автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Конструирование и исследование напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек с отверстиями вариационно-разностным методом

На правах рукописи

БОК ХЬЕНГ КРИСТИАН АЛЕН

КОНСТРУИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК С ОТВЕРСТИЯМИ ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ

[

05.23.17 - Строительная механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре сопротивления материалов инженерного факультета Российского университета дружбы народов

Научный руководитель: кандидат технических наук, профессор В.Н. Иванов

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор С.И. Трушин кандидат технических наук, доцент Е.П. Борзых

Ведущая организация: Центральный научно-исследовательский и проектно-экспериментальный Институт комплексных проблем строительных конструкций и сооружений

им. В.А. Кучеренко

Защита диссертации состоится 29 ноября 2005 года в 15— часов на заседании диссертационного совета Д 212.203.07 в Российском университете дружбы народов по адресу:

117419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 348.

С диссертацией можно познакомится в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу:

117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

Автореферат разослан « 28 » октября 2005 г.

И.о. ученый секретарь

диссертационного совета

доктор технических наук, профессор

Ю.П. Ляпичев

2006-4

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Тонкостенные пространственные конструкции типа оболочек находят широкое применение в самых разнообразных отраслях промышленности: химическом машиностроении, приборостроении, строительстве промышленных и гражданских зданий. Это объясняется тем, что оболочки сочетают в себя относительную легкость с высокой прочностью.

По различным - конструктивным или технологическим причинам в них устраиваются отверстия и проемы

Вообще говоря, решающие факторы при применении той или иной формы оболочек для различных целей могут служить:

1. Архитектурная выразительность - при покрытии общественных зданий национальной важности.

2. Конструктивная особенность - при покрытии большепролетных общественных и промышленных зданий без промежуточных опор, что позволяет модернизировать технологические процессы с минимальными затратами труда и времени.

3. Технологическое требование - при конструировании оборудования химической промышленности, спиральной камеры и отсасывающей трубы гидротурбин и т.д.

4. Воздействие окружающей среды играет особую роль при выборе оптимальной формы оболочки в авиа и судостроении, поскольку геометрия корпуса должна обеспечить наименьшее сопротивление окружающей среды, прочность и надежность конструкции в целом.

Оболочки, применяемые в реальных конструкциях, в большинстве используют традиционные простые геометрические формы поверхностей. Имеются лишь отдельные примеры использования сложных геометрических форм. Поскольку не только сложна их геометрия, но по различным причинам в них устраиваются отверстия и проемы. Если при расчете пластин и оболочек с малыми отверстиями используются аналитические методы, то для расчета оболочек сложной геометрии с большими отверстиями в основном используются различные численные методы.

Перечисленное выше обуславливает актуальность темы диссертации.

Цель работы

Она состоит в выборе метода расчета, разработке алгоритма и программы расчета тонкостенных конструкции с сложной геометрий, проведены расчетов и анализы напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций с отверстиями """Г""^пр.п.. „

А РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ

1 I БИБЛИОТЕКА »

> *

Научная новизна работы

1. .Разработан и реализован на ЭВМ алгоритм расчета пластин и оболочек сложной геометрии с отверстиями вариационно-разностным методом. Алгоритм и программа апробированы на тестовых задачах.

2. Проведены расчеты пластин и оболочек с отверстиями вариационно-разностным методом

3. Проведен анализ напряженно-деформированного состояния оболочек с отверстиями на основе полученных численных результатов.

Научная и практическая ценность работы

Предложенные в диссертации алгоритм расчета вариационно-разностным методом тонкостенных конструкции с отверстиями, а также вычислительная программа могут быть использованы непосредственно на практике реального проектирования тонкостенных оболочек с отверстиями , выполненных из линейно-упругого материала. По единому алгоритму вариационно-разностного метода можно также решать задачи изгиба прямоугольных и кольцевых пластин; плоскую задачу теории упругости, как в прямоугольной, так и в полярной системах координат; пологие и цилиндрические оболочки; оболочки вращения; сферические оболочки и т.д.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались на:

1. XXXIX (2003 г.) , ХХХХ (2004 г.) и ХХХХ1 (2005 г.)научно-техниче-ских конференциях профессорско-преподавательского состава инженерного факультета РУДН.

2. ВСЕРОССИЙСКОЙ выставке научно-технического творчества молодежи XXI века, реалии и перспективы(7-10 июля 2004 года, ВВЦ),

Публикации

По теме диссертации опубликованы 3 научные работы. Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 175 наименований и 5 приложений. Общий объем диссертации страниц: 141 страницы основного текста, рисунков, таблиц, страниц списка литературы и страницы приложений.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель исследования, изложено краткое содержание работы и основные результаты и положения, выносимые на защиту.

В первой главе дается краткий обзор исследований по прочности и устойчивости пластин и оболочек с отверстиями. Излагаются современное состояние вариационно-разностного метода расчета оболочечных конструкций и общая теоретическая основа численных методов решения задач теории оболочек.

Во второй главе даются основные результаты исследование геометрии сложной формы каналовых поверхностей Иоахимсталя и резных поверхностей Монжа.

Каналовая поверхность Иоахимсталя образуется движением окружности переменного радиуса Щи) вдоль плоской линией центров и лежащей в плоскостях пучка плоскостей (рис. 1).

Уравнение поверхности в векторной форме с направляющей линией, являющейся линией центров образующих окружностей, запишется в виде

р{и,Ч) = а[г{и)к(и) + Я{и)ёМ], (1)

Образующая окружность

аЩи)ё(и, )

Ми)

Линия центров аг(м)й(и)

Рис, 1. Общая геометрия каналовых поверхностей Иоахимсталя

Паяюс г.

Рис. 2. Три способа образования каналовых поверхностей Иоахимсталя

Показано, чтобы образующие окружности поверхности (1) были линиями главных кривизн, из анализа которого получены 3 способа образования канаповых поверхностей Иоахимсталя (рис. 2):

1. г0 = Л0, С = 0. Поверхность образуется вращением окружности переменного радиуса вокруг общей касательной (рис. 2 а).

2. г0 > Д0, С=4гг-Т? . Поверхность образуется вращением окружности переменного радиуса вокруг некоторой оси (рис. 2 б).

. Поверхность образуется вращением

окружности переменного радиуса вокруг общей хорды, проходящей через полюс поверхности (рис. 2 в).

Уравнение поверхности (1) в линиях главных кривизн в виде

р(а,Р) = а

0(а,Р) 0{а,р)

(2)

где С,(а) = г2-(±С2), Ог(р) = 1±С2/2.

