автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Геометрические исследования, формообразование, разработка методов расчета и численный анализ напряженно-деформированного состояния тонкостенных оболочек сложной формы с системой плоских координатных линий

Основные обозначения.

Введение.

I. Краткий исторический обзор по геометрии поверхностей и методам расчета тонкостенных конструкций.

II. Геометрия поверхностей с семейством плоских координатных линий и конструирование оболочек.

2.1 Поверхности с семейством плоских координатных линий кривизны.

2.2. Нормальные поверхности с семейством плоских координатных линий.

2.3. Резные поверхности Монжа.

2.4. Линейчатые и развертывающиеся поверхности.

2.5. Плоскопараллельные поверхности. Поверхности переноса.

2.6. Циклические поверхности.

2.6.1. Каналовые поверхности.

2.7. Поверхности с системой плоских координатных линий в плоскостях пучка.

2.7.1. Циклические оболочки с окружностями в плоскостях пучка.

2.7.2. Линейчатые поверхности с образующими в плоскостях пучка.

2.7.3. Винтовые поверхности.

2.7.4. Уравнение поверхности с образующими в плоскостях пучка в сферической системе координат.

2.7.5. Поверхности Иоахимсталя.

2.8. Каналовые поверхности Иоахимсталя.

2.8.1. Циклиды Дюпена.

III. Методы расчета оболочек сложной формы по безмоментной теории.

3.1. Система уравнений безмоментной теории оболочек.

3.2. О приведении системы равновесия безмоментной теории оболочек к одному разрешающему уравнению.

3.2.1, Приведение системы уравнений равновесия безмоментной теории оболочек к одному разрешающему уравнению методом введения функции напряжений.,,,,.

3.2.2. Приведение системы уравнений равновесия безмоментной теории оболочек к одному разрешающему уравнению методом исключения неизвестных.

3.3. Разрешающее уравнение безмоментной теории оболочек в перемещениях.

3.4. О применимости метода разделения переменных в безмоментной теории оболочек.

3.5. Возможность приведения системы уравнений безмоментной теории оболочек со срединными поверхностями с семейством плоских координатных линий к одному разрешающему уравнению

3.6. Примеры расчета оболочек сложной геометрии по безмоментной теории.

3.6.1 Расчет отсека эпитрохоидальной оболочки по безмоментной теории.

3.6.2 Расчет трубчатой оболочки с плоской линией центров по безмоментной теории.

3.6.3 Пример расчета трубчатой оболочки с линей центров в форме эвольвенты круга на собственный вес.

IV. Вариационно-разностный метод расчета тонкостенных 204 пространственных конструкций.

4.1. Основные соотношения линейной моментной теории оболочек.

4.2. Матричная форма записи основных соотношений моментной теории оболочек.

4.3. Разностные производные функционала потенциальной энергии деформаций.

4.4. Граничные условия опирания оболочки.

4.5. Работа внешних сил.

4.6. Минимизация разностного функционала полной энергии де- 233 формаций. Система канонических уравнений.

4.7. Расчет внутренних усилий оболочки.

4.8. Расче^ оболочек с отверстиями и оболочек сложного очертания.

4.9. Расчет сопряженных отсеков оболочек.

4.10. Возможности расчета тонкостенных пространственных конструкций вариационно-разностным методом.

V. Расчет тонкостенных пространственных конструкции сложной геометрии.

5.1. Программный комплекс по расчету тонкостенных пространственных конструкций сложной геометрии и формы.

5.2. Формообразование оболочек на основе параболо-синусоидальных резных поверхностей.

5.3. Исследование напряженно деформированного состояния полуволновых параболо-синусоидальных оболочек в форме резных поверхностей.

5.3.1, Параболо-синусоидальная оболочка положительной Гауссовой кривизны.

5.3.2. Параболо-синусоидальная оболочка отрицательной Гауссовой кривизны.

5.4. Исследование напряженно-деформированного состояния многоволновых параболо-синусоидальных оболочек в форме резных поверхностей.

5.4.1. Расчет многоволновой оболочки с двумя плоскостями симметрии.

5.4.2. Расчет многоволновой синусоидальной оболочки на параболо-трапециевидном плане.

5.5. Расчет параболо-синусоидальной оболочки с отверстием.

Актуальность. Тонкостенные конструкции, обладая высокой прочностью, экономичностью и большим разнообразием форм, находят широкое применение в различных областях техники, машиностроении, приборостроении, авиации и космонавтике, промышленном и гражданском строительстве. В большинстве случаев формы, используемые в реальных тонкостенных конструкциях, относятся к довольно узкому классу поверхностей: цилиндрические и конические поверхности, поверхности вращения, поверхности переноса. В то же время, очень часто конструкции, используемые в химическом машиностроении, космонавтике и авиастроении требуют создания более сложных пространственных форм. Примером могут служить корпуса больших вентиляторов, циклических камер гидротурбин, соединения трубопроводов разных диаметров, пересекающихся под углом, и т.д. Особенно широко многообразие пространственных форм, которые могут использоваться в строительстве промышленных, спортивных и общественных сооружений, для придания сооружениям архитектурной выразительности. Поэтому, расширение класса новых пространственных форм является одной их актуальных задач строительной теории. При этом в большинстве случаев приходится начинать с изучения геометрии срединных поверхностей оболочек, способов их формообразования и получения геометрических параметров, используемых при расчете тонкостенных конструкций на прочность и устойчивость.

Аналогичная задача стоит и в развитии методов расчета новых конструктивных форм. Аналитические методы расчета, используемые для оболочек вращения, цилиндрических и других оболочек простейших форм, чаще всего становятся неприменимы из-за усложнения систем уравнений, описывающих напряженно деформируемое состояние пространственных конструкций сложной геометрической формы. Применяемые в расчетной практике численные методы расчета, в том числе широко используемый метод конечных элементов, для объектов со сложной геометрией и формой, требуют доработки.

Изучаемые в работе поверхности с семейством плоских координатных линий включают в себя как частный случай классические виды поверхностей: цилиндрические и конические, поверхности вращения, переноса, так и более сложные поверхности: циклические, резные поверхности Монжа, линейчатые и торсовые поверхности, поверхности Иоахимсталя, в том числе каналовые поверхности Иоахимсталя и циклиды Дюпена. Векторная форма задания уравнений поверхностей, отражает процесс их формирования и наиболее целесообразна при исследовании геометрических свойств поверхностей.

Сказанное выше подтверждает актуальность темы диссертации.

Целью диссертационной работы является:

1. Изучение законов формообразования поверхностей с системой плоских координатных линий.

2. Вывод векторных уравнений поверхностей, образуемых движением трансформирующейся плоской кривой вдоль пространственной направляющей кривой.

3. Исследование геометрических параметров поверхностей на формообразование и вырождение.

4. Вычисление коэффициентов, описывающих внутреннюю и внешнюю геометрию классов поверхностей.

5. Разработка методов расчета, алгоритмов и вычислительных программ для оболочек сложной формы на основе вариационно-разностного метода.

6. Разработка метода и алгоритма расчета сопряженных отсеков оболочек одного или разных классов геометрии на базе вариационно-разностного метода и метода глобальных элементов.

-107. Исследование напряженно-деформированного состояния оболочек сложной геометрии и изучение возможностей применения безмоментной теории их расчета. Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Получены векторные уравнении, описывающие целые классы поверхностей с семейством плоских координатных линий.

2. На основе общих векторных уравнений как частные случаи исследованы подклассы и группы поверхностей, включающие традиционные, широко используемые в различных областях техники, поверхности, и показана возможность вырождения сложных поверхностей в канонические поверхности.

3. Приведены условия образования поверхностей с семейством плоских координатных линий главных кривизн, на основе которых получены уравнения поверхностей Иоахимсталя, резных поверхностей Монжа, торсовых поверхностей, циклид Дюпена.

4. Исследованы возможности безмоментной теории оболочек: получены условия, при выполнении которых уравнения безмоментной теории оболочек приводятся к одному разрешающему уравнению; получены условия, при выполнении которых в безмоментной теории оболочек применим метод разделения переменных; разработаны аналитические методы решения уравнений безмоментной теории оболочек; проведены расчеты оболочек сложной геометрии по безмоментной теории.

5. Разработан алгоритм расчета оболочек вариационно-разностным методом с использованием теории матриц. Алгоритм реализован в виде программного комплекса.

