автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование бесконечно длинных и осесимметричных мягких сетчатых оболочек

На правах рукописи

Бандеров Виктор Викторович

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ БЕСКОНЕЧНО ДЛИННЫХ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ МЯГКИХ СЕТЧАТЫХ ОБОЛОЧЕК

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 2005

Работа выполнена в Казанском государственном университете

Научные руководители доктор физико-математических наук

профессор Бадриев Ильдар Бурханович

кандидат физико-математических наук доцент Задворнов Олег Анатольевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук

профессор Паймушин Виталий Николаевич

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Копысов Сергей Петрович.

Ведущая организация Институт Математического Моделирования

Российской Академии Наук

Защита состоится 23 июня 2005 г в 14 час 30 мин на заседании диссертационного Совета Д 212 081 21 в Казанском государственном университете по адресу 420008, г Казань ул Кремлевская 18. корп. 2, ауд. 217

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке им Н И. Лобачевского Казанского государственного университета

Автореферат разослан 21 мая 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета, кандидат физ.-мат наук доцент . ОА Задворнов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическое моделирование является одним из наиболее эффективных способов решения задач, возникающих в различных практических областях - механике физике, экономике биологии, медицине и т д. Многие из этих задач описываются уравнениями и неравенствами с частными производными В связи с этим особое внимание уделяется методам их решения Поскольку возникающие здесь задачи сложны и. как правило нелинейны то для их решения необходимо использовать численные методы К настоящему времени достаточно полно изучены методы решения вариационных неравенств с сильно монотонными и максимально монотонными операторами на выпуклых замкнутых множествах в гильбертовых пространствах Методы же решения вариационных неравенств с пссвдомонотонными операторами в банаховых пространствах, в особенности, в невыпуклом случае, мало разработаны Тем не менее, при математическом моделировании широких классов нелинейных задач механики сплошной среды, в частности задач теории мжких оболочек возникает потребность в решении именно таких вариационных неравенств Следует отметить, что задачи теории мягких оболочек находят многочисленные приложения в механике биомеханике, при проектировании различных конструкций из тканевых и пленочных материалов. Описанию этих задач построению методов их решения посвящена обширная литература Однако соответствующий математический аппарат развит весьма слабо.

Поэтому изучение рассматриваемых в диссертации вопросов является актуальным, как с теоретической, так и с практической точек зрения задачей Цель исследований. Основная цель работы состоит в построении и исследовании математических моделей задач об определении положения равновесия мягких сетчатых оболочек построении и исследовании приближенных методов их решения

Методы исследований. При изучении рассматриваемых в работе задач широко используются методы теории псевдомонотонных операторов, нели нейного функционального анализа, выпуклого анализа, численного анализа Научная новизна.

Все результаты работы являются новыми и состоят в исследовании разрешимости математических моделей задач возникающих при моделировании мягких сетчатых бесконечно длинных оболочек при наличии препятствия и

осесимметричных задач возникающих г очек враще-

ния. а также построении и исследовании методов их численной реализации Достоверность результатов работы обеспечивается строгими математическими доказательствами, сравнением результатов численных экспери ментов ( полученными точными решениями для модельных задач

Практическая значимость. Приведенные в диссертационной работе исследования могут быть использованы при решении конкретных задач теории мягких оболочек

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на IX Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования" (п Абрау-Дюрсо, 2001 г) научной конференции "Актуальные проблемы математического моделирования и информатики"(г. Казань 2002 г). 4-м и 5-м Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения"(г Казань, 2002 г. 2004 г) весенних математических школах "Понтрягинекие чтения - XIV". "Понтрягинскис чтения - XV" "Современные методы теории краевых задач"(г Воронеж 2003 г 2004 г) 12-й Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным системам (г Владимир, 2003 г.), Международной конференции "Ломоносов 2004"(Москва 2004г.). Международной конференции по вычислительной математике МКВМ -2004 (г. Новосибирск 2004г) Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики"(г Казань. 2004 г) итоговых научных конференциях Казанского университета за 20012004 г г. научных семинарах кафедры вычислительной математики КГУ и лаборатории математического моделирования Института информатики КГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав списка литературы и изложена на 134 страницах, содержит 24 рисунка Список литературы состоит из 106 наименований

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 03-0100380. 04-01-00821) и КЦФЕ Минобразования России (проект АОЗ-2 8-660)

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность темы исследований, формулируется цель работы проводится обзор литературы, прилегающей к тематике диссертации.

