблемы, стоящие при расчетах мягких оболочек с использованием статических моделей деформирования. В частности:

• проблема начала расчета (проблема 1) решена благодаря тому, что в конечно-элементной модели действие избыточного давления выражено через потенциалы давления сред;

• предпосылкой решения проблемы окончания расчета (проблема 2), связанной с образованием морщин и складок оболочки, служит переход к физической модели одноосного напряженного состояния. Решение проблемы обусловлено использованием потенциалов давления сред и введением в алгоритмы процедуры (4) совместно с уравнением (5);

• решение проблемы обеспечения точности (проблема 3) связано с использованием в алгоритмах конечно-элементной модели, в которой, благодаря преобразованию (1), выполняется условие совместности конечных элементов и одновременно с этим точно представлены в элементах жесткие смещения и постоянные деформации независимо от величины перемещений.

Вместе с тем в проблеме окончания расчета исследованиями установлена вторая причина расходимости итерационного процесса при решении задач традиционными методами. Связана она с закритическим деформированием, когда необходимо выделение и получение конкретного решения из множества решений, в то время как общие подходы к анализу нелинейного деформирования оболочек еще не отработаны.

Предложенная методика анализа позволяет решить проблему окончания расчета и в этих случаях.

9. Одношаговые схемы МКЭ не гарантируют уменьшения и тем более малости вектора невязки узловых сил по отношению к исходному вектору, а следовательно, точности определения напряженного состояния. Поэтому практически все задачи целесообразно рассматривать в геометрически нелинейной постановке, а условное отнесение задачи к линейному или нелинейному классу устанавливается в ходе вычислительного процесса "автоматически" в зависимости от удаленности определяемого равновесного состояния и задаваемой степени точности расчета.

10. Разработанные алгоритмы и программы позволили выполнить, в частности, расчет мягкой оболочки дирижабля полужесткой конструкции.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Белянкин М. И., Пиновский М. Л., Устинов В. В. Об автоматизации расчета рабочих параметров упругих пневмоэлементов с РКО вращения при осесимметричных нагрузках // Седьмая Дальневосточная конф. по мягким оболочкам: Тез. докл. - Владивосток: ДВВИМУ, 1983. - С. 133 - 136.

2. Белый В Д., Белянкин М. И. О равновесной форме сетчатой оболочки пневмоэлементов / Омский политех, ин-т, 1984. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.04.84, № 2387 - 84Деп.

3. Белянкин М. И. Конечно-элементное представление и расчет мягких оболочек // Динамика механизмов и машин: Междунар. науч.-техн. конф.: Тез. докл. - Омск: ОмГТУ, 1997. - Кн. 1. - С. 33.

4. Белянкин М. И. Конечно-элементное представление и схема расчета мягких оболочек // Математические пробл. механ. сплош. сред: Сиб. шк.-семинар СО РАН: Тез. докл. - Новосибирск: ИГиЛ СО РАН, 1997. - С. 28 - 29.

5. Белянкин М. И. Расчет мягкой оболочки методом конечных элементов // Технич. ВУЗы - Республике: Материалы 52-й Междунар. науч.-техн. конф. БГПА.-Минск: БГПА, 1997.-Ч.2.-С. 103.

6. Белянкин М. И. Итерационные схемы расчета мягких оболочек / Омский госуд. техн. ун-т, 1998. - 13 с. - Деп. в ВИНИТИ 16.03.98, № 733 - В98.

7. Белянкин М. И. Модификация метода конечных элементов для расчета мягких оболочек // Зимняя школа по механ. сплош. сред (двенадцатая): Тез. докл. - Екатеринбург: УрО РАН, 1999. - С. 86.

8. Белянкин М. И. Об одной схеме расчета конструкций с мягкими оболочками // Динамика систем, механизмов и машин: Материалы Междунар. науч.-техн. конф. - Омск: ОмГТУ, 1999. - С. 59 - 60.

9. Белянкин М. И Деформационные составляющие в уравнениях метода конечных элементов для мягких оболочек / Омский госуд. техн. ун-т, 1999. -10 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.03.99, № 940 - В99.

10. Белянкин М И Обоснование модификации метода конечных элементов для расчета конструкций с мягкими оболочками / Омский госуд. техн. ун-т, 1999. - 34 с. - Деп. в ВИНИТИ 15.12.99, № 3706 - В99.

11. Белянкин М. И. Вариант метода конечных элементов расчета конструкций из структурно-неоднородных материалов // Восьмой Всероссийский съезд по теор. и прикл. механ.: Тез. докл. - Екатеринбург: УрО РАН, 2001. -С. 95.

12. Белянкин М. И. Связь деформаций в простейших конечных элементах с изменением длин их характерных параметров / Сиб. госуд. автомоб.-дор. академия, 2001. - 6 с. - Деп. в ВИНИТИ 16.01.01, № 110 - В2001.

13. Белянкин М. И, Анализ нелинейного деформирования конструкций и их элементов // Строительные и дорожные машины. - 2002. - № 11. -С. 35-38.

14. Белянкин М. И. Схема численного исследования нелинейного деформирования конструкций // Дорожно-транспортный комплекс, экономика, экология, строительство и архитектура: Материалы Междунар. науч.-практ. конф. - Омск: СибАДИ, 2003. - Кн. 3. - С. 39 - 41.

15. Белянкин М. И Концепция модели деформирования конструкций и их элементов // Изв. вузов. Строительство. - 2003. - № 4. - С. 34 - 39.

16. Белянкин М. И Метод численного исследования деформирования конструкций с мягкими оболочками // Изв. вузов. Машиностроение. - 2003. - № 6. - С. 17-28.

17. Белянкин М. И. Численная проверка модели деформирования конструкций и их элементов // Изв. вузов. Строительство. - 2003. - № 6. -С. 106-108.

18. Белянкин М И. Численная проверка методики анализа нелинейного деформирования конструкций // Строительные и дорожные машины. - 2003. -№7.-С. 44-45.

19. Белянкин М. И. Потенциалы давления сред в модели деформирования конструкций с мягкими оболочками // Изв. вузов. Строительство. - 2003. -№8.-С. 12-17.

20. Белянкин М. И. Методика численного исследования характерных свойств конструкций при деформировании // Проблемы машиностроения: Труды XXXIII Уральского семинара по механике и процессам управления. -Екатеринбург: УрО РАН, 2003. - С. 40 - 51.

21. Белянкин М. И. Модель и методика исследования нелинейного деформирования конструкций // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте: Материалы VI Междунар. конф. - С-Пб: ПГУПС, 2004. -С. 80-81.

22. Белянкин М. И. Численное исследование деформирования конструкций с мягкими оболочками // Механика и процессы управления. Т. 1: Труды XXXIV Уральского семинара. - Екатеринбург: УрО РАН, 2004. - С. 358 - 367.

