автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Временной анализ реакции каркасных многоэтажных зданий при горизонтальных импульсных воздействиях

На правах рукописи

АРТЕМЬЕВА ЛЮБОВЬ МИХАЙЛОВНА

ВРЕМЕННОЙ АНАЛИЗ РЕАКЦИИ КАРКАСНЫХ МНОГОЭТАЖНЫХ ЗДАНИЙ ПРИ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

05.23.17 - строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

□034"70845

Томск-2009

003470845

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор технических наук, доцент Потапов Александр Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Люкшин Борис Александрович

кандидат технических наук, профессор Тухфатуллин Борис Ахатович

ООО ПТИ «Спецжелезобетонпроект» (г. Челябинск)

Защита состоится 26 июня 2009 года в 14-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.265.01 при Томском государственном архитектурно-строительном университете по адресу: 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2, корпус 5, аудитория 307.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Томского государственного архитектурно-строительного университета.

Автореферат разослан 21 мая 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета /Л КопаницаН.О.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современный уровень развития вычислительной техники позволяет инженеру создавать сотни виртуальных моделей одного и того же сооружения на разных стадиях его возведения и эксплуатации. Накопленные знания о моделях поведения различных материалов дают возможность заменить лабораторные или натурные эксперименты, требующие значительных материальных и временных ресурсов, исследованием математических моделей. Такой анализ дает представление о напряженно-деформированном состоянии конструкций и помогает оптимально использовать возможности современных материалов. Таким образом, развитие методов математического моделирования конструкций является важным аспектом современной строительной науки.

В настоящее время широко развивается многоэтажное строительство. В современном мире здания высотой 50... 100 м - повсеместное явление. Одной из распространенных конструктивных схем для высотных зданий является рамно-каркасная система, которая образуется совокупностью вертикальных (колонны) и горизонтальных (перекрытия) несущих элементов.

Несущие конструкции здания воспринимают два вида нагрузок: вертикальные (гравитационные) и горизонтальные (ветровые, сейсмические), причем с ростом высоты здания горизонтальные нагрузки увеличиваются. В большинстве случаев вертикальные нагрузки являются статическими. Горизонтальные же, напротив, имеют ярко выраженный динамический характер. Среди множества динамических воздействий на здания необходимо выделить класс нагрузок, нередко приводящих к нестационарным процессам, таких как удары, импульсы, кратковременные нагрузки, различные их комбинации в виде групповых воздействий. Для оценки реальной работы конструкций необходим учет внутреннего трения и нелинейных свойств материала конструкций.

Обзор методов расчета динамических систем показывает, что наиболее полный и многосторонний динамический анализ возможен в том случае, когда к решению задачи привлекается анализ характеристического матричного квадратного уравнения. Использование в динамическом расчете дискретной диссипативной системы выявленных свойств соотношений матричного квадратного уравнения позволяет вычислять как в упругую, так и нелинейную реакцию системы при общих предпосылках динамической задачи.

Работа выполнена в рамках тематического плана научно-исследовательских работ ГОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет».

Объектом исследования является многоэтажное каркасное здание. Предмет исследования - влияние параметров горизонтальных динамических нагрузок на напряженно-деформированное состояние несущих элементов каркаса.

Целью диссертационной работы является развитие аналитического метода расчета каркасных многоэтажных зданий на горизонтальную импульсную нагрузку.

Для достижения цели решались следующие задачи.

1. Разработка расчетной динамической модели, достаточно адекватно отражающей реальную работу каркасного многоэтажного здания при действии динамических горизонтальных нагрузок.

2. Исследование динамической реакции дискретной упругой системы с учетом внутреннего трения при действии треугольных импульсов в различных сочетаниях, включая периодический характер воздействия.

3. Построение математических моделей нелинейно-упругого расчета многоэтажного каркаса с диаграммой деформирования конструктивного элемента «восстанавливающая сила - относительное перемещение» в виде кусочно-линейной функции.

4. Построение расчетной схемы временного анализа каркасных многоэтажных зданий с нелинейно-упругой восстанавливающей силой при нестационарных нагружениях.

5. Разработка аппарата технической реализации разрешающих уравнений вынужденных колебаний многоэтажного каркасного здания при нелинейно-упругом временном анализе.

Методы исследования. Для исследования задачи колебаний каркасных многоэтажных зданий использован метод временного анализа, основанный на анализе матричного квадратного уравнения, который при общих предпосылках динамической задачи позволяет получить уравнение реакции упругой дискретной диссипативной системы в матричной форме интеграла Дюа-меля, имеющей замкнутый вид.

Достоверность результатов исследования обеспечена использованием в диссертации фундаментальных принципов строительной механики совместно с методами высшей математики и матричной алгебры; замкнутой формой выведенного интеграла Дюамеля при упругих колебаниях дискретной диссипативной системы; сравнением с известными решениями аналогичных задач, полученными другими методами; корректным применением математических моделей неупругого расчета, обеспечивающих замкнутое решение в шаговом процессе на всех квазилинейных интервалах движения системы.

Научная новизна диссертации состоит в следующем:

- исследованы важные для приложений динамики сооружений частные случаи интеграла Дюамеля при действии треугольных импульсов с различными параметрами нагружения;

- в аналитическом виде получено уравнение реакции упругой дискретной диссипативной системы, описывающей многоэтажное каркасное здание, при действии горизонтальных периодических треугольных импульсов;

- разработаны математические модели нелинейно-упругого расчета многоэтажного каркасного здания на основе диаграммы деформирования

конструктивного элемента «восстанавливающая сила — относительное перемещение» в виде кусочно-линейной зависимости;

- построена расчетная схема временного анализа многоэтажного каркаса с нелинейно-упругой восстанавливающей силой при нестационарном процессе;

- разработаны алгоритмы определения критических временных точек при переходе модели каркаса из одного квазилинейного состояния в другое и создан программный комплекс по нелинейному временному анализу многоэтажных каркасов при динамических нагрузках, получивший свидетельство о государственной регистрации.

Практическая ценность исследования и реализация его результатов. Разработанные математические модели расчета дискретной диссипа-тивной системы позволяют в замкнутом виде получать реакцию системы на динамическую нагрузку (одиночные и периодические импульсы треугольной формы) в линейной и нелинейно-упругой стадии работы материала конструкций. Аналитическая форма полученных уравнений реакции позволяет выполнять количественный и качественный анализ напряженно-деформированного состояния дискретной диссипативной системы при варьировании внутренних и внешних параметров, значительно снизив затраты компьютерного времени по сравнению с численными (итерационными) методами. В результате работы создан вычислительный комплекс «АРПО», предназначенный для расчета каркасных многоэтажных зданий с учетом внутреннего трения материала при сложном характере нагружений, моделирующих действие ветровых, сейсмических и взрывных нагрузок. Значения параметров реакции системы, вычисленные на основе данной методики в упругой и нелинейно-упругой постановке, могут быть использованы при оценке погрешностей приближенных решений, полученных различными численными методами.

Результаты исследований в области расчетов многоэтажных каркасных зданий на динамические воздействия использованы при подготовке лекций по разделу «Динамика и устойчивость зданий и сооружений» курса «Сопротивление материалов» на кафедре «Строительная механика» ГОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет».

Вычислительный комплекс «АРПО» использовался в ООО Проектном бюро «Фридом проект» (г. Челябинск) при расчетах и проектировании многоэтажных каркасных зданий.

На защиту выносятся:

- уравнения реакции упругой дискретной диссипативной системы, моделирующей каркасное многоэтажное здание, при действии горизонтальных импульсов треугольной формы в различных сочетаниях;

- математические модели нелинейно-упругого расчета многоэтажного каркасного здания на основе диаграммы деформирования произвольного конструктивного элемента «восстанавливающая сила - относительное перемещение» в виде кусочно-линейной зависимости;

- расчетная схема временного анализа многоэтажного каркаса с нелинейно-упругой восстанавливающей силой при нестационарном процессе;

- алгоритмы определения критических временных точек при переходе модели каркаса из одного квазилинейного состояния в другое;

- программные комплексы по нелинейному временному анализу многоэтажных каркасов при динамических нагрузках.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:

- на 56...60-й научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава и аспирантов ЮУрГУ (г. Челябинск, 2004...2008 г.)

- на научно-технических конференциях НГАСУ (г. Новосибирск, 2006 г.; г. Новосибирск, 2008 г.);

- на Международном симпозиуме «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (г. Пермь, 2008 г.);

- на семинаре кафедры «Строительная механика» ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет — УПИ» (г. Екатеринбург, 2009 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ, в том числе 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов кандидатских диссертаций.

Личный вклад автора состоит в построении модели внешней нагрузки, получении уравнений реакции дискретной системы при действии импульсов треугольной формы, создании программного комплекса для временного анализа каркасов при динамических воздействиях.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 140 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 130 наименований, и двух приложений. В работе приведены 54 рисунка и 6 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается ее общая характеристика, формулируются основные цели и задачи исследования, обсуждается достоверность, научная новизна и практическая ценность результатов работы. Здесь же приводится краткий обзор существующих методов решения задачи.

Большой вклад в развитие динамических методов расчета конструкций внесли российские и зарубежные ученые: С.А. Бернштейн, В.В. Болотин, И.Г. Бубнов, Б.Г. Галеркин, И.И. Гольденблат, А.Ю. Ишлинский, В.А. Киселев, Б.Г. Коренев, И.Л. Корчинский, А.И. Лурье, Л.С. Ляхович, A.M. Масленников, H.A. Николаенко, Я.Г. Пановко, В.В. Петров, H.H. Попов, И.М. Рабинович, Б.С. Расторгуев, Ю.Э. Сеницкий, А.Ф. Смирнов, Е.С. Сорокин, С.П. Тимошенко, А.П. Филиппов, А.И. Цейтлин, К. Бате, Е. Вилсон, Р. Клаф, Д.Ж. Пензиен, Дж.У. Рэлей, Р.Л. Халфман и др.

Учет внутреннего трения в динамическом анализе осуществляли А.И. Ананьин, Г.И. Гребенюк, A.A. Кусаинов, Э.Я Неустроев, JI.M. Резников, Е.С. Сорокин, А.П. Филиппов, А.И. Цейтлин, Д.А. Дадеппо, Т.К. Кафи, С. Кренделл, С. Соррентино и многие другие.

