автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Конструктивная геометрия многогранных пространств

КИЕВСКИИ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

ГОЛЬЦЕВА Раиса Ильинична

КОНСТРУКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МНОГ1 ГРАННЫХ ПРОСТРАНСТВ

""^циальность 05.01.01 «При >трия и инженерная графика»

Автореферат

диссертационной работы на соискание ученой степени доктора технических наук

Киев — 1992

Работа выполнена в Московском Ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительном институте им. В. В. Куйбышева.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Филиппов П. В.,

доктор технических наук, профессор Бадаев Ю. И., доктор технических наук, профессор Стародетко Е. Н.

Ведущая организация — МНИИТЭП (Московский научно-исследовательский и проектный институт типового и экспериментального ¡проектирования).

Защита состоится к</<^ ^ . . 1992 г. ъ^Ф.час.

на заседании специализированного совета Д 068.05.03 при Киевском инженерно-строительном институте: 252037, г. (Киев, Воздухофлотский 'проспект, 31, аудитория 319.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке 'Киевского инженерно-строительного института.

Автореферат разослан «.. . > 1992 г

Ученый секретарь специализированного совета

Плоский В. А.

а

ОБЩАЯ ХЛРШЕРЖТШИ. РАБОТЫ

Актуальность. Тема диссертационной работы включена в план Госбюджетных НИР МИСИ 1Ш. В. В. Куйбышева на 1966-1990 гг. под шифрами: 12.1 - 12.2. "Разработка новых типов объемно-планнро-вочных решений производственных и вспомогательных зданий, хилых и общественных зданий и сооружений".

Этапы исследований прикладного характера выполнялись, согласно программы Ш11Р Госсграгданстроя - проблема 055.04, по темам:

- 055.04.ОЗПП.08-09 "Разработка геометрических схем стеря-нещх и трансформируемых большепролетных конструкций на основе многогранников для новых типов учреждений отдыха и пионерских лагерей" (1978, 1979-80 гг.)";

- 055.04.02.06.07 "Провести НИР к разработать проектные предложения зданий и сооружений универсального назначения на основе легких пространственных конструкций, базирующихся на многогранных структурах" (1983 г.);

- 055.04.02.06.07 "Провести исследования и разработать указания по геометрическому формообразования и проектированию структурных многоярусных покрытий по заданным параметрам" (1985 г.).

Актуальность исследования теоретнчзских основ геометрических закономерностей - формообразования, метризации, построения, пропорционального деления частей и целого, всегда определялись практической необходимостью, удовлетворяя практиков, а затем, опережая их запросы, исследовались новые закономерности предопределяя прогнозы для будущего применения. Актуальность использования геометрических теорий остается и в наше время, поскольку геометрические закономерности органично входят в различные области практического применения, на основе которых успешно решается!; ряд эстетических, технологических и экономических задач, а также служат определенной базой во многих научных изысканиях.

Геометрические теории, использованные в различных областях народного хозяйства, создаш • многими учеными нашей страны различных геометрических школ, старейшими из которых являются -Московская школа геометров основанная профессором Н.ф. Четверу-хиным и Киевская школа геометров основанная профессором С.М.Ко-лотовым.

о

Большинство научных исследований школами геометров проводились и проводятся по кривым поверхностям с использованием аппаратов аналитической, дифференциальной и линейчатой геометрий. К настоящему времени круг исследуемых проблем значительно расти* рился, за счет возникновения нового научного метода - "¿числительного эксперимента"*' в основе которого заложена триада "модель-алгоритм-программа", где изучение геометрических моделей и объектов производится с использованием ЗШ. Комплексно разрабатываются вопросы геометрического моделирования и оптимизации архитектурных покрытий и ограждений. Ведутся работы по геометрическому моделированию в диалоговой режиме, что позволяет осуществлять в динамике вариантное проектирование с постоянным визуаль-.ным контролем его результатов. Интересным направлением является квалиметрическое проектирование, когда эстетические характеристики будущего здания или сооружения определяются с помощью количественных показателей, основывающихся на теории информации, экспертных оценках, законах гармонии и т.п., где исходными геометрическими моделями опять же являются кривые поверхности.

Одной из забытых областей исследования, да не в укор это будет сказано школам геометров, является геометрия многогранников и их многогранных пространств, поскольку, как в отечественной, так и в зарубежной науке, очень мало аналогов комплексных исследований в данной области. Изучение же свойств и закономерностей многогранников может быть приложено ко многим областям научных 1 исследований и являться исходными моделями при решении ряда практических задач.

Настоящая диссертационная работа посвящена изучению общих закономерностей выпуклых многогранников и линейчатых многогранных пространств, исследование которых связано с народнохозяйственными проблемами в области архитектурно-строительной практики по программе - 055.04. НИР. В частности исследования многогранников были направлены mi

- формирование сетчатых купольных покрытий и многокупольных систем с закономерной стыковкой куполов для зданий й сооружений

'Научные исследования по прикладной геометрии: итоги, задачи, перспективы (гл.ред. В.Е. Михайленко). В кн.: сборник научн. трудов # 50i "Прикладная геометрия и инженерная' графика1*, Киев, Вудивяльник, 1990 г.

с

универсального назначения с залами многоцелевого использования, а также малых архитектурных форм - объектов сезонного назначения;

- комбинаторную перегруппировку многогранных структурных покрытий с переходами на разные высотные уровни от горизонтального положения в вертикальное или наклонное с наперед заданными углами, использование которых предусматривалось в качестве покрытий ангаров, плавательных басейнов, спортивных и игровых площадок, навесов над келезнодороульми платформами, а также покрытий отдельных жилых кварталов з городах Крайнего Севера.

Практическое же использование всех свойств и закономерностей многогранников в различных областях, может быть осуществлено только при глубоком и всестороннем их изучении, что и предпринято в данной работа. .

Цель работы состоит в создании общей теории конструктивной геометрии многогранников и их многогранных пространств.-

В связи с поставленной целью в работе предусматривается решение следующих задач:

- подвергнуть исследованию выпуклые многогранники и установить закономерности их формообразования;

- произвести классифжацня выпуклых многогранников по общим свойствам и признакам;

- разработать метод преобразования многогранников в пространственные линейчатые системы;

- создать метод построения сечений многогранных пространственных систем зпарными плоскостями, используя системы - полиэд-ров-ядор одной родственной группы многогранников, и для обоснования общезначимости данного метода, итерировать его на системы многогранников других групп;

- исследовать плоскио конфигурации правильных п-угольников, выявленные закономерности которых использовать, как вспомогательный ыатод при построении сечений многогранных пространств;

- установить общие свойства и различил между многогранными пространстваии ядер - полиэдров разных классов, групп и очертаний, и вывесеи их основные характеристики;

-'создать аппарат конструирования объемных моделей по многоэпюрным отображениям многогранных систем;

- разработать схему вычерчивания эпюрных изображений многогранных пространственных систем при помощи ЭШ;

- разработать рекомендации практического использования, по-' лученных в работе теоретических результатов.

Метод исследования. В качестве основного применялся "Метод : Кеплера-Пуансо" - метод взаимно-многозначного отображения гране!) многогранников скользящим движением плоскостей, А также использовались методы комбинаторной и дискретной геометрий, аффинной и проективной (аксиомы инцидентности, принципа двойственности, перспективно-аффинных преобразований); теории графов; математической логики; метод сферической тригонометрии и ортогонального проекцирования, способы преобразования проекций начертательной геометрии.

В основу проведения исследования и решения поставленных задач была положона структурно-семантическая модель эвристического метода.

Научную новизну составляют.: - метод конверсионного расширения многогранников при их взаиыообразовании;

- составление новой классификации выпуклых многогранников, в отличие от классической;

ь общий закон формообразования многогранников;

- конфигурационные аксиомы правильных п-угольников и их гомотетично-концентрических линейных систем;

- методы преобразования многогранников в пространственные системы и отображения систем на эпюрные плоскости;

- аксиомы взаиморасположения следов граней полиэдров на п-эпюрных плоскостях многогранных пространственных систем;

- законы стыковок следов разноэпюрных сечений пространственных п-эппрных систем;

- геометрические основы объединения многогранных пространств по базисным рангам, очертанию, сопряженности и параметризации;

- аксиомы расширения и сжатия многогранных пространств;

- аппарат моделирования объемных форм по разноэпюрным чертежам многогранных пространственных п-эпюрных систем и общие формулы определения числа плоских элементов в объемных моделях.