Основные геометрические характеристики в линиях главных кривизн. Коэффициенты первой квадратичной формы:

А = а&а, в = <т = ^г?+г?. (3) Главные кривизны:

(х о-3 а

К = я-5--= (4)

Резная поверхность Монжа образуются движением некоторой плоской кривой (образующей) вдоль другой произвольной кривой (направляющей) так, что образующая кривая лежит в нормальной плоскости направляющей линии и жестко с ней связана (рис. 3).

Уравнение поверхности представленной на рис. 3 запишем в векторной форме

р(и, у) = Г (и) + <р(у, в)о + ^(у, в)р , (5)

где р(и, у) - радиус-вектор поверхности; г(и)- радиус вектор направляющей кривой;

<р(и, в) = X(у)сов в - У(у)$т 0, у/{у, в) = х(у)ът в + У (и)соз в, Х(у),У(у),- параметрическое уравнение плоской образующие кривой

Коэффициенты первой квадратичной формы резной поверхности Монжа запищим в виде: А — 5,' (1 - Кн ф(у, в)) (6)

$'0 = ^Х2+У2 ■ РЧ) (7)

Главные кривизны поверхности ду/(у,в)ду

АВ

~ >

\, Кн -дифференциал дуги и кривизна направляющий лини.

, К0 -Линии и образующий линии.

в -угол образующий системой координат образующий кривой с нормально направляющий кривой.

Направляющая

Рис.3. Резная поверхность Мотка

В третьей главе разработан алгоритм вариационно-разностного метода расчета пластин и оболочек сложной геометрии с отверстиями. В основу вариационно-разностного метода положен принцип Лагранжа, который представляет собой разницу потенциальной энергии деформаций и и работы внешних сил А

Э~и -А (9)

и = ит+ии (10)

где ит, ии - потенциальная энергия тангенциальных и изгибных деформаций соответственно, и могут быть записаны в виде:

ит = I ии = 1 \м"х<£1. (11)

Здесь * - знак транспонирования вектора (матрицы). Векторы деформаций и векторы внутренних усилий имеют три компоненты:

V мх

т = Т2 £ = м - м2 х=- Хг

Тъ. ЕЪ. м3 Лг.

где Тъ Т2 - нормальные тангенциальные усилия; 73=5 - касательные тангенциальные усилия; ¿1, ¿а - тангенциальные линейные относительные деформации; су=7\г - относительные тангенциальные деформации сдвига срединной поверхности оболочки; Ми М2 - изгибающие моменты; Му=МХ1 - крутящий момент; Хг - изменения главных кривизн оболочки; Хъ - 2хп - удвоенное изменение кривизны кручения оболочки. Работа внешних сил определяется по формуле

¡дисШ + ^р'и, , (13)

а

где я , р - векторы проекций распределенной поверхностной нагрузки и сосредоточенных сил на поверхностную систему координат и на нормаль к поверхности; и - вектор тангенциальных и нормального перемещений срединной поверхности оболочки; и1 - тоже в точке действия сосредоточенной силы р(.

Векторы внутренних усилий связаны с векторами относительных деформаций срединной поверхности законом Гука:

где с=Ек/(\-у2) - жесткость оболочки на растяжение; с1=ЕИг ИИ) -V2) -

изгибная жесткость оболочки; Е, V - продольный модуль упругости и коэффициент Пуассона материала оболочки соответственно; А - толщина оболочки; [ТУ] - матрица связи между усилиями и деформациями в законе Гука.

Вводится матрицы коэффициентов при производных перемещений в формулах деформация срединной поверхности оболочки Е1, Е2, Е3, К\ К2, К3.

Используя введенные обозначения и закон Гука (14) запишем составляющие потенциальной энергии деформаций в матричной форме:

"т -^/¿¿(^"КТ^Й^'Ю^, (15)

* ак-гы

1 V V I

О О

О 1-у

2 .

(14)

1 Аг=1/=1 п

При расчете оболочек с отверстием вариационно-разностным методом срединная поверхность покрывается сеткой с постоянным или переменным шагом. Линии сетки совпадают с координатными линиями главных кривизн и пересекают на контуре отверстия. Для минимизации полной энергии деформаций применяется алгоритм Ритца-Тимошенко, для

чего производные по узловым перемещениям и^ от выражения полной

энергии деформаций приравниваются нулю.

дЭ диг дии

ди?

дА

К'

= 0.

(17)

Здесь £=1,2,3 номер компоненты вектора перемещений; у - номера сетки вдоль координатных осей о^ и а2 соответственно.

Область интегрирования О разобьем на подобласти >

определяемыми в окрестности узла у координатными линиями, проходящими между соседними узлами основной сетки (рис. 3). Области раз-

биваются на дополнительные подобласти

(г = 1, 2, 3, 4),

соответствующие четырем квадрантам в окрестности узла у.

Г2 ■ I I

/-1 ■

т.

1'л

•Ю-,

,/П,

лх,

У',.

4

'«К

11,11,

>ьи±

4

.АЛ/, = -

Рис.4. Узловые точки в окрестности узла у и подобласти интегрирования

Для записи их в векторно-матричном виде введем в окрестности узла у вектора узловых перемещений } (к = 1,2,3)

Г=к-1 ^1 ^ «г1'у, ^ «х^-1 ^ . - «г1-^1 - «г1^»«г1}

и матрицы разностных производных ] (6x9) для квадрантов Г = 1, 2, 3,4 (рис. 4)

— .*

Здесь знак умножения ® означает, что компонента вектора А, умножается на все компоненты соответствующей строки матрицы [£><у]<++;_+,-,+-)> (+) - правая производная по координате а, или а2 , (-) левая производная по координате а! или а2:

К' «^.-Г-.-Л-.-7-2—,--, 2 V ■ 1. (2°)

7+1

Матрицы [о'^ч- ивектора й^, А3'у; й4° полу-

чим аналогичным образом.

Вектор производной перемещения дик в окрестности узла у для квадранта г запишем в разностной форме

(21)

дик I = I ч

ру 1

Заменяя интеграл по области оболочки £1 суммой интегралов по подобластям вокруг узловых точек, получим

Э = (22)

1=0 у=о

Составляющие потенциальной энергии изгибных деформаций с учетом формулы (23) запишутся в виде

к*КИ,• <23)

*=1 '=1

или

1 м /=1

(24)

где - подматрица изгибной жесткости оболочки в окрестности

узла /у относительно перемещений ик, «/ (размерность подматрицы (9x9))

к\Л 1И>)>1(к1И<«- (25)

и

(Б) -Матрицы разностных произвольной в окрестность узлы 1.]

