автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Теория многослойных пологих оболочек и пластин

РГ8 ОД

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ТУРСУНОВ Каргул Аманбекович

ТЕОРИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ пологих ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН

05.23.17 — строительная механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва — 1994

Работа выполнена в Карагандинском ордена Трудового Красного Знамени политехническом институте.

Научный консультант: заслуженный деятель науки и техники Российской Федерации (РФ) чл.-корр. Академии строительства и Архитектуры РФ, доктор технических наук, профессор Н. Н. Леонтьев.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Н. Н. Шапошников.

Ведущая организация: Центральный научно-исследовательский институт строительных конструкций (ЦНИИСК им. Кучеренко).

Защита диссертации состоится « 21 » нюня 1994 г. в « . . . » часои на заседании диссертационного Совета Д.053.11.02 при МГСУ по адресу: 113114, Москва, Шлюзовая наб., 8, а уд. № 409.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мое-, ковского государственного инженерно-строительного университета.

Просим Вас принять участие в защите и направить отзыв в двух экземплярах, заверенных печатью, по адресу: 129337, ¿Москва, И-337, Ярославское шоссе, 26, Ученый Совет.

Автореферат разослан « » 1994 г.

доктор физико-математических наук, профессор Б. Ф. Власов;

доктор физико-математических паук, профессор Ю. Н. Новичков;

Ученый секретарь диссертационного Совета, доктор технических наук, профессор

Г, Э. Шаблннским

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОЙ

Актуальность проблемы. Многослойные конструкции в виде эболочек и пластин находят широкое применение во многих отрас-кях промышленности: металлургической, горной, химической, строительных материалов и др. Созданию таких конструкций, обладающих высокими технико-экономическими показателями предшествуют глубокие теоретические и экспериментальные исследования, направленные на уточнение основных параметров элементов конструкций.

Расчет слоистых оболочек и пластин представляет собой сложную проблему. Учет факторов (поперечный сдвиг, обкатие и давление), пренебрегаемых классической теорией, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява приводит к различным уточненным теориям, ориентированным на широкое применение ЭШ.

Анализ существующих теорий и требования практики расчета показывают необходимость развития этих теорий в направлении использования результатов расчета однородных конструкций при расчетах соответствующих многослойных конструкций.

В этой связи, развитие и обобщение уточненных теорий многослойных оболочек и пластин, их реализацию методами расчета однородных конструкций, основанных на гипотезах Кирхгофа-Лява следует рассматривать как актуальную проблему строительной механики, имеющую Еазхное значение для различных отраслей народного хозяйства.

Цель диссертации состоит в построении теории расчета пологих гибких многослойных оболочек с учетом деформации поперечных сдвигов, инерции вращения и конечных поворотов, приводящей к системе разрешающих уравнений классической теории однородных оболочек.

Разработать численный алгоритм, основанный на конечном элементе прямоугольной фор™ с двенадцатью степенями свободы для решения задач изгиба, устойчивости и свободных колебаний многослойной плоской конструкции на упругом двухларометрическом основании.

Научная новизна. Разработана'новая геометрически нелинейная .теория пологих оболочек, состоящих из трансверсально-изотропных слоев в форме классической теории однородных оболочек. Ее отличие по сравнению с другими уточненными теориями заключается:

- в универсальности структуры пакета слоев с существенно различными физико - механическими характеристиками и толщинами;

- в принятии гипотезы, учитывающей поперечные сдвиги, выраженные через параметр и угол поворота от функции про гибов оболочки;

- в совпадении основных соотношений напряженно - деформированного состояния многослойной оболочки с соответствущи соотношениями однородной гибкой оболочки при использовании гипотезы Кирхгофа-Лява;

- в выражениях жесткостных характеристик, включение параметра зависящего от формы деформации оболочки при изгибе;

- в установлении математической аналогии уравнения, описывавшего переход от изгибяого состояния в состояние изгиба < сдвигом с уравнением устойчивости сжатой пластины.

Предложена пространственная модель упругого основания, позволяющая производить расчеты плиты на упругом основании при соблюдении всех условий контакта между плитой и основанием .

Fla основе разработанной теории, с помощь» аналитических и численных методов получены решения различных задач прочности, устойчивости и свободных колебаний многослойных пластин и оболочек.

Обоснованность и достоверность результатов подтверждав'] ся корректностью постановок задач теории оболочек; выводом разрешающих уравнений двумя способами; вычислением жесткост-ных характеристик двумя или тремя формулами; сопоставлением с известными в литературе точными решениями и результатами по другим уточненным теориям, а также экспериментальным* данными.

Теоретическое и практическое значение. Предлагаемая теория создает необходимые теоретические предпосылки для научно-обоснованного проектирования и испытания изделий новой техники, предназначенных для эксплуатации в условиях действия температуры и динамических нагрузок.

Алгоритмы, основанные на численных методах конечных раз-

зстей и конечных элементов, реализованные на ЭШ в виде комп-зкса программ, позволяит решать задачи прочности, устойчивос-1 и свободных колебаний многослойных пластин, используемых качестве несущих конструкций в различных отраслях народного эзяйства.

Разработанная в диссертации теория расчете конструкции а упругом основании и метода ее реализации нашли внедрение в ПО "Союзспецфундаментстрой" Госстроя КазССР при расчетах ундаментной плиты сценической части драмтеатра.

Результаты исследований по стержневым системам на основе етода конечных элементов использувтся в учебном процессе в арагандинском политехническом институте в качестве учебного особия при изучении дисциплины "Численные метода решения за-,ач строительства на ЭШ",

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и олучили одобрение на УШ Республиканской конферении по мате-:атике и механике /Алма-Ата - 1984/, на областных научно-тех-[ических конференциях /Караганда - 1985, 1986/; на Всесоюз-юм научно-практическом совещании /Караганда - 1990/, на научно-технических конференциях Карагандинского политехнического гнститута /1978-1988/.