Большинство существующих методов решения динамических задач несколько упрощают параметры расчетной динамической модели, соответствующей реальной задаче. Основные ограничения состоят в следующем. В первую очередь, упрощения расчета связаны с выбором типа демпфирования: как правило, выбирается тип внутреннего трения, соответствующий модели однородного демпфирования, либо вообще проводится анализ консервативной системы. Во-вторых, ограничение относится к выбору числа степеней свободы и расположению масс в системе, часто размерами масс пренебрегают. В-третьих, упрощения связаны с моделированием внешних воздействий: исследуется реакция системы на одиночный импульс, как правило, мгновенный, рассмотрение более сложных загружений (группы импульсов) обычно изучается для одной степени свободы. В-четвертых, упрощения касаются модели поведения материала конструкций: не учитываются нелинейно-упругие или пластические свойства.

Одним из эффективных аналитических методов решения задачи, развивающимся в последние десятилетия, является метод временного анализа дискретных диссипативных систем, основанный на использовании свойств соотношений характеристического матричного квадратного уравнения, разработанный профессором А.Н.Потаповым. Этот метод позволяет получить уравнение реакции упругой дискретной диссипативной системы в нетривиальной матричной форме интеграла Дюамеля, имеющей замкнутый вид, при общих предпосылках динамической задачи.

В первой главе «Обзор по анализу упругой реакции диссипативной системы» приведены основные положения метода временного анализа по построению реакции дискретной системы со сложными условиями демпфирования.

Уравнение движения упругой дискретной системы с внутренним трением, учитываемым на основе линейной модели вязкого сопротивления:

MY(t) + CY(t)+KY(t) = P{t), (1)

где М= diag(/ni, ..., т„), С= Ст = [_су\,К = КТ = [r.j] е M„(R) (i,j = 1,..., п) -положительно определенные матрицы инерции, демпфирования и жесткости соответственно; Y(t) = \y,(t)], P(t) = [pj(t)] e M„f\{R) (; = 1, ..., n) - векторы искомых перемещений и заданных внешних воздействий соответственно. Внешнее воздействие может быть произвольным: кратковременная, длительная, периодическая нагрузка.

Согласно методу вариации произвольных постоянных Лагранжа частное решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) 1 определяется в виде

Y0) = Rc[O(t)A(t)], (2)

где А(1) - вектор произвольных постоянных, зависящий от начальных условий интегрирования; Ф(/) = е" — фундаментальная матрица однородного ОДУ, соответствующего неоднородному ОДУ 1; 5- матрица внутренних характеристик системы, полученная из решения характеристического матричного квадратного уравнения

Л/52+С5 + Л: = 0. (3)

В результате решения уравнения 1 получаем выражение перемещений узлов системы

У(0 = 211е[Г0(') + Г'(0]> Г(0 = Ф('-О{Г'Л*№ + У0], У'(о = {/,}ф(/-т)тР(т)с1т, (4)

<о

являющееся наиболее общей матричной формой записи интеграла Дюамеля для диссипативной системы с внутренним трением материала, учитываемым на основе линейной теории вязкого сопротивления. Первый член уравнения определяет реакцию системы при свободных колебаниях, второй - при вынужденных колебаниях. Векторы У0, У0 содержат значения перемещений и скоростей узлов системы в начальный момент времени /0 рассматриваемого интервала.

Дифференцируя уравнение 4 по времени, получаем вектор скоростей системы

Г(/) = 2Ке[У°(0 + У'(0].

'о

Выражения 4, 5 в матричной записи представляют полную систему уравнений реакции упругой дискретной диссипативной системы общего вида, позволяющих определять перемещения и скорости узлов системы от действия произвольной динамической нагрузки Р(1).

Далее приведены выражения реакции системы для некоторых частных случаев динамической нагрузки: линейный закон действия сил, синусоидальный импульс, группа импульсов.

Во второй главе «Построение расчетной динамической модели каркасного многоэтажного здания» формируется расчетная динамическая модель, отражающая реальную работу несущих конструкций здания с учетом нескольких допущений. Плиты перекрытия в пределах одного этажа образуют абсолютно жесткий диск постоянной толщины и плотности. Колонны считаются невесомыми и жестко защемленными в уровне фундамента и каждого перекрытия. Продольные деформации колонн не учитываются.

Такая модель соответствует пространственному каркасу, деформирующемуся по форме сдвига, и имеет широкое распространение в динамических расчетах каркасных многоэтажных зданий.

В принятой расчетной динамической модели любое перекрытие совершает плоское движение при колебаниях и имеет три степени свободы: два

линейных (х„ у,) и одно угловое смещение (ср,) в горизонтальной плоскости. Здание в целом имеет п = 3т степеней свободы, где т - число этажей. Принята следующая нумерация степеней свободы здания (рисунок 1).

Геометрические и механические характеристики расчетной динамической модели здания в полной мере описываются матрицами инерции М и жесткости К.

В общем случае структура матрицы инерции имеет блочно-диагональную форму:

О

М =

О М,

(6)

Каждый блок представляет диагональную матрицу вида Мт = diag(m|,от1,m2,/л2,...,mш,mш), кН-с2/м, MJ = diag(J1,J2,...,Jm), кН-с2-м, где т, — масса, равномерно распределенная по диску перекрытия /'-го этажа, включающая в себя массу /-го перекрытия, массу верхней половины элементов каркаса /-го этажа и массу нижней половины элементов каркаса /+1-го ~т.(.а2 +Ь2)

1 1 ]' I ™

этажа; J¡=У

12

- момент инерции 1-го этажа, т1 - массау-

го элемента этажа, Ь] - размеры прямоугольного элемента в плане, г] -расстояние между центром тяжести данного элемента и центром тяжести этажа.

Построение матрицы жесткости К проводится через построение матрицы податливости Ь = [5,;] (здесь 5,у - перемещение /-ого узла от действия единичной нагрузки ву'-ом узле), поскольку

к=и

(7)

Рисунок 1 - Расчетная динамическая модель: а - общий вид, б - ;'-е перекрытие

;'-е перекрытие

У

В настоящей работе для построения матрицы демпфирования будем пользоваться моделью

С = КТ, (8)

поскольку она соответствует более общему типу неоднородного демпфирования. Здесь К - матрица жесткости; Т = Ша£(/], /2, •••, О - диагональная

матрица с элементами = — I—, 5 - логарифмический декремент колебать V г»

ний, зависящий от материала, т„ га - диагональные элементы матриц инерции и жесткости. Элементы матрицы демпфирования с,у (/,_/ = 1.....и) выражают реакцию диссипативной системы в ответ на единичные импульсные смещения опор по направлению ее степеней свободы.

Матрицы К и С имеют блочную структуру, связанную с линейными и угловыми степенями свободы перекрытий. Эти блоки имеют различные единицы измерения: блоки К^ (кН/м) и Сху (кН-с/м) с параметрами, отвечающими за линейные степени свободы; блоки Кг (кН-м) и С2 (кН-с-м) с параметрами, полученными при угловых степенях свободы; кроме того, блоки К^ (кН) и Схуг (кН-с), где параметры учитывают взаимное влияние линейных и угловых степеней свободы.

В третьей главе «Вывод уравнения упругой реакции дискретной диссипативной системы и ее анализ при действии треугольных импульсов» исследуется реакция системы на действие импульсов треугольной формы: одиночных, повторяющихся, знакочередующихся (рисунок 2).

6) РА'\

Р<н

¿"(О

/ \ <21 Ы )

'ю 'и '12^20 ; / '¡1

[< - - >1 \ |

У'о

Рисунок 2 - Внешняя нагрузка на систему. Импульсы треугольной формы: а - одиночный, б - повторяющиеся, в - знакочередующиеся

При действии на систему одиночного импульса (рисунок 2а) с вектором амплитуд Р0 = [poi. ■••. Ponf выражения векторов перемещений и скоростей узлов системы на восходящей фазе действия нагрузки (te [/0, /1]) определяются формулами:

Y (г) = 2 Re {Г (0 + [Ф(/ -1„ )(Et0 +S-1)-(E( + S~i )](USyl PJtJ, nt) = 2Re{Y°(t) + [S<b(t-t<!)(Et0+S-1)-E](USy>P0/ti}. (9)

На нисходящем участке нагружения (/ е [tu /2]) полное выражение реакции системы будет

Y(t) = 2Яе{Г (0 + [Ф(/ - /,)(£ " Et, - )-(£-£/ - S"1 )]([/5)- P0AtJ, m = 2Re{Y\t) + [SO(t-ti)(E-Et, -5"1 )-£](№)"'Р0Д/21}. (10) Здесь Д<2, = /2 - Е - единичная матрица порядка и, У"(/), выраже-

ния перемещений и скоростей при свободных колебаниях системы по аналогии с 4,5.

Реакция системы после окончания действия нагрузки (t>t2) будет определяться выражениями:

y(/) = 2Re{®(i - t2)U-lM[-SYQ + Y0]}, Y(t) = 2RS[S0{t-t2)U-'M(-SYo+Yo)], (11)

в которых начальные условия вычислены в момент окончания действия нагрузки: Г0 = Y(t2), Y0 = У(/2).

Реакция от действия /-го импульса из группы периодических (рисунок 26) или знакопеременных (рисунок 2в) определяется по аналогии с выражениями (9), (10) с учетом разницы обозначений. Перемещения и скорости узлов системы в периоды свободных колебаний между импульсами и после окончания действия нагрузки определяются по типу 11.

Таким образом, уравнения 9-11 позволяют в аналитическом виде вычислить параметры динамической реакции дискретной диссипативной системы при действии различных последовательностей треугольных импульсов.

На основании полученных зависимостей проведен анализ динамической реакции 18-этажного каркасного здания (рисунок 3) на действие различных динамических нагрузок, моделирующих действие ветра.

Для формирования исходных матриц М, С, К были приняты следующие данные: высота 1...4-го этажа 4,2 м, высота остальных этажей 3,3 м; шаг колонн 6,0 и 7,2 м; сечение колонн - стальной двутавр 40К1 (А = 175,8 см2, Jx = = 52400 см4, Jy = 17610 см4, Es = 2,05-108 кН/м2); перекрытия монолитные железобетонные толщиной 22 см (Еь = 3,0-107 кН/м2). Жесткость ограждающих конструкций не учитывалась. Основная масса конструкции этажа сосредоточена в уровне перекрытий, образующих жесткий диск.

В ходе анализа получены следующие результаты.

1. Определены внешние (матрицы инерции, жесткости и демпфирования) и внутренние (собственные частоты колебаний и коэффициенты демпфирования) динамические параметры системы (рисунок 4).

2. Построены осциллограммы кинематических и силовых параметров реакции системы на действие одиночных импульсов различной длины /а, периодических и повторяющихся знакопеременных импульсов с различными периодами 7> (рисунки 5, 6). Проведено сравнение результатов, полученных при решении задачи различными методами (рисунок 7).

3. Построены поверхности максимальных значений реакции здания при вариации таких параметров нагрузки, как угол атаки а, длина импульса 1а, периодичность повторений 7> (рисунки 8...10).