в

Формулы для составляющих потенциальной энергии тангенциальных линейных деформаций и соответствующие матрицы жесткости получаются аналогично путем формальной замены матриц коэффициентов

на матрицы [¿?]/у и изгибной жесткости ¡1 на тангенциальную жесткость

с в формулах (23)-(25). Потенциал полной энергии деформаций становится функцией узловых перемещений, и для его минимизации приравниваем нулю частные производные по всем неизвестным узловым перемещениям гю, несвязанным граничными условиями.

На рисунке 5 показано, что вокруг каждого узла выделяется подобласть на расстояние полшага в каждую сторону от узла. При этом область вокруг узла можно разделить на четыре квадранта. При наличии отверстия сетка наносится так, чтобы узлы попадали на контур отверстия. Область полных площадей

вспомогательные сетки

Разность сетки с постоянными и

переменным шагом

г*

Область нулевых^| \ \ \ у площадей

Контур отверстия рис ^ область оболочки в зоне отверстия

На рис. 6. показана сеть в зоне огверстия с распределением зон интегрирования на контуре отверстия. Косыми крестиками обозначены узлы на контуре отверстия. Точками обозначены узлы в зоне отверстия, в которых учитываются только нормальные перемещения, точками с косым крестиком - узлы в зоне отверстия, в которых учитываются и нормальные и тангенциальные перемещения. Для каждого из 4-х квадрантов вокруг

узла площадь может быть полной, нулевой нлй использоваться с коэффициентом 0,5. Кь К2, К3, К4 =1; 0; 0,5

узлы в чже отверстия, учтены в функционале энергии

Узлы на Koi отверстия

Рис. 6. Зоны интегрирования узлов на контуре отверстия

На рис 7. показано распределение площадей интегрирования вокруг узловой точки у. Площадь квадрантов определяется по формулам:

При интегрировании, площадь квадранта умножают на коэффициент 1, 0.5, 0.

Рис. 7. Площади интегрирования в зоне отверстия

4

• Ах • А2 ;

1 >

■А, А2.К3 =

■АгА2.К1

4

4'

где А и А2 - коэффициенты первой квадратичной формы срединной поверхности оболочки в узле 1]\ ,Л,,И. ],п. - шаги сетки в узле // по

направлению поверхностной системы координат ах, а2 соответственно.

В итоге, получаем систему алгебраических уравнений, в результате решения которой получаем узловые перемещения. Для вычисления тангенциальных и изгибных деформаций используются разностные производные для уравнений деформаций и закон Гука (16) для вычисления тангенциальных усилий и изгибающих моментов.

По предлагаемому алгоритму расчета оболочек с отверстиями вариационно-разностным методом, была реализована программа на языке ФОРТРАН и проведены тестовые расчеты различных конструкций,

В четвертой главе проводятся численные расчеты цилиндрических оболочек, оболочек в форме резных поверхностей Монжа, с отверстиями и плотин треугольного и трапециевидного профилей со сложными вырезками вариационно-разностным методом на собственный вес и снеговую нагрузку.

Расчет цилиндрических оболочек с отверстием выполняется на действие собственного веса при следующих данных: радиус цилиндра 4м, длина общие оболочки 10м, отверстие 2м х 2,09м рис 8. По полученным численным результатам построены эпюры нормальных напряжений

XI

О

Рис 8 Цилиндрический оболочки с отверстиями

рис 9.

Эпюры нормальных напряжений от продольных усилий N и от изгибающих моментов М в сечениях X = const.

ом кПа)

оМ| о№

25,6 1,0 "^//в/Л

) -5

289 и

■г» (кЛя)

Эпюры нормальных напряжений от продольных усилий N и от изгибающих моментов М в сечениях У = const.

Ом (кП> )

Расчет оболочек в форме резных поверхностей Монжа с отверстием выполняется на действие собственного веса и снеговую нагрузку.

Рис 10 Железо бетонное ограждение спортзале

По полученным численным результатам, построены эпюры нормальных усилий и изгибающих моментов рис 10.

Эпюры нормальных усилий и изгибающих моментов

а=2,04

М,Ю2(КНМ/М) ' м, ,„2 (КНМ/М)

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработан алгоритм расчета тонкостенных конструкций с отверстиями и со сложным очертанием контура вариационно-разностным методом.

2. Разработан программный комплекс расчета оболочек сложной геометрии, дополнен блоком расчета конструкций с отверстием и сложным контуром в плане.

3. Проведены тестовые расчеты, подтверждающие работоспособность алгоритма и программа.

4. Проведены расчеты цилиндрической оболочки с отверстиям на собственный вес и оболочки в форме резной поверхности направляющий циклоидой и образующий с двумя отверстиями на снеговую нагрузку.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Иванов В.Н., Бок Хьенг Кристиан Ален. К Расчету пластин и оболочек с отверстиями Вариационно-Разностным методом // Тезисы докладов XXXVIX научно-технической конференции студентов инж. фак-та. -М.: Изд-во РУДН, 2004. -С. 50.

2. Иванов В.Н., Бок Хьенг Кристиан Ален. Расчет плотин треугольного и трапециевидного профиля вариационно-разностным методом. Труды XXXIII научной конференции РУДН. - М.: Изд-во РУДН, 2005, -С. 7178.

3. Бок Хьенг Кристиан Ален. Расчет оболочек с большими отверстиями вариационно-разностным методом // Всероссийская выставка нау-но-технического творчества молодежи.Сборник материалов-М.: ВВС, 2004. -С. 10.

Бок Хьенг Кристиан Ален (Камерун)

КОНСТРУИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК С ОТВЕРСТЯМИ ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ

Диссертационная работа посвящена исследованию напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек с отверстиями, а также разработке и реализация на ЭВМ вариационно-разностного метода расчета оболочек сложной геометрии с отверстиями, или сложной формы в плане.

В диссертации разработана алгоритм и доработан программный комплекс для расчета оболочек произвольной геометрией оболочки с отверстиями., Программный комплекс использует библиотеку кривых и поверхностей, в которой вычисляются коэффициенты квадратичных форм, радиусы кривизны поверхности и их необходимые производные в узлах разностной сетки.

Проведены расчеты и анализ НДС трапециевидной пластинки (плоская задача), цилиндрической оболочки и оболочки в форме резной поверхности с отверстиями.

Bock Hveng Christian Alain (Cameroon)

RESEARCH OF STRESS-STRAIN STATE OF SHELLS WITH HOLES BY VARIATION DIFFERENTIAL DIFFERENCE METHOD

The thesis is concede of the geometry of the surface and the variation difference (energy difference) method of the stress-strain state analysis of the shells of complex form with holes and its realization on computer.

