автореферат диссертации по строительству, 05.23.01, диссертация на тему:Устойчивость упругопластических арок различного очертания при произвольных нагрузках

Центральный ордена Трудового Красного Знамени научно-исследовательский и проектный институт строительных металлоконструкций имени Н.П.Мельникова

■д ЦНИИПСКим. Мельникова

п ' " м •

'• • На правах рукописи

ГРИЦКОВА Татьяна Евгеньевна

УДК 624.072.32.046.3

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ АРОК РАЗЛИЧНОГО ОЧЕРТАНИЯ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ НАГРУЗКАХ

Специальность 05.23.01 - Строительные конструкции.

здания и сооружения

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Москва - Г994г.

Работа выполнена в Центральном ордена Трудового Красного Знамени научно-исследовательском и проектном институте строительных металлоконструкций имени Н.П.Мельникова

Научный руководитель темы: - доктор технических наук, профессор

Грудев Иван Дмитриевич Официальные оппоненты: - доктор технических наук, профессор

- Пшеничнов Геннадий Иванович

- кандидат технических наук Соколов Игорь Владимирович

Ведущая организация: - Центральный научно-исследователь-

ский институт проектирования легких металлоконструкций (ЦНИИпроектлегконструкция)

Защита состоится Ц,\СкА 19^г. в V мин

на заседании специализированного совета Л 033.12.01. по защите диссертаций по специальности 05.23.01 при ЦНИИПСК им. Мельникова по адресу: П7393, Москва, ул. Архитектора Власова, 49.

С диссертацией моано ознакомиться в библиотеке ЦНИШ1СК им. Мельникова

Автореферат разослан

Прооим Вас принять участие в заседании совета при защите и направить Ваш отзыв на автореферат в двух экземплярах в секретариат совета по указанному адресу

Ученый секретарь специализированного

совета, канд. техн. наук ^Т.С.Волкова

Актуальность темы. Одним из широко распространенных видов конструктивных систем, используемых в строительстве, являются арки и арочные конструкции. Арки относятся к тому типу конструкций, для которых наряду с расчетами на прочность, важное значение имеют расчеты на устойчивость. Строительные арочные конструкции (большепролетные здания, туннели метрополитенов, пролетные строения мостов и др.) под действием основных эксплуатационных нагрузок работают как сжато-изогнутые. При решении проблемы устойчивости таких арок необходимо рассчитывать нелинейный процесс деформирования при возрастающих значениях параметра нагрузки с учетом изменения первоначальной формы и развитием пластических деформаций. По существу, при этом речь идет об установлении предельной точки в диаграмме "нагрузка-характерное перемещение системы"; максимальная нагрузка характеризует нулевую отпорность конструкции и определяет состояние потери устойчивости.

Существующие методики расчета арочных конструкций не позволяют выполнить общий анализ как пологих, так и подъемистых арок различного (не только кругового) очертания, что весьма сужает применение этих методов для реального проектирования. На современном этапе развития требуются разработки более общих методов решения подобных задач, позволяющих расчитывать напряженно-деформированное состояние и одновременно устойчивость арок произвольной формы при любом нагружении с учетом разнообразия условий закрепления опор. Это позволит на стадии вариантного проектирования выбирать оптимальную, например, с точки зрения резерва несущей способности, конструктивно-архитектурную форму арочной конструкции.

Целью диссертационной работы является: разработка методики расчета напряженно-деформированного состояния арок произвольного очертания при квазистатическом нагружении распределенными нагрузками любого вида, которая позволяет исследовать состояния равнове-

1

сия и устойчивость арок с учетом геометрической и физической нелинейное тей.

Научная новизна работы заключается в том, что:

- предложена строгая математическая постановка задачи устойчивости арок, исключающая допущения о нерастяжимости оси, о малое! прогибов и круговой форме арки, реализованная численно в виде методики нелинейного анализа квазистатически нагруженных арок с любыми граничными условиями;

- разработана новая методика расчета напряженно-дефэрмирован-ного состояния арок, позволяющая исследовать с единых позиций докритический реним, предельные точки и закритический реаим деформирования упругих и упругопластических арок и дающая возможность рассчитывать арки любого очертания и степени пологости;

- установлены зависимости величин предельных нагрузок от зсесткостей упругих защемлений опор, степени пологости упругоплас-тических арок, а также проведено сравнение величин критических нагрузок для арок различных форм (круговой, параболической, цепной), нагруженных симметричной и несимметричной снеговой нагрузками.