Рисунок 3 - Модель 18-этажного каркасного здания

Рисунок 4 - Внутренние динамические характеристики здания: а - собственные частоты и, с"1, б - коэффициенты демпфирования Б, с"1 (штрихпунктир соответствует модели А.И. Цейтлина)

Рисунок 5 - Абсолютные перемещения центра 18-го этажей здания при действии знакопеременных импульсов с различной периодичностью 7> при а = 90"

Рисунок 7 - Абсолютные перемещения центра тяжести 18-го этажа. Аналитический метод: а -непропорциональное демпфирование, б — однородное демпфирование, в — консервативная система; численный метод: г - однородное демпфирование, д - консервативная система.

На рисунок 7 представлена реакция системы на действие одиночного треугольного импульса (а = 30°, /а = 0,3 с), вычисленная различными методами. Решение задачи о колебаниях консервативной системы численным методом (кривая д) отличается от результатов аналитического решения (кривая в) не только количественно, но и качественно. Несмотря на то, что внешняя нагрузка действует в плоскости уог и должна вызвать колебания по второй форме с частотой а>2 = 4,4807 с"1 (Т2 = 1,4023 с), система совершает движение в плоскости уо2, но с частотой Ш] = 2,5946 с"1 (Т\ = 2,4217 с), соответствующей 1-й форме собственных колебаний в плоскости хог.

Кривые б и г, полученные при рассмотрении систем с однородным типом демпфирования, не имеют принципиальных качественных отличий. Однако численный метод завышает максимальное перемещение в системе на 70,6% по сравнению с аналитическим решением.

Рисунок 8 - Максимальные абсолютные перемещения центра тяжести 18-го этажа (а - линейные, б - угловые) при параметрах периодических импульсов: а£ [0...900], г„£ [0,2...2,0 с], ТР = 2,1 с

В случае, когда нагрузка действует строго вдоль одной из осей, перемещения вдоль этой оси преобладают. При этом проявляются перемещения в поперечном направлении, вызванные переменной жесткостью здания по высоте и несовпадением центров тяжести и жесткости некоторых этажей. Большие значения перемещений вдоль оси х в сравнении с перемещениями вдоль оси у (рисунок 8) объясняются различием моментов инерции сечений колонн вокруг соответствующих осей и близостью выбранного периода внешней нагрузки ТР = 2,1 с к периоду собственных колебаний здания в плоскости хог Т\ = 2,42 с. С ростом длины действующих на систему импульсов га до некоторой величины значения абсолютных перемещений 18-го этажа возрастают. Однако при /„ > 1,25 с начинают уменьшаться перемещения вдоль оси у, а при 1а > 1,85 с и вдоль оси х. Очевидно этот эффект связан со скоростью приложения нагрузки и учитывался ранее с помощью коэффициента динамичности.

б)

V/ А-:!

| 1

а=9 V <*=;

Рисунок 9 - Поверхности максимальных значений реакции (а - абсолютные перемещения центра тяжести 18-го этажа, б - нормальные напряжения в колоннах 1 -го этажа) при параметрах периодических импульсов: ае [0...90°], /0е [0,2...2,0 с], 7> = 2 /„е [0,4...4,0 с]

Всплески значений характеристик напряженно-деформированного состояния, наблюдаемые на рисунке 9, соответствуют следующим параметрам

нагрузки: 1а = 1,21 си 7> = 2,42 с (перемещения вдоль оси га = 0,7 с и 7> = = 1,4 с, = 1,4 с и Тр = 2,8 с (перемещения вдоль оси Увеличения обусловлены резонансными явлениями на 1-й (7> = 2,42 с), 2-й (7> = 2,8 с) и 5-й (Тр = 1,4 с) частотах спектра собственных колебаний системы. Остальные всплески на графиках реакции соответствуют резонансам на более высоких частотах спектра.

Рисунок 10 - Максимальные абсолютные перемещения центра тяжести 18-го этажа (а...в), максимальные нормальные напряжения в колоннах 1-го этажа (г) при параметрах периодических импульсов: а = 60°, („е [0,2... 1,9 с], 7>е [2,0...6,0 с]

В рассматриваемом диапазоне значений периодов колебаний на поверхностях максимальных линейных перемещений 18-го этажа здания (рисунок 10) зарегистрировано пять всплесков, соответствующих значениям частот собственных колебаний системы в нижней части спектра или кратным им величинам: ТР = 2,4 и 4,8 с соответствуют сох = 2,59 с" , Тх = 2,42 с (изгиб-ная форма колебаний в плоскости хог); Тр = 2,8, 4,2 и 5,6 с соответствуют саг = 4,48 с"1, Т2 = 1,40 с (изгибная форма колебаний в плоскости уог). С увеличением периодичности ТР = кТ, (/ = 1, 2), кратной целому числу периодов низших форм колебаний Т\ и Т2, амплитудные значения параметров реакции снижаются, так как существенно сказывается влияние сил демпфирования.

Приведенные результаты свидетельствуют о высокой эффективности временного анализа реакции конструкции пространственного типа при нестационарных воздействиях и вязкоупругом сопротивлении колебаниям.

Четвертая глава «Динамический расчет конструкций с нелинейной восстанавливающей силой» посвящена построению математической модели нелинейного расчета. Закон деформирования материала к-го элемента конструкции между восстанавливающей силой щ{1) и относительным перемещением представляется кусочно-линейной аппроксимацией (рисунок 11). Величина ^ на диаграмме характеризует предельное значение относительного перемещения концов ¿-го конструктивного элемента системы.

r^rSai......

Aat

ы t к

Рисунок 11 - Диаграмма жесткости «восстанавливающая сила-относительное перемещение»

к-го конструктивного элемента системы: к/, = tga* < kt = tgaot & > ^ot)

В качестве механической интерпретации нелинейной работы к-го конструктивного элемента рассматривается механическая модель, состоящая из двух пружин (по числу участков диаграммы). Параметры жесткости пружин: к/с (для первого упругого участка) и Aot (для второго участка). Пружина, соответствующая второму участку, обладает нелинейно-упругими свойствами как для системы с натягом, включающей механизм создания постоянной восстанавливающей силы. Основное свойство предложенной механической модели состоит в том, что обе пружины никогда не работают совместно. Они вступают в работу или выключаются из нее строго последовательно при условиях: £*(/) < ipk (работа первой пружины) или {¿(t) > (работа второй пружины).

Уравнение движения дискретной диссипативной системы представляется в следующем виде

MY(t) + CY(t) + R{t) = P(t),

R(t) = I?(t) + R0(t,). (12)

Здесь If(t) и R°(li) - квазилинейная и предельная составляющая вектора восстанавливающих сил дискретной системы; - время, при котором к-я обобщенная пружина включается в нелинейную работу.

Если в процессе реакции системы переход в новое промежуточное состояние на квазилинейном интервале /е[/„ /,н] происходит с понижением жесткости нелинейно-упругой связи (к-й пружины), то данный интервал времени называется интервалом нагрузки. Наоборот, если переход в новое квазилинейное состояние на интервале is [(¡, /,+,] сопровождается повышени-

ем жесткости к-й нелинейно-упругой пружины, то данный интервал называется интервалом разгрузки.

Математические модели расчета на квазилинейных интервалах времени /е [Г/, /,+)] (нагрузка) и [(,, /7ц] (разгрузка) имеют следующий вид:

¡т = К-¥(1), = О,

&/)<Ы*=Ь2,...); (13) ^(0 = т-У{1), Л°(/,) = Л°(/м) + ДЩ) У(1,),

дт=к(и)-т, т > и, ш> о; (м)

т=щ)-у(1), =л°«н)+ьщ) т),

дш< о ((/>/-)• 05)

Выражения 13 суть условия упругой работы системы, которые выполняются для всех обобщенных пружин системы (к = 1,2,...). Формулы 14,15 определяют условия нелинейно-упругой работы системы при нагрузке и разгрузке соответственно.

Нелинейная стадия работы системы на интервале нагрузки /е [/„ ?,+)] 14 связана с изменением (понижением) жесткости к-й обобщенной пружины в момент времени В этот момент происходит перестройка матрицы жесткости Щ,) и матрицы-невязки ААГ(/,). В результате вносятся изменения в квазилинейную и предельную составляющие вектора восстанавливающих сил. Величины К(ь), АК(ь) и /?°(/,) сохраняют постоянные значения на данном интервале вплоть до момента времени 1ц-и пока в нелинейную работу не вступит очередная обобщенная пружина. Работа системы на интервале разгрузки I б [/,, /уц] 15 происходит аналогично предыдущему, но с повышением жесткости в к-й обобщенной пружине, при условии £¿(1) < (0 < 0 (/, > /,), где 4» (') - относительная скорость концов к-го конструктивного элемента (пружины).

Комплекс условий 13-15 позволяет для уравнения движения 12 реализовать задачу нелинейно-упругого анализа дискретной конструкции в процессе ее движения с билинейной диаграммой деформирования. Этот процесс технически осуществим для любой диссипативной системы, внутреннее трение которой подчиняется модели упруговязкого сопротивления, при этом действие произвольной динамической нагрузки может быть произвольным.

В качестве иллюстрации предложенного алгоритма нелинейно-упругого расчета дискретной диссипативной системы рассматриваются колебания трехэтажного каркасного здания (рисунок 12) под действием импульсной нагрузки.

Диаграмма деформирования материала колонн и соответствующая ей диаграмма жесткости ¿-го элемента каркаса представлены на рисунке 13. Модуль упругости материала колонн равен Е\ = 2,06-108 кН/м2 и Ег = = 1,72-108 кН/м2 на/и //-й стадиях деформирования соответственно.

труба 200х5

Рисунок 12 - Модель 3-этажного каркасного здания: а — общий вид, б - план 1 и 2-го этажей

.а, МПа

I Ч, кН

О 0,14 0,23 Рисунок 13 - Диаграмма деформирования материала

е, %

О 26 53 мм

Рисунок 14 - Диаграмма жесткости к-го элемента

В качестве нагрузки рассмотрено действие на систему одного импульса синусоидальной формы длиной 1а = 0,7 с, углом атаки а = 75°. Амплитудные значения описываются вектором Р0 = [32, 173, 41, 224, 22, 224, -9, -41, 0] (кН, кНм). Здесь первые 6 элементов - силы, соответствующие линейным степеням свободы каждого из трех этажей, последние три - моменты, соответствующие угловым степеням свободы. Общее время анализа реакции системы *ек1= 8 с, шаг временного анализа Ы = 0,0145 с.

