автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Численный метод расчета арок по предельному равновесию

ЧАН ТХАНЬ ТУНГ

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА АРОК ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ РАВНОВЕСИЮ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 3 ОКТ 2011

Москва-2011

4857911

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный строительный университет».

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Габбасов Радек Фатыхович.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Мкртычев Олег Вартанович,

кандидат технических наук, доцент Клейн Владимир Георгиевич.

Ведущая организация: ОАО ЦНИИС - Научный исследовательский

институт транспортного строительства.

Защита состоится "Г' ноября 2011г. в 14 час. на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» по адресу: 129337 Москва, Ярославское шоссе, д. 26, ауд. № 420 УЛК.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет».

Автореферат разослан " 13" сентября 2011г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Анохин Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Арки произвольного очертания относятся к распорным конструкциям, входят в состав различных сооружений -железнодорожных мостов, сводов, покрытий промышленных, сельскохозяйственных и общественных зданий. Проблемы, связанные с исследованием таких арочных систем и конструированием сложных сооружений, требуют разработки численных методов, алгоритмов и программ для ЭВМ. Ввиду того, что в литературе имеется только ограниченное число работ по предельному равновесию арок симметричных очертания, постоянной жесткости, в работе рассматриваются задачи с арками переменной жесткости и несимметричного очертания.

В настоящее время имеет значение развитие методов для инженерного расчёта арок, обладающих высокой точностью при сравнительно малом числе разбиений оси арок, в том числе позволяющих производить расчёт вручную при помощи микрокалькулятора. Это позволяет произвести расчёт для оценки несущей способности арок, не прибегая к помощи ЭВМ.

Одним из таких методов является метод последовательных аппроксимаций (МПА), предложенный А.Ф. Смирновым и в дальнейшем разработанный и значительно расширенный Р.Ф. Габбасовым. Опыт применения МПА к задачам по расчёту арок на прочность в упругой стадии, на действие статических нагрузок выявил высокую точность и эффективность этого метода.

Актуальной задачей является применение этого метода к расчету арок по предельному равнозесшо. Расчеты по предельному равновесию выявляют большие ресурсы несущей способности конструкций.

Целью диссертационной работы является обобщение и развитие метода последовательных аппроксимаций для расчета арок по предельному равновесию с различными условиями на краях при действии различных типов нагрузок.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- по уравнениям МПА разработать алгоритм расчета арок произвольного очертания, переменной жесткости в упругой стадии с различными условиями на краях при действии различных типов нагрузок для определения внутрених усилий и перемещений;

- разработать алгоритм расчёта арок по предельному равновесию с учётом продольных сил и без их учёта в условии пластичности, используя результаты расчета арок в упругой стадии;

- составить программу для ЭВМ с последующим применением ее для решения инженерных задач.

Научную новизну диссертации составляют следующие результаты:

- разработка алгоритма расчета арок по МПА в упругой стадии для определения внутренних усилий и перемещений;

- разработка численного алгоритма расчета арок по предельному равновесию с учётом продольных сил и без их учёта в условии пластичности при действии различных нагрузок, используя при этом результаты расчета арок в упругой стадии. Упругой расчет по МПА позволяет на ЭВМ найти правильно последовательность образования пластических шарниров;

- составление программы на языке программирования Visual С++ по разработанным алгоритмам;

- решение новых задач расчета арок в упругой стадии и по предельному равновесию.

Достоверность результатов определяется корректностью постановки задач по предельному равновесию арок, использованием апробированного численного метода, сравнением ряда полученных результатов с ранее известными, численным исследованием сходимости решений.

Практическая ценность работы заключается в:

- разработке методики расчета арок произвольного очертания, переменной жесткости в упругой стадии с различными условиями на краях при действии различных типов нагрузок для применения на практике расчётов;

- составлении программы на языке программирования Visual С++ для решения задач, сводящихся к расчету арок в упругой стадии, которая может использоваться в инженерных расчётах;

- разработке методики расчёта арок по предельному равновесию с учётом продольных сил и без их учёта в условии пластичности.

Апробация работы была проведена на:

заседании кафедры «Строительная Механика» Московского государственного строительного университета (Москва, 20 И г).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 2 печатных работы в рецензируемых журналах, рекомендуемых ВАК для публикации результатов по кандидатским диссертациям.

На защиту выносятся:

- разработка алгоритма расчёта арок произвольного очертания и переменной жесткости в упругой стадии по МПА;

- решение новых задач расчёта арок в упругой стадии;

- разработка алгоритма расчёта арок по предельному равновесию без учёта продольных сил в условии пластичности с использованием результатов расчета арок в упругой стадии;

- решение новых задач расчёта арок по предельному равновесию без учёта продольных сил в условии пластичности;

- впервые выполненная разработка алгоритма расчёта арок по предельному равновесию с учётом продольных сил в условии пластичности;

- решение новых задач расчёта арок по предельному равновесию с учётом продольных сил в условии пластичности.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы из 211 наименований. Общий объём диссертации составляет 134 страницы , в текст включены 57 рисунков и 15 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, даётся её общая характеристика, формулируются основные цели и задачи исследования, обслуждается достоверность и научная новизна результатов работы, их практическая ценность.

Первая глава. Приводится краткий обзор работ по численным методам, а также по аналитическим и численным методам расчёта арок в предельном состоянии. Наиболший вклад в развитие построения разностных схем внесли известные российские и зарубежные учёные : С.К. Годунов, B.C. Рябеньский, Самарский A.A. и др. Теория и применение МКР разработаны в работах Н.П. Абовского, A.B. Александрова , Н.С. Бахвалова, Н.П. Жидкова и Г.М. Кобелысова, Д.В. Вайнберга, П.М. Варвака, М.Б. Вахитова, М.И. Длугача, Л. Коллатца, Г.И. Марчука, Ш.Е. Микеладзе, Б.В. Нумерова, И.М. Рабиновича, С.Б. Синицына, Р.В. Хемминга и др. Метод последовательных аппроксимаций разрабатывался А.Ф. Смирновым, A.B. Александровым, Б.Я. Лащениковым, В.А. Смирновым, М.Б. Вахтовым, Р.Ф. Габбасовым, В.В. Шрамко. Этот метод позволяет достаточно просто рассчитывать не только арки, но и плиты, оболочки с разрывными параметрами под действием различного типа нагрузок, включая локальные, полосовые, динамические.

Показано, что метод последовательных аппроксимаций по сравнению с МКЭ даёт более высокую точность при одинаковом числе разбиений.

Отметим, что известные способы расчета арок с учётом пластичности имеют следующие недостатки:

- нет общей методики определения последовательности образования пластических шарниров;

- расчёты проводятся без учёта продольных сил в условии пластичности;

- в некоторых случаях положения пластических шарниров не совпадают с фактическими.

Во второй главе разработана методика расчета арок в упругой стадии с использованием разностных уравнений МПА.

Дифференциальные уравнения равновесия криволинейного стержня получены как частый случай из уравнений цилиндрической оболочки с произвольной направляющей. Принимая положительное направление нормальной составляющей нагрузки Ъ внутрь, запишем эти дифференциальные уравнения в безразмерном виде:

т и,

—Т = -р-Ьг, (1)

ат]г

с1п £ с1т _

с!т] ¿¡7]

(2)

Аналогично запишем зависимости между усилиями и перемещениями, принимая положительное направление нормальной составляющей перемещения внутрь оболочки и обобщая эти зависимости на случай арки произвольного поперечного сечения:

-ЪмЛ-с п:

-—у + —(Ь>) = -£вг, ату ат]

(3)

(4)

где: 7 = -; р = —;

М

7 N 1 = —; п = —; т

9о

Е7 1

3„

(5)

<7о - фиксированное значение 7; т - безразмерный изгибающий момент: п -безразмерная продольная сила; I, р - соответственно тангенциальная, нормальная безразмерные составляющие нагрузки; v, ш - соответственно тангенциальная, нормальная безразмерные составляющие перемещения; g - величина обратная безразмерной жесткости; к - безразмерная кривизна; Е - модуль упругости материала арки; F - площадь сечения арки; 7ср. - фиксированное значение момента инерции поперечного сечения; J- момент инерции поперечного сечения; 7 - безразмерная координата, направленная вдоль оси стержня; / - пролет.

%2

л

Рис. 1

Аппроксимацию дифференциальных уравнений (1) , (2) в точке 1 неравномерной сетки (рис. 1) выполним по методу последавательных аппроксимаций (МПА):

Ги

щ +—( Атм + Дт}) + т, Am¡ =

(6)

(7)

í+J/2

Для точки i левого края аппроксимация (1) запишется так :

_пш; _ Ч + Xl =

2 2 (8)

, dm m =—. di?

В этих уравнениях:

г,- - шаг неравномерной сетки слева от точки i (рис. 1); г/ = г,. + r¡+); в = cosa; ü+i/2. л«« - величины в, t, р а безразмерной кривизны А:, вычисленные в середине участка длиной h. На рисунке 1 эта точка показана крестиком; h - шаг равномерной сетки вдоль оси £; а - угол наклона касательной к оси арки (рис. 2); Дт,=Аот(-пда,; ¿м',=Ат'гппгГ; Ди, = \ - (9)

где J1 - значение параметра решения левее точки i, П - правее. Величины шагов г вдоль оси r¡ вычисляются по рекуррентной формуле :

А Г 1 4 Г ri =- — + — 6 V <9.-1 3-1/2 3

(10)

1

В случае действия вертикальной равномерно распределенной вдоль оси £ (безразмерной) нагрузки д:

/, =-д-эта,-соб«,; = #■ соэ2аг (И)

Если задана вертикальная (безразмерная) сосредоточенная сила Р, (рис. 2),

— - — Р

то: Ляг' =Л-соват,; А», = -Р/ -Бит,,где = —у- (12)

5(П)

Рис.2

Исключая п из (7) с использованием уравнений типа (6) и (9), записанных для точки /+1, получим четырехчленное уравнение относительно безразмерных изгибающих моментов т\ запишем его применительно к расчету реальных арок, когда Дт = 0:

- — + а,,м ~ Км Ц + — +—'аи>\ ~ьи*\ Ьм ~

аи+\' т,*2 + - г,+!' «/>1" Д^м + -г кМ + кмашЬпм =

..Лг^^-ЬЕйI

2 вмп 2

Л-1/2 + 1- —■\рМ!2 ——вцлРнгн I т, I х,

т,т I к, 1 - ,

Здесь: а,м =—' <■<*•■ = ~т1т'к<кмп>тм = тм+тм. Тм ^

(13)

(14)

Для определения внутренних усилий в расчетных сечениях трехшарнирной арки достаточно уравнений (13), (6), (8). Если арка статически неопределима, к этим уравнениям следует присоединить разностные аппроксимации дифференциальных уравнений (4), (3). После исключения V (при Дт = Ди> = 0) разностное уравнение МПА для определения м> принимает вид:

ь^-к? к +

г3 т2 ( т■ х

= - ТГ йм^м + 5 — ё,т, +

12 12 г, т.

