автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Математические постановки и подходы к численному решению краевых задач строительной механики для расчета комбинированных систем

На правах рукописи

003484934

Воробьев Михаил Валериевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОСТАНОВКИ И ПОДХОДЫ К ЧИСЛЕНННОМУ РЕШЕНИЮ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ДЛЯ РАСЧЕТА КОМБИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

2 С КОЯ ?С

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 2009

003484994

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Московский государственный строительный университет.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Золотов Александр Борисович]

Официальные оппоненты: чл.-корр. РААСН, доктор технических наук,

профессор Андреев Владимир Игоревич

кандидат физ.-мат. наук, доцент Жаворонок Сергей Игоревич

Ведущая организация: ГУП Московский научно-исследовательский

и проектный институт типологии, экспериментального проектирования (МНИИТЭП)

Защита состоится « 1 » декабря 2009 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при ГОУ ВПО Московский государственный строительный университет по адресу: 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, ауд. 420 УЖ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Московский государственный строительный университет.

Автореферат разослан «_»_2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Анохин Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Создание и внедрение в современную строительную практику новых видов конструкций, применение разнообразных форм конструирования, внедрение новых материалов и новых технологий строительства определяет актуальность задачи корректного и достоверного численного расчета сложных комбинированных систем. Построение и исследование математических моделей для расчета строительных сооружений, в том числе, расчета комбинированных систем, является одним из важнейших аспектов обеспечения безопасного проектирования.

Учитывая, что сложность соответствующих моделей может быть весьма высока, для достижения требуемой точности и скорости расчетов очевидна необходимость применения ЭВМ. Среди современных вычислительных методов в большей степени внедрены в практику расчета строительных конструкций и сооружений метод конечных элементов (МКЭ) и метод граничных элементов (МГЭ). МКЭ имеет полувековую историю развития, хорошо изучен и заслуженно пользуется популярностью в среде расчетчиков. МГЭ появился позднее и, в сочетании с современным уровнем мощности компьютерной техники и программного обеспечения, развития математики в области аналитических методов (теория обобщенных функций, теория граничных интегральных уравнений) открывает новые вычислительные возможности исследования в области расчета конструкций.

В настоящей работе разрабатывается и исследуется методика решения задач расчета комбинированных систем с применением аналитического аппарата теории граничных интегральных уравнений. Стыки конструкций всегда являются зонами повышенной опасности, именно там чаще происходят разрушения. При этом важной исследовательской проблемой является задача расчета соединений конструкций разной размерности или разной ориентации в пространстве (например, стержень, расположенный перпендикулярно к плите, или плиты, расположенные под углом друг к другу). Так же важным является возможность корректного расчета фрагментов сооружений, математическая модель которых состоит из дифференциальных уравнений разного порядка (например, балка на упругом полупространстве или балка, опирающаяся продольно на конструкцию, напряженное состояние которой описывается уравнениями плоской задачи теории упругости, и т.д.). В этих случаях при стандартных подходах с позиций метода конечных элементов имеет место так называемая «несовместность» элементов, примыкающих к линиям или поверхностям стыковок. Это происходит из-за того, что функции формы стыкуемых конечных элементов представлены полиномами разного порядка. Поэтому на границах соответствующих конечных элементов в решениях будут разрывы, что приводит к не всегда контролируемым и предсказуемым погрешностям. Из этого следует актуальность аналитического решения таких задач, позволяющего либо непосредственно осуществить уточненный расчет конструкции, либо использовать его для сопоставления и корректировки результатов численных расчетов.

Целью работы является развитие современных методов расчета сложных строительных конструкций путем корректного совместного численного решения краевых задач на базе метода граничных элементов. Для достижения указанной цели поставлены и решаются следующие задачи:

1. Построение единой методики аналитического решения краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, позволяющей преодолеть трудности, обусловленные явлениями типа краевого эффекта и наличием в решении экспоненциальных составляющих с положительными аргументами (настоящая методика является основой для разрабатываемых подходов к численному решению краевых задач строительной механики для расчета комбинированных систем).

2. Формулировка общей операторной постановки, обеспечивающей должную обусловленность соответствующих дискретных задач и безусловной вариационной постановки (не налагающей дополнительных условий, например, кинематических, на функции из области определения) краевой задачи о поперечном изгибе балки Бернулли.

3. Формулировка общей операторной постановки в виде единого уравнения, включающего условия внутри области и на ее границе, и безусловной вариационной постановки (пространство функций, на котором функционал определен, не имеет ограничений, кроме наличия второй производной) краевой задачи об изгибе плиты.

4. Формулировка общей операторной постановки в виде единого уравнения, включающего условия внутри области и на ее границе, и безусловной вариационной постановки (пространство функций, на котором функционал определен, не имеет ограничений, кроме наличия первой производной) краевой задачи для двумерной задачи теории упругости.

5. Разработка корректного численного метода решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой двух плит, работающих в разных плоскостях.

6. Разработка корректного численного метода решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой балки-стенки (двумерная задача теории упругости) и балки.

7. Программная реализация и приложение разработанных подходов решения тестовых и практических задач расчета строительных конструкций.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

1. Построена единая методика аналитического решения краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, являющаяся основой для разрабатываемых в диссертации подходов.

2. Сформулирована общая операторная постановка и безусловная вариационная постановка краевой задачи о поперечном изгибе балки Бернулли.

3. Сформулирована общая операторная постановка и безусловная вариационная постановка краевой задачи об изгибе плиты.

4. Сформулирована общая операторная постановка и безусловная вариационная постановка краевой задачи для двумерной задачи теории упругости.

5. Разработан корректный численный метод решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой двух плит, работающих в перпендикулярных плоскостях.

6. Разработан корректный численный метод решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой стенки и балки.

Практическая значимость работы состоит в:

> разработке методики, алгоритмов и программного комплекса, реализующих метод аналитического решения краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений;

> разработке методики, алгоритмов и программного комплекса, реализующих метод решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой двух плит, работающих в перпендикулярных плоскостях;

> разработке методики, алгоритмов и программного комплекса, реализующих метод решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой стенки и балки;

> в выполненных расчетах реальных конструкций.

Внедрение работы состоит в использовании разработанных методов, алгоритмов и программ для решения задач расчета строительных конструкций при выполнении научно-исследовательских работ в МГСУ и ЗАО «Научно-исследовательский центр СтаДиО».

На защиту выносятся:

1. Метод аналитического решения краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Общие операторные постановки и безусловные вариационные постановки краевых задач об изгибе плиты, поперечном изгибе балки Бернулли и для двумерной задачи теории упругости.

3. Численный метод решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой двух плит, работающих в перпендикулярных плоскостях.

4. Численный метод решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой стенки и балки.

5. Постановки задач, ориентированные на численную реализацию.

6. Решения задач по разработанным численным подходам.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: V, VII научно-практическая и учебно-методическая конференция «Фундаментальные науки в современном строительстве» (Москва, 2006, 2008 гг.); XXII Международная конференция «Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов BEM&FEM» (Санкт-Петербург, 2007 г.); II Международный симпозиум «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (Пермь, 2008 г.); научно-техническая конференция Института фундаментального образования МГСУ по итогам научно-исследовательских работ студентов и мо-

лодых ученых за 2007/2008 учебный год (Москва, 2008 г.); научные семинары кафедры информатики и прикладной математики под руководством профессоров В.Н. Сидорова и А.Б. Золотова (Москва, 2002-2009 гг.); научные семинары в Научно-исследовательском центре «СтаДиО» под руководством профессора A.M. Белостоцкого (Москва, 2002-2009 гг.).

Достоверность и обоснованность результатов основана на строгости используемого математического аппарата; сопоставлении полученных результатов с результатами проводимых параллельно контрольных расчетов с привлечением верифицированных программных комплексов промышленного типа; сопоставлении результатов расчета с решениями, полученными по другим аналитическим и численным методам; экспертной оценке точности решений специалистами в области НДС.

Публикации. По материалам и результатам исследований опубликовано 18 работ, из них 3 в журналах перечня ВАК.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы, включающего 187 наименований, и четырех приложений. 140 страниц основного текста и 50 страниц приложений включает 93 рисунка.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы исследования, сформулированы цели и задачи диссертационной работы, приведены основные положения, составляющие научную новизну, и отмечена практическая значимость.

В первой главе приводится краткая характеристика и обзор литературы по методу конечных элементов (МКЭ), методу граничных интегральных уравнений (ГИУ) и его практической реализации - методу граничных элементов (МГЭ). Указываются преимущества и недостатки указанных методов, в особенности с позиций решения задач о расчете комбинированных систем (вопросы «стыковки» конструкций и т.д.).

