автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численный анализ математических моделей динамической устойчивости и оптимизация лопаток турбомашин

9

На правах рукописи

ФЕДОРОВ Илья Михайлович

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ И ОПТИМИЗАЦИЯ ЛОПАТОК ТУРБОМАШИН

Специальности- 05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ 01 02 06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ии'344 пч!

Москва - 2008

003447141

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете им Н. Э Баумана

Научный руководитель Официальные оппоненты

д т н., проф Темис Ю М

д ф -м.н, проф. Сейранян А.П д т н., проф Гуськов А.М.

Ведущая организация Институт Прикладной Математики

им М В Келдыша Российской академии наук

Защита диссертации состоится «{А» октября 2008 года в 13 часов 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212 141.15 при Московском государственном техническом университете им Н Э Баумана по адресу 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д 5

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью организации, просим высылать по адресу 105005, Москва, 2-я Бауманская ул, д. 5, МГТУ им Н Э Баумана, ученому секретарю совета Д 212 141 15, ФН-2

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им. НЭ Баумана

Автореферат разослан «10» сентября 2008 г Ученый секретарь диссертационного совета,

к т н , доцент ¿У' / -—" Аттетков А В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы Диссертационная работа посвящена численному исследованию особенностей динамической потери устойчивости стержней и лопаток турбомашин и разработке методики их оптимизации по критерию устойчивости Фундаментальные результаты по исследованию динамической устойчивости и оптимизации таких систем получены в работах В В Болотина, В И Феодосьева, Г Циглера, А П Сейраняна, А А Хорикова, В. А Светлицкого, С В Аринчева, Н В Баничука, В Б. Гринева, А. П. Филиппова, А. В. Шринивасана и др Актуальность работы связана с тем, что в ней на основе аналогии между активно разрабатываемой в настоящее время задачей анализа устойчивости механических систем, зависящих от параметров и нагруженных неконсервативными силами, и важной в плане практического применения задачей моделирования аэроупругой неустойчивости лопаток турбомашин проводится исследование особенностей динамической потери устойчивости этих технических объектов и разработка методики их оптимизации по критерию устойчивости Не менее важным является проведенное в работе построение математических моделей таких технических объектов и выбор численных методов их анализа

Цель и задачи исследования. Цель работы состоит в развитии методики численного анализа динамической устойчивости и оптимального проектирования конструкций при их нагружении неконсервативными силами Работа направлена на практическое применение анализа бифуркаций собственных значений с целью повышения нагрузки потери устойчивости для ряда расчетных схем нагружения стержней следящими силами и моделирования изгибно-крутильного флаттера лопаток турбин газотурбинных установок Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач

1. Сравнение численных методов анализа динамической устойчивости стержней, нагруженных следящими силами

2 Разработка модифицированного нелинейного конечного элемента закрученного стержня, позволяющего учесть различие положений центров тяжести и изгиба поперечного сечения стержня

3. Численное моделирование изгибно-крутильного флаттера лопатки турбомашины

4. Численная оптимизация формы стержней, нагруженных следящей силой, и пера лопатки турбомашины по критерию устойчивости

Методы исследования В теоретических исследованиях применялись фундаментальные положения теории упругой устойчивости и механики стержней, а также вариационные принципы При численном моделировании использовались вариационные и разностные методы анализа динамики конструкций, методы решения больших разреженных систем линейных уравнений, методы определения собственных значений заполненных и больших разреженных матриц, методы вычислительной газовой динамики Для оптимизации конструкций применялись методы нелинейного программирования

Достоверность и обоснованность результатов основаны на корректном использовании методов механики деформируемого твердого тела и газовой динамики, вариационных принципов, строгости применяемых математических методов Сформулированные в работе допущения обоснованы путем их содержательного анализа и методами применяемого математического аппарата Достоверность подтверждается соответствием результатов численного анализа устойчивости стержней и деформирования закрученных стержней с данными других авторов, полученными численно, аналитически и экспериментально

Научная новизна. В рамках реализации методов анализа динамической устойчивости и оптимального проектирования стержней и лопаток турбомашин выполнено сравнение численных методов анализа устойчивости стержней переменного поперечного сечения при неконсервативном нагружении На основе результатов этого сравнения разработан учитывающий разницу положений центров изгиба и кручения сечений лопатки геометрически нелинейный конечный элемент предварительно закрученного стержня для экспресс-анализа собственных частот и напряженно-деформированного состояния лопаток турбомашин С использованием созданного конечного элемента разработана методика численного моделирования изгибно-крутильного флаттера лопаток турбомашин и показано, что несмотря на сравнительно высокую жесткость и плотность материала лопатки турбины стационарной газотурбинной установки подобный вид флаттера может возникнуть у нее в зоне рабочих режимов Продемонстрировано, что возникновению флаттера такого типа способствует сближение частот крутильной и изгибной форм колебаний консервативной системы

Методами оптимального проектирования получены новые оптимизированные формы консольного и свободного стержней, а также стержня с дополнительной опорой в задачах их устойчивости при нагружении следящей силой. Осуществлено повышение запаса динамической устойчивости лопатки турбины газотурбинной установки к изгибно-крутильному флаттеру при условии постоянства центробежной нагрузки и заданных геометрических ограничениях

Практическая и теоретическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут быть применены при численном анализе устойчивости распределенных неконсервативных систем и их оптимизации по критерию устойчивости. Эти результаты были учтены при разработке методики оценки запаса динамической устойчивости лопаток стационарных газотурбинных установок большой мощности, проектируемых компанией ООО «СП «Альстом Пауэр Унитурбо»

На защиту выносятся следующие положения:

• Сравнение численных методов анализа устойчивости стержней при неконсервативном нагружении

• Разработка учитывающего разницу положений центров изгиба и кручения сечений лопатки геометрически нелинейного конечного элемента предварительно закрученного стержня для экспресс-анализа собственных частот и напряженно-деформированного состояния лопаток турбомашин

• Получение оптимизированных форм консольного и свободного стержней, а также стержня с дополнительной опорой в задачах их устойчивости при нагружении следящей силой

• Методика численного моделирования аэроупругих колебаний лопаток турбомашин, использующая разработанный КЭ закрученного стержня, показанная с использованием этой методики принципиальная возможность возникновения классического изгибно-крутильного флаттера лопатки турбины газотурбинной установки в зоне рабочих режимова несмотря на значительную жесткость и вы- | сокую плотность материала лопатки.

• Осуществленное с использованием методов оптимального проектирования повышение запаса динамической устойчивости лопатки турбины газотурбинной установки к изгибно-крутильному флаттеру при условии постоянства центробежной нагрузки и геометрических ограничениях

Апробация работы. Основные результаты диссертационный работы докладывались и обсуждались на международной конференции «Ракетно-космическая техника Фундаментальные и прикладные проблемы механики», (Москва, 2006), 6-й международной конференции «EURO-МЕСН Nonlinear Dynamics» (Санкт-Петербург, 2008); 2-й международной конференции «Physics and Control» (Санкт-Петербург, 2005), международной конференции «Nonlinear Dynamics» (Харьков, 2004), 2-й международной конференции «Nonlinear Dynamics» (Харьков, 2007), 6-й конференции пользователей программного обеспечения CAD-FEM GMBH (Москва, 2006), 2-й научно-методической конференции аспирантов и молодых исследователей (Москва, 2008), общеуниверситетской научно-технической конференции «Студенческая весна - 2005» (Москва, 2005)

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 10 научных работах, из них в журналах по списку ВАК - две ([6,8]) Публикации [9,10] без соавторов Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит диссертанту

Структура и объем работы Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, выводов, списка литературы и двух приложений Диссертация изложена на 183 страницах, содержит 89 иллюстраций, 8 таблиц Библиография включает 154 наименования

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, основные положения, выносимые на защиту, приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы

В первой главе приведены необходимые понятия теории упругой устойчивости и теории стержней, дан литературный обзор и примеры анализа динамической устойчивости конструкций для сравнительно простых расчетных схем нагружения стержней следящими силами Затем приведен обзор методов распространения стержневой модели на описание геометрически более сложных объектов - лопаток турбомашин На основании анализа литературных источников по проблеме флаттера лопаток