6. На основе вариационно-разностного метода и метода глобальных элементов разработан алгоритм расчета сопряженных отсеков оболочек.

Проведены численные расчеты и исследовано напряженно-деформированное состояние полуволновых и многоволновых параболо-синусоидальных оболочек, в том числе оболочки с отверстием. Практическая ценность диссертации состоит в:

- исследовании законов формообразования поверхностей с семейством плоских координатных линий, позволяющих конструировать тонкостенные конструкции новых форм; выводе векторных уравнений и исследовании геометрических параметров нескольких классов поверхностей;

- разработке методов расчета, учитывающих особенности геометрии тонкостенных конструкций,

- разработке алгоритмов и программ расчета тонкостенных конструкций с системой плоских координатных линий;

- разработке библиотеки кривых и поверхностей, позволяющей конструировать и рассчитывать тонкостенные пространственные конструкции традиционных и новых неканонических геометрических форм.

Программный комплекс по расчету тонкостенных конструкций вариационно-разностным методом может использоваться в проектных и научно-исследовательских организациях при исследовании напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций с системой плоских координатных линий.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и результатов.

Геометрические исследования проведены на основе методов классической дифференциальной геометрии и их корректность подтверждается, совпадением с известными в литературе определениями и формулами для частных форм поверхностей. Общие результаты безмоментной теории также подтверждаются, частными случаями- полученными другими авторами.

Алгоритм вариационно-разностного метода и программный комплекс апробированы на тестовых примерах для частных видов конструкций. Доказана сходимость вычислительного процесса при расчете на последовательно сгущающейся сетке.

Внедрение. Результаты геометрических исследований использованы в подготовленной к изданию монографии «Аналитические поверхности», написанной в соавторстве с С.Н. Кривошапко и С.М. Халаби.

Программный комплекс используется в учебном процессе при выполнении курсовых работ по курсу «Аналитические и численные методы расчета конструкций», а также неоднократно использовался на кафедре строительных конструкций и сооружений инженерного факультета РУДН для расчета сложных конструктивных форм при выполнении дипломных работ и магистрских диссертаций при проведении научных исследований.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и публиковались в трудах и тезисах научно-технических конференций:

- III конференция научно-учебного цента «Применение физикохимических методов исследований в науке и технике», Москва, УДН, 1990 г., секция механики деформируемого твердого тела и технической кибернетики.

- XXXI научная конференция факультета физико-мате-матических и естественных наук РУДН, Москва 15-23 мая, 1995 г.

- Российско-Польские семинары «Теоретические основы строительства», Варшава 02-05 июля 1996 г.; Москва 02-05 июля 1997 г.

- Международный конгресс МКПК-98 «Пространственные конструкции в новом строительстве и при реконструкции зданий и сооружений», 22-26 июня 1998 г., Москва, Россия.

- Международная конференция «Актуальные проблемы механики оболочек», Казань, 26-30 июня 2000 г.

- Международная научная конференция «Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы», Москва, 4-8 июня 2001 г.

- Международная научно-техническая конференция «Пространственные конструктивные системы зданий и сооружений, методы расчета, конструирования и технология возведения», Минск, 10-12 октября 2001 г.

- The 10-th International Conference on Geometry and Graphics, July 29-August 2,2002, Kiev, Ukraine.

- Украинско-Российская научно-практическая конференции «Современные проблемы геометрического моделирования», 19-22 апреля 2005 г., г. Харьков, Украина.

- Научная сессия МОО «Пространственные конструкции», Москва, 20 декабря 2005 г.

- XIV-XXXV научно-технические конференции профессорско-преподавательского состава инженерного факультета РУДН, секция строительной механики (1985-2005 г.г.).

По теме диссертации опубликовано 69 работ, в том числе 1 монография, 11 статей в центральных журналах, 15 докладов и 8 тезисов докладов на научно-технических конференциях,

Диссертация состоит введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения.

В первой главе приведен краткий обзор по геометрии поверхностей, по теории и методам расчета оболочек сложной геометрии, численным методам расчета оболочек, включая вариационно-разностный метод.

Во второй главе проводятся геометрические исследования поверхностей с системой плоских координатных линий. Получены векторные уравнения поверхностей на основе задания направляющей и плоской образующей линий и закона движения и трансформации образующей коивой в пооиессе ее движения вдоль напсавляюшей коивой и поверхностей образуемых системой плоских образующих линий в плоскостях пучка.

В третьей главе рассмотрен ряд общих вопросов безмоментной теории оболочек. Исследованы условия, при которых уравнения равновесия и геометрические уравнения (уравнения перемещений) приводятся к одному разрешающему уравнению. Проведены расчеты отсека эпитрохоидальной оболочки и трубчатой оболочки с линией центров - эвольвентой круга.

В четвертой главе описан алгоритм вариационно-разностного метода для расчета оболочек сложной геометрии, в том числе оболочек с отверстиями, и алгоритм метода глобальных элементов для расчета сопряженных отсеков оболочек.

В пятой главе приведены расчеты, таблицы и графики внутренних усилий полуволновых оболочек положительной и отрицательной Гауссовой кривизны и многоволновых оболочек в форме резных параболо-синусоидальных поверхностей. Проводится анализ их напряженно-деформированного состояния.

В заключении отражены результаты и выводы по итогам исследований.

Часть результатов, представленных в работе, получена в соавторстве с аспирантами, ныне кандидатами наук:

Жилем улбе Матье Камерун) - разработка алгоритма, программы и проведение численных расчетов эпитрохоидальной оболочки по безмоментной теории;

Насром Юнесом Аббуши (Палестина), Ризваном Мухаммадом (Пакистан) - разработка алгоритма и программы расчета тонкостенных конструкций сложной геометрии вариационно-разностным методом.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1 Впервые получены векторные уравнения: а) поверхностей образуемых движением плоской, трансформируемой кривой вдоль пространственной кривой. б) поверхностей, образуемых системой плоских трансформирующихся кривых, расположенных в плоскостях пучка.

Векторные уравнения отражают процесс формообразования поверхностей и технологию возведения на строительной площадке пространственных конструкций, создаваемых на основе этих поверхностей.

2. Получены формулы коэффициентов основных квадратичных форм поверхностей с системой плоских координатных линий.

3. На основе общих уравнений получены уравнения подклассов поверхностей с системой плоских координатных линий: нормальных поверхностей с системой плоских координатных линий, лежащих в нормальной плоскости направляющей кривой; циклических поверхностей с системой окружностей переменного радиуса; линейчатых поверхностей с системой прямых образующих; поверхностей с плоскостью параллелизма с системой плоских координатных линий параллельных заданной плоскости (поверхности переноса при нетрансформирующейся плоской образующей).

Для всех подклассов поверхностей из общих формул получены формулы коэффициентов квадратичных форм.

4. Получено условие, при выполнении которого, семейство плоских координатных линий является семейством линиями главных кривизн поверхности.

На основе условия получены уравнения и коэффициенты квадратичных форм поверхностей в линях главных кривизн: резных поверхностей

Монжа с произвольной направляющей; торсовых (развертывающихся) поверхностей; каналовых поверхностей Иоахимсталя; циклид Дюпена.

Получены условия образования каналовых поверхностей (образующие окружности являются линиями кривизны) с произвольной направляющей.

Доказано, что из семейства нормальных циклических поверхностей ка-наловыми поверхностями являются только поверхности вращения (направляющая прямая линия) и трубчатые поверхности (нормальные циклические поверхности постоянного радиуса). Показано, что утверждение, имеющиеся в ряде литературных источников, что любая нормальная циклическая поверхность является каналовой - ошибочно.

5. Решены вопросы общей безмоментной теории оболочек: а. Получены 4 условия, при выполнении каждого из которых уравнения равновесия безмоментной теории приводятся к одному разрешающему уравнению путем введения функции напряжений, либо методом исключения неизвестных. Для всех вариантов получены формулы функций напряжений и разрешающие уравнения.

6. Показано, что при выполнении тех же условий геометрические уравнения (уравнения деформаций) также приводятся к одному разрешающему уравнению. Получены формулы функций обобщенных перемещений и разрешающие уравнения. в. Получены условия, при выполнении которых, для разрешающих уравнений безмоментной теории оболочек применим метод разделения переменных. Приводятся уравнений, получаемые на основе метода разделения переменных. б. Разработаны методики расчета оболочек неканонических форм, удовлетворяющих определенным граничным условиям по безмоментной теории с использованием метода Бубнова -Галеркина и разностного метода прямых.