Для точки / левого края :

+

1-^к,(к,+км)

Чк

3 I

w, к, -^-к |», -| 1¿д, к,.

~ 12 где gl =

(

Щ +\gM К, —-f

1 г,.

2 h

*i =

dk

; w \ Wi, V{ - заданные (в частности, нулевые) значения

,dw.

перемещений в опорной точке= (—),..

Для арок прямоугольного сечения по (5):

И] = 1212

, где Я - высота

Н 1 1

поперечного сечения. Для реальных сооружений у 2 — . Тогда сг < Для

арок и произвольного сечения можно положить с2 ~ 0. Тогда из (3) следует:

dv

■ = kw.

dt]

Интегрируя (17) по всей длине арки по формуле Симпсона, получим :

h к,

Л

L —Lii;

1

v0-v„ =-- -fw0 + 4-fw,+ ,

3 ft

0,

/

(17)

(18)

"0 "1

где v№ w„ - заданные значения перемещений в правой опорной точке и; va - перемещения в левой опорной точке 0.

В данном параграфе рассматриваются три основных наиболее часто встречающихся в расчетной практике типа арок, которые показаны на рисунке 3.

а- трехшарнирная б- двухшарнирная в- бесшарнирная

Рис.3

Примечание: для дальнейшего приняты условные обозначения:

- жесткая заделка;

• шарнирно неподвижное опирание;

•шт.

. шарнирно подвижное опирание; О - шарнир; • - пластический шарнир. Краевые условия запишутся следующим образом : 1) Трехшарнирная арка (рис. З.а):

тл=тв=тс= 0; wA=we=vA=vв=0.

2) Двухшарнирная арка (рис. З.б):

тА=т„= 0; wA = wB = vA = vB =0.

3) Бесшарнирная арка (рис. З.в):

wA = wB = vA=vB = 0; wA = \va = 0.

Алгоритм расчета арок в упругой стадии строится относительно неизвестных т и w.

Разностные уравнения (13) записываются для каждого расчетного участка i - i+1 (0 < / < 1), (15) - для каждой внутренней расчетной точки i. В случае расчета бесшарнирной арки для опорных точек записываются уравнения типа (16). Система полученных алгебраических уравнений решается совместно с (18). После определения т и w безразмерные продольные силы \ в каждой расчетной точке вычисляются по (6), для опорных точек - по (7). Для определения поперечных сил служит уравнение (8).

Тангенциальные перемещения v можно найти при выражении v через w интегрируя (17) по правилу трапеций на участке длиной т, :

v,=v,4+|(fcMHVi +*(W|). (19)

Угол поворота щ' можно вычислить, пользуясь формулой (16).

Для арок постоянной жесткости (g= 1) уравнения заметно упрощаются. Для арки кругового очертания (k = const) при т = const все дифференциальные уравнения легко интегрируются вдоль оси ц. Поэтому во всех полученных выше разностных выражениях следует положить: h = г, в = 1. Из (13), например, как частный случай получим для круговой арки:

miA-(з-т2к2\т,-тм)-тм +T{bm'-lm'lJ+1-k{tml + Дяы) =

2 (20)

= -г3 -к-tMn -(рм,2 -рмп).

Систему полученных алгебраических уравнений решаем прямым методом Гаусса. На основе разработанного алгоритма решены тестовые задачи, результаты расчётов сравнены с известными решениями.

Решены новые задачи расчета симметричной арки переменной жесткости (рис. 4) и арки несимметричной постоянной жёсткости (рис. 5).

Для иллюстрации алгоритма рассмотрим задачу №3 на рис. 5.

По алгоритму расчета арок в упругой стадии относительно неизвестных т и w при h - 1/4 имеем 08 неизвестных - т0, mi, т2, т3 и w0, wu w2, w3. Для решения должно быть составлено 08 уравнений и условий.

Записываем : уравнение (13) для расчетного участка 1 - 2\ уравнение (15) для внутренней расчетной точки 1 и уравнение типа (18) при vo = v3 = wo = w3= 0 ;

и

Задача №1

4=1

и 1 и 111111X11;.

\5,

/V,

/т

/'/ ЕЛ = ЕЛ» \\

М 0.5 ЕЛ» гЕЛ» И

т ©И

При 0<£<1/2:

£(#)=1"£из(5):

К12=Шср/ё(й,5) = 2.К1ср.

Е1Ср. - фиксированное значение жесткости стержня на изгиб.

Задача №2

-При 0<£<1/2:

*(£ = # + 0,5; из (5):

}£/2 = £/ср/я(0,5) = £/с?.

Рис. 4. Задачи симметричной полукруговой арки переменной жесткости

Задача №3

Р=1

Задача №4 4=1

\Г) ю

г- о

ГО И

о ц-

ш т

N о

го II

о и-

Рис. 5. Задачи несимметричной параболической арки постоянной жёсткости

имеем 3 уравнения. Эти уравнения решаются с учётом условий : то = т% = т} = 0; w0 = wj= 0. Задача решалась при числе разбиений оси 3, 6,12 и 24. На рис. 6 показаны эпюры т, w при числе разбиений оси 6. На рис. 7 показаны график сходимости решения по оттах в зависимости от числа разбиений пролета арки п и направления усилий в опорных точках.

Проверим точность решения задачи при п = 6. Сумма реакций опор равна действующей силе Р2 = 1.

По расчету имеем сумму реакций опор :

(n0. cos а0 + q0. sin а0) + (n6. cos а6 - q6. sin а6) = 0,9857. Погрешность решения: 1,43%.

Величины погрешности решения задачи в зависимости от числа разбиений пролета арки п даются в таблице 1.

Таблица 1

п 3 6 12 24 48

Д,% 5,62% 1,43% 0,06% 0 0

Рис. 6. Эпюры т, IV В случае двухшарнирной арки (задача №4 на рис. 5) т2 / 0; Ли'2 = 0; уравнение (15) записываем и для точки 2. Составленные уравнения решаются совместно. Если арка бесшарнирная, используем для опорных точек уравнение (16).

А Птах

р=1 ф

0,0829 0.0632 0.0833

т щ

о

П и

о с*-

1/4 1/4 1/4

1=3/4

0 б 12 24 п -

Рис. 7. График сходимости решения по т,

'шах

и направления усилий в опорных точках

Результаты решения других задач даются в диссертации. По ним установлено, что решения обладают высокой точностью и монотонной сходимостью в зависимости от уменьшения шага разбиения. Составлена программа на языке программирования С++ для решения задач расчета арок в упругой стадии.

В третьей главе разработан алгоритм расчёта арок по предельному равновесию без учёта продольных сил в условии пластичности с использованием результатов расчета арок в упругой стадии по МПА.

Расчёт несущей способности конструкций с учетом пластичности материалов, т. е. по методу предельного равновесия позволяет получить более экономичную конструкцию за счет использования скрытых резервов прочности, остающихся неиспользованными при расчете конструкции как упругой.

Вместо действительной диаграммы растяжения - сжатия упруго -пластического материала в основу кладется упрощенная диаграмма для упруго -пластического тела в координатах напряжения а - деформации е (диаграмма Прандтля).

Для систем, работающих преимущественно на изгиб (балок, рам, арок), пластическое разрушение сечения определяется величиной изгибающего момента:

где <тг- предел текучести материала при растяжении; \Л/пл- пластический момент сопротивления; в случае прямоугольного поперечного сечения

Пластический момент сопротивления сечения может быть выражен через момент сопротивления в стадии упругости IV:

МТ = ат1¥,

т" Ш1>

(21)

(22)

WnjI=XW. (23)

Коэффициент X зависит от формы сечения и равен : для круга - 1,7; для прямоугольника- 1,5; для тонкостенного кольца-1,27; для двутавра-1,15.

Сечение, в котором реализуется Мт, называется пластическим шарниром. В случае статически определимой системы для ее разрушения достаточно образования одного пластического шарнира. В статически неопределимой системе полное разрушение наступает тогда, когда образуется количество пластических шарниров, которое равно числу лишних связей системы плюс единица (или образование трёх пластических шарниров в пределах прямолинейного участка системы).

В данной главе алгоритм расчета арок по предельному равновесию строится по нижеизложенной схеме :

1) Расчет арки в упругой стадии по методу последовательных аппроксимаций (2-ая глава).

2) Фиксирование первого пластического шарнира по первого этапа расчета.

3) Упругий расчет с учетом первого пластического шарнира до возникновения И-го. Третий этап расчета и последующие этапы зависят от степени статической неопределимости арки.

Отметим, что если известна геометрия сечений, т.е. предельные несущие способности сечений (величины МТ), то по алгоритму может быть найдена в конечном счете предельная нагрузка.

