автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Устойчивость равновесия неконсервативных стержневых систем

На правах рукописи

КАГАН-РОЗЕНЦВЕЙГ Лев Марленович

УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора технических наук

4 АПР 2013

Москва 2012

005051527

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет".

Официальные оппоненты: Белостоцкий Александр Михайлович

доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО "Московский государственный строительный университет", профессор кафедры "Информатика и прикладная математика";

Петров Владилен Васильевич

доктор технических наук, профессор, академик РААСН, ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный технический университет", заведующий кафедрой "Механика деформируемого твердого тела";

Юрьев Александр Гаврилович

доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО "Белгородский государственный технологический университет", заведующий кафедрой "Сопротивление материалов и строительная механика"

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО "Санкт-Петербургский

государственный политехнический университет"

16

Защита состоится 19 апреля 2013г.в12час.на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при ФГБОУ ВПО "Московский государственный строительный университет" по адресу: 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д.26, ауц. № 9 "Открытая сеть".

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО "Московский государственный строительный университет".

Автореферат разослан « /5» № * /о Уп С{ 2013 г.

Ученый секретарь л ^

диссертационного совета ^¿СфО^. Анохин Николай Николаевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Устойчивость равновесия конструкций и их элементов под действием неконсервативных следящих сил изучается более полувека. Результаты теории подтверждены экспериментально, нашли практическое применение, универсальные программные комплексы конечно-элементного анализа предусматривают возможность численного решения соответствующих задач.

В строительных расчетах неконсервативные следящие силы возникают вследствие взаимодействия конструкций с потоком жидкости или газа. При проектировании большепролетных подвесных мостов, буровых вышек, высоких мачт и опор линий электропередачи следует учитывать эффекты, обусловленные неконсервативностью следящих сил.

В дальнейшем изучении проблемы на первый план выходит обнаружение и устранение пробелов в теории, что важно для повышения надежности расчетов.

Цель работы. Анализ литературных источников показал, что вопрос о влиянии малых изменений параметров неконсервативной системы на величину критической нагрузки разработан недостаточно. Недостаточно развиты также энергетические методы решения задач. Целью работы является устранение этих пробелов.

В работе изучается влияние малых изменений распределения массы на устойчивость идеально упругой системы. Особое внимание уделяется учету малых диссипативных сил и оценке вклада изменения параметров этих сил..

Предлагается энергетический метод решения задач, в основу которого положено представление о динамической неустойчивости, как о явлении, аналогичном резонансу.

Устойчивость равновесия понимается в смысле структурной устойчивости: равновесие устойчиво тогда, когда к малым последствиям приводят не только малые силовые или кинематические возмущения, но и малые изменения параметров системы.

Научная новизна. Новые результаты получены по следующим вопросам.

1. Влияние малых изменений массы на устойчивость идеально упругой системы. Главной особенностью анализируемого класса задач является зависимость критической нагрузки от распределения массы вдоль системы.

В диссертации предложены оценки степени влияния распределения массы. Обнаружен и изучен эффект скачкообразного изменения критической нагрузки при внесении в систему малой дополнительной массы.

2. Влияние малой диссипации. При динамическом анализе устойчивости нельзя игнорировать малые диссипативные силы. Этот факт известен с конца 50-х годов. Вопрос о зависимости критической силы от закона изменения вдоль системы параметров диссипативных сил остается не изученным.

В диссертации предложен критерий асимптотической устойчивости системы с внешними диссипативными силами, анализирующий только частоты идеально упругой системы.

Установлены границы, в которых изменяются критические силы в зависимости от закона изменения вязких свойств вдоль системы. Для систем с распределенными параметрами анализируются эффекты, обусловленные неоднородным распределением диссипативных свойств.

3. Эффект дестабилизации. В начале 50-х годов Циглером установлен эффект дестабилизации. Физическая природа эффекта оставалась не выясненной вплоть до последнего времени. Объяснение опубликовано автором диссертации в 2005 г.

4. Классификация типов потери устойчивости. Вопрос важен для понимания природы динамической неустойчивости.

Различают два типа потери устойчивости: дивергенцию (статическую потерю устойчивости) и флаттер (динамическую потерю устойчивости). Отмечают особое поведение неконсервативных систем с одной динамической степенью свободы.

Результаты диссертации показывают, что у неконсервативной системы в отсутствие кратных частот возможны четыре типа потери устойчивости. Предлагается различать статическую дивергенцию, динамическую дивергенцию (термины автора), флаттер, обусловленный взаимодействием колебаний с разными частотами, флаттер, обусловленный взаимодействием пары колебаний, отвечающих одной частоте.

5. Методы решения задач. Основным методом решения неконсервативных задач устойчивости является метод малых колебаний. Энергетические методы разработаны в меньшей степени.

В диссертации предлагается динамический энергетический метод. Метод позволил рассмотреть новый класс задач - задачи об устойчивости систем с неоднородно распределенными вдоль системы диссипативными свойствами.

6. Статический подход. Возможность "обойти" процедуру вычисления частот, применить какой-либо прием, работающий в консервативных задачах, в силу простоты интересует исследователей с момента обнаружения неконсервативных задач устойчивости.

В работе приводятся результаты автора, полученные в этом направлении.

Достоверность результатов. Приемы решения задач являются математически строгими. Корректность предлагаемых методов решения проверена на тестовых примерах. Всюду имеется совпадение с уже известными решениями.

Отдельные аналитически обнаруженные эффекты подтверждены путем численного моделирования средствами программного комплекса ANSYS.

Практическая значимость. Результаты исследования важны для расчета конструкций и систем в строительстве, машиностроении, ракетостроении.

Строительные приложения связаны с расчетами, во-первых, сооружений, основная нагрузка на которые обусловлена ветром или давлением жидкости, во-вторых, проводящих жидкость трубопроводов. Разработка расчетных моделей указанных сооружений с учетом результатов диссертации позволит избежать ошибочных оценок устойчивости.

Положения, выносимые на защиту.

1. Динамический энергетический метод решения задач, который позволил рассмотреть новый класс задач неконсервативной устойчивости.

2. Объяснение физической природы эффекта дестабилизации Циглера.

3. Критерий асимптотической устойчивости упругой системы с внешними дис-сипативными силами, анализирующий тслько частоты идеально упругой системы.

4. Эффект уменьшения скачком критической силы в результате дополнения неконсервативной системы малой массой. На защиту выносятся обнаружение эффекта, объяснение его природы и правила схематизации закона распределения массы, не допускающие появление эффекта.

5. Уточненная классификация типов потери устойчивости неконсервативных упругих систем.

6. Границы, в которых изменяются критические силы в зависимости от закона изменения вязких свойств вдоль системы.

7. Объяснение причины, по которой применение статического энергетического подхода к неконсервативным задачам упругой устойчивости дает внешне приемлемые результаты.

Апробация результатов исследований. Результаты исследований докладывались:

на ежегодных научно-технических конференциях СПбГАСУ в Санкт-Петербурге, 1998 - 2009 гг.;

летней школе "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем", Ин-т проблем машиноведения РАН. 1998 г.;

XX, XXIXXIII международных конференциях Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов. Санкт-Петербург, 2003, 2005, 2009 г. г.;

на семинарах секции строительной механики и надежности конструкций Санкт-Петербургского Дома Ученых РАН (СПб, 2006, 2009 г. г.);

на семинаре кафедры "Механика и процессы управления"' Санкт-Петербургского государственного политехнического университета (2010 г.);

на семинаре кафедры "Строительная механика" Московского государственного строительного университета (2011г.);

на семинаре кафедры "Строительная механика" Московского государственного университета путей сообщения (2011 г.);

на семинаре кафедры "Динамика и прочность машин" им. В. В. Болотина Московского энергетического института (2011 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 24 статьи, из них 14 в изданиях, входящих в перечень ВАК для Докторских диссертаций.

Все статьи опубликованы без соавторов.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав списка использованной литературы из|92 наименований, в отдельный том вынесено приложение 4. Объём диссертации - 245 е., включая 128 рисунков и 6 таблиц.

2. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация посвящена проблеме устойчивости равновесия неконсервативных упругих стержневых систем.

Устойчивость понимается в структурном смысле: равновесие считается устойчивым, если к малым последствиям приводят не только малые возмущения начальных условий, но и малые изменения параметров расчетной схемы конструкции. Параметрами, о которых идет речь, являются параметры массы, параметры диссипативных сил, начальные несовершенства геометрии. Именно такое определение понятия устойчивости позволяет применять теоретические результаты к расчету конструкций.

Анализ устойчивости равновесия неконсервативных систем состоит в изучении устойчивости возмущенного движения вблизи равновесия. Динамическую модель необходимо строить, различая статические и динамические степени свободы системы. Большинство рассматриваемых в диссертации и в реферате систем имеют бесконечное число статических степеней свободы. В разделах, посвященных системам с конечным числом степеней свободы, речь идет о системах с конечным числом динамических степеней свободы и с бесконечным числом статических степеней свободы.

Глава 1. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ ИДЕАЛЬНО УПРУГИХ СИСТЕМ

Постановка задачи. Рассматриваются так называемые циркуляционные системы, то есть линейные идеально упругие системы, у которых уравнения возмущенного движения содержат только перемещения и ускорения точек (при возмущенном движении не возникают кориолисовы силы и силы вязкого сопротивления). Нагрузка включает в себя консервативные и неконсервативные позиционные силы. Анализируются общие свойства критических нагрузок на такие системы.