7. Поведены расчеты эпитрохоидальной и трубчатой оболочек по безмоментной теории. В расчете использовались собственные функции разрешающих уравнений - ортогональные полиномы Гегенбауэра и функций Бесселя (Эйри).

8. Разработан алгоритм расчета оболочек традиционных и неканонических форм, срединная поверхность которых задается в ортогональной системе поверхностных координат, в том числе оболочек с отверстиями и тонкостенных конструкций на произвольном контуре, вариационно-разностным методом.

При разработке алгоритма введены матрицы коэффициентов при производных функций перемещений (включают коэффициентов квадратичных форм, кривизны и их производные до второго порядка) и матричные операторы разностного дифференцирования, что позволило записать функционал потенциальной энергии в матричной форме.

9. Разработан алгоритм расчета сопряженных отсеков оболочек на основе вариационно-разностного метода и метода глобальных элементов.

10. Разработан программный комплекс, реализующий расчет тонкостенных конструкций классических и нетрадиционных форм сложной геометрии вариационно-разностным методом

В программный комплекс включена библиотека кривых, позволяющая конструировать и рассчитывать тонкостенные конструкции сложных форм, образуемых движением плоской кривой по направляющей кривой.

12. Поведена серия расчетов полуволновых и многоволновых оболочек в форме резных параболо-синусоидальных поверхностей.

13. Исследована сходимость расчета тонкостенных конструкций на основе вариационно-разностного метода.

14. Проведен расчет и сравнительный анализ параболо-синусоидальной оболочки без отверстия и с отверстием.

15. Проведен анализ напряженно-деформированного состояния рассчитываемых конструкций.

Заключение

Отметим основные результаты, полученные в работе.

1. Исследована геометрия класса поверхностей, задаваемых на базе определителя: - направляющая - образующая. Впервые получено векторное уравнение поверхности общего вида с системой плоских координатных линий. Получены формулы коэффициентов основных квадратичных форм. На основе общего уравнения поверхностей с системой плоских координатных линий, получены уравнения и формулы квадратичных форм частных видов поверхностей: нормальных поверхностей с системой плоских координатных линий, линейчатых поверхностей, циклических поверхностей, плоскопараллельных поверхностей, поверхностей переноса.

Получено условие, при выполнении которого, система плоских координатных линий является системой линий кривизны поверхности. На основе условия получены векторные уравнения, коэффициентов квадратичных форм и радиусов кривизны: торсовых поверхностей, резных поверхностей, каналовых поверхностей, поверхностей вращения.

Показано, что образующие окружности нормальных циклических поверхностей (образующие окружности лежат в нормальной плоскости линии центров) не являются, в общем случае, линиями кривизны - поверхности не является каналовыми. В то же время как, в ряде литературных источниках утверждается обратное.

Получено векторное уравнение и коэффициенты основных квадратичных форм поверхностей с системой плоских координатных линий в плоскостях пучка, являющегося подклассом поверхностей с системой плоских координатных линий. Получены уравнения и коэффициенты квадратичных форм линейчатых поверхностей с системой образующих прямых в плоскостях пучка и в частности конусных поверхностей, винтовых поверхностей, циклических поверхностей с окружностями в плоскостях пучка.

На основе условия - образующие окружности в плоскостях пучка являются линиями кривизны, получено условие и доказаны три способа образования каналовых поверхностей Иоахимсталя. Поучены векторное уравнение и формулы коэффициентов квадратичных форм и радиусов кривизны. Уравнение не имеет аналогов в литературных источниках.

На базе уравнения каналовых поверхностей Иоахимсталя получены уравнения и формулы коэффициентов квадратичных форм циклид Дюпена 4-го и 3-го порядка - двухканаловых поверхностей. Отметим, что полученные уравнения циклид Дюпена, полученные как частный случай каналовых поверхностей Иоахимсталя, отражают процесс формообразования поверхности. В литературе авторами обычно используются уравнения циклид Дюпена, полученные как огибающие двухпараметрического семейства сфер [18, 229,230]. Это либо алгебраические уравнения 4-го (3-го) порядка, либо параметрические уравнения, которые не отражают процесс формообразования поверхности. Например, параметрические уравнения циклид Дюпена 4-го порядка имеют вид [18]: a([i-acosv)chu + c(cchu±[i)cosv cchu±a cosv bicchu ±u)sinv y = —---; cchu±a cosv b{\i- acosv)shu cchu±a cosv

Здесь a, b, с, - параметры полярных кривых (эллипс, гипербола), на которых расположены центры сфер, огибающей которых является Циклида Дюпена, р - параметр, определяющей взаимное положение полярных кривых. Эти параметры не имеют отношения к параметрам циклиды Дюпена, хотя и связаны с ними. Кроме того, двойной знак (±) в числителе и знаменателе параметрических уравнений не позволяет его использовать эти уравнения для всей поверхности. Знаки + и - разделяют поверхность на два неравномерных сектора. Эту особенность необходимо учитывать и при расчете оболочек в форме циклид Дюпена, если линия разделения секторов находится в пределах конструкции оболочки. В предлагаемых в диссертации уравнениях циклид Дюпена таких особенностей нет, вся поверхность описывается единым уравнением.

Сравнение формул коэффициентов квадратичных форм и радиусов кривизны для частных видов поверхностей: линейчатых и торсовых поверхностей, поверхностей вращения, поверхностей переноса с соответствующими формулами, имеющимися в литературных источниках, показывают их полную идентичность. Это подтверждает корректность общих уравнений поверхностей с системой плоских координатных линий и полученных на их основе формул.

На основе полученных в диссертации уравнений в системе MathCad построены рисунки поверхностей с различными направляющими и образующими кривыми. Рисунки приводятся в тексте диссертации. В приложении приведена теория сферических кривых и поверхностей с системой плоских координатных линий с направляющими на опорной сфере.

2. Проведены исследования безмоментной теории оболочек.

Получены условия, налагаемые на геометрические параметры срединной поверхности оболочки, при выполнении которых уравнения равновесия безмоментной теории оболочек приводятся к одному разрешающему уравнению введением функций напряжения или методом исключения неизвестных. Получены разрешающие уравнения. Впервые рассмотрены все возможные варианты таких преобразований для уравнений безмоментной теории оболочек для произвольной системы линий кривизны

Впервые получены аналогичные условия для приведения геометрических уравнений безмоментной тории к одному разрешающему уравнению и получены виды разрешающих уравнений.

Получены условия, при выполнении которых, для решения разрешающих уравнений безмоментной теории оболочек в усилиях и перемещениях может быть применен метод разделения переменных.

Проведены расчеты оболочек сложной геометрии по безмоментной теории. а). Расчет эпитрохоидальной оболочки на действие собственного веса. Для разрешающего уравнения, полученного введением функции напряжений, применен метод разделения переменных. При расчете использовались собственные функции разрешающего уравнения - ортогональные полиномы Гегенбауэра. Проведен расчет перемещений эпитрохоидальной оболочки. В расчете использовалось разрешающее уравнение в перемещениях, тип которого аналогичен разрешающего уравнения в усилиях. Построены графики внутренних тангенциальных усилий и перемещений оболочки. б). Расчет трубчатой оболочки на действие собственного веса. Применен разностный метод прямых. Система разностных дифференциальных уравнений приведена к одному разрешающему, для решения которого использовались собственные функции - функции Эйри. Получены рекуррентные формулы определения внутренних усилий на разностной продольной сетке. Построены графики внутренних усилий.

3. Разработан алгоритм расчета оболочек сложной геометрии в произвольной ортогональной системе координат вариационно-разностным методом.

Алгоритм учитывает внутреннюю и внешнюю геометрии срединных поверхностей оболочек, используя в расчете явные формулы коэффициентов квадратичных форм и радиусов кривизны и их производных до второго порядка. При разработке алгоритма введены матрицы коэффициентов при производных тангенциальных и изгибных деформаций срединной поверхности оболочек, а также матрицы разностных операторов, что позволило описать весь алгоритм в вектрно-матричной форме.

