автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Динамика двухслойных неспаянных пластинок

На правах рукописи

Овсянникова Ольга Александровна

ДИНАМИКА ДВУХСЛОЙНЫХ НЕСПАЯННЫХ ПЛАСТИНОК Специальность 05.23.17- Строительная механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Саратов 2006

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет»

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, доцент Крысько Антон Вадимович

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Овчинников Игорь Георгиевич

доктор технических наук, профессор Антоненко Эрик Васильевич

Ведущая организация:

Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет

Защита состоится «21» сентября 2006 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.05 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет, корп. 1, ауд. 319.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ • ВПО «Саратовский государственный технический университет».

Автореферат разослан <

« -¿У» 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совет!

Иноземцев В.К.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Неспаянные многослойные пластинки представляют собой сложную динамическую систему, в которой, в зависимости от изменения параметров воздействия, начальных и граничных условий возникают различные режимы колебаний.

Задачи динамики о контактном взаимодействии между тонкими пластинками особенно сложны, поскольку при их решении приходится одновременно определять зоны контакта двух и более пластинок, а также напряженно-деформированное состояние (НДС). Выделим два различных типа задач многослойных пластинок. Первый - задачи анализа напряженного состояния слоистых пластин со спаянными слоями при наличии отдельных зон несовершенного контакта слоев, возникающих вследствие технологических дефектов или особенностей эксплуатации конструкции. Этой проблеме посвящен ряд работ, среди которых особо отметим работы Не-мировского Ю.В., Резникова B.C., Пелеха Б.Л., Лазько В.А., Максимчука A.B., Ко-ровайчука И.П. и др. Второй тип задач возникает при расчете пластинок, составленных из эквидистантных слоев, связанных между собой только на краях пластинки и взаимодействующих односторонне. Конструкции, включающие в качестве элементов эти пластинки, широко распространены в технике, например слоистые днища, сосуды, трубопроводы и т.д. Для таких пластинок характерно большое число слоев. Иногда внешние слои пакета отличаются от внутренних толщиной и механическими свойствами, возможно наличие зазоров между слоями. Слои, как правило, проскальзывают с трением или свободно. Появление зон сцепления маловероятно, поскольку контактное давление между слоями невелико. Условия контакта могут зависеть от пространственных координат, времени и включают все виды несовершенного одностороннего контакта. Динамическое нагружение таких элементов — одна из базовых задач расчета поведения всей конструкции. Особый интерес представляет зависимость динамического режима колебаний от параметров внешнего нагружения и дисперсионных свойств среды.

При рассмотрении зависимости прогиба от нагрузки наиболее интересен переходный процесс от регулярных колебаний системы к состоянию детерминированного хаоса. Такой процесс обычно заключается в скачкообразных переходах от одного типа движения к другому до момента достижения определенного уровня нагрузки. Эти задачи нелинейной динамики получили свое развитие в рамках общей теории динамических систем. Колебательные процессы стали исследоваться с использованием таких понятий как странный аттрактор, бифуркации Хопфа и пр. Этим вопросам, в частности, посвящены монографии Муна, Берже, Помо, Видапя, Анищенко B.C., Крысько В.А., Крысько A.B., Аврейцевича Я_и др.

В последние два десятилетия появился ряд публикаций, в которых авторы выяснили условия возникновения хаоса в различных конструкциях. На кафедре «Высшая математика» СГТУ, начиная С 1984 года, проводятся исследования перехода колебаний механических систем из гармонических в хаотические (Крысько В.А., Крысько A.B., Мицкевич С.А., Бабенкова Т.В., Вахлаева Т.В., Салий Е.В., Ки-реева О.Н., Наркайтис Г.Г., Папкова И.В., Щекатурова Т.В., Савельева Н.Е. и др.). Значительная роль в таких исследованиях, целью которых является выявление сценариев перехода от регулярных колебаний к хаотическим, отводится методам ма-

тематического моделирования и современным вычислительным методам. Но задачам исследования стохастических колебаний многослойных неспаянных систем в виде пластин уделялось ограниченное внимание. Заполнить указанный пробел и предполагается в настоящей работе.

В представленной диссертации построены математические модели сложных колебаний контактных задач многослойных неспаянных пластинок, каждый слой которых подчиняется кинематической модели Кирхгофа, с учетом физической нелинейности, физической и геометрической нелинейностей, физической, геометрической и конструктивной нелинейностей под действием продольной и/или поперечной знакопеременных нагрузок. Цель работы.

1. Построение математических моделей теории многослойных неспаянных пластинок с учетом разного типа нелинейностей (конструктивной, связанной тем, что расчетная схема задачи в процессе деформирования меняется); конструктивной и физической нелинейностями; конструктивной, геометрической и физической нелинейностями; а также нелинейной зависимости дисси-пативных членов).

2. Построение итерационной процедуры для динамических задач, когда на каждом шаге по времени уточняется зона контактного сопряжения пластин и тем самым уточняются величина и характер контактного давления.

3. Разработка методики расчета двухслойных неспаянных пластинок при действии продольных и поперечных знакопеременных нагрузок, позволяющей исследовать диссипативные, консервативные, диссипативно-консервативные системы.

4. Качественное исследование динамики многослойных неспаянных пластинок на основе нелинейной динамики в зависимости от изменения следующими параметрами: краевыми условиями, величиной зазора между пластинками, амплитудой и частотой равномерно распределенной поперечной и продольной знакопеременных нагрузок, величиной диссипативных членов. Методы исследования. В диссертации использованы методы строительной

механики, математического моделирования, качественной теории дифференциальных уравнений, нелинейной динамики, численные методы. Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Получены дифференциальные уравнения в частных производных, граничных и начальных условий нелинейной статики и динамики многослойных неспаянных пластинок с учетом различного рода нелинейностей.

2. Создана итерационная процедура для статики и динамики многослойных неспаянных пластинок для уточнения величины и характера контактного давления.

3. Построена математическая модель теории многослойных неспаянных пластинок на базе обобщенной модели Власова.

4. Изучен новый класс задач нелинейной динамики многослойных неспаянных пластинок в зависимости от типа управляющих параметров (краевых условий, характера нагрузки, величины зазора и вида динамической системы).

5. Показано, что переход колебаний из гармонических в хаотические двухслойной конструкции неспаянных пластинок при действии продольной и попе-

речной знакопеременной нагрузок может иметь различные сценарии. Более того, наблюдаемые бифуркационные процессы могут быть сложным образом скомбинированы.

6. Выявлено, что при нелинейных диссипативных колебаниях двухслойных неспаянных пластинок с учетом конструктивной нелинейности присутствуют некоторые выводы теоремы Шарковского А.Н.

7. К имеющейся классификации динамических систем (диссипативные и консервативные) присоединяется новое понятие консервативно-диссипативных систем.

Достоверность полученных результатов обеспечена корректной математической постановкой задачи, использованием качественной теории дифференциальных уравнений, механики пластин, численных методов сведения бесконечномерных задач к конечномерным (метод конечных разностей аппроксимации Ö(hm ) ); сравнением с известными результатами, полученными ранее другими авторами, тщательностью отладки и тестирования программ на ПЭВМ.

Практическая ценность и реализация результатов диссертационной работы состоит в решении конкретных задач, представляющих интерес для практики. Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы в инженерных расчетах и медицинской практике. Работа выполнена в рамках основного научного направления СГТУ 1В «Математическое моделирование в естественных науках» по теме СГТУ - 135 «Создание теории сложных стохастических колебаний распределенных механических систем» на 2006 г.

Применяемая методика исследования нелинейных колебаний многослойных неспаянных пластинок может быть использована для управления колебаниями пластинчатых систем, в создании приборов новой техники, в медицине и других отраслях народного хозяйства.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации представлялись:

1. На XIII межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2003).

2. На XIII Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2003).

3. На 7lh Conference on Dynamical Systems - Theory and Applications (Lód¿, Poland, 2003).

4. Ha III Международной конференции по теории нелинейной динамики механических и биологических систем (Саратов, 2004).

5. На XXI Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов, 2005).

В законченном виде диссертационная работа докладывалась на научном семинаре «Численные методы расчета пластин и оболочек» кафедры «Высшая математика» СГТУ под руководством Заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А.Крысько (Саратов, 2006), а также на объединенном научном семинаре кафедр «Механика деформируемого твердого тела», «Высшая математика». «Мосты и транспортные сооружения» и «Промышленное и гражданское строительство» (Саратов, 2006).

На защиту выносятся следующие положения:

1. Математические модели теории многослойных неспаянных пластинок с учетом разного типа нелинейностей (конструктивной; конструктивной и физической нелинейностей; конструктивной, геометрической и физической нелинейностей; а также нелинейной зависимости сил трения от скорости). Причем в предложенных математических моделях каждый слой может учитывать ту или иную нелинейность.

2. Алгоритм численного исследования динамики и статики многослойных неспаянных пластинок при действии поперечной, продольной знакоперемен-

: ных нагрузок. ■ - .

3. Итерационная процедура определения величины и характера контактного давления между пластинками при действии поперечной и продольной знакопеременных нагрузок.

4. . Сценарии перехода колебаний многослойных неспаянных пластинок из гармонических в хаотические.

5. Существование периодичности Шарковского А.Н. для многослойных неспаянных пластинок при действии поперечной и продольной знакопеременных нагрузок.

6. Новый класс задач нелинейной динамики многослойных неспаянных пластинок в зависимости от управляющих параметров (характера и типа нагрузок, зазора, краевых условий), вида динамической системы - диссипативной, консервативной, диссипативно-консервативной.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 7 работах.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы. Работа содержит 115 страниц машинописного текста, 4 рисунка, 13 таблиц. Список литературы включает 110 наименований.

Содержание работы

Во введении дается исторический обзор результатов по математическому моделированию нелинейной динамики пластин, обосновывается актуальность темы диссертации и приводится краткое содержание работы.

В первой главе строится общая теория двухслойных неспаянных пластинок с учетом различного типа нелинейностей. Выпишем закон Гука в виде:

¿,U) __L_rU)

*y Q(J) *y

(1)

где у - есть номер слоя пластинки, (_/ = 1,2).

