автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Методы теории катастроф в задачах устойчивости пологих оболочек

МИНСТРОЙ РОССИИ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ И ПРОЕКТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ КОМПЛЕКСНЫХ ПРОБЛЕМ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ И СООРУЖЕНИЙ ИМ. В. А. КУЧЕРЕНКО (ЦНИИСК им. КУЧЕРЕНКО)

На правах рукописи

МУРТАЗАЛИЕВ Гелани Муртазалиевич

УДК 624.074:539.3

МЕТОДЫ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК

Специальность 05.23.17 — Строительная механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

/

У

МОСКВА — 1996

Работа выполнена а Дагестанском государственном техническом университете.

Научный консультант

доктор технических наук, профессор РАИЗЕР В. Д.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор АЛФУТОВ Н. А. доктор технических наук, профессор АМОСОВ А. А. доктор технических наук, профессор КОСИЦЫН С. Б.

Ведущая организация:

Министерство строительства и жилищно-коммунального хозяйства республики Дагестан

Защита состоится 26 июня 1996 г. в Шоо часов на заседании диссертационного совета Д 033.04.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора технических наук при Ордена Трудового Красного Знамени Центральном Государственном научно-исследовательском и проектно-эксперименталь-ном институте комплексных проблем строительных конструкций н сооружений им. В. А. Кучеренко по адресу: 109428, Москва, 2-я Институтская, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан 20 мая 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук

Сидоров В. Н.

ОБЩАЯ ХАРАЭТЕРгаЯЙКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Стремление к снижению веса конструкций, наряду с улучшением свойств традиционных и появлением новых высокопрочных материалов, приводят к созданию в различных областях современной техники гибких тонкостенных систем, исследование напряженно-деформированного состояния которых производится на основе нелинейной теории.

Расчету тонкостенных систем в нелинейных постановках связаны с необходимостью анализа разрывай: пилений, происходящей яри определенных значениях внешних ("управляющих") и внутренних ("поведенческих") параметров системы, механически проявляемых в виде скачкообразных и внезапных переходов рассматриваемой системы - из одного вовможного равновесного состояния в другое. Такие явления хуже поддается анализу традиционными методами и все име-юадоеся на сегодня результаты получены ьа основе тех или иных, приспособленных для решения задач в конкретной узкой области науки в которой они наблюдаются, специфических, в основном, численных методов с использованием вычислительной техники.

Но наличие широкого комплекса численных методов не исключает насущной необходимости дальнейшего совершенствования сущесг-вую¡цих, поис1са и разработки эффективных аналитических методов решения нелинейных краевых задач, постольку, даке самая современная вычислительная техника не может заменить инженерной интуиции ;т спита исследователя: очень часто за сложностью и трудоемкостью численных процедур, не обладающих общностью и не охваты-ваацих работу конструкции в "целом", зынуядащих вычислять массу частных значений искомых функций, даже если в этом нет необходимости, утрачиваются физический смысл и инженерная трактовка ре-

шаемой задачи и "слепая" вера в результаты машинного счета при проектировании становится причиной их последующих аварий.

Главной причиной откааа тонкостенных систем является потеря устойчивости как отдельных элементов, так и всей системы в целом, исследование которой остается центральной проблемой яри их расчете и интерес к которой заметно возрос в связи с отнесением в существующем нормативном документе*, устанавливающем основные положения по расчету строительных конструкций, оснований зданий и сооружений на силрвые -воздействия, предельного состояния по условию потери устойчивости формы равновесия одновременно к первой или ^с второй группе предельных состояний, ставшее предметом обсуждений на страницах научно-технической литературы.

г

Как следует иэ изложенного, несмотря на громадное количество работ теоретического и экспериментального характера, проблема исследования явлений потери устойчивости строительных конструкций и последующая их классификация по грушам предельных состояний ни в теоретическом ни в практическом отношениях далеко еще не решена и она остается привлекательной, сложной и актуальной проблемой строительной механики.

В реферодуемой работе проводится анализ и последующая классификация характерных особенностей нелинейного поведения под нагрузкой, склонных к потере устойчивости форм равновесий, строительных конструкций, на основе взаимно согласованных и дополняющих друг друга аналитических (теории катастроф) и численных методов, позволяющих вскрыть резервы несущей способности конструкций, способствующие совершенствован™) и развитию эффективных аналитических методов

"ГОСТ'27751-88. Надежность строительных конструкций и оснований. Основные положения по расчету. Введ. с 01.07.88.

решения нелинейных краевых задач, связанных-с разрывными) явлениями и более широкому их использованию в инженерной' практике.

Целью работы является:

- разработка методики приложения аналитических методов и геометрических образов теории катастроф для решения нелинейных краевых задач расчета конструкций, связанных с разрывными явлениями и ее практическая реализация; .

- изучение характерных особенностей процесса нелинейного докритического деформирования, механизма выпучивания и послекри-тиче'ского 'поведения гибких систем на основе вваимно согласованных и дополняющих друК друга аналитических и численных методов, позволяющие вскрыть резервы несущей способности этих систем;

- установление целесообразной формы использования Энергетического критерия и записи выражения полной потенциальной энергии расчитываемых систем, необходимых для описания сингулйрностей, наблюдаемых в задачах их устойчивости;

- выявление-топологических'свойств энергетической поверхности соответствующей выражению минимизируемой полкой потенциальной энергии (Потенциальной функции;, моделирующей поведение расчитываемых нелинейных систем под нагрузкой, отыскание ее особых точек и установление их "природы";

- изучение влияния изменения в реальном диапазоне значений различных "управляющих" параметров, входящих в- выражение полной потенциальной энергии рассматриваемой системы, на характерные особенности ее нелинейного поведения;

- обоснование -и уточнение критерия классификации рав-тач"--ного рода разрывных явлений, встречающихся в задачах устойчивости ■ строительных конструкций, по группам предельных состояний.

- б -

Научную новизну работы составляют:

- методика приложения к решению нелинейных краевых задач, связанных с разрывными явлениями, методов и средств теории катастроф и ее практическая реализация для решения ряда основных характерных задач;

- приведенная классификация возможных постановок бифуркационных задач теории устойчивости упругих систем;

- сформулированные целесообразные формы записи энергетического критерия и выражения полной потенциальной энергии системы, ориентированные на использование методов теории катастроф;

- предлагаемые формы параметризации нелинейных задач при раздельном или совместном учете различных видов нелинейностей;

- разработанные алгоритмы решения нелинейных краевых задач, расчета конструкций с различными исходными формами постановок, методами теории катастроф;

- нетрадиционная с точки зрения механики конструкций форма представления результатов, полученных в ходе решения различных задач, ее инженерная трактовка и геометрическая интерпретация.

Практическое значение' имеют:

- методика поэтапного решения нелинейных краевых задач расчета тонкостенных конструкций, которая может быть использована в проектной практике при решении задач прочности, устойчивости и послекритического деформирования различных конструкций;

- приближенный аналитический метод решения задач с разрывными явлениями, на основе алгебраических средств и геометрических образов теории катастроф;

- результаты решения нелинейных краевых задач с параметрами, представленные (при числе параметров не более трех) в виде единых и наглядных геометрических образов, охватывающих работу

под статической нагрузкой целого класса конструкций для широкого диапазона изменения значений.управляющих параметров, служащие основой для выбора оптимальных параметров конструкций;

~ данные о соотношениях между критическими и предельными_ значениями параметров нагрузок, выявляющие реальные физические возможности и скрытые резервы несущей способности рассчитываемых конструкции, позволяющие однозначно определить группу предельного состояния, рассматриваемого равновесного состояния.