турбомашин установлено, что из всего многообразия разновидностей аэроупругой неустойчивости изгибно-крутильный флаттер (близкий по своей природе к флаттеру крыла самолета) представляет наибольший интерес с точки зрения математического моделирования, так как он наименее исследован среди типов флаттера, способных возникнуть в области расчетных режимов эксплуатации Показано, что несмотря на указанную С Г. Самойловичем и Г Фершингом затруднительность возникновения изгиб-но-крутильного флаттера лопатки из-за высокой по сравнению с крылом жесткости и плотности ее материала, изгибно-крутильный флаттер лопаток все же способен возникнуть При этом фактором, провоцирующим возникновение изгибно-крутильного флаттера, согласно работам А.А Хорикова и О Бендиксена является сближение частот изгибной и крутильной форм колебаний лопатки под воздействием центробежной нагрузки, определенных без учета неконсервативной составляющей газовых сил В первой главе диссертации также устанавливается взаимосвязь задач исследования динамической устойчивости стержней и флаттера лопаток турбомашин, как частных случаев динамической неустойчивости Ан-дронова-Хопфа

Вторая глава посвящена сравнению численных методов анализа динамической устойчивости прямых стержней переменного двусиммет-ричного поперечного сечения, что позволяет выбрать наиболее пригодный численный метод и его параметры дискретизации как для оптимального проектирования таких стержней, так и для расчета лопаток турбо-

Рис.1

Анализ устойчивости стержня переменного поперечного сечения, нагруженного следящей силой, сводится к определению зависимости

собственных частот колебаний стержня от величины нагрузки (рис 1,а -пример расчетной схемы нагружения консольно закрепленного стержня) Рис 1,6 - очертания нагруженного согласно схеме рис 1,а стержня квадратного сечения с нормированной стороной а* вдоль его длины х и зависимость квадратов собственных частот колебаний этого стержня а2 от силы Р Точки взаимодействия собственных частот, сопровождающиеся динамической потерей устойчивости, на рис 1,6 обведены

С ростом нагрузки в общем случае возможно различное поведение собственных частот колебаний стержня

• обращение собственной частоты в 0 - статическая потеря устойчивости (дивергенция),

• существование собственной частоты стержня со=а + /Д где а >0, соответствущее появлению формы колебаний с нарастающей амплитудой - динамической неустойчивости (флаттеру),

• на практике в отсутствие демпфирования точка появления частоты с положительной действительной частью соответствует точке совпадения ветвей собственных частот (на рис 16 такие совпадения обведены)

Для стержней переменного поперечного сечения в общем случае анализ устойчивости можно провести только численно Для решения этой задачи применяют ряд различных численных методов, каждый из которых обладает своим набором параметров дискретизации, а именно метод И Г Бубнова - Б Г Галеркина с полиномиальными базисными функциями, метод конечных элементов, вариационно - разностный метод, метод са-гиттарной функции Л Д Акуленко, С В Нестерова Сравнение точности и эффективности данных методов позволило установить, что

• Результаты анализа устойчивости стержней переменного поперечного сечения в зависимости от выбранного метода анализа и параметров дискретизации могут отличаться не только количественно, но и качественно

• Метод Бубнова-Галеркина с рассмотренными полиномиальными базисными функциями хуже всего подходит для анализа устойчивости стержней с сильно меняющимся поперечным сечением, его применение требует внимания и критического анализа результатов.

• Вариационно-разностный метод и метод конечных элементов продуктивны и приводят к качественно верным результатам при числе конечных элементов более 40 и более 500 точек разностной схемы

• Метод сагиттарной функции показал высокую эффективность при проверке точности получаемых решений и должен использоваться для проверки результатов оптимизации стержней

Третья глава посвящена модификации конечного элемента закрученного стержня для повышения точности расчета динамики лопаток турбомашин с использованием стержневых моделей

При необходимости проведения серии однотипных расчетов лопаток турбомашин (рис 2,а - вид лопатки последней ступени турбины стационарной газотурбинной установки), в частности, в процессе приведения собственных частот колебаний проектируемой лопатки в соответствие с

требованиями норм прочности, для перебора множества конфигураций за ограниченное время возникает потребность в высокой скорости расчета. Этому требованию отвечают стержневые модели лопаток. В рамках такой модели лопатка представляется закрученным стержнем переменного поперечного сечения. Многие стержневые модели лопаток турбомашин, в том числе модели И. А. Биргера, Ю. С. Воробьева, Б. Ф. Шорра, Ю. М. Темиса и В. В. Карабана, предполагают совпадение центров тяжести и изгиба их поперечных сечений. Такое допущение верно для стержней двусимметричного поперечного сечения, но для стержневых моделей лопаток турбомашин данный подход вносит заметные погрешности в мо-

Для повышения точности определения собственных частот колебаний лопаток турбомашин в диссертационной работе был разработан геометрически нелинейный конечный элемент закрученного стержня, учитывающий различие положений центров тяжести и изгиба поперечных сечений. С использованием реализованного конечного элемента закрученного стержня был создан программный комплекс расчета напряженно-деформированного состояния и собственных частот колебаний закрученных стержней и лопаток турбомашин.

Нагрузка, Н Рис. 3

Тестирование реализованного программного комплекса включало в

себя

• Численный анализ растяжения вытянутой предварительно закрученной полосы прямоугольного поперечного сечения (рис 3)

• Задачу анализа собственных частот закрученной полосы.

• Определение собственных частот колебаний лопатки последней ступени турбины газотурбинной установки (рис 4)

Результаты расчета сопоставлялись с расчетами по существующим стержневым моделям, пространственным моделям и с имеющимися экспериментальными результатами

Определение чувствительности результатов расчета к числу используемых стержневых элементов показало, что найденная при сравнении численных методов анализа динамической устойчивости стержней степень дискретизации (более 40 элементов) обеспечивает достаточную точность определения собственных частот колебаний лопатки

240

220

200

я 180 U

2" ё 160

о га ¡Г

140

120

100

90 95 100 105 110

Скорость вращения вала, % от номинальной Рис. 4

Анализ области применимости разработанной стержневой модели показал, что.

• Стержневая модель обеспечивает получение приемлемых с практической точки зрения результатов (погрешность при сравнении с пространственной моделью 3-4%) при удлинении лопатки l/b>3, где / - длина лопатки, b - наибольшая хорда ее профиля Типичные лопатки турбин стационарных ГТУ имеют удлинение от 3 до 5

_Пространственная конечноэлементная

модель

Модифицированный нелинейный элемент закрученного стержня

Нелинейный элемент закрученного стержня (Темис, Ка-рабан)

_Линейный элемент закрученного стержня (Воробьев, Шорр,

Downs)

• Исследование зависимости точности стержневой модели от степени закрученности лопатки свидетельствуют о том, что в характерном для лопаток турбомашин диапазоне величин закрученности (разнице углов установки корневого и периферийного сечений от 0 до 60°) точность предсказания частот по стержневой модели практически не изменяется.

• Точность стержневой модели практически не зависит от отношения величины хорды профиля (расстояния от входной до выходной кромки поперечного сечения лопатки) к максимальной толщине этого сечения.

В четвертой главе с использованием конечного элемента предварительно закрученного стержня и результатов сравнения различных методов моделирования флаттера лопаток турбомашин описывается и демонстрируется методика моделирования изгибно-крутильного флаттера лопатки турбины стационарной газотурбинной установки.

На основе литературного обзора задачи моделирования флаттера лопаток турбомашин демонстрируется, что при проведении качественного анализа возможности возникновения флаттера достаточно исследования поведения собственных частот колебаний лопаток при нестационарном аэродинамическом воздействии. При этом показано, что для для лопаток турбин стационарных ГТУ допустимо пренебречь их механической связанностью и рассматривать квазистационарное обтекание лопаток потоком газа для вычисления действующих на совершающую колебания лопатку нестационарных газовых нагрузок.