S

I

Белянкин Михаил Иванович

МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ КОНСТРУКЦИЙ С МЯГКИМИ ОБОЛОЧКАМИ И МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ ИХ ХАРАКТЕРНЫХ СВОЙСТВ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

* * *

Подписано к печати 28.04.05 Формат 60x90 1/16. Бумага писчая Оперативный способ печати Усл. п.л. 2,5; уч.-изд. л. 2,5 Тираж 100 экз. Заказ 36

• • *

Отпечатано в ГГЦ издательства СибАДИ 644099, Омск, ул. П. Некрасова, 10

f

\

i

i

i

I

I

I

j

Is t

!»

i (

>

il

РНБ Русский фонд

2007-4 5084

2 5 OKI 2С05

ВВЕДЕНИЕ

1. Состояние проблемы. Задачи исследования

1.1. Область применения мягких оболочек

1.2. Теоретическое направление исследований мягких оболочек

1.2.1. Базовые формы оболочек в расчетных моделях

1.2.2. Задачи и принципиальные схемы расчета

1.2.3. Основные направления теоретических исследований

1.3. Исследование оболочек численными методами

1.3.1. Численные методы расчета тонких оболочек

1.3.2. Численные методы исследования мягких оболочек

1.4. Выводы по главе

1.5. Задачи исследования

2. Конечно-элементная модель конструкций с мягкими оболочками

2.1 Общая постановка задачи

2.2. Основные допущения '

2.3. Кинематические соотношения

2.4. Физические соотношения. Энергия деформации

2.4.1. Энергия деформации элемента в бесскладчатом состоянии оболочки

2.4.2. Энергия деформации элемента при одноосном напряженном состоянии

2.5. Деформационные составляющие в конечно-элементной модели

2.6. Выражение действия давления внутренней и внешней сред через потенциалы давления

2.6.1. Описание распределения давления внутренней и внешней

2.6.2. Потенциалы давления сред

2.7. Составляющие давления сред в конечно-элементной модели

2.8. Составляющие давления сред в плоской задаче деформирования оболочек

2.9. Разрешающие уравнения МКЭ и их структура

2.10. Структура матрицы касательной жесткости

2.11. Частные случаи уравнений равновесия

2.12.1. Тентовая конструкция

2.12.2. Пневмоконструкция под действием избыточного давления

2.12.3. Уравнения равновесия равнонапряженной пленки, натянутой на заданный контур

Широкое применение экономически выгодных конструкций с мягкими оболочками, дальнейшее их совершенствование является одним из направлений научно-технического прогресса. Особо бурное развитие это направление получило за последние десятилетия. В значительной степени этому способствовали создание и производство современных высокопрочных материалов, обладающих также многими другими положительными характеристиками и свойствами.

Создание сложных, а в большинстве случаев уникальных объектов с мягкими оболочками требует тщательного анализа их работы. Экспериментальные исследования таких объектов связаны с большими материальными затратами, удлиняют сроки разработок, а зачастую являются невыполнимыми. Поэтому новые подходы к анализу базируются на использование компьютерных технологий и численных методов. Методики расчета, ориентированные на использование ЭВМ, позволяют приблизить расчетные модели к реальным конструкциям, обоснованно выбирать наиболее выгодные варианты из множества возможных, значительно снизить затраты на проектирование.

Одним из современных численных методов является метод конечных элементов (МКЭ), позволяющий исследовать как отдельные элементы конструкции, так и конструкцию в целом. Однако применение МКЭ к расчету конструкций с мягкими оболочками сопряжено с рядом трудностей, обусловленных проблемами нелинейного деформирования тонких оболочек в сочетании с особенностями формообразования мягких оболочек. Вследствие этого степень отработки методов и алгоритмов решения задач статики еще недостаточна, а численное решение статических задач строится, как правило, на базе динамических моделей, требующих больших затрат как на разработку программ, так и на проведение расчетов. При этом создаваемые программные комплексы не охватывают всего многообразия задач, возникающих в практике проектирования конструкций с мягкими оболочками.

При проектировании сложных объектов с мягкими оболочками рассматриваются и рассчитываются многие варианты конструктивных решений при различных исходных данных. Использование простых и эффективных алгоритмов расчета, позволяющих выявить свойства конструкций на этапе их разработки, является экономически целесообразным. Поэтому усилия ученых и исследователей направлены на совершенствование существующих и поиск новых эффективных подходов к расчету мягких оболочек.

В диссертации на основе нового подхода разработана математическая модель квазистатического нелинейного деформирования конструкций с мягкими оболочками, а также методика численного исследования характерных свойств конструкций при деформировании. Численными и экспериментальными исследованиями подтверждается достоверность результатов, получаемых по алгоритмам, созданным на базе модели и методики.

Диссертация состоит из введения, 9 глав, выводов по работе и библиографического списка.

Основные выводы по работе

1. Разработана математическая модель, позволяющая численно исследовать формообразование и напряженное состояние конструкций с мягкими оболочками общего вида при квазистатическом нагружении.

Основу модели составляют:

A. Конечно-элементная модель, построенная на базе подхода, включающего:

• кинематические соотношения, устанавливающие связь деформаций в элементе с удлинениями его сторон. Соотношения позволяют обеспечить совместность элементов и вместе с тем точно представить в элементах жесткие смещения и постоянные деформации независимо от величины перемещений;

• физические уравнения, отражающие слабую сопротивляемость материала мягкой оболочки при сжатии и сдвиге;

• использование потенциалов давления сред. Введение потенциалов позволяет точнее учесть воздействие сред при больших перемещениях оболочки, а также в случаях образования зон одноосного напряженного состояния материала. В критическом состоянии оболочки составляющие матрицы касательной жесткости, обусловленные давлением сред, являются естественными параметрами регуляризации решения задачи;

• представление полной потенциальной энергии системы функцией координат узлов;

• получение разрешающих уравнений прямой минимизацией функции энергии по координатам, характеризующим деформированное состояние;

• получение касательной жесткости в форме матрицы Якоби вектор-функции узловых сил.

B. Схемы итерационного решения системы разрешающих уравнений, основанные на использовании предлагаемой процедуры в сочетании с уравнением для определения ее параметра.

2. На основе конечно-элементной модели и схем решения разрешающих уравнений получена математическая модель деформирования конструкций с мягкими оболочками при квазистатическом нагружении. Предложенные схемы обеспечивают сходимость итерационного процесса решения уравнений вне зависимости от удаленности равновесного состояния. Модель позволяет исследовать критические и закритические состояния, целенаправленно находить смежные формы равновесия при анализе деформирования.

3. Разработана методика анализа нелинейного деформирования конструкций, базирующаяся на математической модели и методе продолжения решения по параметру. Применение методики дает возможность выявить и исследовать характерные свойства новых конструкций, а следовательно, учесть эти свойства на этапе их проектирования.

4. Тестированием и экспериментальными исследованиями подтверждена достоверность результатов, получаемых по алгоритмам, созданным на основе модели и методики.

5. Решены демонстрационные задачи деформирования оболочек общего вида. Например, при исследовании составной оболочки, используемой в строительных сооружениях, выявлен краевой эффект в зонах сопряжения цилиндрической части со сферическими окончаниями и установлены области с отрицательной гауссовой кривизной срединной поверхности.

6. Решены демонстрационные задачи анализа нелинейного деформирования стержня и мягкой цилиндрической оболочки.

7. Численным экспериментом подтверждена эффективность алгоритмов, разрабатываемых по предложенным в диссертационной работе схемам.

8. Решены указанные ранее проблемы, стоящие при расчетах мягких оболочек с использованием статических моделей деформирования. В частности:

• проблема начала расчета (проблема 1) решена благодаря тому, что в конечно-элементной модели действие избыточного давления выражено через потенциалы давления сред;

• предпосылкой решения проблемы окончания расчета (проблема 2), связанной с образованием морщин и складок оболочки, служит переход к физической модели одноосного напряженного состояния. Решение проблемы обусловлено использованием потенциалов давления сред и введением в алгоритмы процедуры (ЗЛО) совместно с уравнением (3.11). Выражение действия избыточного давления через потенциалы давления сред приводит к принципиальному изменению системы разрешающих уравнений. В этом случае действие избыточного давления относится уже к следящей нагрузке, поэтому разделяются понятия критического состояния оболочки и критического состояния системы в целом. В критическом состоянии оболочки равен нулю якобиан вектор-функции узловых сил Ч^х), обусловленных деформациями оболочки, тогда как критическое состояние всей системы характеризуется равенством нулю якобиана вектор-функции всех узловых сил. В критическом состоянии оболочки частные производные Ч^х) по некоторой части искомых переменных равны нулю либо они не существуют, что связано с образованием морщин (складок) на отдельных участках срединной поверхности.

