автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Метод временного анализа реакции дискретных диссипативных систем в задачах строительной механики

На правах рукописи

Потапов Александр Николаевич

МЕТОД ВРЕМЕННОГО АНАЛИЗА РЕАКЦИИ ДИСКРЕТНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ В ЗАДАЧАХ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

Специальность 05.23.17 - «Строительная механика»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Томск 2003

Работа выполнена в Южно-Уральском государственном университете (г. Челябинск).

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Н.Н. Белов;

доктор технических наук, профессор Б.А. Люкшин;'

доктор технических наук, старший научный сотрудник А.А. Светашков.

Ведущая организация - Воронежский государственный архитектурно-

строительный университет.

Защита состоится 17 октября 2003 г., в 14 чао», на заседании диссертационного совета Д 212.265.01 при Томском государственный архитектурно-строительном университете по адресу: 634003, г". Томск, пл. Соляная, 2, корп. 5, ауд. 307. Тел. (8-382-2)65-42-61.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан 10 сентября 2003 г.

Ученый секретарь л / /

диссертационного совета Шх-Лф Н.К.Скрипннкова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертационной работе рассматриваются вопросы динамического расчета дискретных диссипативных систем (ДДС) на нестационарные воздействия в задачах строительной механики. Разработан аналитический подход к интегрированию уравнения колебаний ДДС, представляющий временной анализ общего вида, при котором учитываются внутреннее трение (на основе линейной модели вязкого сопротивления) и физическая нелинейность материала.

Обоснование темы исследований и ее актуальность. Нужды практики предъявляют весьма жесткие требования надежности и экономичности при создании инженерных конструкций, работающих в условиях усложненного характера современного производства, обусловленного нестационарными воздействиями. В большинстве случаев, для оценки реальной работы динамической системы необходим учет сил неупругого сопротивления (диссипативных сил), оказывающих свое влияние на процесс колебаний. Это ставит перед динамикой сооружений сложные задачи по построению и разработке более совершенных методов расчета. Обеспечение надежной работы конструкции должно сочетаться с разумной простотой метода, высокой точностью и эффективностью проводимого динамического анализа и, наконец, возможностью получения не только количественных, но и качественных оценок работы конструкции.

При моделировании сооружения дискретной расчетной схемой движение динамической системы описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). Сведение к ОДУ позволяет использовать один из наиболее эффективных методов анализа дискретных систем - временной анализ реакции. Однако, несмотря на интенсивное развитие методов решения динамических задач дискретного вида, в области диссипативных конструкций временной анализ встречает большие затруднения.

Известные методы построения интеграла Дюамеля связаны только с расчетом линейно-деформируемых систем. При этом успех такого анализа, в значительной мере, зависит от типа используемых моделей демпфирования. Обычно при выборе моделей руководствуются тем, чтобы матрица демпфирования обеспечивала разделение уравнений движения ДДС в нормальных координата*. Дпя этой цели служат модели пропорционального (однородного) демпфирования. Учет внутреннего трения в сложных диссипаггивных системах, не подчиняющихся классическому пропорциональному демпфированию, сильно затрудняет проведение временного анализа, поскольку уравнения движения в общем случае не разделяются в нормальных координатах. Поэтому применение традиционных методов временного анализа к диссипативным системам с «непропорциональным» (неоднородным) демпфированием приводит либо к погрешностям при вычислении реакции (как в методе разложения по собственным формам колебаний соответствующей консервативной системы), либо к трудоемким численным процедурам по построению матрицы импульсных переходных функций (ИПФ) (как в методе функций Грина).

В задачах нелинейных колебаний диссипатив ^РШЩШЯМ&ЬНОДН необходимо учитывать упругопластические или нели [ейно^иодшвТИОйства! мате-

риала, интеграл Дюамеля не используется для определения реакции сооружения вообще, ввиду крайней труднодоступности временного анализа. Следовательно, при общей предпосылке динамической задачи теория временного анализа ДДС уже в упругой постановке не располагает методами, обеспечивающими надежную оценку динамической реакции сооружения.

Главная причина такого положения дел - в отсутствии разработанных в современной математической литературе эффективных аналитических процедур по решению алгебраической проблемы, которая для задачи колебаний ДДС с упруговязким сопротивлением имеет вид характеристического матричного квадрапшго ураннения (МКУ). Получившие за последние два-три десятилетия развитие численные методы, основанные на ортогональных преобразованиях, не лают удовлетворительного решения этой проблемы, так как алгоритмы данных меюлов не учитывают ни специальных свойств решений МКУ, ни его соотношении Это является сильным тормозом в развитии теории динамического ана-лиш ДДС в целом и пребует создания таких методов временного анализа, которые были бы свободны от недостатков существующих подходов.

Отличительная черта предлагаемого подхода перед известными методами состоит в том, чго его разрешающие уравнения построены на основе разработанного алгоритма решения МКУ. Метод в достаточной степени универсален. Он позволяет получать замкнутое решение при колебаниях ДДС общего вида,, независимо от условий демпфирования и характера внешнего воздействия. Его можно использовать при проведении качественных оценок работы конструкции и при исследовании задач, связанных с вопросами ортогональности собственных форм колебаний и вопросами взаимности в ДДС, относящихся к фундаментальным проблемам строительном механики.

Метод допускает применение сложных постановок задач о действия динамических нагрузок в ДДС, учитывая требования сегодняшнего дня и акцентируя внимание на трудные для традиционного анализа задачи с неустановившимися режимами колебаний. Постановки задач касаются как видов динамических воздействий, так и сценариев нагружений (удары и импульсы различной природы, включая действие периодических импульсов; вибрационные силы с неодинаковыми параметрами возбуждения в различных узлах ДДС и т. д.). Кроме того, не теряя общности, данный подход можно использовать в динамическом анализе важнейшего класса нелинейных задач: колебаниях ДДС с нелинейной восстанавливающей силой (при упругопластическом и нелинейно-упругом анализе).

Таким образом, тема диссертационной работа, посвященной развитию метода временного анализа реакции ДДС общего вида, является актуальной.

Целью диссертационной работы является решение научно-технической проблемы, заключающейся в разработке теоретических основ, математического аппарата и технических принципов реализации нового эффективного метода интегрирования уравнений движения ДДС при нестационарном воздействии в задачах строительной механики - метода временного анализа ДДС.

Теоретическую основу метода составляет аналитический аппарат алгебры матриц в сочетании с разработанными приемами анализа МКУ.

Для достижения названной цели были поставлены и решены следующие задачи.

1. Проведение анализа и создание метода решения МКУ, вывод соотношений Виета, исследование структуры и свойств матричных корней МКУ.

2. Построение полной системы разрешающих уравнений метода временного анализа произвольной упругой ДДС (вывод интеграла Дюамеля)

3. Исследование основных свойств разрешающих уравнений динамической реакции ДДС с целью обобщения закона взаимности в упругих диссипачивных системах. Установление аналитических соотношений для динамических матриц податливостей, жесткостей, скоростей и импульсов

4. Разработка и анализ новых моделей неоднородного типа демпфирования, отвечающих реальным условиям колебаний строительных конструкций.

5. Формулировка общих положений (теорем), характеризующих качественные уровни состояний квазиупругой системы и оценки работы диссипативной конструкции.

6. Построение математических моделей расчета ДДС при движении с идеальной упругопластической диаграммой Прандгля на действие кратковременной нагрузки. Вывод полной системы разрешающих уравнений метода временного анализа неупругой реакции ДДС (обобщение интеграла Дюамеля).

7. Разработка технических приемов реализации разрешающих уравнений неупругих колебаний в зависимости от условий состояния квазиупругой системы.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1. Предложен новый аналитический подход к динамическому расчету ДДС на нестационарные воздействия в задачах строительной механики, - метод временного анализа реакции, - базирующийся на разработанном математическом аппарате по решению матричных уравнений линейного и квадратичного видов.

2. Исследованы свойства в структура решения МКУ,-доказана обобщенная теорема Виета; показано, что все решения МКУ структурированы в однотипные корневые пары (это понятие введено впервые); предложена итерационная схема определения корней, принадлежащих обшей корневой паре; получено условие обобщенной ортогональности матрицы собственных векторов в спектральной задаче квадратичного вида.

3. Получен интеграл Дюамеля, представляющий в замкнутой матричной форме уравнение реакции упругой ДДС при нестационарном воздействии и произвольном типе демпфирования. Впервые в структуре его подынтегрального выражения содержится фундаментальная матрица соответствующего однородного дифференциального уравнения движения, построенная на основе решения МКУ. Исследованы важные для приложений динамики сооружений частные случаи интеграла Дюамеля (удар, импульс, вибрационная нагрузка и др.). Впервые в замкнутом виде решена задача о колебаниях произвольной ДДС на действие периодических импульсов.

4. Доказаны теоремы состояний, устанавливающие необходимые и достаточные условия невырожденного (вырожденного) состояния упругопластической конструкции в процессе ее реакции. Получены двухсторонние априорные

оценки спектральных норм матриц коэффициентов демпфирования и собственных частот в отдельных состояниях квазиупругой системы.

5. Разработаны математические модели неупругого расчета ДДС на основе идеальной упругопластической диаграммы Прандтля. Дано обобщение временного анализа реакции за пределом упругости при действии кратковременной нагрузки. Впервые уравнение реакции упругопластической системы получено в нетривиальной матричной форме интеграла Дюамеля.

6. Предложены новые модели неоднородного типа демпфирования (в рамках линейной теории вязкого сопротивления) для ДДС применительно к нестационарным динамическим задачам строительной механики.

7. Получены соотношения обобщенной ортогональности собственных форм колебаний произвольной упругой ДДС; дана механическая трактовка соотношений ортогональности, вытекающих из принципа Бетти.

8. Дано приложение уравнений реакции произвольной упругой ДДС к доказательству теорем взаимности, вследствие чего: расширена трактовка теорем взаимности и предложен общий метод их доказательства.

9. Впервые показано, что при общих предпосылках динамической задачи выражения векторов динамической составляющей реакции упругой ДДС и соответствующей статической составляющей связаны между собой аналитической зависимостью в виде матричной функции, характеризующей динамический эффект от действия произвольной нагрузки. Получены аналитические соотношения динамических матриц: податливостей, жесткостей, скоростей и импульсов.

На защиту выносятся.

1. Методика временного анализа реакции ДДС общего вида в динамических задачах строительной механики, теоретической основой которой является разработанный аналитический аппарат матричных уравнений.

2. Результаты исследований частных случаев интеграла Дюамедя при действии удара, вибрационной нагрузки, импульса, периодических импульсов и др.

3. Комплекс исследований по результатам анализа МКУ, в частости: свойства и структура матричных корней МКУ; обобщенная теорема Виета; итерационный алгоритм определения корней, принадлежащих общей корневой паре; условие обобщенной ортогональности матрицы собственных векторов.

4. Способ построения моделей демпфирования для учета внутреннего трения произвольной ДДС, основанный на импульсном единичном смещении дополнительных связей.

5. Результаты исследований по соотношениям обобщенной ортогональности собственных форм колебаний произвольной упругой ДДС.

6. Основные закономерности, касающиеся свойств и структуры полной системы разрешающих уравнений произвольной упругой ДДС, приводящие к выводу матричной функции, характеризующей учет динамического эффекта, и к обшей схеме доказательства соотношений взаимности в диссипативных системах.

7. Теоремы состояний, формулирующие условия невырожденного (вырожденного) состояния конструкции при упругопластаческом деформировании и двухсторонние априорные оценки спектральных норм матриц коэффициентов демпфирования и собственных частот.

8. Математические модели упругопластического расчета ДДС на действие кратковременной нагрузки; методика временного анализа реакции за пределом упругости, основанная на предложенных математических моделях (алгоритм, технические приемы реализации и программа расчета).

Достоверность результатов исследования подтверждается: использованием в диссертации теоретически обоснованных методов строительной механики в соединении с методами высшей математики и аппаратом матричной алгебры; замкнутой формой выведенного интеграла Дюамеля при упругих колебаниях ДДС и сравнением его частных случаев при численном решении конкретных динамических задач с известными в литературе решениями; корректным применением математических моделей неупругого расчета, обеспечивающих замкнутое решение в шаговом процессе на всех квазиупругих интервалах движения системы; получением известных классических результатов, вытекающих из общих соотношений в предельных частных случаях.

Практическая ценность работы определяется следующими положениями.

1. Общее уравнение реакции системы - интеграл Дюамеля - обладает относительно простой математической формой записи, свойственной матричной формулировке задачи. Особенно простую и компактную форму имеют его частные представления (при ударе, вибрационном воздействии и т. д.). Все вычислительные операции по данным формулам сводятся к элементарным действиям над матрицами. Поэтому данная методика временного анализа может быть рекомендована проектным организациям и различным строительным фирмам.

2. Получено решение важного в прикладном отношении класса динамических задач о колебаниях ДДС под действием периодических импульсов. Решение такого рода задач существующими методами не представляется возможным из-за сложности учета внутреннего трения в конечномерных системах.

3. Открывается возможность получения априорных оценок спектральных динамических параметров ДДС не только в процессе упругопластического решения задачи, но и на этапе, предваряющем расчет.

4. Выведенный интеграл Дюамеля сам является инструментом анализа дис-сипативных систем, который можно использовать как при получении соотношений взаимности, .так и для построения разнообразных практических методов расчета динамических конструкций в задачах строительной механики.

5. Разработаны расчетные алгоритмы и программы по решению МКУ, которые легко адаптируются применительно к широкому спектру задач о свободных и вынужденных колебаниях ДДС. Данные алгоритмы могут быть реализованы в различных приложениях строительной механики и теории упругости. Разработаны алгоритмы и прикладные программы по вычислению упругой и упругопла-стической реакции каркасных многоэтажных зданий с плоской и пространственной расчетной схемой на нестационарные воздействия.

6. На основе разработанного метода временного анализа вычисленные значения параметров реакции системы в упругой и упругопластической стадии могут быть использованы при оценке погрешностей приближенных решений, полученных различными численными методами и алгоритмами.

7. Динамический анализ упругопластических ДДС легко распространяется на нелинейно-упругие задачи, что значительно расширяет класс физически-нелинейных задач строительной механики, решаемых по методике временного анализа. При этом переход от схемы упругопластического анализа к схеме нелинейно-упругого временного анализа осуществляется с минимальными затратами, связанными с коррекцией математических моделей расчета.

Проведенные в работе исследования выполнены в соответствии с планом госбюджетных научно-исследовательских работ, проводимых на кафедре строительной механики ЮУрГУ, по теме «Разработка теории и методов расчета деформируемых систем при нестационарных внешних воздействиях» (№ государственной регистрации 01.980 006125, наименование этапа: «Разработка теории, методов и программ расчета дисснпативных систем при нестационарных статических и динамических воздействиях в упругой и упругопластической стадии», 1998 г.) С 1997 г. по 2000 г. работы проводились при финансовой поддержке Министерства образования РФ: грант по фундаментальным исследованиям в области архитектуры и строительных наук 1997-1998 гг. (тема проекта: «Решение некоторых задач строительной механики методом сведения к матричному квадратному уравнению»), грант по фундаментальным исследованиям в области архитектуры и строительных наук 1999-2000 гг. (тема проекта: «Использование интеграла Дюамеля в неупругом динамическом анализе конструкций»).

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы по мере их получения докладывались и обсуждались: на научной конференции инженерно-строительного факультета Ставропольского политехнического института (Ставрополь, 1991); 2-й Междунар. конф. «Циклические процессы в природе и обществе» (Ставрополь, 1994); Междунар. конф. по 'математической физике (Челябинск, 1995); 4-й Междунар. конф. «Циклы природы и общества» (Ставрополь, 1996); ежегод. науч.-техн. конф. НГАС (Новосибирск, 1996-1997); XVI Междунар. конф. «Математическое моделирование в механике деформируемых тел. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 1998); Междунар. конф. «Численные и аналитические методы расчета конструкций» (Самара, 1998); Республ. науч.-техн. конф. «Архитектура и строительство. Проблемы развития теории сооружений й совершенствования строительных конструкций» (Томск, 1999); Третьих и Четвертых уральских академических чтениях «Реконструкция городов, отдельных зданий, сооружений и конструкций на Урале» (Екатеринбург, 1997; Челябинск, 1999); на науч. семинаре кафедры строительной механики Уральского госуд. техн. ун-та (Екатеринбург, 1994); объед. науч. семинаре двух- кафедр («Механика сплошной среды» и «Высшая алгебра») Челябинского госуд. ун-та (Челябинск, 1995); объед. науч. семинаре трех кафедр («Сопротивление материалов», «Механика деформируемого твердого тела и прикладная информатика» и «Высшая математика») Саратовского госуд. техн. ун-та (Саратов, 1995); на науч. семинаре кафедры механики деформируемого твердого тела и прикладной информатики Саратовского госуд. техн. ун-та (Саратов, 2002).

где А ~ А1, В = Вг, С = Ст е М„(Л) - заданные симметрические вещественные,

5 € М„(С) - искомая матрицы. Матрица £ удовлетворяющая (1), является решением (корнем) МКУ. Множество всех решений обозначено через ЩС).

Всего в главе сформулировано и доказано восемь теорем, шесть следствий и две леммы, в которых обобщены основные результаты анализа МКУ. • К наиболее значительным результатам данной главы относится анализ

вспомогательного матричного линейного уравнения (лемма 1, теорема 1 и два следствия) 5°)ТС/« = С/о5°\ в котором У" - заданные матрицы, Щ - искомая матрица. Детально изучена структура общего решения (/о линейного уравнения. 1 Результаты этого анализа получили развитие в теоремах Виета о сумме и произведении матричных корней КОСУ (теоремы 2,3 и следствия к ним):

Теорема 2.2 (Обобщенная теорема Виета). Для того, чтобы матрицы.

6 и *}) являлись решением МКУ (IX необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли двум матричным соотношениям:

где принадлежит множеству общих решений Со уравнения 5(°ггС/о= и^.

Теорема 2.3 Если в спектрах матриц 5ю, ^ (/ * у) нет общих характеристических чисел, то для того, чтобы эти матрицы были корнями МКУ, необходимо и достаточно. чтобы + А&> = -В, З^А^ = С.

Для матрицы 5 с невещественными элементами формулы Виета принимает вид: &А +А5 = -В, РАБ=С (следствие к теореме 2.3).

При <1е1 А * 0 для МКУ получено множество решений, структурированное в однотипные корневые парк

и{У2(»»1,2, -X (2)

где « = 1/,уг - матрицы заданной структуры.

Известно, что при конечной разрешимое™ МКУ соответствующая этому уравнению алгебраическая (спектральная) задача

ИО^У + Л/* + ОР^ » О </=1,_.,я;*«1, 2) имеет 2л различных решений в виде характеристических чисел

хДяД...,^ (¿-1,2). (3)

Здесь Р/*' - собственные векторы спектральной задачи. При этом любой корень Л* из множества (2) содержит в своем спектре п собственных значений, составляющих половину спектра (3): Я* =

Р^Л'где Л("> = с&в (Л,«.....Рк)

= [/V*', ... , Л/*1] - преобразующая матрица. В связи с этим общее число решений МКУ, заключенных в корневых парах (2), равно числу сочетаний С^,.