Практическая ценность. На основе созданной классификации многогранников и их последовательного формообразования:

- разработаны способы формирования сетчатых сферических замкнутых куполов и их блокировки в многокупольные системы, а также шведены количественные формулы их элементов, где блокировка отдельно стоящих куполов позволит перекрывать большие пространства с минимальным высотным уровнем;

- предлагается методика перехода от замкнутых куполов к открытым сеченияшплоскостями уровня, позволяющая проектировать объекты с различными объемно-планировочными решениями;

- выведены общие формулы определения числа элементов - ре-бер-стеряней, узловых связей, плоских элементов при последовательном формировании сетчатых куполов и приводится схема координатной записи узловых связей купольных покрытий, дающая возможность проектировать данные. курола при помощи ЭШ;

- разработанная методика многовариантности формирования куполов позволяет инженерам-проектировщикам зданий и сооружений сделать необходимый выбор оптимальных форм, а проектирование куполов на основе метрических параметров для ЭШ, значительно упростит данный выбор.

Разработанный метод формообразования конструктивных сеток плоскости, позволит многообразие отделочные материалы зданий и сооружений, гдо предлагаются различные варианты паркетов и мозаик.

Эпюрные отображения многогранных пространственных систем, представляющие закономерные сети прямых разного числа и типов самопересекающихся п-угольников, могут быть использованы как геометрические исходные модели при планировке городов - сетей улиц и магистралей, А разработанные схемы построения эпюрных изображений с помощью ЭШ. дают возможность проектировщикам.интегрировать процесс планировок сетей улиц и магистралей, получая при этом многовариантные индивидуальные решения*.

Реализация работы. Результаты работы неоднократно использовались в экспериментальных проектах при создании курортно-турист-

сдих комплексов, учреждений отдыха молодежи и пионерских лагерей в ЩИИЭП к.-т. зданий и комплексов Госгразданстроя при Госстрое СССР по проблеме 055.04 (х/д - 1978, 1979-80, 1981-82, 1983, 1985 гг.).

Справочные материалы результатов некоторых исследований . данной работы использовались на предприятиях "Буревестник" для служебного пользования (1987 г.).

Результаты данных исследований в качестве методического материала использовались в учебном процессе:

- прочитан курс лекций для студентов факультета КПГС, 1У курс, ШСИ им. В.В. Куйбышева на темы: "Многогранные структуры в элементах зданий и сооружений","конструирование куполов, многокупольных -систем из исходных многоранников плотно заполняющих пространство", "Методика комбинаторного развития стержневых структурных покрытий на разные высотные уровни" (1987/88 уч.г.):

- проведено консультирование дипломного проекта по результатам исследований автора данной работы на тему "Многоярусное покрытие стержневыми элементами общественного центра при реконструкции зданий МГУ им. М.В. Ломоносова" (1988/89 уч.г);

- прочитан курс лекций на 4ПКП в МАрхИ (1986/87, 1987/88 гг. весенний семестр) по темам: "Многогранные структуры в элементах зданий и сооружений", "Конструктивная геометрия многогранных пространственных п-эпюрных систем", " Геометрическое преобразование конструктивных сеток, как основы при разработке вариантов паркетов и мозаик" (24 ч.);

- тема: "Геометрическое формообразование на основе многогранников элементов зданий и сооружений" (72 час. три семестра) включена в программу для слушателей ФОП "Архитектурно-строительный дизайн" МИРИ им. В.В. Куйбышева - полный курс 216 час. (2-й, 3-й

и 4-й семестру:1985/86 - 1987/88 уч.г.).

Апробация работы. Основные положения работы доложены и обсуждены на : - научно-технических конференциях МИСИ им. В.В. Куйбышева за период с 1978 по 1987 гг.;

- научно-технических студенческих конференциях ШСИ им. В.В. Куйбышева (в качестве науч.рук. студентов" по темам диссертации) 1980 - 1987„гг.;

- городских научно-методических семинарах "Прикладная «геометрия" ЫАрхИ (1985, 1987, 1988 гг.);

- заседании секции "Начертательная геометрия, инженерная графика, автоматизация проектирования" Дома ученых г. Ленинграда (1989 г.).

Направления геометрических исследований докладывались на -

- постоянно действующем практическом семинаре по пространственным конструкциям ЛенЗНИИЭПа в 1978 г.; - ученых советах ВДИИЭПк. - т.зданий и комплексов, г. Москва (1979, 1981-1984 гг.).

Практические результаты работы, воплощенные в макеты - "Многокупольное покрытие на основе многогранников плотно заполняющих пространство", "Стержневая многоярусная модель для большепролетных перекрытий", и планшеты - "Передвиетые перегородки валов многоцелевого использования в виде рельефных структурных плит", демонстрировались на выставке "Архитектурная бионика" в разделе "Новые архитектурные формы и конструкции, полученные геометрическими методами" (1982 г.).

На защиту выносятся: положения, составляющие научную новизну, а также теоретические основы "Конструктивной геометрии многогранных пространств".

Объем публикаций по теме диссертации 64,3 печатных и учет-но-издательских листов (27 наименований).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, вводной главы, семи глав, заключения, 253 наименования библиографии, словаря основных терминов (29 терминов) и приложения-1 (отдельной книгой формата А3). Содержательная часть работы включает 281 страницу машинописного текста, в текстовой части - 63 рисунка и 60 таблиц. В приложении включены 204 рисунка и 28 таблиц на 101 листе, из которых 16 листов формата А^.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В тонной главе приводится историческое развитие исследований по многогранникам, начиная с создателя "первой Академии мира" - Платона (427-347 гг. до н.е.) и его правильных многогранников, а также области науки в основу которых было положено учение о многогранниках. А именно:

- Иоганн Кеплер, исследуя геометрию пчелинных сот, положил начало новой теории - теории плотного заполнения пространства многогранниками, а позднее данная теория была развита русским ученым Е.С. Федоровым, как теория заполнения пространства центро-симметричными многогранниками- параллелоэдрами, положенная в основу науки о кристаллах - "Кристаллографии".

- Опост Браве - француз, морской офицер, положил начало геометрической теории пространственных решеток кристаллов - "четырнадцать решеток Браве". которые являются реберными каркасами многогранников плотно заполняющих пространство, где данные решетки легки в основу исследований физики твердого тела и ядерной физики.

- формула Эйлера для выпуклых многогранников (В+Г=Р+2), обобщенная П.Пуанкаре для выпуклых тел произвольной размерности, легла в основу "Комбинаторной топологии". Расположение конечных систем точек на выпуклом многограннике, привело к созданию "Дискретной и комбинаторной геометрий", которые являются фундаментом такой важной области науки, как "Кибернетика". связанной с прогрессом электронной вычислительной техники.

- Решение "Диофантовых уравнений" со степенями больше трех, где для обозначения степеней вводились - "квадрато-квадраты", "квадрато-кубы", "цубо-цубы", привело к созданию (ХУШ в.) новой геометрии - "Многомерной".

-Исследование отображений многогранников, приводит к возникновению такой дисциплины, как "Теория графов", практическая использование которой связано с решением таких задач, как транспортные связи и дорожные развязки.

- Метрические характеристики графов многогранников нашли разрешения задач линейного программирования, где в основу оптимальности решения задач положен симплекс-метод.

- Теория плотного заполнения пространства многогранниками дала основу для получения новых типов большепролетных подзытий строительных объектов - конструкций из структурных решеток: -плотное заполнение плоскости п-угольниками, привело к созданию паркетов и мозаик; а выпуклые многогранники являются исходными моделями при формировании сетчатых геодезических куполов. И т.д.

Использование свойств и закономерностей выпуклых многогранников и их симметризованных пространств в различных областях {туки и практики не ограничивается вышеизложенным перечислением, поскольку открытие новых свойств и закономерностей многогранников, может привести к созданию еще не существующих теоретических на-направлений и научных областей, а также позволит прогнозировать решения неизвестных пока еще практических задач.

