автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Задачи теории динамических гасителей колебаний конструкций и их элементов при импульсивных возмущающих нагрузках

На правах рукописи

0050492ОО

ФАМ ВЬЕТ НГОК

ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКИХ ГАСИТЕЛЕЙ КОЛЕБАНИЙ КОНСТРУКЦИЙ И ИХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ ИМПУЛЬСИВНЫХ ВОЗМУЩАЮЩИХ НАГРУЗКАХ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва-2012

005049205

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Московский государственный строительный университет".

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Дукарт Адам Вилебальдович

Официальные оппоненты: Коренева Елена Борисовна, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО "Московский государственный строительный университет", кафедра информатики и прикладной математики, профессор

Клейн Владимир Георгиевич, кандидат технических наук, доцент, ФГБОУ ВПО "Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет (МАДИ)", кафедра строительной механики, профессор

Ведущая организация: ООО "Вибросейсмозащита"

Защита состоится «16» ноября 2012 г. в 14.30 час. на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при ФГБОУ ВПО "Московский государственный строительный университет" по адресу: 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, ауд. № 9 «Открытая сеть».

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО "Московский государственный строительный университет".

Автореферат разослан « 15 » октября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Анохин Николай Николаевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность проблемы. Демпфирование колебаний зданий и сооружений, машин и приборов, их отдельных конструкций и элементов (далее - защищаемая конструкция, защищаемый объект), является важной научно-технической проблемой во многих областях техники - промышленном и гражданском строительстве, судостроении, авиастроении, транспортном и энергетическом машиностроении и других. Снижение уровня колебаний позволяет значительно повысить усталостную прочность, надежность и долговечность конструкций, улучшить технические условия их эксплуатации. В этой связи разработка эффективных средств и методов виброзащиты является одной из важнейших проблем динамики сооружений и динамики машин.

Учитывая многообразие видов динамических воздействий, вызывающих повышенные вибрации, и ужесточение эксплуатационных требований, предъявляемых к конструкциям, актуальной остается разработка методов и средств виброзащиты, в том числе - пассивных. Среди них особое место занимают динамические гасители колебаний (ДГК), которые представляют собой дополнительные динамические устройства, присоединяемые к защищаемой конструкции с целью изменения ее вибрационного состояния. Особое положение гасителей определяется тем, что их использование может быть предусмотрено как на стадии проектирования и создания конструкции, так и в случае выявление неудовлетворительных качеств конструкции уже в процессе ее эксплуатации.

Одним из основных направлений развития теории гасителей колебаний является оценка их эффективности и выбор оптимальных параметров при различных возмущающих нагрузках. К настоящему времени наиболее полно развита теория одномассовых линейных ДГК с вязким и частотно-независимым трением при гармонических воздействиях с фиксированной, мало изменяющейся и нестабильной частотой.

Важный класс эксплуатационных нагрузок, широко распространенных в инженерной практике, включая строительство, составляют воздействия импульсивного характера в виде однократно и многократно повторяющихся кратковременных сил и ударов. При определенных соотношениях между парамет-

рами конструкции и импульсивной нагрузки последние могут рассматриваться как периодические и вызывать установившиеся, в том числе резонансные, колебания, причем действующие импульсы могут в одних случаях считаться мгновенными, а в других необходимо учитывать форму импульсов и их продолжительность. Поведение конструкций, оборудованных ДГК различных типов, при действии однократных и периодических импульсов изучено сравнительно мало. Решению ряда задач выбора параметров динамических гасителей колебаний с вязким и частотно-независимым трением и оценки их эффективности при указанных воздействиях посвящена данная работа.

Целью диссертационной работы является теоретическое исследование возможностей применения одномассовых и двухмассовых линейных динамических гасителей для снижения уровня колебаний конструкций при возмущающих нагрузках в виде однократных и периодических кратковременных импульсов, разработка соответствующих алгоритмов расчета, определение оптимальных параметров гасителей с различными видами сопротивлений и оценка их эффективности.

Научная новизна:

- в замкнутой форме получены аналитические решения, описывающие свободные колебания двухмассовой системы защищаемой конструкции с динамическим гасителем, рассматриваемой как система с непропорциональным трением, при заданных начальных условиях;

- найдены аналитические уравнения стационарных колебаний системы с двумя степенями свободы с непропорциональным демпфированием при действии односторонних и двухсторонних периодических мгновенных импульсов;

- в явном виде получены аналитические уравнения движения одномассо-вой защищаемой конструкции, оборудованной одномассовьм ДГК с демпфированием, при действии периодической импульсивной нагрузки в виде импульсов конечной продолжительности в форме полуволны синусоиды;

- исследованы переходные режимы свободных колебаний одномассовой защищаемой конструкции с динамическим гасителем при заданных начальных

условиях, в частности при действии в начальной момент времени однократного мгновенного импульса и импульсов конечной продолжительности;

- найдены оптимальные параметры и дана оценка эффективности ДГК с вязким и частотно-независимым трением при действии периодических мгновенных импульсов и импульсов конечной продолжительности;

- разработана методика определения свободных и установившихся колебаний стержней с присоединенным гасителем с демпфированием при действии однократных мгновенных импульсов и периодических мгновенных импульсов.

Достоверность и обоснованность полученных результатов определяется корректностью постановки задач, строгостью и апробированностью применяемых методов динамики сооружений, теории колебаний и теории виброзащитных систем, а также известных математических методов, и подтверждается сравнением некоторых полученных результатов с известными решениями.