. Реализация работы. Работа включена в межвузовскую научно-тех ническую программу ГК РФ по ВО "Архитектура и строительство", в ¡со торой автор является руководителем темы 3.1.1.32. Часть исследований помещена в учебном пособии для студентов втузов: "Методы теории катастроф в задачах устойчивости упругих систем" (соавтор - Райзер В.Д., ШСИ, 1992). Результаты исследования включены в учебный процесс в Дагестанском государственном техническом университете и использованы: АО "ЧеркейГЭСстрой" при оценке прочности и устойчивости тонкостенных оболочечных конструкций гидротехнических сооружений, строящихся в Дагестане; АО "Дат'дизель" - в судостроении; Махачкалинским сельским строитель ньгм комбинатом при проектировании и возведении большепролетных покрытий культовых сооружений; Минстроем республики Дагестан при разработке нормативных документов.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на: V Всесоюзной конференции по проблемам устойчивости в строительной механике (Ленинград, 1977); Международной конференции по облегченным пространственным конструкциям покрытий для строительства в обычных и сейсмических районах (Алма-Ата, 1977); V,VI,XII научно-практических конференциях молодых ученых и специалистов Дагестана; У1+ХХ1 итоговых научно-технических конференциях Дагестанского политехнического института, (Махачкала, 1980+1994)1

научном семинаре кафедры прикладной математики Дагестанского госуниверситета (Махачкала, 1992); научном семинаре кафедры строительной механики МИСИ им. В. В. Куйбышева (Москва, 1992). В готовом виде работа докладывалась на секции "Теория прочности и надежности сооружений" НТС ЦНИИСК им.Кучеренко (Москва, 1996).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 статей.

Объем диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и списка использованных источников, изложена на 250 страницах, влючая 54 рисунка (34 страницы), б таблиц (4 страницы), 331 наименований литературных источников (32 страшив).

СОДЕРЖАНИЕ ДШТЕРГАЩШ

Во введении обоснованы актуальность, задачи и цели диссертации, ее новизна, теоретическое и практическое аначения, изложено ее краткое содержание. Основное содержание введения приведено выше - в общей характеристике работы.

В первой главе анализируется состояние теории и методов решения нелинейных краевых задач, связанных с разрывными явлениями иг примере задач расчета пологих оболочек, поскольку именно эти ободочки являются обобщенной и удачной моделью широкого класса конструкций, в пределах которых преимущественно изучаются характерные особенности поведения под нагрузкой тонкостенных систем. Указано, что для получения необходимой информации нужно решить ряд последовательных и взаимосвязанных задач, каждая из которых дополняет, уточняет и проясняет суть изучаемой проблемы. Отмечены характерны< особенности задач, трудности, основные пути их преодоления и принятая в работе классификация возможных постановок бифуркационных задач устойчивости упругих систем.

Нелинейная теория тонких упругих оболочек является сложной ]

обширной областью механики деформируемых твердых тел, являющаяся предметом многочисленных исследований. Общим проблемам нелинейной теории механики твердого деформируемого тела, в том числе нелинейным задачам теории тонких оболочек и методам их решения . посвящены известные монографии и прекрасные обзоры Н.П.Абоиского, Е.Л.Аксель-рада, А.В.Александрова, Н.А.Алумяэ, Н.А.Алфутова, С.А.Амбарцумяна, И.Арбоча. Л.И.Балабуха, В.Л.Бидермана, В.3.Болотина, Б.М.Броуде, Д.Бушнелла, Н.В.Валишвили, В.З.Власова, А.С.Вольмира, И.И.Воропича, К.З.Галимова, М.С.Ганеевой, Э.Гашпара, Г.А.Гениева и Н.С.Чаусова, И. И. Гольденблата, Э.й.Рригадюка и В .И. Мала», Я.М.Григорзш» и В.И. Гуляева. В.М.Даревского, Л.Г.Донелла, Л.В.Енджиевского, Л.М.Зубова, С.Н.Кана, Б.Я.Кантора, Г.Каудерера, Я.Ф.Каюка, В.Д.Кшошникова, В.Т. Койтера, М. С.Корнишина, И.В.Кривошеина, В.А.Крысько, А.А.Курдюмова, П.А.Лукаша, А.И.Лурье, И.Е.Милейковского и В.Д.Райзера, Х.М.Мушта-ри, В.И.Мяченкова, В.В.Новожилова, И.Ф.Образцова, П.М.Огибалова и М.А. Колтунова, О.Д.Ониашвили. П.Ф.Папковича, Я.Г.Пановко, В.В.Петрова, А.В.Погорелова, ¡0. Н. Работнова, Э.Э.Рейсснера, А.Р.Рканицына-, Э.Секлера, Л.С.Срубщика, С.П.Тимошенко, В.И.Феодосъевг., А.П.Филина, В.Флюгге, А.Н.Фролова, Д.И.Шилькрута, Л.И.Шкутина и многих других.

Причиной огромного внимания и стимулом к изучению как общих так и частных проблем нелинейно!"; теории тонких оболочек является все еще сохраняющееся расхождение между вычисленными значениями параметров, характеризующих их поведение под нагрузкой и экспериментальными данными для реальных оболочек. Хотя вычисленные в последние годы значения параметров, критических нагрузок и оказались меньшими, чем классические значения, они все же превышают известные экспериментальные данные.

Из обзора и анализа доступной автору литературы, относящейся к нелинейным проблемам теории оболочек следует, что наименее исследо-

- ю - -

ванньаси являются вопросы определения и анализа характера начального этапа послекритического (после ветвления равновесных форм) деформирования оболочек с учетом нелинейных эффектов основного (исходного) процесса и приложение их результатов к решению инженерных задач, изучение которых является одной из основных задач проведенных автором исследований.

Расчеты оболочечных конструкций в нелинейных . постановках, связаные с необходимостью анализа разрывных явлений, сводятся к решению ряда задач, строгие математические критерии которых установлены в теории ветвления решений.нелинейных уравнений.

Первая задача заключается: в определении возможных равновесных форм оболочек, решением исходной нелинейной краевой задачи с параметрами, описывающей исследуемый основной процесс; в установлении области и границ существования каждой найденной равновесной формы и в выяснении возможных способов перехода оболочки из одной равновесной формы в другую.

Вслед зз этим встает вторая задача - исследование устойчивости найденных форм равновесия основного процесса, включающая: отыскание значений параметра нагрузки, при которых происходит, бифуркация (ветвление) равновесных форм оснрвного процесса; определение числа ответвляющихся решений и их кратности; установление конфигураций побочных (вторичных) равновесных форм.

Третья задача заключается в определении характера начального этапа послекритического поведения оболочки, на основе анализа более высокого порядка, чем при решении первых двух задач.

В соответствии о этим, исследование поведения под нагрузкой гибких оболочек, названное в данной работе общей нелинейной краевой задачей, разбито на три этапа, в которых решаются последовательные и взаимосвязанные задачи, позволяющие выявить все ха-

рактерныэ особенности упруго-нелинейного деформирования, склонных к потере устойчивости тонкостенных систем, хотя такое разделение проблемы на изучение процесса докритического (исходного) деформировс ня, вопросов ветвления (бифуркации) равновесных форм и послекритического анализа является условным, принятым целью придания предмету исследования обозримые границы.

С математической точки зрения, указанные задачи сводятся к решению нелинейных краевых задач для систем высокого порядка дифференциальных уравнений в частных производных с различными параметрами для резения которых отсутствует точны« анадихичесгаге методы, дающие в замкнутом виде полное множество решений. Имеющиеся результаты получены на основе тех или иных численных методов на ЗВМ. При всех преимуществах численных методов, все же они мало приспособлены к решению нелинейных аадач, связанных с раз-, ровными явлениями, что требует поиска и разработки, хотя и приближенных, общих эффективных аналитических методов их решения.

Одной из перспективных теорий, ставшей в последние годы эффективным и полезным средством анализа многочисленных разрывных явлений природы, является прикладная математическая теория - теория катастроф, разработка методики приложения средств и образов которой к решению нелинейных краевых задач расчета конструкций является второй основной задачей данной работы.

Существенную роль играет теория катастроф в установлении зависимости экспериментально наблюдаемых форм равновесий упругих систем от числа управляющих параметров, позволяющая классифицировать явления потери устойчивости консервативных систем, на основе концепции "структурной устойчивости", общая идея которой заключается в том, что все физические явления устойчивые настолько, чтобы быть повторно на&юдаешдог должны быть устойчивыми

по отношению к малым возмущениям.

Как известно, в теории устойчивости сооружений различают два рода эффектов объединенных одним термином неустойчивость -потеря устойчивости "первого" и "второго" рода, которые, по терминологии введенной еще А. Пуанкаре, характеризуются точкой би-фур1?ации и предельной точкой соответственно. Такая классификация, существующая в строительной механике, как справедливо отмечается в ряде работ, далеко не универсальна, не достаточно тонка и полна и требует более подробных дополнительных исследований.