• решение проблемы обеспечения точности (проблема 3) обусловлено использованием в алгоритмах конечно-элементной модели, в которой,

Ф благодаря преобразованию (2.1), выполняется условие совместности конечных элементов и одновременно с этим точно представлены в элементах жесткие смещения и постоянные деформации независимо от величины перемещений.

Вместе с тем, в проблеме окончания расчета исследованиями установлена вторая причина расходимости итерационного процесса при решении задач традиционными методами. Связана она с закритическим деформированием, когда необходимо выделение и получение конкретного решения из множества решений, в то время как общие подходы к анализу нелинейного деформирования оболочек еще не отработаны.

Предложенная методика анализа позволяет решить проблему окончания расчета и в этих случаях.

9. Одношаговые схемы МКЭ не гарантируют уменьшения и тем более малости вектора невязки узловых сил по отношению к исходному вектору, а следовательно, точности определения напряженного состояния. Поэтому практически все задачи целесообразно рассматривать в геометрически нелинейной постановке, а условное отнесение задачи к линейному или нелинейному классу устанавливается в ходе вычислительного процесса «автоматически» в зависимости от удаленности определяемого равновесного состояния и задаваемой степени точности расчета.

10. Разработанные алгоритмы и программы позволили выполнить, в частности, расчет мягкой оболочки дирижабля полужесткой конструкции.

На защиту выносятся: 1. Конечно-элементная модель на основе:

• кинематических соотношений, устанавливающих связь деформаций в элементе с изменением его характерных размеров;

• физических уравнений, отражающих слабую сопротивляемость материала при сжатии и сдвиге;

• потенциалов давления сред (газ, жидкость), контактирующих с внутренней и внешней поверхностями оболочки;

• представления полной потенциальной энергии системы функцией координат узлов;

• уравнений равновесия, полученных прямой минимизацией функции энергии по координатам, характеризующим деформированное состояние;

• матрицы касательной жесткости в форме матрицы Якоби вектор-функции узловых сил.

2. Схемы решения разрешающих уравнений, базирующиеся на предлагаемой процедуре.

3. Методика анализа нелинейного деформирования конструкций.

4. Результаты решения тестовых задач.

5. Результаты численного эксперимента.

6. Решения демонстрационных задач деформирования оболочек общего вида, в том числе оболочки строительного назначения.

7. Результаты численного анализа деформирования моделей стержня и мягкой цилиндрической оболочки.

8. Результаты экспериментальных исследований и их сравнения с данными, полученными МКЭ.

1. Абовский Н. П., Андреев Н. П., Деруга А. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М. Наука, 1978. - 287 с.

2. Агамиров В. Л. Динамические задачи нелинейной теории оболочек. -М.: Наука, 1990.-272 с.

3. Агамиров В. Л., Глухарев А. Н., Пятьшев Р. В. Свободные аэростаты. Конструкция, материалы и проектирование. М.: ВВИА, 1961.-241 с.

4. Александров А. В., Лащеников Б. Я., Шапошников Н. Н. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы / Под ред. А. Ф. Смирнова. М.: Стройиздат, 1983. - 488 с.

5. Алексеев С. А. Основы общей теории мягких оболочек // Расчет пространственных конструкций. 1967. - Вып XI. - С. 31 - 52.

6. Алексеев С. А. Задачи статики и динамики мягких оболочек // Материалы VI Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1966.-С. 31 -40.

7. Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1991. - 334 с. - (Б-ка расчетчика).

8. Алфутов Н. А., Зиновьев П. А., Попов Б. Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. — М.: Машиностроение, 1984. 263 с. - (Б-ка расчетчика).

9. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974.-448 с.

10. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц: Пер. с англ. / Под ред. А. Ф. Смирнова. М.: Стройиздат, 1968. - 241 с.

11. Арсенъев JI. Б., Поляков В. П. Пневматические сооружения. М.: Знание, 1981.-63 с.

12. Ахундов В. М. Итерационный метод расчета однородных и слоистых оболочек вращения из высокоэластичных материалов // Механика композитных материалов. 1990. - № 1. - С. 109 - 116.

13. Бадриев И. Б., Шагидуллин Р. Р. Исследование одномерных уравнений статического состояния мягких оболочек и алгоритма их решения // Изв. вузов. Мат. 1992. - № 1. - С. 8 - 16.

14. Бадриев И. Б., Шагидуллин Р. Р. Исследование сходимости итерационного процесса для решения одной стационарной задачи теории мягких оболочек // Исслед. по прикл. мат. 1992. - № 18. - С. 3 - 12.

15. Балабух Л. И., Усюкин В. И. Приближенная теория мягких оболочек вращения // Тр. Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1973. - С. 230 - 235.

16. Бандурин Н. Г., Николаев А. П. К расчету непологих оболочек с учетом геометрической нелинейности // Прикл. механика. 1985. - Т. 21. -№ 8. - С. 56 - 63.

17. Бате К, Вилсон Э. Численные методы анализа и метод конечных элементов: Пер с англ. М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.

18. Бахвалов Н. С. Численные методы. М.: Наука, 1975. - Т. 1. - 631 с.

19. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. -М.: Наука, 1987.-352 с.

20. Бедрин А. В., Друзь И. Б., Непейвода В. Г. Определение силовых и геометрических параметров открытых круглых бассейнов из мягких оболочек // Расчетные методы и практика судовых мягких и гибких конструкций. Владивосток: Изд-во ДВВИМУ, 1987. - С. 64 - 74.

21. Белянкин М. И. Связь деформаций в простейших конечных элементах с изменением длин их характерных параметров // Омск: Изд. Сиб. госуд. автомоб.-дор. академия, 2001. 6 с. - Деп. в ВИНИТИ 16.01.01, № 110 - В2001.

22. Белянкин М. И. Анализ нелинейного деформирования конструкций и их элементов // Строительные и дорожные машины. 2002. - № 11. -С. 35 -38.

23. Белянкин М. И. Концепция модели деформирования конструкций и их элементов // Изв. вузов. Строительство. 2003. - № 4. - С. 34 - 39.

24. Белянкин М. И. Метод численного исследования деформирования конструкций с мягкими оболочками // Изв. вузов. Машиностроение. 2003.- № 6. С. 17-28.

25. Белянкин М. И. Численная проверка модели деформирования конструкций и их элементов // Изв. вузов. Строительство. 2003. - № 6. -С. 106- 108.

26. Белянкин М. И. Численная проверка методики анализа нелинейного деформирования конструкций // Строительные и дорожные машины. -2003.-№7.-С. 44-45.

27. Белянкин М. И. Потенциалы давления сред в модели деформирования конструкций с мягкими оболочками // Изв. вузов. Строительство. 2003.- № 8. С. 12-17.

28. Белянкин М. И. Методика численного исследования характерных свойств конструкций при деформировании // Проблемы машиностроения: Труды XXXIII Уральского семинара по механике и процессам управления. -Екатеринбург: УрО РАН, 2003. С. 40 - 51.

29. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. М.: Наука, 1966. -Т. 1.-632 с.

30. Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1977. - 488 с. - (Б-ка расчетчика).