Практическое значение настоящей работы заключается в получении: данных о поведении защищаемой конструкции, оборудованной динамическими гасителями с вязким и частотно-независимым трением в переходных режимах колебаний при действии однократных импульсов и в установившихся режимах движения при действии периодических импульсов; численных данных об оптимальных значениях основных параметров динамических гасителей с демпфированием и их эффективности, которые могут быть использованы для предварительного назначения параметров ДГК при виброзащите реальных конструкций. Кроме того, найденные в работе точные аналитические уравнения движения двухмассовой системы защищаемой конструкции с гасителем при наличии трения могут служить в качестве эталонных решений для оценки точности различных приближенных и численных методов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на XIX словацко - российско - польском семинаре «Теоретические основы строительства» (Zilina. Slovakia, сентябрь 2010 г.); на IV международной научно-практической конференции «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы» (Москва, ноябрь 2011 г.); на IV международном научном симпо-

зиуме «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (Челябинск, июнь 2012 г.); на XXI российско - словацко - польском семинаре «Теоретические основы строительства» (Warszawa. Polska, июль 2012 г.). Работа в целом рассматривалась на кафедре строительной механики МГСУ (Москва, сентябрь 2012 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ, в том числе 5 в научных журналах, входящих в список ВАК для публикации результатов по кандидатским диссертациям.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 187 наименований. Общий объем диссертации составляет 167 страниц, включая 23 таблицы и 70 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении изложена общая характеристика работы, обоснована актуальность темы диссертации, определены цели и задачи работы, научная новизна и практическая значимость выполненных исследований.

В первой главе приведен краткий обзор литературных источников, посвященных решению многочисленных задач теории динамических гасителей колебаний. Дана предыстория постановки задач теории ДПС, опирающейся на фундаментальные исследования в области разработки общей теории колебаний и методов расчета динамических гасителей. Наиболее весомый вклад в разработку теории и конструктивных форм динамических гасителей колебаний внесли А.Н. Алексеев, И.В. Ананьев, A.B. Дукарт, В.В. Карамышкин, Б.Г. Коренев, А.З. Манатов, А.И. Олейник, H.A. Пикулев, А.Ф. Потехин, JI.M. Резников, А.К. Сбороский, В.П. Терских, V.A.Bapat, J.E. Brook, J. Den-Hartog, К. Iwanami, R.G. Jacquot, M.A. Nobile, Y.M. Ram, К. Seto, A.V. Srinivasan, J.C. Snowdon, G.V. Warburton и другие. Выполненный анализ теоретических и экспериментальных исследований динамических гасителей колебаний позволил выявить наиболее перспективные направления изучения поведения защищаемых конструкций с присоединенными ДГК, в частности при колебаниях, вызванных импульсивными возмущающими нагрузками, составляющие важный класс эксплуатационных динамических воздействий.

Вторая глава посвящена решению задач выбора оптимальных параметров и оценки эффективности одномассовых динамических гасителей колебаний с различными видами сопротивлений при действии периодических импульсов с нестабильной частотой их приложения. Рассеяние энергии в звеньях защищаемого объекта и гасителя учитывается в соответствии с гипотезами вязкого сопротивления (рис. 1,а) и частотно-независимого трения (ЧНТ) (рис. 1,6), при этом принимается, что исходная система «защищаемая конструкция - ДГК» обладает непропорциональным демпфированием.

Рис. /.Расчетная схема защищаемого объекта с ДГК с вязким (а) и с частотно - независимым (б) трением

Найдены решения, описывающие стационарные колебания системы с динамическим гасителем при действии мгновенных периодических импульсов одностороннего направления

P(.t) = S± ö(t-kT), (1)

»»-«о

где S(t)~ дельта-функция Дирака; Т = Inj в, в - период и частота приложения импульсов; S — величина импульса. Рассматривается два случая импульсивных воздействий: а) величина импульса S = S0 не зависит от частоты 0(1 типа); б) величина импульса S = (ßla>m)Sü пропорциональна частоте 0(11 типа).

В случае модели вязкого трения дифференциальные уравнения имеют вид +с^+к1{х]-x2)+c2(xt -х2) = 0; ^

тгх2 + кг(х2 -х,) + с2(х2 -х,) = 0. Здесь mjicpkpx1~ масса, квазиупругий коэффициент, коэффициент вязкого

трения и абсолютная координата защищаемого объекта (/=1)и гасителя 0=2).

Используя условия периодичности движения масс

7

х,(Т)=х1(0); = *,(<>)-Я/т,; (3)

х2(Т) = х2(0); х2(Г) = х2(0),

найдем решениями уравнений (2) в вещественной форме (0<? <,Т) с , „-«."и

X, (0 = ^1-—^---{[М^ -соз^Г)-

-{и^(е'"кт - ее»й^Г) + эт «„Г^тсу}. (4)

Здесь ии = -и12= 2(со2Р2Рг - а,Д Д) - Д2Д4 (Л2 - Й,);

Ц, = 2[®2(ДДз - Д32 - Д2) + ¿У,АД] - ДД№ - А,); ц2 =2КДД+Й1(ДД -Д2-Д2)]+ДД(Л -/¡1); (5)

= щ^-х - ; = ЩЛУ + А--1; А5 =4{ад[(Д -Д^+^+ДЬ/ШО^-А2)2 + Й;12+®22]}.

