автореферат диссертации по строительству, 05.23.01, диссертация на тему:Устойчивость стержневых конструкций сферических оболочек в форме выпуклых многогранников

На правах рукописи

Лонг Кимсуор

устойчивость стержневых конструкции сферических оболочек в форме выпуклых многогранников

Специальность 05.23.01 - Строительные конструкции, здания и сооружения

автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Ростов-на-Дону 2006

Работа выполнена на кафедре металлических, деревянных и пластмассовых конструкций Ростовского государственного строительного университета.

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Журавлев Александр Александрович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Молев Игорь Васильевич

кандидат технических наук, доцент Токарев Александр Альбертович

Ведущая организация:

ОАО «Ростовский Промзернопроект»

Защита состоится «26» сентября 2006 г. в 13°° часов на заседании диссертационного совета Д 212.207.02 при Ростовском государственном строительном университете по адресу: 344022, г. Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162, корпус 1, ауд. 232.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ростовского государственного строительного университета.

Автореферат разослан « » сентября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Постоянное расширение областей применения многогранных куполов определяет целесообразность проведения исследований, направленных на совершенствование конструктивных форм и методов расчета таких систем, а также на выявление перспектив их рационального использования в строительной отрасли.

На несущую способность оболочечных конструкций покрытий зданий и сооружений оказывают существенное влияние начальные неправильности формы их срединной поверхности. Для куполов, имеющих конфигурацию выпуклых многогранников, это обстоятельство приобретает первостепенное значение, поскольку сама сферическая оболочка заменяется в этом случае пространственной точечной решеткой с различной степенью размельчения конструктивной сети на сфере. Даже небольшие отклонения от проектных геометрических размеров отдельных панелей купола неизбежно должны приводить к заметным искажениям формы срединной поверхности описанной около многогранника сферической оболочки.

В связи с этим становится актуальным решение проблемы устойчивости сферических оболочек с учетом случайного характера образования и развития вмятин на ее поверхности.

Цель диссертационной работы - разработка методики расчета на устойчивость стержневых конструкций многогранных куполов и тонкостенных сферических оболочек, подверженных действию равномерного внешнего давления и имеющих начальные неправильности формы срединной поверхности.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

— изучить процесс образования и развития одиночной вмятины в зоне расположения начальной погиби оболочки под действием равномерного радиального давления;

— разработать методику расчета на устойчивость упругих систем в виде стержневых многогранников на основе метода метаморфоз;

— произвести анализ местной устойчивости стержневых конструкции в форме выпуклых многогранников;

— провести теоретические и. экспериментальные исследования деревянных конструкций пирамидальных элементов купола на прощелкивание при действии радиальных сил.

Научную новизну работы составляют:

1. Метод определения параметров выпучивания конструкции тонкостенной сферической оболочки в условиях упругой работы ее материала и новые данные о величине нижней критической нагрузки;

2. Методика расчета на местную устойчивость стержневых конструкций многогранных куполов с учетом упругой податливости контура пирамидальных элементов;

3. Развитие теории устойчивости пространственных стержневых конструкций в форме выпуклых многогранников на основе метода метаморфоз.

Автор защищает:

— алгоритм определения геометрических параметров пространственных точечных решеток, соответствующих конструктивным сетям геодезических куполов;

— расчетные зависимости для исследования устойчивости сферической оболочки, находящейся под равномерным внешним давлением с учетом влияния начальных несовершенств формы ее срединной поверхности;

— рекомендации по расчету на устойчивость стержневых многогранников на основе метода метаморфоз;

— результаты исследования местной устойчивости стержневых конструкций куполов в форме выпуклых многогранников;

— методику и результаты экспериментального исследования местной устойчивости пирамидальных элементов купола клеефанерной конструкции.

Достоверность результатов исследований основывается на использовании современных математических моделей и методов, подтверждается теоретическими положениями, сформулированными на основе законов механики де-

формируемых тел, а также экспериментальными данными испытаний конструкции.

Практическое значение и внедрение результатов работы состоит в разработке методики исследования процесса образования и развития одиночной вмятины, являющейся следствием наличия на поверхности сферической оболочки соответствующей погиби. Разработаны практические рекомендации по определению геометрических параметров поверхности геодезических куполов, основанные исключительно на использовании определенных схем маркировки узлов их конструктивных сетей.

Результаты диссертационной работы опубликованы в монографии «Стержневые конструкции многогранных куполов» (авторы A.A. Журавлев, Лонг Кимсуор, Г.Э. Муро) и включены в программу специального курса для студентов строительных специальностей.

Апробация работы и публикации. Основные положения диссертации опубликованы в четырех научных статьях.

Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных научно-практических конференциях Ростовского государственного строительного университета «Строительство — 2002», «Строительство — 2003», «Строительство — 2005» и «Строительство — 2006».

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 135 наименований, в том числе 46 иностранных, и приложение (акт о внедрении).

Работа содержит 144 страниц машинописного текста, 12 таблиц и 101 рисунок.

Автор сердечно благодарит научного руководителя, заведующего кафедрой, профессора, доктора технических наук A.A. Журавлева.

Автор выражает также глубокую признательность сотрудникам кафедры металлических, деревянных и пластмассовых конструкций РГСУ за их всестороннюю помощь и поддержку, оказанные при выполнении работы над диссертацией.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель и задачи исследований, указывается научная новизна и практическая значимость выполненной работы.

В первой главе анализируется современное состояние вопроса, касающегося возведения и конструирования большепролетных конструкций куполов в форме выпуклых многогранников из алюминия, стали и древесины.

Отмечается большой вклад в развитие теории сооружений с применением стержневых конструкций куполов в форме выпуклых многогранников российских ученых М.С. Туполева, В.А. Савельева, Г.Н. Павлова, М.Е. Липницского, И.В. Молева, Н.К. Лебедевой, A.A. Журавлева, Б.В. Миряева, А.И. Косолапова, В.Д. Таирова, В.И. Тура, И.В. Ломбардо, В.В. Ермолова и многих других.

Рассматриваются наиболее интересные конструктивные решения стержневых конструкций купольных покрытий, являющиеся результатами исследований зарубежных ученых Р.Б. Фуллера, З.С. Маковского, Д.Т. Райта, Н.К. Линда и др.

В целях обеспечения надежности создаваемых конструкций важное значение приобретает решение проблемы устойчивости стержневых конструкций куполов в форме выпуклых многогранников и эквивалентных им в статическом отношении тонкостенных сферических оболочек, имеющих начальные несовершенства формы срединной поверхности.

Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с геометрическими основами формообразования многогранных куполов.

Указывается, что построение пространственных конфигураций, которые приводят к образованию семейств полуправильных многогранников, обеспечивающих различные приближения к вписанной сфере S, может быть выполнено четырьмя способами. В частности, первый способ заключается в проецировании на поверхность сферы S середин ребер многогранника из центра кривизны. Этому приему построения конфигураций точек и плоскостей в пространстве дается название способа дублирования.

Другим способом построения пространственных конфигураций является способ деления. Он состоит в делении дуг большого круга, соответствующих каждому из ребер исходного многогранника, на равные части.

Третий способ заключается в проецировании центров граней правильного многогранника на поверхность сферы & Его выполнение приводит к построению двух спаренных многогранников, в силу чего этот способ приобретает название процедуры сдваивания.

Поскольку четвертый способ построения пространственных конфигураций сводится к образованию пирамидальных элементов для многогранников с нетреугольными гранями, то он называется способом построения пирамид.

Устанавливается, что наилучшим образом задача построения пространственных конфигураций в форме выпуклых многогранников решается способами дублирования и построения пирамидальных элементов. При этом треугольные сферические решетки получаются в тех случаях, когда процедура дублирования применяется к икосаэдру или же способ построения пирамид — к додекаэдру.