Уравнение малых колебаний находящейся под воздействием нестационарных аэродинамических нагрузок вращающейся лопатки в конечно-элементной форме имеет вид

Мх + Сх + Кх = ¥аега (х, х), (1)

Здесь х(/) - вектор узловых перемещений, М - матрица масс, К - матрица

жесткости, учитывающая нагружение лопатки центробежными силами в рабочих условиях, С - матрица демпфирования, вектор

¥аего{х,х) =

- вектор нестационарных аэродинамических нагрузок, вызванных колебаниями лопаток, зависящий как от их перемещений, так и от скоростей. Решение определялось в виде х = Хе~ш, со

- частота колебаний. Путем последовательных обоснованных допущений выражение (1) было приведено к виду {йгМ + (К + К,)}х = 0, (2)

где К,, - матрица аэродинамической жесткости, в предположении квазистатического обтекания профиля потоком, определяющаяся из ряда последовательных газодинамических расчетов блока из 5 рядом стоящих профилей, смещающихся во времени по наперед заданной форме колебаний (рис. 5, контурами показано распределение скоростей течения, характеризующееся числом Маха) Газодинамические расчеты проводились в двумерной постановке для 5 поперечных сечений лопатки, расположенных, соответственно, на 10, 30, 50, 70 и 90% ее длины. Рассматривались уравнения Навье-Стокса с v2-f моделью турбулентности, реализованный в пакете вычислительной аэродинамики FLUENT 6 3. Диаграмма зависимости собственных частот колебаний модельной лопатки турбины стационарной газотурбинной установки, определенных из уравнения (2), от скорости набегающего потока V, неявным образом входящего в матрицу Кл, представлена на рис 6 Особенностью исследованной лопатки является близость (разделение частот не превышает 5% от их величины) частот ее 2-й изгибной (2И) и 1-й крутильной (1К) форм колебаний (см рис 4), что согласно с представлениям А А Хорикова и О Бенедиксена способно спровоцировать изгибно-крутильный флаттер Из результатов, представленных на рис 6, следует, что при квадрате скорости течения, равном приблизительно 1 293 Vmm2 (Vnom - номинальное значение скорости течения) ветви 2-й и 3-й собственных чисел (квадратов собственных частот, см (2)) смыкаются Необходимо отметить, что подобное смыкание полностью аналогично поведению собственных чисел в задаче анализа устойчивости стержня, нагруженного следящей силой. При этом возникает пара комплексно сопряженных собственных частот

Л = у±18,у,д>0 (3)

Последнее означает, что при 1 293 Vmm2 существует неустойчивая форма колебаний рассматриваемой лопатки, причем скорость V~\ \Ъ1Упот находится в зоне рабочих режимов рассматриваемой газотурбинной установки (обычно устанавливаемом в пределах 94-120% номинальной скорости)

Таким образом показано, что изгибно-крутильный флаттер может реализоваться для лопатки, испытывающей, с увеличением скорости вращения, перестройку второй изгибной и первой крутильной частот, и что механизм такого флаттера, рассчитанный в отсутствие механического и аэродинамического демпфирования, совпадает с механизмом динамической потери устойчивости стержня, нагруженного следящей силой.

В главе 4 также приведены результаты исследования влияния разности фаз между колебаниями отдельных лопаток на величину критической скорости возбуждения флаттера. На рис 7 показана зависимость квадратов собственных частот 2-й изгибной (2И) и 1-й крутильной (1К) форм колебаний лопатки (см рис 6) от разности фаз между колебаниями соседних лопаток при скорости потока (V/ V„omf = 1 293 Из полученных результатов следует, что заключение об устойчивости либо неустойчивости лопатки зависит от заданной разницы фаз между колебаниями лопаток венца Так как последняя точно никогда не известна, при проверке лопатки на возможность возбуждения изгибно-крутильного флаттера не-

обходимо рассматривать весь спектр возможных значений разности фаз от 0 до ±71 с целью выявления оценки снизу величины критической нагрузки.

5.00Е+04

4.50Е+04

N 4.00Е+04 -' ZS L_

N" 3.50Е+04

3

^ 3.00E+04 -

го н

g 2.50Е+04

о

га

2.00Е+04 h

1.50Е+04 -

Ш

1.00Е+04 - —г- —-----т--------,------1

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

Относительная скорость течения (V/Vnom)2 Рис. 6

48000

^ 47500

CN

8

% 47000

° 46500

О

пз у

к 46000

Я! X X

Ф 45500 Ш н о

45000

О

44500

-4-3-2-101234 Разность фаз <р, рад Рис.7

2И

Глава 5 содержит результаты применения методик расчета динамической устойчивости стержней и лопаток турбин для их оптимального проектирования по критерию устойчивости

Оптимизация формы прямолинейных стержней двусимметричного поперечного сечения проводилась по следующей схеме

• Целевая функция - критическая нагрузка потери устойчивости Р„ = Рсг (р,, ,рм) max, критическая нагрузка является функцией М параметров, определяющих форму стержня

• На стержень накладывалось изопериметрическое ограничение по-

L

стоянства объема V = jp(x)dx = V0= const, высота стержня предполагалась

о

постоянной

Процесс оптимального проектирования на каждой итерации заключался в решении задачи устойчивости стержня текущей конфигурации, определении его критической нагрузки, и задании новой конфигурации, не нарушающей наложенные ограничения, для следующего шага Решение задачи оптимизации производилось методом проекции градиента с использованием определенных аналитически градиентов критической нагрузки в отношении изменения параметров, описывающих форму стержня

С использованием описанной методики были получены оптимизированные формы консольного и свободного стержней в задачах их устойчивости при нагружении следящей силой Эти результаты соответствуют или превосходят существующие на данный момент по кратности увеличения критической силы потери устойчивости (в 7 41 раз для консольного стержня, в 9 23 для свободного (см рис 8 - структура видов потери устойчивости в процессе оптимизации стержня с рис.1,а, 9 - его оптимизированная форма))

В главе 5 также осуществлена оптимизация формы стержня с дополнительной опорой (рис 10), что представляет особенный интерес, так как при высоте опоры /¡=0 расчетная схема соответствует задаче устойчивости консольно закрепленного стержня, и стержень теряет устойчивость динамически

Если же, напротив, опора расположена на верхнем конце стержня, она принимает на себя всю горизонтальную составляющую нагрузки, и заделанный на одном конце и шарнирно опертый на другом стержень теряет устойчивость статически под воздействием вертикальной составляющей следящей нагрузки Таким образом, при движении опоры снизу вверх происходит переход от динамической формы потери устойчивости к статической Проводя оптимизацию колонны с опорой для различных положений опоры, можно исследовать влияние превалирующего типа потери устойчивости на свойства оптимизированных решений

Результаты оптимизации для различных высот опоры даны в таблице 1 ниже Из приведенных результатов следует, что возрастанию роли статической потери устойчивости для стержня постоянного сечения с опорой соответствует снижение эффективности оптимизации

«с

160 140 120 100 80 60 ■ 40 20

♦ флаттер по 1 -2 частотам « флаттер по 2-3 частотам флаттер по 3-4 частотам флаттер по 4-5 частотам

* флаттер по 5-6 частотам • флаттер по 6-7 частотам + флаттер по 7-8 частотам - флаттер по 8-9 частотам

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

N итерации

Рис. 8

В силу подобия задач анализа динамической устойчивости стержней и лопаток турбомашин, и успешного применения методов оптимизации для повышения нагрузки потери устойчивости первых, в главе 5 демонстрируется возможность использования методов оптимального проектирования для повышения запаса динамической устойчивости проектируемой лопатки турбины стационарной установки. При численной оптимизации

пера лопатки турбомашины в качестве целевой функции используется запас устойчивости VУсгп^ ^пот •

К» = -> шах, па-

раметрами проектирования были избраны величины хорды Ь и максимальной толщины стах сечений лопатки.

На лопатку накладывалось обоснованное требованиями эксплуатации изоперимет-рическое ограничение сохранения суммарной центробежной нагрузки, действующей на лопатку. В силу невозможности получения аналитических градиентов критической нагрузки для оптимизации был применен метод последовательного квадратичного программирования с численным определением производных первого и второго порядка целевой функции и ограничений.

Рис. 9 Рис.10

Таблица 1.