Отмечается, что проблема стыковки конструкций в МКЭ представляют специальный раздел изучения. Для ее разрешения разработаны методики, использующие специальные функции формы, которые обеспечивают разный порядок погрешности в разрыве (погрешность поточечная, среднеинтеграль-ная и т.д.). В какой-то степени соответствующие вопросы носят теоретический характер, поскольку реальная расчетная схема зоны стыковки имеет трехмерную размерность, несмотря на то, что состыкованы могут быть, например, двумерные конструкции. Эти проблемы и соответствующая библиография отражены в работах Ф.М. Свойского. В целом, среди исследований в области МКЭ указываются работы М.В. Белого, A.M. Белостоцкого, В.Г. Вельского, В.Е. Булгакова, А.И. Голованова, A.C. Городецкого, А.Б. Золотова, В.А.Игнатьева, В.Н. Корнеева, С.Б. Косицына, Е.М. Морозова, В.И. Мя-ченкова, A.B. Перельмутера, В.А. Постнова, A.M. Проценко, JI.A. Розина, В.А. Семенова, В.Н. Сидорова, В.И. Сливкера, С.И. Трушина, С.Ю. Фиалко,

P.A. Хечумова, H.H. Шапошникова, К. Бате, Е. Вилсона, Р. Галлагера, О. Зенкевича, Дж. Одена, Л. Сегерлинда, М. Секуловича и др.

Указывается, что наиболее естественным методом аналитического подхода к задаче стыковки сооружений является метод граничных интегральных уравнений (ГИУ). При этом подходе задача сводится к некоторой системе интегральных уравнений с неизвестными функциями, сосредоточенными по линии стыковки. Специфика состоит в том, что эти уравнения достаточно разные в случае стыковки таких конструкций как плита и плоская задача теории упругости, причем наиболее сложной в математическом плане оказывается плита. В этой связи постановке задачи должен предшествовать анализ и реализация соответствующих ГИУ. Отмечается вклад в развитие методов ГИУ и МГЭ таких ученых как С.М. Алейников, Ю.Г. Верюжский,

A.Б.Золотов, В.П. Клепиков, Ю.Д. Копейкин, C.B. Кузнецов, В.Д. Купрадзе, М.И. Лазарев, A.M. Линьков, В.М. Лиховцев, О.В. Лужин, С.Г. Михлин, Н.И. Мусхелишвили, В.З. Партон, П.И. Перлин, Л.Г. Петросян, B.C. Рябенький,

B.Н. Сидоров, А.Г. Угодчиков, Н.М. Хуторянский, Р. Баттерфилд, П. Бе-нерджи, К. Бреббиа, С. Крауч, А. Старфилд, Д.К.Ф. Теллес и др.

Анализируются методы, основанные на рассмотрении задачи в расширенной области с дополнительными силовыми или кинематическими воздействиями, размещаемыми на границе области или за ее пределами, предложенные А.Б. Золотовьм (метод стандартной области), Б.Г. Кореневым (метод компенсирующих нагрузок), О.В. Лужиным (метод расширения заданной системы), Л.Г. Петросяном, Г.Я. Поповым, Р.В. Серебряным, В.И. Травушем (метод обобщенных решений), А.И. Цейтлиным (метод дельта-преобразования).

Использование в диссертации аппарата обобщенных функций предопределило наличие в обзоре параграфов, посвященных их применению для решения задач расчета конструкций.

Во второй главе описаны постановки краевых задач расчета балочных конструкций и корректные методы их аналитического решения. Данный раздел диссертации является вводным по отношению к общей теме работы и при этом имеет самостоятельное методическое значение.

В начале главы приводится общее описание корректного метода аналитического решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, Затем на примерах конкретных задач строительной механики иллюстрируется применение предлагаемого метода. Строится общая операторная постановка краевой задачи о поперечном изгибе балки Бернулли. За основу берется операторное соотношение

<■>

d2 d2

где ^ = ~~ дифференциальный оператор рассматриваемой задачи

о поперечном изгибе балки, в = в(х) - характеристическая функция области Q = {х : Ocxcé}, 8Г -дельта-функция границы 5П : 5Г (х) = 5{х) - 8{х -1), t - длина балки.

где

Общая операторная постановка имеет вид:

<ev=í?,

(2) (3)

причем оператор % по сути является оператором краевой задачи о поперечном изгибе балки с естественными краевыми условиями; 1Г - граничный оператор; £*г - сопряженный граничный оператор; ^ - правая часть (нагрузка), заданная внутри области О; / - статическая правая часть (нагрузка), задаваемая на границе области С}; # - кинематическая правая часть, задаваемая на границе области П.

Кроме того, при построении общей операторной постановки были введены следующие характеристические функции краевых условий:

рота, поперечной силы и изгибающего момента на к -ой границе, а выражение у/к=! означает, что величина цгк на к -ой границе не задана и является искомой, к = 1 для х = 0; к = 2 для х = I.

Область определения этого оператора в общем случае не предполагает специальных кинематических (главных) условий, налагаемых на соответствующие функции. Предлагаемый подход обеспечивает правильную обусловленность соответствующих дискретных задач, следующих из операторной постановки.

Поскольку оператор 31 краевой задачи в уравнении является самосопряженным, то этой задаче в соответствие может быть поставлена вариационная постановка в виде суммы квадратичного и линейного функционалов. Соответствующий функционал имеет вид:

Здесь \к,<рк,<2к и Мк - известные (заданные) значения прогиба, угла пово-

(9)

или

(10)

где для произвольной функции у/ запись ц/\'0 означает у/^ =ц/(1)-ц/(0).

Функционал Ф является безусловным (с точки зрения отсутствия дополнительных условий) обобщением функционала Лагранжа. Функционал Лагранжа вытекает из него, если рассматривать Ф на множестве функций с соответствующими кинематическими ограничениями.

В третьей главе представлены постановки краевой задачи об изгибе плиты. Приводится единая операторная формулировка задачи для естественных краевых условий на основе метода стандартной области

д2вми д2вмп дгвмг2 . а.., а . .. , ,

дх дхду су ах су

где изгибающие и крутящий моменты Мх,, М22, Мп определяются формулами Ми =0(хп +УХгг\ М22 = °(уХи + Х22)' М12 =0.5-Входящие в это представление компоненты тензора кривизны Х\\-> Хгг> Х\г имеют вид %п=-д2-и//дх2, х22=-д2м>/ду2, %п = -2дг^1дхду- V - прогиб плиты; £> = £/г3/[ 12(1-V2)] - цилиндрическая жесткость; у - коэффициент Пуассона материала плиты; Е - модуль упругости; к - толщина; q -плотность нагрузки; (2, Мх, Му - поперечная сила и крутящие моменты на

границе плиты; О - исходная область; со - стандартная расширенная область: С2 с со\ 0 - 0(х) - характеристическая функция области О (см. рис. 1).

Формулировка задачи представима также в более развернутом виде:

2 а2 ( д2 52 52 дП д2 02 "

дх2 ду2 ду2 дх2 /

д я I, д

дх су

Дается операторное соотношение краевой задачи с использованием граничных координат, определенное на всем пространстве

д2 „д2 э2 а2 д2 32 я2 ^

—тв—г + —тв—г + v

дх2 дх2 ду2 ду2

дхду дхду

= -в9 + 8г0 + —8гМ1+—дгМу, (х,у)еео. (12)

Рис. 1.

Ь9м = вЫ + 8ГУ + д\8тМу - Ь'иу6г<Ру - Ь'У3Г\V, (13)

где Ь - оператор задачи об изгибе плиты, при этом

"а, о" "а, 0" Г 3? 1

А = 0 52 Л ; А = 0 д2 р! Э,. ;12=1,У = 26251

4^; = (э?

У =

'3.

(14)

(15)

= У=[э; ¿ = 1,2; (16)

йх^

С = £>

(17)

1 V О V 1 О

О 0 0.5 - (1 - V) В - цилиндрическая жесткость, v - коэффициент Пуассона; ЬМу - оператор вычисления моментов по нормали, соответственно, ¿Му -сопряженный к нему; Ьу - оператор вычисления обобщенных поперечных сил на границе, соответственно, Ну - сопряженный к нему, ЬМу — Г„Ьу = -ТУУСЬ2 = -С^Ь 2 = ;

= = = -ЬгСуу = -V ЬХС„;

¿к = + дтЬМт; Ьу - -Ьду + ЬМтдг,

при этом или

1'ву = Ь'дУ = = С2СЬху = V '¿¡СЦу

: -£>У2 V V = -ОЧ2д'у = ЯУ2^.

(18)

(19)

(20) (21)

Здесь V2 =д\ +92 _ оператор Лапласа; Ьш

оператор вычисления моментов по касательной, соответственно,!^. - сопряженный к нему, ¿л/г " Ггу-^л/ = = -С„Ьг = -С^У;

4, = 4Гг, = = = ; (22)

- производная по нормали, 8Т - производная по касательной; V - вектор внутренней нормали к границе; Г - вектор касательной к границе, направленный против часовой стрелки,

V. Гг.

(23)

• т —

> * —

Г =

о" V, " V,2 1

0 = у\ и и*

у1.