The thesis is first of all the completing of the algorithm in order to calculate the shells with holes. The algorithm is worked out and the program of stress-strain analysis of complex form shell with holes by variation-difference method is realized. Some of traditional constructions with holes were analyzed and the results were compared with the known results. The numerical results of some shells with holes were analyzed and The obtained outcomes result have no analogs in literature.

Подписано в печать 26.10.2005. Формат 60x84/16. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 1.0. Тираж 100 экз. Заказ № ß

Типография ИПК РУДН 117923, ГПС-), Москва, ул. Орджоникидзе, 3

4

1 i

?

i

р 153

РНБ Русский фонд

2006-4 20442

Основные обозначения.

Введение.

ГЛАВА L КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Краткий обзор исследований по прочности и ус-1-1- тойчивости пластин и оболочек с отверстиями. ю

О современном состоянии вариационно-1.2. разностного метода расчета оболочечных конструкций

Вариационный подход - общая теоре-1.2.1. тическая основа численных методов реше- 32 ния задач теории оболочек. 2 2 Вариационно-разностный метод решения задач расчета оболочечных конструкций.

ГЛАВА П. ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

СЛОЖНОЙ ФОРМЫ.

2-1- Геометрия каналовых поверхностей сложной фор

2 j j Уравнение каналовых поверхностей

Иоахимсталя в векторной форме.

2 j - Условие образования каналовых поверхностей Иоахимсталя.

2 j ^ Способы образования каналовых поверхностей Иоахимсталя общего вида.

2.1.4. Координатная сеть линий главных кривизн.

2 j с Конструирование оболочек в форме каналовых поверхностей Иоахимсталя.

Геометрия резных поверхностей Монжа

2.2.1 Уравнение резных поверхностей Монжа в векторной форме.

2 22 векторное уравнение резных поверхностей Монжа в линиях главных кривизн.

2.2.3 Уравнение резных поверхностей Монжа в параметрическом виде.

ГЛАВА III. РАСЧЕТ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИИ, С БОЛЬШИМЫ ОТВЕРССТИЯМИ ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ (ВРМ). ^

3.1. Алгоритм вариационно-разностного метода расчета пластин и оболочек сложной геометрии с отверстиями

Принцип Лагранжа и уравнения теории тонких оболочек.

3 12 Конечно-разностные схемы.

Узловая матрица жесткости и система алгеб-3.1.3 раических уравнений узловых перемещений.

3.1.4 Вычисление деформаций и усилий. ' Расчет пластин и оболочек с отверстиями Вариаци- 89 онно-разностным методом.

Программное обеспечение расчета тонкостенных 94 конструкций вариационно-разностным методом.

3.3.1 Учет геометрии пластин и оболочек с отверстиями

ГЛАВА IV. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИИ СЛОЖНОГО

ОЧЕРТАНИЯ НА ЭВМ

4.1. Расчет плотин треугольного и трапециевидного профиля вариационно-разностным методом.

4.2. Расчет цилиндрической оболочки, ослабленной большим отверстиям на собственный вес. ^ Расчет оболочек в форме резных поверхностей с отверстиями на действие снеговую нагрузку.

Тонкостенные пространственные конструкции призваны изменить архитектурный облик городов, способствовать созданию выразительных архитектурных комплексов промышленных и культурных сооружений. Конструкции типа оболочек находят применение в самых разнообразных отраслях промышленности: автостроении, судостроении, химическом машиностроении, приборостроении, строительстве промышленных и гражданских зданий. В мировой практике четкой тенденцией является применение пространственных конструкций разнообразных форм, дающих выразительные архитектурные образцы и решающие функциональные задачи. Это было отмечено в сентябре 1989 г. в Мадриде на юбилейном конгрессе по пространственным конструкциям. Расчет оболочек сложной геометрии, с учетом требований экономических и других факторов имеет большое значение. Связи с этим, определенный интерес имеют сложные пространственные формы, в том числе с большими отверстиями или проемами и сложным очертанием в плане.

Широкое применение таких конструкций объясняется тем, что они сочетают в себе легкость с высокой прочностью. В общем случае, решающими факторами при применении той или иной формы оболочек для различных целей могут служить:

1. архитектурная выразительность - при покрытии общественных зданий с учетом национальной специфики,

2. конструктивная особенность - при покрытии большепролетных общественных и промышленных зданий без промежуточных опор, что позволяет модернизировать технологические процессы с минимальными затратами труда и времени,

3. технологические требования - при конструировании оборудования химической промышленности, ракетостроении и авиации где нужны отверстия и проемы.

Задачи исследования упругого равновесия оболочек сопряжены с определенными математическими и техническими трудностями, поскольку их напряженно-деформированное состояние описывается дифференциальными уравнениями высокого порядка с переменными коэффициентами. С усложнением формы оболочек, эти трудности бы* стро возрастают, так как эти коэффициенты становятся функциями координат сложного вида. Как правило, в этих случаях в задаче прочностного расчета добавляются дополнительные задачи, требующие построения уравнении срединной поверхности оболочки и анализа ее геометрических свойств. Перечисленные особенности часто исключают возможность аналитического исследования оболочек сложной формы и побуждают шире привлекать для этих целей численные методы, ориентированные на применение быстродействующих ЭВМ.

Особое значение приобретает применение оболочек в строительстве. Возможность перекрывать большие пролеты без промежуточных опор делает оболочки подчас незаменимыми при строительстве специальных сооружений. Пространственные конструкции обладают большой архитектурной выразительностью, и широко используется при строительстве общественных зданий, выставочных павильонов, спортивных сооружений и т.п. В реальных конструкциях, применяют, в большинстве случаев оболочки, имеющие традиционно простые геометрические формы поверхностей с большими вырезами. Такими оболочками являются круговые, цилиндрические и конические,.сферические и т.д.

Большие возможности в создании красивых архитектурных форм предоставляют поверхности с большим отверстием. Оболочки и пластаны с большими вырезами достаточно технологичны и позволяют осуществлять процесс строительства непосредственно на строительной площадке.

Все вышесказанное подтверждает актуальность темы диссертации.

Цель диссертационной работы является разработкой и реализацией на ЭВМ методики исследования напряженно-деформированного состояния и конструированием оболочек и пластин, различных очертании с большими вырезами.

Научная новизна работы заключается в следующем: о Разработан и реализован на ЭВМ алгоритм расчета пластин и оболочек с отверстиями вариационно-разностным методом. Алгоритм и программа апробированы на тестовых задачах;

Проведены расчеты пластин и оболочек с отверстиями вариационно-разностным методом;

Проведен анализ напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек с отверстиями на основе полученных численных результатов.