Согласно методу переменных параметров упругости Биргера И.А. в таком виде (1) представляется связь между напряжениями и деформациями, но здесь под Еи> и понимаются не фиксированные модуль Юнга и коэффициент Пуассона

линейной теории, а функции, нелинейным образом связанные с деформированным состоянием в рассматриваемой точке: =Е^(х,у,г>е{/\еУ)),

„О) _уУ). Эти параметры связаны между собой следующими соотношениями для изотропного материала:

1 3KU)-2GU)

(2)

3 KU)+GU)'

где KU) - коэффициент объемной деформации j - го слоя. Здесь мы считаем КУ* - К^ = const. В деформационной теории модуль сдвига определяется по формуле

с<» _ 1 у/л(4л)

где а} слоя:

V)

3 --О)

U)

(3)

интенсивность напряжений, а еу' - интенсивность деформаций j - го

„О")

здесь е^' определяем из условия плоского напряжения состояния каждого слоя

еУ>= —

L/0)

• U) -АЛ

где

И \U)

(5)

О)

v " ' дх 2^ fir J

a«0'' dv(J> ди>(Л

^ ' - ay

a*

ас Эу

=-2z(-,')

ax' эУ-»'

дхду

У)

(£^р))и>> (е^р))и) - деформации срединной поверхности, (г^1)0', (4"')0' - деформации изгиба.

Используя методы математического моделирования, в работе получены математические модели теории нелинейной динамики двухслойных неспаянных пластинок с учетом различного типа нелинейностей (конструктивной, геометрической, физической и их сочетаний), причем каждый слой может описываться одной из указанных математических моделей. В диссертационной работе получены искомые дифференциальные уравнения, краевые и начальные условия, как в перемещениях (ы^', у'-", ), так и в смешанной форме (и/-", ,).

Некоторые частные виды математических моделей двухслойных неспаянных пластинок, полученных из общей теории многослойных неспаянных пластинок, приведены в настоящей работе и имеет следующий вид.

1) Двухслойная конструкция, состоящая из тонких упругих пластинок при действии поперечной и продольной нагрузок (конструктивная нелиней' ность):

/)0>7 V« + VI + к^- н-'1 V = ч\ + <*(2) + А0 V.

А2 Н 2 (6) н И А

где =-,.. . - цилиндрическая жесткость пластинок,

12(1-(и0')2)

<}У\х,у,1) = а^(х,у,1)~——ьР У--е^к—--интенсивность заданных внеш-

% дГ дг

них нагрузок и, согласно принципу Д'Аламбера, учтены силы инерции на ] -ю пластинку (/ = 1,2), е- коэффициент демпфирования среды, § - ускорение силы

г л 1 д2^и) д2ыи) тяжести, уи> - удельный вес материала, / - время, V ВУ!/ = РХ-— + р --—, где

дх2 ду2

Рх(у,0, - продольная нагрузка вдоль оси Ох и Оу соответственно, у/(х,у)

- индикатор области контакта. Если исходное расположение пластинок (функция зазора) и нагрузка таковы, что при деформировании они в контакт не вступают, то |С=0 и система (6) распадается на два независимых уравнения, в противном случае система (6) связана.

К системе уравнений следует присоединить начальные условия: одно из граничных условий:

"(Л|м> = АиЧх,у\ = /¥Чх,у) (7)

пластинка защемлена по контуру

пластинка шарнирно оперта по контуру:

-(ли=!^и=о, (9)

или их комбинацию.

Искомые уравнения мы обычным образом приводим к безразмерному виду.

2) Двухслойная конструкция, состоящая из физически нелинейных пластинок:

~эУ>ГаЧо , эЧ,] , аУ'рЧ, , аЧ,], д рУ' , а4/1'

дх1

дх'

ву

ду<

дх'

ду'

ду4

8у2 ^ дх2 ду2 ) 2<\ дх4 ду4 )

дх'ду дхду дхду h h

sX)

at2 ^ эх2 ду2 t

dx'tfy' dray Этой h h

где

/2 pO) l /2

«*(*.*«,">) = J J Л = 0,1.

Такое представление дает возможность получать пластинки переменной толщины.

К системе уравнений следует присоединить начальные условия (7), а также одно из граничных условий (8), (9) или их комбинацию.

3) Двухслойная конструкция, состоящая из гибких пластинок:

D^VV» + L(w"\Fm) + k— w^\ = gl (w<2> + h^,

h h

VV('>+I£(w<0,w(i>) = 0,

Emhi 2

дСОу V2) + L{w«\FW) + k?-i W<2V = g,2 + + '

h h

Я(2)Й2 2

где L(-wu\FiJ)) - известные нелинейные операторы теории гибких пластинок.

К системе уравнений следует присоединить начальные условия (7), а также граничные условия, которые здесь же приводятся.

4) Двухслойная конструкция, состоящая из неспаянных пластинок, в условиях обобщенной гипотезы Власова, с учетом нелинейного трения: £><»VV> +(bv(,) -V2 w(1>)t// + /><l>V3w(1

+ [*(У2) + h0)-kx V2(wm + h0)]i//

hy d2wm

g St2

0<!1V4i»ffl +(kwm-it, V2w(2V + /><2>V2«-<2>

hy aV2>

- [ArCwc,J + Л0) - Л:, V2 (w(1) + A0 -

g dt

+

8wm dwm

dt dt

= ?

dwm "-* dwm

dt dt

К системе уравнений следует присоединить начальные условия (7), а также одно из граничных условий (8), (9) или их комбинацию.

Отметим, что приведенные выше в работе математические модели охватывают сразу два типа нелинейностей: конструктивную, связанную с тем, что расчетная схема задачи в процессе деформирования постоянно меняется, а также учет нелинейной зависимости сил трения от скорости. Примем, что обобщенная сила трения пропорциональна т - й степени скорости, причем показатель степени тФ 1 зависит от конкретных свойств силы трения. Из (10) можно получить математическую модель только на основе обобщенной гипотезы Винклера, для этого в уравнениях (10) положим = 0.

В диссертационной работе также приведена новая классификация механических систем для двухслойных упругих пластинок в зависимости от учета или неучета диссипации.

Во второй главе рассматривается модель двухслойной конструкции, состоящей из тонких упругих пластинок постоянной толщины на прямоугольном плане. Пластинки контактируют между собой по внешним поверхностям, проектирующимся на соответствующую срединную поверхность, в рамках обобщенных гипотез Винклера и Власова. Каждая из пластинок - это трехмерная область пространства Л3 с декартовой системой координат: оси Ох и Оу направлены вдоль срединной плоскости верхней пластинки, ось Ог направлена к центру земли. В указанной системе координат пластинки, как трехмерные области П*-"

Я(,) = {х,у,г/(х,у) е [0,а)х[0,Ь],-^ 2 5 ,

где область [0,а] х [0,6] - прямоугольный план пластинки; Л0 - расстояние между пластинками, А,,Л2 -толщины соответственно первой и второй пластинки. Система дифференциальных уравнений, граничные и начальные условия приведены выше (6)-(9).

Для решения системы нелинейных дифференциальных уравнений 8-го порядка строится итерационная процедура, которая позволяет решать на каждом шаге по времени, с учетом условий на предыдущем шаге по времени

и,(-/)|,тЧ /„_,); |,тЧ линейные уравнения четвер-

того порядка. Правые части и д^ считаются известными и это дает возможность уточнить зону контакта, понизить порядок уравнений до четвертого.

Задача с распределенными параметрами (6) - (9) сводится с помощью метода конечных разностей с аппроксимацией 0(Лх!) + (Ду)г) по пространственным переменным (х, >■), где Ах, Ау - шаг по х, у соответственно, к задаче с сосредоточенными параметрами - системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решается методом Рунге — Кутга четвертого порядка точности. На каждом временном шаге осуществляется итерационная процедура для уточнения величины зоны контакта. Следует отметить, что итерацйонная процедура на каждом шаге по

времени понижает порядок системы дифференциальных уравнений в два раза, а после применения конечно - разностной аппроксимации по пространственным переменным с погрешностью 0(Дх2) + (Ду)2) также в два раза понижает порядок уже алгебраической системы, которая решается методом Гаусса, что существенно влияет на время счета на ПЭВМ. После завершения итерационной процедуры полученные значения и —5—- (у = 1,2) в каждом узле сетки являются новыми на-dt

чальными условиями (fm+i момента времени) для следующего шага по Рунге -Кутту.

Для стационарной задачи, используя метод установления, результаты, полученные методом конечных разностей для ряда значений зазора между двухслойными пластинками, защемленными по контуру, сравниваются с расчетами, полученными методом вариационных итераций A.B. Крысько. Совпадение полное.

В третьей главе изучается характер колебаний двухслойной неспаянной конструкции, состоящей из тонких упругих пластинок на прямоугольном плане, при изменениях различных параметров. Проведены исследования влияния краевых условий на колебания пластин. Анализ характера колебаний проводился на основе

изучения сигнала фазового портрета (w{J)\ |

Ы^)). UM

рг JJ

модального портрета

V

I * JJ

, спектр мощности s(/v), отображения Пуанкаре в цен-

тральной точке пластины (х = 0,5; >> = 0,5). (Ранее проведенные исследования показали, что качественная картина процесса колебаний для всех точек пластаны одинакова, поэтому дальнейший анализ отнесен к центральной точке у/''5 (0,5; 0,5) конструкции).

Подробнее остановимся на некоторых примерах. Рассматривается двухслойная неспаянная пластинчатая конструкция постоянной толщины, изготовленная из изотропного материала, со следующими геометрическими и физическими характеристиками: ет =Ет =0,6; Л = £ = 1; £(,)=£(2)=£; А,=А, = А; Ао=^- = 7-10-3

о А

(Ад — безразмерный параметр). На обе пластины действует поперечная знакопеременная нагрузка = -д<2> = д0 втСа»^ /), где д0 - амплитуда поперечной нагрузки, сор - ее частота гармонического возбуждения. Начальные условия ' СП, Эи>(Л

--/=о = 0 • Краевые условия (8) - обе пластинки защемлены по конту-

61

ру. В работе рассматриваются также случаи двухслойной неспаянной пластинки с геометрическими и физическими характеристиками, приведенными выше, но с другими краевыми условиями ((9); (8), (9) - (8); (9) - (8)).