I 1

2 1

= Г„;(24)

г;=[г,^ т2у2 т,у2 +т2у]}=г1!' (25)

^УИ ~ > = С^уу > ^ГУ ~ ^"гУ = Сут > ^ТУ " СГ„ = Суг , (26)

V - обобщенная поперечная сила, Му - изгибающий момент (по нормали), <ру - угол поворота по нормали, IV - прогиб плиты.

На основе полученного операторного соотношения строится общая операторная постановка смешанной краевой задачи об изгибе плиты Ьвп = 8гк/ + д'у8тк2Му - 1*Му8тк2сру +

+ Р0 + 8гк,У + 8'у8гк2Му - Ь'Му8гк2фу - (27)

Здесь Г0 = вЫ - нагрузка внутри области и фу, Му, V - заданные величины, а характеристические функции краевых условий определены следующим образом

, ч Г1, м>-задано _ ^ ч _ _ [0, У-незадано

*■(*) = „ . = = ] , (28) [О не задано [1, V - задано

Г1, юу -задано ГО, М - не задано

к2(х) = \ => (х) = 1 -к2(х) = •! " .(29)

[О ,<ру- не задано [1, Му - задано

Введем обозначения

Г = £ц-£г-?г; Р = Р0+/г^п (30)

где 10 - оператор краевой задачи с естественными краевыми условиями, 1тмг -граничный оператор, соответствующий заданным внешним нагрузкам, сопряженный к нему /уИ1; Р- объединенная правая часть; /г - правая часть, соответствующая заданным нагрузкам; gг - правая часть, соответствующая заданным перемещениям (кинематическим условиям):

Ьй = Ь*2вСЬ2', £г\у = 8ткхУ + д"у8хк2Му\ /гм> = ь'Му8гк2<ру +Су8ткхч>\ (31) Р = ^ + ~8г> гДе /г = 7 +с\,8гк2Му ; gг = £ш8тк2фу + ¿у8ткхй. (32)

Тогда общую операторную формулировку смешанной краевой задачи можно представить как

= (33)

Очевидно, что полученная формулировка краевой задачи имеет самосопряженный оператор. Отметим, что такая постановка представляет собой единое уравнение, включающее в себя все условия, определяющие краевую задачу как внутри области, так и на ее границе. При этом его можно рассматривать на любой окаймляющей области. Самосопряженному оператору соответствует вариационная постановка. Квадратичный функционал этой постановки имеет вид

ФО) = ~ лу)С1Х - ту)ск (34)

или Ф(и') = - ^(СЬ2\\>,Ь^)с1х - ^к^ЬуМ^Ж - ^к2{Ьшм>,дуы)сК-

2П

п г г

+ + \кг(ф„,Ьшп)<1Г. (35)

Отметим, что такой функционал при некоторых кинематических условиях (кг, = 1 или кг=\) может не быть положительно определенным. Поэтому решением вариационной задачи является не минимум, а стационарная точка функционала (функция м'(х) удовлетворяет уравнению I и- = -Г ).

Следует особо отметить, что представленный функционал является безусловным, т.е. пространство функций, на котором он определен, не имеет ограничений, кроме наличия второй производной.

Такой функционал можно назвать обобщенным функционалом Ла-гранжа. Отметим, что если рассматривать его на множестве функций, удовлетворяющих кинематическим ограничениям, то получим обычный функционал Лагранжа.

В четвертой главе представлены постановки краевой задачи теории упругости. Приводится единая операторная формулировка задачи для естественных краевых условий на основе метода стандартной области

0, (х,у)есо, (36)

Н

где компоненты тензора напряжений определяются формулами ег. = ЗуЛе + 2/.1Е,,. В свою очередь, входящие в это представление компоненты

тензора деформаций имеют вид е^ = 0.5 ■ (д¡Uj + д^,). Кроме того, е = еи+£22, ду - символ Кронекера, и( - компоненты вектора перемещений; Я, /л - параметры Ламе, ^ - компоненты вектора объемной нагрузки, - компоненты вектора граничной нагрузки, О - исходная область, т - стандартная расширенная область: Пса, 0 = 0(х) - характеристическая функция области О.

Формулировка задачи представима в более развернутом виде

+ ¡ = 1,2- (37)

./=1

Дается операторное соотношение краевой задачи с использованием граничных координат, определенное на всем пространстве

Ьвй = вЬи - 8Тау + ¿т8гй, где Ь - оператор задачи теории упругости, при этом

(38)

L — ¿j CL\ j Lj

а, о о d2 pi

;L =

д\ 0 0 d\

; c =

2/л + Х X 0

я

2jx + X 0

; (39)

ст = [<тп (T21 сг12]T; и = [w,,u2]T;

(40)

av - нормальные напряжения; Lav - оператор вычисления нормальных напряжений, соответственно, L'm - сопряженный к нему; La - оператор вычисления внутренних напряжений,

= Lav = ГХ; L'av = L'aTv ; La = СЦ; (41)

о' V, 0 0 уг V, _

0 ; Г*=Гг=: > А V Х V

У 2 "I.

V, И V,

■ компоненты вектора внутренней нормали,

На основе полученного операторного соотношения строится общая операторная постановка смешанной краевой задачи теории упругости

10\\> = - + 1'ау8гШ- 8хк§у + ¿'тдгки , (43)

Здесь = ОЬи1 - нагрузка внутри области П и й, ау,- заданные величины, а характеристические функции краевых условий определены в виде

Г1, й-задано _ Г 0, - не задано

к(х) = \ _ =>£(*) = 1-/ф-)=Ч _ • (44)

[0 ,и- не задано [1, ау - задано

Введем обозначения 1 = Х0 + £г + £'г, где 10=^6С£,; £гй = дгкау; £'гй = Ь'т,Згкг7; (45) 10 - оператор краевой задачи с естественными краевыми условиями, приграничный оператор, соответствующий заданным внешним нагрузкам, со-

пряженный к нему

Р = ~ /г + Яг. гДе /г = ¿г*^: Яг = ;

(46)

Т7 - объединенная правая часть; /г - правая часть, соответствующая заданным нагрузкам, gГ - правая часть, соответствующая заданным перемещениям (кинематическим условиям).

Тогда общую операторную формулировку смешанной краевой задачи можно представить как

1п = Р. (47)

Очевидно, что полученная формулировка краевой задачи имеет самосопряженный оператор. Отметим, что такая постановка представляет собой единое уравнение, включающее в себя все условия, определяющие краевую задачу как внутри области, так и на ее границе. При этом его можно рассматривать на любой окаймляющей области. Самосопряженному оператору соответствует вариационная постановка. Квадратичный функционал такой постановки имеет вид

ф(м) = - |(1м,г7)й& - ¡(Р,й)еЬс

(48)

Ф(г7) = |(С1,г7,1,г7)Л + $к(Ьтй,й)с1Г - м)<& +

или

(49)

+ ]лг((Ту,и)<зГ- ^к(й,1ти)(К г г

Отметим, что такой функционал при некоторых кинематических условиях (к = 1) может не быть положительно определенным. Поэтому решение вариационной задачи является не минимум, а стационарная точка функционала (вектор-функция й(х) удовлетворяет уравнению Ьй = Н).

Важно отметить, что представленный функционал является безусловным, т.е. пространство функций, на котором он определен, не имеет ограничений, кроме наличия первой производной. Такой функционал можно назвать обобщенным функционалом Лагранжа. Отметим, что если рассматривать его на множестве функций, удовлетворяющих кинематическим ограничениям, то получим обычный функционал Лагранжа.

В пятой главе представлен метод численного расчета напряженно-деформированного состояния комбинированной системы, образованной стыковкой двух плит как это схематично показано на рисунке 2

Полученный алгоритм разработан на основе непрямой постановки метода граничных элементов. Следует отметить, что исследуемая конструкция работает как трехмерная, однако все формулировки даны для плоских задач (двумерная теория упругости и задача об изгибе плиты - для каждого из стыкуемых элементов). Каждая из этих задач рассматривается в своей локальной системе координат. Переход от одной локальной системы к другой сводится лишь к взаимной замене второго и третьего направлений. При этом положительное направление прогиба верхней плиты противоположно вертикальному направлению нижней плиты.

Верхняя конструкция

В соответствии с рисунком 3 введены следующие обозначения: Ов - область, занимаемая верхней плитой, ^ - ширина верхней плиты, - высота верхней плиты, Гв - граница области Г2В, не включающая участок границы, по которому проходит стыковка плит, Гс - граница стыковки, кр -толщина плиты.

Рис. 2

Гв

\

Гв

\

а

-ы!2 0 \ 51/2 *Х,

''Х2 Гс Рис. 3.

Задача теории упругости - вторая краевая задача Ьи = Рв, хеС1в

1и =

/с.

Задача об изгибе плиты - вторая краевая задача

74.

