автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Континуальная и дискретная модели сетчатых пластин с учетом деформации поперечного сдвига в стержнях

На правах рукописи

Оиачо^-

Кондрашов Владимир Владимирович

КОНТИНУАЛЬНАЯ И ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛИ СЕТЧАТЫХ ПЛАСТИН С УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИИ ПОПЕРЕЧНОГО СДВИГА В СТЕРЖНЯХ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

Автореферат

19 НОЯ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Ростов-на-Дону 2009

003483670

Работа выполнена на кафедре строительной механики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет»

Научный руководитель: Заслуженный деятель науки и техники РФ,

доктор технических наук, профессор Игнатьев Владимир Александрович Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Клочков Юрий Васильевич ФГОУ ВПО «Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия»; доктор технических наук, профессор Ким Алексей Юрьевич ФГОУ ВПО «Саратовский государственный аграрный университет имени Н.И. Вавилова» Ведущая организация: ГОУ ВПО «Саратовский государственный

технический университет» Защита состоится & декабря 2009 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.207.02 при Ростовском государственном строительном университете по адресу: 344022, г. Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162, РГСУ, корпус 1, ауд. 232. Тел/факс 8 (863) 263-53-10; 263-50-70, E-mail: dissovet2@rgsu.donpac.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ростовского государственного строительного университета и на сайте www.rgsu.ru

Автореферат разослан « ноября 2009г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

Моргун Любовь Васильевна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Сетчатые пластины и оболочки широко используются в различных областях техники и особенно в строительстве. Сетчатые системы применяются не только как самостоятельные конструкции, но и как подкрепляющие элементы. Конструктивно сетчатые системы являются регулярными или циклически регулярными стержневыми системами с унифицированными узловыми соединениями. При этом сами стержни могут быть в свою очередь сложными конструкциями (ферменный или рамный составной стержень, многоветвевой составной стержень, многослойный стержень из композиционных материалов с пониженной сдвиговой жесткостью и т.д.). С внедрением в инженерную практику сетчатых систем возникла необходимость разработки теории и методов их расчета.

Все исследования по решению этой проблемы можно отнести к одному из двух основных направлений: исследования, основанные на дискретной расчетной модели, и исследования, основанные на континуальной расчетной модели.

Расчеты по дискретной модели осуществляются методами строительной механики, в том числе и по МКЭ. При большом числе узлов и стержней возникают существенные трудности численной реализации этой модели.

Это обстоятельство привело к разработке других подходов, позволяющих существенно понизить порядок разрешающей системы уравнений, (метод суперэлементов, конденсационные методы, метод обобщенных неизвестных, метод дискретных конечных элементов). Наиболее полно это направление представлено работами В.А. Игнатьева и его учеников.

Сущность континуальной модели заключается в том, что область с сеткой узлов более чем 6*6 может быть заменена некоторой эквивалентной пластиной или оболочкой. Наибольший вклад в это направление внесен работами Г.И. Пшеничнова и его учеников.

Каждое из этих двух расчетных моделей имеет свои преимущества и недостатки. Исследования, основанные на этих моделях успешно развиваются и совершенствуются, взаимно дополняя и обогащая друг друга.

Одним из путей совершенствования этих моделей является их уточнение, связанное со специфическим поведением стержней имеющих низкую сдвиговую жесткость.

Теориям и методам расчета сплошных пластинок и оболочек посвящено большое количество статей и монографий. Однако для сетчатых систем уточнение классической теории на базе сдвиговой модели по-прежнему является актуальной задачей и представляет несомненный практический интерес.

Целью диссертационной работы является:

- уточнение модели и общих уравнений статики, динамики и устойчивости сетчатых пластин из композиционных материалов на базе континуальной расчетной модели и сдвиговой модели Тимошенко;

- развитие методов и разработка алгоритмов расчета сетчатых пластин с учетом деформации поперечного сдвига в стержнях системы;

- выяснение степени влияния деформации поперечного сдвига на напряжённо-деформированное состояние, частоту свободных колебаний и критические нагрузки;

- построение матрицы жесткости, матрицы масс и матрицы потенциала нагрузки конечного элемента с учетом деформации поперечного сдвига;

- сравнение результатов расчета по дискретной и континуальной расчетным схемам.

Научная новизпа диссертационной работы заключается в следующем:

получены уточненные основные уравнения теории упругих сетчатых пластин на базе континуальной модели с учетом деформации сдвига.