Р2у_1,Р2у- действительные и мнимые части коэффициентов распределения амплитуд свободных колебаний, вычисляемые по формулам

диЧ =[(о,25А2-/^+4-^X4-КЮ+^А^Кг-К)}!^; Д„ =[2^2юД0,25Л2 - +4 -<а2)-й>Д£4 ! (6)

<т„ =(0,25А2-Ь^К +со2ш-а1)2 +(2 ^ - А„)2о2. Частоты колебаний ©„>0 и коэффициенты демпфирования/¡„ >0(^ = 1,2) системы являются корнями характеристического уравнения

луГЧгК^ + 0", + "Л^+К^м + <ЦЛ2) + ('", +

4-2^(^4 = 0, (?)

где Л,- характеристический показатель, 1=1,4;Л2у_1> =^./(2тяу);

0О. = ; й)оу- парциальные частоты колебаний защищаемого объекта (/=1)

и гасителя (/-2).

Для численного анализа функций (4) введены безразмерные параметры:

л=£/®о1; ¿о=; §г=АиМн; 4 ; л = ^/Ч™;г=М?1»

/ц = т2/т1; 5 = о02/суш - относительная масса и настройка гасителя.

Оптимальные параметры гасителя - настройка (5 = $ОПТ ) и коэффициент демпфирования (5Г=8Г0ПТ) - найдены из условия минимума наибольших ординат ИЧХ колебаний главной массы У,(Л), причем за У, для данного значения безразмерной частоты Л принята наибольшая из величин У^и У1 .

ИЧХ колебаний массы щ для некоторых значений коэффициента демпфирования защищаемого объекта и относительной массы гасителя приведены на рис.2 (1-<У0=0,01; //=0,01; ^=0,992204; <УЛ0ЯГ =0,0599; 2-<5с=0,025; //=0,025; 5ОЛГ=0,978318; ¿голг =0,0965; 3-<50=0,05; //=0,05;хопт =0,955449;Згопт = 0,133). Оптимальным значениям параметров ДГК с вязким трением соответствуют амплитудные кривые колебаний главной массы с двумя резонансными максимумами. Как следует из этих графиков, с увеличением коэффициента демпфирования защищаемого объекта и относительной массы гасителя ИЧХ колебаний главной массы и массы гасителя становятся более пологими и при некоторых значениях параметров системы ИЧХ колебаний массы щ переходит в кривую, имеющую в некоторой окрестности резонансной частоты (Л— 1) практически горизонтальную площадку (кривую 3).

/___у.2

/3

0.80 0.90 1.00 1.10 Я

Рис. 2. ИЧХ колебаний защищаемого объекта при оптимальных значениях настройки и демпфирования гасителя при действии односторонних периодических мгновенных импульсов. Воздействие I типа

Рис.3. Зависимости коэффициента гашения колебаний от величины неупругого сопротивления защищаемого объекта при односторонних периодических импульсах

Эффективность виброзащиты оценивается коэффициентом гашения Кг, который в данном случае определяется как отношение наибольшего отклонения

главной массы в отсутствие гасителя к соответствующей величине при наличии оптимально настроенного гасителя (рис. 3).

При действии периодических мгновенных импульсов двухсторонних направлений достаточно найти периодическое решение дифференциальных уравнений колебаний в промежутке времени O<t0<O,5T, которое должно быть продолжено нечетным образом в промежуток времени 0,5Т <t0<T. Представим заданную нагрузку аналитическим выражением

m = S± (-\)"S(t-Q,5kT). (8)

В этом случае условия периодичности движения масс имеют вид х, (0,5Г) = -*,(()); x1(0,5r) = -i1(0) + S/m1; х2(0,5Г) = -х2(0); ¿2(0,5Г) = -х2(0), а искомое периодическое решение

х (t) = ——У---{[«„(cos0,5^7 + е°-2ЯГ) +

+u¡v sin 0,5(УКГ] cos со J + [и J, sin 0,5 avT - u>jv (cos 0,5 <ovT + e03¡KT) sin o/}. (10) Здесь величины u¡v,u¡v иА3 вычисляются по формулам (5).

Установившиеся колебания масс системы при учете демпфирования в ее звеньях по гипотезе ЧНТ являются решением дифференциальных уравнений свободных колебаний системы

т,х, + с, (и, + г'и,)Х| + с2(иг + ш2)(х, - х2) = 0; т2х2 + с2(м2 + iv2)(x2 - х,) = 0,

удовлетворяющих условиям периодичности. Коэффициенты ир (^вычисляются по формулам

и. = (4-г))/(4 + у)); Vj = 4/у/(4 + г]); У= 1.2; г-=>Л, где у - коэффициенты неупругого сопротивления звеньев защищаемого объекта (/=1) и гасителя (/=2).

Разработан способ определения установившихся колебаний системы при действии периодических импульсов конечной продолжительности t0 (рис. 4) с нестабильной частотой их приложения. Под действием возмущающей нагрузки система совершает стационарные колебания, которые при учете демпфирова-

ния в звеньях защищаемого объекта и гасителя по гипотезе Фойгта описываются дифференциальными уравнениями

w,jc, + + qXj + к2 (i, - х2) + с2 (х, - х2) = P(t);

т2х2 + к2(х2 - х,) + с2(х2 - xj = 0.