Диссертационная работа обсуздалась на постоянно действующих семинарах: по механике твердого деформируемого тела (рук.: 1лен-кор. АН СССР Э.И.Григолюк), кафедры строительной механи-<и МИШ (рук.:проф. Н.Н.Леонтьев), по строительной механике конструкций МШИ (рук,:проф. В.Н.Новичков), кафедры строитель-механики МИИТ (рук.:проф. А.В.Александров), отдела прочности и надежности конструкций ЦНШСК (рук.:проф. В.Д.Райзер), по механике пластин и оболочек ИПМ АН СССР (рук.:проф.А.Л.Гольденвейзер, член-яор. АН СССР В.И.бедосьев), кафедр сопротивления материалов и строительной механики (рук.:проф. Г.С. Варданян, проф. Н.Н.Леонтьев, проф. Г.Л.Хесин).

Публикации. Основное содержание выполненных по теме диссертации исследований опубликовано в 20 печатных трудах.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация, состоящая из введения, семи глав и заключения, представлена на 273 страницах машинописного текста, содержит 23 таблицы, 26 иллюстрация и список цитируемой литературы, включающей

245 наименований.

Автор выражает глубокую признательность член-кор. АН СССР Э.И.Григолюку и проф. Н.Н.Леонтьеву за постоянное вним ние и работе и полезные обсуждения.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении рассмотрена проблема развития теории расче многослойных оболочек и пластин, содержится аннотация глав работы и информация о структуре работы.

В первой главе представлен краткий обзор исследований 1 разработке теории расчета однородных и многослойных оболоче! пластин, поставлена цель и задачи диссертации.

Отмечено, что в развитии теории многослойных оболочек < рали важную роль достижения по классической теории однородге оболочек, полученные в трудах С.А.Амбарцумяна, В.В.Болотина,

B.З.Власова, А.С.Вольмира, К.З.Галимова, А.Л.Гольденвейзера, Э.И.Григолюка, А.И..Дурье, Х.М.Муштари, В.В.Новожилова и мн01 других.

Существенные результаты по строительной механике однор< ных оболочек и пластин получены в работах Н.А.Алфутова, Я.М. Григоренко, А,С.Григорьева, В.М.Даревского, Б.Г.Коренева, Н.Н.Леонтьева, П.А.Дукаша, Б.П.Макарова, Д.Н.Соболева, Б.ИЛ раторина и других.

Существенный вклад в развитие численных методов, их при нения к расчету оболочек и пластин в классической постановке внесли ученые Н.П.Абовский, А.В.Александров, Д.В.Вайнберг, П.М.Варвак, 0.Зенкевич, Б.Я.Лашеников, В.П.Мальцев, А.М.Масл ников, В.Б.Петров, В.А.Постнов, Г.И.Пшеничнов, Л.А.Рорин,-А.Ф.Смирнов, Р.А.Хечумов, Н.Я.Шапошников и др.

Обобщению классической теории для расчета слоистых обол чек посвящены работы С.А.Амбарцумяна, В.В.Васильева, Э.И.Гри голюка, Я.М.Григоренко, В.И.Королева, А.В.Саченкова и других ученых.

Построении уточненных теорий оболочек и пластин путем приведения трехмерной задачи к двумерной посвящены работы

C.А.Амбарцумяна, И.Н.Веку'а, В.З.Власова, Б.Ф.Власова, А.Л.Го денвейзера, Э.И.Григолюка, Н.А.Кялчевского, Х.М.Муштари,

..П.Прусакова, Э.Рейсснера, С.П.Тимошенко и других исследо->ателей.

Широкоэ распространение получила теория оболочек и пластин, основанная на сдвиговой модели С.П.Тимошенко. Анализу ее фименения к расчету различных конструкций посвящены обзоры 1.Я.АЙнолы и У.К.Нигула, Э.И.Григолюка и И.Т.Селезова, а танке А.К.Галиньша.

Уточненные теории применительно к трехслойным оболочкам и пластинам разработаны А.Я.Александровым, Л.Э.Брюккером, Э.И.Г^иголюком, К.З.Галимовым, В.И.Королевым, Л.М.Курщиным, К.М.Муштари, А.П.Прусаковыи, Э.Рейсснером, А.В.Саченковьгм, П.П.Чулковвд и многими другими отечественными и зарубежными учеными.

Общая теория многослойных оболочек и пластин, основанная на применении гипотезы для каждого отдельного слоя сформулирована в трудах В.В.Болотина, Э.И.Григолюка, Ю.Н,Новичкова, П.П.Чулкова и получила развитие в исследованиях многих других ученых.

Ее характерной особенность» является то, что порядок системы разрешающих уравнений зависит от количества слоев рассматриваемой оболочки.

Теория многослойных оболочек, основанная на гипотезах, привлекаемых для всего пакета слоев в целом, рассматривалась в работах С.А.Лмбарцумяна, В.В.Васильева, А.П.Прусакова, В.В.Пикуля, В.Г.Пискунова, А.О.Рассказова, А.Ф.Рябова и другими учеными.

Отличительные черты некоторых из этих теорий - порядок системы разрешающих уравнений не зависит от числа слоев; учет наряду с поперечными сдвигами поперечного обжатия слоев; изменение тангенциальных перемещений по толщине пакета слоев по нелинейному закону.

Отмечено, что использование в различных комбинациях тех или иных кинематических и статических гипотез при расчетах многослойных оболочек приводит в результате к значительному ■разнообразию расчетных схем и уравнений. Отличие системы разрешающих уравнений многослойных оболочек от разрешающих уравнений однородных оболочек обусловлено тем, что факторы, ггренебре-гаемые классической теорией учитываются дополнительными новыми

функциями. Результаты, относящиеся к слоистым системам, имею ограниченный характер в связи с вычислительными трудностями, особенно невозможностью использования методов классической теории оболочек для решения задач по расчету оболочек при реальных нагрузках и условиях на контуре.