- получены матрицы жесткости, матрицы масс и матрицы потенциала нагрузки сетчатого конечного элемента из композиционного материала, по-

зволяющие исследовать степень влияния деформации поперечного сдвига на напряженно-деформированное состояние сетчатых конструкций (стержневых плит и пластинок);

- на конкретных пластинках проведены исследования статики, динамики и устойчивости, с различными типами сетки и физико-механическими характеристиками;

- проведены сравнения результатов расчета по двум моделям сетчатых пластин, дискретной и континуальной, при учете деформации поперечного сдвига.

Достоверность результатов. В ходе решения поставленных задач, при выводе разрешающих уравнений; использованы теория сетчатых оболочек и пластинок Г.И. Пшеничнова, теория регулярных стержневых систем Игнатьева В.А. Полученные уравнения решаются с помощью хорошо известных методов, основанных на применении тригонометрических рядов для континуальной модели, метода обобщенных неизвестных и метода конечных элементов для дискретной модели. Произведено сравнение, где это возможно, дискретной и континуальной модели. Хорошее совпадение сравниваемых результатов расчета даёт основание считать их достоверными. •

Практическая ценность. Разработанные подходы к решению задач изгиба, свободных колебаний и статической устойчивости позволяет эффективно решать задачи расчёта сетчатых пластин с различными физико-механическими параметрами и типами сеток, что может найти применение в практике проектирования и исследования сетчатых конструкций с учетом деформации поперечного сдвига.

Разработанное математическое и программное обеспечение расчёта сетчатых пластин может найти применение в научно-исследовательских и проектных организациях при расчётах сетчатых пластин на прочность, устойчивость, колебания и оптимизацию.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались:

- IV Международной научно-технической конференции «Надёжность и долговечность строительных материалов, конструкций и оснований и фундаментов» (Волгоград, май 2005 г.);

- Всероссийской научно-технической конференции «Социально-экономические и технологические проблемы развития строительного комплекса и жилищно-коммунального хозяйства региона» (Волгоград, ноябрь 2006 г.);

- VIII Международной научно-технической конференции «Информационно-вычислительные технологии и их приложения» (Пенза, июнь 2008 г.)

- ежегодных конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета.

Публикации. Основные результаты выполненных исследований опубликованы в 5 научных статьях, в том числе 2 статьи в изданиях из перечня, определенного ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 264 наименований, содержит 25 рисунков и 50 таблиц. Основное содержание работы изложено на 143 страницах машинописного текста.

Соискатель выражает благодарность д.т.н., профессору кафедры Сопротивление материалов ВолгГАСУ Беликову Георгию Ивановичу за оказанную помощь и консультации в ходе выполнения диссертационной работы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности диссертации, сформулированы дели и задачи исследования, положения, выносимые на защиту, и показана практическая ценность работы.

В первой главе работы дан краткий обзор литературных источников по теме диссертации и методов расчета сетчатых конструкций на статику, динамику и устойчивость.

Наиболее широкое применение стержневые пластинки типа систем перекрестных балок получили сначала в судостроении. Поэтому первые фундаментальные исследования по их расчету были выполнены учеными-кораблестроителями И. Г." Бубновым, А. Н. Крыловым и позднее П. Ф. Попковичем, А. А. Курдюмовым, А. И. Сегалем и др.

Обстоятельные обзоры истории развития методов расчета регулярных и квазирегулярных стержневых систем и систем перекрестных балок в частности даны в работах C.B. Симеонова и В.А. Игнатьева.

Большую роль в развитии методов расчета стержневых пластинок и плит сыграли также работы С.П. Тимошенко, Воровича И. И., Устинова Ю. А., Кадомцева И. Г., C.B. Симеонова, MJH. Минцковского, М. Рожи, В.И. Трофимова, J1.H. Лубо, В. А. Игнатьева и его учеников.

Исторически развитие теории стержневых (и сквозных в общем случае) конструкций связано с развитием и последовательным уточнением двух расчетных моделей: континуальной, в которой непрерывная среда наделяется специфическими свойствами, лишь в некотором интегральном смысле сопоставимыми с упруго-механическими свойствами исходной конструкции, и дискретной, более точно учитывающей индивидуальные особенности каждого элемента конструкции.

Следует отметить, что решения, основанные на классических методах в матричной форме наряду с высокой точностью имеют один существенный недостаток: все они численные и поэтому даже для регулярных перекрестных систем не дают аналитических зависимостей между силовыми и деформационными

параметрами, что особенно необходимо при предварительном проектировании. Кроме того, использование методов сил и перемещений в классической форме при большом числе узлов системы ведет к большим затратам машинного времени.

