автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Высшие приближения в задачах вероятностного расчета штампов и балок на упругом стохастическом основании

МОСКОВСКИЙ ГОСЩРСТВЭДШЙ стриишшыя УНИВЕРСИТЕТ

На просох рукоика и

! Г' "•>

' ' • J

БАСКАЯВ Алэи Николаевич

Ж 624.044:539.37

ВЬСШИЗ ПРИБШЕНИЛ В ЗАДАЧАХ ВЯРОДГИиСТНйГО РАСЧЕТА ШТАМПОВ И БАЛШ НА Л]Р£ГШ СТОХАСТИЧДЗКОУ . ОСНОВАНИИ

05.23.1? - Сгроитолышяыахеиика

Автореферат

диооерташш на ооиокание ученой отепенн кандидата гехначеоких наук

Ыооква - 1991

. Работа выполяэна в Ыооковоком гоодорогванном огрои-тол&ном унивароигага.

Научный руководитель - доктор тзхничоокях наук,

чдзп-корраопондант РИА Д.Н.Сободоэ

Офздиздышэ оялонанги: доктор технических н&тк,

профэссор - В. И. Шэйнин;

кандидат техннпаских iiavx:, доцант А. Я. Лзоытьов.

Водущая организация - ЩШСК им. йЛ.Кучэровко.

Защита ооотоитоя "У " лса^ьщ/х, 1994 года в " /5"" чао. " 2с? " 11ИН> ла заооданшх слашгаяпзлровшшогй Совета К 053.11.06 в Ыооковоком гсоударопюшоц отроигальном ушшороитото по адрооу: II3II4, Москва, Шлюзовая набэрагшая, д. 8 в аудитории й'

Прооиы Bao пряаять участие в задаа и направить Ваш отзыв по адраоу: 329337, Москва, Яроодавокоа вооов, д. 26, МПЗ У", Учоный Совет.

С диссертацией можно озяакоаигьоя в бягЗлиогско унивароигвта.

Автореферат разоолаи

Ученый секретарь опвциализированного Совета, кандидат твхиичооких наук,

додрне Н.Н.Ансшш

. СБЩЛЯ ХАРАКТШЕ'ША РАБОТЫ

Актуальность та гак фундаменты сооружений, ряд других отронтельных,'машиностроительных, авиационных конструкций содержат как элемент раочагной охомы балку и прямоугольную пластинку, опирающиеся на упругую неоднородную среду» свойства которой имеют случайную изменчивость.

Одними из наиболее актуальных проблем проектирования отроительных конструкций являются стагичэскйЙ {¡аочет и оценка надежности. Волков уточнение расчета конструкций на упругом основании в коночном очете приводит к значительному экономическому эффекту. Ведь в условиях кассового типового строительства набольшая экономия на одном объекте приводит к значительному оберожэшт ородотв по всем объектам.

Анализ соответствующей литературы показывает, чго вопросы раочата балок и плит на случайно-неоднородном основании о учетом отатиогичоских моментов высших порядков в настоящее время изучены недостаточно, чиоло специальных исследований данной проблемы ограничено. В связи о згим проведенные в данной работе исследования по определению влияния высших приближений на решения задач о балках и штампах на упругом стохастическом основании являютоя актуальными, имеющими теоретическое и прикладное значение.

Цель работы. Основной целью работы является исследование влияния выоаих приближений на решение задачи об узком и прямоугольном штампе на стохастическом упругом основании с дискретными упругими опорами, а также на решение задачи о балке на отохастичеоком упругом ооновании. Целью работы является также исследование влияния высших приближений на вероятность нахождения перемещений штампа, а также прогибов, изгибающих моментов и поперечных сил балки в заданном интервале.

Поставленные цели предполагают решение следующих задач:

- получение решений задач о штампа и балка на упругом отохастичеоком винклеровском ооновании о удержанном первых четырех членов асимптотичоокого ряда»

- построение ряда Грамма-Шарлье на оонова полученных решений, в которых удерживаются первые четыре члена асимптотического ряда;

- исследование влияния высших приближений на результаты реиенкя задач о штампах и балках и на вероятность пребывания искомых расчетных параметров в заданном интервале. «

Научная, новизна. На основании использования ас&члтотичео-лого аналога функции Гр;ша получаны решения задач ой узком и прямоугольном штампах на статистически неоднородном основании и на дискретных упругих опорах, а также о балде на статистически неоднородном основания. Решения получены о учетом выоаих приближений. Построены графаки статистических характеристик перемещений, прогибов, изгибающих моментов. Исоледоваяо влияние высших приближений на перемощения, прогиби, изгибающие моменты, поперечные оилы и на вероятность пребывания этих параметров в заданном интервала,

Доогозернооть результатов диссертации базируется на использовании современных, хорошо проворонаых всроятноогных методов строительной механики и подтверждается сравнительным анализом при решении конкретных задач.