По разработанному алгоритму решены задачи предельного равновесия при действии : сосредоточенной силы, распределенной по разным законам нагрузки для арок кругового и параболического очертаний (№ 1 на рис. 5; № 2, 3, 4, 5 на

рис. 8). Для всех задач безразмерный предельный момент тт всех сечений арки

на изгиб одинаков и равен 0,5. Надо найти безразмерную предельную нагрузку р

L Г,Р •

Для иллюстрации алгоритма рассмотрим задачу №3 на рис. 8. Проводим расчет двухшарнирной арки в упругой стадии по 2-ой главе при

Р =1 и строим эпюру изгибающих моментов m, при числе разбиений оси 8 (рис. 9.а).

При wmax = /и4 = 0,0932 первый пластический шарнир образуется в середине пролета. Нагрузка, соответствующая образованию первого

пластического шарнира : ¿прО) = —~ = А A'n,„ = 5,365.

0,0932

Задача К°2

Задача №3 Г

Рис. 8. Задачи расчёта арок по предельному равновесгао без учёта продольных сил в условии пластичности

РЧ=5.365

Р=1

б)

Рис. 9. Эпюры »11 и тип

Далее рассчитываем арку как трёхшарнирную в упругой стадии по 2-ой главе отдельно:

- на РА = 1; получим эпюру Щ (по эпюре т2 имеем п\ = -О,0787 ); -на т^=тг = 0,5; получим эпюру т3 (по эпюре т3 имеем та =0,1910). Прежде чем определить ^(2) , следует построить эпюру

Щ-Рпр0) + Щ=ти (рис. 9.6). По эпюре Щ имеем, что тшш=иг) =—0,0787.5,3654-0,1910 = —0,2314; второй пластический шарнир образуется в точке 1. Чтобы наитй составляем уравнение: -0,0787.^(2)+ 0,1910 = -0,5;^(2) = 8,780. Схема разрушения при числе разбиений оси 8 показана на рис. 10. Для проверки найдем Рт,(2) из интегральных условий равновесия :

Р)пв=-0.5,

V М""' = 5 - АО,5-- 0,5 = 0;

4 2

2

УМ""' = 0;^.0,0381 - АО, 1913+0,5 = 0; 2

= 9,025.

Рис. 10. Схема разрушения При увеличении числа расчетных участков точность решения возрастает и положения пластических шарниров смещаются. Результаты расчетов сведены в таблицу 2.

Таблица 2

Число 1 тгж разбиений' по т, т тш по тп /(тт) по т!: по ти ^(2) Р 1 ПР Д

8 0,0932 -0,2314 1 22,50' 5,365 8,780 9,025 -2,71%

16 0,0914 -0,2551 3 33,75' 5,470 7,985 8,039 -0,67%

32 0,0910 -0,2548 6 33,75' 5,495 8,027 8,039 -0,15%

Из табл. 2 видно, что решение с помощью МПА обладает высокой точностью и монотонной сходимостью.

Расчет следует завершить построением эпюры Щ (при числе разбиений 32 на рис. 11), чтобы показать, что во всех расчетных точках \т\ 5 0,5.

-0.4249 Ц">

Рис. 11. Эпюра /их

Результаты решений сравнивались с известными результатами аналогичных

задач, приведённых в литературе (№ 6 на рис. 12). у

Бесшарнирная арка, очерченная по квадратной

4/ ч \ параболе У = -р- х [I - х),

Несущая способность Мт = 7,5 тс.м; найти /д,.

® ©

ъ®

.Ув.1 1

./4 1

Рис. 12. Задача №6

Задачу решаем в безразмерном виде с сосредоточенной силой Р в середине пролета при безразмерном / - //4 =1/4. Пусть безразмерное значение Щ =0,5; найти Рцр-

В результате численной реализации разработанного алгоритма имеем следующие положения пластических шарниров и порядки образования этих шарниров:

- 1-ый пластический шарнир - в точке 4 (в середине пролета);

- 2-ой и 3-ий пластические шарниры - в точке 0 и 8 (в заделках);

- 4-ый и 5-ый пластические шарниры - в точке 2 и 6 (в четвертях пролета).

Приведены проверки полученных результатов с помощью интегральных условий равновесия; Рш» =16. Отмечим, что правильные положения

пластических шарниров определяются при этом из разработанного нами алгоритма расчета.

Переход к размерным величинам по формуле (5) при = Р :

Рщ

Рпр'

Мт - тт.Р.1\ РПР = Рпр.Р;

г Т Рпр " тт.1 0,5.12 М Полученный результат совпадает с Рпр = 20[тс\ в литературе. При увеличения числа расчетных участков точность решения возрастает. В этой задаче положения пластических шарниров не смещаются. Результаты расчетов сведены в таблицу 3.

Таблица 3

Число разбиений РПР(2) ^пр Л%

8 10,246 13,768 15,904 -0,60%

16 10,288 13,843 15,976 16,000 -0,15%

32 10,309 13,873 15,994 -0,04%

По результатам в табл. 3 можно сделать следующие выводы: результаты численного решения задач по предельному равновесию с помощью МПА в упругом расчете и известные результаты практически совпадают; численное решение обладает монотонной сходимостью; высокая точность решения задач по предельному равновесию без учёта продольных сил в условии пластичности достигается уже при числе разбиений 8.

В четвертой главе разработан алгоритм расчёта арок по предельному равновесию с учётом продольных сил в условии пластичности с использованием результатов расчета арок в упругой стадии по МПА.

Здесь рассматривается следующий частный случай предельного состояния арки под действием заданных сил:

1) деформации материала при растяжении и сжатии следуют диаграмме Прандтля;

2) деформации системы к моменту достижения предельного состояния малы;

3) в местах образования пластических шарниров все сечение арки пронизано пластичностью (рис. 13);

4) предельное состояние по прочности наступает раньше потери устойчивости, т. е. рассматриваются состояния арки в предельном равновесии, когда под действием предельной нагрузки в данной п раз статически неопределимой арке образовалось п + 1 пластических

шарниров, обращающих арку в кинематическую цепь с одной степенью свободы.

От

777Л

Рис. 13. Напряжения в предельном состоянии Из условий состояния арки как кинематической цепи с одной степенью свободы вытекает, что в соседних пластических шарнирах изгибающие моменты будут разных знаков. Если в сечении х напряжения в предельном состоянии будут по рис. 14.а, то в каждом из соседних пластических шарниров - по рис. 14.Ь. а) Ь)

От От

Н1

Нг

ат о4

Рис. 14. Напряжения в предельном состоянии в соседних пластических шарнирах Условие образования пластического шарнира (рис. 13) для прямоугольного сечения при учёте продольных сил :

Мт И/

(24)

где М,Ы- соответстенно возникающие в сечении арки изгибающий момент и продольная сила. Мт - предельный пластический момент; Ят - предельная пластическая осевая сила.

Если полная площадь поперечного сечения равна Б и Жоп - пластический момент сопротивления, то:

Мт = ат.Шпл = (25)

= ат.Р = ат.Ъ.Н, (26)

где Я-высота поперечного сечения; Ъ - ширина поперечного сечения. Перейдём к безразмерным величинам:

МЫ мт ит

Я/ ' Чо' ""' Ч<Р ' Т Чо1

г 'п = ~ ;тг~~1г 'Пт~~Г7 ' (27)

где / - пролетарки; <?0- фиксированное значение распределенной нагрузки.

т пг

Тогда из (24) следует — = ±0--г )• (28)

В данной главе алгоритм расчета арок по предельному равновесию с учётом продольных сил в условии пластичности строится по нижеизложенной схеме:

1) Расчет арки в упругой стадии по методу последовательных апроксимаций по 2-ой главе.

2) Фиксирование первого сечения, удовлетворяющего (28), по результатам 1-го этапа расчета.

3) Упругий расчет с учетом первого пластического шарнира до возникновения П-го. Третий этап расчета и последующие этапы зависят от степени статической неопределимости арки.

Отметим, что если известны МТ и , то по алгоритму может быть найдена в конечном счете предельная нагрузка.

По разработанному алгоритму решены задачи предельного равновесия с учётом продольных сил в условии пластичности при действии сосредоточенной силы; распределенной по разным законам нагрузки для арок кругового и параболического очертания (№ 1 на рис. 5, № 2, 3, 4 на рис. 8). Для всех задач безразмерный предельный пластический момент Щ = 0,5; из (27) : Мт = О,5.«70./2.

2

Тогда из (25): = .д0.12; (29)

с учетом (26), (27) имеем: (30)

При = Ю предельная пластическая безразмерная осевая сила пт= 20. Следует Н

найти безразмерную предельную нагрузку Р№. Рассмотрим задачу №3 на рис. 8.

Проводим расчет в упругой стадии по 2-ой главе при Р = 1 и строим эпюру изгибающих моментов при числе разбиений оси 8 (рис. 9.а). п2

По (28): т = 0,5.(1-^-).

Найдем РПР (1) при образовании пластического шарнира в точке 4 :

МХ(1) = ОЛО-("4У);) • или 0,0932.^(1)^ 0,5.(1-°'3202^(1)2).

Из решения этого уравнения следует -Рл?(1) = 5,326. Расчеты с применением (28) в

других точках дают Рпр( 1) > 5,326, т.е. Рш,(}) = 5,326 = тхаР№{\). Далее проводим расчеты в упругой стадии по 2-ой главе при числе разбиений оси 8:

1)В первом расчете в трехшарнирной арке на РА = 1: п4 = -0,5047-,п2 = -0,7175;и„ = -0,5047;т2 = -0,1064.

(Видно, что упругий расчет дает малую погрешность; в частности и0 = -0,5047 отличается от точного значения я0 =-0,5 на 0,94%).

2) Во втором расчете в трехшарнирной арке при т4 = 1 : п4 = 1,9797;л2 = 1,392б;ш2 = 0,7065.

Найдем РПР (2), когда второй пластический шарнир образуется в четверти оси : т2 = -0,1064.^(2) + 0,7065.ш4;

и2= -0,7175.^(2) + 1,3926.«,; • (31)

щ = -0,5047.^(2) +1,9797. от4.