В этом отношении в расчетах регулярных стержневых систем метод обобщенных неизвестных В.А. Игнатьева имеет несомненные преимущества: решения имеют аналитическую форму и охватывают широкий класс задач, кроме того, функциональные неизвестные, лежащие в его основе, значительно улучшают обусловленность матриц систем разрешающих уравнений в расчетах квазирегулярных систем.

Оригинальный и достаточно точный метод статического и динамического расчета сетчатых пластин и оболочек разработан Г.И. Пшеничновым и развит в работах его учеников. В соответствии с этим методом усилия и перемещения сплошной пластины, заменяющей стержневую, выражаются через усилия и перемещения стержневых элементов. Решение строится в перемещениях и приводится, в зависимости от учета или не учета закручивания и изгиба в плоскости касательной к исходной поверхности оболочки, к дифференциальным уравнениям восьмого или двенадцатого порядка

Теории сетчатых пластин, построенные на основании гипотезы недефор-мируемых нормалей, не отражают явлений, связанных с учетом поперечных деформаций и напряжений, и дают существенные погрешности даже при рассмотрении сетчатых пластин из традиционных анизотропных материалов, еще большая погрешность появляется в случаях, когда стержни пласганок выполнены в виде составных стержней или из композиционных материалов.

Анализ существующих разработок и программных средств позволяет сделать вывод о необходимости дальнейшего исследования по расчету сетчатых пластин из композиционных материалов на базе теории деформации поперечного сдвига, как по континуальной, так и по дискретной модели.

Во второй главе рассматриваются задачи статики сетчатых платин, стержни которых выполнены из композиционных материалов. Приводятся

основные уравнения теорий упругих сетчатых пластин на основе дискретной модели и на основе континуальной расчетной модели с учетом деформации сдвига в стержнях.

Сформулирована система разрешающих дифференциальных уравнений континуальной модели стержневых пластин из композиционных материалов с учетом деформации поперечного сдвига.

Уравнения получены на основе теории сетчатых пластин и оболочек Г.И. Пшеничнова с использованием кинематической гипотезы С.П. Тимошенко.

Рассматривается изгиб сетчатых пластин, образованных четырьмя семействами стержней, жестко сопряженных между собой и пересекающихся в узлах. Схема сетки пластинки для общего случая показана на рис. 1.

Упругие свойства расчетной модели определялись, исходя из следующих гипотез:

а) срединные поверхности сетчатой пластины и ее расчетной модели совпадают;

б) совпадают деформации стержней сетчатой пластины с соответствующими деформациями расчетной модели;

в) усилия и моменты в одних и тех же сечениях сетчатой пластины и ее расчетной модели статически эквивалентны.

Система основных уравнений конструкгивно-анизатропных сетчатых пластин с учетом деформации поперечного сдвига в стержнях на основе континуальной модели имеет следующий вил:

1. Уравнения равновесия.

д^/дх+дЗ/ду+Х=0, д^/ду+дМ./дх+У^О, (1)

д0118х+В0218у+г=0, 6Я,/&-6Л/г/5у-22=0, дН21ду-Ж11дх-д1 =0.

2. Геометрические уравнения.

о, 9 -р

у

V / фг V?3 го

.а<. / -ь"

Рис. 1. Общий случай сетки при и = 4, ф! = -<рз = ф, фз = к!2, ф< = 0, а( = аг = а, аз = а /2$ш®, ял = аУЗсско

e=duldx, e2=dv/dy, (o=8u/dy+8v/8x, %x=bBJдх, хг=двг!ду, 2т=двг/дх+дв11ду,

где и, v, в, - компоненты линейных и угловых перемещений. 3. Физические соотношения (уравнения состояния) для данной модели устанавливают связь между компонентами деформаций стержней пластины и внутренними усилиями в стержнях. Положительные направления усилий и моментов, возникающих в поперечном сечении стержня на рис. 2. N^EFe'+YrÜ, M;=-EtjJl+ V,-Q-,

я;=слг;, Q'=-vx> (з)

При этом, если принять Q* = G¡FíY*, где 7'=/,cos^+^jsin^, yx=uwldx+9v y2=dwIdy+02

будет учитываться деформация поперечного сдвига в стержнях пластины1.