На основе анализа общего состояния теории слоистых обол/ чек и пластин сформулированы основные требования, предъявляемые разрабатываемой теории:

- предложить гипотезу, учитывающую деформацию поперечных сдвигов, выраженную через параметр и первую производную функции прогибов оболочки;

- получить выражение цилиндрической жесткости оболочки, зависящее от структуры пакета и параметра характеризующего сс тояние оболочки при изгибе;

- получить разрешающие уравнения в форме классической те рии с целью использования готовых результатов по расчету однс родных оболочек;

- разработать конечный элемент прямоугольной формы при и гибе с учетом поперечных сдвигов без увеличения степеней свободы его узлов.

Во второй главе разработаны основы теории многослойных

гибких пологих оболочек. Рассмотрена пологая оболочка, составленная из /72 чрансверсально-изотропных слоев, жестко связанных между собой, загруженная нормальной поверхностной нагрузкой , ) (рис.1)

подвергающаяся температурному воздействию

В качестве координатной поверхности выбрана ее нижняя поверхность, которая отнесена ортогональной криволинейной системе координат.

Оболочка считается пологой, т.е. коэффициенты Ламе коорди-ттной поверхности оболочки не зависят от координаты . Все !ли отдельные слои отличаются низкой грансверсальной жест-гостыо.

Вывод уравнений движений и граничных условий слоистой обо-точки произведен в два этапа. На первом этапе рассмотрена классическая модель, основанная на гипотезах Кирхгофа - Лява. Получены выражения перемещений и напряжений (касательных; нормальных) по толщине оболочки путем интегрирования компонент транс-версалышх деформаций и уравнений равновесия в напряжениях линейной теории упругости.

На втором этапе для построения модели слоистой оболочки введены следующие гипотезы:

1) материал оболочки в направлении нормали необжимаем и не испытывает давления

0; 0 • • (I)

2) поперечные сдвиговые деформации изменяются по заданному закону

и, (1,2) п^е/с§; (2)

Здесь ^ - параметр поперечного сдвига; f^.¿ - параметр упругих постоянных; 2 - безразмерная поперечная координата; функция, характеризующая закон изменения поперечных сдвигов по толщине оболочки; ^, у/ , - коэффициенты законов изменения поперечных сдвигов; (1,2) - символ, показывающий перестановку индексов для получения второго выражения из заданного; = " ~ Угол поворота оболочки, где А( - параметр Ла-

ме; Щ - производная от функции прогибов ( , , -6 ) по координате ■х, . . - .

Функция, характеризующая распределения поперечных каса-'тельных напряжений по классической теории принята в виде:

1С

- - а- ({«7 {*)

<*, = X + . ^ _• с?..,

х £С4-, (Р*-г' ^

** < ' —. где - безразмерный модуль упругости -го слоя; В -

базовый модуль упругости; С0 - параметр, определяющий положение нейтральной поверхности относительно координатной поверхности.

Использование гипотез (1),.(2) и соотношений Коти для поперечных деформаций позволило получить перемещения слоистой оболочки (кинематическую модель).

и.<£>= +Ь-• к (*) ч >

(4)

Здесь - тангенциальные перемещения нейтральной по-

верхности оболочки; ,4 - толщина оболочки; г ) - функ-

ция, характеризующая распределение тангенциальных перемещений по толщине; ^ ( 2 ) - то же самое по классической теории; ( 2 ) - то же самое с учетом поперечных сдвигов.

Поперечные касательные напряжения, определенные из уравнений равновесия в напряжениях имеют вид:

:

еде ^ (2) - функция, характеризующая распределение касательных напряжений по толщине оболочки; 4"°к & ) - то же са-иое по классической теории; ? ) - то же самое с учетом

поперечных сдвигов; оператор Лапласа в ортогональной кри-

волинейной системе координат.

Произвольные постоянные С* , Д* - находились из условий контакта слоев и равновесия касательных напряжений на лицевых поверхностях оболочки.

Поперечные касательные напряжения согласно гипотез (2) и закона Гука определяются выражением

Ё-^Ш «-, (г,2) (б)

и сохраняют характер распределения по толщине оболочки, установленный в классической теории.

Определение параметра , входящего в гипотезу (2) производилось следующим образом. Вычислялись поперечные силы, соответствующие касательным напряжениям (5) и (б):

° , _ 1 о , {

е^/я/^ (г) ; е^.д =

Из равенства этих сил:

- ¿0- 4 = • и, ; Яо/Я = - - А:;

получены зависимости

(7)

л

Из первой зависимости с учетом значений и 7) , полу чена формула для параметра поперечного сдвига

Здесь ¡с собственное число уравнения (8). Для того, чтобы привести (8) к стандартному виду, использовалось уравн ние равновесия оболочки в усилиях

О:,-*,у

Из этого уравнения после подстановки значения поперечных сил д , и исключения общих членов получено уравнение

+ К- О; (Ю

совпадающее с уравнением устойчивости пластины, прямоугольно! сжатой в двух направлениях распределенной нагрузкой или круглой сжатой радиальной нагрузкой.

Данное совпадение (аналогия) позволило использовать гот< вые решения задач устойчивости пластины для нахождения парам< ра /с оболочки, имеющей одинаковые граничные условия в плане с пластиной.

Цутем подстановки (9) с учетом (8) в выражение (б) получено выражение

поперечных касательных напряжений, свободных от противоречия.

Таким образом, определены компоненты перемещений (4), которые формируют кинематическую модель слоистой трансперсоль-ю-изотропной пологой оболочки, совпадающую с классической доделью.

Внутренние усилия, определенные из закона Рука с учетом гипотезы Дюгамеля-Неймана при ~]~= То + А- Ч^С?) Т имеют вид .

Л/, -к [ б/'Уг = 6 ( <£° Увг-Т* «¿У ^ = = в ^ 4° ■•

Цх^б^г.^г Яг-Т Ол): <12>

о . \

где жесткостные характеристики определяются выражениями

' о* ' I (13)

Компоненты кривизн ( <В( ) и кручения ( £/л ) гоординвтной поверхности оболочки равны

% = -"X, : 7, = Г ( Ъг 4Г■ и<)

где ¿¿( . ¿¿^ углы поворота оболочки.