Применяется следующий способ анализа: вначале закономерность иллюстрируется примерами, затем доказывается общность этой закономерности.

В качестве примеров используются задачи, решение которых не требует сложных вычислений. Набор таких неконсервативных задач невелик, но в диссертации он расширен: добавлены новые задачи об устойчивости консольного стержня. Это позволило сделать представленное в [20] решение задачи о продольно-поперечном изгибе стержня, нагруженного следящей силой.

На протяжении всей главы задачи устойчивости решаются методом малых колебаний: записываются дифференциальные уравнения малых колебаний, вычисляются характеристические показатели А. и анализируется зависимость показателей X от уровня нагрузки. Критерий неустойчивости:

ЯеХ>0.

Параметр нагрузки обозначается за к, к * - его критическое значение.

Для системы с конечным числом и динамических степеней свободы уравнения малых колебаний записываются в форме, принятой в методе сил:

н>„ = ~8„1т1щ -... - 5„„/«„#„.

Здесь м>1 -обобщенные перемещения, т, - массы или моменты инерции массы, 5у - перемещения в направлении обобщенной силы , вызванные обобщенной силой <7; =1. Матрица 5,7 определяется поведением системы при статическом нагружении, ее коэффициенты зависят от параметра к нагрузки. Следствием неконсервативности задачи является несимметричность матрицы 5,, : '> * " ■ ПРИ Решении конкретных задач матрица 5,у вычисляется по соответствующей статической функции влияния. Последняя для каждой конкретной системы строится удобным для этой системы способом.

Запись уравнений движения в форме (1.1) не снижает общности получаемых результатов, поскольку для системы с распределенными параметрами проблему анализа собственных значений несамосопряженной краевой задачи можно приближенно свести к анализу собственных значений системы (1 1) применив процедуру метода Бубнова-Галеркина (см. кн. В. В. Болотин "Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости").

Основной особенностью критической нагрузки на неконсервативную упругую систему является зависимость этой нагрузки от распределения массы (М. Бек, А. Пфлюгер, В. В. Болотин, Г. Ю. Джанелидзе, Я. Г. Пановко). Значения критических нагрузок чувствительны к малым изменениям параметров геометрии систем (А. Н. Коунадис). Математическим методам анализа зависимости критических нагрузок от параметров посвящены работы А. П. Сейраняна О. Н. Кириллова, А. А. Майлыбаева.

Новые результаты. Основные результаты отражены в работах [5,10,11].

1. Хорошо известна сильная зависимость критической нагрузки от распределения массы. Установленный автором эффект состоит в следующем [5]. Пусть

Е1 -изгибная жесткость стержня,/-его длина, к = - безразмерный

параметр нагрузки, действующей на стержень, к* -его критическое значение, зависящее от распределения массы.

Когда допустимы малые изменения массы, увеличивающие число динамических степеней свободы, критический параметр к * может уменьшаться скачком. Эффект наблюдается как при добавлении малой сосредоточенной массы, так и при добавлении малой распределенной массы.

На рис. 1 представлены результаты для двух консольных стержней длиной / нагруженных следящей силой на верхнем торце. Первый стержень изображен отдельно, его масса т сосредоточена в точке с координатой а!, а - параметр Масса второго стержня представляет собой две одинаковые сосредоточенные массы т/2, находящиеся на расстоянии 0,1/, а! - координата центра тяжести сосредоточенных масс. В наименее выгодном месте обоих стержней добавляется новая малая масса 8т « т .

'о 0.1 0.2 0.3 0,4 0,5 0,6 0.7 0,8 0,9 1 Рис. 1

Результаты для первого стержня без массы 5т и с этой массой показаны на рис. 1 соответственно сплошной кривой 1 и пунктирной кривой 1' (кривые частично совпадают). Результаты для второго стержня показаны соответственно точками 4 и 3. При а <0,5 для обоих стержней имеет место изменение критического

параметра скачком. Наименее выгодно расположение массы дт в точке приложения силы Р. Потеря устойчивости стержней 1,2 с массой 8т происходит без возникновения флаттера: максимальная частота колебаний а ->• оо.

Изменение критической силы скачком возможно и при добавлении малой распределенной массы.

Обнаруженный эффект уменьшения критической силы скачком является следствием чрезмерного упрощения (ошибочности) динамической модели: скачок обусловлен неустойчивостью движения, возникающего в части системы, которая первоначально не была наделена массой. Такая трактовка эффекта подтверждена как аналитически, так и путем численного моделирования средствами программного комплекса ЛЫБУБ.

Следует отметить, что добавление малой массы 8т вызывает существенное изменение модели возмущенного движения. Результат совершенно не похож на результат воздействия малой статической силы г 0 . Действительно, добавляется гармонически изменяющаяся сила инерции с амплитудой ^, пропорциональной 5тш2, где со - частота собственных колебаний. В момент потери устойчивости амплитуда этой силы становится бесконечной (при конечной амплитуде точки ее приложения).

Доказано следующее утверждение [10]:

в системе с конечным числом динамических степеней свободы возмущение модели движения внесением малой массы Ът, изменяющее число степеней свободы, может уменьшить критическую нагрузку скачком, но не может скачком ее увеличить. При неизменном числе степеней свободы малое изменение массы модели мало изменяет критическую нагрузку.

Утверждение опирается на известную из алгебры теорему о корнях многочлена степени п: если модули г < п корней многочлена очень велики в сравнении с модулями остальных корней, то эти г больших корней приближенно равны корням соответствующего многочлена степени г, остальные корни приближенно равны корням соответствующего многочлена степени и - г.

Динамический анализ консервативных задач показывает, что аналогичный эффект наблюдается и в консервативных задачах. В этих задачах вблизи высших критических сил возможны устойчивые к возмущению начальных условий области. Эти области оказываются неустойчивыми к возмущению массы. (Конечно, в консервативных задачах эффект интересен только в теоретическом плане.)

Выявленная природа эффекта подсказывает способ компоновки расчетной схемы в виде системы с сосредоточенными параметрами, который позволяет не допускать появление эффекта: в точке приложения позиционной силы следует помещать точечную массу или массу, обладающую моментом инерции (в зависимости от характера силы).

Автору не известны работы других исследователей, анализирующие вопрос.

2. В теории неконсервативной упругой устойчивости различают два типа потери устойчивости, называя эти типы либо статической и динамической потерей устойчивости, либо дивергенцией и флаттером. Типы потери устойчивости различаются поведением в момент потери устойчивости частоты со собственных колебаний. В момент статической потери устойчивости со = 0, при флаттере Rem * 0 и Irnm^O.

Особый тип наблюдается у систем с одной динамической степенью свободы^ У этих систем имеется единственная частота со (она же является максимальной), так что отсутствует взаимодействие пары частот при их сближении, но в момент потери устойчивости максимальная частота ютах -> оо . Такой тип'по-тери устойчивости также называют дивергенцией.

В диссертации доказано, что потеря устойчивости типа ютах ->оо возможна у системы с конечным числом степеней свободы общего вида. Приведены соответствующие примеры. Возможность реализуется при определенном соотношении масс. Важно, чтобы число динамических степеней свободы было меньше числа статических степеней свободы.

Предлагается различать два дивергентных типа потери устойчивости: статическую дивергенцию (со min 0 )и динамическую дивергенцию (со max ->оо), рассматривая динамическую дивергенцию как отдельный динамический тип потери устойчивости. У систем, теряющих устойчивость путем статической и динамической дивергенции, одинаково поведение после потери устойчивости. Однако в устойчивом состоянии рост нагрузки, начиная с некоторого ее уровня, влияет на динамическое поведение системы по-разному.

При статической дивергенции частота corain уменьшается, амплитуды суммарных колебаний w растут. В момент потери устойчивости comin = 0, w -» оо.

При динамической дивергенции частота колебаний сотах. растет, амплитуды w точек сосредоточения масс изменяются слабо, уменьшается составляющая wmax. отвечающая частоте сотах . В момент потери устойчивости согаах -> оо .

Уточнение классификации приводит к следующей рекомендациивычис-лительного плана. В системах с конечным числом степеней свободы недостаточно судить об устойчивости, анализируя низшие частоты. Обязательно дополнительно следить за поведением либо высшей частоты а>тах, либо (при записи уравнений возмущенного движения в форме метода сил) определителя

8ц 5П "б1и

821 д22 ••52я

бл1 6/12'

При наступлении динамической дивергенции Д = 0.

С условиями возникновения динамической дивергенции связан особый случай распределения массы, при котором упрощаются вычисления критической силы.

Рассмотрим систему с п сосредоточенными массами mi,, 1 < / < п, нагруженную в точке/* следящей силой Р. Обозначим зам> обобщенное перемещение точки А, соответствующее следящей составляющей силы Р, М- сосредоточенная в точке А масса или момент инерции массы (в зависимости от типа перемещения ч>).

Пусть масса М много больше других масс т1: М » от,. В диссертации показано, что в этом случае критическая сила приближенно равна критической силе для одномассовой системы с сосредоточенной массой М. Влияние остальных масс несущественно.