(12)

т. h

ко

,27

+ 'о t

Т

T + t„ .2 T+t,

-Z_J._Z_

Рис. 4. Периодические импульсы: о) прямоугольной формы; б) в форме полуволны синусоиды

Заданное возмущение определяется аналитическим выражением

Р(О = Р0ЛО при 0<Г<;0; Р(0 = 0 при г0 < г < Г, (13)

где - максимум импульсивной нагрузки; /(г) - функция, характеризующая форму импульсов, 0 < /(?)^1.

Рассматриваемая нагрузка носит прерывистый характер, поэтому движение системы в промежутках времени [0,/0] и [/0,7] описывается разными уравнениями. Решения, описывающие стационарные колебания системы, получены в замкнутой форме, это позволяет использовать их для определения оптимальных параметров гасителя.

Исследованы ИЧХ колебаний защищаемой конструкции в предположении о постоянной величине внешних импульсов при изменении максимальных величин импульсивной нагрузки и продолжительности.

Г0»>г/ю а)

\

/ V1

/ \

Рис. 5. ИЧХ колебаний массы т, при периодических импульсах одностороннего направления в форме полуволны синусоиды

На рис. 5 приведены ИЧХ колебаний массы т, при действии односторонних периодических импульсов в форме полуволны синусоиды (рис. 4,6)

11

/(*) = зт *//*„. (14)

Графики У,(Л) рассматриваемой системы соответствуют коэффициенту демпфирования защищаемого объекта 30 =0,025 и значениям других параметров, отвечающих оптимальной настройке динамического гасителя колебаний с вязким трением при действии периодических мгновенных импульсов (г0 -»0): 1 - // = 0,025; ^=0,978318; 8Г =0,0965; 2 - // = 0,05; 5=0,959289; 8Т =0,131. Значения безразмерной величины длительности действия импульсов указаны на рис. 6: а) г0 = я /10; б) г0 = я / 2; в) т0= я. Для сравнения там же пунктиром приведены ИЧХ колебаний одномассовой системы при тех же значениях <50 и г0. Сопоставление ИЧХ колебаний для случаев мгновенных импульсов и импульсов конечной продолжительности (рис. 5) показывает, что кратковременные импульсы могут быть заменены мгновенными только при выполнении определенных соотношений между параметрами системы и возмущающей нагрузки.

Рис. 6. ИЧХ колебаний главной массы при различных значениях длительности действия периодических импульсов

На рис. 6 приведены ИЧХ колебаний массы защищаемого объекта в режиме основного импульсного резонанса, соответствующие различным значениям длительности действия импульсов (а -т0 = я /10 ; б - т0 = я / 2; в - т0 = я) в форме полуволны синусоиды (кривые 1) и прямоугольной формы (кривые 2) при ц = 0,025; 50 = 0,025 и оптимальных параметрах гасителя 5 = 0,978318;

= 0,0965, отвечающих действию периодических мгновенных импульсов (пунктирные линии). Сопоставление резонансных кривых У^Л) показывает, что при одинаковых значениях величины импульса 50 наибольшие отклонения главной массы ^>11их имеют место при возмущающей нагрузке в виде мгновенных импульсов. Сравнение ИЧХ колебаний массы тх при действии периодических импульсов конечной продолжительности свидетельствует о том, что минимальные отклонения главной массы при рассматриваемых воздействиях с постоянной величиной импульсов 50 соответствуют периодическому возмущению в виде импульсов прямоугольной формы.

В третьей главе исследовано поведение защищаемого объекта и изучена эффективность двухмассового ДГК с демпфированием с последовательным соединением его звенев {рис. 7) при действии периодических мгновенных импульсов одностороннего направления. Получено решение задачи об установившихся колебаниях трехмассовой системы при импульсах одностороннего и двухстороннего направлений.

Рис. 7. Расчетная схема системы с двухмассовым ДГК с вязким (а) и частотно-независимым (б) трением

При учете демпфирования в звеньях системы по гипотезе вязко-линейного

трения колебания системы описываются дифференциальными уравнениями

+ А^х, + с,х, + &2(х, - х2) + с2(х, - х2) = 0; т2х2 + к2(х2 - х>) + с2(х2 - х,) + щхг = 0; (15)

т3х3 + £3(Х) - х2) + с3(х3 - х2) = 0.

Периодические колебания системы (рис. 7) описываются уравнениями вида (9) и (10), где для определения частот а„, коэффициентов демпфирования

, коэффициентов и^, и]у получены соответствующие аналитические формулы, которые используются для выбора параметров гасителя.

