автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Вибрационный изгиб вязкоупругих пластинок и оболочек в рамках модели Кирхгофа-Лява

РГ0 01

На правах рукописи «п

2 ? 7№ '

НЕДОРЕЗОВ Петр Феодосьевич

ВИБРАЦИОННЫЙ ИЗГИБ ВЯЗКОУПРУГИХ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК В РАМКАХ МОДЕЛИ КИРХГОФА-ЛЯВА

Специальность 05.23Л7- Строительная механика

№

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Саратов 2000

Работа выполнена в Саратовском государственном университете

Научный консультант - доктор технических наук

профессор Крысько В. А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Карнаухов В.Г.

доктор технических наук профессор Рассудов В.М.

доктор физико-математических наук профессор Терегулов И.Г.

Ведущая организация - Институт теоретической и прикладной

механики СО РАН (г. Новосибирск)

Защита диссертации состоится «16 » ноября 2000г. в 14 час. на заседании диссертационного совета Д063.58.03 в Саратовском государственном техническом университете по адресу:

410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77, СГТУ, ауд. 216а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГТУ. Автореферат разослан « октября 2000г.

Ученый секретарь диссертационного совета_

_В.К. Иноземцев

"^А-ОМсИ^О

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. В различных отраслях современного машиностроения,^ 1ряборостроения и строительства в качестве основных конструктивных элементов цироко используются тонкие пластинки и оболочки. Для их изготовления наряду с радиционными материалами типа металлов и их сплавов в последние годы фименяются обладающие высокими удельными прочностными свойствами )азличные композиты на основе полимеров. Для последних уже при обычной температуре характерны явления ползучести и релаксации напряжений, учет которых ■собходим при проведении расчетов на прочность. Такой расчет можно выполнить только на основе уравнений теории вязкоупругости или вязкопластичности.

Хотя отдельные закономерности вязкоупругого поведения некоторых материалов 5ыли экспериментально обнаружены более 150 лет тому назад, теория вязкоупругости сак инженерная наука окончательно сформировалась только в середине XX столетия.

Методам расчета конструкций из вязкоупругих материалов посвящены монографии отечественных и зарубежных ученых: Д. Бленда, Р. Кристенсена, \.Р. 1'жаницына, Ю.Н. Работнова, А.К. Малмейстера, В.П. Тамужа и Г.А. Тстерса, З.В. Москвитина, П.М. Огибалова, В.А. Ломакина и Б.П. Кишкина и др,

Одной из особенностей вязкоупругих материалов в отличие от идеально упругих шляется их способность к рассеиванию энергии, в следствие чего становится юзможиым высокий уровень саморазогрева конструкций из таких материалов при юкоторых режимах деформирования, например, при длительном воздействии тгрузки, меняющейся во времени по гармоническому закону. Исследование таких троцессов началось только в 60-е годы XX столетия. Первыми публикациями по ггому вопросу были статьи В.В.Москвитина (1960 г.), P.A.Шепери и Л.А.Галина 1964 г.), но уже в 1970 г. вышла фундаментальная монография A.A. Ильюшина и >.Е. Нобедри, в которой математически последовательно и строго сформулированы >сиовные положения термовязкоупругости. В последующие годы исследования в этом иправлении интенсивно продолжались. В частности, широкий круг общих проблем и >ешения многих конкретных задач исследуются в работах ученых Института геханики им. С.П. Тимошенко HAH Украины А.Д. Коваленко, В.Г. Карнаухова, 1.Ф. Киричока, Б.П. Гумешока, И.К. Сенченкова и др. Эти и многие другие результаты ¡бобщены в известных монографиях указанных авторов.

Тем не менее, до настоящего времени остается достаточно широкий круг вопросов, :оторые ждут своего обсуждения. Например, в абсолютном большинстве известных гам работ по колебаниям вязкоупругих пластинок и оболочек задача определения еплового состояния решается в предположении, что температура по толщине объекта юняется по линейному закону или постоянна. Эта гипотеза, обычно принимаемая в адачах термоупругости, при изучении колебаний вязкоупругих пластинок и Волочек, в которых мощность источников тепла за счет диссипации энергии [елинейно меняется по толщине, требует дополнительной проверки.

В литературе отсутствуют точные аналитические решения для некоторых равнительно простых ( модельных) задач, которые могли бы служить тестовыми при ценке эффективности приближенных методов решения.

Несмотря на большое количество примеров применения при решении конкретных адач различных численных методов, не разработаны эффективные методики

численного решения широкого класса задач вибрационного изгиба вязкоупругих пластинок и оболочек при сложных способах закрепления контура.

Требуют уточнения пределы применимости в случае вязкоупругого материала известных гипотез технической теории цилиндрических и гипотез теории пологих оболочек.

Несомненный теоретический и практический интерес представляют вопросы о влиянии на напряженно-деформированное состояние (НДС) и тепловое поле меридиональных и окружных сил инерции при установившихся поперечных колебаниях (вибрационном изгибе) вязкоупругой оболочки.

Сделанные замечания свидетельствуют о большой актуальности проблемы колебаний вязкоупругих тел и о том, что она еще далека от завершения.

Цель работы:

Н построение без каких-либо предварительных предположений о характере изменения температуры по толщине пластинки (оболочки) полных систем разрешающих уравнений для составляющих НДС и температуры саморазогрева при вибрационном изгибе пластинок, осесимметричных колебаниях оболочек вращения, колебаниях круговых и некруговых цилиндрических и прямоугольных в плане пологих оболочек из материала, подчиняющегося линейному закону вязкоупругости;

■ для пластинок и оболочек из вязкоупругого материала с независящими от температуры свойствами (несвязанные задачи) получение точных аналитических решений при некоторых простых способах закрепления краев;

И разработка базирующихся на едином методологическом подходе эффективных методик численного решения несвязанных задач при сложных способах закрепления колеблющегося объекта;

■ оценка влияния на значения критических частот, НДС и тепловое поле при вибрационном изгибе оболочек отдельных составляющих сил инерции;

Н уточнение пределов применимости в задачах вибрационного изгиба технической теории цилиндрических оболочек и гипотез пологости для пологих оболочек из вязкоупругого материала;

Н построение и реализация методики численного решения связанной задачи о вибрационном изгибе пластинки - полосы из термореологически простого материала.

Научная новизна. В работе дан вывод полных систем разрешающих интегро-дифференциальных уравнений, представляющих математические модели задач об установившихся поперечных колебаниях пластинок и оболочек из линейного вязкоупругого материала, свойства которого зависят от температуры при произвольном законе изменения ее по толщине объекта.

В случае материала с независящими от температуры свойствами (несвязанные задачи) получены точные аналитические решения для характеристик НДС и температуры саморазогрева пластинок и оболочек при простых способах закрепления контура.

На основе единого методологического подхода разработаны эффективные методики численного решения широкого класса решения несвязанных задач о вибрационном изгибе вязкоупругих пластинок и оболочек при сложных способах закрепления контура.

По результатам вычислительных экспериментов сделаны выводы о существенной рол» окружных и меридиональных сил инерции в задачах вибрационного изгиба вязкоупругих оболочек. Уточнены пределы применимости в рассматриваемых задачах известных гипотез технической теории цилиндрических оболочек и гипотез теории пологих оболочек.

Предложены и реализованы два варианта алгоритма численного решения связанной задачи о вибрационном изгибе бесконечной пластинки-полосы из термореологически простого материала.

На основании результатов вычислений сделаны выводы о характере распределения НДС и температуры саморазогрева колеблющегося объекта в зависимости от условий теплообмена с внешней средой.

Практическая значимость. Результаты работы носят в основном теоретический характер. Вместе с тем разработанные методики могут найти применение при решении широкого класса практических задач о вибрационном изгибе пластинок и оболочек из вязкоупругого материала.

Методики численного решения стационарных краевых задач для двух- и трехмерного уравнения теплопроводности с источниками тепла, мощность которых задана численными значениями в дискретных регулярно расположенных точках, могут быть использованы также в задачах для пластинок и оболочек из идеально упругого материала.

Результаты проведенных исследований положены в основу специального курса по термовязкоупругости и спецсеминара по численным методам решения краевых задач для студентов, специализирующихся по Кафедре математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета. Издано ( совместно с доц. ILM. Сироткиной) учебное пособие объемом 70 с.

Применение разработанных в диссертации методик определения тепловых полей пластинчатых и оболочечных конструктивных элементов с внутренними источниками тепла позволило повысить достоверность прогнозируемых тепловых характеристик изделий, разрабатываемых в НПЦ «Алмаз-Фазотрон» ( г. Саратов).

На защиту выносятся следующие положения:

• полные системы шггегро-дифференциальных уравнений, описывающих связанные задачи о взаимодействии полей деформаций и температуры при вибрационном изгибе пластинок, оболочек вращения (при осесимметричном иагружении), цилиндрических (круговых и некруговых) и пологих оболочек, изготовленных из вязкоупругого материала. Указанные системы получены без каких-1ибо предварительных предположений о характере изменения установившейся температуры по толщине колеблющегося объекта;

• точные аналитические решения несвязанных модельных задач для некоторых гастпых случаев нагружения и закрепления пластинок и оболочек;

• базирующиеся на единой методологии эффективные численные методики эешения несвязанных задач вибрационного изгиба вязкоупругих пластинок и )болочек при сложных способах их закрепления;

• оценки влияния на значения критических частот, характеристик НДС и

температуры саморазогрева окружных и меридиональных составляющих сил инерции;

• уточненные пределы применимости в задачах вибрационного изгиба технической теории цилиндрических оболочек и гипотез пологости для пологих оболочек из вязкоупругого материала;

• основанные на методе последовательных цриближений два варианта алгоритма численного решения связанной задачи о вибрационном изгибе бесконечной пластинки-полосы из термореологически простого материала;

• некоторые выводы о xapaicrepe изменения теплового поля по толщине колеблющегося объекта в зависимости от условий теплообмена с внешней средой.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на 17-м Международном региональном симпозиуме по реологии (Саратов. 1994г.); 1-й и 2-й Саратовских Международных летних школах по механике сплошной среды (Саратов, 1994, 1996г.г.); Международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (С.-Петербург, 1995г.); 6-й и 7-й Межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1996, 1997 г.г.) 7-й Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 1997г.); 18-й Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов, 1997г.); Научно-практической конференции ВЦ Саратовского университета «Математика, механика и их приложения» (Саратов, 1997г.); Международной конференции «Современные проблемы концентрации напряжений» (Украина, Донецк 1998г.); 3-м Международном конгрессе по температурным напряжениям «Thermal Stresses-99» (Польша, Краков, 1999г.); П-м Белорусском конгрессе по теоретической и прикладной механике «Механика-99» (Беларусь, Минск, 1999г.).

Обзорные доклады по численным методам определения НДС и теплового поля сделаны соответственно на 19-й Международной конференции по теории оболочек и пластин (Н.Новгород, 1999г.) и 17-й Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов» (С.-Петербург, 1999г.).

В целом работа докладывалась на научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета noi руководством профессора Коссовича Л.Ю., кафедры высшей математики Саратовского государственного технического университета под руководством профессора Крысько В.А. и кафедры механики деформируемого твердого тела и прикладной информатики под руководством академика Петрова В.В.

Публикации. По теме диссертации опубликована 31 работа, список публикаций приведен в конце автореферата.

Объем работы. Работа состоит из введения, шести глав, основных результатов v выводов и списка литературы, включающего 214 наименований. Общий объек: составляет 274 страницы, в том числе 64 таблицы и 64 рисунка и графика.

Содержание диссертации

Во введении представлен обзор известных работ по рассматриваемой тематике, сформулированы цели исследования и излагаются основные используемые гипотезы.

При определении НДС в качестве основной принята гипотеза о недеформируемом нормальном элементе ( гипотезы Кирхгофа для пластинок и гипотезы Кирхгофа-Лява для оболочек ). Колебательный процесс, вызванный поперечной нагрузкой интенсивности <7(00,р,/)

9(а,р,г) = £**(а.РМш/-(*-1)я/2]. (1)

считается установившимся, т.е. все характеристики НДС могут быть представлены в виде z(a,p,y,/) = i;zU)(a,p,y)coS[w/-(A-l)it/2]. (2)

Здесь a = х,р = у - декартовы координаты на срединной плоскости пластинки, для оболочки аир отсчитываются вдоль линий главной кривизны ее срединной поверхности; у - координата по нормали к срединной плоскости пластинки или срединной поверхности оболочки.

Связь между компонентами тензоров напряжений и малых деформаций в точке с координатами а, р,у определяется формулами j /

cra \к{т,<л, i-t)^ea(a,P,y ,т)+цер(а,р,у ,t)Ji/x,

(3)

где ? = ?(а,р,у) - установившаяся температура, ea,efyeals - относительные

удлинения и сдвиг для направлений а,р в точке (а,р,у), коэффициент Пуассона д = const.

Для определения максимально возможной температуры саморазогрева колеблющегося объекта при вычислении мощности источников тепла, появляющихся вследствие диссипации энергии и распределенных по объему объекта, принимается, сто вся работа внешних сил при деформировании единичного объема переходит в гепло. Тогда для мощности g(a,p,y) источника тепла в точке (а,р,у) получаем

я/ о ^ ® 2Г( деа де0 ■ 5<?а») ,

А0-ТГ+в'з^т«1ГГ ■ (4)

Как следует из формулы (4) с учетом характера распределения напряжений и *еформаций по толщине объекта, функция £?(а,Р,у) по переменному у будет меняться по квадратичному или более сложному закону, обращаясь в ноль (для тластинок) или достигая минимума (для оболочек) на срединной поверхности. Тоэтому уравнение теплопроводности для осредненной по времени за один цикл юлебаний стационарной температуры f(a ,р,у) записывается как трехмерное для пластинки

д2Т д7Т дгТ ч

для оболочки

где А1,А2 - параметры Ламе, , - главные радиусы кривизны срединной поверхности оболочки, Хч - коэффициент теплопроводности материала.

При решении тепловых задач в дальнейшем предполагается, что края пластинки (оболочки) теплоизолированы, а теплообмен с внешней средой осуществляется через лицевые поверхности.

В первой главе дается физическая постановка связанных задач о вибрационном изгибе пластинок и оболочек под действием нагрузки (1) и выводятся соответствующие полные системы разрешающих уравнений.

Из уравнений движения малого элемента колеблющегося объекта и выражений для составляющих внутренних усилий и моментов, следующих из (2) и (3), получаются системы уравнений для составляющих НДС. Переменные коэффициенты этих систем ( составляющие комплексных жесткостей ) интегрально зависят от неизвестной температуры 7'(а,р,у). Полная система разрешающих уравнений получается замыканием указанных уравнений уравнением теплопроводности в виде (5) или (6).

Рассмотрены колебания пластинок, осесимметричные колебания оболочек вращения, колебания круговых и некруговых цилиндрических и прямоугольных с плане пологих оболочек. В каждом случае получена полная система разрешающих уравнений относительно составляющих НДС и температуры саморазогрева. Эта система записывается в двух вариантах: в смешанной форме, в том смысле, что в ней в качестве неизвестных присутствуют составляющие как внутренних усилий и моментов, так и проекций вектора смещений, и в перемещениях, когда составляющие усилий и моментов из уравнений исключены.

Отметим, что при такой постановке задачи для любого варианта записи полная система разрешающих уравнений представляет собой сложную систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, точное аналитическое решение которой вызывает непреодолимые математические затруднения. В виду громоздкости получаемых уравнений и ограниченности объема автореферата эти системы здесь не приводятся.

В главах II - V представлены методы и результаты исследований для пластинок и оболочек, изготовленных из материала, свойства которого не зависят от температуры Т ( несвязанные задачи ). В этом случае составляющие Ек (к = 1,2) комплексного модуля

со

£,(ш)+ /£.,( со) = ,-$)схр(ш5)с/г и выражающиеся через них составляющие о

комплексных жесткостей на растяжение и изгиб становятся постоянными ( зависимость от частоты со не исключается ), а жесткость взаимного влияния растяжения и изгиба обращается в ноль. При этом задача из нелинейной интегро-дифференциалышй превращается в линейную дифференциальную, которая распадается на две последовательно решаемые задачи. Первая из них состоит в нахождении НДС и вычислении по этому НДС мощности источников тепла, распределенных по объему объекта. Вторая сводится к краевой задаче для стационарного уравнения теплопроводности, решение которой определяет тепловое поле объекта.

Заметим, что и в этом случае задача остается достаточно сложной, так как порядок системы дифференциальных уравнений для определения составляющих НДС в два раза превышает порядок соответствующей системы для пластинки (оболочки) из идеально упругого материала.

В главе "II. определение НДС в несвязанной задаче о вибрационном изгибе вязкоупругих пластинок сводится к решению краевой задачи для составляющих прогиба wll)(x,y) (£=1,2) . Система уравнений для этих функций имеет вид

D,V2V2w(0 -£>2V2VV2) -p/i<bV1)(*,.>/) = ?,(*,у),

£>2V2VV0 + D1V2V2wl2)-ph<o2wi2)(x,y)=q2(x,y), ^

где V2 - оператор Лапласа.

В п.2.1 рассматривается прямоугольная пластинка, когда qi{x,y)-q0sin^^sm^—,

<у) =0, = const, а контур подкреплен шарнирами.

Использование идеи известного решения Навье задачи стационарного изгиба прямоугольной пластинки из идеально упругого материала позволило получить точные аналитические выражения для функций wM(x,y) и составляющих внутренних усилий и моментов в рассматриваемом случае. Эти выражения и формула для, критического значения со* частоты со, при котором достигаются максимумы амплитуд НДС, приведены в работе.

Тепловая задача решалась в предположении, что через плоскости q = ±1 2 происходит теплоотдача по закону Ньютона во внешнюю среду, температура которой Т° = const при q = -1/2 и Т° = const при q -1/2,

Граничные условия для температуры Т в этом случае имеют вид

при q — ~ 1/2 /, ~ = Г - Г,° , при q = 1/2 /2~ = -Г + Г2°, (8)

где q = y/h,lk = Xq/{a^h), а'/'-коэффициент теплоотдачи в среду с температурой Т° (к = 1,2), h - толщина пластинки. Для температуры f(^,r|,<;) и частоты ш, которой соответствует максимальный разогрев пластинки, получены аналитические формулы.

Анализ полученных решений показывает, что максимумы амплитудных значений характеристик НДС конечны при любом со и получаются в центре пластинки. Максимальная температура саморазогрева достигается в точке нормали к срединной плоскости, проходящей через центр пластинки. Положение этой точки определяется условиями теплообмена с внешней средой (значениями 1к).

Числовые расчеты выполнены для пластинок из полимеров ЭД-6 МА, ЭД-6 ТЭАТ и ПММА. Для первых двух материалов значения tgS = £2/£, практически одинаковы, а величины Е, отличаются на 37%; для второго и третьего близки значения £,, а значения tg5 отличаются почти в 5 раз. Такой выбор материалов позволяет оценить влияние на результаты величин и tgS .