3. На примерах показано, что в неконсервативных системах существование статической дивергентной потери устойчивости не гарантирует при более низком уровне нагрузки как от флатгерной потери устойчивости, так и от потери устойчивости путем динамической дивергенции.

В литературе автор не встретил упоминания указанного эффекта, однако, считает его известным и не выносит на защиту. Ввиду прикладной значимости эффекта автор считает необходимым его отметить: неконсервативные задачи устойчивости следует анализировать динамически даже тогда, когда статический подход дает значение критической силы.

4. Известно, что в отдельных неконсервативных задачах устойчивости возможна потеря устойчивости в виде бифуркации равновесия (статической дивергенции). В работе предлагается специальный критерий такой потери устойчивости, справедливый для произвольной стержневой системы.

Сначала устанавливается связь статических перемещений в системе со следящей нагрузкой и перемещений в аналогичной системе без слежения.

Рассматривается равновесие упругой системы, на которую помимо активной нагрузки г действует параметрическая следящая сила Р. Следящая составляющая силы Р такова:

Т = -ХВР. (1.2)

Здесь перемещение 0 определяет следящую составляющую, % - коэффициент слежения.

Вводится вспомогательная консервативная система, не отличимая в состоянии равновесия от исходной системы. К этой системе приложены параметрическая мертвая сила Р = Р, сила Т, совпадающая со следящей составляющей силы Р, и активная нагрузка г. Перемещения во вспомогательной системе обо-

значены за и-, перемещению 0 в исходной системе соответствует перемещение

0 во вспомогательной системе. Способ вычисления перемещений й-, 0 в системе без слежения считается известным.

Формула вычисления перемещений в исходной системе по известным перемещениям вспомогательной системы имеет вид:

I + %Р01 • О-3)

Здесь и»,, 0г - перемещения во вспомогательной системе, вызванные нагрузкой г; й-,, 0, - перемещения в этой же системе, вызванные силой Т = 1.

Уравнение (1.3) приводит к следующему условию бифуркационной потери устойчивости в системе со следящими нагрузками:

1 + хЛ>1=0. (1.4)

Бифуркационная потеря устойчивости возможна, если уравнение (1.4) имеет решения.

5. Рассмотрен вопрос вычисления границ, в которых может изменяться критическая сила в зависимости от распределения массы. Для системы с двумя динамическими степенями свободы доказано следующее утверждение (напомним, что рассматриваются системы с бесконечным числом статических степеней свободы).

Если не накладываются какие-либо ограничения на распределение массы, то при фиксированной геометрии системы точная нижняя граница для критического параметра нагрузки к* = 0.

Теорема означает, что, ставя вопрос о границах изменения критической силы в зависимости от распределения массы, обязательно ограничивать совокупность возможных распределений массы.

Характер распределения массы, приводящий к нулевому критическому значению силы, оказывается специфическим: массы могут присоединяться к системе жесткими консолями. Отметим, что теорема согласуется по смыслу с результатом, доказываемым в теории устойчивости движения: равновесие системы, находящейся под действием одних линейных неконсервагивных позиционных сил с кососимметричной матрицей, всегда неустойчиво (см. кн. Д. Р. Меркин "Введение в теорию устойчивости движения").

6. На примерах показано, что у неконсервативных систем возможны особые комбинации параметров. Отвечающие этим параметрам критические значения к* аномально низки. Потеря устойчивости в рассмотренных примерах происходила по флатгерному типу.

Именно существованием таких комбинаций параметров объясняется нулевое значение точной нижней границы для критического значения к *.

Существование таких комбинаций естественно, если уподобить колебагель-ную неустойчивость резонансу, рассматривать как внутренний резонанс.

Автор считает важным отметить указанное свойство ввиду его прикладной значимости: внешне монотонные зависимости критических нагрузок от параметров, построенные при крупном шаге изменения последних, могут оказаться неверными.

7. Начальные несовершенства геометрии (начальная погибь стержня и т. д.) существенно влияют на критический параметр к * , однако зависимость от параметров несовершенства является непрерывной. Указанный эффект известен, в диссертации представлены новые иллюстрации эффекта.

Здесь же отметим, что в системах с податливыми опорами опорные закрепления следует наделять массой, игнорируя массу опор, можно получить завышенные оценки устойчивости. В работе приводится соответствующий пример.

Глава 2. ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ НА БАЗЕ МОДЕЛЕЙ ДВИЖЕНИЯ, УЧИТЫВАЮЩИХ ВЯЗКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Постановка задачи. Рассматриваются общие свойства устойчивости циркуляционных систем при учете малой диссипации. Анализируются линейные уравнения колебаний. Выясняется устойчивость на бесконечном интервале времени.

Под малой диссипацией имеются в виду диссипативные силы вида ам>, где м>- обобщенное перемещение. Коэффициенты а малы настолько, что силы а» малы по сравнению с силами инерции. Обязательное условие а > 0 учитывает то, что эти силы связаны с рассеянием энергии.

Различаются внешняя и внутренняя диссипация. Внешняя диссипативная сила -ай- зависит от той же обобщенной координаты ю, что и соответствующая сила инерции -тм>. Внутренняя диссипативная сила -ам> зависит от обобщенной координаты м-, отличной от и> (часто и> = м>").

В вопросах динамической устойчивости важна диссипация за период колебаний, поэтому описание вида оси» достаточно при оценке устойчивости на бесконечном интервале времени, позволяет учесть диссипацию разной физической природы (от физической природы зависит абсолютное значение а).

Критическая нагрузка, отвечающая бесконечному интервалу времени, не зависит от абсолютного значения а, так что это значение нет необходимости вычислять. Приведенные в диссертации подсчеты абсолютных значений а показывают, что такой оценкой устойчивости можно ограничиться во многих важных приложениях.

Основной эффект, обусловленный малыми диссипативными силами, носит название эффекта дестабилизации Циглера, установлен в начале 50-х годов, состоит в следующем: учет малой диссипации в уравнениях возмущенного движения может скачком уменьшить критическую нагрузку (в смысле устойчивости на бесконечном интервале времени).

Эффект дестабилизации многократно исследовался теоретически (отметим работы В. В. Болотина, Н. В. Баничука с сотр., Г. Г. Денисова, Н. И. Жинжера, Я. Г. Пановко и Е. С. Сорокина, А. П. Сейраняна с сотр., А. Н. Коунадиса). Эффект подтвержден в экспериментах японского исследователя Ю. Сугияма. Несмотря

на это, далеко не все особенности выявлены. Глава посвящена в первую очередь анализу особенностей этого эффекта.

Новые результаты. Основные результаты отражены в работах [7,18-22].

1. Предложен критерий асимптотической устойчивости системы с внешними диссипативными силами, анализирующий только частоты идеально упругой системы. Критерий является следствием динамического критерия неустойчивости Яе(Л.) > 0.

Рассматривается неконсервативная система, имеющая п сосредоточенных масс т,. м», - обобщенные перемещения (1 </ <: „ ), -сс,^ -силы внешнего вязкого сопротивления, а,- > 0. к - параметр нагрузки. Хотя бы при малом значении параметра к система предполагается устойчивой: при тагом к Яе(Х) < 0 .

Уравнения возмущенного движения системы имеют вид

^1+т1511Л1+а15пн'1... т„ б,>„+а„5,>„ =0, ю,52|1;'1+а1521й'1 ... /И„52>„+ а„82„йп=0,

т18п1щ + а,5,>, ...и>„ + /»„5„>„ +а„5„>„ = 0. Характеристические показатели X представляют собой корни уравнения

(2.1)

1 + /и,5пА, +0С[5,,А,— т„ 5„,А2+а„5,„Л т$г{к +а,521?1- тп 52„А,2+а„52/Д

ш, 5„,Х2 +сс15л1Х-1 + ш„5яД2 +апЪппк

= 0.

(2.2)

Заметим, что в системе с диссипацией корни К уравнения (2.2) не являются чисто мнимыми ( Яе(А.) * 0 ).

Разложение определителя (2.2) в ряд по параметрам <х, с учетом малости параметров а, дает:

(2.3)

Здесь Д0 - определитель частот системы без диссипации,

Д,=

2

] + «,§,,Я т18,|Х2

т,5„,\

т/8иК тДД2

2 ;

тп 8,„Х

тп8!п\

1 + т„8„„\'

(2.4)

Обратим внимание на то, что в определителях А( ,-й диагональный элемент не содержит единицу.

В системе с диссипацией величина 11е(А.) изменяется непрерывно по мере роста нагрузки. В момент колебательной потери устойчивости Ке(^) = 0 то есть соответствующий показатель X становится чисто мнимым. Для чисто м'ни-

мого X определители Л0, Д, в (2.3) действительны, поскольку зависят от Л. , слагаемое со скобкой - чисто мнимое.

Равенство (2.3) в момент потери устойчивости распадается на два:

Д„=0, (2-5)

«Ьд +... + £5д.д =0 (2.6)

т1 1 т„ "

В отличие от условия (2.3), которое определяет характеристические показатели при любом уровне нагрузки и не связано с устойчивостью, условия (2.5), (2.6) определяют момент потери устойчивости, являются следствием условия Яе(Х) = 0.

