автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Геометрия, конструирование и исследование напряженно-деформированного состояния оболочек в форме резных поверхностей Монжа общего вида

На правах рукописи

РИЗВАН МУХАММАД

ГЕОМЕТРИЯ, КОНСТРУИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧЕК В ФОРМЕ РЕЗНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ МОНЖА ОБЩЕГО ВИДА

05.23.17 - Строительная механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 2004

Работа выполнена на кафедре сопротивления материалов инженерного факультета Российского университета дружбы народов

Научный руководитель: кандидат технических наук, профессор В.Н. Иванов

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор С.Я. Маковенко кандидат технических наук, доцент Ю.К. Басов

Ведущая организация: Центральный научно-исследовательский и проектно-экспериментальный Институт комплексных проблем строительных конструкций и сооружений

им. В. А. Кучеренко

часов на заседании диссертационного совета Д 212.203.07 при Российском университете дружбы народов по адресу:

117419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 348.

С диссертацией можно познакомится в Научной библиотеке

Российского университета дружбы народов по адресу:

117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

Защита диссертации состоится.

.2004 года в 15

■30

Автореферат разослан «_/2-__» января_2004 г.

И.о. ученого секретаря

диссертационного совета

доктор технических наук, профессор

Ю.П. Ляпичев

2004-4! 24812

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Тонкостенные пространственные конструкции типа оболочек являются наиболее экономичными конструкциями, и находят широкое применение в самых разнообразных отраслях промышленности: химическом машиностроении, приборостроении, строительстве промышленных и гражданских зданий. Это объясняется тем, что оболочки сочетают в себя относительную легкость с высокой прочностью. Наиболее широко используется классические типы тонкостенных конструкций: оболочки вращения цилиндрические и конические оболочки, пологие и складчатые оболочки, по методам расчета которых имеется обширная литература. Однако на практике встречается необходимость использования и более сложных пространственных форм (создание архитектурно выразительных конструкций).

Решающие факторы при применении той или иной формы оболочек для различных целей могут служить:

1. Архитектурная выразительность - при покрытии общественных зданий национальной важности.

2. Конструктивная особенность - при покрытии большепролетных общественных и промышленных зданий без промежуточных опор, что позволяет модернизировать технологические процессы с минимальными затратами труда и времени.

3. Технологическое требование - при конструировании оборудования химической промышленности, спиральной камеры и отсасывающей трубы гидротурбин и т.д.

4. Воздействие окружающей среды играет особую роль при выборе оптимальной формы оболочки в авиа и судостроении, поскольку геометрия корпуса должна обеспечить наименьшее сопротивление окружающей среды, прочность и надежность конструкции в целом.

Методы расчета конструкции сложных геометрических форм разработаны недостаточно. Резных поверхности Монжа дают широкую возможность создания обширного класса новых конструкционных форм. Выше сказанное обуславливает актуальность темы диссертации.

Цель диссертационной работы

Она состоит в исследование геометрии резных поверхностей Монжа, конструирование оболочек различных очертании на основе этих поверхностей, реализация на ЭВМ численного метода расчета оболочек и проведении расчета отсеков оболочек в форме резных поверхностей Монжа.

ВСЕНАЦИОНАЛЬНАЯ1

БИБЛИОТЕКА СП« О»

Научная попита работы

1. Проведено исследование геометрии резных поверхностей Монжа, для которых получены векторное уравнение и формулы основных геометрических характеристик в линиях главных кривизн.

2. Получено условие построения резных поверхностей Монжа в линиях кривизн.

3. Разработаны новые архитектурные формы на основе резных поверхностей Монжа с различными направляющими и образующими плоскими кривыми и их представление с помощью графических средств системы MalhCAD.

4. Разработан алгоритм расчета оболочек вариационно-разностным методом.

5. Разработан модуль расчетного комплекса тонкостенных пространственных конструкции вариационно-разностным методом, реализующей расчет резных поверхностей с плоской направляющей.

6. Создана библиотека плоских кривых, включающая характеристики кривых, используемых в расчетном комплексе. Библиотека подключена к программному комплексу.

7. Разработан алгоритм, реализующий автоматическое вычисление коэффициентов квадратичных форм, радиусов кривизны и их производных, используемых в расчетном комплексе на основе библиотеки плоских кривых.

8. Проведены расчеты оболочек в форме резных поверхностей Монжа вариационно-разностным методом на различные виды нагрузок.

9. Проведен анализ напряженно-деформированного состояния оболочек в форме резных поверхностей Монжа на основе полученных численных результатов.

Научная и практическая ценность работы

Предложенные в диссертации уравнение поверхностей и их основные геометрические характеристики, алгоритм расчета вариационно-разностным методом, а также вычислительная программа могут быть использованы непосредственно на практике реального проектирования тонкостенных оболочек, выполненных из линейно-упругого материала. По единому алгоритму вариационно-разностного метода можно также решать задачи изгиба прямоугольных и кольцевых пластин; плоскую задачу теории упругости, как в прямоугольной, так и в полярной системах координат; пологие и цилиндрические оболочки; оболочки вращения; сферические оболочки и т.д.

Внедрение работы Результаты диссертации внедрены в двух дипломных работах бакалавров и четверых магистерских диссертациях студентов строительного цикла инженерного факультета РУДН. Проведены расчеты НДС различ-

ных тонкостенных конструкций вариационно-разностным методом на различные виды нагрузок (выполнен расчет: междуэтажного перекрытия сложного очертания с учетом промежуточных опор, кольцевого междуэтажного перекрытия, цилиндрического резервуара на гидростатическое давление для различных краевых условий).

Апробация работы

Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на

> XXXVII (2001 г.), XXXVIII (2002 г.) и ХХХУ1Х (2003 г.) научно-

технических конференциях профессорско-преподавательского состава инженерного факультета РУДН.

> На совместном заседании кафедры сопротивления материалов и кафедры строительных конструкций и сооружении инженерного факультета РУДН (ноябрь 2003г.).

Публикации

По материалам диссертации опубликованы 5 научных работ.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 219 наименований и 3 приложений. Общий объем диссертации 201 страниц: 148 страницы основного текста, 25 рисунков, 5 таблиц, 20 страниц списка литературы и 53 страницы приложений.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении раскрывается содержание предмета исследования, обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель исследования, изложено краткое содержание работы и основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе дается краткий исторический обзор развития современного состояния теории оболочек и рассматривается общее состояние теории и методов расчета оболочек. В отдельном параграфе изучается краткий обзор теории и методов расчета оболочек сложной геометрии. Отмечаются основные работы по геометрии резных поверхностей Монжа и также отмечается заслуга кафедры сопротивления материалов Российского университета дружбы народов в развитии методов расчета на прочность оболочек сложной формы.

В числе работ, связанных с расчетом оболочек сложной геометрии, рассматриваются исследования Рекача В.Г., Иванова В.Н., Кривошапко С.Н., Якупова Н.М., Корншшша М.С., Григоренко Я.М., Андреева СВ.,

Гуляева В.И., Баженова В.А., Гоцуляка Е.А., Гайдайчука В.В., Копытко М.Ф., Мухи И. С. и др.

Рассматривается современное состояние вариационно -разностных методов расчета оболочечных конструкций и приводится обзор научной литературы по вариационно-разностньш методам решения задач расчета оболочечных конструкций. Отмечается, что за последние десятилетия в развитии и применении вариационных принципов теории оболочек внесли свой вклад такие ученые как Абовский Н.П., Айнола П.Я., Алумяэ Н.А., Балабух Л.И., Болотин В.В., К.Васидзу, Вольмир А.С., Галимов КЭ., Голденблат И.И., Деруга А.П., Р.Зелигер, Качалов Л.М., Лейбензон Л.С., Лурье А.И., В.Прагер, Э.Рсйсснер, Розин Л. А., Э.Тонти.

Вторая глава посвящена изучению геометрии резной поверхности Монжа. Резная поверхность Монжа образуются движением некоторой плоской кривой {образующей) вдоль другой произвольной кривой {направляющей) так, что образующая кривая лежит в нормальной плоскости направляющей линии и жестко с ней связана (рис.

Направляющая ^(v кривая

Рис.1. Резная поверхность Монжа

Уравнение поверхности представленной на рис. 1 запишем в векторной форме

где р{и,1>) - радиус-вектор поверхности; ^(и)- радиус вектор направляющей кривой; Я(у)- уравнение образующей кривой в полярной системе координат; <?(u,v)= v-cx>%(0 + {)-sinfi) = e(w,©) - уравнение окружности единичного радиуса (рис. 1,6) в нормальной плоскости направляющей кривой;

где v , Р нормаль и бинормаль направляющей кривой, а = v+#(w); 0{и) - угол между нормалью направляющей ьфивой и начальным вектором ё0(и) подвижной системы координат, к которой привязана образующая кривая. По мерс движения образующей кривой вдоль направляющей система единичных векторов eb(u),go(tf) может поворачиваться вокруг касательной к направляющей кривой по отношению к нормали и бинормали.

Так как коэффициенты квадратичных форм F и М не равны нулю, то в общем случае поверхность, описываемая формулой (1) не является резной поверхностью Монжа.