В табл. 1 приведены фрагменты зависимости н>^(0,5;0,5;0» 26 </<32, фа-

зовые портреты и<

. спектр мощности атаюке характер контактно-

(2) =28. Рисунки даны для верхней пла-

д1

го давления при = — д<2) = 11 и = — стинки, так как колебания нижней пластинки зеркально отображают колебания верхней. При соприкосновении пластинок в определенный момент времени колебания носят возмущенный характер, резко увеличивается амплитуда прогибов. С течением времени картина колебаний существенно меняется и колебания обеих пластинок устанавливаются. При нагрузке <у(1) = —</2) < 0,5 соприкосновения пластин не происходит, и имеют место гармонические колебания. Об этом свидетельствуют основные характеристики: на спектре мощности можно увидеть только одну основную частоту, фазовый портрет представляет собой эллипс. С ростом нагрузки (например, при = —д(2) =2) увеличиваются и максимальные значения прогиба, колебания перестают быть гармоническими, фазовый портрет усложняется, появляется бифуркация Хопфа с последующим утроением периода

(<7(1) = -д^' =11). Существование такого рода бифуркаций хорошо подтверждается теоремой А.Н. Шарковского, которая была доказана для совершенно других условий: логистических кривых, но тем не менее качественно картина сложных колебаний двухслойных неспаянных пластинок имеет много общего. Далее следует чередование колебаний на частоте возбуждения и на частотах бифуркаций утроения (<7(1) = -<?(2) = 14) и усемерения (<7(|) =— д(2) =28) периода колебаний.

При увеличении нагрузки меняется как характер колебания, так и количество точек контакта и, как следствие этого, эпюры контактного давления. При <7(1) = —дт =11 эпюра контактного давления рассматриваемой конструкции представляет собой купол и сосредоточена в центральной части пластинки (чертеж А). Увеличение нагрузки (<7(|> =— (?(2) =28) приводит к существенному изменению контактного давления, как по величине, так и по форме, появляются острые пики (чертеж В).

___Таблица 1

,12> = 1

Сигнал

Фазовый портрет

Спектр мощности

0,5

*' (аз.о.5)

<МЛ

¡:

И

»тПТ

' м. —» к

0,0 3,® 6.0

То

Продолжение таблицы 1

• Чело.«

г.

й>>»

Vе® 1/2® 5/6»

о£ : .с «.о ел

14

»■' ¡0.5.5.))

71 Л Та 51 Т- 5Г*

ттзтгтпп-п-

Л»">

1/3®

2/3 о

0,0 3,0 «А >,0

28

«ЧМА5>

» М 11 н

«а»

О

_ Лу">

п п т", &

Для = -д12> = 11 29 точек контакта

Для = -9<г> = 28 56 точек контакта

Было выявлено явление: в случае, когда одна из пластин шарнирно оперта, а другая защемлена, частота пластины с шарнирным опиранием по контуру захватывает частоту пластины с другим типом граничных условий. Обе пластинки колеблются с частотой возбуждения равной частоте возбуждения шарнирного опирания, т.е. наблюдается явление синхронизации. После того, как произошло явление синхронизации, при увеличении нагрузки существенных изменений в характере колебаний не выявилось.

Исследовалось влияние на НДС и характер колебаний величины зазора между пластинками для четырех типов краевых условий. Из полученных результатов следует, что определяющим на НДС двухслойной конструкции являются краевые условия на верхнюю пластинку.

На рис. 1 приведена шкала характера колебаний двухслойной неспаянной пластинки при различных зазорах = {0,0001; 0,001; 0,01; 0,1; 0,15} под действием

равномерно распределенной нагрузки на верхнюю пластинку <у(,) = 31л(ги;, /); 9(2)=0. г(.)=г(2)=0 4 .

Шкала динамических режимов строилась на анализе спектра мощности и ля-пуновских показателей для каждого набора управляющих параметров

что позволяет изучить все многообразие поведения конструкции и выявить оптимальные параметры нагрузки для конкретных условий. Проанализирована эволюция колебаний при переходе от гармонических в хаотические.

9о

*ÍJ> -1-Ю-4 I

лр = 1-ю-3 |

- I 10 I

Aj'í-1-10-1 I

й£3> - 1,5 -10

В - гармонические колебания; Z3 - бифуркации; ШЯ - независимые частоты;

L_ - линейные комбинации независимых частот; ИЗ - хаос.

= 0,01; h¿2) = 0,001; h^ = 0,0001; A¿4) = 0,1; A¿5) = 0,15 Рис. 1

При ограничении на прогиб w(0)£0,25 и q^ S100 для зазоров А0 =1-15-1 и hQ - 1 -10"' колебания совершаются на основной частоте возбуждения сор и являются гармоническими. Фазовый портрет представляет предельное множество одно-оборотного цикла. При увеличении зазора появляются зоны хаоса и зоны бифуркаций. Чем меньше зазор между пластинами, тем более обширны зоны хаотических колебаний.

Для одной и той же системы могут наблюдаться различные сценарии перехода к хаосу, соответствующие различным областям пространства параметров и направлениям движения в нем. Более того, наблюдаемые бифуркационные последовательности могут быть сложным образом скомбинированы.

Проанализировано для указанной выше конструкции, как меняется величина контактного давления при зазоре между пластинками h0 = 1 • 10""2 и увеличении на-

грузки на верхнюю пластинку, для одних и тех же моментов времени. Данные приведены в табл. 2.

Таблица 2

До нагружения на верхнюю пластинку дт = 15 колебания гармонические, контактное давление локализовано в центре, его форма практически не меняется во времени. С увеличением амплитуды внешнего воздействия (дс1) =28,4) колебания пластинок происходят уже на 3 независимых частотах (сор =9,976; й>2 = 1,28;а>3 =1,56) и их линейных комбинациях (-&>2 = й),; ар -а)ъ = <у8; Щ+Щ ~а>4; а>2 + 2«з = а>5 2со2 + 2а>3=а>6; 2а>2 + За>3=а>7 ). Контактное давление существенно меняется во времени - от локализации в центре при 1=22,21 до локального распада по кругу при 1=22,23. При увеличении поперечной нагрузки на верхнюю пластинку до <7(,) =83,8 колебания пластинок происходят на 2 независимых частотах <ир =9,976; ш2 =2,03) и их линейных комбинациях (2ео2 = а>ъ; 3 с]2 = (У4; 4в>2=т5), с хаотическими составляющими. Сценарий перехода к хаосу близок к сценарию Ландау, а не к сценарию Фейгенбаума При 1=22,21 можно увидеть небольшое углубление в поверхности контактного давления прогибов, которое на следующем шаге по времени (1=22,22) становится глубже и четче, а при 1=22,23 образуются 5 острых пиков.

В рассмотренном выше примере исследование проводилось при действиии равномерно распределенной нагрузки на верхнюю пластинку. Проанализируем теперь колебания диссипативной системы двухслойных неспаянных пластинок с краевыми условиями (8), (9) для одной из пластинок при действии на обе пластинки поперечной знакопеременной нагрузки qi^r> = -<?(2) = зт(гзр г). Задача исследуется при двух величин зазора между пластинками /г0 = 1-1(Г2 и 1-10-3. Амплитуда вынуждающей нагрузки была принята <71^=100 и =15. Результаты были получены при разбиении пластинки по пространственным координатам Дх = Ду = 7-10"2 и шаг по времени Дг = 1-10-3. Анализ полученных колебаний приведен в табл. 3.

Таблица 3

Полное защемление обеих пластинок, дМ = ] 00; А0 =1-10

а И'Л %Л ' » » а^'и ЧЛ.Л J

¿к«3

0,0 3,0 6,0 9,0

1 ч> (1-17.63), N>»41 точка

2 Ч> («О"). ([=29.02), N«77 точек

3 Чк <1,У). (1-29.93), N-4« точек

Шарнирное опирание обеих пластинок, = 100; й0 = 1 • 10 "2

»''(ОАА1)

ЛЙ -¿Л 55 4» 3"

3,0

в,о

1 ч„ (х,у), (1=27.26), N-40 точек

2 Чь <х,у), (1-28.75), N-141 точка

3 ч, (»,у), (1-29.84), N-127 точек

16

1

Продолжение таблицы 3

верхняя пл. — шарнирное опирание, нижняя пл. - полное защемление

=ЮО;А0 =Ы0"2

»■; (аии)

V4

к3 (0,5 ¡0,5)

17 и ЛЯ

II

о;о

4м 7/8®

■3,0

1 Чк (*.У), (1=27.56), N=80 точек

2 Чк (х,у), (1=28.67), N=80 точек ¡11

3 Чк (*,У), а=29.03), N=56 точек

верхняя пл. — полное защемление, нижняя пл. - шарнирное опирание <7(у) = 100;

К =М0'2

та—п-^т—уу- '

0,0

е.в

1 Чк (х,у), («-27.93), N-101 точка

1 Чк (х,у), (1=27.93), N=129 точек

1 Чк (*.У). (1-27.93), N-112 точек

.ь ■> Щ. 4>

Колебания конструктивно - нелинейных задач позволили выявить такие интересные явления как появление бифуркаций Андронова - Хопфа до трех, что существенно сказывается на фазовых портретах, сигналах и контактном давлении. Обнаружено такое интересное явление как утроение периода, причем данное явление обнаружено для пластинок, защемленных по контуру. Здесь характер колебаний и мягкая серия бифуркаций существенно зависит от величины зазора, для малого зазора Н0 = МО"3 вначале появляется одна бифуркация Хопфа и в дальнейшем при увеличении нагрузки она исчезает и появляется бифуркация утроения периода, а для зазора большего в 10 раз (к0 — 1 • 1СГ2) картина меняется На противоположную: при малых нагрузках появляются бифуркации утроения, а при больших они уничтожаются и появляется бифуркация удвоения (бифуркация Хопфа). Для смешанных краевых условий (вне зависимости, какие краевые условия имеет верхняя и нижняя пластинка — шарнирное опирание или защемление) колебания происходят на 3-х бифуркациях Хопфа.