Компоненты деформации оси стержня i-ro семейства сетчатой пластины получили, используя формулы преобразования компонентов деформации теории упругости:

£¡ =¿\ COS21?1+£г sin2 <РЛ +0SÍn (pt COS<pt, Xi - Xt00^ <Pt + %i sin2 <P, +2rsin$ cos^, r('=sin^cos щХХг-Х^+ТЮ&ф,- (4)

Зависимости усилий и моментов в расчетной модели и в стержнях системы приняли в соответствии с континуальной моделью Г.И. Пшеничнова:

N^A^cos' % -SJ'sin^cos^)/at,

N2 =^¡{N'i sin2 (pt +S'sin^j cos(S¡)/a., i

< t j

S,=¿](S'cos rpl+N'sm(picos(p,)/a¡,

(5)

Рис. 2. Положительные паправлепия усилий и моментов в поперечном ссчеиип стержня 1-го направления

1В приводимых здесь и ниже уравнениях и соотношениях подчеркнуты члены, вводимые дополнительно в

рассматрение для учета влияния поперечного сдвига.

4 ' 4 4

щ+Я". 5тср1со5(р^1а1, со ^т^/а.,

1 1 1

4 1 4 М,=]Г(Л<со5 <р, + Я'Бт соб^,)!а, М2=^(Л/('зт (р-^ат/ртщ)!а,,

I I

4 2 4 2 Н,=-]Г(-Я('со5 ?> +А1*бш^сощ)/а, % соэй)/а,

1 1 4 4

I 1

где я,-- расстояние между стержнями /-го семейства. Подставляя в соотношения (5) выражения (3), получим уравнения состояния расчетной модели:

4

ЛГ1=Спе1+С12е2+С16сй - ]Г8т<г>созад' + соз(р,)2У

ы

4

N2=С21е1+С22Е2+С26о+ ^тсрсощ^ +5№(^)2У^7а, ,

4

^Сб^^бгЕг+СббИ+Х0032«^' +вш(^)соз(р,)У,!3'/д,, (6)

ы

4

52=С61е1+С62Е2+С66ш-^5ш>/^' +5т((р1)сеъ{(р)'Ч!а, и

М1=-[(Р|,+К1,)х1+(Р12-К|2)х2+(Р.б-0,5К16)2х+соз(^,УУ,а'/а,3,

М2-4(Р2,-К21)Х1+(Р22+К22)Х2+(Р26+0,5К26)2Т ],

Я,КРб1-К<1,))х1+(Рб2+Кд))х2+(Рбб+0,5К(б2)2х-ЗШ(Е>.)СОЗ(ЯМ >а,,

Здесь С4, К у, - параметры, учитывающие геометрические и физические характеристики сетки пластины.

Приведены решения задач изгиба шарнирно опертой сетчатой пластины с ортогональной сеткой с использованием дискретной расчетной модели по методу обобщенных неизвестных В.А. Игнатьева и методу конечных элементов. Результаты решения сравниваются с результатами, полученными для тех же задач с использованием континуальной расчетной модели. Сходимость полученных решений показаны на рис. 5 и 6.

При решении по методу обобщенных неизвестных геометрические и упругие параметры системы принимаем в соответствии с рис. 3.

Рис.3.

За основную принимаем систему, получаемую из заданной после замены соединительных связей во всех узлах усилиями, возникающими в них. Нагрузка в основной системе прикладывается так, как показано на рис. 3,&

Система канонических уравнений метода обобщенных неизвестных разделяется на отдельные блоки уравнений относительно обобщенных неизвестных с индексом кг:

(7)

Для рассматриваемой двумерной конструкции выражения для обобщенных нагрузок и обобщенных неизвестных сил имеют вид:

к г кг

где 81г - коэффициенты характеризующие податливость системы.

По найденным значениям хь могут быть найдены перемещения узлов регулярной системы перекрестных балок, а также усилия в балках и реакции на контуре.

В частном случае, когда приложена только узловая нагрузка

Ы

где ^^КГ-А^ЩЛГ-В^У,

. (Ю)

При предельном переходе п -» оо,т -»со из (9) получается решение для ортотропной пластинки, у которой коэффициенты Пуассона = = 0:

ы м

Ц=Е1,!{, Д=£72//2, 2Я=С/4//,+е/и//2

£=4/^ \\д(х,у)^т{г7Гх11,ут{кжу!1л). (11)

0 0.