Отмечается, что существенным недостатком рассмотренных способов построения конструктивной сети на сфере является большое различие между длиной самого протяженного и короткого элементов стержневой конструкции. Поэтому возникает необходимость в проведении поисковых исследований, связанных с разработкой более эффективных способов построения конструктивных сетей с целью создания жизнеспособной альтернативы по отношению к известным пространственным стержневым системам регулярной структуры.

В третьей главе приведены результаты исследования устойчивости сферической оболочки, находящейся под равномерным внешним давлением, с учетом влияния начальных несовершенств формы ее срединной поверхности.

Все известные теоретические исследования, которые относятся к сферическим оболочкам идеальной формы срединной поверхности, не объясняют большого различия в нагрузках прощелкивания, получаемых теоретическим путем и при проведении экспериментов. Поэтому получение результатов, которые лучше согласуются с опытными данными, возможно лишь в том

случае, когда учитывается влияние начальных несовершенств конструкции сферической оболочки.

В связи с этим предлагается использовать нелинейную теорию сферической оболочки, имеющей начальную погибь с очень малым центральным углом.

Установлено, что система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих поведение сферической оболочки при равномерно распределенном внешнем давлении, с учетом начальных несовершенств формы срединной поверхности имеет вид

2"+ у/и/ -ц= у (и-; + и/) +

еЛт) Л^^П'

МУ

ц.г N4, Л-Ъц/Ич, = -Е-

умг +-

2 а

(1)

(2)

Здесь •и'0 = расстояние вдоль радиуса кривизны между срединными по-

верхностями технической и идеальной сферических оболочек; м>2 =ы2(1//)- радиальные перемещения внутри контура вмятины; х~ параметр выпучивания; а - радиус сферической оболочки; I - толщина оболочки; у/ - угловая координата в меридиональном направлении; N - меридиональное усилие оболочки в результате ее изгиба при выпучивании.

Кроме того, должно выполняться условие

у/м>2 + 0 2 +

2 а

ц/с!ц/ = О,

(3)

учитывающее то обстоятельство, что на краю вмятины дополнительные продольные усилия меридионального направления становятся равными нулю

Параметр прощелкивания идеальной сферической оболочки предлагается определять с помощью формулы

- _Уз л!а-в

XО ~~ ~

где

В=) }

о о

,+Ак1

2 £

с

о

В свою очередь безразмерный параметр

]

5

к =

- = -1~г-

(5)

(6)

(7)

(8)

где 3 - глубина вмятины; ц/а - центральный угол вмятины; £, = Ц'¡ц/й - безразмерная координата в меридиональном направлении.

Для двух простых одночленных функций выпучивания g(¿¡) значения параметра прощелкивания идеальной сферической оболочки приведены в табл. 1.

Таблица 1

Значения параметров выпучивания сферической оболочки

к А В С Ко Зо X о

М2)2 1 32/3 1/210 2/3 8,26-а 8,26? 0,292

М2)5 5/6 144/15 1/142 5/3 6,13-а 5,11? 0,375

В четвертой главе излагается методика расчета на устойчивость упругих стержневых конструкций в форме выпуклых многогранников на основе метода метаморфоз и предлагается новый прием для решения задачи о прощелкивании стержневой конструкции многогранных куполов при локальном воздействии нагрузки.

Сущность метода метаморфоз раскрывается на примере пространствен-

ной конфигурации в виде стержневого тетраэдра, отнесенного к прямоугольной системе координат, начало которой помещается в центре описанной около данного многогранника сферы. Стержневая конструкция при этом подвергается действию внешних сил Р, приложенных во всех узлах пространственной конфигурации и направленных к центру кривизны.

Показано, что проецирование на плоскость горизонтального круга стержневых элементов тетраэдра приводит к образованию конфигурации на плоско-

Рис. 1. Стержневая конструкция треугольного очертания с тремя внутриконтурными стержнями

Силы Q, приложенные в вершинах плоской стержневой системы, связаны с узловой нагрузкой Р исходной конфигурации следующим соотношением: 2 = 2-4ър/ъ . От действия сил Q в контурных стержнях развиваются усилия сжатия Ы = , а во внутриконтурных стержнях сжимающие усилия

оказываются равными = (2/4).

В случае, когда погонные жесткости всех стержней преобразованной системы одинаковы, уравнения равновесия, записанные для произвольного узла к конфигурации стержней на плоскости в ее смещенном состоянии, получают вид

£ (&с4 соз асов Р + (5у4 —1 ——вт^ Р1 =0. (10)

л

Здесь суммирование распространяется на все индексы /, которые соответствуют стержням, сходящимся в узле к; а,*, р,* — углы между стержнем ¡к в смещенном состоянии и осями х, у; а1к — длина стержня ¡к после нагружения шестизвенье-вой плоской системы.

Отклоненная форма равновесия становится возможной в том случае, если система уравнений (9)-(10), записанных для всех узлов конфигурации на плоскости, дает для смещений 6* и §>> решения, отличные от нуля.

Равенство погонных жесткостей для исходной пространственной конфигурации и преобразованной конфигурации стержней на плоскости приводит к тому, что параметр неустойчивости системы Я = 1/а в данном случае получается одинаковым как для контурных, так и для внутриконтурных стержней треугольной панели.

Вводя в узле 1 закрепления в направлениях осей х и у, препятствующие смещениям этого узла (8*1 = бу] = 0), и приравнивая нулю, определитель системы однородных уравнений, получаем

-1

0 -1 + А.

0

+ -Х 4 4

3 -—А. О

О

При раскрытии этого определителя шестого порядка один из корней характеристического полинома р(к) оказывается равным нулю. Таким образом, уравнение неустойчивости конфигурации стержней на плоскости запишется так:

Л(Я.) = (Я.-4^Я.-^р,(Я.) = 0, (12)

где в свою очередь полином третьего порядка

р}(Х) = Ъ9Х' —200Х1 +288Х-128. (13)

Как показывает анализ, корни кубического уравнения (13) являются либо отрицательными, или оказываются большими нежели ЛП1Ь = 4/3. Поэтому критическое значение параметра А =4/3 . На этом основании

N„ = ЕР

гг"

1 л/3

=--ЕР и, следовательно, Q —-ЕР.

4 ^'3

В результате перехода к первообразной конфигурации в виде стержневого тетраэдра, находим критическое значение узловой нагрузки

(14)

Доказывается, что описанное преобразование в отношении исходной пространственной конфигурации в виде шестизвеньевой конструкции можно выполнить и другим способом, а именно так, чтобы получаемое в результате этого преобразования изображение исходной стержневой системы представляло собой конфигурацию стержней в меридиональной плоскости.

При реализации метода метаморфоз необходимо обращать внимание на то обстоятельство, чтобы в преобразованной системе стержней на плоскости всякий раз сохранялось бы изображение всех стержневых элементов первообразной системы. В результате выполненного с помощью метода метаморфоз исследования устойчивости стержневого многогранника в виде икосаэдра критическое значение узловой нагрузки

Рк 5 "" 12 \ 10

При анализе устойчивости стержневых конструкций сферических оболочек установлено, что имеющиеся в настоящее время расчетные формулы для определения величины нагрузки, при которой возможно прощелкивание узлов конструктивной сети по направлению к центру кривизны сетчатой оболочки, приводят к противоречивым результатам, характеризующимся большим разбросом теоретических и экспериментальных данных.

Причиной этого является то, что в большинстве имеющихся работ или совершенно не учитывается податливость контура стержневой конструкции оболочки, когда для упрощения расчетной схемы на ее поверхности выделяется двухзвеньевая плоскостная система, или допускаются ошибки при формулировке соответствующих граничных условий на контуре ее пирамидальных элементов в виде пяти- или шестиугольных пирамид.