Характер контактного давления существенно зависит от величины зазора, нагрузки вынуждающей силы и особенно от краевых условий. Так, для смешанных краевых условий (одна из пластинок шарнирно опертая, а другая защемлена) кон-

такт пластинок осуществляется по периферии пластинки, т.е. ближе к границе, и его вид характеризует острые пики - сосредоточенные усилия. Для одинаковых граничных условий для верхней и нижней пластинки контактное давление локализуется в центральной части пластинки.

Для смешанных краевых условий синхронизация происходит на частоте возбуждения соответствующей шарнирно опертой пластинки (на собственной частоте шарнирно опертой пластинки).

Разработанная методика расчета двухслойных неспаянных пластинок при действий продольных и поперечных знакопеременных нагрузок позволяет исследовать диссипативные и консервативные системы, а также диссипативно-консервативные системы. Так как конструкция состоит из двух пластинок, то каж-'дая из них может находиться в своем режиме — в консервативном или диссипатив-ном.

Характер колебаний трех типов динамических систем (диссипативных, консервативных и диссипативно-консервативных) существенно отличается между собой. Но имеются общие черты, которыми являются синхронизация и, как следствие этого, общие характеристики - спектры мощностей.

1 В заключении приводятся основные результаты и выводы по работе.

Основные выводы по диссертации

1. Построены математические модели теории многослойных неспаянных пластинок с учетом разного типа нелинейностей (конструктивной; конструктивной и физической нелинейностей; конструктивной, геометрической и физической нелинейностей).

2. Разработана итерационная процедура для динамических задач, когда на каждом шаге по времени уточняется зона контактного сопряжения пластин и тем самым уточняются величина и характер контактного давления.

3. Разработан пакет программ для качественного исследования динамики многослойных неспаянных пластинок на основе нелинейной динамики с помощью метода Рунге-Кутга четвертого порядка точности.

4. Изучен новый класс задач нелинейной динамики многослойных неспаянных пластинок в зависимости от типа управляющих параметров (краевых условий, характера нагрузки, величины зазора и вида динамической системы).

5. Выявлено интересное явление: в случае, когда одна из пластин шарнирно оперта, а другая защемлена, частота пластины с шарнирным опиранием по контуру захватывает частоту пластины с другим типом граничных условий. Обе пластинки колеблются с частотой возбуждения, равной частоте возбуждения шарнирного опирания, т.е. наблюдается явление синхронизации.

6. Построена шкала динамических режимов в зависимости от управляющих параметров для двухслойной неспаянной пластинки, что позволяет

изучить все многообразие поведения конструкции и выявить оптимальные параметры нагрузки для конкретных условий.

7. Проанализирована эволюция колебаний при переходе от гармонических в хаотические.

8. Проведено исследование изменения величины и характера контактного давления между пластинками в зависимости, от изменения следующими параметрами: краевыми условиями, величиной зазора между пластинками, ам-

плитудой и частотой равномерно распределенной поперечной и продольной знакопеременных нагрузок, величиной диссипативных членов.

9. Выявлено, что при нелинейных диссипативных колебаниях двухслойных неспаянных пластинок с учетом конструктивной нелинейности присутствуют некоторые выводы теоремы Шарковского.

10. Выявлено появление бифуркаций Андронова - Хопфа до трех. Для пластинок, защемленных по контуру, обнаружено утроение периода.

Публикации по теме диссертации

1. Овсянникова OA. Сложные колебания двухслойных неспаянных пластин при действии продольных знакопеременных нагрузок / А.В. Крысько, В.А. Крысько, О.А. Овсянникова, Т.В. Бабенкова// Изв. вузов. Строительство. 2002. № 6. С. 2330.

2. Овсянникова О.А. Математическая модель контактного взаимодействия двухслойных неспаянных пластин при действии поперечных знакопеременных нагрузок / А.В. Крысько, О.А. Овсянникова // Труды XIII Межвузовской конф. / Самарск. гос. техн. ун-т. - Самара, 2003. - С. 92-95.

3. Овсянникова О.А. Исследование стохастических колебаний гибких многослойных неспаянных ортотропных пластинок при действии продольных знакопеременных нагрузок / А.В. Крысько, О.А. Овсянникова // Материалы XIII Зимней школы по механике сплошных сред. Пермь, 2003. - С. 233.

4. Ovsiannikova О. Iteration improvement procedure of a contact zone magnitude vibrations of two-layered uncoupled plates. / V.A. Krysko, J. Awrejcewicz and O. Ovsiannikova // 7th Conference on Dynamical Systems Theory and Applications. L6d£, Poland, 2003. - V.2. - P. 583-594.

5. Овсянникова O.A. Математическая модель многослойных неспаянных задач теории пластин / А.В. Крысько, О.А. Овсянникова // Нелинейная динамика механических и биологических систем: Межвуз. науч '. сб. Вып. 2. Саратов, 2004. — C.I95 — 204.

6. Ovsiannikova О. Novel procedure to compute a contact zone magnitude of vibrations of two-layered uncoupled plates / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko, and O. Ovsiannikova// Mathematical Problems in Engineering Theory, Methods, and Applications. Hindawi Publishing Corporation, 2005. - № 4. - P. 425-435.

7. Овсянникова O.A. Хаотические колебания двухслойной упругой защемленной по контуру прямоугольной неспаянной пластинки / А.В. Крысько, О.А. Овсянникова // Вестник СГТУ. 2006. № 2(12). Вып. 1- С. 16-19.

Лицензия ИД № 06268 от 14.11.01

Подписано в печать 01.06.06 Формат 60x84 1/16

Бум.тип. Усл.печл. 1,16 Уч.-изд.л. 1,0

Тираж 100 экз. Заказ 305 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в РИЦ СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77

ВВЕДЕНИЕ (Краткий исторический обзор исследований по теме диссертации и основное содержание работы).

Глава I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕОРИИ

ДВУХСЛОЙНЫХ НЕСПАЯННЫХ ПЛАСТИН.

§ 1. Основные соотношения и допущения.

§ 2. Перемещения и деформации в пластинке.

§ 3. Математические модели динамики теории гибких физически нелинейных двухслойных пластинок.

3.1. Уравнения в перемещениях.

3.1.1. Дифференциальные уравнения физически нелинейной системы с учетом натяжения срединной поверхности.

3.1.2. Дифференциальные уравнения физически нелинейной системы без учета натяжения срединной поверхности и геометрической нелинейности.

3.1.3. Дифференциальные уравнения упругих двухслойных неспаянных пластинок.

3.1.4. Дифференциальные уравнения двухслойных неспаянных пластинок, в условиях обобщенной гипотезы

Власова, с учетом нелинейного трения.

3.2. Уравнения в смешанной форме с учетом физической и геометрической нелинейностей.

3.3. Математическая модель двухслойных пластинок, когда одна из пластинок описана уравнениями в перемещениях, а вторая - уравнениями в смешанной форме.

§ 4. Некоторые математические модели трения.

4.1. Линейное трение.

4.2. Нелинейное трение.

4.3. Гистерезисное трение.

4.4. Ударное демпфирование.

§ 5. Классификация механических систем в виде двухслойных неспаянных пластинок.

Выводы по главе.

Глава II. МЕТОДИКА РАСЧЕТА

ДВУХСЛОЙНЫХ УПРУГИХ ПЛАСТИН.

§ 1. Метод понижения порядка системы дифференциальных уравнений теории многослойных неспаянных пластинок. ф

§ 2. Методика сведения распределенных систем в виде двухслойных неспаянных пластин к сосредоточенным.

§ 3. Достоверность полученных результатов.

Выводы по главе.

Глава III. ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ДВУХСЛОЙНЫХ

НЕСПАЯННЫХ ПЛАСТИН.

§ 1. Основные характеристики для анализа хаотических колебаний линейных хаотических систем.

1.1. О хаосе.

1.2. Фазовые портреты.

1.3. Отображения Пуанкаре.

1.4. Временной ряд.

1.5. Бифуркации.

1.6. Сценарии перехода в хаос.

§ 2. Диссипативная динамика двухслойных неспаянных пластин.

§ 3. Консервативная динамика двухслойных неспаянных пластин.

§ 4. Диссипативно-консервативная динамика двухслойных неспаянных пластин.

Выводы по главе.

Несмотря на известные успехи в развитии нелинейной теории применительно к изучению статики, динамики и устойчивости пластин и оболочек, следует отметить некоторое отставание теории контактного взаимодействия, а значит, отсюда следует и актуальность данной проблемы.

В настоящее время, актуальность проблемы расчета контактных задач теории пластин на прямоугольном плане существенно возросла, в связи с интенсивном внедрением композитных материалов, в частности армированных и слоистых, позволяющих учитывать реальную работу сложных конструкций в условиях высоких температур, агрессивных средах, коррозионного износа.

Задачи о контактном взаимодействии между тонкими пластинами сложны, поскольку при их решении приходиться одновременно определять НДС и зоны контакта двух и более пластин, в общем случае различной формы.

Контакт круглых пластин, установленных с зазором при нагружении одной из них изучен Ю.П. Артюхиным [1], с использованием теории Кирхгофа. На границе зоны контакта обнаружены сосредоточенные сила и момент. Использование теории типа Тимошенко позволило получить конечное значение контактного давления на границе [2] (решение осесимметричной задачи).

Задача о контакте между двумя прямоугольными пластинами решена вариационно-разностным методом [3], методом вариационных итераций [4]. Данные решения выполнены в геометрически и физически линейной постановке.

Дискретный подход для пластин со слоями Тимошенко реализован в [5], с помощью предложенного авторами матричного метода, приводящего задачу к системе интегральных уравнений, относительно контактного давления, в неизвестных априорных зонах. Здесь учтена возможность появления разрывов областей сопряжения слоев.

Серию задач контакта пластинок и оболочек с учетом физической нелинейности рассмотрел Б.Я. Кантор [6] методом Ритца в высших приближениях для осесимметричного случая.