, где /с = [/с1,/с2]г ~ неизвестные. (50)

= = = '"¡Л (51)

[ Мс, х е Гс [Ус , х е Гс

Здесь Мс и Ус - неизвестные, Ов - цилиндрическая жесткость верхней плиты, Ьш - оператор вычисления моментов по нормали, Ьу - оператор вычисления обобщенных поперечных сил на границе. Нижняя конструкция

Пн

/ Гс 0

Ь2

"Х2

Рис. 4.

/

Гн

Ь, х.

На рисунке 4 показаны следующие обозначения: Он - область, занимаемая нижней плитой, Гн - внешняя граиица области Пн, Гс - граница стыковки, = <з, + ¿1 - длина нижней плиты, с12 - а2 + Ь2 - ширина нижней плиты.

Задача теории упругости - первая краевая задача Ьи-§ГсЯ, хеС1н, и = 0, хеГн. Здесь Д = [/?,,Д2]Г -неизвестные. (52) Задача об изгибе плиты - первая краевая задача ОдУ4н' = ^ГсДз+5^ГсЛ4, хеПн, м> = 0, хеГн, 0„м> = О, хеГн.(53) Здесь Щ и Л4 - неизвестные, Пн - цилиндрическая жесткость нижней плиты. ду~ оператор дифференцирования по внешней нормали V = [у,,у2]т , дт-оператор дифференцирования по касательной г = [г,,г2]г, Уравнения стыковки краевых задач.

'Лр/с1 =Л,

УС1И1=Я2

4

*н\

«В1 = Ч

ив2 = \»н м>в = -иН2 д^в =д2мн

Здесь кр - толщина плиты, а направление х2 для нижней плиты противоположно направлению нормали к внутренней границе Гс. Общий вид решения Верхняя конструкция. ив{х) = , где Чв =[^„?и]г;(55)

гвигс яв

Зе,

¡е2(х-4)Чвз(№4- / ОД

.г^иг.

ив<лв

• (56)

Нижняя конструкция.

«ЙМ= + Чн = [9я1,<7„2]г; (57)

гс гн

™/Дх) =

1

-•'Зу.

/

угн

(58)

Здесь цвк, , , А:=1,2,3,4 определяются из краевых условий и уравнений стыковки; £2(х) ~ фундаментальная функция для оператора V4; еуп{х) -фундаментальная матрица-функция для оператора задачи теории упругости,

(59)

ег{х) = £2{г) = -^—г2\х1г2 , г2=х2+х\\

16лг

^"« = —^2(2+77) 1 Ьгсц

"1 1 1п г2 +4 ц "1 А 1" XX 1

-1_ 4-+4п г _1

Х+ц

• (60)

В шестой главе представлен метод численного расчета напряженно-деформированного состояния комплексной системы (рис. 5) путем совместного решения краевых задач двумерной теории упругости, изгиба балки и задачи о сжатии-растяжении стержня.

Л

-¿¡2

-<11/2

Х2 Рис. 5.

а,/2

¿/2

X,

Полученный алгоритм разработан на основе непрямой постановки метода граничных элементов.

Стенка (Двумерная задача теории упругости, плоское напряженное состояние)

На рисунке 6 введены следующие обозначения: П - область, занимаемая стенкой, с/, - ширина стенки, - высота стенки, Г = Г0 и Гс - общая граница области О: Г0 - граница области П, не включающая участок границы, по которому проходит соединение с балкой, Гс - граница стыковки, к -длина граничного элемента стенки.

Задача теории упругости — вторая краевая задача

Г/0 , х е Г0

1/с . * е Гс

Ьи = ^ , х е О ,

Ы:

Здесь /с =[/с1)/с2]Г - неизвестные.

(61)

/

/Го

Л ■3

у

-¿1/2

О \ ¿1/2 % Гс

Рис. 6.

Ищем решение задачи в виде

«(*) = ¡Суп (х - У>уп<Ку + Iеуп (Х - У)Р{У¥У ,

(62)

где V =[у„,

уп Ууп. 2J

- неизвестная вектор-функция, сосредоточенная на границе.

Уравнение поперечного изгиба балки \у2(±с1/2) - уК±с!/2) = 0 - краевые условия

, здесь д2 - неизвестная.

(63)

При этом Е - модуль упругости; 3 = ЪЬ\112 - момент инерции: Ъ - толщина сечения, къ - высота сечения; с? - длина балки. Решение ищем в виде

Уг{х) = уй2{х) + Рг{х), (64)

гле>>02« = ^(^*(Зп))М = ^7 £ь(х) = ~^\х\'-> (65)

Ш

АП

вх(х) - характеристическая функция отрезка \_-dJ2 , ¿¡/2], е6(х) - фундаментальная функция оператора d4 /<&4, уь - неизвестная функция;

Р3(х) = с0 + с1х + с2х2 +с3х3; (66)

коэффициенты ск, к = 0,1, 2, 3 определяются из краевых условий задачи, которые можно представить в виде:

>зМ/2) = -Л2Ы/2)

' Р^/2) = -у02^/2) _Р3Хф) = -у"02У/2) Уравнение продольных перемещений стержня = , |*|«//2 [^,(±¿/2) = 0 - краевые условия При этом Е - модуль упругости; Р = НЬЬ - площадь сечения: Ь - толщина сечения, Иь - высота сечения; d - длина стержня. Решение ищем в виде

УА*) = Уп(х) + РМ, (68)

(67)

здесь - неизвестная. (68)

где

<0/2

(69)

-¿1/2

Р,(х) = с0+с,х; (70)

гдсест(х)=|х|/2 - фундаментальная функция оператора d2/dx2; гст - неизвестная функция; коэффициенты ск, к = 0,1 определяются из краевых условий задачи, которые с можно представить в виде:

(71)

ГР,М/2) = -Л,(-<//2)

\р^/2) = -Уо1 да

В заключении перечислены основные результаты работы и выводы.

В приложении 1 на примере задачи о поперечном изгибе балки Бер-нулли рассматривается проблема согласованности весовых характеристик смешанной краевой задачи.

В приложениях 2-4 приведены результаты численной реализации разработанной методики. Представлены результаты счета для тестовых примеров и их сравнение с результатами, полученными по верифицированным конечноэлементным комплексам, а также расчет фрагмента конструктивной схемы здания регулярной силовой структуры «стена-плита перекрытия». Расчетная схема фрагмента приведена на рис. 7. На рисунках 8 а) и б) показаны изолинии пе-

Рис. 7.

ремещений верхней стены, на рисунке 9 а),б),в) - изолинии прогибов и внутренних изгибающих моментов в нижней плите.

Рис. 8а) перемещения Щмм)

Рис. 86) перемещения и2(мм)

1 'т-

Рис. 9а) прогиб \у (мм) Рис. 96) момент М) ] Рис. 9в) момент М22

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построена единая методика аналитического решения краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений, являющаяся основой для разрабатываемых в диссертации подходов.

2. Сформулированы общая операторная постановка и безусловная вариационная постановка на примере краевой задачи о поперечном изгибе балки Берну лли.

3. Сформулированы общие операторные постановки и безусловные вариационные постановки краевой задачи об изгибе плиты и краевой задачи для двумерной теории упругости.

4. Разработан и реализован на ЭВМ корректный численный метод расчета комбинированной системы, образованной стыковкой двух плит, работающих в перпендикулярных плоскостях.

5. Разработан и реализован на ЭВМ корректный численный метод расчета комбинированной системы, образованной стыковкой стенки и балки.

6. На основе разработанных методов и программных комплексов решен набор тестовых и практически важных задач.

Основные положения и результаты диссертации опубликованы в

следующих работах (общее количество - 18; ниже перечислено - 9):

1. Воробьев М.В. Стыковка стенки и балки. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №6.-М.: МГСУ, 2003, с. 133-141.

2. Воробьев М.В., Золотов А.Б., Михайлов Д.В., Мозгалева M.JI. Метод граничных элементов решения краевых задач для уравнения Лапласа. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №7. - М.: МГСУ, 2004, с. 115-129.

3. Воробьев М.В., Акимов П.А., Золотов А.Б., Мозгалева M.JI. Численное решение задачи стыковки двух плит. // Вестник МГСУ, №1,2007, с. 152-154.

4. Mozgaleva М., Mikhaylov D., Vorobjev М. Some practical methods of direct regularization of singular integral operators in structural analysis // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. Volume 1, Issue 2, 2007, p. 61-69.

5. Воробьев M.B., Михайлов Д.В. Аналитическое решение для балочных конструкций // Сб. докладов научно-технической конференции ИФО МГСУ за 2007/2008 уч. год. -М.: 2008, с. 141-159.

6. Воробьев М.В., Михайлов Д.В. Операторная и вариационная постановка смешанной краевой задачи об изгибе плиты. // Сб. докладов научно-технической конференции ИФО МГСУ за 2007/2008 уч. год. -М.: 2008, с. 177-188.

