автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Изгиб прямоугольных плит средней толщины с учетом нелинейной работы материала

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

рГ8 ОД

На правах рукописи

ДЗИРИ РАУФ

УДК 624.073.2

ИЗГИБ ПШОУГОЛШХ ШИП" СРЕДНЕЙ ТОЛЩИНЫ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОЙ РАБОТЫ МАТЕРИАЛА

СБ.23.17 - Строительная механика

Автореферат

диссертации па соискапие ученой степени кандидата технических наук

йоскра 1004

Работа выполнена в Московском государственном строшвльн университете.

Научный руководите ль

Официальные оппоненты

- заслуженный деятель науки России член-корреспондент Российской академии ACH, доктор технических наук, профессор Леонтьев H.H.

- доктор физико-математических нау . профессор Власов Б.Ф»

- доктор технических наук, професс Шапошников H.H.

Ведущее предприятие

- ЦНШЭП зрелищных и спортивных сооружений им.Мезенцева

Защита состоится "3 " ^//г1984 г. вisчас.мш на заседании специализированного совета К 053.II.06 в Mockobci государственном строительном университете по адресу: Коею Шлюзовая наб., дои 8, ауд. № 409.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета

Просим Вас принять участке в защите и направить Ваш отзыг 2-х экземплярах по адресу: 129337, Москва, Ярославское шоссе, д.! МГСУ, Ученый совет.

Автореферат разослан " ^ "

34 г.

Ученый ceicpeTapb Л» =- 1.5 ^ ty - / 3 4

специализированного совета

доцент, кащщцат технических наук Н.Н.Анохм

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Прямоугольные плиты с различными закрепле-шями контура являются важнейшим элементом большинства строительных сонструкция. Однако, дане при относительно небольшой толщине таких шгг их работа под нагрузкой значительно точнее описывается теорией шгг' средней толщины, чем классической теорией изгиба тонких ыастинок. Теории плит средней толщины посвящена обширная научная пггература, и в настоящее время она представляет собой достаточно ю дробно разработанную инженерную теорию, имеющую несколько шзличных вариантов.

Вместе с тем, современный уровень рззвития строительства [редъявляет веб более высокие требования к конструкциям, работающим условиях больших нагрузок, что вызывает необходимость в >азработк9 новых методов расчета сооружений, позволяющих более еолно учитывать действительные условия работы конструкции и, в астности, материала, из которого она изготовлена.

Поведение большинства материалов, применяемых в строительстве, • ри небольших напряжениях хорошо описывается линейным законом Гука, о с увеличением нагрузки зависимость между напряжениями и ©формациями становится нелинейной.- Это обстоятельство приводит к еобходимости учета упругопластических свойств материала при налкзе работы конструкции. Имеется значительное число сслэдованш, посвященных задаче упругопластического поведения онких пластин, однако применительно к штатам средней толщины учет изической нелинейности не проводился.

В свете изложенного можно заключить, что исследование эведения прямоугольных плит средней толщины с учетом нелинейной

работы материала представляет собой весьма актуальную задачу имеет как теоретический, т<к и практический интерес.

Цель диссертационной работы:

1. Получить аналитическое решение задачи об изгиб прямоугольной плиты средней толщины с учетом нелинейной работ материала, приняв при этом в качестве расчетной модели вариап теории изгиба плит средней толщины, предложенный Б.Ф.Власовым;

2. Разработать программу для ЭВМ, реализующую расчзтны алгоритм;

3. Провести расчет прямоугольных плит при различных условия на контуре, проанализировать влиянка физической нелинейности сопоставить результаты с решениями, извэстньми из публикация;

Научная новизна диссертации состоит в том, что в ней:

- впервые рассмотрена задача об изгибе плиты сродней толщины учетом физической нелинейности;

- на база кинематических и статических гипотез, предложении Б.Ф.Власовым, получена система соответствующих^ даффэрэнциадыш уравнений;

- при реализации метода упругш рэЕэння использован обобщенны вариант вариационного катода В.3.Власова - Д.В.Канторовича:

- разработана программа для ЭВМ, реализующая расчетный алгоритм.

Практическая ценность работа заключается в Еозаоншост непосредственного использования полученных формул, алгор;тя расчета и вычислительной программы в практика роальиог проектирования конструкций, выполненных из нелинейно упругог материала.