Предлагаемый прием определения предельной величины узловой нагрузки для стержневой конструкции многогранного купола заключается в следующем. Рассматривается произвольного вида сетчатая оболочка, подвергаемая действию вертикальной силы Р в вершине пятиугольной пирамиды, занимающей объем в пределах верхнего кольцевого выреза.

Сетчатая оболочка для ребер пятиугольной стержневой пирамиды является своего рода упругим основанием в виде пяти упругих опор, жесткость которых зависит от жесткости стержней, входящих в состав оболочки за пределами ее выреза.

В рассматриваемом случае выражение для полной энергии пятизвеньевой системы принимает вид:

Э = -Р10т}. (16)

Здесь = /10; г) = — >^.)//0, а с представляет собой жесткость пружин с линейной характеристикой, величину которой предлагается вычислять по формуле

л/3ж ЕЕ,

с = —--—г-со8 2а0. (17)

Дифференцирование (16) по Е, и т/ приводит к следующим двум уравнениям, описывающим равновесное состояние пятизвеньевой стержневой системы:

clüg + eosа0-г]smaQ+—r¡ Jcos«0 = 0; (18)

Р' = j^ = [fcosa0-77sina0+i?72j(-sina0+77). (19)

Подставляя (17) в уравнение (18), приведем его к виду

^cosoro(l + 0)-^sinao= (20)

Здесь под в понимается соотношение

в= 4Ъя 2cos4,-l 10sin36° eos а0

Исключая в уравнении (19) безразмерный параметр горизонтального смещения получаем

Р' =j^^sina0-|77j(sinor0-?7>7. (22)

Приравнивая нулю первую производную от Р' по r¡, имеем

»7,,.=^—у j sin а0. (23)

Предельное значение узловой нагрузки, при котором возможно прощел-кивание вершины сетчатой оболочки в направлении центра кривизны

Р = —EFS —sin3 а0. (24)

кр. 9 1 + $

С помощью формулы (24) для стержневых многогранников, характеризующихся различной степенью плотности точечных решеток на сфере, были определены численные значения безразмерного параметра критической нагрузки, приведенные в табл. 2.

Легко видеть, что с размельчением конструктивных сетей на сфере уменьшается угол наклона ребер пятиугольных пирамид многогранников к их

основаниям и при этом наблюдается заметное снижение уровня нагрузки, приводящей к прощелкиванию стержневой конструкции. Так, например, для 2880-гранника, представляющего собой пространственную точечную решетку икоса-эдрального типа, уровень критической нагрузки по сравнению с тем, что имеет место для 320-гранника, уменьшается примерно в 28 раз.

Таблица 2

Величины безразмерного параметра критической нагрузки для стержневых многогранников

Число граней многогранника Число узлов в \ + в БЫ а ц Р' х Ю-3 кр.

20 12 0,4021 0,5257 11,200

320 162 0,4786 0,1266 0,279

980 492 0,4801 0,0689 0,030

1280 642 0,4802 0,0609 0,021

2880 1442 0,4804 0,0473 0,010

Функциональная зависимость Р'(т}) для некоторых стержневых конструкций в форме выпуклых многогранников имеет вид, показанный на рис. 2.

Рис. 2. Кривые равновесных состояний для стержневых многогранников: 1 - 980-гранник (а0=4,4°); 2 - 1280-гранник(а0=3,9°); 3 - 2880-гранник (а0=3°)

Здесь следует подчеркнуть, что для такой пространственной конфигурации как стержневой икосаэдр никогда не может быть достигнут уровень нагрузки прощелкивания по той простой причине, что в данном случае исчерпа-

ние несущей способности конструкции наступает значительно раньше в силу продольного изгиба отдельных ее стержневых элементов. Поэтому при построении кривых равновесных состояний рассматриваемых систем нас могут интересовать лишь те из многогранников, для которых наиболее характерно явление прощелкивания узлов при воздействиях локальных нагрузок.

В пятой главе приведены экспериментальные исследования местной устойчивости пирамидальных элементов купола стержневой конструкции, подкрепленных обшивками из фанеры и стеклопластика.

Экспериментальные исследования проводились на натурных конструкциях пирамидальных элементов в две стадии. На первой стадии проводились испытания каркасов пятиугольных пирамид (рис. 3). Три таких конструкции ис-пытывались на действие кратковременной статической нагрузки, прикладываемой в вершине пирамиды, и были доведены при испытаниях до разрушения. На второй стадии пирамидальные элементы купола подкреплялись треугольными обшивками, приклеенными к каркасу, и испытывались центральной нагрузкой также до разрушения.

Рис. 3. Каркас пятиугольной пирамиды купола

Элементы каркаса пятиугольных пирамид выполнены из сухой сосновой древесины в виде брусков сечением 35x64 мм с влажностью не более 12%.

Все испытания пирамидальных элементов купола производились на специальном стенде с использованием для этой цели в качестве силовозбудителя рычажного устройства с соотношением плеч 1:5, 15, причем один конец рычага был прикреплен к силовой плите. Усилие, передаваемое вершине пирамиды от собственной массы рычага, равнялось 2,5 кН.

В углах опорной рамы, изготовленной из прокатной стали, помещались металлические вкладыши, которые служили опорами для спаренных ребер пирамиды. Передача усилия осуществлялась с помощью стального тяжа, диаметром 20 мм, пропущенного через вершину пирамиды.

При испытаниях каркасов пятиугольных пирамид измерялись перемещения его отдельных точек с помощью прогибомеров Аистова типа 6 ПАО. Нагрузка производилась ступенями, примерно по 1,1 кН. По показаниям прогибомеров был выявлен характер изогнутой оси радиального стержня и определены перемещения в пяти точках опорного контура пирамиды. Схема установки прогибомеров приведена на рис. 4.

1

ш ii i I I I I I I п-5 п-6| п-7| П-8| п-9

iii ii i

п-5 п-6 п-7 п-8 п-9

г"» гп О <4 V© 1 оо

«п 00

о" Г"' «л

Рис. 4. Схема размещения прогибомеров

Графики экспериментальной зависимости прогибов в отдельных точках по длине стержня АВ от нагрузки приведены на рис. 5.

Предельная нагрузка на элемент 1 оказалась равной 15,21 кН. Разрушение каркаса пирамидального элемента произошло в результате бокового выпучивания одного из радиальных стержней пирамиды. При этом стержень 3-9 получил сильное искривление по полуволне синусоиды и разрушился. Смежные с ним стержни в основании пирамиды также сильно изогнулись. Разрушение сопровождалось резким хлопком вершины пирамиды, вплоть до упора рычага.

Учитывая обстоятельства, при которых произошло разрушение центрального узла пирамиды в результате его прощелкивания, и принимая во внимание

то, что это явление сопровождалось поворотом вершины пирамиды относительно вертикали, можно расценивать закрепление для всех пяти стержней АВ, сходящихся в общем узле А, как шарнирное. Таким образом, теоретическое значение предельной нагрузки получается равным Р =17,б1кН, что на 16% отличается от опытного значения.

Р, кН

Рис. 5. Результаты испытания каркаса пятиугольной пирамиды до разрушения

На второй стадии в программе предусматривалось проведение испытаний каркаса пирамиды, подкрепленного треугольными обшивками из фанеры марки ФСФ толщиной 10 мм. При склеивании фанерных обшивок волокна наружных слоев (рубашек) располагались параллельно основанию пирамиды.

Наружная поверхность обшивок, примыкающих к одному из ребер пирамиды в тех сечениях, где размещались приборы, расчерчивалась сеткой линий, в узловых точках которой производились измерения прогибов с помощью четырех прогибомеров Аистова.

Клеефанерная конструкция пирамидального элемента купола испытыва-лась при ступенчатом приложении нагрузки также до разрушения. Графики зависимости Р = •Р(и') приведены на рис. 6.