7. Воробьев М.В., Михайлов Д.В. Прямая постановка граничной задачи изгиба тонкой плиты // Сб. докладов научно-технической конференции ИФО МГСУ за 2007/2008 уч. год. -М.: 2008, с. 169-176.

8. Золотов А.Б., Мозгалева M.JI., Воробьев М.В., Михайлов Д.В. Общая операторная постановка краевой задачи теории упругости (оператор жесткости) // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №11. -М.: МГСУ, 2008, с. 206-213.

9. Мозгалева M.JI., Золотов А.Б., Воробьев М.В. Некоторые вопросы задач о стыковке строительных конструкций // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. Volume 4, Issue 2, 2008, p. 93-94.

КОПИ-ЦЕНТР св. 7:07:10429 Тираж 100 экз. г. Москва, ул. Енисейская, д.36 тел.: 8-499-185-7954,8-906-787-7086

Введение.

Глава 1. Обзор современных численных методов решения задач расчета конструкций и некоторые вопросы их реализации.

1.1. Метод конечных элементов.

1.2. Метод граничных интегральных уравнений.

1.3. Применение аппарата обобщенных функций.

Расчет конструктивно сложных зданий и сооружений с обеспечением и контролем точности расчетов является актуальной проблемой. Математически корректное численное решение краевых задач строительной механики позволяет производить расчеты с удовлетворительной и контролируемой точностью. Построение и исследование математических моделей для расчета строительных сооружений, в частности комбинированных систем, является одним из важнейших аспектов проектирования. Учитывая, что сложность соответствующих моделей может быть весьма высока, становится очевидной необходимость применения ЭВМ для обеспечения требуемой точности и скорости расчетов. Среди современных вычислительных методов наиболее популярными и исследованными являются метод конечных элементов (МКЭ) и метод граничных элементов (МГЭ). МКЭ имеет свою уже полувековую историю развития, хорошо изучен и заслуженно пользуется популярностью в среде расчетчиков. МГЭ появился позднее и, в сочетании с современным уровнем мощности компьютерной техники и программного обеспечения, развития математики в области аналитических методов (теория обобщенных функций, теория граничных интегральных уравнений) предлагает новые вычислительные возможности исследования в области расчета конструкций.

Областью применения метода граничных элементов в рамках настоящей диссертации является расчет составных конструкций путем совместного решения краевых задач. При постановке краевых задач расчета конструкций в настоящей диссертации используется подход, основанный на положениях стандартной (расширенной) области, предложенный А.Б. Золотовым [60]. Это позволяет сформулировать краевую задачу в виде единого оператора, включающего в себя условия внутри области (дифференциальное уравнение), описание геометрических характеристик исследуемого объекта (за счет включения в уравнение характеристической функции исходной области) и краевые условия (получаемые при дифференцировании, в частности, характеристической функции исходной области, занимаемой исследуемым объектом). При этом краевые условия получают корректные множители в виде обобщенных функций. Так, условия задания внешней нагрузки на границе имеют в задаче теории упругости множитель 5Г (дельта-функцию границы), а условия задания перемещений на границе в качестве множителя имеют б^ (производную от дельта-функции границы по нормали). При этом все это вытекает из общей компактной математической постановки задачи. Если множитель 8Г присутствует в постановках задач и при обычных вариационных подходах, то в условиях для перемещений множитель в этих постановках не приводится.

Операторная постановка, по сути, позволяет сформулировать соответствующую вариационную постановку для смешанной краевой задачи. При этом соответствующий функционал является безусловным, т.е. пространство функций, на котором функционал определен, практически не имеет ограничений, кроме наличия производной требуемой степени, например, первая степень для задачи теории упругости, вторая степень для задачи изгиба плиты. И, наконец, соответствующий функционалу оператор является континуальным обобщением понятия матрицы жесткости, т.е. может быть назван оператором жесткости краевой задачи.

В целом, в работе разрабатывается и исследуется методика решения задач расчета комбинированных систем с применением аналитического аппарата теории граничных интегральных уравнений. Задача достоверного, корректного численного расчета сложных комбинированных систем остается актуальной, поскольку непрерывно всюду ведется строительство и при этом постоянно создаются новые виды конструкций в связи с применением разнообразных форм конструирования, внедрением новых материалов и новых технологий строительства. Построение и исследование математических моделей для расчета строительных сооружений, в частности, расчета комбинированных систем, является одним из важнейших аспектов обеспечения безопасного проектирования.

Целью работы является развитие современных методов расчета сложных строительных конструкций путем корректного совместного численного решения краевых задач на базе метода граничных элементов. Для достижения указанной цели поставлены и решаются следующие задачи:

- формулировка общей операторной постановки, обеспечивающей должную обусловленность соответствующих дискретных задач и безусловной вариационной постановки (не налагающей дополнительных условий, например, кинематических, на функции из области определения) краевой задачи о поперечном изгибе балки Бернулли;

- формулировка общих операторных постановок в виде единого уравнения, включающего условия внутри области и на ее границе, и безусловных вариационных постановок (пространство функций, на котором функционал определен, не имеет ограничений) краевой задачи об изгибе плиты и краевой задачи для двумерной задачи теории упругости;

- разработка и реализация на ЭВМ корректных численных методов решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой двух плит, работающих в разных плоскостях, и комбинированной системы, образованной стыковкой балки-стенки (двумерная задача теории упругости) и балки;

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

1. сформулированы общая операторная постановка и безусловная вариационная постановка на примере краевой задачи о поперечном изгибе балки Бернулли;

2. сформулированы общие операторные постановки и безусловные вариационные постановки краевой задачи об изгибе плиты и краевой задачи для двумерной теории упругости;

3. разработан и реализован на ЭВМ корректный численный метод расчета комбинированной системы, образованной стыковкой двух плит, работающих в перпендикулярных плоскостях;

4. разработан и реализован на ЭВМ корректный численный метод расчета комбинированной системы, образованной стыковкой стенки и балки.

Практическая значимость работы состоит:

- в разработке методики, алгоритмов и программного комплекса, реализующих метод аналитического решения краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений;

- в разработке методики, алгоритмов и программного комплекса, реализующих метод решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой двух плит, работающих в перпендикулярных плоскостях;

- в разработке методики, алгоритмов и программного комплекса, реализующих метод решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой стенки и балки;

- в выполненных расчетах реальных конструкций.

Внедрение работы состоит в использовании разработанных методов, алгоритмов и программ для решения задач расчета строительных конструкций при выполнении научно-исследовательских работ в ГОУ ВПО МГСУ и ЗАО «Научно-исследовательский центр СтаДиО».

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: V, VII научно-практическая и учебно-методическая конференция «Фундаментальные науки в современном строительстве» (Москва, 2006, 2008 гг.); XXII Международная конференция «Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов BEM&FEM» (Санкт-Петербург, 2007 г.); II Международный симпозиум «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (Пермь, 2008 г.); научно-техническая конференция Института фундаментального образования МГСУ по итогам научно-исследовательских работ студентов и молодых ученых за 2007/2008 учебный год (Москва, 2008 г.); научные семинары кафедры информатики и прикладной математики под руководством профессоров В.Н. Сидорова и А.Б. Золотова (Москва, 2002-2009 гг.); научные семинары в Научно-исследовательском центре «СтаДиО» под руководством профессора A.M. Белостоцкого (Москва, 2002-2009 гг.).

Достоверность и обоснованность результатов основана на строгости используемого математического аппарата; сопоставлении полученных результатов с результатами проводимых параллельно контрольных расчетов с привлечением верифицированных программных комплексов промышленного типа; сопоставлении результатов расчета с решениями, полученными по другим аналитическим и численным методам; экспертной оценке точности решений специалистами в области НДС.

Личный вклад автора состоит в формулировке математических постановок, разработке подходов к численному решению краевых задач строительной механики для расчета комбинированных систем и построении реализующего программного обеспечения.

Публикации. По материалам и результатам исследований опубликовано 18 работ, из них 3 в журналах перечня ВАК.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы, включающего 187 наименований, и четырех приложений. 140 страниц основного текста и 50 страниц приложений включает 93 рисунка.

Основные результаты и выводы:

1. Построена единая методика аналитического решения краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений, являющаяся основой для разрабатываемых в диссертации подходов.

Как известно, в отличие от общего курса дифференциальных уравнений, который, прежде всего, основывается на значительной произвольности их вида, число различных типов дифференциальных уравнений используемых в конкретных технических приложениях, относительно мало (уравнения для различных типов балок, стержней, оболочек и т.д.). Поэтому целесообразно более полное представление сопутствующего им практически важного математического аппарата, включающего фундаментальные функции, функции Грина и формулировки на их основе вида общего решения. Очень важным для практической реализации является то, что в предлагаемых формулах общего решения полностью отсутствуют гиперболические функции и экспоненциальные функции с положительными аргументами. Использование подобных функций в традиционных (известных базовых) подходах приводит в общем случае к явлениям, называемым в вычислительной математике «вычислительной катастрофой». Например, именно такой факт возникает при использовании известного, в частности в строительной механике, метода начальных параметров. Представляется, что наиболее удобным подходом к решению рассматриваемых дифференциальных уравнений строительной механики произвольного порядка является их изначальное сведение к системам дифференциальных уравнений первого порядка. Тогда общее решение задачи формулируется сразу для всех неизвестных функций (исходной и дополнительных, введение которых позволило перейти к системе первого порядка), и упрощается задание правых частей (например, в них нет производных от дельта-функции и т.д.). Окончательный вид решений и соответствующие выкладки приведены в диссертации.