Алгоритм включает расчет оболочек с отверстием и оболочек на сложном, не совпадающем с координатной сеткой контуре.

Разработан программный комплекс «VrmShell», реализующий алгоритм расчета оболочек сложной геометрии вариационно-разностным методом. Программный комплекс включает библиотеку кривых и поверхностей, позволяющую конструировать и рассчитывать различные типы оболочек с системой плоских координатных линий с ортогональной системой поверхностных координат. В библиотеке заданы параметрические уравнения кривых и производные до 4-го порядка, что позволяет автоматически рассчитывать коэффициенты первой квадратичной формы и радиусы кривизны срединной поверхности оболочки, а также необходимые производные этих параметров. Уравнения кривых включенных в библиотеку программного комплекса приведены в приложении.

Оболочки могут иметь различные условия опирания, как контуре оболочки, так и в произвольном сечении. Возможно точечное опирание в узлах разностной сетки, в том числе, на точечные упругие опоры и упругое опирание по линиям разностной сетки. Расчет может быть проведен на нормальные и касательные линейно распределенные по площади и по линиям координатной сетки нагрузки, на сосредоточенные в узлах разностной сетки нагрузки, а также на нагрузки типа собственного веса, заданные в глобальной системе координат. Используется моментная распределенная по координатной линии нагрузка.

Разработан алгоритм расчета сопряженных отсеков оболочек одинаковой или различной геометрии методом глобальных элементов. Разрабатывается модуль программного комплекса для расчета сопряженных отсеков оболочек.

Программный комплекс включает возможность расчета плоской задачи теории упругости и расчета изгиба пластин в прямоугольной и полярной системах координат.

При отладке программного комплекса была проведена серия тестовых расчетов пластин, пологих, цилиндрических, конических и сферических оболочек, результаты которых сравнивались с точными и приближенными решениями известными в литературе. Сравнения показали хорошее совпадения с известными результатами. Тестовые расчеты приведены в статьях, а также в диссертациях аспирантов Насра Аббуши [160] и Ризвана Мухаммада [191].

4. Проведена серия расчетов оболочек с резными параболо-синусоидальными срединными поверхностями (направляющая - парабола, образующая - синусоида) вариационно-разностным методом.

Показано разнообразие вариантов конструкций оболочек на основе одного типа направляющей и одного вида образующей кривых за счет варьирования параметров кривых.

Проведены расчеты полуволновых оболочек положительной и отрицательной гауссовой кривизны, а также многоволновых оболочек. Исследована сходимость результатов расчета на сгущающейся сетке.

Проведены расчеты напряженно-деформированного состояния многоволновых оболочек с вертикальным положением направляющей параболы. Показано, что для многоволновых оболочек крайние полуволны оболочки полуволн можно рассчитывать без учета влияния условий опирания противоположного края оболочки. Напряженно-деформированное состояние средних полуволн многоволновой оболочки с числом полуволн более 7 стабилизируется и его можно рассчитывать, рассматривая отдельно среднюю полуволну. Проведен сравнительный анализ напряженно деформированного состояния оболочек с 7 и 9 полуволнами и расчет среднего отсека оболочки. Результаты расчета подтвердили сделанные выводы.

Проведен расчет многоволновой оболочки на криволинейно-трапециевидном плане при горизонтальном положении направляющей параболы. Проведен анализ влияния на напряженно деформированное состояние оболочки стрелы подъема синусоиды при одинаковом шаге волны образующей синусоиды.

Проведен расчет параболо-синусоидальной оболочки с большим отверстием. Для сравнение проведен расчет аналогичной оболочки без отверстия. Показаны зоны концентрации напряжений в зоне отверстия.

Проведен анализ напряженно-деформированного состояния рассчитываемых оболочек. Результаты расчета представлены в виде таблиц и графиков внутренних усилий и напряжений в характерных сечениях. Приведены таблицы и графики внутренних усилий и напряжений в сечениях оболочек.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. -М.: Наука, 1978. -288 с.

2. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П., Савченко В.И. Численные методы в теории упругости и теории оболочек. -Красноярск: Изд-во Красноярского ун-та, 1986. -384 с.

3. Агапов В.П. Основные соотношения МКЭ в статических и динамических расчетах геометрически нелинейных конструкций// Строительная механика и расчет сооружений. -1984. № 5. -С. 43-47.

4. Агапов В.П. Реализация расчетов вынужденных колебаний в вычислительном комплексе «ПРИНС»// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений/ Межвузовский Сборник научных трудов, 1994. -Вып. 11. -И.: Изд-во АСВ, 2002. -С. 76-79.

5. Агапов В.П. Метод конечных элементов в статике, динамике и устойчивости конструкций. -М.: Изд-во АСВ, 2004. -248 с.

6. Аксентян К.Б., Гордеев-Гавриков В.К. Энергетический метод расчета оболочек усложненной формы. Ростов: Изд-во Ростовского ун-та, 1976.-320 с.

7. Александров А.В., Лащенков Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. -М.: Стройиздат, 1983.-488 с.

8. Александров А.В., Косицын С.Б., Косицын А.С. Нетрадицтонные модели метода конечных элементов высокого порядка // Теоретические основы строительства. Сб. научн. тр. -М.: Изд-во АСВ, 1996. -С. 26-30.

9. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. -М.: Наука, 1974. -466 с.11 .Андреев JI.B. В мире оболочек от живой клетки до космического короб-ля. -М.: «Мир»,, 1990

10. М.Баженов ВТ., Чекмарев Д. Т Вариационно-разностные схемы в нестационарных волновых задачах динамики пластин и оболочек// Н. Новгород: Изд-во Нижегор. ун-та, 1992.

11. Ъ.Басов Ю.К. Исследование колебаний пологой оболочки в форме гипарана прямоугольном плане: Дис.канд. техн. наук. -М.: УДН, 1976. 112 с.

12. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках.-М.: «Мир» , 1984. -404 с.

13. П.Богданова О.М. К исследованию сходимости вариационно-разностной схемы для расчета оболочек //Пространственные конструкции в красноярском крае: Межвуз. тематический сборник научных трудов. -Красноярск: Краснояр. ин-т, 1986. -С. 48-56.

14. Бойков И.К. Геометрия циклид Дюпена и их применение в строительных объектах//Расчет оболочек строительных конструкций. -М.: УДН, 1982. -С. 116-129

15. Бранков Г.Й. Някои въпроси от моментната и безмоментната теория на черупките. трудове на научноизследовательския строителен институт -София, 1959-№2.

16. Вайнберг Д.В. и др. Вывод сеточных уравнений изгиба пластин вариационным методом. в кн.: Сопротивление материалов в теории сооружений. К.: «Будевильник», 1965.

17. Вайнберг Д.В., Синявский A.JI. Дискретный анализ в теории пластин и оболочек // Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. -М.: Наука, 1966. -С. 209-214.

18. Вайнберг Д.В. Концентрация напряжений в пластинках около отверстий и выкружек. Справочное пособие. -Киев: Изд-во «Техника», 1969.

19. Варвак П.М., Варвак ЯЛ. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. -М.: Стройиздат, 1977. -154 с.

20. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. — М.: Мир, 1987. -544 с.

21. Василенко В.А. Сплайн Функции; Теория, алгоритмы, программы. -Новосибирск: Изд-во «Наука», Сибирское отделение, 1983. -112 с.

22. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. -М.: ГИТТЛ, 1949. 784 с.

23. Власов В.З. Избранные труды. -М.: Изд-во АН СССР, т. 1. 1962, 528 е.; т. 2,1963,508 е.; т. 3,472 с.

24. Волков А.Н. Напряженно-деформированное состояние замкнутой цилиндрической оболочки с прямоугольным вырезом/ЛГруды Университета дружбы народов им. П. Лумумбы: Т. XXX, Строительство. Вып. 4, Строительная механика. -М.: УДН, 1968. -С. 84-102.

25. Выгодский М.Я. Дифференциальная геометрия. -М., Л.: ГИТТЛ, 1949. -512 с.

26. Галимов. К.Э., Паймушин В.Н. Теория оболочек сложной геометрии. -Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1985. -164 с.

27. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. -М.: Наука, 1981. -344 с.3в.Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. -М.: Гостехиздат, 1953.-544 с.

28. Граневский С.А. и др. Конструкции гидротурбин и расчеты их деталей. -М.: Машгиз, 1956. -178 с.