Первое условие определяет значение характеристического показателя Л.. Условие совпадает с уравнением частот идеально упругой системы и означает то, что в момент потери устойчивости показатель X в системе с вязким сопротивлением в точности равен показателю идеально упругой системы: X = Х0 . Объединенное с критерием неустойчивости ЯеЯ.0 > 0 , условие (2.5) дает критический параметр ка * для идеально упругой системы.

Второе условие определяет критический параметр нагрузки к* в анализируемой системе (если к*<ки* ), является предлагаемым критерием потери устойчивости системы с внешним вязким сопротивлением. Определители Д( этого условия вычисляются при А. = Х0,то есть путем анализа идеально упругой системы. Величины Х0, Д, являются функциями к * .

Учет того, что все определители Д( (1=1, •••,«) вычисляются при Х=Х0, а Д0 = 0, дает упрощенное выражение для определителей Ду:

^т^цХд2 ■ ■ 0 ■ т„ Ь1пХ02

Д,.=- т^цк 02 • 1 • тп5шХа2 (2.7)

• 0 •

то есть в критерии (2.6) определители Д, можно, отбросив знак, отождествить с диагональными минорами определителя Д0.

Критерий (2.6) совместно с (2.7) применим только в случае сил внешнего вязкого сопротивления -а^,. Он справедлив, пока идеально упругая система устойчива (ЯеХ0 =0). В противном случае критический параметр нагрузки совпадает с критическим параметром идеально упругой системы: к* = кя * .

Критерий (2.6) не требует вычисления частот системы с вязкостью. Нужны лишь частоты собственных колебаний идеально упругой системы.

В диссертации приводится аналогичный критерий для общего случая малых диссипативных сил. Условие (2.6) теперь принимает вид

, + =0. (2.8) ш, 1 3

В этом условии а, при / = 1,--,у - параметры, задающиеу совокупностей дис-сипативных сил (} ф п).

В условии (2.8) определители А, таковы:

1 + отД |Х02 • т„&ыХ02

Д,.= т,5;1Х02 • «ДА2 • т„ Ь1пХ0 (2.9)

тфп1Х02 ' "»/РпАо2 • ■ 1 + т„8тХ02

Поскольку внутренние диссипативные силы -ссй и силы инерции -тм> связаны с разными обобщенными координатами, зависящие от уровня нагрузки величины (3,у не совпадают с 5(у, их приходится вычислять особо, а условия (2.8) становится неудобным. В диссертации критерий (2.8) используется только при анализе общих свойств критических нагрузок.

2. Для системы с конечным числом динамических степеней свободы доказаны следующие утверждения о влиянии малой диссипации на критические нагрузки, отвечающие бесконечному интервалу времени.

а) Внесение в систему малых диссипативных сил может уменьшать критическую силу скачком (дестабилизировать систему), но не может скачком ее увеличить (стабилизировать систему).

Утверждение следует из того, что критический уровень нагрузки в системе с малым вязким сопротивлением определяется двумя условиями: (2.5) плюс КеА,0 > О и (2.8). Первое из этих условий определяет устойчивость идеально упругой системы. Второе условие является дополнительным условием.

б) Пусть имеются/совокупностей диссипативных сил, а, >0, / = !,•••,у -диссипативные коэффициенты.

Совместное действие этих совокупностей влияет на устойчивость менее сильно, чем действие этих же совокупностей, взятых по отдельности.

Приведем доказательство. При малом уровне нагрузки в условии (2.8) все величины Д, имеют один знак, параметры а,, т, положительны.

Пусть / - номер совокупности; к, - критический уровень нагрузки, найденный при учете только сил с номером/; ¿*;п -минимальноесреди к] значение, 1- номер соответствующей совокупности диссипативных сил. »

Значение ктт является корнем уравнения Л, = 0 . Все остальные определители А,, при к = кт{п положительны: А, > 0, / * /. Отсюда следует сформулированное утверждение.

Следствием является способ вычисления точной нижней границы для критической силы при возмущении идеально упругой системы внесением сил внешнего вязкого сопротивления. В этом случае ] = п, совокупности диссипативных сил заменяются отдельными диссипативными силами, определители А, совпадают с определителями Д, в (2.7).

Точной нижней границей является минимальная критическая сила, определяемая условиями

Л, = 0,-| = 1,».,и. (2.10)

Здесь определители А, зависят только от свойств идеально упругой системы.

К сожалению, приведенный результат позволяет учесть только внешнюю диссипацию: при учете внутренней диссипации определители Л, должны быть

заменены трудно вычисляемыми величинами А,-.

3. Известно, что далеко не всякие диссипативные силы вызывают эффект дестабилизации Циглера. Влияние внутренних диссипативных сил установлено давно, влияние внешних диссипативных сил зафиксировано сравнительно недавно.

Приведенные в диссертации примеры (а также примеры, взятые из литературных источников), сформулированные выше утверждения приводят к следующим выводам.

а) Степень влияния диссипации (как внешней, так и внутренней) сильно зависит от неравномерности распределения диссипативных свойств (коэффициента а) и массы т. Важна зависимость от координат отношения а 1т.

Внешние равномерно распределенные диссипативные силы вызывают эффект дестабилизации в системах с неравномерно распределенной массой.

б) Причина различного влияния внешних и внутренних диссипативных сил кроется в разном характере зависимости этих сил от координат и, соответственно, в разной степени неравномерности распределения самих сил вдоль системы.

в) При любом распределении массы и при любом уровне параметрической нагрузки существует такая диссипативная сила вида -ату с малым коэффициентом а, что внесение этой силы в систему делает последнюю асимптотически неустойчивой. Обобщенное перемещение и», определяющее диссипативную силу, может иметь специфический характер: например, оно может отвечать точке, присоединенной к системе с помощью жесткой консоли.

Глава 3. МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ СИЛ

В главе разрабатывается и применяется новый энергетический динамический метод анализа устойчивости. Метод реализует представление о динамической неустойчивости как о явлении, аналогичном резонансу. Результаты опубликованы в [9,21,22].

Идея метода такова. В устойчивом колебательном движении любое изменение перемещений системы сопровождается изменением кинетической энергии К. Возможность перемещений в отсутствие возмущающей нагрузки и при постоянстве кинетической энергии говорит о неустойчивости колебательного движения, то есть в момент потери устойчивости на некотором перемещении изменение кинетической энергии АК = 0 •

Пусть 1 - неравновесное состояние системы, отвечающее амплитуде характерного перемещения в анализируемом собственном колебании. К состоянию 1 сначала применяется принцип Даламбера, то есть вместо движения рассматривается равновесие под действием дополнительно приложенных сил инерции. Затем применяется принцип возможных перемещений: сумма работ всех приложенных к системе сил на любых возможных перемещениях равна нулю. Силами являются внутренние упругие силы, внешняя параметрическая нагрузка Р и силы инерции /и (активная нагрузка отсутствует, поскольку речь идет о задаче устойчивости). Диссипативные силы малы по сравнению с силами инерции, по этой причине работу этих сил не следует принимать во внимание (более подробно далее).

Возможные перемещения обусловлены взаимодействием анализируемого колебания с другими собственными колебаниями, совместимы как с обычными связями, так и с ограничениями, которые накладывают уравнения движения. Вопрос построения возможных перемещений решается отдельно.

Приложенные к системе силы разбиваются на две группы: силы инерции /и и остальные силы (внутренние упругие силы и параметрические силы). Работа также записывается в виде суммы двух слагаемых:

Ли+Ло=0. (3.1)

Здесь Ак - работа сил инерции, А0 - работа остальных сил.

Работа сил инерции Аи = -АК . Так как в момент потери устойчивости одновременно АК = 0 , то Ан=0. Приходим к следующему критерию потери устойчивости: на некотором возможном перемещении работа сил инерции

Л=0- (3.2)

Альтернативная форма записи критерия, вытекающая из (3.1), такова:

Ло=0. (3.3)

Возможные перемещения 5и> строятся с учетом уравнений движения. При их построении используется представление о динамической неустойчивости как о явлении, аналогичном резонансу.

Критерии (3.2) и (3.3) не предполагают существование потенциала у нагрузки, далее применяются как к консервативным, так и к неконсервативным системам.

В диссертации получена еще одна форма записи критерия потери устойчивости, связывающая потерю устойчивости неконсервативной системы непосредственно с поведением следящей составляющей нагрузки:

Лл^сл-би^О. (3.4)

Здесь Рсл -следящая составляющая нагрузки, 5и- - вариация соответствующего этой составляющей обобщенного перемещения. Вариация 5и- строится по тем же правилам, что в условиях (3.2), (3.3).

На большом числе задач об устойчивости стержней с сосредоточенными и распределенными параметрами проверено совпадение результатов примене-

ния критериев (3.2), (3.3), (3.4) с результатами применения метода малых колебаний. Во всех случаях имела место полная идентичность результатов. Неконсервативная система, теряющая устойчивость статически Для системы с распределенными параметрами критерий (3.2) дает

Аи = -со2 j[w(*)w(jc)6vi<(*)]a!* = 0. (3.5)

Здесь со - частота собственных колебаний, т(х) - плотность распределения массы. Возможные перемещения 5w(jc) удовлетворяют уравнениям движения, то есть по форме либо совпадают с одним из главных колебаний, либо с результатом суперпозиции этих колебаний.

Поскольку система неконсервативна, главные колебания не ортогональны,

так что J[w(jc)w(jr)5w(x)]£i!ic * 0, а условие потери устойчивости (3.5) принимает вид условия потери устойчивости метода малых колебаний:

ю = 0.