Анализируя развитие исследований по многогранникам, а также классификацию многогранников, приводимую справочными источниками, в которых многогранники классифицируются по противоречивым признакам т.е. правильные и полуправильные многогранники - по внутренним характеристикам, пароллелоэдры - по группе преобразо-. ваний, "невыпуклые-звездчатые" - как самопересекающиеся многоугольники; в данной работе сделано такое обобщение - все исследования многогранников трехмерного пространства, в зависимости от внутренних характеристик и групп преобразований, необходимо разделить на три" теоретических направления:

- теорию выпуклых многогранников:

- теорию плотного заполнения пространства многогранникам^;

- теорию выпукло-вогнутых многогранников.

Теория плотного заполнения пространства единичными многогранниками - параллелоэдрами Федорова, а также заполнителями, включающими пщ два типа многогранников, по три и более, базируется на дискретной группе движений - параллельном переносе. Такие пространства отнесем к области многогранных аффинных структур.

Теория выпукло-вогнутых многогранников базируется на взаимно-многознацком отображении методом скользящего движения плоскостей - граней многогранников-ядер и монет быть обобщена, как область »многогранных ядерных пространств: причем данную область можно отнести к малоизученным.

Теория выпуклых многогранников опирается на ряд теорем - теорему изометричности (Коши), - существования и единственности (Мин-койского), -устойчивости (Александрова), - связной сети ребер непроизвольной формы на сфере (Штейница), - Эйлера о соотношении влементов в выпуклых многогранниках и символов Шлефли, где последние можно отнести к важнейшим характеристикам многогранников,

' Математическая энциклопедия (в 5-ти т.). 1982, т.Э, стр.

709.

- 12, -»связана/

црименоние которш^ постоянным • использованием. Все приведенные теоремы, характеризуя многогранники Платова и Архимеда, со-* таится "неподвижными", поскольку не указываю возможностей образования новых типов многогранникоз»

В связи с "неподвижностью" клаосичеоких теорш выпуклых многогранников.и учитывая противоречивость их классификации, которая, но сит незаконченный характер, приводящий исследования в «ушпь, в данной работе предусматривается решв^й^йадач, связанных е общей проблемой классификации многогранников.

......Первая глава посвящена теоретическим основан выпуклых ынор»*

гравников: исследованию их свойств, общих признаков и..различий; раарабоиа. методов взаимообразования и последовательного.фор»о-образования; создание новой классификации ■ многогранников, в отличиеог классификации, принятой в классическом наложении; ..

.......основу решения, задач, связанных о классификацией много«г

гравников, были положены - формула Эйлера.

..... (В + Г).-Р «2 я -С1Л)

стволы Шлефи Т )}, . . (1.2)

еде:. £ число углов в грани, <{, • ^сло ребер, .в одной вершине; а при о^единешш (1.1) * (1.2), получи* •

<^, В т р Г »"2Р. (1.3)

____Учитывая общие признаки и различия, все выпуклые многогранника в дандай работа разделены на два класса. - тела Архимеда я сходные-С. ниш по общим признакам другие, типы многогранников - -Спризмы^-антипризмы). отнесены к классу "архимедовых!*. - клаоеу-А; равногранныа многогранники,. включая двойнне пирамида (бипяра-миди) и антипирянида,.- к.клаосу-Б. ......

— . Между многогранниками двух классов устанавливается изоморфизм, поскольку.каждому многограннику (ФА) кжасса-А, соответствует, единственно, двойственнвй (»*) «у многогранник (в^З клас-мЫз. Цри. втомсумма «ементов каждой двойственной пары предом*» ваяет тождестве*- .

. ________* Г ♦ Р) ш (В + Г + Р) г €1^4)

отрада * » Рб) ь (Ва « ГБ) , (ГА - Вб). (/. 5)

■Неравенство между числовыми характеристиками вершин и граней в каждом многограннике двойстванной пары (1.5), определяется одинаковой числовой разностью, только о противоположными знаками. Например, двойственные октаэдр (В=6, Е=12, Г=8) н куб СВ=8, Р=12» Г*6), - икосаэдр (В=12, Р=Э0, Г=20) и додекаэдр (Вя20, Р=30, Г=12)^ где первая двойственная пара имеет разность, равную "2", вторая - равную "8"; но для куба и додекаэдра эта разность выразится величиной положительной, учитывая что точка первичны, а для октаэдра и икосаэдра — отрицательной. Такую разность в полиэдрах каддой двойственной пары назовем коэффициентом двойственной связноотц - Кд, показатель которого опрэ-деляэтоя выражением -

(В1 - ц) = (В£ - Г&5 - ? ид." (1.6)

Поскольку полуправильные- многогранника содержат разнотипные характеристики вершин и граней - полиэдры класса-А имеют два типа граней, три и более; равногранные (класс-Б) - разное устройство вершин; то между числом сторон в гранях и числом-; ребер в вершинах полиэдров разных классов, составляющих двой- . сменную пару, должно существовать взашлно-однозначное соотват-птвяа. внрашиюееоя символами т&Ьжя. т.е.

<|>А> * ^Б5.-/ </• № - (<уЛ) ¿"/¿А Я-?)

ГД<?-2 / -» Ь - локальные, ыодулыше величины дня каждой двойсг-

венной пары. ................

Так, условием двойственности ыазду параш полиэдров разных шшсоов являетоя.взаимосвязь модду их элементами, в соответствия о (1.4) -(!•?), которое представим логической формулой -

.....ил,

Пять правильных кногогранннков такаа разделены на классы -сктаздр и икосаэдр отнесены к классу-А, куб и додекаэдр - к клаосу -Б, а пара двойственных тетраэдров будут до одному входить в каждый, из классов. Такое распределение основано на кон-отантностя порождающих элементов при взаимообразовании.многогранников методом "конверсионного расширения" при котором прямые (ребра) прообразов переходят в точка (вершины) или в

вдоскости (грани ) образов. Например, двойственная пара равновеликих тетраэдров,ребра которых при пересечении образуют общи двойную точку С, преобразуется в октаэдр, если точки С принять аа вершины последнего, ¿лли пары пересекающихся ребер тетраэдсв . заменить на плоскости, получим куб.Кубооктаэдр » долиадр клас-оагА получен переевшем совмещенной двойственной пары октаэдра в куба; где общие двойные точки С их рёбер, являются вершинами . кубооктаэдра, ¡треугольные, грани шщидентны граням октаэдра в подобны им, а квадратные грани инцидентны граням куба. Плоскости, натянутые на пары пересекающихся ребер октаэдра и куба, образуют ромбы - грани ромбического 12-гранншса - полиэдра класса-Б. Тан разделение многогранников по классам, основано различием их кодо» вых характеристик, при взаимообразовании, где полиэдры преобразуются заменой разнотипных эквивалентных элементов - полиэдры кгассаг-А заменой "ребер на вершины" (Р-^В), полиэдры- класса*-Б заменой.. ?ребер. на грани" (Р-^-Г), при атом число робар образов кратно возрастаем. .

Выпуклые полиэдры, в соответствии систем осей симметрии, объединены в четыре группы, включающие двойственные пари: два группы сферического очертания - "Теграэдро-яубо-октаедрическая" о системой осей симметрии 2-го, 3-го и 4г>го порядков, в "Ико-. оаэдро-додекаэдрическая" о осями (2,3,5); два группы цилиндро-. -биконического очертания с главной осью симметрии от 3-го до п-ю порядков — "Призмо-бишрамидальная" с плоскостью симметрии ортогональной главной оси симметрии и "¿нтидризмо-д-дирамидальная" '

с плоскостями. .симметрийг проходящих через главную ось»,......