Научная и практическая ценность работы:

Предложенные в диссертации формулы поверхностей и выражения их основных геометрических характеристик, алгоритм расчета вариационно-разностным методом, а также программа вычисления могут быть использованы непосредственно на практике реального проектирования тонкостенных пространственных оболочек и пластин, выполненных из линейно-упругого материала. По единому алгоритму вариационно-разностного метода можно, в частном случае, решать задачу изгиба прямоугольных и кольцевых пластин в прямоугольной и в полярной системах координат. В этих системах отчета, этот алгоритм применяется для пологих, цилиндрических, сферических оболочек, оболочек вращения и оболочек сложной геометрии. Оболочки могут иметь большие отверстия и сложную конфигурацию в плане.

Результаты диссертационной работы докладывались на научно-технических конференциях инженерного факультета Российского университета дружбы народов в 2002-2005 гг. и на выставке- конференции НТМ-2004 на ВВЦ. По теме диссертации опубликованы три работы.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю к.т.н., профессору Иванову В.Н. за постоянное внимание и непрерывную помощь при выполнении данной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработан, алгоритм расчета тонкостенных конструкций с отверстиями или со сложным очертанием контура вариационно-разностным методом.

Разработан модуль программного комплекса, позволяющий рассчитывать оболочки сложной геометрии, в том числе с произвольным отверстием или сложным контуром конструкции. Проведены тестовые расчеты, подтверждающие работоспособность алгоритма и программы.

Проведены расчеты: а) треугольной и трапециевидной пластин (плотин) на собственный вес и гидростатическую нагрузки; б) открытой цилиндрической оболочки с прямоугольным отверстием; в) покрытия спортивного сооружения на овальном плане в форме резной поверхности Монжа (направляющая циклоида, образующая парабола) с двумя отверстиями. Построены графики внутренних усилий оболочек с отверстиями, проведен анализ их напряженно-деформированного состояния.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации исследуются вопросы расчета тонкостенных конструкций с большими отверстиями. В качестве метода расчета предложен вариационно-разностный метод. На кафедре сопротивления материалов РУДН разработан программный комплекс расчета тонкостенных конструкций сложной геометрии. Комплекс включает возможности расчета тонкостенных конструкций как традиционных форм — цилиндрических, конических, сферических, пологих оболочек, плоской задачи теории упругости в прямоугольной и полярной системах координат, так и оболочки в форме каналовых поверхностей Иоахимсталя и резных поверхностей Монжа. Библиотек кривых и поверхностей позволяет конструировать и рассчитывать оболочки разнообразных форм. Библиотека кривых может пополнятся новыми объекта. Существовавший программный комплекс позволял рассчитывать оболочки ограниченные линиями кривизны срединной поверхности оболочки.

Результаты, полученные в данной диссертации, позволяют рассчитывать аналогичные тонкостенные конструкции с произвольными отверстиями и на произвольном контуре не совпадающем с координатной сеткой поверхности.

По итогам работы можно сформулировать следующие основные результаты и выводы:

1. Абдельсалям Мухамед Али. Решение задач расчета тонких упругих оболочек в форме развертывающихся геликоидов и их параболическое изгибание: Дис. канд. техн. наук /Российский университет дружбы народов (РУДН).- 1998.06.16. 126 с.

2. Андрианов И.В.,Лесничая В.А., Маневич Л.И. Метод в усреднения в статике и динамике ребристых оболочек. М.: Наука, 1985. - 224 с.

3. Абовский Н.П., Деруга А.П., Енджиевский JI.B. Вариационные уравненные формулировки физически нелинейной теории упругих анизотропных оболочек // Строительная механика и расчет сооружений 1979. С.23-27.

4. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Дерюга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. - 288 с.

5. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Дерюга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. — М.: Наука, 1978. 288 с.

6. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. -М.: Высш. шк., 1994. — 544 с. ил.

7. Баратов А. Исследование устойчивости упругих прямоугольных пластин с прямоугольным отверстием. Докл. ПАН УзбССР, №12, 1962.

8. Баратов А. Устойчивость упругих прямоугольных пластин с прямоугольным отверстием, свободно опертых по внешнему и внутреннему контурам. «Результаты некоторых исследований в обл. энерг. автомат., механ. и горн. дела». АН УзбССР, 1963.

9. Баратов А. Исследование устойчивости упругих прямоугольных пластин с прямоугольным отверстием, защемленных по внешнему и внутреннему контурам. В сб.: «Теория оболочек и пластин». Ереван, АН АрмССР, 1964.

10. Баратов А. Об устойчивости прямоугольных пластин. «Изв. АН УзбССР, сер. Техн. Наук», №1, 1962.

11. Баратов А. О граничных условиях при расчете на устойчивость упругих прямоугольных пластин методом конечных разностей. Докл. АН УзбССР, №6, 1962.

12. Бахвалов Н.С. Численные методы. — М.: Наука, 1975. — 631 с.

13. Безухов Н.И., Лужин О.В. Приложение теории упругости и пластичности к решению инженерных задач. М.: Высшая школа, 1974.-200 с.

14. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. — М.: Мир, 1984.-494 с.

15. Богомолов А.Н Гаспар Монж. М.: Наука, 1978.

16. П.Богданова О.М. К исследованию сходимости вариационно-разностной схемы для расчета оболочек // пространственные конструкции в Красноярском крае: межвуз. Темат. сб. науч. тр. / Красно-яр. Политехи. Ин-т. Красноярск, 1986. С. 48-56.

17. Бойков И.К. Геометрия циклид Дюпена и их применение в строительных'оболочках // Расчет оболочек строительных конструкций. М: Изд-во, УДН, 1982.-е.161-129.

18. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций, с. 1 и 2, ИЛ, 1949.

19. Варвак П.М. В сб. тр. КИСИ, №7, 1945.

20. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности: Пер. с англ. — М.: Мир, 1987. 544 с.

21. Варвак П.М., Бузин И.М. и др. Метод конечных элементов. — Киев: Вища школа, 1981. — 176с.

22. Варвак* П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в расчетах строительных конструкций. — М.: Строийиздат, 1977. 160 с.

23. Власов В.З. Тонкостенные упругие системы. — М.: Госстройиздат, 1958.-502 с.

24. Верюжеский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. Киев: Виша школа, 1978. - 184 с.

25. Варвак П.М., Бузин И.М. и др. Метод конечных элементов. Киев: Вища школа, 1981. — 176с.

26. Вайнберг Д.В., Геращенко В.М., Силявский А.Л., Ройтфарб Л.З. Выводы сеточных уравнении изгиба пластин вариационным методом // Сопротивление материалов и теории сооружений. — Киев: Бу-Д1вельник. 1965. вып. I/ - С. 23-33.