Компоненты конечных мембранных деформаций определяются выражениями:

ро _ <:<> ' Г- Л ■ ^ ) + ^ 7 •

где ¿у" , - компоненты малых деформаций, которые вычисляются известными формулаги; = ^ - параметр пакета оболочки; ^ - параметр, характеризующий степень вли ния поперечных едьигов, вычисляемый по формуле

^ Я /<ГЛ ' Ш- (15)

Компоненты с коэффициентом <2^ в. (14) обусловлены влиянием нелинейных тангенциальных перемещений (конечных поворотов] При к. = О выражения (II) представляют собой компоненты мембранных деформаций, основанные на гипотезах Ккрхгофа-Лява.

Интегрированием уравнений движения нелинейной теории упругости получено разрешающее уравнение ■

- & ч7г? М £т • V'г т + Я - гА Г-

Здесь Д- , <5/ - безразмерные плотности и напряжения с -го слоя оболочки; /С„ - главные крнвнзны координатной поверхности; ж,- Л 5 Мь - Ж/' <Я 5 - мембранные усилия;

, - параметры, учитывающие конечные повороты и инерции вращения элемента оболочки, определяемые из выражения (13)

при , Д—.

Граничные условия, полученные из работы контурньгс обобщенных напряжений для края -аг, = имеют вид ;

о 0

где контурные усилия определяются выражениями:

' ^и,«л

Р, с//;*)* й, %

Использование статико-геокетрической аналогии при отсутствии нагрузки и инерционных членов:

у(-р ; ^ ; ¿л ; ; %?>

; 5/' -¿¿ык ; (19

Р, в /г) ;

позволило получить из (16) второе разрешающее уравнение

^ V2 7г Р + Вт • ?гТо -91 I :

6 б *>

с^ь-г; Ъв мя(20)

из (17) гранитные условия

Таким о ¡разом: система разрешающих уравнений (16), (20) пологой гибгой слоистой оболочки представлена в смешанной фор ме классиче<кой теории однородных оболочек. Влияние факторов: поперечный ¡двиг, инерция вращения, конечные повороты - учитываются со ответственно параметрами Су , С^ , Сб .

Рассмотрен алгоритм, позволяющий определить параметры напряженно-деформированного состояния пологой оболочки с трав: версалыго-.тзотропн'ыми слоями в трансверсальном направления и ее жесткоегные характеристики.

Реализация на ЭШ осуществлена программой "р .5АМ60 " на языке Гортран.

Приведены в табличной форме значения функции ^ (г);

ЦС?), сп (?) и параметров Ср;<Г I $ ; <Я51 Ы, ¿07

при изменении /5,-; /с; То, /V 'Для тРех~пяти слойно1

пакета. ' *

Б третьей главе получены разрешающие уравнения, начальнг и граничные условия гибкой многослойной оболочки из вариацио! ного принципа Остроградского - Гамильтона относительно ортоп нальной криволинейной системы координат.

При отсутствии двухпараметрического упругого основания ( сводятся к ранее полученным уравнениям (16), (20) и граничны; условиям (17), (21).

Уравнение движения (16) и граничные условия (17) при введении функции

ч V

совпадает с уравнением и граничными условиями классической теории однородных гибких пологих оболочек.

При подстановке значения поперечных сил'(р° по (7) в уравнение движения оболочки в усилиях получается уравнение для определения сдвиговых прогибов :

^ ш, ^ - О (23)

Исключением одинаковых членов из уравнения (16), записанного относительно VI* и из (23) установлена связь между операторами этих уравнений:

(24)

которая позволяет определить функцию через' уу* :

'• ' (25)

где ^с - оператор произвольных постоянных, определяемый из граничных условий для .

Общее решение уравнения (16) представлено в, виде:.

^К^^П^ц/а. Я^ТЖЬ^ чи (26)

■ ' 1 с* с- • - "ЛЛГ'

т

где \\Го ~ известное решение уравнения классической теории однородных гибких оболочек; Данное решение получено"путем исключения параметра поперечного сдвига ^ ' и является точ-

ным решением задачи с учетом поперечных сдвигов.

Решение уравнения (16) с привлечений! параметра ^ , полученное из (22) имеет вид

(27)

где Не, - параметр, определяемый на основании аналогии, т.е. из (10) - ;

На основании выражений (5) и (6) для поперечных касательных напряжений получена формула погрешности предлагаемой теории

(¿У СО . Ус Ьса_ I

^ (сч""—1 ~ -:—~ и°0/»Ч28)

позволяющая получить 'решение задач с заданной точностью.

Установлена связь предлагаемой теории с другими имеющимися теориями. Для этой цели был построен вариант теории для однородной прямоугольной пластины, основанной на гипотезе (2):

где- координата, отсчитываемая от нейтральной поверх- . ности пластины.

Данной гипотезе соответствуют:

Ь [-^^п-чЧ^-Г-Ж,] : \ (30)л

/,г

М,%*;■ \а/~ V' и/.

Ь ~Уг

Здесь Ц , Ц, - компоненты перемещений; V/ - функция прогибов с учетом поперечных сдвигов; - функция сдвиговых

прогибов; у/* функция прогибов тгри изгибе.

Общее решение задачи изгиба п&луча-етсй по при " С| = I; £ = п /Ю, когда счигветея независимой

функцией или по (27) при условии сдвиговый прогиб зависимый, т.е. пропорционален прсгибу Щ .

Связь предлагаемой теории -с некоторая» теориями показана в табл.1.