Результаты оптимизации стержня с дополнительной опорой

Высота опоры ЫЬ Рсг оптимизированного стержня Рсг стержня постоянного сечения Регопт/ Рсг пост

0 148 62 20 05 7.412469

0 25 224 42 31 55 7 113154

05 168 85 80 76 2 090763

0 75 68.0 35 89 1 894678

1 28 16 20 19 | 1 39475

Штах

Рис. 11

Использованная методика позволила осуществить повышение запаса динамической устойчивости лопатки турбины ГТУ к изгибно-крутильному флаттеру на 42%, тем самым выведя скорость течения, при которой возможно возбуждение неустойчивой формы колебаний, за пределы рабочих режимов установки На рис 11 показано сравнение исходной и оптимизированной геометрий лопатки

Важной особенностью полученных оптимизированных форм как в задаче оптимизации стержня, нагруженного критической силой, так и при повышении запаса динамической устойчивости лопатки турбомашины, является множественное взаимодействие кривых различных собственных частот на частотной диаграмме с увеличением нагрузки (рис 12,а - частотная диаграмма для оптимизированного стержня Бека, 12,6 - для оптимизированной турбинной лопатки) Оно свидетельствует о сложной геометрии области устойчивости конструкции в пространстве параметров проектирования при нагружении неконсервативными силами

1000000 <N

3

100000

10000

1000

100

1.00E+04

0.8 1.3 1.8 2.3

Относительная скорость течения (V/Vnom)2 Рис. 12

10 --

О 20

5.00Е+04

4.00Е+04 3.50 Е+04 3.00 Е+04 2.50Е+-04 2.00&-04

4.50Е+04

1.50Е+04

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Результаты, полученные в диссертации, относятся к численному исследованию математических моделей динамической устойчивости и оптимизации стержней и лопаток турбомашин При этом

1 Выполнено сравнение численных методов анализа устойчивости стержней переменного поперечного сечения при неконсервативном на-гружении Показано, что МКЭ наиболее пригоден для такого анализа при использовании достаточного числа элементов (>40 для рассмотренных расчетных схем)

2 Разработан учитывающий разницу положений центров изгиба и кручения сечений лопатки геометрически нелинейный конечный элемент предварительно закрученного стержня для экспресс-анализа собственных частот и НДС лопаток турбин ГТУ. Показано, что для турбинных лопаток с удлинением >3 первые 5 частот, вычисленных с использованием разработанного КЭ, отличаются от найденных по объемной твердотельной модели не более чем на 3-4%.

3 Получены оптимизированные формы консольного и свободного стержней, а также стержня с дополнительной опорой в задачах их устойчивости при нагружении следящей силой Эти результаты соответствуют или превосходят существующие на данный момент по кратности увеличения критической силы потери устойчивости (в 7 41 раз для консольного стержня, в 9 23 для свободного, в 1.39-7 41 раз для стержня с дополнительной опорой в зависимости от положения опоры)

4 Разработана методика численного моделирования аэроупругих колебаний лопаток турбомашин, использующая разработанный КЭ закрученного стержня, С использованием этой методики показана принципиальная возможность возникновения изгибно-крутильного флаттера лопатки турбины ГТУ в зоне рабочих режимов при сближении частот второй изгибной и первой крутильной форм ее колебаний под действием центробежной нагрузки.

5 Методами оптимального проектирования осуществлено повышение запаса динамической устойчивости лопатки турбины ГТУ к изгибно-крутильному флаттеру на 42% при условии постоянства центробежной нагрузки и геометрических ограничениях

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОТРАЖЕНЫ В РАБОТАХ

1 Tenus J M, Fedorov IMA Comparison of Methods for the Stability Analysis of Beams with Varying Cross-Sections Under Nonconserva-tive Loading // Physics and Control Proc of the 2nd International Conference - Saint Petersburg, 2005 -P 306-311

2 Terms J M , Fedorov IMA stable compressed beam of minimal mass // Nonlinear Dynamics Proc of the International Conference. -Kharkov, 2004 -P 162

3 Temis J M, Fedorov I M, Simulation of Turbomachme Blade Bending-Torsion Flutter Using a Pretwisted Beam Finite Element // EU-ROMECH Nonlinear Dynamics Proceedings of the 6th International Conference - Samt Petersburg, 2008 - P 235-240

4 Temis J M, Fedorov I M , Karaban V V Vibration analysis of turbomachme blades using modified nonlinear pretwisted beam finite element // Nonlinear Dynamics Proceedings of the 2nd International Conference -Kharkov, 2007 -P 120-124

5 Темис Ю M., Федоров И M Внедрение в программный комплекс ANSYS пользовательского конечного элемента естественно закрученного стержня // 6-я конференция пользователей программного обеспечения CAD-FEM GMBH Сборник трудов - М, 2006 - с 147152

6. Темис Ю. М., Федоров И. М. Оптимизация формы стержней при неконсервативном нагружении по критерию потери устойчивости // Проблемы прочности и пластичности. - 2007. - Вып. 69.-С. 15-34.

7 Темис Ю М, Федоров И М Оптимизация формы стержней при неконсервативном нагружении по критерию потери устойчивости // Ракетно-космическая техника Труды международной научной конференции, посвященной 90-летию В И Феодосьева - М , 2006 - С 123

8. Темис Ю. М., Федоров И. М. Сравнение методов анализа устойчивости стержней переменного сечения при неконсервативном нагружении // Проблемы прочности и пластичности. - 2006. -Вып. 68. - С. 20-38.

9. Федоров И. М Моделирование изгибно-крутильного флаттера лопаток турбомашин с использованием конечного элемента предварительно закрученного стержня // Актуальные проблемы фундаментальных наук Сборник трудов 2-й научно-методической конференции аспирантов и молодых исследователей - М, 2008 - С 75-77

10 Федоров И М Оптимальное проектирование стержней при неконсервативном нагружении // Студенческий научный вестник Сборник тезисов докладов общеуниверситетской научно-технической конференции - М , 2005 - С 210-211

Подписано к печаш 5 09 0В Заказ № 485 Объем 1,0 печ т Тираж 100 экз Типография МГТУ им Н Э Баумана 105005, Москва, 2-я Бауманская ул , д 5 263-62-01

Введение.

1. Обзор состояния проблемы анализа устойчивости и оптимизации стержней и лопаток турбомашин.

1.1. Основные понятия.

1.2. Обзор задач анализа устойчивости стержней, нагруженных неконсервативными силами.

1.3. Роль упрощенных моделей в проектировании лопаток ГТУ.

1.4. Обзор состояния проблемы аэроупругости лопаток турбомашин.

1.5. Связь задач анализа динамической устойчивости стержней и лопаток турбомашин.

1.6. Актуальность и план работы.

2. Сравнение численных методов исследования устойчивости стержней.

2.1. Математическая модель стержня.

2.2. Вариационно-разностный метод.

2.3. Метод Бубнова-Галеркина и метод конечных элементов.

2.4. Метод сагиттарной функции.

2.5. Результаты анализа устойчивости.

3. Модифицированный конечный элемент предварительно закрученного стержня для моделирования лопатки ГТУ.

3.1. Математическая модель предварительно закрученного стержня.

3.2. Проверка реализованного конечного элемента.

3.3. Определение области применимости реализованной стержневой модели.

4. Анализ аэроупругих колебаний лопатки турбины ГТУ.

4.1. Обзор методов анализа флаттера лопаток турбомашин.

4.2. Моделирование изгибно-крутильного лопатки ГТУ.

5. Автоматизированное проектирование стержней и лопаток

ГТУ по критерию динамической устойчивости.

5.1. Задача оптимального проектирования стержней.

5.1.1. Оптимизация в задаче устойчивости консольного стержня.

5.1.2. Оптимизация в задаче устойчивости свободного стержня.

5.1.3. Оптимизация колонны с дополнительной опорой.

5.2. Применение методов оптимизации для повышения запаса аэроупругой устойчивости лопатки турбины ГТУ.

Выводы.

Актуальность проблемы. Диссертационная работа посвящена численному исследованию особенностей динамической потери устойчивости стержней и лопаток турбомашин и разработке методики их оптимизации по критерию устойчивости. Фундаментальные результаты по численному и аналитическому исследованию динамической устойчивости и оптимизации таких систем получены в работах В. В. Болотина, В. И. Феодосьева, Г. Циглера, А. П. Сейраняна, А. А. Хорикова, В. А. Светлицкого, С. В. Аринчева, Н. В. Баничука, В. Б. Гринева, А. П. Филиппова, А. В. Шринивасана, Г. Фершинга, Ю. Сугиямы и др. Актуальность работы связана с тем, что в ней на основе аналогии между активно разрабатываемой в настоящее время задачей анализа устойчивости механических систем, зависящих от параметров и нагруженных неконсервативными силами и важной в плане практического применения задачей моделирования аэроупругой неустойчивости лопаток турбомашин проводится исследование особенностей динамической потери устойчивости этих технических объектов и разработка методики их оптимизации по критерию устойчивости. Не менее важным является проведенное в работе построение математических моделей таких технических объектов и выбор численных методов их анализа.