29. У&.Григоренко Я.М. Решение задач теории оболочек методами численного анализа//Прикладная механика. -1984, -т. 20, -№10. -С. 32-40.

30. Григоренко Я.М., Гуляев В.И., Гоцуляк Е.А., Ашури К. Напряженно-деформированное состояние трубчатых оболочек под действием равномерно распределенного давления//Прикладная механика, № 8, т. 1. — Киев: 1983.-С. 11-18.

31. Грицук С.И. Вариационно-разностный метод в задачах анизотропных пластин: Дис.канд. техн. наук. -Киев: Инж.-строит. ин-т, 1989.

32. Гузь А.Н., Чернышенко КС., Чехов Вал.Н., Чехов Вик.Н., Шнеренко К.И. Теория тонких оболочек ослабленных отверстиями/ТМетоды расчета оболочек t.I/Под общ. Ред. Акад. АН УССР А.Н. Гузя. -Киев: «Наукова Думка», 1980. 634 с.

33. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А., Гайдайчук В.В. Расчет оболочек сложной формы. -Киев: Будевильник, 1990. -190 с.

34. Длугач М.И. Метод сеток в смешанной задаче теории упругости. Киев: «Наукова думка», 1964. 260 с.

35. Зиновьева Р.В., Зиновьев Н.Ф., Фрактер A.M. Железобетонные плиты с отверстиями. М.: Стройиздат, 1975. -112 с.

36. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. -М.: Физматиздат, 1962.- 160 с.

37. Жиль-Улбе Матье. Алгоритм расчета эпитрохоидальной оболочки по без моментной теории в перемещениях // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. Вып.7. - Волгоград: Перемена, 1996.-С. 18-21.

38. Жиль-Улбе Матье. Расчет эпитрохоидальной оболочки в усилиях и в перемещениях: Дис. канд. техн. наук. -М.: РУДН, 1997. 134 с.

39. Жуковский Э.З. Шилобреев Ю.А. Шевченко О.В. Большепролетные пространственные конструкции в мировой практике // Строительная механика и расчет конструкций. 1990. - №5. - С. 87-91.

40. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. -М.: МИР, 1975. -542 с.

41. Иванов В.Н. Расчет трубчатых оболочек по безмоментной теории// Проектирование металлических конструкций. Вып.7(27), ЦНИСА Гос-строя СССР, - М.: 1970. - С. 88-95.

42. Иванов В.Н. Геометрия циклических поверхностей// Сб. научных трудов аспирантов инженерного факультета. Вып. VIII. - М: УДН, 1971. -С. 137-142.

43. Иванов В.Н. Расчет трубчатой оболочки с линией центров в форме эвольвенты круга на собственный вес// Сб. научных трудов аспирантов инженерного факультета. Вып. VIII. -М: УДН, 1971. - С. 143-151.

44. Иванов В.Н. Теория расчета оболочек в форме циклических поверхностей// Доклады научно-технической конференции инженерного факультета. -М.: УДН, 1971. С. 27-29.

45. Иванов В.Н. Расчет оболочек в форме циклических поверхностей: Дисс. . канд. техн. наук. М.: УДН, 1971.

46. Иванов В.Н., Ильиничев В.В. Расчет прямоугольных силосных конструкций на симметричную в плане постоянную по высоте температуру// Расчет и проектирование строительных конструкций. -М.: Изд-во УДН, 1989.-С. 74-80.

47. Иванов В.Н., Махмуд Хуссейн Аль-Хадж. Координатная сеть линий кривизны эпитрохоидальной поверхности// Исследования по строительной механике пространственных систем. -М.: Изд-во УДН, 1990. -С. 38-44.

48. Иванов В.Н., Махмуд Хуссейн Аль-Хадж. Расчет эпитрохоидальной оболочки по безмоментной теории// Расчет и проектирование гражданских и гидротехнических сооружений: Межвузовский сборник научных трудов, вып.З. -М.: МБК «Биоконтроь", 1994. С. 21-26.

49. Иванов В.Н. Об уравнениях безмоментной теории оболочек в форме каналовых поверхностей Иоахимсталя// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 4. - М.: МБК «Биоконтроль", 1994. - С. 83-85.

50. Иванов В.Н. Условия образования каналовых поверхностей// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 5. - М.: МБК «Биоконтроль",1995.-С. 7-16.

51. Иванов В.Н. Каналовые поверхности Иоахимсталя с плоской линией центров//Исследования пространственных систем: Материалы семинара кафедры сопротивления материалов РУДЫ. М.: Изд-во РУДН, 1996. -С. 32-36.

52. Ю.Иванов В.Н., Насер Юнее Аббуши. Исследования геометрии каналовых поверхностей Иоахимсталя// Проблемы теории и практики в инженерных исследованиях: Труды XXXIII научной конференции РУДН. М.: РУДН, 1997.-С. 115-118.

53. Иванов В.Н. Об условиях применения метода разделения переменных при решении задач безмоментной теории оболочек// Актуальные проблемы теории и практики инженерных исследований. М.: Изд-во «Машиностроение», 1999. - С. 258-260.

54. Иванов В.Н. Конструирование оболочек на основе каналовых поверхностей Иоахимсталя// Вестник Российского университета дружбы народов/Специальный выпуск: «Инженерные исследования», № 1. - М.: 2000.-С. 57-61.

55. А.Иванов В.Н., Наср Юнее Аббуши. Расчет оболочек сложной геометрии вариационно-разностным методом// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 9. -М.: Изд-во АСВ, 2000. - С. 25-34.

56. Иванов В.Н. Расчет тангенциальных усилий и перемещений эпитрохоидальной оболочки по безмоментной теории// Актуальные проблемы механики оболочек: Труды международной конференции, Казань 26-30 июня 2000 г. Казань: «Новое знание», 2000. - С. 206-211.

57. Иванов В.Н. Вариационные принципы и методы решения задач теории упругости. -М.: Изд-во РУДН, 2001.- 176 с.

58. Иванов В.Н., Ризван Мухаммад. Геометрия резных поверхностей Мон-жа и конструирование оболочек// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвузовский сборник научных трудов, вып. 11.-М.: Изд-во АСВ, 2002. С. 27-36.

59. Иванов В.Н. Некоторые аспекты геометрии циклид Дюпена// Вестник Российского университета дружбы народов/Серия: «Инженерные ис-следования»/Специальный выпуск «Геометрия и расчет тонкостенных пространственных конструкций», № 1.-М.:2002. -С. 12-21.

60. Иванов В.Н, Наср Юнее Аббуши. Архитектура и конструирование оболочек в форме волнистых, зонтичных и каналовых поверхностей Иоахимсталя// Монтажные и специальные работы в строительстве. М.: 2002.-С. 21-24.

61. Иванов В.Н. Вариационно-разностный метод и метод глобальных элементов в расчете сопряжений отсеков оболочек// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 12. - М.: Изд-во АСВ, 2003. - С. 34-41.

62. Иванов В.Н., Наср Юнее Аббуши. Расчет отсеков эпитрохоидальной оболочки вариационно-разностным методом// Вестник Российского университета дружбы народов/ Серия: Инженерные исследования. № 2,2003.-С. 13-18.

63. Иванов В.Н. Об одном подклассе нормальных циклических поверхно-стей//Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 13. -М.: Изд-во РУДН,2004.-С. 20-27.

64. Иванов В.Н., Бок Кристиан. К расчету оболочек с отверстиями вариационно-разностным методом//Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 13. - М.: Изд-во РУДН, 2004. - С. 50-55.

65. Иванов В.Н. Об одном алгоритме вычисления частного двух функций// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений, № 1,2005.-С. 40-42.

66. Иванов В.Н., Говинд Ламичхане. Связь поверхностной и глобальной систем координат для резных поверхностей Монжа//Строительная механика инженерных конструкций и сооружений, № 1, 2005. С. 43-48.

67. Иванов В.Н., Бок Кристиан. Расчет плотин треугольного и трапециевидного профилей вариационно-разностным методом// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений, № 1, 2005. -С. 71-78.

68. Иванов В.Н. Конструирование оболочек на основе параболо-синусоидальных поверхностейУ/Строительная механика инженерных конструкций и сооружений, № 2, 2005. С. 15-25.

