автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели и численные методы для задач теории изотропных мягких оболочек

Введение

§ 1. Предмет исследования.

§ 2. Развитие теории мягких оболочек.

§3. Содержание диссертации.

Глава 1. Математическое моделирование деформированного состояния однородной изотропной мягкой оболочки

§ 1. Уравнение равновесия мягкой оболочки.

§ 2. Физические соотношения для мягких оболочек.

§ 3. Гиперупругость мягкой оболочки.

§ 4. Преобразования уравнений равновесия мягкой оболочки.

Глава 2. Исследование одномерных уравнений.

§1. Введение. Первые результаты, следующие из общей теории монотонных операторов.

§2. Теоремы существования при линейном физическом законе

§ 3. Теоремы существования при физическом законе, отличном от степенного с целым показателем.

§ 4. Двухслойный итерационный процесс решения стационарной задачи теории мягких оболочек.

§ 5. Асимптотический анализ уравнений равновесия упругой оболочки при стремлении изгибной жесткости к нулю.

§6. Теорема существования для нелинейной нестационарной задачи теории мягких оболочек.

Глава 3. Двумерные задачи теории мягких оболочек

§ 1. Исследование на основе теоремы о неявной функции.

§2. Критерий монотонности тензора Пиолы для мягких оболочек

§3. Минимизация функционала полной энергии для мягкой оболочки

Глава 4. Моделирование аэрогидродинамических нагрузок при отрывном обтекании оболочки. Задачи взаимодействия.

§ 1. Стационарные задачи.

§ 2. Моделирование нестационарных отрывных течений над оболочкой с использованием вихревой пелены

§ 3. Решение задач отрывного обтекания с помощью метода конечных элементов

§ 1. Предмет исследования.

Мягкие оболочки в классе тонких упругих оболочек выделяются неспособностью воспринимать сжимающие усилия и сопротивляться чистому изгибу. При анализе их напряженно-деформированного состояния пренебрегают изгибающими и крутящими моментами, а также перерезывающими усилиями.

Как мягкие оболочки в определенных условиях ведут себя ткани, эластичная пленка, стенки биологических объектов.

Возможность моделирования реальных оболочек как мягких в конкретных задачах определяется не только физическими свойствами материала оболочки, но и характером внешних нагрузок. Поясним это утверждение примером. Уравнение равновесия упругой бесконечно длинной круговой цилиндрической оболочки, когда воздействующая по нормали сила / не меняется вдоль образующей, имеет вид (2.5.6):

Здесь s дуговая координата вдоль предполагающейся нерастяжимой срединной поверхности оболочки; k(s) — кривизна контура; ш — постоянная, определяемая дополнительными условиями; D — изгибная жесткость. При малых D оболочку можно охарактеризовать как безмоментную (и как мягкую при дополнительных свойствах материала). Но, как видно из уравнения (1), форма оболочки не изменится, если вместо уменьшения D увеличим нагрузку /.

Четкие критерии "мягкости" (когда можно пренебречь сопротивлением сжимающим усилиям и изгибающим моментам) оболочки, отражающие специфические черты исследуемой задачи, приведены в [73, с. 28] k»(s) + ±k3(s)-u,k(s) = ±f(s). D

1)

1 - |/2)0

2) < 9

1 - v2)T ^ 0.015.

4) l-i/2)p(l + 4 р) здесь Е — условный модуль упругости оболочки при изгибе, и — коэффициент Пуассона, h — толщина оболочки, I — характерный размер, р — внешняя нагрузка в характерной точке, f = F/1 — относительная стрелка прогиба оболочки от нагрузки, и — допускаемые напряжения при изгибе, Т — допускаемые усилия растяжения. Первые два критерия отражают физические свойства материала, третий учитывает размеры и условия работы изучаемой оболочечной конструкции. Критерий (2) получен как количественная оценка границ изгибаемости оболочки, в пределах которых не проявляют себя остаточные напряжения; считается, что оболочка имеет возможность терять устойчивость, собираясь в складки, при наличии малых сжимающих усилий, если выполнено неравенство (3), итак, это условие несопротивляемости сжимающим усилиям; как видно из (4) "мягкость" оболочки увеличивается с уменьшением кривизны, вызванной деформацией, с ростом линейных размеров по сравнению с толщиной и внешних нагрузок. Формулы (2)-(4) выведены для оболочек, изгибающихся по цилиндрической поверхности.