Цель и задачи исследования. Цель работы состоит в развитии методики численного анализа динамической устойчивости и оптимального проектирования конструкций при их нагружении неконсервативными силами. Работа направлена на практическое применение анализа бифуркаций собственных значений с целью повышения нагрузки потери устойчивости для ряда расчетных схем нагружения стержней следящими силами и моделирования изгибно-крутильного флаттера лопаток турбин газотурбинных установок. Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач:

1. Сравнение численных методов анализа динамической устойчивости стержней, нагруженных следящими силами.

2. Разработка модифицированного нелинейного конечного элемента закрученного стержня, позволяющего учесть различие положений центров тяжести и изгиба поперечного сечения стержня.

3. Численное моделирование изгибно-крутильного флаттера лопатки турбомашины.

4. Численная оптимизация формы стержней, нагруженных следящей силой, и пера лопатки турбомашины по критерию устойчивости.

Методы исследования. В теоретических исследованиях применялись фундаментальные положения теории упругой устойчивости и механики стержней, а также вариационные принципы. При численном моделировании использовались вариационные и разностные методы анализа динамики конструкций, методы решения больших разреженных систем линейных f уравнений, методы определения собственных значений заполненных и больших разреженных матриц, методы вычислительной газовой динамики. Для оптимизации конструкций применялись методы нелинейного программирования.

Достоверность и обоснованность результатов основаны на корректном использовании методов механики деформируемого твердого тела и газовой динамики, вариационных принципов, строгости применяемых математических методов. Сформулированные в работе допущения обоснованы путем их содержательного анализа и методами применяемого математического аппарата. Достоверность подтверждается соответствием результатов численного анализа устойчивости стержней и деформирования закрученных стержней с данными других авторов, полученными численно, аналитически и экспериментально.

Научная новизна. В рамках реализации методов анализа динамической устойчивости и оптимального проектирования стержней и лопаток турбомашин выполнено сравнение численных методов анализа устойчивости стержней переменного поперечного сечения при неконсервативном нагружении. На основе результатов этого сравнения разработан учитывающий разницу положений центров изгиба и кручения сечений лопатки геометрически нелинейный конечный элемент предварительно закрученного стержня для экспресс-анализа собственных частот и прочности лопаток турбомашин. С использованием созданного конечного элемента разработана методика численного моделирования изгибно-крутильного флаттера лопаток турбомашин и показана принципиальная возможность возникновения изгибно-крутильного флаттера лопатки турбины стационарной газотурбинной установки в зоне рабочих режимов.

Методами оптимального проектирования получены новые оптимизированные формы консольного и свободного стержней, а также стержня с дополнительной опорой в задачах их устойчивости при нагружении следящей силой. Осуществлено повышение запаса динамической устойчивости лопатки турбины газотурбинной установки к изгибно-крутильному флаттеру при условии постоянства центробежной нагрузки и геометрических ограничениях.

Практическая и теоретическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут быть применены при численном анализе устойчивости распределенных неконсервативных систем и их оптимизации по критерию устойчивости. Эти результаты были учтены при разработке методики оценки запаса динамической устойчивости лопаток стационарных газотурбинных установок большой мощности, проектируемых компанией ООО «СП «Альстом Пауэр Унитурбо».

На защиту выносятся следующие положения:

• Сравнение численных методов анализа, устойчивости стержней при неконсервативном нагружении.

Разработка учитывающего разницу положений центров изгиба и кручения сечений лопатки геометрически нелинейного конечного элемента предварительно закрученного стержня для экспресс-анализа собственных частот и прочности лопаток турбомашин.

• Получение оптимизированных форм консольного и свободного стержней, а также стержня с дополнительной опорой в задачах их устойчивости при нагружении следящей силой.

• Методика численного моделирования аэроупругих колебаний лопаток турбомашин, использующая разработанный КЭ-закрученного стержня; показанная с использованием этой методики принципиальная возможность возникновения изгибно-крутильного флаттера лопатки турбины газотурбинной установки в зоне рабочих режимов.

• Повышение запаса динамической устойчивости лопатки турбины газотурбинной установки к изгибно-крутильному флаттеру методами оптимального проектирования при условии постоянства центробежной" нагрузки и геометрических ограничениях.

Апробация работы. Основные результаты диссертационный работы докладывались и обсуждались на международной конференции «Ракетно-космическая техника. Фундаментальные и прикладные проблемы механики» 4-6 мая 2006 г., Москва; 6-й международной конференции «EUROMECH Nonlinear Dynamics», Санкт-Петербург, 30 июня — 4 июля 2008 г.; 2-й международной конференции «Physics and Control», 24-26 августа 2005 г., Санкт-Петербург; международной конференции «Nonlinear Dynamics», 14-16 сентября 2004 г., Харьков; 2-й международной конференции «Nonlinear Dynamics», 25-28 сентября 2007 г., Харьков, 6-й конференции пользователей программного обеспечения CAD-FEM GMBH, 20-21 апреля 2006 г., Москва; 2-й научно-методической конференции аспирантов и молодых исследователей, 1-29 февраля 2008 г., Москва; общеуниверситетской научно-технической конференции «Студенческая весна - 2005», 4-29 апреля 2005 г., Москва.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 10 научных работах ([58]-[61], [66], [67], [142]-[145]), из них в журналах по списку ВАК - две ([59],[61]). Публикации [66], [67] без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов, списка литературы и двух приложений. Диссертация изложена на 183 страницах, содержит 89 иллюстраций, 8 таблиц. Библиография включает 154 наименования.

Выводы

Результаты, полученные в диссертации, относятся к численному исследованию математических моделей динамической устойчивости и оптимизации стержней и лопаток турбомашин. При этом:

1. Выполнено сравнение численных методов анализа устойчивости стержней переменного поперечного сечения при неконсервативном нагружении; показано, что метод конечных элементов наиболее пригоден для такого анализа при использовании достаточного числа элементов (>40 для рассмотренных расчетных схем).

2. Разработан учитывающий разницу положений центров изгиба и кручения сечений лопатки геометрически нелинейный конечный элемент предварительно закрученного стержня для экспресс-анализа собственных частот и прочности лопаток турбин ГТУ. Показано, что для турбинных лопаток с удлинением >3 первые 5 частот, вычисленных с использованием разработанного КЭ, отличаются от найденных по объемной твердотельной модели не более чем на 3-4%.

3. Получены оптимизированные формы консольного и свободного стержней, а также стержня с дополнительной опорой в задачах их устойчивости при нагружении следящей силой. Эти результаты соответствуют или превосходят существующие на данный момент по кратности увеличения критической силы потери устойчивости (8.41 раз для консольного стержня, 9.23 для свободного, 1.39-7.41 раз для стержня с дополнительной опорой в зависимости от положения опоры).

4. Разработана методика численного моделирования аэроупругих колебаний лопаток турбомашин, использующая разработанный КЭ закрученного стержня; с использованием этой методики показана принципиальная возможность возникновения изгибно-крутильного флаттера лопатки турбины ГТУ в зоне рабочих режимов.

5. Методами оптимального проектирования осуществлено повышение запаса динамической устойчивости лопатки турбины ГТУ к изгибно-крутильному флаттеру на 42% при условии постоянства центробежной нагрузки и геометрических ограничениях.

Результаты, полученные в настоящей работе, опубликованы в работах [61], [59], [142], [58], [145], [66], [144], [60], [143], [67].

1. Агафонов С. А., Герман А. Д., Муратова Т. В. Дифференциальные уравнения - М.: Изд-во МГТУ им Н.Э.Баумана, 2006. - 356 с.

2. Агафонов С. А., Георгиевский Д. В. Динамическая устойчивость стержня с нелинейной внутренней вязкостью под действием следящей силы // Доклады Академии Наук. 2004. - Т. 396, №3. - С.339-342.