Практическое значение работы состоит в том, чго разработанные на основе полученной методики программы для ЭШ позволяют решать задачи о шташах и балках на случайно-на однородном основании и оценивать вероятноогь нахождения перемещений, прогибов, изгибающих моментов и поперечных сил в заданном изорвала.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры "Строительная махашш" ¡¿PCУ.

Структура и объем диссартации. Диссертация состоит до введения, чогырах глав, оснозяих выводов, списка литературы аз 115 цашзнований и пралокеняй. Диссертация издоsans на 153 страницах машинописного текста и содархит 21 ршуцод а II таблиц.

Публикации, По y оме дшзеертацаи автором опубликовано двз отатьи»

На защиту выносится:

- статический расчет веатк штампов п балок па упругом стохастичеоком основании винклеровского типа при помощи аовш-тогичаокого аналога функции Грина с учетом высших приближений;

- результаты анализа отохаотичооких контактных задач для штампов а- балок, расположенных па статистически неоднородной виаклоровоком основании;

- методика определения вероятности пребывания пореуецоний, прогибов,, изгибающих ыоизптов» поперечных сил в заданном штер-

- 5 -

вале о учетом высших приближений;

- результаты расчета по определении вероятности пребывания перемещений шт.лов, а гакжо прогибов, изгибающих момон-гоз, поперечных сил балки в заданном интервале;

-программы раочега штампов и балок яа огатнсткчески неоднородном основании;

- анализ влияния случайности коэффициента поотели и выо-пях приближений на перомоеэния птампа и на напряженно-деформированное ооотояниэ балки;

- анализ влияния ввоших приближений на вероятность пребывания перемещений, прогибов, изгибающих ыокзнтов и поперечных сил в заданном интервале.

КРАТКОЕ СОШШШ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальнооть гама, опиоаны структура и объем диссертации.

Первая глава посвящена обзору исследований в облаоти расчета огроительных конструкций на упругой основании. Здесь же дзлавтоя выводи о современном ооотояниа рассориваемого вопроса а определяются задачи диссертации.

Порвуо модель основания предложил Вшшдер. Большие заслуги в развитии катодов расчета конструкций на упругом винклоровском основании принадлежат отечественным ученым: Н.П.Пузыревокому, Г.Д.Дутову, В.Г.Шухову, А.Н.Крылову, В.Г.Кореневу, А.И.Ланоко-ыу, В.А.Киселаву и другим.

Позднее независимо Г.Э.Проктором а К.Виххардтом была аред-лоаэна модель однородного упругого полупространства. Дальней-иео развитие модель упругого полупространства подучила в грудах Н.П.Пузыревокого, Н.М.Герсеванова, И.М.Горбунова-Посадова, Б.Н.Ееыочкана, Б.Г.Коренвва, Г.Я.Попова, 3.3.Власова, Н.Н.Леонтьева и других.

Задачи раочега конструкций при переменном коэффициенте постели раооыатривалиоь С.М.Абелевым, Д.Н.Соболевым, Н.К.Сиит-ко, В.И.Кузнецовым, Б.А.Кооишшш и другими.

Совершенствуя гипотезу Вияклэра, П.Л.Паотернак, М.М.Фило-нонко-Бородич, В.З.Влаоов u Н.Н.Леонтьев пришли к модели основания о двумя коэффициентами постели.

Впервие статкстичеаки неоднородная модель упругого основания была предлогэна Д.Н.Соболевы« и В.В.Болотинш. Вопрсоы рас-

чета конструкций левдвуос на статистически неоднородном ышд-доровском оснозацад,, рассматривались в работах Б.Л.Фаянса, В.И.Шейнина, А.В,Новожилова и других.