В частности, бифуркация (ветвление) равноосных форм сама по себе, сигнализируя об опасности не позволяет оценить истинную степень зтой опасности. Встречающиеся при этом критические точки, при более подробном рассмотрении, подразделяются на целую серию типов; выяснение "природы" которых позволяет оценить: соотношение между значениями параметров бифуркационных и предельных нагрузок, определяющее физические возможности объекта при критическом значении параметра нагрузки, формирующее инженерное представление о степени опасности достижения данного, критического состояния; характер начального этапа, следовательно и глобальные качественные изменения в послекритическом поведении конструкций; чувствительность конструкции к несовершенствам.

Если в расчетах учтены некоторые классы возмущений (несовершенств) , то вопрос о бифуркационной неустойчивости исходной равновесной формы по отношению к смежным равновесным формам, соответствующим принятому классу возмущений снимается, хотя он остается в силе по отношении к другим, неучтенным, классам возмущений. С этой точки зрения понятия устойчивости или неустойчивости, характеризующие реакцию идеализированной системы на действие возмущений, важны в инженерных расчетах, хотя бы как инс-

трумент, позволяющий оценить значения параметров, неизбежных в

рральных условиях несовершенств, как величину адекватную балансу всех несовершенств системы и тем самым определить их безопасные ир'-гели Поскольку учет всех классов возмущений невозможен,' в силу их бесчисленности, можно отметить, что расчеты на устойчивость !1Ш»5';я своего рода "платой" за неигбешые упрощения и А;><.'-'./!'И*' ,<гМ!1КМао;.'(-,» г.рк вибсос расчетных ситуаций.

Л^л .зада^ а^^'л 1-1,0, ютгорме преяму^оо; запас рассматри-пгшш,, „ пяГюте. автором предлагается следующая

классификация возмояиьж ииьтг^о¡¡¿а зэдг:, «»«>«« кла^сл'«!);:;;^-

ция как самих явлений',' так и возможных постановок, задач, в силу их чрезвычайного разнообразия, является условной (рис.1):

- линейный основной процесс и линеаризованная постановка задачи устойчивости исходной равновесной формы основного процес-

(плассиаиг.;^-; , определяющая точку бифуркации

.¿.этзлепия) пляноес^ной фопчь-' основного процесса, соот-

:;>:Ч ЛВуг.ЗйГО ОПСЧви.» »¡аСлЯКв'грй КРИТ!:'«ЮК0Й загрузки к, с точ-■ тс .'«а-Л'ч-г'.Оа, сслсчРслну» фу.-!кц1га отток; звдуй ."хж-

г;г'/г.г.щг0 счспи/ я ."ачен? ротарк устойчивости - ' тип еа.ъвч;

• линейный осяовнп/ псоцэсс и ¡'е^пязйная постановка задачи устойчивости исходной равновесной цюрш сановного процесса, поз: .¡.? •• .'•.••„•.ать, 80 и вь!й2":~ "природу" точки бифуркации, определяющей.характер начального этапа послекритическогс (послебифуркационного) деформирования конструкции - 2 тип задач;

- я&тнгиШй основной процесс, учитывающая изменения проио-ходяш.ие в системе в -основном процессе :г линеаризованная постановка бифуркационной задачи, определяющая точки Оишуркаций исходных равновесных форм, без выявления "природы" этих точек- 3 тип задач;

- нелинейный основной процесс и нелинейная постановка задач устойчивости исходных равновесных форм основного процесса, выявляющая "природу" точки бифуркации (ветвления) исходной равновесной формы основного процесса, характеризующую начальный этап послекритического поведения конструкции - 4 тип задач.

Рис.1. Возможные постановки задач устойчивости

I- устойчивые (1-неустойчивые) равновесные состояния исходной

формы основного процесса - безмоментного деформирования; II- устойчивые (Ii-неустойчивые) состояния исходной формы линейного (моментного) основного процесса; III- устойчивые (III-неустойчивые) состояния исходной формы

нелинейного основного, процесса; IV- равновесные состояния нелинейного деформирования и нелинейных последующих бифуркаций, а-а- состояния устойчивой послебифуркационной равновесной формы

побочного процесса; б-б', а-б', б-а- неустойчивые послебифуркационные ветви; А,С- предельные точки; В- точка бифуркации (ветвления).

Ясно, что в зависимости от возможных последствий, гарантия

против ¡поступления того или иного опасного (критического) состоянии долгп!а--быть различной, которая, в настоящее время, обеспе-•отается определение!. группы предельного состояния; к которой -

следует отнести достигнутое конструкцией критическое состояние. Поскольку, б указанном нормативном документе, предельное ;iu услепгя потери уотойчвзеотя *ормы равновесия одной

ременно отнесено к перьсЛ или ко стеной группе пргпейьпыл состо

«нип. ,uJJ1VJ>,ц-питйОИЯ, ПОЗВОЛЯЮЩИХ ОбОСНОВЗТЬ И

однозначно определить группу ^■■<-<>ппГ.„ л о ^""»ич

потери устойчивости форм равновесий строительных конструкций, на основе решения четвертого типа (остальные являются его частники случаями; из приведенной вше классификации возможных постановок звдач, является третьей основной задачей данной работы.

£ l'CjViS !ч;сг15. "г:!;омоглтелы1сй, состоит иэ двух

ri ;;;-:ra.io "ffO!.';! ^лн.ыыюм-'Кь

-iW.rni .'SÏLi'iy.Cf 1С '>•(.-'. Д.-;:; ''KÎI ..Г 1:5 ¿7-41; if."-: г;-'.: »ч я И нсЫО

; î/'U'î iv/.CCX'iJ" • У-"ГО^ННК-О , j-.>t< .;CJ!C,;:k Л■''>• UUe.Vri'iVÎÎItCt

.¿ПОЛКЙОЬгОч!)- -ЧГ, ¿(..'ДО;! "i'fr-."¡î^iitl КаГс'.СТр'Х*. ,:tiajlUd:.i>Vk''i

ни»; wi иольсопалшя энкргетичссгогt» критерии, которой,

va* ипвестно, ыогшт быть записан в рьаиичлц;: ivp't-л иыяонж'м •: • •. ••( ; ч-.уькл •-iGïéiiu'i'.ufbiio" -"с-г-;«« должны быть учтены для решения задачи иетщапн кодш «ам*хал-1>.

Традиционный метод исследования качества равновесных состо-! .:,,! кшгаерия, основан на анализе

изменении иолисх; потенциальной анергии системы при ее периоде щ ¡«сходного в смежное, бесконечно бтизкос к исходному, положение. Обычно, энергетический критерий устойчивости записывается или в форме С.П.Тимошенко или в форме Дж.Брайана, разница между

которыми заключается в том, что в записи энергетического критерия в форме С.П.Тимошенко указанное изменение выражается непосредственно через внешние нагрузки, j а в форме Дн.Брайана - через внутренние усилия основного состояния.

Во второй части этой главы приведены основные соотношения, описывающие поведение гибких пологих оболочек во всех трех указанных выше этапах напряженно-деформированного состояния: на начальном (исходном, добифуркационном) этапе нелинейного деформирования; в момент бифуркации исходной равновесной формы и на начальном этапе послебифуркационного деформирование. Вывод этих соотношений основан на базе модифицированной общей теории упругого выпучивания и послекритического поведения'конструкций, изложенной в работах В.Т.Койтера и его последователей. Причем, если в первых и во многих последующих работах данного направления рассматриваются, в основном, случаи безмоментного или линейного начального этапа деформирования оболочек, что значительно упрощает решение задачи, то в данной работе рассматривается анализ с учетом нелинейных эффектов исходного докритического процесса,

В конечном итоге, анализ начального этапа"послекритического (послебифуркационного) поведения сводится к установлена зависимости медцу параметром действующей нагрузки X и параметром е,: X « Xcr(l + Ci-* + Cz-e? + ...), (1)

где t, - бесконечно ыаяый с|саяярный параметр, в качестве которого принято отношение амплитуды А формы выпучивания Wi к толщине оболочка h: ê, » A/h; Щ- дополнительные перемещения, обусловленные возникновением побочной равновесной формы при значении параметра нагрузки X равном ХСг. соответствующему точке бифуркации исходной равновесной формы.