Практическое значение работы состоит в том,что:

- разработанный в диссертации метод обладает достаточной универсальностью и общностью, то есть возможностью свободного изменения внешних и внутренних параметров арок, что позволяет на стадии вариантного проектирования выбирать оптимальное конструктивное решение; метод реализован в виде программы расчета на ПЭВМ в удобном для пользователя виде;

- результаты численного исследования, представленные в виде графиков, удобны для практического использования при расчете и проектировании реальных арочных конструкций.

Внедрение результатов. Результаты диссертации использованы в

ВДИИпроектстальконструкции им. Мельникова:

- при расчете и проектировании Ледового Дворца на 3000 мест в города Шжнекамске;

- при проведении теоретических, исследований устойчивости нижнего пояса арок с гофрированной стенкой для решения вопроса об его оптимальном раскреплении из плоскости.

На защиту выносятся:

- методика расчета напряженно-деформированного состояния и устойчивости упругих и упругопластических арок различного очертания при произвольных граничных условиях, статически нагруженных распределенными нагрузками любого вида;

- результаты численного исследования несущей способности арок при учете таких факторов, как жесткости упругих защемлений опор, геометрическая форма, степень пологости арки, вид нагруження.

. АпроСецхя работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались:

- на Всероссийской научно-технической конференции "Прочность и живучесть конструкций" (г.г. Вологда, Москва, 1993 г.);

- на расширенном заседании подсекции НГС ВДИИпроектсталькон-струкция им. Мельникова "Нормирование расчетов" (г. Москва,1993г.);

- на заседании секции НГС ЦНШпроектсгальконструквдя

им. Мельникова "Теоретические исследования" (г. Москва, 1994 г.).

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликованы две печатные работы.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Содержит 108 страниц, в том числе 68 страниц машинописного текста, 30 рисунков и список использованной литературы, включающий 89 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель, задачи работы и ее научная новизна.

В первой главе дается обзор исследований по проблемам устойчивости и несущей способности упругих и улругопластических арок; сформулированы положения, отражающие специфические особенности работы арочных конструкций, которые необходимо учитывать при расчете.

Значительный вклад в разработку основ теории и обоснование методов расчета неупругих стержневых систем на устойчивость внесли работы представителей отечественной науки: А.С.Вольмира, А.В.Геммерлинга, В.Г.Зубчанинова, В.Д.Клншикова, Ю.Н.Работнова, А.Р.Ржаницына, а также зарубекных ученых: С.Батдорффа, Д.Друккера, Е.Оната, Э.Стоуэлла, Р.Хилла и других. Благодаря этим работам появилась возможность решать конкретные задачи, одной из которых является задача об устойчивости арочных конструкций.

Основы общей теории криволинейных стершей, позволяющей изучать состояния равновесия и устойчивость арок заложены еще в XIX веке в трудах Г.Кирхгоффа, Р.Клебша, М.Ф.Окатова и в дальнейшем получили развитие в работах Э.Х.Лява, А.И.Лурье, Е.Л.Николаи, С.П.Тимошенко, И.Д.Грудева и других.

Отмечено, что среди исследований, посвященных вопросам деформирования, устойчивости и несущей способности арочных конструкций можно выделить три больших направления: устойчивость упругих арок, предельное равновесие арок, устойчивость улругопластических арок.

Наиболее ранние работы по устойчивости упругих арок посвящены задачам устойчивости начальной (недеформированной) формы равновесия. Здесь необходимо отметить работы М.Леви, Е.Л.Николаи, А.Н.Дин ника. 4

В настоящее время вопрос об устойчивости упругих арок не перестает привлекать к себе внимания, при этом основное направление исследований связано с разработкой методов расчета по деформированной схеме, позволяющей учитывать реальную работу арочных систем. Общей теории больших прогибов упругих арок посвящен ряд работ Р.Шмидта, Д.Да Деппо, В.И.Шалашилина и других. Исследованием различных математических методов на примере выпучивания упругих арок занимались Л.П.Винокуров и Ш.М.Гулиев, Б.П.Деркавин, Я.Хуанг. Более общая методика расчета круговых арок, позволяющая учитывать деформации сдвига, обжатия и рассчитывать врки на различные внешние воздействия, включая изменение температуры, разработана в работах А.Я.Дривинга.

