автореферат диссертации по строительству, 05.23.01, диссертация на тему:Устойчивость стержневых элементов, работающих в составе решетчатых конструкций

На правахрукописи

АРТЁМОВ Алексей Александрович

УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ, РАБОТАЮЩИХ В СОСТАВЕ РЕШЕТЧАТЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Специальность 05.23.01 -Строительные конструкции, здания и

сооружения.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени

Москва, 2004г.

Работа выполнена в ЗАО «ЦНИИПСК им. Мельникова».

Научный руководитель:

доктор технических наук

профессор ГРУДЕВ

Иван Дмитриевич

Официальные оппоненты:

доктор технических наук ОСТРОУМОВ

Борис Валентинович

кандидат технических наук

профессор СОБОЛЕВ

Юрий Всеволодович

Ведущая организация:

ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко филиал ФГУП НИЦ «Строительство»

Защита состоится

года в

мин. на

заседании диссертационного совета Д.З0З.015.01 в ЗАО ЦНИИПСК им. Мельникова по адресу: 117997, Москва, ул. Архитектора Власова, 49, комн. 319.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЗАО «ЦНИИПСК им. Мельникова».

Просим Вас принять участие в защите и направить отзыв на автореферат (два экземпляра заверенных гербовой печатью) в секретариат совета по указг---------------- л—

Учёный секретарь Диссертационного совета Д.ЗОЗ.015.01

кандидат технических

КУЛАХМЕТЬЕВ P.P.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время значительное развитие получают различные отрасли связи. Как следствие, появилась потребность в широкомасштабном строительстве металлических антенных опор и реконструкции существующих, в том числе с заключением о возможности установки дополнительного оборудования Вместе с тем, условия рыночной экономики ставят жесткие рамки рентабельности конструкций, в первую очередь связанные с обеспечением разумной конкурентоспособности сооружений при одновременном обеспечении их функциональности, надёжности, удобства в строительстве и эксплуатации, эстетических и других показателей Для вновь возводимых объектов это означает, с одной стороны, применение нетрадиционных подходов при проектировании геометрических схем и узлов (рис.1), и, как следствие, потребность в практической реализации методик расчёта, учитывающих особенности работы элементов в таких конструкциях. С другой стороны, для любых конструктивных схем, в том числе «традиционных» (рис.2) - это необходимость оценки и максимального использования несущей способности стержневых элементов конструкции Для реконструируемых сооружений (рис.3) - это возможность анализа развития чрезмерных деформаций в несущих элементах конструкций в период эксплуатации, а также определение несущей способности элементов с учетом их фактического состояния (сечения, искривления, закрепления и т.д.) для заключения о возможности их дальнейшего использования или необходимости усиления, вплоть до замены.

В большинстве случаев, расчетные характеристики стержневых элементов антенных опор определяются по критерию максимальной несущей способности на

Рис.1

сжатие - устойчивостью. При этом должны учитываться реальные физические и геометрические параметры исследуемого стержня, а также жёсткость закрепления его концов в узлах конструкции. Несмотря на значительное количество исследований отдельных вопросов по данной тематике, до настоящего времени недостаточно хорошо сформулирован и реализован практический подход к решению столь сложной и многогранной задачи. Существующие мощные универсальные программные комплексы позволяют моделировать многие существенно нелинейные процессы деформирования стержневых элементов, однако, они кроме высокой стоимости обладают тем существенным недостатком, что требуют излишне подробной входной информации и весьма трудны в освоении. Разработанная в диссертации методика является специализированной. В качестве исходных данных она требует минимально необходимой информации, поэтому она оказывается весьма удобной при практических массовых расчётах и не требует дорогостоящего обучения при освоении. В этом состоит актуальность настоящей работы.

Целью работы выявление резервов несущей способности сжато-изгибаемых элементов стержневых строительных металлоконструкций на основании их уточнённого расчёта по специально разработанной методике (программному алгоритму на её основе), учитывающей условия закрепления концов рассматриваемых элементов и их реальные физические и геометрические параметры.

Научную новизну составляют:

• результаты упругопластического расчёта деформирования упруго защемлённого стержня произвольного сечения, имеющего некоторое начальное искривление, с определением его максимальной несущей способности. Результаты получены для ряда исследовательских задач с использованием разработанной методики расчёта;

• исследование влияния упругости защемления концов рассматриваемого стержня на его несущую способность для различного вида конструкций;

• анализ упругопластического расчёта несущей способности крестовой решётки полученного по разработанной методике как результат взаимодействия системы из двух перекрещивающихся упругозащемлённых стержней при различных исходных состояниях и комбинациях усилий.

Достоверность результатов проведённых исследований определяется:

• корректностью постановки рассматриваемых задач;

• комплексным подходом к решению рассматриваемой задачи, заключающемся в реализации методов расчёта с использованием различных методик, и последующем сопоставлении полученных результатов;

• сопоставлением результатов расчёта ряда тестовых задач с их точными аналитическими решениями;

• сравнением получаемых результатов со значениями, получаемыми по общепринятым методикам расчёта устойчивости.

Практическая ценность заключается в реализации разработанной методики уточнённого расчёта процесса деформирования сжато-изгибаемого элемента в составе конструкции, а также полученных результатах и рекомендациях.

Внедрение: Представленная методика расчёта несущей способности элементов стержневых конструкций была опробована и прошла внедрение в «Отделе конструкций связи и нефтедобычи» ЦНИИПСК им. Мельникова. Результаты расчётов по данной методике были учтены при разработке проекта металлоконструкций новой серии трёхгранных антенных опор типа «Трояна» (проект 20-Ф6022-КМ) с поясами из круглых труб и уголковыми элементами крестовой (и раскосной - в портальной секции) решётки.

Апробация работы: Основные положения диссертации были доложены и получили одобрение на научном совете в ОАО НИПИ «Прометал ьконструкция» и на кафедре «Строительной механики» Московского Государственного Строительного Университета. На защиту выносятся:

• методика расчёта несущей способности упруго защемлённого стержня произвольного сечения, имеющего некоторое начальное искривление, с учётом упругопластической работы материала;

• результаты исследования влияния элементов конструкции на упругость защемления концов рассматриваемого элемента;

• анализ расчёта элементов крестовой решётки.

Публикации. По результатам исследования опубликованы 4 печатные работы.

Объём и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, результатов внедрения, заключения, приложения и списка литературы. Она содержит 174 страницы, 29 таблицы, 96 рисунков, 5 страниц списка литературы на 58 наименований.

Автор работы выражает глубокую благодарность научному консультанту к.т.н. Е.П. Морозову за ценные практические идеи и рекомендации.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность поставленной задачи, определена цель работы, её научная новизна, практическая ценность, изложено краткое содержание работы.

В первой главе дан краткий очерк развития вопросов теории устойчивости, а также требования, которые предъявляются к её реализации на современном этапе.

Отмечается, что начиная с классических работ Эйлера и кончая многими современными программными комплексами, задачи об устойчивости стержней и определении критической силы решаются как задачи о бифуркации состояния равновесия, что в лучшем случае годится для упругих

систем и совсем не годится для расчёта несущей способности стержневых элементов строительных конструкций. Поэтому, обычно, проектировщики используют вычислительные программы для расчёта силовых факторов в элементах конструкций, а проверку несущей способности проводят при помощи коэффициента продольного изгиба <р, который учитывает упругопластические свойства строительных сталей.

При использовании коэффициента продольного изгиба делается предположение о шарнирном опирании его концов, поэтому встаёт проблема выбора так называемых расчётных длин элементов, или расстояния между нулевыми точками эпюры моментов. Для классических условий закрепления концов: жёсткой заделки, шарнирно опёртого или свободного конца стержня, задача построения эпюры моментов решается аналитически, либо численно в предположении упругой работы материала. Для условий упругого защемления, что всегда имеет место на практике, такие решения находятся приближёнными методами, и с такой же точностью определяются свободные длины. Поэтому, инженер-проектировщик нередко сталкивается со сложностью определения свободной длины конкретного элемента конструкции, особенно при проектировании каких-либо уникальных сооружений, не укладывающихся в традиционные схемы, где остаются невыясненными вопросы о взаимовлиянии элементов конструкции и величине упругого защемления концов стержневых элементов работающих в составе конструкции, и где рекомендации по выбору расчётных длин не обладают необходимой точностью. Ещё хуже обстоят дела, когда элемент нагружен не одной, а несколькими силами, или имеет непостоянное сечение по длине, не говоря уже о следящих силах или о нагрузках изменяющихся при деформациях конструкций, как, например, в конструкциях с вантами. Кроме этого, нередко, специалисты, занимающиеся обследованиями сооружений из металлоконструкций, в том числе и аварийных, сталкиваются с необходимостью определения несущей способности сжатого стержня имеющего разнообразной формы искривления, зачастую превышающие ограничения, указанные в нормативной документации.

На основании работ многочисленных авторов, исследовавших, с одной стороны, статистику различных типов начальных несовершенств стержневых элементов различных конструкций (остаточные сварочные напряжения, несовершенства, связанные с неточностью изготовления, небрежностью транспортировки, условиями монтажа, эксплуатации; возникновение дополнительных усилий, вызванных неточностью центрации узлов и др.), а с другой стороны, разносторонне совершенствовавших методику расчёта стержневых элементов на устойчивость, к настоящему времени можно сформулировать круг вопросов, которые необходимо комплексно учитывать при решении задач устойчивости:

• необходимость учёта упруго-пластических свойств произвольного материала элементов конструкции;

• учёт заданных, либо статистически возможных, геометрических и физических начальных несовершенств элементов конкретной конструкции;

• глубокую нелинейность, развёртывающегося во времени процесса деформирования рассматриваемого стержневого элемента конструкции вплоть до исчерпания устойчивости;

• учёт влияния, которое оказывают друг на друга элементы рассматриваемой конструкции при её нагружении и деформировании;

• кроме центрального и внецентренного сжимающего загружения стержня, рассматриваемого на предмет потери устойчивости, необходимо иметь возможность учёта дополнительных поперечных распределённых и сосредоточенных нагрузок, а также моментов. При этом процесс потери устойчивости определяется критическим параметром группы сил.