2. Сформулированы общая операторная постановка и безусловная вариационная постановка на примере краевой задачи о поперечном изгибе балки Бернулли.

Получена явная форма оператора краевой задачи, которую, следуя терминологии строительной механики, можно назвать оператором жесткости. Область определения этого оператора в общем случае не предполагает специальных кинематических (главных) условий на искомые функции. Предлагаемый подход обеспечивает правильную обусловленность соответствующих дискретных задач, следующих из операторной постановки. Соблюдается согласованность «весовых» характеристик условий на границе и внутри области определения краевой задачи. Например, при решении рассматриваемой задачи методом конечных разностей (МКР), общий множитель при каждом разностном операторе в полученной операторной постановке будет один и тот же (1//И, где h — шаг разностной аппроксимации по координате х). В свою очередь, это обеспечивает правильное вычисление невязки по ее норме при использовании итерационных процессов и общей проверке решения.

Предложенная в диссертации вариационная формулировка задачи является безусловной, т.е. не налагает никаких дополнительных условий (например, кинематических) на функции из области определения. Решением исходной задачи является стационарная точка полученного функционала. Функционал не является положительно определенным. Это обстоятельство возникает, впрочем, только при наличии в функционале членов, учитывающих кинематические условия. Можно сказать, что полученный функционал является безусловным (с точки зрения отсутствия дополнительных условий) обобщением функционала Лагранжа. Функционал Лагранжа получается из него, если его рассматривать на множестве функций с соответствующими кинематическими ограничениями. Неположительная определенность носит локальный характер, т.е. в основном весь спектр соответствующего функционалу дифференциального оператора положителен и лишь небольшое конечное число точек спектра, при континуальной задаче, являются неположительными. Получаемые из функционала дискретные операторы обеспечивают правильное вычисление невязки.

3. Сформулированы общие операторные постановки и безусловные вариационные постановки краевой задачи об изгибе плиты и краевой задачи для двумерной теории упругости .

Получены явные формы операторов краевых задач, которые можно назвать операторами жесткости. В работе общий оператор краевой задачи связан с понятием расширенной области. Полученные постановки представляют собой единые уравнения, включающие в себя все условия, определяющие краевую задачу как внутри области, так и на ее границе. При этом сформулированную таким образом краевую задачу можно рассматривать на любой области, окаймляющую исследуемую. Такая постановка правильно отражает весовые характеристики, соответствующие как операторам внутри области, так и операторам на границе. Другим важным фактором является использование в постановке граничных координат, что позволяет наиболее удобным образом определить граничные условия для смешанной краевой задачи.

Полученные функционалы являются безусловными, т.е. пространство функций, на котором они определены, не имеет ограничений, кроме наличия второй производной для задачи об изгибе плиты и первой производной для двумерной теории упругости. Поскольку такие функционалы при некоторых кинематических условиях могут не быть положительно определенными, решением вариационной задачи является не минимум, а стационарная точка функционала. Эти функционалы можно назвать обобщенными функционалами Лагранжа. Если рассматривать их на множестве функций, удовлетворяющих кинематическим ограничениям, то получим обычные функционалы Лагранжа.

4. Разработан и реализован на ЭВМ корректный численный метод расчета комбинированной системы, образованной стыковкой двух плит, работающих в перпендикулярных плоскостях.

Полученный алгоритм разработан на основе непрямой постановки метода граничных элементов. Представлены математические формулировки краевых задач для каждой из плит, а также уравнения стыковки. Постановка соответствующих краевых задач включает в себя как задачу об изгибе плиты, моделирующую ее работу из своей плоскости, так и задачу теории упругости, моделирующую работу плиты в своей плоскости. Представлен общий вид решения для каждой из рассматриваемых краевых задач. На основании кусочно-постоянной аппроксимации неизвестных граничных функций получен переход к системе линейных алгебраических уравнений. Определены интегралы от ядер граничных операторов задачи теории упругости и задачи изгиба плиты, а также производные от них.

5. Разработан и реализован на ЭВМ корректный численный метод расчета комбинированной системы, образованной стыковкой стенки и балки.

Полученный алгоритм разработан на основе непрямой постановки метода граничных элементов. Данная конструкция рассматривается как стыковка нескольких краевых задач: задачи теории упругости для балки-стенки, задачи об изгибе балки, задачи о продольной деформации стержня. Приведены математические формулировки соответствующих краевых задач, а также уравнения стыковки. Сформулированы общие виды решений для каждой краевой задачи. Дан переход к разрешающей системе линейных уравнений, при этом неизвестные граничные функции полагаются величинами, постоянными на граничных элементах (кусочно-постоянная аппроксимация). Определены интегралы от ядер граничных операторов и их производные.

6. На основе разработанных методов и программных комплексов решен набор тестовых и практически важных задач.

Проводился ряд тестовых расчетов. Сопоставления полученных результатов с результатами проводимых параллельно контрольных расчетов с привлечением программных комплексов промышленного типа (Лира 9.0, Ansys/ CivilFEM), с решениями, найденными по другим аналитическим и численным методам, а также с данными экспериментов и экспертные оценки точности решений специалистами в области напряженно-деформированного состояния позволяют сделать вывод о достаточной эффективности и надежности разработанных численных методов и предложенных операторных и безусловных вариационных постановок краевых задач расчета строительных конструкций, зданий и сооружений.

Выполнен расчет фрагмента конструктивной схемы здания регулярной силовой структуры «стена-плита перекрытия». Такая задача соответствует возможной расчетной модели исходного события при прогрессирующем обрушении - удаление несущих стен под перекрытием.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основной целью настоящей работы являлось развитие современных методов расчета сложных строительных конструкций путем корректного совместного численного решения краевых задач на базе метода граничных элементов (решение задач стыковки). Иными словами, разработана и исследована методика решения задач расчета комбинированных систем с применением аналитического аппарата теории граничных уравнений, построены соответствующие алгоритмические и программные реализации. Метод граничных интегральных уравнений позволяет получить решение в явной аналитической форме для внутренних точек области. При этом все искомые неизвестные, являющиеся параметрами аналитического решения задачи, сосредоточены только на границе, что снижает размерность задачи на порядок и приводит к большей точности.

1. Агапов В.П. Метод конечных элементов в статике, динамике и устойчивости конструкций. - М.: Издательство АСВ, 2004. - 248 с

2. Акимов П.А., Золотов А.Б. Численно-аналитические методы расчета строительных конструкций: перспективы развития и сопоставления. // САПР и графика, 2005, №1, с. 78-82.

3. Алейников С.М. Метод граничных элементов в контактных задачах для упругих пространственно-неоднородных оснований. М.:АСВ, 2000.-754с.

4. Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н., Смирнов

5. А.Ф. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. М.: Стройиздат, 1976. 248 с. (ч.1), 258 с. (ч. 2).

6. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. -М.: Высшая школа, 1990. — 400 с.

7. Александров А.В., Потапов В.Д., Косицын С.Б., Долотказин Д.Б. Строительная механика. М.: Высшая школа, 2007. - 511 с.

8. Алексидзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. М.: Наука, 1978. — 352 с.

9. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел. М.: АСВ, 2002. 288 с.

10. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход. М.: Мир, 1976. — 312 с

11. Бартеньев О.В. Современный Фортран.-М.: Диалог-МИФИ, 1998-397с.

12. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. — М.: Стройиздат, 1982. 446 с.

13. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Лаборатория Базовых знаний, 2000. — 624 с.

14. Бахвалов Н.С., Кузнецов Ю.А. (ред.). Вариационно-разностные методы в математической физике. Сб. науч. тр. АН СССР, Отд. вычисл. ма124тематики; Под ред. М.: Отд. вычисл. математики АН СССР, 1984 — 242 с.

15. Безухов Н.И. Некоторые обобщения методов строительной механики в динамике сооружений. // Сб. Исследования по теории сооружений. Госстройиздат, 1939, №3, с. 172-213.

16. Безухов Н.И., Лужин О.В. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач— М.: Высшая школа, 1974.-200с.

17. Белый М.В., Булгаков В.Е., Золотое А.Б. Полуитерационный многосеточный метод и его программная реализация для решения пространственных краевых задач. // ЖВМ и МФ, 1987, т.27, №6, с.875-888.

18. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных задачах. М.: Мир, 1984. 494 с.

19. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т. 2. М.: Физмат-лит, 1959.

20. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982, - 248 с.

21. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. -М.: Наука, 1977. 288 с.

22. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Пластины, диски, балки-стенки. — Киев: Госстройиздат, 1959. 1049 с.

23. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. М.: Мир, 1974. - 126 с.

24. Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. — М.: АСВ, 1995.-572 с.

25. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987.-542 с.

26. Верпань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. АН УССР, Ин-т пробл. моделирования в энергетике. Киев: Наук, думка, 1986. 544 с.

27. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. Киев.: Вища школа, 1978. — 183 с.

28. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. -М.: Наука, 1979.-320 с.

29. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1967.-436 с.

30. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. — М. — JL: Гостехиздат, 1949.

31. Власов В.З. Строительная механика тонкостенных пространственных систем. — М.: Госстройиздат, 1949.

32. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. -М.: Физматгиз, 1960. 491 с.

33. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПб.: Лань, 2006. - 416 с.

34. Воробьев М.В. Вариант стыковки краевых задач. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №6. М.: МГСУ, 2003, с. 123-132.

35. Воробьев М.В. Стыковка стенки и балки. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №6. М.: МГСУ, 2003, с. 133-141.

36. Воробьев М.В. Примеры численных расчетов комбинированной системы соединения двух плит на основе метода граничных элементов. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №12. М.: МГСУ, 2009, с. 86-92.

37. Воробьев М.В., Золотов А.Б., Михайлов Д.В., Мозгалева МЛ. Метод граничных элементов решения краевых задач для уравнения Лапласа. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №7. -М.: МГСУ, 2004, с. 115-129.

38. Воробьев М.В., Акимов П.А., Золотов А.Б., Мозгалева МЛ. Численное решение задачи стыковки двух плит. // Вестник МГСУ, №1, 2007, с. 152-154.

39. Воробьев М.В. О некоторых важнейших аспектах классической теории изгиба тонких пластин // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №11. М.: МГСУ, 2008, с. 117-137.

40. Воробьев М.В., Михайлов Д.В. Аналитическое решение для балочных конструкций // Сб. докладов научно-технической конференции ИФО МГСУ за 2007/2008 уч. год. -М.: 2008, с. 141-159.

41. Воробьев М.В., Михайлов Д.В. Операторные и вариационные постановки задачи о поперечном изгибе балки Бернулли // Сб. докладов научно-технической конференции ИФО МГСУ за 2007/2008 уч. год. -М.: 2008, с. 160-168.

42. Воробьев М.В., Михайлов Д.В. Операторная и вариационная постановка смешанной краевой задачи об изгибе плиты // Сб. докладов научно-технической конференции ИФО МГСУ за 2007/2008 уч. год. -М.: 2008, с. 177-188.

43. Воробьев М.В., Михайлов Д.В. Прямая постановка граничной задачи изгиба тонкой плиты // Сб. докладов научно-технической конференции ИФО МГСУ за 2007/2008 уч. год. -М.: 2008, с. 169-176.

44. Габбасов Р.Ф. Численное решение задач строительной механики с разрывными параметрами. Автореф. дис. на соиск. учен. степ, д-ра тех. наук: 02.02.03 Моск. инж.-строит. ин-т им. В.В. Куйбышева М., 1989 -47 с.

45. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. -428 с.

46. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 576 с.

47. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Добросвет, 2007. -319с

48. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. Выпуск 1. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. — 470 с.

49. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы.-М.:Наука,1977.— 440с.

50. Голованов А.И., Бережной Д.В. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел. Казан, гос. ун-т Казань: ДАС, 2001. — 300 с.

51. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999 — 548 с.

52. Горбачев К.П., Попов А.Н., Восковщук Н.И., Уложенко А.Г. Вариационно-разностная версия метода конечных элементов. Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 1987 152 с.

53. Горбунов-Посадов М.И., Маликова Т.А., Соломин В.И. Расчет конструкций на упругом основании. М.: Стройиздат, 1984. - 679 с.

54. Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. Л. - М.: ОНТИ, ГТТИ, 1934. - 360 с

55. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. СПб.: Лань, 2008. - 400 с.

56. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. -М.: Мир, 2001.-430 с.

57. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике М.: Мир, 1975. — 511 с.

58. Золотов А.Б. Постановка и алгоритмы численного решения краевых задач строительной механики методом стандартной области: Автореф. дис. на соиск. уч. степ. докт. техн. наук: 05.23.17. МГСУ. М.: 1989. — 39 с.

59. Золотов А.Б., Акимов П.А. Некоторые аналитико-численные методы решения краевых задач строительной механики: Монография М.: Издательство АСВ, 2004. - 200 с.

60. Золотов А.Б., Акимов П.А. Практические методы расчета строительных конструкций. Численно-аналитические методы: Монография — М.: Издательство АСВ, 2006. 208 с.

61. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Математические методы в строительной механике: Монография — М.: Издательство АСВ, 2008. 336 с.

62. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Численные и аналитические методы расчета строительных конструкций: Монография М.: Издательство АСВ, 2009. - 336 с.

63. Золотов А.Б., Ларионов А.В., Мозгалева МЛ., Мсхалая Ж.И. Постановка и аппроксимация краевых задач методом расширенной области. М.: МИСИ, 1992. 86 с.

64. Золотов А.Б., Лейтес Е.С. Об одном подходе к решению систем дифференциальных уравнений при расчете строительных конструкций. // «Строительная механика и расчет сооружений». 1976. - №3.

65. Золотов А.Б., Харитонов В.А. Решение граничных задач, включая задачи с односторонними связями. // Вестник МГСУ, №3, 2006, с. 158163.

66. Золотов А.Б., Мозгалева МЛ., Воробьев М.В., Михайлов Д.В. Общая операторная постановка краевой задачи теории упругости (оператор жесткости) // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №11. М.: МГСУ, 2008, с. 206-213.

67. Золотов А.Б., Мозгалева МЛ., Воробьев М.В. Общая постановка краевой задачи об изгибе плиты // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №12. М.: МГСУ, 2009, с. 156-172.

68. Игнатьев В.А., Игнатьев А.В., Жизилев А.В. Смешанная форма МКЭ в задачах строительной механики. — ВолгГАСУ, Волгоград, 2006. -171 с.

69. Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников A.M. Численные методы решения задач строительной механики. — М.: Издательство АСВ, 2005. — 432 с.

70. Иосида К. Функциональный анализ. М.: ЛКИ, 2007. - 624 с.

71. Кайтуков Т.Б. Методы дискретных граничных уравнений для решения задач расчета сооружений: Автореф. дис. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук: 05.13.18. Моск. гос. строит, ун-т. М.: 2002.-20 с.

72. Кайтуков Т.Б., Мозгалева M.JL, Золотов А.Б., Воробьев М.В. Расчет стыковки конструкций методом дискретных граничных уравнений. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №5. М.: МГСУ, 2002, с. 125-127.

73. Кацикаделис Дж.Т. Граничные элементы. Теория и приложения. М.: Издательство АСВ, 2007. - 343 с.

74. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. СПб.: Невский Диалект, БХВ-Петербург, 2004. - 816 с.

75. Карпиловский B.C., Криксунов Э.З., Микитаренко М.А. и др. SCAD OFFICE. Интегрированная система анализа конструкций. М.: АСВ, 2003.-240 с.

76. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир, 1978. 518 с.

77. Колку нов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. — М.: Высшая школа, 1987.-255 с.

78. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 572 с.

79. Коренев Б.Г. Метод компенсирующих нагрузок в приложении к задачам равновесия, колебаний и устойчивости плит и мембран. — ПММ, 1940, т.4, №5-6.

80. Коренев Б.Г. Приложение функций Грина к расчету конструкций на упругом основании методом компенсирующих нагрузок. — В кн.: Труды Днепропетровского инженерно-строительного института. Днепропетровск, 1936, №4.

81. Косицын С.Б. Неклассические криволинейные конечноэлементные модели в линейных и нелинейных задачах строительной механики. Ав-тореф. дис. на соиск. учен. степ, д-ра техн. наук: 05.23.17. МИИТ. М., 1993.-48 с.

82. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир, 1987. 328 с.

83. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967.-500 с.

84. Кузнецов С.В. Метод граничных интегральных уравнений в механике анизотропных упругих тел. Автореф. дис. на соиск. учен. степ, д-ра физ.-мат. наук: 01.02.04 Институт проблем механики. М., 1992. 30 с.

85. Крылов А.Н. О расчете балок, лежащих на упругом основании. — Л.: Издательство АН СССР, 1931. 154 с.

86. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физмат-гиз, 1963.-472 с.

87. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В.

88. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976. - 664 с.

89. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т.1. М.: Гос. издательство технико-теоретической литературы, 1951. 476 с.