В первой главе приводится постановка задачи об определении поло-

жсния равновесия бесконечно длинной мягкой оболочки, закрепленной по краям, находящейся под воздействием внешних сил и ограниченной в перемещениях препятствием Математически задача сформулирована в виде квазивариационного неравенства в банаховом пространстве. Доказана теорема существования.

В § 1 формулируется поточечная постановка задачи и описывается переход от поточечной постановки к вариационной

Рассматривается задача об определении положения равновесия растяжимой бесконечно длинной цилиндрической оболочки закрепленной по краям, находящейся под воздействием поверхностных и массовых сил и ограниченной в перемещениях препятствием. Деформации и перемещения допускаются конечными.

Рассматриваемый класс задач сводится к изучению деформаций в поперечном сечении оболочки. Введем в плоскости поперечного сечения декарто-ву систему координат 0x^x2 таким образом, чтобы точки закрепления краев оболочки имели координаты (0,0) и (I 0) Считаем, что длина оболочки в недеформированном состоянии равна I Положение оболочки в плоскости поперечного сечения будем описывать вектор-функцией ъи(б) = (и^^), и^б')), где 0 < з < I лагранжева координата, выбранная так что длина оболочки, отсчитываемая в недеформированном состоянии от точки (0,0) до текущей, равна 5 (т.е. 6 натуральный параметр при описании нрдеформи-рованной оболочки). Деформация оболочки характеризуется степенью удлинения А(и>) — |гу'|/|и/|. й} функция, описывающая положение оболочки в недеформированном состоянии и>= (ги 1,г52) = (8,0),в 6 [0,/]

Относительно функции Т. характеризующей материал оболочки, предполагаем, что она удовлетворяет условиям

Т{0 = 0, £ < 1 (оболочка не воспринимает сжимающих усилий), (1)

Т — непрерывная, неубывающая, Уравнения равновесия в декартовой системе координат имеют вид

(2)

(3)

которые дополняются граничными условиями

и>(0) = (ю1(0),ю2(0)) = (0,0), = М0,и>2(0) = (1,0) (4)

Здесь q и / известные плотности погонных и массовых сил соответственно Р{) функция характеризующая плотность силы взаимодействия оболочки с препятствием Изначально функция Р(, не известна и наряду с равновесным положением оболочки и' является решением задачи

Предположим, что в рассматриваемой декартовой системе координат поверхность препятствия задается в виде xi — F (ос i) где F непрерывно-дифференцируемая функция, определенная на всей вещественной оси. такая что F(0) < 0, F(l) < 0. те оболочка находится над препятствием

Считаем материал препятствия абсолютно твердым а его поверхность абсолютно гладкой Поэтому плотность силы реакции препятствия можно представить в виде Po(s) = 0(s)N(u'i(s)) где 0 неизвестная функция, удовлетворяющая условиям.

0(s) > 0, s € /„„ 0{s) = 0, s € С (5)

/„ = {s £ (0,0 : W2(s) — F(wi(s))} множество лагранжевых координат точек оболочки, лежащих на препятствии (так называемое коинцидентное множество), = (0,/) \ Iw множество лагранжевых координат точек оболочки. не контактирующих с препятствием. N вектор-функция единичной внешней нормали к поверхности препятствия.

Введем множество допустимых конфигураций оболочки

M = {г/ m(.s) > F(m(s)), где s € (0,1), rj(0) = (0,0), rj(l) = (l, 0)} .

Задача в поточечной постановке формулируется в следующем виде.

Найти функции w е M к 0, такие что, имеют место уравнения (3),(4) и выполнены условия (5).

Далее вводится множество направлений возможных перемещений из текущего положения w M(w) — {rj и- + a г/ £ M для всех a 6 (0,1)} - множество таких направлений 7]. что перемещение из положения w в этих направлениях не выводит за пределы М. и формулируется вариационная постановка задачи, состоящая в поиске функции и- € M. такой, что

f Т W, rf ~ w') ds - /(A q + /, т] - w) ds >0 \/r]€M(w). (6)

о о

Теорема 1. Пусть w, 0 решение поточечной задачи (3) (5). Тогда w является решением задачи (6) Наоборот, если w решение задачи (6), ги и Т достаточно гладкие функции, функция 0 определятся по формуле• 0(s) — \D(s)\/\(v.'), тогда w, 0 решения задачи (3) (5).