Опираясь на современный уровень строительной механики и вычислительной техники решение поставленной задачи получено с большой точностью. Смоделирована работа конструкции с учётом геометрической и физической нелинейности каждого конкретного элемента в её составе.

Во второй главе изложена сущность предлагаемой методики расчёта стержней различного профиля по деформируемой схеме с учётом их упругопластической работы. Описан алгоритм решения и приведены результаты анализа тестовых примеров.

Расчётная схема (Рис.4) представляет собой криволинейный стержень определённого или переменного по длине сечения с безразмерной длиной =1, упруго защемлённый по концам, ось которого представляет плоскую (лежащую в плоскости ХОУ) кривую и имеющую первоначальное несовершенство в виде искривления со стрелкой погиби /¡¡. Ось Z расположена перпендикулярно плоскости XOY, образуя правую систему координат. Все функции, определяющие напряжённо-деформированное состояние стержня, рассматриваются как функции длины дуги s, которая отсчитывается от левого конца и изменяется от 0 до Ь. Касательный к оси орт образует с осью ОХ угол заданный как функция длины дуги а его направляющие косинусы и определяют форму изогнутой оси

стержня. При этом гибкость стержня определяется как = = где i -

радиус инерции сечения стержня, L - его геометрическая длина между точками закрепления.

В отличие от классических методов расчёта устойчивости стержней, в предлагаемой методике задача решается путём пошагового деформирования стержня со всесторонним анализом его напряжённо-деформированного состояния. При этом на каждом шаге, величина которого определяет точность результатов, производится пересчёт формы оси стержня, а нагрузка возрастает от нуля до своего максимального значения. Это значение и принимается за допустимое или предельное, соответствующее нулевой отпорности стержня, когда его деформации возрастают без увеличения нагрузки. Последнее обстоятельство не позволяет вести нагружение путем увеличения нагрузки, так как она в момент потери устойчивости достигает своего максимума. Выход из этого затруднения связан с тем, что при нагружении концы стержня сближаются и это сближение оказывается монотонной возрастающей функцией, как в начале нагружения так и в момент потери устойчивости, поэтому сближение концов стержня можно принять в качестве аргумента, а усилие, необходимое для этого сближения концов, рассчитывается как следствие.

Для уменьшения числа определяющих параметров и для достижения большей общности, все величины, используемые в расчёте, приведены к безразмерному виду, и в дальнейшем отмечаются значками тильды или крышками. Так, например, безразмерная координата имеет вид Б = э/Ь,

МЬ2

поэтому 0 < в 1, безразмерные усилие и момент определяются т N =к—,

EJ

М = , а напряжения и деформации: ст = ст/аг, ё = е/ет где ет = <*Т/Е ■

и д

Система дифференциальных уравнений (1), описывающая упругопластические деформации стержня, состоит из двух геометрических векторных уравнений включающих компоненты перемещений и деформаций, и двух векторных уравнений равновесия, включающих компоненты усилий и моментов.

(1)

В общем случае система (1) не имеет аналитического решения, поэтому её приходится интегрировать численно. При применении численных алгоритмов возможно решение только задачи Коши, когда при начальных значениях аргумента известны значения всех функций. Поскольку в задачах о стержнях всегда приходится иметь дело с краевой задачей, то для приведения краевой задачи к задаче Коши использован метод начальных параметров. На основании линейности уравнений (1) можно записать систему (2):

¿x(l) = b„5 х(0) + bl2úy(0) + bl39(0) + b14M(0) + b15Ñx(0) + b16Ñy(0)

uy(l) = b2I (0) + b22Gy (0) + b236(0) + b24M(0) + b25 Ñ*(0) + b26 Ñ, (0)

8(1) = bj.G.ÍO) + b32üy(0)+b336(0) + b34M(0) + b35Ñx(0) + b36Ñy(0) (2)

M(l) = b41üx(0) + b42üy(0) + b439(0) + b44 M(0) + b45Ñx(0) + b46Ñy(0)

Ñx (1) = b5 ,üx(0) + b52 úy (0) + b530(O) + b54 M(0) + b55 Ñ* (0) + b56 Ñy (0)

Ñy(l) = b61üx(0) + b62üy(0) + b630(O) + b64M(0) + b65Ñx(0) + b66Ñy(0)

Затем, исходя из граничных условий конкретной задачи:

МО) = 1;йу(0) = 9(0) = М(0) = Ñx (0) = Ñy(0) = 0 (3)

отбрасываем нетривиальную часть и получаем алгебраическую систему (4), из которой можно определить недостающие начальные параметры.

и - безразмерные жёсткости закрепления начала и конца стержня.

Компоненты перемещений и усилий в уравнениях (1) стоят под знаком дифференциала, в то время как компоненты деформаций входят только в правые части дифференциальных уравнений, поэтому необходимо выразить компоненты деформаций через компоненты усилий и моментов. Связь деформаций и усилий определяется физическими свойствами материала, для описания которых может использоваться любая диаграмма его работы.

Предполагая, что в реальных стержневых конструкциях, элементы, проверяемые на предмет потери устойчивости, имеют достаточно большую гибкость, деформации сдвига от возникновения поперечных сил будут иметь величину несравнимо меньшую, чем деформации сжатия и изгиба, и не окажут сколь-нибудь заметного влияния на результат, вследствие чего гипотеза плоских сечений выполняется с большой точностью. Поэтому деформации в поперечном сечении стержня можно представить линейной зависимостью:

Ui = ux(l) = с, ,9(0) + c12Nx (0) + c¡3 Ny (0)

. О = d310(0) + d32 Ñx(0) + d33Ñy(0) где: d3j = kic3j + c4j; c¡, = b|, + kob¡2; ci2 = Va; ci3 = b¡,

i4

(4)

£ (y) = £0 + y • El

где - продольная деформация оси;

£| - изгибная деформация нижнего волокна;

у - вертикальная безразмерная координата, отсчитываемая от центра тяжести сечения.

Как отмечалось, расчёт процесса нагружения осуществляется шагами, поэтому необходимо отличать приращения искомых функций от величин этих же функций, накопленных к рассматриваемому шагу деформирования

(последние отмечаются нулевыми индексами сверху: N , М , £о, £1 и т.д.).

В силу малости шага деформирования, можно записать:

Усилия и моменты в сечении равны: У™. .....

Й = ]"б(у)ь(у)(1у и М = см }"а(у)ь(у)у(1у

(6)

У.» У.1

где и коэффициенты получаемые при переходе к безразмерным величинам.

Из выражений (6) следует, что накопленные усилия и моменты зависят только от и , поэтому их дифференциалы можно представить так:

Из этих соотношений следуют уравнения, определяющие приращения £о и , на шаге деформирования через приращения усилий и моментов:

(8)

(9)

В зависимости от вида сечения и от вида напряжённого состояния, упругое или пластическое, интегралы (6) берутся аналитически или вычисляются численно. Рассмотрим оба характерных случая.

Для рассматриваемого ниже «обобщённого двутаврового сечения» (рис.5) к которому приводится большинство некруглых сечений из строительного сортамента, ширина является кусочно-постоянной по высоте функцией, что позволяет аналитически взять интегралы (6) и для коэффициентов уравнений (9) получить универсальные алгебраические выражения:

Рис.5. Обобщённое двутавровое сечение.

В других случаях для обеспечения точности результатов расчётов приходится рассматривать сечения с переменной по всей высоте шириной Ь(у) и прибегать к численному интегрированию. В этом случае, уравнения (9) принимают вид:

(И)

Характерным примером рассматриваемого случая является кольцевое сечение или круглая труба, которая характеризуется наружным радиусом , внутренним радиусом , толщиной

стенки (рис.6). Для трубы величина Ь(у)

переменна по высоте и описывается выражением

, а для коэффициентов

в уравнениях (11) получаются следующие

Рис.6 Круглая труба.

* 1-г:

М)

В результате роста деформаций в волокнах сечения стержня происходит развитие пластических зон. Скорость образования и развития пластических зон, и как следствие, величины максимальной отпорности рассматриваемого стержня носят индивидуальных характер и зависят от начальных несовершенств, формы сечения, условий нагружения, закрепления стержня и т.д. Пластические зоны определяются по условию достижения краевой деформацией наиболее сжатых или растянутых волокон значения, превышающего предел пропорциональности по диаграмме работы материала |е°|>Ет (Рис.5).

Результатом решения задачи является график отпорности стержня, характеризующий его максимальную несущую способность (Рис.9), а также множество других зависимостей, для проведения комплексного анализа состояния стержня при его деформировании и в момент потери устойчивости (некоторые из них приведены на Рис.10 и Рис.11).

В третьей главе собраны результаты практического применения вышерассмотренной методики.

1) Проведены исследования жёсткости закрепления узлов исследуемого стержня для различных (плоских и пространственных) конструктивных схем.

2) Проанализированы результаты расчёта Мти для различных сечений стержня, начальных несовершенств и различных условий внешнего воздействия на него и проведены аналогии с принятыми методиками расчёта устойчивости.

3) В качестве примера применимости методики для решения более сложных задач исследовано взаимовлияние элементов крестовой решётки в различных расчётных условиях.

/. Рассматриваемая методика предполагает расчёт процесса потери устойчивости стержня, находящегося в составе конструкции. При этом предполагается, что в реальных сооружениях (например, при использовании сварного соединения или болтового - на двух и более болтах), стержень обладает некоторым упругим пространственным защемлением в конструкции. Учесть жёсткость защемления стержневого элемента

предлагается путём решения задачи о деформациях всей конструкции с вырезанным элементом под действием единичного момента приложенного к узлу.

Предполагается, что перед численным расчётом устойчивости стержневых элементов произвольной конструкции необходимо предварительно её проанализировать на предмет определения элементов «группы риска», которые целесообразно проверять на предмет потери устойчивости (особенно исходя из условия унификации конструкций). Основываясь на этом, считаем, что при постепенном возрастании нагрузки на конструкцию, все элементы, кроме рассматриваемого, остаются фактически упругими, и продолжают упруго взаимодействовать между собой, поэтому условия закрепления всегда принимаются упругими. Решение задачи рассмотрим на примере плоской фермы (Рис. 7).