Вычисления показывают, что с ростом Е1 и tgS растет критическая частота со" и убывают максимальные значения амплитуд прогиба и моментов и температуры саморазогрева. При этом изменение tg5 сказывается на прогибе, усилиях и температуре пластинки в большей степени, чем изменение величины £,.

На рис.1 изображено поведение величины =тахи'/тах>^ щ =0)' в квадратной (а = Ь = 0.5м., А = 0.01 м.) пластинке из ЭД-6 МА при т = п = 1, д0 = 1 Н/м2 в зависимости от частоты внешнего возбуждения со в окрестности.значения щ = со'. Для двух других материалов соответствующие кривые качественно не меняются.

При исследовании, теплового поля пластинки рассматривались следующие варианты граничных условий: 1) /, =/2 =0,2) /,=0, /2*0, 3) =0,12= 0, Ь = ¡2 * 0, 5) /,~1 = 0, /2 * 0. О характере изменения температуры по толщине пластинки можно судить по рис.2 и 3, на которых приведены графики изменения величины 105г(]/2;1/2;?) в пластинке из ЭД-6 МА. Кривые на этих рисунках пронумерованы

соответственно вариантам граничных условий. 0,95 1,00 1,05 1,10 д.

Из приведенных графиков видно, что если при

Рис.1 <; = ±1/2 происходит теплообмен по закону

Ньютона, то температуру саморазогрева по толщине можно считать постоянной, при остальных режимах функция г|,<;) нелинейно зависит от ;. Для двух других материалов разогрев получается значительно меньше, но качественная картина изменения Т сохраняется.

105Т

105Г

-65-] 5

55 -

50

45

40

35 4

30

- -25- —1---1-

-0,5 -0,3 -0,1 0,1 0,3 0,5

-0,5 -0,3 -0,1 0,1 0,3 0,5

Рис.2 Рис.3

В п.2.2 рассмотрен прием, позволяющий определить тепловое поле пластинки, если температура внешней среды вблизи граней с; = ±1/2 переменна или условия теплообмена имеют разрывный характер. В этом случае задача сводится к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений.

В качестве примера в работе рассмотрена пластинка, у которой грань <; = -1/2 теплоизолирована, а на грани с, = 1/2 имеется прямоугольный участок размерами 2^0 х 2т)0 , через который происходит отдача тепла во внешнюю среду, при теплоизолированной остальной части. Показано, что в этом случае выполняются условия Коха, что позволяет при решении системы применить метод редукции.

Точное решение краевых задач для системы уравнений (7) удается получить и для пластинок, у которых две стороны ( 5 = 0,^ = 1 ) шарнирно оперты, а две другие

закреплены произвольно. В этом случае используются идеи известного решения М. Леви для стационарного изгиба идеально упругой пластинки. Если

^(^НоСп^птяЕ, , 92=0, (9)

то для ^'(^т)) [к = 1,2), удовлетворяющих уравнениям (7) и граничным условиям при ^ = 0,^ = 1, получаем следующие выражения

(£=1,2); (10)

>1

1Г2(л) = ^(л) + £ (-1)'-'[б,X,(п) + (л,) + ^(л) +.)] ■ (Ч)

Здесь

- любое частное решение уравнений (7), соответствующее

нагрузке с составляющими (9); (л) + /'(г|) = ехр((— оск + /р^)г|) = 1,2); т], = с~' - "Л; а у и р4 - постоянные, выражающиеся через значения р,ц, Е1 ,tgS, <а,А,я и т; а1 и Ь] (у = 1,4) - произвольные постоянные, подбираемые так, чтобы выполнялись

условия при г) = 0 и г) = с'1.

Производные от Хк и Ук выражаются через эти же функции. Поэтому составляющие внутренних усилий и моментов в пластинке могут быть представлены линейными комбинациями функций ЛГД (г|), ^ (г|), (г|,) и Соответствующие

формулы представлены в п.2.3. Там же и в п.2.4 приведены системы уравнений для определения постоянных я, и Ь) для различных вариантов закрепления сторон т| = 0 и т| = с'1 и результаты вычислений критических частот и максимумов амплитуд прогиба и моментов Мх и Му для квадратных пластинок из трех различных полимеров.

В п.2.5 показано, как выражения (10), (11) могут быть использованы при определении НДС пластинки, у которой стороны £ = 0 и \ = 1 шарнирно оперты,

нагрузка 9(^,1-),/) отсутствует, а стороны т) = 0 и т) = <г' загружены распределенными изгибающими моментами и поперечными силами вибрационного типа. Здесь же намечен путь решения для полубесконечной пластинки с шарнирно опертыми длинными сторонами.

Точное аналитическое решение тепловой задачи для пластинки, у которой две противоположные стороны подкреплены шарнирами, получено в п.2.6. В этом случае выражение для функции £)(£,,г\,<;) имеет вид

б(§, п л) = Бq2[ф¡ (П) + Ф2 (п) со52 , где фДт]) [к = 1,2) выражаются через квадраты и произведения функций ¡т^скх и ¿^ /¿г)2

Если сохранить условия теплообмена пластинки с внешней средой в виде (8) и разыскивать температуру саморазогрева Г^.П.?) в виДе ?{4>ТЬ?)=®|(ТЬ<;) + + 02(г1,?)со8 2тпЕ, , то трехмерная краевая задача для функции т},<;) распадается на следующие две двумерные краевые задачи

д2& я2

г+ко2 (Т1)Д, =0 Д 2 =2 тп;

дц2 дс,2

при тгО.тгс-1 ^=0; при?=-1/2 при?=1/2/2^-+0^=0. (12)

Эти задачи после представления функций фДг|) и ©Дг|,с) в виде рядов

СО 00

Ф»(Т1) = Х^)С03ГС71Т1, 04(п.?) = 'ВЕ<Р<г')(?)СО5''сят1 (13)

г» 0 г=О

элементарно решаются методом разделения переменных. Однако следует отметить, что практическая реализация такого решения затруднительна, так как даже для сравнительно несложных жДт]) аналитическое вычисление коэффициентов оказывается весьма трудоемким. Кроме того, определенные трудности появляются при вычислении произвольных постоянных, входящих в выражения для функций Ф(г"(?), так как системы для них плохо обусловлены. Поэтому, по нашему мнению, учитывая широкое распространение быстродействующих ПЭВМ, более рациональным будет получение решения подобных задач численными методами.

В п.2.7 рассматривается методика численного определения НДС прямоугольной пластинки с шарнирно опертыми сторонами £=0 и 5 = 1- Составляющие НДС, отвечающие нагрузке (9), представляются в виде

=(п).^' (л),?^

Здесь Э ^ =а~[дн>^ =я~1 Эи^*' ¡дц (¿=1,2) - составляющие углов поворота

нормального элемента к срединной плоскости пластинки. Величины т[1} и

принимаются за основные неизвестные. Система уравнений для их определения получается из уравнений движения малого элемента пластинки и соотношений, выражающих моменты через производные от прогиба. После ряда преобразований эта система может быть записана в векторной форме

^ = ЛГ(п) + /(т1), (15)

где У(т}) - , в2 , т^, , д® | - вектор неизвестных; А = и

/ = {/,} {',] = 0,7)- известные квадратная матрица и вектор, их ненулевые компоненты приведены в работе.

При любом способе закрепления или загружения сторон т) = 0 и г| = с"' граничные условия для функции у(т|) представляются в виде

Я1Г(0) = ё1>Я2У(С-') = ё2> (16)

где и Нг = | (/ = 0,3; у = 0,7) - известные, матрицы, а = {е,} и

ё2 = {е(+4} (/ = 0,з) - известные векторы, их компоненты определяются условиями для

соответствующих основных неизвестных функций.

Для численного решения краевых задач вида (15), (16) используется устойчивый метод дискретной ортогонализации.

После определения в узлах (;' = 0,М) значений основных функций значения остальных характеристик НДС в тех же точках вычисляются по простым формулам.

По этой методике были выполнены вычислительные эксперименты для пластинок, рассмотренных в параграфах 2.1, 2.3 - 2.5. О точности получаемого численного решения можно судить, например, по данным табл.1, в которой приведены при со = со' значения максимумов амплитуд прогиба и изгибающих моментов в пластинке из ЭД-6 МА для случаев, когда все стороны контура шарнирно оперты ( первая строка ) и когда стороны т| = 0 и т] = с"1 жестко закреплены при шарнирно опертых сторонах 4 = 0 и 4 = 1 (вторая строка таблицы ). Приведенные в этой таблице значения максимумов \ч,Мх и Му получены численным методом, а помеченные звездочкой -по аналитическим формулам.

Таблица 1

№ 10 5тах V/, м 1 (Ртах и»*, м тах Мх, Н тах Н тах Му, Н тах М*„ Н

1 3.9925 3.9923 0.5911 0.5911 0.5912 0.5911

2 2.0389 2.0392 0.3578 0.3578 0.6928 0.6929

Такая же близость результатов численного и аналитического решений наблюдается и для других способов закрепления и других материалов пластинок, что свидетельствует о высокой эффективности изложенной методики.

В п.2.8 излагается численно-аналитический метод, который был разработан для решения краевых задач типа (12). Идея этого метода состоит в следующем. Пусть функция Ф(т|) в (12) ( индекс «к» для удобства записи опущен ) задана аналитическим выражением или численными значениями в узлах ц) = ^ , Иу = 1/'(Л'с), ] = 0,Ы. Представим ф(-п) и ©(г),?) рядами (13). Тогда для функций фг(?) после подстановки (13) в (12) получаются одномерные краевые задачи, каждой из которых ставится в соответствие аппроксимирующая разностная схема того или иного порядка точности. В правых частях уравнений схемы стоят величины, пропорциональные значениям gr, аналитическое вычисление которых, как уже отмечалось, затруднительно. В качестве приближенных значений gr в численно-аналитическом методе предлагается принять коэффициенты разложения в ряд вида (13) кубического сплайна, построенного по значениям функции ф(г|) в узлах г)у (у' = 0,Л^). Вычисление этих коэффициентов сводится к интегрированию выражений вида (Лг)3 +Вц2 + Сг\ +в)со5гспг], которое элементарно выполняется аналитически. Построенная в работе трехточечная разностная схема аппроксимирует краевую задачу для 9Г(?) с погрешностью о(/)г4) и реализуется методом скалярной прогонки.

В п.2.9 приводятся результаты решения численно-аналитическим методом модельной задачи. Сравнение этих результатов со значениями, полученными по аналитической формуле, подтверждает высокую точность численного решения. Здесь же приведены результаты вычислений температуры для четырех различных вариантов закрепления сторон т] = 0 и т| = с'1 при разных условиях теплообмена с внешней средой. В частности, показано, что при несимметричных условиях теплообмена характер изменения температуры по толщине подобен изображенному на рис.2 и 3.

В п.2.10 предлагается методика численного определения НДС для более сложных, чем рассмотренные в п.п.2.1, 2.3-2.4, условий закрепления контура. Эта методика

является распространением на случай вязкоупругой пластинки соответствующей методики, предложенной Я.М. Григоренко и H.H. Крюковым при изучении НДС идеально упругих пластинок и оболочек. Согласно этой методике решение краевой задачи для уравнений (7) ищется в виде

"(l)0;>n) = i>,№0i). "(2)Ы=. (17)

i-0 ¡«0

где 4/Д4) (|=0,//) - подобранные так, чтобы выполнялись условия закрепления

сторон 4 = 0 и 4 = 1 > линейные комбинации B-сплайнов пятой степени, которые

построены по некоторой системе узлов в направлении \.

Подставляя выражения (17) в уравнения (7) и требуя, чтобы последние выполнялись в точках коллокации ut(k = 0,N), приходим к системе 2N + 2 обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка относительно неизвестных функций Wj (г|). Краевая задача для этой системы с учетом условий закрепления сторон т| = 0 и rj = с"1 сводится к задаче для системы 8JV + 8 уравнений первого порядка, которая в дальнейшем решается численно методом С. К. Годунова.

Приведенные в п.2.11 результаты применения этой методики для решения двух модельных задач показывают, что при N=10 обеспечивается высокая точность решения. Здесь же приводятся результаты вычисления характеристик НДС для пластинок, у которых одна, две, три или четыре стороны жестко закреплены. Результаты представлены в виде таблиц и графиков. Вычислительные эксперименты показали, что для рассматриваемого класса задач решение достаточно устойчиво по отношению к выбору точек коллокации ut.

В п.2.12 численным методом, который является естественным обобщением численно-аналитического метода, выполняется определение температуры саморазогрева пластинки при сложном закреплении ее контура. В этом случае после представления мощности источников тегша б(4>'П>?) и искомой температуры

7(5,!),<;)в виде рядов

00 00

^<7s>r(<;)cosv^cosnrri; 7{^,r\,q)=A ]>Xr(<;)cosv^cos|irri; vs=sK,\ir=rcK (18)

ss=0 ss=0

трехмерная задача для T сводится к последовательности одномерных задач ( по переменному q ). Для каждой одномерной задачи строится аппроксимирующая ее с

погрешностью о(Лг4) трехточечная разностная схема. Правые части уравнений этой схемы выражаются через значения в качестве приближенных значений

которых принимаются коэффициенты разложения в ряд вида (18) двумерного кубического сплайна, построенного по значениям функции ß(4/>f|j,S„) на каждом слое <; = <;„. Системы разностных уравнений решаются методом скалярной прогонки.

Результаты определения указанным методом температуры саморазогрева двух пластинок, для одной из которых известно точное аналитическое решение (п.2.1), а для второй получено численно-аналитическим методом (п.2.9), свидетельствуют о их высокой точности.

В п.2.13 приводятся результаты расчетов тепловых полей при вибрационном изгибе пластинок, НДС которых изучалось в п.2.11. Эти расчеты показали, что при

любых условиях теплообмена максимальная температура саморазогрева получается вдоль нормали к плоскости <; = 0, проходящей через точку, где достигается наибольшее из значений max М„ или max Му. Если в условиях вида (12), записанных для температуры Т, 1,=12, то тепловое поле будет симметричным относительно срединной плоскости, a max Г получается при с; = 0. При неравных /, и 12 максимальным будет значение Т на той поверхности, где теплоотдача во внешнюю среду более ограничена. Характер изменения Т по толщине пластинки остается таким же, как и в рассмотренном ранее примере.

В п.2.14 на примере вибрационного изгиба пластинки с шарнирно опертым контуром рассмотрено влияние на НДС и тепловое поле зависимости составляющих комплексного модуля материала от частоты внешнего воздействия, которая была принята в виде Ек = со" , Е° = const., а = 0.214 (к = 1,2).

Вычисления показали, что такая зависимость свойств от частоты, как и следовало ожидать, ведет к увеличению критической частоты ( в рассмотренном примере -почти в два раза ) и уменьшению максимальных значений амплитуды прогиба и температуры саморазогрева, амплитуды изгибающих моментов при этом практически не меняются.

В третьей главе рассмотрены некоторые задачи осесимметричного вибрационного изгиба оболочек вращения.

В п.3.1 приводится точное аналитическое решение для осевого смещения, прогиба и температуры саморазогрева в круговой цилиндрической оболочке со свободно опертыми краями. Оболочка находится под действием осесимметричного нормального давления, интенсивность которого меняется вдоль образующей по закону синуса. Это решение получено без учета осевых сил инерции. Результаты числовых расчетов для этой задачи представлены в работе таблицами и графиками.

Для оболочек вращения с произвольной формой меридиана в п.3.2 предлагается методика численного решения. Так как условия закрепления таких оболочек формулируются через составляющие /da- R~lu^k\T^k\ М^,

Q[k) (к = 1,2), то эти неизвестные принимаются за основные. Система уравнений для их определения получается из уравнений движения малого элемента оболочки и соотношений, устанавливающих связь между составляющими внутренних усилий и моментов и проекций вектора смещения, после исключения из них величин 7р() и м[к). После ряда преобразований эта система и граничные условия для нее записываются в векторной форме

= +/($)]; //,Z(0) = <F, ,tf2Z(l) = <F2 . (19)

Здесь 4 = а/£, ¿-длина меридиана оболочки, z(^) = {u(1),u(2),w(1),w<2), 0(|),©(2), t",t1], , Л/<2),,б!21} - вектор-функция неизвестных, А = Ц,,.} и /({;) = (¡;)} (i,j = 0,11) - известные матрица и вектор, ненулевые компоненты которых приведены в работе, прямоугольные матрицы Н, и Нг и векторы ё, и ёг также имеют известные компоненты. Для численного решения краевой задачи (19) применяется метод дискретной ортогонализации.

Сравнение результатов численного расчета ( пример 1 в п.3.3 ) для оболочки, рассмотренной в п.3.1, с соответствующими точными значениями показывает высокую эффективность предлагаемого подхода.

Другие примеры численного определения указанным методом НДС круговых цилиндрических, конических и сферических оболочек при осесимметричном нагружении приведены в п.п.3.3 и 3.4.

Для цилиндрической оболочки, загруженной постоянным вдоль образующей равномерным давлением интенсивности р0, рассматривались три варианта закрепления концевых сечений: 1) при ^ = 0 сечение подкреплено неподвижным шарниром, а сечение \ = 1 свободно оперто; 2) оба концевых сечения подкреплены неподвижными шарнирами; 3) на торцах оболочки выполняются условия неподвижного жесткого закрепления. При указанной нагрузке получается спектр критических значений ф\ [к = 1,2,3,...).

Для первого варианта условий закрепления расчеты выполнены как без учета, так и с учетом осевых сил инерции. Первые три критических значения <о'к и соответствующие им значения наибольших амплитуд некоторых характеристик НДС приведены в табл.2, где в первой строке для каждого «&» даны величины, полученные без учета осевых сил инерции, а во второй строке - с учетом этих сил; в скобках указаны с учетом симметрии значения \, при которых соответствующие величины получаются.

Таблица 2

К шк*,с"' 10 тах и», м тах Та, Н/м 10тахМа, Н тах 0а, Н/м

1 1472 1.562(0.50) 0.0 0.328 (0.5) 0.147 (0.0)

1419 1.519(0.35) 15.711 (0.0) 0.549(0.2) 0.733 (0.0)

2 1682 0.409 (0.50) 0.0 0.749 (0.5) 0.717(0.0)

1677 0.350 (0.50) 1.431 (0.0) 0.612 (0.5) 0.605 (0.0)

3 2713 0.093 (0.30) 0.0 0.480 (0.1;0.3;0.5) . 0.761(0.0)

2732 0.140 (0.10) 5.860 (0.0) 0.674(0.1) 1.050(0.2)

Как следует из сравнения приведенных результатов, осевые силы инерции незначительно влияют на величины критических частот со* [к = 1,2,3), но существенно уточняют картину деформированного и особенно напряженного состояния оболочки.

Результаты расчетов для двух других вариантов закрепления приведены в работе.

Аналогичные результаты получены для конических оболочек (рис.4) с углом раствора 2ф и для сферических оболочек (рис.5) с углом раствора у.