Основную систему при решении по методу обобщенных перемещений получаем закреплением всех узлов системы от прогибов г^. (первый тип связей), от поворотов узловых сечений (второй и третий тип связей).

Так как единичные обобщенные (групповые) перемещения и соответствующие им реакции основной системы функционально подобны, то система канонических уравнений метода обобщенных перемещений разделяется на отдельные блоки уравнении относительно неизвестных с индексом кг:

(12)

Ж+С^+СС'+С^о-

Найдя значение обобщенных неизвестных системы уравнений (12), можно найти перемещения узлов и по ним изгибающие моменты в балках г -го и у-го направлений:

М™ =-2 Д //, {3//, (г.. (13)

М™ =2 Е1г/12 [Ъ!ЩЛ -С}-

Рассмотрен стержневой конечный элемент сетчатой пластины. Построена матрица жесткости для конечных элементов композитных стержней с учетом деформации поперечного сдвига.

Следствием гипотезы плоских сечений в теории изгиба балок является соотношение У=сЬу!сЬс, где у - угол поворота, нормального

Рис. 4. Бипематика к нейтральной линии элемента; деформирования стержня при

згпбе с учетом деформации и--перемещение по нормальной точки к поперечного сдвига

нейтральной линии. При учете сдвига вместо гипотезы плоских сечений применяется предположение, что прямоугольные волокна, перпендикулярные нейтральной линии балки, остаются после деформации также прямолинейными. Отклонение их от нормали равно осредненному углу поперечного сдвига 9. Таким образом, угол поворота нормали у при направлении перемещений, принятых на рис. 4, состоит из двух членов у=<^!сЬ+в. (14)

Матрица жесткости выводилась на основе принципа возможных пере-

мещении:

(15)

Согласно принципу возможных перемещений, учитывая поперечный сдвиг, для балки можно записать следующее соотношение:

I I

^Ю-ау1ах-й8у1<1х] ск+ рАОдвск^Г^ +М18у1 +Рг5м>г +М2ёуг. (16) о о

Угол сдвига в и угол поворота нормали у не независимы, они связаны уравнением

ЕЗ-<1гу1<Ь?=ОАв. (17)

Обозначив отношение изгибной жесткости балки к ее жесткости на сдвиг ЕЛСА=т]12 уравнение (17) примет вид

т]Р-<?г1сЬ?=6. (18)

Интерполирующие функции элемента получаются при использовании стандартного полинома третьей степени:

и'^+^х+а^+а,*3 (19)

Он имеет такой же вид, что и в случае, когда принимается гипотеза плоских сечений, но коэффициенты полинома (19) определяются иначе. Так как в постоянно, то вместо уравнения (18) получили

в=т!1г-(Ру>Ш. (20)

Перемещение ту выражено через узловые перемещения щ,ух,\г2,у2 и функции координаты х:

к^ф^хУу^хУщу^пЖ^), (21)

где <з,(х)=[1/(1+12^)]{(1+12^)-1277-д://-3-хг//Ч2-х,//!]; %(л)=[//(1+12^)]{-(1+6^)-Л://+(2+677)-Х2//2-Г'//3];

й(л)=[//(1+127)]{б)7-х//+(1-б7)-х2//2-х3//3]. В полученных зависимостях коэффициент т] отражает влияние деформации поперечного сдвига на деформированную форму балки. При ?7=0 получаются соотношения для балок без учета сдвига.

Матрицу жесткости элемента балки определили из условия (16). Подставив сюда значения углов у и в и проведя интегрирование по длине элемента

1 J /3 1+12т?

12 -61 12 -61 (4+12цУ -61 (2+12 12 -61 СИМ. "" 1 1 '"',2

(22)

(4+12?)/2

Узловые силы, соответствующие вектору перемещений {д}=(а>1у1а>2у2}т, определяются правой частью уравнений (16). Если на балку действует равномерная нагрузка q , составляющие сил с учетом сдвига те же, когда сдвиг

не учитывается. Если на балку действует нагрузка, меняющаяся вдоль ее оси, в составляющие вектора входит

параметр ц, отражающий влияние сдвига.

Рис. 5. График зависимости перемещений и Проведены ИССЛвДОВаНИЯ ПО

процента расхоадения результатов расчета по

дискретной и континуальной модели от количества КОНТИНуЭЛЬНОЙ расчетной МОДеЛИ интервалов N

(КРМ) без учета и с учетом деформации сдвига в стрежнях системы; по дискретной расчетной модели, используя метод обобщенных неизвестных (МОН); по методу конечных элементов (МКЭ), т.е. с использованием модели, в которой за конечный элемент принимался стержень между узлами сетки.

