автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Статистическая динамика элементов конструкции с упруго-пластической характеристикой

Ч '"! ?

,1\и л< • 7

ГОСУДАРСТВЕННА КОМИТЕТ РСФСР ПО ДЕЛАЫ НАУКИ И ВЫСШЕЙ ШКОУШ МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНШЕНЕРНО-СТРОИТМЬНЫИ ИНСТИТУТ им. В.В.КУИБШЕВА

На правах рукопиаи УДК 624,042.8

ШЗДИНОС 80ОХАРИС СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ

® УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ (специальность 05.<¿3.17 - "Строительная механика")

АВТОРЕФЕРАТ

на соискание ученой степени кандидата технических нвук

Москва - 1992 г.

Работа выполнена в Московском инженерно-строительном институте. Научный руководитель: доктор технических наук

[ Макаров Б.П. | Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Никитин Л.й, кандидат технических наук Ызняйлов А.И.

Ведущая организация: кафедра Механики Сплошных Сред ЮТИ

Защита соотоится "5"" Мо-Я 199авв часов

на заседании Специализированного Совета К.053Л1.06 при Московском инженерно-строительном институте

Адрес : Москва, Шлюзовая набережная, д.8.

Аудитория 409

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского ин женерно-строительного Института.

Автореферат разослан "_"__19% г.

Ученый секретарь Специализированного Совета К.053.11.0б.к.т.н.

Доцент

(Н.Н.Анохин)

ашлд мраушшш

Актуальность теш: Конечной целью вероятностного раочвта строительных и машиностроительных конструкций является онредо ленда вероятности возчикновения событий откаэа в том или другом смысле (отказ по критериям прочности или жесткости, нарушение условий норм^ьной работы системы, усталость п.т.д.).

Часто при анализе конструкции, которые находятся иод действием случайных нагрузок большой интенсивности (как, например, ветер, землетрясение) требуется рассматривать, неупругое поведение материала. Это обычно делается с учетом различных законов пластичности, описывающих поведение систеш точнее чем линейный закон (среди них заметим идеально упруго-плаотичаокую завиои -мость, билинейную жвсткопластическую модель, модели о дегра-дируицей жесткоогью). Расчет при таких предположениях значительно усложняется. Главная трудность состоит в том, что имеется неоднозначная зависимость между динамическими, кинематическими переменными оиотемы.

С математической точки зрения речь идет о системах с гиотв резисом, анализ которых в качественном и конструктивном плане имеет большие трудности, которые до сих пор не преодолены.Кроме того, статиогика перехода от одного состояния в другое,-вообще говоря, неизвестна.

До сих пор, не разработан метод, позволяющий точно определить вероятностные характеристики переменных, которые характери зуют работу систеш.

Поэтому исследование статистической дань,.тки систем о упру го-пластической характеристикой представляет собой один из самых актуальных задач прикладной механики.

Недь ррдкии. Целью работы"является развитие метода определения вероятиооткнх характеристик для системы о одной степенью свобода, у которой зависимость обобщенной силы от обобщенной координат имеет идеально упруго-пластическую характеристику.При этом, случайная нагрузка принимается в форме, экспоненциально коррелированного случайного процесса с нулевым математическим ожиданием.

Путем применения теории систем переменной структуры пишутся обобщенные уравнения типа Фоккера-Планка-Колмогорова для упругого и пластического, режима работы. Потом выполняется корреляционный анализ, позволяющий определит* векторы математического ожидания и матрацы корреляции для упругого и пдаотичеокого соотояния.

Вероятности нахождения в реишах упругой и пластической работы определяются путем использования подходящего предположения и результатов численного эксперимента. ...

Таким образом, вовмоано определить первые и вторые моменты для перемещения, скорости и ускорения от обобщенной координаты.

В последнем этапе вти результаты используются для приближенной оценки вероятности сохранения работоспособности простой строительной системы яри предположении, что плотность распределения подчиняется нормальному закону.

Научная новизна работы 'заключается в построении методики, позволявзцс.2 выполнить корреляционный анализ системы с упруго -пластической характеристикой путем применения теории мульти -структурных ОлСТСл*

Методика исследований. Теория динамических систем переменной структуры, численный эксперимент.

