автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Решение статических задач устойчивости сетчатых пластин и оболочек с использованием метода дискретных конечных элементов

На правах рукописи

ГУРОВ Олег Валерьевич

РЕШЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ СЕТЧАТЫХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Специальность 05.23.17- Строительная механика.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Череповец 1997

Работа выполнена в Череповецком государственном университете.

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Грызлов.В.С.,

Научный консультант:

кандидат технических наук, доцент Андронов В.А.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Соколов О.Л. доктор технических наук, профессор Бандурин Н.Г.

Ведущая организация:

Муниципальное предприятие проектный институт "Череповецпроект'

Защита состоится 31 марта 1998 года в 10.00 на заседании диссертационного совета К 064.63.02 в Волгоградской государственной архитектурно - строительной академии по адресу: 410074, г. Волгоград, ул. Академическая, д. 1, ауд. Г-901.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии.

Автореферат разослан " сХ) " февраля 1998

года.

Отзывы на автореферат можно направлять по адресу: 410074, г. Волгоград, ул. Академическая, д. 1, ВолгАСА.

Ученый секретарь диссертационного совел кандидат технических наук, доцент

Общая характеристика работы.

Актуальность работы.

Регулярные системы перекрестных балок и, в частности, сетчатые пластинки и оболочки, сочетающие высокую прочность, малый вес, простоту и технологичность в изготовлении и монтаже, стали одними из наиболее распространенных типов конструкций в самых различных областях современной техники - промышленном и гражданском строительстве, кораблестроении, авиастроении и т.п.

Элементами, из которых состоят регулярные стержневые системы (в частности, сетчатые пластины, оболочки и купола), являются тонкостенные стержни достаточно большой длины. Поскольку при различных нагрузках в стержневь;:: конструкциях возникают и сжимающие усилия, в общем комплексе прочностньп-: расчетов для них существенно повышается роль расчета на устойчивость, ибо разрушение стержневых конструкций чаще всего происходит вследствие потери устойчивости общей или отдельных-элементов.

Для анализа напряженно - деформированного состояния сетчатых конструкций в настоящее время используются расчетные методы, которые могут быть разделены на два принципиально различающихся направления. Первое направление предполагает использование для расчета дискретных конструкций континуальной расчетной схемы ("континуализация" расчетной схемы); второе направление использует непосредственно дискретную расчетную схему. Из работ, посвященных развитию методов первого направления, наиболее известны труды профессора Г.И. Пшеничнова; из работ, посвященных развитию методов второго направления -труды профессора В.А. Игнатьева.

Работами В.А. Игнатьева и его учеников показано, что наиболее эффективным методом решения задач расчета регулярных стержневых систем является метод дискретных конечных элементов (МДКЭ), позволяющий максимально точно учесть особенности геометрии сетчатой конструкции, условия закрепления, форму нагрузки, отклонения от регулярности (квазирегулярные конструкции).

Актуальность темы диссертационной работы обусловлена потребностью практики в надежных, эффективных, обеспечивающих надлежащую точность ме-

годах расчета стержневых систем регулярной и квазирегулярной структуры. Необ-<одимость дальнейшего развития метода дискретных конечных элементов применительно к решению задач устойчивости сетчатых пластин и оболочек объясняется гем, что далеко не всегда для рассматриваемого класса задач удается получить удовлетворительное решение, полагаясь лишь на параметры высокопроизводительных ЭВМ. Поэтому создание эффективных и экономических математических моделей считается на сегодняшний день наиболее перспективным направлением в теории расчета стержневых конструкций, и актуальность избранной темы не вызывает сомнений.

Цель работы состоит в разработке базирующихся на МДКЭ методов решения задач устойчивости (определение критической или предельной нагрузки) сетчатых пластинок и оболочек при действии статической однопараметрической нагрузки.

Научная новнзна работы заключается в следующем:

• Предложен метод и разработаны алгоритмы для решения задачи начальной устойчивости (определения нижней величины параметра критической нагрузки) сетчатых пластинок различного вида энергетическим методом с использованием критерия устойчивости в форме Брайана. Получены все необходимые соотношения для решения задачи на основе МДКЭ.