Особо отмечено, что все известные схемы решения МКУ (на основе ортогональных методов) вычисляют только один матричный корень, а не пару корней, как этого требует построение общего интеграла однородного ОДУ движения ДДС. В работе проведены исследования спектральных свойств корней МКУ.

= А~'(~в + ± А-\-В +(*>± г/^у2 е О, в зависимости от их

принадлежности к одной (/ = /) или разным (/ # /) корневым парам (теоремы 5,6, 7 и следствия к ним). В частности, показано (теоремы 5, 6), что для любых двух корней 5*°, (/ * у) из разных корневых пар (2) их спектры содержат общие характеристические числа. Поэтому суммарный спектр этих матриц не охватывает полного спектра (3) алгебраической задачи. Этот факт делает невозможным ■ построение общего интеграла однородного ОДУ с помощью матриц Следовательно, если корни найдены с помощью стандартных алгебраических процедур, не учитывающих специфических свойств решений, то построенные на их основе фундаментальные матрицы не позволяют гарантированно осуществлять решение уравнения движения ДДС, что свидетельствует о неприспособленности ортогональных методов для выполнения подобной задачи.

Напротив, если матричные корни - из одной корневой пары (2), то, в соответствии с теоремой 7 и следствием к ней, их спектры не пересекаются между собой и в сумме дают весь спектр (3). Только в этом случае возможно построение общего интеграла однородного ОДУ движения ДДС, причем из всего множества корней в (2) достаточно взять только два решения, принадлежащих какой-либо одной корневой паре (при любом ОНа основании леммы 2 получена эквивалентная МКУ система уравнений

57А + АБ+ В = С/,

из анализа которых построены разрешающие уравнения МКУ (теорема 4):

и =Лл/-/Г'£), Ш-\В-У) = (В+ Щ-'и, (4)

где £> = 4 С-(В+ У)А'1(В -У)- матрица-дискриминант МКУ.

Предложен метод нахождения матричных корней Бь (к = 1, 2), принадлежащих общей корневой паре в (2), сводящий задачу отыскания решения МКУ к проблеме определения значений V, I) заданной структуры. Для вычисления матриц I', (/в (4) применена итерационная схема, согласно которой системы разре- < шлющих уравнений на к-м итерационном шаге имеют вид:

С/к) = А ¿Я -4 С-(В+ 1*ку)А-\В - (5)

ОмА-\В - И*") = (В + (6)

Шаг метода требует отыскания дискриминанта в (5) при заданном значении кососимметрической матрицы После извлечения корня квадратного из -А и вычисления значения симметрическои матрицы из (6) формируется уравнение Ляпунова относительно нового приближения

+ у^А']и(к) = и^В - ВААи{к\ Найденное значение служит основой для ¿+1-го шага итераций.

Приведены основные соотношения МКУ в базисе собственных векторов матрицы Л'= /'Л/'"1 б М„ при условии простого спектра. В новом базисе, определяемом преобразующей матрицей Р, получены нормальная форма МКУ, соотношение обобщенной ортогональности матрицы Р и условие ее нормирования.

В третьей главе «Построение и анализ моделей демпфирования» предложены новые модели неоднородного демпфирования и дан анализ известных моделей пропорционального демпфирования.

Анализ колебаний произвольной упругой ДДС с внутренним трением, учитываемым на основе модели упруговязкого сопротивления, требует рассмотрения матричного дифференциального уравнения движения

МУ (0 + СУ (г) + АТ(0 = />(*), (7)

где М = <Ияё (ти ..., т„), С = Ст= [с(>], К-К1= [гу] е М„ (К) (/,./ = 1,..., и) - положительно определенные матрицы инерции, демпфирования и жесткости соответственно; У(1) - [у, (01, ДО = 1р> (01 е А/„,1 (Я) 0 = I.....л) - векторы перемещений и заданных внешних воздействий; п - число степеней свободы Д ДС. .

Матрица Ф(/) = с® является фундаментальной матрицей однородного ОДУ, соответствующего (7), если 5 е М„(С) (суть матрица внутренних динамических параметров ДДС) удовлетворяет характеристическому МКУ

+ 0. (8)

Выражение корневой пары и система разрешающих уравнений МКУ, согласно (2) и (4), представлены соотношениями:

±Цу2, (9)

и = МлГАРБ, (С + У)М~*и = тг\с- V), (10)

где /> = 4ЛГ - (С +

Выполняя разложение в базисе собственных векторов (индекс к опущен):

5=/»ЛГ'еОя(С), (11)

будем иметь: Р е М„(С) - матрицу собственных форм демпфированных колебаний; Л = diag (X),..., Х„) = -О + М- матрицу спектральных характеристик ДДС, в которой С = -ЯеЛ = (йа^еь..., е„), 1У= 1шЛ = с^(а>1,..., со„) - соответственно матрицы коэффициентов демпфирования и частот собственных колебаний.

Для приведенной матрицы демпфирования получено условие малости диссипации ДДС в виде априорной оценки верхней границы ее нормы

Здесь К = АГ°5/аГ°5, С = АГ° 5САГ°5. Норма матрицы А = [о,,] (/, у = 1.....п) введена по формуле М(А) = я шах1 ач I. Параметр относительного демпфирования ^ характеризует верхнюю границу допустимого уровня малой диссипации в ДДС. В обычных условиях колебаний инженерных конструкций величина ^ < 0.2.

Для произвольной ДДС реализован подход к построению новых моделей демпфирования. Введена вспомогательная система с дополнительными жесткими опорами, закрепляющими массы от возможных перемещений вдоль степеней свободы. Для каждой введенной опоры поочередно задается единичное импульсное перемещение с характеристикой воздействия (временем импульсного пере-

№ о)

ы,

Рве. 1

мещения), равной Ы} = у / и;,, где у = 8 /я (8 - логарифмический декремент колебаний); у>} - частота собственных колебаний вспомогательной консервативной системы с _/-й подвижной связью (рис. 1, а). От заданных импульсных смешений о.ыскиваются реакции во всех дополнительных связях, имеющих смысл мгновенных реактивных импульсов: с(/= г,, Д// (/,./ = 1.....я) (рис. 1, б).

В результате построены следующие модели демпфирования: Сё = у^Го"1 = у = С, = (КТ+ ТКУ1,

(12)

где = ..., М,); №Ь = Лг^*-,,..., иу); = Ша§(ги.....г,,,) -

диагональная матрица, полученная из матрицы жесткости К обнулением всех ее

побочных элементов; щ = (г^/гщ,)^ (*= 1.....л).

Модель Сл не учитывает диссипативных связей в ДДС, а - С. построена путем симметризации модели (12): (С + Ст)/2. Доказано, что для всех предложенных моделей характерен неоднородный тип демпфирования.

Проведен анализ моделей пропорционального демпфирования и показано, что нх реализация требует выполнения условия V = 0 в (9). Найдена связь известных условий разделимости уравнения движения в нормальных координатах {Т.К.Саифеу (1963 г.), И. ШМсИокоп (1978 г.), АА. Кусаинов (1987 г.)):

ккг'с =СКГ1К, ск-1м=мк~хс, МС~1К= КГ1М

с одним из разрешающих уравнений МКУ в (10) СЛГ'С = СМ~111, являющимся наиболее общим условием пропорционального демпфирования. ■

Приведен анализ собственных колебаний 3-этажного каркасного здания (рис. 2). Сечение железобетонных колонн каркаса: 0.4x0.4 м. РДМ здания имеет 9 степеней свободы (рис. 2, б). Значения жесткости колонн при изгибе и кручении составили: ЕЛХ « Шу - 50133 кНм2, GJ = 33690 кНм2. Матрица жесткости

пространственного каркаса имеет следующий вид: К- ^

Кщ,

!\Гу!

К,

где

4127 0 -1934 0 • 0 0

0 4127 0 -1934 0 0

-1934 о • 4563 0 - 2629 0

0 -1934 0 4563 0 -2629

0 0 -2629 0 2629 0

0 0 0 -2629 0 2629

[6333 16.676 -5.802 -17.407 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

«Н/см, К^

8.062 -1871 0 -Ш1 4.410 -2439 0 -2439 2439

Ш9 кНсм;

'105 кН;

1Ш

4-20

lili

41

FJb

4

а

Рис. 2. Жеасибттюе 3-этажное каркасное здание:

а - конструктивна! схема тдани»; б - расчетная динамическая ыодель (РДМ)

• 1 ! 1 ¿Г 4

Я//1 ^

Й7..»

— < г "ЧГ j ^

--'tt¿¿\ ''

Рис. 3. Кривые коэффициентов демпфн-ромшня, построенные на моде-

1 - С=КГ и С, = (АТ+ 7ХУ2;

2 - С„ ■ KJT; 3 - ЛИ. Цейтпииа.С =

- ТМ-4М1К; 4-6 - Рзлет,ОаМ +

(4 -в - 0, в = 1.52* 10J; 5 - о = 1.33, в =» 7.59*10"*; 6 - в - 2.67,« = 0)

Инерционные параметры системы по этажам составили: = 7.Í9 кНс2/см, тг = 4.18 кНс2/см, и3 = 3.05 кНс2/см; моменты инерции перекрытий этажей равны: У, = 10 785 0001 Н*см*с2,J2 = 2 508 000 kH*cm*c2,J3 = 1 830 000 кН*см*с2. В результате матрица инерции М каркаса представлена в виде М = dia^A/^, J,), где Мху = diag(/nb «ь m2, m2, m3i m), Л = <tiag(Ji, J2, J%).

На основе решения уравнений (10) по схеме (5), (6) для предложенных и из- -вестных моделей демпфирования (при б = 0.2) проведен анализ спектральных параметров системы. Сравнение численных оценок уровней демпфирования показывает, что для модели (12) наиболее близкие результаты дают модели А.И. Цейтлина и Рэлея с внутренним типом демпфирования С = ЬК (Рис. 3).

Четвертая глава «Упругий анализ дискретных диссипативных систем» посвящена разработке нового метода временного анализа реакции ДДС, приводящего к замкнутому решению в форме интеграла Дюамелх.

В начале главы дана систематизация свойств матриц и соотношений

i U= UT, SrU~US, Ф(0т£/=Ш>(0,

' SkTM + MS, = -С, Sk7MS, = К (¿,/-1,2; t*¡), (13 )

det Sk * 0 (* = i, 2>, det U* 0;

= S2=S, V- ReF, U = ümll,

играющих важную роль при интегрировании уравнения (7). Отмечено, что свойства (13) являются базовыми и проявляются для любой колебательной системы (консервативной, диссипативной, упругой, упругопластической и т. д.). Для их выполнения важен лишь факт симметрии коэффициентов МКУ (8). Остальные свойства выполняются в зависимости от физических условий задачи.

Получены условия обобщенной ортогональности для любой пары собственных форм колебаний Pj, /', (i*j) и условия их нормирования при / = j:

Р}[~М(г, + е,) + С+ ¡М{щ + ш,)]Р, = 0, ?/[-2Мб, + С + ИШ, ]Р,= 1.

Коэффициенты демпфирования е,, е, и собственные частоты ю;, ю, принадлежат соответствующим собственным значениям: X, = -z, + т„ X, = -s, + «а, и формам колебаний: И,, P,U,j= 1. ., п). Дана механическая трактовка соотношений ортогональности собственных форм. Показано, что эти соотношения вытекают из принципа Бетги, распространенного на область диссипативных систем.

Разрешающие уравнения динамической задачи выведены путем непосредственного интегрирования уравнения движения ДДС (7), начиная от решения характеристического МКУ (8) через построение фундаментальных матриц одно-, родного ОДУ и заканчивая получением общего интеграла неоднородного уравнения движения (7) методом вариации произвольных постоянных. Полная система уравнений динамической реакции произвольной ДДС имеет вид

_ t / У(0 = 2Re {Ф(/-VT'Ail-S Уа+ Y0] + iTl |ф(/-т)т Р(х) dt},

( Y(i) = 2Re{Sirl[<t>(t-to)rM(-S Yo + Y0)+ }ф(1-т)тР(т) dx]}.

t«

Уравнения (14) в замкнутой форме позволяют определить перемещения и скорости узлов упругой ДДС от действия произвольной динамической нагрузки P(i). Первые члены матричных уравнений выражают реакцию системы при свободных колебаниях, совершаемых под действием начальных условий (векторы У», У„), вторые - при вынужденных колебаниях.

Уравнение перемещений в (14) - наиболее общая матричная форма записи интеграла Дюамеля для ДДС. Подчеркнута отличительная особенность этого уравнения от известных интегралов Дюамеля, состоящая в том, что оно не требует построения ИПФ - наиболее трудоемкой части анализа. Выражение подынтегральной матричной функции #(/-т) = 2Re {Ф(/-т)(/"'] записано в простой математической форме и содержит величины (/, Ф(/-т), вычисление которых основано на решении МКУ, не прибегая к его спектральному рахюжеиию. Известный аналог матрицы H(t-т) {матрица функций Грина) в общем случае не имеет аналитического представления. Это является сильным препятствием при определении динамической реакции на основе ИПФ

В простейших случаях, важных для приложений строительной механики, из (14) при (/о = 0) Yo = Г0=0 получены вычислительные формулы для интеграла Дюамеля (рис. 4, 5).

Внезапно приложенные силы постоянной величины, исчезающие при t i¡: P(t) = Ра, где Pq = [/5o,] (J = 1.....и) (рис. 4, а). После интегрирования в (14) уравнение реакции ДДС на активном участке нагружения принимает вид (t < /|):

YO) = 2Re {[Ф(0 - E Kí/S)"1 }A>, Y(t) = 2Re [Ф(0^Уо,

где E - единичная матрица. При t ¿ t¡ система совершает свободные колебания под действием начальных условий:

Yj(t) = 2Re {Ф(0[ТЕ-<&H,)](USrVo, Г,(t) = 2Re {Ф(0[£-&(-',)] }Р0.

Вибрационная нагрузка P{t) = sin (0/-Kp)/V Здесь 0 = diag (Эь ... , Э„), ф = diag (q>i, ... , фи) - диагональные матрицы угловых частот и начальных фаз вибрационных сил; Ро = \рщ,| (/' = 1,..., п) - вектор амплитуд возмущающих сил. На рис. 4, б показаны параметры нагрузки, действующей в у-м узле.

Полная реакция системы определена векторами перемещений и скоростей

/(0 = 2Re [IT'miPo, Y (0 = 2Re [ЯГ'ДОУо- (15)

Вычисление (15) связано с решением непрерывного уравнения Сильвестра

(sym+Ktyf-m, . об)

где искомая и заданная матричные функции /(f) и F[t) представлены в виде

t

ДО = |Ф('~т)Т sin (вт-Нр) dt, о

Я0 = 5Т[Ф(0Т sin ф - ЯП (Oí+ф)] + [Ф(/)т cos ф — cos (6г+ф)]9.

О) РАО

р^-сопЯ

'i t

6) .

IPAQ

f A i Г)

0 . t

Ряс. 4

Рис.5

т

sin(Sf ^

'i t

Исследованы случаи разрешимости уравнения (16). При полной диссипации ДДС (det С > 0) решение уравнения (16) всегда единственно. При колебаниях консервативной системы (С = 0) существуют условия для неоднозначного решения. Это происходит при совпадении частот собственных и вынужденных колебаний (резонанс). Показано, что (16) эквивалентно и векторным уравнениям:

[(ST)2 + 8t-£]/*(0 = Fk(t) (к = 1.....л),

где Д (0, Fk(t) - к-е столбцы матриц I(t\ F(t).

Синусоидальный импульс P(t) = sin (0f)Po, где 0 = Бп/tг, Р0 = [ро/1 (/" 1.....п)

(рис. 4, в). Реакция ДДС на активном участке (t < /]) вычисляется в соответствии с (15), где матричная функция ДО определена при ср = Реакция системы при i > выражена уравнениями:

Г,(0 = 2Re [Z(OFo, У, (0 - 2Re [S Z{t)]P^ где z(t) = [Ф(о + ф^оис^ + eVe.

Периодические импульсы. На рис. 5 показаны импульсы сил, действующие в 7-м узле конструкции. Рассмотрено действие периодических импульсов прямоугольной и синусоидальной форм постоянной длины (i„ = t! - t„0, периодичности (T = t,~ и амплитуды рщ.

Вычисление параметров реакции ДДС от действия последующих импульсов обеспечивается на основе информации (в виде начальных условий: Г0, У0) о кинематических характеристиках узлов системы, вызываемых предыдущим импульсным воздействием. Получена система уравнений, определяющих реакцию при вынужденных колебаниях от действия ¿-й группы импульсов (iw S t < t,'):

Y(t)-2Re{Д0}> Y{t) = 2Rs{Sm). ДО = 2(0 +Wo, (17)

где

Z(r) - Ф(Mm^M-S Го + Г0].

Для случая прямоугольной и синусоидальной форм импульсов матричная функция Ч»(0 представлена соответствующими выражениями:

ч^-ГОн^-вКМГ1, ¥(0 « [0 Ф(Мн) <-S sin (6 (wH)) - 0 cos (8 (МмЩН^ + в2)Г'-

После исчезновения i-й группы импульсов ДДС совершает свободные колебания на интервале времени (*,' < t $ tf):

Y(t) = 2Re {Z(/)}, r(0 = 2Re{52(0}. Д0 = W-tfiirM-S Y0+Yo)

под действием начальных условий, назначаемых на основе (17) в конце предыдущего интервала времени: Го * Щ'), Г0 = f{tf).

Приведен анализ реакции каркасного здания, изображенного на рис. 2, на действие периодических синусоидальных импульсов и вибрационной нагрузки. В соответствии с РДМ (рис. 2, б), вектор Г(0 (17) имеет следующую структуру:

ПО = MO, Vi(0, *:(0, yA О. ДГ3(?), МП, «PiW. <Pî(0, Фз(0]Т, где x,{t\ у fi) - поступательные перемещения центра тяжести перекрытия »'-го этажа вдоль осей х и у соответственно; <p,{f) - угол поворота перекрытия вокруг центра жесткости упругих связей /-го этажа.

Векторы сил действуют в уровнях перекрытий под углом а к оси х (рис. 2, а) Амплитуды импульсного воздействия на каркас вычислялись исходя из нормативного значения ветрового давления на поверхность здания, равного ц = 3.5-10 ' кН/см2. Для вектора амплитуд Р0= [/-о, Mj]T при а = 45° имеем /•'„ =■ [33. 31, 22, 22. 10, ю) кН; А/о = [13608, о, 0] кНсм. При длине импульсов ta = 0.15 с рассмотрено действие на каркас одиночных ударов и периодических импульсов с периодичностью, равной половине периода: T-0.ST\ = 0.3332 с и периоду основного тона колебаний 7'= 7, = 0.6663 с, где Т\ = 2к /ем, ш, = 9.4298 с"1.