Сказанное поясняет, почему в некоторых работах деформации цилиндрических металлических корпусов межконтинентальных ракет (свободные от заполнителя и других элементов ракеты) рассчитывают по уравнениям теории мягких оболочек.

Обсуждая далее характеристические свойства мягких оболочек, отметим их большую деформативность; разнообразие форм, которые может принять оболочка при деформации. В связи с отметим следующее.

1) Уравнения равновесия мягкой оболочки выписываются в геометрических и физических терминах конечного напряженно-деформированного состояния оболочки.

2) Как следствие: решения уравнений равновесия не зависят от формы начального ненапряженного состояния (в задачу начальное состояние "входит" только через краевые условия).

3) По условиям задачи бывают необходимы нестандартные, не принятые в классической теории упругих оболочек ограничения в виде неравенств: отсутствие самопересечения оболочки; невырожденность поверхности, которая представляет оболочку. В классической теории последние факты устанавливаются постскриптум: получают решение, а уже потом проверяется, что решение физически и геометрически реалистично. Последнее чаще всего даже не проверяется, а считается само собой разумеющимся.

4) Как правило, задача расчета напряженно-деформированного состояния мягкой оболочки есть задача взаимодействия с окружающей средой: нагрузка на оболочку (например, со стороны потока жидкости) существенно зависит от формы деформированной оболочки.

5) Ввиду больших деформаций и перемещений элементов оболочки задачи для мягких оболочек, как правило, геометрически нелинейны. Нелинейность вносят также упомянутые выше ограничения в виде определенных неравенств. Основное из них: ©(Ai,A2) ^ 0. Здесь @(Ai,A2) — функция, выражающая физический закон связи главных касательных усилий Ti, Т2 с главными степенями удлинений Ai, А2 элемента оболочки:

Легкость, компактность, транспортабельность, способность к большим и быстрым формоизменениям, прочность и высокая экономичность конструкций из мягких оболочек обеспечивают быстрое расширение области их применения. Следующие сферы человеческой деятельности дают примеры использования мягких оболочек.

1) Строительство: воздухоопорные сооружения, пневмоконструкции, водоналивные плотины, ветрозащитные устройства, конструкции из тонких эластомеров (скафандры, мягкие емкости), плавучие мосты.

2) Транспорт: парашюты, дирижабли, гибкие ограждения судов на воздушной подушке, элементы движителей колеблющегося типа.

3) Медицина: моделирование поведения оболочек сердца, желудка, кишечника; моделирование мембран клеток.

В многообразии задач, связанных с практическим использованием мягких оболочек, проявляется и многообразие применяемых материалов, а, следовательно, и физических законов (5), связывающих усилия и степени удлинения.

В предлагаемой работе мы исследуем вопросы математического моделирования изотропных однородных мягких оболочек, находящихся в статическом равновесии, исключаем из специального рассмотрения сетчатые мягкие оболочки (последние не сопротивляются еще и сдвиговым усилиям) и только в нескольких параграфах изучаем динамические задачи (для

Ti = e(Ai,A2), T2 = e(A2jAi).

5) этих задач важны специальные вопросы, которыми автор не занимался: ударные нагрузки, волновые процессы)

Наши усилия направлены в основном на получение теорем разрешимости уравнений равновесия мягкой оболочки, рассматриваемых с различными законами ©(Лх, Л2), или включенных в более общую систему уравнений задачи взаимодействия оболочки и среды. Отметим, что, совпадая по форме с уравнениями безмоментного состояния, уравнения равновесия мягких оболочек имеют вырождение в главном члене в силу ограничения: е(Аь Л2) ^ 0.