По (28) :

т2 =0,5.(1-£=•);

20 „ 2

т4 =0,5.(1-—гг).

20

(32)

Подставим (31) в (32), получим:

-0,1064.Рл/(2) + 0,7065.те4 =0,5.(1—^т.(-0,7175.?л/,(2) + 1,3926.те4)г);

20

1

тА = 0,5.(1 - ^-.(-0,5047..РЛД2) + 1,9797.ет4)2).

(33)

Решая систему уравнений (33) итерациями, получим : Рпр(2) = 7,676 и ш4 = 0,489.

Расчеты с применением (28) в других точках дают /^(2) >7,676, т.е. Рш,{2) = 7,676 = ттРПР(2) при образовании П-го пластического шарнира с учётом продольных сил.

Разница между РПР (2) без учета N по таблице 2 и Рпр (2):

РПР(2)-РПР(2)

РаЛ 2)

«¿±¿.100% =

7,676-8,780 7,676

.100% = -14,38%.

Схема разрушения показана на рис. 15. Для проверки найдем РПР (2) из интегральных условий равновесия:

Рпр/2|

Рис. 15. Схема разрушения

= 5 - й.0,5- т4 = 0;т4 = ^.0,5 - Д.0,5;

п^-Я.

2Х"' = 0;^.х2-П.У1 +т2= 0;т2 = -^-.0,1464 + Л.0,3536;

п, = -Л.с05«-^.8та = -Я.0,7071-^.0,7071. 2 2 2

Подставим (34) и (35) в (32), получим : ^.0,5 - Д.0,5 = 0,5.(1 - -^-.(-Л)2);

-^.0,14б4-Я.0,353б = -0,5.(1-Л-.(-Л.0,7071-^.0,7071)2). 2 20 2

(34)

(35)

(36)

Решая систему уравнений (36) итерациями, получим : Рш = 7,876 и К = 2,960. Разница между РПР (2) и РПР :

РдД2ЬРОТлоо% = 7,676-7,876 = Р™ 7>876

1 пр

При увеличении числа расчетных участков точность решения возрастает и положения пластических шарниров смещаются. Результаты расчетов сведены в таблицу 4.

Таблица 4

Число разбиений РпАП р ГИР А

8 5,326 7,676 7,876 -2,54%

16 5,429 7,634 7,764 -1,67%

32 5,453 7,672 7,764 -1,18%

Решения других задач даны в диссертации.

В результате показано, что алгоритм решения задач по предельному равновесию с помощью МПА в упругом расчете и интегральные условия равновесия дают близкие значения предельной нагрузки; численное решение обладает монотонной сходимостью; высокая точность решения задач по предельному равновесию с учётом продольных сил в условии пластичности с помощью МПА в упругом расчете достигается уже при числе разбиений 8; при увеличении числа расчетных участков точность решения возрастает и в некоторых задачах положения пластических шарниров смещаются; значение предельной нагрузки в расчете с учетом продольных сил меньше на 10-20% по сравнению с расчётом по предельному равновесию без учета продольных сил в условии пластичности.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

Обобщая результаты проведённых исследований, можно сделать следующие выводы. Численный метод последовательных аппроксимаций получил существенное развитие для решения задач расчёта арок по предельному равновесию без учёта продольных сил и с учётом продольных сил в условии пластичности.

1) Разработан численный алгоритм расчета в упругой стадии разных типов арок постоянной и переменной жесткости при действии произвольных статических нагрузок.

2) Разработанный алгоритм обладает высокой точностью и монотонной сходимостью в зависимости от увеличения числа разбиений. Показано, что решение с помощью МПА в упругом расчете обладает высокой точностью на редких сетках.

3) Составлена программа на языке программирования Visual С++ для решения задач, сводящихся к расчету арок в упругой стадии.

4) Разработан численный алгоритм расчета арок по предельному равновесию.

5) Решены задачи расчета арок по предельному равновесию без учёта продольных сил и с учётом продольных сил в условии пластичности. Для частных случаев результаты расчетов сравнивались с найденными из интегральных условий равновесия и с известными результатами.

6) Разработанный алгоритм расчета по предельному равновесию обладает высокой точностью. Решения задач обладают монотонной сходимостью.

7) Расчет по предельному равновесию даёт возможность более правильно, чем расчёт по упругому методу, определить несущую способность арок (1,5-2 раза).

Б) Значение предельной нагрузки в расчете с учетом продольных сил в условии пластичности меньше, чем без учета продольных сил.

9) Разработанные алгоритмы расчета по предельному равновесию с учётом продольных сил и без учёта их дают возможность определить последавательность образования пластических шарниров.

10) При расчёте арок по предельному равновесию достигается значительная экономия материалов. Рациональное использование их - один из путей снижения стоимости строительства и улучшения проектирования.

11) Разработанные методики расчета позволяют не только определять величины предельных нагрузок, но и вычислять усилия и перемещения во всех расчетных точках.

12) Расчет арок с помощью МПА существенно дополняет известные методы расчёта в качестве самостоятельного или дублирующего варианта при проектировании конструкций.

13) Материалы диссертации в виде графиков, алгоритмов и программ для ЭВМ могут быть использованы в научно-исследовательских разработках и инженерных расчётах.

Основные положения диссертации и результаты исследований опубликованы в следующих работах :

1) Габбасов Р.Ф., Чан Тхань Тунг. Рациональный численный метод расчета арок произвольного очертания - М. Вестник МГСУ, 2010, N2 4, т.1, с. 18-23.

2) Чан Тхань Тунг. Численный метод расчета арок по предельному равновесию -М. Вестник МГСУ, 2011, № 1, т.1, с. 232-237.

КОПИ-ЦЕНТР св. 7:07:10429 Тираж 100 экз. г. Москва, ул. Енисейская, д.36 тел.: 8-499-185-7954, 8-906-787-7086

Введение.

Глава 1. Численные методы в задачах строительной механики и краткий обзор работ по расчету арок по предельному равновесию.

1.1. Метод конечных разностей (МКР) и конечных элементов

МКЭ).

1.2. Метод последовательных аппроксимаций (МПА).

1.2.1. Метод последовательных аппроксимаций в интегральной или дифференциальной форме.

1.2.2. Метод последовательных аппроксимаций в разностной форме.

1.3. Методы расчета арок по предельному равновесию.

1.4. Выводы по главе 1.

Глава 2. Разработка методики расчета арок в упругой стадии с использованием разностных уравнений МПА.

2.1. Разрешающие дифференциальные уравнения расчета арок и краевые условия.

2.2. Приведение системы дифференциальных уравнений к безразмерному виду.

2.3. Аппроксимация дифференциальных уравнении разностными уравнениями метода последовательных аппроксимаций.

2.4. Алгоритм расчета арок в упругой стадии.

2.5. Решение тестовых задач.

2.6. Решение новых задач.

2.6.1. Симметричная арка переменной жесткости.

2.6.2. Арка несимметричная постоянной жёсткости.

2.7. Выводы по главе 2. 74 #

Глава 3. Расчёт арок по предельному равновесию без учёта продольных сил в условии пластичности.

3.1. Расчёт по методу предельного равновесия.

3.2. Предельное состояние сечения и системы. Схема разрушения арок.

3.3. Способы решения задачи пластического расчета.

3.4. Численный алгоритм расчета арок по предельному равновесию.

3.5. Решение задач.

3.6. Сравнение численного решения задач по МПА с известными результатами.

3.7. Выводы по главе 3.

Глава 4. Расчёт арок по предельному равновесию с учётом продольных сил в условии пластичности. г 4.1. Предельное состояние сечения с учетом изгибающих моментов

- 1 и продольных сил.

4.2. Численный алгоритм расчета арок по предельному равновесию с учетом продольных сил.

4.3. Задачи расчета арок с учётом продольных сил в условии пластичности.

4.4. Выводы по главе 4. 103 Заключение. 114 Литература.

Аналитические методы расчёта конструкций и сооружений сложны и трудоёмки.

Внедрение ЭВМ в практику проектирования поставило ряд проблем, к которым можно отнести следующие: усовершенствование и создание новых численных методов решения прикладных задач, реализация этих методов на ЭВМ, разработка алгоритмов по расчёту сооружения в целом или его отдельных частей и ряд специальных вопросов, возникающих при использовании ЭВМ в проектно-расчётных разработках.

Большинство инженерных задач приходится решать приближёнными численными методами. Развитие вычислительной техники сопровождается появлением новых численных методов расчёта, удобных для работы на персональных компьютерах.

Наиболее широко используемыми в настоящее время численными методами являются метод конечных разностей (МКР), иначе - метод сеток, и метод конечных элементов (МКЭ). Эти и другие методы, по существу, идентичны и сводят решение континуальной задачи к решению систем алгебраических уравнений или к раскрытию определителей.

При использовании конечно-разностных методов для линейных задач решение сводится к системе линейных алгебраических уравнений с матрицей, содержащей относительно малое число ненулевых элементов. Это позволяет решать системы уравнений с большим числом неизвестных. Однако, в случае областей сложной формы применение МКР представляет неудобства вследствие неоднородности построения разностных уравнений в пограничных точках.

МКЭ свободен от ряда недостатков МКР: он не требует специальных усилий по построению системы базисных функций, при его использовании упрощается написание уравнений вблизи границы. Матрица линейной системы уравнений содержит относительно малое число ненулевых элементов. Большая технологичность метода позволила создать на его основе ряд систем стандартных программ решения краевых задач. Этот метод сходится при меньших требованиях гладкости, чем МКР. В то же время увеличивается объём работы при вычислении матрицы системы уравнений. Поэтому при решении задач большого объёма зачастую применяют МКР пли приходят к составлению систем уравнений с помощью аппроксимации минимизирующего функционала.

Отсюда видно, что каждый численный метод может иметь свою область применения в зависимости от характера задачи.