На рис. 6-9 приведены осциллограммы параметров динамической реакции каркаса при периодичности импульсов 7У2. Перемещения (рис. 6) и скорости (рис. 7) центров тяжести перекрытий на осциллограммах представлены обеими линейными составляющими в направлении осей х (а), у (б) и угловой составляющей (в); восстанавливающие (рис. 8) и диссипативные (рис. 9) силы, действующие в перекрытиях этажей, - линейной составляющей по оси х (а) и угловой составляющей (б). Сравнительный анализ реакции здания оценивался с помощью модели А.И. Цейтлина С = уМ-^М'^К (пунктир). •

Проведен анализ наиболее загруженных колонн каркаса при варьировании ряда параметров периодического импульса. При циклическом изменении параметров ta и а строились поверхности максимальных нормальных напряжений в зависимости от периодичности импульсов. Число повторений импульсов во всех случаях принималось, равным S.

На рис. 10, а приведена поверхность нормальных напряжений, построенная на сетке из 45x33 узлов при периодичности импульсов Т= 7ta. Интервалы варьируемых величин: t„ s [0.02,0.9] с (ори шаге Дta = 0.02), а € [0, тс/2) рад (при шаге Да = я/64 рад). Шаг временного анализа на активном участке составлял 0.01 с, на участке свободных колебаний - 0.016 с. Рассматриваемый режим нагружения (при Т = 2ta) характерен для случая действия ветровой нагрузки, пульсационная составляющая которой может быть моделирована в виде периодического импульса. Поверхность нормальных напряжений, построенная при периодичности импульсов Г =* 0.3332 с (рис. 10, б), имеет следующие характеристики. Сетка содержит 21x17 узлов, параметры нагружения: ta е [0.01, 0.31] с; а е [0, я/2] рад. Шаг временного анализа-0.01 с,

Вибрационное воздействие на каркас осуществлялось с помощью двух сил F£t) » Fo,sm(&if+<p,) (i * l, 3), действующих в уровнях перекрытий 1-го и 3-го этажей. Причем вектор силы F\(t) совпадает с направлением оси у и приложен к центру тяжести перекрытия 1-го этажа, а вектор F3(0 совпадает с направлением оси х, действуя по линии i-j на расстоянии / от центра тяжести перекрытия 3-го этажа (рис. 2,а). Параметры нагрузки: Foi = 15 кН, 9] « 96 с"1, <р( = 0; Fm = 20 кН,

»з = 120 с*1, фэ*0.

i/Л cWc

в)

Agi \ ! Â * Jbbr 1 V я 1 ' __- Ь j AJai

i > ' i '. 1 .........» ........J 1 i 1 1 i

(.с

1.4 1.6

0.2 0 4 06 0.8 1 1.2 1.4 1.6 (Р,<0*10\рщ «)

1 ! ! ' 1 I, 1 i 1 : ! i !

/XiL i «> / ! ^F i £\ ¡ f\ 1 ; i . .L.....i ; i Д!

t, с

" ' ' "Г !.....'..... 1 i3-> í i 1 i .......Г i } „ . j,

I i^i^ry

1' ■■■ !......1...... ■ ¡ ! í ! 1 i !

0.2 0.4 0.6 0.« 1 1.2 1.4 1.6 ф/0*Ю', paafc ' «)

(с

О 0.2 04 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Рве.«

1 ! ¡ i f\ 1 r-г—-Г j 1

Jki iaWI V f Л TiW L./ 1 N A ! #"' í 4*aW ' ! ¡

¡ Ui » • -¡ ¡ i ¡W . , i ¡ i ¡

t. с

О 0.2 0.4 0.6 0.« 1 1.2 1.4 1.6 Рис. 7

ЛЯ Xh г a¡ -r 1 j i

[ f r\ /V JL ¥ ¿ !>

i ¡ ! i ______i.

Mr/tt). «Нем 2000

О 0.2

0.4 0.6 0.8 1 Ряс.»

1.2 1.4 1.6

0.2 0.4 0.6 0.8 1 Рис. 9

1.2 1.4 16

Рис. 10. Поверхности нормальных напряжений в колоннах каркасного здания при действии периодического импульса с периодичностью

а-Т= 2/„; ff - Г=* 7V2, где Г, = 0.6663 с - период основного тона колебаний

Вектор амплитуд Р0~ [F0> M0f имеет следующие значения: F0 = [0,15,0, О, 20, 0] кН, М0 = {500, 0,12000} кНсм. Моментная составляющая М01 = 500 кНсм вектора M>, действующая в перекрьшш 1-го этажа, получена вследствие не совпадения положения центра тяжести С\ перекрытия с центром жесткости 0\ упругих связей (рис. 2, а).

Временной анализ реакции каркаса проводился при изменении фазы срз силы F3 в интервале [0, 2я] с шагом Д<р = л/36 рад (5°) относительно нулевой начальной фазы cpi нагрузки F\. По результатам анализа наибольшие отклонения в максимальных значениях нормальных напряжений и относительных перемещений концов наиболее нагруженной колонны каркаса соответствуют значениям <рз = 1.484 рад {ог = 0.084 МПа: 3-й этаж, колонна № 1; 8 = 0.0224 мм: 2-й этаж, колонна № 13) и срз = 3.142 рад (<т2 = 0.181 Мпа, 8 - 0.049 мм: 3-й этаж, колонна № 1) и отличаются друг от друга более, чем в 2 раза.

На рис. 11 приведены осциллограммы линейной составляющей параметров реакции, действующих вдоль оси jc: перемещений (а), скоростей (б), восстанавливающих (в) и диссипатявных (г) сил для значения срз = 3.142 рад.

н

О 02 0.4 06 0.8 ХДО. см/с 6)

-О 1

0.4 0.6 0.8

PtK.II

В пятой главе «Приложение интеграла Дюамеля к вопросам взаимности» изложен общий метод доказательства теорем взаимности в произвольных упругих ДДС, расширена трактовка этих теорем и оговорены условия, обеспечивающие свойства взаимности в диссипативных системах.

Внешняя нагрузка представлена в виде вектора

т=№Рь (18)

где ДО - безразмерная скалярная функция времени г, Ро - [ръ,] 0 = 1,..., #») - вектор постоянных усилий. На основе (18) введен вектор импульсов сил

Z(f) = \р(t)dr = a{t)Po, а(0 - J/(t)dt.

о о

Доказательство соотношений взаимности в ДДС базируется на двух положениях. Одно - связано с формой записи систем разрешающих уравнений (14), в которых величины Ко, У0 для удобства приняты нулевыми. Показано, что эти системы обладают симметричной структурой:

r(t)=D(t)P(o, г со-пот

где Д/) = 2Re{{Г1 |ф (/-т)тДг) ск}Д0~\ КО - 2Re{SV~l ¡0(t-t)TJ(i) dr}a(0'' -

о о

матрицы динамической податливости и скорости, для которых справедливо:

до=дот, ко=кот

Осуществлен переход (путем обращения матриц ДО и КО) к матрицам динамической жесткости ¿(0 и импульсов H{t) также симметричного вида:

до = ДО"' ^ ДО1, Щ) - КО"1 = Я(0Т

Эти результаты можно считать расширением известных результатов (теорема Максвелла о взаимности перемещений: ДО = Д0Т и теоремы Рэлея о взаимности реакций: ¿(0 - Ц0Т и импульсов: H(t) - H(ty) для случая нестационарного процесса, протекающего в ДДС. Соотношение КО = К0Т, по своей сути, есть теорема о взаимности скоростей масс от действия единичных импульсов, прикладываемых к узлам ДДС. В литературных источниках данный закон не выявлен, хотя не исключено, что для частных случаев задачи он известен.

Второе положение относится к алгебраической трактовке принципа взаимности, впервые данной в 1927 г. проф. П.Л. Пастернаком. Согласно этому положению, свойство взаимности присуще любой системе п линейных уравнений с и неизвестными, обладающей симметричной структурой коэффициентов.

На основании изложенного получены соотношения взаимности:

Y{t)rP(ty=Y(tfP(t), K(0TZ(0'= Y(tf Z{t), (19)

выражающие теорему взаимности Бетти в форме произведения перемещений и сил (первое соотношение) и в форме произведения скоростей и импульсов сил (второе соотношение) в произвольной упругой ДДС. Векторы Pit)', Y(t)\ Y(i)' и

Z(t)' представляют новые системы соответственно сил, перемещений, скоростей и импульсов в исходной ДДС.

Соотношения (19) выполняются для любой системы сил, определяемой вектором нагрузки (18), и являются обобщением результатов РЗлея, доказавшим первый закон взаимности в (19) со всеми его следствиями в ДДС для частного случая системы сил, гармонически изменяющейся во времени (то есть при условии ДО = sin (8Жр)). Второй закон в (19) и его частный случай Н(1) = //(/)', были доказаны Рэлеем для консервативной системы, находящейся под действием мгновенных импульсов.

Результаты обобщены в виде теоремы о предпосылках закона взаимности в произвольной упругой ДДС: Пусть характер воздействия динамической нагрузки в узлах ДДС определяется вектором (18). Тогда, если матрицы М, С, К дифференциального оператора уравнения движения (7) обладают симметрией, то\ (а) полная система уравнений динамической реакции (14) также имеет симметричную структуру, (б) к данной упругой системе применимы законы взаимности как в форме общих (19), так и частных теорем.

Показано, что динамическая реакция Y(t) = DU)P(t) выражается через ее статическую составляющую У„ = К~уРо посредством матричной функции

Р(0 = 2/£Г'1т{ ¡ф {t-xfA T)dT}K, * о

характеризующей учет динамического эффекта в произвольной конечномерной системе при нестационарных воздействиях, вследствие чего У(0 = P(í)KcT ■

Для матриц р(0, ДО. ДО. КО. Щ) приведены конечные формулы для случая действия внезапно приложенной нагрузки.

Последующие главы диссертации, с шестой по восьмую, посвящены упру-гопласгическому анализу ДДС при действии кратковременной нагрузки.

В шестой главе «Теоремы состояний и анализ внутренних динамических параметров системы» предложены математические модели упругопластического расчета и доказаны теоремы, характеризующие качественные уровни состояний конструкции в процессе ее неупругого деформирования.

В основу математических моделей расчета положены физические соотношения, отвечающие закону идеально упругопластического поведения материала (рис. 12). В соответствии с теорией промежуточных состояний неупругий анализ представлен рядом последовательно изменяющихся в процессе реакции системы квазиупругих решений, определяемых интервалами t е [í„ í,+i] (/ - о, 1,...), на которых динамические параметры системы неизменны. Время í, соответствует открытию или закрытию шарниров пластичности. Это позволило обобщить временной анализ ДДС на случай движения конструкции с неупругой восстанавливающей силой, используя для этой цели метод временного анализа, разработанный для упругой системы. Рие-12

Условия динамического равновесия ДДС с идеально упругопластическими восстанавливающими силами (вектор R(t), см. рис. 12) представлены в виде

MY(t) + CY(t) + R(t) = P(t) (20)

Математические модели расчета включают в себя физические соотношения

R(t)~K(t,)H0 + IUt,)-R\t.) (21)

и комплекс условий: упругости, текучести в j-м элементе конструкция при t = tm и разгрузки в том же элементе при / = *, (t, > tm) :

K(t) ** К=coast, Ло(0 = Л'(0 = 0 при V(t)<. f0;

j ад=д^-о - ад.)=ад-о+

| R\tm) = R'M при УДО*** (22)

R\td = Я'Ом) + £(<,)/(/,) при - 0.

Здесь K(ti)Y(t) - квазиупругая составляющая вектора (21); £(*,), - матрицы жесткости квазиупругой системы и у-го элемента конструкции. Составляющие вектора (21): Rdjti) - вектор предельных значений и R'(0 - вектор остаточных усилий'определяются в упругопластических пружинах при текучести и разгрузке соответственно; У*(г,) - вектор остаточных перемещений ДДС, значения которого вызваны пластическими деформациями в j-u элементе конструкции.

Упругие колебания происходят при условии, когда вдоль всех степеней свободы ДДС значения относительных перемещений yj(t) (вектор F(/)) не превышают их предельно упругих значений уо,Ож U -,») (вектор ).

Сформулирована задача неупругого анализа ДДС, в узлах которой действует нагрузка P(t) = |p/f)] 0 ' 1. •••.») (рис. 13),. Для вычисления динамической реакции системы на любом ;-м интервале времени t е [r„ необходимо удовлетворить уравнению движения (20) физическими соотношениями (21) так, чтобы выполнялись условия упругости, текучести и разгрузки (22).

Далее проведен анализ собственных колебаний квазиупругой системы на интервале t е [r„ требующий рассмотрения характеристического МКУ (8) и соотношений Виета в (13) при #Г= К(и), где St и S; из общей корневой пары (9).

Рост текучести (г £ »0 вызывает снижение коэффициентов жесткости ДДС и, вследствие этого, изменение внутренних динамических параметров. Этот факт отражен пятью теоремами состояний, устанавливающими критерии соответствия между определителями матриц в равенстве (13): S^M^i = K{ti) (k * i).

Теорема 6.1 (об условии невырожденного состояния квазиупругой системы). Матрица жесткости K(t,) квазиупругой системы (' S 0) невырожденна тогда и только тогда, когда невырожденны обе матрицы внутренних динами-ческих параметров в корневой паре (9) характеристического МКУ, т. е.

detК(Ъ)>0 о detS**0 (*- 1,2).

Теорема 6.2 (об условии вырожденного состояния квазиупругой системы). Пусть ДДС обладает полной диссипацией. Матрица жесткости К(Ь) квазиупругой системы (/ > 0) вырожденно на интервале г е [1„ г„] тогда и только тогда, когда одна из матриц & в (9) выроясденна, а другая - нет, т.е.

<1е1 Щ) = 0 о & = 0, <1е1 Я/ * 0 (*, /«1,2; **/)

Теорема 6.3 (частный случай при С = 0): <1е1 Щ) = 0 о <1е1= 0 (Л= 1,2).

Если пластические шарниры образуются во всех опасных сечениях конструкции (при 1 = гч е [/„ 1т]), то Щч) = 0. Такое деформированное состояние квазиупругой системы названо предельно вырожденным состоянием (ПВС).

Теорема 6.4 (об условии ПВС при * е г«^] с [г„ гт], С * 0):

Щ»,) = 0 о 51 = 0, & = -ЛГ'С (*,/=!, 2;**/)-

Теорема 6.5 (частный случай при С = 0): К(1Ч) = 0 о 5» = 0 (*=1,2).

Показано, что в процессе пластического деформирования частотно-демпфированный спектр системы становится подвижным. Характер кривых собственных частот неупругой конструкции показан на графиках, отвечающих условиям теоремы 6. \ (на всем интервале реагирования (рис. 14)), теорем 6.2,6.3 (на интервале г е [/„ I. ] (рис. 15)) и теорем 6.4,6.5 (при г е г^] (рис. 16)).

Для спектральных норм матриц коэффициентов демпфирования и собственных частот в отдельных состояниях квазиупругой системы построены двухсторонние априорные оценки:

а,<;||0||£а2, р, £ ||ИЦ 2 ра, р01£||^о||5ро2 (?€ [0,1,]); (23)

2а, 5 5 202, ||»1| = ||Ж0|| = 0 (Г е V.]), (24)

где _

а, = ||М|ГЧде , Р1" |А/Г-|^-СЛ/-,С/4|, Эо,

«2 - ВМ-'И ||С||/2, р2= ^-»ЦАГ-Ш^/ф Рог =|м1|М

нижние (ои, Рь Р01) и верхние (а2, Рг, рог) грани спектральных норм ||(5||, и ЦИ'оЦ ~ матрица собственных частот соответствующей консервативной системы), равных максимальным значениям внутренних динамических параметров ДДС: |кгц - - шах (в,,..., е„), ||№ц = ю„, ПИЪП = ©о».

Оценки (23) соответствуют упругим колебаниям ДДС при пропорциональном демпфировании. Оценки (24) - движению упругопластческой системы, состояние которой удовлетворяет условию теоремы 6.4 при Г е [*„ Г^ц] с [/„ Гт].

На рис. 17, 18 дана графическая интерпретация двухсторонних оценок в зависимости от частотно-демпфированных уровней упругопластической ДДС. Показаны нижние (¿1(0. «Ы0. Юш(0) и верхние (б2(0> ¿>2(0. а><и(0) грани норм ||С(0||, 11^(011 и |]»о(01] на всем участке упругопласгаческого нагружения, когда выполняются условия теоремы 6.1 (/ е [г„ <„]), теорем 6.2 и 6.3 (Г е [г(, ги]) (рис. 17), а также теорем 6.4 и 6.5 (ПВС при ? е [1„ Г^ц]) (рис. 18).

Рис. 13 Ряс. 14

œi(f) ч>М

4J /

/у5

i ! '—Л íf .ss

Рис. 15

«МО «МО «мо

5 п /

Ld / / %

IIP я fâ ш

о li ft '» V '»

Рис. 16

Ш »*(')

'i л

Рис. 17

Рис. 19

ML

JÇ.Q«

Рис. 21

10

Ряс. 22

0 03 1 1.5 2 2.5

Щ.МИ

i V V А

} Т U,-

/ гл тн л

Л1 1 У 1 V ОТ [ \

V AJ и

V

U с

jfco, cWc

FffU*l 0.4

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.3 02 0.1 О -0.1 -0.2

2л

п

/ U л

/у V > п vi [V

\ü M до л

V/ V fu/-

I, с

as

1 1.5

2.5

Рис. 23

Основные этапы временного анализа здания сведены в табл. 1. Остаточные относительные перемещения определялись по формуле У - Ути - У о-

Таблица 1

№№ Начало Начало Наибольшее Остаточные перемещения

этажей текучести разгрузки перемещение и усилия

здания 1„ с 'я, с У шах , СМ г , см Г, см кН

1 0 4244 0.6621 1.7056 0.5056 10.500 2 4267

2 0 5260 1.2240 5.4480 4.2480 9 9942 17.9640

3 0.4865 1.6950 6.9462 5.7462 5.7462 14.0865

На диаграмме «восстанавливающая сила - относительное перемещение» (рис. 21) изображены жесткости этажей конструкции в упругопластической стадии. Приведена осциллограмма перемещений верхнего этажа (сплошная линия) на отрезке времени 10 с (рис. 22, а). Для сравнения дана упругая реакция этажа (пунктир) и кривые относительных (штрихпунктир) и статических (точки) перемещений Вследствие необратимых деформаций свободные колебания здания происходят относительно остаточных перемещений, накопленных по его этажам. Для верхнего узла при / > 1.695 с эта величина составила^ = 10.5 см.

Характер изменения нелинейной восстанавливающей силы верхнего этажа [{\(1) (рис. 22, б, сплошная линия) представлен всеми ее составляющими: квазиупругой (штрихпунктир), предельных значений Дн(/<) (эта составляющая не равна нулю только на интервале / б {0.526, 0.6621] с, совпадая на нем с величиной Я\(/)) и остаточных усилий /?!*(/,•) (двойной штрихпунктир). Упругий режим работы здания показан пунктиром.