Для определения жёсткости закрепления концов конкретного стержня 5 имеющего местные оси ХУ2, минимализируем его собственное влияние на деформацию системы путём установки в его узлах неврезных шарниров (ш.О и ш.1). Затем поочерёдно прикладываем к узлам единичные моменты М2, и средствами строительной механики определяем реакцию всей системы в виде

угла поворота соответствующего узла Затем по формуле

получаем значение жёсткости на одном (1=0) и втором (1=1) узлах (где угол 0 в радианах, - момент инерции). Следует заметить, что в общем случае жёсткость закрепления одного и того же узла в разных плоскостях будет различной, вследствие чего необходимо проведение нескольких перерасчётов с выявлением наименьшей. Результатом будет эллипсоид жёсткости, точнее эллипс - его проекция на плоскость У02, образуемую местными осями рассматриваемого элемента, у которого (1), (2), (3) - точки пробных расчётов, а главные оси соответствуют минимальной и максимальной

жёсткости закрепления данного узла, а угол - поворот главных осей эллипса относительно главных осей сечения рассматриваемого стержня (рис.8). Так, для рассматриваемой плоской фермы направление минимальной жесткости ктт обычно лежит из плоскости фермы и объясняется слабой

^__Рис. 7. Определение жёсткости узлов

6 на примере плоской фермы

Рис 8. Эллипсоид жёсткости и его проекция на плоскость YOZ.

поддержкой соседних элементов конструкции в этом направлении. В пространственных же задачах - неопределённость как по величине, так и по направлению, и в каждом конкретном случае может существенно сказаться на расчётной несущей способности рассматриваемого элемента.

2. В общем случае, несущая способность стержня, исследуемого на предмет потери устойчивости, является функцией многих факторов: Мтах(Х, тип сечения, ориентация сечения в пространстве), где -гибкость стержня; ко и к| - жёсткости защемления начала и конца стержня;

- начальная погибь стержня; - деформация текучести

стали. В таблице 1 приведены сравнительные данные, соответствующие началу пластических деформаций и критическому состоянию в сравнении с результатами расчёта по СНиП, для двух типов сечений: уголка и трубы. Геометрическая длина подобрана таким образом, чтобы гибкость стержней Х=100. Начальная погибь принята равной 1/750 от его длины. Материал -сталь СтЗ, для которой £^0.001. Основной целью вычислений является расчёт «кривой отпорности», т.е. зависимость Иот 1Л(1) (для случая (2) таблицы -рис.9). В процессе расчёта по значениям деформаций на этой кривой отмечается точка 1 начала развития пластических деформаций, а также точка 2 соответствующая критическому состоянию и максимальному значению . Свободная длина стержня определяется как расстояние между сечениями с нулевыми моментами, исходя из классического её понимания. До начала развития пластических зон (точка 1), коэффициент приведения свободной длины остаётся практически постоянным. Однако при развитии пластических деформаций, как показано на рис.10, расчётная длина меняется и, зачастую не в запас надёжности по сравнению со СНиП.

В дополнение к вышерассмотренному разделу интересно проанализировать зависимость - влияние жёсткости закрепления

узлов стержня на его несущую способность. Определяя безразмерную жёсткость указанным способом, необходимо отметить неограниченное многообразие всевозможных конструктивных схем пространственных стержневых систем, поэтому, безусловно, величина к будет решающим образом зависеть от огромного числа конструктивных особенностей

-6,361

-0,00076

-7,058

1,0

1,0

-6,009

1,0

-5,261

-0,00061

-5,977

1,0

1,0

-6,009

1,0

-5,499

-0,00067

-6,416

1,0

1,0

-6,054

1,0

1,0

-6,018

-6,638

-6,493

-0,00087

-0,00082

-0,00085

-8,475

-8,189

-8,498

0,738

0,737

0,737

0,802

0,689

0,730

-8,115

-8,115

-8,222

0,7

0,7

0,7

0,7

-6,876

-7,501

-7,153

-0,00095

-0,00097

-0,00099

-9,148

-9,310

-9395

0,566

0,564

0,566

0,662

0,462

0,552

-9,120

-9,120

-9,260

0,5

0,5

0,5

0,5

-6,860

-7,067

-7,345

-0,00095

-0,00094

-0,00096

-9,081

-9,057

-9,243

0,656

0,651

0,650

0,686

0,500

0,587

Таблица 1. Влияние параметров сечения на его несущую способность.

сооружений, и, в общем, может изменяться в весьма широких пределах. Однако экспериментально определено, что, решая задачу устойчивости в безразмерном виде, разброс значений к в большинстве плоских и пространственных конструкций не велик, и укладывается в интервал от 0 до 100.

Рис.9. График отпорности стержня (для случая (2) таблицы)

На рисунке 12 показан график зависимости N„,¡»1 от жёсткости защемления концов стержня, основанный на исходных данных предыдущих примеров. Жёсткость к изменяется в интервале от к = 10"10, эквивалентная нулевому значению (т.е. шарнирному закреплению), до к = Ю10 практически соответствующая «заделке». Результаты расчётов разных конструкций показали, что в большинстве случаев к попадают в

самый интересный участок - «зону перехода». Из проведённых исследований выясняется, что значение безразмерной жёсткости в пределах О < к < 20 охватывает подавляющее большинство случаев и оказывает огромное влияние на окончательное значение , и, в тоже время, не укладывается ни в одну общепринятую схему, где необходимо определение свободной длины ¡о- Важно заметить, что даже для случая плоской фермы, когда расчётные значения жёсткости её узлов из плоскости малы и составляют порядка , значения несущейспособности стержня

совсем не стремится к «шарнирному», а принимает только средние промежуточные значения по отношению к значениям абсолютной заделки. Таким образом, учёт влияния конструктивной схемы на жёсткость защемления узлов конкретно рассматриваемого её элемента, может значительным образом сказаться на величине его несущей способности.

5. Гибкость рассматриваемой методики не ограничивается расчётом одного стержня. Она легко трансформируется для решения задачи о крестовой решётке, где одновременного рассчитывается процесс деформирования двух стержней, и учитывается влияние силы их взаимодействия в точке соединения.

При расчётах подобных конструкций, особое значение имеет плоскость, в которой рассматривается процесс деформирования. В плоскости фермы (грани пространственной конструкции), оба элемента имеют более явную

поддержку друг друга, нежели из плоскости. В плоскости фермы, гибкости элементов вполне можно рассматривать на расстоянии между центром узла закрепления элемента на поясе и узлом пересечения элементов, с учётом жёсткости узлов, полученной в этой плоскости. Из плоскости ситуация значительно более сложная. В зависимости от комбинации усилий в перекрещивающихся элементах и от направления их начального искривления, возможны случаи, когда один из элементов сжат, и имеет реальную поддержку со стороны второго; когда сжатый элемент не получает никакой поддержки; и когда второй элемент оказывает негативное влияние на деформирование первого стержня, ускоряя процесс потери устойчивости.

Рассмотрим некоторые особенности решения задачи крестовой решётки. Дополнительную поддерживающую или, наоборот, ослабляющую связь в крестовой решётке можно условно представить некоторой упругой опорой рассматриваемого элемента в месте соединения перекрещивающихся элементов, жёсткость которой может изменяться в зависимости от характера деформирования этого элемента (Рис.13) и которую можно выразить -- Рис.13

состояние сжимаемого (1) и растягиваемого (2) элементов. Оба

элемента имеют некоторую исходную погнутость, которая может быть следствием неточности изготовления, монтажа, небрежности перевозки, а также задуманной конструктивно, например стягиванием уголков, полки которых не находятся в одной плоскости, в месте перекрещивания. Кроме того, каждый узел обладает конечной жёсткостью ki -s- Îô», которая, по рассмотренной выше методике, легко может быть получена для любой конструктивной схемы. Поскольку оба стержня в исходном состоянии соединены между собой в точке перекрещивания и дальнейшая их работа происходит при взаимном влиянии друг на друга, можно написать уравнения

рис.14. На ней изображено исходное

крестовой решётки представлена на

как к = - -. Расчётная схема

Рис.14. Расчётная схема крестовой решётки.

совместности деформирования для обоих стержней:

Таким образом, решение задачи крестовой решётки сводится к совместному решению двух обычных задач об устойчивости одиночного стержня, рассмотренных выше, путём введения уравнений совместности деформирования (11). Для этого, необходимо записать общую систему уравнений для обоих стержней, учитывающую жёсткость закрепления узлов каждого из стержней и их совместную работу. Опираясь на граничные условия для системы:

(12)

После несложных преобразований исходных матриц для обоих стержней и их объединения получим общую алгебраическую систему:

С+ = т, !0+(О) + т12 Йх(0) + шп (0) + 0 + 0 + 0 + т17§

О = т210+ (0) + т22 N х (0) + ш23 Йу (0) + 0 + 0 + 0 + т24 О

0 = т310+(О) + т32 N»(0) + т33 Йу(0) + 0 + 0 + 0 + т34С> (13)

-хи* = о + О + О + т440~(О) + т45 N»(0) + т46Йу(0) - т47С)

0 = 0 + 0 + 0 + т54Г(0) + т55^(0) + т5бЙу(0) - т57С)

0 = 0 + 0 + 0 + га649-(0) + ш65 N¡(0) + тб6Йу(0) - тб7С>

V = ш710+(О) + т72 Кх (0)+т73 Иу (0) - т740" (0) - т73Й(0)- т76Йу(0) - ш770

где т„=сп =а,3+кза,-4 при т3] = к4с^ + с^;

= = Ь|3 — при т6з = -Ы3] + (34];

т77=С74-Ы74) = С74+с174-

(йу, Ц, Су и - коэффициенты матриц первого и второго стержней).

Решая систему (13), находим недостающие значения начальных

параметров для стержня (2) и для

стержня (1), позволяющие сформулировать для системы дифференциальных уравнений (1) задачу Коши.