Условием того, что поверхность будет резной поверхностью Монжа, является условием ортогональности системы координатных линий v = const к образующей кривой поверхности, из которого получаем

e{u) = \Xs{u)du+6Ь (2)

- константа интегрирования, начальный угол между векторами ё0(и) и v(u).

Как следует из формулы (2), угол ¿?(ы) зависит от кривизны кручения направляющей линии. Для плоской направляющей линии х - О, - образующая кривая движется в нормальной плоскости направляющей линии без вращения.

С учетом формулы (2) коэффициенты первой квадратичной формы резной поверхности Монжа запищим в виде:

A = jE=s'~ks •Я-(г-Р")=я'-*, -R-cosw; (3)

= ; F=0. (4)

Дискриминант поверхности

(5)

Нормаль к поверхности

Получим коэффициенты 2-й квадратичной формы резной поверхности Монжа:

£ = (от-риц)=[/г-со5й)-+Я-5тй?] ^ (7)

Главные кривизны поверхности

L i?-cosc>+/?-sinfi> ,

k\ = —— ---к.;

1 A2 AB *

N R-(r-R)+2R2 _ B

*0>

где кд - кривизна образующей кривой.

Из формулы (6) следует, что нормаль к поверхности лежит в плоскостях образующих кривых или нормальных плоскостях направляющей кривой. Из формулы (9) видно, что кривизна координатной линий и = const равна кривизне образующей кривой, и, следовательно, образующие кривые являются геодезическими линиями резной поверхности Монжа.

Формулы коэффициентов квадратичных форм (4, 8) и радиусов кривизны (9) получены для образующих линий, записанных в полярной системе координат. Это сделано для удобства проведения преобразований. Однако для записи уравнений многих кривых используют параметрическую форму

x=Jf(v) y = Y(v).

или явную форму

Х= V,

(10)

(11)

Получим соответствующие формулы для этих форм записей.

Из формулы (9) видно, что кривизны поверхности к2 = к0 - кривизне образующей линии, и, следовательно, она может быть вычислена для любой формы записи уравнения кривой, по соответствующим формулам дифференциальной геометрии:

(12)

Аналогично из Формулы (6) коэффициента В 1-й квадратичной формы видно, что В = ^Я2 +Ё2 =Л(), т.е. коэффициент В равен элементу дуги образующей кривой, и, следовательно,

Для записи формул коэффициента А 1-й квадратичной формы и кривизны поверхности к\, рассмотрим переход от полярной системы координат к декартовой прямоугольной:

Д(у).соз(у)=й(у).Бт(у)=

Х = Д-созу-Я-Бту ^ ¥ =Д-5ту+Д«С05У а) А = •[х(у)-со50-Т(у) 5т0];

б

а) кл=--к,\ б) кт=---к..

71 АВ ' 1 АВ '

(15)

В третьей главе разработан алгоритм вариационно-разностного метода расчета пластин и оболочек сложной геометрии. Расчет таких конструкций осуществляется, в основном, различными численными методами, в частности, широко распространенным в последние десятилетия методом конечных элементов. Альтернативу этому методу может составить, на наш взгляд, вариационно-разностный метод. В основу вариационно-разностного метода положен принцип Лагранжа - принцип минимума полной энергии деформации, которая представляет собой разницу потенциальной энерпш деформаций 11 и работы внешних сил А

Э~и~А (16)

Потенциальную энергию деформаций оболочек можно представить в виде двух слагаемых

и=ит+ииУ

(17)

где ит, 1/и - потенциальная энергия тангенциальных и изгибных деформаций соответственно, и могут быть записаны в виде:

Здесь * - знак транспонирования вектора (матрицы). Векторы деформаций и векторы внутренних усилий имеют три компоненты:

№

Т =

V А/, >1

в = • сг II Мг х-'

А.

(19)

где Т1, Т2 - нормальные тангенциальные усилия; Тз= 8- касательные тангенциальные усилия; е\, £2 - тангенциальные линейные относительные деформации; £3=^2 - относительные тангенциальные деформации сдвига срединной поверхности оболочки; Мр М2 - изгибающие моменты; М^=М\г крутящий момент; Х2 - изменения главных кривизн оболочки; %з = 2%\2 - удвоенное изменение кривизны кручения оболочки.

Работа внешних сил определяется по формуле

Л = (20)

где (} , р - векторы проекций распределенной поверхностной нагрузки и сосредоточенных сип на поверхностную систему координат и на нормаль к поверхности; й - вектор тангенциальных и нормального перемещений

срединной поверхности оболочки; и, - тоже в точке действия сосредото-

ченной силы рг.

Векторы внутренних усилий связаны с векторами относительных деформаций срединной поверхности законом Гука:

(21)

где с=ЕЫ{1-^) - жесткость оболочки на растяжение; с1=Е$1 12(1-у2)

изгибная жесткость оболочки; Е, V- продольный модуль упругости и коэффициент Пуассона материала оболочки соответственно; к - толщина оболочки; [Ы] - матрица связи между усилиями и деформациями в законе Гука.

Относительные деформации и кривизны определяются через перемещения срединной поверхности оболочки известными формулами линейной теории тонких оболочек Для удобства дальнейших вкладок, разобьем векторы относительных деформаций е и изменения главных кривизн х на три слагаемых:

-Ъч» *=1

£ =

е'\ик),

Х\

к-1

(22)

Введем также вектор производных д и матрицы коэффициентов

при различных производных от перемещений размерностью 3x6 в выражениях тангенциальных и изгибных деформаций соответ-

ственно:

д.. 8 .. б2.. 82..

Е1 =

О

1 дА 2

АХА2 да -1 дА1 АхАг др

_1_

4 о

о

да' др' даг> дадр' др* 0 0 0 0

(23)

0 0 0 0

0 0 0

1 Зкг к1

Ах Ъа А

*1 ЗЛ2

А1А2 да

А

А2г/>[А1)

0 0 0

г (24)

и по аналогии для Е2, К2, К*. Здесь, а, р - координаты срединной поверхности оболочки, записанной в линиях главных кривизн; А,, А2 - коэффициенты первой квадратичной формы срединной поверхности оболоч-

ки; к, к2 - главные кривизны срединнои поверхности; u2, ц- компоненты вектора перемещений срединной поверхности оболочки.

Используя введенные обозначения и закон Гука (21) запишем составляющие потенциальной энергии деформаций в матричной форме:

(25)

(26)

Поскольку формулы (25) и (26) имеют одинаковую структуру, то дальнейшие выкладки проведем на примере формулы (26).

При расчете оболочки вариационно-разностным методом срединная поверхность покрывается сеткой с постоянным или переменным шагом. Линии сетки совпадают с координатными линиями главных кривизн. Производные перемещений в векторе деформаций заменяются разностными отношениями. При этом потенциал полной энергии деформаций становится функцией узловых перемещений. Теперь для минимизации полной энергии деформаций применяется алгоритм Ритца-Тимошенко, для чего

производные по узловым перемещениям гии деформаций приравниваются нулю

дэ дит аи„

^ от выражения полной энер-

_ т "ди1/

ди,}

дл

ди']

= 0.

(27)

'к

Здесь к = 1,2,3 номер компоненты вектора перемещений; у - номера сетки вдоль координатных осей ОСП Р соответственно. Область интегрирования £1 разобьем на подобласти » определяемыми в окрестности узла у координатными линиями, проходящими между соседними узлами основной сетки (рис. 2). Области сЮ.^ разбиваются на дополнительные подобласти

ч

2.3,4), соответствующие четырем квадрантам в окрестности узла у.

<1&\

К .Л,.

<4

¡¡а, - а^су,

4

' 4

ЛЛ

АиГ-2. Унювые шочхи в окрестности узла у и подобласти, интегрирована

Дня записи их в векторно-матричном виде введем в окрестности узла у вектора узловых перемещений (к =^1,2,3)^

и матрицы дифференцирования [о<';] (6x9) для квадрантов г = 1, 2, 3, 4 (рис. 2)

(29)

Здесь знак умножения ® означает, что компонента вектора ^ умножается на все компоненты соответствующей строки матрицы - правая производная по координате (-) ле-

вая производная по координате а или Р".

1,

1

1

1

V.' ' " К А.' ь.

¡а

(30)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 -1 -1

о О О 0 0 1

0 0 0 0 0 0 10 10 0 0 о

(31)

,4

полу-

0 0 0 0 1 -10-11 0 0 0 -(1 + ^2У) 10 0 0

Матрицы \рЧ\—, [0'7]+- и вектора Ц' ,

чим аналогичным образом.