Опытная предельная нагрузка получилась равной 30 кН, что примерно в два раза превышает величину предельной нагрузки для элемента, неподкреп-ленного обшивками.

При достижении предельной нагрузки на пирамиду произошел отрыв треугольных обшивок от ребер каркаса в силу исчерпания несущей способности клеевого шва на скалывание. При этом в непосредственной близости у опорных сечений радиальных ребер обшивки заметно выпучились, а сами ребра получили сильное искривление в вертикальных плоскостях. Разрушение сопровождалось резким увеличением прогиба вершины, характерным треском отрывающихся обшивок и быстрым перемещением рычага до упора.

Р% кН

О 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Ы, кН

Рис. 6. Диаграммы работы под нагрузки пирамидального элемента 2, подкрепленного обшивками из фанеры

Методика испытаний каркаса пирамидального элемента, подкрепленного обшивками из стеклопластика, была принята такой же, как и для клеефанерной конструкции. Для элемента, подкрепленного обшивками из стеклопластика, экспериментальное значение предельной нагрузки получилось равным 26,15 кН, что примерно в 1,7 раза превышает величину предельной нагрузки для каркаса пирамиды и в 1,2 раза меньше величины предельной нагрузки для элемента клеефанерной конструкции.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

1. В практике современного строительства достаточно широкое распространение получили стержневые конструкции многогранных куполов, используемые в качестве несущих конструкций большепролетных покрытий зданий и сооружений, строительство которых носит экспериментальный характер и осуществляется исключительно по индивидуальным проектам. Деревянные конструкции куполов требуют разработки более совершенных технических решений, направленных на повышение экономической эффективности их изготовления и монтажа.

2. Выявлено, что наилучшим образом задача построения пространственных конфигураций в форме выпуклых многогранников решается способами дублирования и построения пирамидальных элементов.

3. Установлено, что на основании предложенной маркировки узловых точек в пределах одной из треугольных граней многогранника могут быть определены угловые и линейные характеристики стержневых многогранников произвольного вида.

4. Правильность произведенных расчетов для оболочки, имеющей начальные несовершенства, подтверждается получением формулы Я. 2ое11у для случая малых деформаций, когда оболочка характеризуется идеальной формой срединной поверхности.

5. Установлено, что решающее значение при анализе устойчивости тонкостенной конструкции сферической оболочки при больших деформациях имеет выбор функции выпучивания g(g). В частности, показано, что для двух простых одночленного вида функций параметр прощелкивания из" меняется в пределах от 0,29 до 0,38.

6. Установлена возможность представления пространственных стержневых систем регулярной структуры в виде их проекций на меридиональную плоскость, чем и обусловливается получение простых расчетных схем для анализа несущей способности стержневых конструкции в форме выпуклых многогранников.

7. Впервые для решения задачи о прощелкивании стержневых конструкций в форме выпуклых многогранников предложен метод, позволяющий учесть работу неразгруженной части поверхности купола и правильно сформулировать условия на контуре пирамидальных элементов, испытывающих действие локальных нагрузок.

8. Экспериментальным путем выявлена возможность исчерпания несущей способности куполов в форме выпуклых многогранников, исходя из условия устойчивости их пирамидальных элементов в результате поворота центрального узла вокруг оси симметрии.

9. Опытной проверкой стержневых конструкций доказана справедливость предложенных расчетных формул для оценки несущей способности куполов в форме выпуклых многогранников. Расхождение между экспериментальным и теоретическим значением предельной узловой нагрузки на стержневую конструкцию в виде не подкрепленной тонколистовыми обшивками пятиугольной пирамиды находится в пределах 16%.Установлено, что подкрепление каркасов пирамидальных элементов обшивками из стеклопластика и фанеры оказывает существенное влияние на их несущую способность, в частности, предельная нагрузка увеличивается соответственно в 1,6 и 2 раза.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Журавлев А. А., Лонг Кимсуор, Вержбовский Г. Б. Влияние начальных неправильностей формы срединной поверхности сферической оболочки на ее устойчивость при равномерном внешнем давлении// Легкие строительные конструкции. — Ростов-на-Дону: Рост. гос. строит, ун-т, 2003. — С. 23-35 (лично автором 5с.).

2. Журавлев А. А., Лонг Кимсуор, Вержбовский Г. Б. Устойчивость сферической оболочки при равномерном внешнем давлении с учетом началь-

ных неправильностей формы ее срединной поверхности// Известия вузов «Строительство и архитектура». — 2003. - №7. - С. 19-26 (лично автором 3 е.).

3. Журавлев А. А., Лонг Кимсуор. Метод метаморфоз в задачах устойчивости стержневых многогранников// Легкие строительные конструкции — Ростов-на-Дону: Рост. гос. строит, ун-т, 2004. — С. 8-19 (лично автором 7 е.).

4. Журавлев A.A., Лонг Кимсуор, Ремизов М.Ю. Прощелкивание стержневой конструкции однопоясного сетчатого купола// Легкие строительные конструкции — Ростов-на-Дону: Рост. гос. строит, ун-т, 2006. — С. 28-35 (лично автором 4 е.).

5. Журавлев A.A., Лонг Кимсуор, Муро Г.Э. Стержневые конструкции многогранных куполов. — Ростов-на-Дону: ОАО ИПФ «Малыш», 2006. — 300с. (находится в печати, лично автором 135 е.).

Подписано в печать 05.09.06. Формат 60x84/16.

Бумага писчая. Ризограф. Уч.-изд. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ 629.

Редакционно-издательский центр Ростовского государственного строительного университета. 344022, Ростов н/Д, ул. Социалистическая, 162.

Введение.

Глава 1. Краткий обзор развития стержневых конструкций куполов в форме выпуклых многогранников.

1.1. Стальные купола.

1.2. Алюминиевые купола.

1.3. Деревянные купола.

1.4. Выводы по первой главе.

Глава 2. Формообразование многогранных куполов.

2.1. Построение пространственных конфигураций в форме выпуклых многогранников.

2.2. Пространственные точечные решетки на основе октаэдра и икосаэдра.

2.3. Описание приемов триангуляции поверхности сферы на основе геодезических линий.

2.4. Алгоритм определения геометрических параметров пространственных точечных решеток.

2.5. Выводы по второй главе.

Глава 3. Влияние начальных несовершенств формы срединной поверхности на устойчивость сферических оболочек.

3.1. Общие положения и основные расчетные гипотезы.

3.2. Определение удлинений и внутренних усилий.

3.3. Уравнения равновесия элемента деформированной оболочки, имеющей начальные неправильности формы срединной поверхности.

3.4. Вывод основных дифференциальных уравнений.

3.5. Потенциальная энергия оболочки.

3.6. Устойчивость сферической оболочки при малых деформациях.

3.7. Устойчивость сферической оболочки при больших деформациях.

3.8. Определение параметра выпучивания с помощью дифференциальных уравнений.

3.9. Определение параметра выпучивания на основе выражения для потенциала.

3.10. Выводы по третьей главе.

Глава 4. Устойчивость стержневых конструкций в форме

• выпуклых многогранников.

4.1. Метод метаморфоз в задачах устойчивости стержневых многогранников.

4.2. Прощелкивание стержневой конструкции многогранного купола.

4.3. Выводы по четвертой главе.

Глава 5. Экспериментальное исследование местной устойчивости пирамидальных элементов купола клеефанерной конструкции.

5.1. Испытание каркаса пятиугольной пирамиды в качестве силовозбудителя.;.

5.2. Испытание пирамидального элемента купола, подкрепленного обшивками из фанеры.

5.3. Испытание каркаса конструкции пятиугольной пирамиды, подкрепленной обшивками из стеклопластика.

5.4. Выводы по пятой главе.