По характеру распределения усилий в элементах крестовой решётки, с точки зрения их устойчивости, рассмотрим два основных случая:

а) в некотором соотношении, один сжат, другой растянут (как частный случай этого - один сжат, второй нулевой);

б) также, в некотором соотношении, оба стержня сжаты;

Исходные положения задач:

• пояса конструкции из L 100x8 параллельны;

• сечения раскосов одинаковы и имеют вид равнополочных уголков L 63x5;

• изначально, концы обоих раскосов закрепляем шарнирно (ki -rki =0), затем, по конкретной конструкции, принимаем ki -5- Îû = 5;

• вследствие предположения о вертикальности поясов раскосы оказываются скреплёнными в среднем узле в середине своей длины.

• геометрическая длина раскосов составляет 3100мм, вследствие чего, гибкость обоих элементов А.» 160.

а. Исследование взаимного влияния элементов крестовой решётки начнём с рассмотрения комбинации противоположных по значению усилий -один стержень сжат, второй - растянут (рис 15). При этом, исходная погибь получается при монтажном стягивании раскосов в среднем узле без «сухаря». За счёт толщины полок поясов 5, начальная погибь каждого элемента

составляет fо »

На начальном этапе, взаимодействие между раскосами приводит к возникновению в месте их пересечения силы , которая увеличивает прогиб

сжатого раскоса и «помогает» распрямлению растянутого. Затем, после перехода растянутого элемента через прямолинейное состояние, сила взаимодействия меняет знак на противоположный,

характеризуя состояние, когда растянутый стержень препятствует дальнейшему искривлению сжатого стержня. Таким образом, растянутый элемент вносит существенные коррективы в процесс потери устойчивости сжатого элемента крестовой решётки и, как следствие, оказывает значительное влияние на несущую способность крестовой решётки вцелом.

Поскольку окончательной целью расчёта является определение несущей способности крестовой решётки, наиболее важной характеристикой является кривая отпорности сжатого раскоса, которую в этой задаче целесообразно объединить с аналогичной зависимостью для растянутого раскоса. Обе зависимости приведены на рис. 16. Несущая способность сжатого стержня в

момент потери устойчивости Nx (1) = —17.4315.

Наиболее наглядными и выразительными являются функции связанные с кривизной. На рисунке 17 показаны эпюры развития поперечных деформаций и моментов для сжатого стержня, а на рисунке 18 - для растянутого.

б. Далее, рассмотрим комбинацию усилий в крестовой решётке, когда оба стержня пропорционально сжаты (рис. 19). Для данного примера интересен случай, когда направление начального искривления обоих стержней совпадает. При этом начальная погибь одного стержня существенно

-0,1)01-

0,001

Чсжатый стержень \

• - -г ' -20 -1 ' - '

Рис.16. График отпорности крестовой

"Г0'06 и

0 05-

значения при МчаТ/7"

О/

кходное состояние

Рис.17. Пошаговые эпюры и и Mz (сжатый стержень)

Рис. 18. Пошаговые эпюры Ц и Mz (растянутый стержень)

превышает начальную погибь другого (по принятым выше условиям,

?(2)

соответственно 1о :

и

' 258^'

На рисунке 20 представлен график отпорности крестовой решётки для рассматриваемого случая. Как и следовало ожидать, стержень имеющий большую начальную погибь исчерпывает свою несущую способность при меньших -0)

нагрузках ( (1) =-6.0372). Вместе с

-7.7920.

тем, несущая способность второго стержня составляет После потери устойчивости, первый стержень продолжает «искать» себе опору в связанном с ним втором стержне, что выражается в достаточно резком увеличении усилия взаимодействия стержней в точке пересечения от -0.0513 до -0,1065, т.е. больше чем в два раза. Под действием такого

значительного дополнительного усилия, кривая отпорности второго стержня быстро достигает максимума и, далее, начинает резко падать, в то время как кривая первого стержня - выполаживается.

Интересно провести

сопоставление результатов расчёта крестовой решётки из

рассмотренных выше примеров, с расчётом одиночного стержня (без Рис.2°

дополнительной связи в виде График отпорности крест°в°й решётки перекрещивающегося с ним стержня), имеющего одинаковые исходные параметры: размеры, вид сечения, шарнирное закрепление узлов и т.д. (см. рис 21).

Как отмечалось выше, ориентация сечения элемента в пространстве существенным образом сказывается на несущей способности элемента. Исходя из того, что в уголковой крестовой решётке, сечения имеют противоположную ориентацию, ниже рассмотрены два случая для одиночного стержня: (а) уголок полкой «наружу», в сторону начального искривления и деформирования, и (б) уголок полкой «внутрь». На рисунке 22 показан график отпорности

Рис.22

Рис.23

=-7.8762, а на

одиночного стержня для случая «а», где значение N1»

рисунке 23 - для случая «б», где значение N„,3» =-8.7325. Таким образом, нетрудно заметить, что при наличии в системе крестовой решётки растянутого элемента, её несущая способность, определяемая по критерию потери устойчивости её элементов из плоскости, увеличивается в рассмотренном конкретном случае 2 2,2 раза по сравнению с несущей способностью одиночного элемента в тех же условиях (рис.16 и 22, 23). В крестовой решётке, где оба элемента подвержены сжимающим усилиям, и имеют одностороннее начальное искривление - наоборот, за счёт наличия сил взаимодействия между элементами крестовой решётки, окончательная несущая способность элементов может уменьшаться на 1,5-5% по сравнению с несущей способностью одиночного стержня (рис.16 и 20). Это объясняется тем, что первый элемент потерявший устойчивость, начинает «опираться» на

второй элемент в точке пересечения, резко увеличивая силу

взаимодействия, и тем самым провоцируя преждевременную

потерю устойчивости второго элемента.

Как отмечалось выше, важной стороной решения задачи является учёт жёсткости закрепления концов элементов. На рисунке 24 представлен график отпорности крестовой решётки для =5 из

которого видно, что несущая способность крестовой решётки по сравнению с шарнирным

Рис.24

закреплением увеличивается на 89.4%, т.е. почти в 2 раза (рис.20 и 24).

Таким образом, опираясь только на силу взаимодействия между элементами крестовой решётки, нельзя однозначно судить, о величине запаса несущей способности при таком взаимодействии - каждый случай задача индивидуальная, и зависит в первую очередь от характера усилий в элементах конструкции.

В заключении следует отметить одну важную особенность, расчётов устойчивости стержневых элементов по вышерассмотренной методике. Она связана с развитием пластических деформаций по сечению стержня. При небольшой гибкости стержня или при значительных жесткостях закрепления его концов ( к >10), напряжения в волокнах могут достигнуть некоторого критического значения . Поэтому, при ограничении значения

близким к пределу текучести материала , предельное значение несущей способности стержня может возникнуть до момента потери устойчивости стержнем, то есть в данном случае пределом несущей способности стержня

является не величина максимальной отпорности ЭДтах при деформировании,

а некоторое усилие N1™ < N¡1^ при котором достигаются заданные предельные характеристики материала.

Приложение содержит структуру программы, пояснения к тестовым примерам а также некоторые наглядные результаты исследований в виде таблиц и графиков, служащих для более глубокого понимания и анализа излагаемого материала.

Практическое применение. Представленная методика расчёта предельной несущей способности элементов стержневых конструкций была опробована и прошла внедрение в «Отделе конструкций связи и нефтедобычи» ЦНИИПСК им. Мельникова. Результаты расчётов по данной методике были учтены при разработке проекта металлоконструкций новой серии трёхгранных антенных опор типа «Трояна» (проект 20-Ф6022-КМ) с поясами из круглых труб и уголковыми элементами крестовой решётки.

По представленной методике был проведён следующий комплекс расчётов:

• Определены жёсткости закрепления узлов элементов конструкций;

• Посекционно проведён расчёт несущей способности элементов поясов с учётом реальной жёсткости закрепления их узлов;

• Посекционно проведён расчёт несущей способности элементов раскосов, образующих крестовую решётку. Расчёт раскосов выполнен в трёх вариантах:

а) рассмотрен наиболее неблагоприятный случай, когда оба элемента крестовой решётки имеют начальное искривление направленное в одну сторону и оба элемента пропорционально сжаты;

б) проведён анализ её несущей способности крестовой решётки в случае, когда один элемент сжат, другой - растянут в определённом соотношении;

в) выполнен расчёт промежуточного состояния крестовой решётки, при одном сжатом элементе, другом (поддерживающем) - неработающем.

• Для сравнения, по методике СНиП рассчитана несущая способность элементов поясов и раскосов, причём расчёт раскосов крестовой решётки проведён отдельно для трёх состояний поддерживающего элемента: растянутого, неработающего (нулевого) и сжатого.

Для сопоставления результатов расчётов составлена сводная таблица 2, в которой приведены принятые в проекте исходные сечения и результаты расчётов несущей способности различных элементов по рассматриваемой методике и по СНиП. На основании результатов расчётов принято решение о возможности 15% увеличения усилий в поясах и раскосах от нагрузки перспективного технологического оборудования.

ОСНОВНОЕ ВЫВОДЫ

1. Разработана методика расчёта потери устойчивости слабо искривлённого стержня в весьма строгой постановке с учётом реальных условий закрепления концов стержня, произвольного характера нагрузки, возможной переменности сечения стержня по длине, а также любых прочностных характеристик материала. Решение задачи представляет собой расчёт процесса последовательного деформирования стержня шагами, причём аргументом процесса является укорочение стержня, а точнее сближение его концов в продольном направлении. При таком подходе область нулевой отпорности рассчитывается без затруднений и даже рассчитывается начало закритического деформирования.

2. Основным результатом расчёта данной методики является диаграмма сжатия , т.е. зависимость продольного усилия от сближения концов стержня. Последнее определяется двумя факторами: продольным упругим или упруго-пластическим сжатием стержня и сближением его концов за счёт изгиба. Критическому состоянию характеризуемому максимальным значением сжимающей силы или нулевой отпорностью всегда предшествует появление пластических зон в крайних сжатых волокнах. В зависимости от вида начальной погиби и гибкости элемента, пластическая зона возникает либо в области максимального прогиба, либо (и) в упругой заделке. Характер развития пластических зон по высоте сечения существенно зависит от типа используемого сечения. В результате этого, тип сечения конструктивного элемента влияет на несущую способность этого элемента - на его устойчивость.