Таблица 1

Результаты неполной оптимизации параметров двухмассового ДГК с вязким трением без учета трения в защищаемом объекте при импульсивном воздействии I типа

С«=0,05; 30 = 0,0; = 1) _

№ Л /Г X' X" у 1,1МИ

0,049 0,001 0,04 0,97101 0,03653 0,8606 1,0081 1,1197 2,753

0,05 0,97302 0,04995 0,8625 1,0100 1,1175 2,3975

0,06 0,97609 0,06622 0,8663 1,0156 1,1106 2,200

0,07 0,98019 0,08490 0,8719 1,0275 1,0963 2,015

0,08 0,98601 0,13150 0,8831 - 1,0813 2,134

0,048 0,002 0,020 0,97264 0,08387 0,8459 1,0244 1,1231 2,495

0,025 0,97934 0,09336 0,8498 1,0286 1,1211 2,347

0,030 0,98485 0,10280 0,8538 1,0338 1,1169 2,2457

0,035 0,98959 0,11215 0,8573 1,0411 1,1098 2,1766

0,040 0,99654 0,13310 0,8644 - 1,1019 2,1702

Результаты неполной оптимизации параметров рассматриваемого гасителя при импульсивных воздействиях одностороннего направления представлены в табл. 1 и табл. 2 в зависимости от: величин относительных масс /л2 и ^ при фиксированной суммарной массе ДГК /и = цг+ (табл. 1), коэффициентов неупругого сопротивления основного звена гасителя 8п = кг/(2т2<оа1)(табл. 1) и защищаемого объекта = к1/(2т1й>т) (табл. 2). Отметим, что оптимальные значения параметров гасителя соответствует три максимума ИЧХ колебаний защищаемой конструкции при их примерном равенстве.

Таблица 2

Результаты неполной оптимизации параметров двухмассового ДГК с учетом трения в защищаемом объекте (м = 0,05;/^ = 0,0485;/^ = 0,0015;уг = 0,14;^ = 1,0)

Г, Г, г Г ^3,2 «2 Уг КГ У,7

Воздействие I типа Воздействие II типа

0,01 0,99990 0,2506 1,897 16,95 7,01 24,94 1,02195 0,2327 1,874 17,12 7,14 26,58

0,025 0,99996 0,2443 1,794 6,96 6,56 23,72 1,02580 0,2245 1,777 7,03 6,74 25,52

0,05 1,00013 0,2340 1,649 3,71 5,94 22,01 1,03272 0,2114 1,642 3,73 6,20 24,04

0,1 1,00048 0,2158 1,427 2,06 5,00 19,35 1,04970 0,1880 ¡,435 2,05 5,40 21,70

В табл. 1 через У,™" = шах У2* и У3™ю = шах У3*г обозначены максимальные

величины относительных колебаний масс основногоу2,(г) = у2(т)~У,(г) и подстроенного у} 2(т) = у2(х) - у2(г)звеньев двухмассового ДГК; Л",Л°,ЛП - частоты возмущающей нагрузки, соответствующие левому (Лл< 1), среднему (Яс«1) и правому (/Г>1) резонансным максимумам ИЧХ колебаний главной массы. Наличие прочерка на резонансной или близкой к ней частоте Лс в табл. 1 свиде-

14

тельствует о том, что при этих исходных данных ИЧХ колебаний главной массы имеет два максимума, расположенные слева и справа от частоты Л — 1.

В четвертой главе изучены переходные режимы свободных колебаний защищаемой конструкции с динамическим гасителем колебаний. Найдены аналитические законы свободных колебаний двухмассовой системы с демпфированием при заданных начальных условиях.

Решениями дифференциальных уравнений (2) и (11) являются вещественные функции

х,(0 = 2¿ e-,ifK'la'¿]. eos су - c¡£ sin mj], (16)

Здесь o£>, = -«2'X - = (17)

Piv-1 'Piv вычисляются по формулам второй главы.

Система алгебраических уравнений относительно постоянных а^1)(£ = 1,4) имеет вид

BaJ>=0,5tV0, (18)

где В-квадратная 4х4-матрица, элементы которой вычисляются по формулам

¿1,2,-1 = 1; ¿1,2, = 0; ¿2,2.-1 = 0,5/7,; 622„ = é32l,_, = Д,„_,; ¿>32l, = ^^

¿4,2.-1 = 0¿KPlv-i + ЧА,; ¿4,2, = - 0,5/г,А„

а'Л и IVс - матрицы-столбцы, элементами которых являются соответственно постоянные а^ и начальные отклонения и скорости масс системы

a" =[a¡l),a<2'),a<",a¡,)]T; fFo =[x¡0,-x10,x20 -x20f. (20)

Индекс « т » означает операцию транспонирования матрицы.

В случае колебаний защищаемой конструкции с одномассовым динамическим гасителем при заданном отклонении конструкции матрица начальных отклонений и скоростей масс имеет вид W<¡ = [х|0,0, х20,0]г.

Для определения переходных процессов колебаний системы с ДГК, вызванных действием кратковременных импульсов, приложенных к покоящейся конструкции в начальный момент времени (е=0), матрица W„ имеет вид

F0=[0,0,-S0/m1(0f. (21)

Определены свободные колебания системы с двумя степенями свободы при действии однократного импульса конечной длительности вида

Pit) = PJ(t) при 0<t<t0; P(t) = 0 при t>t0. (22)

Они определяются для интервалов времени 0<i < i0и t > ¿„различными уравнениями. Колебания системы в интервале [0,f0] описываются функциями

*,(0 = Î )Р (t)e^Ki'-r)[ujv cosû>„(f-т)-и sinav(t-г)] А, (23)

mlAs и=1о

а по окончанию действия импульса определяются по вышеизложенной методике. При этом начальные условия движения масс системы для второго интервала имеют вид

*1,0=*1('о); Х2,0=Х2^0 )> %=*l('o)> *2.0 = (24)

Исследовано влияние параметров ДГК и длительности действия импульса в форме полуволны синусоиды P{t) = Р0 sin (;r//f0). Некоторые результаты в виде графиков переходных процессов колебаний масс защищаемой конструкции при продолжительности действия одиночного начального импульса т0/(2л) = 0,1; 0,25; 0,5 приведены на рис. 8 (значения остальных параметров указаны на рисунках).