Возможности имеющихся ¿методов не всегда достаточны в практике инженерных расчётов. В частности, в случае расчёта конструкций типа балок, рам, арок, пластин и оболочек с разрывными параметрами применение известных численных методов связано с сильным сгущением расчётной сетки, особенно в местах разрывов. Поэтому возникла потребность в создании новых методов для расчёта таких конструкций.

На кафедре строительной механики МГСУ Р.Ф. Габбасовым разработан численный метод последовательных аппроксимаций (МПА), который позволяет решать задачи, не прибегая к законтурным точкам, не сгущая расчётную сетку вблизи разрывов и особенностей. Метод сводится к составлению разностных уравнений, учитывающих конечные разрывы искомой функции, правой части исходных дифференциальных уравнений, а также - разрывы производных этих функций.

Разработанный метод позволяет с единых позиций строить алгоритмы расчёта всех конструкций: балок, арок, рам, ферм, плит -постоянной и кусочно-переменной жесткости, изгибаемых и сжато-изогнугых, на упругом основании и без основания, ребристых и ортотропных, средней толщины, а также балок-стенок и оболочек (призматических, пологих, подъёмистых) — на действие статических, динамических нагрузок и на устойчивость.

Благодаря простоте алгоритма и высокой точности методики многие задачи решаются при малом числе разбиений с использованием настольных вычислительных средств без составления программ для ЭВМ.

Разностные уравнения МПА используются и при проектировании реальных сооружений для проверки расчётов отдельных частей зданий, выполненных по общим программам метода конечных элементов (МКЭ).

МПА даёт результаты высокой точности. Однако разработанные мощные программы выдвигают на первое место МКЭ. Если задача не решается по общей программе МКЭ, рациональнее обратиться к МПА. Этот метод высокоэффективен в исследовательских работах.

Актуальность темы. Арки произвольного очертания относятся к распорным конструкциям, входят в состав различных конструкций -железедорожных мостов, сводов, покрытой промышленных, сельскохозяйственных и общественных зданий. Проблемы, связанные с исследованием таких арочных систем и конструированием сложных сооружений, требуют разработки численных методов, алгоритмов и программ для ЭВМ. Ввиду того, что в литературе имеется только ограниченное число работ по предельному равновесию арок симметричных очертаний, постоянной жесткости, в работе рассматриваются задачи с арками переменной жесткости и несимметричного очертания.

В настоящее время имеет значение развитие методов для инженерного расчёта арок, обладающих высокой точностью при сравнительно малом числе разбиений оси арок, в том числе позволяющих производить расчёт вручную при помощи микрокалькулятора. Это позволяет произвести расчёт для оценки несущей способности арок, не прибегая к помощи ЭВМ.

Одним из таких методов является метод последовательных аппроксимаций (МПА), предложенный А.Ф. Смирновым и в дальнейшем разработанный и значительно расширенный Р.Ф. Габбасовым. Опыт применения МПА к задачам по расчёту арок на прочность в упругой стадии, на действие статических нагрузок выявил высокую точность и эффективность этого метода.

Актуальной задачей является применение этого метода к расчету арок по предельному равновесию. Расчеты по предельному равновесию выявляют большие ресурсы несущей способности конструкций.

Целью диссертационной работы является обобщение и развитие метода последовательных аппроксимаций для расчета арок по предельному равновесию с различными условиями на краях при действии различных типов нагрузок.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи :

- используя общие разностные уравнения МПА, получить уравнения для расчета арок в упругой стадии;

- по данным уравнениям разработать алгоритм расчета арок произвольного очертания, переменной жесткости в упругой стадии с различными условиями на краях при действии различных типов нагрузок для определения внутрених усилий и перемещений;

- разработать алгоритм расчёта арок по предельному равновесию с учётом продольных сил и без их учёта в условии пластичности, используя результаты расчета арок в упругой стадии;

- составить программу для ЭВМ с последующим применением ее для решения инженерных задач.

Научную новизну диссертации составляют следующие результаты:

- составление алгоритма расчета арок в упругой стадии для определения внутенних усилий и перемещений;

- разработка численного алгоритма расчёта арок по предельному равновесию с учётом продольных сил и без их учёта в условии пластичности при действии различных нагрузок, используя при этом результаты расчета арок в упругой стадии;

- составление программы на языке программирования Visual С++ по разработанным алгоритмам;

- решение новых задач расчета арок в упругой стадии и по предельному равновесию.

Достоверность результатов определяется корректностью постановки задач по предельному равновесию арок, использованием апробированного численного метода, сравнением ряда полученных результатов с ранее известными, численным исследованием сходимости решений.

Практическая ценность работы заключается в:

- обобщении методики расчета арок произвольного очертания, переменной жесткости в упругой стадии с различными условиями на краях при действии различных типов нагрузок для применения на практике расчётов;

- разработке программы на языке программирования Visual С++ для решения задач, сводящихся к расчету арок в упругой стадии, которая может использоваться в инженерных расчётах;

- разработке методики расчёта арок по предельному равновесию с учётом продольных сил и без их учёта в условии пластичности.

Апробация работы была проведена па:

- заседании кафедры «Строительная Механика» Московского государственного строительного университета 30-го августа 2011 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано три статьи в рецензируемых журналах, рекомендуемых ВАК для публикации результатов по кандидатским диссертациям; наименования статей приведены в списке литературы под номерами [48,165,166].

На защиту выносятся:

- разработка алгоритма расчёта арок произвольного очертания и переменной жесткости в упругой стадии по МПА;

- решение новых задач расчёта арок в упругой стадии;

- разработка алгоритма расчёта арок по предельному равновесию без учёта продольных сил в условии пластичности с использованием результатов расчета арок в упругой стадии;

- решение новых задач расчёта арок по предельному равновесию без учёта продольных сил в условии пластичности;

- впервые выполненная разработка алгоритма расчёта арок по предельному равновесию с учётом продольных сил в условии пластичности;

- решение новых задач расчёта арок постоянной и переменной жесткости по предельному равновесию с учётом продольных сил в условии пластичности.

Объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и приложения; изложена на 135 странницах.

4.4. Выводы по главе 4.

При анализе решения задач по предельному равновесию с учётом продольных сил в условии пластичности с помощью МПА в упругом расчете можно сделать следующие выводы:

1) Рассмотренный в §4.2 данной главы алгоритм расчета по предельному равновесию с учётом продольных сил в условии пластичности даёт решения, обладающие устойчивой монотонной сходимостью.

2) Решение всех задач при числе разбиений больше 32 -нецелесообразно ввиду того, что при дальнейшем увеличении числа разбиений результат решения остаётся неизменным.

3) Приемлемая точность решения задач по предельному равновесию с учётом продольных сил в условии пластичности достигается уже при числе разбиений 16.

4) При увеличении числа расчетных участков точность решения возрастает и в некоторых задачах положения пластических шарниров смещается.

5) Значение предельной нагрузки в расчете с учетом продольных сил меньше на 10-20% по сравнению с расчётом по предельному равновесию без учета продольных сил.

6) По разработанному в §4.2 данной главы алгоритму расчета по предельному равновесию с учётом продольных сил можно определить последавательность образования пластических шарниров более точно по сравнению с алгоритмом в §3.4.

7) По сравнению с интегральным подходом, разработанный алгоритм позволяет не только определять величины предельных нагрузок, но и вычислять усилия и перемещения во всех расчетных точках.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации выполнено построение алгоритмов расчета арок в упругой стадии и расчета арок по предельному равновесию без учёта продольных сил в условии пластичности и с учётом их для разных типов оси арок и при действии различных нагрузок.

Разработанные алгоритмы легко программируются и реализуются на ЭВМ. Результаты решения задач обладают высокой степенью точности, практически совпадают с известными аналитическими решениями при сравнительно редкой сетке. Решения, полученные на базе разработанного алгоритма, быстро сходятся.

По диссертации можно сделать следующие основные выводы и предложения.

1) Разработан алгоритм расчета арок в упругой стадии для разных типов оси арок постоянной и переменной жесткости при действии различных нагрузок.

2) Разработанный алгоритм обладает высокой точностью и монотонной сходимостью в зависимости от увеличения числа разбиений. Показано, что решение с помощью МПА в упругом расчете обладает высокой точностью на редких сетках.

3) Составлена программа на языке программирования Visual С++ для решения задач, сводящихся к расчету арок в упругой стадии.

4) Решены задачи расчета арок по предельному равновесию без учёта продольных сил и с учётом продольных сил в условии пластичности.

5) Для частных случаев, результаты расчетов сравнивались с известными результатами.

6) Разработанный алгоритм расчета по предельному равновесию обладает высокой точностью. Решения задач обладают монотонной сходимостью.

7) Расчет по предельному равновесию даёт возможность более правильно, чем расчёт по упругому методу, определить несущую способность арок (1,5-2 раза).

8) Значение предельной нагрузки в расчете с учетом продольных сил меньше, чем без учета продольных сил.

9) Разработанные алгоритмы расчета по предельному равновесию с учётом продольных сил и без учета их дают возможность определить последавательность образования пластических шарниров.

10) При расчёте арок по предельному равновесию достигается значительная эконохмия материалов. Рациональное использование их — один из путей снижения стоимости строительства и улучшения проектирования.

11) Разработанные методики расчета позволяют не только определять величины предельных нагрузок, но и вычислять усилия и перемещения во всех расчетных точках.

12) Расчет арок с помощью МПА существенно дополняет известные методы расчёта в качестве самостоятельного или дублирующего варианта при проектировании конструкций.

13) Материалы диссертации в виде графиков, алгоритмов и программ для ЭВМ могут быть использованы в научно-исследовательских разработках и инженерных расчётах.

1. Абовский Н.П. О применении метода конечных элементов совместно с другими методами. Труды КПИ, вып.8, Красноярск, 1975.