3. Проведён всесторонний анализ факторов, оказывающих непосредственное влияние на несущую способность стержневого элемента, а также проведено сопоставление результатов расчётов с рядом тестовых задач, доведённых до аналитического решения.

4. В качестве примера гибкости рассматриваемой методики, поставлена задача и проведён анализ взаимодействия элементов крестовой решётки при различных исходных условиях. Результаты рассмотренных примеров

Общий вид башни Сечение Мах расчётные усилия1 [т ] Несущая способность по СНиП [т] Несущая способность по рассмотенной методике [т] Сопоставление несущей способности по рассмотенной методике и по СНиП

Пояса Раскосы при поддерживающем элементе Пояса Раскосы при поддерживающем элементе Пояса Раскосы при поддсржив элементе ающем Ж 1 о

30 4 п 1 ^ и лоскос грани я 1 раскоса 5 § С раскосы X О 5, X В а а. нерабочей X 1 растянутом' нерабочем , 3 3 £ я ж § о. нерабочем

I С1а (1) X X X Л >< тр 108x5 1_63х5 3,01 1,63 21,05 4,89 2,97 2,02 30,59 8,58 7,58 3,95 1,45 1,75 2,55 1,96

С36 (2) тр 108x5 1-63x5 16,26 3,46 21,05 4,89 2,97 2,02 30,43 8,69 7,70 3,96 1,45 1,78 2,59 1,96

СЗс (3) тр 127x7 1_75х5 36,95 4.62 40,29 7,82 4,98 3,37 51,76 10,97 10,17 5,75 1,28 1,40 2,04 1,70

С4а (4) тр 140x8 1-63x5 53,69 3,06 54,75 4,25 4,13 - 65,83 8,97 7,66 3,66 1,20 2,11 1,85 -

С5а (5) тр 159x8 и 75x5 66,24 2,92 67,59 5,92 3,60 2,44 76,35 10,78 9,35 4,79 1,13 1,82 2,60 1,96

С5б (6) тр 159x10 1_75х5 77,73 2,84 82,88 4,90 3,00 - 95,38 9,82 8,95 4,26 1,15 2,01 2,99 -

Сба (7) тр 180x9 |_75х6 88,56 2,79 90,38 4,82 2,95 - 104,07 11.39 9,44 4,44 1.15 2,36 3,20 -

С7 (8) тр 180x11 1-90x6 97,86 2.3 5 103,80 6138 3,90 - 119,25 15,77 11,95 5,71 1,15 2,47 3,06 -

С8 (9) тр 219x9 и 90x6 106,48 2,35 114,12 5,25 - - 125,07 14,71 10,78 4,94 1,10 2,80 - -

ОС» (10) К у \ тр 219x9 1-90x6 105,08 6,45 129,81 9,63 132,14 18,03 1,02 1,87

1) Усилия в элементах, полученные при расчете антенной опоры на соответствующие сочетания расчетных воздействий, Примечание прочерк в ячейках означает превышение предельного значения гибкости для сжатых элементов по СНиП.

показывают их достаточную достоверность и сходимость с требованиями нормативной документации.

5. Результаты расчёта несущей способности элементов поясов и раскосов, выполненного по методике при проектировании антенных опор, и его сопоставление с результатами расчёта по СНиП, показывают, что за счёт учёта реальной жёсткости закрепления узлов элементов несущая способность поясов увеличивается в среднем на 15-20%, раскосов крестовой решётки - на 60-80%.

6. Проведённые исследования выявляют значительный эффект при практическом использовании рассматриваемой методики, её широкие возможности и направления для дальнейшего углублённого изучения вопроса, расширения возможности методики, решении задач оптимизации расчётного процесса, интеграции предлагаемой расчётного модуля с существующими и принятыми на практике программными комплексами, осуществляющими численное решение прочностных и деформационных задач и др.

Основное содержание работы отражено в следующих публикациях:

1. Артёмов А.А. Влияние параметров сечения на несущую способность стержневых элементов.-ПГС, 2003г., №6.

2. Артёмов А.А. Учёт жёсткости защемления узлов стержня- Монтажные и специальные работы в строительстве, 2003г., №10.

3. Грудев И.Д., Артёмов АА. Прямой метод расчёта сжатых элементов стальных конструкций в составе сооружения.-ПГС, 2003г., №6.

4. Грудев И.Д., Артёмов АА. Уточнение расчётной длины стержневых элементов, работающих в составе конструкции.- Монтажные и специальные работы в строительстве, 2003г., №11.

Р22 6 4 9

РНБ Русский фонд

2005-4 18076

Введение.

Глава 1. Развитие и современное состояние вопроса.

1.1 Исторически сложившиеся проблемы устойчивости.

1.2. Современные требования к решению вопросов устойчивости.

Глава 2. Сущность предлагаемой методики расчёта.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Основные расчётные предпосылки.

2.3. Начальная форма стержня.

2.4. Система дифференциальных уравнений.

2.5. Граничные условия. Метод начальных параметров.

2.6. Физические уравнения для различных типов сечений.

2.6.1. Обобщённое двутавровое сечение.

2.6.2. Сечения с переменной шириной.

2.6.3. Ромбовидное сечение.

2.6.4. Круглое сечение.

2.6.5. Кольцевое сечение.

2.7. Особенности деформационных уравнений.

2.8. Унифицированная диаграмма работы стали.

2.9. Расчёт пластических зон.

2.10. Численное решение. Структура программы.

2.11. Результаты численного решения. Тест.

Глава 3. Исследовательская часть.

3.1. Учёт жёсткости защемления узлов стержня.

3.1.1. Жёсткость узлов плоской фермы.

3.1.2. Жёсткость узлов пространственной конструкции.

3.1.3. Жёсткость узлов плоской уголковой фермы.

3.2. Влияние параметров сечения на его несущую способность.

3.2.1. Влияние формы сечения стержня.

3.2.2. Влияние жёсткости защемления узлов.

3.2.3. Влияние начальной погиби стержня.

3.2.4. Влияние безусловной гибкости стержня.

3.3. Исследование крестовой решётки.

3.3.1 Особенности решения задачи крестовой решётки.

3.3.2. Исследование характера взаимодействия элементов крестовой решётки.

Заключение. 134

Приложение 1. 139

Приложение 2. 142

Список литературы.170

Введение

Одной из важнейших задач, которые ставят перед собой учёные и инженеры при определении методов расчёта строительных конструкций, Ф является задача наиболее экономичного расходования материалов, устранения всевозможных «излишеств» при одновременном сохранении высокой надёжности всех инженерных сооружений и конструкций. Наиболее эффективным путём решения данной задачи является дальнейшее совершенствование методов расчёта конструкций на базе глубокого и всестороннего изучения их действительной работы, с одновременной удобной реализацией этих методов, опираясь на возможности имеющегося в распоряжении исследователя и рядового инженера расчётного аппарата.

На сегодняшний день, к числу вопросов, в которых уточнение принятых методов расчёта может привести к ощутимому эффекту, относятся вопросы, ф связанные с несущей способностью сжатых и сжато-изгибаемых элементов металлических конструкций. Несмотря на значительное количество исследований отдельных вопросов по данной тематике, до настоящего времени недостаточно хорошо сформулирован и реализован практический подход к решению столь сложной и многогранной задачи.

Причиной этого является сложность моделирования глубоко нелинейной работы таких элементов в упругопластической стадии, учёта разного рода начальных либо приобретённых в процессе эксплуатации несовершенств, влияния, которое оказывают отдельные элементы произвольной конструкции друг на друга и множества других вопросов. В этом смысле, исследования по реализации накопленных знаний по расчёту сжато-изгибаемых элементов в единой методике до сих пор остаётся весьма актуальной.

Целью расчёта всякой упругой системы на устойчивость является определение критической силы, или в случае действия нескольких сил -критического параметра группы сил при заданных геометрических и физических параметрах системы. Начиная с работ Эйлера и кончая многими современными программными комплексами, задачи об устойчивости стержней и определении критической силы (нулевой отпорности стержня) решаются как задачи о бифуркации состояния равновесия, что в лучшем случае годится для упругих систем и совсем не годится для расчёта несущей способности стержневых элементов строительных конструкций. Поэтому, обычно, ^ проектировщики используют вычислительные программы для расчёта силовых факторов в элементах конструкций, а проверку несущей способности проводят при помощи коэффициента продольного изгиба <р, который учитывает упругопластические свойства строительных сталей [36, 42].

При использовании коэффициента продольного изгиба делается предположение о шарнирном опирании его концов, поэтому встаёт проблема выбора так называемых расчётных длин элементов, или расстояния между нулевыми точками эгаоры моментов. Для классических условий закрепления концов: жёсткой заделки, шарнирно опёртого или свободного конца стержня, задача построения эпюры моментов решается аналитически, либо численно в предположении упругой работы материала, и таким образом определяется расчётная длина элемента (или коэффициент приведения свободной длины \х к задаче «шарнир-шарнир»). Для условий упругого защемления, что всегда имеет место на практике, такие решения находятся приближёнными методами, и с такой же точностью определяются свободные длины. Поэтому, инженер-проектировщик нередко сталкивается со сложностью определения свободной длины конкретного элемента конструкции. Особенно часто это может проявиться при проектировании каких-либо уникальных сооружений, не укладывающихся в традиционные схемы, где остаётся невыясненным вопрос о величине упругости защемления концов стержневых элементов работающих в составе конструкции и где рекомендации по выбору расчётных длин не обладают необходимой точностью. Ещё хуже обстоят дела, когда элемент нагружен не одной, а несколькими силами, или имеет непостоянное сечение по длине, не говоря уже о следящих силах или о нагрузках изменяющихся при деформациях конструкций, как, например, в конструкциях с вантами.

Кроме этого, нередко, специалисты, занимающиеся обследованиями сооружений из металлоконструкций, в том числе и аварийных, сталкиваются с необходимостью определить несущую способность сжатого стержня имеющего разнообразной формы искривления, зачастую превышающие ограничения, указанные в нормативной документации [17, 18]. Тот факт, что в реальных конструкциях, стержневые элементы всегда имеют некоторые отклонения от прямолинейной формы, делает необходимым учёт влияния формы и величины начальных искривлений на устойчивость и максимальную несущую способность сжатых элементов.