• Предложен метод и разработаны алгоритмы для решения задачи начальной устойчивости) сетчатых пластинок различного вида энергетическим методом с использованием критерия устойчивости в форме С.П. Тимошенко. Получены все необходимые соотношения для решения задачи на основе МДКЭ.

• Предложен метод и разработаны алгоритмы для решения задачи начальной устойчивости сетчатых оболочек различного вида энергетическим методом с использованием критерия устойчивости в форме Брайана. Получены все необходимые соотношения для решения задачи на основе МДКЭ.

• Предложен метод и разработаны алгоритмы для решения задачи начальной устойчивости сетчатых оболочек различного вида энергетическим методом с ис-

пользованием критерия устойчивости в форме С.П. Тимошенко. Получены все необходимые соотношения для решения задачи на основе МДКЭ.

• Предложен метод и разработаны алгоритмы для решения задачи устойчивости (определение спектра параметров критических нагрузок и нормированных векторов узловых перемещений в закритическом состоянии) цилиндрических замкнутых сетчатых оболочек при осесимметричной радиальной нагрузке на основе "метода фиктивной нагрузки" ([5]). Показано, что задача сводится к решению математической обобщенной проблемы собственных значений соответствующих матриц. Получены все необходимые соотношения для решения задачи на основе МДКЭ ( в частности, получено выражение для вычисления "матрицы начальных напряжений").

• Предложен метод и разработаны алгоритмы определения предельной нагрузки для сетчатых оболочек и пластинок в случае, если начальное (докритическое) состояние конструкции является моментным. Показано, что задача сводится к расчету сетчатой конструкции при больших перемещениях (геометрически нелинейная задача). Получены все необходимые соотношения для решения задачи на основе МДКЭ.

• На основе полученных в работе алгоритмов разработаны программные модули (алгоритмический язык РАСКАЬ-7.0), которые были включены в состав известного конечно-элементного программного комплекса ЛИРА. С использованием модифицированного таким образом комплекса выполнено решение ряда числовых примеров, часто которых сравнивалась с известными решениями. Результаты решения числовых примеров подтверждают высокую точность и широкие возможности разработанных нами (на основе МДКЭ) методов решения задач устойчивости сетчатых пластинок и оболочек различного вида.

Достоверность полученных результатов подтверждается применением научно обоснованного аппарата при выводе разрешающих уравнений, использованием для их решения детально изученных методов. Точность результатов расчета сетчатых конструкций на основе метода дискретных конечных элементов, являющегося базовым для представленной диссертационной работы, доказана многочис-

ленными исследованиями. Сравнение выводов данной работы с результатами, полученными на основе различных методов, также свидетельствует о достоверности полученных результатов.

Практическая ценность и внедренне результатов.

Работа выполнялась в соответствии:

• с тематическим планом научно-исследовательских работ Череповецкого государственного университета, финансируемых из средств федерального бюджета по единому заказ-наряду на 1997 год, тема "Анализ надежности строительных и машиностроительных конструкций методами математического моделирования." (номер темы: 1.1.97 П, исполнитель - кафедра сопротивления материалов ЧТУ);

• с тематическим планом региональной научно - технической программы "Череповец" на 1997-2000 года, наименование проекта: "Исследование долговечности строительных н машиностроительных конструкций, контактирующих с агрессивной средой, методами математического моделирования», (номер темы 1.1.97.1, исполнитель - кафедра сопротивления материалов ЧТУ).

Предложенные в диссертационной работе алгоритмы решения задач устойчивости сетчатых пластин и оболочек, как и разработанное на их основе программное обеспечение, могут найти применение в научно - исследовательских, проектных и конструкторских организациях при оценке устойчивости равновесия сетчатых конструкций, решении задач оптимизации, регулирования и т.п.

Полученные в диссертационной работе результаты используются в Череповецком государственном университете при чтении курса "Механика деформируемого твердого тела".

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы доложены на :

• первой международной конференции «Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности металлических конструкций и методы их решения» (Санкт-Петербург, СПбГТУ, ноябрь 1995.г.),

• 50-ой международной научно-технической конференции молодых ученых и студентов ( Санкт-Петербург, СПбГАСА, май 1996 г.),

• 11-ой межвузовской военно-научной конференция Череповецкого высшего военно-инженерного училища радиоэлектроники, (Череповец, ЧВВИУРЭ, февраль 1996 г.),

• 1-ой международной конференции «Информационные технологии в производственных, социальных и экономических процессах «ИНФОТЕХ 96» (Череповец, ЧТУ, май 1996 г.)