— -.Углы ыеаду-осями .симметрии полиэдров-групп- сферического*очер-тания-опредеяены методом, сферической тригонометрии, где. число треугольников на сфере определяется топологической формулой -

• А^"ш (2В - 4), (1.8)

характеризующей число граней тетраэдра, октаэдра и икосаэдра, от числа их равномерно распределенных вершин. При распределении вершин куба и додекаэдра, число.треугольников выразится формулами -Д^ » ЗЩ-& .» (2В-4), (1.9) 5(2В-4) , = 2(В+Вг)-4, (1.10)

где: дня куба (1.9) число вершин неизменно, додекаэдра - каждая грань делится на пять треугольников, а на сфере увеличивается

.число точек на число граней додекаэдра. Так углы в равносторонних сферических троуйаьшисах определены по теорема косинусов, где предварительно ях площади выражены через площадь сферы и.приравнены к сферическому избытку, но с учетом равенства сторон теорема косинусов примет вид -

X , KT.

;2+ (1-Х2) * toi А, (I.II) •

где; „ ^ A« „ .

..... Ддя подсчета углов шзду калдой парой осей симметрии,использовала конструкция 1/6 чаотп равностороннего треугольника, как. косоугольного, углы в котором определены по теореме котангенсов. Данная консгругсция рассматривается, как. триэдр разнопорядковых осей сиилетрая о центром в вершине многогранника и представляет ого константный отсек- Грани выпуклых многогранников оплсыват ютоя парадатрлческиш уравнениями в сферических координатах, отнесенных к декартовой системе. !

Каядая двойственная пара полиэдров, совмещенная в биполиадр о общими ДЕОйнши точка;.ш С, преобразуется методом "конверсионного расширения" в новую двойственную пару, и при последовательном преобразовании, образуют подгруппу внутри группы. При этом, элементы двойственных пар полиэдров подгруппы возрастают в reo-метрической пгюгресспл.где каядай послелуыщий биполиэдр будет отличатся-от предыдущего на одну и ту so постоянную величину -количество двойных точек С. Эта постоянная величина для калдой подгруппы опроделена, как. коэсМщщент тройственной связности -Кто, являясь показателем подгруппы и первым членом геометрдчес-еой програссия со знаменателем. "2е. -. -. . . Так дерзка два группы многогранников сферического, очертания содержат конечное число подгрупп, а. два другие группы. - предельно-бесконечное число подгрупп до вырождения призм и антидризм а цилиндры, а бшшрамид п антиппрампд в двойные конусы. В процесса преобразования новых пар полиэдров в каздой подгруппе, полиэдры класса-А пополняются одним типом граней, сохраняя инцидентность и подобие граней прообразов, а полиэдры класса-Б ~ одним типом вершин, где их грани сохраняют константное число сторон - четыре. Например, в подгруппе-Цриы группы "Т-К-0"(рис.1)

—'17 -

(¿ктаэдр и куб преобразуются в кубооктаэдр и ромбоэдр-12, где последние преобразуются в ромбокубооктаэдр и дельтоэдр--24 (см.рис,1,г), являясь предыдущей, для новой двойственной пары и т.д. Архимедово трапециед*альное. тело - АТ-Ш (см., рио.Г,д) образовано из ромбокубооктаэдра и дельтоэдра-24,граш которого сохраняют инцидентность и подобна граням всех предыдущих пар полиэдров данной подгруппы-41рим.

Совмещение двойственных пар полиэдров характеризуется коэффициентом совмещение - Кс, показатель которого может быть равен "1", больше единицы .дли меньше единицы, относительно радиуса "реберной" вписанной сферы полиэдра класса-А к полиэдру класса-Б, При Кс=1 ребра двойственной пары пересекаются в общей двойной точке С, при Кс> I, Кс -с I одной и той яе двойственной пары полиэдров, получим два разных многогранника» Например, совмещенные куб и октаэдр с Кс > I - получим усеченный октаэдр, а при Кс< I - получим усебенный куб, где ребра новых полиэдров увеличиваются трехкратно.

Совмещение двойственных пар полиэдров производится по двум позициям - прямое совмещение, при котором сохраняется стабильность осей и плоскостей симметрии; - совмещение с кручением на угол ср , где нарушается либо порядок одной из осей симметрии, либо система плоскостей симметрии.1 Например, октаэдр и куб совмещенные так, что их ребра пересекаются на отрезки в пропорции "золотого сечения"', при этом 12 их точек С являются вершинами икосаэдра, а восемь его граней инциденты граням октаэдра и подобны им»

В результате исследований выпуклых многогранников, выведен общий закон формообразования многогранников - каждая совмещенная двойственная пара полиэдров порождает новые двойственные пары полиэдров. типы которых зависят от позиции сов-мегаения порождавшей пары и показателей их коэффициентов сов-И2ШШШ..

Вторая глава - "Многоугольные, системы плоскости" включет исследования многоугольников по двум различным направлениям, _т.е» в первой части главы исследуются п-угольники плотно заполняющие плоскость; во второй - исслвдзтугся 1таоские ктофигу-рации п-угольников и их гомотетично-концентрических систем.

P*fC. 2

Исследование п-голышков плотно заполнящих плоскость, как конструктивных сеток паркетов и мозаик, проведено с двумя целями.

— I. Обосновать общезначимость методов формообразования многогранников - дяокретных моделей трекерного пространства, распространив данние метода на плоскость (рис.2), а такта выявить обцио свойства и признаки между последовательным преобразованием полиэдров и последовательным преобразованием конструктивных сеток.

* 2. Разнообразить типы ячак конструктивпых саток, разрабатывая их многовариантность, как элементов отделки, (паркетов, мозаик, платок. и т.д.) зданий и сооруяэний.

Исследования конфигураций многоугольников (от треугольника до 12-утолышка), а также их гомотетично-концентрических систем, при условия, что чорэз каждую точку конфигураций проходит только по- две прякзх, проводилась о цальв разработки вспомогательного катода для построения отображений многогранных систем.

Многоугольники были разблты. на группы - "нвчетпнй+чатгшй", г.о.^реугольнтс + квадрат" - группа-1, "пятиугольник + шести-. . угольник* - группа-2, ... "П-угольнак + 12-уголышк." т.группэ-б; такое разбиение проведено по признаку равенства числа точек на фиксированных прямых "нечотного"(~'п) и "четного"(+" п) многоугольников, при условия, что плоскость "четного"п-угольника ограничена аффинной, в соответствии следующих выражений ~

¿г'п) » (п-1), (2.1) £(+1п) « (п-2), (2.2)

*

где: ¿- — число точек инцидентных каждой прямой.

Фиксированные многоугольники подвергнуты преобразованию гомотетии с краткностью х» 1,2, 5; а выражения (2.1), (2.2) приняли, вид — * I •

С С'пТ « х(п-1), (2,3) ¿(+1п) - х(п-2) <2.4)

Каждый п-угольник, подвергнутый преобразованию гомотетии составил линейную систему, являясь ее базиооы. При этом общее число точек конфигураций линейных систем всех исследуемых базиоов определялось выражением — . ?

Р( К^п- х"\ (2.5)

•где: Р - общее число точек конфигураций линейных систем; Кр,— коэффициент базиса, соответствующий порядковому номеру группы; - линейная система определенного базиса; х - кратность гомотетии, возведенная в квадратную степень.

Составленный график, иллюстрирующий возрастание числа точек линейных систем базисов, начиная с треугольника, представляет квадратичную функцию, где две параболические кривые характеризуют разделение конфигураций - одна из кривых проходит по точкам нечетных базисов, другая - по точкам четных» (ТаНя. 1) .

Проведено сложение пар конфигураций в новые конфигурации, где новые конфигурации образуются при условии, если;

— многоугольники с нечетным числом сторон и каждый из пары на имеет с другим параллельных сторон;

— два многоугольника с четным числом сторон и с непараллельными сторонами;

— два п-угояьника с равным числом сторон и непараллельными сторонами.

Третья глава включает разработку методов преобразования выпуклых многогранников в многогранные пространственны» системы, продолжением их граней до полного и взаимного пересечения, где операции-преобразования определены следующей последовательностью:

— принимается многогранник с однотипными иди разными типами граней в качестве ядра многогранной пространственной системы и проводится нумерация его граней по определенной схеме; присваеваются символы плоскостям симмэтрйи полиэдра-ядра;

— закрепляется каждая из плоскостей симметрии полятэдр»-ядра за ортогональными им гранями, согласно проведенной нумерации; одна из плоскостей симметрии полиэдра высшего ранга назначается в качестве основной направляющей плоскости симметрии 2Ж23&:.....•---------- ...... ...