Ив формулы (1) следует, что С1 = 0 всякий раз, когда ха~

1>пк нлчнлыюго мгапа лссдеокфуркационногс поведения конструкции ... от знака- паошеа-ров. формы, вынушаг-ния. Тогда характер

•. ч':ч!<•-. •••л-5ььуг:. пП1Х;П№о /доведения определяется енаксь

кг •• ;»Ы!<И'.-(! гл >:.-. »•..л.-йсктп;-» слу*г.™* тоторой показаны на рио.1; есл;< 0-г ✓ 0 .фкьа.: гашу;»)!»;?*.. ¡' от и дг,яинка<ггсг. гьзе критической точки ■ • ■ и ; ттртеадложящуп

к устойчивой послеоифуркйщионяо^ р^шьй&ш- а-ь-. ы^'орог

и. тч,шии,.; ?апнопрпной Формы с сохра-

нением несущей способности оболочки; если сг <. и пм^й.« точку бифуркации второго типа**, в которой конструкция теряет не только устойчивость исходной равновесной форны, но и несущую способность; если скажется, что вычисленное значение Сг = 0, то нужно пеиить задачу более высокого порядка относительно параметра г,.

' • •.-;--•: ••>•: " отегеямй ме-

: „ :ул:: .... -.лдСг -

»апяктерных задач.

явлений природы на стыке математически«о аили^л .: ч.^г-у :-•:■.. ■лт »зтачню««чи теорию устойчивости и бифуркаций с одной

> 'УУ< ГУеШУУУУ^А .....Г О ДРУГОЙ, ПОЛу-

чившая сюл» ^к------ а "оугу^с уу.^глте", эта теория &кгнзн%) р-з--

**-Алфутов Н.А. Основы расчета па устойчивость уттругнк систем. М.: Машиностроение, 1991.

вивается и успешно применяется в трудах многих исследователей, работающих в самих различных областях науки: математики, физики, механики (в том числе и механики конструкций), биологии, социологии, что объясняется, прежде всего общностью и глубиной положенных в ее основу математических идей.

В отдельную теорию она выделилась в начале 60-х годов, после глубокой классификации разрывных явлений, произведенной Р.Томом на основе идеи "структурной устойчивости", наблюдаемых б системах, описываемых градиентными (потенциальными) функциями, при числе управляющих параметров не более четырех, которая впоследствии и была названа элементарной теорией катастроф.

В этой теории особенно удачно слились в изящную единую теорию аналитический подход к изучению канонических форм особенностей гладких отображений и топологический подход на языке, соот-ветсвующих этим формам, инвариантных геометрических образов. Вся теория представляет собой далеко продвинутую главу общей теории динамических систем, имеющая свои методы качественного и количественного анализа самых различных задач, из чего, сопрею! утверждениям некоторых "горячих" приверженцев этой теории, вовсе не следует их универсальность и всесильность.

В определенной степени теория катастроф заполняет существующий ныне разрыв между сложными и трудоемкими численными решениями нелинейных краевых задач расчета конструкций на ЭВМ и разрозненными, слишком упрощенными инженерными схемами, основанными на интуитивных гипотезах.

Методы этой теории эффективны в задачах с особенностями, заключающимися в той, что при непрерывном изменении параметров, описывающих рассматриваемый процесс или явление устойчивый вначале процесс становится при определенных значениях этих парамет-

ров неустойчивым, гладкие изменения параметров вызывают скачко образные и внезапные качественные переходы, природа которых мо дет быть самой различной. Эти внезапные изменения и названы "катастрофами", подчеркивая тем самым, что имеется резкая и драматическая перемена в поведении рассматриваемой системы.

Теория катастроф разрабатывает качественные математические методы исследований, устанавливающие связь решений нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих параметры со структурой самих уравнений, призванные решить различные нелинейные краевые задачи, не якеящие до сих пор сффек-еивных изгодов анализа.

Если в традиционном подходе к изучению свойств решений дифференциальных уравнений, сначала определяется полное множество решений (что возможно не всегда, поскольку определить полное множество решений удаётся далеко не для всех систем уравнений), тотем анализируются их свойства, то в теории катастроф исходят из того, что во многих случаях, при изучении конкретных ''.четем уравнений, описывающих рассматриваемое явление, достаточен игра пяченный объём информации качественного характера, получаемый на основе анализа "структур канонических форм".

Методы теории катастроф непосредственно применимы к решению задач, в которых минимизируется или максимизируется некоторая функция. Поскольку изучение вопросов равновесия и устойчивости равновесных форм механических систем сводится к анализу локаль ных свойств полной потенциальной энергии системы, для исследования этих вопросов предпочтительны методы теории катастроф.

Наличие катастрофы в том или ином реальном процессе или явлении устанавливается по характерным . опознавательным знакам -"флагам" катастроф. Известны восемь стандартных "флагов", первые пять из.которых - "модальность", "недостижимость", "скачки",

"расходимость" и "гистерезис" встречаются вместе. Объяснение причин неизбежности их присутствия, также как,и установление их общих свойств, даются в теории катастроф, и в этом плане она не . заменяет, а дополняет, объединяет и обобщает известные методы, путем глубокого анализа, лежащих в их основе закономерностей.

При решении задач на основе методов теории катастроф следует установить связь математического описания решаемой задачи с определенными задачами универсального характера, рассматриваемыми в теории катастроф, т.е. нужно провести идентификацию параметров, выражений, уравнений описывающих поведение рассматриваемой системы с определенной катастрофой из списка семи элементарных катастроф , после чего поведение системы мбжет быть предсказано на основе фундаментальных положений теории катастроф.

В этой формулировке содержится общий алгоритм решения нелинейных краевых задач, связанных с разрывными явлениями средствами и образами теории катастроф, на основе которого, в этой же главе, решены две характерные нелинейные краевые задачи: в первой из них анализируется поведение конструкции, совершающей плавный ("мягкий"), а во второй - скачкообразный ("жесткий") переходы из исходных в послекритические равновесные состояния.

• Четвертая глава,■ также состоящая из двух частей, посвящена решению нелинейных краевых задач определения процесса осесиммет-ричного (основного) докритического -деформирования круглых в плане пологих оболочек вращения. В первой части задача решена на основе комбинации численных методов на ЭВМ, во второй части аналогичная задача решена методами теории катастроф. Хотя решенные задачи не являются новыми с теоретической точки зрения, использованный для их анализа метод и полученные результаты, представленные в виде единых и наглядных геометрических образов теории

катастроф, превращают различные "точки зрения" и специфические подходи к решению этих задач в "поле видения" для широкого диапазона изменения значений внешних и внутренних параметров.

В качестве исходной принята безразмерная система из двух нелинейных дифференциальных уравнений смешанного типа, относительно функций прогибов У и функции мембранных усилий Р:

I 4 '-> ч (2)

о ' 1 1 • .

где \г() = С)" + — О' + —5 О - дифференциальный оператор; г гл

штрихом обозначена производная по радиальной, а точкой - по кольцевой координатам.

В случае осесимметр;иного деформирования оболочки эти уравнения значительно упрощаются и их первый интеграл имеет вид: / (г в*)' - в/г = Ф (0 - г) -?0(г);

I (3)

Чг Ф')'-Ф/г--8 [(в/г) - г], где в » - И'; Ф = Р; ?о(г) " 4£ргаг - функция, зависящая от характера и вида поперечно'" нагрузки, действующей на оболочку.

Системой ур?°ч<?ний (3) описывается процеЬс упруго-нелиней-него осесимл.етричкого деформирования пологих оболочек вращения г: вместе с соответствующими граничными условиями составляют полнук? систему уравнений для решения первого этапа указанной выше общей краевой задачи.

Ранее автором для решения системы уравнений (3) использована комбинация метода конечных разностей (МКР) повышенной точности и метода дифференцирования по параметру, сводящийся к шаговой

процедуре. Рассмотрен вариант метода продолжения по параметру, когда за параметр дифференцирования приняты-неизвестные задачи и параметр нагрузки, от выбора которых зависит физический смысл задачи и возможность нахождения всех точек кривой равновесных состояний в едином и непрерывном вычислительном процессе. .