• 51-ой международной научно-технической конференции молодых ученых и студентов ( Санкт-Петербург, СПбГАСА, апрель 1997 г.),

• 12-ой межвузовской военно-научной конференции Череповецкого высшего военно-инженерного училища радиоэлектроники, (Череповец, ЧВВИУРЭ, февраль 1997 г.),

• 2-й международной научно - технической конференции «Динамика систем, механизмов и машин».(Омск, ОГТУ, сентябрь 1997),

• научно-технической конференции Вологодского политехнического института (Вологда, ВоПИ, май 1997 г.).

Полностью работа докладывалась:

• на межкафедральном научном семинаре Череповецкого госуниверситета под руководством академика, доктора технических наук, профессора B.C. Грызлова (Череповец, ЧТУ, 1 июля 1997 г.),

• на научном семинаре кафедры строительной механики Волгоградской государственной архитектурно - строительной академии под руководством академика, Заслуженного деятеля науки и техники РФ, доктора технических наук, профессора В.А. Игнатьева (Волгоград, ВолгАСА, 20 октября 1997 г.).

Публикации. Основное содержание работы опубликовано в 11 научных

статьях.

Структура и обч.см рпботы. Диссертационная работа состоит из введения,

пяти глав, заключения, списка литературы из 224 наименований и приложения. Работа изложена на 214 страницах машинописного текста, иллюстрирована 37 рисун-

ками, содержит 8 таблиц. В приложение вынесены краткое описание использованного при выполнении работы математического обеспечения ПЭВМ и распечатка текста разработанных соискателем программных модулей (алгоритмический язык РА8САЬ-7.0).

Содержание работы.

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулирована цель, показана ее научная новизна и практическая ценность, перечислены положения, выносимые на защиту, кратко отражено содержание диссертации.

В первой главе дается обзор общих методов решения задач устойчивости упругих конструкций, и, в частности, обзор опубликованных в научной литературе работ по решению задач устойчивости сетчатых конструкций. Отмечено, что в настоящее время в литературе различают статический, динамический и энергетический методы решения задач устойчивости.

При решении задачи анализа напряженно - деформированного состояния сетчатых конструкций сложилось два направления : 1) использование приема кон-тинуализации дискретной конструкции и 2) использование непосредственно дискретной расчетной схемы. В соответствии с этим, и методы решения задач устойчивости следует разделять на два этих направления. Из анализа опубликованных работ по решению задач устойчивости сетчатых конструкций следует вывод, что до настоящего времени большинство задач устойчивости сетчатых конструкций решаются с использованием приема континуализации.

Первые работы, в которых учитывалась устойчивость сетчатых конструкций, посвящены работы по устойчивости континуальных пластин и оболочек, подкрепленных регулярной сеткой ребер. Использован прием "размазывания" жесткости ребер по площади конструкции. Так, числу первых монографий, в которых при расчете оболочечных конструкций учитывается дискретный характер ребер, относится посвященная расчету подводных лодок книга Ю.А. Шиманского и работа Р. КиЬп'а, где изложена приближенная методика расчета оребренной оболочки вращения применительно к авиационным двигателям В дальнейшем теория расчета

подкрепленных оболочек развивалась в работах В.В. Кабанова, А.И. Маневича, С.Н. Кана. Решение задачи устойчивости ребристой цилиндрической оболочки при наличии в ней вырезов приведено в работах Н.Я. Амиро, A.C. Пальчевского, П.С. Полякова, Г.Д. Гаврнленко

В работах H.A. Алфутова , В.М. Даревского и Р.И. Кинякина , В.М. Рябсз рассматриваются устойчивость нагруженных всесторонним внешним давлек; м цилиндрические оболочки, усиленные кольцевыми ребрами. Устойчивость ци;::;л-дрической оболочки с продольными ребрами жесткости при продольном сжатии рассмотрена В.И. Феодосьевым. H.A. Алфутовым выведены формулы критического внешнего давления для ребристой цилиндрической оболочки. Проблема устойчивости цилиндрической оболочки перекрестной системой ребер при различных типах нагрузки рассмотрена в ряде работ ИЛ.Амиро с использованием энергетического метода. В работах Н.И. Карпова, И.Я. Амиро и В.А.Заруцкого, Малютина получены точные решения уравнений устойчивости цилиндрических подкрепленных оболочек, выведенных в предположение о безмоментности докритического состояния .