Полную картину упругопластической работы здания иллюстрируют осциллограммы параметров реакции для всех этажей (рис. 23): (а) - перемещения у^?), (б) - скорости г, (0, (в) - восстанавливающие Я/0 и (?) - диссипативные /%/) силы (пунктиром на рис. 23, а, б показана упругая реакция здания).

В табл. 2 приведены параметры собственных значений: коэффициенты демпфирования и собственные частоты квазиупругой системы.

Таблица 2

1 Время 1,, с Коэффициенты демпфирования, с 1 Собственные частоты, с"'

61 ез еэ ®1 (¡>5 аз

0 0 0 0167 0.1149 0.2059 2.7076 7.2089 9.5208

1 0 424 0 2209 0 0662 0.1608 0 3.2674 8.2017

2 0 487 0.0492 0 2915 0.1617 0 0 6.9253

3 0 526 0.0334 0.2296 0.4120 0 0 0

4 0 662 0 0350 0.2794 0.1838 0" 0 8.4829

5 1 224 0 052 0 1079 02036 0 5.7578 9.3161

6 1 695 0 0167 0 1149 0 2059 2 7076 7 2089 9.5208

Характер изменения собственных значений неупругой системы показан для коэффициентов демпфирования (рис. 24, а) и собственных частот (рис. 24, б).

ю„ с"' б)

Рис. 24. Внутренние динамические параметры каркасного здания при упруго-плястяческом деформировании:

а - коэффициента демпфирования; 6 - частоты собственных колебаний

Полученные значения спектральных норм матриц С? и № согласуются с априорными оценками (23), (24). Результаты динамического расчета свидетельствуют о высокой эффективности предлагаемого подхода и перспективности развития метода временного анализа при вычислении нелинейной реакции ДДС.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе.

В приложениях дан обзор и изложено состояние вопроса по анализу матричных линейных и квадратичных уравнений (приложения 1, 2), а также приведены программы вычисления динамической реакции для упругой и упруго пластической задач (приложения 3,4).

Основные результаты работы и краткие выводы

1. Предложен новый аналитический подход к динамическому расчету ДДС на нестационарные воздействия в задачах строительной механики - метод временного анализа реакции ДДС, - базирующийся на разработанном методе анализа матричных уравнений линейного и квадратичного вида.

2. Исследованы свойства решения МКУ, доказана обобщенная теорема Виета о сумме и произведении матричных корней; показано, что все решения МКУ структурированы в корневые пары (это понятие введено впервые); предложена итерационная схема определения корней, принадлежащих общей корневой паре; получено условие обобщенной ортогональности матрицы собственных векторов. 1

3. В замкнутом виде построена полная система разрешающих матричных уравнений упругой ДДС (интеграл Дюамеля) при произвольном характере нагрузки и типе демпфирования. Впервые в структуре подынтегрального выражения интеграла Дюамеля содержится фундаментальная матрица соответствующего однородного дифференциального уравнения движения, построенная на основе решения МКУ. >

4. Исследованы важные для приложений динамики сооружений частные случаи интеграла Дюамеля (удар, импульс, вибрационная нагрузка и др.). Впервые в замкнутом виде решена задача о колебаниях произвольной ДДС щ>и действии периодических импульсов прямоугольной и синусоидальной формы. Во всех частных случаях уравнения реакции ДДС имеют простую математическую форму, удобную при выполнении динамических расчетов.

5. Сформулированы и доказаны теоремы состояний, устанавливающие необходимые и достаточные условия невырожденного и вырожденного состояний упругопластической конструкции в процессе ее реакции. ;

6. Проведен анализ частотного спектра и характера движения упругопла- I стической конструкции по собственным формам в различных деформированных состояниях ДДС. Получены двухсторонние априорные оценки спектральных | норм матриц коэффициентов демпфирования и собственных частот в отдельных состояниях квазиупругой системы.

7. Разработаны математические модели неупругого расчета ДДС при движении с диаграммой идеального упругспластическсго тела при действии кратковременной нагрузки. Дано обобщение временного анализа реакции ДДС за пределом упругости. Впервые уравнение упругопластической реакции получено в нетривиальной матричной форме интеграла Дюамеля. .

8. Получено условие малой диссипации в виде априорной оценки верхней границы нормы приведенной матрицы демпфирования.

9. Предложены новые модели демпфирования, не относящиеся к пропорциональному типу демпфирования. Показано, что все известные в литературе условия разделимости уравнения движения ДДС вытекают из общего условия, I представляющего собой одно из разрешающих уравнений МКУ.

10. Дан вывод соотношений обобщенной ортогональности собственных форм колебаний произвольной упругой ДДС; показано, что соотношения вытекают из принципа Бетти, распространенного на область диссипативных систем.

И. Дано приложение уравнений реакции произвольной упругой ДДС к доказательству теорем взаимности, вследствие чего: расширена трактовка теорем взаимности и предложен общий, более простой, метод их доказательства.

12. Впервые при общих предпосылках динамической задачи получена аналитическая зависимость между выражениями вектора динамической составляющей реакции упругой ДДС и вектора соответствующей статической составляющей; эта зависимость имеет вид матричной функции, выражающей учет динамического эффекта от действия произвольной нагрузки.

13. Впервые для произвольной упругой ДДС и общем характере внешней нагрузки получены аналитические выражения матриц: динамических податли-востей и жесткостей, скоростей и импульсов; показана взаимообратимость матриц скоростей и импульсов.

14. Решены практические вопросы реализации разрешающих уравнений неупругих колебаний ДДС при действии кратковременной нагрузки большой интенсивности Дано приложение рассматриваемых вопросов к анализу реакции ДДС при синусоидальном законе нагружения со сводкой уравнений полной динамической реакции ДДС в различных состояниях квазиупругой системы.

15. Разработаны матричные алгоритмы и программы по решению МКУ; разработаны алгоритмы и прикладные программы по выполнению временного анализа упругой и упругопластической реакции каркасных многоэтажных зданий с расчетной схемой плоского и пространственного типа на импульсные и вибрационные воздействия.

16. Проделанный временной анализ реакции трехэтажных каркасных зданий с пространственной (в упругой постановке) и плоской (в неупругой постановке) расчетными схемами на нестационарные воздействия. подтверждает высокую эффективность предложенного подхода.

Таким образом, в диссертации разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как обоснование и развитие нового научного направления динамики сооружений - теории временного анализа упругих и неупруги: ДДС в динамических задачах строительной механики.

Список работ по теме диссертации

1. Леонтьев Н. Н., Потапов А. Я, Очинстй В. В. Об одном приеме решения некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений теории упругости // Исследования по теории сооружений,- М.: Отройиздат, 1987 - Вып. 25.-С. 209-218.

2. Потапов А. Н. О построении решения матричного квадратного уравнения / СтПИ. Ставрополь, 1990,- 9 е.- Деп. в ВИНИТИ 21.05.90, № 2191-В90.

3. Потапов А. Н. О решении одной задачи на собственные значения / Головной проектный ин-т гражд. стр-ва «Челябинскгражданпроект». Челябинск, 1990,- 10 е.-Деп. в ВИНИТИ 24.04.90, № 2169-В90.

4. Потапов А. Н. Прием ишетяпревшия едаервдмлх систем обыкновенных дифференциальных уравнений ^шй^ЧЙшфйбг^Строительная механика,

^ строительные материалы и конструкция, технология строительного производства: Сб. докл. науч. конф.-Ставрополь: СтПИ, 1991. -С.43-51.

5. Потапов А. Н. Анализ свободных колебаний демпфированной системы // Циклические процессы в природе и обществе: Вторая Междунар. конф., 18-23 октября 1994.-Ставрополь: Изд. Ставроп. ун-та, 1994.-С. 55-58.

6. Потапов А. Н. Матричное квадратное уравнение и его нормальные формы // Циклы природы и общества: Четвертая Междунар. конф- Ставрополь: Изд Ставроп. ун-та, 1996. - С. 115-117.

7. Потапов А. И. Метод решения матричного квадратного уравнения в задачах строительной механики // Строительные конструкции и расчет сооружений: Сб. тез. докл. науч.-техн. конф., 3-6 апреля 1996.- Новосибирск: НГАС, 1996 4.1.-С. 74-75.

8. Потапов А. И. Метод решения матричного квадратного уравнения в колебаниях стержневых систем // Реконструкция городов, отдельных зданий, сооружений и конструкций на Урале: Вторые уральские академические чтения (Тез. докл.).- Екатеринбург: УРО РААСН, 1997,- С. 47.

9. Потапов А. Н. Метод сведения к матричному квадратному уравнению в динамическом анализе дискретных диссипативных систем // Реконструкция городов, отдельных зданий, сооружений и конструкций на Урале: Третьи уральские академические чтения.- Екатеринбург: УРО РААСН, 1997. - С. 104-110.

10. Потапов А. И. О построении моделей неоднородного демпфирования // Реконструкция городов, отдельных зданий, сооружений и конструкций на Урале: Третьи уральские акаде» гоеские чтения - Екатеринбург: УРО РААСН, 1997. -С. 111-116.

11. Потапов А. Н. Динамический расчет рам из упруго-пластического материала методом сведения к матричному квадратному уравнению // Строительные конструкции и расчет сооружений: Сб. тез. докл. науч.-техн. конф., 3-6 апреля 19У7.- Новосибирск: НГАС, 1997. 4.1. - С. 72-73. ■

12 Потапов А. Н. Нормальные формы матрицы /ЧГТУ. Челябинск, 1997 — 11с,- Деп. в ВИНИТИ 15.10.97, №3059-В97.

13. Потапов А. Н. Математические модели неупругого расчета многоэтажных зданий на динамические кратковременные воздействия // Стройкомплекс: Информ. аналитический журнал - № 7-8. Челябинск, 1998. - С. 35-40.

14. Потапов А. Н. Метод сведения к матричному квадратному уравнению в динамике дискретных диссипативных систем // Мат. моделирование в механике деформируемых тел. Методы граничных и конечных элементов: Тез. докл. XVI Междунар. конф , 23-26 июня 1998 г. - СПб., 1998,- Т.1.- С. 83-84.

15. Потапов А. Н. Использование интеграла Дюамеля в неупругом динамическом анализе дискретных диссипативных систем // Численные и аналитические методы расчета конструкций: Сб. науч. тр. Междунар. конф., 17-19 ноября 1988 - Самара: Изд-во СамГАСА. 1998 - С. 250-254.

16. Потапов А. Н. Метод сведения к матричному квадратному уравнению в задачах колебаний дискретных систем при неоднородном демпфировании // Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами: Межвуз. науч. сб.- Саратов: СГТУ, 1998 - С. 45-54.

17. Потапов А. Н. Теоремы об упругопластических диссипативных конструкциях при вынужденных колебаниях // Реконструкция городов, отдельных зданий, сооружений и конструкций на Урале: Четвертые уральские академические чтения - Екатеринбург: УРО РААСН, 1999. - С. 92-96.

18. Потапов А. Н. Прямой метод интегрирования в неупругом динамическом анализе конструкций // Архитектура и строительство. Проблемы развития теории сооружений и совершенствования строительных конструкций: Тез. докл. Республ. науч.-техн. конф., 30 ноября - 1 декабря 1999 г., Томск: ТГАСУ, 1999. - С. 78-79.

19. Потапов А. Н. Анализ внутренних динамических параметров конструкций при неупругих колебаниях // Известия вузов. Строительство. - Новосибирск, 2000,-№6.-С. 31-37.

20. Потапов А. Н. Прямой метод интегрирования уравнений динамического равновесия в анализе колебаний дискретных диссипативных конструкций // Весгаик ТГАСУ. - Томас: ТГАСУ, 2000.- № 2. - С. 92-109.

21. Потапов А. Н. Временной анализ неупругой реакции сооружения при действии кратковременной нагрузки // Строительство и образование: Сб. науч. тр. Вып. 4. - Екатеринбург: УГТУ - УПИ, 2000. - С. 43-46.

22. Потапов А. Н. Обобщение интеграла Дюамеля при упругопластическом анализе конструкций // Известия вузов. Строительство.- Новосибирск, 2001.— №4.-С. 33-39.

23. Потапов А. Н. Соотношения взаимности в диссипативных системах // Известия вузов. Строительство -Новосибирск, 2001.- № 11.- С. 22-28.

24. Потапов А. Н. Об ортогональности собственных форм колебаний дискретных диссипативных систем // Вестник ЮУрГУ. Серия «Строительство и архитектура»,- Вып. 1,- Челябинск: ЮУрГУ, 2001№ 5 (05). - С. 39-42.

25. Потапов А. Н., Перескоков Р. Р. Анализ свободных колебаний ствола дымовой трубы // Строительство и образование: Сб. науч. тр.- Вып. 5. - Екатеринбург: ГОУ УГТУ - УПИ, 2002. -С. 104-108.

26. Потапов А. Н. Динамический анализ дискретных диссипативных систем вря нестационарных воздействиях. - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2003. - 167с.

•¿оогн

$ 14 0 9 2

Потапов Александр Николаевич

Метод временного анализа реакции дискретных диссипативных систем в задачах строительной механики

Специальность OS.23.17 - «Строительная механика»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Издательство Южно-Уральского государственного университета

ИД № 00200 от 28.09.99. Подписано в печать 27.08.2003. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. ЗД5. Уч. изд. л. 3,67 Тираж 100 экз. Заказ 332/373.

УОП Издательства. 454080, г.Челябинск, пр. им. В.И. Ленина, 76.

ПЕРЕЧЕНЬ СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. Обзорная часть. Состояние вопроса.

1.1. Обзор приложений в динамике дискретных диссипативных систем.

1.2. Анализ моделей демпфирования.

1.3. Анализ методов динамического расчета дискретных диссипатш-ных систем.

1.3.1. Аналитические методы расчета (34).- 1.3.2. Численные методырасчета (38). - 1.3.3. Анализ результатов(40).

1.4. Состояние вопроса по соотношениям взаимности.

1.5. Обзор фактов анализа матричного квадратного уравнения в приложениях динамики дискретных диссипативных систем.

Глава 2. Матричное квадратное уравнение, его анализ и решение

2.1. Вводная часть.

2.2. Анализ вспомогательных линейных уравнений.

С 2.2.1. Уравнение &щ110 « UoSf* (48). - 2.2.2. Уравнение STU = US (50). :

0 ' |

2.3. Обобщенная теорема Виета.

1 2.4. Структура решения и формы матричного квадратного уравнения.

2.4.1. Приведение МКУ к системе двух матричных уравнений (53).- 2.4.2. Симметричная форма МКУ (54). |

2.5. Решение регулярного матричного квадратного уравнешы и свойства корней.

2.5.1. Уточнение структуры матричных корней (55).- 2.5.2. Метод решения (56). -2.5.3. Свойства корневых пар (57).-2.5.4. Линейные множители МКУ (60).

2.6. Частный случай регулярного матричного квадратного уравнения

2.7. Основные соотношения матричного квадратного уравнения в ба-\ зисе собственных векторов.

Выводы по глав е.

Глава 3. Построение и анализ моделей демпфирования.

3.1. Условие малой диссипации.

3.1.1. Предварительная информация (66). - 3.1.2. Преобразование матрицы-дискриминанта МКУ (72). - 3.1.3. Оценка нормы приведенной матрицы демпфирования (73).

3.2. Обоснование и построение моделей демпфирования. f-*/ 3.2.1. Введение основной (элементарной) системы (75). - 3.2.2. Построение и анализ моделей демпфирования (77).

3.3. Практическая реализация и оценки моделей демпфирования.

I**- 3.4. Анализ моделей пропорционального демпфирования.

3.4.1. Общее условие пропорционального демпфирования (81).-3.4.2. Анализ моделей (84).

3.5. Тип демпфирования предложенных моделей.

3.6. Анализ демпфирования на примере собственных колебаний трехэтажного каркасного здания.

Выводы по главе.:.

Глава 4. Упругий анализ дискретных диссипативных систем.

4.1. Общие вопросы.

4.1.1. Уравнение движения ДЦС (96).- 4.1.2. Свойства матриц и соотношений (96).

4.2. Обобщенная ортогональность собственных форм колебаний дискретных диссипативных систем.

4.2.1. Вывод условий обобщенной ортогональности матрицы собственных форм колебаний (98). - 4.2.2. Механический смысл условий обобщенной ортогональности (100).

4.3. Анализ свободных колебаний диссипативной системы.!.

4.4. Вынужденные колебания диссипативной системы.t.

4.4.1. Вывод интеграла Дюамеля для диссипативной системы (103). — 4.4.2. Преобразование интеграла Дюамеля (106).

4.5. Частные случаи интеграла Дюамеля.

4.5.1. Постоянный закон действия сил (109).- 4.5.2. Линейный закон дейст-< вия сил (III). - 4.5.3. Вибрационная нагрузка P(t) = sii?(9/+(p)Po (112).-4.5.4. Синусоидальный импульс (114). - 4.5.5. Действие периодических импульсов (115).

4.6. Примеры анализа динамической реакции каркасных многоэтажных зданий.

4.6.1. Оценка реакции при действии внезапно приложенной нагрузки (119).

4.6.2. Действие периодических импульсов на каркасное здание (120).

4.6.3. Действие вибрационной нагрузки (132).

Выводы по главе.

Многие задачи строительной механики, в той или иной мере, являются задачами динамического типа. Нужды практики предъявляют весьма жесткие требования надежности и экономичности при создании инженерных конструкций, работающих в условиях усложненного характера современного производства, обусловленного нестационарными динамическими воздействиями. Это ставит перед динамикой сооружений как одной из важнейших областей строительной механики большие и сложные задачи по построению и разработке более совершенных методов расчета. Обеспечение надежной работы конструкции должно сочетаться с разумной простотой метода расчета, высокой точностью и эффективностью проводимого динамического анализа и, наконец, возможностью получения не только количественных, но и качественных оценок работы конструкции.

В большинстве случаев, для оценки реальной работы динамической системы необходим учет сил неупругого сопротивления (диссипативных сил), оказы

I ! вающих свое влияние на процесс колебаний. Учет данных сил особенно важен при вынужденных колебаниях в условиях резонанса, при переходе через резонанс, а также при свободных колебаниях системы. j

В общем случае инженерные сооружения имеют распределенные инерционные параметры и поэтому являются континуальными (или дискретно-континуальными) системами, движение которых описывается дифференциальными уравнениями в частных производных. Однако интенсивное развитие вычислительной техники определяет преимущественное использование дискретных динамических систем. При моделировании сооружения дискретной расчетной схемой динамическая задача описывается линейными (или нелинейными) обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ), методы интегрирования которых разработаны в большей степени по сравнению с методами решения уравнений в частных производных. Существенным является тот факт, что ОДУ допускают сравнительно простые исследования во временной области.

Поэтому в настоящей работе в качестве исходных уравнений движения принята система линейных ОДУ, отвечающая дискретной расчетной схеме. 10 Ниже перечислим основные приемы дискретизации задач, а также типы задач строительной механики, решение которых, так или иначе, связано с интегрированием уравнений движения дискретной диссипативной системы (ДДС).