Достоверность положений и выводов диссертации вытекает и

сачественного соответствия Полуниных в ней результатов тем, готорые известны из имеющихся публикация, но относятся к тонким иастинам, а также из хорошея сходимости решений, проверенной в 1роцэссе численного эксперимента.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на научной семинаре аспирантов кафедры 'Строительная механика" МГСУ в 1693 г,

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит и введения, трех глав, основных результатов и выводов, списка втгературы и приложения. ОЗьон диссертации составляет 127 страниц 133ШЮПИСНОГО текста, включая 29 рисунков и 2 таблицы. Библиогрэфия юдерхиг 110 наименования. На защиту выносятся:

- методика и алгоритм аналитического расчета прямоугольных ¡лит средней толщины с учетом физической нелинейности;

- результаты решения задач для прямоугольных плит при наличных условиях закрепления контура.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе дается Обзор литературы по затронутым в дассертацни вопросам. Обсуждаются различные расчетные модели гшп родней толщины и в^-'можные методы исследования их напряженно-ззформировпннога состояния, приводятся основные гипотезы и лфферонциальные соотношения теории изгиба плит сродней толщины, родложенной Б.Ф.Власовым, рассматриваются возможные способу ппроксимапии диаграммы работы нелинейно упругого материала, роводится обзор исследовании по расчету пластин с учетов

физической нелинейности.

Среда исследовании, посвященных проблеме расчета плит средней толщины, рассмотрены работы Е.Реисснера, А.Кроима, Х.М.Муштари, В.Панка, А.Л.Гольденвейзера, А.В.Гордеева, Б.Ф.Власова. Делается вывод о том, что одам из наиболее удобных для проведения практических расчетов является вариант, предложенный Б.ё.Власовым, в котором задача сведена к системе двух дифференциальные уравнений, имеющей шестой порядок, а граничные условия не содержат производима от заданной нагрузки. Работы Б.Ф.Власова развивались в дальнейшее А.В.Папушем, М.С.Марки, Ю.Э.Михаяличанко, С.В.Мазуровой.

В §1.2 подробно рассмотрены основные гипотезы и дифференциальные соотношения теории изгиба плит средней толщины, предложение! Б.©.Власовым. Принимая некоторые кинематические и статачзскк гипотезы, приводящие к естественно?,зу обобщению теории Кирхгоффа н< случай плит средней толщины, Б.Ф.Власов получает систему тро: дифференциальных уравнения в частных производных относительш функций «г(х,у>, 1;у(хрУ):

1+11 о г <П 0% 1 2С*1 , ое п.

+ —- _ ♦ —' = -[I--1,

* 1 -¡а ¿5x1. сх оу } Б<1 -р.) ^ * }

1+р. е ( оЪ а\ 1 2С11 , .

+ — — ——' = -\% - -1, <1

у 1-р. ву{ <5* бу ) У Оу *

-

сП ^?t ■> 1 — - —у ---Ч <*.»>.

Оу } ""

Ох Оу \ ей

Общий порядок этой системы позволяет сформулировать по три услогч для каждого из краев шиты.

Система дифференциальных уравнений (I) кошт быть полошена

основу расчета пластинки средней толщины, однако при помощи достаточно простых преобразований она упрощается и приводится к виду, более удобному для практического использования:

9*<р -

Т2^ «

201 В(1-Ц> Ч

ф = О,

(2>

15

Здесь в рассмотрение вводятся две новые искомые функции г<х,у> и <р(х,у>. связанные с принятыми ранее основными неизвестными задачи следующими зависимостями:

щ = Ь--4*1,

СИ

г =

<П 0(1 -р.) ¿ф Лх 2011 <*у

. <П В< 1 -М-> <*р

£ а . ■ и - ■ —и I ■ • I I.-

у «у 2СЬ ах

Ф =

<п

у X

(3)

(4;

(5:

При этом внутренние усилия в плите выражаются через искомы« функции следующими соотношениями:

0 = СЬ-

г <п п л

— + ц.-* .

дх Яу J

( <Н <»1 1 —" + —у •

^ ду <*х J

М = - Б'

Яу

1-р. ( <П <Н М = - Б- —" + —

*у г {»у <*х

Г 1

и о - в- —у + ц ,

у I, <»у <?х ^

(в)

г а« ¿ь<

СЬ-Г — - I; 1.