Проблема устойчивости неравномерно нагретых подкрепленных оболочек рассмотрена в работах Т.Н. Замулы и K.M. Иерусалимского. Устойчивость нагруженных внешним давлением конических оболочек с кольцевыми ребрами с использованием полубезмоментной теории оболочек рассмотрена В.З. Грищаком с соавторами. Для ребристых цилиндрических панелей минимального веса при ограничениях по напряжениям, перемещениям и устойчивости расчетные выражения получил в своих работах R.I. McCrattan.

Также известны решения задач устойчивости сетчатых конструкций, использующий "размазывание" дискретных конструкций, выполненные .С.П. Поляковым, Г.Д. Гаврнленко, В.И. Бутыркиным, П.А. Соколовым, В.Г. Пальмарчуком, В.И. Игнаткжом и многими другими.

Ряд задач устойчивости сетчатых пластинок и оболочек решено Г.И. Пше-ничновым с использованием разработанной им теории сетчатых пластинок и оболочек.

Значительно меньше работ по устойчивости сетчатых конструкций, в которых используется непосредственно дискретная расчетная схема. Практически все они принадлежат В.А. Игнатьеву, решившему ряд задач устойчивости регулярных стержневых конструкций с использованием разработанного им "метода обобщенных перемещений и сил".

Таким образом, возникает необходимости в разработке методов решения задач устойчивости сетчатых пластинок и оболочек на основе дискретной расчетной схемы.

Во второй главе рассмотрены вопросы применения метода дискретных конечных элементов к анализу напряженно - деформированного состояния сетчатых пластин и оболочек. Приведена общая схема конечно - элементного решения задач, включающая следующие этапы: 1) дискретизация конструкции (нанесение сетки «базовых узлов»); 2)выбор типа конечных элементов (КЭ) в зависимости от особенностей рассматриваемой конструкции; 3) вычисление матриц жесткости и векторов узловых нагрузок для каждого КЭ; 4) .формирование матрицы жесткости и вектора узловых нагрузок конструкции в целом; 5)корректировка матрицы жесткости и вектора нагрузок в соответствии с условиями закрепления опорных узлов конструкции (учет кинематических граничных условий); б) решение системы разрешающих уравнений МКЭ, результатом которого является вектор перемещений базовых узлов конструкции; 7) с использованием результатов предыдущего этапа -определение параметров НДС конструкции в области, занимаемой каждым КЭ.

Рассмотрены особенности метода дискретного элемента (МДКЭ), предназначенного для анализа НДС сетчатых пластинок и оболочек. Приведены характерн-

Рис.1

стикн дискретных конечных элементов (ДКЭ) в виде сетчатой пластины (рис.1) и пологой сетчатой оболочки (рис.2), состоящие из балок двух ортогональных направлений. Указаны компоненты вектора перемещений базовых узлов ДКЭ каждого вида. Приведены соотношения, используемые при вычислении матрицы жест-

кости и вектора эквивалентных узловых нагрузок этих ДКЭ, а также для вычисления внутренних усилий. Приведены соотношения для вычисления матриц жесткости ряда других

дискретных конечных элементов -состоящих из / балок трех и четырех направлений, не прямоугольной формы и т.п. Дано развернутое описание алгоритмов реализации МДКЭ при решении задач статики сетчатых пластинок и оболочек.

В третьей главе рассмотрены общие метода решения задач устойчивости упругих систем и, в частности, сетчатых пластинок и оболочек. Приведены краткие характеристики трех известных направлений в решении задач упругой устойчивости: использование статического, динамического и энергетического метода. Отмечено, что для приближенного решения задач устойчивости конструкций наиболее пригоден энергетический метод, в связи с чем именно он в дальнейшем будет использован для решения задач устойчивости сетчатых пластинок и оболочек.

Известны два направления решения задач устойчивости тонкостенных конструкций. Если при увеличении параметра внешней нагрузки система проходит "бифуркационные точки", расчет заключается в определении критической нагрузки. Если бифуркационные точки при увеличении нагрузки не наблюдаются, решается задача о больших перемещениях конструкции, в результате которой определяется значение предельного параметра нагрузки, соответствующего точке резкого изменения характера зависимости "нагрузка - перемещение".