2. Абовский Н.П., Андреев H.H., Сабиров P.A. Обобщенные вариационно-разностные уравнения теории анизотропных /в том числе ребристых/ пологих оболочек. Сб: Пространственные конструкции в Красноярском крае, вып.7, 1975.

3. Абовский Н.П., Самолъянов И.И., Пасько Д.А. Расчет пологих оболочек в матричной форме методом сеток. Учебно-методическое пособие, Красноярск, 1965.

4. Абовский Н.П., Самолъянов И.И. Расчет пологих оболочек типа гиперболического параболоида методом сеток. Сб: Пространственные конструкции в Красноярском крае, вып. 2, Красноярск, 1966.

5. Авдонин A.C. Прикладные методы расчета оболочек и тонкостенных конструкций. -М., Машиностроение, 1969.

6. Азархин A.M., Абовский Н.П. Об итерационных методах в некоторых задачах строительной механики // Исследования по теории сооружений. 1977. В. XXIII. М: Стройиздат. С. 152-157.

7. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972.316 с.

8. Александров A.B. Численное решение линейных дифференциальных уравнений при помощи матрицы дифференцирования // Тр. МИИТ. М., 1961. В. 131. С. 253-266.

9. Александров A.B., Лащеников Б.Я., Смирнов В.А., Шапошников H.H. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. М.: Стройиздат, 1976. Ч. I. 248 с. Ч. П. 237 с.

10. Астахов М.Ф., Караваев A.B., Макаров С .Я. и Суздальцев Я.Я. Справочная книга по расчету самолета на прочность // Гос. Изд. Оборонной промышленности, М., 1954, 700 с.

11. Ахвледиани Н.В. К расчету железобетонных арок по методу предельного равновесия // Строительная механика и расчет сооружений, №2, 1960.

12. Ахвледиани Н.В. Несущая способность железобетонных арок и оболочек покрытий некоторых типов, автореферат д.т.н диссертации, Издательство АН ГССР, Тбилиси, 1962.

13. Ахвледиани Н.В. Об одном свойстве предельной нагрузки // Сообщения АН ГССР, Т. XVI, № 10, 1955.

14. Бадаев М.А. Формулировка некоторых задач теории пологих цилиндрических оболочек для решения методом сеток. Ученые записки Азербайджанского сельскохозяйственного института, Механизация, вьтп.З, Баку, 1969.

15. Байков В.Н. и др. Железобетонные конструкции. Специальный курс. — М.: Стройиздат, 1981.

16. Байков В.Н., Хампе Э., Рауэ Э. Проектирование железобетонных тонкостенных пространственных конструкций. -М., Стройиздат, 1990.

17. Балдин В.А., Гольденбаат И.И. и др. Расчет строительных конструкций по предельным состояниям, под редакцией В.М. Келдыша // Госстройиздат, 1951.

18. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. 447 с.

19. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 600 с.

20. Безухов Н.И. К теории пластического расчета на изгиб // Вестникинжинеров и техников, № 10, 1936.

21. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести, Госиздат, Высшая школа, 1961.

22. Борисов М.В., Вахитов М.Б. О решении некоторых задач теории упругости с помощью интегрирующих матриц. Труды КАИ, вып. 166, Казань, 1974.

23. Борисов М.В., Прегер A.J1. Метод интегрирующих матриц при расчёте пологих оболочек // Исследования по строительным конструкциям и строительной механике. Томск: Изд-во ТГУ, 1983. С. 28-30.

24. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов // Москва «Наука», 1986, 544с.

25. Бузун И.М. Метод конечных разностей и метод конечных элементов. Сравнение решений для пластинки. Сб: Исследование тонкостенных пространственных конструкций, Тюмень, 1974.

26. Бурман З.И., Шайдуков K.M. Обобщение метода матричного интегрирования одномерных краевых задач строительной механики на случай двумерной задачи о пластинке. Тр. Казанского университета, 1972, №8, с.215-222.

27. Вайнберг Д.В. Арки на сплошном упругом основании // ПММ, Т. 1, вып. 2, 1937.

28. Вайнберг Д.В. и др. Метод конечного элемента в механике деформируемых тел // Прикладная механика. 1972. Т. 8. №8. С. 3-28.

29. Вальтер JT.J1. Расчет стальных двухшарнирных арок по предельным нагрузкам, автореферат к.т.н диссертации, ЛИСИ, 1954.

30. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчёта строительных конструкций. М.: Стройиздат, 1977. 154 с.

31. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. М., Мир, 1974.

32. Варданян Г.С. Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. // M., АСВ, 1995.

33. Вахитов М.Б. Интегрирующие матрицы аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики // Известия вузов. Авиационная техника. 1966. №3. С. 50-61.

34. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики, Киев, 1978.

35. Виноградов C.B. Об устойчивости кольца в упругой среде // Строительная механика и расчет сооружений, № 2, 1962.

36. Габбасов Р.Ф К расчёту стержней и стержневых систем методом последовательных аппроксимаций // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1980. №4. С. 30-35.

37. Габбасов Р.Ф. О разностных формах метода последовательных аппроксимаций // Численные методы решения задач строительной механики. Киев: Издательство КИСИ, 1978. С. 121-126.

38. Габбасов Р.Ф. О численно-интегральном методе решения краевых задач строительной механики для дифференциальных уравнений в частных производных // Исследования по теории сооружений. М.: Стройиздат, 1976. В. XXII. С. 27-34.

39. Габбасов Р.Ф. Об интегральной и дифференциальной формах численного метода последовательных аппроксимации // Строительная механика и расчёт сооружений. 1978. № 3. С. 26-30.

40. Габбасов Р.Ф. Об одном алгоритме расчета арок произвольного очертания и переменной жесткости Сборник материалов международной научно - практической конференции XXI века, часть 1, МГСУ, ПГС, М. - 2000. с. 178-180.

41. Габбасов Р.Ф. Применение теории сплайнов к задачам строительной механики // Некоторые вопросы прочности строительных конструкций. Сборник трудов МИСИ. М., 1978. № 156. С. 65-76.

42. Габбасов Р.Ф. Сравнение методов конечных элементов и последовательных аппроксимаций // Доклады IX Международного конгресса по применению математики в инженерных науках. Веймар, 1981. Т. 2. С. 13-15.

43. Габбасов Р.Ф. Численное решение задач строительной механики с разрывными параметрами: Дпсс. . докт. техн. наук. М., 1989. 343 с.

44. Габбасов Р.Ф. Эффективные численные методы построения разрывных решений задач строительной механики // Известия вузов. Строительство. 1992. №2. С. 104-107.

45. Габбасов Р.Ф. Эффективные численные методы расчета арок произвольного очертания Изв. вузов. Строительство, 1999, № 10, с. 9-12.

46. Габбасов Р.Ф., Габбасов А.Р., Филатов В.В. Численное построение разрывных решений задач строительной механики. М.: АСВ, 2008, 273 с.

47. Габбасов Р.Ф., Чан Тхань Тунг. Рациональный численный метод расчета арок произвольного очертания М. Вестник МГСУ, 2010, № 4.Т.1, с. 18-23.

48. Гвоздев A.A. О предельном равновесии // АН ГССР, Инженерный сборник т. V, вып. 1, 1948.

49. Гвоздев A.A. Определение величины разрушающей нагрузки для статически неопределимых систем // Проект и стандарт. № 8, 1934.

50. Гвоздев A.A. Определение величины разрушающей нагрузки для статически неопределимых систем, претерпевающих пластические деформации // Труды конференции по пластическим деформациям, Изд. АНГССР, 1938.

51. Гвоздев A.A. Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия// Стройиздат, 1949.

52. Геммерлинг A.B. Вопросы прочности и устойчивости строительных конструкций // Сборник трудов УНИИСИ, вып. 7, 1961.

53. Геммерлинг A.B. Расчет конструкций, работающих в упруго — пластической стадии // Сборник трудов УНИИСИ, вып. 7, 1961.

54. Гинке Э. Механическая интерпретация многоточечных конечно-разностных методов высокой точности, применяемых для расчёта пластин и оболочек // Расчёт упругих конструкций с использованием ЭВМ. Л.: Судостроение. 1974. Т. 2. С. 274-296.

55. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук. 1961. Т. XVI. В. 3. С. 171-174.

56. Городецкий A.C. Численная реализация метода конечных элементов // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Будивельник, 1973. В. XX. С. 31-42.

57. Дарков A.B., Клейн Г.К., Кузнецов В.И. Строительная механика // Москва «Высшая школа», 1976.

58. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М., Наука, 1967.

59. Державин Б.П. Применение полиномов Чебышева в задачах строительной механики. Труды МИИТ, вып. 194, М., 1966.

60. Длугач М.И. Некоторые вопросы применения метода сегок к расчету пластин и оболочек // ЭЦВМ в строительной механике. М.: Стройиздат, 1966. С. 555-560.

61. Добыш А.Д. Конструктивное представление гладких кривых и поверхностей//Тр. МИСИ. М., 1970. №83. С. 107-123.

62. Друккер Д. Пластические методы расчета. Преимущества и ограничения // Сборник «Механика», № 1, 1960.

63. Друккер Д., Прагер В. и Гринберг X. Расширенные теоремы о предельном состоянии для непрерывной среды // Сборник «Механика», № 1 , 1953.

64. Ерхов М.И. Теория идеально пластических тел и конструкций // М.: Наука, 1978.352 с.

65. Заборов В.И. Об арках на обобщенном упругом основании // Сборник исследования по строительной механике, ЦНИПС, Госстройиздат, 1954.

66. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко B.J1. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.

67. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., Мир, 1975.

68. Зенкевич О. Метод конечных элементов; от интуиции к общности // В сб. переводов «Механика». М.: Мир, 1960. №6. С. 127-132

69. Золотов А.Б., Акимов П.А. Некоторые аналитическо-численные методы решения краевых задач строительной механики. -М., АСВ, 2004.

70. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.PL, Мозгалева М.Л. Математические методы в строительной механике. -М., АСВ, 2008.