â , J /г=0,025; 025; )i"0j;j=0,98419 Л 0.5 00 -05 ■ ' V .2 (Н),025;я=0,025; K^OXt* 0,98419

ill J i à !

щ fi

О 10 20 30 40 50 т О 10 20 30 40 50

Рис. 8. Переходные процессы колебаний массы m, : 1 - г0 = я/5; 2 - т0 = я/2 ; 3 - г0 = я

В качестве численной реализации исследованы переходные процессы колебаний виброизолированного массивного фундамента с установленной на нем машиной ударного действия (молотом) с помощью ДГК при действии импульса в форме полуволны синусоиды. Результаты показывают, что эффективность ДГК достаточно высока - использование гасителя позволяет снизить наибольшее отклонение защищаемой конструкции в третьем периоде в 3,6 раза.

Рассмотрена задача локальной виброзащиты гибкого защищаемого объекта с динамическим гасителем, расположенного на массивной поддерживающей

конструкции (рис. 7). Свободные затухающие колебания системы представляют собой общее решение однородных дифференциальных уравнений (15), удовлетворяющее начальным условиям движения

дгДО) = х„0; ¿,(0) = и,0; } = ГЗ, (25)

где 0 и 1^ о _ отклонение и скорость /-ой массы в момент времени г = 0.

Решение системы уравнений (15) представим в вещественной форме

^(0 = 21 ^[(^,«2,-, -/^Эсоз^МА^-! (26)

где «»„, /г„, > вычисляются по формулам как для системы с тремя степенями свободы. Постоянные интегрирования как и для двухмассовой системы, определяются из решения системы уравнений, получаемой при подстановке решений (26) в условия (25).

Приведенные соотношения используются для анализа переходных режимов движения системы при действии однократного мгновенного импульса 5"0, приложенного к поддерживающей конструкции (массе тя,). Некоторые результаты вычислений в виде графиков переходных процессов относительных колебаний масс при различных значениях коэффициента демпфирования поддерживающей конструкции показаны на рис. 9, где обозначено

у(т) = у2(т) -у^т); Яг) = У3(г)-Уг(ту, г = а>пГ, х0 = 50 / (ще>01).

] = 1.3-

Рис. 9. Графики переходных процессов относительных колебаний масс защищаемого объекта (кривая 1) и гасителя (кривая 2) в системе с ДГК (/^ = 0,01; //^ =0,05; 501 = 0,01; =0,0125; ¿2=1,0; =0,9524)

Представленные кривые у(т) относительных отклонений защищаемого

объекта в системе с ДГК по сравнению с системой без гасителя (пунктирная

линия) свидетельствуют о том, что гаситель существенно снижает наибольшие

17

отклонения и сокращает длительность переходных процессов колебаний защищаемого объекта.

Пятая глава посвящена изучению поведения прямолинейного стержня с присоединенным ДГК с трением при импульсивных нагрузках. С этой целью сначала разработан алгоритм определения свободных колебаний стержня с присоединенным осциллятором при наличии трения, вызванных заданными начальными условиями (рис. 10). Диссипация энергии в материале стержня и в звене гасителя учитывается по гипотезе частотно-независимого трения Е.С. Сорокина, при этом предполагается, что исходная система обладает непропорциональным трением.

Е1.Р.У,

VII..

\

7+1...

\ к-2

х, = 1

угт

(27)

Рис. 10. Расчетная схема консольного стержня с жестко присоединенной массой и ДГК с демпфированием

Дифференциальные уравнения свободных колебании описываются в виде (ис + юс)Е1у,е(х, 0 + ру(х, 0 = 0; ™гУг 0) + сг (иг + юг )[уг (0 - у, (/)] = 0. Здесь штрихами и римскими цифрами обозначена операция дифференцирования по х, а точками - по времени г. Кроме того, в (27) обозначено: Е1, р, ус -изгибная жесткость, погонная масса и коэффициент неупругого сопротивления стержня; у(х^) — динамический прогиб стержня в сечении х в момент времени I; у,({) = у(1,{) и уГ(!)~ перемещения свободного конца стержня и массы тг осциллятора; сг, уг — жесткость и коэффициент неупругого сопротивления упругой связи осциллятора; /- длина стержня; ис=(4- у\~)! (4 + у])\ ос = 4 ус / (4 + у2сУ, иг=(4-у2г)/(4 + у2г); иг=4уг/(4 + у2г).

Решение уравнений (27) разыскивается способом разделения и

Я*,0 = 2Х(*)Г,(0. (28)

Здесь X„(x) - функции только координаты х a Tv(t)- функции только времени t. Функции А'Дх) определяются методом начальных параметров с использованием функций А.Н. Крылова, a Tv(t) представлены в виде Tv(t) = А^е^, где Я,,-характеристические числа, определяемые из решения частотного уравнения.

В решении (28) ограничимся конечным числом слагаемых. При свободных колебания* системы, вызываемых заданными начальными отклонениями стержня, начальные условия удовлетворяются для массы осциллятора и для к сечений стержня, количество которых должно соответствовать числу учитываемых членов решения (28):

уг{Ъ) = уа{1)\ >v(0) = 0;

У{хр0) = у0(х^ y(xJt0) = 0; / = 1,2, ...Д.