Вычисления выполнены для значений ф = л/18, я/12, л/9 и тг/6 и у = л/6,д 4 и тс/3 при тех же вариантах закрепления концевых сечений, что и для цилиндрической оболочки. Это позволило оценить влияние способа закрепления на спектр критических частот и НДС оболочек. Например, вычисления для сферических оболочек с углом раствора ц/ = л/6 показали, что ограничение на взаимное перемещение концевых сечений при со = вызывает более чем тридцатикратное увеличение амплитуды меридионального усилия Та. При этом величина шахи» увеличивается примерно в 2.5 раза, а тах Ма возрастает примерно в 5 раз.

м„(а=0)

<?(а, О

м0(а=0)

Рис.4

Рис.5

Ограничение на угол поворота концевых сечений такой оболочки влияет на значения критических частот и характеристик НДС в значительно меньшей степени.

Из сравнения результатов, полученных с учетом и без учета меридиональных сил инерции, следует, что эти силы оказывают существенное влияние на критические значения частоты и НДС оболочки. Например, для сферической оболочки (41 = тг/З) при неподвижном жестком закреплении торцов пренебрежение меридиональными силами инерции вызывает смену номера критической частоты, при которой достигается наибольшая амплитуда момента Ма, а само значение Ма уменьшается почти в 5 раз.

Установившаяся температура саморазогрева 7"(4>?) оболочки при осесиммегричном вибрационном изгибе оболочки вращения определяется как решение краевой задачи

=2 .^/я* '"О я„2+2«(0|:=еМ; (20)

д2Т мдТ _2 д2Т

ЪТ дТ

при 4 = 0,4 = 1 — = 0; при ? = Т1/2 /12 —= ±Г.

• о<;

(21)

Здесь Л^, = ЫЬ и К0(^) = ЬК(а) = 0.5л(ла' + Лр- безразмерные толщина и средняя кривизна, р(4) = £г-Ч<х)г'(а), = 2Н?К(а)Т{.

Для понижения размерности этой задачи применяется метод сплайн-коллокации: 7(4,1;) ищется в виде

= (22)

/=о

где /Д4) - линейные комбинации В-сплайнов третьей степени, построенные на некоторой равномерной сетке в направлении 4 • Эти комбинации выбраны так, чтобы тождественно удовлетворялись условия (21) при 4 = 0 и 4=1- Принимая узлы сетки 4 = 4, (< = 0,лг) за точки коллокации и требуя, чтобы после подстановки (22) в уравнение (20) последнее удовлетворялось при 4 = 4/ > (' = 0,, получаем для Т,[д) систему N + 1 обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Граничные условия для 7](<;) следуют из оставшихся условий (21). Вводя в

рассмотрение неизвестную вектор-функцию 2(?) = (/ = 0,2//+!) с

компонентами г((д) = Л]/«/? , = 7] , (/ = 0,м) после ряда преобразований для

¿(<;) получаем краевую задачу

^^(ф/^С.^-у 2)=0,С22(1/2)=0. (23)

Здесь и 02 - известные матрицы, а Р - известный вектор. Краевая задача (23) решается численно методом дискретной ортогонализации. Эта методика изложена в п.3.5, а результаты ее применения для определения тепловых полей цилиндрических, конических и сферических оболочек, НДС которых изучалось в п.п.3.3, 3.4, составляют содержание п.3.6.

Выполненные вычислительные эксперименты по определению температуры саморазогрева подтверждают необходимость учета при решении меридиональных сил инерции.

Исследование закона изменения температуры саморазогрева по толщине оболочек показало, что в рассмотренных задачах для цилиндрических оболочек при /, = /2 максимальный разогрев получается на срединной поверхности, а закон изменения температуры по толщине во всех поперечных сечениях близок к симметричному. Для конических и сферических оболочек это правило нарушается, и даже при одинаковых условиях теплообмена на поверхностях $ = ±1/2 в разных сечениях по длине оболочки и при разных частотах максимум температуры саморазогрева может достигаться как при д>0, так и при отрицательных <;. Это подтверждают графики, изображенные на

Рис.6 Рис.7

На рис.6 показано изменение температуры по толщине конической оболочки (ф = я/6) с жестко закрепленными сечениями при /, = /2 >0 : кривая 1 соответствует значениям £=05 , w=coj , кривая 2- 4 = 0.0 , со =ш|, кривая 3 - \ =0.0 , ш = ш2. Графики на рис.7 построены для аналогичной сферической оболочки ( у = я/3) при £ = 1.0 для со = с£>2 (кривая 1) и и = coj ( кривая 2 ). Эти графики подтверждают целесообразность трехмерной постановки тепловой задачи.

Для более полной оценки влияния кривизны образующей на ее НДС и тепловое поле в п.3.7 были рассмотрены сферическая оболочка с углом раствора у и коническая оболочка, для которой ф = 1|//2. Оболочки имеют одинаковый радиус большего основания R и одинаковую высоту Я = R sin у. При указанном соотношении между <р и ц/ образующая конуса является хордой образующей сферы. Оболочки загружены равномерным давлением, интенсивность которого выбрана так, что амплитудные значения результирующих нагрузок, распределенных вдоль образующих

конуса и сферы, равны единице. У обеих оболочек сечение 4 = 0 жестко заделано, а при % = 1 выполняются условия подвижного в горизонтальном направлении шарнирного закрепления.

Вычисления, выполненные по приведенным выше методикам для значений Л=1.0 м, Л=0.02м, х|/ = я/3, показывают, что коническая оболочка будет более жесткой, чем сферическая. В конической оболочке наибольшие значения характеристик НДС и температуры достигаются при первой критической частоте. Исключение составляет лишь тангенциальное усилие Та, максимум которого получается при со = toj.

Качественно иная картина наблюдается в сферической оболочке, для которой максимумы амплитуд прогиба и изгибающего момента и температура саморазогрева с увеличением номера критической частоты сначала растут, достигая наибольших значений при ш = м j, а затем начинают убывать.

В четвертой главе рассматриваются несимметричные задачи вибрационного изгиба круговых и некруговых цилиндрических оболочек.

В п.4.1 приведены записанные в смешанной форме и только в перемещениях системы разрешающих уравнений для определения характеристик НДС произвольной цилиндрической оболочки и irx упрощенные варианты, когда кроме гипотез Кирхгофа-Лява принимаются дополнительные гипотезы технической теории цилиндрических оболочек.

В п.4.2 дано точное аналитическое решение задачи о несимметричном вибрационном изгибе, круговой оболочки со свободно опертыми торцами под действием нормального давления интенсивности

?(a,p,i)= <jf0sinmi;smnTicoso)/, (24)

где д0 = const. ,4 = яа/£,т1 = р/ Л, L и R длина и радиус оболочки. Это решение получено на базе уравнений технической теории без учета тангенциальных сил инерции.

В п.4.3 предлагается методика численного решения краевой задачи для уравнений технической теории круговой цилиндрической оболочки при произвольном способе закрепления концевых сечений. С учетом периодичности характеристик НДС замкнутой оболочки по окружной координате р рассматривается случай, когда

функции qt{a,$) в (1) представимы в виде

q Да,р) = р ,(a)sin(«p/^ +<р),ф = const. (к = 1,2). (25)

Тогда составляющие характеристик НДС ищутся в виде

{vik),Sik),S <", я<*\epU)} = {>"*.¿'W {k\h }совЦ + <p); (26)

где функции Ukyk,Wk,Qk^\t^\s^k\s^^и q[l) зависят только от 4 .

Для основных неизвестных функций, через которые формулируются граничные условия при различных способах закрепления концевых сечений, после разделения переменных и некоторых преобразований получается краевая задача вида (19), где

А~{аи} и = ('./ = 0,15) - известные квадратные матрица и вектор,

ненулевые компоненты которых приведены в работе.

Сравнение результатов численного решения для оболочки из примера п.4.2 с результатами, полученными по точным формулам, показывает, что они совпадают до трех значащих цифр.

В табл.3 приведены значения критических частот и характеристик НДС в этой оболочке для следующих вариантов: I- в исходных уравнениях учитываются только поперечные силы инерции, И- кроме поперечных, учитываются и окружные силы инерции, Ш-учитываются все силы инерции.

Таблица 3

Вариант 0)1*, с"1 lO'mox U, м 10 W V, м 1(Ртах W, и max Та, Н/м 10 тахМа, Н 10 тах&, Н/м

I 735.4 0.739 0.419 0.493 66.52 0.148 0.275

II 544 0.998 0.450 0.464 67.59 0.139 0.258

III 537 1.111 0.449 0.455 73.14 0.137 0.254

Как следует из данных этой таблицы, учет тангенциальных сил инерции значительно уточняет значения критической частоты и максимума амплитуды осевого смещения. Максимумы амплитуд остальных характеристик НДС оболочки при этом меняются на 7^9 %. Из этой же таблицы видно, что наибольшую поправку вносят окружные силы инерции, а влияние инерционных слагаемых, соответствующих осевому смещению и, сказывается в меньшей степени.

С учетом всех инерционных слагаемых было выполнено исследование НДС круговых оболочек под действием нагрузки (1), для которой

= sinт), <72=0, ра = const., ф = 0. (28)

Рассмотрены варианты: сечение 4 = 0 подкреплено подвижным шарниром, а при 4 = 1 выполняются условия неподвижного шарнирного опирания -задача 1; оба концевых сечения подкреплены неподвижными шарнирами - задача 2 или жестко закреплены -задача 3. При расчетах в качестве исходных принимались уравнения технической теории, длина оболочки L менялась в пределах %R <, L < 3.5 jlR . Соответствующие результаты приведены в работе.

Методика численного решения краевой задачи для уравнений технической теории сравнительно просто распросграшется на случай аналогичной задачи, когда для описания колебаний оболочки применяются уравнения, погрешность которых определяется только гипотезами теории Кирхгофа-Лява. В этом случае система уравнений для разрешающей функции F(4) в форме (27) по-прежнему преобразуется к виду (19), однако при этом изменяются выражения для некоторых компонент а, 7 матрицы А.

Для оценки погрешности, вызванной дополнительными гипотезами технической теории, по сравнению с классическими гипотезами Кирхгофа-Лява были выполнены вычислительные эксперименты по решению рассмотренных выше задач 1-3 при новых, уточненных значениях для компонент at j. Из сравнения полученных

результатов следует, что в рассмотренных задачах погрешность технической теории мала и не превосходит 5% при .£ < 2.75лД в шарнирно опертых оболочках и при L<3nK в случае жесткого закрепления концевых сечений. Исключением являются результаты для амплитуды момента Ма в задачах 1 и 2: существенное различие

между значениями Ма, вычисленными по разным теориям, наблюдается уже при ¿п{и оно быстро растет с увеличением длины оболочки.

Полученные данные позволяют также оценить влияние способа закрепления концевых сечений оболочки на её НДС. Так, например, замена подвижного шарнира неподвижным приводит к увеличению значения со, и уменьшению максимумов амплитуд смещений усилий Тл и <2а и момента Мл (в сечении Е, = 0.5). При

этом происходит качественное изменение характера распределения Ма по длине оболочки, что видно на графиках, изображенных на рис. 8. Кривая 1 на этом рисунке показывает распределение Ма в задаче 1, а кривая 2-в задаче 2; обе кривые построены для значения £ = 1.5л Я.

Ограничение угла поворота концевых сечений при переходе от шарнирного закрепления к жесткой заделке вызывает значительное увеличение момента Ма и

усилия ()а. Остальные характеристики НДС меняются в гораздо меньшей степени, а критическое значение ю * при этом практически остается неизменным.

Задача определения теплового поля круговой оболочки при вибрационном нахружении рассмотрена в п.4.4. Для температуры саморазогрева Г^.^.?) в этом случае из (6) получается уравнение д2Т д2Т 1I2 а2г, I2 дТ 1

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Рис. 8

дц' Ц дс,'

й0 дс,

(29)

где для нагрузки (28) функция определяется формулой

=к 'Ч2 а[^,(§,?)+^(5,?)«)82(пл+ф)], (зо)

/Ц^) выражаются через составляющие внутренних усилий и моментов. Решение краевой задачи для уравнения (29) ищется в виде

г(4,11,?) = 01(4,?)+е2(^,фо52(п11+<р). (31)

Тогда для функций 0^(4»?) (у = 1,2) после подстановки выражений (30) и (31) в (29)

получаются двумерные уравнения, краевые задачи для которых решаются численно-аналитическим методом.

Эта методика была применена для определения температуры саморазогрева оболочки, которая рассматривалась в п.4.2; при вычислении значений функций использовались результаты численного исследования НДС по методике п.4.3. Температурные поля определялись для трех вариантов учета сил инерции, которые рассматривались в п.4.3. Вычисления показали, что учет тангенциальных сил инерции ( варианты II и III) приводит к значительному снижению температуры саморазогрева оболочки по сравнению с решением, когда эти силы не учитываются ( вариант I). Это снижение, составляющее от 40% в концевых сечениях до 60% в среднем по длине сечении оболочки, объясняется, в первую очередь, большим различием значений критической частоты со* ( см. табл.3 ) при различных вариантах учета инерционных слагаемых.

В последующих пунктах главы 4 исследуются некруговые цилиндрические оболочки, для которых направляющая срединной поверхности ( рис.9 ) задана уравнениями в параметрической форме

х = х(г\), у = у(ц), где т| е[г|0 ~ некоторый безразмерный параметр.

■ х

Рис.9.

В п.п.4.5, 4.6 рассматриваются оболочки со свободно опертыми криволинейными краями под действием нагрузки (1) при (а,р), определяемых формулами

д1(а,р) = 9о(р)8ш^,92(а,р) = 0. (32)

При определении НДС ( п.4.5 ) в качестве исходных выбираются уравнения, записанные в смешанной форме. Характеристики НДС представляются в виде

(33)

где неизвестные функции

- 1,2) зависягтолькосгг г); безразмерные переменные Е,, Т1 связаны с а

л у

и р соотношениями а=Д,р=а |§(т|)г/т|, ^(г)) = сГ1 ^[ск/с!г\)2 + {¿у/йг^ | 2, а - некоторый

По

характерный размер в тангенциальном направлении. Представление характеристик НДС в виде (33) позволяет автоматически удовлетворить условиям свободного опиранпя краев £ = 0,4 = 1 и разделить переменные в исходной системе.

В качестве основных неизвестных принимаются функции икУк,№г,9р*),/р*>''?1*)''"р*) и (А = 1,2), через которые формулируются граничные условия при различных способах закрепления или загружения прямолинейных краев оболочки. Тогда, подставляя (32) и (33) в исходные уравнения, после ряда преобразований получаем для основных неизвестных функций систему шестнадцати обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В векторной форме эта система имеет вид

^-«(тОЦтОПтОч-Лп)}. (34)

где У(п) = {*(!,)} = {ад, К, Уг, Щ, 1Г2, 0«, 0«, т<0, тй уО), ?М) ,

А = {а, ,(т])] и / = {/, (л)} (¿,7=0,15)-известные матрица и вектор.

Из условий закрепления прямолинейных краев с учетом (33) получаются условия для составляющих у(г|)

сДть^, _Сг?(ти) = й2 , (35)

где матрицы С,,С2 и векторы (¡¡,с12 имеют известные компоненты.

Для замкнутой оболочки ( х(т10) = х(т1а<);>'(т1о) = >(т1а/) ) условия на прямолинейных краях заменяются условиями периодичности всех характеристик НДС по переменной Т1. В этом случае вместо ?(т|) вводится в рассмотрение новая

неизвестная функция z(r¡) = {*,(л)} (г = 0,31), компоненты которой определяются соотношениями ^(г)) = ^(г)) при/ = 0,15 ; г((ц) = б(г]0 +т)м-т]) при/ = 16,31. Из (34) для г(х\) получается уравнение

—-д(гОг(тО+Ф(Л),- (36)

в котором компоненты матрицы в и вектора ф(л) выражаются через компоненты а и /(л), а из условий периодичности функций у (п) следуют граничные условия для т1 (т))

2,(п0) -2,ч.бМ = 0; ^(Ьо +11 ИЩ -+ Лл,)А) = 0 (» = 0Л5). (37) Численные решения краевых задач (34), (35) и (36), (37) можно получить методом дискретной ортогонализации.

Тепловое поле некруговой цилиндрической оболочки находится ( п.4.6 ) как решение краевой задачи для уравнения

коэффициенты которого определяются формой срединной поверхности. Функция 2. (4, Л»?) в случае свободно опертых краев может быть представлена в виде

х;|&(5.п.?)иа[ф|(т1.?)+ф2(п.?)С082ия?]. (39)

где Ф*(л><;) выражаются через величины г^,^,*"1,/^', Отр1 и А(,). Тогда для функций 0,(г|,с;) (/' = 1,2), определяющих температуру саморазогрева

Г(4,г1,?) = а[®|(п.?) + 02(л.?)со52^], (40)

после подстановки выражений (39) и (40) в (38) и разделения переменных получаются. двумерные уравнения

р1(

Г д20. I2 , ч30, / Ч / Ч

дцг — вп + (41)

где к, =0, к2 =4«2я2>Ч'1(л><;) = Ф1(п,?) + /Ч",а"1^о(лК.^2(л.?) = Ф2(л,<;).

Граничные условия для функций ©,(г|,(;) следуют из условий теплообмена на прямолинейных краях г| = т10,т| = г\и и лицевых поверхностях с; = ±1/2.

В случае замкнутой оболочки условия на прямолинейных краях заменяются условиями периодичности Г^Л.?). из которых следуют условия сопряжения для функций 0»(л,;;)

®/(ло.?) = 0Дт1 «>?)> Щ "Щ ('-1.2). (42)

1 Л=Л о+0 1Л=Л м~° Краевые задачи для функций 0,(л,?) (' = 1.2) методом сплайн-коллокации сводятся к одномерным задачам по методике, изложенной в п.3.5.

В качестве примеров применения указанных подходов в п.4.7 рассмотрены установившиеся колебания под нагрузкой (1), для которой <71(4,л)=<7о8'пл5 > <72 (^>т|)=0! двух незамкнутых оболочек с одинаковой стрелой подъема /, перекрывающих квадратный план охи. Направляющей первой оболочки

является дуга окружности, а для второй - дуга параболы. Рассматривались два варианта закрепления прямолинейных краев: неподвижное шарнирное опирание -задача А и неподвижная жесткая заделка - задача Б.

Вычислительные эксперименты, выполненные при q 0=1.0 Н/м2, а=0.5 м, ан).01 м для значений /0=0.02; 0.04;...;0.20; показали, что с увеличением /0 до значения /„=0.14 для обеих оболочек величина со| возрастает, а затем начинает убывать.-При этом максимумы IV, Гр, и температуры саморазогрева убывают в круговой оболочке во всем диапазоне рассмотренных значений /0, а в параболической оболочке - при /О<0.14 в задаче А и при /„<0.16 в задаче Б. При дальнейшем увеличении /0 максимальные значения прогиба, усилий, моментов и температуры в параболической оболочке начинают расти.

При /О<0.06 значения <в|, характеристики НДС и температура в круговой и параболической оболочках практически совпадают, причем максимумы Гр, ¡V и температуры саморазогрева в задаче А превосходят значения, соответствующие задаче Б. Отметим также, что параболическая оболочка будет более жесткой, чем круговая, в случае задачи А при /0 2 0.14, а в случае задачи Б - при /0 < 0.18.