На графиках (рис. 5 и 6) для точки пластинки с координатами х=1/2, у=Ы2 представлены результаты вычислений безразмерных коэффициентов по определеншо величин изгибающих моментов в стержнях и прогиба.

Сравнение результатов расчета по континуальной модели Пшеничного Г.И. и дискретной модели Игнатьева В.А., позволяет сделать вывод о том, что погрешность по максимальному прогибу сетчатой пластины не превышает 5% уже при сетке узлов 5 ><5 и уменьшается с увеличением узлов.

В третьей главе изложены основные положения устойчивости сетчатых пластин с учетом и без учета деформации поперечного сдвига.

Получены в явном виде уравнения, позволяющие найти величину критической силы для сетчатых пластин.

и 1,4

и 1 0,8 0,6 0,4 0,2

"•КРМ •ее МКЭ

— МОН -■•л

\ ■

■

10 12 14

16

Рис. б. График зависимости изгибающего момента и процента расхождения результатов расчета по дискретной и континуальной модели от густоты сетки

Задачи устойчивости решались в рамках статического критерия. Уравнения, описывающие потерю устойчивости пластин, получали исходя из следующих допущений:

1) деформации пластины предполагаются упругими и при критических значениях силовых факторов, перемещения пластины малы;

2) изменения всех геометрических параметров пластины в докритиче-ском состоянии невелики и не сказываются на величине критической нагрузки, ими можно пренебречь;

3) предполагается, что местная устойчивость отдельного стержня обеспечена.

Полагая, что в задачах устойчивости пластинок начальное напряженное состояние является безмоментным, приходим к понятию фиктивной нагрузки вида

г = ЧЛх°71 + Агу0^1+25йт) (23)

где Л**0, А'у', - внутренние тангенциальные силы начального безмо-ментного состояния пластинки;

% и т - кривизны и кручение срединной поверхности пластинки при искривленной форме равновесия, для которых имеем

Х^-с?01дх\ х^-д'в/ду2, т=-с?в/дхду~ (24)

Полагаем, что материал пластин имеет пониженные сдвиговые модули. Будем считать, что начальное напряженное состояние характеризуется погонными усилиями Л']0, N2, расчетной модели, удовлетворяющими уравнения равновесия (1).

Где составляющие уравнений равновесия представляют собой выражения (5).

Усилия и моменты в стержнях сетчатой пластины определяются через компоненты деформации, при учете деформации сдвига в стержнях принимались уравнения (3).

Получена матрица потенциала нагрузки стержневого конечного элемента с учетом деформации поперечного сдвига:

2

б 207;+ 120/7 +1 1 б 20; и-120^+1 1

5 /(1 + 12г;)2 1 0(1 + 127/)2 5 /(1+12т?)2 10(1+ 12^)2

2 /(1 + 15;; +90т;2) 1 1 /(1 + бО^ + ЗбОг;2)

15 (1 + 127)2 10(1 + 12;;) 30 (1+12т;)2 6 20г! + 120Г!2+1 1

5 /(1 + 12^)2 10(1+ 12?/)2

2 /(1 + 157 + 90^2)

(симметрично) --5-

15 (1 +12/;)

Где параметр Т]=Е1/<3А12, представляет собой безразмерный параметр отношения изгибной жесткости стержня к его жесткости на сдвиг.

Проведены исследования сетчатых пластин с различной конфигурацией сетки. В частности сетки стремя семействами стержней (1,2 и 4) рис. 1.

Параметр кх в случае учета деформации поперечного сдвига примет вид:

к =_к^+Х+л'Х-дл-У_

1 щ'1+щг+Хгщг+Хг+а/2г]гк*+ауХ2т]71'1+ауХАТ]лг+а!Я>

Исследовалась зависимость решения задачи от Л=0,5; 1; 1,5; 2', параметра т]=Ы1/Ь2ОР- учитывающего влияние деформации поперечного сдвига в стержнях пластины, <р=30°; 45'; 60' - угла между стержнями 1-го и 2-го семейств и а — коэффициента, учитывающего характер внешней на1рузки. Результаты представлены в таблице 1 и рис. 7 и 8.

Таблица 1.