Применение критерия потери устойчивости в форме (3.3) к стержню, нагруженному силой, следящей с отставанием (рис. 2), дает:

/

jw"2dx

-. (3.6)

*2=-

JV dx-yMtWU)

Здесь функция м»(;с) удовлетворяет как кинематическим, так и силовым граничным условиям, по этой причине зависит от уровня параметрической нагрузки. Условие (3.6) превращается в уравнение относительно параметра к нагрузки и лишь внешне сходно с известной формулой Тимошенко.

Х0Г

Задавая прогиб многочленом н'(дг) = х2 + а^х3 + а^х + аъх .учитывающим геометрические граничные условия, подчиняя коэффициенты силовым гранич-

,2.

ным условиям w | =0, wm + k (l-x)w'

= 0 (независимым остается один

коэффициент а3), после минимизации по а3 получаем результат, показанный на рис. 2 точками. Там же сплошной кривой представлено точное решение. Видно хорошее согласие результатов. Как известно, статическое решение задачи возможно лишь при % < 0.5 . Уравнение (3.6) также имеет положительные действительные корни лишь в этом интервале X •

Неконсервативная система с одной динамической степенью свободы

Критерий потери устойчивости в форме (3.2) дает:

=0 или (в = 0. (3.7)

Здесь - перемещение точки сосредоточения массы, со - частота собственных колебаний.

Согласно (3.7) неконсервативная одномассовая система может терять устойчивость либо путем статической дивергенции со = 0, либо путем динамической дивергенции ( и^ = 0 при <а * 0 ). В последнем случае в момент потери устойчивости точка сосредоточения массы неподвижна. Такая особенность хорошо известна для стержня с сосредоточенной на торце массой и нагруженного следящей силой. На особенность задачи впервые обратил внимание Е. А. Бейлин.

Формула (3.7) позволяет вычислять критический уровень нагрузки, анализируя статическое перемещение и», точки сосредоточения массы. Это удобно, когда для величины м>1 имеется аналитическое выражение.

Идеально упругая неконсервативная система с конечным числом динамических степеней свободы в отсутствие диссипации

Уравнения возмущенного движения заданы в виде (1.1). Используется критерий потери устойчивости в форме (3.2).

В основу построения возможных перемещений положено представление о флатгерной потере устойчивости как о явлении, подобном резонансу: рост амплитуд в анализируемом главном колебании возникает в результате возмущения этого колебания колебанием, соседним по частоте при сближении частот.

Пусть со, X = т - частота и характеристический показатель анализируемого собственного колебания. За м>1 обозначена амплитуда перемещений одной из масс, и(/ > 1) - амплитуды перемещений других масс, й^относительные амплитуды. Возможные перемещения 5и» строятся следующим образом.

Рассматриваются вынужденные колебания системы под действием гармонических сил одинаковой частоты 5, незначительно отличной от частоты со. Амплитуды этих сил совпадают с амплитудами сил инерции в анализируемом колебании: = -т.\ ^. Пусть й, -амплитуда перемещений выбранной массы в вынужденном колебании, зависящая от близкого к нулю определителя Д(м) . Относительные амплитуды вынужденных колебаний / {5, не зависят от А(ю) . Непосредственные вычисления показывают, что (5, /Д, яа А, /А,, где определители Д, имеют вид

л,=

1+§п/Я|А, 812т2Х

52|/Я[А, 1 + 822^2')*.

1 •

\у2 •

б х„т„Х 5 г„тп\

(3.8)

б^А, 5 п2т2Х ■•• м>„~-1 + 5„„т„Х

Возможные перемещения б», на которых вычисляется работа Аи в условии потери устойчивости (3.2), отождествляются с величинами и,1А(. Условие (3.2) потери устойчивости принимает вид

Л = * -н'Д^К.ЯА,)^ 0 . (3.9)

Вытекающие из уравнений возмущенного движения соотношения позволяют исключить характеристические показатели из рассмотрения. Получается система п уравнений, не содержащая характеристические показатели:

^«ДЛ, =0.

(3.10)

Неизвестными являются п — 1 параметр щ формы колебаний и критический параметр нагрузки к *, от которого зависят коэффициенты б^,.

Удобство уравнений (3.10) в том, что нет необходимости анализировать изменение частот по мере роста нагрузки. Это упрощает вычислительные процедуры.

Система (3.10) имеет множество решений. Каждое решение дает критическую форму н>, колебания и соответствующий ей критический параметр к * нагрузки. Система решается итерационным способом. Задавая величинам к *, wi различные стартовые значения, перебираем критические параметры, отвечающие разным формам колебаний.

В диссертации рассматривались системы с 3,4 динамическими степенями свободы. Во всех случаях имела место сходимость итерационного процесса и точное совпадение результатов с результатами применения метода малых колебаний: совпадали все критические силы и все формы колебаний.

Упругая неконсервативная система с вязким сопротивлением

Вопрос решается с использованием критериев устойчивости (3.2), (3.3). Возможные перемещения строятся следующим образом.

Параллельно рассматриваются упругая система с вязким сопротивлением и аналогичная идеально упругая система. Параметры идеально упругой системы далее отмечаются индексом "и". Анализируется устойчивость колебания с характеристическим показателем А., со - соответствующая частота.

Независимые колебания идеально упругой системы, отвечающие частоте со , близкой частоте ю анализируемой системы, имеют вид

w"c = h{x) cos(úW), w"x = h(x) sin(coH/), (3.11)

где h(x) - форма колебания.

Выше показано, что в момент потери устойчивости частоты ш, совпадают. Можно считать совпадающими и амплитуды. На этом основании амплитуды / сил вязкого сопротивления -aw вычисляются в предположении то есть при вычислении амплитуд сил вязкого сопротивления форма колебаний системы с вязким сопротивлением считается совпадающей с формой колебании идеально упругой системы:

/ « -aa>"h(x) - (3.12)

Рассматриваются вынужденные колебания идеально упругой системы под

действием сил /sin(a>/) . Частота со близка ш", но ю * со" . Амплитуды этих

колебаний дадут возможные перемещения Sw (с точностью до несущественной в вопросе постоянной).

Процедуру вычисления Sw удобно пояснить примером системы с конечным числом степеней свободы и одной силой внешнего вязкого сопротивления . Уравнения возмущенного движения имеют вид:

w1+6u«1w1+511a,w,+ 5 l2m2w2 +...+ 5 lnm„w„ =0, 52i»I*I+S2,a,ii'1 + w2+S22m2w2 +■••+ 82nmnwn = 0,

...... (3.13)

5„i»Wi +5„,a1w1 + b„2m2w2 +...+ v^b^m^O.

Слагаемые 5,,«*,*, переносятся в правую часть и рассматриваются как гармонические силы ft = , возбуждающие колебания. Амплитуды сил / вычисляются приближенно в предположении w, = w" exp(k"t) (величины Я = /со , V определяют собственные колебания идеально упругой системы) Рассматриваются вынужденные колебания идеально упругой системы под действием гармонических сил f, = -б„а,< ехр(Л/) U = /ш, ю „ а », но ш * ).

Амплитуды Ду вынужденных колебаний удовлетворяют системе Avrf511m,^Av1+ 5nn,2\2Av2+... + 8lnm„X2Av„ =-8пЩк\\ 521щ\ Av, +Av2 + 822m2\2Av2 +••• +b2nm„^Avn = -621o,xVi,

2 "' 2 - - - (3-14)

Ьп1щ% Av, + бn2m2X Av2 +••• +Av„+5nf,w>2Av„ = -5nlairW1.

Поскольку X*X", определитель А системы (3.14) не равен нулю, хотя и близок к нему.

Переход к относительным амплитудам позволяет исключить малый определитель А. Применяя правило Крамера, получаем:

ДУ] Д[ '

(3.15)

ч Л 1И

Величины Д, вычисляются с заменой А —> Л.

1+бц/И^

Л 1И И

Д¡ =-а,Л V/ 1

Ь2\щУ? 1+522т2Х "' ^21

?>п2т2Х ••• 5п1

Ъ1пт„Х

Ьг,

т„Х

'1 + Ь„„тХ

(3.16)

(3.17)

Возможные перемещения принимаются в виде

= Д,-.

С помощью критериев потери устойчивости (3.2), (3.3), (3.4) вновь рассмотрены известные задачи устойчивости для систем с сосредоточенными и распределенными параметрами. В задачах с сосредоточенными параметрами возможные перемещения 5и>, вычислялись согласно (3.17). В задачах с распределенными параметрами перемещения 5и>, строились сходным образом.

Всюду получено точное совпадение результатов с уже известными. Следующие задачи решены впервые.

Стержень с сосредоточенной массой

Стержень (рис. 3) нагружен следящей силой Р, имеет постоянную по длине

жесткость Е1. к = т]р12 /Е1 - параметр нагрузки. Масса т стержня сосредоточена на торце.

Материал стержня обладает малой вязкостью со специфическим законом распределения вязких свойств по длине: вязкостью наделенатолько часть стержня ниже точки 2, для которой х<а1. Задача решена с помощью критерия (3.2) и методом малых колебаний.