ство V* =

о (-1) I2

1Ур- (0,1)

двойственности между

В § 2 на основе вариационной постановки задачи формулируется обобщенная постановка в виде квазивариационного неравенства

Относительно функции Т характеризующей материал оболочки наряду с (1).(2), дополнительно предполагаем что существуют положительные ко, к\. р > 1. такие, что

ко(£ - 1Г1 < Т(0 < ье 1 при £ > 1 (7)

Обобщенная постановка формулируется в перемещениях, при этом, поскольку края оболочки закреплены, то перемещения на концах равны нулю Связь между координатами точек оболочки и перемещениями определяется соотношением ю =и> +и.

Пусть V — ^^(О,1)] с нормой || • || Сопряженным к V будет простран-1

, р* = р/{р - 1) обозначим через (■, •} отношение V и V.

Положим й(з) — (^(я),«2(5)), где щ(ь) = щ($) + в. ¿2(5) = И2(в); при этом Лх(и) = Л(Й) —

Относительно внешних нагрузок считаем что погонная нагрузка является постоянной и следящей, те оболочка нагружена постоянным давлением

<?о при этом Ад = -q()Qй', где <2 = ^ ^ ) массовая нагрузка считается заданной функцией лагранжевой координаты а. и для любых V из V I

определена форма J(f, у) йв.

о

Очевидно, что множество допустимых конфигураций оболочки в перемещениях есть К = | и 6 V ■ и>2 +и 2 > и'1 +щ ), з £ (0, /)}.

При этом множество направлений возможных перемещений выглядит так К(и) — {у и + а (ь — и) £ К для всех а € (0,1)}. Отметим, что множество К слабо замкнуто и, вообще говоря, не является выпуклым.

Под обобщенным решением задачи будем понимать, в соответствии с (6), функцию и & К. удовлетворяющую следующему квазивариационному неравенству:

/ (й''~ и>) с1з + 1 (9о -/.«-«) ^ > о VII 6 К {и) (8)

о о

Введем операторы А,В:У * V* и элемент / € V*, порождаемые фор-

мами

(4,.,) = [ (й',' V*. (Яи.г)~ [ (®,(?Г/ ,) {/ г) /(/,

При «ом обобщенная задача (8) приобретает вид

Найти и 6 А" (Ли f од Ви- - и) > 0 Уг £ Л'(и) (9)

Для оператора В получена сло.дующая оценка

(Ви.и) <сх (|!и|| + 1)||и||. где г, =212/"'

В § 3 устанавливаются свойства операторов (псевдомонотонность потенциальность непрерывность, коэрцитивность) необходимые при исследовании разрешимости задачи (9)

В § 4 доказана

Теорема 2. Пусть / £ V*, выполнены условия (1). (2), (7) Тогда.

1) если р > 2. то задача (9) имеет решение при любом до € Я1:

2) если р = 2, то задача (9) имеет решение при всех до, удовлетворяющих условию. |<7о| < кц/с\.

Отдельно рассматривается случай, когда функция описывающая препятствие выпуклая В этом случае множество К выпуклое и совпадает с А'(и) Поэтому задача (9) формулируется в виде следующего вариационного неравенства.

Найти и € К (Аи + ад Ви - /, г - и) > 0 Уу € К. (10)

Теорема 3. Пусть / е V", выполнены условия (1) (2) (1). Тогда-

1) если р > 2, то задача (10) имеет решение при любом до б Д1:

2) если р — 2, то задача (10) имеет решение при всех до, удовлетворяющих условию |до| < кц/с\.

3) если 1 < р < 2. то для любого 5 > 0 найдется дл > 0, такое, что задача (10) имеет решение при условиях Ц/Ц^ • < <5, |до| < дг

В § 5 предлагается полуобратный метод построения точных решений задач об определении положения равновесия бесконечно длинных цилиндрических оболочек закрепленных по краям находящихся под воздействием давления и ограниченных в перемещениях препятствием Построены точные решения для ряда модельных задач