Практика строительства, как в нашей стране, так и за рубежом выдвигает требования разработки и применения облегченных конструкций, особенно при возведении сооружений в труднодоступных районах. Тонкостенные элементы конструкций в форме многослойных неспаянных пластинок в течение нескольких десятилетий являются объектом многочисленных и разнообразных исследований. Интерес к проблемам деформирования, прочности, колебаний, статической и динамической устойчивости многослойных неспаянных пластинок в первую очередь тем, что они представляют собой основные несущие элементы конструкций, применяемых в строительной механике, авиационной и ракетной технике, создании приборов новой техники, в медицине и др. отраслях народного хозяйства.

Актуальность разработки проблем деформирования и прочности многослойных неспаянных пластинок при динамических сжимающих воздействиях в последние годы резко возросла. Объясняется это в первую очередь непрерывно расширяющимся внедрением пластинок в несущие элементы конструкций, работающих в интенсивных динамических режимах. Необходимо иметь в виду, что запросы практики требуют обеспечения высокой надежности ответственных конструкций, отдельные элементы которых изготовлены из многослойных неспаянных пластинок и панелей. Проводимые же с этой целью натурные динамические испытания становятся все более сложными и дорогостоящими. Эффективно разрешить эту проблему можно лишь на базе комплексных теоретико-экспериментальных исследований, основная задача которых должна заключаться в выяснении физической сущности процессов, протекающих в конструкционных элементах в предполагаемых условиях эксплуатации.

Что касается теоретико-расчетной части общей задачи, то первая основная проблема при рассмотрении сложных конструкций заключается в создании эффективных математических моделей исследуемых систем, которые не только обеспечивают выполнение заданных требований к информативности и точности исследований, но и одновременно являются экономичными, способствуя, в частности, минимизации затрат машинного времени и памяти ЭВМ. Математические модели рассматриваемых явлений и расчетные методики в идеале должны быть точными, надежными и в тоже время универсальными. Однако удовлетворить всем этим требованиям в задачах динамики пластин и оболочек практически никогда не удается. Объясняется это непростым физическим содержанием динамических процессов в тонкостенных конструкциях.

При расчете многослойных неспаянных пластинок на динамические сжимающие нагрузки важно иметь в виду также следующее обстоятельство. Для реальных пластинок, обладающих (пусть даже очень малыми) начальными несовершенствами, во многих случаях оказывается невозможным рассмотрение в чистом виде классических задач деформирования, динамической устойчивости и прочности. Сравнительно медленное нарастание деформаций (безмоментных либо моментных осесимметричных в зоне краевого эффекта) на начальной стадии нагружения, последующий резкий переход конструкции к интенсивному неосесимметричному выпучиванию, образование и развитие в материале локальных зон неупругих деформаций или локальных повреждений представляют собой взаимовлияющие стороны единого процесса. Можно говорить лишь о том какая из них в тон или иной расчетной ситуации (при конкретном виде нагрузки, диапазоне скоростей нагружения, поле начальных несовершенств, соотношении геометрических параметров оболочки характеристика, жесткости и прочности материала) будет доминирующей.

В исследованиях по строительной механике и теории упругости проблема уменьшения числа степеней свободы рассматриваемых систем или понижения мерности задач является одной из важнейших, так как ее решение в каждом конкретном случае связано с возможностью получения аналитического решения или же значительного снижения вычислительных затрат.

Если по первому направлению (уменьшения числа степеней свободы) количество публикаций является необозримым, т.к. к ним относятся работы по различным вариационным методам, методам дискретизации (МКЭ, метод сеток, МГЭ и т.д.), то по второму направлению (понижение мерности задач) исследований выполнено сравнительно мало. Если исключить из их числа работы, посвященные системам с циклической симметрией, где расчленение разрешающей системы уравнений на сумму уравнений с меньшей на порядок мерностью не вызывает особых затруднений, то работ, непосредственно относящихся к проблеме понижения мерности задач строительной механики и теории упругости, окажется очень мало. К этим работам следует, прежде всего, отнести работы JT.A. Розина [7, 8] и Г.И. Пшеничного [9, 10], посвященные методам расчленения дифференциальных операторов уравнений математической физики. С самого начала идея этих методов оказалась связанной с вопросами построения стержневых схем для задач теории пластин и оболочек.

В связи с этим в начале 60-ых годов возникла идея анализа дифференциальных операторов уравнений математической физики путем их расчленения на сумму одномерных операторов и операторов связи, интерпретации их как обыкновенных дифференциальных уравнений для одномерных элементов по каждому из направлений системы уравнений связи между этими одномерными элементами [11, 8].

Этот подход дает возможность трактовать исходную систему как непрерывную (сплошную) стержневую, полностью ей эквивалентную и от нее перейти к дискретной стержневой системе, приближенно аппроксимирующей исходную континуальную, т.е. перейти от системы с бесконечным числом одномерных элементов по каждому из направлений к системе с конечным их числом.

Динамический хаос, хаотические колебания, стохастичность - понятия, появившиеся в научно-технической литературе относительно недавно, -быстро завоевали свое «место под солнцем». Оказалось, что подобные процессы свойственны многим нелинейным динамическим системам и их математическим моделям в различных областях естествознания, а также в теории управления, экономике и т.д.

Проблема детерминированности и случайности, предопределенности и непредсказуемости, зародившись много веков назад, продолжает оставаться одной из фундаментальных острых проблем естествознания. Идеи, заложенные в основу статической физики, связали случайность и непредсказуемость с невозможностью полного описания сложных систем, состоящих из многих элементов типа, например, газа или плазмы, и привели к вероятностному описанию многоэлементных систем.

Вместе с тем предполагалось, что в силу детерминированности исходных уравнений поведение простых систем типа одной или нескольких частиц, типа одного или нескольких осцилляторов, одного или нескольких автогенераторов полностью предсказуемо на любом заданном интервале времени и в их поведении в силу этого отсутствуют черты, характерные для случайных процессов.

Первые мелкие трещины в этой четкой картине разделения детерминированного и случайного начала возникать в начале XX века. Так, появление квантовой механики положило конец воззрению о возможности определения начальных условий и траекторий физических систем с любой наперед заданной точностью и тем самым ограничило применимость детерминированного описания микроскопических простых систем. Кроме того, были построены примеры, показывающие возможность появления неопределенности в поведении простых детерминированных систем из-за ограниченной точности задания начальных условий. С другой стороны выяснилось, что в сложных системах с большим числом степеней свободы, например, гидродинамических, могут наблюдаться из-за кооперативных эффектов элементы детерминированности в поведении.

Широкомасштабные и планомерные исследования взаимосвязи хаоса и порядка ведутся относительно недавно. Они показали, что поведение сложных систем со многими степенями свободы при определенных условиях, а именно, нелинейной неравновесной области, где перестают работать законы классической равновесной термодинамики, может быть свойственна регулярность, хорошая организованность [12]. При этом возникают регулярные пространственные и временные структуры, названные И. Пригожиным [13 - 16] диссипативными.

Наряду с этим возможна и обратная картина: из упорядоченного движения рождается хаос. Такой хаос принципиально отличается от хаоса, создаваемого в детерминированной системе под воздействием внешних флуктуаций - флуктуационного хаоса. Он возникает при соответствующих условиях даже в простых системах, например, автогенераторах, в результате сложного собственного поведения системы, порождаемого неустойчивостью фазовых траекторий. При этом динамика системы нерегулярна сама по себе, без воздействия каких либо внешних или внутренних флуктуаций.

Остановимся кратко на решающих результатах, приведших к концепции динамического хаоса.

Одним из первых, поставил вопрос о возможности возникновения хаоса в динамике был Чириков Б.В. [17]. Он показал для случая гамильтоновой системы, что колебания нелинейного осциллятора, находящегося под внешним многочастотным воздействием, и системы нелинейных осцилляторов, необязательно должны быть периодическими или квазипериодическими, а могут быть более сложными и обладать сплошным спектром.

Пример диссипативной системы со стохастическим поведением был исследован в работе Лоренца Э. [18], который обнаружил детерминированные движения, отличные от периодических и квазипериодических в модели, представляющей собой трехмодовую аппроксимацию задачи двумерной тепловой конвекции.

Разработка математических концепций возможности появления сложных непериодических движений в динамических системах восходит к исследованию А. Пуанкаре [19, 20], где было введено понятие гомоклинических траекторий. Важными этапами на пути к осознанию возможности появления сложных непериодических движений явилось создание качественной теории динамических систем на плоскости [19], разработка метода точечных отображений для анализа динамических систем [20], исследование характера движений многомерных систем в окрестности сложных положений равновесия [21].

Наконец, в 1971 году Рюэлем и Такенсоном вводится понятие «странный аттрактор» [22]. Следует отметить, что этот революционный шаг был подготовлен значительными достижениями не только качественной теории динамических систем [23 - 26], но и таких смежных областей математики, как эргодическая теория [27 - 30], символическая динамика [18, 26], теория бифуркаций [31,32] и теория катастроф [26, 33, 34].

Электроника и радиофизика являются одними из наиболее благодатных областей, как с точки зрения широты распространения явлений сложной динамики, так и с точки зрения возможностей их исследования.

Динамический хаос может быть реализован, как в маломерных системах с размерностью фазового пространства не менее трех, так и в более сложных системах, вплоть до распределенных. Если динамика систем с размерностью фазового пространства равной трем, на сегодняшний день в значительной и степени изучена, то закономерности поведения систем повышенной размерности по-прежнему во многом остаются загадочными.

Особый раздел теории колебаний представляет собой исследование нелинейных колебаний, имеющих важные специфические свойства. Такого рода движения могут возникать в пластинах и оболочках при больших перемещениях, когда деформации и перемещения связаны нелинейными соотношениями. С другой стороны, деформации могут лежать за пределами применимости закона Гука, и нелинейность зависеть от усилий.