Тепловые поля рассмотренных оболочек, как и следовало ожидать, получаются несимметричными относительно срединной поверхности. При этом максимумы температуры саморазогрева в разных сечениях могут достигаться как при положительных, так и при отрицательных значениях д.

В п.п.4.8 и 4.9 рассмотрен случай произвольного закрепления контура оболочки.. При определении НДС исходными являются уравнения в перемещениях. Эти уравнения записаны в форме, разрешенной относительно старших производных от функций и[к), V1" и 1уи) по перемежой т|. Составляющие и{к] и >у!а) [к = 1,2) ищутся в виде

1=0 /=о

уМ(4л1)=|>,.(^.(л), ^^ФХУД^^Т!), (43)

/=0 1=0

1=0 1=0 где функции срД^) и '/,(4) представляют собой линейные комбинации Д-сплайноЕ В5 • В работе приведены выражения для и которые позволяют

удовлетворил, четырем различным вариантам закрепления каждого го краев = £,0 и ^ = ьл- •

Подставляя выражения (43) в указанную выше систему уравнений и требуя и> выполнения в наперед выбранных N + 1 точках коллокации, получаем систем) обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функцш [/Дт)), кДп) и IV](г|) (/ = 0,2^ + 1). После ряда преобразований эта система може-быть сведена к виду

^ = д(п)у(п)+с(т)), (44;

где у(г\) - вектор, компонентами которого являются функции и¡, 11), У),У]

, IV" и . Граничные условия для вектор-функции у(г|) следуют из условий закрепления краев г) = т|0, г) = т^ и записываются в виде

Я,Р(Ло) = 0, Я2Р(Лм) = 0 (45)

Для замкнутой оболочки краевая задача (44), (45) заменяется задачей нахождения периодического по г| с периодом Лм _ Ло решения уравнения (44). Такое решение можно найти по методике, аналогичной изложенной в п.4.5.

Как и в предыдущих случаях, для решения краевой задачи (44), (45) или соответствующей периодической задачи удобно применять метод дискретной ортогонализации.

При определении теплового поля оболочки (п.4.9) по-прежнему исходным является уравнение (38). Однако, в отличие от предыдущего в рассматриваемом случае не имеется никакой предварительной информации о характере изменения функции 0.(4,Л.?) по переменным 4 и Л • Тогда для нахождения приближенных значений температуры саморазогрева 7(4,п.?) предлагается следующий подход. Пусть по методике п.4.8 в узлах (4<.Лу) ' = 0,7 = О,М вычислены значения составляющих внутренних усилий и моментов и, следовательно, вдоль нормалей к срединной поверхности в этих точках можно вычислить значения функции б*(4.Л>?)> для которой имеет место формула

к=\

-.2 г

° /Г а Р А Р

•2(1+ц)

п

-2ц

т л

На соответствующих разбиениях в направлениях 4 и Л строятся системы кубических В-сплайнов Я3,Д4) (/> = -1, N +1) и #з,9(л) (<7 = -1, А/ +1) и приближенное выражение для 7'(4.Л>?) ищется в виде

^>Л>?)=Е1Ф,(4)Х,(Л)®,у(;) (46)

/«о у-о

Здесь 9,(4) (' = 0.л') и хДл) (у = 0,м) - линейные комбинации сплайнов 53р(4) и В3,(г(), которые подобраны так, чтобы автоматически выполнялись условия теплоизоляции краев 4 = 4о> 4 = Л = Ло и Л = Л и! выражения для таких 9,(4) и Х;(л) приведены в работе.

Узлы (4/.Лу) упорядочим так, чтобы номер «б» узла (4^.Л?) был больше номера «г» узла (4,,т1у), если при любых р и 1 или если р>1 при ) ■

Тогда выражение (46) можно переписать в виде

г(4,л.?)=11, (47)

г-0

где Ф,(4.л) = Ф,(4)ху(л). Гг(?) = ©„(?), г = (ЛГ+ !)_/+/, / = о777= М.

Узлы (ij; »Л;) принимаются за точки коллокации, и из требования, чтобы

уравнение для rj после подстановки в него выражения (47) выполнялось в этих точках, приходим к системе R +1 обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно функций Tr[q) {г = 0,r).

Граничные условия для функций Tr{q) получаются из условий теплообмена при q = ±1/2. Для замкнутой оболочки условия теплоизоляции краев г| = г|0 и ч = Л« заменяются для функции 7^4.условиями сопряжения типа (42). В этом случае меняются выражения для функций ХуМ в представлении (46); соответствующие формулы приведены в работе.

Дальнейший ход решения полностью аналогичен примененному в п.3.5.

В главе 5 изучаются вопросы поперечного вибрационного изгиба пологих вязкоупругих оболочек.

В п.5.1 приводится аналитическое решение для пологой круговой цилиндрической оболочки, перекрывающей прямоугольный план и свободно опертой по периметру. Это решение получено без учета тангенциальных сил инерции. В работе приведены формулы для критической частоты ю', составляющих прогиба и внутренних усилий и моментов и температуры саморазогрева. Вычисления для конкретных оболочек показали, что увеличение радиуса кривизны ведет к уменьшению критической частоты и максимальных значений тангенциальных усилий и вызывает рост максимумов прогиба и изгибающих моментов. При этом разогрев в угловых точках уменьшается, а в центре возрастает. Абсолютный максимум температуры саморазогрева в зависимости от радиуса R и условий теплообмена на цилиндрических поверхностях может достигаться как в угловых точках, так и в центре оболочки.

В п.п.5.2, 5.3 предлагаются методики численного исследования НДС и теплового поля для оболочки со свободно опертыми краями а = 0 и а = а при условии, что главные кривизны не зависят от переменной а. Соответствующие методики для оболочки с произвольными главными кривизнами Ка = AT0(a,ß),.Kp = Ä"p(a,ßl при любом способе закрепления краев излагаются в п.п.5.4, 5.5. Эти методики в конечном счете сводят решение задачи к численному решению методом дискретной ортогонализации краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Общая идея их построения отличается от таковой для цилиндрических оболочек ( п.п.4.5, 4.6, 4.8, 4.9) только деталями, поэтому остановимся лишь на основных результатах выполненных вычислительных экспериментов.

Вычисления с учетом всех инерционных слагаемых проводились для пологих цилиндрических оболочек кругового и параболического профиля при тех же геометрических размерах и нагрузке, что и в примерах п.4.7.

Сравнение результатов расчетов с применением строгих уравнений теории цилиндрических оболочек и более простых уравнений теории пологих оболочек при свободном опирании криволинейных краев показало, что последние при малых значениях относительной стрелы подъема /0 обеспечивают высокую точность. Однако, с увеличением /0 погрешность решения по теории пологих оболочек быстро возрастает, при этом картина изменения значения искажается не только

количественно, но и качественно. Поэтому при применении уравнений теории пологих оболочек в случае вязкоупругого материала на величину /0 следует накладывать более жесткие ограничения, чем это принято для оболочек из идеально упругого материала. Например, для цилиндрических панелей со свободно опертыми криволинейными краями, если принять допустимой при определении максимального прогиба погрешность 5%, то в случае неподвижных шарниров на прямолинейных краях параметр /0 не должен превышать значения 0.08, а при жесткой заделке этих краев должно выполняться условие /0<О.Ш. По-видимому, при увеличении жесткости закрепления контура оболочки верхняя граница значений /0 может быть несколько повышена.

Для оценки влияния способа закрепления и величины стрелы подъема оболочки на значения со|, характеристики НДС и температуру саморазогрева для разных /0 рассмотрены следующие варианты закрепления контура: 1) контур подкреплен неподвижными шарнирами; 2) криволинейные края подкреплены неподвижными шарнирами, а прямолинейные жестко заделаны; 3) на краях оболочки выполняются условия жесткого закрепления.

Вычисления показали, что увеличение /0 при любом закреплении повышает значение ш| и вызывает уменьшение максимумов всех характеристик НДС и температуры саморазогрева. Влияние изменения способа закрепления оказывается более сложным и при разных значениях /0 проявляется по-разному. Некоторые подмеченные при этом закономерности обсуждаются в работе. В разных точках оболочки максимум температуры получается при разных значениях с,, причем это значение с, может меняться с изменением величины /0. Это видно из графиков, которые показаны на рис.10. На этом рисунке изображено изменение по координате д

Т.

1,4 2

/ 1 4

// ^^

/У

—\-\-1—0- -н -1--1- -1——^

-0.5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0.5 Рис.10

функции Г.(4,Л.?) = 1057"(^,г|,(;) в круговой оболочке при /, = 1г = 0 в случае жесткого закрепления контура оболочки. Кривые 1 и 2 на рисунке построены для /0=0.04 и соответствуют точкам А ( середины прямолинейных сторон ) и С ( центр плана ), аналогичные кривые для оболочки с /о=0.08 помечены номерами 3 и 4.

Приведенные графики подтверждают целесообразность трехмерной постановки тепловой задачи.

Вычисления также показали, что при /0 ^ 0.06 для некруговых цилиндрических оболочек можно пренебречь изменением кривизны образующей, приближенно считая ЛГр(г)) = const. При /о>0.06 параболические оболочки оказываются более жесткими и разогреваются несколько меньше, чем круговые.

В главе 6, которая является заключительной, методом последовательных приближений решается связанная задача о вибрационном изгибе бесконечной пластинки-полосы из термореологически простого материала.

В п.6.1 дана постановка задачи: бесконечно длинная пластинка, способы закрепления краев которой по длине не меняются, совершает установившиеся колебания под действием поперечной нагрузки интенсивности q(x,t) = ^,(x)cosa/ + g2(x)sinffl/ ( ось х направлена перпендикулярно краям ). Зависимости составляющих комплексного модуля материала от температуры Т и частоты со определяются формулами £,(f,co) = £0(p(co)£(f), Е2{¥,со) = Ех{¥,co)/gS .

Уравнения для составляющих прогиба и температуры r(x,z) получаются из

соответствующих уравнений п. 1.1 и имеют вид

¿ИГ = (к = 1,2;D3 = -D,); (48)

j. i &

д Т

+ —r + pco22£2(f,co)

дх2 dz

dV'Y fd2w(2)

и

dx2 ) \ dx2

1 „ / ч 1

0. (49)

%

Здесь обозначено ¡1 =--,-rv, D,(x) --5- \z2E,(t(x,z))dz (j = 1,2).

2ХД1-Ц2) yw l-H2J/2 A V " V '

Граничные условия для уравнений (48), (49) определяются условиями закрепления краев х = 0,х = а и условиями теплообмена с внешней средой.

Для решения краевой задачи для уравнений (48), (49) предлагается следующий алгоритм метода последовательных приближений: выбирается начальное распределение ( нулевое приближение ) температуры %, например, Т0= const., и вычисляются соответствующие значения Df\x) [j = 1,2). Решая краевую задачу для уравнений (48) при D]=D{f)(x), определяют в первом приближении значения составляющих прогиба wj"(jc) (i = 1,2). Для нахождения первого приближения ft(x,z) температуры ¥ в уравнение (49) вместо wu)(x) подставляются »¡''(х) (/ = 1,2) и решается соответствующая краевая задача. Затем аналогичным образом последовательно определяются значения DiJl)(x),w^(x), T2[x,z)n т.д. Итерационный процесс считается оконченным, когда будет выполнено условие

max|K+1-w,)/wf|sew> (50)

где е„ - заданная точность, wk = + (и{2')2 - амплитуда прогиба в к-и

приближении.

В п.6.2 обсуждаются методики численной реализации предложенного алгоритма.

Пусть на r-м шаге итерации определены значения температуры Тг. Тогда после ряда преобразований уравнений (48) для безразмерных составляющих прогиба IF/',' {к = 1,2) получается линейная система уравнений. Краевая задача для этой системы сводится, как это неоднократно делалось в главах 2 и 3, к краевой задаче для восьми дифференциальных уравнений первого порядка относительно функций ^м?(О = '>2) и их производных до третьего порядка включительно. Для численного решения этой задачи применяется метод дискретной ортогонализации.

При определении температуры саморазогрева которая связана с

температурой пластинки равенством 7'(4,<;) = 7"(!;,с) + 70" + 7|*<;, на (г + 1)-м

шаге итерационного процесса из (49) в безразмерных переменных £, = x/a,q = z/h получаем нелинейное уравнение

hi + н- ко q>(<в );2 Е-(г„,)а+|(4) = 0, £-(rr+1)=£(fPtl) (51)

где обозначено Q[+1(5) = 2)2 + (d'W^Jdc,1)2 .

После применения к уравнению (51) метода квазилинеаризации по Беллману (вспомогательный итерационный процесс) для (p + l)-ro приближения 7"/f,

= 0,1,2,...) функции имеем

Я 2Т(?-и) я гт(р+\)

= (52)

где функции 0^,(4,?) и F;)+1 выражаются через известные и 0„,(е).

Решение краевых задач для уравнений (52) при разных «р» выполняется по методике, аналогичной примененной в п.3.5. В качестве можно принять

вычисленную ранее функцию tr(i,,q).

Вспомогательный итерационный процесс считается законченным и принимается rrtl(t,,i;) = г/',*1'(§,(;), если выполнено условие

maxjzir1)^.,^)- , (53)

В п.6.3 приводятся результаты применения изложенного выше подхода при определении амплитуды безразмерного прогиба Iv[4) и температуры саморазогрева г(4,с) консольной полосы при заданном на краю 4 = 1 вибрационном смещении, для которого = v0 cosw t, iv(2' =0, v0 = const.

Выражения для функций е(Т) и ф(ю) принимались в виде

е[Т) ~ j[f(4,<;)- г]/'^ ^, ср(ш) = сар . Рассматривались два режима теплообмена с внешней средой, которым соответствуют значения 1) /, =12 *0 и 2) /,"' =0 ,12 Входные параметры имеют следующие значения: а = 1.0м, h = 0.02м, р=1214кГ/м3; Е0 = 5.789* 106Н/м2; tg5 =0.352; ц = 0.4;Р = 0.214;у = -3.21; 7; = -87.2°С; Тт=109°С;

Я., =0.15 Вт/(м*град);а, =1.969 Вт/(м2*град). Некоторые результаты ' вычислений, полученные для со =5; 7.5; 10; 20 и 30 с"1 при у0 = 0.75Л и у0 = й, = ег =5*10~3 для первого режима теплообмена приведены в табл. 4.

Таблица 4

Уо/Ь со, с"' тахТ Ш Форма IV Уо/Ь ю, с'1 тахТ МГ Форма №

5.0 0.02312 1 I 5.0 0.04114 1 I

7.5 0.2914 2 И 7.5 0.5267 2 11

0.75 10.0 0.6156 2 III 1.0 10.0 1.0945 2 III

20.0 0.8411 2 IV 20.0 1.5406 3 IV

30.0 12.671 5 V 30.0 29.936 10 V

В этой таблице указаны значения тахТ максимальной температуры саморазогрева, которая достигается при 4 = ? = 0, и максимальное число иш. итераций, необходимых для выполнения условия (50). Отметим, что для выполнения условия (53) требуется 2...4 итерации по методу квазилинеаризации при со ^ 20с'1 и 7 итераций при со = 30с'1. В этой же таблице в столбце значений "Форма IV" римскими цифрами помечены формы кривой IV = , которые для указанных значений со при у0 = к изображены на рис. 11.

Из результатов табл.4 следует, что в рассматриваемой задаче при со>10с"' нарушается пропорциональность величины тахТ квадрату характерного параметра внешнего воздействия, которая имеет место в несвязанных задачах.

Аналогичные результаты для второго режима теплообмена приведены в работе.

Как видно на рис.12, где для случая у0 =А,ш =30с-1 показано изменение по направлению £ амплитуды прогиба при разных режимах теплообмена, зависимость

Рис.11 Рис.12

свойств материала от температуры влияет на деформации, что не учитывается при несвязанной постановке задачи. Номера кривых на этом рисунке соответствуют номерам режимов теплообмена с внешней средой.

Вычислительные эксперименты показывают, что основные затраты машинного времени приходятся на численное решение краевых задач для уравнения (52), так как эти задачи решаются почти в 10 раз медленнее, чем краевые задачи для уравнений, определяющих функции ■ Поэтому в п.6.4 был рассмотрен модифицированный

вариант итерационного процесса, в котором при сохранении общей идеи, описанной в п.6.1. несколько видоизменяется решение тепловой задачи. Модификация состоит в том, что на (г + 1)-м шаге (г = 0,1,2...) итерационного процесса после определения функций \vWfe) (к = 1,2) и 2^1(4) краевая задача для уравнения (52) решается только один раз-при р = 0 и 7;(+°1)(4,1;) = Гг , <;). Полученное в результате решение 7^'} (с,, с) принимается за и далее аналогично выполняется следующий (г + 2)-й шаг.

Естественно, что условие (53) при этом не проверяется.

Этот алгоритм был применен для исследования формы колебаний и температуры саморазогрева при кинематическом возбуждении консольной полосы с теми же параметрами, что и в п. 6.3. Вычисления проводились для первого режима теплообмена (/, = /2 * о) при для значений со =5...45с'1.

Сравнение полученных значений с соответствующими значениями из табл.4 показывает, что они совпадают с точностью до трех значащих цифр. При этом, модификация алгоритма решения не приводит к увеличению числа итераций, необходимых для выполнения условия (50), а уменьшение общего числа решаемых задач для уравнения (52) делает численную реализацию алгоритма более быстрой.

В работе приведены графики изменения величины тахГ= г(о,о) в зависимости от частоты ш , которые показывают, что при со=5...45с"' консольная пластинка-полоса из термореологически простого материала при данном уровне кинематического возбуждения (у0 = /г) ведет себя как система с жесткой характеристикой. В рассматриваемом интервале изменения со имеются два критических значения частоты о' =9.1с"1 и «2 = 29.3 с"1, в окрестностях которых наблюдается повышение амплитуды прогиба и температуры саморазогрева При этом тахТ при

со = со2 получается больше, чем при ю = со*, что характерно для случая кинематического возбуждения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В рамках гипотез классической теории Кирхгофа-Лява построены полные системы разрешающих уравнений для определения НДС и температуры диссипативного разогрева при установившихся поперечных колебаниях пластинок и оболочек из линейного вязкоупругого материала, свойства которого зависят от частоты внешнего возбуждения и температуры. Уравнения получены без каких-либо предварительных предположений о законе изменения температуры по толщине оболочки. Этот закон определяется в процессе решения задачи.

Для пластинок и оболочек с независящими от температуры свойствами при некоторых дополнительных упрощающих предположениях получены точные аналитические решения для характеристик НДС и температуры саморазогрева. Эти решения могут служить эталоном при оценке эффективности различных приближенных, в том числе численных методов.