31. Бидерман В. Л., Букин Б. Л. Уравнения равновесия безмоментной сетчатой оболочки // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1966. - № 1. -С. 81-89.

32. Богачев А. В., Исупов Л. П. Вариант расчета гибкой оболочки вращения // Вестн. МГУ. 1995. - Сер. 1. - С. 62 - 66.

33. Боглаев Ю. П. Вычислительная математика и программирование. М.: Высш. школа, 1990. - 544 с.

34. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961.-339 с.

35. Болотин В. В. О понятии устойчивости в строительной механике // Проблемы устойчивости в строительной механике. М.: Стройиздат, 1965. -С. 6-27.

36. Большие перемещения осесимметричной оболочки из нелинейно-упругого материала / Ершов В. И, ; Волог. политехи, ин-т. Вологда, 1994. - 11 с. - Библиогр.: 3 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 02.03.94, № 495 - В94.

37. Бурман 3. И., Артюхин Г. А., Захрин Б. Я. Программное обеспечение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженерных расчетах. М.: Машиностроение, 1988. - 256 с.

38. Бухин Б. Л. Применение теории сетчатых оболочек к расчету пневматических шин // Сб. тр. НИИШП. М., 1974. - С. 59 - 74.

39. Быков Д. Л. О некоторых методах решения задач теории пластичности // Упругость и неупругость. М.: МГУ, 1975. - С. 119 - 139.

40. Валишвили Н. В. О выборе параметра при численном решении краевых задач статики гибких оболочек // Прикл. механика. 1984. - Т. 20. -№ 11.-С. 115-118.

41. Василенко Н. В., Бабенко А. Е., Трубачев С. И. Комплекс «Оболочка» автоматического формирования сетки треугольных элементов для многосвязных оболочечных областей // Проблемы прочности. 1989. - С. 104- 106.

42. Васильев Ф. 77. Лекции по методам решения экстремальных задач. М.: Изд-во МГУ, 1974. - 374 с.

43. Висячие покрытия и мосты: Межвуз. сб. науч. тр. / Ред. Кирсанов Н. М. -Воронеж: Изд-во ун-та, 1985. 191 с.

44. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.-320 с.

45. Вознесенский С. Б., Ермолов В. В., Клятис Г. Я. Проектирование пневматических конструкций в СССР и за рубежом (обзор). М.: Стройиз-дат, 1975.-337 с.

46. Волков Е. А. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 248 с.

47. Ворович К И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука, 1989. - 376 с.

48. Восьмая Дальневосточная конференция по мягким оболочкам: Тез. докл. / Отв. ред. проф. Б. И. Друзь Владивосток: Изд-во ДВВИМУ, 1987.-247 с.

49. Гайнутдинов В. Г., Гайнутдинова Т. Ю. О численном анализе нелинейного деформирования гибких конструкций // Изв. вузов. Авиац. техника. 1993. - № 3. - С. 8 - 13.

50. Гайнутдинов В. Г, Павлов В. А. Прикладная теория и алгоритм динамического расчета эластичных несущих поверхностей // Изв. вузов. Авиац. техника. 1990. - № 2. - С. 15 - 17.

51. Галимов К. 3. К нелинейной теории тонких оболочек типа Тимошенко // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1976. - № 4. - С. 155 - 166.

52. Галимов К. 3. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1975. - 326 с.

53. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы: Пер. с англ. М.: Мир, 1984.-428 с.

54. Гимадиев Р. Ш., Гулин Б. В., Ширханов Н. Н. Прочность мягких оболочек. Статика. Обзор // Прочность и устойчивость оболочек. Труды семинара / Казанск. физ.- техн. ин-т. 1977, № 9. - С. 88 - 115.

55. Голованов А. И., Корнишин М. С. Введеие в метод конечных элементов статики тонких оболочек. Казань: Физ.-техн. ин-т, 1989. - 269 с. ■

56. Григолюк Э. И., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978.-360 с.

57. Григолюк Э. И., Мамай В. И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. М.: Наука: Физматлит, 1997. - 272 с.

58. Григолюк Э. И., Шалашилин В. И. Модифицированные формы метода продолжения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела // Проблемы математики и механики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд., 1983. - С. 55 - 70.

59. Григолюк Э. И., Шалашилин В. И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачахмеханики твердого деформируемого тела. М.: Наука, 1988. 231 с.

60. Григоренко Я. М., Гуляев В. Я. Нелинейные задачи теории оболочек и методы их решения // Прикл. механика. (Киев). 1991. - 27, № 10. -С. 3-23.

61. Григоренко Я. М. Решение задач теории оболочек методами численного анализа // Прикл. механика. 1984. - № 10. - С. 3 - 22.

62. Григоренко Я. М., Кокошин С. С. Численный анализ напряженного состояния слоистых анизотропных оболочек на базе смешанной модели МКЭ // Прикл. механика. 1982. - Т. 18. -№ 2. - G. 3 - 6:

63. Григоренко Я. М., Крюков Ю. И. Решение на основе сплайн-аппроксимации двумерных задач статики гибких пологих оболочек // Прикл. механика. (Киев). 1995. - 31, № 4. - С. 10 - 16.

64. Григоренко Я. М, Тимонин А. М. Об одном подходе к численному решению краевых задач теории оболочек в координатах общего вида // Прикл. механика. (Киев). 1994. - 30, № 4. - С. 14 - 20.

65. Девятая Дальневосточная конференция по мягким оболочкам: Тез. докл. / Отв. ред. проф. Б. И. Друзъ Владивосток: Изд-во ДВВИМУ, 1991. -104 с.

66. Десятая Дальневосточная конференция по мягким оболочкам: Тез. докл. / Отв. ред. проф. Б. И. Друзь Владивосток: Изд-во ДВГМА, 1995. - 71 с.

67. Динамика движения парашютных систем / А. И. Антоненко, О. В. Ры-сев, Ф. Ф. Фатыхов, В. М. Чуркин, Ю. Н. Юрцев. М.: Машиностроение, 1982 .-152 с.

68. Динамика мягких тормозных систем / С. М. Белоцерковский, И. В. Днеп-ров, А. Т. Пономарев, О. В. Рысев II Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1983.-№ 1.-С. 47-54.

69. Дробышевский Н. И. Модифицированный четырехугольный конечный элемент для решения двумерных задач нелинейного деформирования конструкций // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1996. -№2.- С. 152- 162.

70. Друзь Б. И. Восьмая Дальневосточная конференция по мягким оболочкам // Строительная механика и расчет сооружений. 1988. - № 3. -С. 62-63.

71. Друзь Б. И. Девятая Дальневосточная конференция по мягким оболочкам, Владивосток, 24-28 сент., 1991 // Строительная механика и расчет сооружений. 1992. - № 3. - С. 95 - 96.

72. Друзь Б. И., Кислоокий В. Н., Хованец В. А. и др. Постановка и численное решение задач динамики и равновесия мягких оболочек // Исследования по судовым мягким и гибким конструкциям. Владивосток: Изд-во ДВВИМУ, 1982. - С. 113 - 130.

73. Друзь Б. И. Нелинейные уравнения теории колебаний мягких оболочек / Сообщения ДВВИМУ по судовым мягким оболочкам, вып. 24. Владивосток, 1973.-С. 34-50.

74. Друзь Б. И. Нелинейные уравнения осесимметричных задач мягких оболочек вращения // Исследования по судовым мягким и гибким конструкциям: Сб. научн. тр. Владивосток: ДВВИМУ, 1982. - С. 61 - 70.