Одними из первых публикаций в этом направлении являются книги А.С. Вольмира [35], Б.Я. Кантора [36], В.А. Крысько [37], в которых авторы интересуются именно нелинейными колебаниями пластин и оболочек. Эта область представляет одну из частей общей нелинейной механики твердых деформируемых тел, или, в более широких рамках, нелинейной механики сплошных сред. Одним из важных практических приложений в этом направлении является вопрос о поведении пластин и оболочек при импульсных воздействиях. Этому вопросу в вышеперечисленных источниках уделяется большое внимание. В то же время при рассмотрении периодических колебаний может идти речь о некотором установившемся движении системы. В задачах о динамическом нагружении наибольшее внимание привлекают неустановившиеся переходные процессы. Такой процесс заключается обычно в скачкообразном переходе - перескоке системы от установившегося движения одного типа к некоторому другому движению.

Но чрезвычайно важным является вопрос о нелинейной динамике пластин и оболочек с учетом диссипации энергии под воздействием знакопеременных нагрузок и изучение сценариев перехода таких систем в состояние хаоса. Данное направление интенсивно развивается в научной школе, возглавляемой профессором В.А. Крысько. В этом направлении исследованы прямоугольные в плане пластинки и оболочки при действии продольных и поперечных знакопеременных нагрузок с учетом диссипации энергии [38, 39].

Нелинейная динамика пластин и оболочек интенсивно начала развиваться со второй половины прошлого века. Изучение колебаний оболочек было начато еще Рэлеем в его знаменитой книге «Теория звука». В последующее время труды в этой области опубликовали такие выдающиеся ученые как Н.А. Алумяэ [40], В.В. Болотин [41], Э.И. Григолюк [42] и другими авторами. В имеющейся литературе речь идет, как правило, о малых колебаниях упругих пластин и оболочек, когда соотношение между деформациями и перемещением с одной стороны и деформациями и усилиями с другой, могут быть приняты линейными.

Запросы в первую очередь авиационной и космической техники определили настоятельную потребность в изучении динамических процессов в пластинчатых конструкциях. Среди вопросов динамики, подвергшихся интенсивному рассмотрению, важное место заняла проблема свободных и вынужденных колебаний, совершаемых пластинкой. Этим задачам посвящены монографии А.С. Вольмира [43], В.А. Крысько [37], В.А. Пальмова [44], Э.И. Григолюка и В.В. Кабанова [45], A.JT. Гольденвейзера, В.Б. Лидского и П.Е. Товстика [46], В.Л. Агамирова [47].

Методы математического моделирования динамических процессов, применяемые в теории пластин, разрабатывались и в работах, посвященных колебаниям других строительных конструкций, по большей части балочных. Из работ последних лет можно выделить следующие. Т.Д. Каримбаев и Ш. Мамаев [48] исследовали сопротивление ударным нагрузкам упруго-пластического тела в форме параллелепипеда с прямоугольным поперечным сечением. Разработанный ранее алгоритм решения динамических задач здесь обобщен на случай задач с движущимися граничными условиями. Проанализирован возможный характер разрушения балки при перемещениях области воздействия динамической нагрузки. Догаки, Пек и Ионезава [49] провели численное исследование показателей динамической неустойчивости и выпучивания тонких прямоугольных упругопластических пластин с начальными деформациями под действием комбинации статической и периодической сдвигающих сил при учете геометрической нелинейности перемещений и физической нелинейности применяемого материала.

Особый раздел теории колебаний пластинок представляет исследование их нелинейных колебаний. При этом наибольший интерес при рассмотрении зависимости прогиба от нагрузки вызывает неустановившийся, переходный процесс движения оболочки от ее регулярных колебаний к полной потере устойчивости. Такой процесс обычно заключает в себе скачкообразные переходы (бифуркации) от установившегося движения одного типа к некоторому другому движению при достижении определенного критического значения нагрузки.

Хаотические движения строительных конструкций исторически рассматривались как непредсказуемые эффекты, вызванные случайными внешними факторами и не связанные со свойствами самой конструкции. Исследования по нелинейной динамике колебательных систем4 в других областях показали, что хаотические явления представляют собой один из характерных типов поведения нелинейных систем и что понимание механизма возникновения этих явлений дает возможность предвидеть дальнейшее развитие и предельное состояние движения.

Следует отметить ту важную роль, которую играют в этих исследованиях современная вычислительная техника и методы математического моделирования динамических процессов.

В последние два десятилетия появился ряд публикаций, в которых авторы выясняли условия возникновения хаотических реакций в строительных конструкциях под влиянием тех или иных внешних воздействий. Целью этих работ было также установление типичных сценариев перехода от регулярных движений к хаотическим.

Общей трактовке указанных вопросов посвящена, например, монография Т. Капитаника [50], ориентированная на инженеров - практиков.

Обзор результатов проведенных в 1980-е годы исследований свойств переходных процессов в колебаниях нелинейных систем опубликовал Т. Капитаник в [51]. Построены отображения Пуанкаре и типы фазовых траекторий с различными вариантами неустойчивости. Хаотические эффекты сопоставляются с различными характеристиками нелинейности системы. В его же работе [52] проведен анализ условий перехода к хаотическому поведению в автономной самовозбуждающейся системе под действием периодического и случайного внешнего возмущения. Определены фазовые траектории с одной и двумя петлями и условия перехода к хаотическим фазовым траекториям. Хан, Жанг и Янг [53] рассматривали хаотические вынужденные колебания динамической системы второго порядка с квадратичной и кубической нелинейностями. Определялись условия возникновения хаоса по отображениям Пуанкаре, фазовым портретам и временным рядам.

В.А. Баженов, Е.С. Дехтерюк и Ю.С. Петрина численно исследовали бифуркации установившихся режимов вынужденных колебаний пластин и оболочек под действием периодических во времени нагрузок. Отмечен переход от регулярных (периодических и квазипериодических) колебаний к хаотическим.

Я. Аврейцевич, В.А. Крысько и А.В. Крысько [54] изучали общие механизмы перехода к хаосу в диссипативных пластинчатых конструкциях. Анализируя сложные колебания гибких пластинок при воздействии переменных во времени сдвиговых нагрузок, В.А. Крысько, В.В. Бочкарев, Т.А. Бочкарева [55] установили, что при любых заданных значениях частоты и коэффициента демпфирования существует значение амплитуды нагрузки такое, что при больших значениях амплитуды колебания становятся хаотическими. В.А. Крысько, Т.В. Вахлаева и А.В. Крысько [56] детально описали механизмы возникновения хаоса в случае вынужденных колебаний пластин. Переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума в динамике пластин проанализирован в работе Я. Аврейцевича и В.А. Крысько [57]. Хаотические эффекты в диссипативно-консервативных колебаниях двухслойных неспаянных пластин исследовали В.А. Крысько, А.В. Крысько и Т.В. Бабенкова [58]. Рассматривал модель голосовых связок человека в виде двух пластин, прикрепленных пружинами к стенкам трубы П.С. Ланда [59] и установил, что под действием потока воздуха происходит возбуждение хаотических колебаний пластин.

В работе [60] Ю. Лепик пытался выяснить возможность хаотических реакций в осесимметричных колебаниях упруго - пластических цилиндрических оболочек. В большинстве проведенных компьютерных экспериментов установившиеся колебания имели регулярный характер. Хан, Ху и Янг [61] провели анализ нелинейных колебаний упругой цилиндрической оболочки вращения и нашли критические условия возникновения хаотического движения. Маэстрелло, Френди и Браун [62] изучали нелинейные колебания типовой панели фюзеляжа самолета. Для' выбранного диапазона частот найдены линейные, квазилинейные при удвоении периода колебаний и хаотические динамические реакции панели при увеличении уровня акустического движения звуковой нагрузки. Сценарий перехода к хаотическим колебаниям для консервативных и диссипативных систем в теории гибких цилиндрических панелей при действии знакопеременных продольных нагрузок рассматривали А.В. Крысько, С.А. Мицкевич и Ю.В. Чеботаревский [63]. Хаотические движения квадратной в плане оболочки под действием импульсной периодической нагрузки исследовали В.А. Крысько и А.В. Кириченко [64]. Сделана попытка объяснить явление динамической потери устойчивости с позиций качественной теории дифференциальных уравнений.

В последние два десятилетия появился ряд публикаций, в которых авторы выяснили условия возникновения хаоса в различных конструкциях. Значительная роль в таких исследованиях, целью которых является выявление сценариев перехода от регулярных колебаний к хаотическим, отводится методам математического моделирования и современным вычислительным методам. Но задачам исследования стохастических колебаний многослойных неспаянных систем в виде пластин, уделялось ограниченное внимание. Настоящая работа ставит перед собой цель частично заполнить этот пробел.

Целью работы является построение математических моделей теории многослойных неспаянных пластинок с учетом разного типа нелинейностей (конструктивной, связанную с тем, что расчетная схема задачи, в процессе деформирования, меняется; конструктивной и физической нелинейностями; конструктивной, геометрической и физической нелинейностями; а также, нелинейной зависимости диссипативных членов в сочетании с конструктивной, геометрической и физической нелинейностями). Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1. Создание математических моделей теории многослойных неспаянных пластинок с учетом разного типа нелинейностей (конструктивной, связанную с тем, что расчетная схема задачи, в процессе деформирования, меняется; конструктивной и физической нелинейностями; конструктивной, геометрической и физической нелинейностями; а также, нелинейной зависимости диссипативных членов в сочетании с конструктивной, геометрической и физической нелинейностями).

2. Построение итерационной процедуры для динамических задач, когда на каждом шаге по времени уточняется зона контактного сопряжения пластин и тем самым уточняется величина и характер контактного давления.

3. Разработка методики расчета двухслойных неспаянных пластинок при действии продольных и поперечных знакопеременных нагрузок, позволяющей исследовать диссипативные, консервативные, диссипативно-консервативные системы.

4. Качественное исследование динамики многослойных неспаянных пластинок, на основе нелинейной динамики в зависимости от изменения следующими параметрами: краевыми условиями, величиной зазора между пластинками, амплитудой и частотой равномерно распределенной поперечной и продольной знакопеременных нагрузок, величиной диссипативных членов.

Уравнения в частных производных сведены к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода конечных разностей второго порядка, которая решалась методом Рунге - Кутта четвертого порядка точности. Это связано с задачей установить истинность хаоса, в отличие от модели Лоренца, когда низшие приближения обнаруживают хаос, а увеличение аппроксимации приводит к его исчезновению.