Вопросы динамики балок и плот» лага дох на упругом основании, иироко. освещены в работах Б^ЧКорзнова, В.ИЛ'равуша,Г.Б. Мураэойога, В.Д.Райзера, В.3.Власова и Н.Н,Леонтьева, О.З.Лужина и А.Н.Теодорович, В.В.Бояотшш, Д.К.Юоуаова, Ч.А.Ашяса-хатова и других.

Наибольшие заслуги в облаоти вероятностной оценки иадеа-ности строительных коногрукций принадлежат В.Б.Еологину, В.А. Ломакину, О.В.Лужину, В.Д.Рейзеру, А.Р.Ржаницину и другим.

На основании проведенного анализа лигоратяшщ: шгочншсов обоснована актуальность проблемы и сформулированы цели и задачи работы.

Во второй главе говорятся о представлениях'одучайной функции,, об ортогональном разложении функций распределения, а такаа об асимптотическом аналога функции Грина.

Стационарная случайная функция мошт быть прод-

отавлзна в виде ортогонального раалошшя:

¿^"'[¿.СШ.Х + ^¿псцх] > (I)

гда а,, I, - олучайшэ величина со следующими число вши характеристиками: -

<а,> - <1> = <2Д > = 0 '

<*Л>- {]<■■*) (2)

Л, - характеристические чясла,. определяемые выражашшш: Л'^ ш , (3)

5(14) « О/СС)¡Ш ши/^сИ; . (4)

**

Для алотнооти вероятности ^ случайной величины у/ ыоа-но получить представление через норшрованную случайную во личину Т в ввде. ряда Грамма-Шарлао:

Ш - /ЛИ (м 4й А1)) 1 »>

где

. дг;- 0//ж)е*р (-г/г) , оС.М - w. ♦ < й > .

Раоомотриы решение уравнения о дифференциальным оператором, в котором хотя бы один из коэффициентов являетоя олучай-аой функцией:

- й(г) , г е * . (6)

На контуре облаоги Л заданы уиловил:

(, I'/(г) • 0 . г е Г, . _ (7)

Ввдалим детерминированную Ь. и отохаотичеокую С чаоти оператора I и допустим, что азввотно решение уравнения:

1,6 4 . (8)

пра оледувщих детерминированных краевых условиях:

- О . г £ Г» . (9)

С помоидо решения 0 краевую задачу (6), (7) можно запивать в форме интегрального уравнения:

V/- ]бС1И - ¡0Ш)<Н (Ю)

1« *

Интегрируя по чаотям и проводя параметризацию, предотавим (10) в виде;

ц -¿/б. у а , (II)

где • ь.чС/ , и. - сопряженный к I оператор.

Предогавим в (II) и/ в виде ряде по отепеняы параметра интегрального уравнения:

N. Е£- V» . (32,

Подставим (С) в (II) и, приравнивая выражения при одинаковых отепонях С , получим оледусцие рекуррентные соотношения:

* г

К . ]еал1 , (и)

«а

К- . (14)

<

Последовательной подогановкой в (вычиоляе-

мыо по формулам 114)), т. -ый член ряда (Е), выраженный через дегермлнированное решение задачи , получим в виде (при £ » I):

9

<*

К-*"1**^ - ^ ж

-([-}« И"Ц«>4а • а5>

Следовательно, С12) примет вид:

• С16)

«и *

Продогавлэниэ и в (16) являегоя прямым аналогом функции Грина для отохаотичеокой краевой задачи ( ь), ( 7), то есть является решением уравнения:

10 = § .

В третьей глава приводитоя приложение аоимптотичеокого аналога функции Грина к решению задач об узком и прямоугольна штампах, а также задачи о балке на отохаотичоскоа упругом ооно-.вании.

Поокольку вое вышеперечисленные задачи роиаатоя по одной г той ко штодикв, рассмотрим лпшь решениа задачи о вдэвяашши прямоугольного штампа в отатиогичооки иеодпородноэ сплошноо оо-повапио о заданной корреляционной функцией Кс & 6' *

* ехр[-<*. У(х-х') у У ] при налитая диокрезнцгс упрут опор о козффщиоигами зезсткооти С, . Начало сиотощ коордаш» находится в центра прямоугольного шташа.

Флуктуации I (х.у) случайной фушодяи С (хм) отпорноо-ти оонования представляем в виде:

с(х.у)« <ЗГ ^ ¿"'[ашаул) * См -0.,^)] , а?)

Уг'+Шх,?*1 , а/6 , Шлш «я/к . *■-(./а ,.