Актуальность работы. Мировая практика современного строительства показывает, что сферические купола в форме выпуклых многогранников являются одной из наиболее рациональных форм тонкостенных пространственных конструкций. Такие купола, благодаря своей способности перекрывать большие пролеты без промежуточных опор и создавать полноценные архитектурные композиции, как с точки зрения экстерьера, так и интерьера, широко применяются в качестве несущих пространственных конструкций в промышленном, гражданском и сельскохозяйственном строительстве: Примерами зданий и сооружений; в которых находят применение купола в форме выпуклых многогранников, могут служить покрытия текстильных фабрик, ангаров, выставочных павильонов, спортивных сооружений, жилых домов дачного типа, складов минеральных удобрений и прирельсовых складов для хранения тарных грузов. В отличие от традиционных конструктивных решений плоскостных пространственных конструкций эффективность применения куполов в форме выпуклых многогранников обусловливается их небольшой собственной массой, совмещением элементами сборных купольных покрытий несущих и ограждающих функций и высокой степенью заводской готовности панелей.

Постоянное расширение областей применения многогранных куполов определяет целесообразность проведения исследований, направленных на совершенствование конструктивных форм и методов расчета таких систем, а также на выявление перспектив их рационального использования в строительной отрасли.

На несущую способность оболочечных конструкций покрытий зданий и сооружений оказывают существенное влияние начальные неправильности формы их срединной поверхности. Для куполов, имеющих конфигурацию выпуклых многогранников, это обстоятельство приобретает первостепенное значение, поскольку сама сферическая оболочка заменяется в этом случае пространственной точечной решеткой с различной степенью размельчения конструктивной сети на сфере. Даже небольшие отклонения от проектных геометрических размеров отдельных панелей купола неизбежно должны приводить к заметным искажениям формы срединной поверхности описанной около многогранника сферической оболочки.

В связи с этим становится актуальным решение проблемы устойчивости сферических оболочек с учетом случайного характера образования и развития вмятин на ее поверхности.

Целью диссертационной работы является разработка методики расчета на устойчивость стержневых конструкций многогранных куполов и тонкостенных сферических оболочек, подверженных действию равномерного внешнего давления и имеющих начальные неправильности формы срединной поверхности.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Изучить процесс образования и развития одиночной вмятины в зоне расположения начальной погиби оболочки под действием равномерного радиального давления.

2. Разработать методику расчета на устойчивость упругих систем в виде стержневых многогранников на основе метода метаморфоз.

3. Произвести анализ местной устойчивости стержневых конструкции в форме выпуклых многогранников.

4. Провести теоретические и экспериментальные исследования деревянных конструкций пирамидальных элементов купола на прощелкивание при действии радиальных сил.

Научную новизну работы составляют:

• метод определения параметров выпучивания конструкции тонкостенной сферической оболочки в условиях упругой работы ее материала и новые данные о величине нижней критической нагрузки;

• методика расчета на местную устойчивость стержневых конструкций многогранных куполов с учетом упругой податливости контура пирамидальных элементов;

• развитие теории устойчивости пространственных стержневых конструкций в форме выпуклых многогранников на основе метода метаморфоз.

Автор защищает:

• алгоритм определения геометрических параметров пространственных точечных решеток, соответствующих конструктивным сетям геодезических куполов;

• расчетные зависимости для исследования устойчивости сферической оболочки, находящейся под равномерным внешним давлением с учетом влияния начальных несовершенств формы ее срединной поверхности;

• рекомендации по расчету на устойчивость стержневых многогранников на основе метода метаморфоз;

• результаты исследования местной устойчивости стержневых конструкций куполов в форме выпуклых многогранников;

• методику и результаты экспериментального исследования местной устойчивости пирамидальных элементов купола клеефанерной конструкции.

Достоверность результатов исследований основывается на использовании современных математических моделей и методов, подтверждается теоретическими положениями, сформулированными на основе законов механики. деформируемых тел, а также экспериментальными данными испытаний конструкции.

Практическое значение и внедрение результатов работы состоит в разработке методики исследования процесса образования и развития одиночной вмятины, являющейся следствием наличия на поверхности сферической оболочки соответствующей погиби. Опытная проверка стержневых конструкций выявлено расхождение между экспериментальным и теоретическим значением предельной узловой нагрузки на стержневую конструкцию в виде не подкрепленной тонколистовыми обшивками пятиугольной пирамиды.

Апробация работы и публикации. Основные положения диссертации опубликованы в четыре научных статьях.

Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных научно-практических конференциях Ростовского государственного строительного университета «Строительство - 2002», «Строительство - 2003», «Строительство - 2005» и «Строительство - 2006».

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 135 наименований, в том числе 46 иностранных.

5.4. Выводы по пятой главе

Результаты, полученные в пятой главе, позволяют сделать следующие выводы.

1. Испытаниями до разрушения трех деревянных конструкций пятиугольных пирамид купола на действие кратковременной нагрузки установлено ее предельное значение, при достижении которого явление прощелкивания центрального узла наблюдалось в результате поворота вершины пирамиды относительно вертикальной оси симметрии.

2. Экспериментальным путем выявлена возможность исчерпания несущей способности куполов в форме выпуклых многогранников, исходя из условия устойчивости их пирамидальных элементов в результате поворота центрального узла вокруг оси симметрии.

3. Опытной проверкой стержневых конструкций доказана справедливость предложенных расчетных формул для оценки несущей способности куполов в форме выпуклых многогранников. Расхождение между экспериментальным и теоретическим значением предельной узловой нагрузки на стержневую конструкцию в виде не подкрепленной тонколистовыми обшивками пятиугольной пирамиды находится в пределах 16%.

4. Установлено, что подкрепление каркасов пирамидальных элементов обшивками из фанеры и стеклопластика оказывает существенное влияние на их несущую способность, в частности, предельная нагрузка увеличивается соответственно в 2 и 1,6 раза.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В практике современного строительства достаточно широкое распространение получили стержневые конструкции многогранных куполов, используемые в качестве несущих конструкций большепролетных покрытий зданий и сооружений, строительство которых носит экспериментальный характер и осуществляется исключительно по индивидуальным проектам. Деревянные конструкции куполов требуют разработки более совершенных технических решений, направленных на повышение экономической эффективности их изготовления и монтажа.

2. Выявлено, что наилучшим образом задача построения пространственных конфигураций в форме выпуклых многогранников решается способами дублирования и построения пирамидальных элементов.

3. Установлено, что на основании предложенной маркировки узловых точек в пределах одной из треугольных граней многогранника могут быть определены угловые и линейные характеристики стержневых многогранников произвольного вида.

4. Справедливость произведенных расчетов для оболочки, имеющей начальные несовершенства, подтверждается получением формулы R. Zo-elly для случая малых деформаций, когда оболочка характеризуется идеальной формой срединной поверхности.

5. Установлено, что решающее значение при анализе устойчивости тонкостенной конструкции сферической оболочке при больших деформациях имеет выбор функции выпучивания g(£). В частности, показано, что для двух простых одночленного вида функций параметр прощелкивания zD изменяется в пределах от 0,29 до 0,38.

6. Установлена возможность представления пространственных стержневых систем регулярной структуры в виде их проекций на меридиональную плоскость, чем и обусловливается получение простых расчетных схем для анализа несущей способности стержневых конструкции в форме выпуклых многогранников.

7. Впервые для решения задачи о прощелкивании стержневых конструкций в форме выпуклых многогранников предложен метод, позволяющий учесть работу неразгруженной части поверхности купола и правильно сформулировать условия на контуре пирамидальных элементов, испытывающих действие локальных нагрузок.

8. Экспериментальным путем выявлена возможность исчерпания несущей способности куполов в форме выпуклых многогранников, исходя из условия устойчивости их пирамидальных элементов в результате поворота центрального узла вокруг оси симметрии.