На основе единого методологического подхода разработаны эффективные методики численного решения широкого класса несвязанных задач о вибрационном изгибе пластинок и оболочек при сложных способах закрепления контура. При определении НДС по этим методикам двумерные краевые задачи методом разделения

переменных или методом коллокаций сводятся к краевым задачам для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Такой же подход применяется при исследовании тепловых полей пластинок и оболочек с внутренними источниками тепла, мощность которых задана численными значениями в отдельных регулярно расположенных точках. Для численного решения одномерных краевых задач используется метод дискретной ортогонализации С.К.Годунова, который обеспечивает получение практически точных результатов. При вибрационном изгибе оболочек на основании анализа результатов вычислительных экспериментов исследована погрешность решения за счет пренебрежения тангенциальными силами инерции.

Получены оценки погрешности, вносимой дополнительными гипотезами технической теории цилиндрических оболочек. Уточнены пределы применимости в задачах вибрационного изгиба оболочек гипотез теории пологих оболочек.

Исследовано влияние на НДС и температуру диссипативного разогрева различных способов закрепления объекта, изменения кривизны направляющей цилиндрических и относительной стрелы подъема пологих оболочек.

Предложен алгоритм метода последовательных приближений для решения связанной задачи о вибрационном изгибе пластинки-полосы, который реализован на примере конкретной задачи для полосы из термореологически простого материала. Рассмотрена « быстрая » модификация этого алгоритма.

Анализ результатов выполненных вычислительных экспериментов показал, что в случае вибрационного изгиба:

• для тонких пластинок и оболочек из вязкоупругого материала значительное повышение амплитуд характеристик НДС и температуры диссипативного разогрева имеет место только в узких зонах вблизи так называемых критических частот. За пределами этих зон, ширина которых увеличивается с ростом тангенса угла потерь tg5 материала, разогрев практически отсутствует;

• при исследовании НДС и теплового поля вязкоупругих оболочек обязателен учет инерционных слагаемых, соответствующих тангенциальным смещениям точек срединной поверхности. Предположение о малости тангенциальных сил инерции по сравнению с поперечными может коренным образом исказить спектр критических частот и картину распределения НДС и температуры. Поэтому результаты, полученные без учета таких сил, непригодны для расчета реальных конструкций;

» для сравнительно коротких цилиндрических оболочек ( Ь < 2.75яД -4- З.ОлЯ ) уравнения технической теории обеспечивают высокую точность результатов. Однако погрешность такого решения быстро растет с увеличением длины оболочки;

• для получения достоверных результатов по теории пологих оболочек в случае вязкоупругого материала на относительную стрелу подъема /0 (Л/'а = 0.02) должно быть наложено ограничение /0 ¿0.08-¡-0.10. При выполнении этого условия погрешность определения максимальной амплитуды прогиба не превосходит 5%. При больших значениях параметра /0 картина НДС и теплового поля может сильно исказиться.

Для весьма пологих оболочек (/02 0.0б) при расчетах кривизну срединной поверхности можно считать постоянной;

• в тонких пластинках, если теплообмен через лицевые плоскости происходит по закону Ньютона, распределение температуры по толщине пластинки с достаточной точностью можно считать равномерным. При иных условиях теплообмена закон изменения температуры по толщине становится нелинейным;

• в оболочках даже при симметричных условиях теплообмена на лицевых поверхностях, в том числе и при теплообмене по закону Ньютона, тепловое поле меняется по толщине по нелинейному закону. При этом максимум температуры саморазогрева может достигаться как при положительных, так и при отрицательных значениях нормальной координаты с,;

• учет зависимости свойств материала от температуры приводит к появлению дополнительных эффектов, которые не наблюдаются в несвязанных задачах. Например, в полосе из термореологически простого материала изменение условий теплообмена с внешней средой вызывает изменение прогибов. При этом в окрестностях критических значений частоты нарушаются линейная зависимость НДС и квадратичная зависимость температуры саморазогрева от величины характерного параметра внешнего возбуждения.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Недорезов П.Ф. Установившиеся поперечные колебания пластинки из вязкоупругого материала // Механика деформируемых сред: Межвуз. науч. сб. - Саратов: Изд-во Сарат. унта, 1979. - Вып.б. - С.27-34.

2. Недорезов П.Ф., Комаров М.Г. Установившиеся изгибные колебания вязкоупругой пластинки при разрывных условиях теплообмена с внешней средой // Механика деформируемых сред: Межвуз. науч. сб. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1979. - Вып.б. -С. 19-27.

3. Недорезов П.Ф. К определению температурного поля в полимерной цилиндрической оболочке при циклическом нагружении (техническая теория ) // Прикладная теория упругости: Межвуз. науч. сб. - Саратов: Сарат. политехи, ин-т, 1980. - С.28-33.

4. Недорезов П.Ф. Об определении температурного поля при вибрационном изгибе полимерной пластинки с шарнирно опертыми сторонами // Механика деформируемых сред: Межвуз. науч. сб.- Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1982. - Вып.7. - С.57-65.

5. Недорезов П.Ф. Расчет температуры саморазогрева при одном виде вибрационного загружения полимерной цилиндрической оболочки // Прикладная теория упругости: УГежвуз. науч. сб. - Саратов: Сарат. политехи, ин-т, 1982. - С.40-47.

6. Недорезов П.Ф. Установившиеся поперечные колебания вязкоупругой пластинки с звумя шарнирно опертыми сторонами // Механика деформируемых сред: Межвуз. науч. сб. -Маратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1983. - Вып.8. - С.114-125.

7. Недорезов П.Ф. Вибрационное осесимметричное нагружение полимерной оболочки фащения // Механика деформируемых сред: Межвуз. науч. сб. - Саратов: Изд-во Сарат. ун--а, 1985. - Вып.9. - С.100-113.

8. Недорезов П.Ф., Перегудов А.Б. К определению температуры саморазогрева при 'становившихся поперечных колебаниях полубесконечной полимерной пластинки "// Леханика деформируемых сред: Межвуз. науч. сб. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1985. -Зып.9 - С.79-85.

9. Недорезов П.Ф. О теплообразовании при установившихся колебаниях пологой оболочки [з вязкоупругого материала // Механика деформируемых сред: Межвуз. науч. сб. - Саратов: 1зд-во Сарат. ун-та, 1990. - Вып. 10. - С.92-96.

Ю.Недорезов П.Ф. Установившиеся колебания пологой сферической оболочки из вязкоупругого материала // Прочность конструкций в экстремальных условиях: Межвуз. науч. сб. - Саратов: Сарат. политехи, ин-т, 1992. - С.40-45.

11 .Недорезов П.Ф. К определению температурного поля при установившихся колебаниях пологой цилиндрической оболочки из полимерного материала // Механика деформируемых сред: Межвуз. науч. сб. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1993. - Вып.11. - С.61-69.

12.Недорезов П.Ф., Сироткина Н.М. Численно-аналитический метод решения краевой задачи для двумерного уравнения теплопроводности // Механика деформируемых сред: Межвуз. науч. сб. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1993. - Вып.11. - С.69-75.

13.Недорезов П.Ф., Сироткина Н.М. Численное решение задачи о вибрационном изгибе вязкоупругой пластинки с двумя шарнирно опертыми сторонами / Сарат. гос. ун-т. Саратов, 1994.- Юс. Деп. в ВИНИТИ 16.11.1994, № 2612-В94.

Н.Недорезов П.Ф. Применение двумерного кубического сплайна при численном решении краевой задачи для уравнения теплопроводности с внутренними источниками тепла / Сарат. гос. ун-т. Саратов, 1994. - 12с. Деп. в ВИНИТИ 23.12.1994, № 3013 - В94.

15.Недорезов П.Ф. Численное исследование осесимметричного вибрационного изгиба вязкоупругой оболочки вращения // Тезисы докладов междунар. конференции "Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте" - С.-Петербург: Изд-во ПГУПС, 1995. -С. 107-109.

1 б.Недорезов П.Ф. О вибрационном изгибе некруговой цилиндрической оболочки из вязкоупругого материала // Механика деформируемых сред: Межвуз. науч. сб. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1995. - Вып.12. - С.43-50.

П.Недорезов П.Ф. Метод сплайн-коллокации в задаче о вибрационном изгибе вязкоупругой пластинки при сложном закреплении краев // Тр. 6-й Межвуз. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, 29-31 мая 1996 г. - Самара: Изд-во Самарск. гос. техн. ун-та, 1996. - Ч. 1. - С.64-66.

18.Недорезов П.Ф. Применение В-сплайнов в задаче определения НДС при установившихся колебаниях прямоугольной пластинки из вязкоупругого материала / Сарат. гос. ун-т. Саратов, 1994. - 12с. Деп. в ВИНИТИ 04.04.1997, №1093 - В97.

19.Недорезов П.Ф., Вильде М.В., Сироткина Н.С. Определение температуры саморазогрева при установившихся поперечных колебаниях вязкоупругой пластинки для случая сложного закрепления контура // Механика деформируемых сред: Межвуз. науч. сб. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. - Вып.13. - С.66-72.

20.Недорезов П.Ф. Определение теплового поля при вибрационном изгибе пологой вязкоупругой оболочки с двумя шарнирно опертыми сторонами // Тр. 7-й Межвуз. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, 28 - 30 мая 1997г. - Самара: Изд-во Самарск. гос. техн. ун-та, 1997.-Ч.1.-С.93-96.

21.Недорезов П.Ф. О численном методе решения стационарной краевой задачи теплопроводности для пологой оболочки с внутренними источниками тепла // Тезисы докладов 7-й Четасвской конференции " Аналитическая механика, устойчивость и управление движением ", Казань, 10— 13 июня 1997 г. - Казань: Изд-во Казан, гос. техн. унта, 1997.-С. 153.

22.Недорезов П.Ф. Об определении НДС при циклическом нагружении некруговой цилиндрической оболочки из вязкоупругого материала // Тр. XVIII Международной конф. по теории оболочек и пластин, Саратов , 29 сентября - 4 октября 1997 г. - Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 1997. - Т.З. - С.141-146.

23.Недорезов П.Ф., Сироткина Н.М. Численные методы исследования установившихся колебаний вязкоупругих прямоугольных пластинок и круговых цилиндрических оболочек: Учебное пособие. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. - 70с.

24.Недорезов П.Ф. Определение НДС при вибрационном изгибе пологой вязкоупругой оболочки с двумя шарнирно опертыми сторонами // Проблемы прочности материалов и

конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами: Межвуз. науч. сб. - Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 1998. - С.62-66.

25.Недорезов П.Ф. Численное исследование НДС при вибрационном изгибе пологой вязкоупругой оболочки // Тр. Международной конф. «Современные проблемы концентрации напряжений», Донецк, 21 - 25 июня 1998 г. - Донецк, 1998. - С.173-178.

26.Недорезов П.Ф., Сироткина Н.С. Алгоритм численного решения связанной задачи термовязкоупругости об установившихся поперечных колебаниях бесконечной пластинки-полосы // Математика, механика и их приложения: Материалы науч.-практ. конф. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1998. -С.47.

27.Недорезов П.Ф. Численные методы решения стационарной тепловой задачи для пластинок и оболочек с внутренними источниками тепла. // Тезисы докладов XVII Международной конф. «Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов», С.-Петербург, 22-25 июня 1999г. - С.Петербург: НИИХ СПбГУ, 1999. - С. 110-111.

28.Недорезов П.Ф. О влиянии тангенциальных сил инерции и погрешность технической теории в задачах вибрационного изгиба цилиндрической вязкоупругой оболочки // Материалы II Белорусского конгресса по теоретической и прикладной механике «Механика-99», Минск, Беларусь, 28 - 30 июня 1999г. - Минск, 1999. - С.341-342.

29.Недорезов П.Ф. Методы определения НДС в несвязанных задачах вибрационного изгиба пластинок и оболочек // Сб. докладов XIX Международной конф. по теории оболочек и пластин, Н.Новгород, 28 - 30 сентября 1999 г. - Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 1999. - С.145-149.

30.Nedorezov P.F., Sirotkina N.M. Numerical solution of problems on vibrational bending of polimeric plate // Тезисы докладов 17 Междунар. Регион. Симпозиума по реологии, Саратов, 27 игоня-1 июля 1994 г. - М.: Изд-во Моск. ин-та стали и сплавов, 1994. - С. 70.

31.NedorezovP.F., Sirotkina N.M., Sirotkina N.S. Definition of cylindrical polymer panel temperature field using numerical - analytical method // Third International Congress on thermal stresses «Thermal Stresses-99», Cracow, Poland, June 13-17, 1999. - Cracow University of Technology, Poland, 1999. - p.p.222-224.

НЕДОРЕЗОВ Петр Феодосьевич

ВИБРАЦИОННЫМ ИЗГИБ ВЯЗКОУПРУГИХ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК В РАМКАХ МОДЕЛИ КИРХГОФА-ЛЯВА

Автореферат Ответственный за выпуск Т.Ю. Ярошенко Корректор Л.А. Скворцова

Лицензия ЛР № 020271 от 15.11.96

Подписано в печать 03.10. 00

Формат 60x84 1/16 Уч.-изд.л. 2,0

Бесплатно

Бум. тип. Тираж 100 экз.

Усл.-печ.л. 2,09

Заказ 411

Саратовский государственный технический университет

410054 г. Саратов, ул. Политехническая, 77

Копипринтер СГТУ, 410054 г. Саратов, ул. Политехническая, 77

Введение

ГЛАВА 1. Основные уравнения и соотношения вибрационного изгиба вязкоупругих пластинок и оболочек

1.1. Вибрационный изгиб пластинки

1.2. Осесимметричный вибрационный изгиб оболочки вращения

1.3. Основные уравнения и соотношения задачи о вибрационном изгибе цилиндрической оболочки

1.4. Постановка задачи и основные уравнения вибрационного изгиба пологой оболочки

1.5. Граничные условия для НДС и температуры

ГЛАВА 2. Вибрационный изгиб прямоугольных пластинок

2.1. Установившиеся колебания шарнирно опертой по контуру пластинки ( аналитическое решение )

2.2. Определение теплового поля пластинки при разрывных условиях теплообмена с внешней средой

2.3. Решение типа М. Леви для НДС пластинки при шарнирном опирании двух противоположных сторон (симметричный случай)

2.4. Решение типа М. Леви для НДС пластинки при шарнирном опирании двух противоположных сторон (несимметричный случай)

2.5. НДС пластинки при краевом вибрационном воздействии

2.6. Анализ аналитического решения тепловой задачи для пластинки с двумя шарнирно опертыми сторонами

2.7. Численный метод определения НДС пластинки при шарнирном закреплении двух противоположных сторон

2.8. Численно-аналитический метод решения стационарной тепловой задачи для двумерного уравнения теплопроводности с источниками тепла

2.9. Примеры численного исследования тепловых полей пластинок с двумя опертыми сторонами

2.10. Применение В-сплайнов в задаче определения НДС пластинки при сложном закреплении контура

2.11. Примеры определения НДС при сложном закреплении контура пластинки

2.12. Применение двумерного кубического сплайна при численном решении стационарной краевой задачи для трехмерного уравнения теплопроводности

2.13. Примеры решения тепловой задачи при сложном закреплении контура пластинки

2.14. О вибрационном изгибе пластинки из материала с зависящими от частоты свойствами 108 Выводы по главе

ГЛАВА 3. Осесимметричный изгиб оболочек вращения

3.1 Установившиеся осесимметричные колебания круговой цилиндрической оболочки со свободно опертыми краями (аналитическое решение)

3.2. Численное определение НДС оболочки вращения при осесимметричном вибрационном изгибе

3.3. Результаты численного исследования НДС при осесимметричном вибрационном нагружении круговой цилиндрической и конической оболочек

3.4. Численное исследование НДС при установившихся осесимметричных колебаниях усеченной сферической оболочки

3.5. Численный метод исследования осесимметричного теплового поля оболочки вращения

3.6. Тепловое поле при осесимметричном вибрационном изгибе цилиндрической, конической и сферической оболочек 135 3.7 О влиянии кривизны образующей на НДС и тепловое поле 144 Выводы по главе

ГЛАВА 4. Исследование установившихся колебаний цилиндрических оболочек 150 4.1 Основные уравнения несвязанной задачи о вибрационном изгибе вязкоупругой цилиндрической оболочки

4.2. Установившиеся колебания круговой цилиндрической оболочки со свободно опертыми краями ( аналитическое решение )

4.3. Численный метод решения уравнений несимметричного вибрационного изгиба круговой оболочки

4.4. Об определении теплового поля при несимметричном вибрационном изгибе круговой оболочки

4.5. Численное определение НДС некруговой оболочки с шарнирно опертыми криволинейными краями

4.6. Численное решение тепловой задачи для некруговой оболочки с шарнирно опертыми криволинейными краями 176 4.7 Примеры расчета НДС и теплового поля оболочек со свободно опертыми криволинейными краями

4.8. Определение НДС некруговой цилиндрической оболочки при произвольном закреплении краев

4.9. Тепловое поле некруговой оболочки при произвольном закреплении краев 194 В ыводы по главе

ГЛАВА 5. Вибрационный изгиб пологих оболочек

5.1 Установившиеся колебания пологой круговой цилиндрической оболочки при свободном опирании контура ( аналитическое решение)

5.2 Исследование НДС пологой оболочки с двумя свободно опертыми криволинейными сторонами

5.3 Исследование теплового поля пологой оболочки с свободно опертыми криволинейными сторонами

5.4 Метод определения НДС при вибрационном изгибе произвольной пологой оболочки

5.5 Исследование теплового поля произвольной пологой оболочки 225 Выводы по главе

ГЛАВА 6. Связанная задача о вибрационном изгибе пластинки - полосы из вязкоупругого материала

6.1. Постановка задачи и основные уравнения

6.2. О численной реализации итерационного процесса

6.3. Консольная пластинка - полоса при заданном вибрационном перемещении на незакрепленном крае

6.4. Модификация алгоритма итерационного процесса 246 Выводы по главе

В различных отраслях современной техники в качестве конструкционных материалов широкое применение находят полимеры и изготовленные на их основе композиты. В отличие от традиционных материалов типа металлов и их сплавов для полимеров уже при обычной температуре характерны явления ползучести деформаций и релаксации напряжений. Поэтому расчет полимерных конструкций следует вести с учетом указанных особенностей, что можно сделать лишь на основе уравнений вязкоупругости или вязкопластичности.

Теория вязкоупругости как инженерная наука сформировалась только в середине XX века, хотя отдельные закономерности вязкоупругого поведения некоторых материалов были экспериментально обнаружены более 150 лет тому назад.

Первые работы, в которых отмечается эффект изменения деформации во времени при действии постоянной нагрузки, принадлежат Вика [210], Веберу [212, 213] и Кольраушу [191]. Основное положение теории вязкоупругости о зависимости деформации в данный момент времени от всей истории предшествующего нагружения было сформулировано JI. Больцманом [178] в 1874 г. Ему же принадлежат уравнения зависимости между напряжениями и1 деформациями в изотропном вязкоупругом теле при пространственном нагружении. Эти уравнения на случай анизотропного вязкоупругого тела были обобщены в 1909 году В. Вольтерра [211]. Им же были изложены основы идеи применения решения задачи идеально упругого тела для получения решения соответствующей задачи вязкоупругости. Теоретическое обоснование данного подхода было завершено Ю.Н. Работновым [153] и названо им принципом Вольтерра. Принцип Вольтерра широко применяется для решения самых разнообразных задач, например, для исследования вопроса о концентрации напряжений вблизи отверстий при изгибе пластинок из вязкоупругого материала [158]. 7

Практически адекватный методу Вольтерра подход, основанный на применении интегрального преобразования Лапласа, используется зарубежными исследователями под названием принципа соответствия.