В результате анализа получены осциллограммы кинематических и силовых параметров реакции системы. На рисунках 15, 16 представлены результаты в направлении оси у. Цифрами обозначены номера этажей, пунктиром показана реакция линейно-упругой системы. Изменение матрицы жесткости и внутренних динамических характеристик системы в процессе реакции показано на рисунках 17,18.

Реакцию каркасного здания на действие импульсной нагрузки можно разделить на несколько этапов, каждый из которых характеризуется постоянством матриц-коэффициентов уравнения движения 12. Переход от одного этапа к другому происходит вследствие достижения некоторыми элементами предельных перемещений и изменения их модуля упругости.

1. Упругая работа каркаса в 1-й стадии /е [0, 0,338] с. Начальные перемещения и скорости нулевые. Модуль упругости всех элементов каркаса равен £1=2,06-Ю8 кН/м2. Первоначальные матрицы М, С и К сформированы на

Рисунок 15 - Кинематические параметры реакции системы: абсолютные (а) и относительные (б) перемещения, скорости (в) и ускорения (г) центров тяжести этажей (цифрами обозначены номера этажей)

Рисунок 16 - Силовые параметры реакции системы: восстанавливающие (а) и диссипативные (б) силы в центрах тяжести этажей (цифрами обозначены номера этажей)

основе инерционных и жесткостных характеристик системы. Параметры реакции системы определяются уравнениями 13.

2. Переход 1-го этажа во II-ю стадию /е [0,338, 0,476] с. Относительные смещения концов колонн 1-го этажа в момент времени = 0,338 с достигают предельных значений ¡^ = 26 мм, что приводит к скачкообразному снижению их модуля упругости на Е2 = 1,72-108 кН/м2 и изменению матрицы жесткости системы, частот собственных колебаний и коэффициентов демпфирования. Параметры реакции системы определяются по формулам 14.

3. Переход 2-го этажа во Л-ю стадию /е [0,476, 0,652] с. В момент времени Н ~ 0,476 с относительные смещения концов колонн 2-го этажа достигают предельных значений £¿=26 мм, после чего их модуль упругости также снижается до Ег = 1,72-108 кН/м2. Вновь определяются матрица жесткости и внутренние динамические параметры системы. Параметры реакции системы

определяются по формулам 14 с учетом изменений. Максимальные перемещения возникают в момент времени / = 0,539 с, после этого система начинает возвращаться к положению равновесия. Начинается период разгрузки.

4. Возвращение 2-го этажа в 7-ю стадию /е [0,652, 0,684] с. При /3 = = 0,652 с относительные смещения концов колонн 2-го этажа снижаются до значения ^ - 26 мм, их модуль упругости принимает первоначальное значение £1=2,06-108 кН/м\ Частоты и коэффициенты демпфирования, как и матрица жесткости, принимают значения, аналогичные второму этапу. Параметры реакции системы определяются уравнениями 15.

5. Возвращение 1-го этажа в 1-ю стадию /е [0,684, 0,874] с. Дальнейшее движение системы вызывает восстановление модуля упругости 1-го этажа (при и = 0,684 с), что приводит полному восстановлению жесткости всей системы. Матрица жесткости и внутренние динамические параметры системы принимают первоначальные значения.

I» bet(K) 7.2061—,

0123456 7 8

Рисунок 17 - Определитель матрицы жесткости К 6) .,1/0

■njxn/uibnrv-vrur

"ifT" -

Рисунок 18 - Внутренние динамические параметры системы: а- собственные частоты (о, с"1, б - коэффициенты демпфирования £, с"1

При I = 0,773 с система переходит положение нулевого равновесия и начинает движение в противоположную сторону (новый период нагрузки). Второй и третий полуциклы колебаний имеют аналогичные описанным этапы последовательного включения в нелинейную работу 1-го и 2-го этажей и их восстановления. В 4...9-м полу циклах колебаний модуль упругости снижается только в колоннах 1-го этажа.

Предложенные математические модели позволяют реализовать следующую расчетную схему нелинейно-упругого временного анализа. Весь процесс по вычислению реакции диссипативной системы разбивается на такие интервалы времени [/,, /щ] (/' = 1, 2, ...), внутри которых динамические параметры системы являются неизменными. Вследствие этого на каждом отдельном интервале уравнения движения интегрируется по схеме упругого решения. Временные точки /¡, /2,..., /,, /¿+1,..., принадлежащие границам интервалов, заранее неизвестны и определяются в ходе шагового процесса. В этих точках полученные уравнения реакции на смежных участках сопрягаются с помощью начальных условий, что обеспечивает непрерывность движения. Таким образом, задача построения нелинейной реакции системы сводится к однотипному процессу многократно повторяющихся различных квазилинейных решений. Это делает данный подход доступным для практического применения, вследствие своей алгоритмичности.

Определение динамической реакции каркасных зданий при различных параметрах внешнего импульсного воздействия осуществлялось с помощью вычислительного комплекса «АРПО».

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе. В Приложение 1 вынесены численные значения внешних и внутренних динамических характеристик расчетной динамической модели 18-этажного каркасного здания, рассматриваемой в Главе 3. В Приложении 2 приведен программный код вычислительного комплекса по динамическому расчету многоэтажных каркасных зданий при нестационарном процессе «АРПО» для решения упругой и нелинейно-упругой задач.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Получены новые знания о влиянии характера горизонтальных динамических воздействий на вынужденные колебания многоэтажных каркасных зданий в линейной и нелинейной постановках задачи.

Основные результаты и выводы состоят в следующем.

1. Исследованы важные для приложений динамики сооружений частные случаи интеграла Дюамеля при действии импульсов треугольной формы. Построена замкнутая форма упругой реакции системы для случая одиночного и серии периодических импульсов, включая знакочередующееся загруже-ние. Полученные уравнения позволяют в аналитическом виде давать оценку динамической реакции конструкции, находящейся в сложных условиях на-гружения.

2. Построена расчетная динамическая модель многоэтажного каркасного здания, деформирующегося по форме сдвига, предназначенная для восприятия горизонтальной нагрузки. Составлены матрицы, определяющие внешние динамические параметры модели: матрицы инерции, жесткости и демпфирования. Построенная модель позволяет выполнять динамический расчет на ветровые, сейсмические и взрывные воздействия.

3. Построена расчетная схема временного анализа и созданы математические модели расчета многоэтажного каркаса с нелинейно-упругой восстанавливающей силой для диаграммы деформирования материала, аппроксимированной кусочно-линейной зависимостью. Согласно расчетной схеме весь процесс анализа по времени разбивается на такие интервалы, в пределах которых динамические параметры расчетной модели неизменны, что позволяет использовать схему упругого решения на основе интеграла Дюамеля.

4. Проведенный анализ упругой реакции 18-этажного каркасного здания как системы с 54 степенями свободы на действие динамической нагрузки с различными параметрами нагружения показал высокую эффективность применяемого аналитического метода. В отличие от широко используемых численных методов данный поход позволяет учитывать непропорциональное демпфирование в системе и получать более точное качественное и количественное решение динамических задач. Максимальные абсолютные перемещения каркаса при расчетах в ВК АРПО в 1,7...2,7 раза (с учетом и без учета внутреннего трения) ниже аналогичных параметров, полученных при решении задачи средствами ПК Лира, затраты компьютерного времени также меньше в 6-7 раз.

5. Решена задача о колебаниях трехэтажного каркасного здания с нелинейной зависимостью восстанавливающей силы от жесткости при действии импульсной нагрузки. Анализ результатов показывает, что снижение жесткости элементов системы на 20% влечет за собой увеличение максимальных перемещений на 16,9%, скоростей на 19,7%, ускорений на 38,5%.

6. Разработаны алгоритмы и прикладные программы по выполнению временного анализа упругой и нелинейно-упругой реакции каркасных многоэтажных зданий на динамические воздействия. Программы позволяют определять параметры напряженно-деформированного состояния каркасных многоэтажных зданий при действии ветровых, сейсмических и ударных нагрузок. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2008610575 от 31.01.2008.

Таким образом, в диссертации дано приложение нового метода временного анализа реакции каркасных многоэтажных зданий на нестационарную нагрузку при общих предпосылках динамической задачи.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих научных работах:

1. Артемьева, Л.М. Динамический расчет многоэтажного каркасного здания на действие импульсов синусоидальной формы / Л.М. Артемьева // Вестник ЮУрГУ, серия «Строительство и архитектура». Вып. 3. - Челябинск: ЮУрГУ. - 2005. — № 13 (53).-С.52-56.

2. Потапов А.Н. Вынужденные колебания конечномерной системы с уп-руговязким сопротивлением при импульсном воздействии / А.Н. Потапов, Л.М. Артемьева // Известия вузов. Строительство. - 2007. - №4. - С. 27-33. (вклад автора 65%)

3. Потапов, А.Н. Вынужденные колебания каркасных зданий при периодических воздействиях / А.Н. Потапов, J1.M. Артемьева // Вестник ЮУр-ГУ, серия «Строительство и архитектура». Вып. 5. - Челябинск: ЮУрГУ. -2007. - № 22 (94). - С. 51-53. (вклад автора 70%)

4. Потапов, А.Н. Временной анализ каркасных зданий из нелинейно-упругого материала / А.Н. Потапов, Л.М. Артемьева // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. - 2008. - Vol. 4(2). - P. 9899. (вклад автора 75%)

5. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2008610575 от 31.01.2008. Вычислительный комплекс по динамическому расчету многоэтажных каркасных зданий при нестационарном процессе «АРПО» (версия 1.0) / А.Н. Потапов, JI.M. Артемьева. - заявл. № 2007614850 от 04.12.2007; опубл. 20.06.2008, Официальный бюллетень Федеральной службы по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам № 2 (63). - с. 137. (вклад автора 80%)

6. Артемьева, Л.М. Временной анализ реакции высотных сооружений на динамическое действие ветра / Л.М. Артемьева // Вестник УГТУ-УПИ № 11 (41) Строительство и образование: Сб. науч. тр. - Екатеринбург: ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ». - 2004. - Вып. 7. - С. 103-105.

7. Артемьева, Л.М. Построение исходных матриц дифференциального уравнения движения дискретной диссипативной конструкции / Л.М. Артемьева // Южно-Ур. гос. ун-т: Челябинск, 2006. - 9 с. Деп. в ВИНИТИ 03.07.2006, № 883-В2006.