75. Друзь Б. И. Определение одноосных зон в цилиндрических мягких оболочках // Исследования по судовым мягким и гибким конструкциям: Сб. научн. тр. Владивосток: ДВВИМУ, 1982. - С. 38 - 45.

76. Дыховичный Ю. А., Жуковский Э. 3., Ермолов В. В. и др. Современные пространственные конструкции (железобетон, металл, дерево, пластмассы): Справочник / Под ред. Ю. А. Дыховичного, Э. 3. Жуковского. М.: Высш. школа, 1991. - 543 с.

77. Емельянов Н. Ф. О физических соотношениях изотропных высокорастяжимых пленочных материалов // Сообщения лаборатории мягких оболочек ДВВИМУ. Владивосток, 1970. - Вып 13. - С. 58 - 76.

78. Ермолов В. В. Воздухоопорные здания и сооружения. М.: Стройиздат, 1980.-304 с.

79. Ермолов В. В. Прошлое, настоящее и будущее пневматических строительных конструкций // Пневматические строительные конструкции. -М.: Стройиздат, 1983. С. 5 - 47.

80. Ермолов В. В., Орса Ю. Н. Проектирование воздухоопорных зданий и сооружений. М.: МАрхИ, 1986. - 88 с.

81. Жидков А. В., Леонтьев Н. В. Численный анализ нелинейного деформирования мягких композитных цилиндрических оболочек // Тр. 16 Меж-дунар. конф. по теории оболочек и пластин. Нижний Новгород, 1993. -Н. Новгород, 1994. Т. 2. - С. 96 - 101.

82. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ. М.: Мир, 1975.-541 с.

83. Злобин Г. П., Симонов Ю. А. Суда на воздушной подушке. Л.: Судостроение, 1971.- 424 с.

84. Ильченко А. В., Темненко В. А. О форме купола парашюта // Динамические системы. (Киев). 1986. -№ 5. - С. 21 - 25.

85. Исследование и опыт эксплуатации строительных конструкций из тканевых и листовых материалов: Сб. научн. тр. М.: ЦНИИСК им. Кучеренко, 1982.- 195 с.

86. Исследование парашютов и дельтапланов на ЭВМ / С. М. Белоцерков-ский, М. И. Ништ, А. Т. Пономарев, О. В. Рысев; Под ред. С. М. Бело-церковского. — М.: Машиностроение, 1987. -240 с.

87. Исследование строительных конструкций из тканевых материалов: Сб. науч. тр. М.: ЦНИИСК им. Кучеренко, 1984. - 125 с.

88. Ишии К. Проектирование и расчет пневматических сооружений // Пневматические строительные конструкции. М.: Стройиздат, 1983. -С. 273 -299.

89. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

90. Киричевский В. В., Сахаров А. С. Исследование больших прогибов нетонких оболочек методом конечного элемента // Проблемы прочности. — 1975.-№ 11.-С. 64-71.

91. Кислоокий В. Н. Исследование статики и динамики висячих пневмонап-ряженных и комбинированных систем методом конечных элементов // Строительная механика и расчет сооружений. 1977. - № 4. -С. 27-30.

92. Кислоокий В. Н., Сахаров А. С., Соловей Н. А. Моментная схема метода конечных элементов в геометрически нелинейных задачах прочности и устойчивости оболочек // Проблемы прочности. 1977. - № 7. -С. 25-32.

93. Кислоокий. В. Н., Цыхановский В. К Соотношения метода конечных элементов в нелинейных задачах статики мягких оболочек // Численные методы решения задач строительной механики. Киев: Изд-во КИСИ, 1978.-С. 46-51.

94. Кислоокий В. Н., Цыхановский В. К, Хованец В. А. и др. Некоторые особенности решения контактных задач теории мягких оболочек методом конечных элементов // Судовые мягкие и гибкие конструкции. Владивосток: Изд-во ДВВИМУ, 1983. - С. 39 - 44.

95. Кислоокий В. Н., Цыхановский В. К, Шимановский А. В., и др. Комплекс программ для статических и динамических расчетов нелинейных комбинированных систем // Сопрот. матер, и теория сооружений. (Киев).1986.-№48.-С. 32-35.

96. Кислоокий В. Н., Хованец В. А., Цыхановский В. К. и др. Взаимодействие сильнодеформируемых мягкооболочечных устройств при статическом и динамическом нагружении // Судовые мягкие и гибкие конструкции. Владивосток: Изд-во ДВВИМУ, 1989. - С. 118 - 130.

97. Клабукова Л. С. О корректности краевых задач и приближенном решении их для безмоментных сетчатых оболочек // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1995. - 35, № 11. - С. 1715 - 1728.

98. Клабукова Я. С., Пшеничное Г. И. Решение краевых задач моментных сетчатых оболочек как безмоментных с поправками типа погранслоя // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1995. -35, № 12. - С. 1854 - 1871.

99. Конструкции с использованием мягких и гибких материалов: Сб. науч. тр. Владивосток: Изд-во ДВГМА, 1995. - 71 с.

100. Корнишин М. С. Нелинейные задачи теории пластин и оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964. - 192 с.

101. Корнишин М. С., Паймушин В. М., Снигирев В. Ф. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек. М.: Наука, 1989. - 208 с.

102. Кузнецов В. В., Сойников Ю. В. Анализ деформации оболочек при произвольных перемещениях методом конечных элементов // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1987.-№ 1 - С. 131 - 138.

103. Кулагин В. Д. Некоторые вопросы общей теории одноосно-напряжеиных мягких оболочек // Строительная механика и расчет сооружений. 1970. - № 3. - С. 16 - 18.

104. Лапин А. А. Резино-кордовые оболочки как упругие и силовые элементы машин / Труды МВТУ им. Н.Э. Баумана, -М.: Машгиз, 1952, вып. 16.-С.5-35.

105. Ларев А. В., Мосеев Ю. В. Расчет характеристик напряженно-деформированного состояния каркасированных оболочек МКЭ // Динамические системы. Киев, 1982. - Вып. 1. - С. 37 - 43.

106. Лащеников Б. Я., Дмитриев Я. Б., Смирнов М. Н. Методы расчета на ЭВМ конструкций и сооружений. М.: Стройиздат, 1993. - 388 с.

107. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. - 512 с.

108. Магула В. Э., Друзь Б. И., Кулагин В. Д. Судовые мягкие емкости. JL: Судостроение, 1966. - 287 с.

109. Магула В. Э. Общие закономерности складкообразования мягких оболочек // Труды НКИ. 1972. - Вып 63. - С. 3 - 10.

110. Магула В. Э. Основные зависимости теории мягких оболочек // Труды НКИ.- 1973.-Вып. 78.-С. 3-15. •

111. Магула В. Э. Физические соотношения для растяжимой сети // Труды НКИ. 1973. - Вып 78. - С. 16 - 25.

112. Магула В. Э., Коробанов Ю. Н. Метод расчета резинотканевых оболочек вращения // Труды НКИ. 1974. - Вып. 84. - С. 70 - 75.

113. Магула В. Э. Судовые эластичные конструкции. JL: Судостроение, 1978.-264 с.

114. Магула В. Э., Шелудяков А. А. Расчет пневмобалок, подкрепленных гибкой связью // Строительная механика и расчет сооружений. 1992. - № 3. - С. 3 - 8.

115. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.-608 с.

116. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1989.-416 с.

117. Метод определения приближенных форм комбинированных мягко-оболочечных конструкций / Логвинова Т. А.; Киев, инж.-строит. ин-т. -Киев, 1988. 12 е.: ил. - Библиогр.: 4 назв. - Рус. - Деп. в УкрНИИНТИ 12.12.88, № 2966-Ук88.

118. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений / Под ред. В. А. Постнова. Л.: Судостроение, 1979. - 288 с.

119. Методика решения системы уравнений для конечноэлементного расчета оболочек как трехмерных тел / Рожновский В. Ф.\ Днепропетр. ун-т. Днепрпетровск, 1995. - 17 с. - Библиогр.: 9 назв. - Рус. - Деп. в ГНТБ Украины 6.07.95. - № 1720 - Ук95.

120. Механика пневматических шин как основа рационального конструирования и прогнозирования эксплуатационных свойств: Сб. тр. НИИШП. -М., 1974.-208 с.

121. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.-512 с.

122. Михлин С. Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966.-432 с.

123. Модификация треугольного плоского конечного элемента для расчетов тонких оболочек / Серпик И. Н.\ Брян. ин-т трансп. машиностр. -Брянск, 1995. 12 е.: ил. - Библиогр.: 4 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 13.12.95.-№ 3300-В95.

124. Морозов Ю. А. Предельное состояние изгибаемых пневмостержневых конструкций из нелинейно-упругого материала // Исслед. строит, констр. из тканевых материалов: Сб. науч. тр. М.: ЦНИИСК им. Кучеренко, 1984.-С. 53-61.

125. Муштари X. М., Галимов К. 3. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957. - 432 с.

126. Мяченков В. И., Григорьев И. В. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ. Справочник. М.: Машиностроение, 1981. - 212 с.

127. Напряженно деформированное состояние раскрывающегося парашюта / Н. Л. Горский, И. В. Днепров, Ю. В. Мосеев, А. Т. Пономарев, О. В. Рысев II Статика и динамика гибких систем. М., 1987. -С. 194-201.

128. Некоторые вопросы расчета сетчатых оболочек / Лебедь Е. В., Гордеев Ю. С.; Сарат. политехи, ин-т. Саратов, 1992. - 57 е.: ил. - Библиогр.: 43 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 5.10.92, №2908-В92.

129. Немировский Ю. В., Резников Б. С. Прочность элементов конструкций из композиционных материалов. — Новосибирск: Наука, 1986. 168 с.

130. Немировский Ю. В., Шалагинова И. Ю. Пневматические армированные оболочки в строительстве // Изв. вузов. Стр-во. 1995. - № 12. -С. 45-49.

131. Николаев Б. К. Численное решение задач статики гибких сферических оболочек переменной жесткости // Вычисл. и прикл. мат. 1992. -№73.-С. 61 -66.

132. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов: Пер. с англ.-М.: Мир, 1981.-304 с.

133. О прочности и весе конструкции дирижабля I В. М. Фролов, В. М. Чи-жов, В. Ю. Еремин, А. П. Сорокин II Труды ЦАГИ. 1991. - № 2476. -С. 33 -37.

134. Образцов И. Ф., Савельев Л. Н, Хазанов X. С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высш. школа, 1985. - 392 с.

135. Огай С. А., Друзь Б. И. Теория и расчет пневмоконструкций. Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 1994. 179 с.

136. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред: Пер. с англ. М.: Мир, 1976. - 464 с.

137. Оптимизация судовых мягких и гибких конструкций: Сб. науч. тр. -Владивосток: Изд-во ДВВИМУ, 1985.- 120 с.

138. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными: Пер. с англ. — М.: Мир, 1975.-558 с.

139. Отто Ф., Тростелъ Р. Пневматические строительные конструкции: Пер. с нем. М.: Стройиздат, 1967. - 320 с.

140. Отто Ф., Шлейер Ф.-К. Тентовые и вантовые строительные конструкции: Пер. с нем. М.: Стройиздат, 1970. - 175 с.

141. Петраков Б. И. Бетонирование конструкций с использованием пнев-моопалубки. JL: Стройиздат, 1974. - 89 с.

142. Петраков Б. И. Возведение конструкций с помощью пневмоопалубок в районах Севера. Д.: Стройиздат, 1984. - 218 с.

143. Пискунов В. Г., Вериженко В. Е. Линейные и нелинейные задачи расчета слоистых конструкций. Киев: БудДвельник, 1986. - 176 с.

144. Пневматические строительные конструкции / В. В. Ермолов, У. У. Бэрд, Э. Бубнер и др.; Под ред. проф. В. В. Ермолова. М.: Стройиздат, 1983.-437 с.

145. Пономарев А. П. Численный расчет сетчатых конструкций методом невязок // Механика композитных материалов. 1990. - № 4. — С. 745 - 747.

146. Постное В. А., Хархурим И. Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974. - 344 с.

147. Проектирование и расчет пневмоконструкций: Сб. науч. тр. Владивосток: Изд-во Дальневост. гос. мор. акад 1991. - 65 с.

148. Проектирование и эксплуатация конструкций из мягких оболочек: Сб. науч. тр. Владивосток: Изд-во ДВВИМУ, 1990. - 93 с.

149. Пшеничное Г. И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластинок. М.: Наука, 1982. - 352 с.

150. Пшеничный Б. Н. Метод линеаризации. М.: Наука, 1983. - 136 с.

151. Пшеничный Б. Н., Данилин Ю. М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. - 320 с.

152. Рассказов А. О. Расчет многослойной ортотропной пологой оболочки методом конечных элементов // Прикл. механика. 1978. - Т. 14. - № 8. -С. 51-56.

153. Расчет мембран с учетом складкообразования в физически нелинейной постановке / Васильков Г. В., Морозова Н. Е., Панасюк Л. Н.\ Рост, инж.-строит. ин-т. Ростов н/Д, 1991. - 18 е.: ил. - Библиогр.: 6 назв. -Рус. - Деп. в ВИНИТИ 5.08.91, № 3332 - В91.

154. Расчет тонкостенных пространственных конструкций пластинчатой и пластинчато-стержневой структуры / В. А. Игнатьев, О. Л. Соколов, И. Альтенбах, В. Кисслинг М.: Стройиздат, 1996. - 559 с.

155. Расчетные методы и практика судовых мягких и гибких конструкций: Сб. науч. тр. Владивосток: Изд-во ДВВИМУ, 1987. - 124 с.

156. Расчеты и испытания на прочность: метод и программа расчета на ЭВМ осесимметричных оболочечных конструкций при учете физической и геометрической нелинейности: Метод, рекомендации: MP. 200-86 / Разраб. М. С. Корнишин и др. М., 1986. - 32 с.

157. Ридель В. В. Статика и динамика мягких оболочек // Обзор исслед. по мех. сплош. среды: К 50-летию Казан, науч. ценра РАН / РАН Казан, науч. центр. — Казань, 1995. С. 47 - 59.

158. Рикардс Р. Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. — Рига: Зинатне, 1988. — 284 с.

159. Рикардс Р. Б., Чате А. К. Вариант геометрически нелинейных соотношений теории анизотропных оболочек типа Тимошенко в задачах устойчивости // Механика композитных материалов. 1985. — № 2. — С. 292-297.

160. Розин Л. А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Д.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. - 224 с.

161. Рысев О. В. Вопросы формообразования неосесимметричных парашютов // Гидроупругость оболочек: Тр. семинара Казан, физ.-техн. ин-та. 1985. - Вып. 16. - С. 146 - 154.

162. Савула Я. Г. Представление срединных поверхностей оболочек резными поверхностями // Прикл. механика. — 1984. — Т. 20. № 12. — С. 70-75.

163. Самарский А. А. Введение в численные методы. — М.: Наука, 1987. — 286 с.

164. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 591 с.