Решение методом малых колебаний громоздко - приходится анализировать частоты стержня с распределенными параметрами. Применение критерия (3.2) упрощает вычисления, приводя к тем же самым результатам. Зависимость критического параметра к* от относительной длины а зоны стержня, наделенной вязкостью, представлена на рис. 3. Критическое значение для идеально упругого стержня показано горизонтальной прямой.

При любых а наблюдается дестабилизирующее действие вязкости (критическое значение для идеально упругого стержня к *и = 4.4934 ). Однако само значение к* сильно зависит от параметра а. Значение Л* = 2.744 относится к однородному по вязкости стержню (а = 1) и известно по литературным источникам. Значение для а -> 0 отвечает исчезающе малой зоне стержня, обладаю-

щей вязкостью. Это значение к* = 3.142 = п отличается от значения для идеально упругого стержня к* = 4.4934 . Результат требует объяснения.

Величины на рис. 3 отвечают устойчивости на бесконечном интервале времени и не учитывают скорость "раскачивания". Эта скорость зависит от параметра а, становясь при а -> 0 исчезающе малой. При а —> О заметный рост перемещений произойдет через очень большой промежуток времени.

Критическое значение к* = п получается и в задаче о стержне с сосредоточенной на торце массой, если к стержню вблизи заделки приложена сила внешнего вязкого сопротивления г = ам (рис. 4).

Рис. 3

Рис. 4

Непрерывно неоднородный по вязкости стержень с распределенной

массой

Рассматривается консольный стержень постоянного сечения, нагруженный следящей силой. Внутренние диссипативные силы задаются выражением са1>". Параметр а внутренней диссипации произвольным образом зависит от координат.

Дифференциальное уравнение возмущенного движения вытекает из уравнения изгиба стержня переменного сечения:

(3.18).

у>У + аи>'У + 2а'\чт + а"и-" + к2м>" + рЛ = 0 •

Здесь к

/Е1 , р = р/Е1, а = а/Е1. а = а(*), г-постоянная плот-

ность распределения массы.

Граничные условия на нижнем торце м>(0) = 0, м<'(0) = 0 и на верхнем торце Е1ы"(1) = 0, Е1мт(1) + а'ЕМ"(1) = Е1\\>"(1) = 0 не зависят от вязкости (поскольку сила следит без отставания).

Коэффициенты дифференциального уравнения (3.18) вследствие переменности а зависят от координат. Применить метод малых колебаний к решению задачи сложно. По этой причине ранее задача не исследовалась. Эффекты, к которым приводит зависимость от координат вязких свойств, остаются не изученными.

Далее к решению задачи применяется критерий устойчивости (3.2).

Для построения возможных перемещений рассматриваются вынужденные колебания идеально упругого стержня, вызванные внешней распределенной

силой q* (x)cos(<üt), Ш«юи, но и^о". Амплитуда распределенной силы q\x) зависит от координат и задается зависимостью, вытекающей из (3.18):

qs(x) = -(o\"[á wlV"(x)+2á'wm"(x) + á"w""(x)], (3.19)

Здесь о)И, w"(x) - частота и форма собственных колебаний идеально упругого

стержня, у* - амплитуда перемещений верхнего торца. Все величины для идеально упругого стержня предполагаются известными.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний идеально упругого стержня постоянного сечения имеет вид:

w J +k2w"B+ pwB =q\x) cos(coí) . (3.20)

Решение уравнения (3.20) записывается с использованием динамической функции влияния для идеально упругого стержня. Функция определяет амплитуды перемещений точки х идеально упругого стержня при действии в точке у гармонической сосредоточенной силы р-1 • cos(co/) и имеет вид

g(x,y) = gp{x,y)lb. (3.21)

Здесь Д- определитель частот идеально упругого стержня, вычисленный при

частоте ю*юи, gp(x,y) - известная функция координат.

Амплитуды перемещений в колебаниях, вынужденных распределенной по закону (3.19) нагрузкой, подсчитываются с точностью до определителя А. Эти амплитуды и представляют собой искомые возможные перемещения:

i

М*) = Jq\y)gp(x,y)dy. (3 22)

о

Поскольку амплитуды сил инерции соответствующего колебания идеально упругого стержня имеют вид

qH"(x) = (a,2pw"(x) > (3.23)

критерий потери устойчивости (3.2) дает следующее условие потери устойчивости в анализируемой задаче:

/

Jw"(x)5w(*)<& = 0 (3 24)

о

Величина w представляет собой форму колебания идеально упругого стержня, 5 w вычисляется по уравнению (3.22), функция gp(x,y) не приводится, но имеется в диссертации. Обе величины w", 5w зависят от параметра нагрузки к.

Соотношение (3.24) является уравнением относительно параметра к. Решение этого уравнения средствами MathCAD не представляет сложностей. Про-

цедура вычислений такова: вычисляются частоты и формы колебаний идеально упругого стержня, для нескольких первых частот отыскиваются корни уравнения (3.24) или устанавливается отсутствие корней в интересующем диапазоне значений к.

На рис. 5 представлены критические значения к *, отвечающие разным законам изменения коэффициента вязкости а(*) > 0 с одним и тем же средним значением р. Фигуры вблизи графиков показывают конкретные законы изменения а(дг).

Пусть коэффициент вязкости изменяется по длине стержня линейно, оста, , Л+Ьх/1 „

ваясь положительным: а(х) = Р а + 0 >0,6- параметр, принадлежащий промежутку -2 < Ь <, 2 . Зависимость к * от параметра Ъ представлена кривой 2. Прямая 1 отвечает постоянной вязкости. Видно, что линейное изменение сказывается не очень сильно.

Более сильно влияют сложные законы изменения вязкости. Пусть вязкость изменяется по квадратичному закону с максимумом посредине стержня:

щх> ~ Р-1 + (-5 + ехрс)/12- ' 0 ~ паРаметР- Зависимость от параметра с представлена кривой 3. Видно сильное влияние неоднородности.

Полученный результат принципиально важен в вопросе оценки динамической устойчивости неконсервативной системы, поскольку ставит новый вопрос.

Внутренняя диссипация учитывает превращение механической энергии деформации колеблющегося тела в тепло. В разных точках неоднородно деформированного тела процесс принципиально происходит с разной скоростью. Параметр а является интегральной для конкретного сечения характеристикой процесса. Неоднородность же деформации вдоль оси стержня вызывает зависимость параметра а от координаты. Таким образом, для стержня зависимость параметра а от координат возникает естественным образом.

Внутреннюю диссипацию принято учитывать при анализе устойчивости неконсервативной системы, однако все известные решения считают диссипа-тивные свойства одинаковыми во всех точках. Вопрос о приемлемости получаемых в результате оценок асимптотической устойчивости, игнорирующих неоднородность диссипации, не исследовался.

Предлагаемый в диссертации метод вычисления критических сил позволяет учесть неоднородность диссипации, если имеется способ задания неоднородности.

Рис. 5

Объяснение эффекта дестабилизации Циглера

Превращение неконсервативной идеально упругой системы в неидеально упругую путем добавления малых диссипативных сил может уменьшать скачком критическую силу, отвечающую бесконечному интервалу времени. Предельный переход к случаю идеально другой системы невозможен. Эффект установлен Циглером в начале 50-х годов, имеет место только у неконсервативных систем. Потеря устойчивости происходит в виде флаттера. Особенности проявления эффекта обсуждались выше.

Объяснение физической природы эффекта Циглера опубликовано автором диссертации в 2005 г. [21, 22]. Свои объяснения предлагали Н. В. Баничук и О. Н. Кириллов. Оба объяснения, по мнению автора диссертации, природу эффекта не вскрывают, поскольку носят формальный характер.

Природу эффекта Циглера позволяет понять представление о флаттерной неустойчивости, как о явлении, аналогичном резонансу - резонирует пара простых движений, приводя в результате к "раскачиванию" системы.

Вначале рассмотрим возмущенное движение идеально упругой системы. Представим это движение в виде суперпозиции простых движений, отвечающих независимым частным решениям дифференциальных уравнений движения.

Собственные колебания упругой системы с п степенями свободы представляют собой суперпозицию 2и независимых движений, из которых различны по форме п движений. Пара движений, отвечающих одной частоте <в, имеет одинаковую форму, находится в протйвофазе и не взаимодействует друг с другом. Перемещения в этих движениях изменяются по законам /(л)зт(оэО.

/(ДГ)соб(СОО-

Форма и частоты всех п движений зависят от уровня параметрической нагрузки. При определенном значении уровня этой нагрузки смежные частоты становятся равными, возникает взаимодействие движений и как результат "раскачивание" системы - внутренний резонанс.

Когда набор элементарных движений разной формы дополняется новыми движениями (без изменения уже имеющихся), то принципиально возможно уменьшение скачком нагрузки, при которой возникает внутренний резонанс.

Именно так происходит при учете диссипативных сил: формы движений в парах, отвечающих частоте со, становятся различными, в результате число независимых движений разной формы увеличивается. Появляется возможность "раскачивания" за счет взаимодействия в паре колебаний, отвечающих одной частоте.

Математический аппарат вычисления критических сил в системах с вязким сопротивлением, представленный выше, опирается на только что описанный механизм эффекта дестабилизации. Во всех рассмотренных задачах он дает точные значения критических сил. По этой причине приведенное выше объяснение природы эффекта Циглера следует признать правильным.