Методам расчета конструкций из вязкоупругих материалов посвящены многочисленные статьи в различных журналах, как отечественных, так и зарубежных, и монографии Д. Бленда [9], Дж. Ферри [171], Р. Кристенсена [101], А.Р. Ржаницына [157], Ю.Н. Работнова [154, 155], А.К. Малмейстера, В.П. Тамужа и Г.А. Тетерса [106], В.В. Москвитина [109, 110], П.М. Огибалова, В.А. Ломакина и Б.П. Кишкина [144] и др.

Одной из отличительных особенностей вязкоупругих материалов от идеально упругих является их способность к рассеиванию энергии, следствием чего становится возможным высокий уровень саморазогрева конструкций из таких материалов при некоторых режимах деформирования, например, при длительном гармоническом нагружении. Исследование таких процессов началось только в 60-х годах ХХ-го столетия. По-видимому, первой публикацией на эту тему на русском языке является статья В.В. Москвитина [108]. Вскоре ( 1964 г. ) выходит перевод статьи Р.А. Шепери [175], в которой обсуждаются вопросы диссипативного разогрева в полимерном материале. Практически одновременно с этой работой была опубликована статья Л.А. Галина [22], где приведено в квазистатической постановке аналитическое решение задачи о взаимодействии механического и теплового полей при продольных гармонических колебаниях полимерного стержня, и работа С.Б. Ратнера и В.И. Коробова [156], посвященная вопросу саморазогрева при циклическом нагружении пластмасс.

Эти работы привлекли внимание широкого круга исследователей, работающих в ' области механики деформируемого твердого тела, результатом чего явились многочисленные публикации, в которых приводились решения различных задач. Так в работах [23, 24] рассматривалась в квазистатической постановке задача о вибрационном изгибе полимерной балки. В [149] получено приближенное решение (без учета сил инерции) задачи о теплообразовании при колебаниях круглой 8 вязкоупругой пластинки. Крутильные колебания стержней ( полых цилиндров ) рассматривались в [205, 206], а продольные - в [207-209].

Публикуются результаты экспериментальных исследований [176, 174, 169, 170, 203, 204, 104, 105].

В 1969 г. были опубликованы первые обзоры [159, 90] уже достаточно многочисленных исследований в этом направлении, а в 1970 г. вышла монография А.А. Ильюшина и Б.Е. Победри [48], в которой последовательно и математически строго сформулированы основные положения термовязкоупругости.

В последующие годы исследования в области термовязкоупругости интенсивно продолжались. Так, например, крутильные колебания полимерных стержней изучались в работах [13, 14, 16, 10, 148, 140-142], плоская задача рассматривалась в [15]. Задача о продольных колебаниях стержня из "нормального" вязкоупругого материала решалась в [21], а с учетом волнового характера распространения тепла на основе закона теплопроводности Максвелла - в [17]. Задача о вибрационном нагружении вязкоупругой сферы изучается в [187]. Нестационарная задача определения температуры разогрева в бесконечной полосе, когда на постоянное среднее напряжение накладывается меняющаяся во времени по гармоническому закону вибрационная добавка, исследовалась в [167]. Общим вопросам деформирования резиноподобных материалов посвящена статья [198]. Продолжается публикация результатов экспериментальных исследований, например, [186, 201, 177, 202, 150] и др.

Наиболее планомерно и направленно разработка различных аспектов проблемы термовязкоупругости, на наш взгляд, проводилась и проводится коллективом ученых Института механики им. С.П. Тимошенко Национальной Академии Наук Украины. Так задачи о крутильных колебаниях полого и сплошного цилиндров рассмотрены в [88, 56], волновые процессы в вязкоупругих объектах изучались в [89, 92, 59]. Продольные и поперечные колебания вязкоупругих стержней при различных вариантах силового и кинематического воздействий рассматривались в работах [88, 57, 63, 37, 98, 99, 55,40, 35, 36] и др. 9

Большое внимание уделялось вопросам колебаний тонкостенных элементов конструкций из вязкоупругих материалов. В работе [87] впервые дана общая постановка задачи о взаимодействии полей деформации и температуры вязкоупругой изотропной оболочки. Колебания круглых и прямоугольных пластинок рассматривались в работах [93, 82, 45] и др. Задачам поведения ортотропных вязкоупругих оболочек посвящены статьи [91,97].

Одновременно ведется разработка приближенных и численных методов решения задач термовязкоупругости для тел различной конфигурации [54, 55, 58, 41, 60, 62, 42, 43, 94] и др. Большое внимание уделяется общим теоретическим положениям механики поведения вязкоупругих тел [95, 96, 61, 64, 163-165] и др., Проводятся также исследования по смежным вопросам. В частности, для расчета элементов электронных приборов, изготовленных из пьезокерамик, выполняется большой цикл исследований по электро-термовязкоупргости [66,69, 71, 72, 81] и др.

Эти и многие другие результаты, полученные до 1990 года, обобщены в фундаментальных монографиях [67, 68, 70, 73, 74]. В этих монографиях также приведена обширная библиография, в том числе даются многочисленные ссылки на работы иностранных авторов.

В последнее десятилетие вопросы вязкоупругого поведения элементов конструкций, в том числе и вопросы термовязкоупругости, остаются предметом изучения многими авторами.

Продолжаются экспериментальные исследования, на основании которых строятся новые модели, уточняющие картину динамического поведения полимерных и резиноподобных материалов при различных видах нагружения [192, 179, 181-183, 189, 190, 188] и др. Рассматриваются новые, более сложные по постановке задачи. Например, задачи о деформации многослойных конструкций [ 5, 6, 4, 38, 39, 34], о действии периодической во времени импульсной нагрузки [46], о разогреве полого и сплошного вязкоупругого цилиндра при движении по его поверхности нормальной нагрузки [77-79]. Решаются задачи оптимизации, например, [151, 184]. Дальнейшее развитие получает проблема термовязкоупругости для предварительно деформированных конструкций [75, 172, 49] и

10 др. Продолжается разработка общих вопросов вязкоупругости [200, 65, 103], анализируется влияние вязкоупругих свойств материалов на переходный режим установления вынужденных колебаний [102]. Проводится изучение поведения вязкоупругих конструкций по различным уточненным теориям [195,193]. Выполняется большой цикл исследований о поведении при гармоническом возбуждении элементов конструкций из пьезокерамики и ферромагнитных материалов [12, 83-85, 76, 86].

При решении задач широко используются различные численные методы, в том числе итерационные [146], методы граничных [185] и конечных [199, 194] элементов и др.

Тем не менее, до настоящего времени остается достаточно широкий круг вопросов, которые ждут своего обсуждения. Например, в абсолютном большинстве известных нам работ по колебаниям вязкоупругих пластинок и оболочек задача определения теплового состояния решается в предположении, что температура по толщине объекта меняется по линейному закону или постоянна ( см., например, [67, 68, 70, 73, 74] ). Эта гипотеза, обычно принимаемая в задачах термоупругости, при изучении колебаний вязкоупругих пластинок и оболочек, в которых мощность источников тепла за счет диссипации энергии нелинейно меняется по толщине, требует дополнительной проверки.

В литературе отсутствуют точные аналитические решения для некоторых сравнительно простых ( модельных ) задач, которые могли бы служить тестовыми при оценке эффективности приближенных методов решения.

Несмотря на большое количество примеров применения при решении конкретных задач различных численных методов, не разработаны эффективные методики численного решения широкого класса задач вибрационного изгиба вязкоупругих пластинок и оболочек при сложных способах закрепления контура.

Требуют уточнения пределы применимости в случае вязкоупругого материала известных гипотез технической теории цилиндрических и гипотез теории пологих оболочек.

11

Несомненный теоретический и практический интерес представляют вопросы о влиянии на напряженно-деформированное состояние (НДС) и тепловое поле меридиональных и окружных сил инерции при установившихся поперечных колебаниях ( вибрационном изгибе ) вязкоупругой оболочки.

Приведенный далеко не полный обзор литературы и сделанные выше замечания свидетельствуют о большой актуальности проблемы колебаний вязкоупругих тел и о том, что она еще далека от завершения.

Научная новизна. В работе дан вывод полных систем разрешающих интегро-дифференциальных уравнений, представляющих математические модели задач об установившихся поперечных колебаниях пластинок и оболочек из линейного вязкоупругого материала, свойства которого зависят от температуры, при произвольном законе изменения последней по толщине объекта.

В случае материала с независящими от температуры свойствами (несвязанные задачи) получены точные аналитические решения для характеристик НДС и температуры саморазогрева пластинок и оболочек при некоторых простых способах закрепления контура.

На основе единого методологического подхода предложены эффективные методики численного решения широкого класса решения несвязанных задач о вибрационном изгибе вязкоупругих пластинок и оболочек при сложных способах закрепления контура.

По результатам вычислительных экспериментов сделаны выводы о существенной роли окружных и меридиональных сил инерции в задачах вибрационного изгиба вязкоупругих оболочек. Уточнены пределы применимости известных гипотез технической теории цилиндрических оболочек и гипотез теории пологих оболочек в рассматриваемых задачах.

Разработаны два варианта алгоритма численного решения связанной задачи о вибрационном изгибе бесконечной пластинки-полосы из термореологически простого материала.

12

На основании результатов вычислений сделаны выводы о характере распределения температуры саморазогрева колеблющегося объекта в зависимости от условий теплообмена с внешней средой.

Достоверность полученных результатов обеспечивается

• в аналитических решениях - строгостью математической постановки задач и обоснованным применением соответствующего математического аппарата;

• при численном решении - хорошим совпадением результатов для модельных задач, а также близостью для одних и тех же задач значений, полученных различными численными методами.

Практическая значимость. Результаты работы носят в основном теоретический характер. Вместе с тем разработанные методики могут найти применение при решении широкого класса практических задач о вибрационном изгибе пластинок и оболочек из вязкоупругого материала.

Методики численного решения стационарных краевых задач для двух- и трехмерного уравнения с источниками тепла, мощность которых задана численными значениями в дискретных регулярно расположенных точках, могут быть использованы также при решении задач для пластинок и оболочек из идеально упругого материала.

Результаты проведенных исследований положены в основу специального курса по термовязкоупругости и спец. семинара по численным методам решения краевых задач для студентов, специализирующихся по Кафедре математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета.

Предлагаемые в работе методики определения тепловых полей пластинчатых и оболочечных конструктивных элементов с внутренними источниками тепла применяются при расчетах тепловых характеристик изделий, разрабатываемых в Научно-производственном центре «Алмаз-фазотрон» ( г. Саратов ).

Апробация работы. Основные результаты докладывались на • 17-м Международном региональном симпозиуме по реологии (Саратов, 1994г.);

13

• 1-й и 2-й Саратовских международных летних школах по механике сплошной среды (Саратов, 1994 и 1996г.);

• Международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (С.-Петербург, 1995г.);

• 6-й и 7-й Межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1996 и 1997 г.);

• 7-й Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 1997г.);

• 18-й и 19-й Международных конференциях по теории оболочек и пластин (Саратов, 1997г.; Н. Новгород, 1999г.);

• Научно-практической конференции ВЦ Саратовского университета «Математика, механика и их приложения» (Саратов, 1997г.);

• Международной конференции «Современные проблемы концентрации напряжений» (Украина, Донецк, 1998г.);

• 3-м Международном конгрессе по температурным напряжениям «Thermal Stresses-99» (Польша, Краков, 1999г.);

• 2-м Белорусском конгрессе по теоретической и прикладной механике «Механика-99» (Беларусь, Минск, 1999г.);

• 17-й Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов» (С.-Петербург, 1999г.);

• на научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета под руководством профессора Коссовича Л.Ю.

На защиту выносятся

• полные системы интегро-дифференциальных уравнений, описывающих связанные задачи о взаимодействии полей деформаций и температуры при вибрационном изгибе пластинок, оболочек вращения (при осесимметричном нагружении), цилиндрических (круговых и некруговых) и пологих оболочек,

14 изготовленных из вязкоупругого материала. Указанные системы получены без каких-либо предварительных предположений о характере изменения установившейся температуры по толщине колеблющегося объекта;

• точные аналитические решения несвязанных модельных задач для некоторых частных случаев нагружения и закрепления пластинок и оболочек;

• базирующиеся на единой методологии эффективные численные методики решения несвязанных задач вибрационного изгиба вязкоупругих пластинок и оболочек при сложных способах их закрепления;

• оценки влияния на значения критических частот, характеристик НДС и температуры саморазогрева окружных и меридиональных составляющих сил инерции;

• уточненные пределы применимости в задачах вибрационного изгиба технической теории цилиндрических оболочек и гипотез пологости для пологих оболочек из вязкоупругого материала;

• основанные на методе последовательных приближений два варианта алгоритма численного решения связанной задачи о вибрационном изгибе бесконечной пластинки-полосы из термореологически простого материала;

• некоторые выводы о характере изменения теплового поля по толщине колеблющегося объекта в зависимости от условий теплообмена с внешней средой.

В соответствии с указанными выше целями в настоящей работе рассматриваются методы исследования установившихся напряженно-деформированного состояния (НДС) и теплового поля вязкоупругих пластинок и оболочек при действии на них поперечной нагрузки интенсивности q, меняющейся во времени по гармоническому закону 2 g(a,M) = Z^a5P)cos[cor-(£-l)u/2]. (В.1) к=1

Здесь a = х, Р = у - декартовы координаты на срединной плоскости пластинки; для оболочки а и Р отсчитываются вдоль линий главной кривизны ее срединной поверхности.

15

Аналогичный закон изменения во времени принимается и для краевых возмущений.

При выводе полной системы разрешающих уравнений в каждой задаче деформации считаются малыми и предполагается справедливость гипотез Кирхгофа для пластинок или гипотез Кирхгофа-Лява для оболочек. Следствием этих гипотез является линейный закон изменения деформаций по толщине объекта.

В качестве исходных зависимостей между компонентами тензоров напряжений и деформаций в точке с координатами а,(3,у ( у - координата по нормали к срединной плоскости пластинки или срединной поверхности оболочки ), принимаются соотношения линейного закона вязкоупругости в виде

1 ' ~

Тсф = 2~(1 + ц) МГ'со'/~т)е«р(а'(3'у'т)й?т (а<=>Р)> в которых Г = Г(а,|3,у) - установившаяся температура, еа>ер>есф относительные удлинения и сдвиг для направлений а, Р в точке (а,р,у), коэффициент Пуассона ц = const.

При записи уравнений (В.2) приняты предположения, соответствующие гипотезе о термореологически простом поведении материала [67, стр.71], при этом, как и в [67, стр.85], влияние теплового расширения на температурное поле саморазогрева при действии нагрузки (В.1) не учитывается.

Все характеристики НДС, соответствующие нагрузке (В.1), представляются в виде 2

Z(a, (3,у, t) = ]Г Zw (а, р, у ) cos[co t - (к -1) я/2]. (В.3) к=\

Поэтому после подстановки в (В.2) вместо напряжений и деформаций соответствующих представлений типа (В.З) и интегрирования по т получается

16 тсф

1-Ц >1 2

1 \ Z (- О7"1 Ej+k! (а о Р; к = 1,2),

В.4)

2(1 + ц) где через Ех и Е2 обозначены составляющие комплексного модуля материала

В.5)

Для определения максимально возможной температуры саморазогрева колеблющегося объекта при вычислении мощности источников тепла, появляющихся вследствие диссипации энергии и распределенных по объему объекта, принимается, что вся работа внешних сил при деформировании единичного объема переходит в тепло. Так как еау = еру = 0 в соответствии с гипотезами Кирхгофа ( или Кирхгофа-Лява ), то работа А внешних сил при деформации единичного объема пластинки ( или оболочки ) за один цикл деформирования вычисляется по формуле

Г I два деЦ аеоф) ,

2я/о) dt р dt up dt ; и

Тогда для мощности £>(а,(3,у) источника тепла в точке (а,р,у) получаем + . (В.6)

2я 0J V " dt ~р dt ap dt

Как следует из формулы (В.6) с учетом характера распределения напряжений и деформаций по толщине объекта, функция £?(а,Р,у) по переменному у будет меняться по квадратичному или более сложному закону, обращаясь в ноль (для пластинок) или достигая минимума (для оболочек) на срединной поверхности. Поэтому уравнение теплопроводности для осредненной по времени за один цикл колебаний стационарной температуры Г(а,Р,у) записываем как трехмерное для пластинки

17

В.7) для оболочки [147]

В.8) r;g(a,p,y) = 0, где Ах,А2 - параметры Ламе, Ra- главные радиусы кривизны срединной поверхности оболочки, X - коэффициент теплопроводности материала.

Указанные предположения и соотношения без повторных ссылок принимаются при постановке и решении всех рассмотренных ниже задач.

В первой главе дается физическая постановка и выводятся основные формулы и уравнения задач об установившихся поперечных колебаниях пластинок и оболочек из вязкоупругого материала, следующего закону деформирования в виде (В.2). Рассмотрены колебания пластинок, осесимметричные колебания оболочек вращения, колебания круговых и некруговых цилиндрических и прямоугольных в плане пологих оболочек. В каждом случае получена полная система разрешающих уравнений относительно составляющих НДС и температуры саморазогрева. Эта система записывается в двух вариантах: в смешанной форме, в том смысле, что в ней в качестве неизвестных присутствуют составляющие как внутренних усилий и моментов, так и проекций вектора смещений, и в перемещениях, когда составляющие усилий и моментов из уравнений исключены.

Отметим, что при такой постановке задачи для любого варианта записи полная система разрешающих уравнений представляет собой сложную систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, точное аналитическое решение которой вызывает непреодолимые математические затруднения.

В главах II - V представлены методы и результаты исследований для пластинок и оболочек, изготовленных из материала, свойства которого не зависят от температуры Т ( несвязанные задачи ). В этом случае составляющие Ек (к = 1,2) комплексного модуля и выражающиеся через них составляющие комплексных

18 жесткостей на растяжение и изгиб становятся постоянными ( зависимость от частоты (D не исключается ), а жесткость взаимного влияния растяжения и изгиба обращается в ноль. При этом задача из нелинейной интегро-дифференциальной превращается в линейную дифференциальную, которая распадается на две последовательно решаемые задачи. Первая из них состоит в нахождении НДС и вычислении по этому НДС мощности источников тепла, распределенных по объему объекта. Вторая сводится к краевой задаче для стационарного уравнения теплопроводности, решение которой определяет тепловое поле объекта.

Заметим, что и' в этом случае задача остается достаточно сложной, так как порядок системы дифференциальных уравнений для определения составляющих НДС в два раза превышает порядок соответствующей системы для пластинки (оболочки) из идеально упругого материала.