Здесьy0(Xj) = 0,5(xj/lf (з - Xj/l)y0(l)~ отклонение стержня в сечении хр соответствующее смещению свободного конца стержня у„(/)под действием сосредоточенной статически приложенной в сечении х = I силы Р0 : у0(1) = Р01Ъ/(ЗЕ1).

Исследовано влияние высших форм колебаний на окончательные отклонения свободного конца стержня. Для этого введены безразмерные параметры:

Мг = тг 1 Ph * = <V; s = cor! со0; ¥,(т) = y,(t) / y0(l); Уг(т) = yr(t)/у0(l), где аг = ^сг / тг - парциальная частота колебаний гасителя; соа - частота основного тона колебаний защищаемой конструкции без демпфирования при отсутствии гасителя.

Для определения свободных колебаний, вызванных одиночным импульсом S, приложенным к свободному концу стержня, начальные условия движения системы имеют вид

Х*,,0) = 0; у(хр0) = 0;

>(/,0) = 0; y(l,0) = S/m„p; (30)

уг(0) = 0; уг(0) = 0; / = 1,2,...Д-1,

где m - масса стержня, приведенная в точку установки гасителя.

Результаты вычислений в виде графиков переходных режимов колебании сечения свободного конца стержня при сохранении двух слагаемых (п=2), вызванных одиночным импульсом 5", приведены на рис. 11.

г,

0.5 0.0 ■0.5 •1.0

0 10 20 30 40 50 I 0 10 20 30 40 50 г

Рис. 11. Изменение во времени перемещений и скорости сечения свободного конца

стержня при действии однократного мгновенного импульса: 1- 98419; уг=0,3\

2- $ =0,91; уг=0Л

Приведенные решения могут быть использованы для исследования влияния динамического гасителя на переходные режимы колебаний консольного стержня постоянного сечения с жестко присоединенной сосредоточенной массой т0 на свободном конце (рис. 10), вызванные действием сосредоточенного мгновенного импульса 5, приложенного к этой массе. Дополнительно обозначим мо = то1 (рО-

Рассмотрена задача выбора оптимальных параметров ДГК при действии на стержень (рис. 10) периодических мгновенных импульсов. Предполагается, что

частота приложения импульсов является нестабильной.

У,

2.0

1.0 0.0

0.8 0.9 1.0 1.1 Л

Рис. 12. ИЧХ колебаний свободного конца консольного стержня: 1 - уг = 0,1; *ояг =0,988011; 2- уг =0,2; ¡0ПТ = 0,982755;3- /Л0ОТ = 0,292; *опт = 0,979056;

4 - уг = 0,375; ¡опт = 0,976554

На рис. 13 приведены ИЧХ изгибных колебаний свободного конца стержня с динамическим гасителем при оптимальных значениях его настройки. Отметим, что в зависимости от параметров гасителя кривые Г, (А) имеют один (кривая 4) или два (кривые 1, 2, 3) максимума. Оптимальные значения настройки

20

(яопт) Для кривых 1,2 я 3 соответствуют примерному равенству максимальных ординат ИЧХ, расположенных слева и справа от резонансной частоты приложения импульсов (в = соа). Отметим, что резонансная кривая 3 получена при оптимальном значении коэффициента неупругого сопротивления гасителя {Уг опт ~ 0,292). ИЧХ колебаний свободного конца консольного стержня при оптимальных значениях настройки (вопт) и демпфирования (уГ-0ПТ) гасителя приведены на рис. 13. Резонансные кривые У,(Л), представленные на рис. 12 и рис. 13 получены при сохранении девяти членов, которые обеспечивают хорошую точность расчетов.

у,

1.5

1.0

0.5

0.0

0.8 0.9 1.0 1.1 л

Рис. 13. ИЧХ колебаний свободного конца консольного стержня при оптимальных значениях настройки и демпфирования гасителя: 1 - ус = 0,01; угопг = 0,284;

5опт = 0,979217; 2 - ус = 0,025;угопт = 0,292; *опт = 0,979056; 3 - ус = 0,05;

Уг.опт = 0,293 ; 50ПТ = 0,979501; 4-ус= 0,1 ;угопт = 0,293 ; *шт = 0,980292

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Получены аналитические законы установившихся колебаний двухмас-сой системы с непропорциональным демпфированием при действии периодических мгновенных импульсов и импульсов конечной продолжительности одностороннего и двухстороннего направления. Определены оптимальные параметры и дана оценка эффективности одномассовых ДГК с различными видами сопротивлений при импульсивных воздействиях с нестабильной частотой. Показано, что частотно-независимое трение оказывает на поведение защищаемой конструкции и гасителя и его эффективность такое же влияние, что и вязкое трение. Установлено, что возмущающие импульсы можно считать мгновенными только при выполнении определенных соотношений между параметрами системы и нагрузки.

2. Разработан алгоритм решения задач об установившихся колебаниях трехмассовой системы при периодических импульсивных нагрузках, которое используется для анализа эффективности двухмассового гасителя с демпфированием при действии периодических мгновенных импульсов одностороннего и двухстороннего направлений с нестабильной частотой их приложения. Установлено, что эффективность двухмассого гасителя при указанных нагрузках существенно выше по сравнению с одномассовым гасителем, причем требуемая эффективность виброзащиты может достигаться при различных соотношениях между параметрами гасителя.