Для решения задачи, составлена программа РКЕВиснь, р. которой шаг для разностной аппроксимации Дг = г/п (п - число участков деления радиуса оболочки), при решении конкретных задач, принят равным Дг = 0.2 * 0.1, а интегрирование системы дифференциальных уравнений первого' порядка проведено методом Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага, начальный шаг интегрирования и точность решения приняты равными 1О-6. Дальнейшее уменьшение значения Дг и шага интегрирования, увеличивая время счета, практически не изменяет его результатов. Приводятся полученные результаты, представленные в виде графиков, дан анализ, сравнение и сопоставление с известными в литературе данными.

Во второй части этой главы решена задача расчета свободно опертой по контуру сферической оболочки при действии распределенной по некоторой окружности радиуса Ь осесимметричной нагрузки интенсивности и, действующей со стороны выпуклости, методами теории катастроф (рис.2). ■

За исходную принята система двух нелинейных дифференциальных уравнений смешанного типа, записанная относительно функции прогибов № и радиального мембранного усилия следующего вида:

0 с] ё 1 (1 <М 1 с1 г (2£

--г---г----г Гцг — г - —

г <1г с1г г с1г с!г г с1г 1 4 вг сЗг

1 1 а _ 2{ М 1 ( с№

- г-----(г Иг) + -=■ г — + - — = 0, (4)

Е(1 с!г г с!г а2 с1г 2 с1г '

глв 0, Г, Ь, 2 а - цилиндрическая жесткость, стрела подъема, тол-

шлна и пролет оболочки соответственно; г - текущий радиус.

На контуре оболочки (г=а) функции W и Nr должны удовлетворят валенным граничным условиям.

Для решения задачи, сначала, - пользуясь . процедурой Рит-ца-Папковича, определена полная потенциальная энергия Э оболочки, равная сумме потенциальных энергий изгиба Цъ, растяжения сжатия срединной поверхности оболочки Цщ и потенциала внешних сил Ilq: Э - Ub+ um + nq, (Б) которая, окончательно, принимает вид функции четвертого порядка относительно произвольных параметров в аппроксиикруаг^м. выражении для функции прогиЪов W, Если аппроксимирующая функции принята в виде: W « А(1- р2)(1- 0,2453 р2), (6) где А- прогиб, в центре оболочки, подлежащий определения;

р = г/а - безразмерный радиус, v принят равным 0.3, получим выражение для полной потенциальной энергии оболочки: 3*JI0,04335u4 - 0.0850KU3 +(0,04184К + 0,33QÛ)ir - GUÎ, (?) где J = 7fEh5/a2; u = A/h - переменная состояния оболочки; К « Zt'/h - параметр кривизны оболочки;

2bpa2 г „1 г

G = -— h- (b/â)** 1 - 0,2453 (Ь/а)" - паоа'.'зтр нагрузки;

Eh4 L J J

При традиционном подходе к ресенкю задачи энергетическим

методом, исходя из условия стационарности выражения (7), получают нелинейную зависимость, между параметром зненнвй нагрузки S и переменной состояния и, определяющую равновесные состояния оболочки. Для получения нужной информации' строятся кривые равновесных состояний для различных значений параметра кривизны К, представляющие совокупность непрерывно следующ. .< друг за другом отдельных деформированных состояний оболочки, определяя каждую точку каждой кривой решением указанных нелинейных уравнений, яв-

ляющаяся довольно трудоемкой численной процедурой, из-за возможной расходимости процесса в окрестностях особых точек.

Но как указано выше, для получения нужной информации и выяснения качественных изменений в решениях уравнений в зависимости от изменения значений управляющих параметров в и К нет необходимости строить все эти кривые. Здесь достаточен ограниченный объем информации качественного характера, получаемый на основе анализа методами теории катастроф структуры выражения (7).

Далее приведено подробное решение этой задачи, предварительно разбитой в зависимости от числа управляющих параметров на два случая, методами теории катастроф.

В первом случае, за единственный управляющий параметр, принят параметр внешней нагрузки й, а за внутренний - параметр состояния оболочки и. Для заданного конкретного значения параметра кривизны К (скажем,.К-6) выражение энергии (7) принимает вид: . Э(и;0)- 3(0,04335-и4 - О,510-и3 + 1,83624-и2 - в-и). (6)

Равновесные состояния оболочки определяются из условия стационарности выражения (8)

дЭ/ди * .1(0,1734-и3 - 1,530-и2 + 3,6725-и - Б) - 0, (9)

обычно записываемое в виде:

0,1734-и3 - 1,530-и2 + 3,6725-и - (10)

' Топологические свойства минимизируемой функции энергии Э в зависимости от изменения значений параметра нагрузки (з показаны на рис.3, где пунктирной линией показана кривая равновесных состояний для принятого значения параметра кривизны К.

Процесс изменения потенциальной функции в зависимости от изменения значения одного единственного управляющего параметра, в качестве которого выступает параметр нагрузки и заключающийся в слиянии и исчезновении минимума и максимума энергетической по-

- 25 -

верхности представляет собой катастрофу "складки".

Во втором случае в качестве управляющих параметров, приняты

параметр нагрузки - Б и параметр кривизны - К, критические (равновесные), дважды' и трижды вырожденные ("неморсовские") особые точки потенциальной функции Э(и;0,К) определяются из выражений:

¿Э ' '

— = ^10,1?34-иэ -0,2550-К-и +(0,08368-К2+ 0,660)-и] - Б = О; % (11)

-4 : Л'СО,5202-и2 -0,510-К-и ь 0,03368-К2 + 0,660] - 0; (12) аи^

а^З/ии3 = [1,0404-и'- а'пЮ-К] =0. (13)

Уравнения (11-13), после небелыми и несложных поеобралова ний, подстановкой У=и-(14706К/3).приводятся к каноническому виду: V3-(0.2383К2 - 3,8062)V + 0,001К3 + 1.8658К - 5,7673 - 0; (14) 3-У2 - 0,2383• К2 + 3,8062 = 0; (15)

6-У - 0. ' (16)

Условие (14) выполняется для равновесных состояний оболочек и в трехмерном пространстве обобщенных координат - переменной соотс» ■ яния V и двух управляющих параметров К и Б изображается единой геометрической картиной (рис.5), представляющей поверхность равновесных состояний целого класса оболочек, называемое в теории катастроф двумерным многообразием канонической катастрофы "сборки" или "сборки" Уитни. • Функция Э(и;К,Б) имеет.трижды вырожденную критическую точку О - начало "сборки" (рис.4) при совместном выполнении условий (14) + (16), значения коордшгат которой получаются решением системы (14) - (16) в обратном порядке и имеют следующие значения: Ко- 3,996; Ц0 « 1,988; Ос - 1,304.

"Линии складки" - бифуркационное множество функции Э, в которых поверхность "подворачивается" ("складывается"), определяются из совместного решения уравнений (16) и (16), откуда поду-

Рнс. 2. Схема загружепия п геометрия оболочки Э1

Рис. 3. Энергетическая поверхность Э-Г(и;С) и

кривая равновесных состоишй для оболочки №=6

Рис 4. Многообразие катастрофы сборки —

повехность равновесных состояний оболочки

Рис. б. Отображение катастрофы сборки на плоскость управляющих параметров К- в*.

чается зависимость между параметрами верхних бтах и низших критических нагрупск и параметром кривизны оболочки К в виде:

е£Гп - (0,3230-К + 0,00016.К3) 0,077-(К2 - 15,97)3/2. (17) 'Чн.-ису "-*-" в (17) соотг-етстауйТ' гначсвия- верхних критических нагрузок и кривая 2 ка рй-.-Ц ¿иа«а' "-" - зиаченш: нижних критических кягруэпк и ¡фикая й*. Огг.'три области 3, иькяшй ?*>рчу сбор-га, фуькияг г,Си;К,«'> имеет три изолиравйлнке критические точки, с 1 • О;ПР/, :ц;иви; гмцацок 2 и V дко -иропдэн--

«гчитииепкие точки, причем вдоль кривой 2 ооышд&ч: два значения соотаею.^,;;™? -пои*»™,". „ "" 2' оуяиа-» -

кия соответствую®,ие "пихш:м" критическим нагрузкам (рис.С и 5;.