8. Потапов, А.Н. Временной анализ диссипативной системы на действие импульсной нагрузки / А.Н. Потапов, Л.М. Артемьева // Сб. тез. докл. науч.-техн. конф., 11-13 апреля, 2006. - Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2006. -С. 1-2. (вклад автора 60%)

9. Потапов, А.Н. Математические модели нелинейного расчета конечномерной диссипативной конструкции / А.Н. Потапов, Л.М. Артемьева, В.В. Колтан // Южно-Ур. гос. ун-т: Челябинск, 2008. - 11 с. Деп. в ВИНИТИ 10.07.2008, № 597-В20008. (вклад автора 60%)

10. Потапов, А.Н. Математические модели нелинейного расчета диссипативной конструкции / Всероссийская конференция «Актуальные проблемы строительной отрасли»: математика, компьютерные технологии и автоматизированные системы проектирования // А.Н. Потапов, Л.М. Артемьева. - Сб. тез. докл. науч.-техн. конф., 8-10 апреля, 2008. - Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2008. - С. 177-178. (вклад автора 60%)

Любовь Михайловна Артемьева

ВРЕМЕННОЙ АНАЛИЗ РЕАКЦИИ КАРКАСНЫХ МНОГОЭТАЖНЫХ ЗДАНИЙ ПРИ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

АВТОРЕФЕРАТ

Изд. лиц. № 021253 от 31.10.97 г.

Подписано в печать 20.05.09 г. Формат 60x84 1/16.

Бумага офсет. Гарнитура Тайме. Усл.-печ. л. 1,1. Уч.-изд. л. 1,0.

Тираж 100 экз. Заказ №210

Изд-во ГОУ ВПО «ТГАСУ», 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2. Отпечатано с оригинал-макет автора в ООП ГОУ ВПО «ТГАСУ». 634003, г. Томск, ул. Партизанская, 15.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Обзор по анализу упругой реакции диссипативной системы.

1.1. Вывод уравнения реакции дискретной диссипативной системы

1.1.1. Свойства корней матричного квадратного уравнения.

1.1.2. Уравнение реакции дискретной диссипативной системы

1.2. Некоторые частные случаи интеграла Дюамеля.

1.2.1. Линейный закон действия сил.

1.2.2. Синусоидальный импульс.

1.2.3. Действие периодических импульсов.

Выводы по главе.

Глава 2. Построение расчетной динамической модели каркасного многоэтажного . здания.

2.1. Построение матрицы инерции.

2.2. Построение матрицы жесткости.

2.2.1. Определение центра тяжести этажа.

2.2.2. Определение центра жесткости упругих связей этажа.

2.3. Построение матрицы податливости.

2.3.1. Относительные перемещения к-то этажа.

2.3.2. Абсолютные перемещения этажей.

2.4. Построение матрицы демпфирования.

Выводы по главе.

Глава 3. Вывод уравнения упругой реакции дискретной диссипативной системы и ее анализ при действии треугольных импульсов.

3.1. Исследование колебаний диссипативной системы.

3.1.1. Треугольная нагрузка.

3.1.2. Периодические воздействия треугольных импульсов.

3.1.3. Знакопеременная треугольная нагрузка.

3.2. Примеры анализа динамической реакции каркасного многоэтажного здания.

3.2.1. Моделирование ветрового воздействия.

3.2.2. Действие одиночной группы импульсов.

3.2.3. Действие периодических импульсов треугольной формы

3.2.4. Действие знакопеременных импульсов треугольной формы.

3.2.5. Варьирование параметров нагрузки.

Выводы по главе.

Глава 4. Динамический расчет конструкций с нелинейной восстанавливающей силой.

4.1. Схематизация диаграммы деформирования стали.

4.2. Выбор физической модели деформирования материала каркаса

4.3. Построение математической модели нелинейного расчета.

4.4. Сценарий работы математических моделей каркаса.

4.5. Анализ реакции трехэтажного здания при действии импульсной нагрузки.

4.5.1. Параметры дискретной диссипативной системы.

4.5.2. Результаты расчета.

Выводы по главе.

Современный уровень развития вычислительной техники позволяет инженеру создавать сотни виртуальных моделей одного и того же сооружения на разных стадиях его возведения и эксплуатации. Накопленные знания о моделях поведения различных материалов дают возможность заменить лабораторные или натурные эксперименты, требующие значительных материальных и временных ресурсов, исследованием математических моделей. Такой анализ дает представление о напряженно-деформированном состоянии конструкций и помогает оптимально использовать возможности современных материалов. Таким образом, развитие методов математического моделирования конструкций является важным аспектом современной строительной науки.

В настоящее-время широко развивается многоэтажное строительство: В современном мире здания высотой 50. 100 м — повсеместное явление, с каждым годом строятся^ всё более1 и более высокие здания. Одной из распространенных конструктивных схем для высотных зданий является рамно-каркасная система, которая образуется совокупностью вертикальных (колонны) и горизонтальных (перекрытия) несущих элементов [21, 34, 83].

Несущие конструкции здания воспринимают два вида нагрузок: вертикальные (гравитационные) и горизонтальные (ветровые, сейсмические), причем с ростом высоты здания горизонтальные нагрузки увеличиваются. В большинстве случаев вертикальные нагрузки являются статическими. Горизонтальные же, напротив, имеют ярко выраженный динамический характер. Среди множества динамических воздействий на здания необходимо выделить класс нагрузок, нередко приводящих к нестационарным процессам, таких как удары, импульсы, кратковременные нагрузки, различные их комбинации в виде групповых воздействий. Для оценки реальной работы конструкций необходим учет внутреннего трения и нелинейных свойств материала конструкций.

Исследованию работы моделей многоэтажных зданий при различных типах нагрузок посвящено множество работ [24, 36—39, 41, 51—53, 65, 69, 72, 86, 97, 101, 103, 105, 119]. Реакция зданий на сейсмические нагрузки рассматривалась в [10, 14—17, 20, 37, 61, 63, 64, 69], особенностям расчета зданий на ветровые воздействия уделялось внимание в [61, 65, 66, 69, 89, 91, 96], отклик конструкций на взрывные и аварийные нагрузки исследовался в [1, 18,61,69, 85, 119, 127].

Как отмечалось в работах [27, 39], для получения достоверных результатов динамических расчетов необходим учет демпфирующих и нелинейных свойств материалов. Динамический анализ с учетом внутреннего трения в проводился во многих работах, среди них [2, 3, 5, 22, 35, 37, 44, 45, 62, 67, 87, 88, 103, 104, 111, 115-117, 122-124, 128-130]. Физически-нелинейные свойства материалов конструкций учитывались в работах [13, 15—18, 20, 27, 37, 46, 70, 71, 73, 86,106, 118, 120] и многих других.

Далее приводится краткий обзор методов динамического анализа, применяемых в задачах строительной механики.

Наиболее распространенным среди аналитических методов является метод разложения по собственным формам колебаний соответствующей консервативной системы. Этот метод применяли в своих трудах многие исследователи [И, 37, 45, 50, 57, 68, 89, 90, 103, 104, 115]. Он дает точное решение, если учет внутреннего трения производится на основе моделей пропорционального демпфирования. При использовании моделей неоднородного демпфирования метод становится приближенным и может приводить к большим погрешностям [104].

Метод комплексных амплитуд [19, 33] удобен при решении динамических задач о вынужденных установившихся колебаниях дискретной диссипа-тивной системы. Этот метод позволяет заменить исходную систему дифференциальных уравнений движения системой алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами.

При использовании метода гармонического анализа Фурье [33] выполняется разложение функции нагрузки на гармонические составляющие, что эффективно при воздействии на систему периодических внешних сил.

При решении системы связанных дифференциальных уравнений движения с произвольной матрицей демпфирования разрабатывался метод комплексных собственных форм [31, 126], а также использовалось приведение исходной системы к системам дифференциальных уравнений первого порядка с удвоенным порядком матриц коэффициентов [33, 87, 112, 128, 129].

В работе [32] задачи динамики диссипативных систем сводились к исследованию систем линейных дифференциальных уравнений на основе метода Бубнова-Галеркина.

При неустановившихся вынужденных колебаниях конечномерных систем для решения упругой динамической задачи возможно использование метода функций Грина [7, 19, 25, 116]. При этом сначала находят некоторое специальное решение аналогичной задачи, а затем через него выражают решение исходной задачи. Специальные решения называют импульсными переходными функциями, или функциями Грина. Широкому применению данного метода препятствует математическая сложность построения импульсных переходных функций.

Среди операторных методов наиболее распространенными являются методы интегральных преобразований Лапласа [62, 118], Фурье [49, 55-57], метод конечных интегральных преобразований [26, 93-95]. Данные методы эффективны при решении задач нестационарных колебаний, однако их практическое использование также ограничивается сложностью математического аппарата.

Построение метода временного анализа, основанного на анализе матричного квадратного уравнения, осуществлено в работе [75], где при общих предпосылках динамической задачи уравнение реакции упругой дискретной диссипативной системы получено в нетривиальной матричной форме интеграла Дюамеля, имеющей замкнутый вид. Показано, что подход может быть распространен на более сложный, физически-нелинейный класс задач.

В связи с ростом вычислительных мощностей современной техники активно развиваются алгоритмы численного интегрирования уравнения движения для определения динамической реакции системы. Однако разработчики отмечают «высокую вычислительную трудоемкость» такого подхода [69], а также низкую устойчивость и рост погрешностей на каждом шаге вычислений [120]. Численные методы расчета диссипативных конструкций, аппроксимируемых дискретной моделью, применялись для вычисления реакции упругой системы [3, 9, 37, 63, 64]. Построение расчетных динамических моделей минимального порядка для сложных колебательных систем осуществлялось на основе методов суперэлемента [60, 74], подконструкций [113], синтеза форм колебаний [43, 114], частотно-динамической конденсации [54, 125], дискретных конечных элементов [28, 14—18], декомпозиции* [23, 47, 84] и т.д.

Большинство перечисленных методов решения динамических задач несколько упрощают параметры расчетной динамической модели, соответствующей реальной задаче. Основные ограничения состоят в следующем. В первую очередь, упрощения расчета связаны с выбором типа демпфирования. Как правило, выбирается тип внутреннего трения, соответствующий модели однородного демпфирования, либо вообще проводится анализ консервативной системы. Во-вторых, ограничение относится к выбору числа степеней свободы и расположению масс в системе. Часто размерами масс пренебрегают. В-третьих, упрощения связаны с моделированием внешних воздействий: исследуется реакция системы на одиночный импульс, как правило, мгновенный. Рассмотрение более сложных загружений (группы импульсов) обычно изучается для одной степени свободы. В-четвертых, упрощения касаются модели поведения материала конструкций: не учитываются нелинейно-упругие или пластические свойства.

Обзор приведенных методов показывает, что наиболее полный и многосторонний динамический анализ возможен в том случае, когда к решению задачи привлекается анализ характеристического матричного квадратного уравнения. Использование в динамическом расчете дискретной диссипатив-ной системы выявленных свойств соотношений матричного квадратного уравнения позволяет вычислять как в упругую, так и нелинейную реакцию системы при общих предпосылках динамической задачи [75].