Пиитическая ценность исследований состоит в долучении результатов, позволяющих выполнить приблизительно вероятностный раочег уируго-пластичеоких конструкций, при условии, что ока могут быть идеализированы в форма одномассовой оиствмы с

идеально упруго-пластической зависимостью. Кроме того, работа с

дает возможность о помощью расширения фазового пространства возможно рассматривать и другие законы плаотичности, более близкие к реальному поведению конструкций, как например, билинейный, жеоткоплаотический, зависимости о деградирующей жесткостью. |

• Заметим еще что имеетоя широкий класо задач прикладной механики, которые допуоглют постановку в рамках теории' мульти -структурных систем. В качестве примера приводим задача динамики сиотем о односторонними связями, у которых нагрузке или параметры оистемы имеют случайный характер.

Апшбрпия работы и публикации. Представленные в дисоертации исследования проводились на кафедре "Строительная механика" Московского инженерно-строительного института (МИСИ). Основные результаты диссертационной работы били доложены в аспирантском семинаре кафедры "Строительная механика" МИСИ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из трех глав и трех приложений, содержит б ? страниц основного текста. Список литературы включает наименования.

смешив шт

Зо вв^ддиии дается обоснование актуальности, новизны, практической ценности работы, описываютоя цели доследования и структура работы.

В первой удаве рассматриваются общие вопросы анализа механических систем с гистерезисом.

В 8 1.1. проводатоя классификация задач прикладной, механики, решение которых требует рассмотрения гистерезисных заш~ оимоотей. Речь идет о: .

, - эвдачах динамики упруго-пластических конструкций,

- исследовании механизмов потери . анергии из-за внутреннего трения материалов,

- динамике гироскопических приборов, которые имеют ввело типа "реле".

Далее, в этом параграфе ошаснвавтся методы трактовки таких систем: ' • ''

Имеются два направления анализа. Первое - вто попытка найти единое функциональное выражение для гистерезисной нелинейности. Габотн такого типа условно можем разделить на две части: первой части принадлежат исследования инженерного характера, которые приводят к дифференциальным уравнениям, имеющим в качестве членов или коэффициентов разрывные или обобщенные функции. Авторы не рассмотрели математические аспекты решения таких систем, для, которых. классические теоремы по существованию и единственности задачи Кош неприменяемы. {см С93)

Вторая часть - это работы математического направления,принадлежащие группе М.А. Красносельского. С помощью методов функционального анализа строится специальный нелинейный,нестацио -

нарннйоператор, который именуется гистерон. Далее исоледуютоя такие сройохва этого оператора, как устойчивость относительно малых шумов, монотонность и т.д. о применением которых выясняются важные ьспекта аачеотвенного анализа этих ои<к<ш.^с.м СчЗ) Второе направление - это расширение фазового ьроогранства

дополнительными переменными, чтобы обеспечить однозначность опи-«

сания системы. Там.:: образом, движение мучается в расширенном фазовом пространства к переход от одной чаоги фазового пространства в другую соответствует переходу от одного режима работы в другой. Такой способ описания движения онохда более удобен,поскольку вовникапщие уравнения для каждого ооотояшш работы но имеет разрывных членов н часто явшшгоя яилоСшши.

В § 1.2 речь идет о вопросах статкотической динпмпкд систем' о гисхерезионоЯ характэрясТЕкоИ.

Главна* трудность состоит в том, что переходы от одного . состояния в другое представляют собой точечный случайный про-песо с двойной случайностью, статиотшш когорого неизвестна заранее. Кроме того, процесс выхода,вообще говоря, является нестационарным, поскольку структура сиотевд меняется по времени.

По-видимому, единсгвенпый способ трактовки таких задач соотоит в применении методов анализа мультиструкгурных систем, которые возникли в связи о решением задач автоматического управления систем переменной структуры, (с** С Sjf C(j)

Таким образом, уравнения для парвих функтдай плотности принимает вэд обобщенных уравнений 1<жке;i-Планка-Колмогорова. То есть "стандартные", однородные уравнения £Г' дополняются членам, которые выражают потоки плотностг вероятности между состояниями системы.

î»

Для решения системы можно применить общие метода решения уравнений ЙЖ. ' ■

1&КЕМ образок принципиально можно решить любую задачу такого типа.

В 5 1.3 определяется цель диссертации. Она состоиг в исследовании следующей системы: .''.-.

¿V 2еи+ и)

где{

ш - процесс выхода, вмещай смысл обобщенного .