В пятой главе, методами теории катастроф, ка основе приведенного вше алгоритма, решаются аналогичные задачи для прямоугольных в плане пологш: оболочек.

анализа поведения под разномерно

с. ;'..': ; . - . . -/ГУ -у' ^УУ^УУ

■ .-г .'• уу;'--:.■•• .у: ^

... .1оГ.-;тг:: • ■угз уу:у, .поги-

бов Щх,у) и мемор^^и. ..< .'-'Ч •>.;') 3 ;:/;ог*.

. - ——""" полной потенциальной энергии Э обо-

лочки а :•"•'. >■' л: о г.'."С. " 1 с'':-г.. с упууу.ууу}:у про^паз'п

го параметра А, входящего в выражение функции пропюои-.

Э , ----------------------■ ,-л2 + -д2 _ д.Д. (18)

15з условия сташ"7ггр!'ости выоакенкп (18) получено уравнение, овязывавдее внешний (управляющий) параметр нагрузки д с внутренним (поведенческим) параметром Л для равновесных состояний обо-

лочки, которое для квадратной в плане оболочки (при а=Ь) после небольших преобразований принимает следующий безразмерный вид: и3 - 1,125-ки2 + 2,50882-й + 0,28125-к?*и - 0,11399-Р = О, (19) где и = Р = да4/Е|А

Уравнение (19) легко приводится к каноническому виду и3-(0,14062тк2 - 2,50882)-и + 0,94081-к- 0,11399-Р = 0, ' (20) представляющее (в терминах теории катастроф) двумерное многообразие канонической катастрофы "сборки".

Координаты начала "сборки", для данной задачи, имеют следующие значения:, и0 = 1,58392; к0 = 4,22380; Р0 - 34,8609, хорошо согласующиеся с известными в литературе данными.

Геометрическое представление полученных результатов (рис.4 и 5) и их интерпретация аналогична приведенной в предыдущей главе анализу и здесь не повторяются.

Аналогично решена задача анализа поведения под статической нагрузкой цилиндрической панели переменной толщины.

В качестве исходных уравнений принята система уравнений смешанного типа относительно функций V/ и Г: •

У(ОТО) - (1-у)-Ь(0,У/) » ЦР,И) + К—— + щ

, ок

1 / \ 1 №

— --(1+у)-Ь(Ь,Р)} ---- К--— . (21)

Е ^ ' 2 Эх

Переменность толщины принята в широко известном виде, характеризующем изменение толщин панели во времени вследствие коррозионного износа: Ь(х,у,1) - Ьо~ ф(<0-й(к,у), . (22) где <?(1) -функция, характеризующая корозионный износ во времени; и(х,у) - функция, характеризующая коррозионный износ по. поверхности оболочки.

Для решения этой задачи, на первом этапе, используется ме-

■год Бубнова-Галеркина: приняв выражения для аппроксимирующих функций И и г в виде двойных тригонометрических рядов, удовлет-

?',р:г«цик граничный условиям задачи и интегрировав систему (21) получки зчз нелинейных . алгебраических уравнения относительно ¡(аранетрок А и 8, сводящееся к одному кубическому" урзвпеип:- •.'яччос.чтедъио параметра Д. которое для случая де<эд>.чг-ной ь иле»ае сбадоим (4 т а/Ь -=1), равномерного однсхлоронает ' ■ '3.3 'К.Л'!-.-'ЧП- -знд.

{8,773-1Г - 2,46'/'U-t£22,Üi-a~(C) - 0,1'342.Ч'''•!>:•;il j - ц",

к-

■•»« а - А.'^; * -c.uV,^. а" —Sit) = (l-[lt).

Преобразованное к каноническому виду урашпс«..- ("2) и*,,,.

V3 - СО,00878•kz - 2,608a-S2(t)3-V + 0,2351-к- sz(t) -

- 0,114-qVs(t) = 0, (24)

которое в трехмерном пространстве обобщенных координат - пере-, «ечной состояния V, двух управляюшда параметров q" и к, для

!:•<> г iv.vlrM Г^ДСТЯПЛЯСТ Двумерное

'.'ji'CcOn-,:> 4v. .V.Vo-Г ЛЛГ'-'ГЧ.'.^ц,-.: 'СЙ^.Г':'", >■: .Lcivj':

■ l-î VCQiîu : ' ■'■■'■) ? i - = г ~ rt ,r "'n',.:,. '^n:. ti.

'L-'OI-C : i.vi-cpxvjoii-.'j o^iî^Uu^i/nt'X CÙC,cîik:V"; 4tv.;,oro no

.и^^ндиччгокях пвиелей.

feuTöv; глянь шншяадеяа решен;"» .чгорогс сдтуш (иа указашн.-, и что трех). общей задачи анализа нелинейного «юьедишш пологих . \,о>оч*?к, «г-ешл» - исслодованих) устойчивости яс;?одпсй равновесной форш основного процесса (ь дгшйьу случае • ооеиимметрич-кого деформирования) круглых в плане пологих куполов, являющйся '.уагьш! -лжем, из приведенной гылн?, классификации типов задач.

В атих оболочках, являющихся оболочками положительной кри-ънзны, с увеличением значения параметра лрилоквнной по направлению к центру кривизны внешней осесишетричной нагрузки, в неко-

торых зонах возникает значительные окружные сжимающие усилия приводящие, при определенных значениях параметров кривизны оболочки К, переходу исходной ооесшмегричной формы деформирования оболочки в неосесимметричнузо (побочную) фор;,г/.

Тшше форш появляются до достижения нагрузкой предельного уровня, соответствующего первому локальному максимуму на кривой равновесных состояний осесимметричного деформирования. Соответствующую этому явлению бифуркационную критичесгсую нагрузку определяют, как наименьшее значение параметра внешней нагрузки, при котором наряду с исходной осесимыетричной формой ; авиовесия становятся возможными (в сучае простого собственного значения - одна, а в случае кратных собственных значений - несколько) смежные неосеспыметричные (побочные) форш равновесия, близкие (в момент бифуркации) к исходной, но отличные от нее. Если в процессе решения задачи точка бифуркации (В на рис.1) обнаружится раньше предельной (А на рис.1), то отыскание последней, также как и последующих бифуркационных точек, лишено'практического смысла.

С математической точки зрения, этот этап решения задачи сводится к реаению линейной задачи о собственных значениях, в которой компоненты осесимметричного напряженно-деформированного состояния в и Ф, вычисленные решением систем (3) на первом этапе, присутствуют в виде известны;; переменных коэффициентов в системе двух линейных однородных дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка, получаемой из исходной системы (2), на основе метода возмущений, следующего вода:

Wi Wi ^ ^ wi*

■ Ö.

(25)

Представив функции Wi и Fi в форме рядов:

00 ¿0 ------- -

Wi(r,<?) =nE2Win(r) cos rvp; Fi(r,<?) - £_fin(r) cos nt?, (26) (n- число окружных волн), подставив их в систему (25) и в соответствующие граничные условия, получим бесконечную систему однородных обыкновенных дифференциальных уравнений для функций Win(Г) И (г): о •

Vn4 Wm ? Vng Fin - f — Fin - " Л Fla ) 9'+ - WlJ, -V г г*- ! 2 г

Пп + ( — win - Wm) Ф';

= - + (Лв' + — в.

* Г г / г

г

2

Vn4 Fm - - Vn2 Wm + — Win + ( — win - ^r Wm) 9'.

г v г г '

(27)

Различные гармоники (при принятых допущениях) для каждого

из уравнений (27) оказываются ке связанными, гтсзтс'^у в дальнейшем достаточно рассмотреть толысо общую n-ную гармонику.

Для' решения задачи, на основе f.iKP повышенной точности, составлена программа BUCKLING. Полученные результаты приведены в таблице 2.

В седьмой главе решается задача третьего этапа общего анализа тг'с.тенейннх особенностей поведения под нагрузкой гибких оболочек, закяв^гощаяся з определении характера начального зтала послекритического (послебифуркационного) деформирования круглых в плане пологих оболочек вращения. Задача относится к четвертому типу и требует анализа более высокого порядка, чем при решении указанных'выше задач первых двух этапов, так к it здесь выясняется "природа" точки бифуркации, "проливающая свет" на глобальное качественное послекритическое поведение оболочек.