Вектор производной перемещения дик в окрестности узла у для квадранта I запишем в разностной форме

Ы'^'М (32)

Заменяя интеграл по области оболочки О суммой интегралов по подобластям вокруг узловых точек, получим

(33)

Составляющие потенциальной энергии изгибных деформаций с учетом формулы (27) запишутся в виде

^ = У Е 2 5Ц И, кк })мМо • (34)

(35)

где - подматрица изгибной жесткости оболочки в окрестности

узла у относительно перемещений и^, И; (размерность подматрицы (9x9))

.Ы'

(36)

Подматрицы [г" I являются составляющими общей матрицы изгиб-ной жесткости оболочки в окрестности узла у, размерность которой 27x27. Формулы для составляющих потенциальной энергии тангенциальных линейных деформаций и соответствующие матрицы жесткости получаются аналогично путем формальной замены матриц коэффициентов \fi\ij на матрицы и изгибной жесткости й на тангенциальную же-

сткость с в формулах (34)-(36).

Таким образом, потенциал полной энергии деформаций становится функцией узловых перемещений, и для его минимизации приравниваем нулю частные производные по всем неизвестным узловым перемещениям несвязанным граничными условиями

еэ

= 0 или

"т ""т

С учетом формулы (30), получим:

аиТ аиц а^ -1- +-!£- =-

дг„

02„

(37)

(38)

(39)

(40)

здесь, - неизвестное перемещение при глобальной их нумерации, которое соответствует некоторому перемещению ик для некоторого узла 11.

В итоге, получаем систему алгебраических уравнений, в результате решения которой получаем узловые перемещения. Для вычисления тан-

генциальных и гогибных деформаций используются разностные производные для уравнений деформаций и закон Гука (21) для вычисления тангенциальных усилий и изгибающих моментов.

Поскольку в системе уравнений входят характеристики кривых (коэффициентов квадратичных форм, главные кривизны), создана библиотека плоских кривых, которая включает параметрические формулы кривых, три первые производные. Такая библиотека позволяет автоматически вычислять все характеристики направляющей и образующей кривых, которые используется в программе. Библиотека может пополняться. Для получения необходимых характеристик разработан алгоритм вычисления производных любого порядка, частного двух функций.

По предлагаемому алгоритму расчета оболочек вариационно-разностным методом, была реализована программа на языке ФОРТРАН и проведены тестовые расчеты различных конструкций. Анализ их результатов показывает хорошую сходимость при сравнении с известными в литературе решениями.

Отметим, что программу включен расчет пластин и оболочек на упругом основании, а при незначительных доработках предложенного алгоритма можно решать следующие задачи: ортотропных пластин и оболочек, оболочки с отверстием, сопряжение отсеков оболочек.

В четвертой главе выполнен расчет козырька покрытия спортивного сооружения на овальном (на основе циклоида) плане с образующей в форме парабола на действие собственного веса и снеговой нагрузки ( рис.3).

Расчет выполнен для отсека оболочки в пределах линий главных кривизн 0 £ а 2 я, 0 <, /3<, 2 м. (рис. 3)

Модуль упругости материала £ = 3,5-104 МПа, коэффициент Пуассона материала V = 0,15; толщина оболочки к = 0,05 м. На поверхность оболочки по линиям кривизны наносилась сетка с равномерным шагом в обеих направлениях (20x20 шагов).

Результаты расчетов: перемещения и, V, тангенциальные усилия изгибающие и крутящий моменты представле-

ны в диссертации.. Результаты расчета подтверждают выполнение кинематических граничных условий.

В приложениях представлены:

• текст программы расчета тонкостенных конструкций вариационно-разностным методом на языке «ФОРТРАН»;

• методика ввода исходных данных и вывод результатов расчета.

• распечатки численных результатов расчета оболочек в форме резных поверхностей Монжа на действие собственного веса и снеговой нагрузки.

у х % парабола

ОС

Рис. 3 .Оболочка в форме резной поверхности Монжа Таблица 1

сече- Р Ыа

ние [кН/м] [кН/м] \кНм/м\ \кНм/м\

0 -0.113Е+01 -0.755Е-Ю1 -0.766Е-01 -0.517Е+00

0.55 -0.394Е+00 -0.758Е+01 -0.708Е-01 -0.414Е-КЮ

а = 0 0.775 0.304Е+01 -0.748Е+01 -0.633Е-01 -0.269Е+00

1.075 0.116Е+02 -0.697Е+01 -0.609Е-01 -0.113Е+00

1.60 0.263Е-Ю2 -0.504Е+01 -0.751Е-01 -0.162Е-01

2 0.447Е+02 -0.402Е+00 -0.104Е-00 -0.246Е-02

0 -0.807Е+00 -0.538Е-Ю1 -0.155Е-Ю0 -0.104Е+01

0.55 -О.ЗЗОЕ+ОО -0.537Е+01 -0.141Е-Ю0 -0.883Е+00

а=я2 0.775 0.273Е+01 -0.523Е+01 -0.117Е-Ю0 -0.654Е+00

1.075 0.116Е+02 -0.476Е+01 -0.848Е-01 ■О.364Е-Ю0

1.60 0.299Е+02 -0.305Е-Ю1 -0.497Е-01 -0.938Е-01

2 0.538Е+02 -0.299Е-Ю0 -0.314Е-01 -0.292Е-03

0 -0.710Е+00 -0.473Е+01 -0.168Е+00 -0.112Е+01

0.55 -О.гООЕ-ЮО -0.476Е+01 -0.153Е+00 -0.965Е+00

а-л 0.775 0.287Е-Ю1 -0.468Е+01 -0.128Е+00 -0.727Е400

1.075 0.119Е+02 ■0.432Е+01 •0.945Е-01 -0.420Е+00

1.60 0.306Е+02 ■0.278Е-Ю1 -0.585Е-01 -0.120Е400

2 0.563Е-Ю2 ■0.354Е+00 -0.418Е-01 -0.268Е-03

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Проведено исследование геометрии резных поверхностей Монжа, для которых получены векторное уравнение и формулы основных геометрических характеристик в линиях главных кривизн.

2. Получено условие, при выполнении которого рассматриваемая поверхность является резной поверхностью Монжа.

3. Разработаны новые архитектурные формы на основе резных поверхностей Монжа с различными направляющими и образующими плоскими кривыми и их представление с помощью графических средств системы МаШСАБ.

4. Разработан расчет оболочек вариационно-разностным методом.

5. Разработан модуль расчетного комплекса тонкостенных пространственных конструкции вариационно-разностным методом, реализующей расчет резных поверхностей с плоской направляющей.

6. Создана библиотека плоских кривых включающиеся характеристики кривых, используемых в расчетном комплексе. Библиотека подключена к программному комплексу.

7. Разработан aлгоритм, реализующий автоматическое вычисление коэффициентов квадратичных форм, радиусов кривизны и их производных, используемых в расчетном комплексе на основе библиотеки плоских кривых.

8. Проведены расчеты оболочек в форме резных поверхностей Мон-жа вариационно-разностным методом на различные виды нагрузок,

9. Проведен анализ напряженно-деформированного состояния оболочек в форме резных поверхностей Монжа на основе полученных численных результатов.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Иванов В.Н, Ризван Мухаммад Геометрия резных поверхностей Монжа и конструирование оболочек // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. Межвузовский сборник научных трудов/Под ред. С.Н. Кривошапко. - М : Изд-во АСВ, 2ОО2.Вып.П. - С. 27-36.

2. Иванов В.Н., Ризван Мухаммад К расчету покрытия спортивного сооружения оболочкой в форме резной поверхности Монжа // Строительная механика инженерных конструкции и сооружений. Межвузовский сборник научных трудов/Под ред. С.Н. Кривошапко. - М.: Изд-во АСВ, 2003. Вып. 12. -С. 42-47.

3. Иванов В.И.. Ризван Мухаммад Пример расчета покрытия в форме резной поверхности Монжа вариационно-разностным методом // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. Межвузовский сборник научных трудов/Под ред. С.Н. Кривошапко. - М.: Изд-во

АСВ, 2003. Вып. 12. - С. 48-53.

4. Ризван Мухаммад Конструирование оболочек в форме резных поверхностей Монжа// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. Межвузовский сборник научных трудов/ Под ред. С.Н. Кривошапко. - М.: Изд-во АСВ. 2003. Вып. 12. - С. 63-68.

5. Иванов В.И.. Ризван Мухаммад Резные поверхности Монжа и конструирование оболочек. Материалы научной конференции аспирантов, -преподавателей и молодых ученых. М: Изд-во РУДН, 2003. -С 233-234.

Рнзваи Мухаммад (Пакистан)

ГЕОМЕТРИЯ, КОНСТРУИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧЕК В ФОРМЕ РЕЗНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ МОНЖА ОБЩЕГО ВИДА

Диссертационная работа посвящена исследованию геометрии резных поверхностей Мошка, а также разработке и реализация на ЭВМ вариационно-разностного метода расчета оболочек сложной геометрии и, в частности, расчет оболочек в форме резных поверхностей Монжа.

В диссертации представлено векторное уравнение резных поверхностей Мопжа общего вида в линиях главных кривизн, получены формулы основных геометрических характеристик данной поверхности и рассмотрены различные конструктивные решения в виде оболочек на основе резных поверхностей Монжа.