Поскольку в качестве основного метода решений задач упругой устойчивости выбран энергетический, приведены основные соотношения вариационного принципа упругой устойчивости тонкостенных конструкций. В соответствии с вариационным принципом, рассматривается исходное равновесное состояние конструкции (поле перемещений описывается функциями и бесконечно близкое к нему возмущенное состояние:

и= щ+а-щ ; v=v0^-a■vi; VI> = и»0 + а:-и'1.

(1)

где и0, у0, у/о - перемещения точек тела в невозмущенном состоянии, а- бесконечно малый параметр, а ц = и^{х,у,г), V, = ^(х.у.г), н>, = н>,(дт,у,г) - конечные функции, выражающие дополнительные перемещения (вариации перемещений) системы в возмущенном состоянии. Дифференцируя (1) в соответствии с соотношениями геометрически нелинейной теории упругости, получаем выражения для вычисления деформаций. С их использованием получаем выражения для вычисления полной энергии "Э" системы в возмущенном состоянии:

Э = С/ + Л (2)

Энергия упругой деформации "и" и работа внешних сил "П" системы в возмущенном состоянии в соответствии с (1) определится соотношением:

и = ио + а х и, +а2 х и2; Л = Л0+ахЛ, (3,4)

Вариационное выражение условия устойчивости возмущенного состояния системы запишем з виде равенства нулю первой вариации полной энергии:

¿Э=0 (5)

На основании последнего соотношения получаем выражение для вычисления критического значения параметра нагрузки:

8 \У г

Смысл входящих в правую части соотношений (3-г 6) слагаемых вариации полной потенциальной энергии упругой системы энергии, пояснен в разделе (3.3.2.1) представленной диссертационной работы. Там же приведены соотношения для их вычисления.

Практически соотношение (6) для вычисления критического параметра нагрузки реализуется в виде энергетических критериев устойчивости в форме Брайана и С.П. Тимошенко. При использовании критерия Брайана возмущенное состояние конструкции задается перемещениями в форме (1). При использовании критерия Тимошенко поле перемещений точек конструкции в возмущенном состоянии задается с точностью до квадрата малого параметра:

и = щ + а-и, +а2 и» = и'0 + а- IV, ,+а1 •

Соответственно повышается точность вычисления компонентов полной потенциальной энергии системы в возмущенном состоянии. С зрения реализации расчетов с использованием обоих критериев, основное различие между ними заключено в том, что при использовании критерия Брайана необходимо определение компонентов напряженно - деформированного состояния конструкции в возмущенном состоянии, в то время как использование критерия Тимошенко связано с необходимостью определять смещения узлов опорного контура конструкции, соответствующих квадрату малого параметра в выражении (7).

Также в главе 3 приведены основные соотношения, на основе которых выполняется конечно-элементное решение задачи о больших перемещениях конструкции (в результате которого определяется предельная нагрузка конструкций, не имеющих точки бифуркации). Для данной задачи имеет место соотношение:

{[*оГ+ЫГ)**'=^ (8)

Линейное и нелинейное слагаемые глобальной матрицы жесткости конструкции вычисляются из соотношений:

К]' = /Я{[в.]Гх[0]х[в,]}^ (9)

V

Ы' = (ЯКв.Г-М-КЬКГ-^Мв^^Г-иМ^ (10)

У

Смысл входящих в соотношения(8,9) матриц и векторов пояснен в разделах 3.4.2 и 3.4.3 диссертационной работы.

Наконец, в главе 4 приведены соотношения, с помощью которых задача (в конечно-элементной постановке) определения параметра критической нагрузки (точнее, спектра критических нагрузок), сводится к обобщенной алгебраической проблеме для матриц:

^ = {[к0] + /1х[ксг]|х^.(5 (11)

Приведенные в главе 3 соотношения использованы для решения задач упругой устойчивости сетчатых пластинок и оболочек.

В четвертой главе с использованием метода дискретных элементов и рассмотренных в главе 3 общих методов решения задач упругой устойчивости конструкций разрабатываются методы решения ряда задач упругой устойчивости сетчатых пластинок и оболочек различного вида.