27. Вайнберг Д.В. Концентрация напряжений в пластинках около отверстий и выкружек. Справочное пособие. -Киев: Изд-во «Техника», 1969.

28. Волков А.Н. Напряженно-деформированное состояние замкнутой цилиндрической оболочки с прямоугольным планом/ЛГруды Университета дружбы народов им. П. Лумумбы: Т. XXX, Строительство. Вып. 4, Строительная механика.-М.: УДН, 1968.-С. 84-102.

29. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. «Наука», 1967.

30. Герман Л.Р. Вариационный принцип для уравнений упругости несжимаемых и почти несжимаемых материалов // Ракетная техника и космонавтика. 1965.Т.З.№ 10. С.139-144.

31. Гузь А.Н., Чернышенко И.С., Чехов Вал.Н., Чехов Вик.Н., Шнерен-ко К. И. Теория тонких оболочек ослабленных отверстиями//Методы расчета оболочек т. l/Под общ. Ред. Акад. АН УССР А.Н. Гузя. -Киев: «Наукова Думка», 1980. 634 с.

32. Григолюк Э.И., Филыптинский Л.А. Перфорированные пластинки и оболочки. «Наука», 1970.

33. Григолюк Э.И. Устойчивость круговых кольцевых пластин. Инж. Сб. АН СССР, 5, №2, 1949.

34. Григолюк Э.И. Приближенное решение задачи об устойчивости кольца при кручении. «Прикл. Мат. И мех.», 14, №1, 1950.

35. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. — М.: Госте-хиз- дат, 1953. 512 с.

36. Грицук, С. И. Вариационно-разностный метод в задачах расчета анизотропных пластин. Дис. на соиск. учен. степ. канд. техн. наук : 05.23.17 Киев, инж.-строит. ин-т 1989.

37. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. — М.: Госте-хиз- дат, 1953. 512 с.

38. Грицук, С. И. Вариационно-разностный метод в задачах расчета анизотропных пластин. Дис. на соиск. учен. степ. канд. техн. наук : 05.23.17 Киев, инж.-строит. ин-т 1989.

39. Гузь А.Н. Методы расчета оболочек. Т.1. Теория тонких оболочек, ослабленных отверстиями /.

40. Динник А.Н. Применение функций Бесселя к задачам теории упругости, ч.1.Статика. «Изв. Донского политехнического института». 2, 1913; Избранные труды, 2, изд. АН УССР, 1955.

41. Демьянова, А. А. Проектирование пространственных конструкций Учеб. пособие к курсовому и диплом, проектированию для студентов специальности 290300 А. А. Демьянова, Г. М. Мордовии; Сарат. гос. техн. ун-т 1997.

42. Деруга А.П. Двойственность вариационно-разностных схем расчета оболочек // Пространственные конструкции в красноярском крае: Межвуз. темат. сб. науч. Тр. / Краснояр. политех, ин-т. Крсноярск, 1981. С. 19-32.

43. Деруга, А.П.сост. Вариационно-разностный метод расчета оболо-чечно-стержневых конструкций на ПЭВМ. Программа "OST" Учеб.пособие. Краснояр. гос. архитектур.-строит. акад.; Деруга Л. П. и др.] 1996.

44. Дулгач М.И. Метод сеток в смешанной задаче теории упругости. Киев: «Наукова думка», 1964. 260 с.

45. Евдокимов А.Е. К вопросу об устойчивости кольцевых пластин. «Вест. Харьковского политехнического ин-та», №2 (50), 1965.

46. Жиль-Улбе Матье. Расчет эпитрохоидальной оболочки в усилиях и в перемешенях: Дис. . канд. техн. Наук. — М.: РУДН, 1997. — 134 с.

47. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ. -М.: Мир, 1975.-542 с.

48. Зиновьева Р.В., Зиновьев Н.Ф., Фрактер A.M. Железобетонные плиты с отверстиями. —М.: Стройиздат, 1975. —112 с.

49. Зиновьева Р. В., Зиновьев Н. Ф., Фрактер А. М. Железобетонные плиты с отверстием. М., Стройиздат, 1975. 112 с.

50. Зенкевич С., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. — М.: Мир. 1986.-320с.

51. Иванов В.Н. Вариационно-разностный метод расчета пластин и оболочек // Расчет и проектирование строительных конструкций. — М.:УДН, 1982. — с.131-141.

52. Иванов В.Н. Вариационные принципы и методы решения задач теории упругости: Учеб. пособие. М.: Изд-во РУДН, 2001. — 176 с. ил.

53. Иванов В.Н. Геометрия циклических поверхностей // Сборник научных работ аспирантов инженерного факультета. — М.: УДН, 1971. вып.8. - с. 137-142.

54. Иванов В.Н. Методические рекомендации к выполнению курсовой работы «плоская задача теории упругости». М.: УДН, 1990. — 32 с.

55. Иванов В.Н. Некоторые аспекты геометрии циклид Дюпена // Вестник РУДН: Серия «Инженерные исследования», спец. выпуск «геометрия и расчет тонкостенных пространственных конструкций». -М.: Изд-во РУДН, 2002. № 1. - с.12-21.

56. Иванов В.Н. Некоторые вопросы теории поверхностей с семейством плоских координатных линий // Расчет оболочек строительных конструкций. М.: УДН, 1977. - вып. 10. - с. 37-48.

57. Иванов В.Н. Об одном классе каналовых поверхностей // Вопросы прочности пространственных систем: Материалы XXVIII научной конференции инженерного ф-та. М.: РУДН, 1992. — с. 54-62.

58. Иванов В.Н. Об уравнениях безмоментной теории оболочек в форме каналовых поверхностей Иоахимсталя // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвузовский сборник научных трудов. — М.: МБК «Биоконтроль», 1994. — вып.4. — с. 8385.

59. Иванов В.Н. Расчет оболочек в форме циклических поверхностей: Дис. . канд. техн. наук. — М.: УДН, 1970. 117 с.

60. Иванов В.Н. Теория расчета оболочек в форме циклических поверхностей // Доклады научно-технической конференции инженерного факультета. М.: УДН, 1971. - с. 27-29.

61. Иванов В.Н. Условия образования каналовых поверхностей // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвузовский сборник научных трудов. М.: МБК «Биоконтроль»,1995. — вып.5. -с.7-16.

62. Иванов В.Н. Циклические поверхности: геометрия, классификация, конструирование оболочек // Труды международной научной конференции «Оболочки- 2001». М: Изд-во РУДН, 2001. - с. 127-134.

63. Иванов В.Н., Махмуд Хуссейн Аль-Хадж. Алгоритм расчета эпи-трохоидальной оболочки по безмоментной теории // Вопросы прочности пространственных систем: Материалы XXVIII научной конференции инженерного ф-та. — М.: РУДН, 1992. с.58-63.