Постановка задачи. Настоящая работа имеет целью развитие аналитического метода расчета [75] каркасных многоэтажных зданий на горизонтальную импульсную нагрузку. Для достижения цели сформулированы следующие задачи.

Во-первых, разработка расчетной динамической модели, достаточно адекватно отражающей реальную работу каркасного многоэтажного здания при действии динамических горизонтальных нагрузок.

Во-вторых, исследование динамической реакции дискретной упругой системы с учетом внутреннего трения при действии треугольных импульсов в различных сочетаниях, включая периодический характер воздействия.

В-третьих, построение математических моделей нелинейно-упругого расчета многоэтажного каркаса с диаграммой деформирования конструктивного элемента «восстанавливающая сила - относительное перемещение» в виде кусочно-линейной функции.

В-четвертых, построение расчетной схемы временного анализа каркасных многоэтажных зданий с нелинейно-упругой восстанавливающей силой при нестационарных нагружениях.

В-пятых, разработка аппарата технической реализации разрешающих уравнений вынужденных колебаний многоэтажного каркасного здания при нелинейно-упругом временном анализе.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1) исследованы важные для приложений динамики сооружений частные случаи интеграла Дюамеля при действии треугольных импульсов с различными параметрами нагружения;

2) в аналитическом виде получено уравнение реакции упругой дискретной диссипативной системы при действии периодических треугольных импульсов;

3) разработаны математические модели нелинейно-упругого расчета многоэтажного каркасного здания на основе диаграммы деформирования конструктивного элемента «восстанавливающая сила - относительное перемещение» в виде кусочно-линейной зависимости;

4) построена расчетная схема временного анализа многоэтажного каркаса с нелинейно-упругой восстанавливающей силой при нестационарном процессе;

5) разработаны алгоритмы определения критических временных точек при переходе модели каркаса из одного квазилинейного состояния в другое и создан программный комплекс по нелинейному временному анализу многоэтажных каркасов при динамических нагрузках, получивший свидетельство о государственной регистрации.

Достоверность.результатов исследования обеспечена использованием в-диссертации фундаментальных принципов строительной механики совместно с методами высшей математики и матричной алгебры; замкнутой формой выведенного интеграла Дюамеля при упругих колебаниях дискретной диссипативной системы; сравнением с известными решениями аналогичных задач, полученными другими методами; корректным применением математических моделей неупругого расчета, обеспечивающих замкнутое решение в шаговом процессе на всех квазилинейных интервалах движения системы.

Практическая ценность. Разработанные математические модели расчета дискретной диссипативной системы позволяют в замкнутом виде получать реакцию системы на динамическую нагрузку (одиночные и периодические импульсы треугольной формы) в линейной и нелинейно-упругой стадии работы материала конструкций. Аналитическая форма интеграла Дюамеля позволяет выполнять количественный и качественный анализ реакции дискретной диссипативной системы при варьировании внутренних и внешних параметров, значительно снизив затраты компьютерного времени по сравнению с численными (итерационными) методами. В результате работы создан вычислительный комплекс «АРПО» [92], предназначенный для расчета каркасных многоэтажных зданий с учетом внутреннего трения материала при сложном характере нагружений, моделирующих действие ветровых, сейсмических и взрывных нагрузок. Значения параметров реакции системы, вычисленные на основе данной методики в упругой и нелинейно-упругой постановке, могут быть использованы при оценке погрешностей приближенных решений, полученных различными численными методами.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Во введении проведен обзор литературы по направлению исследования. В первой главе приводятся основные теоретические положения, метода временного анализа, построение которого основано на новых алгебраических подходах. Здесь же приведен вывод уравнения реакции дискретной диссипативной системы при действии динамической нагрузки общего вида. Вторая глава посвящена разработке расчетной динамической модели каркасного многоэтажного здания. Дано построение исходных матриц уравнения движения, описывающих внешние динамические параметры системы. В третьей главе решается задача о колебаниях конечномерной системы с упруговязким сопротивлением при импульсном воздействии. Рассмотрено действие одиночных треугольных импульсов, а также групп импульсов с различными параметрами. Проведен анализ реакции 18-этажного каркасного здания на действие динамической нагрузки с учетом внутреннего трения материала конструкций на основе модели непропорционального демпфирования. В четвертой главе предложены математические модели и расчетная схема временного анализа реакции диссипативной системы с нелинейной восстанавливающей силой. Эффективность метода проиллюстрирована на примере анализа системы с 9 степенями свободы. В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе.

Основные результаты и выводы состоят в следующем.

1. Исследованы важные для приложений динамики сооружений частные случаи интеграла Дюамеля при действии импульсов треугольной формы. Построена-замкнутая форма упругойфеакции системы для случая одиночного и' сериш периодических импульсов; включая знакочередующееся* загружение. Полученные уравнения позволяют в, аналитическом виде давать оценку динамической реакции конструкции, находящейся в сложных условиях нагру-жения.

2. Построена расчетная динамическая модель многоэтажного каркасного здания, деформирующегося по форме сдвига, предназначенная для восприятия горизонтальной нагрузки. Составлены матрицы, определяющие внешние динамические параметры модели: матрицы инерции, жесткости и демпфирования. Построенная модель позволяет выполнять динамический расчет на ветровые, сейсмические и взрывные воздействия.

3. Построена расчетная схема временного анализа и созданы математические модели расчета многоэтажного каркаса с нелинейно-упругой восстанавливающей силой для диаграммы деформирования материала, аппроксимированной кусочно-линейной зависимостью. Согласно расчетной схеме весь процесс анализа по времени разбивается на такие интервалы, в пределах которых динамические параметры расчетной модели неизменны, что позволяет использовать схему упругого решения на основе интеграла Дюамеля.

4. Проведенный анализ упругой реакции 18-этажного каркасного здания как системы с 54 степенями свободы на действие динамической нагрузки с различными параметрами нагружения показал высокую эффективность применяемого аналитического метода. В отличие от широко используемых численных методов данный поход позволяет учитывать непропорциональное демпфирование в системе и получать более точное качественное и количественное решение динамических задач. Максимальные абсолютные перемещения каркаса при расчетах в ВК АРПО в 1,7.2,7 раза (с учетом и без учета внутреннего трения) ниже аналогичных параметров, полученных при решении задачи средствами ПК Лира. Затраты компьютерного времени при использовании ВК АРПО ниже в 6-7 раз.

5. Решена задача о колебаниях трехэтажного каркасного здания с нелинейной зависимостью восстанавливающей силы от жесткости при действии импульсной нагрузки. Анализ результатов показывает, что снижение жесткости элементов системы на 20% влечет за собой увеличение максимальных перемещений на 16,9%, скоростей на 19,7%, ускорений на 38,5%.

6. Разработаны алгоритмы и прикладные программы по выполнению временного анализа упругой и нелинейно-упругой реакции каркасных многоэтажных зданий на динамические воздействия. Программы позволяют определять параметры напряженно-деформированного состояния каркасных многоэтажных зданий при действии ветровых, сейсмических и ударных нагрузок. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2008610575 от 31.01.2008.

Таким образом, в диссертации дано приложение нового метода временного анализа реакции каркасных многоэтажных зданий на нестационарную нагрузку при общих предпосылках динамической задачи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В качестве отправной точки диссертационной работы принят метод временного анализа дискретной диссипативной системы. Данный метод основан на новых алгебраических подходах и в рамках линейной теории вязкого сопротивления материала позволяет определять упругую реакцию системы в замкнутом виде через интеграл Дюамеля.

В настоящей работе дано приложение этого метода к проблеме вынужденных колебаний многоэтажных каркасных зданий при динамических воздействиях как в линейной, так и в нелинейной постановках.

1. Аварии и катастрофы. Предупреждение и ликвидация последствий. Книга 1 / под ред. К.Е. Кочеткова. — М.: Изд-во АСВ, 1995. 520 с.

2. Ананьин, А.И. Простые и комбинированные модели для учета диссипации энергии при колебаниях / А.И. Ананьин // Известия вузов. Строительство. 1998. - №8. - С. 29-35.

3. Ананьин, А.И. К составлению и решению уравнений движения неконсервативных систем / А.И. Ананьин // Известия вузов. Строительство. — 1999. -№5.-С. 21-27.

4. Артемьева, JI.M. Временной анализ реакции высотных сооружений на динамическое действие ветра / JI.M. Артемьева // Вестник УГТУ-УПИ № 11 (41) Строительство и образование: Сб. науч. тр. — Екатеринбург: ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ». 2004. - Вып. 7. - С. 103-105.

5. Артемьева, JI.M. Построение исходных матриц дифференциального уравнения движения дискретной диссипативной конструкции / JI.M. Артемьева // Южно-Ур. гос. ун-т: Челябинск, 2006. 9 с. Деп. в ВИНИТИ 03.07.2006, № 883-В2006.

6. Артемьева, JI.M. Динамический расчет многоэтажного каркасного здания на действие импульсов синусоидальной формы / JI.M. Артемьева // Вестник ЮУрГУ, серия «Строительство и архитектура». Вып. 3. — Челябинск: ЮУрГУ. 2005. - № 13 (53). - С.52-56.

7. Атаджанов, Д.Р. Функция Грина стационарной динамической задачи для вязкоупругой полуплоскости / Д.Р. Атаджанов, А.Г. Саркисян, А.И. Цейтлин // Прикладная математика и механика. — 1989. — Т. 53, Вып. 5. -С. 781-786.

8. Байков, В.Н. Железобетонные конструкции: Общий курс: Учеб. для вузов / В.Н. Байков, Э.Е. Сигалов. 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Стройиз-дат, 1991.-767 с.

9. Бате, К. Численные методы анализа и метод конечных элементов / К. Бате, Е. Вилсон. — М.: Стройиздат, 1982. — 447 с.

10. Барштейн, Н.Ф. Приложение вероятностных методов к расчету сооружений на сейсмические воздействия / Н.Ф. Барштейн // Строит, механика и расчет сооружений. 1960. - № 2 — С. 6-14.

11. Белоконь, А.В. Блочные схемы метода конечных элементов для динамических задач акустоэлектроупругости / А.В. Белоконь, В.А. Еремеев,

12. A.В. Наседкин, А.Н. Соловьев // Прикладная математика и механика. — 2000. том 64, вып. 3. - С. 381-393.

13. Бибиков, Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Н. Бибиков. -М.: Высшая,школа, 1991. — 304 с.