Проведенный выше анализ не позволяет определить характер, хотя бы начального этапа, послекритического (послебифуркационно-го) поведения и чувствительности поведения оболочек к несовершенствам. В частности, остается открытым вопрос: является ли найденная критическая точка бифуркации (ветвления) исходных равновесных форм точкой потери (исчерпания) несущей способности оболочки или же она является точкой потери устойчивости (бифуркации) исходной равновесной формы оболочки, не исчерпавшей еще своей несущей способности?

Несмотря на то, что каждая точка бифуркации определяется решением задачи о собственных значениях,' характер поведения различных конструкций при значениях нагрузок близких или равных бифуркационным существенно отличается. Известно, что плосюте пластинки выдерживают нагрузки значительно превышающие бифуркационные, тогда как для оболочек эксперименты показывают, что выпучивание происходит в большинстве случаев при значениях нагрузок значительно меньших критических нагрузок бифуркации и связано оно с их весьма неустойчивым послекритическим поведением.

Для определения количественного соотношения медду значениями параметров критических (бифуркационных) и предельных нагрузок, которое практически может оказаться для большинства классов оболочек и незначительным, но, в силу отмеченного, имеет принципиальное значение, поскольку позволяет выявить резервы несущей способности и однозначно определить группу предельного состояния, к которой следует отнести рассматриваемое критическое состояние оболочки, задача решена во втором приближении, на основе приведенных во второй главе соотношений.

Поведение оболочки, сразу же после бифуркации, описывается решением системы уравнений (2) следующего вида:

У = Мо + £>ч .+ +... ; Р = Р0 + + +..., (28)

где У0 п Го - параметры докритического (осесимметричного) состояния, определяемые ив решения системы (3); У/} и Рх - нормированные собственные функции/ определяемые из.линеаризованной задачи, оешением системы (25); Щ и ~ функции, характеризующие нос лекритичеокое поведение оболочки, подлежащие определению.

Потставпяя выражения (28). в исходные уравнения (2), арнрав-1сок:»р(!ЦИуты при одинаковых степени;; налоге, пар^хтра £ » ппавых и левых частях,. о учетом уравнении (8) а (2»; получим

•>*рг.®4еним даи1 '«»ППШШ " и2'

,1* „Л I

Л о ( г2 Г2 \ , «2 Г2 ( "2 "2 Ч ,

у%2 _ У2р2 + _ + ,9сг + _ Фсг + _ 8сг - _ + — -Фсг -V Г Г ' Г Г \ Г Г '

( \ .. Щ Л ,, г ^Л'Г

, '.'.'о ио V Мо

V . ----- ■ - "сг -- - - -ог

\ ^ г-.'-* ,

\ ; I

I -'..'1 . {29)

. "4 % «г («4 'V*

Г:;- ^ V-; I Г ^

Уравнения (29) ¡змзете с сштветоуйуь;ки» гршшчними услоаи-опиомвапт доздебпйуркшшошюе поведение ейолочки на начальном участке побочной равновесной кривой.

*

Рриекие систем (20), хгшекг'С-опгуязле? нолдебифуркацконное поведение оболочек аращеаиа маает быть представлено в виде; ^2(г,<?) =» - у 0С(г)<Зг + W2n(г) СозЕпф ; ¡•й(Г.!.)) - I 3(г)<3г + Рйп(г) Соэйпф . (30)

функции а(г), .«(г), Рйп сами по себе, не выявляют ха-пактера послебифуркационного поведения рассматриваемого класса оболочек, но только после их нахождения можно определить аначе-

- 34 -

ния коэффициента Сг, позволяющего оценить этот характер:

1 , Р4 г Г

С2 - -

Хсг

{ J [ct gl - В ez - — (W2n Zi - F2n z2)]dr /

'fKlb-lrW4)

_ae

ЭХ 'cr ' cr

где gi - tn2(WmFm/r)'- WinFinV2 : K-- [nz(W^n/r)' - (W'in)23/4 :

t r2

(31)

(32)

(33)

1 Г/ Fin ir ч ,, ( Wm IT \ ,,

Zl ° rilT~ ~ Is ini ln + l"7~ " r5 WlnJFln

,f Fin Fin л ( Win Vim

v r . г2 ' * Г

+ гп'

i г о f win

(34)

r 2rWm Win V2 /win n- \ „1

22 —i ln (— - )+ I— - Wln) WlnJ- (35)

Полученная система дифференциальных уравнений'решена с помощью МКР повышенной точности, а интеграл (31) вычислен по формуле Симпсона, на основе программы POSTBUCKLING. Полученные значения коэффициента Сг, характеризующего начальный этап послеби-фуркационного поведения сферических : оболочек, загруженных по всей поверхности распределенной нагрузкой, приведены в таблице 2

Таблица 2

4 6 8 10 12 14 16 18

0,670 0,980 1,120 0,820 0,960 0,972 0,914 0,926

0,780 0,765 0,770 0,780 0,785 0,785 0,790

О 2 4 - 5 7 9 11 12

С2

0,76 0,88 1,06 1,08

1.09

1.10 1,15

В этой же главе приводятся геометрическая интерпретация полученных результатов, способы и возможности использования результатов послекритического анализа к инженерным расчетам.

ЗАКЛ5ЧЕНЖ

В работе исследованы некоторые вопросы расчета склонных к потере устойчивости тонкостенных систем, поведение которых под нагрузкой связано с разрывными явлениями на основе методов теории катастроф, позволившие, не прибегая к сложным вычислительным процедурам, получить наиболее важную, полную и достоверную качественную и количественную информацию о поведении под нагрузкой различных систем для широкого диапазона изменения значений, характеризующих их параметров.

Эти методы прощййгютрированы на примерах, решения ряда характерных задач анализа, поведения под нагрузкой некоторых хорошо изученных систем' и многие заманчивые идеи конкретного иЯ приложения для решения большого количества разнообразных и интересных задач нелинейной механики, частично вцо не решенных автором до конца, частично - не совпадающих по своей сути с рассматриваемыми в данной работе проблемами, здесь не приведены.

' Теория катастроф, ее средотва и образы не приобрели еще должной популярности в инженерных расчетах:- рассмотренная выше каноническая катастрофа "сборки" встречается в многочисленных приложениях самых различных наук, в казвдой ив которых ойа, будучи простой и поддавайся изображению в трехмерном пространстве структурой,; аналйвируётся яастньйш и специфическими методами, несмотря на то, что эти свойства являются общими.

Ни в коей мере не заменяя численные методы, ориентированные на использование ЭВМ, •аналитические методы теории катастроф дают приближенные решения в наиболее неприятной для численных методов ситуации, когда значения параметров близки к критическим и их малые вариации могут приводить к серьезным искажениям как харак-

- 36 -

тера решения, так и к изменению числа решений.

Если для анализа поведения под нагрузкой упругих систем, теряющих устойчивость в настоящее время широко используются кривые равновесных состояний, получаемые в основном на основе численных методов, то в ближайшем будущем, такую же роль в этих исследованиях, видимо, займут канонические структуры и связанные с ними геометрические образы теории катастроф, дающие поверхности равновесных форм. Все это позволяет и в более сложных случаях анализировать не только качественные, но и получить количественные оценки работы раэличных систем. В частности при решении задач оптимизации, установление многообразия равновесных форм в зависимости от различных параметров, служит хорошей основой к выбору оптимальных аначений параметров конструкций.

Предмет исследования теории катастроф в определенной мере относится и к области методологии теории устойчивости: равновесные формы и состояния, наблюдаемые в природе должны описываться устойчивыми, по отношению.к малым возмущениям, отображениями, какими являются элементарный катастрофы.

Проведенные исследования не претендуют на исчерпывающий охват всего сложного комплекса рассматриваемых явлений: не рассмотрены вопросы в статистической постановке, устойчивость в, упруго-пластической области работы материала, других классов конструкций, что безусловно, повысили бы его теоретическую и практически значимость.