I

У

В обзоре исследований по расчету пластин с учетом физическ нелинейности отмечается, что большой вклад в развитие нелинэйн теории упругости и теории пластичности внесли Н.И.Безухо

A.А.Ильюшин, Л.М.Качанов, В.В.Соколовский, А.И.Биргер, А.А.Гвозде И.И.Гольденблат, А.Ю.Ишлинский, Г.Каудэрзр, Б.Г.Коснев, П.А.Лука

B.В.Новожилов, А.Р.Гжаницын, И.С.Цурков, Д.Г.Оден и другие ученые Имеется значительное число исследования, посвященных зада

упругопластического поведения тонких пластин. . В работ

A.А.Ильюшина, И.С.Цуркова, П.А.Лукагаа, Ю.Р.Лэпика, Б.В.Пономарев

B.А.Колгадина, А.Л.Стрельбицкой, В.М.Проскуриной, Л.Н.Курэ Л.Г.Смирновой, Т.А.Данчеэвой, И.В.Новоселова, Н.Р.Садахова, друг авторов получено много важных для практики результатов.

Проведенный обзор работ по расчету пластин с учетом физическ нелинейности показал, что во всех исследованиях этот вопр рассматривался только в ранках теории тонких пластин Ккрягодфа и разу не ставился применительно к пластинам сродней толдакы. Это определило ц»яй настоящей диссертации.

Во второй главе дзао решэнш задачи об изшЗэ претоугольп шшт средней толпщнЫ' с учето» нелинейной работы материала, основе теории малых упругогьласикзскш дэфоргяаций и кшэштичэск и статических гипотез Б.Ф.Власова строится система уравквшя йзге шшт средней. толщины с учетом физической нелинейности. При от принимается гипотеза о несжимаемости материала, т.е. козффвдкэ Пуассона полагается равным 0,5.

При активной деформации девиаторы напряжений и деформап пропорциональны. Это позволяет выразить напряжения через деформап и перемещения:

4 0., 1

а ---- е + — е

3 е I « я ■

4 о.

Г аХ

(Ы

4 а. ,

а я--Г е +

3 е, 1 у

^ 3 е1

1.1..1

2 х) 3 е. I оу

1 О. Г <П «Я 1

__1.2 __« I

3 е1 I су J

1 °1 1 а. г 1

* = "з" 1уя = ¥ Т I ^Г " М *

е1 I ^ у)

1 а.

- - -¿-т.

3 5.

1 <п

__у

2 «»у

1 аХ

X

2 <*х

(7>

1 О. 1

•Е «.--« _

у* 3 е. " з

Здесь а^ - интенсивность напряжения, а - интенсивность деформаций:

е, = ■

1 /з

1 2

е1+в е + — (7* +7* +7* > = -/ Р г1 + Р

уму » 'ку »уж 'еж /-» "

4 . /з

/? г" +

(8)

Через Рх и Р>. обозначены следующие квадратичные формы:

Р =

X

<П 1 г Г I1 «п »X 1 Г ах ¿»г ] x

щ > —у + к ■+ _ — + ~-у »

ох 1 «»у } «>х *у 4 а-л

1 Г <»»

- t

Г <>»'

ву

(9

<ю:

Интегрируя напряжения (7) по толщине ачиты, можно получш выражения для моментов и поперечных сил:

*

ь г' 4 Г ОХ 1 аХ у

о -г-ах *--1 } —г + _

}г х 3 М, лс 2 еу }

"У 4 С ах 1 <П у

= Г а = —I —' --г ,

-¿ш У 3 Ч^у 2 - Ас )

Кг 1 Г П л

= Г , I—» ,

-Ьхж У 3 I* ^

ь Г2 1 г 1

0 . г -а* = —I,--г ,

V 1 г л? •>

и

У

1 Г П

Мку = ] Я. „*•«»* . --1,1—" + —' }. (И)

■ь^г

ьх2

-Ъ/г

Здесь через II и 13 обозначены жесткости дяигЫ, подсчитанЕыэ с учетом нелинейной работы материала:

ь/1 _ ъ/г _

ст. г о,

I = Г , I = Г — 21 . (12)

-Ь^г «Ч -¿г «I ■

В соответствии с методом упругих рощэкш все усилия в плите запись®аются в виде разностей:

Н = М* - АМ , Н = М* - ЛМ , М = И* - АМ ,

К X х' у у у" ху к у к у '

<13)

= о: - ¿г- -Ч'

где - усилия, возникавшие в линейно дефоршруэноя кон

струкции и определяемые выражениями (в) при н - 0,5, а АМх,...,Д£^ представляют собой поправка! к упругим решениям, которые мокша представить в вида:

¿Мк = а,М*. АМ = лмцу= а,М*у.