Разработан метод решения задачи устойчивости (определения критического значения параметра нагрузки) сетчатой пластинки, нагруженной в своей плоскости. Начальное состояние пластинки безмоментное, возмущенное - момент-но (задача по определению точки бифуркации). Разработаны алгоритмы решения с использованием критериев Брайана и Тимошенко.

Решение задачи с использованием критерия Брайана сводится к вычислению для каждого из "ЫЕЬ" дискретных конечных элементов соответствующих компонентов полной энергии деформации в начальном и возмущенном состоянии (см.

выражение 6) и вычислении критического параметра нагрузки:

»п

^"«р«»!- - Л/ Е I (12)

г - I

В общем виде выражения для вычисления входящих в правую часть (12) компонентов полной энергии представляются соотношениями (для определенности рассматривается сетчатая пластинка с прямоугольной ячейкой):

- закрепленный край Рис. 3

] = О ; = | 1=0 } = I

У-а 1-1 .-о /-1

Суммирование выполняется по всем стержням первого и второго направлений. Так, для одного стержня первого направления:

(^2)(;,М),У = =|{(< (15>16)

Г, ^ у,

Компоненты тензоров деформаций и напряжений смотри в разделе 3.3.2 диссертации. Выражение (15) приводим к виду:

н

(17)

Здесь - усилие с стержне сетчатой пластинки в докритическом состоянии;

{(Р\\] - угол поворота узла "у"'относительно оси "у" в закритическом состоянии. Угол поворота определяется следующим соотношением МДКЭ:

<Р\\ = Т~- • ЧГ (18)

4 1

Для вычисления интеграла в (17) предложено использовать численное интегрирование с использованием квадратурных формул Гаусса. Показано, что уже при использовании трех узлов квадратура Гаусса для данной задачи дает точный результат. Выражение (19) принимает вид:

= +"г?(19)

С учетом (18, 19) выражение (17) приводится к виду: )„,-,„ =

(?»)о...Г±У Г Лх;1-'\Г1 .. / , _ .. //ГГ/О) \Т ,Т,(2) I , \../г«Т1 ^г! (20)

чм

Выражение (16) приводим к виду:

и; (21)

а

где X у - кривизна соответствующего стержня первого направления в закрити-ческом состоянии сетчатой пластинки:

= (22) Вновь используя численное интегрирование, получим выражение для аналогичное (20). Наконец, суммируя выражения (17) и (20) в соответствии с (13, 14), получим выражения (23,24).:

¿Н<г)г-<К)г)х -

1 1

4 х и,

|0,х №

I ( 1

(23)

Выражение (24) см. на странице 18. Подставляя (23, 24) в выражение (12), найдем критическое значение параметра нагрузки.

С учетом особенностей применения энергетического критерия устойчивости в форме Тимошенко, получено соотношение (25) для вычисления критиче-

ского значения параметра нагрузки :

(24)

Я£1 1

Р*?= ^ У /I х (д С/ „ ) + ^ х (д У„ )} (25)

г — 1 / и*г

В главе 4 предложены алгоритмы и получены все необходимые выражения для вычисления критического значения параметра нагрузки для сетчатых оболочек (используются критерии устойчивости в форме Брайана и Тимошенко). Для анализа НДС сетчатой оболочки в докритическом и закритическом состоянии по МДКЭ использован ДКЭ в форме пологой сетчатой оболочки (2). В отличии от сетчатой пластинки, при решении задачи устойчивости сетчатой оболочки в выражении, аналогичном (24), учитывается работа растяжения-сжатия, изгиба, сдвига и кручения балок.

Также в главе 4 предложен алгоритм решения задачи устойчивости сетчатых оболочек вращения под действием радиальной осесимметричной нагрузки. Алгоритм базируется на известном методе фиктивных нагрузок и включает этапы: 1) анализ напряженного состояния оболочки в докритическом состоянии; 2) вычисление по результатам первого этапа величины фиктивной нагрузки; 3) рассматривая загружение сетчатой оболочки фиктивной нагрузкой, приходим к конечно- элементному соотношению:

[К]хд= Рх[<Я]хд (26)

которое представляет собой обобщенную алгебраическую проблему о собственных значениях соответствующих матриц. Решением задачи (26) определяем спектр (или требуемую часть его) критических нагрузок. С учетом особенностей сетчатых конструкций выражение для вычисления фиктивной нагрузки получено в виде:

« =(/',?хЧГ-М"/«"Т (27,

Показано, что матрица [91] в (26) с точностью до знака представляет собой используемую при решении по МКЭ геометрически нелинейных задач "матрицу

напряжений" [-^"о-]-» {смотри (11)}.