Для расчета таких оболочек разработай и реализован на ЭВМ алгоритм вариационно-разностного метода. Данный алгоритм довольно универсален и позволяет рассчитать различные конструкции по единому алгоритму. По реализованной программе проведены тестовые расчеты традиционных конструкций, которые сравнивались с известными решениями. Расчеты показали хорошую сходимость. Выполнен расчет оболочек в форме резных поверхностей Монжа на собственный вес и снеговую нагрузку, полученные численные результаты не имеют аналогов в литературе.

Muhammad Rizwan (Pakistan)

GEOMETRY, DESIGN AND THE RESEARCH OF STRESS-STRAIN STATE OF SHELLS IN THE FORM OF THE MONGE'S MOULER SURFACES

The thesis is concede the geometry of the Monge's mouler surfaces and the variation difference (energy difference) method of the stress-strain state analysis of the shells of complex form and its realization on computer. The vector equation of the Monge's mouler surfaces is received, so as the formulas of quadratic forms and the principle curves. Some examples of shells design on the base of the Monge's mouler surfaces are given in the work. The algorithm is worked out and the program of stress-strain analysis of complex form shells by variation-difference method is realized. Some of traditional constructions were analyzed and the results were compared with the known results. The numerical results of some shells in the form ofthe Monge's mouler surfaces were received and analyzed. The obtained outcomes are a new ones and don't have analogs in literature.

Подписано в печать Л .200 у. Формат 60x84/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1.0 Тираж 100 экз. Заказ № 2,

Типография ИПК РУДН ГПС-1, Москва, ул. Орджоникидзе, 3

"-65Й

РНБ Русский фонд

2004-4 24812

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ 1 ЛАВА 1. ТЕОрии ОБОЛОЧЕК.

1.1. Краткий исторический обзор развития теории оболочек 2 краткий обзор теории и методов расчета оболочек слож- ^ ной геометрии. ^ Современное состояние вариационно-разностных методов ^ расчета оболочечных конструкций.

Вариационный подход - общая теоретическая ос-1.3.1. нова численных методов решения задач теории оболочек. ^ 2 Вариационно-разностные методы решения задач расчета оболочечных конструкций.

ГЛАВА П. ГЕОМЕТРИЯ РЕЗНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

МОНЖА.

2.1. Определение. Уравнение резных поверхностей

Монжа в векторной форме.

2.2. Векторное уравнение резных поверхностей Монжа в линиях главных кривизн.

2.2.1. Условие образования резных поверхностей Монжа.

2 2 2 УРавнение резных поверхностей Монжа в параметрическом виде. ^

2.3. Конструирование оболочек в форме резных поверхностей

Ф Монжа.

ГЛАВА Ш. РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИИ ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ (ВРМ).

3.1. Алгоритм вариационно-разностного метода расчета пластин и оболочек сложной геометрии.

3.1.1. Принцип Лагранжа. Уравнения теории тонких оболочек.

3.1.2. Конечно-разностные схемы.

3.1.3. Узловая матрица жесткости. Система алгебраических уравнений узловых перемещений.

3.1.4. Вычисление деформаций и усилий.

3.1.5. Некоторые возможности вариационно-разностного метода.

3.1.6. Дополнительные сведения и примечания.

3.2. Применение алгоритма вариационно-разностного метода к расчету оболочек в форме резных поверхностей Мон

3.2.1. Учет геометрии резных поверхностей

Монжа.

3.2.2. Учет собственного веса оболочек в форме резных поверхностей Монжа.

3.3. Реализация алгоритма ВРМ расчета пластин и оболочек на ЭВМ.

3.3.1. Программное обеспечение расчета тонкостенных конструкций вариационно-разностным методом.

3.3.2. Учет геометрии поверхности рассматриваемой конструкции.

Расчет различных тонкостенных конструкций вариационно-разностным методом на ЭВМ (тестовые примеры).

ГЛАВА IV. ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ ОБОЛОЧКИ В ФОРМЕ

РЕЗНОЙ ПОВЕРХНОСТИ МОНЖА ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ НА

4.1. Расчет оболочек на действие собственного веса.

4.2. Расчет оболочек на действие снеговую нагрузку.

Пространственные конструкции призваны изменить архитектурный облик наших городов, способствовать созданию выразительных архитектурных комплексов промышленных и культурных сооружений. Аэропорты и вокзалы, конгресс холлы и деловые центры, офисы и банки, товарно-сырьевые биржи, склады оптовой и розничной торговли, супермаркеты, универсамы и рынки, выставочные павильоны, киноконцертные залы и спортивные комплексы, а также разнообразные инженерные сооружения - вот далеко не полный перечень объектов, в предстоящем строительстве которых потребуется применение пространственных конструкций.

Быстрое развитие и широкое применение тонкостенных железобетонных пространственных конструкций стало возможным благодаря значительным достижениям в теории расчета оболочек и складок, применению электронно-вычислительной техники, а также проведению всесторонних и совершенствованных методов возведения большепролетных сооружений.

Конструкции типа оболочек находят применение в самых разнообразных отраслях промышленности: в автостроении, судостроении, авиастроении, в химическом машиностроении, приборостроении, в строительстве промышленных и гражданских зданий и т.д.

В мировой практике четкой тенденцией является применение пространственных конструкций разнообразных форм, дающих выразительные архитектурные образцы и решающие функциональные задачи. Это было отмечено в сентябре 1989 г. в Мадриде на юбилейном конгрессе по пространственным конструкциям. При этом, важное значение имеет расчет оболочек сложной геометрии с учетом требований экономических и других факторов. В этой связи, определенный интерес имеют сложные пространственные формы.

Широкое применение тонкостенных конструкции объясняется тем, что они сочетают в себе лёгкость наряду с высокой прочностью. Возможность перекрывать большие пролеты без промежуточных опор, делает оболочки подчас незаменимыми при строительстве специальных сооружений.

В общем случае, решающими факторами при применении той или иной формы оболочек для различных целей могут служить:

• Архитектурная выразительность,

• Конструктивная особенность,

• Технологические требования,

• Воздействие окружающей среды.

Пространственные конструкции обладают архитектурной выразительностью и широко используются при строительстве общественных зданий, выставочных павильонов, спортивных сооружений и т.д. Однако оболочки, применяемые в реальных конструкциях, в большинстве случаев имеют традиционно простые геометрические формы поверхностей: круговые цилиндрические и конические, сферические и др. Имеются отдельные примеры использования оболочек сложных геометрических форм. Известные в литературе аналитические методы расчета оболочек становятся неприемлемыми для оболочек сложных форм.

Сложность формы оболочки может быть обусловлена сложностью очертания ее срединной поверхности и сложностью очертания ее контурных (граничных) линий. Она также может быть вызвана образованием поверхности оболочек в виде комбинации нескольких простых поверхностей. Необходимость придания оболочкам специальной формы продиктована различными факторами. Часто они связаны с функциональным назначением тонкостенной конструкции. Например, в машиностроении - это оболочки турбин двигателей, в приборостроении - сильфоны, в авиастроении - оболочка корпуса самолета. В ракетной технике усложнение формы оболочек вызвано необходимостью их размещения в регламентированном пространстве, в строительстве - в целях придания сооружению архитектурной выразительности.

Задачи исследования упругого равновесия оболочек сопряжены с определенными математическими и техническими трудностями, поскольку их напряженно-деформированное состояние описывается уравнениями высокого порядка с переменными коэффициентами. С усложнением формы оболочки эти трудности быстро возрастают, так как коэффициенты уравнений становятся функциями координат сложного вида. Как правило, в этих случаях в задаче прочностного расчета добавляются дополнительные задачи, требующие построения уравнений срединной поверхности оболочки и анализа ее геометрических свойств. Перечисленные особенности часто исключают возможность аналитического исследования оболочек сложной формы и побуждают шире привлекать для этих целей методы численной математики, ориентированные на применение быстродействующих ЭВМ.

Одним из направлений современной строительной механики является внедрение в инженерную практику новых форм тонкостенных пространственных конструкций. При этом, изучение геометрии этих форм, разработка методов расчета оболочек сложной геометрии является одной из главных задач этого направления. Большие возможности в создании ярких архитектурных форм предоставляют резные поверхности Монжа, которые относятся к классу поверхностей сложной геометрии. Оболочки, на основе резных поверхностей Монжа достаточно технологичны и позволяют осуществлять процесс строительства непосредственно на строительной площадке.

Все вышесказанное подтверждает актуальность темы диссертации

Целью диссертационной работы является исследование геометрии резных поверхностей Монжа, конструирование оболочек различных очертаний на основе этих поверхностей, разработка и реализация на ЭВМ метода расчета оболочек сложной геометрии в форме резных поверхностей Монжа.

Научная новизна работы заключается в следующем:

Проведено исследование геометрии резных поверхностей Монжа, для которых получены векторное уравнение и формулы основных геометрических характеристик в линиях главных кривизн.

Получено условие связи направляющей и образующей кривых, при выполнении которого рассматриваемая поверхность является резной поверхностью Монжа.

Разработаны новые архитектурные формы на основе резных поверхностей Монжа с различными направляющими и образующими плоскими кривыми и их представление с помощью графических средств системы МаЛСАО.

Разработан алгоритм расчета оболочек вариационно-разностным методом.