В работе изучается также сходимость некоторых классических методов получения приближенного решения: простой итерации, метода Бубнова-Галеркина, метода конечных элементов, — изучается в связи с исследованием свойств корректности предлагаемых моделей или обоснованием их выбора.

Рассмотрены в работе вопросы асимптотического поведения решений (уравнения (1) при D —У 0). Предложены модели определения гидродинамических нагрузок (как статических, так и динамических) на оболочку, когда она находится в потоке жидкости.

1. Абдюшева Г.Р., Серазетдтнов З.Г., Шагидуллин P.P. Алгоритм численного расчета отрывного обтекания замкнутого контура с использованием сплайнов// Исследования по прикладной математике. Изд-во Казанского Университета, Казань, 1989, с. 3-16.

2. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг J1. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. Москва. Издательство ИЛ. 1962, 206 с.

3. Алексеев С.А. Мягкие нерастяжимые оболочки (осесимметричная задача)// В сб.: Научно-техническая конференция 1952 года по расчету гибких пластин и оболочек. Изд-во ВВИА, 1952, с. 73-98.

4. Алексеев С.А. Одноосные мягкие оболочки//Изв. АН СССР, МТТ, 1971, №6, с. 89-94.

5. Алексеев С.А. Основы общей теории мягких оболочек//Расчет пространственных конструкций. Вып. 10. М.: Стройиздат, 1966, с. 31-52.

6. Алексеев С.А. Условия существования двухосного напряженного состояния мягких оболочек//Изв. АН СССР. Механика, 1965, 5, с.81-84.

7. Альтенбах X., Жилин П.А. Общая теория упругих простых оболочек/Успехи механики, 1988, т. 11, в. 4, с. 107-148.

8. Асимптотическая теория отрывных течений. Под ред. Сычева В.В., М.: Наука 1987, 256 с.

9. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966, 544 с.

10. Бадриев И.Б., Панкратова О.В., Шагидуллин P.P. Итерационные методы решения задач фильтрации с разрывным законом с предельным градиентом//Дифференц. уравнения, 1997, т. 33, №3, с. 396 399.

11. Бадриев И.Б., Шагидуллин P.P. Исследование одномерных уравнений статического состояния мягкой оболочки и алгоритма их реше-ния//Изв. вузов. Математика, 1992, №1, с. 8-16.Литература 225

12. Бадриев И.Б., Шагидуллин P.P. Исследование сходимости итерационного процесса для решения одной стационарной задачи теории мягких оболочек//Исследования по прикладной математике, вып. 18, Казань.: Изд-во КГУ, 1992, с. 3-12.

13. Бадриев И.Б., Шагидуллин P.P. Классические и обобщенные решения уравнений одноосного состояния мягкой оболочки 1.//Сеточн. методы решения дифференц. уравнений, Казань.: Изд-во КГУ, 1986, с. 14-28.

14. Бадриев И.Б., Шагидуллин P.P. О сходимости итерационного процесса с монотонным оператором в гильбертовом пространстве/ /Исследования по прикладной математике, 1997, вып. 22, Казань: Изд-во Казанского математического общества, с. 17-21.

15. Балабух Л.И., Усюкин В.И. Приближенная теория мягких оболочек вращения//Теория оболочек и пластин. М.: Наука, 1973, с. 230-235.

16. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука. 1982, 392 с.

17. Белоцерковский С.М., Котовский В.Н., Ништ М.И., Федоров P.M. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел. М.: Наука, 1988, 232 с.

18. Белоцерковский С.М., Ништ М.И., Пономарев А.Т., Рысев О.В. Исследование парашютов и дельтапланов на ЭВМ. М.: Машиностроение, 1987, 260 с.

19. Берже М. Геометрия, т. 1. М.: Мир, 1984, 560 с.

20. Биркгоф Г., Сарантонелло Э. Струи, следы и каверны. М.: Мир, 1964, 466 с.

21. Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Геометричесике неравенства. Л.: Наука, 1980, 288 с.Литература 226

22. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М. : Наука, 1989, 373 с.