В работе получены следующие результаты:

- дана классификация возможных постановок и типов бифуркационных задач теории устойчивости упругих систем, решение которых выявляет различные аспекты рассматриваемых явлений;

- разработан- единый алгоритм численного решения общей нели-

нейной краевой задачи анализа характерных особенностей нелинейного деформирования оболочечных систем в докритическом, критическом и послекритическом состояниях;

- разработана методика приложения методов,~ средств и -reo- -метрических образов теории катастроф для решения нелинейных краевых задач, связанных с разрывными явлениями;

- предложена целесообразная форма записи энергетического критерия устойчивости равновесных форм основного процесса, ори-«?ц1-хгюваиа^л за испод* вояание методов теории катастроф;

- методами теории катастроф решены нелинейные лраешс яядя-чи расчета различных оболочечных систем с учетом одного или двух аидов нелинейностей; результаты решения задач представлены в виде единых (возможное при числе параметров не более трех), ясных и наглядных геометрически образов, соответствующих конкретной. катястрЪфе «з шшека ссмк элементарных катастроф;

- 'юк'/'-йны анач'лтнческие аависиности мелду внешними (управляющими) и соответствующий до внутренними (поведенческими) параметрами расчитываемых объектов, которые при Других методах требуют довольно слоаных', трудоемких вычислений и обработки большого количества данных;

- на основе вариационных и топологических соображений ооос-¡гоканы критерии и даны рекомендации по классификации явлений потери устойчивости форм равновесий строительных конструкций по группам предельных состояний;

- получены численные значения коэффициентов, характеризующие начальный этап, а следовательно, и глобальное послебифурка-ционное поведение сферических оболочек, загруженных по всей поверхности равномерно-распределенной нагрузкой.

На основании проведенных исследований и полученных резуль-

" 38"/:

татов можно сделать следующие выводы:

1. Для анализа характерных особенностей нелинейного поведения под нагрузкой тонкостенных оболочечных систем в докритичес-ком, критическом и послекритическом состояниях следует решить общую нелинейную краевую задачу состоящую из трех последовательных и взаимосвязанных этапов, каждый из которых дополняет, рас- ' ширяет и углубляет понимание-сути происходящих явлений.

2. Наличие универсальных численных методов и алгоритмов с одной стороны и эффективных аналитических методов исследований с другой предполагает целесообразность их сочетания в едином алгоритме для решения различных этапов при общем анализе сложных процессов.

3. Методика приложения методовтеории катастроф для решения нелинейных -краевых задач, связанных. с разрывными явлениями представляет универсальный подход к решению эадач расчета склонных к потере устойчивости тонкостенных систем, не требующий решения сложных систем нелинейных дифференциальных уравнении: необходимая информация - получается в результате изучения топологии энергетической поверхности, отыскания и выяснения "природы" ее особых точек, представляющие наиболее ценную и важную информацию об особенностях поведения под нагрувкой рассматриваемых систем.

4. Использование алгебраических средств и геометрических образов теории-катастроф позволяет получить, . представить и интерпретировать в единообразной, наглядной и компактной форме ре-вультаты решения многочисленных задач, обычно рассматриваемые разрозненно, с различных точек зрения.

5. Проведенный анализ начального этапа поолекритического поведения пологих сферических оболочек, выявляет природу критических точек бифуркаций равновесных форм основного процесса и

полученные численные значения коэффициентов, характеризуют не только начальный этап, но и глобальные качественные изменения в нослебифуркационном поведении указанных типов оболочек.

6. Сопоставление результатов, полученных на основе методов -теории катастроф, с известными в литературе данными, а такие с полученными в работах автора численными методами, подтверждают достоверность и надежность получаемых качественных и количественных результатов.

7. Учитываемое в различных расчетных ситуациях многочисленные факторы, призванные приблизить результаты теоретических исследований к экспериментальным данным работы реальной конструкции, вносят не однозначные вклады в особенности нелинейного поведения под нагрузкой расчитываемых систем: для оценки' влияния того или иного фактора он должен быть учтен в записи выражения потенциальной функции (полной потенциальной энергии), рассматриваемой системы и идентифицирован с конкретным параметром, входящим в формулу соответствующей катастрофе: если изменение значений данного конкретного фактора (параметра) не изменяет структурной устойчивости рассматриваемой системы, то его вклад при оценке степени опасности критического состояния должен быть оценен по одной схеме; если; же данный фактор меняет структурную устойчивость, его влияние на глобагьпоо качественное поведение рассматриваемой систещ существенно и гарантия Протия наступления такого состояния должна быть обеспечена по другой схеме, что в настоящее время, при расчете строительных конструкций, достигается определением группы предельного состояния.

8. Потеря устойчивости фор:,; равновесий строительных конструкций должна быть отнесена к первой или ко второй группе предельных состояний в зависимости от типа (природы) критической

точки бифуркации (ветвления), устанавливаемого решением четвертого типа, из приведенной вше классификации, задач: если потеря устойчивости равновесных форм, характеризуется критической точкой бифуркации второго типа, при которой значение параметра критической нагрузки бифуркации (ветвления) является значением параметра предельной нагрузки, ее следует отнести к первой группе предельных состояний; если же она характеризуется критической точкой бифуркации первого типа, при которой значение параметра предельной нагрузки выше значения параметра критической нагрузки бифуркации (ветвления), соответствующего'данной точке, то это следует отнести ко второй группе предельных состояний.

9. В связи с изложенным, представляется более оправданным изменение существующих порядковых номеров типов названных критических точек бифуркаций для того, чтобы ши совпадали с номерами соответствующих им групп предельных состояний.

Основные положения и результаты диосертации опубликованы в следующих работах: .

1. Муртазалиев Г.М. Исследование устойчивости пологих оболочек вращения //Простр.конйтр. в Красноярском крае: Межвузовский сб. научных трудов.-Красноярск, 1977.- Вып. 10.- С. 156-164

2. Райзер В.Д., Муртазалиев Г.М. Устойчивость пологих оболочек вращения //Междунар. конф. по облегченным пространст. констр. покрытий для строительства в обычных и сейсмических районах. (Алма-Ата, 1977). Доклады. -М. :Стройиэдат, 1977.- С.116-126.

3. Райаер В.Д., Муртазалиев ; Г.М. Закритические равновесные состояния пологих оболочек вращения //Строит, механика и расчет сооружений.-1980.- N1.- С.40-4Б.

4. Муртаэалиев Г.М., Магомедов С.М. Теория ветвления решений . нелинейных уравнений в задачах устойчивости оболочек //Те-

зисы докладов V научно-практической конференции молодых ученых Дагестана. - Махачкала,1981. - С.25

5. Муртазалиев Г.М., Даудов A.A. Шаговый метод решения нелинейных задач статики оболочек //Тезисы докладов VI научно-" -практической конференции молодых ученых и специалистов

Дагестана. - Махачкала,1984. - С.101.

6. Муртазалиев Г.М. К классификации явлений статической неустойчивости конструкций //Исследования по строит, механике и надежности конструкций: Сб. научных трудов ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко.- М.:Стройиздат,198б.- С.

7. Муртазалиев Г.М. К расчету гибких оболочек методами теории, катастроф //Прочность и надежность сооружений:Сб.научных тр. ЦНИИСК им.В.А.Кучеренко.-М. :Стройиздат, 1989.-С.34-41.

8. Райзер В.Д.-, Муртазалиев Г.М. Методы теории катастроф в задачах устойчивости упругих систем//Учебное пособие для студентов втузов. -М.: МИСИ, 1992. - 59 с.

9. Муртазалиев Г.М. К использованию методов теории катастроф для анализа поведения цилиндрических панелей переменной толщины //Дел. в ЁИНИТИ 24.09.92, N 2839 - В 92.

10. Муртазалиев Г.М. О предельных состояниях по условию потери устойчивости //Деп.в ВИНИТИ 06.01.93, N 12 - В 93.

11. Муртазалиев Г.М. К решению нелинейных краевых задач расчета оболочек методами теории катастроф //Актуальные вопроси строительства: Научно-тематический сборник. - Махачкала: Дагестанский политехнический институт, 1996. -С.69-74.

12. Муртазалиев Г.М. К определению предельных состояний строительных конструкций по условию потери устойчивости //Там же. -С. 75-81.