69. Иллюстрированный толковый словарь русской научной и технической лексики. М.: «Русский язык», 1994. - 800 с.

70. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей. М., Д.: ОГИЗ, 1947, т. 1. -512 с.; 1948, т. 2. 408 с.

71. Казаков ВМ. Каркас поверхностей изогнутой отсасывающей трубы гидротурбин// Труды УДН, математика, прикладная геометрия: т. LIII. -Вып. 4. -М.: 1971.-С. 98-102.

72. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы анализа. М., JI.: Гостехиздат, 1952.-695 с.

73. Караманский М.Д. Чис,ленные методы строительной механики. М.: Наука, 1976.-520 с.

74. Кармишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов В.И., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных конструкций. -М.: «Машиностроение», 1975. -376 с.

75. Касабъян Л.В. Приближенный расчет железобетонных спиральных камер высоконапорных ГЭС//Применение железобетона в машиностроении. Сб. статей. -М.: «Машиностроение», 1964. С. 458-472.

76. Квитка АЛ., Вооршко П.П., Бобрицкая С.Д. Напряженно-деформированное состояние тел вращения. Киев: «Наукова Думка», 1977.-208 с.

77. Кириллов С.В. Параметрические уравнения некоторых спиралевидных поверхностей// Кибернетика, графика и прикладная геометрия поверхностей. Труды МАИ. -М.: МАИ, 1974. -С. 112-124.

78. Козлов А.Т. К расчету пологого эллиптического параболоида на криволинейном плане: Дис.канд. техн. наук. -М.: УДН, 1974. -153 с.

79. Копытко М.Ф., Муха КС., Савула Я.Г. Задачи статики и динамики для оболочек сложной геометрии// XIII Всесоюзная конференция по теории пластин и оболочек, Таллин, 1983. -С. 121-124.

80. Корнеев ВТ. Сопоставление метода конечных элементов с вариационно-разностным методом решения задач теории упругости. -Изв. ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1967, 83. -С. 286-307.

81. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Фирсов В.А. К решению двухмерных задач механики деформирования оболочек сложной геометрии // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: Изд-во АН УзССР, 1980. - вып.60. - С. 70-76.

82. Корнишин М.С., Файзуллина М.А. Обзор работ по расчету на изгиб и устойчивость пластин и оболочек сложного очертания. Казан, физ.-техн. ин- Казань., 1986. 36 с. - Рук. деп. в ВИНИТИ N8071- В86 от 1.12.86 г.

83. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Снигерев В.Ф. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек. М.: Наука, 1989. - 208 с.

84. Корнишин М.С., Якупов Н.М. Сплайновый вариант метода конечных элементов для расчета оболочек сложной геометрии//Прикладная механика. Т.23, № 3,1987. -С. 38-44.

85. Косицын С.Б. Метод построения базисных функций для искривленных элементов с учетом жесткого смещения// Исследования по строительным конструкциям и их элементам. -М.: ЦНИИСК, 1982. -С. 17-27.

86. Косицын С.Б. К вопросу построения конечно-элементных моделей, точно описывающих заданные искривленные границы и удовлетворяющие условиям сходимости// Исследования и расчет строительных конструкций. -М.: ЦНИИСК, 1983. -С. 32-41.

87. Косицын С.Б. К расчету тонкостенных оболочечных систем методом конечных элементов// Численные методы решения задач строительноймеханики транспортных сооружений/ Межвузовский сборник научн. тр. М.: МИИТ, 1990. - С. 25-32.

88. Котельников Г.В., Климин С.М., Булгаков В.А. Особенности напряженно-деформированного состояния пространственного покрытия с большим проемом// Исследования по строительной механике/ Сб. научн. тр. -М.: ЦНИИСКим.В.А.Кучеренко, 1985.-С. 104-117.

89. Котов И.И. Об одном методе исследования циклических поверхностей// Труды ВЗЭИ. Вып. 13. - М.: 1958. - С. 51-60.

90. Крапфенбауэр Р. Строительство оболочек в Австрии// Большепролетные оболочки: Межд. конгресс в Ленинграде. -М. Строийиздат, 1969, т. 2.-С. 319-320.

91. Крауч С., Старфшд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: «Мир», 1987. - 328 с.

92. Кривошапко С.Н. Расчет торсовых (невырожденных) оболочек в криволинейных неортогональных координатах: Дис. канд. техн. наук. -М.: УДН, 1980.- 149 с.

93. Кривошапко С.Н. Геометрические исследования и напряженно-деформированное состояние тонких упругих торсовых оболочек: Дис. док. техн. наук. -М.: УДН, 1995. -149 с.

94. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник. -М.: Изд-во УДН, 1991.-287 с.

95. Кривошапко С.Н. Обзор современного состояния теории оболочек сложной геометрии и оболочек в форме аналитически неопределимых поверхностей// Монтажные и специальные работы в строительстве. -1998,№5.-С. 24-28.

96. Кришна РеддиГ.В. Расчет оболочек в форме циклид Дюпена: Дис. . канд. техн. наук. -М.: УДН, 1966. 157 с.

97. Кришна Редди Г.В. О разрешающих уравнениях безмоментной теории некоторых типов оболочек//Строительная механика: Тр. УДН. Т. 48. Вып. 6., серия «Строительство». М.: УДН, 1970. - С. 148-156.

98. Крылов В.И., Бобков В.В, Монастырский П.И. Вычислительные методы. М.: Изд-во «Наука», Т. 1., 1976. 304 е.; Т. 2. - 1977. - 400 с.

99. Кузнецов Д.С. Специальные функции. М.: Изд-во «Высшая школа», 1965.-424 с.

100. Куликов ME. Вариационно-разностный метод расчета гибких непологих оболочек анизотропных оболочек: Дис.канд. техн наук. -Урал.политехи, ин-т им. С,М. Кирова.

101. Лебедев В.А. Тонкостенные зонтичные оболочки. -JL: Госстройиздат, 1958.-172 с.

102. Левитанский Ю.И., Иванов В.Н., Исследование фланцевых соединений численными методами// Изготовление металлических и монтаж строительных конструкций/Экспресс-информация. -М.: ЦБНТИ, Мин-монтаж-спецстрой СССР, 1987, вып.8. С. 21-23.

103. Лейбензон Л.С. Вариационные методы решения задач теории упруго-сти//Собрание трудов, т. 1. М.: Изд-во Академии Наук СССР, 1951. -468 с.

104. Ляв А. Математическая теория упругости. М., JL: ОНТИ, 1935. -674 с.

105. Маковенко С.Я. Расчет узла сопряжения двух цилиндрических оболо-чек//Проектирование металлических конструкций. Вып. 7 (27). - М.: ЦИНИСиА , 1970. - С. 34-47.

106. МарчукГ.И. Методы вычислительной математики. -М.: Изд-во «Наука», 1977. 456 с.

107. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: «Наука», 1981. - 416 с.

108. Махмуд Хуссейн Аль-Хадж. Решение задач расчета тонких упругих оболочек в форме эпитрохоидальных поверхностей: Дис. канд. техн. наук. М.: РУДН, 1992. - 157 с.

109. Метод СУПЕР-элементов в расчетах инженерных сооружений. Под общей редакцией В.А. Постнова. JL: Изд-во «Судостроение», 1979. -288 с.

110. Милейковский И.Е., Купар А.К. Гипары, расчет и проектирование пологих оболочек покрытий в форме гиперболических параболоидов. -М.: Строииздат, 1978. 232 с.

111. Милейковский И.Е., Трушин С.И. Расчет тонкостенных конструкций. -М.: Стройиздат, 1989. 200 с.

112. Милинский В.И. Диференциальная геометрия. JL: Изд-во «Кубуч», 1934.-332 с.

113. Михайленко В.Е., Обухова B.C., Подгорный A.JI. Формообразование оболчек в архитектуре. Киев: Будевильник, 1972. - 206 с.

114. Михайленко В.Е., ТусупбековаК.И, Кащенко А.В. О некоторых зависимостях между геометрическими и эстетическими параметрами формы. Сб. Прикладная мехениеаи инженерная графика. Вып. 21. - Киев, «Будевильник», 1876.

115. Михайленко В.Е., Ковалев С.Н. Конструирование форм современных архитектурных сооружений. Киев: Будевильник, 1978. - 112 с.

116. Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала. -JL: ГИТТЛ, 1952.-216 с.

117. Михлин С.Г. Вариационные методы математической физики. М.: Наука, 1970.-360 с.

118. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Изд-во «Наука», 1966. - 432 с.

119. Молчанов И.Н. Численные методы решения некоторых задач теории упругости. -Киев: «Наукова Думка», 1979. 316 с.

120. Монж. Г. Приложение анализа к геометрии. М.: ОНТИ ,1936.

121. Муха И.С., Савула Я.Г., Шжаренко Г.А. Изгиб труб с криволинейной осью// Сопротивление материалов и теория сооружений. Вып. 39. -Киев, 1981.-С. 45-52.

122. Мяченков В.И, Григорьев И.В. Расчет составных конструкций на ЭВМ: Справочник. М.: «Машиностроение», 1981. - 212 с.

123. Наср Юнее Ахмед Аббуши. Геометрия, конструирование и исследование напряженно-деформированного состояния оболочек в форме каналовых поверхностей Иоахимсталя: Дис.канд. техн. наук. М.:1. РУДН, 2002. 149 с.

124. Нахди 77. М. Обзор новейших достижений в теории упругих оболочек // Механика: период, сб. переводных иностранных статей. Л.: Изд-во ИЛ., 1959.-№1.-С. 171-181.

125. Никиреев 7?.М., Шадурский В.Л. Практические методы расчета оболочек. М.: Изд-во лит-ры по строительству, 1966. — 272 с.

126. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Основы теории специальных функций. -М.: Изд-во «Наука», 1974. 304 с.

127. Новожилов В.В., Финкельштейн P.M. О погрешности гипотезы Кирхгофа в теории оболочек // ПММ. 1943. - т.7. - вып.5. - с.ЗЗ 1-340.

128. Новожилов В.В. Краткий очерк развития теории оболочек в СССР// Исследования по теории оболочек. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1970.-Вып. 6-7.-С. 5-22.

129. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. -Л.: Судпромгиз, 1962. -431 с.

130. Новожилов ВВ., Черных К.Ф. Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. -Л.: Изд-во «Политехника», 1991. 658 с.

131. Норден. А.П. Теория поверхностей. -М.: ГИТТЛ, 1956. -260 с.

132. Оганесян Л.А., Равкинд В.Я., Руховец Л.А, Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. В кн.: Дифференциальные уравнения и их применение. - Вильнюс: Институт физики и математики АН ЛитССР. - Вып. 5, 1973. - Вып. 8,1974.

133. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: Изд-во МГУ, 1969. - 695 с.

134. ПавилайненВЯ. Расчет оболочек в многоволновых системах. Л.: Стройиздат, Лен. отд., 1975. - 136 с.

135. Паутов А.Н., Торопов В.ВШуваевД.Н. Вариационно-разностный метод расчета напряженно-деформированного состояния осе-симметричных тонкостенных пространственных конструкций // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький, 1979. - № 11. - с.79-86.

136. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Изд-во МГУ, 1981. -344 с.

137. Постное В.А. и др. Метод супер-элементов в расчетах инженерных сооружений. -JL: «Судостроение», 1979. -288 с.

138. Плотников Ф. А. Расчет железобетонных спиральных камер водяных турбин круглого сечения. // Применение железобетона в машиностроении: Сб. статей. -М.: Машиностроение, 1964. -С. 440-457.

139. Пратусевич Я А. Вариационные методы в строительной механике. -М.: ОГИЗ, 1948.-400 с.

140. Прочность, устойчивость, колебания: справочник /Под общ ред. И.А. Биргера, Я.Г. Пановко. -М.: Машиностроение, 1968. Т. 1.-832 е.; Т. 2.-463 е.; Т. 3.-568 с.

141. Работное Ю.Н. Основные уравнения теории оболочек. -ДАН СССР, 1945, т. 47, №2.-С. 90-93.

142. Рашевский ПК. Курс дифференциальной геометрии. М., JL: ГИТТЛ, 2004. -428 с.

143. Рвачев ВЛ. Теория R-функций и некоторые ее приложения. Киев: «Наукова Думка», 1982. - 552 с.

144. Рекач В.Г. Расчет пологих винтовых (геликоидальных) оболо-чек//ТрудыМИСИ,№27. -М.: 1957.-С. ИЗ 132.

145. Рекач В.Г. Развитие некоторых разделов теории расчета тонких оболочек// Труды УДН, т. XXVIII/Строительство, вып. 3: Строительная механика. -М.: УДН, 1967. С. 3-35.

146. Рекач В.Г., Рыжов Н.Н. Некоторые возможности расширения круга задач по конструированию и расчету оболочек//Строительная механика: Тр. УДН. Т. 48. Вып. 6., серия «Строительство». М.: УДН, 1970. -С. 3-8.

147. Рекач В.Г. К вопросу об интегрировании уравнений безмоментной теории оболочек//Строительная механи-ка: Тр. УДН. Т. 48. Вып. 6., серия «Строительство». М.: УДН, 1970. - С. 182-191.

148. Рекач В.Г. Руководство к решению задач прикладной теории упругости. М.: «Высшая школа», 1973. - 284 с.

149. Рекач В.Г. Статический расчет тонкостенных пространственных конструкций. М.: Стройиздат, 1975. - 256 с.

150. Рекач В.Г., Кривошапко С.Н. Расчет оболочек сложной геометрии. -М.: Изд-во УДН, 1988. 177 с.

151. Ризван Мухаммад. Геометрия, конструирование и исследование напряженно-деформированного состояния оболочек в форме резных поверхностей Монжа общего вида. Дис. .канд. техн. наук. -М.: РУДН, 2004. -149 с.

152. Розин JI.A. Вариационные постановки задач для упругих систем. -JL: Изд-во ЛГУ, 1978.-224 с.

153. Розин Л.А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. СПб.: Изд-во С-ПбГУ, 1998. - 532 с.

154. Рузлева Н.П. Кинематика образования циклических поверхностей// Труды УДН: t.XXVI, математика. Вып. 3, прикладная геометрия. -М.: 1967.-С. 100-105.

155. Рухул Амин. Расчет пластинок и пологих оболочек на прямоугольном плане с применением матричных форм решения: Дис. .канд. техн. наук. -М.: РУДН, 1999. -150 с.

156. Савула Я.Г. Статика оболочек с резной срединной поверхностью: Дис. . канд. физ-матнаук. -Львов:, 1973. -150 с.

157. Савула Я.Г. Расчет методом сеток безмоментных оболочек с резной срединной поверхностью// Динамика и прочность машин. № 17, 1973. -С. 123-135.

158. Савула Я Т. Расчет и оптимизация оболочек с резными срединными поверхностями.-Львов: «Выща Школа», 1989.-169 с.

159. Санчкс-Аркас М. Оболочки. -М.: Изд-во лит-ры по строительству, 1964. -172 с.

160. Скидан И.А. Обобщенные цилиндрические координаты и их применение в прикладной геометрии // Прикладная геометрия и инженерная графика, Киев, 1971. - вып. 3. - с. 112-118.

161. Скидан IA. Спещальш параметризаци простору I поверхонь// Геомет-ричне та комп'ютерне моделювання, вып. 5. -Харюв, 2005. -С. 6-12.

162. Смирнов В.А. Расчет пластин сложного очертания . М.: Стройиздат, 1978.-304 с.

163. Стеблянко В.Т. Об одном методе задания частного вида эпитрохои-дальных поверхностей// Прикладная геометрия и инженерная графика. -Киев, 1975. -вып.20. -М.89-91.

164. Строительная механика летательных аппаратов. Под ред. И.Ф. Образцова. М.: «Машиностроени», 1986. - 536 с.

165. Суэтин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Изд-во «Наука», 1976. 328 с.

166. Сын Самбатх. Применение матричных форм в исследованиях напряженно-деформированного состояния пластинок и пологих оболочек на трапециевидном плане: Дис. .канд. техн. наук. М.: РУДН, 2000. -150 с.

167. Трушин. С.И. Решение задач устойчивости гибких упруго- пластических оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига: Дис. док. техн. наук. М.: МГСУ, 1999. - 252 с.

168. УгодчиковА.Г., Коротких Ю.Г. Некоторые методы решения на ЭВЦМ физически нелинейных задач теории пластин и оболочек. Киев.: «Наукова думка», 1971 -220 с.