I г 4 I

Здесь обозначено: а - 1 - ——, а. * 1 ---. . (15)

1 * ■ 3 0.

Таким образом, окончательно для усилий в плите будем иметь аяэдувдкэ зависимости:

Ц, - Н*(1-а,), Му-И^<1'чц), 1!яу« м;у(1-<х3),

(1в)

Для вывода разрвиаэдая системы уравнения изгиЗа плиты мошс воспользоваться известными уравноаилгди равновесия э.лемента в( средшшой плоскости. Исключая затем из этих уравнения ■ линеяш упругие усилия, получим систему трех дифференциальных уравнениз относительно ноизеэстных функция и, и Ъ , аналогичную систем (I) при м- = 0,5, но ю.'.егхдуп дополнительные нелинейные члены ) Правой части:

а аг о\ 1 12 г ч 4

?Ч. + 3-

д ( а\ 1 12, ^ 4

чч +3— —" * —' - -г[г--1 + — о,(*,у), (17)

у Оу{ <ы бу J Ь у <?у •• Б

Г П <П 3 3

у*я - = _ ч(х>у) + __ 0<*,у)>

I лу ) Ш

да 0 (*,у) = а<Г - -^-(аХ1 - •

ах &у

Ог(х.у> = а(£ - —(азМ") - 4~<«з<у) • <18>

<?у с?х

0-<х,у) = — (аО*) + — (аО*) .

Ох Зу * у

Как отмечалось ранее, система (I) трех дифференциальных равнения в частных производных не удобна для практического спользования, поэтому ее приводят к системе двух уравнений (2) с гомощыо подстановок вида (3)-<5). Аналогичные приеш можно рименить и к системе (17), однако при этом следует учитывать аличиэ в ней дополнительных нелинейных членов. Сохраняя без зменения зависимости <4) и обозначение (5), введем в соотношении 3) некоторую дополнительную функцию А(*,у), при помощи которой удут тождественно удовлетворяться первые два уравнения системы 17), т.е. примем:

и = г--уЧ + А{х,у). (19)

3

Дяя получения уравнения относительно функции <р(х,у) родафференцируем второе уравнение системы (17) по а первое -

у и вычтем го первого результата второй. В результате, аггывая обозначение (5), получим

. 12 4

Т^ф _ _ ф - _

Ь Б

г а®

2 11 (20)

'1

Ох 8у

Подстановка соотношений (19), (4) и (5) в первые два уравнения истемы (17) и использован® уравнения (20) позволяют ' найти

зыражения для первых производных от функции А(*,у):

г дф а® >

«А 3 Л» О.

&х ■ у? ▼ т '

аА 3 и

-V - На 2 «Г

_

<?х (_ <?х <?у )

С помощью этих соотношения нетрудно получить выражение для

оператора Лапласа от функции А(х,у), которое потребуется при преобразовании третьего уравнения системы <17). Окончательно это уравнение запишется в вадэ:

, , Ч 1 Г «9 «в •

= — + — —1 + —? ■

В

(22)

Ъ 1) [л ¿у

Уравнения (20) и (22) представляют ссбоя систему двух диффз-

рендаальных уравнений, аналогичнуэ система (2) соответствующей

линейно упругой задачи, но шеэдую дополнигашшэ нэлЕвйныо члоны

в правой части:

^ 12 ^ф - -г-ф =

]г

(23)

у^г = ~ + о (х.у),

в

гда с учетом (18):

4Г«?<аСГ) ¿(а О*) л2 „ й г а2 «?а . „ 1 О (К,У)= --(а М^и;)-(—---1 (азм:у) .

1 В{<йх <?у Лч«?у 3 " ^ у 1 Йх* ¿у*-" 3 ху J

1 Г/ .. 0г л а3 ф 1 (24)

Фг{*,у> - -- — («3М;> + — ЧЬГ) + 2—-<«,М > .