1-х/а, Ч-У/*.<а&>= <М>- К <Л

«

А *я 0,51г-${и>,) т IК(СС.Г,о) сощтё-Х .

- . 9 -

я]1 - //(XXа.) , ЛI* - 2ct,/[ла («£ + л/)] ш rír/Ua) , к - o.t.2.....j

К (с*,?, о) - корреляционная функция случайной функции С(х,о) i oL, - когффиционг н а ода ор ода оо г и основания; CO¡tUtZ , JlfllV.l a ,<r>t (х.о) - собственные функции интегрального уравнения:

<pt(x,0) - Л, J к a-x',0-0) %(x\o)dx' , (18)

■ ы,

Для раосмзтриваеиой задачи соиштогичеокая функция Грина икает вид:

Qt - С(Х.У) 6 (х.у.х„ у, , < С(х.у) >, О . (19)

Оункшгя Грина 0 в выбранной оиотемз координат имеет

вид:

О - Д [f,«(tu,»>t.£(M.«.-> + «.(снл-)] . его)

«- 4/U)M4M) - \csix) . 3 - СМ<ГЛ)+ rCJtJ.) *■ ЧС„(а.) .

f, - зАчс,а6) , С, - <CU«/) > . ¿ - ГЭ .

х/д Г .' - !•. ' j; - xja . i. - .

Представив решение задачи в виде ряда (В), по формулам (13), (£4) ого составляющие вычисляем так:

-■ Д ¿ Pt [* + .

% - - =

L = ^(г.ч) <*(r,.ít)

n

Jft- U(Í,I) Цг.л) ♦ "(гл) "Ka) . Jjt - ¿№ «tá.í*)+ ё(г<.ь)*(гл) . Iu = u(ti) Ô(Tt.b) ♦ c¿(rt.i<) з(гл) ,

1„-и(а)«(ш . I« - ¿(ti)

•a -t

где

MM, •

1 i

•i • *

.i .1 i <

f i

v Г1 d?dlf

fc3)

■ 1 -i

Аналогично о помоюьв формулы (14) определяется вношиа приближения репония дайной задачи lVa и W, .

В результате получим .репониа задачи о вдавливашц прямоугольного taraf/Jia в статистически неоднородное основание о днс-крегпшя упругая: опорами а вида аск/лтотичоского ряда, состоящего из первых четырех членов:

W(f.l) = We(f,V + W,(W + ЦОД) + Щ1Л) Й4) Для расчетов были составлены програша для ЭВМ на языке Фортран, текст которых дан в Прлложоняа к дпсоертации. Описа-яза программ помещено в конпо трогьай главы. Одна программа составлена для расчет» прямоугольного штампа и оценки его надежности. Вторая программа охватшзазт расчет балки и оценку оо надежности. Программа позволяют определять статистические характеристики перэмощзний» прогибов, изгибавших моментов и поперечник сил, а токто вероятность пребывания вышеперачисленных параметров в заданном интервала.

С помощь» разработанных программ были проводами paoчеты на конкретных примерах прямоугольных штампов и балок. По результатом раочзгов построены графики ородних перемещения, а также графики даоперсни, асимметрии и эксцесса перемещения прямоугольного штата. Для балки построены графили средних значений, дао-яороин, асимметрии, эксцесса прогибов и из'гибапвщх моментов.

Ыа основе большого количества примеров расчета было показано, что учет выоппх приближений вызывает дополнительное перемещение штампа в центре я поворот его на некоторый угол. Дшпор-

Рио. I, Графики отагиогичеоких характеристик перемещений прямоугольного штампа в оочении V - О:

а) средние перемещения ( У, - перемещения, подученные о учетом нулевого и первого приближений; Щ - перемещения, полученные о учетом высших приближений;

б) диопероия; в) аоиыметрия; г) экоцесо.

окя пвромзщенлй штампа измэняатоя по квадратной парабола. Эко-цзоо перемещений мояио считать постоянным. Что каоаетоя балкп, го учат выошх приближений приводит к незначительному увеличении орадних прогибов балки и на оказывает влияния на ородшю изгибаэщиэ ыомзнти и ораднио попорачлнз силы, шчиолашша в корреляционном приближении.

На рис. I приввдэны: график орадних перемещений и графики дисперсии, асимметрии и ояодаоса перемещений прямоутоль-паго штампа.