169. Уиткер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. М.: Физ-матгиз, 1963.-Т. 1.-344 е.;-Т. 2.-516 с.

170. Ульянова Т.В. Вариационно-разностный метод расчета составных ребристых непологих оболочек с дискретными связями: Дис. .канд. техн. наук. -Новосибирск: Новосиб. ин-т инж. трансп., 1988. -161 с.

171. Усюкин В.И. Строительная механика конструкций космической техники. -М.: «Машиностроение», 1988. 392 с.

172. Фарес М.Ж. Безмоментная теория расчета оболочек в форме резных поверхностей Монжа двойной кривизны. Дис. . канд. техн. наук. -М.: УДН, 1974.-126 с.

173. Фиников СЛ. Теория поверхностей. M.-JL: ГТТИ, 1934. -285 с.

174. Хечумов РА., Кепплер Ч., ПрокофъевВ.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. -М.: Изд-во АСВ, 1994. -352 с.

175. Хечумов РА., Нафасов Э. К расчету пологих оболочек с большими круговыми вырезами// Сб. трудов МИСИ им. Куйбышева и Белгородского технологического института строительных материалов. М.: 1977.-Вып. 24.-С. 37-42.

176. Хорошавин ЕЛ. Вариационно-разностный метод упругопластического расчета непологих ребристых оболочек: Дис.канд. техн. наук.

177. Новосибирск.: НИИТ, 1989. 149 с.

178. Церна В. Исследование работы в области теории оболочек в ФРГ// Второй Международный конгресс по тонкостенным оболочкам-покрытиям. Осло, 1957. - М., 1960.

179. Чаттерджи Б.К. Некоторые оболочки, возведенные в Индии// Большепролетные оболочки: Межд. конгресс в Ленинграде. М.: Стройиздат, 1969,-т. 1.-С. 207-220.

180. Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. -М.: ГИФМЛ, 1963. -540 с.

181. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. -М: Наука, 1965. 279 с.

182. Юханио Маруланда А. Расчет оболочек в форме резных поверхностей монжа: Дис. канд. техн. наук. -М.: УДН, 1970. -148 с. 148 с.

183. Якубовский A.M. Циклические каркасы из линий кривизны // Труды УДН «Математика»: Прикладная геометрия. М.: УДН, 1967. - Т. XXVI. - Вып.З. - С. 66-78.

184. Якубовский A.M. Исследование аналитического метода задания циклид Дюпена при выделении их из конгруэнции окружностей // Прикладная геометрия. М.: УДН, 1971. - Вып.4. - С. 26-40.

185. Якупов Н.М. Об одном методе расчета оболочек сложной геометрии // Исслед. по теории оболочек: Тр. семинара. Казань: Казанский физико-технический институт, 1984. - Вып. 17. - Ч. 2. - С. 4-17.

186. Якупов Н.М. Фрагменты оболочек сложной геометрии в тороидальной системе координат // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Казань: Казанский физико-технический институт, 1988. - вып.21, -ч.1.-С. 130-137.

187. Якупов Н.М. О некоторых работах по расчету оболочек сложной геометрии// Тр. семинара. Казань: Казанский физико-технический институт, 1990. - №25. - С. 43-556.

188. Якупов Н.М., Серазутдинов М.Н. Расчет упругих тонкостенных конструкций сложной геометрии. -Казань: ИММ РАН, 1993. -206 с.

189. Якупов Н.М. Прикладные задачи механики тонкостенных конструкций. -Казань, 1994. -124 с.

190. Якупов Н.М., Галимов Ш.К., Хисматуллин Н.И. От каменных глыб к тонкостенным конструкциям. -Казань: Изд-во «SOS», 2001. -96 с.

191. Aralden P.O. The application of the super-element method in analysis and design of ship structures and machinery components //National Symp. on Computerized Analysis and Design. Norway, 1972.

192. Beltrami E. Sull Equilibro delle Supperficie Flessibili// Mem. R. Acad, sci de Bologna. 1881.

193. Blach A. and Bogacki S. Example of the Lecture About Covers of Buildings with Catalan's Surfaces// The 10th International Conference of Geometry and Graphics, Ukraine, Kiev, 2002, July 28- august 2, vol. 2. Kiev. -P. 202-205.

194. BrebbiaC.A., HadidH.A. Analysis of plates and shells using finite elements // Pev. Roum. Sci Techn. Ser. Mec/ Appl. 1973. - 18. - № 15. -pp. 939-962.

195. Bushell D. Computer Analysis of Complex Shell Structures //Pres. At SIAA Eigth Aerospace sci. Meet.N.Y., AIAA Paper N 70-138, Jan. 18-21. 1970.

196. Caley A. On The Cyclide// Quaterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 12,1873.-C. 148.

197. Candela F. Structural Applications of Hyperbolic Parabolidical Shells, I, Amer. Concrete Inst., 1956,26, № 5.

198. Curant R. Variational Methods for the Shells of Problem of Equilibrium and Vibrations// Bull. Amer. Math. Soc., vol. 49, № 1, p. 1-23.

199. Darboux. G.: System Orthogonaux et les Coordonnees Curirlignes. 2nd adn., Paris, Guatier-Villars, 1910.

200. Dean W.R. The Distortion of Curved Tube due to Internal Pressure/ Phil/ Mag. VII ser. Vol. 28. - 1939.

201. Dixon R. Asymmetric Shells a New Approach// Bulletin of International Association for Shell and Spatial Structures. Vol. 32 (1991)n. 3,n.l07. -P.133-137.

202. Doehlemann K. Geometrische Transformationen. II. Leipzig. 1908.

203. Dupin Ch. Developpment de Geometrie. Paris, 1813.

204. Dupin Ch. Application de Geometrie et de Mechanique. Paris, Bachelier, 1822.

205. Gorjanc S. Quadrics with Multiple Lines in E3// The 10th International Conference of Geometry and Graphics, Ukraine, Kiev, 2002, July 28- August 2, vol. 2.-Kiev. P. 48-52.

206. Forsyth A.R. Lectures on the Differential Geometry of Curves and Surfaces. Cambridge. - 1920.

207. Frank Hubert. Flachenstreifen und Dupinsche Zykliden in der Laguerre-Geometrie// J. Reine und Angew. Math. 274-275,1975. P. 424-440.

208. Ivanov V.N. On Dupin's Syclide as Joachimsthal's Channel Surfaces// The 10th International Conference of Geometry and Graphics, Ukraine, Kiev, 2002, July 28- august 2, vol. 2. Kiev. - P. 350 - 354.

209. Joachimsthal. Anwendung der Differential-und-Integral Rechnung auf die Allgemeine Theorie der Flachen und der Linien Doppelter Krummung. 1982.

210. Jiirgen Joedicke. Shell Architecture. -London: Alec Tiranti Technol. -1962.-304 p.

211. Lame G. et Glapeyron B.P.E. Memoire sur l'equilibre Interieur des Corps Solides// Mem. Pres. par div. Savants. 1833. Vol. 4.

212. Lecornu L. Sur l'equilibre des Surfases Lexibles et Inextendibles// J. de l'ecole Polytechnique. -P. 47.

213. Maxwell J.C. On the Cyclide. Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 9,1868. P. 111.

214. Meszrios Ferenc. Die Zykliden 3. Ordnung im Pseudoisotropen Raum//Math. Pannon. 1993. - 4, № 2, II. - C. 273-285.

215. Norris D.H., Vries G de. Finite Element Bibliography. -New York: Plenum Press, 1976.-686 p.

216. Pal man Dominik. Zycliden 3. Ordnung im Galileischen Raumes// Math. Pannon. 1995. - 6, № 2. - P. 285-295.

217. Reissner E. Stress Strain Relation in the Theory of Thin Elastic Shells // Journal of Mathematics and Physics. Vol. XXXI, № 2, 1944, pp. 171-178.

218. Rockey K.C., Evans H.R., Griffits,D.W., Nethercot D.A. The FinitE Element Method. New-York: John Willey & Sons, 1983. - 240 p.

219. Skopinsky V.N. Stress Analysis of Shell Intersection with Torus Transition under Internal Pressure Leading// Trans. ASAME J. Pressere Vessel Technol. 1997. -119, № 3. - p. 288-292.