64. Иванов В.Н., Махмуд Хуссейн Аль-Хадж. Координатная сеть линий кривизны эпитрохоидальной поверхности // Исследования по строительной механике пространственных систем. М.: УДН, 1990. -с.38-44.

65. Иванов В.Н., Махмуд Хуссейн Аль-Хадж. Расчет эпитрохоидальной оболочки по безмоментной теории // Расчет и проектирование гражданских и гидротехнических сооружений: Межвузовский сборник научных трудов. — М.: МБК «Биоконтроль», 1994. вып.4. - с. 21-26.

66. Иванов В.Н. Геометрия циклических поверхностей // Сборник научных работ аспирантов инженерного факультета. М.: УДН, 1971. -вып.8. -с.137-142.

67. Иванов В.Н. Вариационно-разностный метод расчета пластин и оболочек//Расчет и проектирование строительных конструкций. -М.: УДН, 1982.-С. 131-141.

68. Иванов В.Н., Наср Юнее Аббуши. Расчет оболочек сложной геометрии вариационно-разностным методов/Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 9. -М.: Изд-во АСВ, 2000. -С. 25-33.

69. Концентрация напряжений в пластинках около отверстий и выкружек (справочное пособие). Вайнберг Д.В. «Техшка», 1969, 220 стр.

70. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек: Учеб. пособие. -М.: Высш. шк., 1972. 296 с.

71. Каюк Я.Ф. Напряженное состояние возле отверстия пологой сферической оболочки после хлопка, 5-я Всесоюзная конференция по теории пластин и оболочек. Аннотации докладов. М., 1965.

72. Коноплев Ю.Г. Экспериментальное исследование устойчивости ци-линдричёской оболочки, ослабленной круговым отверстием. В сб.: «Исслед. по теории пластин и оболочек», №6-7, изд. Казанского университета, 1970.

73. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Андреев С.В. К вариационным методам исследований устойчивости тонких оболочек сложной геометрии // Тр. XII Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. -Ереван: Изд-во Ереванского университета, 1980. -т.1. — с.67-72.

74. Куликов М.Е. Вариационно-разностный метод расчета гибких непологих анизотропных оболочек. Дис. на соиск. учен. степ. канд.техн. наук : 05.23.17 Урал, политехн. ин-т им. С.М.Кирова 1990. -173 с.

75. Коваленко А.Д., Григоренко Я.М., Ильин Л.А. Теория тонких конических оболочек и ее приложения в машиностроении Киев: Изд-во АН УССР, 1963.-287 с.

76. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 318 с.

77. Караманский М.Д. Численные методы строительной механики.- М.: Наука, 1976. 520 с.

78. Люстерник Л.А. и др. Таблицы бесселевых функций. Гостехиздат, 1949.8 6. Лурье А. И. Общая теория упругих тонких оболочек // ПММ. -1940. т.4. - вып.2. - с.7-34.

79. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. Гостехиздат, 1947.

80. Лурье А.-И. Общая теория упругих тонких оболочек // ПММ.- 1940. т.4. - вып.2. - с.7-34.

81. Лейбензон Л.С Вариационные методы решения задач теории упругости. М.: Л.: ОГИЗ, 1943.

82. Макушин В.М. Некоторые случаи устойчивости сжатой кольцевой пластины. «Расчеты на прочность», 6, Машгиз, 1960.

83. Музыченко Ю.Н. Изгиб и устойчивость прямоугольных пластин, ослабленных прямоугольными вырезами. В сб.: «Теория оболочек и пластин». Ереван, Ан АрмССР, 1964.

84. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики, 1989.

85. Молчанов И.Н. Численные методы решения некоторых задач теории упругости. Киев: Наукова думка, 1979. - 316 с.

86. Маковенко С .Я. Расчет узла сопряжения двух цилиндрических обо-лочек//Проектирование металлических конструкций/Информационный реферативный сборник. Вып. 7 (27). -М.: ЦИНИСиА, 1970. -С. 34-47.

87. Никиреев В. М., Шадурский B.JI. Практические методы расчета оболочек. М.: Изд-во литературы по строительству, 1966. — 272 с.

88. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. JI.: Судостроение, 1962. - 431 с.

89. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. — Л.: Политехника, 1991. — 656 с. ил.

90. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. Изд. Моек ун-та, 1969.

91. Пономарев С.Д. и др. Расчеты на прочность в машиностроении. Машгиз, 1959.

92. Попович В.Е. Осесимметричная потеря устойчивости неравномерно нагретой по радиусу кольцевой пластинки типа шпангоута. «Изв. Вузов. Авиационная техника», №2, 1967.

93. Пискозуб Л.И. Устойчивость круглых токостенных труб со стенками, ослабленными отверстиями, при действии на них равномерного наружного давления. «Вестн. Львов, политехи, инс-та» №25, 1968.

94. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.:Изд-во МГУ, 1981. - 344 с.

95. Постанов В.А. и др. Метод супер-элементов в расчетах инженерных сооружений. — Л.: Судостроение, 1979. — 288 с.

96. Пратусевич Я.А. Вариационные методы в строительной механике. М.:ОГИЗ, 1948. - 400 с.

97. Паймушин В.Н. Некоторые задачи статики незамкнутых оболочек сложной формы и об одном методе их численного решения // Вопросы расчета прочности конструкций летательных аппаратов. — Казань: Изд-во Казанского авиационного института, 1979. — с.67-76.

98. Постанов В.А., Розин Л.А. Метод конечных элементов в теории пластин и оболочек // Тр. IX Всесоюз. Конф. По теории оболочек и пластин.-Л.: Судостроение, 1975. С.292-296

99. Пржеминицкий К.С. Матричный метод исследования конструкций на основе анализа подструктур // Ракетная техника и космонавтика, 1963. № I.

100. Притыкин И.А. Напряженное состояние и устойчивость прямоугольной пластины с вырезом. Тр. Николаевского кораблестр. ин-та. Материалы научн-техн. конф., 1967. Николаев, 1969.

101. Романенко Ф.ОГ., Синявський О. Л. Чисельне разв'язання уза-гальнено1 задач! про власш значения. В сб.: «Сопротивление материалов и теория сооружений», в IV. Киев, «Бущвельник», 1966.

102. Рекач В.Г., Кривошапко С.Н. Расчет оболочек сложной геометрии. М.: Изд-во УДН, 1988. - 178 с.

103. Розин JI.A. Задачи теории упругости и численные методы их решения. -СПб.: Изд-во СПбГУ, 1998. 532 с.