— устанавливаются в качестве опорных плоскостей (плоскостей отображения пространственных систем) - последовательно смежные . грани каждого типа (в п-эпюрных системах), ортогонально закрепленные за основной направляющей плоскостью симметрии;

. — определяются характеристики граней относительно эпюрных плоскостей: позиционные - составлением групп симметрий граней, метрические по проекции ядра на основную направляющую плоскость симметрии пространственной системы;

!

S SP

II !

"S

î? M

N '

I g

r

I

h

N4

4)

«O

?

Il ?

4$-

! ?

\

¿"J

II

В

a? î

«

£

€

»Ci

s?

£

s?

S? NÏ»

<4

NY

s?»sy . S / -,y

5Î4 ir?

i 3P

I

S*

Si

«

a."4

s§°

S

«sä» У

IN

Г §

N

S"

S

M

f £

V £

f

>

«Vj

s?

4i

5<3

Í

С #

§

£

f

€ *

î I

JN

9

i «P

if S?

N

M

f

£

m 45

M V)

s

- составляются графы■полиэдра-ядра для каждого положения эпюрной плоскости в многоэпюрных системах щш один граф - для одноэпюрных систем; '

- строится каждая эпюрная грань полиэдра-ядра, в соответствии модульной величины ребер полиэдра; наносятся на эпюры следы ортогональных плоскостей симметрии являющиеся осями симметрии;

- исследуются плоские конфигурации следов граней полиэдра- -ядра (линий пересечения продолженных граней с эпюрной плоскостью).

В качестве исходных ядер пространственных систем принимаются последовательно двойственные пары полиэдров подгруппы-Прим группы "Т-К-О* - октаэдр и куб, кубоокгаэдр <В»12, Р=24» Г=*14) .. с двумя типами граней и ромбический 12-гранниа (B=¿4, B=24,IWI2) j роыбокубоокгаэдр (В=24, Р=48, Г=26)с тремя типами' граней и даль-тоидный 24-грашшк (В=26, Р=48, Г=24), а такка новый многогранник классаг-А - тело АТ-Х (В=48, Р=96, Г=50) с чстырмн типами граней (рис.3)» Проводится индексация граней данных полиэдров и . устанавливается инцидентность мевду типами граней образов и родственными им типами граней прообразов» о учетом числовых индексов, параллельным граням ядра присваевается один и тот se числовой индекс, где одна из граней с меньший значением координат в определенной ориентации многогранника-ядра, имеет нуль СО") впреди номера, т.е, 1-01, 2-02, 3-03 и т.д. (см.рис.3). Нумерация производится в одной ориентации, относительно оси сишетрив высшего порядка полиэдра-ядра, и остается постоянной для остальных.

В качества эпюрных плоскостей (ЭП) - плоскостей отображения многогранных пространственных систем заданы последовательно смея-ныв грани, пересекающиеся одной плоскостью симметрии - основной направляющей плоскостью ^ j. Например, эпюрными плоскостями ядра АТ-Х приняты грани - "Iе кубического направления, "6" октаэдричв-ского направления, "22" ромбоэдрического и "2я дельтоэдричасаого, т.е» грани всех типов (см.рис.З).

Метрические параметры следов граней - углы наклона к. эпюрным плоскостям, расстояния центров следов граней до центров эпюрных п~гольников (см.рис.З) определены по внутренним хараатеристикам полиэдров-ядер с использованием тригонометрических функций и метода сферической тригонометрии; где.нормали каждой грани, относительно центра ядра, описаны системой линейное уравнений»'

Пары грдней ocpoiw/x

МЛ эп. /?2 Pi /?4 Rs #6 Eil Elz а3

№ г - i-7 f-ô f-07 /-06 - - . /-¿>/

'гп - 2-5 - - 2-04 2-03 2-3 2-4 2-О5

А-У г - - - ИЗ 1-12 1-013 M/2 — - /-о/

Ъ' - 6-Q - - 6-Û& 6-07 6-7 ó-в ¿•од

ж - 10-010 10-2 1Û-3 fû-05 /0-04 /о-/1 /0-0// —

■№ г - .— f-24 1-23 f-024 /•025 — - ■ /-Of

"6" 6-3 - - 6-oe ó-07 6-7 6-8 6-0Э

'22' 22-022 22-Ю 22-11 22-015 22-Û12 22-25 22-025 -

Г 2-5 2-15 2-/4 2-017 2-016 2-3 2-4 2-05 j

Позиционные характеристики следов, граней на агарных плос-скостЯх (ЭП) определены группами симметрий граней, состоящими из двух пар зеркально-симметричных граней, причем каждая пара зеркально-симметричных граней упорядочена гранями многогранника одного типа - пралолиэдра. Каждая группа симые.рий.включает две подгруппы - основную (Но) и дополняющую . • (Нд). В основную. зодгруппу входят эпюрная грань и ей родственная, где след родственной грани на эпюрной плоскости является направляющим -носителем опорных точек пересечения следов граней тех дополняющих додгрущ Ой), которые входят в рдау группу с этой оонов-' ной (Но).

Число, направляющих следов на «шорной плоскости, совмещенной с гранью определенного типа, соответствует разности мваду числом плоскостей симметрии полиэдра и числом плоскоотей сишэт-- рии,ортогонально пересекающих эпюрную грань (ЭГ), т.е.

/Уно «. И¿ {111 Гт зг). С3.1)

где:И^ - число плоскостей симметрии ортогонально пересекающих эпюрную грань (ЭГ), сумма всех плоскостей сишетрии поли-

эдра - ядра пространственной системы.

Количество дополняющих подгрупп (Нд) к каждой основное (Но) определяется по следующей формуле

дц - ът -тгщПшт - 2, (3.2)

где: 2 Г(Ф) - количество всех граней полиэдра-явда; Г^ - число граней пересекающихся зеркальной плоскостью симметрии -57е; (ууа-=^ ЭГ) - плоскость симметрии, относительно которой составлена основная подгруппа (Но) с эпюрной гранью (ЭГ); "2"' -константный показатель - в знаменателе число "2" определяет состав граней в одной подгруппе Цц, - вычитаемое - соотав группы Но.

Например, число направляющих оледов на эпюрной октогранной плоскости "6" ядра АТ-Х (см.рис.З) - шесть (табл.2), поскольку грань "6" ортогонально пересекается тремя плоскостями симметрия - Ч I» ^ з и Я а число направляющих следов на дельтогран-ной эпюрной плоскости "2" - восемь, так как грань-трапеция "2" пересекается только одной плоскостью симметрии. Число дополняющих подгрупп, например к подгруппе "б-Э* (см.табл.2) ядра

1Т-Х - семнадцать, где из 50 граней вычитаются 12 граней, пересекающиеся плоскостью Д 2 ( 2 ~ •

В четвертой глава исследуется метод построения отображений многограннУх пространственных систем на п-эпюрные плоскости,' где начало построения отображений любой пространственной системы на каждую из эпюрных плоскостей или одноэпюрной системы сопровождается:

— составлением гпвсЕа полиэдра-ядра в ориентации эпюрной плоскости (рис.4, К-1);

— определением взаиморасположения следов граней, относительно направляющих следов (НСлГ) эпюрной плоскости;. '.

— изображением эпюрной грани с заданной модульной величиной. ребра полиэдра - ядра системы и нанесением через ее центр следов ортогональных плоскостей симметрии - осей симметрии.эпюры;. причем след основной направляющей плоскости Ц ^ услов-лено ориентировать вертикально, как. след.плоскости, совмещенный . с ось» У прямоугольной системы координат (см.рис.4).

Взаиморасположение следов граней на эпюрной плоскости определяется группами симметрий граней и характеризуется двумя позициями:

— либо следи трех граней одной группа будут параллельны между собой, где четвертая грань группы - плоскость отображонхя;

— либо даа следа граней, дополняпдой подгруппы (Дц) будут пересекаться в общей опорной точка (С) с третьим следом - направляющим, грань которого входит в подгруппу Но с эпюрной. Причем, если грани, составляющие единую группу симметрий, родственны между собой, то они образуют направляющий пучок (/-$5 ). центр которого совмещен о осью симметрии эпюрной плоскости.