V 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

а=2;Я=0,5

30 3.105 2.41 1.971 1.668 1.446 1.277 1.143 1.035 0.945 0.87

60 3.977 3.081 2,518 2.13 1.846 1.63 1.459 1.321 1.207 1.111

а,=1;Л=1

30 1.301 1.148 1.028 0.931 0.851 0.784 0.726 0.677 0.634 0.596

60 1.916 1.679 1.494 1.346 1.225 1.124 1.038 0.965 0.901 0.845

% Р|Ч> 4

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 1

Рис. 7. График зависимости критической силы от параметров Ф и ц при а=1, А=1.

21.6 ,

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Рис. 8. График зависимости критической силы от параметров <р и п при а=2, ¿=0.5.

В четвертой главе получены дифференциальные уравнения свободных колебаний сетчатых пластин с учетом сдвиговых деформаций на базе континуальной расчетной модели.

Получена система уравнений движения в перемещениях

^+4^+^=0, (26) 4^+43+40=0.

Здесь 4 - дифференциальные операторы.

Компоненты обобщённых перемещений и углов приняты в виде двойных тригонометрических рядов.

W'

да—1 п=I т-1 »=1

т=1 п=1

Здесь Д=-ттхИ, Хш=тпку1Ъ, п — число полуволн вдоль х, т — число полуволн вдоль у.

Подставив (27) в (26), приходим к системе пяти линейных алгебраических уравнений:

«nA+'i

2 ЯП

о, (28)

^iXmiWmn ^hlmrßimn

Приравняв нулю определитель системы уравнений колебаний (28), получено уравнение частот:

4->2)3 =о. (29)

Уравнение частот позволяет определить собственные частоты для каждой заданной пары значений т, п.

Исследовались свободные колебания сетчатой пластины с ромбической сеткой при учете деформации поперечного сдвига, параметр 77, и различных соотношениях параметра Л=//Ь и угла сетки <р. Результаты представлены в таблице 1.

На рис. 9 и 10 приведены зависимости параметра собственной частоты основного тона колебаний О2

со2=б5т(<р)2 со${ср)2 ллгппгХг -4т]ып{(р)2со5(<р)г;т4от 2л2Л2+ +щт(<р)2 я^^А2+сов(<рУ ж'т' +т]5Щ<рУсо5(<рУ л'тА + +sm(p)VиV+7/sin(<9)2cos(^)VwUЧ277cos(p)VwVЛ.г--Т]С05(<р)2 я*т2п2Л2

от угла <р и параметров Л и у для пластинки с ромбической сеткой. При этом во всех случаях все края пластинки оперты шарнирно.

Получены матрицы эквивалентных масс стержневого конечного элемента,

Таблица 2

0,50 1,00

4=0,1

10 95.902 108.804

20 91.129 137.656

30 82.569 170.466

45 62.403 194.818

60 36.909 170.466

70 21.156 137.617

80 10.088 108.804

»7=0,01

10 113.67 174.949

20 106.47 181.614

30 95.152 189.193

45 72.937 194.818

60 49.491 189.193

70 36.501 181.605

80 27.857 174.949

пг 2оа

160 140

п=0,01 '

Т) =0,1

1 \ V / V ' \

ч / V

40 %

30

20

20 40 60 8& 9

Рис. 9. Зависимость параметра собственной частоты основного тона колебаний П2 при 2=1.

влияния деформации поперечного сдвига.

Для прямолинейных стержней постоянного сечения масса то равномерно распределена по длине стержня. Матрица эквивалентных масс для таких стержней имеет вид

1 -в-4=0.1 ■4-4=0.01 I а-я % '

/ / . /

■ 1

20

40

60

Рис. 10. Зависимость параметра собственной частоты основного тона колебаний при Я = 0.5

".-и

I

т0 ^¥Т\Уск

А4.

(30)

Рассмотрев стержень с шарнирами на концах, получили матрицу эквивалентных масс, четвертого порядка для прямолинейного стержня с учетом деформации поперечного сдвига, с постоянной массой на единицу длины:

/(1260^+2317 + 11) 3(560^+847 + 3) /(25207* + 3787 + 13)"

щ1

35(1 + 127)2

16807 + 2947 + 13 ■

12

168072 +2947 + 13 -

/(12607 + 231? +11) б

/г(12б72 +217 + 1)

Для элемента с одним шарнирным концом, а другим жестко заделанным матрица масс будет следующей:

м.=-

щ1

35(1 + 37)'

33 231 2 39 273 105 2 1 „„\

—+-7+1057 ----/7 -- 7 -/(11+497)

44' 8 8 2 8

17 + 847 + 1057* -/(3 + 7 7)

2/г

сии. — /

3

Если параметр 77=0 в матрицах эквивалентных масс четвертого и третьего порядков, то получим матрицы эквивалентных масс для стержней без учета деформации сдвига с постоянной массой на единицу длины.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. В диссертации получили дальнейшее развитие теория сетчатых пластинок и оболочек Г.И. Пшеничнова и его учеников.