Переход от сложной континуальной системы к расчетной динамической модели осуществляют различными приемами, достаточно хорошо освещенными в литературе. Одним из них является, например, способ замены распределенных параметров системы на сосредоточенные по правилу рычага [101, 102, 163]. Другой путь связан с конечно-элементной или конечно-разностной дискретизацией континуальных систем [23, 85, 102, 104]. Следует также отметить редукционные методы, сводящие многомерную проблему к одномерной как в классическом варианте [49, 95, 153], так и в форме различных модификаций [117, 121, 133, 158, 167, 175-178,245] и др.

Среди обилия динамических задач строительной механики выделим типы задач, анализ которых может быть осуществлен в рамках единого подхода, основанного на решении алгебраической проблемы квадратичного вида.

Это, прежде всего, задачи колебаний мембран и пластин, в том числе орто-тропных пластин, включая упругое основание с одним или двумя коэффициентами постели. Сюда же относятся проблемы, связанные с решением плоской задачи теории упругости, например, колебания балок-стенок, подпорных стенок, дамб и плотин. Отметим большой, класс задач о свободных и вынущхенных колебаниях оболочек вращения типа резервуаров, градирен, дымовых труб и других инженерных сооружений. В области технической теории оболочек выделим задачи колебаний пологих оболочек, а также призматических и цилиндрических оболочек," расчитываемых по полумоментной теории проф. В.З. Власова.

Следует также отметить целый класс дискретно-континуальных пространственных систем, представляющих собой расчетную схему многоэтажных зда-*» • . ний с различными видами несущих конструкций. Данные пространственные системы в процессе декомпозиции расчленяются на типовые модули или блоки в виде оболочек, плит, стеновых панелей, диафрагм жесткости, рамных конструкций и т. д., динамический расчет которых сводится к анализу систем ОДУ.

Несмотря на интенсивное развитие методов решения дискретных задач [269, 274], заметим, что в области динамики демпфированных сооружений .существующие методы анализа пока еще далеки от совершенства. Основная проблема здесь состоит в разработке таких подходов к интегрированию уравнения движения диссипативных систем, которые бы, с одной стороны, обеспечивали эффективное и точное вычисление реакции системы. С другой стороны, по уровню своей разработанности они были бы доступны для широкой инженерной практики. С этой точки зрения наиболее привлекательной является методика временного анализа, обладающая большими возможностями при вычислении реакции конструкции в случае действия произвольной динамической нагрузки.

В научно-технической литературе уравнение реакции системы при вынужденных колебаниях, полученное на основе временного анализа реакции, носит название интеграла Дюамеля [30, 102, 123]. Известные методы построения этого интеграла, во-первых, связаны только с расчетом упругих систем. Во-вторых, они требуют получения импульсных переходных функций (ИПФ) [48, 279], построение которых, особенно в условиях демпфирования, не подчиняющегося классическому пропорциональному демпфированию (неоднородное демпфирование) - далеко не простая задача [279]. Поэтому и в упругом анализе интеграл

I I

Дюамеля не находит пока должного применения. Можно говорить о его эффективном использовании только в случае некоторых частных- условий динамической задачи, например, при пропорциональном (однородном) демпфировании [219, 254].

Успешное проведение временного анализа ДДС при общих предпосылках динамической задачи возможно только на основе создания такого алгоритма, который бы позволял непосредственно интегрировать матричное дифференциальное уравнение движения. Это связано с необходимостью разработки метода решения уже упомянутой выше алгебраической проблемы с квадратичной зависимостью от входящего параметра, имеющей вид характеристического матричного квадратного уравнения (МКУ).

Приведение к характеристическому МКУ возможно лишь для таких систем уравнений движения, которые обладают строго определенной структурой. В частности, в структуре матричного одномерного оператора задачи должны содержаться операторы дифференцирования не выше второго порядка. Возможен и более сложный тип структуры оператора. Например, когда уравнения содержат искомые функции и их производные только второго и четвертого порядка. В этом случае системе однородных ОДУ соответствует характеристическое матричное уравнение биквадратного вида, которое легко сводится к квадратному уравнению.

Приводимый в начале введения перечень типов задач строительной механики как раз характеризуется тем, что структура одномерных операторов данных задач обладает нужными свойствами и позволяет приходить к алгебраической проблеме заданного вида. При учете нелинейных свойств материала анализ данных задач можно осуществить путем построения такого шагового процесса, когда внешние динамические параметры в пределах каждого шага интегрирования считаются неизменными. Тогда системы разрешающих уравнений движения на каждом отдельном шаге математически рассматриваются как ОДУ с постоянными коэффициентами. Поэтому алгебраическая проблема в струкi турном отношении не претерпевает изменений и сохраняет прежний квадратичный вид. Это позволяет при проведении динамического анализа в нелинейных задачах использовать схему решения алгебраической проблемы в виде МКУ, разработанную для анализа линейно-деформируемых конечномерных диссипа

1 I ; тивных систем

Таким образом, решение проблемы динамического расчета ДДС требует проведения анализа МКУ и разработки алгоритма его решения.

В современной математической литературе по алгебре матриц и матричным уравнениям МКУ, практически, не исследовано. Существует только численный анализ МКУ и ему подобных уравнений, базирующийся на созданных в последние десятилетия ортогональных методах [88, 89, 290, 292, 298]. В силу того, что численные ортогональные методы не обладают в достаточной мере возможностями аналитических подходов и не учитывают специальных свойств полученных решений, это явилось одной из главных причин, сдерживающей развитие методов непосредственного интегрирования уравнений движения ДДС в задачах строительной механики.

Временной анализ реакции сооружения за пределом упругости представляет собой чрезвычайно сложную задачу, решение которой известными методами либо труднодоступно, либо, вообще, считается невозможным [102]. Перечисленные выше проблемы многократно умножаются в связи с тем, что при неупругих колебаниях конструкции ее динамические параметры в процессе реакции системы изменяются во времени. Соответственно движение узлов ДДС описывается системой ОДУ с переменными коэффициентами. Аналогичные проблемы возникают и при колебаниях системы из нелинейно-упругого материала.

Таким образом, помимо учета особенностей демпфирования и характера динамических воздействий, необходимых при анализе упругой системы, проведение динамического расчета ДДС с учетом упругопластических или нелинейно-упругих свойств материала требует применения физических моделей материала с нелинейной динамической восстанавливающей силой. Это приводит к необходимости создания математических моделей расчета, являющихся важной предпосылкой в построении методики временного анализа нелинейной реакции системы. ,

I !

В постановках задач о действии динамических нагрузок существенное ме-~ сто принадлежит вибрационным, импульсным и ударным нагрузкам, получившим широкое распространение в технике и строительной практике. j

При расчете ДДС на вибрационную нагрузку исследуются, как правило, установившиеся вынужденные колебания [60, 101, 109, 159, 166, 252, 255, 256, 260]. В этом случае, как известно, гармоническая нагрузка во всех узлах конструкции имеет одинаковую угловую частоту и начальную фазу колебания. Режимы воздействий, при которых параметры нагрузки в различных узлах системы - различны, связаны с неустановившимися колебаниями ДДС. Они представляют наибольший практический интерес и в то же время оказываются достаточно трудной задачей для исследования.

Изучение неустановившихся режимов, колебаний диссипативных конструкций, вызванных действием ударной или импульсной нагрузки, обычно, сводится к анализу динамической реакции системы от одиночного удара или импульса. Более сложный характер воздействий, встречающийся в реальных условиях колебаний ДДС, как правило, игнорируется. Например, задачи на действие периодических импульсов чрезвычайно актуальны, но, практически, не реализуемы из-за отсутствия приемлемых методов учета внутреннего трения в конечномерных системах [255].

Существенные трудности в анализе диссипативных конструкций возникают при рассмотрении вопросов, связанных с изучением свойств ортогональности собственных форм и свойств взаимности. Данные свойства выражают наиболее общие закономерности колебательных систем, относящиеся к фундаментальным проблемам строительной механики. Проявление этих свойств в диссипативных системах, принадлежащих к классу неконсервативных систем, требует их более пристального изучения и разработки более совершенных методов анализа.

Большую роль в теории динамического анализа играют качественные оценки работы ДДС, важность которых определяется не только в процессе решения задачи, но и на этапе, предваряющем расчет. Однако качественные оценки работы конструкции сводятся, в большинстве случаев, к анализу собственных частот колебаний упругой консервативной системы. Известны, например, оценки низшего тона колебаний (или нескольких низших тонов) [27, 101, 153, 172, 229, 258]. Качественных оценок уровней диссипации ДДС, как правило, не проводится. Оценки такого рода весьма сложны в случае колебаний упругих систем с неоднородным типом демпфирования и, особенно, при колебаниях упругопластических систем. '

Диссертационная работа посвящена разработке аналитического подхода к динамическому расчету ДДС в задачах строительной механики. Подход представляет временной анализ довольно общего вида. Он в достаточной мере универсален, так как может быть применен к различным динамическим ДДС, не зависимо от условий демпфирования и характера внешнего воздействия. Универсальность подхода состоит еще и в том, что, не теряя общности, его можно использовать в динамическом анализе важнейшего класса нелинейных задач: колебаниях упругопластических и нелинейно-упругих ДДС. При соответствующей разработке физических моделей деформирования этот подход позволяет определить реакцию системы в замкнутом виде.

Использование алгебраических подходов, связанных с анализом МКУ, выведенными матричными соотношениями Виета и др., позволяют провести анализ собственных колебаний ДДС. Это открывает возможность получения качественных оценок работы диссипативной конструкции с линейной и нелинейной восстанавливающей силой. Качественные оценки включают получение необходимых и достаточных условий невырожденного (вырожденного) состояния квазиупругой системы, оценок уровней демпфирования и границ частотного спектра в процессе упругопластического деформирования.

Предлагаемый метод анализа (на основе алгебраических подходов) позволяет по-новому взглянуть на сложные проблемы динамики сооружений и дать этим проблемам сравнительно простое решение. Это, в равной мере, относится к вопросам ортогональности собственных форм колебаний ДДС и соотношений взаимности. Решение этих вопросов играет исключительную роль не только в задачах строительной механики, но и в теории механических колебаний в целом.

Предлагаемая теория динамического расчета открывает возможность применения сложных постановок задач о действии динамических нагрузок на узлы ДДС (с получением замкнутых решений), учитывая требования сегодняшнего дня и акцентируя внимание на трудные для традиционного анализа задачи с неустановившимися режимами колебаний. Постановки задач касаются видов

I I динамических воздействий и сценариев нагружений. Это прежде всего задачи-на действие вибрационной нагрузки (с не одинаковыми параметрами возбуждения в различных узлах ДДС), ударов и импульсов различной природы, включая действие периодических (в том числе и мгновенных) импульсов. Такого рода нагрузки широко используются в различных областях современного идустри-ального производства, поэтому расчет строительных конструкций на данные воздействия представляется актуальной проблемой строительной механики.

Использование теории промежуточных состояний о переходе системы из упругого состояния в пластическое [211] нашло свое выражение в предложенных математических моделях упругопластического расчета. Это позволило обобщить временной анализ ДДС на случай движения конструкции с неупругими восстанавливающими силами, подчиняющимися идеальному упругопла-стическому закону. Для этой цели используется метод временного анализа, разработанный для упругой системы. Проводимое в настоящей работе обобщение временного анализа на область физически-нелинейных диссипативных конструкций и достижение на его основе замкнутого решения не имеет пока на сегодняшний день аналогов [102].

Разработанный алгоритм позволяет применять временной анализ к вычислению упругопластической реакции ДДС на действие такой специфической нагрузки как кратковременная нагрузка большой интенсивности. Это дает возможность решения большого класса практических задач динамики сооружений при внешних воздействиях на удар, импульс, взрывные и сейсмические волны, вызывающих в конструкции необратимые пластические деформации.

Таким образом, актуальность темы определяется необходимостью дальнейшего развития метода временного анализа ДДС при нестационарных воздействиях в задачах строительной механики, обеспечивающего вычисление динамической реакции системы в замкнутом виде (как в упругой, так и в неупругой постановке) с возможностью получения не только количественных, но и качественных оценок работы конструкции.

Целью диссертационной работы является решение научно-технической проблемы, заключающейся в разработке теоретических основ, математического аппарата и технических принципов реализации нового эффективного метода решения динамических задач строительной механики - метода временного анаI лиза реакции ДДС при нестационарных воздействиях.

Теоретическую основу метода временного анализа составляет аналитический аппарат алгебры матриц в сочетании с разработанными приемами анализа матричных уравнений линейного и квадратичного вида.

Основные задачи исследования заключаются в следующем.

1. Построение полной системы разрешающих уравнений метода временного анализа произвольной упругой ДДС при нестационарных воздействиях (вывод интеграла Дюамеля).

2. Исследование основных свойств разрешающих уравнений динамической реакции ДДС с целью обобщения закона взаимности в упругих диссипативных системах. Установление аналитических соотношений для динамических матриц: податливостей, жесткостей, скоростей и импульсов.

3. Проведение анализа вспомогательного матричного линейного уравнения и матричного нелинейного уравнения (МКУ); исследование структуры и свойств матричных корней МКУ; нахождение связи между матричными коэффициентами уравнения и его матричными корнями в форме соотношений Вие-та; создание итерационного метода решения МКУ. •

4. Разработка и анализ новых моделей неоднородного типа демпфирования колебаний ДДС применительно к нестационарным динамическим задачам строительной механики.

5. Построение математических моделей неупругого расчета ДДС при движении с идеальной упругопластической диаграммой Прандтля под воздействием ударной нагрузки. Формулировка общих положений (теорем), характеризующих качественные уровни состояний квазиупругой системы и оценки работы диссипативной конструкции.

6. Вывод полной системы разрешающих уравнений метода временного анализа неупругой ДДС (обобщение интеграла Дюамеля).

7. Разработка технических приемов реализации разрешающих уравнений неупругих колебаний ДДС в зависимости от условий состояния квазиупругой системы.

Научная новизна работы заключается в следующих основных положениях, выносимых на защиту.

1. Предложен новый аналитический подход к динамическому расчету ДДС I на нестационарные воздействия в задачах строительной механики,- метод временного анализа реакции,- базирующийся на разработанном математическом аппарате по решению матричных уравнений линейного и квадратичного видов. I

2. Получен интеграл Дюамеля, представляющий в замкнутой матричной « ; форме уравнение реакции упругой ДДС при нестационарном воздействии и произвольном типе демпфирования. Впервые в структуре его подынтегрального выражения содержится фундаментальная матрица однородного дифференциального уравнения движения, построенная на основе решения МКУ. Исследованы важные для приложений динамики сооружений частные случаи интеграла Дюамеля (удар, импульс, вибрационная нагрузка и др.). Впервые в замкнутом виде решена задача о колебаниях произвольной ДДС на действие периодических импульсов: .

3. Разработаны математические модели неупругого расчета ДДС при движении с идеальной упругопластической диаграммой Прандтля. Дано обобщение временного анализа реакции диссипативной конструкции за пределом упругости при действии кратковременной нагрузки большой интенсивности.

Впервые уравнение реакции упругопластической системы в шаговом процессе получено в виде замкнутых квазиупругих решений, имеющих нетривиальную форму интеграла Дюамеля.

4. Сформулированы и доказаны теоремы состояний, устанавливающие необходимые и достаточные условия невырожденного (вырожденного) состояние упругопластической конструкции j процессе ее реакции. Получены двухсто; ронние априорные оценки спектральных норм матриц коэффициентов демпфирования и собственных частот в отдельных состояниях квазиупругой системы.

5. Исследованы свойства и структура решения МКУ, доказана обобщенная теорема Виета; показано, что все решения МКУ структурированы в однотипные корневые пары (это понятие введено впервые); предложена итерационная схема определения корней, принадлежащих общей корневой паре; получено условие обобщенной ортогональности матрицы собственных векторов в спектральной задаче квадратичного вида.

6. Предложены новые модели неоднородного типа демпфирования колеба-: ний ДДС (в рамках линейной модели вязкого сопротивления) применительно к! нестационарным динамическим задачам строительной механики.

7. Получены соотношения обобщенной ортогональности собственных

I I форм колебаний произвольной упругой ДДС; дана механическая трактовка соотношений ортогональности,' вытекающих из принципа Бетти, распространенного на область диссипативных систем.

8. Дано приложение уравнений реакции произвольной упругой ДДС к доказательству теорем взаимности, вследствие чего: расширена трактовка теорем и предложен общий метод их доказательства.

9. Впервые при общих предпосылках динамической задачи получена аналитическая зависимость между выражениями векторов динамической составляющей реакции упругой ДДС и соответствующей статической составляющей, которые связаны с помощью матричной функции, характеризующей учет динамического эффекта от действия произвольной нагрузки. Получены аналитические соотношения динамических матриц: податливостей, жесткостей, скоростей и импульсов.

Достоверность результатов исследования подтверждается: использованием в диссертации теоретически обоснованных методов строительной механики в соединении с методами высшей математики и аппаратом матричной алгебры; замкнутой формой выведенного интеграла Дюамеля при упругих колебаниях ДДС и сравнением его частных случаев при численном решении конкретных динамических задач с известными в литературе решениями; корректным применением математических моделей неупругого расчета, обеспечивающих замкнутое решение в шаговом процессе на всех квазиупругих интервалах движения системы; получением известных классических результатов, вытекающих из общих соотношений в предельных частных случаях условий задачи.

Практическая ценность работы определяется следующими положениями.

1. Общее уравнение реакции системы - интеграл Дюамеля - обладает относительно простой математической формой записи, свойственной матричной формулировке задачи. Особенно простую и компактную форму имеют его частные представления (при ударе, импульсе, вибрационном воздействии и т. д.). Все вычислительные операции по данным формулам сводятся к элементарным действиям над матрицами. Поэтому данная методика временного анализа реакции ДДС может быть рекомендована проектным организациям и различным строительным фирмам. ' 'I

2. Получено решение важного в прикладном отношении класса динамических задач о колебаниях ДДС под действием периодических импульсов. Решение данного типа задач существующими подходами не представляется возможным из-за сложности учета внутреннего трения в конечномерных системах.

3. Открывается возможность получения двухсторонних априорных оценок норм матриц спектральных характеристик дискретной конструкции при неупругих колебаниях не только в процессе решения задачи, но и на этапе, предваряющем расчет. . .

4. Выведенный интеграл Дюамеля сам является инструментом анализа диссипативных систем, который можно использовать при получении соотношений взаимности, а также для построения различных практических методов расчета динамических конструкций в задачах строительной механики.

5. Разработаны расчетные алгоритмы и программы по решению МКУ, которые легко адаптируются к широкому спектру задач о свободных и вынужденных колебаниях ДДС. Данные алгоритмы могут быть реализованы как в различных приложениях строительной механики и теории упругости. Разработаны алгорит мы и прикладные программы по проведению временного анализа реакции каркасных многоэтажных зданий с линейной и нелинейной восстанавливающей силой при нестационарных воздействиях.

6. На основе разработанного метода временного анализа вычисленные значения параметров реакции системы в упругой и упругопластической стадии могут быть использованы при оценке погрешностей приближенных решений, полученных различными численными методами и алгоритмами.