Во второй главе рассматривается прост рани венная ос есимметричная задача о равновесии мягкой сочатой оболочки вращения находящейся под воздейглвиом массовой и повсрхносшой на!рузок Оболочка образована переплетением двух семейств нитей одно из которых имеет циркулярное направление ¿другое продольное Края оболочки считаются закрепленными Поверхностная нагрузка предполагается постоянной и следящей те направлена по нормали к поверхности оболочки Вектор плотности массовых сил лежит в радиальной (проходящей через ось симметрии) плоскости При этом перемещение точек оболочки происходит также в радиальном направлении Эта задача сформулирована математически в виде вариационного неравенства с пссвдомонотонным оператором в банаховом пространстве Установлена разрешимость вариационного неравенства

В § 1 приводится краевая постановка задачи в цилиндрической системе координат Затем формулируется вариационная постановка задачи

Рассматривается осесимметричная задача о равновесии мягкой сетчатой оболочки вращения, представляющей из себя в недеформированном состоянии цилиндр радиуса г0 и длины I Указанная задача в цилиндрической системе координат имеет вид:

где у. и-, перемещения точек оболочки в продольном и циркулярном направлениях соответственно / плотность массовых сил <7п плотность следящей поверхностной нагрузки Т\ Ту функции задающие физические соот ношения в нитях в продольном и циркулярном направлениях соответственно Ль А 2 степени удлинения в продольном и радиальном направлениях соответственно Предполагается что функция определяющая в продольных нитях зависимость модуля силы натяжения от степени удлинения имеет степенной рост Ограничений на рост функции определяющей н циркулярных нитях за висимость модуля силы натяжения от степени удлинения не накладывается Обозначим «1 — у. ио = и' й(б) — (щ и>) й\(ъ) = + 5. и^ь) — и2(&) + г0 при этом Л 1(и) = |й'(а)| ^(и) - 1 + КгЫ/го

(И)

(12) (13)

2/(0) = гс(0) = 0, у(1) = иЦ) = О,

Вариационная постановка задачи (11) (13) имеет вид /Т,(А,(и))

/ ^ (и', u')ds + q{) f 1 + -) [à; и, -14^] ds+ l M«) V 'о/

1 ' i +- /72(A2(u)) г'г ds =- f(/, f)d5, (14)

О о

где и произвольная бесконечно дифференцируемая финитная на [0, /] функция.

Граничные условия (13) приобретают вид. и(0) = (0,0), и(1) = (0,0) Кроме того, решение задачи должно удовлетворять условию u2(s) + tq > 0. естественному для цилиндрической системы координат. Относительно функций 7j и Тг считаем, что выполнены условия (аналогичные условиям (1), (2))

ВД-<и<1,» = 1,2, (15)

Ти г — 1,2,— непрерывные неубывающие, (16)

Т\ имеет на бесконечности степенной рост порядка р— 1 > 0, тс. существуют положительные fco, fei, такие, что

MÉ-lV^îiiÉHfciÇ"-1 при 4>1. (17)

В § 2 приводится обобщенная постановка задачи в виде вариационного неравенства с псевдомонотонным оператором в банаховом пространстве Г ° W I2

Обозначим V = Wp (0,1) , К = {и € V ■ г0 + и2 > 0}. || • || норма. (■, •) отношение двойственности между V и V*

Под обобщенным решением осссимметричной задачи будем понимать функцию и € К, удовлетворяющую вариационному неравенству:

((A + D + q0{B + H))u, v-u) > (f, v- и) Vue К (18) где операторы A,B,D,H ■ V —» V* и элемент / £ V* порождаются формами

{Au,v) = f (Û',v')ds, (Bu, v) = f [ü'1V2 + u2v'1] ds,

О AlH 0

1 1 1 ' Г1

{Du, v) ~ — T2(\2(u))v2ds, (Hu,v) = — / -Ujt'i+üj U2V2 ro ä г<» о 2

1

ds,

0 10

Показано что оператор Н удовлетворяет условию

(Ни, и) < Со NI [||u||fl] N1, ГДСС2 = ^-^—.

Ч

В § 3 устанавливаются ряд свойств операторов (псевдомонотонность непрерывность и коэрцитивность) необходимых при исследовании разрешимости задачи (18).

В § 4 доказывается

Теорема 4. Пусть / € V* выполнены условия (15) (17) Тогда.