3. Найдены аналитические законы свободных колебаний двухмассовой системы с демпфированием при заданных начальных условиях. На основе полученных решений изучены переходные режимы движения защищаемой конструкции с ДГК при действии однократного мгновенного импульса, а также при импульсе конечной длительности в форме полуволны синусоиды. Как и при периодическом импульсивном воздействии показано, что импульс можно принимать мгновенным только при определенных соотношениях между параметрами системы и длительности действия импульса. На примере изучения переходных режимов колебаний виброизолированого фундамента с установленной на нем машиной ударного действия (ковочного или штамповочного молота) и присоединенным ДГК с вязким трением выявлено значительное повышение темпа затухания колебаний защищаемого объекта.

4. Найдено аналитическое решение задачи о свободных колебаниях трехмассовой системы с последовательным соединением звеньев с демпфированием при заданных начальных условиях движения. Полученное решение используется для анализа эффективности локальной виброзащиты гибкого защищаемого объекта, расположенного на массивной поддерживающей конструкции, при действии на нее мгновенного импульса. Показано, что ДГК существенно снижает наибольшие отклонения и повышает темп затухания переходных режимов свободных колебаний защищаемого объекта.

5. Получено решение задачи и разработан алгоритм определения свободных колебаний стержня с присоединенным осциллятором при наличии трения,

на основе которого исследованы переходные процессы свободных колебаний консольного стержня с ДГК, вызванные заданным начальным отклонением свободного конца консольного стержня и действием однократного мгновенного импульса. Показано, что высшие гармоники свободных колебаний стержня оказывают существенное влияние на окончательные результаты вычислений наибольших отклонений защищаемой конструкции, особенно при импульсивном воздействии.

6. Разработан способ определения установившихся режимов колебаний стержня с ДГК при периодическом импульсивном воздействии в виде мгновенных импульсов одностороннего направления, который используется для определения оптимальных параметров гасителя с трением при возмущающей нагрузке с нестабильной частотой. Показано, что эффективность динамического гасителя колебаний особенно велика при малых значениях коэффициента неупругого сопротивления стержня, при этом она сопоставима с эффективностью ДГК при гармонических воздействиях.

7. Полученные результаты могут быть использованы для предварительного назначения параметров динамических гасителей с демпфированием по заданным критериям эффективности их работы при решении практических инженерных задач виброзащиты конструкций и их элементов.

Основные положения диссертации и результаты исследований изложены в следующих работах:

1. Дукарт A.B., Абдуллин И.Х., Фам Вьет Нгок, Фам Тхань Бинь. К определению свободных колебаний стержня с присоединенным осциллятором при наличии трения // Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы. Сборник трудов IV международной научно-практической конференции (Москва, 29 июня 2011 г.). — М.: МГСУ, 2011. - С. 142-154.

2. Дукарт A.B., Фам Вьет Нгок. Оптимальные параметры и эффективность динамического гасителя с частотно-независимым трением в режиме основного импульсного резонанса // Известия вузов. Строительство. - 2010. - № 7. - С. 89-97.

3. Дукарт А.В., Фам Вьет Нгок. Оптимальные параметры и эффективность динамического гасителя при периодической нагрузке типа «выпрямленная синусоида» // Теоретические основы строительства. Доклады XIX словацко-российско-польского семинара. Zilina, Slovakia, 12.09.2010-16.09.2010. - М.: АСВ - МГСУ, 2010. - С. 51-56.

4. Дукарт А.В., Фам Вьет Нгок. К определению оптимальных параметров динамического гасителя при периодическом импульсивном воздействии с нестабильной частотой // Вестник МГСУ. - 2010. - № 3. - С. 113-117.

5. Дукарт А.В., Фам Вьет Нгок. Об эффективности двухмассового динамического гасителя колебаний при периодическом импульсивном воздействии // Вестник МГСУ. - 2011. - № 5. - С. 253-260.

6. Дукарт А.В., Фам Вьет Нгок, Фам Тхань Бинь. К определению свободных колебаний двухмассовой системы с демпфированием // Известия вузов. Строительство. - 2011. - № 5. - С. 98-106.

7. Дукарт А.В., Фам Вьет Нгок, Фам Тхань Бинь. О переходных режимах колебаний защищаемого объекта с гасителем, расположенного на поддерживающей конструкции, при действии на нее одиночного импульса // Известия вузов. Строительство. — 2012. — № 5. - С. 117-126.

8. Дукарт А.В., Фам Вьет Нгок, Фам Тхань Бинь. Оптимизация параметров и эффективность динамического и ударного гасителей колебаний при действии периодических импульсов конечной продолжительности // Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений: тезисы докладов IV международного симпозиума (Россия, г. Челябинск, 19-22 июня 2012 г.) - Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2012. - С. 177-179.

9. Дукарт А.В., Фам Вьет Нгок. Фам Тхань Бинь. О переходных процессах свободных колебаний системы с тремя степенями свободы при наличии трения // Теоретические основы строительства. Доклады XXI словацко-российско-польского семинара. Moscow-Arkhangelsk, 03.07 - 06.07.2012. - Warszawa: Oficina Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 2012. - C. 121-126.

КОПИ-ЦЕНТР св.: 77 007140227 Тираж 100 г. Москва, ул. Енисейская, д. 36. тел.: 8-499-185-79-54, 8-906-787-70-86 www.kopirovka.ru