Чзтввргая глава поавящона раззиию задач надежности узкого и прямоугольного штампов па отохаотичаоком вишшрсвском основании о дискретными упругим! спорами, а такиз рошашно задачи о иддагнооти балки но огогаогпчзоком вишслоровоком основалпи.Под надояиоотыэ понимается вероятность нахоздандя случайной величины в заданном интервала. То ооть используется оценка надежности

оадтека "основанпо-оосруазниа" следующего вида:

%

V

Г,

гдо V/ - олучзйиая величина; р^ - плотность распределения героягассуа случайной зэяивдш V/ , - ;шторв?л. в которой опродаляомя вароягиоот?. лрзйнвйшш олузэйгол воот-чшш.

Но пркдаре узкого ытампз рошоз^я задача о иедз/тпостл.рз-воаго сада'-ш об уз;;ом итамла по огитиогпчоокл неоднородном ос-аовашш гшао? шщ:

Щх) ~ \'/„ + IV, + IV, -с IV, «

- ¿Р.6СХЛ) - 4. ад-

Ът *,-> р.«/ лХ^в ул„л„, *л

-ГГГ .*«> Я" . их (7,% С26)

гдо Р4 - величина I -ой иагрузкл; 6(х,х*) - функция Гря-па для узкого штата; а,, , , 2«, - гаузоовошго олу-чайшо величины о чпзловыкя характеристиками:

<«>• (;<). <5-л> = СО .

~ « ~

<а<АЛ>= 0

<а,га,га,>« а/

при при

* * *J

Ff.ii)

F2. а) -

G(x.xt)F1g(xt)dxt F3 (х) - fm) G(x,x,)F2 (z<)dxt

VV'i J

bt(T) - |

(26)

cojai.i

¿iau/„x

при четном к при нечетном к

Плотыооть распределения вероятности pw(f) случайного перемещения W ицется в виде ряда Грамш-Шарлье:

(27)

Pw(r) - A V3 (pifj - - А>)

где t» (v-oc.M)^*"1^] - нормированная олучайная величина; j)(f) ш {¡ху"' екр С-f*/2) ~ нормальная плотноогь

распределения вероятности; 5к [И - аоимметрил случайной

величины w ; £х (wj - эксцесс олучайной величины V .

Определяем первые четыре начальных момента олучайной величины W по формуле:

cLjM =

j

WJ рЫ) ¿tV , (2S)

гдо J - номзр начального момонта.

Поскольку в огохоогичоокуа часть решения задачи об узлом яташе входит три «яэна» то имеем оледующпо соотношения:

Ы « \х{ + W, + W, tv/+ iv/ - w/ + ¿f + ц v/t + w; к] и/3 - ty'* и// - ц* - з[ W/Ц + и/ к// + IV/К/ +

wt w/ * цХ + wf tv/] + в wt ws ц W" - IV/- IV/ ♦ vv/-b ч[ wy3 * W/К + wtw/ + -IV/K+U/ и/-*-1/, ÍV/] + 6[w/v//+u//iv/ ♦ iv/iv/]-+ 12[WM H + 4 K'K ЦК Ц'] : (2э5

Как видно из формулы (25), фулкши перемещений узкого штампа соть функция случайных величин:

W - {{а,, а......aj .

Предположил, что плотность взрояткооги поремоцаиай W представляется как произведение- ллотноотзй вероятности случайных величин а, ,. а, , ...у а,г :

p(w) - р(а,)-р(а,)-р(аг,) . (30)

Поскольку вое- с-лутйшв валичины йа , ,..., dt, maní нормальную плотность распределения вероятности, то плотность вв-роягнооги перемещений штампа будат определяться формулой!

PM-UP(a,)ajéFe • ("32)

С учетом вшеоказапного определяем первые четыре начальных момента перемещений узкого ската:

- 1о. -

у* Р1.'(х) , 1 у^ Р2*..Лх)

' ¿^ л.. 2 ¿- л;.

« » о «•«

' ч V

«•в л«»

Л,[IV]

✓гГ

V

»•в J

1 Р2!.(х) , , Р1!(х) Р2..(х)

' 2 ¿_ I*

1.1 Л„ «-» Л««

Рих)Г2..ШРЗ..,(х)

Д'

¿М

ж

'¿Г ^ С '¿Г '

— л:.