Показано, что переход колебаний из гармонических в хаотические двухслойной конструкции неспаянных пластинок при действии продольной и поперечной знакопеременной нагрузок может иметь различные сценарии. Более того, наблюдаемые бифуркационные процессы могут быть сложным образом скомбинированы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы. Работа содержит 115 страниц наборного текста, 4 рисунка, 13 таблиц.

Основные выводы по диссертации Построены математические модели теории многослойных неспаянных пластинок с учетом разного типа нелинейностей (конструктивной; конструктивной и физической нелинейностей; конструктивной, геометрической и физической нелинейностей).

Разработана итерационная процедура для динамических задач, когда на каждом шаге по времени уточняется зона контактного сопряжения пластин и тем самым уточняются величина и характер контактного давления.

Разработан пакет программ для качественного исследования динамики многослойных неспаянных пластинок на основе нелинейной динамики с помощью метода Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Изучен новый класс задач нелинейной динамики многослойных неспаянных пластинок в зависимости от типа управляющих параметров (краевых условий, характера нагрузки, величины зазора и вида динамической системы).

Выявлено интересное явление: в случае, когда одна из пластин шарнирно оперта, а другая защемлена, частота пластины с шарнирным опиранием по контуру захватывает частоту пластины с другим типом граничных условий. Обе пластинки колеблются с частотой возбуждения, равной частоте возбуждения шарнирного опирания, т.е. наблюдается явление синхронизации.

Построена шкала динамических режимов в зависимости от управляющих параметров ^j\cop\ для двухслойной неспаянной пластинки, что позволяет изучить все многообразие поведения конструкции и выявить оптимальные параметры нагрузки для конкретных условий.

Проанализирована эволюция колебаний при переходе от гармонических в хаотические.

Проведено исследование изменения величины и характера контактного давления между пластинками в зависимости от изменения следующими параметрами: краевыми условиями, величиной зазора между пластинками, амплитудой и частотой равномерно распределенной поперечной и продольной знакопеременных нагрузок, величиной диссипативных членов.

Выявлено, что при нелинейных диссипативных колебаниях двухслойных неспаянных пластинок с учетом конструктивной нелинейности присутствуют некоторые выводы теоремы Шарковского. Выявлено появление бифуркаций Андронова - Хопфа до трех. Для пластинок, защемленных по контуру, обнаружено утроение периода.

1. Артюхин Ю. П. Некоторые контактные теории тонких пластин / Ю. П. Артюхин, С. Н. Карасев // Исследования по теории пластин и оболочек. 1973.-Вып. 10.-С. 159-166.

2. Карасев С. Н. Влияние поперечного сдвига и обжатия на распределение контактных напряжений / С. Н. Карасев, Ю. П. Артюхин // Исследование по теории пластин и оболочек. 1976. Вып. 12. - С. 6877.

3. Друнев В. К. Покон изследования на устойчивоста на кръгов прьстетверху еластична основа / В. К. Друнев // Теоретическая и прикладная механика. 1980,- 11, —№ 3. — С. 94-101.

4. Крысько А. В. Комбинированные математические модели контактных задач теории пластин и оболочек: дисс. . канд. физ.-мат. наук : 01.02.04 / А. В. Крысько Саратов: СГУ, 1995. - 266 с.

5. Пелех Б. JI. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентрическими / Б. JI. Пелех, В. А. Лазько ; Киев: Наукова думка, 1982.-292 с.

6. Кантор Б. Я. Нелинейные задачи теории неоднородных оболочек /Б. Я. Кантор ; Киев: Наукова думка, 1971. 134 с.

7. Розин Л. А. О расчете конструкций методом расчленения /Л. А. Розин //Прикладная матем. и механика, 1961.-т. XXV.-№ 5.-С. 921 -926.

8. Розин Л. А. Стержневые системы как системы конечных элементов /Л. А. Розин ; Л. Изд-во ЛГУ, 1976.-232 с.

9. Пшеничнов Г. И. Метод декомпозиции решения уравнений и краевых задач / Г. И. Пшеничнов ; ДАН СССР. М., 1985. т. 282. - № 4. - С. 792 -294.

10. Пшеничнов Г. И. Решение некоторых задач строительной механики механики методом декомпозиции / Г. И. Пшеничнов // Строит, механика и расчет сооружений. 1986. № 4. - С. 12-17.

11. И.Игнатьев В. А. Расчет регулярных статически неопределенных стержневых систем / В. А. Игнатьев // Изд-во Саратовского ун-та, 1979. -295 с.

12. Ханен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах / Г. Ханен ; М.: Мир, 1985.-256 с.

13. Гленодорф П. Термодинамическая теория структурности, устойчивости и флуктуации / П. Гленодорф, И. Пригожин ; М.: Мир, 1973. 280 с.

14. Николис Г. Самоорганизация в неравновесных системах / Г. Николис, А. Пригожин ; М.: Мир, 1979. 344 с.

15. Пригожин И. От существующего к возникающему / И. Пригожин ; М.: Наука, 1985.-238 с.

16. Пригожин И. Порядок из хаоса / И. Пригожин ; М.: Прогресс, 1986. -230 с.

17. Чириков Б. В. Резонансные процессы в магнитных ловушках / Б. В. Чириков ; Атомная энергия, 1959. Т. 7. - № 6. - С. 630 - 638.

18. Лоренц Э. Детерминированные периодические течения. (Странные аттракторы); под ред. Я. Г. Синая, Л. П. Шпильникова / Э. Лоренц; М.: Мир, 1981.-С. 88-116.

19. Пуанкаре А. О науке / А. Пуанкаре ; М.: Наука, 1983. 560 с.

20. Пуанкаре А. О кривых определяемых дифференциальными уравнениями / А. Пуанкаре ; М.: Гостехиздат, 1948. 320 с.

21. Андронов А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин ; М.: Наука, 1981.-598 с.

22. Рюэль Д. О природе турбулентности (странные аттракторы) / Д. Рюэль, Ф. Такенс ; М.: Мир, 1981.-С. 117-151.

23. Алексеев В. М. Квазислучайные колебания и качественные вопросы небесной механики / В. М. Алексеев // Труды IX Мат. школы, Киев. Ин-т математики АН УССР, 1972. С. 212 - 341.

24. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы / Дж. Д. Биркгоф ; М.: Гостехиздат, 1941. 165 с.

25. Боголюбов Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский ; М.: Наука, 1974. -503 с.

26. Боуэн Р. Методы символической динамики / Р. Боуэн ; М.: Мир, 1979. -175 с.

27. Биллингслей П. Эргодическая теория и информация / П. Биллингслей ; М.: Мир, 1969.-117 с.

28. Бунимович JI. А. Стохастичность аттрактора в модели Лоренца / Л. А. Бунимович, Я. Г. Сипай ; Нелинейные волны, М.: Наука, 1979. С. 212 -226.

29. Корнфельд И. П. Эргодическая теория / И. П. Корнфельд, Я. Г. Сипай, С. В. Фомин; М.: Наука, 1980. 208 с.

30. Крылов Н. С. Работы по обоснованию статической физики / Н. С. Крылов ; М. Изв. АН СССР, 1950. 232 с.

31. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В. И. Арнольд ; М.: Наука, 1978. 272 с.

32. Йосс Ж. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций / Ж. Йосс, Д. Джозеф ; М.: Мир, 1983. 300 с.

33. Арнольд В. И. Теория катастроф / В. И. Арнольд ; М.: Изд-во МГУ, 1983.- 128 с.

34. Карасев С. Н. О некоторых контактных задач теории тонких пластин и оболочек / С. Н. Карасев // Изв. АН СССР. ШТ., 1978. № 5. - С. 170 -178.

35. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем / А. С. Вольмир ; М.: Наука, 1967.-984 с.

36. Кантор Б. Я. К нелинейной теории тонких оболочек / Б. Я. Кантор // Динамика и прочность машин. Харьков: изд-во ХГУ, 1967. т. 5. - 136 с.

37. Крысько В. А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. / В. А. Крысько ; Саратов: СГТУ, 1976. 216 с.

38. Салий Е. В. Математическое моделирование динамики пологих оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей: дис. . канд. физ.-мат. наук/Е. В. Салий. Саратов, 2001. 117 с.

39. Киреева О. Н. Математические модели сложных нелинейных колебаний балок при наличии ограничений на прогиб: дис. . канд. физ.-мат. наук / О. Н. Киреева. Саратов, 2002.121 с.

40. Алумяэ Н. А. Одна вариационная формула для исследования тонкостенных упругих оболочек в послекритической стадии / Н. А. Алумяэ // Прикладная математика и механика. 1950. Т. 14. - № 2. -312 с.

41. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем / В. В.Болотин ; М.: Гостехиздат, 1956. 600 с.

42. Григолюк Э. И. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек / Э. И. Григолюк, В. В. Кабанов // Итоги науки. Механика твердых деформируемых тел. М.: ВИНИТИ, 1969. 348 с.

43. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек /А. С. Вольмир; М.: Наука, 1972. 432 с.

44. Пальмов В. А. Колебания упруго пластических тел /В. А. Пальмов ; М.: Наука,-1976.- 186 с.

45. Григолюк Э. И. Устойчивость оболочек / Э. И. Григолюк, В. В. Кабанов ; М.: Наука, 1978. 360 с.

46. Гольденвейзер A. JI. Свободные колебания тонких упругих оболочек / A. JI. Гольденвейзер, В. Б. Лидский, П. Е. Товстик; М., 1979. 384 с.

47. Агамиров В. Л. Динамические задачи нелинейной теории оболочек / В. Л. Агамиров; М.: Наука, 1990. 256 с.

48. Каримбаев Т. Д. Изгиб балки при поперечном ударе по движущейся площадке / Т. Д. Каримбаев, Ш. Мамаев // ЦИАМ. Препр. 2000. № 33. -С. 1-29.

49. Dogaki Masahiro. Dynamic buckling of rectangular plates under periodic shear force / Dogaki Masahiro, Pek Songbo, Yonezawa Hiroshi // Kansai daigaku kogyo gijutsu kenkyujo kenkyu hokoku. 2000. 15. - P. 169-178.