104. Розин JI.A. Вариационные постановки задач для упругих систем. JL: Изд-во Ленинград. Ун-та, 1978. - 224 с.

105. Розин Л.А. Современное состояние метода конечных элементов в строительной механике //Изв. Вузов. Стр-во и архитектура. 1981. № II.C.41-54.

106. Рекач В.Г., Кривошапко С.Н. Расчет оболочек сложной геометрии. М.: Изд-во УДН, 1988. - 178 с.

107. Розин Л.А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. -СПб.: Изд-во СПбГУ, 1998. 532 с.

108. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев, «Наукова думка», 1968.

109. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высш. шк., 1982.-264 с.

110. Саченков А.В. Теоретико-экспериментальный метод. В Сб.: «Ис-след. По теории пластин и оболочек», №6-7 изд. Казан. Ун-та 1968.

111. Стеблянко В.Т. Об одном методе задания частного вида эпитро-хоидальных поверхностей // Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев, 1975. - вып.20. - с.89-91.

112. Секулович М. Метод конечных элементов: Пер. с серб. М.: Стройиздат, 1993. - 664 с. ил.

113. Смирнов В.А. Расчет пластин сложного очертания . —М.: Стро-ийиздат, 1978.-304 с.

114. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. — М.: Физматгиз, 1963. — 635 с.

115. Туницкий Д.В. Дифференциально-геометрические методы исследования уравнений Монжа-Ампера Дис. . д-ра физ.-мат. наук : 01.01.02 М. 1999.285 с.

116. Ульянова Т. В. Вариационно-разностный метод расчета составных ребристых непологих оболочек с дискретными связями : дис. на соиск. учен. степ. канд. техн. наук : 01.02.03 Новосиб. ин-т инжене-" ров ж.-д. Трансп Новосибирск 1988. 161 с.

117. Фельдман А.А. Метод сеток в применении к одной задаче об устойчивости кольцевых пластинок. В сб.: «Исследования по вопросам устойчивости и прочности». АН СССР, 1956.

118. Фельдман А.А. Устойчивость кольцевой пластины. «Приют. Мех.», №4, 1955.

119. Фиников С.П. Теория поверхностей. M.-JL: ГТТИ, 1934.

120. Харитончик А.Е. К исследованию неосесимметричных форм потери устойчивости кольцевых пластин при осесимметричном нагреве. «Изв. высш. учебн. Заведений. Машиностроение», №5, 1969.

121. Хечумов Р.А., Кепплер X., Прокофьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. М.: Изд-во АСВ, 1994.-352 с.

122. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров: Пер. с англ. М.: Наука, 1972. - 400 с.

123. Черепанов Г.П. О выпучивании мембран с отверстиями при растяжении. «ГТрикл. мат. и мех.», 27, 1963.

124. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. JL: Изд-во ЛГУ, 1962. -Т.1.-374 е.; 1964.-Т.2.-395 с.

125. Чернин B.C. Статика тонкостенных оболочек вращения. М.: Наука, 1968.-456 с.

126. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1962. -Т.1.-274 е.; 1964.-Т.2.-395 с.

127. Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия.- М.: ГИФМЛ, 1963. 540 с.

128. Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. М: Физматгиз, 1963.

129. Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия.- М.: ГИФМЛ, 1963. 540 с.

130. Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. М: Физматгиз, 1963.

131. Якубовский A.M. Исследование аналитического метода задания циклид Дюпена при выделении их из конгруэнции окружностей // Прикладная геометрия. — М.: УДН, 1971. — вып.4. — с.26-40.

132. Argyris J.H. Matrix methods of structural analysis // Proc. 14-th meeting of AGARD. AGARDograph. 1962. - 72.

133. Braun G.H. On the stability of a plate under thrusts in its own plane, with applications to the "buckling*' of the sides of a ship. "Proc. Of the London Mathemat. Soc.". 22, 1891.

134. Brogan F., Almroth B. Buckling of cylinders with cutouts. "AIAA Paper", №92, 1969, 1-7

135. Barony S.Y., Totlenham H. The analysis of rotational shells using a curved ring element and the mixed variational formulation // Int. J. Numer Meth. Eng. 1976.- 10.-N4.-p.861-872.

136. Brebbia C.A., Hadid H.A. Analysis of plates and shells using finite elements // Pev. roum. sci techn. ser. mec. appl.- 1973. — 18. — N15. -p.939-962.

137. Chronowicz A., Strukt A. Stability of perforated cylindrical shells. P. 1-2. "Civil Eng. And Public Works Review", 60, №707, 1965, №708,1965.

138. Esposito R . sull 'instabilit a delle piastre anulari sottili uniformemente premute ai bordi. « RICERNA», 1968.

139. Fischer U. Untersuchung der elastischer Beeulung von kreisringplatten unter der Wirkung rotationssymmetrischer Randkrafte.

140. Gajewski A., Lyczkowsi M. Elastic-plastic buckling of some circular and annular plates.«Bul.Acad.polon.sci ser.sci.techn.», 14, № 561966.

141. Kikuchi F., Ando Y. A new variational functional for the finite element -method and its application to plate and shell problems // Nucl. Eng. Design. -1972.- N25. -p.95-113.

142. Meissner E. H. On the buckling of an annular plate.«Quart.Journ.of Mech. and Appl.Math.»,13, №7, 1926.

143. Meissner E. Uber das knicken kreisringformiger scheiben . «Schweizerische Bauzeitung»,Bd. 101,1933.

144. Monge G. Memoire sur 1'integration de quelques equation aux derivees partielles/ Mem. Ac. sci. 1787. -309 p.

145. Neki I.,Nagai K.,Fuke H. General purpose program of plane stress analysis of finite element method and its application // IH1 engineering rev.,1972.V.5,Nl.

146. Nelson R.L. Stresses in shell structures // J. Sound and Vibr. — 1981. -79.-N3.-p. 397-414.

147. Rao С. V. J.,Pickett G. Vibrations of plates irregular shapes and plates with holes.«J Aeronaut. Soc.India»,13, №3, 1961.

148. Schlack A. L. Elastic stability of pierced square plates. «Experim. mechan.», 4, №6,1964.

149. Schlack A. L. Experimental critical loads for perforated square plates .«Experim.Mechan.»,8, №2, 1968.

150. S en B. Vibration of plates with reinforced holes. M.S thesis., University of Wisconsin, 1960.

151. Tennyson R. C. The effects of unreinforced circular cutouts on the buckling of circulacylindrical chells under axial compression. «Trans.ASME90, №4, 1968.»

152. Wozniak Cz., Lielisski St. Nickt' re zagadnienia statecznoscikolistych plyt perforowanych. «Arch .inz-ii ladow»,8, №1, 1967.