Таблица I

Сравнения теорий

Теория Парам. ! ! Предл. ! Аглбар^умя- 1 Ш 1 1 Рябова Власова Бч 5ч ь. . _____

■ м-

•X, !» 1 № ЧЬ | 'Ъг, ; 'Н ю № - Ъ^ Ю

функции | ш «£;'<£ к; X

Решение задачи многослойной пластины находится по следующим формулам:

- при потере устойчивости

О

- при свободных колебаниях

с;

£>о

(32)

где , й^" - параметры, учитывающие соответственно конечные повороты и инерцию Еращения нормального элемента.

Произведен расчет трехслойного пакета симметричной струк^

туры (рис.2) со следующими параметрами

*

Ш///

\ ©

г8, ш//<

V

в, ь 1! .

Ж. ; а > II

Рис.2. Трехслойный пакет

где -¿( , - безразмерт толщина и модуль упругости несущего (первого) слоя; , Д. - то же самое для заполнителя (второго) слоя. •

Получена формула для вычисления цилиндрической жесткости оболочки

где. Ср - параметр жесткости пакета при использовании гипотезы Кирхгофа-Лява; Ср , ^ - параметры, учитывающие влияние поперечных сдвиго^, принимающие следующие значения при использовании (2):

СГ$ = П7 ^ " ^ ^ " & Г/*~ 01 +

5, (^Щ]-

. .. 21 // = /•' "а**-

При £>« I имеет место гипотеза ломаной линии. Наиболее достоверней результат получается при = В этом случае касательные поперечные напряжения удовлетворяют граничным,контактным условиям и существенно зависят от структуры пакета.

Для обоснования достоверности результатов расчета по предлагаемой теории проведены сопоставления с точными,решениями для однородных и трехслойных пластин, полученными на основе уравнений трехмерной теории упругости. Использованы некоторые известные результаты, полученные на основе других уточненных теорий для задач изгиба, устойчивости и свободных колебаний. Наибольшое расхождение результатов 5,73? для толстой однородной плиты ( /г /сг. = 1/3) при изгибе; -11,06$ для мягкого заполнителя трехслойной плиты Д. = 0,001 при изгибе; 8,7$ для цилиндрической оболочки (/г ~ // = 0,5) при изгибе.

Решения задач изгиба, устойчивости и свободных колебаний многослойных пластин по предлагаемой теории получены при использовании формул (27), (31), (32), с предварительным вычислением параметра /с уравнения (10) на основании установленной аналогии.

В четвертой главе изложены основы расчета конструкций на упругом основании.

Рассмотрена плоская модель упругого основания в виде сжимаемого слоя толщиной Ц . Компоненты перемещений представлены в виде

и, (*„ ъ)Ц• ^ К • Ъ ъ) = " (х)

где функции распределения имеют вид

Здесь 5? - безразмерная поперечная координата; с*, - параметр тангенциальных перемещений;

>'/ ( ^ ) - фу!

лгция прогибо»

поверхности (дневное) 2 «= 0.

Интегрированием уравнений равновесия теории упругости в напряжениях получены зависимости между вертикальными перемещениями и нагрузками, приложенными к поверхности упругого основания

(37)

= £о-А/г; Ъь^к/н,

где /С - собственное число уравнения (10).

При отсутствии касательных нагрузок ( х,) =0 из первого уравнения (37) определяется параметр Ы0 •

Для балки, находящейся, на упругом основании, получено разрешающее уравнение изгиба при выполнении всех условий контакта между балкой и упругим основанием. При выводе основных соотношений для балки использован закон плоских сечений.

Для пространственной модели упругого основания при изменении перемещений по закону (35) получены три дифференциальных зависимости вида (37), где последняя зависимость представлена в форме

Здесь (э - модуль сдвига; - нормальная нагрузка, приложенная к поверхности упругого основания.

Данная зависимость является развитием двухпараметрической МСДеЛ!? Б.3.Вл?.С05? — Н.Н.ЛаОНТЬ1?т,я п-пет ПП7Пст кпгття ЛПП;ФМГ!Я ся ьлияние горизонтальных перемещений, возникающих в упругом основании.,

. Рассмотрена плита произвольной формы относительно ортогональной системы координат, находящейся на упругом двухпарагетри-ческом основании.

В отношении плиты приняты гипотезы

% и, ; Ш); (зд)

п= Ш/в'.

Здесь параметр поперечного сдвига; и, - угол поворота

плиты; В,° - параметр касательных напряжений на поверхности упругог'о основания, опредэляемый формулой

_<'-_ /"х ¡г о-?) ±_ //

. Л ' £ *. з* о-л» л Ц : (40)

г

Разрешающее уравнение для решения задач изгиба, устойчивости и свободных колебаний плиты представлено в виде

Е0-(тР, .РА -»У*

п

(41)

Здесь £ , б" - плотность, величина сжимастрго напряжения для плиты; , вс - то же самое для основания; I- (//а%ц/ ) -оператор, определяемый по формуле (16); Р< , (¿. ~ параметр«, зависящие от характеристик упругого основания.

Отмечено, что уравнение (41) можно использовать для исследования симметричной формы потери устойчивости или свободных колебаний трехслойной плиты.

В пятой главе излагаются алгоритмы численного решения задач изгиба, устойчивости и собственных колебаний пластин и их реализация на ЭШ.

Рассмотрена многослойная гибкая прямоугольная пластик/*, загруженная"по контуру, уравноветанной системой произвольных

нагрузок (нормальных, касательных). Края пластины упруго защемлены и могут искривляться в ее плоскости.

Разрешающие уравнения (16), (20) при отсутствии температурного фактора и инерционных сил на основании метода конечных разностей представлены в матричной форме

(42)

где р ,УУ - векторы функций усилий и прогибов, составленные из .значений^ и (V в узлах сетки, лежащих внутри области пластаны; Р ( ) - вектор свободных членов,' составленный из значений контурных нагрузок, лежащих на контуре пластины;

Р ( Щ ) - вектор, составленный из значений оператора С (£" у\'/ определяемого по (20), в узлах сетки, лежащих на контуре и внутри области пластины; /} , С - квадратные матрицы, составленные соответственно из коэффициентов при значениях Р и

ИГ ! б - квадратная матрица, составленная из коэффициентов при значениях параметра 1С ; , /с - параметры, определяемые выражениями . *

(Ъ аС/-^) &Е-Уе , (43)

В ^.Г ' Я.