В главе 4 предложен алгоритм определения предельной нагрузки сетчатой конструкции, напряженное состояние которой в исходном (докритическом) положении является моментным и, следовательно, бифуркационная точка на наблюдается. Получены все необходимые соотношения для вычисления требуемых векторов и матриц. Для решения линеаризированных уравнения, аналогичных приведенным в (8-ИО), предложено использовать метод последовательных нагружений. При решении геометрически нелинейной задачи для сетчатых оболочек учитывается изменение матриц жесткости отдельных ДКЭ вследствие изменения на каждом шаге длин балок и кривизн их осей.

Б "лтой главе приведены результаты решения ряда числовых примеров по определению критических или предельных нагрузок сетчатых пластин и оболочек различного вида. Результаты определения критических нагрузок сетчатых пластинок и цилиндрических оболочек вращения сравниваются с полученными другими способами результатами, приведенными в монографии: Пшеничное Г.И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластинок (изд. "Наука", 1982 г.). Результаты решения примеров иллюстрируют высокую точность и эффективность разработанных в диссертации методов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе на основе одного из наиболее перспективных методов расчета сетчатых пластин и оболочек - метода дискретных конечных элементов, предложенного профессором В.А. Игнатьевым - разработан ряд методов решения задач упругой устойчивости сетчатых пластин и оболочек.

Основные результаты работы сводятся к следующему.

1. Показана принципиальная возможность применения метода дискретных конечных элементов к решению задач упругой устойчивости сетчатых пластинок и оболочек.

2. Проанализированы известные методы решения задач устойчивости тонкостенных континуальных конструкций с целью установления их пригодности к решению задач устойчивости регулярных стержневых систем.

3. Для определения нижнего значения параметра критических нагрузок для сетчатых пластинок и оболочек, "начальное состояние которых является безмомент-ным, предложено использовать энергетические методы. Анализ напряженно -деформированного состояния сетчатых конструкций, являющийся одним из этапов решения задачи устойчивости, предлагается выполнять с использованием метода дискретных конечных элементов.

4. Получены (на базе МДКЭ) все математические соотношения для дискретных конечных элементов в виде сетчатой пластинки и пологой сетчатой оболочки (то и другое - с ячейкой прямоугольной формы) для определения критической нагрузки, с использованием энергетических критериев устойчивости в форме Брайана и С.П. Тимошенко.

5. На основании анализа полученных соотношений сделан вывод о большей эффективности применения к рассматриваемому классу задач энергетического критерия Брайана. При использовании критерия Тимошенко возникает необходимость определять величину сближения краев пластинки (для сетчатой оболочки - величину перемещения нагруженного контура пластинки), вызванные деформациями, определяемыми квадратом бесконечно малого коэффициента

а2. Эта величина существенно зависит от формы и структуры сетчатой конструкции; следовательно, при переходе от одной сетчатой конструкции к другой в программный комплекс необходимо вносить изменения (по распространенному выражению, "задача является плохо формализуемой").

6. Для решения задачи устойчивости замкнутых сетчатых оболочек вращения при действии радиальной осесимметричной нагрузки (определения критической нагрузки) предложена модификация "метода фиктивной нагрузки", не требующая для вычисления критического значения параметра нагрузки вычисления (с использованием громоздких выражений ) вариаций энергии упругой деформации. Получены все необходимые математические соотношения на основе МДКЭ. Нижнее значение критической нагрузки с использованием этого метода может быть вычислено с использованием программных модулей, входящих практически в любой конечно - элементный пакет программ при незначительной его модификации.

7. Для вычисления предельной нагрузки сетчатой конструкции, исходное состояние которой является моментным, предложено использовать решение геометрически нелинейной задачи (задачи о больших перемещениях) . Получены необходимые математические соотношения. Для решения линеаризованной системы уравнений предложено использовать шаговый метод последовательных нагружений. Определение величины параметра предельной выполняется из анализа формы получаемого в результате расчета графика "параметр нагрузки ~ характерное перемещение".