165. Сахаров А. С., Кислоокий В. Н., Киричевский В. В. и др. Метод конечных элементов в механике твердых тел / Под общ. ред. А. С. Сахарова, И. Альтенбаха. Киев: Вища школа; Лейпциг: ФЕБ Фехбухферлаг, 1982.-479 с.

166. Сахаров А. С. Моментная схема конечных элементов (МСКЭ) с учетом жестких смещений // Сопротивление материалов и теория сооружений. Вып. XXIV - С. 147- 156.

167. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов: Пер. с англ.1. М.: Мир, 1979.-392 с.

168. Седьмая Дальневосточная конференция по мягким оболочкам: Тез. докл. / Отв. ред. проф. Б. И. Друзь Владивосток: Изд-во ДВВИМУ, 1983.- 175 с.

169. Сергеев Б. И. Расчет мягких конструкций гидротехнических сооружений. Учебное пособие. Новочеркасск: НИМИ, 1973. - 176 с.

170. Сичкарев В. И. Классификация мягких силовых конструкций // Труды НКИ. Николаев, 1973. - Вып. 78. - С. 76 - 78.

171. Скворцов Ю. А., Хазанов X. С. Нелинейный анализ произвольных оболочечных конструкций с использованием криволинейного изопа-раметрического элемента // Изв. вузов. Авиац. техника. 1989. - № 2. -С. 15-19.

172. Скворцов Ю. В., Хазанов X. С. Расчет многослойных композитных оболочек в геометрически нелинейной конечноэлементной постановке // Изв. вузов. Авиац. техника. 1992. — № 1. - С. 6 - 10.

173. Совершенствование конструкций, изготовляемых с применением мягких оболочек: Сб. науч. тр. Владивосток: Изд-во ДВВИМУ, 1986. -135 с.

174. Совершенствование судовых устройств и гибких конструкций: Сб. науч. тр. / Николаев, кораблестроит. ин-т. Николаев, 1986. - 116 с.

175. Совершенствование судовых устройств и гибких конструкций: Сб. науч. тр. / Николаев, кораблестроит. ин-т. Николаев, 1987. - 96 с.

176. Совершенствование судовых устройств и гибких конструкций: Сб. науч. тр. / Николаев, кораблестроит. ин-т; Ред. М. Н. Александров — Николаев, 1988.- 115 с.

177. Стрекозов Н. П. Некоторые вопросы осесимметричных формоизменений мягких оболочек // Теория оболочек и пластин. М.: Наука, 1973. -С. 342-344.

178. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов: Пер. с англ. -М.: Мир, 1977.-349 с.

179. Строительная механика корабля: Труды НКИ. Николаев, 1974. -Вып. 84. - 144 с.

180. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений / А. Ф. Смирнов, А. В. Александров, Б. Я. Лащеников, Н. Н. Шапошников. -М.: Стройиздат, 1984.-415 с.

181. Судовые гибкие конструкции: Труды НКИ. Николаев, 1972. -Вып. 63. - 148 с.

182. Судовые гибкие конструкции: Труды НКИ. Николаев, 1973. -Вып. 78.- 120 с.

183. Судовые гибкие конструкции: Труды НКИ. — Николаев, 1974. -Вып. 92. 140 с.

184. Судовые гибкие конструкции: Труды НКИ. Николаев, 1975. -Вып. 106.- 125 с.

185. Судовые мягкие и гибкие конструкции: Сб. науч. тр. Владивосток: Изд-во ДВВИМУ, 1983. - 127 с.

186. Судовые мягкие и гибкие конструкции: Сб. науч. тр. Владивосток: Изд-во ДВВИМУ, 1989. - 142 с.

187. Судовые устройства, системы и гибкие конструкции: Труды НКИ. -Николаев, 1980.-Вып. 167.-92 с.

188. Теория мягких оболочек и их использование в народном хозяйстве / Под ред. И. И. Воровича. Ростов н/Д: Изд-во Рост, ун-та, 1976. - 167 с.

189. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач // ДАН СССР. 1963.-Вып. 151.-№3.-С. 501 -504.

190. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // ДАН СССР. 1963.-Вып. 153.-№ 1.-С. 49-52.

191. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач.1. М.: Наука, 1986.-286 с.

192. Усюкин В. И. Деформации мембранных оболочек вращения // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1964. - № 2. - С. 134 - 140.

193. Усюкин В. И., Терещенко В. А. Расчет подвижных пневматических соединений из тканевых оболочек // Расчеты на прочность. 1975. - Вып. 16.-С. 136- 144.

194. Усюкин В. И. Об уравнениях теории больших деформаций мягких оболочек //Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1976. -№1.-С. 70-75.

195. Усюкин В. И., Борсое Р. Г., Терещенко В. А. К расчету оболочек пнев-моконструкций // Строительная механика и расчет сооружений. 1977. -№2.-С. 21 -25.

196. Усюкин В. И., Терещенко В. А., Борсое Р. Л Разностные методы решения двумерных задач статики мягких оболочек // Расчет пространственных конструкций. М., 1979. - Вып. XVIII. - С. 69 - 84.

197. Усюкин В. И. Техническая теория мягких оболочек и ее применение для расчета пневматических конструкций // Пневматические строительные конструкции. -М.: Стройиздат, 1983. С. 299 - 333.

198. Усюкин В. И. Строительная механика конструкций космической техники. М.: Машиностроение, 1988. - 392 с.

199. Усюкин В. И. Основы теории и расчет мягких тонкостенных конструкций из композитных материалов // Механика композитных материалов. 1990. - № з. с. 480 - 484.

200. Усюкин В. И. Современные проблемы механики мягких оболочек // Тр. 16 Междунар. конф. по теории оболочек и пластин, Нижний Новгород, 21-23 сент., 1993. Т. 2.-Н. Новгород, 1994.-С. 14-25.

201. Филин А. 77. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат, 1987. -383 с.

202. Фотинич О. В. К расчету радиальных шин // Сб. тр. НИИШП. М., 1974.-С. 45 -58.

203. Харнах Р. Расчет воздухоопорных конструкций на ветровые нагрузки // Пневматические строительные конструкции. М.: Стройиздат, 1983.-С. 383 -436.

204. Хауг Э. Проектирование и расчет пневматических конструкций с использованием МКЭ // Пневматические строительные конструкции. М.: Стройиздат, 1983.-С. 333 -361.

205. Хуберян К. М. Основы расчета мягких оболочек и пластин при помощи смешанного вариационно-стержневого метода // Статика и динамика гибких систем. М., 1987. - С. 201 - 207.

206. Хуберян К. М., Хволес А. Р., Вознесенский С. Б. Методика расчета пологих мягких оболочек и ее практическое применение // Исслед. строит, констр. из тканевых материалов: Сб. науч. тр. М.: ЦНИИСК им. Кучеренко, 1984.-С. 75 -88.

207. Численные методы в теории упругости и теории оболочек / Н. 77. Абов-ский, Н. 77. Андреев, А. 77. Деруга, В. И. Савченков. Красноярск, 1986. -383 с.

208. Численные методы решения некорректных задач / Тихонов А. Н., Гон-чаровский А. В., Степанов В. В., ЯголаА. Г. — М.: Наука, 1990. 229 с.

209. Шалашилин В. И. Метод продолжения решения по параметру в одномерных краевых задачах нелинейного деформирования // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1987. - № 3 - С. 94 - 100.

210. A handbook of finite element systems / Ed. by C. A. Brebbia II Southampton: CML Publ., 1981. 490 p.

211. Anderson W., Park J., Dungan M. Numerical analysis consepts for ballon analysis // AIAA Pap. 1994. - N 0511. - P. 1 - 11.