В рекомендуемой СНиП методике расчёта на устойчивость, коэффициент продольного изгиба <р можно рассматривать как долю несущей способности сжатого стержня по отношению к несущей способности растянутого. При гибкостях А>200, значения <р становятся существенно меньшими единицы. Однако, даже при максимальных гибкостях перед достижением критического состояния в сжатых волокнах стержня появляются пластические деформации. Это говорит о том, что при определении несущей способности необходимо использовать упругопластическую модель материала, а также форму поперечного сечения стержня, где, учитывая наличие в стержне сжимающих и изгибающих усилий, рост пластических зон необходимо определять как по высоте сечения, так и вдоль его длины.

Учитывая это, в данной диссертационной работе акцент был сделан на рассмотрении следующего круга задач:

• разработка методики расчёта устойчивости упруго защемлённого стержня произвольного сечения, имеющего некоторое начальное искривление, с учётом упругопластической работы материала;

• на основании предложенной методики, разработка расчётного программного модуля и получение с его помощью результатов для ряда исследовательских задач;

• на основании учёта работы стержня в составе конструкции, исследовано влияние элементов конструкции на упругость защемления концов рассматриваемого стержня для ряда конструктивных схем;

• исследование влияния исходных параметров стержневого элемента конструкции на его несущую способность;

• решение задачи о несущей способности системы стержневых элементов, объединённых дополнительной связью (задача о крестовой решётке).

Целью работы является создание алгоритма и программы расчёта упругопластической работы стержня в составе пространственной конструкции при его деформировании с учётом реальных физико-геометрических параметров.

По результатам исследования опубликованы 4 печатные работы [2, 3, 21,

22].

Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, заключения, приложения и списка литературы.

Результаты исследования прямоугольной призмы приведены в таблицах 3.1.9 - 3.1.11, треугольной призмы - в таблицах 3.1.12 - 3.1.14 приложения 2. В обоих случаях, в столбце «Схема» приняты следующие условные обозначения:

1) - номер элемента схемы, в узлах которого определяется к;

Y - момент и угловые деформации рассматриваемого элемента относительно данной оси;

45 - угол поворота местной оси элемента (без индекса равно нулю); т.З - узел рассматриваемого элемента.

По результатам исследования следует отметить:

• в узлах, имеющих поддержку соседних элементов, находящихся в других плоскостях, гораздо менее заметно Рис.3.1.7

Рис.3.1.6 изменение безразмерной жёсткости к в пространстве. В отличие от плоской фермы, где жёсткость узлов из плоскости грани стремится к нулю за счёт малой сопротивляемости её элементов кручению, для пространственной конструкции, как в плоскости, так и из плоскости грани, характерна зависимость к от типа конструкции и соотношения жесткостей её элементов;

• как и для случая плоской фермы, при заданном соотношении жёсткости элементов, заметна зависимость к от положения рассматриваемого элемента в конструкции, уменьшаясь при приближении к крайним панелям и увеличиваясь, а затем, практически, стабилизируясь в средних (внутренних) панелях;

• заметно некоторое увеличение жёсткости к, по сравнению со схожими узлами плоской фермой, однако, как и для случая плоской фермы, её значения находятся на наиболее влиятельном участке диаграммы k-Nmax, что требует обязательного пересчёта к для каждой конкретной конструктивной схемы.

• незначительное изменение формы сооружения в плане, не сильно л* сказывается на величине безразмерной жёсткости к при любом соотношении жесткостей конструктивных элементов. В треугольной призме, более чем в прямоугольной заметно изменение к в различных плоскостях элемента. За счёт изменения угла пристыковки граней, жёсткость узлов в одних плоскостях несколько увеличивается по сравнению с прямоугольным случаем, а в других заметно уменьшается.

• в пространственном случае остаются зависимости безразмерной жёсткости к от соотношения жёсткостей поясов и раскосов, указанные для плоской фермы. Однако пример пирамидальной конструкции лишний раз наталкивает на мысль, что при постановке задачи в безразмерном виде, необходимо использовать соотношение гибкостей элементов. Так, например, рассматривая для пирамидальной конструкции случай 1поясов = 1раскосов, отмечаем, что жёсткость защемления поясов заметно уменьшается к низу вместе с расширением граней, а, следовательно, увеличением гибкости раскосов.

Причём уменьшение жёсткости узлов поясов практически пропорционально увеличению гибкости раскосов (погрешность -10%), в то время как изгибная жёсткость раскосов неизменна. Аналогичная ситуация сохраняется и с раскосами. Минимальная безразмерная жёсткость узлов раскосов также уменьшается пропорционально увеличению их гибкости (с погрешностью -5%).

Конечно, этих рассмотренных примеров недостаточно для выявления всех закономерностей распределения безразмерной жёсткости узлов к в различных конструктивных схемах. Но такая цель в данной работе и не ставилась. Наоборот, лишний раз необходимо подчеркнуть, что задача определения к должна решаться в индивидуальном порядке, и ввиду достаточной простоты алгоритма должна быть включена, как, в общем, и вся задача об устойчивости элементов по предлагаемой методике, в программы комплексного анализа конструкций наряду с прочностным, деформационным и другими видами расчётов. Только таким образом, учитывая особенности каждого конкретного сооружения удастся достигнуть максимальной достоверности результатов.

3.1.3. Жёсткость узлов плоской уголковой фермы.

В качестве примера реальной конструкции можно рассмотреть ферму поперечника промздания. Ферма, состоящая из элементов уголкового сечения, когда эти элементы собраны в тавр на «сухариках», показана на рисунке 3.1.9. приложения 2, а её схема - на рисунке 3.1.8. В этом случае жёсткости всех

- 3000 3000 — Yf 6 <з> - 3000 — 3000 -7 ® 8i Т140x9 О) - 3000 -р3000 -I 9 ® 10 & р 3000 —3000 -11 © 12 f о о ■«г h z >-^ /\ ' w ж! / JL125x9 \

У ww \ Ф г ---6000-- (2) з --6000--- (3) 4 --6000-- 3> v* ---6000-

24000

Рис.3.1.8 элементов в плоскости фермы оказываются много меньшими, чем жёсткости по нормали к плоскости фермы, поэтому необходимо проверять все элементы фермы на устойчивость в плоскости фермы.

В данной ферме элементы 1-4 составляют нижний пояс, поэтому на сжатие не проверяются. Элементы 5-10 составляют верхний сжатый пояс, который рассматривается как последовательность элементов с упругими закреплениями, причём i-тая опора может характеризоваться как угловым к^, так и линейным kUi коэффициентами жёсткости.

Направление координаты s принято от узла с меньшим номерок к узлу с большим номером. Определение углового коэффициента kei производится по описанной в разделе 3.2 методике. Для определения линейных жесткостей kui упругих опор для элементов верхнего пояса 5-10 соответствующие раскосы по очереди отсоединяются от узлов 6, 7, 8 и 9 (остальные принимаются из соображений симметрии) верхнего пояса, затем к ним прикладывается вертикальная сила N и, также как в случае углового коэффициента, для рассматриваемого узла рассчитывается реакция системы (фермы) на приложение нагрузки в виде линейного перемещения Un в направлении действия нагрузки. Линейный коэффициент жёсткости рассчитывается по N формуле ku =-. Полученные коэффициенты приводятся к безразмерному

AUn г k0L г k L3 N . виду по формулам: ке = и ки = —— где к„ = —-. Расчет значении

EI EI U безразмерных коэффициентов жёсткости закрепления концов элементов рассматриваемой фермы приведены в таблице 3.1.15 приложения 2.

По результатам исследования следует отметить:

• рассмотренную ферму можно отнести к одному из вышерассмотренных случаев плоской фермы, когда жёсткость поясов фермы превышает жёсткость раскосов. При этом наблюдается значительное увеличение поддерживающего р эффекта для раскосов со стороны поясов (до ке = 195 для раскосов и 220 - для стоек), и, наоборот, относительно небольшая угловая поддержка поясов со стороны раскосов (0.5 < ke < 20).

• значительную линейную безразмерную жесткость ku узлов верхнего сжатого пояса фермы (36 < к! <154), которая находится в кубической зависимости от длины рассматриваемого участка пояса. Это позволяет рассматривать устойчивость неразрезного сжатого пояса фермы как устойчивость совокупности его элементов на отдельных участках с учётом реальной угловой жёсткости закрепления узлов каждого из них.

• достаточно большие значения величины безразмерной жёсткости закрепления узлов раскосов, которые фактически можно рассматривать как «заделку» (что в свою очередь приводит к развитию значительных пластических деформаций при деформировании), наталкивают на мысль о необходимости предварительного исследования каждой стержневой конструкции на предмет выявления элементов «группы риска», т.е элементов которые целесообразно проверять на предмет потери устойчивости.

3.2. Влияние параметров стержня на его несущую способность.

В общем случае, несущая способность элемента конструкции является функцией многих факторов: Nmax(X, ко, ki, /0, тип и размеры сечения, форма искривления и др.), где A, =i - безусловная гибкость стержня, обычно i определяемая по imin сечения; ко и ki - жёсткости защемления начала и конца стержня; /0 = /0 / L - начальная погибь стержня; ет = стт/Е - деформация текучести стали, характеризующая применяемый материал. Все они учитываются в рассмотренной во второй главе методике определения устойчивости стержня, и в большей или меньшей степени влияют на величину максимальной отпорности стержня. Для лучшего понимания вклада каждого из вышеперечисленных факторов в процесс деформирования стержня и его непосредственного влияния на Nmax, необходимо провести ряд расчётов, по результатам которых можно будет построить наглядные графики, таблицы, изложить выводы и рекомендации. В тоже время, учитывая огромное разнообразие расчётных схем, и не меньшего количества индивидуальных исходных параметров каждой системы, в данной работе не ставится цель приведения всех задач к какой-либо систематизации. Наоборот, очень важно в каждом случае получать индивидуальное решение задачи, также как и при определении жёсткости закрепления узлов стержней, рассмотренной выше. Поэтому, исследование вопроса о влиянии исходных параметров стержня на его несущую способность (зависимость 8 - Nmax )„ будем рассматривать по следующей схеме: выделяя какой-либо параметр, подробно исследуем его влияние на процесс деформирования и на величину Nmax, при этом остальные величины остаются либо постоянными, либо меняются, принимая некоторые определённые значения.