23. By Т. Яо-Цзу Кавитационные и спутные течения//Сб. перев. Механика, 1973, в. 5 (141), с. 48-87.

24. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978, 336 с.

25. Гахов Ф.Д. Краевые задачи, М.: ГИ ФМЛ, 1963, 640 с.

26. Гельбаум В., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967, 252 с.

27. Гильманов А.Н. Методы адаптивных сеток в задачах газовой динамики. М.: Физматлит, 2000, 248 с.

28. Гимадиев Р.Ш., Гулин Б.В., Шихранов Н.Н. Прочность мягких оболочек. Статика. Обзор//Прочность и устойчивость оболочек. Труды семинара КФТИ КФАН СССР. В. 9. Казань, 1977, с. 89-115.

29. Гимадиев Р.Ш. Математическое моделирование взаимодействия мягких оболочек со средой//Докт. дисс. Казанский государ, технич. ун-т. 1998, 275 с.

30. Глухова Н.А., Гулин Б.В. Нестационарное взаимодействие мягкой оболочки в потоке// Колебания упругих конструкций с жидкостью. М.: ЦНТИ "Волна", 1984, с.77-82.

31. Гогиш J1. В., Степанов Г.Ю. Турбулентные отрывные течения. М.: Наука, 1979, 368 с.

32. Гольденвейзер A.J1. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976, 512 с.Литература 227

33. Григорьев А.С. Напряженное состояние безмоментных цилиндрических оболочек при больших деформациях//Прикладная математика и механика, 1957, т.21, №6, с. 827-832.

34. Григорьев А.С. О теории и задачах равновесия оболочек при больших деформациях//Изв. АН СССР. МТТ, 1970, 1,

35. Гулин Б.В. Взаимодействие тонких оболочек со средой//Докт. дисс. Казанский гос. университет, 1984, 323 с.

36. Гулин Б. В., Давыдов Р. И., Ридель В. В. Численное исследование динамики мягкой оболочки в одноосном состоянии//Нелинейные проблемы аэроупругости. Тезисы семинара, вып. 11, Казань: КФАН, 1979, с. 44-58.

37. Гулин Б. В., Ридель В. В. Пространственные задачи динамики мягких оболочек//Статика и динамика оболочек. Труды семинара, вып. 12. Казань: КФАН, 1979, с. 202-214.

38. Гулин Б.В., Ридель В.В. К нелинейной теории мягких оболо-чек//Шестая Дальневосточная конференция по мягким оболочкам, Владивосток, 1979, с. 48-51.

39. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1978.

40. Гювен, Пател, Фарелл. Модель обтекания круговых цилиндров с шероховатой поверхностью при высоких числах Рейнольд-са//Теоретические основы инженерных расчетов, 1977, №3, с. 144-154.

41. Даутов Р.З., Павлова М.Ф., Шагидуллин P.P. Теорема существования для нелинейной нестационарной задачи теории мягких оболочек/Сеточные методы решения дифференциальных уравнений. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1986. с.50-57.

42. Деффенбах Р., Маршалл А. Развитие течения около цилиндра, внезапно приведенного в движение//Ракетная техника и космонавтика, 1976, т.14, №7.

43. Днепров И.В., Пономарев А.Т., Радченко А.В., Рысев О.В. К определению напряженно-деформированного состояния мягкой несущей си-стемы//Изв. АН СССР. МТТ, 1991, №2, с. 140-148.Литература 228

44. Днепров И.В., Пономарев А.Т., Ррысев О.В., Семушин С.А. Исследование процессов нагружения и деформирования параши-тов//Математическое моделирование, 1993, т. 5, №3, с. 91-109.

45. Друзь Б.И. Нелинейные уравнения теории колебаний мягких оболочек/ / Сообщения ДВВИМУ по судовым мягким оболочкам, вып. 24. Владивосток, 1973, с.34-50.

46. Ермолов В.В. Воздухоопорные здания и сооружения. М.: Стройиздат, 1980, 304 с.

47. Ильгамов М.А. Введение в нелинейную гидроупругость. М.: Наука, 1991, 200 с.