Итак, физическая природа эффекта дестабилизации Циглера такова: внесение в систему вязкого сопротивления инициирует новый тип взаимодействия элементарных движений: теперь взаимодействуют движения, отвечающие од-

ной частоте колебаний. Становится возможным "раскачивание" системы в результате этого взаимодействия.

Заметим, что только для циркуляционных систем указанный тип взаимодействия появляется в результате "возмущения" системы внесением вязкости. Этот тип взаимодействия имеется, например, в задаче об устойчивости идеально упругого консольного трубопровода с протекающей жидкостью, которая не обладает вязкостью. Именно он приводит здесь к потере устойчивости ЦЗ]. (Взаимодействие пары движений, отвечающих одной частоте, обусловлено ко-риолисовыми силами, возникающими при искривлении трубопровода.)

Глава 4. СТАТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К АНАЛИЗУ

УСТОЙЧИВОСТИ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ УПРУГИХ СИСТЕМ

В главе приводятся результаты автора, посвященные статическому подходу к анализу устойчивости неконсервативных упругих систем. Результаты изложены в работах [1,15, 16,17].

Задача вычисления критической нагрузки ставится следующим образом.

Выясняются условия, при которых можно статически деформировать систему без внешних затрат энергии. В устойчивом состоянии системы возмущающее воздействие должно совершать положительную работу.

"Энергетическое" оформление сформулированной постановки задачи дает следующий критерий потери устойчивости: в момент потери устойчивости при квазистатическом переходе системы из анализируемого состояния равновесия в некоторое смежное состояние 5 е 5 из множества 5 достижимых состояний выполняется условие

¿2и-Ы2А = О- (4.1)

Здесь и - потенциальная энергия упругой деформации, А - работа, совершаемая внешними силами. Для рассматриваемых квазистатических переходов работал не зависит от пути перехода. Символ с1 указывает на то, что независимость от пути перехода имеет место лишь при введенных ограничениях, а величина d А не является вторым дифференциалом некоторой предварительно построенной функции Л.

Критерий (4.1) совпадает по виду с критерием потери устойчивости статического энергетического метода, отличие состоит в ограничении множества достижимых состояний.

В общем случае результаты применения критерия (4.1) не совпадают с результатами динамического подхода, однако допускают ясную механическую трактовку.

Рассмотрим совокупность идеально упругих систем идентичной геометрии. У каждой из систем этой совокупности масса сосредоточена в одной точке, ограничения на расположение этой точки не накладываются. Приведенная выше статическая постановка задачи дает нижнюю границу найденных динамически критических сил для указанных одномассовых систем.

В частном случае конкретной одномассовой системы применение критерия (4.1) приводит к динамически найденному результату, если на анализируе-

мые формы равновесия наложены дополнительные ограничения, вытекающие из уравнений движения. Критерий принципиально не может учесть потерю устойчивости в виде флаттера. По этой причине совпадение статических и динамических результатов имеет место лишь в случае одномассовых систем.

Итак, результаты автора, посвященные статическому подходу к анализу устойчивости неконсервативных упругих систем, таковы:

показано, что статическая энергетическая постановка задачи дает некоторый уровень нагрузки, который согласно этой постановке является критическим, указанный уровень нагрузки монотонно зависит от параметров системы, допускает механическую трактовку, однако не совпадает с динамически найденным результатом.

По мнению автора диссертации, уровень нагрузки, найденный с помощью статического энергетического подхода, полезен, поскольку может служить в качестве первоначального ориентира при оценке устойчивости неконсервативной системы.

Глава 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ

Задача об устойчивости консольного трубопровода Рассматривается задача об устойчивости консольного трубопровода, по которому с постоянной скоростью V протекает жидкость [13]. Вычисляется скорость V* жидкости, при которой возникает динамическая неустойчивость. Особенности задачи связаны с учетом ускорения Кориолиса при записи уравнений возмущенного движения.

В литературе задаче уделяется весьма большое внимание в связи с ее прикладной значимостью (М. П. Пайдусис, И. Елишаков). Специфические эффекты в этой задаче обусловлены не фактом вьггекания жидкости из консольной трубы, а фактом протекания жидкости по этой трубе. По этой причине результаты оказываются важными как для оценки устойчивости концевых участков прямолинейного трубопровода, так и для оценки устойчивости трубопровода с ломаной осью в местах перелома оси.

В работах В. И. Феодосьева, М. П. Пайдусиса, В. В. Болотина с сотрудниками представлены кривые зависимости критической скорости от параметра

массы х = т]тж/(тт+тж) (тТ - погонная масса трубы, тж - погонная масса жидкости). Особенность кривых состоит в их зигзагообразном характере. Природа такой формы кривых оставалась неясной.

Результат автора диссертации представлен на рис. 6, где дана зависимость минимального значения безразмерной критической скорости V* от параметра с. Зависимость имеет скачкообразный характер и практически совпадает с результатом И. Елишакова (1- кривая автора, 2 - кривая И. Елишакова).

Показано, что неустойчивость в рассматриваемой задаче вызвана механизмом, ответственным за эффект дестабилизации Циглера: возникает "раскачивание" за счет взаимодействия пары колебаний, отвечающих одной собственной частоте.

Когда возможен немонотонный рост скорости V*, указанному механизму неустойчивости отвечает зигзагообразный график зависимости у* отх-

о.г

0.4

0.6

0.8

0.90

Рис. 6

Задача об устойчивости консольного трубопровода в диссертации решена также с учетом внутренней диссипации.

Устойчивость стержня при неконсервативном возмущении

Рассмотрена динамическая устойчивость одностоечной опоры линии электропередачи при действии на нее ветрового потока [8]. Опора имеет траверсу. Ветровой поток действует вдоль оси траверсы. Потеря устойчивости возможна за счет связанных изгибно-крутильных колебаний, усиливаемых зависящим от деформаций давлением ветра.

Задача возникла в связи с проектированием многогранных стальных опор в филиале "Севзапэнергосетьпроект - Западсельэнергопроект" ОАО "Северозападный энергетический инжиниринговый центр".

Устойчивость стержня на податливых опорах

Задача об устойчивости стержня по рис. 7 обладает следующими особенностями. При одной и той же геометрии обнаруживаются как статические, так и динамические типы неустойчивости: статическая дивергенция, динамическая дивергенция, флаттер. Статическая неустойчивость возможна при любых параметрах системы, однако низшая критическая сила часто является следствием динамической неустойчивости одного из перечисленных выше типов. При следящей нагрузке тип потери устойчивости определяется, в первую очередь, распределением массы.

Другой особенностью системы является наличие при симметричном распределении массы пары близких частот.

Рассмотрено влияние на устойчивость массы стержня и массы опорных закреплений, влияние диссипации в опорных закреплениях.

Показано, что при определенном соотношении параметров в системе возникает эффект дестабилизации Циглера: диссипация произвольной степени малости скачком уменьшает критическую нагрузку.

Рис. 7

В том случае, когда параметр а диссипативных сил превышает некоторое граничное значение, может наступать увеличение критической нагрузки скачком: диссипативные силы достаточной интенсивности препятствуют возникновению флаттера. Результат не противоречит сформулированным выше общим теоремам, поскольку означает, что диссипацию такой величины нельзя считать малой.

Показано, что в этой задаче учет массы опорных закреплений и диссипативных параметров обязателен. Вычисления, опирающиеся на идеально упругую модель движения, могут приводить к неверному результату: критическая сила может оказаться как заниженной, так и завышенной.

Консольный стержень, оптимальный в смысле устойчивости

Рассматривается упругий консольный стержень с сечением в виде тонкостенной трубы, нагруженный следящей силой Р. На верхнем торце стержня закреплена масса М, которая существенно больше массы самого стержня. Сила Р действует в течение короткого интервала времени, так что эффекты диссипации не принимаются во внимание. Выясняется закон изменения по длине радиуса сечения, обеспечивающий максимум критической силы при фиксированном объеме материала стержня.

Установленные в диссертации свойства устойчивости позволяют при вычислении критической силы, во-первых, пренебречь влиянием массы самого стержня и применить модель стержня с сосредоточенной на торце массой, во-вторых, заменить рассматриваемую неконсервативную задачу консервативной задачей о стержне с шарнирно подвижной верхней опорой.

Найдены оптимальный в смысле устойчивости закон изменения радиуса поперечного сечения по длине стержня и соответствующее значение критической силы.

Устойчивость плоской рамы

Особенности неконсервативных задач упругой устойчивости иллюстрируются задачей об устойчивости рамы, нагруженной следящими силами.

Рассматривается упругая П-образная рама, нагруженная в узлах мертвыми и следящими силами. Устойчивость анализируется методом малых колебаний. Перемещения за счет действия единичных сил вычисляются методом граничных элементов. Процедура вычислений реализуется средствами программного комплекса МаШСАЭ.

В раме с шарнирно неподвижной и с шарнирно подвижной опорами потеря устойчивости, в основном, происходит статически. Однако при определенном распределении массы статической потере устойчивости предшествует потеря устойчивости в виде динамической дивергенции.