2 Г [ вх" 3 " ву у у J

В соответствии с методом упругих решений функции Ф4(*,у) i Фа<*,у) в нулевом приближении полагаются равными нулю:

Ло<х«у> = Ф10(х,у) - 0.

Получим систему вида (2), отражающую упругое состояние плиты. { результате решения этой системы будут найдены функции t0(*,y) i <р0(х,у)> через которые по соответствующим формулам при А<*,у) а ( определяются прогибы, углы поворота и внутренние усилия в плите.

Затем можно найти деформации и интенсивность деформация, чтс позволит установить упругопластические области в первом приблихэ-шш. Используя заданный закон о-е, можно в пределах каздо! упругопластическои области найти по формулам (II) жесткости плиты, а затем и коэффициенты at (х,у) и аг(х,у). Это позволит найп дополнительные усилия, а таю» построить функции ®lt(x,y) i ФХ1(х,у) и решать задачу в слэдуивем, первом, приЗлишнии, т.е, интегрировать систему (23) при известной правой части.

Описанный процесс повторяется, пока во будет достигнут! требуемая точность, которую можно оданить по величине расхоадеш между.результатами решения в n-ом и (п-1)-ом приближениях._

Для решения системы уравнений (23) при известной правой част! предлагается использовать обобщенный вариант вариационного катод; В.З.Власова - А.В.Канторовича.

Искомые функции ф(*,у) и t(x,y) представляются в вид следующих разлокюния:

п г»

<р(*.У> = + рк(х)'Ч<у> »

1м к>1

„ <25>

t(x,y) „ ^W.(y).X.(x) + \{У) .

ist k«t

Здесь ФУНКЦИИ Tt(y), uk(x), W.(y) и vfc(x) являются еэизвэстными, a aev(x), \(у), xv(*) и %(.у) ~ заданными, то есть выбранными в соответствии с физическими условиями рассматриваемой задачи (граничными условиями, нагрузкой и т.д.).

Джя определения искомых функций Tt(y), Uk{x), Wt(y), Vk (x) внесем разложения (25) в дифференциальные уравнения (23) и применим к каждому из та двазды процедуру метода Бубнова-Галеркина. В результате получки две системы обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующих первому уравнению из системы (23), и две системы обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствутазш второму уравнения.

Расчетный алгоритм обобщенного варианта вариационного метода В.З.Власова - А.В.Канторовича существенно упрощается, если в качестве аппроксимирующих функции вьйраны фуякщт, обладающие свойством ортогональности. Наиболее простое решение дают, эстестванно, триговокотряческкэ функций, являющиеся ортогональными со всеми их производными. Если принять:

в. (х) = сов а.х, А. (у) = соз р.у, 1 V тс к (2в)

Xt(x) = sin Tjk(y) = sin риу,

где ах = рк = к-а/Ь,

продадура гяетода Бубнова -Галеркина приводит к отдельным уравнениям относительно неизвестных функции:

< - (< + г*) = ^ (^(У) - ^СОЗ ßky),

fes*

К - «£ + - V(г*<*> -Izklcos v).

^ - < + .14 - - (с,(у) - 2 Хиз1П Рку) ,

а к*«

V? - гр:< + = 1 (Ц,{х) - ^зШ а.,).

I«»

Здесь:

О Ь

Му) а | «Vе-ах, Гк,(х) в I" р^соэ

о О

о ь

<Л<у> = | Рг-эш а^-ёх, ^(х) = | р^-аАп Рку<*у,

(29)

- гк1 - 1ь№. х№ - ^ - (зо)

Ь« К V А 1К V* и « И -

а Ь а

оЬ

Др4-соз а.х-соз ркус1хау, К1к= Др4*а1п <гх.з!п рку-а>«1у. (31

со оо

Решения дифференциальных уравнения • (27) представим в вид суммы общего интеграла и мастных решения от функций, входящих правую часть:

Т,(у) = Т°(у). +• Т*(у) +-Т*(у).

<32!

ик(х) = ик(х) + и„(х) + ик(х).

Аналогично строится решение и для уравнений (28): - ¥!<*> ++ •"<>■>•

V*) - 7к(х) + Ук(х) 4 Ук(х).