48. Ильгамов М.А. Статические задачи гидроупругости//Казань.: ИММ РАН, 1994, 208 с.

49. Ильичев К.П., Постоловский С.Н. Расчет нестационарного отрывного обтекания тел плоским потоком невязкой жидкости//Изв. АН СССР. МЖГ, 1972, с.72-82.

50. Карчевский М.М. Математические модели и разностные методы в нелинейной теории фильтрации и теории оболочек. Докт. дисс. Казанский гос. университет, Казань, 1987, 308 с.

51. Кейпер Н.Х. О изометрических вложениях// Математика (сб. переводов), 1957, т. 1:2, с. 17-28.

52. Киселев О.М. К задаче обтекания наполненной газом оболочки плоским потоком идеальной жидкости//Изв. АН СССР, МЖГ, 1971, №3.

53. Киселев О.М., Рапопорт Э.Ф. К задаче о струйном обтекании упругой оболочки//Изв. вузов. Математика, 1976, №10, с. 97-100.

54. Киселев О. М., Рапопорт Э.Ф. О струйном обтекании упругой пласти-ны//Изв. АН СССР. МЖГ, 1976, №4, с. 35-42.Литература 229

55. Киселев О.М., Рапопорт Э.Ф. О струйном обтекании упругой оболоч-ки/Изв. АН СССР, МЖГ, 1977, №2, с. 24-32.

56. Киселев О.М., Федяев B.JI. О струйном течение жидкости при наличии гибкого ограждения//Труды семинара по краевым задачам. -Казань, КГУ, 1974, вып.П, с. 73-82.

57. Клабукова JI.C., Пшеничнов Г.И. Решение краевых задач моментных сетчатых оболочек вращения как безмоментных с поправками типа погранслоя//Журнал выч. матем. и мат. физ. 1995, т.35, №12, с. 18541871.

58. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Изд-во АН СССР 1961, 426 с.

59. Кошелев А.И. Регулярность решений эллиптических уравнений и систем. М.: Наука, 1986, 240 с.

60. Кошляков Н.Е., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Физматгиз, 1962, 768 с.

61. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М: Наука, 1975, 512 с.

62. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1956 392 с.

63. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964, 830 с.

64. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1958, 678 с.

65. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972, 587 с.

66. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980, 512 с.

67. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2000, 176 с.

68. Магула В.Э. Основные зависимости теории мягких оболочек//Труды НКИ, 1973, в. 78, с. 3-15.Литература 230

69. Магула В.Э. Особенности связи между упругим потенциалом, напряжениями и деформациями изотропных тел//Сообщения лаборатории мягких оболочек ДВ ВИМУ, в. 14, 1971, с. 3-19.

70. Магула В.Э. Судовые эластичные конструкции. JL: Судостроение, 1978, 264 с.

71. Майоров Ю.И. Обобщение модели Паркинсона на случай несимметричных плоских течений//Труды ЦАГИ, в. 1925, с. 13-24.

72. Маршалл А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и ее приложения. М.: Мир, 1983, 576 с.

73. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных Москва.: Высшая школа, 1977, 432 с.

74. Моди, Эль Шарбини Теоретическая модель свободной линии тока для плохообтекаемых тел в ограниченном потоке//Теоретические основы инженерных расчетов, 1977, №3, с. 248-256.

75. Мусхелишвили Н.И. Курс аналитической геометрии. M.-JL: ГИЗТТЛ, 1947, 644 с.

76. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань.: Таткнигоиздат, 1957, 431 с.

77. Нэш Дж. Изометричные вложения//Математика (сб. переводов).-1957, т. 1:2, с. 3-16.

78. Обен Ж. П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. 510 с.

79. Отто Ф., Тростель Р. Пневматические строительные конструкции. М.: Изд-во литературы по строительству, 1967, 320 с.

80. Паркинсон Г., Яндали Т. Модель следа с источниками за плохообте-каемым телом в потенциальном потоке//Сб. перев. Механика, 1971, 2(126), с. 86-102.

81. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. М.: Мир, 1983, 382 с.Литература 231

82. Рахматуллин Х.А. Теория осесимметричного парашюта, ч. 1//Научные труды института механики МГУ, вып. 35. М.: Изд-во МГУ, 1975, с. 3-35.

83. Рахматуллин Х.А. Теория осесимметричного парашюта ч. II// Парашюты и проницаемые тела. М.: Изд. МГУ, 1980, с. 5-23.

84. Рейснер Е. Линейная и нелинейная теория оболочек, с 55-69; Тонкостенные оболочечные конструкции. М.: Машиностроение, 1980, 696 с.

85. Ридель В.В., Гулин Б.В. Динамика мягких оболочек. М.: Наука, 1990, 206 с.

86. Сарпкайя Т., Шоаф Р.Л. Невязкая модель образования двумерных вихрей за круговым цилиндром//Ракетная техника и космонавтика, т. 17, №11, 1979.

87. Серазетдинов З.Г., Шагидуллин P.P. Модель нестационарного отрывного обтекания кругового цилиндра без использования уравнений пограничного слоя// Исследования по прикладной математике, вып. 13. Казань.: Изд-во КГУ, 1985, с. 90-99.

88. Серрин Д. Математические основы классической механики жидкости. М.: ГИИЛ, 1963, 256 с.

89. Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего по-рядка//Итоги науки и техники ВИНИТИ. Современ.пробл.матем. Новейшие достижения. М.: Наука, 1990, т. 37, с. 3-87.

90. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: ГИТТЛ, 1954, 444 с.

91. Сычев М.А. Необходимые и достаточные условия в теоремах полунепрерывности и сходимости с функционалом //Матем. сб., 1995, т. 186, т. с. 77-108.Литература 232

92. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980, 512 с.

93. Сьярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992, 472 с.

94. Таджибахш И. Формы изгиба упругих колец. В кн. "Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения". М.: Мир, 1974, с. 46-62

95. Терегулов И.Г. Определяющие соотношения для физически нелинейных анизотропных и композитных оболочек при конечных деформациях. 1//Известия вузов. Математика, 1985, №5, с. 33-41. ч. II: Известия вузов. Математика, 1985. №6. с. 54-62.

96. Терегулов И.Г. Термодинамика необратимых процессов и теоретические основы построения определяющих соотношений для сплошных сред//Известия вузов. Математика, 1995. №4, с. 82-95.

97. Усюкин В.И. Об уравнениях теории больших деформаций мягких обо-лочек//Изв. АН СССР. МТТ, 1976, №1, с. 70-75.

98. Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции. М.: Изд-во МГУ, 1988, 254 с.

99. Харди Г.Г., Литлвуд Д.Е., Полна Г. Неравенства. М.: Ин. лит., 1948, 456 с.

100. Челкак С.И. Дифференцируемость решений квазилинейных эллиптических систем второго порядка//Известия вузов. Математика, 1986, №4, с. 56-62.

101. Черных К.Ф., Литвиненкова З.Н. Теория больших упругих деформаций. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1988, 254 с.

102. Черных К.Ф. О нелинейной теории тонких упругих оболочек из эластомеров. Деформация сплошных сред и управление движением// Вопросы механики и процессов управления, в. 6. Л.: Изд-во ЛГУ, 1984, с. 3-25.

103. Черных К.Ф. Теория тонких оболочек из эластомеров (резиноподоб-ных материалов)//Успехи механики, т.6, №1/2, 1983, с. 111-147.Литература 233

104. Шагидуллин P.P. Исследование задачи обтекания оболочки по модели следа Паркинсона-Яндали//Статика и динамика оболочек. Труды семинара. Казань, КФТИ КФАН СССР, 1977, в. VIII, с. 130-137.

105. Шагидуллин P.P. Исследование классических и обобщенных решений уравнений теории мягких оболочек//Проблемы экологии и мягкие оболочки. Тезисы докладов всесоюзной конференции (Севастополь, 1990). Севастополь: Изд-во КМУСПИ, 1990, с. 90.