Рассмотрена рама с защемленной и с шарнирно подвижной опорами. В такой раме при определенном распределении массы зафиксирован эффект скачкообразного снижения критической силы при внесении в систему новой малой массы. Выше показано, что появление эффекта говорит о чрезмерной схематизации исходного распределения массы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертация посвящена анализу устойчивости равновесия неконсервативных стержневых систем с позиций структурной устойчивости: равновесие считается устойчивым, когда к малым последствиям приводят не только малые силовые или кинематические возмущения, но и малые изменения параметров системы. Изучен комплекс вопросов, возникающих при таком подходе к оценке устойчивости.

Новые результаты получены по конкретным вопросам, выделенным курсивом, и состоят в следующем.

1. Влияние малых изменений массы на устойчивость. Обнаружен и изучен эффект скачкообразного изменения критической нагрузки при внесении в систему малой дополнительной массы. Показано, что эффект возникает вследствие чрезмерного упрощения модели, предложены правила, соблюдение которых позволяет исключить появление эффекта.

Результат важен для повышения надежности расчетов неконсервативных систем на устойчивость.

2. Влияние малой диссипации. Установлены новые особенности эффекта дестабилизации Циглера. Впервые показано, что на результат анализа устойчивости систем с распределенными параметрами сильно влияет неоднородность распределения диссипативных свойств.

Процесс внутренней диссипации в разных точках неоднородно деформированного тела принципиально происходит с разной скоростью, так что зависимость параметров диссипации от координат возникает естественным образом и ее следует учитывать.

3. Эффект дестабилизации. Предложено физическое объяснение эффекта дестабилизации Циглера. Объяснение состоит в следующем.

В идеально упругой циркуляционной системе каждой частоте собственных колебаний отвечают два движения, которые не взаимодействуют друг с другом. Внесение в систему вязкого сопротивления инициирует взаимодействие этих движений. Становится возможным "раскачивание" системы в результате этого взаимодействия.

Лишь в случае циркуляционных систем (у таких систем уравнения движения содержат лишь перемещения и ускорения точек) указанное взаимодействие возникает в результате "возмущения" системы внесением вязких сил. В системах, где действует ускорение Кориолиса, указанный тип взаимодействия имеется изначально.

4. Классификация типов потери устойчивости. Уточнена классификация типов потери устойчивости. Предлагается различать статическую и динамическую дивергенцию. Различны также флаттер, обусловленный взаимодействием колебаний с разными частотами, и флаттер, обусловленный взаимодействием пары движений, отвечающих одной частоте колебаний. Последний тип ответственен за эффект дестабилизации Циглера. "

Уточнение классификации, во-первых, помогает понять разнообразие эффектов, свойственных устойчивости неконсервативных систем, во-вторых, приводит к уточнению вычислительных процедур: в системе с конечным числом степеней свободы обязательно дополнительно следить за поведением либо высшей частоты, либо указанного в диссертации определителя.

5. Методы решения задач. Предложен новый динамический энергетический метод решения неконсервативных задач устойчивости. Применение метода, во-первых, расширяет класс задач, поддающийся решению, во-вторых, упрощает вычислительные процедуры, что важно при анализе зависимости решений от параметров.

Предложен критерий асимптотической устойчивости упругой системы с внешними диссипативными силами, анализирующий только частоты идеально упругой системы.

6. Статический подход. Предложен статический энергетический подход к решению неконсервативных задач устойчивости. Подход позволяет объяснить причину, по которой применение статического энергетического метода к неконсервативным задачам упругой устойчивости дает внешне приемлемые результаты.

7. Расчет конструкций. Игнорирование установленных в диссертации свойств при построении расчетных схем конструкций приводит к неверной оценке устойчивости.

Развитая теория существенно упрощает задачу оптимизации конструкции в смысле ее устойчивости, когда одна из масс конструкции существенно больше других.

При оценке устойчивости конструкций, испытывающих длительное действие следящих нагрузок, обязателен учет неоднородного вдоль системы распределения диссипативных параметров. В диссертации содержится необходимый для этого математический аппарат.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в научных изданиях, рекомендуемых ВАК России

1. Kagan-Rosenzweig L. М. Quasi-static approach to non-conservative problems of the elastic stability theory// Int. J. of Solids and Structures. - 2001. - V. 38, № 8. Pp. 1341-1353.

2. Каган-Розенцвейг JI. M. О продольно-поперечном изгибе стержня, сжатого силой, изменяющей направление при деформации // Промышленное и гражданское строительство. - 2006. - № 9. С. 56-58.

3. Каган-Розенцвейг Л. М. Учет диссипативных сил в неконсервативных задачах упругой устойчивости. // Промышленное и гражданское строительство. -2006. -№ 8. С. 55-57.

4. Каган-Розенцвейг Л. М. Приближенная формула для критической силы консольного стержня//Вестник гражданских инженеров - 2007. - № 2. С. 35-37.

5. Каган-Розенцвейг Л. М. Влияние малых изменений массы системы на результат динамического анализа устойчивости // Промышленное и гражданское строительство. - 2007. - № 11. С. 45-46.

6. Каган-Розенцвейг Л. М. О продольно-поперечном изгибе консольного стержня переменного сечения// Вестник гражданских инженеров. -2007. -№ 4.

7. Каган-Розенцвейг Л. М. О влиянии внешних диссипативных сил на устойчивость равновесия неконсервативной упругой системы // Вестник гражданских инженеров. - 2008. -№ 3 (16). С. 21-23.

8. Каган-Розенцвейг Л. М. Об устойчивости стержня относительно неконсервативного возмущения // Промышленное и гражданское строительство -2008.-Я» 1. С. 44.

9. Каган-Розенцвейг Л. М. Динамический метод анализа устойчивости неконсервативной упругой системы, не требующий вычисления частот// Вестник гражданских инженеров. - 2009. - № 2. С. 11-13.

10. Каган-Розенцвейг Л. М. Изменение критической силы за счет возмущения массы неконсервативной упругой системы // Вестник гражданских инженеров. - 2010. -№ 3. С. 63-66.

11. Каган-Розенцвейг Л. М. Неконсервативный стержень, динамически устойчивый при любом уровне нагрузки // Вестник гражданских инженеров -2011.-№ 2. С. 65-67.

12. Каган-Розенцвейг Л. М. О влиянии малой распределенной массы на устойчивость неконсервативного упругого стержня // Промышленное и гражданское строительство. - 2011. - № 8. С. 51-52.

13. Каган-Розенцвейг Л. М. О механизме потери устойчивости равновесия консольной трубы с протекающей жидкостью // Вестник гражданских инженеров.-2012.-№ 1. С. 102-107.

14. Каган-Розенцвейг Л. М. О расчете упругих рам на устойчивость// Инженерно-строительный журнал. - 2012. - №1(27). С. 74-78.

Публикации в других научных изданиях

15. Каган-Розенцвейг Л. М. Квазистатический подход к устойчивости неконсервативных упругих систем // Тр. 25-26 летних школ "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем", Т. 2 / Ин-т проблем машиноведения РАН. СПб. - 1998. - С. 143-153.

16. Каган-Розенцвейг Л. М. Интерпретация результатов энергетического подхода к решению неконсервативных задач теории упругой устойчивости И Исследования по механике строительных конструкций и материалов: Межвуз темат. сб. тр. / СПбГАСУ. СПб. - 1999. - С. 41^8.

17. Каган-Розенцвейг Л. М. Термодинамический подход к решению неконсервативных задач теории упругой устойчивости // Исследования по механике строительных конструкций и материалов: Межвуз. темат. сб тр / СПбГАСУ СПб. - 1999. - С. 32-40.

18. Каган-Розенцвейг Л. М. Об учете малых диссипативных сил в неконсервативных задачах теории упругой устойчивости // Исследования по механике строительных конструкций и материалов: Межвуз. темат. сб. тр. / СПбГАСУ. СПб.-2000.-С. 66-76.

19. Каган-Розенцвейг Л. М. Влияние малой физической нелинейности материала на устойчивость равновесия простой неконсервативной системы // Исследования по механике строительных конструкций и материалов: Межвуз. темат. сб. тр. / СПбГАСУ. СПб. - 2000. - С. 107-114.

. 20. Каган-Розенцвейг Л. М. О влиянии малых диссипативных сил на устойчивость равновесия упругой системы, нагруженной следящими силами // Исследования по механике строительных конструкций и материалов: Межвуз. темат. сб. тр. / СПбГАСУ. СПб. - 2002. - С. 117-126.

21. Каган-Розенцвейг Л. М Диссипативные силы и устойчивость равновесия упругой системы, нагруженной следящими силами. Вестник гражданских инженеров.-2005.-№ 1 (2). С. 10-14.

22. Каган-Розенцвейг Л. М. Механизм влияния малых диссипативных сил на устойчивость равновесия упругой системы, нагруженной следящими силами// Вестник гражданских инженеров. - 2005. - № 4 (5). С. 30-36.

23. Каган-Розенцвейг Л. М. О различии динамических и статических результатов анализа устойчивости равновесия упругих систем // Труды 20-ой конф. Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов. -2003. -Т. 1. С. 91-93.

24. Каган-Розенцвейг Л. М. Механизм влияния малых диссипативных сил на устойчивость равновесия неконсервативной упругой системы // Труды 21-ой конф. Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов. - 2005. - Т. 1. С. 102-104.

Компьютерная верстка И. А. Яблоновой

Подписано к печати 17.01.13. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,1. Тир. 150 экз. Заказ 4. Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.

190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4. Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.