Отмечено, что появление новых форм равновесия, качественно отличных от первоначальной, имеет место только при таком виде наг-рукеяия, когда арка является преимущественно сжатой. В об!цем случае при произвольных нагрузках требуется анализ устойчивости не исходного, а искривленного состояния арки с учетом больших смещений и развитием пластических деформаций.

С развитием теории пластичности и ее раздела - теории предельного равновесия, в проблеме расчета арок с учетом пластических деформаций наибольшего распространения достигли методы, с помощью которых определяется разрушающая нагрузка на арку. Интересные работы в области предельного равновесия арок проведены В.А.Монаховым, В.Г.Себешевым самостоятельно и с соавторами. Стоит отметить, что несмотря на то, что решения, определяемые методом предельного равновесия, получаются относительно простым путем, несущая способность арок при этом оказывается завышенной.

Развитие теории неупругой устойчивости привело к всеобщему признанию необходимости исследования устойчивости процессов деформирования. В практическом отношении исследование устойчивости

сводится к получению и анализу зависимостей меры выпучивания от действующей нагрузки. Широкое распространение в расчете упруго-пластических стержневых систем и, в частности арок, получил метод последовательных нагружений, приводящий к пошаговой линеаризации задачи. Этот метод позволяет проследить весь процесс деформирования вплоть до предельной точки, изучить развитие пластических зон и провести анализ закригической стадии деформирования. Применительно к исследованию выпучивания и устойчивости упруго-пластических арок этот метод использовали М.И.Ерхов и М.А.Гучмазо-ва, А.Н.Кудинов и С.В.Дмитриев, Ш.Кураниш и Т.Ябуки.

Обзор литературы показал, что существующие методики не могут быть применены к широкому классу арок, так как практически все они имеют ограничения: рассматриваются в основном круговые и пологие " арки. Этим и объясняется выбор темы диссертационной работы.

Во второй главе разработана методика решения задачи о напряженно-деформированном состоянии и устойчивости упругих арок произвольного очертания с любыми условиями закрепления опор, статически нагруженных распределенными нагрузками; приведен алгоритм решения задачи; проведено сравнение результатов, полученных по предлагаемой методике, с опубликованными результатами расчетов, проведенных другими методами.

Для построения диаграммы равновесных состояний необходимо знание истории процесса деформирования. Поэтому для решения задачи был выбран метод последовательных нагрукэний, позволяющий на каждом шаге нагруження нелинейную задачу свести к линейной.

В основу методики расчета положена система дифференциальных уравнений Кирхгоффа-Клебша для криволинейных стержней, представленная в векторном виде А.И.Дурье и обобщенная на случай геометрической нелинейности И.Д.Грудевым. В предположении малых деформаций на шаге нагружения система линеаризованных дифференциальных урав-6

нений относительно приращений.векторов усилий N , моментов М, перемещений и, углов поворота ■&, внешней распределенной нагрузки ч в безразмерном виде представляется следующим образом:

--- = [ 1) 1 ] + а (л иИ ; (I)

<1 в

3-Й = 5 (н)и^ (и р)р + С (Н т)т ; (2)

л в

--- = [ N т ] + [ N° [Ф т;] ]; (3)

й. з

--- = - а. (4)

А в

где в - текущая координата вдоль оси арки;

г, р, V - триэдр, слувапдай для описания исходного и деформированного состояния арки в качестве подвижной системы координат. Орт т: направлен по касательный к оси арки в рассматриваемом сечении, орты р, V - по главны/ осям поперечного сечения (рис.1); ~ безразмерные параметры, определяющие форму и размеры сечения:

А 1* 1р V

Переменные параметры оСезразмерены слвдущим образом:

и = 3 = а , ы = , 5 = , ч = , в = —(6)

В выражениях (5)- (6):

1 - длина дуги арки; 1о - характерный момент инерции сечения,

принятый 1о= 1р, Ту - моменты инерции при изгибе относительно

главных осей сечения; 1к- момент инерции при кручении; к - площадь сечения; Е - модуль упругости материала; ц - коэффициент Пуассона.