Разработан модуль расчетного комплекса тонкостенных пространственных конструкции вариационно-разностным методом, реализующей расчет оболочек в форме резных поверхностей с плоской направляющей.

Создана библиотека плоских кривых включающиеся характеристики кривых, используемых в расчетном комплексе. Библиотека подключена к программному комплексу.

Разработан алгоритм, реализующий автоматическое вычисление коэффициентов квадратичных форм, радиусов кривизны и их производных, используемых в расчетном комплексе на основе библиотеки плоских кривых. а Проведены расчеты оболочек в форме резных поверхностей Монжа вариационно-разностным методом на различные виды нагрузок.

Проведен анализ напряженно-деформированного состояния оболочек в форме резных поверхностей Монжа на основе полученных численных результатов.

Научная и практическая ценность работы;

Предложенные в диссертации формулы поверхностей и выражения их основных геометрических характеристик, алгоритм расчета вариационно-разностным методом, а также вычислительная программа могут быть использованы непосредственно на практике реального проектирования тонкостенных пространственных оболочек, выполненных из линейно-упругого материала. По единому алгоритму вариационно-разностного метода можно, в частном случае решать задачу изгиба прямоугольных и кольцевых пластин; плоскую задачу теории упругости, как в прямоугольной, так и в полярной системах координат; пологие и цилиндрические оболочки; оболочки вращения; сферические оболочки, оболочки сложных геометрических форм, в том числе в форме резных поверхностей Монжа и т.д.

Резные поверхности Монжа могут найти широкое применение в проектной практике, в частности в строительстве при покрытии спортивных сооружений павильонов, аэропортов вокзалов и т.д.

Результаты диссертационной работы докладывались на научно-технических конференциях инженерного факультета в секции строительная механика в 2001-2003 гг. По теме диссертации опубликовано пять работ.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю к.т.н., профессору Иванову В Н. за постоянное внимание и непрерывную помощь при выполнении данной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Проведено исследование геометрии резных поверхностей Монжа, для которых получены векторное уравнение и формулы основных геометрических характеристик в линиях главных кривизн.

2. Получено условие связи направляющей и образующей кривых, при выполнении, которого рассматриваемая поверхность является резной поверхностью Монжа.

3. Предложены новые архитектурные формы на основе резных поверхностей Монжа с различными направляющими и образующими плоскими кривыми, которые представлены в диссертации с помощью графических средств системы МаЛСАЕ).

4. Разработан модуль расчетного комплекса тонкостенных пространственных конструкции вариационно-разностным методом, реализующей расчет оболочек в форме резных поверхностей с плоской направляющей.

5. Создана библиотека плоских кривых, включающая характеристики кривых, используемых в расчетном комплексе. Библиотека подключена к программному комплексу.

Разработан алгоритм, реализующий автоматическое вычисление коэффициентов квадратичных форм, радиусов кривизны и их производных, используемых в расчетном комплексе на основе библиотеки плоских кривых.

Проведены расчеты оболочек в форме резных поверхностей Монжа вариационно-разностным методом на различные виды нагрузок.

Проведен анализ напряженно-деформированного состояния оболочек в форме резных поверхностей Монжа на основе полученных численных результатов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертации исследовано геометрия резных поверхностей Монжа, конструировано оболочек различных очертании на основе этих поверхностей, реализована на ЭВМ численный метод расчета оболочек и проведен расчет отсеков оболочек в форме резных поверхностей Монжа.

Резные поверхности в целом открывают широкую возможность конструирования самых разнообразных отсеков оболочек, отвечающих различным требованиям.

По итогам работы можно сформулировать следующие основные результаты и выводы:

1. Абдельсалям Мухамед Али. Решение задач расчета тонких упругих оболочек в форме развертывающихся геликоидов и их параболическое изгибание: Дис. канд. техн. наук /Российский университет дружбы народов (РУДН).- 1998.06.16. 126 с.

2. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Дерюга А.ГТ. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. - 288 с.

3. Абовский Н.ГТ. Вариационные уравнения для многоконтактных задач теории гибких пологих ребристых оболочек // Пространственные конструкции в красноярском крае: Межвуз. Темат.сб.науч.тр. /Краснояр. Политех.ин-т, Красноярск, 1969. С.24-83.

4. Абовский Н.П., Деруга А.П., Енджиевский Л.В. Вариационные уравненные формулировки физически нелинейной теории упругих анизотропных оболочек // Строительная механика и расчет сооружений 1979. С.23-27.

5. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П., Савченко В.И. Численные методы в теории упругости и теории оболочек. Красноярск: Изд-во Краснояр. ун-та, 1986. - 384 с.

6. Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H., Смирнов В.А. Методы расчета стержневых систем, пластинок и оболочек с использованием ЭЦВМ. М.: Стройиздат, 1976. - ч.2. 248 с

7. Амиро И.Я. Применение метода сеток к решению плоской задачи теории упругости в случае много связных областей // ИСМ АН УССР. № 19. - 1954.-С. 60-73.

8. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. -М.: Высш. шк., 1994. 544 с. ил.

9. Андреев, JI. В. В мире оболочек От живой клетки до космич. корабля : Пер. с рус. JI. Андреев. М. Мир Б. г. 1990 196,1. с.,17 см

10. Андрианов И.В.,Лесничая В.А., Маневич Л.И. Метод в усреднения в статике и динамике ребристых оболочек. М.: Наука, 1985. - 224 с.

11. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М.: Гостехиздат, 1955.

12. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М. жир, 1969. - 368 с.

13. Баджория Г.Ч. Задача расчета торсовых оболочек по безмоментной и моментной теориям и развертывание их срединных поверхностей на плоскости. Дис. канд. техн. Наук. М.: УДН, 1985.

14. Байков В.Н., Хампе Э., Рауэ Э. Проектирование железобетонных тонкостенных пространственных конструкций. М.: Стройиздат, 1990. -232 с.

15. Бартеньев О.В. Современный Фортран. М.: "Диалог - МИФИ", 1998.-397 с.

16. Басов Ю.К. Исследование колебаний пологой оболочки в форме гипара на прямоугольном плане. Дис. канд. техн. Наук. М.: УДН, 1976. -112с.

17. Бахвалов Н.С. Численные методы. -М.: Наука, 1975. 631 с.

18. Безухов НИ., Лужин О.В. Приложение теории упругости и пластичности к решению инженерных задач. М.: Высшая школа, 1974. -200 с.

19. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. - 494 с.

20. Богомолов А.Н Гаспар Монж. М.: Наука, 1978.

21. Богданова О.М. К исследованию сходимости вариационно-разностной схемы для расчета оболочек // пространственные конструкции в Красноярском крае: межвуз. Темат. сб. науч. тр. / Краснояр. Политехи. Ин-т. Красноярск, 1986. С. 48-56.

22. Бойков И.К. Геометрия циклид Дюпена и их применение в строительных оболочках // Расчет оболочек строительных конструкций. М: Изд-во, 1982.

23. Болтин В В., Гольденблат И.И., Смирнов А.Ф. Строительная механика. Современное состояние и перспектива развития. М.: Стройиздат., 1972.- 191с.

24. Боженов, А.Ш.ред. Оболочки и пластины Темат. сб. Караганд. политехи, ин-т; Редкол.: А. Ш. Боженов (отв. ред.) и др. 1987.

25. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗОВ. М.: Наука, 1986. - 544 с.

26. Бурман З.И., Лукашенко В.И., Тимофеев М.Т. Расчет тонкостенных подкрепленных оболочек методом конечных элементов с применением ЭЦВМ. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1973. - 570 с.

27. Бхаттичария Б. Расчет оболочек в виде торсовых поверхностей с двумя произвольными плоскими направляющими кривыми. Дис. канд. техн. Наук: М. : УДН, 1980.

28. Бхаттачария П.К. Построение форм решений для открытых цилиндрических оболочек определенного класса и применение их для расчета циклоидальной цилиндрической оболочки. Дис. канд. техн. Наук: М, 1967. 153с.

29. Вайнберг Д.В., Геращенко В.М., Силявский А.Л., Ройтфарб Л.З. Выводы сеточных уравнении изгиба пластин вариационным методом // Сопротивление материалов и теории сооружений. Киев. Буд1вельник. -1965. вып. V- С. 23-33.

30. Ванько В.И., Ермошина OB., Кувыркин Г .H. Вариационное исчисление и оптимальное управление. Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана 2002, 488 стр

31. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. -М.: Строийиздат, 1977. 160 с.

32. Варвак П.М., Бузин И.М. и др. Метод конечных элементов. Киев: Вища школа, 1981. - 176с.

33. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности: Пер. с англ. М.: Мир, 1987. - 544 с.

34. Верюжеский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. Киев: Виша школа, 1978. - 184 с.

35. Власов В.З. Новые практические методы расчета складчатых покрытий и оболочек // Строит. Пром-сть. 1937. - т. 11.12.

36. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

37. Власов В.З. Строительная механика оболочек. М.: Строй издат., 1936. - 263 с.

38. Власов В.З. Тонкостенные упругие системы. М.: Госстройиздат, 1958. - 502 с.

39. Власов В.З., Леонтьев H.H. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М., I960.