106. Шагидуллин P.P. Исследование нелинейного уравнения изгиба замкнутой цилиндрической оболочки в плоской задаче гидроупруго-сти//Известия вузов. Математика, 1981, №6, с. 82-84.

107. Шагидуллин P.P. Исследование одномерных уравнений статического состояния мягкой оболочки//Известия ВУЗов. Математика, 1999, №5, с. 73-80.

108. Шагидуллин P.P. Исследование положительных по кривизне решений системы уравнений равновесия мягкой замкнутой цилиндрической оболочки//Известия вузов. Математика, 2000, №11, с. 85-96.

109. Шагидуллин P.P. Математические проблемы теории мягких оболочек. Труды международной конференции "Актуальные проблемы механики оболочек", Казань, 26-30 июня 2000 г. с. 424-427.

110. Шагидуллин P.P. Математические проблемы теории мягких оболо-чек//Тезисы докладов международной конференции. Казань: Изд-во "Олитех", 2000, с. 82-83.

111. Шагидуллин P.P. Математическое моделирование мягких оболочек в рамках общей теории упругости. Тр. Межд. конф. "Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике", 1996, Ижевск: Издательство ИРМУ РО РАН с. 301-313.

112. Шагидуллин P.P. Минимизация функционала полной энергии для мягкой оболочки//Известия ВУЗов. Математика, 1998, №3, с. 65-73.

113. Шагидуллин P.P. Решение задач отрывного обтекания с помощью метода конечных элементов//Известия ВУЗов. Математика, 1985, №10, с. 74-83.

114. Шагидуллин P.P., Серазетдинов З.Г. Метод дискретных вихрей с использованием конечных элементов в задаче отрывного об-текания//Динамика оболочек в потоке. Труды семинара КФТИ. Вып.XVIII. Казань. КФТИ КФ АН СССР, 1985, с. 114-126.

115. Шагидуллин P.P. Сильный изгиб цилиндрической оболочки в потоке жидкости//Тезисы докладов всесоюзного симпозиума по нелинейной теории оболочек и пластин (Казань, 8-10 сентября 1980 г.). Казань: Изд-во КИПКК, 1980, с. 125-126.

116. Шагидуллин P.P. Численный метод дискретных вихрей. Учебное пособие. Казань: Изд-во Казанского Университета. Казань. 1986, 108 с.

117. Шагидуллин P.P. Проблемы математического моделирования мягких оболочек. Казань: Издательство Казанского математического общества, 2001, 234 с.

118. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. М.: Наука, 1972, 624 с.

119. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974, 712 с.

120. Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1978, 464 с.

121. Экланд И., Темам И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.:Мир, 1979, 399 с.

122. Яглом И.М., Болтянский В.Г. Выпуклые фигуры. M.-JI.: ГИЗТТЛ, 1951, 344 с.

123. Яковлев Г.Н. Свойства решений одного класса квазилинейных урав-неий второго порядка//Тр. Матем. ин-та АН СССР, 1974, т. 131, с. 232-242.

124. Badriev I.B., Miftakhov R.N., Shagidullin R.R. Axisymmetric deformation of cylindrical biological shells.// Journal of biomechanics. Special Issue: Abstracts of the XIII congress international society of biomechanics, v.25, N 7, 1992, p. 800.

125. Bardos C., Bercovier M., Pironneau O. The vortex method with finite elements// Rapports de Recherche INRIA, 1980. N 15, 28 p.

126. Bassanini P. A note on a Nonlinear Functional Equation of Fluid Mechanics// Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena, 1973, v. XXII, N 2, p. 359-368.

127. Bassanini P. On a variational operator in fluid Mechanics// SIAM Journal of Appl. Math., 1973, v. 24, N 1, p. 81-87.

128. Bearman P.W., Fackrell I.E. Calculations of two-dimensional and axisymmetric bluff-body potential flow//Journ. Fluid Mech., 1975, v. 72, N 2, p. 229-241.Литература 236

129. Bluston H.S., Paulson R.W. A second order boundary layer solution for a separated flow past a bluff body//ZAMP, v. 24, N 4, 1973.