В уравнениях (I)- (4) и в последующих знак тильды опущен, индекс "о" вверху у параметров означает накопленные (проинтегрировано по параметру нагружения) значения функций к рассматриваемому уровню нагружения.

При переходе от векторной записи уравнений к скалярной - в декартовой системе координат - орты а, р, V определяются направляющими косинусами 1, га, п, которые для арок задаются в зависимости от длины дуги в и определяются только одним параметром - величиной угла между касательной, проведенной к оси арки в данном сечении и осью х:

= oos 7 (в); 1р = - sin 7 (е); lv = О; гаа = ein 7 (в); Ир = оов 7 (в); т^ « О; (7)

па'= 0; Пр = О; Пу = I.

При решении поставленной задачи исходная форма арки может быт; любой и задается или в виде аналитического выражения для функции углов поворота сечений по длине в арки (для круговых, цепных, синусоидальных арок), или в виде таблицы для арок совершенно произвольного очертания.

Система дифференциальных уравнений в приращениях, олисывашцая напряженно-деформированное состояние упругой арки в плоскости ее кривизны, нагруженной распределенными нагрузками, в проекциях на координатные оси х, Y, z имеет вид:

= - \ ein 7 + Q ooe 7 ( N oos 7 + N ein 7 ); d s * у

Ox _ -9 ooe 7 + Q ein 7 ( N ooe 7 + N ein 7 );

de x у

^ = M ; d в *

= N, ein 7 - N oob 7 + fl (№к oob 7 4- № ein 7 ); (8)

ds y * x у

- - я, «

ds ^

Or = _ a d в ^ '

Система шести дифференциальных уравнений (8) с переменными коэффициентами, так как 7 = 7 (в, qx, q^), содержит шесть неизвестных функций и позволяет решать задачи о геометрически нелинейном упругом изгибе арок при различных распределенных нагрузках и граничных условиях.

Нагружение арки проводится шагами. В качестве шага нагружения выбрано вертикальное перемещение характерного сечения арки (а не нагрузки q), в роли которого чаще всего выступают либо ключевое сечение (при симметричном деформировании), либо сечение, находящееся в четверти длины дуги от опоры (при несимметричном деформировании). При таком выборе шага нагружения само приращение нагрузки q определяется на каздом шаге нагружения в зависимости от характерного перемещения.

Приведен алгоритм решения краевой задачи и интегрирования неоднородной системы дифференциальных уравнений (8) методом начальных параметров. Начальные параметры и приращение нагрузки на шаге нагружения определяются при помощи граничных условий. Интегрирование системы уравнений (8) производится численно методом Рунге-Кутта

9

на ПЭВМ, для чего составлена программа на алгоритмическом языке С У.

Усилия, действующие в сечениях арки, определяются их проекциями на оси основной системы координат:

1С = № оое 7 + N° ein 7 ; t » ' у ' (9)

= - IT ein 7 + № oos 7 ;

P X 1 у '

к•

По полученным величинам продольной N^, поперечной N^ сил, изгибающего момента находятся нормальные и касательные напряке-ния в сечениях арки:

о = - +

wv

г = ---. (10)

2 А

Далее в этой главе проведано сравнение результатов расчета некоторых конструкций, полученных по разработанной методике, с результатами, полученными различными авторами и приведенными в литературе. Хорошее совпадение результатов свидетельствует о досто верности разработанной методики.

Отмечено, что неучет влияния на напряженное состояние дополнительных моментов от продольных сил, возникающих при искривлении оси арки, приводит к неправильным выводам при определении критичес кпх нагрузок.

На примере расчета напряженно-деформированного состояния бесшарнирной полуциркульной арки, нагруженной симметричной и несим матричной снеговой нагрузками, показано, что для сжато-изогнутых арок в расчетах на устойчивость необходимо учитывать пластические свойства материала.

В третьей главе приводится методика определения несущей способности сжато-изогнутых арок, рабогавдих в упруго-пластической ю

стадии; представлены и проанализированы результаты численных исследований влияния на предельную нагрузку таких факторов, как кзсткости упругих защемлений опор,- геометрическая форма, степень пологости арок, вид нагружения.