Здесь ¡)0 , ¿0£ , ^ , ¿у? - параметры многослойного пакета;

- ИЭГ СеТКИ ПО Вертикальной ОСИ; 7) - цилин^ичеилеап люй-Г-кость многослойной пластины. '

Решение системы уравнений (42) шаговым методом реализовано на ЭВМ. Составлена программа " Р .ВАМ//К" на алгоритмическом языке Фортран. Ее входными данными являются: параметры величин внешних нагрузок; параметры, определяющие положение нагрузок; параметры граничных условий; число делений сеточной области; отношение сторон пластины; параметры пакета пластины.

Рассмотрена круглая плита, расположенная на поверхности упругого основания. Разрешающее уравнение (41) на основании методе конечных разностей при использовании радиальной сетки

представлено в матричной форме

( А-ос^Ьо-Е-^-С' в) <*/• р,

( И)

где Ц/ - вектор функции прогибов, составленный из значений № . в узлах сетки, лежащих от центра до края плиты включительно; /? - квадратная матрица, составленная из коэффициентов при значениях прогибов операторов&Н' );

<5 - единичная матрица; 8 - квадратная матрица, составленная из^ коэффициентов при значениях прогибов оператора £ {Л/", IV );

Р - вектор, составленный из значений внешних, нагрузок; ,

, с(° - числовые коэффициенты, определяющие тип решаемых• задач.,

Решение (44) реализовано на' ЭЕМ с помощью программы

» Р. ълкеЬ*.

Входными данными программы являются: число делений половины плиты; число узловых диаметров; коэффициенты Пуассона для плиты и основания; модуль сдвига плиты в трансверсал! ном направлении; отношение толщины плиты к толщине упругого основания; отношение толщины плиты к ее радиусу; признаки рглае-

мых задач; параметры граничных условий; параметры, реализующие различные модели упругого основания.

Рассмотрен многослойный конечный элемент с двенадцатью степенями свободы (рис.3).

Функция прогибов представлена в виде полинома

Рис.3. Конечный элемент

(45)

где 8 - вектор узловых перемещений; ^ ' - транспонированный вектор координатных функций. Приведены выражения ксординаткых

функций, где ^ ( , у ) имеет вид

^ у)=4 (*э (1-У)+ЦШ'-*) -с

¿ Сое) = Л *3~з I; f, /; (46)

о- _ . -Ч - -3L- . •

"о" • ё

Здесь ^ ( * , у ) представляет собой форму изгиба конечного элемента, обусловленную фактором * I,

Составлены Еырйяения потенциальной и кинетической энергии; работы внешних сил с учетом факторов (поперечный сдвиг, инерция вращения, упругое основание).

На основании принципа виртуальных работ получена зависимость между векторами узловых реакций и перемещений конечного элемента

я = !<: 6 ; К- К,- (47)

где К - общая матрица жесткости; К, -матрица жесткости при изгибе с учетом поперечных сдвигов и реакций упругого двух параметрического основания; - матрица жесткости при потере устойчивости; - то же самое при свободных колебаниях с учетом инерции вращения элемента; /С - параметр нагрузки; Kui • параметр свободных колебаний, ■ ■

Алгоритм расчета многослойных пластинчатых конструкций на упругом основании реализован на 3I1Í. Для этой цели составлена программа " F . SAFEM " на fлгоритмическом языке Фортран. Ее входными данными являются: количество элементов; количество узл1в; координаты узлов относительно общей системы координет; массив топологии элементов; массив топологии подкрепляющих элементов; массив топологии гряничн!."х условий; массив значений цилиндрической жесткости элементов; массив топологии загруженных элементов; параме\ри многослойного пакета; признаки решаемых задач; параметры упругого основания.

В шестой глаье изложено применение аналитических методов к расчету многослойных пологих оболочек и пластин.

Рассмотрена пластина с круговым отверстием, загруженная равномерно распределенным моментом в одном направлении. Пу-

тем решения основного уравнения (16) в полярной системе координат определен коэффициент концентрации напряжений:

О-З) X о*?)

где £ - параметр, учитывающий влияние поперечных сдвигов определяется формулой (15).

Для однослойной трансзерсально-изотрошой пластины имеет

место

где./с - безразмерное собственное число уравнения (10), определенное на основании аналогии; А., сг - толщина пластины и радиус отверстия; <§' - модуль поперечного сдвига. При (С 0 имеем ^ «= 0. В этом случае результат совпадает с результатом классической теории.

Исследованы вынужденные колебания гибкой прямоугольной многослойной пластины при действии периодической изменяющейся поперечной нагрузки. Края пластины шарнирно оперты и свободно смещаются в плоскости опорного контура, оставаясь прямолинейными.

На основании уравнений (16) и (20) получено уравнение, описывающее нелинейные колебания пластины

Ч- Т- соьш-е,

с(±г

где параметры вычисляются по следующим формулам

Пер

(50)

г -Я ■ /у,г Л".Г . -Р ^ •

1 = —' 5" ^ ' л» ■ ■ (61)

Здесь "р - величина сжимающей силы; - круговая частота малых колебаний; ¿¿V - то же самое с учетом сжимающей силы;

.у , - амплитудные значения прогибов и нагрузки; «ч , -числа полуволн в направлении осей . я:, и ; с?, , - стороны пластины вдоль этих осей; ¿О - круговая частота внешней нагрузки; , в > > Сз - параметры, зависящие от структуры пакета.

При интегрировании (50) по полному периоду колебаний получается зависимость между частотами вида

где А - безразмерная амплитуда.

Как частный случай из (50) получена зависимость

-О-у V ^

между нагрузкой и стрелой прогиба при действии статической нагрузки. И величина сжимающей силы в закритической стадии

/б -л. Г . 5 (54)

Произведен расчет цилиндрической многослойной оболочки, шчрнирно опертой по торцам в линейной постановке.

На основании уравнений (16), (20) получены решения задач I) устойчивости при осевом сжатии

1 ■ (г,г)

^ Ж-

й*- . Г) /77,7- Д

у ~ С'-т ;

2) собственных колебаний

3) устойчивости при внешнем давлении; 4) изгиба при действии гармонической нагрузки; 5) весового анализа трехслойной оболочки симметричной структуры при осевом сжатии. .

Здесь (г , £ - толщина, радиус и длина оболочки; П?, - число полуволн по длине оболочки; число полных волн по окружности; Е, , Л - модуль упругости и коэффициент Пуассона первого слоя пакета.

• Рассмотрена гибкая пологая многослойная оболочка, прямоугольная в плане. По контуру выполняются условия шарнирного опирания.

На основании уравнений (16), (20) получена зависимость "нагрузка - прогиб" ' в безразмерной форме

Тъ

У

(57)

где параметры /? , в , С зависят от структуры пакета, числа полуволн в направлении координатных осей, кривизн и размеров оболочки. Определено предельное значение кривизны, при котором возможно прощелкивание оболочки.

Установлена зависимость "амплитуда прогиба - частота", позволяющая исследовать поведение оболочки при различных значениях кривизн и нагрузок,

В седьмой главе изложены численные результаты по расчёту пластин, полученные с использованием программ, описанных в пятой главе.

Рассмотрены квадратные гибкие пластины (однородная, трехслойная), загруженные: равномерно распределенной нагрузкой в горизонтальном направлении; касательными усилиями по контуру

пластины;' касательными усилиями на части контура. Граничные условия реализованы в виде шарнирного опирания или упругого защемления.

Определены предельные значения параметра нагрузки в за-критической стадии. Вычислены значения мембранных и изгибных напряжений в характерных точках пластины.

Установлено , что при действии касательных усилий по контуру пластины могут нести нагрузку пойле потери устойчивости, превышающую 1,73 раз для однородной пластины по классической теории; 1,88 раз для однородной пластины с учетом поперечных сдвигов; 1,67 раз для трехслойной пластины.

Рассмотрена круглая плита на упругом основании. Решены задачи изгиба, устойчивости и свободных колебаний при изменении модуля упругости и толщины упругого основания. УстаноЕ лено, что при использовании пространственной модели, плита менее податлива, и в ней возникают моменты по величине, превосходящие моменты, вычисленные на основе других моделей.

Численные результаты показывают, что на работу плиты,-лежащей ,на упругом основании, существенно влияют горизонтальные перемещения, возникающие в упругом основании; силы сцепления между плитой и упругим основанием.

Результаты по расчету -плиты на устойчивость и собственные колебания можно использовать при расчетах трехслойной пластины симметричного строения при симметричных деформациях относительно ее нейтральной плоскости.

Рассмотрены расчеты квадратных пластин (однородных, трехслойных) с использованием программы, реализующей метод конечных элементов.

Результаты для шарнирно опертой пластины, загруженной равномерно распределенной нагрузкой показывают, что параметр поперечного сдвига 2 существенно Елияет на величину реакции. Для трехслойной пластины прогиб возникающий в центре при £ « 0 (классическая теория) отличается от прогиба при £ в 0,46 на 0,86%. Этр означает, что для вычисления прогибов, возникающих в трехслойной пластине можно использовать решение задачи согласно классической теории по формуле (27).

Получены решения задач устойчивости и свободных колебаний для .квадратных пластин со свободными и упруго податливыми краями.

Показано, что результаты задач устойчивости пластин, сжатых в двух направлениях равномерно распределенной нагрузкой можно использовать для определения собственного числа уравнения (10) с целью определения параметра С. , входящего в цилиндрическую жесткость многослойной оболочки.

ЗАКЛЮЧЕ.НИЕ

Основные результаты, полученные в диссертации, сводятся к следующему:

1. Разработана новая теория, многослойных гибких пологих оболочек и пластин, предназначенная для решения широкого класса динамических и статических задач с привлечением аппарата классической теории однородных оболочек.

Предложенную теорию характеризуют:

- применение криволинейной ортогональной системы координат;

- трансверсально-изотропные слои с существенно различными толщинами и физико-механическими характеристиками;

- учет деформации, поперечных сдвигов без введения дополнительных функций;

- искривление поперечных сечений оболочки по нелинейному закону;

-. совпадение основных соотношений с соотношениями классической теории оболочек;

- зависимость цилиндрической жесткости оболочки от параметра поперечного сдвига;

- независимость числа и порядка разрешающих уравнений, совпадающих с уравнениями классической теории, от количества слоев, удовлетворение условиям их контакта;

- использование статико - геометрической аналогии для получения уравнения и граничных условий'относительно функции усилий;

- получение формулы погрешности для вычисления поперечных касательных напряжений.

2, Произведен анализ разрешающих уравнений разработанной

теории с целью получения ее частных случаев:

- статического-изгиба пологой слоистой оболочки при малых прогибах;

- вынужденных колебаний гибкой слоистой круглой пластины;

- изгиба слоистой оболочки при действии температуры;

- устойчивости слоистых пластин с учетом конечных поворотов;

- свободных колебаний цилиндрической оболочки с учетом инерции вращения.

Установлена аналогия между уравнением перехода сдвигового состояния оболочки в состояние изгиба и уравнением устойчивости пластины, позволяющая определить собственное число первого уравнения из готового решения второго, входящего в выражение параметров поперечного сдвига и цилиндрической жесткости оболочки.

3. Выполнен сравнительный анализ числовых результатов • задач изгиба,, свободных колебаний и устойчивости пластин -

с данными расчета по уравнениям трехмерной теории, с некоторыми известными в литературе результатами экспериментов и расчетов по уточненным теориям. Наибольшие расхождения в пределах 7-115? оказались для случаев толстой плиты и очень мягкого заполнителя трехслойной пластины. Получено в явной форма, выражение относительной погрешности вычисления поперечных касательных напряжений, зависящее от структуры пакета и типа граничных условий оболочки, позволяющее установить предельное значение относительной толщины оболочки. Тем самым обоснована достоверность предложенной теории и установлена область ее применения.

4. Разработан алгоритм расчета конструкции на упругом двухпараметрическом основании, основанный на гипотезе, учитывающей поперечные сдвиги плиты и силы сцепления между плитой

и основанием. Модель упругого основания в виде модели В.З.Власова и Н.Н.Леонтьева позволяет учитывать факторы (поперечный сдеиг, обжатие, давление слоев), возникающие в упругом основании.

5. На основе уравнений предложенной теории построены

аналитические решения задач свободных и вынужденных колебаний, устойчивости и изгиба слоистых оболочек и пластин. В частности:

- для задачи изгиба слоистой платины с круговым отверстием при действии распределенных моментов определен коэффициент концентрации напряжений;

- для задачи вынужденных нелинейных колебаний прямоугольной слоистой пластины при неискривлящих краях получена скелетная линия жесткого типа;

- для задачи устойчивости многослойной цилиндрической оболочки при действии внешнего давления и осевых нагрузок получены выражения критических нагрузок;

- для задачи напряженно-деформированного состояния гибкой многослойной пологой оболочки, прямоугольной в плане получена зависимость "нагрузка-прогиб".

6. Предложенная теория реализована на ЭШ в виде программ, написанных.на алгоритмическом языке Фортран, основанных на алгоритмах:

- вычисления функции распределения параметров и жесткост-ных характеристик многослойной оболочки;

- расчета гибкой многослойной прямоугольной пластины при действии произвольных уравновешенных сил по контуру методом конечных разностей;

- расчета круглой плиты на упругом основании на изгиб, устойчивость и свободные колебания методом конечных разностей; .

- расчета слоистой пластинчатой конструкции на упругом основании с отверстиями и ребрами жесткости на изгиб, устойчивости и свободные колебания методом конечных элементов.

7. Предлагаемая теория является развитием и теоретическим обобщением существующих уточненных теорий слоистых пластин и оболочек, позволяет использовать готовые результаты по расчету однородных оболочек при расчетах соответствующих многослойных оболочек с целью экономии времени и сокращения трудоемкости расчета, способствует созданию эффективных конструкций, используемых в различных отраслях современной техники.

зс

Основные теоретические положения диссертации отражены в следующих работах:

1. К построению теории расчета балок // Теэ.докл УШ республ. ыежвуз. научн. конф. по матем. и мех. - Алма-Ата, 1984. - С. 113-114.

2. Метод конечных.элементов в строительной механике стерж невых систем: Учебное пособие. - Караганда, 1984. - 60 с.

3. Об одном варианте теории изгиба трансверсально -изотропных пластинок // Численные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. - Караганда, 1987. -С. 92-97.

4. Основы расчета многослойных балок на изгиб //Оболочки и пластины. - Караганда, 1987. - С. 57-63.

5. Расчет круглых пластин на изгиб с учетом деформации сдвига // Гидравлические импульсные системы рабочих органов строительных и дорожных машин. - Караганда, 1987. -С. 63-67.

6. Изгиб трансверсально-иэотропной пластины с круглым отверстием // Строительная механика. - Караганда, 1988. -С. 6-9.

7. Устойчивость прямоугольной трансверсально"-изотроп-ной пластины // Строительная механика. - Караганда, 1988. -С.61-64.

8. К расчету многослойных гибких пластинок. - Караганда, 1988. - 9с. - Деп в ВИНИТИ, 24.02.88, №1468 - В88.

9. Об одном варианте теории многослойных гибких пологих оболочек // Изв. АII Каз.ССР. Сер. физ.- матем. - 1989, №3. - С.78-81.

10. Колебания трансверсально-иэотропной пластины. -Караганда, 1989. - 6с. - Деп. в ВНИИИС, вып.7, 1989, №9701.

11. Учет поперечных сдвигов при определении термоупругих состояний пологих оболочек. - Караганда, 1989. - 7с. -Деп. в КазНИИНТИ,^ 15.03,89, №2370.

12. К расчету пологих оболочек симметричной структуры. - Караганда, 1989. - 6 с.- Деп. в Каз.НИИНТИ, 15.03.89, »2369.

13. Метод конечных элементов в расчетах слоистых конструкций. - Караганда, 1989. - 14 с. - Деп. в Каз.НИИНГИ, 10.01.90, V 2969.'

14. Об одном подходе к расчету плит на упругом основании. - Караганда, 1989. - 14 с. - Деп. Каз.НИИНГИ, 10.01.90, № 2968.

15. Об одной динамической модели пластины // Теоретические и технологические аспекты создания и применения силовых импульсных систем: Тез. докл. Всесоюзной научн. - практ. совэщ. П-СЗ сентября Г990 г. - Караганда, 1990, - 4.2. -С. 216-218.

16. Варианты уравнений балки в уточненной постановке , //Наука - производству. - Караганда, 1990 - С.176-186.

17. Об одной модели пластины // Совершенствование строительного производства. - Караганда, 1990, - С.155-160.

18. Расчет изгибаемых балок с учетом поперечных сдвигов //Строительная механика. - Караганда, 1991. - С.53-57.

19. Анализ уравнений изгиба пластины в уточненной постановке //Научно-технические разработки для прогресса строительства. - Караганда, 1992. - С.72-77,

20. Аналогия для задачи поперечных сдвигов стержней //Труды КарПТИ (строительство). Вып. Г., - Караганда, 1993. - С.4Г-44.

Подписано в печать 18.04.94 г.. Формат 60х84*/16 Печ.офс. И-73 Объем 2 учтизд.л. Т.100 ЗаказБесплатно

Московский государственный строительный университет. Типография МГСУ. 129337, Москва, Ярославское т.,26.