''Перемещения.'' ■

Й6; - ковффицнент демпфирования Р(ь) - обобщенная сила восотанозления, имеющая упругот пластическую вависимость от О (4) о пара г-ыеграми к, ( к - коэффициент уп-

ругости* - значение перемещения при

достижении предела текучести)

№

- внешнее возмущение, которое является окрашенным ' шумом, шшщш

Начальные условия принимаются нулевыми.ч: ^ Требуется найи статистику процесса выхода (а (и1 и)

Во-второй главе выполняется корреляционный анализ системы (I) путем расширения фазового пространства.

В 2.1 излагается план решения задачи, который состоит

V ■ ' ■ ' - ' • 1 -

Э.оледупцйх шагах:-,

\ Вэ-первнх необходимо обеспечить однозначное описание зависимости между обобщенной силой и обобщенным перемещением. . ^Это делается о помощь«) замены переменных

которая предполагается в работе ^ для анализа различных моделей пластичности. Переменные % и ^ изменяются в следующих пределах: — Ы& ; — < .У <А>

То еоть переменная ОС меняется от —■ и* до Кц. , когда упругопластичоский элемент работает на наклонных участках по линейному заколу. Переменная описывает движение сис-

темы в пластическом состоянии. Бела движение происходит в нап-

• >

равлении положительного течения, то , ЭС —

В противном случэв имеем , Х^-М* . йким

образом, исходное уравнение (I) линеаризуется

+ З+Зеу^М (з)

После поотановки девой,части (3) в уравнении фильтра получаем ^ .. • . . ,

+ в, У~ 4 5* в,;, щ 1

Т

где:

I ¿'/¿о/

Начальные условия принимаются нулевыми, то еоты

(*(.), Ш, (?/ в>

Ро-вторых выполняется корреляционный йнализ'в шэстимерноы

фазовом пространство переменных ^^ ¡4$, ,

(ОС/Х) ^/ 3) У0 свль° 0ПР®Делигь моменты первого и второго порядка душ векторе • -

Последний оа!,состоит в определении вектора натематячво- . ких ожиданий . .

корреляционной гагрицы

I /^им ^«.А > кии

кии

которые позволяю? соотроить геуссовую апроКсимацию дня функции плотности распределения р^с/^с^и^) - ,

§ 2.2. посвящен выводу-основных уравнений. Система имеет следувдие состояния (структуры); --'.' !

а) совокупность состояний ( в.'» V ) : ^ . система работает го линейному закону на наклонном участке,который находится в расстоянии ' от начале координат'}

. б), Состояние (2). Система совершает течение в воложител-.-юм направлении;

,»)•Состояние (3). Система совершает течение в отрицатель-юн направлении.

Уравнения движотл каждого состояния а нормальной форме 5овга таковы:

■ Для состояния ( ) ;.

«1»УМ-+

Дня 00стояния (2) .

(¿4*0

й^о

«6 V Iиг

Для состояния (3)

й^о Ц^О

йч^г

— 4ф-

Соо^вегствеино, система обобщенных уравненгй .ФПК принимает вид: , ¡'

1?-•■ д ^ тг СМ + <2 С?>+) V '

Н -...V-. - .Г- ;/,,

^ ^ } Щ

Здесь ч г , > г'-ч ) Щ ¡ предотавляют собой сумму Лнъмню потоков птогноотей »ороятнооти для .состояний С б') У" ) : , (2), (3) соответствен»). фоне, того:,

— /í-

Эти уравнения дзполнявтоя краевыми уоловиями: i'

* (itíb.) **0 Т К ^ (?)

v f ^(Ч)

Р <$•>)= 2 о ' «Г«

По »там уравнениям

выполним следу кь

щие преобразования: . ,

Do-первшс будем шп-егрирэвагь уравнение ( -С ) ко параметру Т*

• Во-вторых сложим почленно уравнения ( 6 ) и )

Тогда вводя обозначения • vía?

Yh-O* - ' Va-A»

p V J ^ 77 _ j 77-

;'/. г*-** ■

^ ¿f'l a*'»

Получаем уравнения относительно функции плотности распределения в упругом и в пластическом режиме работы: '

- ± Ж* тг + Я С/О-

у»' -Фу0 ^

о краевыми условиями соответственно

, - ■ Я**"

1>*(р0а,о) ло

В § 2.3 выполняется корреляционный анализ уравнений

дм этого сделаются рледукцае предположения относительно формы функции потоков плотности вероятности . .