3. Акуленко JI. Д., Нестеров С. В. Собственные поперечные колебания неоднородного стержня // МТТ. 2003. - №3. - С. 179-191.

4. Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. — М.: Машиностроение, 1978. — 312 с.

5. Алфутов Н. А., Колесников К. С. Устойчивость движения и равновесия -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. 256 с.

6. Аринчев С. В. Теория колебаний неконсервативных систем. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2002. - 464 с.

7. Арутюнян Н. X., Абрамян Б. JI. Кручение упругих тел. М.: Физматгиз, 1963. -688 с.

8. Аттетков А. В., Галкин С. В., Зарубин В. С. Методы оптимизации М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. - 440 с.

9. Баничук Н. В. Оптимизация устойчивости стержня с упругой заделкой //Изв. АН СССР. МТТ. 1974.-№4.-С. 150-154.

10. Бидерман В. JI. Прикладная теория механических колебаний М.: Наука, 1968.-560 с.

11. Биргер И. А. Руководство для конструкторов по расчету на прочность газотурбинного двигателя. Расчет лопаток на прочность М.: Оборонгиз, 1956. -150 с.

12. Биргер И. А. Стержни, пластины и оболочки М.: Физматлит, 1992. - 392 с.

13. Биргер И. А., Мавлютов Р. Р. Сопротивление материалов М.: Наука, 1986.-560 с.

14. Биргер И. А., Селифонова JI. П. Поле напряжений в турбинных лопатках // Проблемы прочности. 1973. - №3. - С.7-10.

15. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости-М.: Физматгиз, 1961. 400 с.

16. Борисов Г. А., Локштанов Е. А., Олынтейн Л. Е. Вращающийся срыв в осевом компрессоре // Промышленная аэродинамика. 1962. - вып.24. - С. 5662.

17. Бояршинов С. В. Основа строительной механики М.: Машиностроение, 1973.-456 с.

18. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов М.: Наука, 1986. - 544 с.

19. Бычков Д. В., Мрощинский А. К. Кручение металлических балок М.: Стройиздат, 1944. - 260 с.

20. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности -М.: Мир, 1987.-542 с.

21. Воробьев Ю. С. Изгиб стержней с учетом депланации при сдвиге и кручении // Динамика и прочность машин. 1965. - №1. - С. 125- 131.

22. Воробьев Ю. С., Шорр Б. Ф. Теория закрученных стержней Киев: Наукова думка, 1983. - 188 с.

23. Галеркин Б. Г. Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок // Вестник инженеров. -1915.-Т. 1, №19. С.897-908.

24. Гопак К. Н. Потеря устойчивости свободным стержнем, ускоренно движущимся под действием следящей силы // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. - 1960. - №4. - С.56 - 58.

25. Гринберг С. М. О роли стесненности кручения при расчете частот колебаний лопаток компрессора // Прочность и динамика авиационных двигателей. 1966. -Вып.З. - С.214-237.

26. Гринев В. Б., Филиппов А. П. Оптимизация элементов конструкций по механическим характеристикам. Киев: Наукова Думка, 1975. — 365 с.

27. Гуськов A.M., Шныриков В.В. Численное исследование устойчивости параметрических линейных систем М.: Изд-во МГТУ, 1990. - 51 с.

28. Гуськов A.M., Пановко Г .Я. Вибрационная стабилизация вертикальной оси гибкого стержня // Проблемы машиностроения и надежности машин. -2006.-№5.-С. 13-22.

29. Ден-Гартог Дж. П. Механические колебания М.: Гос. изд. физ.- мат. лит., 1960.-580 с.

30. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений М.: Мир, 1984. - 333 с.

31. Доннелл JI. Г. Балки, пластины и оболочки М.: Наука, 1981.- 568 с.

32. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике — М.: Мир, 1975. — 541с.

33. Кириллов О. Н. Оптимизация устойчивости летящего стержня // Вестник молодых ученых. 1999. -№1. - С.64-78.

34. Кулагина А. Т. Некоторые особенности колебаний лопаток в условиях вращающегося срыва // Проблемы прочности. 1976. - №3. - С. 45-48.

35. Лурье А. И., Джанелидзе Г. Ю. Задача Сен-Венана для естественно закрученных стержней // Доклады АН СССР. 1939. - Т.24, №1. - С.23- 26.

36. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения М: Меркурий-Пресс, 2000. - 245 с.

37. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения М.: Мир, 1980. - 366 с.

38. Мейз Д. Теория и задачи механики сплошных сред М.: Мир, 1974. -318 с.

39. Мельников М. А., Ушаков А. И., Фатеев В. А. Методы и программы расчета НДС лопаток // Труды ЦИАМ. 1987. - № 1177. - С. 257-359.

40. Михлин С. Г. Численная реализация вариационных методов М.: Наука, 1966.-432 с.

41. Николаи Е. JI. Труды по механике М.: ГТТИ, 1955. - 425 с.

42. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости JL: ОГИЗ, 1948.-212 с.

43. Ольхофф Н. Оптимальное проектирование конструкций М.: Мир, 1981.-215 с.

44. Олынтейн JI. Е. Новые аспекты проблемы аэроупругости турбомашин // Проблемы прочности. 1976. - №3. - С. 3-7.

45. Писаренко Г. С., Олынтейн JI. Е. Проблемы аэроупругости лопаток турбомашин // Проблемы прочности. 1974. -№8. - С. 3-8.

46. Биргер И. А., Пановко Я. Г. Прочность, устойчивость, колебания. М.: Машиностроение, 1968. - Том 3. - 568 с.

47. Риз П. М. Деформация естественно закрученных стержней // Труды АН СССР. 1939.-Т.23,№1.-С. 18-21.

48. Светлицкий В. А. Механика стержней. Статика. М.: Высшая школа, 1987.-320 с.

49. Светлицкий В.А., Гуськов A.M. Автоколебания гибкого стержня в масляном слое // Изв. вузов. Машиностроение. 1974. - №12. - С. 48-52.

50. Светлицкий В.А. Колебания гибких шлангов, заполненных движущейся жидкостью // Изв. вузов. Машиностроение. 1966. - №3. - С. 22-30.

51. Светлицкий В.А. Нелинейные уравнения движения и малые колебания стержней, заполненных движущейся жидкостью // МТТ. 1977. - № 1. - С.12-15.

52. Сейранян А. П. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонны // Успехи механики. 2003. - Т.2, №2. - С.45-96.

53. Скворцов А. В. Обзор алгоритмов построения триангуляции Делоне // Вычислительные методы и программирование. — 2002. — Т.З. — С.14-39.

54. Темис Ю. М. Вариационно-разностный метод расчёта упругопластических круглых пластинок // Известия вузов. Машиностроение. — 1974.-№7.-С. 16-21.

55. Темис Ю. М., Карабан В. В. Геометрически нелинейная конечно-элементная модель закрученного стержня в задачах статического и динамического расчета лопаток // Труды ЦИАМ. — 2001. — №1319. — С. 1-20.

56. Темис Ю. М., Карабан В. В. Об одном способе определения положения центра жесткости и касательных напряжений кручения профилей произвольного вида // Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. 2001. - №4. -С. 62-71.

57. Темис Ю. М., Федоров И. М. Внедрение в программный комплекс ANSYS пользовательского конечного элемента естественно закрученного стержня // 6-я конференции пользователей программного обеспечения CAD-FEM GMBH.: Сб. тр.-М., 2006.-С. 147-152.

58. Темис Ю. М., Федоров И. М. Оптимизация формы стержней при неконсервативном нагружении по критерию потери устойчивости

59. Прикладные проблемы прочности и пластичности. 2007. - Вып.69.1. С. 15-34.

60. Темис Ю. М., Федоров И. М. Сравнение методов анализа устойчивости стержней переменного сечения при неконсервативном нагружении.

61. Прикладные проблемы прочности и пластичности. 2006. - Вып.68. - С. 2038.

62. Тимошенко С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек М.: Наука, 1971.-807 с.

63. Томпсон Дж. М. Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике М.: Мир, 1985.-254 с.

64. Троицкий В. А., Петухов JI. В. Оптимизация формы упругих тел М.: Наука, 1982.-312 с.