1) если р > 3, то неравенство (18) имеет решение при любом 6 R1;

2) если р — 3, то неравенство (18) имеет решение при всех q§, удовлетворяющих условию- |до| < ^о/ст

3) если 1 < р < 3, то для любого S > 0 найдется q¿¡ > 0, такое, что задача (18) имеет решение при условиях: ||/||у < ó, <70j < qs-

В третьей главе рассматривается двухслойный итерационный метод для решения вариационных неравенств второго рода с псевдомонотонными операторами. Устанавливаются достаточные условия сходимости метода.

В § 1 для задачи, рассмотренной в первой главе, доказан ряд дополнительных свойств операторов, необходимых для обоснования сходимости итерационного процесса.

Доказывается, что при выполнении условий (1). (2). (7). а также условия

~ Г(7) < k2 (а + Р + -)У'~2 V/3,7 е (0, + оо), к2 > 0, (19)

(3- 7

где а = 1 при р > 2. а = 0 при 1 < р < 2. оператор А является ограниченно липшиц-непрерывным, т.е выполнено неравенство

||Аи - Av\\v. < /м(Я)Ф(||и - f||v) Vu,v e V, (20)

R = max{||u||v, IM|v}, AM неубывающая на [О,+oo) функция. Ф - непрерывная. строго возрастающая на [0. +ос) функция такая, что Ф(0) = О, Ф(£) —> +оо при £ —> +оо При р — 2 устанавливается что оператор А является обратно сильно монотонным с постоянной d. Доказано, что В липшиц-нспрсрывный оператор с константой Липшица с\

Для решения рассматриваемых задач теории мягких оболочек, используется следующий итерационный процесс Пусть и'0' произвольный элемент

из К Для п = 0,1,2, .. зная п{"]. определим ы(" + 1) как решение вариационного неравенства

(]{и(п+1) - и<п>),г- и(п11)) > т- (/ - Ри{"\ V -и("и)) V« £ К. (21)

где 7 V —-> V* оператор двойственности порождаемый функцией Ф Р — А + ЦцВ. т > 0 - итерационный параметр

Теорема 5. Пусть выполнены условия (1), (2), (7), (19), а также

0 < г < шт{1,1/цо], где щ, = ц{Я() + Ф ^(Я])). Ф(£) = £,, ц = (¿а + сь

Я„ - зирЦиЦ, Я] = 8ир||Ри - Д,., Бо = {и е К F(«) < ^(и<°>)}, «е5о «£¿0

1

Р(и) = \ (РЦи),и> (к. о

Тогда при р > 2 итерационная последовательность {г/"' построенная согласно (21), ограничена в V, и все ее слабо предельные точки являются решениями задачи (10). Если же р = 2, то утверждение теоремы справедливо при условии |д0| < Ч\ —

Отдельно рассматривалась случай гильбертова пространства V (р — 2) при условии (до = 0). При этом справедлива

Теорема 6. Пусть выполнены условия (1), (2), (7), (19), т £ (0,2/<£). Тогда вся итерационная последовательность {и'"'}^' построенная согласно (21), сходится слабо к некоторому решению задачи (10).

В § 2 устанавливается ряд дополнительных свойств операторов, необходимых для сходимости итерационного процесса в случае задачи (18). При этом считаем, что функции Т\ и Т2 дополнительно удовлетворяют условиям:

Щ/З) - 7\(7) ^ + + р_2 у £ + Р ~ 7

где а = 1 при р > 2, а = 0 при 1 < р <2,

—Р1~Т2{у)-<к3(\+(3 + 1)а'1 V/?.7 € (0, +оо), ¿з > 0, о" > 1, р > 1. Р -1

При выполнении этих условий оператор А является ограниченно липшиц-непрерывным, при р — 2 обратно сильно монотонным и, кроме того, потенциальным. Оператор В является потенциальным и липшиц-непрерывным Операторы Я и £> являются потенциальными и ограниченно лишпиц-непрерывными.

Для задачи (18) получены достаточные условия сходимости метода и установлено утверждение аналогичное сформулированному в теореме 5 В случае когда следящая нагрузка отсутствует, и функции, задающие физические соотношения в нитях, имеют линейный рост на бесконечности установлено утверждение аналогичное сформулированному в теореме 6

Реализация метода (21) осуществляется следующим образом. Сначала определяется v как решение уравнения Jv = т (/ — Ри") где Р = А + q0 В для задачи (10) Р — A+D+q0 ( В+Н) для задачи (18) Затем определяется u"+l = и"+v и вычисляется u11+i = Pr-(u"+1). Pr оператор проектирования в V на множество К

В четвертой главе проводится анализ результатов численных экспериментов по решению нелинейных задач теории мягких оболочек, в случае

о (1) ]2

V = W'i (0,1) . Приближенное решение задачи осуществлялось на основе ее конечноэлементной аппроксимации с использованием кусочно линейных функций и последующим применением предложенных в третьей главе методов Выход из итерационных процессов осуществлялся при достижении относительной разности на двух соседних итерациях заданной точности е.