"г , л* —+ ч 3«

(■ * л« «• • л««

X у8- ПДСОГЗ.'.Щ , 3 у- РШ)Р2!/х)РЗ...(х)

* 4— а* ¿С-' ^

(32)

«» л«. «•«

Далов по изваотным формулам определяется второй, третий в четвертый центра шше моменты перемещений штампа:

ус.М - л, - + -за

(33)

Затем вычяолявтоя асимметрия и вксцвос олучайных перемещений:

ЬкМ = д//' . £х[V/] - (д/Х) - 3 . , (34)

Располагая диоперсией /¿ДИ » аоиммегрией и эксцессом Ек [К'] , можем определить вероятность нахожде-

ная пэракащония какой-либо точки штампа ос. в интервала

. С этой цальа почленно интогрируотоя ряд Грамла-Шар-льз в продолах [Г, - (а,- , Г3-(б,- :

РСКШ.Х^) = \pjDdf =

г

1

Ь'Ш -

гг/ж ] 4 (35)

Нигсшй ^ и ворхнай пределы интегрирования зависят оз ззодишш , предо тавяящай собой сроднее значение пореме-поняй а учотсм вшшк приближений, то ооть

Ц » ч + ос,[И . (35)

таз - сродное шачаялэ олуийного перемещения о учатом ну- ' лозсго п первого яри&шаоняй} - мзтоматичеокоо ояида-

кяп олупайиой с оставляют 8 волшшы V/ о учотоа высиях прл-бЛЯЕЗЯНЙ.

Диалогично рзиаэтея задачи о надояноати прямоугольного шгаи-га а бала на огатиогичо&ш неоднородном основании.

В коша чзгвзргой главы привод от прш.гзрн раочага яадз тоо-тя штампов и балок. Ояродзляотоя вероятность пробивания шрешз-

прогибов, изгибаювде иоузвтов я поперечных спя в трохотал-даргпем интервале. Покасапо, что учзт вшешх прпблшшна ив ока-сшшт влияния на ыадопюоть балок п итамдов.

. оинсвш РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

I. На основании использования метода .асшитотдчсокого аналога фушодив Грпна получали в нулевом, первом, втором я третьем приближениях рошошхя задач о балках и пташах на упругом отохао-тячзскоа винклеровокоы .основания. Причои для шташов рспенпо получено в явпоа виде.

-182. Для удобства при раочагв конкретных пришров решения задач для штампов и балок представлены в более общем компактной вида. При этом интегралы, входящде в выражения решений, вычиоляюгоя методом Монте-Карло.

3. Получены формулы для аошдаатрии и вкоцзаоа о учетом, высших приближений.

4. Составлена програнш для раочата отатиагячэаких характеристик перемещений прямоугольного штампа на упругом отохао-тичеоком шшклэровском основании и на диокрегных упругих опорах. В эту та программу входит определение вероятности пребывания перемещений штампа в заданном интервале.

5. Разработана программа для раочета отатиотичеоких характерного прогибов, изгибающих моментов и поперечных о ил в балла на отохастичеоком ванклеровоком основании и определения вероятности пребывания иокомых олучайных величин в заданном интервала.

6. Выполненные расчеты для конкретных примеров позволили сделать ряд практических выводов:

- учет высших приближений приводит к тому, что в "среднем" в центре штамп ооваршает дополнительное перемещение и поворачивается на некоторый угол по оравнению о результатом, получаемым при учете нулевого и первого приближений;

- учет выошах приближений приводит к незначительному увеличению средних прогибов балки и не оказывает влияния на средние изгибающие моменты и оредние поперечные силы по оравиению со случаем, когда учитываются нулевое и первое приближения;

- учат высших приближений не оказывает влияния на вероятность пребывания искомых случайных величин для балок и штампов в заданном интервале.

5

Основное содержание диссертации отражено в оледующих публикациях:

1. Баскаев А.Н. Высшие приближения в отатичеоком расчете уавого штампа на упругом стохастическом основании с дискретными упругими опорами / ЫГСУ. - М., 1953. - 9 о. - Деп. в ВИНИТИ 21.05.93, » 13Ш - ЮЗ.

2. Баакаев А.Н. Высшие приближения в статическом расчете прямоугольного штампа на упругом стохастическом основании о дискретными упругими опорами / МГСУ. - М,, 1993. - 15 о. - Деп. в ВИНИТИ 21.06.93, № 1363 - В93.