Для простых способов закрепления ( две противоположные стороны прямоугольной пластинки подкреплены шарнирами, торцевые сечения замкнутой круговой цилиндрической оболочки или периметр пологой оболочки, перекрывающей прямоугольный план, свободно оперты ) эти задачи допускают точное аналитическое решение. При более сложных способах закрепления границы и для некруговых оболочек приходится применять специально разработанные численные методы.

В шестой главе рассматриваются два варианта численной реализации метода последовательных приближений для решения связанной задачи об установившихся колебаниях бесконечной пластинки-полосы. Вычислительные эксперименты выполнены для консольной пластинки из термореологически простого материала при заданной амплитуде смещения свободного от закрепления края.

При разработке методик численного решения для определения НДС мы старались сохранить единый подход, который базируется на понижении размерности исходной задачи либо методом разделения переменных, либо приближенно [139]. В последнем случае из множества методов, применяемых при решении задач для пластинок и оболочек из идеально упругого материала ( метод прямых, методы типа Власова-Канторовича [51], метод интегральных

19 соотношений А. А Дородницына [44], различные модификации метода вариационных итераций [80], метод полных систем [152, 8] и др.), предпочтение отдается методу коллокации. Полученные таким образом краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка записываются в нормальной форме Коши и решаются численно устойчивым методом дискретной ортогонализации С. К. Годунова [25]. Многочисленные примеры применения этого метода при решении разнообразных задач статики и динамики идеально упругих пластинок и оболочек, приведенные, например, в [28, 53], показывают, что метод С. К Годунова обеспечивает получение практически точных результатов.

Так как при численном решении задачи о НДС значения характеристик напряжений и деформаций вычисляются лишь в отдельных точках, то и функция Q(а,Р ,у) определяется только для дискретной области значений (а,|3,у). Поэтому для решения тепловой задачи потребовалась разработка численных методов определения теплового поля при дискретном задании мощности источников тепла. Эти методы [137], основанные на аппроксимации функции одномерными или двумерными кубическими сплайнами или В-сплайнами и последующем применении метода разделения переменных или метода коллокации, приведены в соответствующих параграфах.

Эффективность применяемых численных методов проверялась на модельных задачах, для которых имеется точное аналитическое решение или известно приближенное решение, полученное другим способом.

Основные результаты приводятся для критических значений частоты внешнего возбуждения, при которых все характеристики НДС достигают максимума. В задачах, где получается спектр критических частот, найдены первые три из них, и при этих частотах приводятся значения характеристик НДС и температуры в выбранных точках.

20

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В рамках гипотез классической теории Кирхгофа-Лява построены полные системы разрешающих уравнений для определения НДС и температуры диссипативного разогрева при установившихся поперечных колебаниях пластинок и оболочек из линейного вязкоупругого материала, свойства которого зависят от частоты внешнего возбуждения и температуры. Уравнения получены без каких-либо предварительных предположений о законе изменения температуры по толщине оболочки. Этот закон определяется в процессе решения задачи.

Для пластинок и оболочек с независящими от температуры свойствами при некоторых дополнительных упрощающих предположениях получены точные аналитические решения для характеристик НДС и температуры саморазогрева. Эти решения могут служить эталоном при оценке эффективности различных приближенных, в том числе численных методов.

На основе единого методологического подхода разработаны эффективные методики численного решения широкого класса несвязанных задач о вибрационном изгибе пластинок и оболочек при сложных способах закрепления контура. При определении НДС по этим методикам двумерные краевые задачи методом разделения переменных или методом коллокаций сводятся к краевым задачам для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Такой же подход применяется при исследовании тепловых полей пластинок и оболочек с внутренними источниками тепла, мощность которых задана численными значениями в отдельных регулярно расположенных точках. Для численного решения одномерных краевых задач используется метод дискретной ортогонализации С.К.Годунова, который обеспечивает получение практически точных результатов.

251

При вибрационном изгибе оболочек на основании анализа результатов вычислительных экспериментов исследована погрешность решения за счет пренебрежения тангенциальными силами инерции.

Получены оценки погрешности, вносимой дополнительными гипотезами технической теории цилиндрических оболочек. Уточнены пределы применимости в задачах вибрационного изгиба оболочек гипотез теории пологих оболочек.

Исследовано влияние на НДС и температуру диссипативного разогрева различных способов закрепления объекта, изменения кривизны направляющей цилиндрических и относительной стрелы подъема пологих оболочек.

Предложен алгоритм метода последовательных приближений для решения связанной задачи о вибрационном изгибе пластинки-полосы, который реализован на примере конкретной задачи для полосы из термореологически простого материала. Рассмотрена « быстрая » модификация этого алгоритма.

Анализ результатов выполненных вычислительных экспериментов показал, что в случае вибрационного изгиба

• для тонких пластинок и оболочек из вязкоупругого материала значительное повышение амплитуд характеристик НДС и температуры диссипативного разогрева имеет место только в узких зонах вблизи так называемых критических частот. За пределами этих зон, ширина которых увеличивается с ростом тангенса угла потерь tg5 материала, разогрев практически отсутствует;

• при исследовании НДС и теплового поля вязкоупругих оболочек обязателен учет инерционных слагаемых, соответствующих тангенциальным смещениям точек срединной поверхности. Предположение о малости тангенциальных сил инерции по сравнению с поперечными может коренным образом исказить спектр критических частот и картину распределения НДС и температуры. Поэтому результаты, полученные без учета таких сил, непригодны для расчета реальных конструкций;

• при решении задач для сравнительно коротких цилиндрических оболочек

252 L <2.757iT?-^-3.07ii? ) уравнения технической теории обеспечивают высокую точность результатов. Однако погрешность такого решения быстро растет с увеличением длины оболочки;

• для получения достоверных результатов по теории пологих оболочек в случае вязкоупругого материала на относительную стрелу подъема /0 (hja = 0.02) должно быть наложено ограничение /0 < 0.08 н-0.10. При выполнении этого условия погрешность определения максимальной амплитуды прогиба не превосходит 5%. При больших значениях параметра /0 картина НДС и теплового поля может сильно исказиться;

Для весьма пологих оболочек (/0 < 0.06) при расчетах кривизну срединной поверхности можно считать постоянной;

• в тонких пластинках, если теплообмен через лицевые плоскости происходит по закону Ньютона, распределение температуры по толщине пластинки с достаточной точностью можно считать равномерным. При иных условиях теплообмена закон изменения температуры по толщине становится нелинейным;

• в оболочках даже при симметричных условиях теплообмена на лицевых поверхностях, в том числе и при теплообмене по закону Ньютона, тепловое поле меняется по толщине по нелинейному закону. При этом максимум температуры саморазогрева может достигаться как при положительных, так и при отрицательных значениях нормальной координаты <;;

• учет зависимости свойств материала от температуры приводит к появлению дополнительных эффектов, которые не наблюдаются в несвязанных задачах. Например, в полосе из термореологически простого материала изменение условий теплообмена с внешней средой вызывает изменение прогибов. При этом в окрестностях критических значений частоты нарушаются линейная зависимость НДС и квадратичная зависимость температуры саморазогрева от величины характерного параметра внешнего возбуждения.

253

1. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек-М.:Физматгиз, 1961. 384с.

2. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1967. - 268с.

3. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек.-М.: Наука, 1974. -448с.

4. Бабков А.В. Исследование слоистых ортотропных оболочек вращения из вязкоупругих термореологически сложных материалов. // Прикл. механика. 1998.- 34, №8. С.82-90.

5. Бабков А.В., Рассказов А.О. Численное исследование вязкоупругого деформирования слоистых оболочек вращения // Мех. композит, матер. 1993. -29, №3. - С.367-374.

6. Бабков А.В., Рассказов А.О. Численное исследование вязкоупругого деформирования слоистых оболочек вращения // Прикл. механика. 1994. - 30, №1. - С.26-32.

7. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968.- 184с.

8. Беспалова Е.И. Об одном подходе к исследованию свободных колебаний упругих элементов // Прикл. механика. 1988.-24, №1- С.43-48.

9. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. М.: Мир, 1965. - 200с.

10. Венгренюк Ю.А. Термоэлектромеханическое поведение составной пьезоэлектрической кольцевой пластины с учетом температурной деполяризации материала // Доп. Нац. АН Украши. 1998. - №2 - С.65.

11. Вермишян Г.Б., Галин JI.A. Кручение вязкоупругого призматического стержня при действии вибрационной нагрузки // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. - № 5. -С.130-133.

12. Вермишян Г.Б. Кручение вязкоупругого составного призматического стержня под действием вибрационной нагрузки // Изв. АН Арм. ССР, Механика. 1974. -27, № 1, - С.48-62.

13. Вермишян Г.Б. Распределение температуры в пластинке с эллиптическим отверстием из вязкоупругого материала под действием вибрационной нагрузки // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1975. - 28, № 5, - С.3-13.

14. Вермишян Г.Б., Мелтонян Б.А. Кручение вязкоупругого призматического ортотропного стержня под действием вибрационной нагрузки. // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1977. - 30, № 2. - С.36-50.

15. Викторова И.В. О зависимости тепловыделения от параметров циклического деформирования // Изв. АН СССР, МТТ. 1981. - №4. - С. 110-114.

16. Власов В.З. Новый практический метод расчета складчатых покрытий и оболочек // Строительная промышленность. 1932. - №11. - С.33-38; №12. - С.21-26.

17. Власов В.З. Основные дифференциальные уравнения общей теории оболочек // ПММ,- 1944. -8, №2. -С. 109-140.

18. Власов В.З. Общая теория оболочек М.: Гостехиздат, 1949.-784с.

19. Ворович И.И., Иванов Н.В., Павлик Д.А. и др. О некоторых вопросах термо-вязкоупругости одно- и двухфазных сред // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1978. - Вып. 16. - С.3-9.

20. Галин JI.A., Пириев Н.П. Изгиб балок из полимерного материала под действием вибрационной нагрузки // Инж. журн. Механика твердого тела. -1978-№ 4. С.207-210.

21. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1961.-16, №3-С.171-174.

22. Гольденвейзер А.Л. Теория тонких упругих оболочек- М: Наука, 1970. 280с.

23. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.-М.: Наука, 1971. 1108с.

24. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Теория оболочек переменной жесткости-Киев: Наук. Думка, 1981. 544с. - (Методы расчета оболочек: В 5-ти т.; Т.4 ).

25. Григоренко Я.М., Беренов М.Н. Решение двумерных задач об изгибе прямоугольных пластин на основе метода сплайн-аппроксимации // Докл. АН УРСР, Сер .А. 1987. - №8.- С.22-25.

26. Григоренко Я.М., Захарийченко Л.И. К решению задачи о напряженном состоянии некруговых цилиндрических оболочек переменной толщины // Прикл. механика. 1998. - 34, №12. - С.26-33.

27. Григоренко Я.М., Беспалова Е.И., Китайгородский А.Б. Динамическое деформирование слоистых оболочек из вязкоупругого материала // Прикл. механика. 1999. - 35, №1. - С.58-62.256

28. Зб.Гринченко В.Т., Карнаухов В.Г., Сенченков И.К. Напряженно-деформированное состояние и температурное поле сплошного вязкоупругого конечного цилиндра при его кинематическом возбуждении // ДАН УРСР. Сер. А .1974. №2. - С.150-154.

29. Гринченко В.Т., Карнаухов В.Г., Сенченков И.К. Влияние краевых эффектов на температурное поле саморазогрева цилиндрического амортизатора конечной длины // Тепловые напряжения в элементах конструкций 1975. - Вып. 15. - С.24-29.

30. Гринченко В.Т., Карнаухов В.Г., Сенченков И.К. Напряженно-деформированное состояние и разогрев вязкоупругого цилиндра с ограничениями по торцам // Прикл. механика. 1975. - 11, №4. - С.27-36.

31. Гуляев Ю.П., Никонов А.В. Изгиб круглой пластинки с вязкоупругим слоем под действием внезапно приложенной к центру сосредоточенной силы // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. -Вып.13. - С.12-18.

32. Гуменюк Б.П. О влиянии изгибных колебаний на температуру вязкоупругого стрежня // Вюник Кшв. ун-ту. Сер. мат. та мех. 1972 .- №14. - С.100-105.

33. Гуменюк Б.П., Карнаухов В.Г., Сенченков И.К. Методы расчета критических тепловых состояний в связанных задачах термовязкоупругости // Всесоюз. симпоз. «Теория мех. переработки полимер. Материалов ».: Тезисы докл. Пермь, 1976. -С.41-42.

34. Гуменюк Б.П., Карнаухов В.Г. О приближенном расчете критических тепловых состояний в связанных динамических задачах термовязкоупругости // ДАН УРСР. Сер. А. 1977. - №10. - С.903-907.

35. Дорофеев В.И., Моргунов Б.И., Трояновский И.Е. Вынужденные колебания упруговязкой пластины с учетом тепловыделения при деформировании // Прикладные проблемы прочности и пластичности 1978. - Вып.8. - С.117-125.

36. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970. - 280с.

37. Кабриц В.Г., Слепнева Л.В. Малые неосесимметричные колебания вязкоупругого амортизатора, несущего массивное тело // Вестн. С. Петербург, унта. Сер. 12, - 1998. - С.78-85.

38. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512с.51 .Канторович Л.В. Один прямой метод приближенного решения задачи о минимуме двойного интеграла // Изв. АН СССР. Отд. мат. и ест. наук. 1933. - №5. - С.647-653.

39. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М., • Л.: Физматгиз, 1962.-708с.

40. Кармишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных обол очечных конструкций. М.: Машиностроение, 1975. -376с.

41. Карнаухов В.Г. О приближенном методе решения динамических задач термовязкоупругости // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1972. -Вып. 12 - С.27-35.

42. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Численное решение задач о вынужденных колебаниях вязкоупругих тел // Прикл. механика. 1974. - 10, №6. - С.43-48.258

43. Карнаухов В.Г., Гуменюк Б.П., Киричок И.Ф. Термомеханическое поведение вязкоупругого цилиндра при вынужденных крутильных колебаниях // ДАН УРСР. Сер. А. 1975. - №4. - С.338-342.

44. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Термомеханическое поведение вязкоупругих тел с независящими от температуры свойствами при циклических нагрузках // Проблемы прочности. 1975. - №6.- С.6-21.

45. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф., Гуменюк Б.П. Методы квазилинеаризации и ЦЛИ в связанных динамических задачах термовязкоупругости // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1975. - Вып. 15. - С.36-44.

46. Карнаухов В.Г., Козлов В.И., Кучер Н.К. Тепловой удар по поверхности полого вязкоупругого цилиндра // ДАН УРСР. Сер. А. 1975. - №9. - С.798-803.

47. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. О методе квазилинеаризации в связанных динамических задачах термовязкоупругости // Механика полимеров. 1976. - №2. -С.310-316.

48. Карнаухов В.Г., Козлов В.И., Сенченков И.К. Обобщенный принцип минимума преобразованной энергии в задачах о динамическом поведении вязкоупругих тел // Всесоюз. симпоз. "Теория мех. переработки полимер, материалов". Тезисы докл. Пермь:- 1976.-С.60.

49. Карнаухов В.Г., Сенченков И.К. Приближенные методы расчета критических тепловых состояний // Прикл. механика. 1976. - 12, №4 - С.18-25.

50. Карнаухов В.Г., Сенченков И.К. Термомеханическое поведение вязкоупругой призмы при циклическом растяжении-сжатии // ЖПМТФ. 1976. - №1. - С. 149156.

51. Карнаухов В.Г. Основные соотношения теории малых вязкоупругих деформаций, наложенных на конечные, для термореологически простых '' материалов // Прикл. механика. 1977. - 13, №11.- С.3-12.

52. Карнаухов В.Г. Термодинамическая теория обобщенных термореологически простых ферромагнитных материалов с затухающей памятью // Прикл. механика. -1999. 35, №1- С.45-49.259

53. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Термоэлектромеханическое поведение вязкоупругих пьезокерамических тел при гармоническом возбуждении // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1980. - Вып.20. - С.6-10.

54. Карнаухов В.Г. Связанные задачи термовязкоу пру гости Киев: Наук, думка, 1982.-260с.

55. Карнаухов В.Г., Сенченков И.К., Гуменюк Б.П. Термомеханическое поведение вязкоупругих тел при гармоническом нагружении. Киев: Наук, думка, 1985. -288 с.

56. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Уточненная теория слоистых вязкоупругих пьезокерамических оболочек с учетом теплообразования // Прикл. механика-1985. -21, №6. С.53-60.

57. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Связанные задачи теории вязкоупругих пластин и оболочек. Киев: Наук, думка, 1986. - 224с.

58. Карнаухов В.Г., Козлов В.И. Конечноэлементный метод решения задач термоэлектровязкоупругости для тел вращения при гармоническом нагружении // Прикл. механика. 1986. - 22, №7. - С.9-17.

59. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Термомеханическая теория слоистых вязкоупругих оболочек с пьезоэффектом, поляризованных вдоль одной координатной линии // Прикл. механика. 1986. - 22, №11. - С.71-78.

60. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Электротермовязкоупругость. В кн. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т 4- Киев: Наук, думка, 1988. 320с.

61. Карнаухов В.Г., Гуменюк Б.П. Термомеханика предварительно деформированных вязкоупругих тел. Киев: Наук, думка, 1990.-304с.

62. Карнаухов В.Г., Гуменюк Б.П. Упрощенные термомеханические модели предварительно деформированных несжимаемых вязкоупругих тел при учете квадратов углов поворота // Прикл. механика. 1994. - 30, №4-С.65-73.

63. Карнаухов В.Г., Лелюх Ю.И. К постановке задачи о резонансных колебаниях и диссипативном разогреве пьезомагнитных керамических тел // Прикл. механика. -1998. 34, №9. - С.3-8.260

64. Карнаухов В.Г., Ревенко Ю.В. Диссипативный разогрев сплошного вязкоупругого цилиндра при установившемся движении по его поверхности нормальной нагрузки // Прикл. механика. 1998. - 34, №6. - С.39-44.

65. Карнаухов В.Г., Ревенко Ю.В. Диссипативный разогрев полого вязкоупругого цилиндра при установившемся движении по его поверхности нормальной нагрузки // Пробл. прочности. 1999. - №2. - С.67-73.

66. Карнаухов В.Г., Ревенко Ю.В. Тепловой взрыв в сплошном вязкоупругом цилиндре при установившемся движении по его поверхности нормальной нагрузки // Доп. Нац. АН Украши. 1999. - №2. - С.64-68.

67. Киричок И.Ф. Продольные колебания и разогрев стержня из нелинейного вязкоупругого материала с пьезоэффектом // Прикл. механика. 1987. - 23, №11. -С.83-91.

68. Киричок И.Ф., Карнаухов В.Г. Термомеханическое поведение гибких вязкоупругих пластин и оболочек при циклических нагрузках // Проблемы прочности.- 1979.-№3.-С. 10-14.

69. Киричок И.Ф., Венгренюк Ю.А. О термоэлектромеханическом гармоническом поведении оболочек вращения из пьезоактивных материалов с учетом их температурной зависимости и деполяризации // Прикл. механика. 1998. - 34, №4.- С.48-52.