130. Bluston H.S., Paulson R.W. A theoretical solution for laminar flow past a bluff body with a separated wake//Journal de Mecanique, 1972, v. 11, N 1, p. 161-181 .

131. Chorin A.J., Marsden J.E. A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics. Springer-Verlag, 1979, 205 p.

132. Cisotti U. Rend. Accad. Lincei, 1932, v. 15, p. 165-173

133. Dugan J.P. A free streamline model of the two-dimensional sail// Journ. Fluid Mech., 1970, v.42, N 3, p. 433-446.

134. Dugundji J., Granas A. Fixed Point Theory. V. I. Warszawa, 1982. 210 p.

135. Finsterwalder S. Mechanische Beziechungen bei der Flachen-deformation//Jharesb. Deutsch. Math. Vereinigung, 1899, Bd. 6, H. 2.

136. Gaier D. Intergalgleichungen erster Art und konforme Abbildungen//Mathematische Zeitschrift, 1976, v. 147, s. 113-129.

137. Garabedian P.R., Royden H. A remark on Cavitational Flow//Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1952, v. 38, N 1, p. 57-61.

138. Geymonat G. Sui problemi ai limiti per i sistemi lineari ellitici//Annali di Matematica. Рига Appl., 1965, v. 69, p. 207-284.

139. Gilbarg B.D. Jets end Cavities. Handbuch der Physic, 1960, В. IX.

140. Goebel K., Kirk W.A. Topics in metric fixed point theory, Cambridge Universiti Press, 1990, 244 p.

141. Hald O.H. Convergence of vortex methods for Euler equations//SIAM Jour. Num. Anal., 1979, v. 16, N 5, p.

142. Hayes I.K., Kahaner D.K., Keller R.J. An Improved Method for Numerical Conformal Mapping//Mathematics of Computations, 1972, v. 26, N 118, p. 327-334.Литература 237

143. Kiya М., Arie М. A free streamline theory for bluff bodies attached to a plane wall//Jour. Fluid Mech., 1972, v. 56, N 2, p. 201-219.

144. Kiya M., Arie M. An inviscid bluff body wake model with includes the far wake displacement effect//Journal Fluid Mech., 1977, v. 81, N 3, p. 593-607.

145. Leonard J.W. State of art in inflatable shell research//Journal of Engineering mechanics division, ASCE, 100, EM 1, 1974, p. 17-25.

146. Miftakhov R. N., Abdusheva G. R., Christensen J. Numerical Simulation of Motility Patterns of the Small Bowel. I. Formulation of a Mathematical Model//Journal of Theoretical Biology, 1999, v. 197, N 1, p. 89-112.

147. Miftakhov R. N., Abdusheva G. R., Christensen J. Numerical Simulation of Motility Patterns of the Small Bowel. II. Comparative Pharmacological Validation of a Mathematical Model//Journal of Theoretical Biology, 1999, v. 200, N 3, p. 261-290.

148. Mitrinovic D.S. Analytic Inequalities. (In cooperation with P.M. Vasic). Die Grundlehren der mathematischen Wissenschften. Band 165. Springer-Verlag. 1970.

149. Pipkin A.C. Continuously distributed wrinkles in fabrics//Arch. Ration.Mech. and Anal., 1986, v. 95, N 2, p. 93-115.

150. Rokhlin N. Rapid solution of integral equations of classical potential theory//J. Comput. Phus., 1985, v. 60, N 2, p. 187-207.

151. Showalter R.E. Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations. Math, surveys and monographs AMS, 1997, v. 49, 278 p.

152. Zdzislaw N. On the Korn-type inequality in the theory of textile-type materials//Bull. Pol. Acad. Sci. Techn. Sci., 1986, v. 34, N 7-8, p. 393 -401.

153. Zdzislaw N. On the cylindrical boundary value problem in the theory of textile-type materials//Bulletin Pol. Acad. Sci. Tech. Sci., 1986, v. 34. N 7-8, p. 403-413.Г**'" '.'■ " ■6