В третьей главе приведены примеры расчета и анализ полученных результатов. Обсувдзотся различные вопросы конкретной реализации метода упругих решений, рассматривается определение жесткостэй нелинейно упругой пластины, построение частных интегралов для некоторых видов нагрузки, описывается программа для ЭВМ, реализующая расчетный алгоритм.

При использовании метода упругих решений наибольшие трудности возникают при вычислении функция Ф,(*,у) й Ф2(х,у), которые находятся в правой части системы дифференциальных уравнений (23) и определяется формулами (24). Эти вычисления ношо существенно упро стать, если положтгь, что в пределах каждой упругопластической области местности штаты I, и 13 остается постоянными и равными некоторым шшияальнш значениям. Такое предположение идет в запас прочности, так как оно приводит к ушньшенш жесткости плиты в упругопластичоскиз зонах.

Для реализации указанного приема область, занимаемую плитой, разобьем на прямоугольные подобласти, для каждой из которых и будем опрэдэлять тасткоста плиты 14 н 13. Если в пределах некоторой подобласти деформации окажутся упругими, следует принять:

I, = Иь 1а = Н1* /12, а, = а, = 0.

При наличии упругопластических дафоряаций коэффициенты а4 и с?ъ в пределах кзздоя подобласти сохранпхгг постоянное значение, и поэтому в формулах (24) их можно вынести из-под знака дифференцирования. Посла несло:кных преобразования получим:

^ . 12 -^(х.у) = « а^ф - «»^гФ ?

а, ( »'и* а*\/Г 1 .

ф2(х.у) = —' —" + —гу + 2—= Б I Лс аУ ¿х Зу J

Здесь через ф* и X* обозначены значения функция ф и 1 соответствующие линейно упругим решениям.

Таким образом, для некоторой 1-ой упругопластическс подобласти система уравнений (23) примет вид:

^ 12 . . 12 .

^Ф - -гФ = - а —ф ,

п ь -- (35

Б

Выражения, стоящие в правой части системы (35), мона упростить, если воспользоваться рекуррентными соотношениям которые получаются при последовательном рассмотрении носкольга приближений. В г>-ом приближении система (35) монэт бьп представлена в вида: , 12 12 ,

Ч (38

При постояклых коэффициентах а1 и а^ существенно упрощают! и формулы (21) для частных производных от функции А(х,у):

иэ . ь* а

ок о

<?х

бк е

ду ёу

Гг. «л ь .1 п 6 Г , . 12

Пренебрегая в (37) последними членами, что не слишком ¡ущественно отразятся на исходных уравнениях равновесия, ¡коичательно получим:

А(х,у) = аДя*- 1;*] + аа—(38)

I

Считая, что внешняя нагрузка ?ло;::от быть продстзвленэ в ввдо:

Ч(Х,У) = Ч1(х)^2(у), (39)

гэйдэны частные интегралы для трех типов нагрузки: равномерно заспределенной, сосредоточенной и постоянной на некотором штервале. При атом были использованы идеи котода начальных "гарзггатров, т.о. получена функция влияния "сосредоточенной силы" и з ее помощью затканы решения для отдельных участков.

При построении чзстяыз интегралов, определяемых нагрузкой на хиту, следует таткэ. учитывать, что использование метода упругих решения приводит к появлетзг накоторих дополнительных, "фиктивных" загрузок, приложенных в упругопластических зонах. Для шрвого сравнения систе?зы (36) такая нагрузка является единственной, а для второго она дсбавляотся к заданной.

Характер ее распределения определяется функциями, стоящими в правой часта уравнений (Зв). Для второго уравнения системы он зависит от того, как изкенкнтся коэффициенты аэ по области плиты, а они, как было принято, остаются постоянны!,га в пределах прямоугольных подобластей, на которые разбивается плита. Следовательно, для второго уравнения систем (38) дополнительная нагрузка в каздой прямоугольной подобласти распределена равномерно и в целом имеет характер, представленный на рис.1, где условно показано относительно небольшое количество подобластей.

у /

РисЛ. Примерный характер распределения дополнительной, • нагрузки для второго уравнения системы <38).