7. Динамический анализ ДДС, проводимый с учетом физической нелинейности, легко распространяется на нелинейно-упругие задачи, что значительно расширяет класс нелинейных задач строительной механики, решаемых по методике временного анализа. При этом переход от одной схемы анализа к другой (к схеме нелинейно-упругого временного анализа) осуществляется с минимальными затратами, связанными с коррекцией математических моделей расчета.

Проведенные в работе исследования выполнены в соответствии с планом

I I госбюджетных научно-исследовательских работ, проводимых на кафедре строительной механики ЮУрГУ, по теме «Разработка теории и методов расчета деформируемых систем при нестационарных внешних воздействиях» (№ государственной регистрации 01.980 006125, наименование этапа: «Разработка теории, методов и программ расчета диссипативных систем при нестационарных статических и динамических воздействиях в упругой и упругопластической стадии», 1998 г.). С 1997 г. по 2000 г. работы проводились при финансовой поддержке Министерства образования РФ: грант по фундаментальным исследованиям в области архитектуры и строительных наук 1997-1998 гг. (тема проекта: «Решение некоторых задач строительной механики методом сведения к матричному квадратному уравнению»), грант по фундаментальным исследованиям в области архитектуры и строительных наук 1999-2000 гг. (тема проекта: «Использование интеграла Дюамеля в неупругом динамическом анализе конструкций»).

Диссертационная работа состоит из введения, восьми глав, заключения, списка литературы и четырех приложений.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

1. Проделанный временной анализ реакции трехэтажного здания на нестационарное воздействие типа взрыва подтверждает высокую эффективность предложенного подхода в практических задачах динамики сооружений.

2. Продемонстрирована возможность не только численной реализации сложной динамической задачи. Показано, что для данного класса физически нелинейных задач, который в настоящее время решается преимущественно численными методами, можно получать решение (в замкнутом виде) на основе временного анализа реакции сооружения. г

3. Рассмотренный пример иллюстрирует возможность проведения полноценного и многостороннего динамического анализа ДДС в задачах строительной механики с использованием как количественных, так и качественных оценок. Открывается возможность детального изучения поведения динамической системы и влияния на ее работу, практически, всех интересующих динамических параметров (характеристик жесткостей, собственных частот и коэффициентов демпфирования, перемещений и скоростей узлов конструкции, восстанавливающих и диссипативных сил и т. д.) в процессе упругопластического деформирования.

Заключение

В диссертационной работе предпринята попытка построения теории динамического анализа сооружений, аппроксимируемых дискретной расчетной схемой, при колебаниях которых учитываются внутреннее трение и физическая нелинейность материала.

Основу данной теории составляют три новых метода.

Первый метод представляет собой итерационный алгоритм по решению алгебраической проблемы квадратичного вида. Два других являются методами временного анализа соответственно упругих и упруго пластических ДДС при нестационарных воздействиях. Вывод разрешающих уравнений обоих методов тесно связан с анализом МКУ. Поэтому построение всех положений разрабатываемой теории проводится на основе единого математического подхода.

Метод решения МКУ занимает центральное место в проведенном цикле исследований. В сочетании с другими результатами анализа МКУ (включая спектральные свойства корней, матричные формулы Виета и др.) он образует теоретическую основу для создания математического аппарата по реализации методов динамического расчета диссипативных конструкций в задачах строительной механики. Однако метод решения МКУ имеет самостоятельную ценность. Сфера его приложения может быть расширена на решение ряда задач типа задачи Коши, краевых и начально-краевых задач (относящихся не только к области строительной механики и теории упругости), математическое описание которых аналогично структуре оператора уравнений движения ДДС.

Принципиальной стороной при выводе разрешающих уравнений обоих методов временного анализа является то, что уравнения реакции ДДС строятся в замкнутом виде через интеграл Дюамеля. Важно подчеркнуть, что определение решения достигается достаточно простыми и экономичными средствами, не связанными со спектральными разложениями решений. Вычисленная таким образом динамическая реакция сооружения может быть использована при оценке погрешности приближенных решений, полученных на основе численных методов расчета.

Применение разрабатываемого математического аппарата к анализу колебаний конструкций открывает хорошие перспективы не только для построения количественных оценок параметров динамической реакции ДДС, но и для получения качественных оценок работы. Обладая достаточно мощным потенциалом, данный аппарат может быть применен для создания качественных методов анализа диссипативных конструкций как с линейной, так и нелинейной восстанавливающей силой.

Развитие более совершенных методов расчета сложных динамических конструкций с учетом вязких и пластических свойств материалов расширяет возможности практического анализа и позволяет получить более достоверную информацию при оценке прочности динамических конструкций, что в целом повышает их надежность.

В работе получены следующие основные результаты.

1. Предложен новый аналитический подход к динамическому расчету ДДС на нестационарные воздействия в задачах строительной механики - метод временного анализа реакции ДДС, - базирующийся на разработанном методе анализа матричных уравнений линейного и квадратичного вида.

2. Исследованы свойства и структура решения МКУ, дан анализ вспомогательного матричного линейного уравнения и доказана обобщенная теорема Виета о сумме и произведении матричных корней; показано, что все решения МКУ структурированы в однотипные корневые пары (это понятие введено i i впервые); предложена итерационная схема определения корней, принадлежащих общей корневой паре; получено условие обобщенной ортогональности матрицы собственных векторов в спектральной задаче квадратичного вида.

3. В замкнутом виде построена полная система разрешающих матричных уравнений упругой ДДС (интеграл Дюамеля) при произвольном характере нагрузки и типе демпфирования. Впервые в структуре подынтегрального выражения интеграла Дюамеля содержится фундаментальная матрица соответствующего однородного дифференциального уравнения движения, построенная на основе решения МКУ.

4. Исследованы важные для приложений динамики сооружений частные случаи интеграла Дюамеля (удар, импульс, вибрационная нагрузка и др.). Впервые в замкнутом виде решена задача о колебаниях произвольной ДДС при действии периодических импульсов прямоугольной и синусоидальной формы. Во всех частных случаях уравнения реакции ДДС имеют простую математическую форму, удобную при реализации данной методики в динамических расчетах и проектировании строительных конструкций.

5. Сформулированы и доказаны теоремы состояний квазиупругой системы, устанавливающие необходимые и достаточные условия невырожденного и вырожденного состояний упругопластическоч конструкции в процессе ее реакции.

6. Проведен анализ частотного спектра и характера движения упругопластической конструкции по собственным формам в различных деформированных состояниях ДДС. Получены двухсторонние априорные оценки спектральных норм матриц коэффициентов демпфирования и собственных частот в отдельных состояниях квазиупругой системы.

7. Разработаны математические модели неупругого расчета ДДС при движении с диаграммой идеального упругопластического тела. Дано обобщение временного анализа реакции ДДС за пределом упругости. Впервые уравнение упругопластической реакции получено в нетривиальной матричной форме интеграла Дюамеля. I """"

8. Получено условие малой диссипации в виде априорной оценки верхней границы нормы приведенной матрицы демпфирования. 9. Предложены новые модели неоднородного типа демпфирования (в рамках линейной модели вязкого сопротивления). Показано, что все известные в i I литературе условия разделимости уравнения движения ДДС вытекают из общего условия, представляющим собой одно из разрешающих уравнений МКУ.

10. Получены соотношения обобщенной ортогональности собственных форм колебаний произвольной упругой ДДС; дана механическая трактовка соотношений ортогональности, являющихся следствием принципа Бетти, распространенного на область диссипативных систем.

11. Дано приложение уравнений реакции произвольной упругой ДДС к доказательству .теорем взаимности,, вследствие чего: расширена трактовка теорем взаимности и предложен общий, более простой, метод их доказательства.

12. При общих предпосылках динамической задачи впервые получена аналитическая зависимость между выражениями вектора динамической составляющей реакции упругой ДДС и вектора соответствующей статической составляющей; связь между векторами осуществляется посредством матричной функции, выражающей учет динамического эффекта от действия произвольной нагрузки.

13. Впервые для произвольной упругой ДДС и общем характере внешней нагрузки получены аналитические выражения матриц: динамических податли-востей и жесткостей, скоростей и импульсов; показана взаимообратимость матриц скоростей и импульсов.

14. Решены практические вопросы реализации разрешающих уравнений неупругих колебаний ДДС при действии кратковременной нагрузки большой интенсивности. Дано приложение рассматриваемых вопросов к анализу реакции ДДС при синусоидальном законе нагружения со сводкой уравнений полной динамической реакции ДДС в различных состояниях квазиупругой системы.

15. Разработаны матричные алгоритмы и программы по решению МКУ; разработаны алгоритмы и прикладные программы по выполнению временного анализа упругой и упругопластической реакции каркасных многоэтажных зданий с расчетной схемой плоского и пространственного типа на импульсные и вибрационные воздействия.

16. Проделанный временной анализ реакции трехэтажного каркасного здания как системы с 9 степенями свободы (в упругой постановке) и плоского трехэтажного каркаса (в неупругой постановке) на нестационарные воздействия < < < подтверждает высокую эффективность предложенного подхода.

Таким образом, в диссертации разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как обоснование и развитие нового научного направления динамики сооружений - теории временного анализа упругих и неупругих ДДС в динамических задачах строительной механики.

1. Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем М.: Наука, 1973- 432 с.

2. Агафонов С.А. Об асимптотической устойчивости неконсервативных систем // Изв. АН СССР. Механика твердого тела 1988, № 3.- С. 3-8.

3. Азаров В.Л., Лупичев Л.Н., Тавризов Г.А. Математические методы исследования сложных физических систем (линейные системы).- М.: Наука, 1975342 с.

4. Айнола Л.Я. К теореме взаимности для динамических задач теории упругости // Прикладная математика и механика -1967-Т. 31, Вып. 1.- С. 176-177.

5. Ананьин А.И. Простые и комбинированные модели для учета диссипацииэнергий при колебаниях//Известия вузов. Строительство-1998, № 8 С. 29-35.1.i

6. Ананьин А.И. К составлению и решению уравнений движения неконсервативных систем // Известия вузов. Строительство.-1-1999, № 5 С. 21-27.

7. Араманович И.Г., Гутер Р.С., Люстерник Л.А., Раухваргер И.П., Скана-ви М.И., Янпольский А.Р. Математический анализ. Дифференцирование и интегрирование.- М.: Физматгиз, 1961. 352 с.

8. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции- М.: Наука, 1974. 432 с.

9. И. Атаджанов Д.Р., Саркисян А.Г., Цейтлин А.И. Функция Грина стационарной динамической.задачи для вязкоупругой полуплоскости //.Прикладная математика и механика 1989, Т. 53, Вып. 5 - С. 781-786.

10. Атаев М. Аналитическое определение фазовой характеристики сооружения по результатам вибрационных испытаний // Динамика сооружений: Сб. статей под ред. проф. А. И. Цейтлина, Тр. ЦНИИСК им. Кучеренко М., 1975. Вып. 56.-С. 106-113.

11. Ахметханов Р.С., Банах Л.Я., Соколин Л.Построение расчетной модели минимального порядка для сложных колебательных систем // Машиноведение.-1987, № 3.-С. 87-94.

12. Аянян Э.М., Добровольский И.П., Кристеску Н., Мехтиев А.К., Тран Лиу Чионг, Шапиро Г. С. О движении упруго-зязко-пластической системы с одной степенью свободы // В кн.: Строительная механика- М.: Стройиздат, 1966,-С. 320-326.

13. Бабаков ИМ. Теория колебаний.- М.: Наука, 1968. 560 с.

14. Баженов В.Г., Кибец А.И. Численное моделирование трехмерных задач нестационарного деформирования упругопластичерких конструкций методом конечных элементов // Изв. АН СССР. Механика твердого тела.-1994, № 1.- С. 52-59.

15. Банах Л.Я. Энергетические и спектральные слабые связи в механических колебательных системах // Изв. АН СССР. Механика твердого тела 1988, №2.- С. 38-43.

16. Банах Л.Я., Перминов М.Д. Исследование сложных динамических систем с использованием слабых связей между подсистемами // Машиноведение — 1972, №4,-С. 3-9.

17. Банах Л.Я., Гаджиева Е.Г. Динамика регулярных и .квазирегулярных• «* • ■систем с поворотной симметрией // Машиноведение 1984, № 3 - С. 9-16.

18. Барштейн Н.Ф. Приложение вероятностных методов к расчету сооружений на сейсмические воздействия//Строит, механика и расчет сооружений-1960, №2.-С. 6-14.

19. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов- М.: Стройиздат, 1982 447 с.

20. Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения).- М.: Наука, 1973.- 632 с.

21. Безухое Н.И., Лужин О.В., Колкунов Н.В. Устойчивость и динамика сооружений в примерах и задачах М.: Высшая школа, 1987,- 264 с.

22. Беллман Р. Введение в теорию матриц.- М.: Наука, 1976.-352 с.

23. Бернштейн С.А. Основы динамики сооружений.- М.; Л.: Госстройиз-дат, 1938- 160 с.

24. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Высшая школа, 1991. 304 с.

25. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний М.: Высшая школа, 1980-408 с.

26. Бисплингхофф Р.Л., Эшли X., Халфман РЛ. Аэроупругость.- М.: ИЛ, 1958.-799 с. | I

27. Боднер С.Р., Саймондс П.С. Пластические деформации при ударном и импульсном нагружении балок // Периодический сб. переводов иностр.' статей: Механика, № 4, Вып. 68,- М.: ИЛ, 1961.- С. 79-91. 1

28. Болотин В.В. О плотности частот собственных колебаний тонких упругих оболочек // Прикладная математика и механика.- 1963.- Т. 27, Вып. 2- С. 362-364.

29. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем.- М.: Гос-техиздат, 1956,- 599 с.

30. Болотин В.В., Радин В.П., Чирков В.П. Упругопластический анализ несущих элементов зданий и сооружений при интенсивных динамических воздействиях // Известия вузов. Строительство 2002, № 6 - С. 4-9.' " *

31. Братусь А.С., Сейранян А.П. Бимодальные решения в задачах оптимизации собственных значений // Прикладная математика и механика.- 1983, Т. 47, Вып. 4,-С. 546-554.

32. Братусь А.С., Сейранян А.П. Достаточные условия экстремума в задачах оптимизации собственных значений // Изв. АН СССР. Прикладная математика и механика 1984, Т. 48, Вып. 4 - С. 657-667.

33. Булатович Р.М. Об устойчивости линейных потенциальных гироскопических систем в случаях, когда потенциальная энергия имеет максимум // Прикладная математика и механика.- 1997, Т. 61, Вып. 3 С. 385-389.

34. Булычев Г.Г., Пшеничное С.Г. Динамика многослойного линейно-упругого цилиндра при осесимметричной нагрузке // Строит, механика и расчет сооружений,- 1988, № 2.- Ь. 47-50. f

35. Булычев Г.Г., Пшеничное С.Г. Распространение упругих волн в слоистом цилиндре // Докл. АН СССР.- 1988, Т. 303, № 5 С. 1074-1078. ,i '

36. Бурман ЯЗ., Зархин Б.Я. Определение динамической реакции упругих*конструкций на основе разложения по собственным формам и векторам Лан-цоша // Изв. АН СССР. Механика твердого тела.- 1991, № 6 С. 122-131.

37. Васильков Г.В. О решении нелинейных динамических задач строительной механики шаговыми методами // Известия вузов. Строительство и архитектура.-1985, № 11.-С. 52-56.'

38. Васильков Г.В. Об устойчивости прямых методов решения физически нелинейных динамических задач строительной механики // Известия вузов. Строительство и архитектура 1986, № 10- С. 41-45.

39. Васильков Г.В. О прямых методах решения упругопластических задач динамики сооружений // Строит, механика и расчет сооружений 1987, № 4.-С. 35-39.

40. Васильков Г.В., Имедашвили Н.Г. Метод точечного сохранения инвариантов в решении нестационарных задачах механики // Известия вузов. Строительство.- 1997, № 4 С. 60-68.

41. Вибрации в технике: Справочник в 6-ти томах // Колебания линейных систем, М.: Машиностроение, 1978. Т.1.- 352 с.

42. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы: Избранные труды в 3-х томах, М.: Наука, 1964. Т. 3 472 с.

43. Вольфсон Б.П. Вопросы развития методов расчета зданий как пространственных систем (комплекс программ для ЭВМ М-220) // Исследование зданий как пространственных систем: Тр. ЦНИИСК им. Кучеренко, М.: Стройиздат, 1975. Вып. 49-С. 5-20.

44. Ворович И.И., Солоп С.А. О существовании периодических решений в нелинейной теории колебаний пологих оболочек с учетом затухания // Прикладная математика и механика 1976, Т. 40, Вып. 4 - С. 699-705.|

45. Вронская Е.С. Расчет призматических оболочек с распределенными параметрами при действии статической и динамической нагрузок: Автореф. дис. -Самара: СамГАСА, 2000 18 с. j

46. Галин М.П. Распространение упруго-пластических изгибно-сдвиговых волн//Изв. АН СССР, ОТН-Механика и машиностроение, № 2,1959 С. 88-99.

47. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц М.: Наука, 1966.-576 с.

48. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике.- М.: Наука, 1966.-300 с.

49. Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем М.; Л.: Гостехиздат, 1950.-359 с.

50. Гвоздев А.А. JC .расчету конструкций на действие взрьщной волны // Строительная промышленность, № 1-2 Стройиздат наркомстроя, 1943- С. 1821.

51. Гладкий В.Ф. Динамика конструкции летательного аппарата М.: Наука, 1969.-496 с.

52. Глазырин B.C. О применении антивибраторов и гасителей колебаний при импульсивных нагрузках // Исследования по динамике сооружений: Сб. статей под ред. проф. А. И. Цейтлина, Тр. ЦНИИСК им. Кучеренко М.: Стройиздат, 1974. Вып. 34-С. 135-149.

53. Глазырин B.C. Установившиеся колебания плиты, лежащей на упругом основании // Расчет пространственных систем: Тр. ЦНИИСК им. Кучеренко, М.: Стройиздат, 1976. Вып. 41- С. 25-30.

54. Гольденблат И.И. Экстремальные и вариационные принципы в теории сооружений // В кн.: «Строительная механика в СССР, 1917-1957».- М., 1957-с 265-279.

55. Гольденблат И.И., Николаенко Н.А. Расчет конструкций на действие сейсмических и импульсивных сил М.: Госстройиздат, 1961.-320 с.

56. Гончаренко В.И. О поведении линейных неконсервативных систем // Изв. АН СССР. Механика твердого тела 1991, № 4 - С. 44-47.

57. Горошко О.А., Савин Г.Н. Введение в механику деформируемых одномерных тел переменной длины Киев: Наук, думка, 1971 - 224 с.

58. Гребенюк Г.И., Роев В.И. О расчете диссипативных систем с частотно-независимым внутренним трением // Известия вузов. Строительство 2002, № 7.-С. 21-27. j

59. Ден-Гартог Дж.Л. Механические колебания,- М.: Физматгиз, 1960580 с.