50. Kapitaniak T. Chaos for engineers: theory, applications, and control / T. Kapitaniak; Berlin Heidelberg - New York: Springer. 1998. - 142 p.

51. Kapitaniak T. Strange non-chaotic transients / T. Kapitaniak // J. Sound and Vibr. 1992.-158,-№1.-P. 189-194.

52. Kapitaniak T. Chaos in a noisy mechanical system with stress relaxation / T. Kapitaniak // J. Sound and Vibr. 1988. 123, - №3. - P. 391-396.

53. Han Qiang. The study on the chaotic motion of a nonlinear dynamic system Han Qiang, Zhang Shanyuan, Yang Guitong // Appl. Math. And Mech. Engl. Ed. 1999.-20,-№8.-P.830-836.

54. Аврейцевич Я. Переход к хаосу в диссипативных пластинчатых конструкциях / Я. Аврейцевич, В. А. Крысько, А. В. Крысько // Материалы II Белорусского конгресса по теоретической и прикладной механике. Минск, 1999. С. 3 - 8.

55. Awrejcewicz J. Feigenbaum scenario exhibited by thin plate dynamics / J. Awrejcewicz, V. A. Krysko // Nonlinear Dynamics. 2001. 24. - P .373 - 398.

56. Крысько B.A. Контактные задачи теории многослойных неспаянных пластин на прямоугольном плане : монография / В. А. Крысько, А. В.

57. Крысько, Т. В. Бабенкова; деп. В ВИНИТИ от 15.04.1998; № 1125 В98. 93 с.

58. Landa P.S. Chaotic oscillations in a model of vocal source / P.S. Landa // Изв. вузов. Прикл. нелинейн. динам. 1998. 6, - №4. - С. 57 - 67.

59. Lepik U. Axisymmetric vibrations of elastic-plastic cylindrical shells by Galerkin's method / U. Lepik // Int. J. Impact. Engng. 1996. 18. - №3. - P. 489-504.

60. Han Qiang. A study of chaotic motion in elastic cylindrical shells / Han Qiang, Hu Haiyan, Yang Guitong // Eur. J. Mech. A. 1999. 18, - №2. - P. 351 - 360.

61. Maestrello Lucio. Non-linear vibration and radiation from a panel with transition to chaos / Maestrello Lucio, Frendi Abdelkader, Brown Donald E. // AIAA Journal. 1992. 30, - №11. - P. 2632 - 2638.

62. Крысько В. А. О динамических критериях потери устойчивости гибких пологих оболочек / А. В. Крысько, А. В. Кириченко // В кн.: Нелинейная динамика механических и биологических систем. Саратов: СГТУ, 2000. -С. 144-152.

63. Овсянникова О. А. Сложные колебания двухслойных неспаянных пластин при действии продольных знакопеременных нагрузок / А. В. Крысько, В. А. Крысько, О. А. Овсянникова, Т. В. Бабенкова// Изв. вузов. Строительство. 2002. № 6. - С. 23 - 30.

64. Овсянникова О. А. Математическая модель многослойных неспаянных задач теории пластин / А. В. Крысько, О. А. Овсянникова // Нелинейная динамика механических и биологических систем. Межвуз. научн. сб. Вып. 2. Саратов, 2004. С. 195 - 204.

65. Овсянникова О. А. Хаотические колебания двухслойной упругой защемленной по контуру прямоугольной неспаянной пластинки / А. В. Крысько, О. А. Овсянникова // Вестник СГТУ. 2006. № 2 (12). - Вып. 1 -С. 16-19.

66. Самуль В. И. Основы теории упругости и пластичности / В. И. Самуль ; уч. пособие для инж. строит, специальностей вузов ; М.: Высш. школа, 1970.-288 с.

67. Биргер И. А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности / И. А. Биргер // ПММ, 1951. Т. 15. - Вып. 6.

68. Качанов JI. М. О вариационных методах решения задач теории пластичности / Л. М. Качанов // ПММ, 1959. Т. 23. - Вып. 3.

69. Ohashi Y. The elastoplastic bending of a clamped thin circular plate / Y. Ohashi, S. Murakami; Proc. Eleventh Int. Cong. App. Mech., Munich, 1964.

70. Лукаш П. А. Расчет пологих оболочек и плит с учетом физической и геометрической нелинейностей / П. А. Лукаш // В кн.: Тр. ЦНИИСК. Изд-во Акад. строит, и арх. СССР, 1961. 7.

71. Муштари X. М. Поперечный изгиб квадратной пластинки при нелинейной зависимости между деформациями и напряжениями / X. М. Муштари, Р. Г. Суркин // Изв. Казанского филиала АН СССР, сер. физика, математ. и механ., 1966.-Т. 14.-С. 23-28.

72. Срубщик JI. С. Асимптотический метод определения критических нагрузок потери устойчивости строго выпуклых пологих оболочек вращения / JI. С. Срубщик // ПММ, 1972. Т. 36. - Вып. 4. - С. 705 - 715.

73. Ramberg W. Discriptions of Stress-Strain Curves by Three Parameters NAGA / W. Ramberg, W. R. Osgood // TN 902. Now NASA, 1943.

74. Александров В. M. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками / В. М. Александров, С. М. Мхиторян ; М. : Наука, 1983. -488 с.

75. Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний: учеб. пособие / Я. Г. Пановко; 3-е изд. перераб. - М.: Наука, 1991. - 256 с.

76. Крысько В. А. Определение неустойчивых решений при расчете пластин и оболочек / В. А. Крысько, С. А. Комаров // Труды XVII международной конференции по теории оболочек и пластин. Казань: казанский гос. ун-т, 1996.-Т. 2.-С. 19-24.

77. Крысько В. А. Выпучивание гибких пластин под действием продольных и поперечных нагрузок / В. А. Крысько, С. А. Комаров, Н. В. Егурнов // Прикладная механика, 1996. Т. 32. - № 9. - С. 80 - 87.

78. Анищенко В. С. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы ; под ред. В. С. Анищенко / В. С.Анищенко, Т. Е. Вадивасова, В. В. Астахов ; Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. 368 с.

79. Ляпунов А. М. Собрание сочинений / А. М, Ляпунов ; М. : Изд-во АН СССР, 1954-1956.-Т. 1,2.

80. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения / И. Г. Малкин ; М.: Наука, 1966.-491 с.

81. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости /Б. П. Демидович ; М.: Наука, 1967. 280 с.

82. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости / Б. Ф. Былов, Р. Э. Виноградов, Д. М. Гробман, В. В. Немыцкий ; М.: Наука, 1966.-218 с.

83. Баутин Н. Н. Поведение динамических систем вблизи границы области устойчивости / Н. Н. Баутин; М.: Наука, 1984. 191 с.

84. Смейл С. Дифференциальные динамические системы / С. Смейл // УМН, 1970.-Т. 25,-№ 1.-С. 113 185.

85. Мандельштам Л. И. Лекции по колебаниям / Л. И. Мандельштам ; М.: Изд-во АН СССР, 1995. 365 с.

86. Бутенин Н. В. Введение в теорию нелинейных колебаний / Н. В. Бутенин, Ю. И. Неймарк, Н. А. Фуфаев ; М.: Наука, 1976. 382 с.

87. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний / Ю. И. Неймарк; М.: Наука, 1972. 356 с.

88. Гаушус Э. В. Исследование динамических систем методом точечных преобразований / Э. В. Гаушус; М.: Наука, 1976. -167 с.

89. Качественная теория динамических систем второго порядка / А. А. Андронов, Е. М. Леонтович, И. И. Гордон, А. К. Майер; М.: Наука, 1967. -330 с.

90. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В. И. Арнольд; М.: Наука, 1975. 372 с.

91. Марсден Д. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Д. Марсден, М. Мак-Кракен; М.: Мир, 1980. 368 с.

92. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах /В. С. Анищенко ; М.: Наука, 1990. 312 с.

93. Белых В. Н. Качественные методы теории нелинейных колебаний сосредоточенных систем : учеб. Пособие / В. Н. Белых ; Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1980. 230 с.

94. Постнов Д. Э. Бифуркации регулярных аттракторов : учеб. пособие / Д. Э. Постнов; Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1996. 196 с.

95. Теория бифуркаций ; сер. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления / В. И. Арнольд,

96. В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, JI. П Шильников ; М.: ВИНИТИ, 1986.- 128 с.

97. Базыкин А. Д. Бифуркационные диаграммы динамических систем на плоскости / А. Д. Базыкин, Ю. А. Кузнецов, А. И. Хибник; Пущино, НЦБИ АН СССР, 1985. 115 с.

98. Grebogi С. Chaotic attractors in crisis / С. Grebogi, E. Ott, J. A. Yorke // Phys. Rev. Lett., 1982. V. 48. - № 2. - P. 1507 - 1510.

99. Афраймович В. С. Внутренние бифуркации и кризисы аттракторов // Нелинейные волны. Структуры и бифуркации / В. С. Афраймович ; М.: Наука, 1987. С. 189 - 213.

100. Ландау Л. Д. К проблеме турбулентности / Л. Д. Ландау ; ДАН СССР, 1944. Т. 44. - № 8. - С. 339 - 342.

101. Hopf Е. A. Mathematical example desplaing the features of turbulence / E. A. Hopf// Comm. Pure Appl. Math., 1948. V.l. - P. 303 - 322.

102. Simoyi К. H. One dimensional dynamics in a multicomponent chemical reaction / К. H. Simoyi, A. Wolf, H. L. Swinney // Phys. Rev. Lett., 1982.-V. 49.-P. 245.

103. О бифуркациях в трехмерной двупараметрической системе со странным аттрактором / В. С. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е. Летчфорд, М. А. Сафонова // Изв. Вузов ; сер. Радиофизика, 1983. Т. 26. №2.-С. 169-176.

104. Pomeau Y. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems / Y. Pomeau, P. Manneville // Comm. Math. Phys., 1980. -V. 74.-№2.-P. 189-197.

105. Manneville P. Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems / P. Manneville, Y. Pomeau // Physica D, 1980. № 1. - P. 219.1. СПРАВКА

106. Зав. кафедрой «Высшая математика>