3.2.1. Влияние формы сечения стержня.

Начнём с определения влияния типа сечения на его несущую способность. Как отмечалось выше, от характера сечения стержня в большой степени зависит скорость образования и развития в нём пластических деформаций, что, в свою очередь, сказывается на величине Nmax. Кроме того, от условий закрепления сечения и от ориентации его главных осей в пространстве зависит значение безразмерной гибкости, которая сама, как будет показано далее, оказывает значительное влияние на отпорность стержня.

Подобные исследования проводились в работе [40], поэтому подробно остановимся на некоторых важных фактах, проявляющихся при деформировании стержня, и не вошедших в [40]. В качестве сечений возьмём два наиболее часто применяемых для элементов конструкций, требующих расчёта на устойчивость - это уголок и труба. Для удобства сопоставления результатов, геометрическая длина в обоих случаях подобрана таким образом, п чтобы безусловная гибкость стержней Хя^ЮО. Начальная погибь принята равной 1/750 от его длины. Материал — сталь СтЗ, для которой e^O.OOl. В качестве закрепления концов стержня рассмотрены четыре характерных случая: а) шарнир-шарнир, т.е. ki=0 , k2=0; б) заделка-заделка, т.е. ki=oo, k2=oo; в) заделка-шарнир, т.е. ki=oo , k2=0; г) упругая заделка: ki=10 , k2=10.

Рассмотрим последовательно каждый случай:

В случае уголка, плоскость потери устойчивости определяется особенностью конструктивной схемы, в которой он применён. Рассмотрим следующие два варианта:

• первый - когда уголок теряет устойчивость относительно главных осей - по imjn (рис.3.2.1). Для этого рассмотрим уголок L63x5 с первоначальной погибью - по imin и геометрической длиной равной 1300мм и гибкостью Яя= 102,7. Для данного положения изогнутой первоначальной оси уголка характерна следующая особенность - для уголка, приведённое сечение почти симметрично относительно оси Y, причём различие тем меньше,

Рис.3.2.1 Л

-к cZZl

V/W////A 4

Рис.3.2.2 чем меньше толщина полки по отношению к ее « длине. Как следствие, и максимальная несущая способность для случаев с полками вниз и с полками вверх, различается совсем незначительно, в пределах 1%. Поэтому, ограничимся рассмотрением случая уголка в положении полками вниз, который даёт чуть меньшее значение Nmax •

• второй - когда, конструктивная схема препятствует изгибу рассматриваемого стержня относительно imin, тогда происходит потеря устойчивости по iy (рис.3.2.2, 3.2.3). В этом случае, на несущую способность уголка большое влияние оказывает направление начальной погиби стержня. Поэтому, сначала рассмотрим уголок 163х5 с первоначальной погибью в плоскости пера, пером вверх (рис.3.2.2), а затем тот же утолок с исходной погибью пером вниз (рис.3.2.3). При этом в обоих 3 случаях, геометрическая длина принимается равной 2000мм для обеспечения гибкости 102,2.

Следует заметить, что по рассмотренному во 2 главе принципу решения задачи, сечение уголка приводится к обобщённому двутавровому сечению, где не учитываются реальные скругления, но это допущение даёт погрешность в пределах 1%.

В случае трубы, плоскость потери устойчивости не зависит от её ориентации в пространстве, поэтому рассмотрим один случай, однако его результаты тем интереснее, что сечение трубы принципиально отличается от уголка. Круглая труба взята 060x4 по сортаменту длиной L=2000mm, гибкость 00,75. Как отмечалось выше, труба относится к сечениям с переменной шириной, поэтому приходится использовать численное интегрирование по высоте сечения (см. раздел 2.6.2). При этом на точность решения заметное влияние оказывает величина разбиения сечения по высоте. Для обеспечения приемлемой точности она должна быть не менее 30^-50. В данном примере принято 100 шагов интегрирования.

В таблице 3.2.1 приведены сравнительные результаты расчётов всех рассмотренных случаев для уголка и трубы, по рассматриваемой методике и по методике расчёта устойчивости, рекомендованной СНиП. Одной из основных целей вычислений является расчёт «кривой отпорности», т.е. зависимости N от

Ux(l) (рис.3.2.4). В процессе расчёта по значениям деформаций на этой кривой отмечается точка 1 начала развития пластических деформаций, а также точка 2 соответствующая критическому состоянию и максимальному значению Nmax. Свободная длина стержня ц. определяется как расстояние между сечениями с нулевыми моментами, исходя из классического её понимания (рис.3.2.5).

88

Заключение,

В диссертационной работе рассмотрена методика определения несущей способности слабо искривлённого стержня, а также системы стержней, с учётом условий взаимодействия между ними. В предлагаемую методику заложено предположение, что стержень изначально не может быть идеально прямым и всегда имеет некоторые начальные несовершенства. Представленная методика допускает назначение произвольной начальной погиби как по величине, так и по форме. Процесс потери устойчивости рассматривается как процесс образования и развития в волокнах сечения стержня пластических зон, вплоть до достижения им предельной несущей способности Nmax, характеризующейся нулевой отпорностью, либо предельных (ограниченных) характеристик материала.

Решение задачи представляет собой расчёт процесса последовательного деформирования стержня шагами, причём аргументом процесса является укорочение стержня, а точнее сближение его концов в продольном направлении. При таком подходе область нулевой отпорности рассчитывается без затруднений и даже рассчитывается начало закритического деформирования. Для характеристики материала использована

Унифицированная диаграмма» а-г, достаточно хорошо описывающая начальный участок пластичности большинства строительных сталей.

Основным результатом расчёта является диаграмма сжатия Nx - Ux, т.е. зависимость продольного усилия от сближения концов стержня. Последнее определяется двумя факторами: продольным сжатием стержня и сближением его концов за счёт изгиба. Критическому состоянию характеризуемому максимальным значением сжимающей силы или нулевой отпорностью всегда предшествует появление пластических зон в крайних сжатых волокнах. В зависимости от вида начальной погиби, гибкости элемента, условий закрепления концов, пластическая зона возникает либо в области максимального прогиба, либо (и) в заделке. Характер развития пластических зон по высоте сечения существенно зависит от типа используемого сечения. Наибольшее внимание в диссертации уделено следующим задачам: Исследовано влияние жёсткости закрепления узлов стержня на его несущую способность. Рассмотрен способ определения жёсткости закрепления узлов для любой плоской или пространственной конструкции на основе «эллипсоида жёсткости».

Проведено исследование распределения безразмерной жёсткости закрепления узлов в некоторых плоских и пространственных конструкциях. Рассмотрен пример плоской уголковой сварной фермы, а также три плоских фермы из элементов трубчатого сечения. Исследования показали, что:

• величина безразмерной жёсткости рассматриваемого элемента в

0EI значительной степени зависит от жёсткости примыкающих к нему ближайших элементов. В безразмерном виде значения жёсткостей к для любого элемента в большинстве случаев укладываются в интервал от 0 до 100, причём в подавляющем большинстве - в интервал от 0 до 20;

• наибольшая изменчивость наблюдается в крайних панелях фермы, где на жёсткость к больше, нежели в средних панелях, оказывают влияние тип фермы, её геометрические особенности, условия закрепления и соотношение жёсткости элементов. Для исследованных плоских сварных ферм значения к в плоскости фермы колеблются от 7 до 20, а из плоскости, в связи с более слабой поддержкой соседних элементов - от 0.5 до 2.5;

• проведённые исследования о влиянии безразмерной жёсткости закрепления узлов исследуемого элемента на его несущую способность показали, что в интервале «строительных» гибкостей для сжимаемых стержневых элементов (Х,= от 50 до 200), даже небольшие изменения к оказывает весьма заметное влияние на несущую способность стержня, особенно для небольших значений безразмерной жёсткости узлов элементов (Оск^Ю).

Рассмотрены примеры пространственных раскосных ферм (секций башен) призматической и пирамидальной формы, квадратного и треугольного очертания в плане (для удобства сопоставления, сечения и геометрия аналогичны плоским фермам). Для пространственной конструкции отмечены:

• важность и принципиальность задачи определения плоскости наименьшей безразмерной жёсткости к для узлов элементов сооружения;

• заметное увеличение жёсткости к, по сравнению со схожими узлами плоской фермой в 1.5-г-2 раза), однако, как и для случая плоской фермы, её значения находятся на участке диаграммы k-Nmax с наибольшей изменчивостью критической силы;

• незначительное изменение формы сооружения в плане, не сильно сказывается на величине безразмерной жёсткости к при любом соотношении жесткостей конструктивных элементов.

На конкретных примерах, рассмотрено влияние других исходных параметров (формы сечения, начальной погиби, гибкости) на их несущую способность.

Рассмотрен пример расчёта системы из двух перекрещивающихся и взаимодействующих стержней - крестовой решётки. На конкретном примере показано влияние условий нагружения и сил взаимодействия на несущую способность системы из двух стержней по отношению к несущей способности одного стержня при одинаковых исходных параметрах. Показано влияние жёсткости закрепления стержней крестовой решётки на их несущую способность.

Исследованы два случая: первый - когда один раскос сжат, а другой -растянут; второй - когда оба стержня одновременно сжимаются.

В первом случае, начальное взаимодействие между раскосами приводит к возникновению в месте их пересечения силы Qy, которая вначале увеличивает прогиб сжатого раскоса и помогает распрямлению растянутого. Затем, после перехода растянутого элемента через прямолинейное состояние, сила взаимодействия Q меняет знак на противоположный и препятствует дальнейшему искривлению сжатого стержня, оказывая значительное влияние на несущую способность крестовой решётки вцелом. В исследованном случае несущая способность оказалась в 1.6-ь 2.2 раза больше, чем несущая способность сжимаемого одиночного стержня в тех же условиях. В момент потери устойчивости сжатого стержня, в растянутом стержне получают значительное распространение пластические зоны, поэтому несущая способность крестовой решётки может определяться по одному из двух критериев: либо по Nmax сжатого стержня, либо по предельным характеристикам материала, в том числе и для растягиваемого элемента.