Исчерпание несущей способности сжато-изогнутых арок, работающих в упруго-пластической стадии, при естественном характере деформирования происходит в форме потери устойчивости второго рода. При решении задачи об устойчивости упругопласгических арок приняты следующие предпосылки: нагрукение квазистатическое, простое; деформация во всех точках материала активная; линейное распределение продольных деформаций и их приращений по сечению. Деформации сдвига в решении не учитываются вследствие их малости.

Методика расчета базируется на системе линеаризованных дифференциальных уравнений Кирхгоффа-Клебпа в приращениях (1)-(4), обобщенной на случай физической нелинейности материала в работах И.Д.Грудэва п Н.Ю.Симон. При учете пластических деформаций деформационные уравнения (I), (2) изменятся, а уравнения равновесия (3), (4) останутся презшшя:

А с»

А 8

у»

А в

АЗ» Л в

= - ^ в!п 7 + ео ооэ 7 ; = оов 7 + ео в!п 7 ; = - в, / Ь ;

¿.Мг. _ н в1п ~ _ н оов 7 + « оов 7 + № в1п 7);

. X ' У 1 я к 1 у 1

А в

А Их А в

А Ну А в

% . (И)

где ee, et - приращения деформаций на шаге нагружения от осевого сжатия и изгиба соответственно; h - половина высоты сечения. Функциональные зависимости ео и et от приращений усилия н^ и момента Мг на шаге нагружения и накопленных к этому уровню нагружения значений if% , \ts получены из интегральных выражений для продольной силы и момента путем замены интегрирования по площади сечения интегрированием по деформациям.

Представлены аналитические выражения (в случае прямоугольного

сечения) для частных производных , $-f-, яЦг- »

О 1 О А

которые являются коэффициентами в системе линейных уравнений для определения неизвестных значений приращений деформаций на шаге нагружения:

î-ï; - î-î; ei = \ ;

î-f ео + î-f е< = м ; (12)

о 1

if ~ э ( о: - о:ь )/

о

if;- 13 ( о; + сС, ) - 2 h* ]/ 2 h1 г: ;

д М° v д № .

д'Г ~ h эх '

О ±

= [э ( al - alh )+ 4 Г h ]/ 2 h , (13)

где o° , o°h - значения накопленных краевых напряжений в сечениях арки. Они определяются по диаграмме работы материала по значениям краевых деформаций: = о ( ), = а ( е°ь).

В работе принята унифицированная диаграмма работы стали, для

которой предел пропорциональности определяется как: опп= 0.8 от, где ат - предел текучести. Момент перехода от упругого этапа работы к пластическому определяется условием пластичности: е° > snn, где е® - интенсивность деформации в данном сечении арки, епп -деформация равная пределу пропорциональности по диаграмме работы материала "а - б".

При решении упругой задачи, согласно (8), должны соблюдаться равенства:

ео= Q ( Nxoob у + Нув1п Т ) ; е4= - h Мж. (14)

Приведены формулы расчета границ пластических зон в арке на шаге нагружения как со стороны сжатых, так и со стороны растянутых волокон, учитывающие неравномерное развитие пластических деформаций по длине арки.

Нагружение арки проводим шагами, алгоритм решения краевой задачи методом начальных параметров тот же, что и для задачи, рассмотренной в главе 2.

Для проверки достоверности методики и программы проведено сравнение между величинами предельных нагрузок, полученных по настоящей методике и рассчитанных согласно теории предельного равновесия, то есть по жесткопластической схеме работы материала, а также проанализировано влияние погрешностей выбранного численного метода на точность результатов.