90. Курбацкий Е.Н. Метод решения задач строительной механики и теории упругости, основанный на свойствах изображений Фурье финитных функций. Автореф. дис. на соиск. уч. степ. д.т.н. 05.23.17. МИИТ. М., 1995.-38 с.

91. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. - 280 с.

92. Лантух-Лященко А.И. ЛИРА. Программный комплекс расчета и проектирования конструкций. К.: - М.: "ФАКТ", 2001. - 359 с.

93. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры. 1961. 524 с.

94. Лебедев В.И. (ред.). Вариационно-разностные методы в математической физике: Материалы всесоюз. конф. окт. 1980 г.. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1981. 156 с.

95. Леонтьев Н.Н., Соболев Д.Н., Амосов А.А. Основы строительной механики стержневых систем. М.: Издательство АСВ, 1996. — 541 с.

96. Линьков A.M. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. СПб.: Наука, 1999. 382 с.

97. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения.-М.: Мир, 1971.-371 с.

98. Манжиров А.В., Полянин А.Д. Методы решения интегральных уравнений. М.: Факториал, 1999. 272 с.

99. Микеладзе Ш.Е. Новые квадратурные формулы и их приложения к интегрированию дифференциальных уравнений. // ДАН, т.61,1948, №4, с.613-615.

100. Микеладзе Ш.Е. Новые методы интегрирования дифференциальных уравнений. -М.: ГТТИ, 1951. 291 с.

101. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.

102. Михлин С.Г., Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Интегральные уравнения в теории упругости. СПб.: Изд-во Санкт-Петербург, гос. ун-та, 1994. -271 с.

103. Мозгалева МЛ., Золотов А.Б., Воробьев М.В. Некоторые вопросы задач о стыковке строительных конструкций // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. Volume 4, Issue 2, Begell House Inc. Publishers & ASV, 2008, p. 93-94.

104. Мсхалая И.Ж., Золотов А.Б., Акимов П.А. Некоторые методы решения одномерных динамических задач строительной механики и математической физики. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №4. -М.: МГСУ, 2001, с. 241-247.

105. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. — 707 с.115116117118119120121122123124125126127128

106. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.-528 с.

107. Норри Д., Де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.-304 с.

108. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. -М.: Мир, 1977.-383 с.

109. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Ереван: Изд-во АН Армянской ССР, 1979.-335 с.

110. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976.-464 с.

111. Оробей В.Ф. Устойчивость пластин, сжатых сосредоточенными силами. // Известия вузов. Строительство. 2002. - №3, с. 20-26. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Мир, 1983-323 с.

112. Полянин А.Д., Манжиров А.В. Справочник по интегральным уравнениям. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 608 с.

113. Постнов В.А. (ред.). Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов». Труды XIX Международной конференции, т. 1-3 СПб.: НИИХ СПбГУ, 2001.

114. Репин С.И. Вариационно-разностные методы в математических задачах теории пластичности. Дис.д-ра физ.-мат. наук: 01.01.07. СПб.,1994 — 307 с.

115. Ржаницын А.Р. Строительная механика—М.: Высшая школа, 1982 — 400 с.

116. Розин JI.A. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977. - 129 с.

117. Розин JI.A. Задачи теории упругости и численные методы их решения. СПб.: Издательство СПбГТУ, 1998. - 532 с.

118. Рябенький B.C. Метод разностных потенциалов и его приложения. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 496 с.

119. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.-552 с.

120. Саргсян А.Е. Строительная механика. М.: Высшая школа, 2004. -464 с.

121. Саргсян А.Е., Демченко А.Т., Дворянчиков Н.В., Джинчвела-швили Г.А. Строительная механика. Основы теории с примерами расчетов. — М.: Высшая школа, 2000. 415 с.

122. Свойский Ф.М. Граничные условия для конечных элементов с вращательными степенями свободы. СПб, 2004 83 с.

123. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.-392 с.

124. Секулович М. Метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1993. -664 с.

125. Сидоров В.Н. Лекции по сопротивлению материалов и теории упругости. М.: Редакционно-издательский центр Генерального штаба Вооруженных Сил Российской Федерации, 2002. 352 с.

126. Сидоров В.Н., Ахметов В.К. Математическое моделирование в строительстве. -М.: Издательство АСВ, 2007. 336 с.

127. Скляр С.Н. О дискретизации задач с пограничным слоем при помощи одного проекционного варианта интегральных тождеств. П1. Самосопряженное уравнение // Изв. АН Кирг. ССР. физ.-тех. и математ. науки, №4, 1989, с.3-11.

128. Слесарев И.С., Сироткин A.M. Вариационно-разностные методы расчета ядерных реакторов. М.: Энергоиздат, 1981. - 113 с.

129. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные основы. М.: Издательство АСВ, 2005. - 736 с.

130. Слободянский М.Г. Способ приближенного интегрирования уравнений с частными производными и его применение к задачам теории упругости. ПММ, 1939, т.З, вып. 1, с. 75-82.

131. Смелов В.В. (ред.) Вариационно-разностные методы в задачах численного анализа Сб. науч. тр. АН СССР, Сиб. отд-ние, ВЦ. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1988. 172 с.

132. Смирнов В.А., Иванов С.А., Тихонов М.А. Строительная механика. — М.: Стройиздат, 1984 208 с.

133. Снитко Н.К. Устойчивость сжатых и сжато-изогнутых стержневых систем. — Л.: Стройиздат, 1956. — 207 с.

134. Снитко А.Н. (ред.). Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов». Труды XVII Международной конференции, т. 1-2 СПб.: НИИХ СПбГУ, 1999.

135. Соболев C.JI. Уравнения математической физики М.: Наука, 1992. — 431 с.

136. Срочко В.А. Численные методы: Курс лекций. Иркутск: Иркутск, унт, 2003.- 168 с.

137. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.-349 с.

138. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.-512 с.

139. Теллес Д.К.Ф. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач. М.: Стройиздат, 1987 160 с.

140. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. -576 с.

141. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. - 635 с.

142. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.: Издательство МГУ, 1999. 798 с.

143. Травуш В.И. Метод обобщенных решений в задачах изгиба плит на линейно-деформируемом основании.// Строительная механика и расчет сооружений, №1, 1982.

144. Трушин С.И. Решение задач устойчивости гибких упруго-пластических оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига. Дис. на соиск. уч. степ, д-ра техн. наук: 05.23.17. М., 1999. 277 с.

145. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Издательство Казанского университета, 1986. 295 с.

146. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970.-564 с.

147. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1968. - 402 с.

148. Фадеев А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике. М.: Недра, 1987.-221 с

149. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Издательство Московского физико-технического института, 1994. — 528 с.

150. Фиалко С.Ю. Агрегатный многоуровневый метод решения конечно-элементных задач строительной механики. Автореф. дис. на соиск. уч. степ. докт. техн. наук: 05.23.17. Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Киев, 2004. — 36 с.

151. Филин А.П. Приближенные методы математического анализа, используемые в механике деформируемых тел. Л.: Стройиздат, 1971.

152. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.-720 с.

153. Хемминг Р.В. Численные методы. — М.: Наука, 1968. — 400 с.

154. Хечумов Р.А., Кепплер X., Прокопьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. М.: АСВ, 1994. 351 с.

155. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. - 655 с.

156. Цейтлин А.И. Некоторые методы расчета конструкций, лежащих на упругом основании. // Автореф. дис. на соиск. уч. степ, д.т.н. (022). — М.: 1968.

157. Цейтлин А.И., Петросян Л.Г. Методы граничных элементов в строительной механике. — Ереван: Луйс, 1987 г. — 199 с.

158. Цейтлин А.И., Петросян Л.Г. О некоторых обобщениях метода интегральных преобразований и их связи с методом граничных уравнений. // Строительная механика и расчет сооружений, 1984, №3.

159. Чигарев А.В., Кравчук А.С., Смалюк А.Ф. ANSYS для инженеров. -М.: Машиностроение, 2004. 512 с.

160. Шварц JI. Математические методы для физических наук. М.: Мир, 1965.-412 с.

161. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Наука, 1965.-327 с.

162. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 320 с.

163. Bathe K.J. Finite Element Procedures. Prentice Hall, 1995, 1037 pages.

164. Bulgakov V.E., Belyi M.E., Mathisen K.M. Multilevel aggregation method for solving largescale generalized eigenvalue problems in structural dynamics.// Int. j. Numer. Methods Eng., 1997, 40, 453 471.

165. Bulgakov V.E., Belyi M.V. Fast Agorithms for Multi-Grid Solver of 3-D Boundary Value Problems in Structural Analysis. — Computers and Structures, 1992, vol. 44, No 4, p. 869-875.

166. L.Schwartz Theorie des distributions, I II,Paris, 1950- 1951

167. Cheung Y.K., Tham L.G. The Finite Strip Method. CRC Press. 1997, 416 pages.

168. Szilard R. Theories and Applications of Plate Analysis: Classical Numerical and Engineering Methods. John Wiley & Sons, 2004, 1056 pages.