одесь (+)/ ' -вероятности нахождения э упругом

и пластичес; ом состоянии в момент времени

Тогда из уравнений (41) ( О1-) о учетом &)((№)

и соотношений ..'■''

' Следует сиотема уравнений для нормироаанных плотностей распределений

- - Л* с")

Выражения стрл-и-^Ь. для дивергенций'сохраня-

ются только в месте ^ (#0 ^ Надо писать "

р соответственно.

Уравнения для моментов первого порядка пластического режима работы таксон

СрО ^ Си)

» оО б*»-) 01 съгг'я <х*\й

* (р() „ ф) л

Эта однородная система дифф. уравнений при нулевых начальных" условиях дает ; ,; > \

,,) СйО (ро

сгчр'к*, = о , со

Кроме raro: " 'L/

fm,c"l f u')>°> ^"f

ПО8ТОМ7

Cet) CW «

(cmï*i ) Л ^ Ш >

ä С**

Снотвыа дифференциальных уравнений доя моментов второго порядка

■'V, /Гцу a SAfyr -

К 2>'¿. ¿^

¿V До » t^lß

/•Л»// / UO a о L (")

Iеff, - - Л ~ О»

Решая систему о -предположением что - «о. при i , J x^t получаем корреляционную мэтрицу

i

(/» « О в

С О О

О о

о о о

tlë)V

% ;

НШ*«)

э

Далее, выполняется оореднение для линейного режима работ». Для этого будем искать решение в форме:

Ks/S^ в (ц<)

Сделаетоя предположение, но п^ ««»у *» * <*""<- > -тр ¡4 f>4(«i) симметричная. ■■

После интегрирования по if4 оТ ***

шветоя»

t 7

.. Видно, что

CCf) , _• _ л7"

Ыг)

. у «

=2. (о, *( >0)

/равнения для вторых моментов имеют вид; с<и> А I С&()

}<хх ' % ^ ч ret)

-а

LM) L«1>

f at) кяч °

с.

Иэ 9того получается:

: г со л.

/г1у /

о

Первые три уравнения допускают стационарное решение

г

ад.

Следовательно,

- ' "> Ч"Г

ОСП т (.0,0,0,

о о О > о

¿о»

о

о о

■6"

о

о о

о о

В § 2.4. иалагрчтся окончательные форчулыддя {Ы^ и /Сд*у . (вычисление моментов первого и второго порядка вектора ¿с и.(и,Ск,ч) делаетоя в приложении I). Они имеют вид .

, (нУ

В §'2.5 В роли

т.е. вероятностей нахождения в упругом и в пластическом режиме.

в момент времени £ возьмутся едедующие функции (е*

РцН-У

Здзоь - свободный параметр. Его можем найти приравнивал диоперсио , которая дается корреляционным анализом к экспоримзн-тальной дисперсии ри , которая получается в результате «моленного эксперимента. То есть для конкрэтного момента времени ^ , уравнение

позволяет определить Iх

В }2.б. опрадвляетоя коэффициент . Дяя этого были выполнен« на мошне ЕС-116С БОС прогонов системы входными данными 2.4 «-о! к*.*, V ^•¿■»«•з

рЛя получены три гистограммы при £ » 6СЧ>, 15(41, 3000.1 28ЭД ( результаты вычисления дате я в приложении Л) • Гистограммы |даюг следующие значения для экспериментальной дисперсии:

Значения.для Дд. получатся соответственно: ^ (600) = О.ООй, [ь (1500) » 0.ССС5, /«.(ЗОСи) = 0.СС04

При уя. « 0.ССС45 получаем'достаточно удовлетворительные

результаты: ^

Со о С.4ЧШ1 с* ГА

3«во 11СЦ4ГГ

I) Формула для дисперсии имеет вид:

рда е-К О-е-Ье-^ <-*/*•>

а) при А^« 0 имеем А«.;« О, т.е. нулевой нагрузке и нулевым начальным условиям соответствует нулевая дисперсия выхода;

б) при имеем:'

Это согласуется о результатами моделирования, которые дают возрастаниэ дисперсии при -¿-Ъ С См, С<* 13 )

в) можем выполнить сравнение с дэсткоштстической зависимостью. При в« » чтобы ' Кч»-* Я* имеем:

Г/

Следов сильно:

к <«'/ Ь___

Талой вывод правильный в качественном плане , потому что пр:! работе жесткопласгичеокой системы на ве^.шальных участках дис-

Персия равна нулю, поскольку ОН) = . Следова -

тельно.оставтоя член от пластического режима работы, который сохраняется в формуле