9. Опытной проверкой стержневых конструкций доказана справедливость предложенных расчетных формул для оценки несущей способности куполов в форме выпуклых многогранников. Расхождение между экспериментальным и теоретическим значением предельной узловой нагрузки на стержневую конструкцию в виде не подкрепленной тонколистовыми обшивками пятиугольной пирамиды находится в пределах 16%.Установлено, что подкрепление каркасов пирамидальных элементов обшивками из стеклопластика и фанеры оказывает существенное влияние на их несущую способность, в частности, предельная нагрузка увеличивается соответственно в 1,6 и 2 раза.

1. Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Машиностроение, 1991. - 336 с.

2. Барашков Ю. А. Конструкции деревянных куполов. Архитектура СССР, 1975, №3, с. 43-47.

3. Берковская Д.А. Клееный деревянный купол покрытия стадиона диаметром 162 м системы «Варакс» (США). Строительство и архитектура. Серия 11. Строительные конструкции. Экспресс-информация, 1983, выпуск 7.-с. 32-33.

4. Бубнов Ю. Н., Павлов Г. Н., Львов В. А., Лебедева Л. С. Архитектурное проектирование сетчатых оболочек. Архитектура СССР, №10, 1980, с. 49-52.

5. Веселев Ю. А., Журавлев А. А., Штенкер X. Расчет многогранных куполов по безмоментной теории. Изв. вузов «Строительство и архитектура», 1984, №6, с. 25-29.

6. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1967. - 984 с.

7. Габрильянц А. Г., Феодосьев В. И. Об осесимметричных формах равновесия упругой сферической оболочки, находящейся под действием равномерно распределенного давления. Прикл. мат. и мех-ка, 1961, №6, с. 1091-1101.

8. Дишингер Ф. Оболочки. Тонкостенные железобетонные купола и своды. Перев. с нем. Под ред. П. Я. Каменцева и др. М.-Л.: Госстройиз-дат, 1932.-270 с.

9. Ермолов В. В. Построение сетки геодезических куполов способом центральной проекции. В кн.: Строительная механика, расчет и конструирование сооружений. Труды Моск. арх. ин-та. М.: 1973, вып. 5, с. 79-83.

10. Журавлев А. А. Светопрозрачное купольное покрытие из трехслойных элементов. Архитектура СССР, №8,1966, с. 56.

11. Журавлев А. А. Светопрозрачный купол из стеклопластика. Монтажные и специальные работы в строительстве, 1968, №9, с. 20.

12. Журавлев А. А. К вопросу о местной устойчивости сетчатых куполов с треугольной решеткой. Изв. вузов «Строительство и архитектура»,1971, №5, с. 77-80.

13. Журавлев А.А., Марганец Д.В. Местная устойчивость решетчатых куполов с треугольными ячейками. // В кн.: Межотраслевые вопросы строительства ЦИНИС, Реферат, инф., М., вып. 8,1971.-е. 8-10.

14. Журавлев А. А. Устойчивость пирамидальных элементов сетчатого купола. В кн.: Межотраслевые вопросы строительства: ЦИНИС,1972, вып. 4, с. 66-70.

15. Журавлев А. А. Конструкция и расчет сетчатых куполов. В кн.: Вопросы расчета современных металлических и деревянных конструкций. - Ростов-на-Дону, 1973, с. 3-32.

16. Журавлев А. А. О возможности замены пластинчато-стержневых систем решетчатыми при расчете сетчатых куполов. В кн.: Облегченные строительные конструкции покрытий зданий: Сб. статей. - Ростов-на-Дону, 1974, с. 17-22.

17. Журавлев А. А., Осетинский Ю. В. Приближенная теория расчета структурной конструкции. Изв. вузов «Строительство и архитектура», 1974, №3, с. 44-50.

18. Журавлев А. А. Расчет многогранных куполов на основе метода конечного элемента. Изв. вузов «Строительство и архитектура», 1975, №1, с. 33-39.

19. Журавлев А. А., Осетинский Ю. В. Практический метод расчета структурных сферических оболочек. В кн.: Труды IX Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. - JL: Судостроение, 1975, с. 267-270.

20. Журавлев А.А., Козлов В.В. Исследование работы пирамидальных элементов купола клеефанерной конструкции. Изв. вузов. Строительство и архитектура, №5, Новосибирск, 1977. с. 26-31.

21. Журавлев А. А., Козлов В. В. Устойчивость выпуклых многогранников. Изв. вузов «Строительство и архитектура», 1977, №11, с. 50-54.

22. Журавлев А. А., Козлов В. В. Расчет пространственных шарнирно-стержневых систем с учетом геометрической нелинейности. Изв. вузов «Строительство и архитектура», 1978, №10, с. 54-58.

23. Журавлев А. А., Кабаков С. Ю. Конечно-элементная модель для расчета ортотропных косоугольных плит. В кн.: Облегченные конструкции покрытий зданий: Сб. статей, Ростов-на-Дону, 1980, с. 68-80.

24. Журавлев А. А. Устойчивость равновесия пологих сферических сегментов в форме выпуклых многогранников. В сб.: Облегченные конструкции покрытий зданий, Ростов-на-Дону, 1981.-с. 19-34.

25. Журавлев А. А. Определение компонент тензора жесткости однослойной сетчатой оболочки. Изв. вузов «Строительство и архитектура», 1982, №4, с. 45-49.

26. Журавлев А. А. Прощелкивание стержневой конструкции сетчатого купола в форме 980-гранника. Изв. вузов «Строительство и архитектура», 1983, №6, с. 34-39.

27. Журавлев А. А. Купольные покрытия из дерева и пластмасс. Спецкурс. Ростов-на-Дону, 1983. - 102 с.

28. Журавлев А. А. Об устойчивости однопоясного сетчатого купола при больших прогибах. Строительная механика и расчет сооружений, 1984, №1, с. 49-51.

29. Журавлев А. А. Влияние начальных неправильностей на устойчивость однопоясного сетчатого купола. Строительная механика и расчет сооружений, 1984, №6, с. 53-55.

30. Журавлев А. А. Устойчивость упругих стержневых систем в форме выпуклых многогранников. Строительная механика и расчет сооружений, 1985, №6, с. 41-43.

31. Журавлев А. А. Устойчивость стержневых многогранников. Строительная механика и расчет сооружений, 1988, №2, с. 35-38.

32. Журавлев А. А. Устойчивость стержневых систем в форме выпуклых конфигураций на плоскости и в пространстве. Изд. РГСУ, №1, Ростов-на-Дону, 1996. - с. 42-48.

33. Журавлев А. А., Вержбовский Г. Б., Лонг Кимсуор Устойчивость сферической оболочки при равномерном внешнем давлении с учетом начальных неправильностей формы ее срединной поверхности. Изв. вузов «Строительство и архитектура», 2003, №7, с. 19-26.

34. Журавлев А.А., Вержбовский Г.Б., Еременко Н.Н. Пространственные деревянные конструкций. Ростов-на-Дону: ОАО ИПФ «Малыш», 2003.-518 с.

35. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. М.: Недра, 1974. - 239 с.

36. Иванов С. А. Об устойчивости сетчатых куполов. В кн.: Труды Московского архитектурного института, М., 1969, вып. I, с. 14-20.

37. Козлов В. В. Геометрические основы формообразования многогранных купольных покрытий. В кн.: Легкие Строительные конструкции покрытий зданий. Межвуз. сб. Вып. 4. Ростов-на-Дону.: 1977, вып. 4. с. 43-50.

38. Колесников Г. Н. Геометрический расчет сетчатых куполов с использованием ЭВМ. В кн.: Легкие строительные конструкции покрытий . зданий: Сб. научн. тр. Ростов-на-Дону, 1978, с. 32-37.