60. Дикович И.Л. Динамика упругопластических балок.- Л.: Судпромгиз, 1962.-292 с. ' 1i »

61. Динамический расчет зданий и сооружений // М.Ф. Барпггейн,. В.А. Ильичев, Б.Г. Коренев и др.; Под ред. Б.Г. Коренева, И.М. Рабиновича: 2-е изд. перераб. и доп. М.: Стройиздат, 1984. - 303 с.

62. Динамический расчет сооружений на специальные воздействия // Справочник проектировщика-М.: Стройиздат, 1981. -216 с.

63. Динамический расчет специальных инженерных сооружений и конструкций // Ю.К. Амбриашвили, А.И. Ананьин, А.Г. Барченков и др.; Под ред. Б.Г. Коренева, А.Ф. Смирнова М.: Стройиздат, 1986. - 461 с.

64. Долгова И.М., Мельников Ю.А. Матрица Грина плоской задачи теории упругости для ортотропной полосы // Прикладная математика и механика-1989.-Т. 53, Вып. 1.-С. 102-106.

65. Дольберг М.Д, Яснищая Н.Н. Оценки снизу частот колебаний упругой системы. Обобщенные оценки Донкерлея-Папковича // Докл. АН СССР (ДАН СССР).-1973.-Т. 212, № 6,-С.; 1317-1319.1.I

66. Дуве П., Кларк Д., Боненблюст X. Поведение длинных балок при ударной нагрузке // Сборники переводов и обзоров иностр. период, литературы:

67. Механика, № 3,-М.: ИЛ, 1950.- С. 52-63. ' .1

68. Еленицкий Э.Я., Клюев АД. Расчет пологой сферической оболочки с конечной сд виговой жесткостью на вибрационные воздействия с учетом внутреннего трения // Известия вузов. Строительство -1996, № 9 С. 60-65.

69. Еленицкий Э.Я., Вронская Е.С. Нестационарная задача динамики для призматических систем с учетом внутреннего трения // Известия вузов. Строительство,- 1998, № 7. с. 25-33.

70. Ерхов М.И. Теория идеально пластических тел и конструкций М.: Наука, 1978.-352 с.

71. Ерхов М.И., Кондратов П.Л. Распространение поперечных волн в балке на упругом основании // Строит, механика и расчет сооружений 1983, № 2-С. 48-51.

72. Жарницют В.И Динамический изгиб шарнирно опертой балки с развивающейся зоной упругопластических деформаций // Строит, механика и расчет сооружений.- 1992, № 1- С. 36-42.

73. Журавлев В.Ф. Обобщение теоремы Релея на гироскопические системы // Прикладная математика и механика 1976.- Т. 40, Вып. 4 - С. 606-610.

74. Завриев К.С. Динамика сооружений,- М.: Трансжелдориздат, 1946. -288 с.

75. Зенкевич O.K. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975 — 541 с.

76. Игнатьев В.А. Расчет стержневых пластинок и оболочек. Метод дискретных конечных элементов Саратов: Изд. Сарат. ун-та, 1988.-160 с.

77. Игнатьев В.А. Редукционные методы расчета в статике и динамике пластинчатых систем.- Саратов: Изд. Сарат. ун-та, 1992.- 144 е.

78. Икрамов Х.Д. Об использовании базисов Шура при решении полиномиальных матричных уравнений // В кн.: Методы и алгоритмы в численном анализе- М.: МГУ, 1982 С. 127-130.

79. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. Ортогональные методы.- М.: Наука, 1984.-192 с. ^

80. ИльюшинА.А. Пластичность-М.: Гостехиздат, 1948 -376 с.

81. Иишинский А.Ю. Механика гироскопических систем М.: Изд. АН СССР, 1963.-482 с. • ~ ' '

82. Кандидов В.П., Капцов JI.H., Харламов А.А. Решение и анализ задач линейной теории колебаний.- М.: МГУ, 1976.-272 с.

83. Кейл А. Проблема пластичности корабельных конструкций при взрывном и ударном нагружении // Периодический сб. переводов иностр. статей: Механика, № 2, Вып. 66 М.: ИЛ, 1961.- С. 107-123.

84. Киселев В.А. Строительная механика // Специальный курс: Динамика и устойчивость сооружений М.: Стройиздат, 1980 - 616 с.

85. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений. М.: Стройиздат, 1979. -320 с.

86. Козлов В.И., Кучер Н.К. Динамическое поведение многослойных цилиндрических конструкций при нестационарных нагрузках // Проблемы прочности,- 1980, № 5.- С. 97-103.

87. Коллатц Л.-Задачи на собственные значения.- М.: Наука, 1968 503 с.

88. Колоушек В. Динамика строительных конструкций.- М.: Стройиздат, 1965.-632 с.

89. Конрой М. Пластически жесткий анализ особого класса задач о балках, подвергнутых действию поперечной динамической нагрузки // Сборникипереводов и обзоров иностр. периодич. литературы: Механика, № 1, Вып. 35.-М.:ИЛ, 1956,- С. 101-109.

90. Коренев Б.Г„ Пановко Я.Г. Динамический расчет сооружений // В кн.: «Строительная механика в СССР. 1917-1967.».- М.: Стройиздат, 1969 — С. 280328.

91. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров-М.: Наука, 1977 831 с.

92. Корчинский И.Л. Расчет строительных конструкций на вибрационную нагрузку- М.: Стройиздат, 1948 133 с.

93. Кохманюк С.С., Дмитриев А.С., Шелудько Г.А. и др. Динамика конструкций при воздействии кратковременных нагрузок Киев: Наук, думка, 1989304 с.

94. Крейг P.P., Бемптон М.К Сочленение конструкций при динамическом расчете конструкций // Ракетная техника и космонавтика -1968, № 1- С. 113-121.

95. Кренделл С. Роль демпфирования в теории колебаний // Период, сб. переводов иностр. статей: Механика,К» 5,Вып. 129-М.: Мир, 1971- С. 3-22.

96. Кругленко И.В. К расчету ортотропных плит на кратковременную нагрузку // Строительная механика сооружений: Межвуз. тематический сб. тр.- JI.: ЛИСИ, 1983,-С. 114-120. j

97. Крылов А.Н. Вибрация судов. Собрание трудов, Т. 10.- М.; Л.: Из^. АН СССР, 1948.-403 с.

98. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах. Собрание трудов, М.; Л.: Изд. АН СССР, 1949. Т. 3, Ч. 2.- 481 с.

99. Крылов А.Н. О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем. Избранные труды,- Л.: Изд. АН СССР, 1958.- 804 с.

100. Крысъко В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек.- Саратов: Изд. Сарат. ун-та, 1976- 216 с.

101. Крысъко В.А., Федорова А.Г. Задачи динамики для упругопластических гибких пологих оболочек // Прикладная механика.- 1979 Т. 15, №2.-С. 71-76.

102. Кублановская В.Н. К спектральной задаче для полиномиальных пучков матриц // Численные методы и вопросы организации вычислений.- Л.: Наука, Ленингр. отделение, 1978.- С. 83-97.

103. Кузнецов Э.Н. Соотношения взаимности для дифференциальных операторов теории упругости // Прикладная математика и механика 1967.- Т.31, Вып. 3.-С. 500-502.

104. Кузнецов Э.Н. Об одной модификации шагового метода последовательных нагружений // Вопросы расчета строительных конструкций: Сб. статей под ред. проф. А.Р. Ржаницына, Тр. ЦНИИСК им. Кучеренко М., 1972. Вып. 22.-С. 16-18.

105. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики,- М.; Л.: Гостехиздат, т. 1, 1951 476 с.

106. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики.- М.; Л.: Гостехиздат, т. 2, 1951 544 с.

107. КурошА.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1971 - 432 с. ;1.I

108. Кусаинов А.А. О моделях пропорционального и неоднородного демпфирования // Строит, механика и расчет сооружений.- 1987, № 2.- С. 73-75.

109. Кусаинов А.А., Келли Дж.М. Колебания многоэтажных зданий, описываемых частотно-зависимой многопараметрической вязкоупругой моделью // Строит, механика и расчет сооружений.- 1991, № 3 С. 27-34.

110. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.- М.: Гостехиздат, 1958 678 с.

111. Лазарев И.Б. Об одной схеме использования декомпозиции при оптимальном проектировании конструкций // Известия вузов. Строительство 1995," № 10,- С. 30-34.

112. Ланкастер П. Теория матриц- М.: Наука, 1978 280 с.

113. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа.- М.: Физмат-гиз, 1961.-524 с.

114. Ларионов Е.А. О принципах локализации частот и принципе полноты и двукратной полноты корневых функций в задачах линейной теории колебаний сплошных сред // Расчет строительных конструкций: Сб. статей под ред. д. т. н.

115. М.И. Ерхова, Тр. ЦНИИСК им. Кучеренко М.: Стройиздат, 1974. Вып. 36. -С. 11-20.

116. Лежнев Б.Г. К расчету упругих систем на действие случайных нагрузок //Исследования по динамике сооружений.-М.: Стройиздат, 1968, Вып. 16-С. 81-87.

117. Леонтьев Н.Н., Потапов А.Н, Очинский В.В. Об одном приеме решения некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений теории упругости // Исследования по теории сооружений.- М.: Стройиздат, 1987. Вып. 25.-С. 209-218.

118. Лисков А.И. Расчет инженерных конструкций на импульсную нагрузку // Строительная механика сооружений: Межвуз. тематический сб. тр.- Л.: ЛИСИ, 1980-С. 61-70.

119. Лиходед А.И. О сходимости метода разложения по собственным формам колебаний в задачах динамического нагружения // Изв. АН СССР. Механика твердого тела- 1986, № 1.-С. 180-188. :1.i

120. Лобовиков Д.А. Использование дискретной схемы при расчете заглубленной 'железобетонной цилиндрической оболочки'на динамические воздействия // Строительная механика сооружений: Межвуз. тематический сб. тр.- Л.: ЛИСИ, 1988.-С. 81-85.

121. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики, т. 2, Динамика.- М.: Наука, 1983.-640 с.

122. Лужин О.В. Определение частот собственных колебаний тонкостенных стержней замкнутого и открытого профиля // Исследования по теории сооружений-М.: Госстройиздат, 1959. Вып. 8-С. 27-36.

123. Лурье А.И. Операционное исчисление и его приложения к задачам механики.- М.; Л.: Гостехиздат, 1951.-431 с.

124. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения М.; Л.: Гостехиздат, 1950.-472 с.

125. Ляхович Л.С. Метод отделения критических сил и собственных частот упругих систем.-Томск. Изд. Томск, ун-та, 1970- 161 с.

126. Ляхович Л.С., Плахотин А.Н. Критерий оптимальности связей в задачах устойчивости и собственных колебаний упругих систем // Известия вузов. Строительство и архитектура 1986, № 7 - С. 26-29.

127. Магнус. К. Устойчивость линейной сисггемы в зависимости от вида действующих на нее сил // Периодический сб. переводов иностр. статей: Механика, № 5, Вып. 129.- М.: Мир, 1971.- С. 23-32.

128. Майборода В.П., Трояновский И.Е. Собственные колебания неоднородных вязкоупругих тел // Изв. АН СССР. Механика твердого тела-1983, №2.-С. 117-123.

129. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств- М.: Наука, 1972.-232 с.

130. Масленников A.M. Расчет систем на внезапно приложенную нагрузку //

131. Строительная механика сооружений: Межвуз: тематический сб. тр.- Д.: ЛИСИ,1982.-С. 73-77.1.I

132. Масленников A.M. Нестационарные колебания систем с конечным числом степеней свободы // Известия вузов. Строительство и архитектура.1983, №4.-С. 31-39.i

133. Масленников A.M. Расчет башен на импульсную нагрузку // Строит.механика и расчет сооружений- 1985, № 5- С. 36-39.

134. Масленников A.M. Расчет конструкций при нестационарных воздействиях-Л.: Изд. Ленингр. ун-та, 1991 164 с.

135. Метелицын И.И. Влияние изменения параметров линейных гироскопических систем на частоты колебаний и коэффициенты затухания // Докл. АН СССР. 1963, Т. 153, № 3,- С. 540-542.

136. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений // В.А. Постнов, С.А. Дмитриев, Б.К. Елтышев, А.А. Родионов. Под общей редакцией В.А. Постнова.-Л.: Судостроение, 1979 288 с. - •

137. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике — М.: Наука, 1970,-512 с.

138. Мокеев В.В. Исследование динамики конструкций с жидкостью и газом с помощью метода конечных элементов // Изв. АН. Механика твердоготела,- 1998, № 6.-С. 166-174.

139. Мокеев В.В., Павлюк Ю.С. Эффективная процедура решения задач о собственных значениях при исследованиях взаимодействия конструкция-жидкость на основе конечноэлементных моделей // Изв. АН. Механика твердого тела,- 1992, № 4,- С. 178-182.

140. Муравский Г.Б., ПоволоцкаяМ.Ф. К вопросу о действии подвижной нагрузки на деформируемые системы // Строит, механика и расчет сооружений.-1988, № 3,-С. 38-43.

141. Нашиф А., Джоунс Д., Хендерсон Дж. Демпфирование колебаний.-М.: Мир, 1988.-448 с.

142. Неверов В.В. Об одном варианте построения уравнений нелинейной динамики пологих оболочек // Механика деформируемых сред. Статика и динамика пластин и оболочек: Межвуз. науч. сб.- Саратов: Изд. Сарат. ун-та, 1982. Вып. 7,-С. 105-107.

143. Неустроев Э.Я. Колебания двухмассовой системы, вызванные произвольной нагрузкой // Строит, механика и расчет сооружений.- 1987, № 2.+-С. 63-65.

144. Ниграм С., Гровер Ж., Лал С. Коэффициент потерь свободно опертой прямоугольной пластинки переменной толщины // Ракетная техника и космонавтика: Журнал амер. инст. аэронавтики и астронавтики (AIAA Journal).- М.: Мир, 1975, Т. 13, №9,-С. 115-117.

145. Николаенко Н.А. Динамика и сейсмостойкость конструкций, несущих резервуары М.: Госстройиздат, 1963 - 156 с.

146. Николаенко Н.А., Назаров Ю.П. Динамика и сейсмостойкость сооружений- М.: Стройиздат, 1988 310 с.

147. Нудельман Я.Л. Методы определения собственных частот и критических сил для стержневых систем М.; JL: Гостехиздат, 1949 - 176 с.• 165. Овечкин A.M. Расчет железобетонных осесимметричных конструкций (оболочек).- М.: Госстройиздат, 1961.- 259 с.

148. Осетинский Ю.В., Веселев Ю.А., Штенкер X. и др. Рассеяние энергии при колебаниях трехслойной панели // Строит, механика и расчёт сооружений-1986, №1.-С. 54-57.

149. Очинский В.В. К вопросу о вариационном методе разделения переменгных в задачах изгиба тонких плит // Теория и методы расчета сооружений. Тр. ЦНИИСК.- 1974, Вып. 35.-С. 109-119.

150. Пальмов В.А. Колебание упругопластических тел.- М.: Наука, 1976328 с.

151. Панасюк JI.H. О построении явных безусловно устойчивых схем прямого интегрирования задачи динамики сооружений // Известия вузов. Строительство- 1995, № Ю.- С. 35-40.

152. Пановко Я.Г. Динамический расчет сооружений // В кн.: «Строительная механика в СССР. 1917-1957.».- М.: Стройиздат, 1957,-С. 197-232.

153. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем М.: Физматгиз, I960 - 196 с.

154. Папкович П.Ф. Труды по строительной механике, корабля. JI.: Суд-промгиз, 1963. Т. 4.-j 551 с. j

155. Пашков И.А. Об ортогональности собственных форм колебаний вязко-упругого тела // Изв. АН СССР. Механика твердого тела- 1989, № 4. -С. 104-111.

156. Пашков И.А., Трояновский И.Е. Метод разложений по собственным формам колебаний упругого тела с внутренним и внешним трением // Прикладная математика и механика.- 1991, Т. 55, Вып. 6 С. 972-981.

157. Петраков А.А. К вопросу о развитии шаговых методов в строительной механике // Исследования по строительной механике: Сб. статей под ред. проф. Г.К. Клейна, №. 135. Тр. МИСЙ им. В. В. Куйбышева М., 1975 - С. 104-109.'

158. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек Автореф. дис. докт. техн. наук, М.: 1970,- 15 с.

159. Петров В.В., Овчинников И.Г., Ярославский В.И. Расчет пластинок и оболочек из нелинейно-упругого материала-Саратов: СГУ, 1976 134 с.

160. Петросян Л.Г., Басилая В.М., Хаселев М.Е. Применение обобщенных конечных интегральных преобразований к динамическому расчету плит на упругом основании // Строит, механика и расчет сооружений 1987, № 5 - С. 51-56.

161. Пилипчук В.Н. К расчету механических систем с импульсным возбуждением // Прикладная математика и механика.- 1996.-Т. 60, Вып. 2.-С. 223-232.

162. Попов Н.Н., Расторгуев Б.С., Забегаев А.В. Расчет конструкций на динамические специальные нагрузки.- М.: Высшая школа, 1992 320 с.

163. Постное В.А. Методы решения частичной проблемы собственных значений в механике на основе использования теоремы Рауса // Изв. АН СССР. Механика твердого тела 1998, № 5 - С. 88-97.

164. Потапов А.Н. О построении решения матричного квадратного уравнения /СтПИ. Ставрополь, 1990.-9 е.-Деп. в ВИНИТИ 21.05.90, № 2191-В90.

165. Потапов А.Н. О решении одной задачи на собственные значения / Головной проектный ин-т гражд. стр-ва «Челябинскгражданпроект»: Челябинск, 1990 10 е.- Деп. в ВИНИТИ 24.04.90, № 2169-В90.

166. Потапов А.Н. Прием интегрирования однородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений теории упругости // Строительная механика, строит, мат-лы и конструкции, технология строит, пр-ва: Сб. докл. науч. конф-Ставрополь: СтПИ, 1991.-С. 43-51.

167. Потапов А.Н. Анализ свободных колебаний демпфированной системы // Циклические процессы в природе и обществе: Вторая Междунар. конф., 18-23 октября, 1994. Ставрополь: Изд-во Ставроп. ун-та, 1994. - С. 55-58.

168. Потапов А.Н. Матричное квадратное уравнение и его нормальные формы // Циклы природы и общества: Четвертая Междунар. конф Ставрополь: Изд-во Ставроп. ун-та, 1996. - С. 115-117.

169. Потапов А.Н. Метод решения матричного квадратного уравнения в задачах строительной механики // Строительные конструкции и расчет сооружений: Сб. тез. докл. науч.-техн. конф., 3-6 апреля, 1996.- Новосибирск: НГАС,1996. 4.1.-С. 74-75.

170. Потапов А.Н. О построении моделей неоднородного демпфирования // Реконструкция городов, отдельных зданий, сооружений и конструкций на Урале: Третьи уральские академические чтения.- Екатеринбург: УРО РААСН,1997. С. 111-116.

171. Потапов А.Н. Нормальные формы матрицы / ЧГТУ: Челябинск, 1997. -11с,- Деп. в ВИНИТИ 15.10.97, № 3059-В97.