70. Киричок И.Ф., Карнаухова Т.В., Венгренюк Ю.А. О влиянии тепловой деполяризции на термоэлектромеханическое поведение кольцевой пластинки из вязкоупругого пьезоматериала при гармоническом нагружении // Прикл. механика.- 1998. 34, №6. - С.85-91.

71. Киричок И.Ф., Венгренюк Ю.А. О влиянии тепловой деполяризции и термомеханической связанности на гармонические колебания и диссипативный261разогрев конических оболочек из пьезокерамики // Прикл. механика. 1998. - 34, №8. - С.62-67.

72. Киричок И.Ф., Карнаухова Т.В. Квазистатическая задача термовязкоупругости частично деполяризованного пьезокерамического цилиндра при гармоническом нагружении // Прикл. механика. 1999. - 35, №3. - С.42-48.

73. Коваленко А.Д., Карнаухов В.Г. Уравнения и решения некоторых задач теории вязкоупругих оболочек // Тепловые напряжения в элементах конструкций 1967. -Вып. 7.-С. 11-24.

74. Коваленко А.Д.', Карнаухов В.Г. О теплообразовании в вязкоупругих телах из материала с резонансной дисперсией // ДАН УРСР. Сер. А. 1968. - № 11. — С.1029-1033.

75. Коваленко А.Д., Карнаухов В.Г., Тюптя В.И. Распространение волн в неограниченной вязкоупругой среде с учетом термомеханического сопряжения // Прикл. механика. 1968. - 4, №9 - С. 1-8.

76. Коваленко А.Д. Развитие исследований в области термоупругости, термопластичности и термовязкоупругости // Прикл. механика. 1969. - 5, №12. - С. 1-16.

77. Коваленко А.Д., Карнаухов В.Г., Кильчинский А.А. О теплообразовании в ортотропных вязкоупругих цилиндрических оболочках при поперечных колебаниях // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1970. - Вып. 10. -С.5-11.

78. Коваленко А.Д., Тюптя В.И. Распространение продольных волн в вязкоупругом цилиндре с учетом термомеханического сопряжения // Прикл. механика. 1970. - 6, №1. - С.3-9.

79. Коваленко А.Д., Карнаухов В.Г. О колебаниях вязкоупругих пластин при механических и тепловых воздействиях // ДАН УРСР. Сер. А. 1971. - №6. - С.543-547.

80. Коваленко А.Д., Карнаухов В.Г. Динамические задачи для подкрепленных вязкоупругих цилиндра и сферы // Прикл. механика. 1971. - 12, №12. - С.3-10.

81. Коваленко А.Д. Карнаухов В.Г. Линеаризованная теория термовязкоупругости // ДАН УРСР. Сер. А. 1972. - №1. - С.69-73.262

82. Коваленко А.Д., Карнаухов В.Г. Линеаризованная теория термовязкоупругости // Механика полимеров. 1972. - №2. - С.214—221.

83. Коваленко А.Д., Карнаухов В.Г. Об основных особенностях поведения вязко-упругих ортотропных оболочек из обобщенного термореологически простого материала // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1972. - Вып. 12. - С.5-18.

84. Коваленко А.Д., Карнаухов В.Г., Яковлев Г.А. и др. Нагрев вязкоупругого стержня при его поперечных колебаниях // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1972. - Вып. 12. - С.96-99.

85. Коваленко А.Д., Карнаухов В.Г., Яковлев Г.А. и др. О теплообразовании в вязкоупругих стержнях при вынужденных поперечных колебаниях // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1973. - Вып. 13. - С. 11-13.

86. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.:Наука,1969. - 455с.

87. Ю1.Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974. - 340с.

88. Ю4.Максимов Р.Д., Уржумцев Ю.С. Виброползучесть полимерных материалов // Механика полимеров. 1968 - №2. - С.246-254.

89. Максимов Р.Д., Уржумцев Ю.С. Виброползучесть полимерных материалов. Полиэтилен. Неизотермический режим деформирования // Механика полимеров-1968.-№3.-С.413^20.

90. Юб.Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетере Г.А. Сопротивление жестких полимерных материалов. Рига.: Зинатне, 1967. - 398с.

91. Ю7.Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. - 456с.

92. ЮБ.Москвитин В.В. Температурные напряжения вследствие внутреннего трения материалов // Изв. вузов, физика. 1960. - №6. - С.20-28.263

93. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972. -328с.

94. Недорезов П.Ф., Комаров М.Г. Установившиеся изгибные колебания вязко-упругой пластинки при разрывных условиях теплообмена с внешней средой // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1979. - Вып.6. -С. 19-27.

95. Недорезов П.Ф. К определению температурного поля в полимерной цилиндрической оболочке при циклическом нагружении ( техническая теория ) // Прикладная теория упругости. Саратов: Изд-во Сарат. политехи, ин-та, 1980. -С.28-33.

96. Недорезов П.Ф. Об определении температурного поля при вибрационном изгибе полимерной пластинки с шарнирно опертыми сторонами // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1982. - Вып.7. - С.57-65.

97. Недорезов П.Ф. Расчет температуры саморазогрева при одном виде вибрационного нагружения полимерной цилиндрической оболочки // Прикладная теория упругости. Саратов: Изд-во Сарат. политехи, ин-та, 1982. - С.40-47.

98. Недорезов П.Ф. Установившиеся поперечные колебания вязкоупругой пластинки с двумя шарнирно опертыми сторонами // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1983. - Вып.8. - С.114-125.

99. Недорезов П.Ф. Вибрационное осесимметричное нагружение полимерной оболочки вращения // Механика деформируемых сред.: Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1985. -Вып.9. - С.100-113.

100. Недорезов П.Ф., Перегудов А.Б. К определению температуры саморазогрева при установившихся поперечных колебаниях полубесконечной полимерной264пластинки // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1985. - Вып.9. - С.79-85.

101. Недорезов П.Ф. О теплообразовании при установившихся колебаниях пологой оболочки из вязкоупругого материала // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1990. - Вып. 10. - С.92-96.

102. Недорезов П.Ф. Установившиеся колебания пологой сферической оболочки из вязкоупругого материала // Прочность конструкций в экстремальных условиях. -Саратов: Изд-во Сарат. политехи, ин-та, 1992. С.40-45.

103. Недорезов П.Ф. К определению температурного поля при установившихся колебаниях пологой цилиндрической оболочки из полимерного материала // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1993. - Вып.11. - С.61-69.

104. Недорезов П.Ф., Сироткина Н.М. Численно-аналитический метод решения краевой задачи для двумерного уравнения теплопроводности // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1993. - Вып.11. - С.69-75.

105. Недорезов П.Ф., Сироткина Н.М. Численное решение задачи о вибрационном изгибе вязкоупругой пластинки с двумя шарцирно опертыми сторонами // Сарат. гос. ун-т. Деп. в ВИНИТИ 16.11.1994, № 2612 В94 - Юс.

106. Недорезов П.Ф. О вибрационном изгибе некруговой цилиндрической оболочки из вязкоупругого материала // Механика деформируемых сред. Саратов:> Изд-во Сарат. ун-та, 1995. - Вып. 12. - С.43-50.

107. Недорезов П.Ф. Применение В-сплайнов в задаче определения НДС при установившихся ' колебаниях прямоугольной пластинки из вязкоупругого материала // Сарат. гос. ун-т. Деп. в ВИНИТИ 04.04.1997, №1093 В97. - 12с.

108. Недорезов П.Ф., Сироткина Н.М. Численные методы исследования установившихся колебаний вязкоупругих прямоугольных пластинок и круговых266цилиндрических оболочек. Учебное пособие. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. -70с.

109. Недорезов П.Ф. Численное исследование НДС при вибрационном изгибе' пологой вязкоупругой оболочки // Тр. Международной конф. «Современные проблемы концентрации напряжений».( Донецк, 21-25 июня 1998 г. ). Донецк: 1998. - С.173-178.

110. Николаев В.Б. К задаче об установившихся крутильных колебаниях вязкоупругих цилиндров // Прикладные проблемы прочности и пластичности. -1982. Вып. 21. - С.89-93.

111. Николаев В.Б. О теплообразовании при установившихся крутильных колебаниях вязкоупругого цилиндра // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1982. - Вып.7. - С. 126-134.

112. Николаев В.Б. О крутильных колебаниях вязкоупругой трубы с присоединенной массой // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та,1982. Вып. 7. - С.140-145.

113. Павлов С.М., Светашков Ф.Ф. Итерационный метод решения задач линейной вязкоупругости // Изв. вузов, физика. 1993. - 36, №4. - С.129-136.

114. Шдстригач Я.С., Ярема С.Я. Температуры напруження в оболонках. Кшв: Вид-во АН УРСР, 1961. - 212с.

115. Пириев Н.П. Действие циклически изменяющейся сдвигающей нагрузки на вязкоупругие материалы // Техн. тэрэгг и урунда. За техн. прогресс. 1972. - №1. -С.38-39.

116. Пириев Н.П. Изгиб круговой пластинки из полимерного материала под действием вибрационной нагрузки // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. - №4- С. 155157.

117. Поликарпов Ю.И., Рудаков А.П., Бессонов М.И. Установка для измерения комплексного динамического модуля Юнга полимеров // Заводская лаборатория. -1976. -№12 С.1517-1519.

118. Почтман Ю.М., Чуханин С.В., Шульга С.А. Оптимальное проектирование цилиндрических композитных оболочек при динамическом нагружении // Мех. композит, матер. 1993. - 29, №3. - С.361-366.268

119. Прокопов В.Г., Беспалова Е.И., Шеренковский Ю.В. Об одном новом методе математического исследования процессов переноса // Промышленная теплотехника. 1979. - №2. - С.33-41.

120. Работнов Ю.Н. Равновесие упругой среды с последействием // ПММ. 1948. -12, №1.-С.53-62.

121. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций М.: Наука, 1966. — 752с.

122. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977.-383С.

123. Ратнер С.Б., 'Коробов В.И. Саморазогрев пластмасс при циклической деформации // Механика полимеров. 1965. - №3. - С.93-100.

124. Ржаницын А.Р. Теория ползучести М.: Стройиздат, 1968.-416с.

125. Савин Г.В. Распределение напряжений вокруг отверстий. Киев: Наук, думка, 1968.-888с.

126. Савин Т.Н. Развитие исследований в области реологии и механики полимерных материалов // Прикл. механика. 1969. - 5, №11.- С. 1-12.

127. Самарский А.А. Теория разностных схем.- М.: Наука, 1977.-656с.

128. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.:, Наука, 1978.-592с.

129. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы.-М.: Наука, 1989. 430с.

130. Сенченков И.К., Карнаухов В.Г. Вариационные принципы для изотермических задач нелинейной вязкоупругости // ДАН УРСР. Сер. А 1977. -№10. - С.912-915.

131. Сенченков И.К. Приближенная постановка связанных задач нелинейной термовязкоупругости при гармонических воздействиях // Прикл. механика. 1985. -21, №2.-С.91-99.

132. Сенченков И.К., Карнаухов В.Г., Козлов В.И., Червинко О.П. К вопросу о простом деформировании в задаче о колебаниях и разогреве нелинейных вязкоупругих тел // Прикл. механика. 1986. - 22, №9. - С.82-90.269

133. Сошественская Jl.А. О вибрационном изгибе длинной прямоугольной пластинки из полимерного материала // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. Вып. 4. - С.9-17.

134. Суворова Ю.В. Тепловыделение при циклическом деформировании наследственных сред // Изв.АН СССР.МТТ. 1979. - №1.- С. 108-112.

135. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки.-М.: Наука, 1963.-635с.

136. Уржумцев Ю.С., Максимов Р.Д. Виброползучесть полимерных материалов // Механика полимеров. 1968. - №1. - С.34-44.

137. Уржумцев Ю.С., Путане А.В., Калнрозе З.В. Термоползучесть полиэтилена при циклических тепловых воздействиях // Механика полимеров. 1968. - №3. -С.421-427.

138. Ферри Дж. Вязкоупругие свойства полимеров М.: 1963. - 535с.

139. Фролов Н.Н. Вынужденные колебания предварительно деформированных вязкоупругих тел при гармоническом догружении // Наука Кубани. Сер. Пробл. физ. мат. моделир. Естеств. и техн. н. - 1998. - №2. - С.51-55.

140. Холл Дж., Уатг Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1979. - 312с.

141. Хуань Н., Ли Е. Термомеханически взаимосвязанное поведение вязкоупругих стержней при циклическом нагружении // Тр.Амер. о-ва инженеров-механиков. Сер.Е. Прикл. мех. 1967. -34, №3. - С.57-62.

142. Шепери Р. А. Влияние циклического нагружения на температуру вязкоупругого материала с изменяющимися свойствами. // Ракет, техника и космонавтика. 1964. - 2, №5- С.55-66.

143. Шепери Р. А. Термомеханическое поведение вязкоупругих сред с переменными свойствами при циклическом нагружении // Тр.Амер. о-ва инженеров-механиков. Сер.Е. Прикл.мех. 1965. - 32, №3. - С.150-151.

144. Яковлев Г.А., Гончаров Л.П., Гурский Н.Г. Экспериментальное исследование вязкоупругих свойств полимерного связующего // Прикл. механика. 1970. - 6, №1. - С.57-61.270

145. Boltzman L. Zur Theorie der elstischen Nachwirkung // Sitzungsber. Math. Naturwiss. Kl.Kaiserl. Akad. Wiss. 1874. -№70 (2). -S. 275.

146. Cavaterra C., Grasselli M. Identifying memory kernels in linear thermoviscoelastisity of Boltzmann type // Mathematical models and methods in applied sciences. 1994. - 4, №4. - p.p.807-842.

147. Douglas J., Dupont T. Collocation methods for parabolic equations in a single space variable -New-York: Springer, 1974.

148. Drozdov A.D. A constituve model in thermoviscoelastisity // Mechanical Research Communications. 1996 - 23, №5. - p.p.543-548.

149. Drozdov A.D. The non-isothermal behavoir of polymers. A model of adaptive links // European Journ. of Mechanics A-solids 1997. - 16, №6. - p.p.947-972.

150. Drozdov A.D. A model for non-isothermal viscoelastic behavoir of polymers // Polymer engineering and science. 1997.-37, №12. -p.p.1983-1997.

151. ForysA.S. Optimization of axially loaded beam on a foundation // J. Sound and Vibr. 1994 - 178, №5. - p.p.607-613.

152. Gaul L., Schunz M. Dynamics of viscoelastic solids treated by boundary element approaches in time domain // European Journ. of Mechanics A-solids 1994.-13, №4-p.p.43-59.

153. Joel S.R. Quantitative structural interpretation of the dynamical properties of cristalline polymers // Amer. Chem. Soc. Polym. Prepr. 1976. - 17, №2 -p.p.l 11.

154. Johnson A.F. Heat generation due to cyclic loading of viscoelastic hollow sphere //' Jn: Creep in structures, Berlin, Springer-Verlag. 1972. - p.p.220-231.

155. Holzapfel G., Simo J. A new viscoelastic constitutive model for continuous media at finite thermomechanical changes // International Journ. of Solids and Structers, -1996.-33, №20 22. - p.p.3019-3034.

156. Huang Honwei Thin-wflled spherical shell of Kelvin solid subjected to periodic pressure // Diqiu kexue:Zhongguo dizhi daxue xuebao. 1998. - 23, №3. - p.p.326-328.

157. Kamle S., Upreti S., Awasthi V., Singh M., Iyenger N., Kumar A. Experimental correlations of mechanical properties of joints and transverse vibrations in PMMA beams // Journ. of Applied Polymer Science. 1996. - 60, №3. - p.p.343-352.271

158. Kohlrausch R. Nachwirkung an Seide und Glassfaden 11 Pogg. Ann. 1841 -Bd.72. -S. 393.

159. Lazzary В., Vuk E. Constituve equations and quasi-static problem in linear thermoviscoelastisity // International Journ. of Engineering Science 1992. - 30, №4. -p.p.533-544.

160. Manola D. Variational theorems in linear theory of micropolar viscoelasticity // Bui. Inst. polytechn.lasi.Sec.l. 1992.-38, №1^1. -p.p.75-83.

161. Mola F., Pisani M. Linear viscoelastic analysis of Mindlin plates // Euromech. I-st Eur. SolidMech. Conf. (Munchen, Sept. 9-13, 1991).Abst.Sl -p.p.130-131.

162. Payne A.R. Hysteresis in rubber vulcanizates // J. Polym.Sci. 1974. - №48. -p.p. 169-196.

163. Ramesh T.C., Ganesan N. Finite element analysis of cylindrical shells with a constrained viscoelastic layes // J. Sound and vibr. 1994. - 172, №3. -p.p.359-370.

164. Reese Stefanie, Govindjee Sanjay A theoriy of finite viscoelasticity and numerical aspects // Int. J. Solids and Struct. 1998. - 35, №26-27. - p.p.3455-3482.

165. Sanui K., Mc.Knight W.J. Dynamic mechanical properties of polypentenamers with pendant ionic groups and hydrogenated derivatives // Brit. Polym. J. 1976 - 8, №1. -p.p.22-28.272

166. Sarti G.C. Testing thermodynamics constitutive equations for polymers by adiabatic deformation experiments // J. Nonlinear Fluid Mech. 1977. - 3, №1. - p.p.65-76.

167. Schappery R.A. Effect of cyclic loading on the temperanure in viscoelastic media with variable properties // AIAA J. 1964. - 2, №5. - p.p.827-835.

168. Schappery R.A., Cantey D.E. Thermomechanical respopnse studies of solid propellants subjected to cyclic and random loading // AIAA J. 1966. - 4, №2 - p.p.255-264.

169. Tauchert T.R. The temperature generated during torsional oscillations of polyethylene rods // Int. J. Ing. Sci. 1967. - 4, №5. - p.p.353-365.

170. Tauchert T.R., Afzal S.M. Heat generated during torsional oscillations of polymethylmethacrylate tubes // J. Appl. Phys. 1967. - 38, №12. - p.p.4568-4572.

171. Ting E.C. Stress analysis for viscoelsatic cylynders // AIAA J. 1970. - 8, №1. -p.p. 18-22.

172. Ting E.C. Thermomechanical coupling effects in the longitudinal oscillations of a viscoelastic cylinder // J. Acount. Soc. Amer. -1972. 52, №3. -p.p.928-934.

173. Ting E.C. Dissipation function of viscoelastic material with temperaturedependent properties // J. Appl. Phys. 1973. - 44, №11.t

174. Vicat L. Note sur 1 allongement progressif du fil de fer soumis a diverses tensions // Ann. Ponts et Chausees. 1834, sem.l.

175. Volterra V. Sulle equazione integrodifferenziali della teoria della elasticita н Atti Reale Accad. Lincei. 1909. -№18(2). -p.295.

176. Weber W. Uber die Elastizitat des Seidenfaden // Annalen der physik und chemie (Pogg. Ann.). 1835. - Bd.34. - p.p.247-257.

177. Weber W. Uber die Elastizitat fester Korper. // Pogg. Ann. 1841. - Bd.54. - S.l-18.