Во втором случае оба элемента сжимаются и деформируются в одном направлении, поэтому, несмотря на то, что они теряют устойчивость не одновременно (в исследованных задачах сказывалось влияние разной ориентации сечения или различной стрелки начальной погиби стержней), несущая способность такой системы незначительно отличается от несущей способности одиночного стержня.

Важным фактором, влияющим на несущую способность элементов крестовой решётки является учёт жёсткости закрепления узлов элементов. В рассмотренной схеме жёсткость закрепления элементов крестовой решётки из плоскости фермы имеет среднюю величину (к « 5). Такие условия закрепления концов крестовой решётки во втором случае повышают несущую способность практически в два раза. С другой стороны, при учёте жесткости закрепления, значительное распространение получают пластические зоны, т.е. реально возможна ситуация, когда определяющим фактором несущей способности станет не достижение нулевой отпорности, а достижение предельных ограниченных) характеристик материалла а > апред.

Изложенная в данной работе методика и проведённые на её основании исследования показывают большую универсальность расчёта нелинейного процесса деформирования сжатых и сжато-изгибаемых элементов конструкций с определением их максимальной несущей способности на основании использования численных алгоритмов. Такой подход позволяет достаточно точно учитывать условия закрепления элементов конструкции, их сечения, характер искривления и взаимодействия друг с другом. Результаты исследований показывают значительное влияние исходных данных на конечный результат, а это, в свою очередь, требует индивидуального подхода к решению каждой конкретной задачи.

1. Агеев М.И., Алик В.П., Марков В.И. Библиотека алгоритмов: Справочное пособие, Вып. 2. -М.: Советское радио, 1978. 128с.

2. Артёмов А.А. Влияние параметров сечения на несущую способность стержневых элементов // Промышленное и гражданское строительство. -2003.-№6.-с. 48-49

3. Артёмов А.А. Учёт жёсткости защемления узлов стержня // Монтажные и специальные работы в строительстве. 2003. - №10. - с. 22-23

4. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973. - 455 с.

5. Беленя Е.И. Металлические конструкции. М.: Стройиздат, 1973. - 600с.

6. Вельский Г.Е. Устойчивость сжатых стальных стержней с упругими защемлениями концов. М.: АС и А СССР, 1959. - 147с

7. Вельский Г.Е., Гильденгорн JI.A. Устойчивочть сжато-изогнутых элементов — В кн.: Совершенствование и развитие норм проектирования стальных строительных конструкций. М., 1981.-е. 128-138

8. Вельский Г.Е., Одесский П.Д. О едином подходе к использованию диаграмм работы строительных сталей // Промышленное строительство. 1984. - №7. - с.4-6

9. Беляев Б.И. О влиянии на прочность центрально сжатых элементов стальных конструкций искривления их при изготовлении и монтаже и внецентренного приложения усилий // Труды ЦНИИПСК. 1952. -Вып.5005.-с. 9-10

10. Болотин В.В., Рабинович И.М., Смирнов А.Ф. Проблемы устойчивости в строительной механике. М.: изд. литературы по строительству, 1965. -215с

11. Бронштейн И.Н. Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1962.-780с

12. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. -964с

13. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1962. - 870с

14. Гематдинов Н.Б., Симон Н.Ю. Уточнение коэффициента продольного изгиба центрально сжатых стержней: Проектирование металлических конструкций // Науч. техн. сб. Серия 3. - М.: ВНИИС Госстроя СССР, 1982. - с.14-17

15. Геммерлинг А.В. Несущая способность стержневых стальных конструкций. М.: Стройиздат, 1958. - 216с.

16. Геммерлинг А.В. Расчёт стержневых систем. М.: Стройиздат, 1974. -207с.

17. Система геометрической точности в строительстве. Технологические допуски геометрических параметров: ГОСТ 21779-76. М.: Изд. стандартов, 1976. - 89с.

18. Конструкции стальные строительные. Общие технические условия: ГОСТ 23118-99. М.: Госстрой России. ГУП ЦПП, 2001. - 135с.

19. Грудев И.Д. О больших прогибах пространственных тонких стержней // Труды ВНИИФТРИ. 1971. -Вып.8 (38). - с. 17-36.

20. Грудев И.Д. Толстые упругие стержни, пластинки и оболочки. М.: Академпринт, 2001. - 356с.

21. Грудев И.Д., Артёмов А.А. Прямой метод расчёта сжатых элементов стальных конструкций в составе сооружения // Промышленное и гражданское строительство. 2003. - №6. - с. 34-36

22. Грудев И.Д., Артёмов А.А. Уточнение расчётной длины стержневых элементов, работающих в составе конструкции // Монтажные и специальные работы в строительстве. 2003. — №11. - с. 6-7

23. Грудев И.Д., Симон Н.Ю. Расчёт зон пластичности при сжатии первоначально искривлённого стержня // Известия ВУЗов. Строительство и архитектура. 1984. - №7. - с.27-30

24. Донелл JL, Уан К. Влияние неправильностей в форме на устойчивость стержней и тонкостенных цилиндров при осевом сжатии // Механика:

25. Сборник сокращённых переводов и рефератов иностранной периодической литературы. 1951. — Вып.4. - с.91-106

26. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики. М.: Наука, 1972.-471с.

27. Зылёв В.Б. Вычислительные методы в нелинейной механике конструкций. М.: НИЦ Инженер, 1999. - 289с.

28. Киселёв В.А. Строительная механика: Общий курс. — М.: Стройиздат, 1986. 520с.

29. Колебания тонких криволинейных стержней. Вибрации в технике: Справочник. ТЗ. - М.: Машиностроение, 1980, - с. 18-36.

30. Корчак М.Д. О влиянии местных начальных искривлений пояса на устойчивость решетчатого стержня—В кн.: Совершенствование развития норм проектирования стальных строительных конструкций. М.: ЦНИИСК, 1981. -с.119-127

31. Косоруков В.А. Влияние случайных погнутостей сжатых стержней стропильных ферм на их несущую способность: Автореф. дис. канд. техн. наук. -М., 1979.-23с.

32. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. -Т1,2.-М.: Наука, 1977.

33. Кужава 3. Статистическая оценка случайных неправильностей реальных центрально сжатых стержней // Строительная механика и расчёт сооружений. 1982. - №5. - с.61-62.

34. Лейтес С.Д. Справочник по определению свободных длин элементов стальных конструкций. М.: Проектстальконструкция, 1967. - 315с.

35. Металлические конструкции. Справочник проектировщика / под. общ. ред. В.В. Кузнецова. М.: изд-во АСВ, 1998. - 574с.

36. Пиковский А.А. Статика стержневых систем со сжатыми элементами. -М.: Физматгиз, 1961. 390с.

37. Пособие по проектированию стальных конструкций (к СНиП И-23-81*). -М.:ЦИТП, 1989.- 128с.

38. Расчёт конструкций, работающих в упруго-пластической стадии // ЦНИИСК. Труды института. М.: ЦНИИСК, 1961. - с51-58

39. Симон Н.Ю. Методика уточнённого упруго пластического расчёта первоначально-искривлённых сжатых элементов конструкции: Автореф. дис. канд. техн. наук. М., 1985. - 16с.

40. Симон Н.Ю. Сжатие упруго-пластического стержня с произвольной начальной погибью // Разработка методов расчёта и исследование действительной работы строительных металлоконструкций: Сб. научн. трудов. -М.: ЦНИИПСК им. Мельникова, 1983, с. 125-132.

41. СНиП П-23-81* Стальные конструкции. Нормы проектирования. — М.: Министерство строительства РФ, 1995. 136с

42. Соболев Ю.В. Исследование предельной несущей способности сжато-изогнутых стальных стержней: Автореф. дис. канд. техн. наук. М., 1959.-23с.

43. Стрелецкий Н.С. Работа сжатых стоек.-М.: Стройиздат, 1959. — 459с.

44. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1965. — 648с.

45. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем.-М.: Гостехтеоретиздат, 1955.-537.

46. Трофимов В.И. Исследование устойчивости и несущей способности металлических конструкций типа опор линий электропередачи. М.: Госэнергоиздат, 1963.-216с.

47. Федосеев В.И. Десять лекций-бесед по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1969.- 180с.

48. Чувикин Г.М. Об устойчивочти за пределом упругости внецентренно сжатых тонкостенных стержней открытого профиля. В кн.: Расчёт пространственных конструкций. - ЦНИИПСК. Труды института. - 1962. - Вып.13. - С.70-157

49. Чувикин Г.М. Экспериментальное исследование устойчивости внецентренно-сжатых стальных одностенчатых стержней при двухосном эксцентриситете. В кн.: Расчёт пространственных конструкций. -ЦНИИПСК. Труды института. -1959. - Вып.5, - С.57-79

50. Шапиро В.Д. Статистическое исследование начальных искривлений при заводском изготовлении стальных стропильных ферм. В кн.: Проблемы надёжности в строительном проектировании. - Свердловск, 1972. -С.268-273

51. Эйлер JL Методы нахождения кривых линий, обладающих свойствами либо максимума, либо минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. М.: Гостехиздат, 1934. — 600с.

52. Ясинский Ф.С. Избранные работы по устойчивости сжатых стержней-М. Л.: Гостехиздат, 1952. -428с.

53. Chen W.F. End restraint and column stability // Journal of the structural Division Proceedings of ASCE. 1980. - v.106. - №11. - p. 2279-2295.

54. Clebsch A. Theorie der Elastizitat fester Korper, Leipzig. 1862. - 424s. (см. также перевод на французский с дополнениями Сен-Венана: Theorie de l'elasticite des corps solid. - Paris: Dunod, 1883.)

55. Halvorson M. Microsoft Visual Basic 5 Step by Step: Практ. пособ./Пер. с англ. М.: Издат. ЭКОМ, 1998. - 556р.

56. Pavlovich M.N., Stevers L.K. The effect of flexural prestrain on the stability of structural steel column.-Eng. struct., 1981. v.3. - №2. - p.66-70

57. Stability of metal structures: A World View // Engineering Journal, AISC, -1981. — v.18. -№3.