Изложенный алгоритм решения задач реализован в виде комплекса программ в среде MATLAB. Программа выполнена в соответствии с модульным принципом что позволило осуществить раздельное программирование, отладку и тестирование составных частей пакета программ а также простую модернизацию и настройку пакеха на решение задач различного уровня сложности Проведен анализ результатов численных экспериментов

В § 1 приведены результаты вычислительных экспериментов, и проведен анализ этих результатов для задач об определении положения равновесия бесконечно длинных мягких оболочек.

Вычислительные эксперименты проводились в двух направлениях Во первых исследовалось поведение погрешности между точным и приближенным решением в зависимости от числа узлов сетки при конечномерной аппроксимации, от значений итерационного параметра и тд

Во вторых эмпирическим путем определялись оптимальные итерационные параметры При этом варьировалось количество узлов сетки.

Проведя анализ экспериментов, мы выявили следующие закономерности как и ожидалось, погрешность между точным и приближенным решением уменьшается с увеличением количества узлов сстки При этом погреш-

ность зависит пс только от количества узлов сетки, но и от расстояния между границей коинцидснгного множества и ближайшей точки сетки вне его

оптимальное значение итерационных параметров следует выбирать близ ким к критическому значению (те значению при котором итерационный процесс перестает сходиться)

В § 2 главы 4 приведены вычислительные эксперименты для ряда модельных задач определения положения равновесия мягкой сетчатой оболочки вращения аналогичные проведенным выше

Выделим основные результаты работы.

1. Доказана разрешимость квазивариационных неравенств с исевдомоно-тонными операторами в банаховых пространствах, возникающих при описании задач об определении положения равновесия бесконечно длинных мягких сетчатых оболочек ограниченных абсолютно жестким и абсолютно гладким препятствием

2 Построены математические модели осесимметричных задач об определении положения равновесия мягких сетчатых оболочек вращения в виде вариационных неравенств с псевдомонотонными операторами в банаховых пространствах Доказана разрешимость вариационных неравенств

3 Предложены приближенные методы решения задач об определении положения равновесия бесконечно длинных мягких сетчатых оболочек и осесимметричных задач об определении положения равновесия мягких сетчатых оболочек вращения Получены достаточные условия сходимости этих методов.

4. Построены точные решения для ряда модельных задач об определении положения равновесия бесконечно длинных мягких сетчатых оболочек Разработан комплекс программ, реализующий рассмотренные методы. Проведены численные расчеты, подтвердившие эффективность предложенных алгоритмов

Список работ по теме диссертации

1 Бадрисв И Б Математическое моделирование плоских стационарных задач теории мягких оболочек с нсвыпуклым достижимым множеством /Бад-риев И.Б , Задворнов O.A. Бандеров В В // Совр. пробл. матем моделир-ния Матер IX Вссрос. школы-семинара (Абрау-Дюрсо. 8-13 сентября 2001 г.). Ростов-на-Дону Изд-во Ростовского ГУ - 2001. - С 33 36

2 Бадрисв И Б Постановка и исследование стационарных задач теории

мягких оболочек с нсвыпуклым достижимым множеством /Бадриев И Б Задворнов О А . Бандеров В В / / Иссл по прикладной математике и информатике Казань Изд-во Казанск маюм об-ва - 2001 - Вып 23 - С 3-7

3 Бадриев И Б Задача о равновесном положении нити с нсвупуклым достижимым множеством /Бадриев И Б Бандеров В В Задворнов О А // Актуальные проблемы матсм моделирования и информатики. Матер научной конференции (Казань 30.01 2002 06 02 2002 г) - Казань Изд-во Казанск. матем. об-ва - 2002. - С 25-29.

4. Бадриев И.Б. О численном решении одномерных задач теории мягких оболочек /Бадриев И Б Бандеров В В Задворнов OA // Сеточные методы для краевых задач и приложения Матер 4-го Всеросс ссм. Казань Изд-во Казанского матем. общества - 2002 - С. 17-18.