65. Тумаркин С. А. Равновесие и колебания закрученных стержней М., 1937. - 52 с. (Труды ЦАГИ №341).

66. Федоров И. М. Оптимальное проектирование стержней при неконсервативном нагружении // Студенческий научный вестник.: Сб. тез. докладов общеуниверситетской научно-технической конференции. М., 2005г. -С. 210-211.

67. Феодосьев В. И. Избранные вопросы и задачи по сопротивлению материалов М.: Гостехиздат, 1953. - 284 с.

68. Феодосьев В. И. Об одной задаче устойчивости // ПММ. 1965. - Вып.2. -С. 69-71.

69. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов М.: Наука, 1986. - 512 с.

70. Фершинг Г. Основы аэроупругости М.: Машиностроение, 1984. - 600 с.

71. Хориков А. А. О влиянии близости собственных частот колебаний лопатки по различным формам на устойчивость однородного компрессорного венца к флаттеру // Проблемы прочности. 1974. - №8. - С. 83-87.

72. Хориков А. А. О возможности возникновения «классического» флаттера рабочих лопаток турбомашин // Проблемы прочности. 1976. - №3. - С. 25-28.

73. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций — М.: Мир, 1971. — 192 с.

74. Шорр Б. Ф. Изгибно-крутильные колебания закрученных лопаток компрессора // Прочность и динамика авиационных двигателей. 1964. - №1. -С. 217-246.

75. Шорр Б. Ф. К экспериментальной проверке теорий растяжения закрученных стержней // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1959. -№4. - С.176-178.

76. Шорр Б. Ф. Колебания закрученных стержней // Известия АН СССР. ОНТ. Механика и машиностроение. - 1961. -№3. - С.35-39.

77. Эйлер JI. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума, или решение изопериметрической задачи,взятой в самом широком смысле M.-JL: ГТТИ, 1934. - 125 с.

78. Akulenko L. D., Nesterov S.V. High precision methods in eigenvalue problems and their applications London: Chapman&Hall/CPC, 2005. - 255 p.

79. Bathe K.-J. Finite Element Procedures London: Prentice Hall, 1996. - 1037 p.

80. Baumgart A. A mathematical model for wind turbine blades // Journal of Sound and Vibration. 2002. - V.251, n.9. - P.234-265.

81. Beal Т. R. Dynamic Stability of a Flexible Missile Under Constant and Pulsating Thrusts //AIAA Journal. 1965. - Vol.3, №3. - P.125-132.

82. Beck M. Die Knicklast des einseitig eingespannten, tangential gedruckten Stabes // ZAMP. 1952. - Bd. 3. - S. 225-228.

83. Bendiksen O. Recent Developments in Flutter Suppression Techniques for Turbomachinery Rotors // Journal of Propulsion and Power. 1988. - Vol.4, №2. -P.164-172.

84. Bendiksen O., Freidmann P. Coupled Bending-Torsion Flutter in Cascades // AIAA Journal. 1980. - Vol.18, n.2. - P. 194-201.

85. Bolotin V.V., Zhinzher N.I. Effects of damping on stability of elastic systems subjected to nonconservative forces // International Journal of Solids and Structures. -1969.-Vol.5.-P.965-989.

86. Chiang H.D., Chen C., Hsu C. An Investigation of Turbomachinery Shrouded Rotor Blade Flutter // ASME Turbo Expo 2003: Proc. Atlanta, 2003. - P.213-218.

87. Clausen T. Uber die Form architektonischer Saulen //Bull. cl. physico-math. Acad. St.-Petersbourg. 1851. - Bd. IX. - S.371-380.

88. Doi H. Fluid/Structure Coupled Aeroelastic Computations For Transonic Flows In Turbomachinery Stanford: Stanford University Press, 2002. - 253 p.

89. Downs B. The Effect of Substantional Pretwist on the Stiffness Properties of Thin Beams of Cambered Section // Journal of Applied Mechanics. 1979. -Vol.46.-P.35-49.

90. Fleeter S. Aeroelasticity Research for Turbomachine Applications // Journal of Aircraft. 1979. - Vol.16, №5. - P. 320-342.

91. Flint J. Lining Deformation-Induced Modal Coupling as Squeal Generator In a Distributed-parameter Disc Brake Model // Journal of Sound and Vibration. 2002. -V.254, n.l-P.1-21

92. Forsching H., Aeroelastic Stability of Cascades in Turbomachinery // Progress in Aerospace Sciences. 1994. - V.30. - P.213-266.

93. Fransson Т.Н. Analysis of Experimental Time-Dependent Blade Surface Pressures from an Oscillating Turbine Cascade Using the Influence-Coefficient Technique // Journal de Physique III. 1992. - V.2, n.4. - P. 575-594.

94. Full Viscous and Inviscid Linear/Nonlinear Calculations Versus Quasi 3D Experimental Data for a new Aeroelastic Turbine Standard Configuration / Fransson Т. H., Jocker M., Boles A., Ott P. // Journal of Turbomachinery. 1999. - Vol.121, №1.-P. 717-725.

95. Gnesin V. I., Kolodyazhnaya L. V. Aeroelastic Analysis of Vibrating Blade Row Using a Coupled Fluid-Structure Problem // AIAAISABE 1999: Proc. -Florence, 1999.-P.523-532.

96. Hanaoka M., Washizu K. Optimum Design of Beck's Column // Computers & Structures. 1980. - Vol.11. -P.473-480.

97. Houbolt J. C., Brooks G. W. Differential Equations of Motion for Combined Flapwise Bending, Chordwise Bending, and Torsion of Twisted Nonuniform Rotor Blades // NACA Reports. 1958. - №1346. - P. 179-195.

98. Hutton D.V. Fundamentals of Finite Element Analysis London: McGraw-Hill, 2004. - 495 p.

99. IMCL Math/Library / J.Dongarra, Y. Saad, B. B.-W. Carrie, et. all Houston: Visual Numerics, 1997. - 1313 p.

100. Imregun M., Vahdati M. An Overview of Computational Turbomachinery Aeroelasicity // Turbomachines: Aeroelasticity, Aeroacoustics, and Unsteady Aerodynamics: Proc. Moscow, 2006. - P.3-8.

101. Kirillov O.N., Seyranian A.P. Optimization of Stability of a Flexible Missile under Follower Thrust // 7th AIAA/USAF/NASA/ISSMO Symposium on Multidisciplinary Analysis and Optimization.: Proc. St.Louis, 1998. - P. 2063-2073.

102. Kirillov O.N., Seyranian A.P., Collapse of the Keldysh Chains and Stability of Continuous Nonconservtive Systems // SIAM Journal of Applied Mathematics. —2004.-Vol.64, no.4. -P.1383-1407.

103. Kirillov O.N., Seyranian A.P. Stabilization and Destabilization of a Circulatory System by Small Velocity-dependent Forces // Journal of Sound and Vibration.2005. Vol.283. - P.781-800.

104. Kirillov O.N., Seyranian A.P. The Effect of Small Internal and External Damping on the Stability of Distributed Non-Conservative Systems // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2005. - Vol.69. - P.529-552.

105. Lagrange J.-L. Ouvres de Lagrange. Paris.: Gauthier-Villars, 1868. — V. 2. — P. 125-170.

106. Langthjem M. A., Sugiyama Y. Optimum design of cantilevered columns under the combined action of conservative and nonconservative loads // Computers and Structures. 2000. - №74. - P.385-398.

107. Lee H. P. Dynamic stability of a rod with an intermediate spring support subject to subtangential follower forces // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1995. - V.125. - P.141-150.

108. Lehoucq R. В., Sorensen D. C., Yang C. ARPACK: Solution of Large Scale Eigenvalue Problems with Implicitly Restarted Arnoldi Methods. Philadelphia: SIAM, 1998.- 150 p.

109. Love A.E.H. A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity Cambridge: University Press, 1927. - 726 p.

110. Marshall J.G., Imregun M. A Review of Aeroelasticity Methods with Emphasis on Turbomachinery Applications // Journal of Fluids and Structures. 1996. - V.10, n.3. - P.237-267.

111. McBean I., Hourigan K., Thompson M. Prediction of Flutter of Turbine Blades in a Transonic Annular Cascade. // Journal of Fluids Engineering. 2005. - V.127, n.4. - P.1053-1058.

112. Montgomery M., Tartibi M., Shmitt S. Application of Unsteady Aerodynamics and Aeroelasticity in Heavy-Duty Gas Turbines // ASME Turbo Expo 2005: Proc. -Reno-Tahoe, 2005. -P.365-371.

113. Montoya J., Coupled bending and torsional vibrations in a twisted, rotating blade // The Brown Boveri Review. 1966. - N. 53. - P.216-230.

114. Nowinski M., Panovsky J. Flutter Mechanisms in Low Pressure Turbine Blades // Journal of Engineering for Gas Turbines and Power. 2000. - V.122, n. 4. - P.82-88.

115. Panovsky J., Kielb R. E. A Design Method to Prevent Low Pressure Turbine Blade Flutter // Journal of Engineering for Gas Turbines and Power 2000. - V.122, n.4. - P.89-98.

116. Pedersen P., Seyranian A.P. Sensitivity Analysis for Problems of Dynamic Stability// Int. J. of Solids and Structures. 1983. - V.19, №4. -P.315-335.

117. Petrie-Repar P., McGhee A., Jacobs P. Viscous Flutter Analysis of a Three-Dimensional Compressor Blade // Turbomachines: Aeroelasticity, Aeroacoustics, and Unsteady Aerodynamics: Proc. M., 2006. - P. 24-26.

118. Petrie-Repar P., McGhee A., Jacobs P. Analytical Maps of Aerodynamic Damping as a Function of Operating Condition for a Compressor Profile // ASME Turbo Expo 2006: Proc. Barcelona, 2006, - P.456-462.

119. Pfluger A. Stabilitatsprobleme der Elastostatik Berlin: Springer- Verlag, 1950.-268 s.

120. Plaut R.H. On the optimal Structural Design for a Noncnonservative, Elastic Stability Problem //Journal of Optimization Theory and Applications. 1971. - Vol.7, n.l. - P.52-60

121. Ryu S.-U., Sugiyama Y. Computational dynamics approach to the effect of damping on stability of a cantilevered column subjected to a follower force

122. Computers and Structures. 2003. - №81. - P.265-271.

123. Saad Y. Numerical methods for large eigenvalue problems. — Manchester: University of Manchester Press, 1998. 425 p.

124. Sadeghi M., Liu F. Computation of cascade flutter by uncoupled and coupled methods // International Journal of Computational Fluid Dynamics. 2005. Vol. 19, №8.-P. 559-569.

125. Sayma A.I., Vahdati M., Imregun M., Whole-assembly flutter analysis of a low-pressure turbine blade. // Aeronautical Journal. 1998. - Vol. 102. - pp. 459463.

126. Semler C., Alighanbari H., Paidoussis M.P. A physical explanation of the destabilizing effect of damping. // International Journal of Applied Mechanics. -1998. Vol.65. - P.642-648.

127. Seyranian A.P. Stabilization of Nonconservative Systems by Dissipative Forces and Uncertainties in the Critical Load // Doklady Physics. 1996. - Vol.41, no. 5. -P. 214-217.

128. Seyranian A.P., Elishakoff I. Modern Problems of Structural Stability New York: Springer, 2004 - 402 p.

129. Seyranian A.P., Mailybaev A.A. Interaction of eigenvalues in multi-parameter problems // Journal of Sound and Vibrations . 2003. - V. 267. - P. 1047-1064.

130. Seyranian A.P., Mailybaev A.A. Multiparameter Stability Theory with Mechanical Applications New Jersey: World Scientific, 2003. - 403 p.

131. Shmotin Y. N., Starkov R. Y., Chupin P. V. Numerical Solution of Aeroelastic Behavior of Isolated Fan Bladerow // Turbomachines: Aeroelasticity, Aeroacoustics, and Unsteady Aerodynamics: Proc. Moscow, 2006. - P.24-26.

132. Shrinivasan A. V. Flutter and Resonant Vibration Characteristics of Engine Blades // Journal of Engineering for Gas Turbines and Power. 1997. — V.l 19, n.3, P. 742-775.

133. Sisto F., Chang A. T. A Finite Element for Vibration Analysis of Twisted Blades Based on Beam Theory // AIAA Journal. 1984. - Vol.22, n.l 1. - P. 32-37.

134. Smith Т.Е. Aeroelastic Stability Analysis of a High-Energy Turbine Blade // AIAA/SAE/ASME/ASEE 26th Joint Propulsion Conference: Proc. Orlando, 1990. - P.53-60.

135. Sreenivasamurthy S., Ramamurti V. Letters to the editor: Effect of a tip mass on the natural frequencies of a rotating pre-twisted cantilever plate // Journal of Sound and Vibration. 1980.- Vol.70, n.4. -P.598-601.

136. Srinivasan A.V., Tavares G.G. Direct Use of Unsteady Aerodynamic Pressures in the Flutter Analysis of Mistuned Blades // Journal de Physique III. 1995. - Vol.5, №10.-P. 1587-1597.

137. Srivastava R., Bakhle M. A., Keith T. G. Flutter Analysis of transonic Fan // ASME Turbo Expo 2002: Proc. Amsterdam, 2002. - P. 523-529.

138. Tadjbakh O. The Shape of the Strongest Column with a Follower Load

139. Journal of Optimization Theory and Applications. 1975. - Vol.15. - P. 103-118

140. Tadjbakhsh I., Keller J. B. Strongest columns and isoperimetric inequalities for eigenvalues // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1962. - V. 29, № 1. - P. 159-164.

141. Temis J. M., Fedorov I. M. A Comparison of Methods for the Stability Analysis of Beams with Varying Cross-Sections Under Nonconservative Loading // Physics and Control: Proc. of the 2nd International Conference. Saint Petersburg, 2005. -P.306-311.

142. Temis J. M., Fedorov I. M. A stable compressed beam of minimal mass

143. Nonlinear Dynamics: Proc. of the International Conference. Kharkov, 2004. -P. 162.

144. Temis J. M., Fedorov I. M. Simulation of Turbomachine Blade Bending-Torsion Flutter Using a Pretwisted Beam Finite Element // EUROMECH Nonlinear Dynamics: Proc. of the 6th International Conference. Saint Petersburg, 2008.1. P. 235-240.

145. Temis J. M., Fedorov I. M., Karaban V. V. Vibration analysis of turbomachine blades using modified nonlinear pretwisted beam finite element. // Nonlinear Dynamics: Proc. of the 2nd International Conference. Kharkov, 2007. - P. 120-124.

146. Thermann H., Niehuis R. Unsteady Navier-Stokes Simulation of a Transonic Flutter Cascade Near Stall Conditions Applying Algebraic Transition Models

147. ASME Turbo Expo 2005: Proc. Reno-Tahoe, 2005. - P. 627-633.

148. Timoshenko S. P., Young D. H. Vibration Problems in Engineering New York: Van Nostrand Company, 1955. - 524 p.

149. Verdon J. M. Review of Unsteady Aerodynamic Methods for Turbomachinery Aeroelastic and Aeroacoustic Applications // AIAA Journal. 1993. - V.31, n.2, — P.235-249.

150. Vogt D. M., Fransson Т. H. Experimental Investigation of Mode Shape Sensitivity of an Oscillating LPT Cascade at Design and Off-Design Conditions // ASME Turbo Expo 2006: Proc. Barcelona, 2006. - P. 462-469.

151. Wizman V., Laurence D., Kanniche M. Modeling near-wall effects in second-moment closures by elliptic relaxation // Int. J. Heat and Fluid Flow. 2003. - Vol. 17, n. 3. - P.255-266.

152. Wu X., Vahdati M., Sayma A.I., Imregun M. A Numerical Investigation of Aeroacoustic Fan Blade Flutter // ASME Turbo Expo 2003: Proc. Atlanta, 2003. -P. 254-261.

153. Yaman Y., Ozdemir O., Forced Vibrations of Triply Coupled, Periodically and Elastically Supported Finite Open-Section Channels // Journal of Sound and Vibration. 2002. - No. 250. - P.649-673.

154. Ziegler H. Die stabilitatskriterien der Elastomechanik // Ing.Arch. 1952. - Bd. 20, n. l.-S. 49-56.