39. Колесников Г. Н. Метод геометрического расчета решетчатых куполов. ЦИНИС. Реф. Информ. сер. VIII, 1976, вып. 8, с. 49-51.

40. Колесников Г. Н. Статический расчет и формообразование несущих каркасов оболочек: Автореф. дис. канд. техн. наук. Ростов-на-Дону, 1982.-21 с.

41. Корн Т. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М: Наука, 1977. С. 652-720.

42. Косолапов А. Н. Геометрические основы рационального проектирования геодезических куполов. М.: Изд-во ВИА, 1968, 78 с.

43. Лампси Б. Б., Молева Р. И. Экспериментальное исследование действительной работы элементов и узлов алюминиевого сетчатого купола. -Труды Центр, научн.-исслед. и проекта, ин-та строит, металлоконстр. (ЦНИИпроектстальконструкция), 1977, вып. 22, с. 79-86.

44. Лебедева Н. К. Об осесимметричных формах равновесия сферической оболочки под равномерно распределенным давлением. Строит, мех-ка и расчет сооружений, 1964, №4, с. 1-6.

45. Левин М. А. Представление анизотропного тела в виде регулярной стержневой модели. В кн.: Доклады Академии наук БССР, 1964, том VIII, №12, с. 772-776.

46. Левин М. А. Некоторые задачи о регулярных стержневых системах. -Изв. вузов «Строительство и архитектура», 1965, №9, с. 41-48.

47. Линд Н. К. Критерий устойчивости сетчатых оболочек. В кн.: Большепролетные оболочки. Том I. -М.: Стройиздат, 1969, с. 405-415.

48. Липницкий М. Е. Купола: (Расчет и проектирование). Л.: Стройиздат, 1973.-127 с.

49. Липницкий М. Е. Купольные покрытия для строительства в условиях сурового климата. Л.: Стройиздат, Ленингр. отделение, 1981.-136 с.

50. Ломбардо И. В. Исследование вопросов устойчивости металлических каркасов сферических односетчатых оболочек: Автореф. дис. канд. техн. наук. М., 1974. — 16 с.

51. Мак Хел Д. Геодезические купола. Конструкции Букминстера Фуллера. Современная архитектура (пер. журн. L'architecture d'aujord'hui), 1962, №1, с. 30-35.

52. Мартинец Д. В., Журавлев А. А. Светопрозрачный купол из стекло. пластика и деревянные клееные арки. М.: Стройиздат, 1966. - 78 с.

53. Миряев Б. В., Мартемьянов В. И. Некоторые результаты экспериментального исследования модели сетчатого купола. В кн.: Облегченные конструкции покрытий зданий: Сб. научн. тр. Ростов-на-Дону, 1980, с. 58-63.

54. Молев И. В. Сетчатые купола в современной строительной практике. Учебное пособие. Горький: ГГУ им. Н. И. Лобачевского, 1981.-64 с.

55. Молев И. В. Стержневые звездчатые купола. Технико-экономическийанализ: Учебное пособие. Горький: ГИСИ им. В. П. Чкалова, 1990. -76 с.

56. Муштари X. М. К теории устойчивости сферической оболочки под действием внешнего давления (в связи со статьей В. И. Феодосьева). -Прикл. мат. и мех-ка, 1955, №2, с. 251-254.

57. Муштари X. М., Суркин Р. Г. О нелинейной теории устойчивости упругого равновесия сферической оболочки при действии равномерно распределенного внешнего давления. Прикл. мат. и мех-ка, 1950, №6, с. 573-586.

58. Павлов Г. Н. Композиционное формообразование кристаллических куполов и оболочек. Архитектура СССР, 1977, №2, с. 30-41.

59. Павлов Г. Н. Размерные характеристики и макетирование кристаллических куполов. Изв. вузов «Строительство и архитектура», 1974, №1, с. 59-63.

60. Погорелов А. В. К теории выпуклых упругих оболочек в закритиче-ской стадии // Харковь: Изд-во Харковьского университета, 1960. 78 с.

61. Погорелов А. В. Об устойчивости осесимметричных деформаций сферических оболочек при осесимметрических загружениях. Докл. АН СССР, 1963, т. 151, №5, с. 1053-1055.

62. Райт Дуглас Т. Большие сетчатые оболочки. Симпозиум IASS, СССР, Ленинград, 6-9 сентября 1966, - М.: Стройиздат, 1966,11 с.

63. Савельев В. А. Влияние начальных несовершенств формы и неравномерности загружения на устойчивость сетчатого сферического купола с жесткими узлами. Строительная механика и расчет сооружений, 1971, №5, с. 32-34.

64. Савельев В. А., Волков Л. П. Экспериментальное исследование упругой устойчивости толстостенных сферических оболочек. В кн.: Проектирование металлических конструкций. Реф. сб., серия 7 / ЦИНИС. -М.: 1969, вып. 10(18), с. 51-58.

65. Савельев В. А., Гвамичава А. С., Ломбардо И. В. Статистический анализ случайных несовершенств формы сетчатых сферических оболочек. В кн.: Проблемы надежности в строительной механике: Тез. докл. IV Всесоюзн. конф. Вильнюс, - М.: 1975, с. 87-89.

66. Савельев В. А., Ломбардо И. В. Приближенный метод расчета одно-сетчатых куполов по деформированной схеме. В кн.: Материалы по металлическим конструкциям, М.: Стройиздат, 1973, вып. 17, с. 120126.

67. Савельев В. А. Устойчивость сетчатых куполов. В кн.: Металлические конструкции. Работа школы проф. Н. С. Стрелецкого. М.: Строй-издат, 1966, с. 325-339.

68. Савельев В. А. Приближенный метод расчета предварительно напряженных сетчатых оболочек с шестиугольными ячейками. В кн.: Проектирование металлических конструкций: Реф. сб., серия 7 / ЦИНИС. -М, 1973, вып. 2 (43), с. 50-57.

69. Савельев В. А. Прочность и устойчивость металлических сетчатых большепролетных куполов. Дис. канд. техн. наук. - М, 1966, - 190 с.

70. Савельев В. А. Устойчивость сетчатых сферических оболочек. В кн.: Развитие металлических конструкций: Работы школы Н. С. Стрелецкого / Под ред. Кузнецова: ЦНРШпроектстальконструкция и др. - М.: Стройиздат, 1987, с. 440-456.

71. Савельев В. А., Ломбардо И. В., Кречетова Т. А. Сетчатый сферический купол диаметром 65м для производственного корпуса в г. Душанбе. В кн.: Проектирование металлических конструкций: Реф. сб., серия 7 / ЦИНИС. - М, 1978, вып. 10 (88), с. 2-5.

72. Савельев В. А., Ломбардо И. В. Алюминиевая сетчатая сферическаяоболочка пролетом 65м. В кн.: Состояние и перспективы применения в строительстве пространственных конструкций: Тез. докл. на-учн.-техн. конф,, Свердловск, 1980, с. 48-49.

73. Савельев В. А. Металлические купола. В кн.: Современные пространственные конструкции (железобетон, металл, дерево и пластмассы): Справочник / Под ред. Ю. А. Дыховичного, Э. 3. Жуковского. -М.: Высш. шк., 1991. - с. 187-204.

74. Танев С. X. Влияние неправильностей в форме срединной поверхности на устойчивость сферических оболочек. Инженерный журнал, 1961,1, №4, с. 95-106.

75. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. М., Д.: ОГИЗ Гос-техиздат, 1946, - 532 с.

76. Тот Л. Ф. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве/ пер. с нем./. М.: Физматгиз, 1958. - 363 с.

77. Трофимов В. И., Бегун Г. Б. Структурные конструкции: исследование, расчет и проектирование. М.: Стройиздат, 1972. - 272 с.

78. Трофимов В.И., Каминский A.M. Легкие металлические конструкции зданий и сооружений. Учебное пособие. М.: Изд-во АСВ, 2002. -576 с.