212. Argyris J. H., Dunne P. C., Haase M, Orkisz J. Higher-order simplex element for large strain analysis. Natural approach // Computer Methods Appl. Mech. a. Eng. 1978. - 16, N 3. - P. 369 - 403.

213. Baginski Frank. Modeling nonaxisymmetric off-design shaps of large scientific ballons // AIAA Journal. 1996. - 34, N 2. - P. 400 - 407.

214. Brebbia C., Connor J. Geometrical nonlinear finite element analysis // J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civil Eng. 1969. - 95, N EM2. -P. 463-483.

215. Clough R. W., Johnson C. P. A finite element approximation for the analysis of thin shells // Intern. J. Solids a. Structures. 1968. - 4, N 1. - P. 43 -60.

216. Contri P., Schrefler B. A. A geometrically nonlinear finite element analysis of wrinkled membrane surfaces by a no-compression material model // Com-mun. Appl. Numer. Meth.- 1988.-4, N l.-P. 5- 15.

217. Corneliussen A. H., Shield R. T. Finite deformation of elastic membraneswith application to the stability of an inflated and extended tube // Archive for rational mechanics and analysis. 1961. -7, N 4. - P. 273 - 304.

218. Cowper G. R., Lindberg A. M., Olson M. D. A shallow shell finite element of triangular shape // Intern. J. Solids a. Structures. 1970. - Vol. 6. -P. 1133 - 1156.

219. Dean Donald L. Membrane analysis of shells // J. Engng Mech. Div. Amer. Soc. Civil Engrs. Part I. - 89, N 5, 1963, - P. 65-85, - Part II. -90, N3, 1964,-P. 287.

220. Delpak R. Static analysis of thin rotational shells // Computers a. Structures. 1980. - 11, N 4. - P. 305 - 325.

221. Amsterdam е. a., 1986. P. 111 - 118.

222. Dvorkin E. N; Bathe K. J. A continuum mechanics based four-node shell element for general nonlinear analysis. // Eng. Comput. 1984. - 1, N 1.1. P. 77-88.

223. Ernst L. J. A geometrically nonlinear finite element shell theory. Delfit: Techn. Hogeschool Delft, 1981.-265 p.

224. Flugge W., Gey ling F. A general theory of deformations of membrane shells // Actes IX Congr. internat mec. Appl., Bruxelles Univ. Bruxelles, 1957.-Vol. 6.-P. 250-262.

225. Fujikake Masahisa, Kojima Osamu, Fukushima Seiichiro. Analysis of fabric tension structures // Comput. and Struct. 1989. - 32, N 3 - 4. -P. 537-547.

226. Gallagher R. H. Finite element analysis of geometrically nonlinear prob-Ф lems // Theory and practice in finite element structural analysis / Ed. by Y.

227. Yamada, R. H. Gallagher. Tokyo: Univ. Press, 1973. - P. 109 - 123.

228. Glockner P. G., Szyszkowski W. Inflatables in outer space: The challenge // Spat. Struct. Turn Millennium: Proc. IASS Symp., Copenhagen, 2-6 Sept., 1991. Vol. 1.-Copenhagen, 1991. C. 75 - 81.

229. Gruttman F., Taylor R. L. Theory and finite element formulation of rubberlike membrane shells using prinsipal stretches // Int. J. Numer. Meth. Eng. -1992.-35, N5.-P. 1111-1126.

230. Haddow J. В., Wegner J. L., Jiang L. An approach to finite static axially symmetric deformation of a hyperelastic membrane // Acta mech. 1992. -92, N 1 - 4. - P. 77-90.

231. Haug E., Powell G. H. Finite element analysis of nonlinear membrane structures // Proc. 1971 IASS Pacific Symposium: Part II (Tension Structures and Space Frames). Tokyo and Kyoto. - P. 165 - 175.

232. Hughes T. J. R., Liu W. K. Nonlinear finite element analysis of shells. 2.

233. Two dimensional shells // Computer Methods Appl. Mech. a. Eng. 1981. -27, N 2. - P. 167-181.

234. Ishii Kazuo. Stress concentration for fabric membrane structures // Shells Membanes and Spase Frames: Proc. IASS Symp. Membrane Struct, and Spase Frames, Osaka, 15-19 Sept., 1986. Vol. 2. Amsterdam e. a., 1986. -P. 25-32.

235. Knapp R. H., Szilard R. Nonlinear differential equations for general membrane shells // Proc. Pacif. Symp. Tokyo and Kyoto, 1971. 1972, -P. 155 - 162.

236. Kydoniefs A. D. Finite axisymmetric deformations of elastic membranes // Int. J. Eng. Sci. 1972. - 10, N 11. - P. 939 - 946.

237. Li C.-T., Leonard J. W. Finite element analysis of inflatable shells // Proc. Amer. Soc. Civil Engrs. 1973. - 99, N EM3. - P. 495 - 514.

238. Morley L. S. D. Hellinger-Reissner principles for plate and shell finite elements // Intern. J. Numerical Methods Eng. 1984. - 20, N 11. -P. 773 - 777.

239. Muttin F. Structural analysis of sails // Eur. J. Mech. A. 1991. - 10, N 5. -P. 517-534.

240. Naghdi P. M. On the theory of thin elastic shells // Quart. Appl. Math . -1957.- 14, N4.-P. 369-380.

241. Nandakumar C. G., Rajagopalon K. Nonlinear analysis of drop shaped subsea shells // Int. Symp. "Innov. Appl. Shells and Spat. Forms", Bangalore, Nov. 21-25, 1988: Proc. Vol. 1.-Rotterdam, 1989.-P. 317 328.

242. Noor A. K. Recent advances in reduction methods for nonlinear problems // Computers a. Structures. 1981. - Vol. 13.-P. 31 —41.

243. Novak Paul S., Sadeh Willy Z., Janakus Jeffrey. Inflatable structures for a lunar base habitat // AIAA Pap. 1992. - N 1031. - P. 1 - 10.

244. Oden J. Т., Carrey A. F. Finite elements // Englewood Cliffs. Prentice

245. Olson M. D., Bear den T. W. A simple flat triangular shell element revisited // Intern. J. Numerical Methods Eng. 1979. - 14, N 1. - P. 51 - 68.

246. Reissner E. Stress-strain relations in the theory of thin elastic shells // f J. Math. Phys. 1952. - 31, N 2. - P. 109 - 119.

247. Schimmels S. A., Palazotto A. N. Nonlinear geometric and material behavior of shell structures with large strains // J. Eng. Mech. 1994. - 120, N2.-P. 320-345.

248. Schur W. W. Recent advances in the structural analysis of scientific bal-lons // Adv. Spase Res. 1994. - 14, N 2. - C. 43 - 47.

249. Suzuki Toshio, Hangai Yasuhiko. Shape analysis of minimal surface by the у finite element method // Spat. Struct. Turn Millennium: Proc. IASS Symp.,

250. Copenhagen, 2-6 Sept., 1991. Vol. 2. Copenhagen, 1991. - C. 103 - 110.

251. Wang Na, Chen Xin, Shen Shizhao. Geometric and material non-linear analysis latticed shell // Tumu gongcheng xuebao: China Civ Eng. J. 1993.-26, N2.-P. 19-28.

252. Washizu К. Variational methods in elasticity and plasticity. New York: Pergamon Press, 1975. - 412 p.

253. Zienkiewicz 0. C. The finite element method: from intuition to generality // Appl. Mech. Rev. 1970. -N 3. - P. 249 - 256.