40. Вольмир A.C., Хайрнасов К.Э. Устойчивость тороидальных композитных оболочек // Механика композитных материалов. -1982. -№>3. -С.454-459.

41. Выгодский М. Я. Дифференциальная геометрия. М., Л.: ГИТТЛ, 1949.-512 с.

42. Гавеля С.П., Незнакина Л.А., Зуева И.Н. Расчет деформирования конических оболочек / Киев. Технол. Ин-т легкой пром-ти. Киев, 1986. 20 с.- Деп. В УкрНИИНТИ, № 254.

43. Галимов К.З., Паймушин В.Н. Теория оболочек сложной геометрии (геометрические вопросы теории оболочек). Казань: Изд-во Казанского университета, 1985. - 164 с.

44. Гвоздев A.A. К расчету тонкостенных цилиндрических оболочек// Стр. пром-ть., 1933 - т. 1. - с.26 - 32.

45. Герман Л.Р. Вариационный принцип для уравнений упругости несжимаемых и почти несжимаемых материалов // Ракетная техника и космонавтика. 1965.Т.З. № 10. С.139-144.

46. Гилберт Д., Кон.-Фоссен С. Наглядная геометрия. М.: Наука, 1981. -344 с.

47. Годунов С.К., Рябенкий B.C. Разностные схемы (введение в теорию). М.: Наука, 1973. - 400с.

48. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ.- М.: Мир, 1999.-548 е., ил.

49. Гольденвейзер А.Л. некоторые приемы интегрирования уравнений теории тонких оболочек // ПММ. 1945. - т. 10. - вып. 3. - с. 15-22.

50. Гольденвейзер А.Л. Качественное исследование напряженного состояния тонкой оболочки // ПММ. 1945. - т.9. - вып. 6. - с. 14-20.

51. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Гостехиз- дат, 1953. - 512 с.

52. Гольдштейн Р. В. Некоторые актуальные задачи статики и динамики тонкостенных конструкций: Сб. студ. науч. работ ин-т проблем механики РАН. УНЦ "Механика и ее прил. в технике и технологии"; Под ред. Р. В. Гольдштейна, А. Л. Попова

53. Гордецкий A.C. Численная реализация метода конечных элементов // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев, 1973. вып. XX. С.37-42.

54. Горшков А. Г. Прочность пластин и оболочек при комбинированных воздействиях : Темат. сб. науч. тр. Моск. авиац. ин-т им. Серго Орджоникидзе; Редкол.: А. Г. Горшков (пред.) и др.

55. Гоцуляк Е.А., Ермишев ВН., Жадрасинов Н.Т. Сходимость метода криволинейных сеток в задачах теории оболочек // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев, 1981.С. 80-84.

56. Григоренко Я.М. Решение задач теории оболочек методами численного анализа // Прикладная механика. 1984. - т.20. - №10. - с.32-40.

57. Григоренко Я.М., Гуляев В.И., Гоцуляк Е.А., Ашура К.А. Напряженно-деформированное состояние трубчатых оболочек под действием равномерно распределенного давления // прикладная механика. Киев, 1983. N8. с. 11-18.

58. Грицук, С. И. Вариационно-разностный метод в задачах расчета анизотропных пластин. Дис. на соиск. учен. степ. канд. техн. наук . 05.23.17 Киев, инж.-строит. ин-т 1989.

59. Гузь А Н. и др. Методы расчета оболочек: В 5-ти т. T.I. Теория тонких оболочек, ослабленных отверстиями /- Киев: Наук. Думка, 1980. -636с.

60. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А., Гайдайчук В.В. Расчет оболочек сложной формы. Киев: Буд^вельник, Библиотека проектировщика, 1990. - 192 с.

61. Давлетова Г. А. Оболочки покрытий зданий и сооружений М. ВНИИГГИ 1992 43,2. с.ил.,21 см

62. Демьянова, А. А. Проектирование пространственных конструкций Учеб. пособие к курсовому и диплом, проектированию для студентов специальности 290300 А. А. Демьянова, Г. М. Мордовии; Сарат. гос. техн. ун-т 1997.

63. Деру га А.П. Двойственность вариационно-разностных схем расчета оболочек // Пространственные конструкции в красноярском крае: Межвуз. темат. сб. науч. Тр. / Краснояр. политех, ин-т. Крсноярск, 1981. С.19-32.

64. Деруга, А.П.сост. Вариационно-разностный метод расчета оболочечно-стержневых конструкций на ПЭВМ. Программа "OST" Учеб. пособие. Краснояр. гос. архитектур.-строит, акад.; [Деруга А. П. и др.] 1996.

65. Дехтярь А. С. Форма и несущая способность оболочек-покрытий А. С. Дехтярь, Д. Я. Ядгаров Ташкент Укитувчи 1988 183,1. с.ил.,22 см

66. Доннел Л.Г. Балки, пластины и оболочки. М.:Наука, 1982. - 568 с.

67. Джалвардена Кумудини. Решение задач расчета тонких упругихоболочек в форме развертывающихся геликоидов: Дис.канд. тех. Наук. 1. М.:РУДН, 1992.- 183с.

68. Дыховичный Ю.А., Жуковский Э.З., Ермолов В.В. и др. Современные пространственные конструкции (железобетон, металл, дерево, пластмасс): Справочник. -М: Высш. шк., 1991. 543 с. ил.

69. Жиль-Улбе Матье. Расчет эпитрохоидальной оболочки в усилиях и в перемешенях: Дис. . канд. техн. наук. -М.: РУДН, 1997. 134 с.

70. Зенкевич О. Методы конечных элементов в технике. М.: Мир. 1975. -541с.

71. Зенкевич С., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. -М.: Мир. 1986. -320с.

72. Иванов В Н., Ризван Мухаммад Пример расчета покрытия в форме резной поверхности Монжа вариационно-разностным методом // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений.

73. Межвузовский сборник научных трудов/Под ред. С.Н. Кривошапко. М.: Изд-во АСВ, 2003. Вып. 12. - С. 48-53.

74. Иванов В.Н. Расчет оболочек в форме циклических поверхностей: Дис. . канд. техн. наук. -М.: УДН, 1970. 117 с.

75. Иванов В.Н. Вариационно-разностный метод расчета пластин и оболочек // Расчет и проектирование строительных конструкций. М.: УДН, 1982. - с.131-141.

76. Иванов В.Н. Вариационные принципы и методы решения задач теории упругости: Учеб. пособие. М.: Изд-во РУДН, 2001. - 176 с. ил.

77. Иванов В.Н. Некоторые вопросы теории поверхностей с семейством плоских координатных линий // Расчет оболочек строительных конструкций. М. УДН, 1977. - вып. 10. - с. 37-48.

78. Иванов В Н., Ризван Мухаммад Резные поверхности Монжа и конструирование оболочек // Теория и практика инженерных исследований: Материалы научной конференции аспирантов, преподавателей и молодых ученых. М.: Изд-во РУДН, 2003. - 233-234 с.

79. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1968.-232 с.

80. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей. М.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1947. - т.1. - 512 е.; 1948. - т.2. - 408 с.

81. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 318 с.

82. Караманский М.Д. Численные методы строительной механики. -М.: Наука, 1976.-520 с.

83. Кашин П.А. Примеры расчета упругих оболочек. М., 1966., -132 с.

84. Кириллов СВ. Параметрические уравнения некоторых спироидальных поверхностей // Кибернетика, графика и прикладная геометрия поверхностей. Труды МАИ. М., 1974. - вып.296. - С. 112-124.

85. Киселев В.А. Плоская задача теории упругости. М.: Высш. шк., 1976.- 152 с.

86. Коваленко А.Д., Григоренко Я.М., Ильин Л.А. Теория тонких конических оболочек и ее приложения в машиностроении Киев: Изд-во АН УССР, 1963.-287 с.

87. Козлов А.Т. К расчету пологого эллиптического параболоида на криволинейном контуре. Дис.канд. техн. Наук. М.:УДН, 1974. - 153с.

88. Копытко М.Ф., Муха И.С., Савула Я.Г. Задачи статики и динамики для оболочек сложной геометрии // XIII всес. Конф. По теории пластичности и оболочек, Таллин, 1983. Ч. 3. - с. 66-71.

89. Корнеев В.Г. Сопоставление метода конечных элементов с вариационно-разностным методом решения задач теории упругости // изв. ВНИПГ им. Веденеева Б.Е. М.: Энергия. - Т.83. - 1967.

90. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Андреев СВ. К вариационным методам исследований устойчивости тонких оболочек сложной геометрии // Тр. XII Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. Ереван: Изд-во Ереванского университета, 1980. - т. 1. - с.67-72.

91. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Снигирев В.Ф. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек. М.: Наука, 1989. - 208 с.

92. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Фирсов В.А. К решению двухмерных задач механики деформирования оболочек сложной геометрии // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: Изд-во АН УзССР, 1980. - вып.60. - с.70-76.