79. Туполев М. С. Новые варианты сборных куполов и сводов-оболочек. -В кн.: Новые виды пространственных покрытий: Учебное пособие по курсу гражд. И пром. Зданий МархИ, 1963, с. 4-37.

80. Туполев М. С. Геометрия сборных сферических куполов. Архитектура СССР, 1969, №1, с. 35-41.

81. Туполев М. С. Купол в современной архитектуре. Архитектура СССР, 1973, №12, с. 52-55.

82. Туполев М. С., Морозов Ю. А. Тригонометрические параметры схем геодезических и кристаллических куполов. В кн.: Строительная механика, расчет и конструирование сооружений. Труды Моск. арх. инта. - М, 1971, вып. 3, с. 13-22.

83. Феодосьев В. И. Об устойчивости сферической оболочки, находящейся под действием внешнего равномерно-распределенного давления. -Прикл. мат. и мех-ка, 1954, №1, с. 95-106.

84. Феодосьев В. М. Осесимметричная эластика сферической оболочки. -Прикл. мат. и мех-ка, 1969, №2, с. 280-286.

85. Флюгге В. Статика и динамика оболочек. М.: Госиздат, 1961. - 306 с.

86. Штаерман И. Я. Устойчивость оболочек. Труды Киевского авиац. ин-та, Киев: 1936.-е. 87-101.

87. Adrian Gheorghiu, Virgil Dragomir. Geometry of Structural Forms. London, 1979.-258 p.

88. Auditorium des Deutschen Pavilions auf der Expo-70. Neue Bauwelt, 1970,61, No. 40, s. 1492-1495.92. "Architectural Design", No. 7,1961. Richard Buckminster Fuller, p. 290319.

89. Aguilar R. J. Snap-through buckling of framed triangulated domes. "Proceeding ASCE. J. Structural Division", 1967,93,N ST2, p. 301-317.

90. Borin Van Loon Geodesic Domes: Demonstrated and Explained with Cutout Models. Publisher: Parkwest. August, 1997. 48 p.

91. Buttner O., Stenker H. Metalleichtbauten. Berlin: VEB Verlag fur Bau-wesen, 1970.-224 s.

92. Couple geodesiqe a Caracas. Venezuela. Technique et architecture, 1976, No. 309, p. 86-87.

93. Doernach R. Spharische Raumfachwerke. Stahlbau, 1960, No. 4.

94. Friedrichs K.O. On the minimum buckling load for spherical shells. Theodore v. Karman Anniversary. Vol. 1941, S. 258-279.

95. Geodetische Aluminiumkuppeln in Paris und Moskau. Deutsche Bauzei-tung, 1960, No. 7, s. 373-375.

96. Gutkowski W. Regularne Konstrukcje Pretowe. PWN, Warszawa, 1973. -224 p.

97. Hampe E. Statikrotationssymmetrischer Flachentragwerke. Kugelschale. -Berlin.-B. 3.-1963.-322 s.

98. Hoppe C. Kuppel mit 207m Durchmesser in Stahlbauweise. Bauingenier, 1974, No. 6, s. 234-235.

99. Hugh Kenner Geodesic Math and How to Use it. Publisher: University of California Press. October, 2003. 172 p.

100. Jagannathan D. ets. Snap-through buckling of reticulated shells. "Proceedings of ICE", 1975, v. 59, part 2, No. 12, p. 727-742.

101. Jurrman H., Shurawlow A., Stenker H. Zum Tragfahigkeitsverhalten mit schubsteifen Blechen verbundener Druckstabe. Wiss. Z. Techn. Univers. Dresden 26(1977), H. 1, s. 219-225.

102. Юб.Као R. Large deformation elastic-plastic buckling analysis of spherical caps with initial imperfections. Computers and Structures, 1980, v. 11, No. 6, p. 609-611.

103. Kato Shiro, Matsuoka Osamu Continuum theory of latticed shells. Mem. Fac. Eng. Nagoya Univ., 1972,24, No. 1, - p. 81-111.

104. K16ppel K., Jungbluth 0. Beitrag zum Durchschlagsproblem dunnwandiger Kugelschalen. Stahlbau, 1953, No. 6, s. 121-130.

105. Magnus J. Wenninger Spherical Models. Publisher: Dover Publications, Incorporated. November, 1999. 163 p.

106. Makowski Z. S. Braced domes, their history, modern trends and recent developments. Architectural Science Review, 1962, 5, No. 2, p. 62-79.

107. Makowski Z. S. History of the development of braced domes, Bulletin of the International Association for Shell and Spatial Structures, 1979, v.30, No. 3, p. 169-183. .

108. May Burkhard. Zur Berechnung von Schalentragwerken mit Hilfe gek-rummter Dreieckelemente; Diss. Dokt. Ing. Abt. Maschienenbau und Kon-struktiv. Ingenieurbau. Ruhr. Bochum, 1970, XII, 125 s.

109. Mises R., Ratzerdorfer J. Knicksicherheit von Fachwerken. Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik, 1925, H. 5, B. 3, s. 218-235.

110. Neut. A. Van der. Die elastische Stabilitat von den dunnwandigen bol. Diss., Delft, 1932.

111. Roos E. Zur Berechnung vorgebeulter Kugelschalen unter gleichmapigen Aupendruck. Der Sthahlbau, 1971, H.2, s. 33-44.

112. Schonbach W. Netzkuppeln als Radome. Stahlbau, 1969, No. 2, s. 33-43. 122.Schonbach W. Netzkuppel ausgebildetes Radom mit 49m Durchmesser. -Stahlbau, 1971,H. 2, s.45-54.

113. Schwerin. E. Zur Stabilitat der dunnwandigen HohlKugel unter gleich-mapigen Au0endruck. ZAMM 2 (1922), H.2, S. 81-91.

114. Shurawlow A. A., Stenker H. Zur Stabilitat von Raumstabkuppeln. Wis-senschaftliche Zeitschrift der Technischen Universitat Dresden, 1977,26, H.l,s. 195-197.

115. Shurawlow A. A., Stenker H. Zur Berechnung von Raum-StabFlachenwerken als geodatische Kuppeln. Wissensschaftliche Zeitschrift der Jngenieurhochschule Cottbus, 1979, H.l, s. 71-76.

116. Sleicht P. Union dome. Compressed Air Magazine, 1959, 64, No. 1, p. 20-24.

117. Stockholm scales up sphere. Engineering News Record,1989, v.202, No. 5, p. 36-38.

118. Thomas Т. K. Zung. Buckminster Fuller: anthology for the new millennium. New York: St. Martin's Press, 2001,388 pp.

119. Thompson J.M.T. Elastic buckling of thin spherical shells. Enthalten in dem Buch: Nuclear reactor containment buildings and pressure vessels. London: Butterworths, 1960, S. 257-285.

120. Tor L. A. Le stade couvert polyvalent "Louisiana Superdome" a la Nou-velle-Orleans (Etats-Unis). Acier-Stahl-Steel, 1974, No. 3, p.l 13-119.

121. V. Karman, Th., and Shen Tsien, Jsue. The buckling of spherical shells by external pressure. Journal of the Aeronautical Sciences. Vol. 7. December 1939, S. 43-57.

122. Wright D.T. Membrane forces and buckling in reticulated shells. Proc. Amer. Soc. of Civ. Eng. Struct. Div., 1965, v.91, ST1, p. 173-201.

123. Zoelly R. Uber ein Knickproblem an der Kugelschale. Diss. Zurich. 1915.134.415-ft. Dome, Only $4 million. Construction Contracting. 1982, No. 3-4, p. 28-29.13542 m-Kuppeln aus Strangpressrohren. Schweizer Baublatt, 1971, No. 70, s. 10.