172. Потапов А.Н. Математические модели неупругого расчета многоэтажных зданий на динамические кратковременные воздействия // Стройком-плекс: Информ. аналитический журнал. № 7-8, Челябинск, 1998. С. 35-40.

173. Потапов А.Н. Анализ внутренних динамических параметров конструкций при неупругих колебаниях // Известия вузов. Строительство. Новосибирск, 2000, № 6. - С. 31-37.

174. Потапов А.Н. Прямой метод интегрирования уравнений динамического равновесия в анализе колебаний дискретных диссипативных конструкций // Вестник ТГАСУ. Томск: ТГАСУ, 2000. № 2. - С. 92-109.

175. Потапов А.Н. Временной анализ неупругой реакции сооружения при действии кратковременной нагрузки // Строительство и образование: Сб. науч. тр. Вып. 4. Екатеринбург: УГТУ - УПИ, 2000. - С. 43-46.

176. Потапов А.Н. Обобщение интеграла Дюамеля при упругопластиче-ском анализе конструкций // Известия вузов. Строительство.- Новосибирск, 2001,№4.-С. 33-39.

177. Потапов А.Н. Соотношения взаимности в диссипативных системах // Известия вузов. Строительство-Новосибирск, 2001,№11- С. 33-38.

178. Потагов А.Н. Об ортогональности собственных ферм колебаний дискретных диссипативных систем // Вестник ЮУрГУ, серия «Строительство и архитектура». Вып. 1. Челябинск: ЮУрГУ, 2001. № 5 (05). - С. 39-42.

179. Потапов А.Н., Перескоков Р. Р. Анализ свободных колебаний ствола дымовой трубы // Строительство и образование: С61 науч. тр. Вып. 5. Екатеринбург: ГОУ УГТУ-УПИ, 2002. - С. 104-108.

180. Потапов А.Н. Динамический анализ дискретных диссипативных систем при нестационарных воздействиях. Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2003. -167 с.

181. Проценко A.M. Теория упруго-идеальнопластических систем. М.: Наука, 1982-288 с. j

182. Пшеничное Г.И. Метод декомпозиции решения уравнений и краевых задач // Докл. АН СССР.- 1985, Т. 282 , № 4.- С. 792-794,

183. Пшеничное С.Г. Аналитическое решение одномерных задач динамики кусочно-одаюродных вязкоупругих тел // Изв. АН СССР. Механика твердого тела.-1991, № 1.-С. 95-103.

184. Рабинович И.М. Курс строительной механики стержневых систем. Статически-неопределимые системы, Ч.2.- М.; JI: Гостехиздат, 1940.-392 с.

185. Рабинович И.М. К динамическому расчету за пределом упругости // Исследования по динамике сооружений.-М.: Госстройиздат, 1947.-С. 100-131.

186. Рабинович И.М., Синицын А.П., Лужин О.В., Теренин КМ. Расчет сооружений на импульсивные воздействия М.: Стройиздат, 1970- 304 с.

187. Рабинович И.М. Некоторые уроки из истории строительной механики // Строит, механика и расчет сооружений.- 1970, № 2 С. 17-23.

188. Рабинович И.М. Соотношения взаимности для нелинейно-упругих систем, вытекающие из условия консервативности // Исследования по теории сооружений- М.: Стройиздат, 1974, Вып. 20- С. 3-11.

189. Рассказовский В.Т. Основы физических методов определения сейсмических воздействий Ташкент: ФАН УзССР, 1973.- 159 с.

190. Расторгуев Б.С. К вопросу об определении зависимостей для дисси-пативных сил в уравнениях колебаний // Строит, механика и расчет сооружений,- 1983, № в.- С. 41-45.

191. Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел- М.: Наука, т.1, 1983464 с.

192. Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел М.: Наука, т.2, 1983544 с.

193. Резников JI.M. Об учете внутреннего неупругого сопротивления при исследовании случайных колебаний конструкций // Строит, механика и расчет сооружений-1974,№4 -С. 48-53.

194. Резников JI.M. Эквивалентная модель многомассовой системы с вязким и частотно-независимым трением // Строит, механика и расчет сооружений .-1979, №4,-С. 44-48.

195. Резников JI.M. Сравнение некоторых способов учета частотно-независимого внутреннего трения // Строит, механика и расчет сооружений .1982, №1.-С. 54-59.I

196. Ржаницын А.Р. К вопросу о движении упругопластических балок и пластинок, нагруженных за пределом их несущей способности // Исследование по вопросам пластичности и прочности строительных конструкций.- М.: Гос-стройиздат, 1958. С. 59-61.

197. Ржаницын А.Р. Экстремальное свойство формы движения жесткопла-стической системы // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1959, №2.-С. 163-165.

198. Рубин С. Уточненное представление форм колебаний элементов для динамических расчетов конструкций // Ракетная техника и космонавтика: Журнал амер. инст. аэронавтики и астронавтики (AIAA Journal).- М.: Мир, 1975 Т. 13, №8,-С. 34-50.

199. Рэлей. Теория звука. М.; Л.: Гостехиздат, Т.1,1940 - 500 с.

200. Сабодаш П.Ф. Распределение продольных вязкоупругих волн в трехслойной среде // Механика полимеров 1971, № 1.- С. 151-156.

201. Савин Г.Н. Механика деформируемых тел: Избранные труды Киев: Наук, думка, 1979.-466 с.

202. Саймондс П. Большие пластические деформации стержней под действием нагрузки взрывного типа // Сборники переводов и обзоров иностр. период, литературы: Механика,№4,Вып. 38-М.: ИЛ, 1956.-С. 90-108.

203. Сапунов Б.Г. Об оценках остаточного перемещения при импульсном нагружении жестко-пластического тела // Механика стержневых систем и сплошных сред: Сб. тр. ЛИСИ, Л.: ЛИСИ, 1970. Вып. № 63,- С. 73-77.

204. Сейлер Д., Коттер Б., Саймондс П. Импульсивное нагружение упру-гопластических балок // Сборники переводов и обзоров иностр. период, литературы: Механика, №4,Вып. 44-М.: ИЛ, 1957-С. 101-114.

205. Сейранян А.И, Шаронюк А.В. Анализ чувствительности частот колебаний механических систем // Изб. АН СССР. Механика твердого тела. — 1987, №2.-С. 37-41. 1

206. Селезнев ИТ.1, Сорокина В.В., Цыганов Н.К., Яковлев В.В. Динамика незамкнутой сферической оболочки при импульсном возбуждении // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1978, № 2.- С. 145-149.

207. Сеницкий Ю.Э. Удар вязкоупругого тела по пологой сферической оболочке // Изв. АН СССР. Механика твердого тела 1982, № 2- С. 138-143.

208. Сеницкий Ю.Э., Стулова Н.Я. Колебания упруго защемленной прямоугольной пластины под слоем жидкости // Тр. XVIII Междунар. конф. по теорииоболочек и пластин.- Саратов, 1997, Т. 1- С. 106-117.

209. Синицын А.П. Динамические поверхности влияния для системы с несколькими степенями свободы // Исследования по теории сооружений М.: Стройиздат, 1957. Вып. 7.- С. 121-134.

210. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений.- М.: Трансжел-дориздат, 1958. 572 с.

211. Смирнов А.Ф. К определению больших прогибов прямоугольной пластинки переменной толщины // Строительная механика: Сб. статей под ред. проф. А.Ф. Смирнова, Тр. МИИТ М.: Стройиздат, 1968. Вып. 274- С. 5-11.

212. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений М.: Стройиздат, 1984-616 с. | |

213. Смирнов В.И. Курс высшей математики М.: Наука, т. 2,1974- 656 с.

214. Снитко Н.К. Динамика сооружений- Л.; М.: Госстройиздат, I960.— 356 с. 1 1

215. Снитко Н.К. 'Общее решение задачи о периодических повторных ударах // Исследования по теории сооружений.- М.: Стройиздат, 1954. Вып. 6-С. 45-54.

216. Солоп С.А. О существовании периодических решений в нелинейной теории колебаний непологих оболочек вращения Рейссснера с учетом затухания // Изв. АН СССР. Прикладная математика и механика 1980.- Т. 44. Вып. 1С. 68-73.

217. Сорокин Е.С. Динамический расчет несущих конструкций зданий-М.: Госстройиздат, 1956.-340 с. • .

218. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем.-М.: Госстройиздат, I960 132 с.

219. Сорокин Е.С. Частотно-независимое внутреннее трение в материалах и гипотеза Фойхта // Строит, механика и расчет сооружений 1976, № 2. - С. 68-73.

220. Сорокин Е.С. О погрешностях общеизвестного метода теории колебаний диссипативных систем в применении к неоднородному демпфированию // Строит, механика и расчет сооружений .- 1984, № 2. С. 29-34.

221. Справочник по динамике сооружений // Под ред. Б.Г. Коренева,

222. И.М. Рабиновича-М.: Стройиздат, 1972. 512.

223. Теренин Б.М. Динамический расчет цилиндрических сводов // Исследования по теории сооружений М.: Стройиздат, 1960. Вып. 9.- С. 119-147.

224. Тимошенко С.П. Теория колебаний в инженерном деле.- М.; JL: Гос-техиздат, 1932.-344 с.

225. Томпсон В. Поведение балок при ударе в упругой и пластических областях // Сборники переводов и обзоров иностр. период, литературы: Механика, № 1, Вып. 35.- М.: ИЛ, 1956.- С. 110-123.

226. Трухан Н.М. Вынужденные колебания механических систем при учете сухого трения//Изв. АН СССР. Механика твердоготела.-1982, № 1.-С. 50-55.

227. ТупикияА.И. Исследование свободных колебаний оболочки градирни методом конечных элементов // Динамика сооружений: Сб. статей под ред. проф. А. И. Цейтлина, Тр. ЦНИИСК им. Кучеренко- М.: Стройиздат, 1975. Вып. 43.-С. 28-46.

228. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений-М.: Наука, 1970-564с.

229. Уилкинсон Дж.Х., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра М.: Машиностроение, 1976.-392 с.

230. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры- М.; Л.: Физматгиз, 1963.- 736 с.

231. Фунайоли Е. Вынужденные колебания с вязким и кулоновым трением // Сборники переводов и обзоров иностр. период, литературы: Механика, № 4, Вып. 38.-М.: ИЛ, 1956.-С. 145-155.

232. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи М.: Мир, 1990.- 512 с.

233. Халфман P.JI. Динамика М.: Наука, 1972 - 568 с.

234. Харрис С.М., Крид Ч.И. Справочник по ударным нагрузкам- Л.: Судостроение, 1980.-360 с.

235. Хеш А., Уоррен Л. Метод подконструкций в программе общего назначения для динамического расчета конструкций // Конструирование и технология машиностроения: Тр. амер. общества инженеров-механиков, № 1, Т. 107, 1985.-С. 1-13.

236. Хинц Р. Аналитические методы синтеза форм колебаний конструкций // Ракетная техника и космонавтика: Журнал амер. инст. аэронавтики и астронавтики (AIAA Journal).- М.: Мир, 1975, Т. 13, № 8 С. 50-63.

237. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Мир, 1979.- 312 с.

238. Хорн Р.А., Джонсон Ч. Матричный анализ М.: Мир, 1989.- 656 с.

239. Цейтлин А.И. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем // Строит, механика и расчет сооружений 1975, № 2. - С. 51-56.

240. Цейтлин А.И. Метод разложения по формам собственных колебаний в расчетах диссипативных систем // Динамика осн. фунд. и подз. coop.: Мат. IV Всесоюз. конф. Кн.1.- Ташкент, 1977. С. 290-293.

241. Цейтлин А.И. О линейных моделях частотно-независимого внутреннего трения // Изв. АН СССР. Механика твердого тела-1978, № 3. С. 18-23.

242. Цейтлин А.И. Прикладные методы решения краевых задач строительной механики М.: Стройиздат, 1984. - 336 с.

243. Цейтлин А.И, Кусаинов А.А. Методы учета внутреннего трения в динамических расчетах конструкций- Алма-Ата: Изд. Наука Казахской ССР, 1987.-240 с.

244. Чернов Ю. Т. Исследование нелинейных систем при кратковременных динамических воздействиях // Строит, механика и расчет сооружений- 1982, №3.-С. 35-40.

245. Чирас АЛ. Строительная механика. Теория и алгоритмы М.: Стройиздат, 1989. - 256 с.

246. Чудинов Ю.Н. Динамический расчет цилиндрических оболочек Г. Строительная механика сооружений: Межвуз. тематический сб. тр.- Л.: ЛИСИ, 1988.-С. 77-80.

247. Чудновский В.Г. Методы расчета колебаний и устойчивости стержневых систем Киев: АН Укр. ССР, 1952. - 416 с.

248. Шапошников Н.Н., Кашаев С.К., Белозерская О.В. Развитие методов численного интегрирования уравнений движения динамических систем // Известия вузов. Строительство.- Новосибирск, 1997, № 7 С. 89-93.

249. Шипилов А.Г. Отклик башен-градирен на динамическое воздействие // Строительная механика сооружений: Межвуз. тематический сб. тр.- Л.: ЛИСИ, 1981.-С. 136-146.

250. Эльсголъц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.- М.: Наука, 1969. 424 с.

251. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения М.: Наука, 1972.-718 с. ' '

252. Anderson G.L., Thomas C.R. A forced vibration problem involving time derivatives in the boundary conditions // J. Sound and Vibr 1971, V. 14, № 2 - P. 193-214.

253. Bartels R.H., Stewart G.W. Solution of the matrix equation AX+ XB = С // Commun. ACM, 15,1972 P. 820-826

254. Beavers A.N., Denman E.D. A new solution method for the Lyapunov matrix equation // SIAM J. Appl. Math 1975, 29 - P. 416-421.

255. Belanger P.R, Mc Gillvray T.P. Computational experience with the solution of the matrix Lyapunov equation // IEEE Trans. Automat. Contr 1976,21.- P. 799-800.

256. Caughey Т.К. Classical Normal Modes in Damped Linear Dynamic Sistems //ASME.- 1960, E27, № 2 — P. 269-271.

257. Caughey Т.К., О' Kelly M.E.I. Classical Normal Modes in Damped Linear Dynamic Sistems //ASME 1963, V. 32, № 3 - P. 583-588.

258. Coppel W.A. Matrix quadratic equations // Bull. Austral. Math.Soc 1974, V. 10.-P.377-401.

259. Dadeppo D.A. Damping in Discrete Linear Elastic Sistems // Engng Mech. Div., ASCE.- 1963, V. 89, № EM2, Part 1. P. 13-18.

260. Davis G.J. Numerical solution of a quadratic matrix equation//SIAM J. Sci. Stat. Сотр.- 1981, 2, № 2 P. 164-175.

261. Dennis J.E., Traub J.F., Weber R.P. Algorithms for solvents of matrix polynomials// SLAM J. Numer. Anal 15, 1978 .- P. 523-533.

262. Dooren P. van. A generalized eigenvalue approach for solving Riccati equation // SIAM J. Sci. Stat. Сотр.- 1981,2 P. 121-135.

263. Dubois J. J., de Rouvray A.L. An improved fluid superelement for the coupled Solid-fluid-surface wave dynamic interaction problem I I Earthquake Eng. Struct. Dynam.- 1978, V. 6, № 3 P. 235-245.

264. Emami-Naeini A., Franklin G.F. Design of steady state quadratic - loss optimal digital controls for sistems with a singular system matrix // Proceedings 13th Asilomar Conference on Circ. Syst. & Сотр.- 1979 - P. 370-374. j

265. Emami-Naeini A., Franklin G.F. Comments on "On the numerical solution of the discrete-time algebraic Riccati equation"// IEEE Trans. Automat. Contr.- 1980, 25, №5- P. 1015-1016. I I

266. Enright W.H. Improving the efficiency of matrix operations in the numerical solution of stiff ordinary differential equation // ACM Trans/Math. Software.- 1978, 4, №2-P. 127-136.

267. Epton M.A. Method for the solution of AXD BXC = E and its application in the numerical solution of implicit ordinary differential equations // BIT - 1980, 20-P. 341-345.

268. Foss K.A. Coordinates Which Uncouple the Equations of Motion of Damped Linear Dynamic Systems// ASME, Journal of Applied Mechanics 1958, V. 25.-P. 361-364. . . . .

269. Golub G.H.,.Nash S., Van Loan C. A Hessenberg Schur method for the problem AX+ XB = C И IEEE Trans. Automat. Contr - 1979, 24, № 6 - P. 909-913.

270. HaganderP. Numerical solution of ЛТ5 + SA + Q = 0 // Inform. Sci 1972, 4-P. 35-40.

271. Hoskins W.D., Meek D.S., Walton D.J. The numerical solution of the matrix (<9 equationX4 + AY= Fll BIT 1977, 17.- P. 184-190.

272. Kahan W. A servey of error analysis // In: proc. IFIP Congr. Amsterdam. North-Holland-1971-P. 1214-1239.1. T*

273. Kitagawa G. An algorithm for solving the matrix equation X = FXF + SII-Int. J. Control.- 1977,25, N° 5- P. 745-753. .

274. Kleinman D.L. On an iterative technique for Riccati equation computations //IEEETrans. Automat. Contr.- 1968, 13.-P. 114-115.

275. Ф 312. Laub A.J. A Schur method for solving algebraic Riccati equation // IEEE

276. Trans. Automat. Contr- 1979,24,№ 6 -P. 913-921.

277. Moler C.B., Stewart G.W. An algorithm for generalized matrix eigenvalue problems // SIAM J. Numer. Anal.- 1973,10 P.241-256.

278. Nicholson D.W. A Note on Vibration of Damped Linear Systems 11 Mech. Res. Commun- 1978, V. 5, № 2 P. 79-83.

279. Pappas Т., Laub A.J., Sandell N.R. On the numerical solution of the ® discrete-time algebraic Riccati equation // EEEE Trans. Automat. Contr 1980, 25, №8,-P. 631-641. 1 '

280. Parlett B.N. Globalconvergence of the basic (^-algorithm on Hessenberg matrices // Math. Сотр.- 1968,22 P. 803-817. ,

281. Pedersen P., Seyranian A.P. Sensitivity analysis for problems of dynamic stability // Intern. J. Solids and Struct 1983, V. 19, № 4 - P. 315-335.

282. Rothshild D., Jameson A. Comparison of four numerical algorithms for solving the Lyapunov matrix equations // Int. J. Control 1970, 11 - P. 181-198.

283. Ф 319. Sandell N.R. On Newton's method for Riccati equation solution // IEEE

284. Trans. Automat. Contr- 1974,19 P. 254-255.

285. Snyders J., ZakaiM. On nonnegative solutions of the equation AD + DA' = -C//SIAMJ. Appl. Math- 1970,18-P. 703-714. . .

286. Ward R.C. The combination shift QZ-algorithm // SIAM J. Numer.-Anal-1975, 12,№6- P. 835-853.

287. Watter W.W. The forced motion of a non-conservatively loaded elastic system.// J. Sound and Vibr 1971, V. 18, № 3.- P. 297-310.