Для первого уравнения системы (36) характер распределения

"фиктивной" нагрузки определяется не только коэффициентами а4 и

а5, но и значениями функции ф, найденными на всех предыдущих шагах

итерационного процесса, что заметно осложняет построение частных

интегралов этого уравнения в общем вида. Приближенно можно принять,

что в пределах каждой прямоугольной подобласти функция. <р. как и

/ - - ■ коэффициенты а1 и аа, сохраняет некоторое постоянное, осреднвнноэ

значение. В этом случав "фиктивная" нагрузка для торного уравнения

будет, также как н для второго, равномерно распределенной.

Для реализации изложенного алгорюта расчета прямоугольных плит средней толщины с учетом нелинейной работы материала, была составлена вычислительная программа для персонального компьютера на языке Фортран. Время счета одной итерации при пяти членах ряда составляет приблизительно I минуту.

С помощью эт й программы был выполнен ряд тестовых примеров, в которых анализировалась скорость сходимости итерационного процесса, устанавливалось влияние отдельных параметров на напряженно-деформированное состояние плиты, выявлялись особенности поведения плит средней толщины. Для возможности сопоставления получаемых результатов с тонкими плитами был составлен вариант программы, в

этором при полностью аналогичном алгоритме все расчетные формулы

зстроены на базе теории Кирхгоффа. Достижение пластического

1

эстояния в плите определялось в соответствии с критерием Мизеса,

.е. при е1 > ет.

В качестве первого примера была рассмотрена квадратная плита

о стороной о, шарнирно опертая по всему контуру и загруженная

авногшрно распределенной нагрузкой. Величина нагрузки характеризо-

Ча

злась безразмерным параметром q = -

о 1г

г

дэ ч - интенсивность нагрузки, от = 1ет, Ь - толпина плиты.

Зависимость мэ:кду папрякиниями и деформациями была принята в здэ закона лилейного упрочнения с параметрами: ет = 0,001 и к -',085. Это позволило сравнить результаты с результатами других зторов, в частности, с работами Л.Н.Курэк и Т.А.Дэнчеевой, гдэ риводятся рзиония аналогичной задачи.

На рис.2 для примера даны графики изменения безразмерного [ропйа 5 с ростом покера итерация, построенные при 5 = 6 п

8)1

0 8 16 24 32 40 п Рис.2. Зависимость'еоличины безразмерного прогиба в центр© шшты от номера итерации.

прзволяющиэ судить о скорости сходимости итерационного процзсса .Сделан вывод о том, что при небольших нагрузках для получен® удовлетворительного результата достаточно иметь 10-15 итераций, тогда как с увеличением нагрузки (когда вся шшта переходит i пластическое состояние) может потребоваться 100 и более итерация.

С увеличением нагрузки прогибы и усилия в плите расту! нелинейно. На рис.З и 4 показаны графики изменения безразмерное прогиба и изгибающего момента в цэнтре гшггы. Здесь наклонные прямые соответствуют линейно упругим решениям.

Рис.З. Зависимость безразмерного прогиЗа в цэнтрэ папы от нагрузки. 1 - классическая теория: 2 - = 0,1;

JL а

3 -

0,2.

Были рассмотрены и другие примеры расчета физически нелинейны? плит средней толщины, ииэвдих иные граничные условия, в частности, плита, два противоположных края которой имеют шаркирныз опоры, е два других жестка защзклэнц, а такта плита с двумя шарнирными V двумя свободными краями.

да'

л*2

I

I

0,3

/ -у 2 3

#

/

0,6

0,9

м

x

о й*

Рис.4. Зависимость изгибающего момента в центре плиты от нагрузки. 1 - классическая теория;

2

•=0,1; 3

•= 0,2.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Использованный в работе тлетод упругих решений в сочетании с обобщенным вариантом вариационного штода В.З.Власова - А.В.Канторовича позволил достаточно эффективно' получить аналитическое решение задачи об изгибе плит средней толщины■ с учетом физической нелинейности.

2. Разработанная на основе предложенного алгоритма вычислительная програкйа позволяет при помощи современных ЭВМ проводить расчета плит с различными граничными условиями при различных нелинейных зависимостях между напряжениями и деформациями.

3. Выполненные с использованием программ тестовые призеры дали представление о скорости сходимости итерационного процесса при разных уровнях нагрузки, продемонстрировали влиянкэ различных факторов на напряшонно-дэформировапноо состолниэ плиты и выявили особенности поведения плит средней толщины.