, г) Рассматривается зависимость дисперсна А*. от коэффициента демпфирования сиотемн. ,

При о / ; Следовательно, если

ковффицяент демпфирования нулевой, то процеос выхода представляет собой колебание, которое растет быстро, отреыяоь к беско-цечноога. Если наоборот «?е & , то

При. имеем;

'Ясно, что при больших значениях коэффициента демпфирования влияние элемента амортизатора преобладает и подавляется влияние упругопластического элемента. Для -Ь-р^о дисперсия стремится асимптотически к значению, определяемому формулой- (" ) В диссертации построены графики зависимости ^ а. у- при

В главе 3 речь идет об использовании результатов предыдущего анализа для оценки надежности конструкции.

.," В роли тестового примера рассматривается следущаг. сио- . тела:' ! '/.'' £' , ,. .

т

I

Ф

I

© <ЧшХ

Стерхень I ' дейотвует как влемент - ашртяаагор с; ковффкдаантом двыпфироввнжя , отерженъ 2 как

упругопласгичвокий меывт параметрами к, и* . АБС очитается абсолютно жестким, .

Уравнвнве данашчвского равновесия имеетвад:

Здесь, и *. АШ„-1) , с<+ Л

Допуотки, что для обеспечения беэоясамюй работе, необходимо, чтобы в каждый момент времени от О ^Ь Т удовлетворяется условие

НФ)1£Оя,}>5>*

Здесь, 1»»,^ - значение перемещения гочп В при достижении которого система выходит из режима нормального функци-

онирования к оисаеной работы.

- нормативное значение вероятности бее -

Гауооовая аппроксимация позволяет выполнить приблизительно оценку вероятности следу идям образом:

Доотаточно удовлетворить условии

V , ' _ .....

но

Интеграл вероятноота вычиолявтоя путем раэлояения в ряд по форму«» о -а •

Шочет при 2.£ ^ 0,1, и*.* I, « 0,1, Ы. « 0.1

"5, У* - 8$ ^ег •

^ . 900 1000 1500 1600 1800

(Р&); ^ 78;е

— гг.—

выводи

I.. Разработан метод определения вероятностных характеристик системы с упруго-пластичаским элементом при случайной нагрузке в форма экспоненциально коррелированного процесса с нулевым среднем значением.

2, Выполнен корреляционный анализ и определены вектор математи/ чвского ожидания и матрица корреляции для упругого и пластического состояния с помощью применения теории систем переменной структуры и обоби.зшшх уравнений типа Фоккара-Планка-Колмогорова..

; 3. Гипотеза о вероятностных нахождения в упругом и пластическом режиме подтверждеэтся результатами численного эксперимента.- .

4.. Результаты корреляционного анализ«, позволяют выполнить приблизительно расчет упруго-пластических конструкций в форме одноыассовой системы с идеально упруго-пластической характеристикой.

5. Использование метода расширения Делового' пространства позволяет рассматривать и другие законы пластичности, более ближние к реальному поведению конструкции.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРА1УРА

Ci3 Артемьев В.И. Теория систем оо случайными изменениями отруктурн. Минск, "Высшая школа", 1979. С*-3 Казаков И.Е. Статиотичеокая динамика оиотем о переменной структурой. М., ''Наука", 1977.

CiJ Казаков И.Е., Мальчиков C.B. Анализ отохаотических сио -тем в пространстве состоянии, М., "Наука", 1983. СКрасносельский М.А., Покровокяй A.B. Системы о гистере -зисом. М., "Наука", 1983.

СГ] Макаров Б.П., Тимофеев C.B. Случайные колебания нелинейных систем гиотереаисного типа.;"Строительная механика и рас-4ÔT сооруаений", й 2, 1991,.стр. 71-76.

С(,] Солодов A.B., Солодов A.A. Статистическая;динамика сис -тем е точечными процессами. М.,- "Наука", 1986. С^Хфилиппов А.Ф.'Дифференциальные уравнения о разрывной правой частью.М.» "Наука", 1985.

•fkot^j *f r&c Omo^-Z-e-r-i'^/s

Jr^iv** "f ci vt-с <f

Г<?3 Sui« к; уg

Ii' . • ,. . ,

Подписано в печать 10.04.92 Формат 60x84Vlô Печ. офс. И-108 Объем-I уч.—изд.л. Т.100 Заказ-З^ Бесплатно

Ротапринт МИСИ ш.В.В.Куйбышева