14. Боднер, С.Р. Пластические деформации при ударном-и импульсном нагружении балок / С.Р. Боднер, П.С. Саймондс // Периодический сб. переводов иностр. статей: Механика, № 4, Вып. 68. — М.: ИЛ, 1961. — С. 79-91.

15. Болотин, В.В. Изгибно-крутильные колебания многоэтажного здания при сейсмических воздействиях / В.В. Болотин, В:П. Радин, В.П. Чирков // Известия вузов. Строительство. 2000. - №2-3. - С. 12-17.

16. Болотин, В.В. Исследование упругопластического деформирования многоэтажного каркасного здания при интенсивных сейсмических воздействиях /В.В. Болотин, В.П. Чирков, В.П. Радин, О.В. Трифонов // Известия вузов. Строительство. 2001. — №5. — С. 11-17.

17. Болотин, В.В. Упругопластический анализ несущих элементов зданий и сооружений при интенсивных сейсмических воздействиях /В.В. Болотин, В.П. Радин, В.П. Чирков // Известия вузов. Строительство. 2002. — №6. -С. 4-9.

18. Болотин, В.В. Исследование поведения зданий и сооружений со снижением жесткости при сейсмических воздействиях / В.В. Болотин,

19. B.П. Радин, В.П. Чирков // Известия вузов. Строительство. 2003. - №7.1. C. 6-10.

20. Вибрации в технике: Справочник в 6-ти томах. Т.1 Колебания линейных систем / под ред. В.В. Болотина; — 2-е изд., испр. и доп. — Mi: Машиностроение, 1999. 504 с.

21. Гольденблат, И.И; Расчет конструкций на; действие сейсмических и импульсивных сил / И.И. Гольденблат, Н.А. Николаенко. — М.: Госстройиз-дат, 1961.-320 с.

22. Граник, Ю.Г. Архитектурно-конструктивные особенности высотных зданий зарубежом / Ю.Г. Граник, А.А. Магай // Уникальные и специальные технологии в строительстве.- 20041 — №1.

23. Динамический расчет зданий и сооружений. Справочник проектировщика / под ред. Б.Г. Коренева, И.М. Рабиновича. — М.: Стройиздат, 1984. -303 с.

24. Долгова, И.М. Матрица Грина плоской задачи теории упругости для ортотропной полосы / И.М. Долгова, Ю.А. Мельников // Прикладная математика и механика. 1989. - Т. 53, Вып. 1. - С. 102-106.

25. Еленицкий, Э.Я. Нестационарная задача динамики для призматических систем с учетом внутреннего трения / Э.Я. Еленицкий, Е.С. Вронская // Известия вузов. Строительство. — 1998. № 7. - С. 25-33.

26. Ерхов, М.И. Теория идеально пластических тел и конструкций / М.И: Ерхов: -М.: Наука, 1978. 352 с.

27. Игнатьев, В.А. Расчет стержневых пластинок и оболочек. Метод дискретных конечных элементов. — Саратов: Изд. Сарат. ун-та, 1988. — 160 с.

28. Икрамов, Х.Д. Численное решение матричных уравнений. Ортогональные методы. -М.: Наука, 1984. 192 с.

29. Икрин, В.А. Сопротивление материалов: Учебник для студентов архитектурно-строительного факультета. — Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2001. — 160 с.

30. Кандидов, В.П. Решение и анализ задач линейной теории колебаний / В.П. Кандидов, Л.Н. Капцов, А.А. Харламов. М.: МГУ, 1976. - 272 с.

31. Карабанов, Б. В. Расчет зданий повышенной этажности с железобетонными конструкциями. Обзор / Б.В. Карабанов // Серия инженерно-теоретические основы строительства, вып. 3. -М.: ВНИИНТПИ, 1989.

32. Киселев, В.А. Строительная механика. Специальный курс: Динамика и устойчивость сооружений / В.А. Киселев. — М.: Стройиздат, 1980. — 616 с.

33. Клаф, Р. Динамика сооружений / Р. Клаф, Дж. Пензиен. М.: Строй-издат, 1979. - 320 с.

34. Колоушек, В. Динамика строительных конструкций / В. Колоушек. — М.: Стройиздат, 1965. 632 с.

35. Коренев, Б.Г. Динамический расчет сооружений / Б.Г. Коренев, Я.Г. Пановко // В кн.: «Строительная механика в СССР. 1917-1967.». — М.: Стройиздат, 1969. С. 280-328.

36. Корн, Г.А. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г.А. Корн, Т.М. Корн. М.: Наука, 1977. - 831 с.

37. Корчинский, И.Л. Расчет строительных конструкций на вибрационную нагрузку / И.Л. Корчинский. — М.: Стройиздат, 1948. — 133 с.

38. Кочнева, Л.Ф. Внутреннее трение в твердых телах при колебаниях / Л.Ф. Кочнева. М.: Наука, 1979. - 96 с.

39. Крейг, P.P. Сочленение конструкций при динамическом расчете конструкций1/ P.P. Крейг, М:К. Бемптон // Ракетная техника и космонавтика. -1968.-№7.-С. 113-121.

40. Кренделл, С. Роль демпфирования в теории колебаний / С. Кренделл // Период, сб. переводов иностр. статей: Механика, № 5, Вып. 129. — М.: Мир, 1971.-С. 3-22.

41. Кусаинов, А.А. О моделях пропорционального и неоднородного демпфирования / А.А. Кусаинов // Строит, механика и расчет сооружений. — 1987.-№2.-С. 73-75.

42. Кусаинов, А.А. Колебания многоэтажных зданий, описываемых частотно-зависимой многопараметрической вязкоупругой моделью / А.А. Кусаинов, Дж.М. Келли // Строит, механика и расчет сооружений. — 1991.-№3.-С. 27-34.

43. Лазарев, И.Б. Об одной схеме использования декомпозиции при оптимальном проектировании конструкций / И.Б. Лазарев // Известия вузов. Строительство. 1995. - № 10. - С. 30-34.

44. Ланкастер, П. Теория* матриц / П. Ланкастер. — М.: Наука, 1978. — 280 с.

45. Лисков, А.И. Расчет инженерных конструкций на импульсную нагрузку / А.И. Лисков // Строительная механика сооружений: Межвуз. тематический сб: тр. Л.: ЛИСИ, 1980. - G. 61-70;

46. Лиходед, А.И: О сходимости метода разложения по собственным формам колебаний в задачах динамического нагружения / А.И. Лиходед // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1986.-№. 1. - С. 180-188.

47. Лурье, А.И. Операционное исчисление и его приложения к задачам механики / А.И. Лурье. — М.; Л.: Гостехиздат, 1951. — 431 с.

48. Ляхович, Л.С. Метод отделения критических сил и собственных частот упругих систем / Л.С. Ляхович. — Томск: Изд. Томск, ун-та, 1970. — 161 с.

49. Ляхович, Л.С. Критерий оптимальности связей в задачах устойчивости и собственных колебаний упругих систем / Л.С. Ляхович, А.Н. Плахотин // Известия вузов. Строительство и архитектура. — 1986. — № 7. — С. 26-29.

50. Макаров; А.В. Построение матриц подсистем; при; решении задачи динамики методом частотно-динамической конденсации / А.В. Макаров; И.Г. Довженко // Промышленное и гражданское строительство. 2004. — №11.-С. 44-45.

51. Масленников, A.M. Нестационарные колебания систем с конечным числом степеней свободы /, A.M. Масленников // Известия вузов. Строительство и архитектура. — 1983. — № 4. — С. 31-39.

52. Масленников, A.M. Расчет башен на импульсную нагрузку / A.M. Масленников // Строит, механика и расчет сооружений. — 1985. — № 5. С. 36-39.

53. Масленников, A.M. Расчет конструкций при нестационарных воздействиях / A.M. Масленников. Л.: Изд. Ленингр. ун-та. - 1991. - 164 с.

54. МГСН 4.19-05. Многофункциональные высотные здания и комплексы. М.: ГУЛ "НИАЦ", 2006.

55. Металлические конструкции: Учебник для вузов / под общей ред. Е.И. Белени. — М.: Стройиздат, 1973. 688 с.

56. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений / В.А. Постнов, С.А. Дмитриев, Б.К. Елтышев, А.А. Родионов; под общей ред.

57. B.А. Постнова. — JL: Судостроение, 1979. — 288 с.

58. Нагрузки и воздействия на здания и сооружения / В.Н:Гордеев, А.И. Лантух-Лященко, В.А. Пашинский, А.В. Перельмутер, С.Ф. Пичугин; под общей ред. А.В. Перельмутера. М.: Изд-во АСВ, 2007. — 482 с.

59. Неустроев, Э.Я. Колебания двухмассовой системы, вызванные произвольной нагрузкой / Э.Я. Неустроев // Строит, механика и расчет сооружений. 1987. - № 2. - С. 63-65.

60. Николаенко, Н.А. Динамика и сейсмостойкость конструкций, несущих резервуары / Н.А. Николаенко. — М.: Госстройиздат, 1963. — 156 с.

61. Николаенко, Н.А. Динамика и сейсмостойкость сооружений / HiA. Николаенко, Ю.П. Назаров. — Mi: Стройиздат, 1988. — 310 с.

62. Остроумов, Б.В. О квазистатической составляющей реакции сооружений на порывы ветра / Б.В. Остроумов // Промышленное и гражданское строительство. 2006. — № 2. — с. 24—25.

63. Пановко, Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем / Я.Г. Пановко. — М.: Физматгиз, 1960. 196 с.

64. Пашков, И.А. Метод разложений по собственным формам колебаний упругого тела с внутренним и внешним трением / И.А. Пашков, И.Е. Трояновский // Прикладная математика и механика. 1991. - Т. 55, Вып. 6. —1. C. 972-981.

65. Перельмутер, А.В. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа / А.В. Перельмутер, В.И. Сливкер. Киев, Изд-во «Сталь», 2002. — 600 с.

66. Петров, В.В. Расчет пластинок и оболочек из нелинейно-упругого материала / В.В.Петров, И.Г. Овчинников, В.И. Ярославский. Саратов: СГУ, 1976.-134 с.

67. Пилипчук, В.Н. К расчету механических систем с импульсным возбуждением / В.Н. Пилипчук // Прикладная математика и механика. 1996. — Т. 60, Вып. 2. - С. 223-232.

68. Попов, Н.Н. Динамический расчет железобетонных конструкций / Н.Н. Попов, Б.С. Расторгуев. — М.: Стройиздат, 1974. — 208 с.

69. Постнов, В.А. Методы решения частичной проблемы собственных значений в механике на основе использования теоремы Рауса / В.А. Постнов // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1998. - № 5. - С. 88-97.

70. Потапов, А.Н. Динамический анализ дискретных диссипативных систем при нестационарных воздействиях: Монография / А.Н. Потапов. — Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2003. 167 с.