5 Бадриев И.Б. О решении задач теории мягких оболочек с препятствием /Бадриев И Б , Бандеров В В . Задворнов OA // Современные методы теории краевых задач Матер Воронежской весенней матем. школы "Понт-рягинские чтения - XIV". (Воронеж 3-9 мая 2003г.) - Воронеж: Изд-во Воронежского госуниверситста - 2003 - С 10-11

6. Бадриев И.Б Численные методы решения задач теории мягких оболочек с препятствием /Бадриев И.Б , Бандеров В В . Задворнов О.А. //Тезисы докладов Двенадцатой Мсждун конференции по вычислительной механике и современным прикладным системам.(Владимир, 30 июня - 5 июля 2003 г)

М : Изд-во МАИ. - 2003. - С 74 - 75.

7. Бадриев И.Б. Исследование задачи о контакте нити с препятствием /Бадриев И Б., Бандеров В В. Задворнов OA // Исследования по прикладной математике и информатике. Казань Изд-во Казанского госуниверситста - 2003. - Вып. 24. - С. 3-11.

8 Бандеров В В Численное решение вариационных неравенств, возникающих в теории мягких сетчатых оболочек /Бандеров В.В., Задворнов О А ,// Матер. Междун конференции "Ломоносов 2004" (Москва. 10-13 апреля 2004 г.), М.. Изд-во МГУ. - 2004 - С 3.

9 Бадриев И Б. Приближенное решение некоторых задач теории мягких сетчатых оболочек /Бадриев И Б Бандеров В В.. Задворнов О.А // Современные методы теории краевых задач Матер Воронежской весенней матем школы "Понтрягинские чтения - XV" (Воронеж 3-9 мая 2004 г) - Воронеж Изд-во Воронежского госуниверситста - 2004 - С 19-20

10 Бадриев И Б Постановка и численное исследование стационарной зада-

2006-4 10127

чи о контакте мягкой оболочки с препятствием ,/Вадриев И ъ Ъандсров В В , Задворнов О А. // Труды Междун конференции по вычислительной математике МКВМ -2004 Ч I / Под ред ГА Михайлова В.П Ильина. Ю М Ла-свского ( Новосибирск. 21-25 июня 2004 г)- Новосибирск Изд-во ИВМиМГ СО РАН 2004. - С. 390-395

■ 11 Бадриев ИБО численном решении задач о равновесии мягких осе-симметричных оболочек /Бадриев И Б Бандеров В В.. Задворнов О А // Сеточные методы для краевых задач и приложения Матер. 5-го Всеросс. сем (Казань. 17-21 сентября 2004 г) Казань. Казанский государственный университет - 2004. - С. 14-16.

12. Бадриев И Б. Постановка и численное решение стационарных осесим-метричных задач теории мягких оболочек /Бадриев И.В.. Бандеров В.В , Задворнов О.А // Труды Матем. центра им. Н.И.Лобачевского Т. 25. Матер. Междун. научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики". (Казань, 15-20 сентября 2004 г) - Казань Изд-во Казанского матем об-ва. 2004 - С. 38-39.

13 Бадриев И.Б Постановка и численное исследование осесимметричной задачи об определении положения равновесия мягкой оболочки вращения /Бадриев И.Б. Бандеров В.В., Задворнов О.А // Иссл. по прикладной математике и информатике, Казань- Казанский госуниверситет. - 2004. - Вып. 25 - С 3-27.

Подписано в печать 18.05 2005 Бумага офсетная. Формат 60x84 1/16 Гарнитура "Тайме". Печать ризографическая. Усл. печ. л. 0.93 Уч.-изд. л. 1.03. Тираж 100 экз Заказ 5/45

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии издательского центра Казанского государственного университета 420008, г. Казань, ул Университетская, 17 Тел. (8432) 92-65-60

0.1 Введение.

1 Задача о бесконечно длинной мягкой оболочке.

1.1 Краевая и вариационная задачи.

1.2 Обобщенная задача.

1.3 Свойства операторов.

1.4 Существование решения.

1.5 Построение точных решений для некоторых модельных задач.

2 Задача об осесимметричной мягкой оболочке.

2.1 Формулировка задачи.

2.2 Обобщенная постановка задачи.

2.3 Свойства операторов.

2.4 Существование решения.

3 Итерационные методы.

3.1 Задача о бесконечно длинной мягкой оболочке.

3.2 Задача об осесимметричной мягкой оболочке.

3.3 Сеточные аппроксимации задачи.

4 Численная реализация итерационных методов.

4.1 Численные эксперименты для бесконечно длинной мягкой оболочки.

4.2 Численные эксперименты для осесимметричной мягкой оболочки.

Математическое моделирование является одним из наиболее эффективных способов решения широких классов задач в различных практических областях - механике, физике, экономике, биологии, медицине и т.д. Многие из этих задач описываются уравнениями и неравенствами с частными производными. В связи с этим особое внимание уделяется методам их решения. Поскольку возникающие здесь задачи сложны и, как правило, нелинейны, то для их решения необходимо использовать численные методы. Эти методы развиты к настоящему времени достаточно полно для линейных уравнений и вариационных неравенств, различные аспекты их освещены, например в [45], [58], [64], [68], [76] - [81].

Нелинейные уравнения и вариационные неравенства также давно являются объектами изучения. Эти уравнения и неравенства возникают во многих прикладных областях, одной из которых, является теория мягких оболочек. Решаемые здесь задачи весьма часто возникают в механике, медицине, при проектировании различного рода конструкций, изготовленных из тканевых или пленочных материалов (см., например, [1], [44], [48], [53], [57], [62], [63], [65], [67], [70], [73]-[75], [84], [98]).

До недавнего времени изучались, в основном, вариационные неравенства с сильно монотонными и максимально монотонными операторами в конечномерных гильбертовых пространствах. Методы же решения вариационных и квазивариационных неравенств с псевдомонотонными операторами в банаховых пространствах мало разработаны. Тем не менее, при математическом моделировании широких классов нелинейных задач механики сплошной среды, в частности, задач теории мягких оболочек, возникает потребность в решении именно таких вариационных неравенств.

Настоящая диссертация посвящена исследованию математических моделей стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек при наличии препятствий, в том числе и невыпуклых, а также методов их численной реализации. Изучается два класса задач теории мягких сетчатых оболочек: одномерных задач, возникающих при моделировании бесконечно длинных оболочек и осесимметричных задач, возникающих при моделировании оболочек вращения.

Задачи данных классов описываются математически с помощью вариационных и квазивариационных неравенств с псевдомонотонными операторами в банаховых пространствах. При изучении рассматриваемых в работе задач широко используются методы теории псевдомонотонных операторов, нелинейного функционального анализа, выпуклого анализа, математического моделирования.

Остановимся вкратце на работах, близких к тематике диссертации.

Описанию задач теории мягких оболочек, построению приближенных методов их решения, анализу результатов численного моделирования посвящена многочисленная литература (см., например, [3] - [5], [44], [48], [73] - [75]) . В работе [49] предлагается математическая модель и доказывается теорема существования для одной одномерной нелинейной нестационарной задачи теории мягких оболочек. В [88] для одномерной задачи теории мягких оболочек без препятствия и при других условиях, чем в настоящей работе, на функцию, определяющую физические соотношения, получены теоремы существования.

Построению и исследованию математических моделей стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек, соответствующих конечно мерных аппроксимаций и итерационных методов их решения посвящены работы [2], [6], [16]-[23], [34], [35], [54], [55].

Являясь продолжением исследований, проведенных в этих работах, настоящая диссертация посвящена построению и исследованию математических моделей стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек при наличии препятствия, в том числе и невыпуклых, в виде вариационных и квазивариационных неравенств с псевдомонотонными операторами в банаховых пространствах, построению и исследованию приближенных методов решения, их численной реализации.

В работах [16] -[25] рассматривались вариационные неравенства второго рода с оператором, представимым в виде суммы монотонного и вполне непрерывного оператора (являющегося, конечно же, псевдомонотонным). В отличие от этих работ настоящей диссертации рассмотрены вариационные и квазивариационные неравенства второго рода с произвольным псевдомонотонным оператором.

Кроме того, допускается наличие препятствия, в том числе, невыпуклого, для ряда модельных задач об определении положения равновесия мягких оболочек удалось построить точное решение. Эти решения позволяют исследовать эффективность различных методов решения задач данного класса.

Диссертация состоит из введения и четырех глав.