93. Корнишин М.С., Файзуллина М.А. Обзор работ по расчету на изгиб и устойчивость пластин и оболочек сложного очертания. Казан, физ,-техн. ин-т. Казань., 1986. - 36 с. - Рук. деп. в ВИНИТИ N8071- В86 от 1.12.86г.

94. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин, пологих оболочек и методы их решении. М.: Наука, 1964. -192 с.

95. Краснов М.Л., Макаренко Г.П., Киселев А.И. Вариационное исчисление: Задачи и упражнения. М.: Наука, 1973.

96. Кришна Редди Г.В. Расчет оболочек в форме циклид Дюпена: Дис. . канд. техн. наук. -М.: УДН, 1966. 157 с.

97. Кришна Редди Г.В. Безмоментная теория оболочек в форме циклид Дюпена // Исследования по теории сооружений. М., 1967. - вып. 15.- с.90-99.

98. Куликов М.Е. Вариационно-разностный метод расчета гибких непологих анизотропных оболочек. Дис. на соиск. учен. степ. канд. техн. наук : 05.23.17 Урал, политехи, ин-т им. С.М.Кирова 1990. 173 с.

99. Лейбензон JI.C. Собрание трудов. Т.1. «Теория упругости».• М.:Изд-во АН СССР, 1951. 468 с.

100. Лейбензон Л.С Вариационные методы решения задач теории упругости. М.: Л.: ОГИЗ, 1943.

101. Лурье А. И. Общая теория упругих тонких оболочек // ПММ.- 1940. т.4. - вып.2. - с.7-34.

102. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.: Гостехиздат, 1947. - 252 с.

103. Ляв А. Математическая теория упругости. МЛ.: ОНТИ, 1935.- 674 с.

104. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики, 1989.

105. Маслеников A.M. Приложение метода конечных элементов красчету строительных конструкции // учебное пособие. Л.:ЛИСИ. - 1978. -84с.

106. Махмуд Хуссейн Аль-Хадж. Решение задач расчета тонких упругих оболочек в форме эпитрохоидальных поверхностей: Дис. . канд.техн. наук. М. РУДН, 1992.- 157 с.

107. Мельников Н.П. Металлические конструкции за рубежом. -М: Изд-во литературы по строительству, 1971. 400 с.

108. Милейковский И.Е., Золотов О.Н. Вариационный метод исходных уравнений при расчете складок и особенности напряженно деформированного состояния оболочек складчатого типа // Простран-ые конструкции.,М., 1972.

109. Милинский В.И. Дифференциальная геометрия. Л., 1934 - 332 с.

110. Михайленко В.Е., Ковалев С.Н. Конструирование форм современных архитектурных сооружений. Киев: Буд1вельник, 1978. - 112 с.

111. Михайленко В.Е., Обухова B.C., Подгорный А.Л. Формообразование оболочек в архитектуре. Киев: Бущвельник, 1972. - 206 с.

112. Михлин С.Г. Вариационные методы математической физики. -М.: Наука, 1970.-360 с.

113. Митчелл Э, Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнении с частными производными /под ред. H.H. Яценко. М.Мир. 1981. -216с.

114. Мейснер К. Алгоритм многосвязного объединения для метода жесткостей структурного анализа // Ракетная техника и космонавтика, 1968.№ П.

115. Молчанов И.Н. Численные методы решения некоторых задач теории упругости. Киев: Наукова думка, 1979. - 316 с.

116. Наср Юнее Ахмед Аббуши Геометрия конструирование и исследование напряженно-деформированного состояния оболочек в форме каналовых поверхностей Иоахимсталя. Дис. . канд. техн. наук. М.: РУДН, 2002.-275 с.

117. Новожилов B.B. Новый метод расчета тонких оболочек // Изв. АН СССР. ОТН. 1946. -№.1. -с.35-48.

118. Новожилов В В., Финкельштейн P.M. О погрешности гипотезы

119. Кирхгофа в теории оболочек // ПММ. 1943. - т. 7. - вы п. 5. - с.331-340.

120. Новожилов В В. Теория тонких оболочек. JL: Судостроение, 1962.-431 с.

121. Новожилов ВВ., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. - 656 с. ил.

122. Норден А.П. Теория поверхностей. М.: ГИТТЛ, 1956. - 260 с.

123. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнении. М.: Наука, 1986. - 288 с.

124. Павелайнен В.Я. Безмоментное напряженное состояние тороидального покрытия // Исследования по теории упругости и пластичности. Л.: ЛГУ, 1961.-№1. - с. 110-118.

125. Павлов В. Е. Гаспар Монж и развитие его идей в Петербургском институте корпуса инженеров путей сообщенияК 250-летию со дня рожденияф /В. Е. Павлов, Б. Ф. Тарасов; Петерб. гос. ун-т путей сообщ. СПб. ПГУПС1996 83,2. С.ил.,20 см

126. Паймушин В Н. К задаче параметризации срединной поверхности оболочки сложной геометрии //Прочность и надежность сложных систем Киев, 1979. С.78-84.

127. Паймушин В.Н. Некоторые задачи статики незамкнутых оболочек сложной формы и об одном методе их численного решения // Вопросы расчета прочности конструкций летательных аппаратов. Казань: Изд-во Казанского авиационного института, 1979. - с.67-76.

128. Паймушин В.Н., Андреев С. В. К численному исследованию напряженно-деформированного состояния однослойных и трехслойныхпластин и оболочек сложной геометрии // Прикл. мех. Киев, 1983, - т.7. с.24-30.

129. Паутов А Н., Толкачев И.Н. Расчет напряженно-деформированного ^ состояния пространственных пластинчатых систем // Прикладные проблемыпрочности и пластичности: Всесоюз. Межвуз.сб. / Горьк.гос.ун-т. Горький, 1981.№ 23. С.102-113.

130. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности.- М.:Изд-во МГУ, 1981. 344 с.

131. Постанов В.А., Розин JT.A. Метод конечных элементов в теории пластин и оболочек // Тр. IX Всесоюз. Конф. По теории оболочек и пластин. -Л.: Судостроение, 1975. С.292-296

132. Постнов В.А., Хархурин И Я. Метод конечных элементов в расчетах:: Судовых конструкции. Л.: Судостроение , 1974. - 344с.

133. Постанов В.А. и др. Метод супер-элементов в расчетах инженерных сооружений. Л.: Судостроение, 1979. - 288 с.

134. Пржеминицкий К С. Матричный метод исследования конструкций щ на основе анализа подструктур // Ракетная техника и космонавтика, 1963. № 1.

135. Пратусевич Я.А. Вариационные методы в строительной механике. -М.:ОГИЗ, 1948.-400 с.

136. Рекач В.Г. Развитие некоторых разделов теории расчета тонких оболочек // Труды УДН «Строительство»: Строительная механика. М.: УДН, 1967. - t.XXVIII. - вып.З. - с.3-5.

137. Рекач В.Г., Кривошапко С.Н. Расчет оболочек сложной геометрии.- М.: Изд-во УДН, 1988. 178 с.

138. Рекач В.Г., Рыжов H.H. Некоторые возможности расширения круга задач по конструированию и расчету оболочек // Труды УДН «Строительство»: Строительная механика. М.: УДН, 1970. - t.XLVIII.0вып.6. -с.3-8.

139. Ризван Мухаммад Конструирование оболочек в форме резных поверхностей Монжа// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений.Межвузовский сборник научных трудов/ Под ред. С.Н.

140. Кривошапко. M.: Изд-во АСВ, 2003. Вып. 12. - С. 63-68.

141. Рикардс Р.Б. Методы конечных элементов в теории оболочек и пластин. Рига: Зинатне, 1988. - 284с.

142. Розанов Е.Г. Пространственные конструкции в архитектуре России XXI века // Пром. и гражд. стр-во. 1998- N 7. - С. 15-18

143. Розин JI.A. Задачи теории упругости и численные методы их решения. -СПб.: Изд-во СПбГУ, 1998. 532 с.

144. Розин JI.A. Вариационные постановки задач для упругих систем. -Л.: Изд-во Ленинград. Ун-та, 1978. 224 с.

145. Розин Л. А. Современное состояние метода конечных элементов в строительной механике //Изв. Вузов. Стр-во и архитектура. 1981. № II.C.41-54

146. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М. Сторйиздат, 1977. - 129 с.

147. Рыжиков Ю.И. Программирование на Фортране Power station для инженеров. Практическое руководство. СПб.: КОРОНА прит,1999 - 160 с.

148. Савула Я.Г. Статика оболочек с резной срединной поверхностью:, дис. . канд. физ.-мат. наук.-Львов, 1973.-150 с.

149. Савула Я.Г. Расчет методом сеток безмоментных оболочек с резной срединной поверхностью//Динамика и прочность машин-1973. ,N 17.-С. 5-10.

150. Савула Я.Г. Новые ортогональные криволинейные координаты//Вестник Львов, ун-та. Сер. мех.-мат.-1978. ,N 13.- С. 85-90.

151. Савула Я. Г. Расчет и оптимизация оболочек с разными срединными поверхностями. Львов Выща шк. Изд-во при Львов, гос. ун-те 1989 169,1. с.ил.,21 см

152. Савула Я.Г., Флейшман Н.П. Расчет и оптимизация оболочек с резными срединными поверхностями. Львовск. университет, 1989. -172с.