8. На основании разработанных методов расчета и основанных на них алгоритмов составлен ряд программных модулей (алгоритмический язык PASCAL 7.0), реализующих вычисление матриц жесткости ДКЭ, внутренних усилий в балках ДКЭ, а также выполняющих некоторые вспомогательные операции. Программные модули были присоединены к известному программному комплексу ЛИРА, который после такой модификации использовался для решения ряда числовых примеров по решению задач устойчивости сетчатых пластинок и оболочек. Решением примеров и сравнением некоторых из них с известными решениями

решениями показана достаточная точность и высокая эффективность предложных методов решения задач устойчивости сетчатых конструкций.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1) Гуров О.В., Андронов В.А., Анализ упруго-пластических деформаций сетчатых оболочек методом дискретных конечных элементовУ/Сборник тезисов докладов 1-ой международной конференции «Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности металлоконструкций и методы их решения», 28-30 ноября 1995 г., СПбГТУ. - С.Петербург: СПбГТУ, 1995 .45-18 с.

2) Андронов В.А., Воронин В.Е., Гуров О.В. Решение физически нелинейных задач устойчивости сетчатых оболочек методом дискретных конечных элементов. - Деп. В ВИНИТИ 04.05.95, № 1228-В95. - 14 с.

3) Гуров О.В. Решение задач устойчивости сетчатых пластинок методом дискретных конечных элементов. //Сборник трудов 50-ой международной научно-технической конференции молодых ученых и студентов, 13-16 мая 1996 г., СПбГАСА- С.Петербург: . СПбГАСА, 1996 г. 119-124 с.

4) Гуров О.В., Андронов В.А., Метод дискретных конечных элементов как основа для аналитического моделирования упругой устойчивости регулярных стержневых систем.//Сборник трудов 1-ой международной конференции «Информационные технологии в производственных, социальных и экономических процессах «ИНФОТЕХ 96», 28-30 мая 1996 г. - Череповец: ЧГУ, 1996 г. - 234-250 с.

5) Андронов В.А., Гуров О.В. Определение критического значения нагрузки для сетчатых пластин и оболочек методом дискретных конечных элемен-тов.//Сборннк трудов 11-ой военно-научной конференции Череповецкого высшего военно-инженерного училища радиоэлектроники, 14-16 февраля 1996 г. Череповецкое высшее военно-инженерное училище радиоэлектроники. -Череповец: изд. ЧВВИУРЭ, 1996 г. 57-59 с.

6) Андронов В. А., Гуров О.В. Анализ закритического поведения сетчатых пластин и оболочек методом дискретных конечных элементов.//Сборник трудов 12-ой военно-научной конференции Череповецкого высшего военно-инженерного училища радиоэлектроники, февраль 1997 г. Череповецкое высшее военно-ннженерное училище радиоэлектроники. - Череповец: изд. ЧВВИУРЭ, 1996 г. 57-59 с.

7) Андронов В. А., Гуров О.В. Анализ влияния неравномерного нагрева на величину критической нагрузки сетчатых оболочек методом дискретных конечных элементов7/Тепловые процессы в технологических системах: Сборник научных трудов. Выпуск 2. - Череповец: ЧГУ, 1996 г. 135-142 с.

8) Гуров О.В., Андронов В.А. Метод дискретных конечных элементов для решения ряда задач устойчивости тонкостенных конструкций цехов металлургических предприятий. // Технология и оборудование сталеплавильного и прокатного оборудования: Всероссийский сборник научных трудов. Выпуск 1. - Череповец: ЧГУ, 1997 г. 47-51 с.

9) Гуров О.В., Андронов В.А. Применение метода дискретных конечных элементов к решению задач динамической устойчивости сетчатых пластин и оболочек. // Тезисы докладов 2-й международной научно - технической конференции «Динамика систем, механизмов и машин». -Омск: ОГТУ, 1997. С. 47-48.

10)Гуров О.В., Андронов В.А. Прогнозирование критических состоянии тонкостенных конструкций с использованием конечно-элементной имитационной модели.// Сборник трудов VII Международной научно - технической конференции «Оптические, радиоволновые, тепловые методы и средства контроля природной среды, материалов и промышленных изделий». -Череповец: ЧГУ, 1997. 78-81 с.