Такое двухпозиционное положение трех следов граней группы зависит от положения зеркальной плоскости симметрии (У70), относительно эпюрной грани (ЭГ), .входящей в основную подгруплу--Яо данной группы, т.е. -

- I. Зеркальная плоскость симметрии (УУ0) параллельна эпюрной грани - три следа параллельны', между собой.

- 2. Зеркальная плоскость симметрии составляет угол наклона с эпюрной гранью: а) грани дополняющей подгруппы (Кц) родственны эпюрной - три следа грани образуют направляющий пучок;

б) грани подгруппы Нд разнотипны о эпюрной - два следа граней

•шдгрупш Нд пересекаются в опорной точка "С" на направлящем следе; в) одна нз граней подгруппы Дд входах в другую подгруппу Нд» относительно основной подгруппы Но - следы граней двух дополняющих подгрупп пересекается в одной точка на общем направляющем следе.

Определение положения следов тех граней полиэдров-ядер па эпюрной плоскости, которые не пересекаются плоскостями симметрии, ортогопалышш эпюрной грани, осуществляется по плоским конфигурациям с нспользоваписитеоретико-мнояественных конструкций. Тал. например, дельтогранные следы ядра АТ-Х (рпс.5) -следа граной-трапеций представляют конфигурации - К {24,20 2402.) на эпюрной плоскости ЭГ-"1"; где данная конфигурация является также сечением многогранного пространства дельтоэдра-24 (сы.рпс.1,г) плоскостью, проходящей ортогонально его оси симметрии 4-го порядка; а также данную конфигурацию можно рассматривать', как сложение конфигураций двух линейных систем - восьмиуголь- • пой н квадратной (см.д>П).

Фрагмент дельтогранных следов ядра АТ-Х {см.ряс.5), дополненный к. эпюрному отображению ядра систем — полиэдра А-У Ссм.рлс.4) в однородной ориентации, соответствует полному отображению системы ядра АТ-Х па ЗГ-"1" при условии, что однотипные грани ядер находятся в пропорциональной метрической зависимости (см.рис.I,в).

Отображение, пространственной систеш ядра АТ-Х на октогреп-пую эпюрную плоскость ЭГ-"6П (ряс.6), такаа содержит плоскую конфигурацию К ~ Фрагмент дельтограшшх следов,

являющийся дополнением к эпюра - ЭГ—"6" системы ядра А-У (см. табл.2)г где фрагмент дальтогранных следов представляет сечение пространства дальтоэдра-24 (см.рис.I,г) плоскостью, проходящей ортогоначьно его оси симметрии 3-го порядка*. .

Эпюрное отображение пространства дельтоэдра-24 на его одно-эпюрную плоскость, дополненное фрагментами следов "кубических", нокгаэдричесшГ! и "ромбоэдрических" граней ядра системы - по- • диэдра АТ-Х (см.рис.1) соответствует полному отображению пространства АТ-Х (рис.7).

Заканчивая четвертую главу, приведем часть выводов к ней: - если ядра многогранных пространственных систем — полиэдры »одной подгруппы многогранников, то последовательный

переход направляющих следов п оледов других типов граней каждой эпюрной плоскости систем ядер-прообразов на однотипнве эпюры систем ядер-образов закономерен только в том случае, когда существует метрическая зависимость их граней; пространственные системы ядер одной подгруппы, при этом, представляют единое многогранное пространство, пополняемое системами ядер от предыдущего полиэдра-ядра к последу-азцетду;

- одноигорные система ядер - равногранных многогранников поглощаются бдиннм многогранным пространством, являясь дополнением к многоэпюрным системам п соподчиненными шл, если их ядра входят в одну подгруппу многогранников;

- пр» построении отображений пространственных систем, ядрами которых являлись полиэдры "Тетраэдро-кубо-октаэдрической" группы выявлено, что разработанный метод отображения систем ядер одной подгруппы, также может быть применен ко всем системам ядер - полиэдров, входящих в одну группу многогранников. Распространим данный метод построения отображений^ системы ядер - полиэдров других групп многогранников, итерация которого полволит обосновать его общезначимость.

В пятой главе исследованы эпюрнно отображения пространственных систем ядер - полиэдров "Икосаэдро-додекаэдрической", "Призмо-бипи-рамвдальной" и"Аятипризно-и-Ш1рамадальной"групп выпуклых многогранников (см.гл.Ц).

В результате исследований пространственных систем ядчр - полиэдров данных трех групп многогранников выявлено, что:

- разработанный метод преобразования полиэдров одной группы многогранников (см.гл.Ш) в пространственные системы, включающий методику последовательной параметризации полиэдров - ядер, может быть использован как общий, применительноо ко всем типам ядер;

свойства и призйакп, присущие выпуклы^ многогранникам, также • распространяются и на их пространственные системы, в частности -следы восьми граней икосаэдра, инцидентных граням октаэдра, проявляются на икосаэдрогранных эпюрных плоскостях следами октаэдрическиг граней; некоторые ае свойства и признаки, относящиеся к выпуклым многогранникам, установлены по их пространственным отображениям;

. - многогранные пространственные системы ядер - полиэдров одной подгруппы могут быть последовательно вложенными одна в другую при условии, что ядра систем последовательно пополняются одним типом элементов (вершин, граней), а стороны однотипных эпюрных граней

находятся в ыетричеокой пропорциональной вависжиостч;

- метод отображения пространственных систем ядер - полавдров одной группы (см.глЛУ) можно признать общезначимым, поскольку его дееспоообнооть опробирована на других пространственных системах, ядра которых имеют различные криволинейные очертания .. содержат различные показатели количественных, метрических, осесимметричных и : плоскостесимметричных характеристик.

Шеотая тлава посвящена анализу многогранных пространств, в результате которого выявлены определенные свойотва, признаки и различия. ,

Так многогранные пространства характеризуются криволинейноотью очертаний - сферическим, цилиндрическим и поверхностями гиперболоидов вращения; где кряволинейность очертаний зависит от типов ядер -сферических, цилиндрических и биконических многогранников, порождающих данные пространства, а криволинейные поверхности являются граничной областью замыкания соответотоогвдзх пространств.

Многогранные пространства оферкчяского очертания, ядрами которых являются выпуклые сферичеокйе многогранники, рааделены на три базисных ранга, в зависимости от конотантнооти отсеков пространства, однородности заполнения отсеков и членения; где рант базиса соответствует количеству триэдров во внутреннем пространстве многогранника-ядра, заключенных межку тройками полуплоскостей определенной системы плоскостей симметрии группы многогранников, при атом триэдры являются "многогранными вершинами" отсеков пространства о общей точкой в точке пересечения плоскостей симметрии системы.

Поскольку число равносторонних треугольников на сфере зависит от числа "п" точек (1.8), где основанием триэдра является 1/б часть такого треугольника, то количество отсеков пространства определено выражением- ик" - 6-(2В - 4), (6.1)

а отсеки характеризуются типами полиэдров о треугольными гранями:

- тетраэдральные отсеки - их число ИК3 «= 6(2-4 - 4) « 24,

- октаэдральные отсеки - юс число йК*, > 6(2*6 - 4) » 48,

- икосавдральные отсеки - их число ИК5 «« 6(2-12 - 4) - 120.

Единые многогранные пространства - (МП)'икР обладают свойствами расширения и сжатия. Свойство расширения основано на поглощении одноэпюрных пространственных сиотем мяогоапюрными системами при условии, что ядра пространств - двойственные пары подивдрой одной

подгруппы многогранников, т.е.

I/ . _ <Ф ,, I, (фа фб)

Ьг(Щ)'ИКп -(Ш-Фа) и (МО-Фб)-*-*-Ч-, (6.2)

(С -Н-Ра.Рб)

£де: (ММ-Фа) - нногоэпгряые пространственные системы, ядра которых полиэдры кпасса-Л; (МО-Фб) - одноэпюрные системы, ядра которых пол— вдрн класса-Б.

Свойство расширения многогранных пространств приводит к уплотнению околоядерных областей и увеличению диаметральных параметров орбитальных сфер. Свойство сжатия - обратное расширению, при котором осуществляется расслоение многогранных пространств на многоэпюрные системы и одноэшэрные о последовательным удалением одноэпюрных, что влечет к разреженности околоядерных областей и уменьшению диаметральных параметров орбитальных афер.