153. Сальман Аль-Духейсат решение задач расчета тонких упругих оболочек в форме прямого и эвольвентного геликоидов аналитическими и численными методами: Дис. канд. тех. наук, М, 1989.-180с.

154. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы эллиптических уравнений. Из-во «Наука», М., 1976.

155. Самохин А.Б., Самохин A.C. Численные методы и программирование на фортране. М.: Радио и связь, 1996.

156. Сахаров A.C., Кисловскии В.Н., Киричевский В.В. Метод конечных ^ элементов в механике твердых тел.//под редакцией Сахарова A.C. и И.

157. Альтенбаха Киев: Виша школа, Головное изд-во; Лейпинг: ФЕБ Фахбухферлинг, 1982. - 479с.

158. Санчкс-Аркас М. Оболочки. М.: Изд-во литературы по строительству, 1964. - 172 с.

159. Секулович М. Метод конечных элементов: Пер. с серб. М.: Стройиздат, 1993. - 664 с. ил.

160. Скидан И.А. Аналитическая теория формообразования оболочек // Труды международной научной конференции «0болочки-2001». М: Изд-во РУДН, 2001. - с.366-371.

161. Стеблянко В.Т. Об одном методе задания частного вида эпитрохоидальных поверхностей // Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев, 1975. - вып.20. - с.89-91.

162. Тонти Э. Вариационные принципы в теории упругости //Механика: Сб.перев., 1969. Вып.5. С. 124-138.

163. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. -М.: Физматгиз, 1963. 635 с.

164. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.:Наука, 1975. -576 с.

165. Туницкий Д.В. Дифференциально-геометрические методы исследования уравнений Монжа-Ампера Дис. . д-ра физ.-мат. наук : 01.01.02 М. 1999. 285 с.

166. Угодчиков А.Г., Коротких Ю.Г., Копустин С.А. и др. Численный анализ квазистатических упругопластических задач оболочек и пластин //т.р. IX всесоюз. Конф. По теории оболочек

167. Ульянова Т. В. Вариационно-разностный метод расчета составных ребристых непологих оболочек с дискретными связями : дис. на соиск. учен, степ. канд. техн. наук 01.02.03 Новосиб. ин-т инженеров ж.-д. Трансп Новосибирск 1988. 161 с.

168. Фортран 90. Международный стандарт: Пер. с англ. -М.: Финансы и статистика, 1998. 378 с.

169. Фарес Милид Ж. Безмоментная теория расчета оболочек в формерезных поверхностей Монжа двойной кривизны. Дис.кан. тех. наук. М.:1. УДН, 1974.120 с.

170. Филин А.П. Матричная форма методов строительной механики // Гр. ЛИИЖТ, 1965.-вып. 1-4.

171. Фиников С.П. Теория поверхностей. M.-JI.: ГТТИ, 1934.

172. Хечумов P.A., Кепплер X., Прокофьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. М.: Изд-во АСВ, 1994. - 352 с.

173. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров: Пер. с англ. М.: Наука, 1972. - 400 с.

174. Хорошавин Е.А. Вариационно-разностный метод упругопластичского расчета непологих ребристых оболочек : дис. на соиск. учен. степ. канд. техн. наук : 05.23.17 Новосиб. ин-т инженеров ж.-д. трансп. Новосибирск 1989 160 с.

175. Церна В. Исследование работы в области теории оболочек в ФРГ // Второй Международный конгресс по тонкостенным оболочкам-покрытиям. -Осло, 1957.-М., 1960.

176. Чаттерджи Б.К. Некоторые оболочки, возведенные в Индии // Большепролетные оболочки: Международный конгресс в Ленинграде. М.: Стройиздат, 1969. - т.1. - с. 207-220.

177. Чернин B.C. Статика тонкостенных оболочек вращения. М.: Наука, 1968.-456 с.

178. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. Л.: Изд-во ЛГУ, 1962. -Т.1.-274 е.; 1964.-Т.2.-395 с.

179. Шагивалеев К. Ф. Расчет замкнутой цилиндрической оболочки по приближенной теории / М-во образования Рос. Федерации. Сарат. гос. техн. ун-т Саратов Сарат. гос. техн. ун-т 2001 161, 2. с.ил.,20 см

180. Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. М: Физматгиз, 1963.

181. Якупов Н.М. Об одном методе расчета оболочек сложной геометрии // Исслед. по теории оболочек: Тр. семинара. Казань: Казанский физико-технический институт, 1984. - вып.17. - ч.2. - с.4-17.

182. Якупов Н.М. О некоторых работах по расчету оболочек сложной геометрии // Тр. семинара. Казань: Казанский физико-технический институт, 1990. - №25. - с.86-94.

183. Якупов Н.М. Фрагменты оболочек сложной геометрии в тороидальной системе координат // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Казань: Казанский физико-технический институт, 1988. - вып.21, -4.1.-е. 130- 137.

184. Якупов Н.М., Галимов Ш.К., Хисматуллин Н.И. От каменных глыб к тонкостенным конструкциям. Казань: Изд-во «SOS», 2001. - 96 с.

185. Якупов Н.М., Хисамов Р.З. расчету нетонких оболочек сложной геометрии / Казанское математическое общество / Актуальные проблемы механики оболочек. Труды международной конференции. Казань-1998.

186. Юханио Маруланда Ар. Расчет оболочек в форме резных поверхностей Монжа//дис.кан.тех.наук, М.: УДН, 1970.

187. Aralden P.O. The application of the super-element method in analysis and design of ship structures and machinery components // National symp. on computerized analysis and design. Norway, 1972.

188. Argyris J.H. Matrix methods of structural analysis // Proc. 14-th meeting of AGARD. AGARDograph. 1962.-72.

189. Briffle I.H., Becker E.B. Finite element stress formulation for dynamic elastic-plastic analysis-computer method in applied mechanics and engineering. 1975. V.6. 1.

190. Barony S.Y., Totlenham H. The analysis of rotational shells using a curved ring element and the mixed variational formulation // Int. J. Numer Meth. Eng. 1976. - 10. - N4. - p.861-872.

191. Bushell D. Computer analysis of complex shell structures // Pres. At AIAA eight Aerospace sci. Meet.N.Y.,AIAA paper N 70-138,Jan. 18-21.1970.

192. Brebbia C.A., Hadid H.A. Analysis of plates and shells using finite elements // Pev. roum. sci techn. ser. mec. appl.- 1973. 18. -N15. - p.939-962.

193. Dean W.R. The distortion of curved tube due to internal pressure. Phil. Mag VII ser. Vol. 28. - 1939.

194. Dixon R. Asymmetric shells a new approach // Bulletin of international Association for Shell and Spatial Structures. -1991. - Vol. 32. -№3. - p. 133-137.

195. Forsyth A.R. Lectures on the differential geometry of curves and surfaces. -Cambridge. -1920

196. Gehrke W. Fortran 90 Language guide. - London: Springer Verlag. 1995. -384pp.

197. Jiirgen Joedicke. Shell Architecture. London: Alec Tiranti Ltd., 1962. -304 c.

198. Kikuchi F., Ando Y. A new variational functional for the finite element method and its application to plate and shell problems // Nucl. Eng. Design. -1972. -N25. -p.95-113.

199. Love A. On the small free vibrations and deformation of theis elastic shell.Ph:L. Trans.Roy.Soc.vol.l79(A).1988.

200. Mirna F.A.,Olson M.D. The fixed finite element method in plane elasticity // Int. J. number. Meth. Eng.,1980.15. N 2.

201. Monge G. Mémoire sur l'intégration de quelques equation aux derivees partielles/Mem. Ac. sci. 1787. -309 p.

202. Neki I.,Nagai K.,Fuke H. General purpose program of plane stress analysis of finite element method and its application // EHI engineering rev.,1972. V.5,N1.

203. Nelson R.L. Stresses in shell structures // J. Sound and Vibr. 1981. - 79. - N3. - p. 397-414.

204. Oden J.T.,Reddy J.N. Variational method in theoretical mechanics/ -Springer-veriage, Heidelberg, 1976.

205. Reddy J.N.,Chandrashekhara K. Nonlinear analysis of laminated shell including transerse shear strain -AIAA journal, 1985,23,№3 p.440-441.

206. Skopinsky V.N. Stress analysis of shell intersections with torus transition under internal pressure leading. // Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technol. -1997. 119, №3. - p.288-292.

207. Subbian J.,Natarajan R. Nonlinear large deformation analysis of ring stiffened shells of revolution INCOE 81 : 1 Indian conf. Ocean Eng., Madras.Febr. 18 - 20 198l.Proc.Vol.1. -Madras, s.a., 11/56 -11/60.

208. Wille DR. Advanced scientific Fortran. Chichester etc.Wiley & Sons, 1995 - 234pp.1. К ДИССЕРТАЦИИ

209. ГЕОМЕТРИЯ, КОНСТРУИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧЕК В ФОРМЕ РЕЗНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ МОНЖА1. ОБЩЕГО ВИДА»