Выполнены численные исследования влияния жесткостей упругих защемлений концов, геометрической формы арки, степени пологости круговой арки на величину предельной нагрузки, в результате чего установлено:

- появление некоторого защемления в шарнирных опорах (в силу конструктивных особенностей или за время эксплуатации) не опасно для арок постоянного сечения, так как повышаются как предельные нагрузки, так и уровень нагрукения, соответствующий возникновению

13

пластических деформаций. Более того, путем создания защемления опор можно повысить несущую способность двухшарнирных арок без увеличения расхода материала (рис.2);

- из трех форм арок: круговой, цепной и параболической (f/L=0.5), нагруженных постоянной и снеговой нагрузками, наименее устойчивой является круговая форма арки вне зависимости от вида нагрукения. Для мало различающихся между собой по форме цепной и параболической арок большую роль играет вид нагрукения. Гак, в случае равномерной снеговой нагрузки у цепной арки реализуется несимметричная форма потери устойчивости, и ее критическая нагрузка на 42% меньше, чем у параболической, теряющей устойчивость по симметричной форме. В случае же несимметричной снеговой нагрузки деформирование и несущая способность цепной и параболической арок мало различаются между собой (ряс.З - Б);

о о

- в широком диапазоне углов полураствора (от 10 до 90 ) бесшарнирных круговых арок равного пролета, нагруженных равномерной снеговой нагрузкой, содержится множество пар арок, имеющих одинаковые предельные нагрузки. При несимметричной снеговой нагрузке с ростом угла полураствора (ростом стрелы подъема) предельная нагрузка однозначно уменьшается (рис.6).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработана методика нелинейного расчета напряженно-деформированного состояния упругих и неупрутих арок произвольного очертания, квазистатически нагруженных распределенными нагрузками любого вида, при различных граничных условиях, которая позволяет рассчитывать состояния равновесия и устойчивость. Методика реализована в виде программы на алгоритмическом языке СИ для персональных компьютеров типа IBM ре/А.®.

2. Установлено, что для строительных арочных конструкций, где

основные эксплуатационные нагрузки вызывают сильный изгиб арок, критические нагрузки, определенные в рамках упругости, далеки от истинных. Поэтому в расчетах на устойчивость необходим учет пластических свойств материала.

3. Установлено, что предельная нагрузка сжато-изогнутых арок достигается в условиях активного роста пластических деформаций в сечениях, где действуют экстремальные моменты и в близких к ним сечениях. Упругая разгрузка из пластического состояния имеет место только в закритических рекимах деформирования и в весьма локальных участках. Поэтому при расчете предельной нагрузки мокно использовать модель нелинейно-упругого материала.

4. Для бесшарнирных арок, у которых характерно сближение предельной нагрузки по устойчивости и предельной по прочности, при нагрузках, близких к равномерной снеговой, предложен способ расчета несущей способности по сесткопластической схеме работы материала, не приводящий к существенному завышению предельной нагрузки

(в рассмотренном случае превышение составило 3%);

б. Показана возмогяость повышения несущей способности двухшар-ннрных арок путем создания защемления в опорах.

6. В результате исследования предельных нагрузок арок различной геометрической форм установлено, что для мало различающихся меаду собой го форме цепной и параболической арок Ц/ъ = 0.5) при одинаковых нагрукениях предельные нагрузки могут сильно различаться меаду собой. Поэтому при изготовлении таких арок требуется высокая точность обеспечения геометрической формы оси арки.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

I. Грудев И.Д., Грицкова Т.Е. Определение несущей способности упругопластических арок: Тезисы доклада // Прочность и живучесть

конструкций. Всероссийская научно-техническая конференция.-Вологда. - 1993. - С.167.

2. Грицкова Т.Е. Методика расчета арок на устойчивость с учетом геометрической и физической нелинейностей // Промышленное и гражданское строительство. - 1994.- М 2. - С.21-22.

жесткостей опорных защемлений О- начало пластической работы

материала

Рис. 3 Геометрическая форма арки I - круговая; 2 - цепная; 3 - параболическая

Рис.Ц Кривые равновесных состояний арок различного

очертания, нагруженных равномерной снеговой нагрузкой I - круговая арка; 2 - цепная арка; 3 - параболическая арка

1

II г2

/

У

¡ш

0.05

01

0.15

Ж

и 5

. к 1 1 со

2,57см

0.

г 0.25 -11у(0.25}, М

Рис. 5 Кривые равновесных состояний арок различного очертания, нагруженных несимметричной снеговой нагрузкой

I - круговая арка; 2 - цепная арка; 3 - параболическая арка

Рис. 6 Зависимость параметра предельной нагрузки от угла полураствора круговой бесшарнирной арки