Установлено свойствд сопряженнооти многогранных пространств разных базисных рангов базирующегося на методе перехода плоскоотей симметрии сферических многогранников - ядер пространств из одной ¿истеки в другу» и законе формообразования многогранников.

Многохранные пространства характеризуется постоянными и переменными определителями, где к постоянным относятся - типы криволиней-ности очертания, базисные ранги, непроизвольная упорядоченность положения элементов пространства; к переменным - мощность ( ±£ ) и размерность ( с( С"). Мощность пространства определяется числом прямых (СлГ) пересечения продолженных граней полиэдра-ядра -

¿± СЛГ {мП-Ф (Г // Г)] = Гф • (Гф - 2), (6.3)

. ¿¿саг ¡МП-Ф (Г Н.Щ = гф • (Гф - I), (6.4)

где: (6.3) - мощность пространств ядра которых содержат центросим-метричные пары параллельных граней.

Размерность выражается числом опорных точек (С")'пространства, количество которых зависит от числа четных (+'Нд) и нечетных (" Нд) дополняющих подгрупп симметрии (3.2) полиэдра-ядра, т.е.

а) при (+!Нд) - .

• 4с»№-4) = Вф + Гф- + V 4р- , (6.5)

б) при Г'нд) - ,ч /П- т^

с/С"(МП-Ф) . % + Гф- + -ШЬи-. (6.6)

Равномощные многогранные пространства одного базисного ранга

- 34..- ,

обладают свойством "пульсации" при их совмещении, где в совмещенном пространстве показатели переменных определителей возрастают - мощность двухкратно, расмерность в квадратной степени. Свойство пульсации многогранных пространств сферического очертания характеризуется "движением" параллельных плоскостей с определенным коэффициентом совмещения (см.сг.17) ; пространствах гиперболического очертания "пульсирующие" плоскости меняют угол наклона к главной оси симметрии,

Седьмая глава содержит решение практических задач на основе теоретических исследований выпуклых многогранников и их симметризовак-ных многогранных пространств.

Разработана методика конструирования обьешшх моделей по многоэпюрным чертежам пространственных систем в соответствии о выведенными законами стыковок следов граней ядра. Законы стыковок следов опираются на взаимно-однозначных и взаимно-многозначных соответствиях между элементами эпюрных отображений пространственных систем (точками, отрезками, плоскими элементами), как внутри каждой эпюрной плоскости (перспективно-аффинном), а также между элементами разных эпюрных плоскостей (аффинном) одной многоапюрной пространственной системы. За исходную, была принята трехэпюрная система ядра А-У (см.рис.4), для которой составлены труппы стыковок следов (табд.З),

Количество плооких элементов формирующих объемные модели определяется формулами, в которых константным показателем является базисный ранг (6.1) многогранного пространства.

Приведено аналитическое описание следов граней и точек их пересечения на эпюрных плоскостях системой линейных уравнений в сферических координатах, отнесенных к декартовой системе. Составлена схема и произведен расчет координат в прямоугольной системе опорных точек трех иаображе(щй многогранной системы ядра А-У (см.рис.4), для вычерчивания их на графопостроителе.

Разработаны два основных способа формирования куполов^риангуля-вдей граней исходных многогранников - "разбиением граней" и "делением ребер на отрезки" при последующей трансформации единичных треугольников на описанную сферу ыного1рашшка (рио.8). Выведены количественные формулы, определяющие число каждого типа элементов замкнутого купола, соотношение которых подчиняется формуле (I.I).

I/ Тема - "Формирование сетчатых куполов" на основе многогранников более подробно освящена в кандидатской диссертации моего аспиранта Е.А.Батырбаева.

- 3S-

TaS/iuua. 3

Группы стыноВон c/teâûâ на эпюрах ядра A-V.

СтынаЗни ôну/при злюры Внешние с/пй/HoâHu

Направляющие . разнотипны* СЛ10Ы С ЭПМрой 9Г(3) ЭГ(4Т>Щ

0.1 Ь aV¿+t) 2 t¿ - 9 го*) HD— tí*) (S -, 7; 8) , (П\П)

*t -11- 13 ogroK)\-Qy.oi(n) (,0b;07;(!i)\ (013¡OU)

* — n- 012 2(Р1)\-®- (3;A¡S) , i (И)

Я* -a- 0/3 OS(Pi) 1—(¿)-— 0/3 (kJ (02;C3;0*t)\ J (012)

Q) tO(Pi) 1-0-*-Ot(*) (0t0;f1;0t§ , (f)

^ ЭГез)

Rt 09 f zfltälAI 10 (fil) |-Q (2)3) У*- о g (си) (6)

R-A R-3 - a— -rt ( S ¿Г++04 Q(OK)-(6 ¡7; i) <3)i1(K) (f2;/3)

*3 гг «К OS H 5"-"05 OS(P0H¡ (OHO/0) 5}—да— Oô(m (9)

«i -ii- 01 Ri 11'*—0!f (06 ¡07; os) t (Of2; di)

R-1 - //- È

■Ф, ÄJ ЭГ(4?3,А)

a^L 11 et©! ¿(p'} ®-\П(К>

¿L-3 2f -и- ou \wns) , С

© Ai И-з i чШ £>2 D&++07 10 (pi) —(D"| °Q(o*) (2JJ) , (6)

¿<4 K-i 10 (Pf) — (ОЮ-, П;РП) —(3D-1 он*)

4 S2j8® ■ (0

л ОйнотипныР3t. OSfoi) -»—(S)-1 опм

-v¿4 i 4*2 *â Hi 03; 04) , (0/2)

í id. f-z S** OF 05(Pi)-»{§)\ Ob(cu) (0¿\OW) , (9)

О Ю—■— Заноны cmuHoiûx еле úos

Рил В

Разработана методика комбинаторного развитая структурных покрн-тий на разные высотные уровни от горизонтального положения в вертикальное или наклонное (рис.9).

Проведен геометрический анализ некоторых научных областей, в ко-•торых свойства и закономерности многогранников ж их симметризован-ных пространств являлись исходными моделями, при изучении свойств процессов и явлений окружающей нас среда; где на основании анализа предложены темы дальнейших исследований многогранных пространств и даются прогнозы практического использования результатов теоретических исследований, подученных в данной работе.

I. Отсек структуры И. Отсек -ГО-5Т

II. Отсек РС-51_^

4. Колонны из октаэдров

Сты«о£ка о/пгг/мЛ

ТиП по * Ы " С5+5]

¡и ш НО с* '3 * [.£'53

риг.. 9

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследования, проведенные в данной работе,' позволили получить следующие результаты.

1. Классифицированы выпуклые многогранники сфепического, цилиндрического и биконического очертания; объединены в группы, где каждая грудпа содержит определенное число подгрупп, а все выпуклые многогранники составляют два класса; основой такого распределения дослужили - установленные аксиомы связности, методы конверсионного расширения и конверсионного сжатия многогранников взаимозаменой инцидентных элементов, а также общего закона формообразования многогранников.

2. Выявлены три переходных системы плоскостей симметрии сферических полиэдров - "Тетраэдральная" с тремя подсистемами ортогональных двоек плоскостей симметрии, "Кубо-октогранная" с четырьмя подсистемами ортогональных троек плоскостей симметрии

и "Икосаэдро-додекаэдрогранная" с пятью подсистемами ортогональных троек. '

3. Свойство установленных аксиом связности и закона формообразования многогранников распространены на плоскость, подтверждая их общезначимость.

4. Установлены конфигурационные аксиомы гомотетично-концентрических правильных п-уголыупсов и выведены аксиомы "сложения конфигураций", положенных в основу отображения многогранных пространственных систем, как. вспомогательного метода.

5. Разработана последовательность операций преобразования многогранников о разными типами граней в многогранные пространственные системы методом взаимно-многозначного отображения скользящим движением плоскостей.