71. Золотов А.Б., Сидоров В.Н. Алгоритмизация решения краевых задач строительной механики на ЭВМ // Строительная механика и расчет сооружений. 1975. №5. С. 36-42.

72. Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников А.М. Численные методы решения задач строительной механики // Минск «Вышэйшая школа», 1990. 351 с.

73. Иыги Э. К расчету упруго пластических пологих арок // Труды Тартусского университета, ч. III, 1962.

74. Иыги Э. О прощелкивании пологих арок // Труды Тартусского университета, ч. III, 1962.

75. Карпов В.В., Коробейников A.B. Математические модели задач строительного профиля и численные методы их исследования. Москва -Санкт-Петербург, 1999.

76. Киселев В.А. Строительная механика в примерах и задачах // М., Изд. литературы по строительству, 1968, 3 83 с.

77. Кисилев В.А. Строительная механика // М., Стройиздат, 1976, 507 с.

78. Клейн В. Г., Колтаков П. В. Метод конечных элементов при расчетах железобетонных конструкций с учетом дефектов // Транспортное строительство, 2009, N 9, с. 26-28.

79. Клейн Г.К. Некоторые новые области применения теории предельного равновесия // Труды МИИГСМ, № 7, М., Госстройиздат, 1957.

80. Клейн Г.К. Применение способа выравнивания моментов при расчете труб и арок с учетом свойств пластичности железобетона II Бетоп и железобетон, № 2, 1956.

81. Клейн Г.К. Расчет труб и тоннельных обделок произвольного поперечного сечения по методу предельного равновесия, ВИТ, № 6, 1952.

82. Клейн Г.К. Руководство к практически!^ занятиям по курсу строительной механики // Москва «Высшая школа», 1975.

83. Клейн Г.К., Леонтьев H.H., Ванюшенков М.Г., Габбасов Р.Ф. и др. Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики. М.: Высшая школа, 1980. 384 с.

84. Клейн Г.К., Черкасов И.И. Упруго пластическая деформация кругового кольца, ВИТ, № 1. 1951.

85. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностранной литературы, 1953. 460 с.

86. Корнеев В.Г. Некоторые вопросы построения и исследования схем метода конечных элементов // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1974. Т. 5. №1. С. 59-87.

87. Коробко В.И., Коробко A.B. Строительная механика стержневых систем // Изд. АСВ, Москва 2007.

88. Ландау Л.Д., Мейман H.H., Халатников И.М. Численные методы интегрирования уравнений в частных производных методом сеток // Труды третьего математического съезда. М., 1956. Т. 2. С. 16.

89. Лащеников Б.Я. Применение метода интегральной матрицы при разрывных и обобщенных функциях // Тр. МИИТ. М., 1963. В. 174. С. 123-128.

90. Лащеников Б.Я. Применение тригонометрического интерполирования в задачах строительной механики // Тр. МИИТ. М., 1961. В. 131. С. 167-295.

91. Лебединец Л.Н. Исследование и расчет стальных бесшарнирных арок в предельном состоянии, автореферат к.т.н диссертации, ЛИИЖТ, 1958.

92. Леонтьев H.H., Соболев Д.Н., Амосов A.A. Основы строительной механики стержневых систем // Изд. АСВ, Москва, 1996.

93. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных уравнений. М.: Наука, 1979. 320 с.

94. Масленников A.M. Расчет строительных конструкций численными методами. Изд-во ЛГУ. Л., 1987. 225 с.

95. Межлумян P.A. Обратные задачи прикладной теории пластичности и несущая способность конструкций, материал которых обладает упрочнением//Известия АН ГССР, № 12, 1955.

96. Мслехин Н.М. Численное решение задачи устойчивости пластин при действии неравномерной сжимающей нагрузки : Дисс. . Канд. техн. наук. М., 2009. 185 с.

97. Микеладзе Ш.Е. О численном решении дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона // Известия АН СССР. ОМЕН. Серия матем. наук. 1938. №2. С. 271-292.

98. Михайлов Б.К. Пластинки и оболочки с разрывными параметрами. Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1980. 196 с.

99. ЮО.Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977. 43 1 с.

100. Мкртычев О.В. Сопротивление материалов. Обучающий программный комплекс на CD-ROM М.:АСВ, 2005, 104 с.

101. Нгуен Хиеп Донг. Применение метода последовательных аппроксимаций к расчету пологих оболочек : Дисс. . Канд. техн. наук. М., 2008. 140 с.

102. Никифоров С.Н. Теория упругости и пластичности. М.: Государственное издательство литературы по строительству и архитектуре, 1955. 86 с.

103. Нил Б.Г. Влияние перерезывающей и продольной сил на величину предельного пластического момента для балки прямоугольного сечения // Прикладная механика, № 2, 1961.

104. Нил Б.Г. Расчет конструкций с учетом пластических свойств материалов // Госстройиздат, M., 1961.

105. Нумеров Б.В. Численное интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка // Бюллетень начальника вооружений РККА (по Главному артиллерийскому управлению). М., 1932. №2. С. 5-35.

106. Ю7.0вечкин A.M. Расчет статически неопределимых железобетонных арок по методу предельного равновесия // Труды МНИТ, вып. 78, 1953.

107. Ю8.0гибалов П.М. Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: Издательство МГУ. 1969. 695 с.

108. Ю9.0нат Е., lily JI. Конечные деформации жесткой идеально пластической арки // Прикладная механика, том 29, серия Е, № 3, 1962.

109. Ю.Перельмутер A.B., Сливкер В.И. Расчётные модели сооружений ивозможность их анализа. М.: ДМК Пресс, 2007. 600 с. Ш.Подбельский В.В., Фомин С.С. Программирование на языке Си. М.:

110. Финансы и статистика, 2007. 600 с. 112.Подбельский В.В., Фомин С.С. Программирование на языке Си. М.: Финансы и статистика, 2007. 600 с.

111. З.Попов Н.И. К вопросу о расчете бесшарнирных арок по предельномусостоянию, автореферат к.т.н диссертации, ЛИИЖТ, 1961.

112. Попов Н.И. О Предельном состоянии арки под действием вертикальных и горизонтальных сил // Труды ЛИИЖТ, вып. 163, 1958.

113. Попов Н.И. О предельном состоянии арки, нагруженной системой сосредоточенных сил // Труды РИИЖТ, вып. 29, 1961.

114. Попов Н.И. Предельное состояние арки под действием несимметричной нагрузки // Труды РИИЖТ, вып. 29, 1961.

115. Попов Н.И. Предельное состояние симметричных арок, выполненных из материала конечной прочности // Труды ЛИИЖТ, вып. 172, 1960.

116. Прагср W. Теория предельного равновесия и проектирования // Сборник перевод «Механика», № 1, 1958.

117. Пратусевич Я.А. Вариационные методы в строительной механике. -М., Госстроппздат, 1948.

118. Протасов К.Г. К определению предельной нагрузки для арок и комбинированных систем// Сб. трудов ЛИИЖТа, вып. 156, 1958.

119. Рабинович И.М. Курс строительной механики стержневых систем. Статически определимые системы (часть 1) // Гос. Изд. Строительной литературы : 1950. 387 с.

120. Рабинович И.М. Курс строительной механики стержневых систем. Статически неопределимые системы (часть 2) // Гос. Изд. Строительной литературы : 1954. 547 с.

121. Рабинович И.М. Применение теории конечных разностей к исследованию неразрезных балок. М., 1921. 96 с.

122. Райссман К. Метод конечных разностей как вариант метода конечных элементов // Тр. ЛКИ. Л., 1973. В. 85. С. 77-84.

123. Рекач В.Г. Статический расчет тонкостенных пространственных конструкций // М.: Стройиздат, 1975. 256 с.

124. Ренне И.П. О предельном состоянии при поперечном изгибе балок прямоугольного сечения // Труды Тульского механического института, № 7, 1955.

125. Ржаницын А.Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств материалов, М.: Госстрой! 1здат, 1954.

126. Розин Л.А. Метод конечных элементов в строительной механике // Строительная механика и расчет сооружений, №5, 1972.

127. Розин Л.А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Метод конечных элементов. М., Энергия, 1971.

128. Розин JI.А. Современное состояние метода конечных элементов в строительной механике // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1981. №11. С. 41-54.

129. Розин JT.A., Гордон JI.A. Метод конечных элементов в теории пластин и оболочек// Известия ВНИИГ. 1971. Т. 95. С. 85-97.

130. Саркисов Ю.С. Экспериментально теоретическое исследевание круговых бесшарнирных железобетонных арок с учетом пластических деформаций // ТИИТ, научные сообщения, № 17, 1957.

131. Свида B.C. Пластический изгиб кривого бруса // Вестник инженеров и техников, № 7, 1937.

132. Свида B.C. Расчет упругих арок с учетом пластических деформаций // Вестник инженеров и техников, № 8, 1939.

133. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 392 с.

134. Синицын С.Б. Строительная механика в методе конечных элементов стержневых систем. М.: АСВ, 2002, 320 с.

135. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений. М.: Трансжелдориздат, 1958. 572 с.

136. Смирнов А.Ф., Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Расчет сооружений с применением вычислительных машин. М.: Стройиздат, 1964. 380 с.

137. Смирнов А.Ф., Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Расчет сооружений с применением вычислительных машин. —М.: Стройиздат, 1964.

138. Смирнов В.А., Численный метод решения некоторых краевых задач теории упругости для дифференциальных уравнений в частных производных. Сб.: Исследования по теории сооружений, вып. 17, М., Стройиздат, 1969.

139. Смоляк С. А. Сплайны и их применение // Экономика и математические методы, 1971, т.7, № 8, с.419-431.

140. Справочник по теории упругости, под ред. Варвака П.М. и Рябова А.Ф. Киев: Будивельник, 1971.

141. Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический. Под ред. A.A. Уманского// М.: Стройиздат. Кн. 1, 1972. 599 с. Кн. 2, 1973. 415 с.

142. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. 248 с.

143. Стрелец-Стрелецкий Е.Б., Гензерский Ю.В., Лязшок М.В., Марченко Д.В., Титок В.П. Лира 9.2. Основы. Киев: Факт, 2005. 146 с.

144. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. Под ред. К.И. Бабенко. М.: Наука, 1979. 295 с.

145. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. -Киев, Наукова думка, 1972.

146. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. 635 с.

147. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 575 с.

148. Трушин С.И. Метод конечных элементов. Теория и задачи. -М., АСВ, 2008.

149. Туркин B.C. О несущей способности трубопроводов из стальных труб // Строительная механика и расчет сооружений, № 1, 1960.

150. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1963. 734 с.

151. Фейнберг С.М. Принцип предельной напряженности, ПММ, т. XII, вып. 1, 1948.

152. Филин А.П. К расчету арок по предельному равновесию // Труды ЛИИЖТ, вып. 156, 1958.

153. Филин А.П., Попов H.K. О расчете арок по предельному состоянию // Труды ЛИИЖТ, вып. 164, 1959.

154. Филиппов А.П., Бултаков В.Н. Воробьев Ю.С., Кантор Б.Я., Юрченко Г.А. Численные методы в прикладной теории упругости. Киев, 1968.

155. Форсберг К. Оценка методов конечных разностей и конечных элементов в применении к расчету произвольных оболочек // Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Т. 2. Л.: Судостроение, 1974. С. 296-312.

156. Франчози Ф. О расчете па разрушение одномерных конструкций в упруго пластическом состоянии // Сборник «Механика», № 1 , 1958.

157. Франчози Ф.О. Теория предельного равновесия при непропорциональной нагрузке // Сборник «Механика», № 1 , 1958.

158. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1972. 400 с.

159. Хечумов P.A., Кеплер X., Прокопьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. -M., АСВ, 1994.

160. Ходж Ф.Г. Практическое значение теории предельного равновесия // Сборник «Механика», № 3, 1959.

161. Ходж Ф.Г. Расчет конструкций с учетом пластических деформаций // Л.: Машгиз, 1963, 380 с.

162. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1979. 312 с.

163. Чан Тхань Тунг. Численный метод расчета арок по предельному равновесию М. Вестник МГСУ, 2011, № 1, т. 1, с. 232-237.

164. Чан Тхань Тунг. Численный метод расчета арок по предельному равновесию с учётом продольных сил в условии пластичности, (на печати).

165. Чернов В.И. Об одном способе составления и решения дифференциальных уравнений в конечных разностях // Строительнаямеханика и расчёт сооружений. 1981. №1. С. 78-79.

166. Чирас A.A. Математические модели анализа и оптимизации упругопластических систем // Вильнюс, Мокслас, 1982. 112 с.

167. Чирас A.A. Строительная механика // М.: Стройиздат, 1989. 256 с.

168. Чирас A.A., Боркаускас А.Э. Каркаускас Р.П. Теория и методы оптимизация упруго пластических систем // J1. : Стройиздат, 1974. 279 с.

169. Шайкевич В.Д. Сплайн-аппроксимация при определении перемещений упругих систем // Известия ВУЗов, Строительство и архитектура, №3, 1975.

170. Шайкевич В.Д. Теория сплайнов и некоторые задачи строительной механики // Строительная механика и расчет сооружений. 1974. №6. С. 24-29.h 173.Шимкович Д.Г. Расчёт конструкций в MSC visual Nastran for Windows.

171. M.: ДМК Пресс, 2004. 704 с.

172. Шрамко В.В. Развитие численного метода последовательных аппроксимаций применительно к расчёту пологих оболочек и пластин: Дисс. . канд. техн. наук. М., 1979. 149 с.

173. Юбилейный сборник докладов, посвященные 100-летию со дня рождения В.З. Власова и 85-летию кафедры Строительная механика. М., 2006. 202 с.

174. Юдин Д.Б., Гольдштейн Е.Г. Линейное программирование // М.:ч Физматгиз, 1963. 775 с.

175. Argyris J.H., Kelsey Е. Energy Theorems and Structural Analysis. In: Aircraft Engineering, Vols. 26 and 27, 1955.j

176. Baker A.L.L. Futher research in reinforced concrete, anü its application to ultimate load design // Proc. Instn. Civ. Engrs., 2 (Part III), 269, 1953.

177. Baker J.F. A review of recent investigations into the behavior of steel frames in the plastic range // J. Instn. Civ. Engrs., 31, 188, 1949.

178. Baker J.F. and Home M.R. New methods in the analysis and design of structures in the plastic range // Brit. Weld. J., 1, 307, 1954.

179. Baker J.F. and Roderick J.W. An experimental investigation of the strength of seven portal frames // Trans. Inst. Weld., 1, 206, 1938.

180. Clough R.W.: The Finite Element in Plane Stress Analysis. Proceedings 2nd A.S.C.E. Conference on Electronic Computation, Pittsburg. Pa. Sept. 1960.

181. Courant R. Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibrations. In: Bull. Amer. Math. Soc., Vol. 49 (1943)1. -S. 1-23.

182. Drucker D.C., Prager W. and Greenberg H.J. Extended limit design theorems for continuous media// Quart. Appl. Math., 9, 381, 1952.

183. Gabbasov R.F. Grundlagen einer numerischen Integrationsmethode zur Lösung Von Randwertproblemen. Wiss. Zeitsch. Der Techn. Universität Dresden, 1977, Heft 2, S. 479-781.

184. Gabbasov R.F. Numerische Integrationsmethode zur Lösung der Po'issonseben Gleichung. Math. Gesellschaft der DOR, Wiss. Hanpttagung 1974, Vortraganszüge, S. 201-203.

185. Gabbasov R.F. Numerische Integrationsmethode zur Lösung von Randwertproblemen der Baumechanik. Wiss. Zeitsch. der Hochsekule für Areh. unol Bauw. Weimar, 1975, Heft 2, S. 146-148.

186. Gabbasov R.F. Numerische Jntegrationsmethode zur Lösung vor Randwertproblemen der Baumechanik// Wiss. Zeitsch. der Hochschule fur Arch, und Bauw. Weimar, 1975. Heft 2. S. 146-148.

187. Gabbasov R.F. Über eine numerische Methode Zur Lösung einer Systemsgewöhnlicher Differentialgleichungen erster Orduung. Wiss. Zeitsch. der Hochsch. für Arech. und Bauw. Weimar, 1974, Heft 2, S. 163-164.

188. Gabbasov R.F., Köppler H. Vergleich der Lösung genäherter Differentialgleichungen für Scchbalen in elastisechber Umgebung mit aneleren Bereebnunagsmebboolen. Wiss. Zeitscb. der Hochsch. für Arek. und Bauw. weimar, 1974, Heft 3/4, S. 321-325.

189. Gienche E. Ein einfacher finites Verfahren zur Berechnung von Flächentragwerke. Wiss. Zcitseb. Der Hockseh. für Arch, und Bauw. Weimar, 1969, Heft 3, S. 65-80.

190. Greeenberg H.J. and Prager W. On limit design of beams and frames // Trans. Amer. Soc. Civ. Engrs., 117, 447 , 1952.

191. Greenbcrg H.J. The principle of limiting stress for structures // 2nd Symposium on Plasticity, Brown Univ., April 1949.

192. Gaining M. Die Tragfähigkeit statisch unbestimmten Tragwerke aus Stahl bei beliebig häufig wiederholter Belastung // Julius Springer, Berlin , 1926.

193. Hampe E. Mathematische Verfahren in der Bautechnik. V. JKM, Berichten, Weimar, 1969, S. 17-28.

194. Hendry A.W. : The Plastic Design of Two-Pinned Mild Steel Arch Ribs // Civ. Eng. (London), 47, 38-41, 1952.

195. Heyman J. and Nachbar W. Approximate methods in the limit design of structures // Proc. 1st U.S. Natl. Congr. Appl. Mech., 551, 1952.

196. Home M.R. A moment distribution method for the analysis and design of structures by the plastic theory // Proc. Intsn. Civ. Engrs., 3 (Part 3), 51, 1954.

197. Home M.R. Fundamental propositions in the plastic theory of structures // J. Intstn. Civ. Engrs., 34, 174, 1950.

198. Karamanski T.D. Eine Methode zur Bildung von Differenansdrüchen mit erhökter Genauigkeit. V - JKM, Berichte, Weimar, 1969, S. 187-192.

199. Kazinczy G. Kise'rletek befalazott tarto'kkal ¡T&periments with clamped girders. Betonszemle, 2, 68, 1914.

200. Kist N.C. Leidt een Sterkteberekening, die Uitgaat van de Evenredigheid van Kracht en Vormverandering, tot een geode Constructie van Ijzeren Brüggen en gebouwen? Inaugural Dissertation, Polytechnic Institute, Delft, 1917.

201. Knothe K. Aufstellen von Gleichungen in der Methode der finite Elemente //V. JKM, Berichte. Weimar, 1969. S. 73-77.

202. Köppler H.: Die Methode der finiten Elemente als Spezialfall der RITZschen Methode zur Lösung von Variationsaufgaben. -In: Wiss. Zeitschrift d. HAB Weimar. Weimar 20, 1973, Heft 1, S. 101-102.

203. Pian Thedore, Tong Pin. Finite element methods in continuum mechanics // Adv. appl. mech. vol. 1972. 12. 1-58.

204. Przemienieski J.S. Theory of matrix Structural Analysis N.Y., "Mo-Graw-Hill Book Company", 1968.

205. Severn R. Numerical methods for calculation of stress and strain // Phil. Fraus. roy. soc. 1979. 274. № 1239. 339-350.

206. Turner M.J. Clough R.W. Martin H.C. Topp L.J. Stiffness and deflection analysis of Complex Structures. "J.aero.Sci.", №23, 1956.