2. Учет влияния сдвига позволяет уточнить величины, характеризующие напряженно-деформированное состояние сетчатых пластинок.

3. Сравнение этих величин, вычисленных с учетом и без учета сдвига показало, что из-за увеличения податливости пластинки за счет сдвига наблюдается увеличение прогибов от 20 до 60%, изгибающих моментов и усилий до 40%, величины критических нагрузок и частоты свободных колебаний снижаются от 13 до 50% и до 40% соответственно в зависимости от соотношения жесткостей Е1ЛЖ

4. Сравнительный анализ показал также, что переход от стержневой модели сетчатой пластинки к эквивалентной ей сплошной корректен только при достаточно густой сетке (более, чем 6x6). Так при сетке 5x5 и менее погрешность по прогибам достигает 10-12% в сторону их увеличения.

5. Построенная математическая модель сетчатой пластинки позволяет получить матрицы жесткости, масс и потенциала продольных нагрузок для соответствующего конечного элемента.

6. Использование таких конечных элементов позволяет выполнять расчеты сетчатых пластинок со сложным контуром, для которых получение аналитических решений невозможно.

7. Предложенный подход может быть использован также и при расчете сетчатых оболочек.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах: Публикации в ведущих репетируемых научных журналах и изданиях, рекомендуемых ВАК РФ

1. Кондратов, В. В. Анализ точпости теории упругих сетчатых пластин на основе дискретной и континуальной расчетных моделях при различной густоте сетки / Вест. Волгогр. гос. архит.-строит. ун-та. Сер.: Стр.-во и архитектура. -.Волгоград : ВолгГАСУ, 2007. - Вып. 7 (26). - С. 78-82. - Библиогр.: с. 82 (4 назв.).

2. Кондратов, В. В. Исследование прогибов балки при учете различных эффектов уточненной теории изгиба и ее прикладное значение / Вест. Волгогр. гос. архит.-строит. ун-та. Сер.: Стр.-во и архитектура. - Волгоград : ВолгГАСУ, 2007. - Вып. 8 (27). - С. 55-57. - Библиогр.: с. 57 (4 назв.).

Публикации в других научных изданиях

3. Кондратов, В. В. Решение задач динамики сетчатых пластин с учетом деформации поперечного сдвига в постановке метода конечных элементов / Вест. Волгогр. гос. архит.-строит. ун-та. Сер.: Стр.-во и архитектура. - Волгоград : ВолгГАСУ, 2008. - Вып. 12 (31). - С. 25-28.

4. Кондратов, В. В. Учет плоского напряженного состояния и деформации поперечного сдвига стержней в теории сетчатых пластин на базе континуальной расчетной модели // VIII Междунар. Науч.-технич. : тез. докл., Пенза, июнь 2008 г. : «Информационно-вычислительные технологии и их приложения». - Ценза: РИО ПГСХА, 2008. Ч. 1. - С. 228-231.

5. Кондратов, В. В. Исследование влияния уточнений, вносимых различными гипотезами, на результаты расчета сетчатых пластин на базе континуальной расчетной модели И Междунар. Науч.-практич. : тез. докл., Волгоград, 4-7 февр. 2008 г. : «Проблемы и тенденции устойчивого развития аграрной сферы». : Напр. «Конструирование и строительная механика инженерных сооружений». - Волгоград : ВГСХА, 2008. Т. 2. - С. 186-189.

Vj

Кондратов Владимир Владимирович

КОНТИНУАЛЬНАЯ И ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛИ СЕТЧАТЫХ ПЛАСТИН С УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИИ ПОПЕРЕЧНОГО СДВИГА В СТЕРЖНЯХ

Автореферат

на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано в печать 27.10.2009 г. Формат 60 х 84/16. Гарнитура «Times New Roman». Бумага офсетная. Печать трафаретная. Усл. Печ. Л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 238.

Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет Центр оперативной полиграфии ЦИТ, 400074, г. Волгоград, ул. Академическая, д. 1