6. Разработан метод построения отображений пространственных многогранных сиотем на эпюрные плоскости (сечений многогранных пространств), где плоскости отображений - сечений совмещены с гранями полиэдров - ядер многогранных пространств. Метод применен к многогранным системам ядер - полиэдров одной группы многогранников и итерирован на многогранные пространства ядер - полиэдров других групп сферического, цилиндрического и биконического очертания, где положительные результаты итерации данного метода позволили обосновать его общезначимость.

7. Установлены базисные ранги многогранных пространств сферического очертания, в соответствии с системами осей и плоскостей симметрии, а такзо константностью осеспмматрпзованных триэдров - отсеков многогранных пространств.

8. Установлена сопряженность многогранных пространств сферического очертания разных базисных рангов на основе переходных свойств плоскостей симметрии из одной системы в другую.

9. Осуществлена параметризация многогранных пространств, гда в качества исходных параметров принимаются - число пересекающихся плоскостей полиэдров-ядер, определявших число прямых пересечения - мощность пространства; - число опорных точек многогранного пространства - его размерность»

10. Выявлены свойства расширения и сдатйя многогранных пространств ядер - полиэдров одной группы многогранников и установлены акспош; где доказана соподчиненность одноэпгарных систем, ядраш которых являются равногранныа многогранники, поскольку эти системы входят как. дополнение к многоэшорным.

' II. Определено свойство пульсации равномощннх многогранных пространств, ядер - полиэдров каждой группы многогранников.

12..Представлен аппарат конструирования объемных моделей по п-эпюрным чертежам многогранным систем, разработанный на основе закона "стыковок следов", объединяющий условия расположения плоских элементов на п-зпюрных сечениях слотам и их количественный состав в пространстве.

13. Предложен способ аналитического расчета следов граней и составлена схема построения отображений многогранных пространственных систем при помощи ЭВМ.

14. Предложены способы формирования сетчатых сферических куполов на основе многогранников и методика стыковки куполов в многокуполыше системы.

15. Создана методика комбинаторного развитая структурных покрытий с переходами на разные высотные уровни от горизонтального положения в вертикальное или наклонное.

16. Создана теоретическая основа "Конструктивной геометрии многогранных пространств".

17. Приводятся прогнозы практического использования результатов

проведенных исследований в такие области - как физика твердого тела, кристаллография, геология и петрография,' кристаладдохимия, микробиология, а также айтрономия и астрофизика, в которых закономерности и свойства многогранных пространств могут быть использованы в качестве геометрических моделей при изучении '. свойств процессов и явлений окружающей нас материальной среды.

Отображенная многогранных пространственных систем могут быть использованы в архитектура и строительстве:'

- в качестве даух- и трехслойных куполов с сетчатым каркас-сом, а также пластинчатых куполов сконструированных методом секущих концентрических сфер; . .

- отображения многогранных линейчатых систем могут использоваться в качестве геометрических исходных моделей при планировка сетей улиц и магистралей застройки городов и новых населенных мест, с последующими изменениями для вписашя в природный, ландшафт местности. . „

В связи с запросами практического использования свойств и закономерностей многогранных пространств со строгой симметрией, в данной работе ставятся задачи дальнейших исследований в этой области, а именно:

- I. Подвергнуть исследованию многогранные пространства, ядрами которых будут сочетания многогранников-заполнителей структурного пространства, включающие по два типа многогранников, по три и более, относящихся к группе "Т-К-О" о системой осей симметрии 2-го, 3-го и 4-го порядков.

- 2. Подвергнуть исследованию многогранные пространства цилиндрического и гиперболоидного очертания, ядра которых будут иметь один тип и один порядок главной оси, где полиэдры-ядра должны быть "нанизаны" на главную ось по два, по три и более так, чтобы их основания совпадали. Такие сочетания "нанизанных* на главную ось симметрии полиэдров носят название "поверхностей Шварца".

- 3. Разработать алгоритмы моделирования многогранных.пространств с помощью ЭВМ, привлекая аналитические методы. '

Содержание диссертационной работы отражено в следующих основных публикациях:.

I. Гольцева Р.И. Конструирование многогранников-заполнителей аффинных структур. В кн.: Инженерные проблемы градостроительства и прикладной геометрии в архитектурно-строительной практики. М., ШСИ, 1977, ст.137-148.

; 2. Гольцева Р.И» Проектирование многогранных структур с помощью ЭЦВМ. В кн.: Проблемы математики и механики деформируемой среды. М., МИСИ, 1979, ст.191-190.

3. Гольцева Р.И. Разработка геометрических схем стержневых п транформируемых больше пролетных конструкций новых типов зданий для пионерских лагерей (науч.рук. х/д $ 157. Л Гос.регистрации 7 8042038). Ы. ЦНИИЭП к.- зданий и комплексов, 1978.

4. Гольцева. Р.И. Разработка геометрических схем стержневых большепролетных конструкций для новых типов учреждений отдыха. (Наут, рук. х/д & 142, Я гос.регистрации - 7900942П}. Ы.,ЩИИЭП к.-т. зданий и комплексов, 1979-Ш гг. Исследования автора на ст.1-23, 33-123, 172-1^8.

5. Гольцева Р.И. Методика формирования многогранных моделей М., НИСИ, 1983, (2,5 печ»лпс?.),

6. Гольцева Р.И. Перемещение фигур при плотном заполнении плоскости и пространства:. Д ка. ;, Проблемы- штемаггаси я прикладной геометрии.в строителкаве. Ы», ШСИ, 1982, ст. 128-137.

7. Гольцева Р.И. Прйнцип касса*иравания. аффинных структур в проективОграфическое поле. В кн.: Проблемы математики и прикладной, геометрии в строительстве. М.» ШСИ, 1982, от.137-149.: ., 8. Гольцева Р.И. Инверсионное преобразование аффинных ст-руввур. В кн.: Проблемы математики и прикладной геометрии в' строительства. М., МИСИ, 1982, ст.163-168. .

. 9. Гольцева Р.И., Гамаюнов В.Н. Число Платоновых тел. В пн.:

Проблемы математики и прикладной геометрии в строительстве. М., ШСИ, 1982. ст.ПБ-119. ......

. 10. Гольцева Р.И» Исследование схем легких пространственных конструкций. В х/д: Провести НИР и разработать проектные предложения зданий и.сооружений универсального назначения. (Науч. ■ рук. Р. Гольцева) (й гос.регистрации 018400129851.

11. Гольцева Р.И. Формирование многоярусных структурных покрытий и сферических куполов. Б х/д: Провести исследования и разработать указания по геометрическому формообразовании и проектированию структурных покрытий по заданным параметрам. (Науч.рук. Р.Гольцева). К гос.регистрации 01860004834, М., ЦНШЭП к.-т.зданий и комплексов, 1985, ст.1-Л4, формат Ад (гл. о I по 8).

12. Гольцева Р.И. Геометрия многогранных п-апюрных систем. Вкн: Формообразование в строительстве и архитектуре. М.,ШСИ, 1987, ст. 175-223.

13. Гольцева Р.И. Теоретические основы формообразования многогранных сферических куполов и шогокуподьннх систем. В кн: Формообразование в строительстве и архитектуре. М., ШСИ, 1987, ст.156-175.

14. Гольцева Р.И. Анализ плоских конфигураций гомотетично-концентрических многоугольников. Сб.труд. М., ШСИ, 1991.

15. Гольцева Р.И.Преобразование конструктивных сеток на основе ; аксиом связности. Сб.труд. М., МИСИ, 1991.

16. Гольцева Р.И. Аффинные структуры на орнове правильных и поду-правилышх многогранников. Сб.труд. М., ШСИ, 1975, ст.15-25.

17. Гольцева Р.И. Методика комбинаторного развития структурных ' многоярусных покрытий на основе аффинных структур. Б кн: Формообразование в строительстве и архитектуре. И., М1СЙ, 19Б7, ст.223-243.

18. Гольцева Р.И., Жилин М.А. Заполнение дискретного пространства сферами переменных радиусов. Сб.труд. М., ШСИ, 1991.

19. Гольцева Р.И., Батырбаев Е.А. Вариант формирования сферических куполов. Сб.труд. М., ШСИ, 1991.

20. Гольцева Р.И., Батырбаев Е.А. Триангуляция граней многогранников. Сб.труд. М., ШСИ, 1991.