71. Потапов, А.Н. Вынужденные колебания конечномерной системы с упруговязким сопротивлением при импульсном воздействии / А.Н. Потапов, JI.M. Артемьева // Известия вузов. Строительство. — 2007. — №4. С. 27-33.

72. Потапов, А.Н. Вынужденные колебания каркасных зданий при периодических воздействиях / А.Н. Потапов, JI.M. Артемьева // Вестник ЮУр-ГУ, серия «Строительство и архитектура». Вып. 5. Челябинск: ЮУрГУ. -2007. - № 22 (94). - С. 51-53.

73. Потапов, А.Н. Временной анализ диссипативной системы на действие импульсной нагрузки / А.Н. Потапов, JI.M. Артемьева // Сб. тез. докл. на-уч.-техн. конф., 11-13 апреля, 2006. — Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2006.-С. 1-2.

74. Потапов, А.Н. Математические модели нелинейного расчета конечномерной диссипативной конструкции / А.Н. Потапов, JI.M. Артемьева, В .В. Колтан // Южно-Ур. гос. ун-т: Челябинск, 2008. 11 с. Деп. в ВИНИТИ 10.07.2008, № 597-В20008.

75. Потапов, А.Н. Временной анализ каркасных зданий из нелинейно-упругого материала / А.Н. Потапов, JI.M. Артемьева // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2008. - Vol. 4(2). - P. 98-99.

76. Проектирование и расчет многоэтажных гражданских зданий и их элементов: Учеб. пособие для вузов / П.Ф.Дроздов, М.И.Додонов, JI.JI. Паныиин, P.JI. Саруханян; под ред. П.Ф.Дроздова. М.: Стройиздат, 1986. -351 с.

77. Пшеничнов, Г.И. Метод декомпозиции решения уравнений и краевых задач / Г.И. Пшеничнов // Докл. АН СССР. 1985. - Т. 282 , № 4. -С. 792-794.

78. Расторгуев, Б.С. Проектирование зданий и сооружений при аварийных взрывных воздействиях. Учебное пособие / Б.С. Расторгуев, А.И. Плотников, Д.З. Хуснутдинов. — М.: Изд-во АСВ, 2007. 152 с.

79. Расчет сооружений на импульсивные воздействия / И.М. Рабинович, А.П. Синицын, О.В. Лужин, Б.М. Теренин. — М.: Стройиздат, 1970. — 304 с.

80. Резников, Л.М. Эквивалентная* модель многомассовой системы- с вязким и частотно-независимым трением / Л.М. Резников // Строит, механика и расчет сооружений. — 1979. — № 4. С. 44-48.

81. Резников, Л.М. Сравнение некоторых способов учета частотно-независимого внутреннего трения / Л.М. Резников // Строит, механика и расчет сооружений. 1982. - № Г. - С. 54-59.

82. Руководство > по расчету зданий и сооружений на действие ветра. — М.: Стройиздат, 1978. 216 с.90.f Рэлей, Дж. Теория звука / Дж. Рэлей. — М.; Л.: Гостехиздат, Т.1, 1940.- 500 с.

83. Савицкий; F.A. Ветровая нагрузка на сооружения / Г.А. Савицкий! — М.: Изд-во литературы по строительству, 1972. — 110 с.

84. Сеницкий, Ю.Э. Удар вязкоупругого тела по пологой сферической оболочке / Ю.Э. Сеницкий // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1982.2. С. 138-143.

85. Сеницкий, Ю.Э. Колебания днища призматического резервуара / Ю.Э. Сеницкий, Н.Я. Стулова // Известия вузов. Строительство. — 1996. — №7.-С. 37-44.

86. Сеницкий, Ю.Э. К решению осесимметричной динамической задачи для неоднородной по толщине цилиндрической оболочки с конечной сдвиговой жесткостью / Ю.Э. Сеницкий, И;Е. Козьма// Известия вузов. Строительство. -2005: -№2.-С. 8-18.

87. Симиу, Э. Воздействие ветра на здания и сооружения / Э. Симиу, Р. Сканлан. — М:: Стройиздат, 1984. — 360 с.

88. Смирнов, А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений / А.Ф. Смирнов. М.: Трансжелдориздат, 1958. - 572 с.

89. СНиП 2.01.07-85*. Нагрузки и воздействия. М.: ФГУП ЦПП, 2006. -44 с.

90. СНиП П-23-81*. Стальные конструкции. М.: ЦИ111 Госстроя СССР, 1988.-96 с.

91. Снитко, Н.К. Общее решение задачи о периодических повторных ударах / Н.К. Снитко// Исследования по теории сооружений. М.: Стройиздат, 1954. - Вып. 6. - С. 45-54.

92. Строительная механика; Динамика и устойчивость сооружений / А.Ф. Смирнов, А.В. Александров, Б.Я. Лащеников, Н.Н.Шапошников. М.: Стройиздат, 1984. - 616 с.

93. Соколов, А.Г. Металлические конструкции антенных устройств / А.Г. Соколов. М.: Стройиздат, 1971. - 240 с.

94. Сорокин, Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем / Е.С. Сорокин. М.: Госстройиздат, 1960. - 132 с.

95. Сорокин, E.G. О погрешностях общеизвестного метода теории колебаний диссипативных систем в применении к неоднородному демпфированию / Е.С. Сорокин // Строит, механика и расчет сооружений. — 1984. — № 2.-С. 29-34.

96. Справочник по динамике сооружений / под ред. Б.Г. Коренева, И.М. Рабиновича. М.: Стройиздат, 1972. — 512 с.

97. Теория и практика расчета зданищ сооружений и элементов конструкций; Аналитические и численные методы. Сб. трудов международной научно-практической конференции / Московский государственный строительный университет. -М.: МГСУ, 2008. 356 с.

98. Технология металлов / Б.В. Кнорозов, Л.Ф. Усова, А.В. Третьяков и др.; под ред. Б.В. Кнорозова. — М.: Металлургия, 1979. — 904 с.

99. Тимошенко, С.П. Теория колебаний в инженерном деле / С.П. Тимошенко. -М.; Л.: Гостехиздат, 1932. — 344 с.

100. Тупикин, А.И. Исследование свободных колебаний оболочки градирни методом конечных элементов / А.И. Тупикин // Динамика сооружений: Сб. статей под ред. проф. А. И. Цейтлина, Тр. ЦНИИСК им. Кучеренко. М.: Стройиздат, 1975. - Вып. 43. - С. 28-46.

101. Филиппов, А.П. Колебания деформируемых систем / А.П. Филиппов. — М.: Машиностроение, 1970. 736 с.

102. Фунайоли, Е. Вынужденные колебания с вязким; и- кулоновым трением / Е. Фунайоли // Сборники переводов и обзоров иностр; период, литера-, туры: Механика; № 4, Вып. 38. М.: ИЛ; 1956. - С. 145-155.

103. Халфман, Р.Л. Динамика / Р.Л. Халфман. М.: Наука; 1972. - 568 с.

104. ПЗ.Хейл, А. Метод подконструкций в программе общего назначениядля динамического расчета конструкций / А. Хейл, Л. Уоррен // Конструирование и технология машиностроения: Тр. амер. общества инженеров-механиков, № 1,Т. 107, 1985.-С. 1-13.

105. Хинц, Р. Аналитические методы синтеза форм колебаний конструкций / Р. Хинц // Ракетная техника и космонавтика: Журнал амер. инст. аэронавтики и астронавтики (AIAA Journal). — М.: Мир, 1975. Т. 13, № 8. -С.50-63.

106. Цейтлин, А.И. Методы учета внутреннего трения в динамических расчетах конструкций / А.И. Цейтлин, А.А. Кусаинов. — Алма-Ата: Изд. Наука Казахской ССР, 1987. 240 с.

107. Чернов, Ю.Т. Исследование нелинейных систем при кратковременных динамических воздействиях / Ю.Т. Чернов // Строит, механика и расчет сооружений. 1982. - № 3. - С. 35-40.

108. Чернов, Ю.Т. Вибрации строительных конструкций: Научное издание / Ю.Т. Чернов. — М.: Изд-во ассоциации строительных вузов, 2006. — 288 с.

109. Шапошников, Н.Н. Развитие методов численного интегрирования уравнений движения динамических систем / Н.Н. Шапошников, С.К. Кашаев, О.В. Белозерская // Известия вузов. Строительство. — Новосибирск, 1997. — №9.-С. 89-93.

110. Шипилов, А.Г. Отклик башен-градирен на динамическое воздействие / А.Г. Шипилов // Строительная механика сооружений: Межвуз. тематический сб. тр.-Л.: ЛИСИ, 1981.-С. 136-146.

111. Caughey, Т.К. Classical Normal Modes in Damped Linear Dynamic Systems / Т.К. Caughey // ASME. 1960. - E27, № 2. - P. 269-271.

112. Caughey, Т.К. Classical Normal Modes in Damped Linear Dynamic Systems / Т.К. Caughey, M.E.I. O'Kelly // ASME. -1963. -Vol. 32, № 3. -P. 583-588.

113. Dadeppo, D.A. Damping in Discrete Linear Elastic Systems / D.A. Dadeppo // Engng Mech. Div., ASCE. 1963. - Vol. 89, № EM2, Part 1. -P. 13-18.

114. Dubois, J. J. An improved fluid superelement for the coupled Solid-fluid-surface wave dynamic interaction problem / J. J. Dubois, A.L. de Rouvray // Earthquake Eng. Struct. Dynam. 1978. - Vol. 6, № 3. - P. 235-245.

115. Foss, K.A. Coordinates Which Uncouple the Equations of Motion of Damped Linear Dynamic Systems / K.A. Foss // ASME, Journal of Applied Mechanics. 1958. -V. 25. - P. 361-364.

116. Riera, J.D. On the stress analysis of structures subjected to aircraft impact forces / J.D. Riera // Nuclear Engineering and Design, 1968. Vol. 8. -P. 415-426.

117. Sorrentino, S. Analysis of non-homogeneous Timoshenko beams with generalized damping distributions / S. Sorrentino, A. Fasana, S. Marchesiello// Journal of Sound and Vibration. 304 (2007). - P. 779-792.

118. Sorrentino, S. A new analytical technique for vibration analysis of non-proportionally damped beams / S. Sorrentino, S. Marchesiello, B.A.D. Piombo // Journal of Sound and Vibration. 265 (2003). - P. 765-782.

119. Sun, C.T. Vibration of multi-degree-of-freedom systems with non-proportional viscous damping / C.T. Sun, J.M. Bai // Int. J. Mech. Sci. 1995. -Vol. 37, No. 4.-P. 441-455.ли: